Výpočet zobrazovacích soustav

Transkript

1 Výpočet zobrazovacích outav. Úvod Joef Kuběna, ÚFKL, Maarykova Univerita, Brno, (25) V tomto textu popíšeme potup, který zformuluje univerzální algoritmu pro výpočet parametrů libovolně ložitých zobrazovacích outav. Potup vychází z knihy [] a je velice zajímavý i z matematického hledika, protože na názorném příkladě ukáže užitečnot zavádění takových matematických objektů, jako jou matice. Důledně e používá ouřadnicová outava pro určování polohy objektů, takže odpadá dodatečná znaménková konvence, která e traduje např. i v knihách [2, 3, 4, 5]. [] E. L. O'Neil: Introduction to Statitical Optic. Addion-Weley Publihing company, London 963 [2] J. Fuka, B. Havelka: I. Optika. Státnípedagogické nakladateltví, Praha 96 [3] E. Hecht, A. Zajac: Optic. Addion Weley Publihing Company, London 974 [4] A. Štrba: Všeobecná fyzika 3. Optika. Nakladateltví Alfa, Bratilava 979 [5] M. Vrbová a kol.: Laery a moderní optika. NakladateltvíPrometheu, Praha 994 [6] J. Kuběna: Základy optického zobrazování vdobě počítačů. Knihovnička FO MAFY Hradec Králové 997 [7] K. Rektory a polupracovníci: Přehled užité matematiky I a II. Nakladateltví Prometheu, Praha 995 PDF created with pdffactory Pro trial verion

2 2. Průchod paprku optickou outavou V geometrické optice jou základními pojmy paprek, vazek rovnoběžných paprků a vazek rozbíhavých nebo bíhavých paprků. Jejich protějškem ve vlnové optice je rovinná vlna a kulová vlna (rozbíhavá nebo bíhavá). Paprek má měr kolmý na vlnoplochu a v homogenním protředí e šíří přímočaře. Předtavíme-li i větelný paprek procházející optickou outavou čoček z bodu P do bodu P, pak jeho dráhu můžeme ložit vždy z několika lomů na kulových plochách a z přímkových úeků mezi nimi -viz obr. Toto je základní chéma náledujícího výkladu geometrické optiky. Jeho onovu tvoří vhodný způob popiu paprku a optické outavy. y P P x Obr. 2 PDF created with pdffactory Pro trial verion

3 2. Charakteritiky paprku Pro popi dráhy je nejdříve nutné zavét ouřadnicovou outavu x, y. Zvolíme ji náledujícím způobem a tuto volbu budeme vždy dodržovat: Pravidlo. Oa x bude mít měr průchodu větla outavou a bude totožná oou ymetrie outavy kulových lámavých ploch. Počátek oy x bude vždy ležet v průečíku oy první lámavou plochou. Pravidlo 2. V bodě P(x,y) bude paprek definován dvěma parametry: ouřadnicí y bodu P a úhlem α, který vírá paprek kladným měrem oy x. Úhel α měříme kladně ve měru proti chodu hodinových ručiček. y P y > P 2 α > y 2 > α 2 < P 5 nevyhovuje pravidlu. Obr. 2 y 3 < α 3 < y 4 < P 3 α 4 > P 4 x 3 PDF created with pdffactory Pro trial verion

4 Na obr.2 je nakreleno několik možných ituací chodu paprku, jehož měr šíření je znázorněn vektorem. Souřadnice x určuje polohu průečíku oy x a roviny kolmé na optickou ou, v níž leží předmět, obraz či jiné charakteritiky optického ytému, o nichž bude řeč později. Ke každé ouřadnici x budou pak přílušet parametry paprku y a α. Užitečnot zavedení těchto parametrů paprku e ukáže hned na jednoduchých případech šíření paprku mezi dvěma body v homogenním protředí a při lomu na kulové ploše, která odděluje dvě protředí o různých indexech lomu. Popi těchto elementárních jevů bude loužit k objanění matematického formalimu, který budeme později používat. 2.2 Šíření paprku mezi dvěma body Cílem úvah v tomto odtavci bude vyřešit náledující jednoduchou úlohu. V bodě P (x,y ) má paprek parametry y,α. Jaké parametry má v bodě P 2 (x 2,y 2 )? 4 PDF created with pdffactory Pro trial verion

5 y P 2 (x 2,y 2 ) α 2 Obr. 3 P (x,y ) α P 2 (x 2,y 2 ) Vyjdeme z geometrické ituace na obr. 3. Protože e paprek šíří homogenním protředím, jeho úhel oou x e nemění (α 2 α ), změní e pouze jeho parametr y 2. Pro jeho hodnotu dotáváme y 2 y y. Z pravoúhlého trojúhelníka P P 2 P 2 plyne, že y(x 2 -x )tan(α ). Po doazení do předchozí rovnice dotaneme pro parametr y 2 vztah y 2 y (x 2 -x )tan(α ). Jak víme z učebnic optiky, geometrická optika e buduje za předpokladu tzv. paraxiálního přiblížení. Jeho podtata je v tom, že naše výpočty omezíme jen na paprky, které vírají oou x úhel menší než ai 6 o. Za tohoto předpokladu platí, že hodnota funkce in(α) a tan(α) je přibližně rovna úhlu α vyjádřenému v radiánech. x 5 PDF created with pdffactory Pro trial verion

6 V rámci paraxiálního přiblížení jou nové parametry y 2, α 2 dány outavou dvou rovnic: y 2 y (x 2 -x )α () α 2 α Tyto rovnice jme nyní napali v takovém nehezkém, ale přeto matematicky právném tvaru. Upřednotnili jme formu zápiu a to má to vůj význam, který později oceníme. Dohodneme e ještě, že tuto formu rovnic pro výpočet nových parametrů paprku budeme zachovávat. Rovnice budeme vždy pát v uvedeném pořadí a pravou tranu rovnic budeme pát vždy jako oučet dvou členů, z nichž první bude vždy náobkem taré hodnoty y a druhý taré hodnoty α, i když jeden ze oučinitelů bude nulový. Tímto jme úkol z úvodu tohoto odtavce plnili a můžeme pokročit dále. Poznamenejme k tomu, že z matematického pohledu e dopouštíme značné nepřenoti, když e omezujeme jen na paraxiální přiblížení a je překvapující, že zobrazovací a jiné rovnice vycházející z těchto zjednodušení e tak dobře hodují experimentem. 6 PDF created with pdffactory Pro trial verion

7 2.3 Lom paprku na kulovéploše Nechť kulové rozhraní odděluje od ebe protředí o indexu lomu n a protředí o indexu lomu n 2. Střed křivoti S(,) rozhraní leží na oe x a protíná ji v bodě V(v,) -viz obr. 4. V bodě P, na traně prvního protředí, je paprek charakterizován veličinami y a α, v tomtéž bodě P, ale na traně druhého protředí, veličinami y, α. Cílem úvah v tomto odtavci je zae výpočet parametrů paprku po lomu pomocí jeho parametrů před lomem a charakteritik rozhraní. P α α po lomu yy β β2 δ Obr. 4 V(v,) V (v,) 2 S(,) x 7 PDF created with pdffactory Pro trial verion

8 Kolmice (čárkovaně) na kulovou plochu v bodě P prochází tředem S a oou x vírá úhel δ. Při přechodu paprku rozhraním došlo k lomu podle Snellova zákona: n in(β 2 ) n in(β ), kde β a β 2 jou úhly, které vírají paprky kolmicí ke kulové ploše v bodě P. Z obr. 4 je zřejmé, že pro úhly β a β 2 platí β α δ β 2 α δ, kde δ je úhel, který vírá kolmice oou x. Doadíme-li tyto vztahy do Snellova zákona a omezíme e opět na paraxiální přiblížení, dotaneme α δ N 2 (α δ), odkud vypočteme nový úhel α α ( N 2 )δ N 2 α, (2) kde veličina N 2 n /n 2 Pro dokončení výpočtu zbývá ještě úhel δ uvét do ouviloti parametry lámavé kulové plochy. Z pravoúhlého trojúhelníka SPV plyne, že tan(δ) - y/( v ). Uvážíme-li, že v paraxiálním přiblížení body V a V prakticky plývají, dotáváme pro úhel δ jednoduchý vztah δ y/(v-). 8 PDF created with pdffactory Pro trial verion

9 Zdůrazněme, že v tomto vztahu vytupuje rozdíl ouřadnic (v-), tedy reálné čílo, které může být jak kladné, tak záporné (abolutní hodnota v - je rovna poloměru lámavé plochy. Doadíme-li toto vyjádření úhlu δ do rovnice (2) můžeme napat obě rovnice pro nové hodnoty parametrů paprku po lomu: y y α ( N 2 ) y/(v-) N 2 α, (3) Pořadí rovnic a upořádání jejich pravých tran jme opět zachovali podle dohody o formě v předchozím odtavci. Rovnice (3) udávají jednoduchý návod, jak vypočítat parametry paprku po lomu, známe-li jeho vtupní parametry. Tím je cíl úvah plněn. Spolu rovnicemi () jou tak matematicky popány oba elementární děje, tj. šíření a lom, z nichž lze etavit celou dráhu paprku zobrazovacím ytémem. 2.4 Průchod paprku zobrazovacím ytémem Na jednoduchém příkladě nyní ukážeme použití zavedeného popiu paprku. Příklad můžeme formulovat takto: mějme zobrazovací ytém, který e kládá jen ze dvou lámavých ploch - viz obr. 5. Pečlivě i zde všimněte způobu značení veličin. 9 PDF created with pdffactory Pro trial verion

10 P (x,y ) 2 n n n 2 P(x,y) S (,) S 2 (,) 2 V (v,) V 2 (v 2,) y α y α y a y 2 α 2 y 2 a 2 y α Obr. 5 V bodě P (x,y ) před první lámavou plochou má paprek parametry y, α a ná zajímá, jaké má parametry v bodě P(x,y) Při výpočtu parametrů paprku za optickou outavou budeme potupovat takto: Počátek oy x ztotožníme průečíkem oy první lámavou plochou, na niž narazí větlo, tzn. že v. Dále předpokládáme, že známe indexy lomu n, n,n 2 a ouřadnice na oe x označené x, v, v 2,, 2 a x, jejichž význam je zřejmý z obr. 5. Tím je zadán celý optický ytém. PDF created with pdffactory Pro trial verion

11 Při aplikaci výledků doavadních výpočtů daných rovnicemi () a (3), na náš nynější úkol, oceníme zavedenou formu označení parametrů paprku na lámavých plochách. Výpočet je výhodné začít od konce (později uvidíme proč). Do bodu P e dotane paprek šířením od lámavé plochy 2. Na její výtupní traně má parametry y 2, α 2. Podle rovnice () platí y y 2 (x v 2 )α 2 (4) α α 2 Parametry na výtupní traně plochy 2 vypočteme podle rovnic (3) pomocí parametrů na vtupní traně plochy. Dotaneme y' 2 y2 (5) N2 α ' 2 y2 N2α 2. v2 2 Parametry paprku na vtupní traně plochy 2 vyjádříme nyní pomocí parametrů na výtupní traně plochy užitím rovnic () y 2 y (v 2 v )α (6) α 2 α. Nyní opět parametry paprku na výtupní traně plochy vyjádříme pomocí parametrů na vtupní traně plochy aplikací rovnice (3). PDF created with pdffactory Pro trial verion

12 y' y N (7) α ' y N α 2. v Nyní již napoledy budeme aplikovat rovnice (), abychom vypočetli parametry paprku na vtupní traně plochy pomocí známých parametrů v bodě P. y y (v x )α α α. Jetliže čtenář dočetl text až do tohoto míta, ai právně odhadl, co by teď mělo náledovat, abychom vypočetli parametry paprku y a α po průchodu celým ytémem. Je třeba vyjít z rovnice (8) a doadit do (7), tyto rovnice (7) pak doadit do (6) atd., až e dopracujeme k rovnici (4). Na její levé traně totiž máme hledané parametry, ale pravé trany rovnic e doazováním změnily v nepřehledné a ložité výrazy. Toto mechanické doazování do předchozích rovnic není práce pro člověka v době počítačů. Celý problém e dá zjednodušit, když využijeme matematického pojmu matice a naučíme počítač matice náobit. Řada matematických programů má takové náobení matic v obě už zabudované, takže zápi operace náobení matic e prakticky neliší od náobení reálných číel (např. MATLAB, OCTAVE, MAPLE, EXCEL 5. aj. ) (8) 2 PDF created with pdffactory Pro trial verion

13 Těm čtenářům, kteří nejou maticovým počtem obeznámeni, doporučuji nyní, aby e eznámili operacemi náobení a rovnoti matic a pojmem determinant matice. Lze k tomu využít např. brožury [6] nebo knihy [7]. Otatní čtenáři mohou pokračovat dalším odtavcem. 2.5 Maticová formulace problému První krok v tomto odtavci bude počívat v tom, že rovnice () a (3) přepíšeme do maticového tvaru podle návodu v Dodatku A.. Teprve pak e vrátíme k úloze formulované v úvodu předchozího odtavce. Tranlační matice Přepiem rovnic () do maticového tvaru dotaneme maticovou rovnici y2 x2 x y. 2 (9) α y2 x 2 x Matici T 2 nazýváme tranlační maticí () y a matici Y nazýváme paprkovou maticí. α 3 PDF created with pdffactory Pro trial verion

14 Ta nee parametry paprku y a α vždy v tomto pořadí přihlédnutím k přílušným indexům. V maticovém označení (ymbolice) má pak rovnice (9) tvar Y 2 T 2 Y. () Refrakční matice Přepiem rovnic (3) do maticového tvaru dotaneme maticovou rovnici Matici y' α' N v 2 N 2 y α (2) R N2 (3) N2 v nazýváme refrakční maticí. Index označuje, že e týká lámavé plochy, která odděluje protření indexem lomu n od protředí indexem lomu n 2, tj. N 2 n /n 2. V maticové ymbolice má rovnice (2) tvar Y R Y 4 PDF created with pdffactory Pro trial verion

15 Matice optického ytému Pomocí tranlačních, refrakčních a paprkových matic přepíšeme nyní rovnice (4) až (8) do maticové ymboliky. Dotaneme Y T 2 Y 2 (5) Y 2 R 2 Y 2 (6) Y 2 T 2 Y (7) Y R Y (8) Y T Y (9) Nyní v maticové ymbolice je velice jednoduché doazovat zpětně za paprkové matice do předchozích rovnic. (Při tomto doazování mějme na paměti, že nemíme měnit pořadí při náobení matic.) Nakonec dotaneme Y T 2 R 2 T 2 R T Y (2) Tímto jme náš problém vyřešili. Doud neznámé parametry paprků na výtupu optického ytému jme vyjádřili pomocí známých parametrů na jeho vtupu a pomocí parametrů ytému, kterými jou indexy lomu, ouřadnice vrcholů kulových lámavých ploch a ouřadnice jejich tředů křivoti. Numerické hodnoty těchto veličin bychom nyní doadili do přílušných maticových prvků jednotlivých matic a počítač nechali, aby je vynáobil. 5 PDF created with pdffactory Pro trial verion

16 Vynáobením všech matic na pravé traně vznikne matice typu () a z definice rovnoti matic dotaneme numerické hodnoty pro y a α. Pro další úvahy je užitečné upravit rovnici (2) do náledujícího tvaru Y T 2 S T Y () kde matici S R 2 T 2 R nazýváme maticí optického ytému. Optický ytém je vždy ohraničen kulovými lámavými plochami, ať jde o jednu čočku, nebo o celou outavu čoček. Všimněme i, že matice outavy je tvořena oučinem refrakčních a tranlační matice, ale pořadí oučinitelů je opačné, než je průchod větla ytémem. To je velice důležité pro právný výpočet matice S. Poznamenejme ještě, že počet refrakčních a tranlačních matic, dávající matici ytému, je dán počtem lámavých ploch, a dále, že matice ytému je vždy typu (2,2). Příklad: Vypočtěte matici optického ytému, který je tvořen tlutou čočkou Veličiny vázané polední lámavou plochou ytému budeme označovat indexem p Souřadnice bodů V a S jou: v, cm. Souřadnice bodů V p a S p jou: v p 2 cm, p -2 cm. Index lomu kla n.5, index lomu vzduchu je Matice ytému této čočky je.72, PDF created with pdffactory Pro trial verion

17 3. Princip zobrazování Optický ytém, který má loužit k zobrazování předmětů, e muí vyznačovat tzv. fokuační vlatnotí. Nejdříve objaníme, co e tím rozumí. Zobrazování celého předmětu rozložíme na zobrazení jednotlivých bodů, které považujeme za bodový zdroj větla. Předpokládejme, že z každého bodu předmětu P (x,y ) vytupují paprky všemi měry. Je tomu tak např. u vítících předmětů nebo u předmětů, které rozptylují dopadající vazek větla všemi měry (tedy u většiny předmětů, kromě zrcadel). Paprky vycházející z bodu P, které projdou optickým ytémem, mohou vytvořit obraz jen tehdy, když e v některé rovině kolmé k oe x zae všechny protnou v jednom bodě P(x,y). Když průečík P leží za optickým ytémem mluvíme o reálném obrazu, když leží před ním, mluvíme o virtuálním obrazu. 3.. Zobrazovací rovnice Mějme optický ytém, jemuž příluší matice ytému S, kterou obecně zapíšeme ve tvaru matice typu (22). 7 PDF created with pdffactory Pro trial verion

18 S 2 22 (22) Problém optického zobrazení můžeme matematicky formulovat takto: Předpokládejme, že bod P je jeden bod předmětu, ze kterého vycházejí paprky všemi měry. Hledejme ouřadnici x bodu P takovou, že e v něm protínají všechny paprky vycházející z bodu P. Pro paprkovou matici Y v bodě P umíme napat maticovou rovnici Y T p S T Y, (23) kterou přepíšeme do tvaru y α x vp 2 v x 22 y, α kde v p ouřadnice vrcholu polední lámavé plochy. Dále pro jednoduchot zápiu označme d x v p a d v x. Vynáobíme-li nyní všechny tři matice typu (2,2), dotaneme (24) 8 PDF created with pdffactory Pro trial verion

19 y α d d dd d 22 2 d 22 y α. (25) Na pravé traně této rovnice je oučin dvou matic. Když jej provedeme, dotaneme i na pravé traně matici typu (), která e rovná matici na traně levé. Protože matice e rovnají, když e rovnají obě odpovídající prvky, dotaneme náledující outavu dvou rovnic: y ( α y d ( d ) y ( d 22 ) α dd Z této outavy rovnic budeme v dalších odtavcích čato vycházet. Je to velice důležitá outava, která nám umožní, jak uvidíme dále, detailně nahlédnout do chodu paprků zobrazovacím ytémem. Nyní jí využijeme k odvození zobrazovací rovnice pro optický ytém charakterizovaný maticí S. Připomeňme, že naším cílem je najít takovou ouřadnici x bodu P(x, y), kde e protnou všechny paprky vycházející z P. Takový bod P potom totiž považujeme za obraz bodu P. 2 d 22 ) α (26) 9 PDF created with pdffactory Pro trial verion

20 Podíváme-li e na první ze dvou rovnic (26), vidíme, že obecně parametr y závií jak na y, tak na α. Aby bod P byl průečíkem všech paprků vycházejících z P, nemí y záviet na hodnotách α. Z uvažované rovnice plyne, že tato ituace natane jen tehdy, když faktor v závorce před α bude roven nule, tj. když d dd d (27) 2 22 Tato je tedy zobrazovací rovnice obecného optického ytému. Neznámá ouřadnice x bodu P je ukryta ve veličině d x - v p. 3.2 Zvětšení obrazu Příčné zvětšení obrazu β definujeme jako y β, (28) y kde y a y jou přílušné parametry paprkových matic. Při zobrazení jou parametry paprků obrazu dány rovnicemi y α ( y d ( d ) y 22 ) α (29) 2 PDF created with pdffactory Pro trial verion

21 Z první rovnice vypočteme přímo zvětšení β y y d Je přirozené, že v tomto vztahu vytupuje kromě prvků matice ytému i rozdíl ouřadnic d x - v p, kde x je poloha obrazu. 3.3 Významné body zobrazovacího ytému U zobrazovacích ytémů e definují významné body na jeho oe x. Jou to obrazové a předmětové ohniko F(f,) a F (f,) a hlavní obrazový a předmětový bod H(h,) a H (h,). V teorii zobrazování e užívá pojem družené body. Souřadnice družených bodů jou totiž vázány zobrazovací rovnicí. Sdružené jou polohy předmětové a obrazové roviny a také polohy hlavního obrazového a hlavního předmětového bodu. Souřadnice obrazového ohnika Poloha obrazu e blíží k obrazovému ohniku, když e předmět vzdaluje na oe x do minu nekonečna. Vyjdeme tedy z obecné zobrazovací rovnice (27), kterou vynáobíme faktorem /dd. Dotaneme PDF created with pdffactory Pro trial verion

22 d 2 22 dd d Do tohoto tvaru jme ji přepali proto, abychom mohli nadno provét limitní přechod pro x jdoucí k minu nekonečnu. Při této operaci budou polední dva členy rovny nule a dotaneme rovnici, z níž pak vypočítáme d f. d f (3) a tedy d f. (32) Protože d f f -v p, dotáváme pro ouřadnici obrazového ohnika konečný vztah f v. (33) p Souřadnice předmětového ohnika Podobným potupem jako v předchozím případě dotaneme pro ouřadnici předmětového ohnika vztah 22 f v. (34) 22 PDF created with pdffactory Pro trial verion

23 Souřadnice hlavního obrazového bodu Leží-li obraz v hlavní obrazové rovině, pak má příčné zvětšení rovno. Doadíme-li tedy do rovnice (3) za β dotaneme d h. (35) Protože d h h-v p, je ouřadnice h obrazového hlavního bodu dána vztahem h v p. (36) Souřadnice hlavního předmětového bodu Při výpočtu polohy předmětového hlavního bodu H (h,) využijeme jeho druženoti bodem H. Potup je takový, že do zobrazovací rovnice (27) doadíme za d výraz (35) a pouze algebraickými úpravami z ní vypočteme veličinu d h. Dotaneme 23 PDF created with pdffactory Pro trial verion

24 d h 22( ). (37) 2 Protože d h v h bude mít konečný vztah pro ouřadnici předmětového bodu H tvar 22 ( ) h v 2. (38) Jetliže e bude předmět nacházet v hlavní předmětové rovině, pak obraz e bude nacházet v hlavní obrazové rovině a jejich zvětšení bude. V těchto rovinách má bod předmětu i bod obrazu tejnou ouřadnici y. Fyzikálně i můžeme vlatnot těchto na první pohled záhadných rovin předtavit tak, že předmět ležící v hlavní rovině předmětové přenee optický ytém bez jakékoli změny do hlavní roviny obrazové. 3.4 Ohnikovévzdálenoti Jitě je jitě překvapivé, že tak všeobecně známé charakteritiky zobrazovacího ytému zavádíme až nyní. Je to tím, že k jejich definici potřebujeme znát nejen ouřadnice ohniek, ale i ouřadnice hlavních bodů. 24 PDF created with pdffactory Pro trial verion

25 Obrazová ohniková vzdálenot f obr e totiž definuje jako rozdíl ouřadnic obrazového ohnika a obrazového hlavního bodu. f obr Předmětová ohniková vzdálenot f pre je pak f pre f h. (39) 22( ) f h 2. (4) Ještě jednou zdůrazněme, že ohniková vzdálenot je opět definována jako rozdíl ouřadnic a ten může být kladný i záporný. Nejde tedy o vzdálenot dvou bodů, což v matematice je vždy veličina kladná. Determinant matice obrazového ytému Determinant matice optického ytému S zíkáme náobením přílušných determinantů refrakčních a tranlačních matic. Jejich vynáobením dotaneme vždy S n n p, (4) 25 PDF created with pdffactory Pro trial verion

26 kde n a n p jou indexy lomu protředí před a za zobrazovacím ytémem. Když je na obou tranách zobrazovacího ytému vzduch nebo jiné, ale tejné optické protředí, je determinant matice S roven. Toto je obecná vlatnot determinantu matice optického ytému, které lze dále využít. V potatě nám tato vlatnot říká, že prvky matice S jou na obě závilé. Z rovnice S 22 2 (42) můžeme vždy kterýkoli prvek vyjádřit pomocí zbývajících tří prvků matice S a hodnoty jejího determinantu. Tato vlatnot nám může loužit jednak ke kontrole výpočtu, jednak ke zjednodušení některých vzorců odvozených v minulých odtavcích. 26 PDF created with pdffactory Pro trial verion

27 Tranlační matice 4. Přehled veličin a rovnic Souřadnicový ytém x,y má ou x totožnou optickou oou zobrazovacího ytému. Počátek oy x leží ve vrcholu první lámavé plochy. Lámavé plochy čílujeme ve měru chodu větla. Ten volíme zleva doprava. T i, i v i je x ouřadnice vrcholu i-té lámavé plochy v i je x ouřadnice vrcholu i-té lámavé plochy v i v i Refrakční matice R i N vi i, i i, i N i,i n i / n i, kde n i a n i jou indexy lomu před a za i-tou lámavou plochou. i a v i jou x ouřadnice tředu a vrcholu i-té lámavé plochy i N 27 PDF created with pdffactory Pro trial verion

28 Matice optického ytému S R p,p index p je čílo polední lámavé plochy p T R p...r 2 T 2 R Označení prvků obecné matice ytému S determinant matice je S 2 22 n 22 2 n p Paprková matice y Y α y je y-ová ouřadnice bodu, z něhož vychází paprek pod úhlem α (ten e měří kladně od oy x ve měru proti chodu hodinových ručiček). 28 PDF created with pdffactory Pro trial verion

29 Souřadnice obrazového ohnika F(f,) f v p. Souřadnice předmětového ohnika F (f,) f v Souřadnice hlavního obrazového bodu H(h,) h v p 22.. Souřadnice hlavního předmětového bodu H (h,) h v 2 22 ( ). 29 PDF created with pdffactory Pro trial verion

30 Obrazováohniková vzdálenot f obr f h. Předmětová ohniková vzdálenot f pre f h 2 22 ( ). Obecná zobrazovací rovnice d 2 22 dd d d v -x, d x -v p, kde.. x je ouřadnice předmětu a x obrazu Příčné zvětšení β y y d 3 PDF created with pdffactory Pro trial verion

31 5. Optický ytém ze dvou tenkých čoček Směr šíření větla Počátek oy x t 2 Oa optického ytému x Optický ytém je tvořen dvěma tenkými čočkami, jejichž tředy mají ouřadnice a t, a obrazové ohnikové vzdálenoti f a f 2. Spojka má f>, rozptylka f <. Matice tenké čočky je dána vztahem (tředy lámavých ploch jo v v ) S RTR 2 2 n n n n 2 2 ( n)( ) kde bylo využito vztahu (33) rep. (39) Matice ytému dvou tenkých čoček pak je t S t t f f2 f t f f ff f obr t f, (43) (44) 3 PDF created with pdffactory Pro trial verion

32 Pomocí matice ytému e pak už vypočtou všechny charakteritiky našeho ytému dvou tenkých čoček: Obrazová ohniková vzdálenot tohoto ytému je: Souřadnice obrazového ohnika: Souřadnice předmětového ohnika: f f f f f f 2 2 t t f t f ( f ) t f ( f 2 ) Souřadnice obrazového hlavního bodu h t f t f Souřadnice předmětového hlavního bodu: h t f f 2 32 PDF created with pdffactory Pro trial verion