5. Posloupnosti a řady

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "5. Posloupnosti a řady"

Transkript

1 Matematická aalýza I předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Zimí semestr 2004/05 5. Poslouposti a řady 5.1 Limita a hromadé hodoty. Mějme posloupost x ) prvků Hausdorffova topologického prostoru X. Jelikož je prvkem uzávěru možiy N, můžeme uvažovat limitu lim x. Pokud edojde k mýlce, budeme tuto limitu ozačovat prostě lim x. Následující kritérium pro limitu poslouposti je přímým důsledkem defiice limity: Věta 5.1. Posloupost x ) prvků topologického prostoru X má limitu x 0, právě když pro každé okolí U bodu x 0 existuje přirozeé číslo 0 takové, že pro každé přirozeé číslo 0 platí x U. Prvek x 0 se azývá hromadá hodota poslouposti x ), jestliže ke každému jeho okolí U existuje ekoečě moho přirozeých čísel k takových, že x k U. Věta 5.2. Možia hromadých hodot libovolé poslouposti je uzavřeá. D ů k a z. Ozačme A možiu hromadých hodot poslouposti x ). Zvolme libovolý prvek x X\A. Jelikož x eí hromadou hodotou, musí mít okolí U, které obsahuje pouze koečě moho čleů poslouposti x ). Pak ale každý prvek okolí U má tutéž vlastost a U X \ A. Tím jsme dokázali, že možia X \ A je otevřeá. Věta 5.3. Předpokládejme, že topologický prostor X je kompaktí a uvažujme posloupost x ) prvků X. 1. x ) má hromadou hodotu. 2. Má-li posloupost x ) jediou hromadou hodotu x 0, pak lim x = x 0. D ů k a z. 1. Předpokládejme, že žádý prvek možiy X eí hromadou hodotou poslouposti x ). Pak každý prvek x X má okolí U x, které obsahuje pouze koečě moho čleů poslouposti x ). Systém S = {U x x X} je otevřeé pokrytí možiy X a má koečé podpokrytí T S. Nyí je zřejmé, že ve sjedoceí systému T leží je koečě moho čleů poslouposti x ). Ovšem T X a máme co? A máme spor. 2. Kdyby eplatilo lim x = x 0, pak existuje okolí U prvku x 0 takové, že v možiě X \ U leží ekoečě moho čleů poslouposti x ). Tyto prvky tvoří posloupost v kompaktím topologickém prostoru X \ U, 1) která má podle bodu 1. hromadou hodotu, růzou od x 0. To je spor. 5.2 Poslouposti reálých čísel. Pravíme, že posloupost reálých čísel je kovergetí, má-li limitu v R. Je-li limitou této poslouposti ebo, říkáme, že je divergetí. Posloupost, která eí ai kovergetí, ai divergetí, se azývá oscilující. Ze cvičeí 11 k předchozí kapitole víme, že možia R je kompaktí. Podle věty 5.3 má tedy každá posloupost reálých čísel v R hromadou hodotu možia hromadých hodot je eprázdá. Podle věty 5.2 je tato možia avíc uzavřeá, což ovšem dohromady zameá, že má ejmeší a ejvětší prvek. Můžeme tedy zformulovat ásledující výsledek: Věta Každá posloupost reálých čísel má v R ejvětší a ejmeší hromadou hodotu. 2. Je-li tato posloupost avíc ohraičeá, jsou tyto hromadé hodoty reálá čísla. D ů k a z. Bod 1. jsme dokázali v předchozím odstavci, bod 2. je zřejmý. Největší hromadá hodota poslouposti reálých čísel x ) se azývá limes superior poslouposti x ) a ozačuje lim sup x ebo lim sup x. Nejmeší hromadá hodota této poslouposti se azývá limes iferior poslouposti x ) a ozačuje lim if x ebo lim if x. Je-li σ rostoucí posloupost přirozeých čísel, pak posloupost x σ ) se azývá posloupost vybraá z poslouposti x ) ebo podposloupost poslouposti x ). 1) Jak víme, že je kompaktí? 5-1

2 Poslouposti a řady Věta 5.5. Bud x ) posloupost reálých čísel. Pak bod x 0 R je hromadou hodotou této poslouposti, právě když existuje vybraá posloupost x σ taková, že lim x σ = x 0. D ů k a z. Bud U okolí bodu x 0. Předpokládejme, že existuje vybraá posloupost x σ taková, že lim x σ = x 0. Ozačme 0 přirozeé číslo takové, že pro každé 0 je x σ U věta 5.1). Hledaými čísly k jsou čísla σ 0, σ 0 +1, σ 0 +2,... Nyí dokážeme opačé tvrzeí pro x 0 R pro x 0 {, } přeecháme důkaz čteáři). Ozačme I iterval x 0 1/, x 0 + 1/). Pomocí pricipu matematické idukce zkostruujeme vybraou posloupost x σ ) takovou, že pro každé je x I. Ozačme σ 1 ejmeší přirozeé číslo, pro které x σ1 I 1 takových přirozeých čísel je podle předpokladu ekoečě moho). Podobě, ozačme σ 2 ejmeší přirozeé číslo větší ež σ 1, pro které x σ2 I 2 přirozeých čísel k > σ 1, pro která x k I 2 je ekoečě moho). Předpokládejme yí, že již máme čísla σ 1 <... < σ, která aši podmíku splňují. Pak σ +1 budiž ejmeší přirozeé číslo, pro které σ +1 > σ a x σ+1 I +1. Tím je hledaá vybraá posloupost x σ ) zkostruováa a věta dokázáa. Posloupost x ) prvků možiy R se azývá cauchyovská, jestliže ke každému reálému číslu ε > 0 existuje přirozeé číslo 0 takové, že pro každé 1, 2 > 0 platí x 1 x 2 < ε 5.2.1) Věta 5.6. Každá kovergetí posloupost reálých čísel je cauchyovská. Každá cauchyovská posloupost reálých čísel je kovergetí. D ů k a z. Bud x ) kovergetí posloupost reálých čísel, x 0 její limita. Zvolme libovolé číslo ε > 0 a ozačme 0 přirozeé číslo takové, že pro každé > 0 je x x 0 < ε/2. Bud te yí 1, 2 > 0. Máme x 1 x 2 = x 1 x 0 + x 0 x 2 x 1 x 0 + x 0 x 2 < ε 2 + ε 2 = ε Každá kovergetí posloupost je tedy cauchyovská. Mějme yí cauchyovskou posloupost x ) a ozačme 0 přirozeé číslo takové, že pro každé 1, 2 0 je x 1 x 2 < 1. Dále ozačme M = max{x 1, x 2,... x 0 } + 1, m = mi{x 1, x 2,... x 0 } 1. Nyí pro libovolé {1, 2,..., 0 1} platí x < M a pro 0 je x x 0 < 1, což zameá, že x < x M. Posloupost x ) je tedy shora ohraičeá číslem M. Stejým způsobem se dokáže, že posloupost x ) je také zdola ohraičeá číslem m. Položme a = lim if x a b = lim sup x. Máme a, b R věta 5.4). Předpokládejme, že a < b a položme ε = 1 3 b a). Pak existuje přirozeé číslo 0 takové, že pro každé 1, 2 > 0 je x 1 x 2 < ε. Zvolme yí k, l 0 tak, aby x k a < ε a x l b < ε čísla k, l existují, jelikož a a b jsou hromadé hodoty věta 5.5). Dostáváme x l > b ε, x k < a + ε, čili x l x k > b ε a ε = 3ε 2ε = ε a to je spor, jelikož podle předpokladu, x l x k < ε. Dostáváme tedy a = b a tvrzeí plye z věty Poslouposti fukcí. Necht Y X R. Uvažujme posloupost f ) fukcí f : X R. Říkáme, že tato posloupost koverguje bodově k fukci f : Y R a možiě Y, jestliže pro každé x Y platí lim f x) = f x). Fukce f se azývá limita poslouposti f ) a ozačuje lim f. Říkáme, že posloupost f ) koverguje k fukci f a možiě Y stejoměrě, jestliže ke každému ε > 0 existuje 0 N takové, že pro každé 0 a x Y platí f x) f x) < ε. Z uvedeých defiic ihed plye: Jestliže posloupost f ) koverguje k fukci f a možiě Y stejoměrě, pak k této fukci a této možiě koverguje i bodově. Tuto implikaci lze obrátit apříklad jsou-li fukce f kostatí.

3 Matematická aalýza I 5-3 Obsahuje-li možia Y všecha čísla x X, pro ěž existuje lim f x), azývá se obor kovergece poslouposti f ). Necht f : R R, f x) = x. Pro každé x R platí lim f x) = 0; oborem kovergece této poslouposti je tedy možia R. Předpokládejme yí, že možia Y R je ohraičeá a M < Y < M. K libovolému ε > 0 zvolme 0 N tak, aby M/ 0 < ε. Pak pro každé 0 a x Y platí f x) = x/ x/ 0 M/ 0 < ε. Posloupost f ) tedy koverguje stejoměrě k ule a Y. Neí-li ovšem možia Y ohraičeá, ajdeme ke každému ε > 0 a N číslo x Y takové, že x > ε, eboli x/ = f x) > ε. V tomto případě tedy posloupost f ) a Y stejoměrě ekoverguje. Věta 5.7. Jestliže k poslouposti f ) fukcí f : X R a fukci f : Y R existuje posloupost y ) taková, že lim y = 0 a pro každé N a x Y je f x) f x) < y, pak posloupost f ) koverguje stejoměrě k fukci f a možiě Y. D ů k a z. Zvolme ε > 0 a ozačme 0 takové číslo, že pro každé > 0 platí y < ε. Pak pro každé x Y platí f x) f x) < ε a tvrzeí je dokázáo. Následující tvrzeí budeme často používat. Věta 5.8. Posloupost f ) koverguje stejoměrě a Y, právě když ke každému ε > 0 existuje číslo 0 takové, že pro každé 1, 2 > 0 a x Y platí f 1 x) f 2 x) < ε. D ů k a z. Jestliže posloupost f ) koverguje stejoměrě a Y k fukci f, pak k libovolému ε > 0 existuje číslo 0 takové, že pro každé x Y a 1, 2 > 0 platí Máme tedy f 1 x) f x) < ε 2, f 2 x) f x) < ε ) f 1 x) f 2 x) = f 1 x) f x) + f x) f 2 x) f 1 x) f x) + f 2 x) f x) < ε 2 + ε 2 = ε. Předpokládejme yí aopak, že je splěa druhá podmíka tvrzeí. Zvolme ε > 0 a ozačme 0 číslo takové, že pro každé 1, 2 > 0 a x Y platí f 1 x) f 2 x) < ε ) Podle předpokladu je posloupost f x)) cauchyovská a existuje tedy číslo lim f x) = f x). Máme tedy f x) takové, že tvrzeí je dokázáo. f x) f x) = lim f x) f m x) ε < ε ) m 2 Věta 5.9. Necht posloupost f ) fukcí spojitých v bodě x 0 Y stejoměrě koverguje a možiě Y k fukci f. Pak fukce f je spojitá v bodě x 0. D ů k a z. Položme y = lim f x 0 ) a zvolme ε > 0. Pak existuje číslo 1 takové, že pro každé x Y a > 1 platí f x) f x) < ε )

4 Poslouposti a řady a číslo 2 takové, že pro každé > 2, f x) f x 0 ) < ε ) Položme = max{ 1, 2 }. Fukce f je spojitá v bodě x 0, existuje tedy okolí U tohoto bodu, tak, že pro každé x Y U platí f x) f x 0 ) < ε ) Pro libovolý bod x Y U a pro pevé, které jsme si před chvílí vybrali) tedy platí f x) f x 0 ) = f x) f x) + f x) f x 0 ) + f x 0 ) f x 0 ) < f x) f x) + f x) f x 0 ) + f x 0 ) f x 0 ) = ε 3 + ε 3 + ε 3 = ε, což dokazuje spojitost fukce f v bodě x 0. Uvažme fukce f : [0, 1] R, f x) = x. Sado zjistíme, že pro x < 1 je lim f x) = 0, ale lim f 1) = 1. Limitou poslouposti f ) je tedy espojitá fukce f : [0, 1] R, f x) = { 0 x < 1, 1 x = 1. Podle uvedeé věty eí kovergece poslouposti f ) stejoměrá. Vskutku, ke každému číslu ε > 0, 0 < ε < 1, ajdeme číslo x [0, 1) tak, že f x) > ε. Důsledek Necht posloupost f ) stejoměrě koverguje a možiě Z k fukci f a echt pro každé N existuje limita lim x x0 f x) = a. Pak existují i limity lim a a lim x x0 f x) a platí lim a = lim x x 0 f x) ) 5.4 Řady. Mějme posloupost x ) reálých čísel. Nekoečou řadou, určeou posloupostí x ), rozumíme symbol x. Posloupost s ), jejíž čley jsou dáy předpisem s = x x = 1, 2,...), azýváme posloupost částečých součtů řady x. Jestliže posloupost částečých součtů řady x koverguje, hovoříme o kovergetí řadě a číslo lim s azýváme jejím součtem. V opačém případě hovoříme o divergetí řadě. Součet ekoečé řady x obvykle rověž ozačujeme symbolem x pokaždé je přitom jasé, v jakém výzamu jsme teto symbol zrova použili). Tvrzeí x = s zameá:,,řada x koverguje a její součet je s. Kromě tohoto zápisu používáme i zápis =1 x. Zápis =k x zameá =1 x +k 1. V takovém případě budeme používat ásledující začeí pro posloupost částečých součtů: s = x k + x k x. Necht q R. Řada q 1 se azývá geometrická řada s kvocietem q.e-li q 1, pak pro -tý čle s její poslouposti částečých součtů platí Je-li q = 1, platí s = 1 + q + q q 1 = 1 q 1 q 1 + q + q q 1 ) = 1 q 1 q ) s =, 5.4.2) Vidíme tedy, že lim s existuje, právě když q < 1, a je rova 1/1 q). Uvedeá řada tedy koverguje, právě když q < 1, a v tom případě platí q 1 = 1/1 q). Geometrická řada s q = 1 se azývá Gradiho řada. Řada 1/ se azývá harmoická řada. Pro posloupost s ) jejích částečých součtů platí

5 Matematická aalýza I 5-5 s 1 = 1 s 2 = s 4 = s > = s s 2 +1 = s > s = s Harmoická řada tedy diverguje. Necht x = ) Pro -tý čle s poslouposti částečých součtů řady =2 x platí 1 s = k 2 1 = k 1 1 ) k + 1 k=2 k=2 = ) + 1 = ). + 1 Je tedy =2 x = lim s = 3 4. Věta 5.11 Cauchyho-Bolzaovo kritérium). Řada x koverguje, právě když ke každému ε > 0 existuje číslo 0 takové, že pro každé 1, 2 > 0 platí x x 2 < ε ) D ů k a z. Je-li s posloupost částečých součtů řady x a 2 1, platí x x 2 = s 2 s ) Cauchyho-Bolzaovo kritérium tedy plye z věty 5.6. Jestliže v 5.4.5) položíme 1 = 2, dostaeme: Důsledek 5.12 utá podmíka kovergece řady). Koverguje-li řada x, pak platí lim x = 0. Aplikujte toto tvrzeí a geometrickou a harmoickou řadu! Důsledek Jestliže řada x koverguje, pak platí lim k= x k = 0. Věta Mějme dvě poslouposti reálých čísel x ), y ) a číslo c. Jestliže řady x a y kovergují, pak kovergují i řady x + y ) a cx a platí x + y ) = x + y, cx = c x ) D ů k a z. Platí lim x 1 + y 1 + x 2 + y x + y ) = lim x 1 + x x ) + lim y 1 + y y ) = x + y,

6 Poslouposti a řady lim cx 1 + cx cx ) = c limx 1 + x x ) = c x. Z uvedeého tvrzeí ihed plye jak?), že jestliže řada x koverguje a řada y diverguje, pak řada x + y diverguje. Jestliže prví dvě řady divergují, elze o kovergeci třetí říci ic uved te příklady). Věta Jestliže pro poslouposti x ) a y ) existuje číslo 0 takové, že pro každé 0 platí x = y, pak x koverguje, právě když koverguje y. D ů k a z. Za daých předpokladů koverguje řada x y ). Dále viz větu Věta Necht k je ezáporé celé číslo. Pak řada =1 x koverguje, právě když koverguje řada =k x. D ů k a z. Necht y = 0 pro < k a y = x pro k Řada =1 x koverguje, právě když koverguje řada =1 y liší se koečým počtem čleů viz větu 5.15) a řada =1 y koverguje, právě když koverguje řada =k x porovejte jejich poslouposti částečých součtů). Věta Necht k ) je rostoucí posloupost ezáporých celých čísel, k 1 = 1. Jestliže x = s, pak pro posloupost y ) = x k + x k x k+1 1) platí y = s. D ů k a z. Stačí si uvědomit, že posloupost částečých součtů řady y je vybraá z poslouposti částečých součtů řady x. Opačé tvrzeí eplatí; vyzkoušejte a Gradiho řadě, pro k ) posloupost lichých čísel. 5.5 Řady s ezáporými čley. Necht x ) 0. Posloupost částečých součtů řady x je eklesající. Koverguje tedy, právě když je ohraičeá a právě když koverguje ějaká její podposloupost. Jiak diverguje k +. Věta 5.18 srovávací kritérium). Necht x a y jsou řady s ezáporými čley a echt existuje číslo 0 takové, že pro každé 0 platí x y 5.5.1) Potom z kovergece řady y plye kovergece řady x. D ů k a z. Necht řada y koverguje. Položme x = { 0 pro < 0 x pro 0. Pro poslouposti s ) a t ) částečých součtů řad x a y platí s ) t ). Posloupost t ) ohraičeá. Je tedy ohraičeá i posloupost s ) a řada x koverguje. Podle věty 5.16 z kovergece řady x plye kovergece řady x. Řada y z předchozí věty se azývá majorata řady x. Řada x se azývá miorata řady y. Věta 5.19 limití srovávací kritérium). Necht x a y jsou řady s ezáporými čley a echt existuje koečé lim sup x y ) Potom z kovergece řady y plye kovergece řady x. D ů k a z. Z defiice limes superior poslouposti plye, že posloupost x /y ) je shora ohraičeá. Existuje tedy číslo M takové, že pro každé platí x /y < M, eboli x < My. Z věty 5.14 a kovergece řady y plye kovergece řady My. Z í a ze srovávacího kritéria plye kovergece řady x.

7 Matematická aalýza I 5-7 Ekvivaletí tvrzeí k tvrzeí srovávacího kritéria limitího i elimitího) je: Důsledkem divergece řady x je divergece řady y. Věta 5.20 d Alembertovo podílové kritérium). Bud x řada s kladými čley. Existují-li čísla q < 1 a 0 taková, že pro každé 0 je x +1 x q, 5.5.3) řada koverguje. Existuje-li číslo 0 takové, že pro každé 0 je x +1 x 1, 5.5.4) řada esplňuje utou podmíku kovergece. D ů k a z. Dokážeme prví tvrzeí. Necht y = x pro < 0 a y = q 0x 0 pro 0 Řada y koverguje to plye z kovergece geometrické řady a věty 5.18). Dále x 0 +1 qx 0, x 0 +2 qx 0 +1 q 2 x 0,. x 0 +p qx 0 +p 1... q p 1 x 0 +1 q p x 0. Řada y je tedy majorata aší řady a prví tvrzeí plye ze srovávacího kritéria. Důkaz druhého tvrzeí je zřejmý. Věta 5.21 limití podílové kritérium). Jestliže pro řadu x s kladými čley je pak koverguje. Je-li lim sup x +1 x < 1, 5.5.5) lim if x +1 x > 1, 5.5.6) řada esplňuje utou podmíku koveregece. D ů k a z. Ozačme a = lim sup x +1 /x, b = lim if x +1 /x. Necht a < q < 1. Podle defiice limes superior poslouposti existuje číslo 0 takové, že pro každé 0 je x +1 /x q. Prví tvrzeí tedy plye z podílového kritéria. Jestliže b > 1, pak existuje číslo 0 takové, že pro 0 je x +1 /x > 1, a druhé tvrzeí plye rověž z podílového kritéria. Věta 5.22 Cauchyho odmociové kritérium). Bud x řada s ezáporými čley. Existují-li čísla q < 1 a 0 taková, že pro každé 0 je x q, 5.5.7) řada koverguje. Existuje-li číslo 0 takové, že pro každé 0 je x 1, 5.5.8) řada esplňuje utou podmíku kovergece. D ů k a z. Je podobý důkazu podílového kritéria a přeecháváme jej čteáři jako užitečé cvičeí. Věta 5.23 limití odmociové kritérium). Jestliže pro řadu x s ezáporými čley je

8 Poslouposti a řady pak koverguje. Je-li lim sup x < 1, 5.5.9) lim sup x > ) řada esplňuje utou podmíku kovergece. D ů k a z. Postupujeme podobě, jako v důkazu limitího podílového kritéria. 5.6 Alterující řady. Řekeme, že řada x je alterující, jestliže pro každý čle x má čle x +1 opačé zaméko. Věta 5.24 Leibitzovo kritérium pro alterující řady). Bud x alterující řada splňující podmíky lim x = 0 a existuje 0 N takové, že pro každé > 0 je x +1 / x < 1, pak řada koverguje. D ů k a z. S ohledem a větu 5.15 můžeme předpokládat, že x 0 pro lichá a x 0 pro sudá a že podmíka x +1 / x < 1 platí pro všecha N. Ozačme s ) posloupost částečých součtů řady x. Máme Odtud plye s 2+2 = s 2 + x x 2+2 s 2, ebot x 2+1 x 2+2 ) s 2+1 = s x 2 + x 2+1 s 2 1. ebot x 2 x 2+1 s 2 s 4 s ) s 1 s 3 s ) s 2 = s x 2 s 2 1. protože x 2 0) 5.6.3) Posloupost s 2 ) je eklesající a shora ohraičeá, ebot s 2 s 2 1 s 1, existuje tedy lim s 2 = s. Podle 5.6.3) také lim s 2 1 = lim s 2 lim x 2 = s. Zvolme ε > 0 podle předchozího odstavce existují přirozeá čísla 1, 2 taková, že pro > 1 je s 2 s < ε a pro > 2 je s 2 1 s < ε. Položme m 0 = max{2 1, 2 2 1}, je-li m > m 0 přirozeé číslo, potom pokud m je sudé a m = tedy s m s = s 2 s < ε; ebo je m liché a m = a opět s m s = s 2 1 s < ε. Což dokazuje kovergeci poslouposti s ). 5.7 Absolutě kovergetí řady. K defiici absolutě kovergetí řady musíme ejprve dokázat ásledující pomocé tvrzeí: Věta Koverguje-li řada x, koverguje i řada x a platí x x. D ů k a z. Pro libovolá čísla 1 2 platí x x 2 x x 2. Je-li tedy podmíka Cauchyho Bolzaova kritéria splěa pro řadu x, je splěa i pro řadu x. Položíme-li 1 = 1, dostaeme erovost pro poslouposti částečých součtů zkoumaých řad, ze které vyplývá erovost z tvrzeí. Řada x, pro kterou koverguje řada x, se azývá absolutě kovergetí. Z předchozí věty plye, že absolutě kovergetí řada je kovergetí. Kovergetí řada, která eí absolutě kovergetí, se azývá eabsolutě kovergetí. Věta Mějme dvě poslouposti reálých čísel x ), y ) a číslo c R. Jestliže řady x a y absolutě kovergují, pak absolutě kovergují i řady x + y ) a cx a platí x + y ) = x + y, cx = c y ) D ů k a z. Řada x + y ) koverguje podle věty Dále pro každé N platí x + y

9 Matematická aalýza I 5-9 x + y. Řada x + y tedy koverguje podle srovávacího kritéria a řada x + y koverguje absolutě. Pro každé N platí cx = c x. Řada cx tedy koverguje podle věty 5.14 a řada cx koverguje absolutě. Rovosti z tvrzeí plyou ze stejých rovostí z věty Věta Bud te x absolutě kovergetí řada a σ : N N bijekce. Řada y, kde y = x σ ), je absolutě kovergetí a platí x = y. D ů k a z. Ozačme s ) a t ) poslouposti částečých součtů řad x a y, m σ ) ejvětší prvek možiy {1,..., }. Posloupost m σ ) je eklesající a eohraičeá, má tedy rostoucí podposloupost k σ )). Posloupost s kσ )) je tedy vybraá z poslouposti s. Navíc platí t ) s kσ )). Z kovergece řady x tedy plye kovergece řady y x koverguje, s ) je tedy ohraičeá, t ) je tedy rověž ohraičeá a y koverguje). Řada y je tedy absolutě kovergetí. Ozačme yí s ) a t ) poslouposti částečých součtů řad x a y. Pro každé N je s kσ ) t rovo součtu koečě moha čleů poslouposti y k ) k=+1. Přitom podle důsledku Cauchyho Bolzaova kriteria z kovergece řady y plye, že ke každému ε > 0 existuje N takové, že k=+1 y k < ε. Máme tedy s kσ ) t k=+1 y k < ε a s kσ ) = lim t že tyto limity existují již víme), čili i lim s = lim t. Řadě y říkáme přerováí řady x. 5.8 Neabsolutě kovergetí řady. Necht řada x je eabsolutě kovergetí. Položme x + = max{x, 0}, x = mi{x, 0}. Poslouposti x + a x jsou tedy ezáporé a platí x ) = x + x ). Lemma Poslouposti x + ) a x obsahují ekoečě moho kladých čleů. D ů k a z. Existuje-li číslo 0 N takové, že pro každé 0 platí x 0, řada =0 x, a tedy i řada x koverguje absolutě, což je spor. Podobě z existece čísla 0 takového, že pro každé 0 platí x 0 plye absolutí kovergece řady =0 x je totiž x = x ), a tedy i řady x. Lemma Řady x + a x jsou divergetí. D ů k a z. Podle věty 5.14 řady x + a x bud obě divergují, ebo obě kovergují. Jestliže obě kovergují, kovergují absolutě jsou to řady s ezáporými čley) a řada x podle věty 5.26 koverguje absolutě. Musejí tedy být divergetí. Nyí ukážeme, že pro eabsolutě kovergetí řady eplatí tvrzeí podobé větě Věta 5.30 Riemaova přerovávací věta). Necht řada x eabsolutě koverguje. Pak k libovolému x R existuje bijekce σ : N N taková, že σ ) x = x. D ů k a z. Bude doplě později... Příklady 1. Necht x R. Dokažte, že lim x = 1. Řešeí: V případě, že x = 1, je tvrzeí zřejmé. Pokud x > 1, pak také x > 1. Necht tedy x > 1 + h, kde h > 0. Platí x = 1 + h ) > 1 + h > h využili jsme tvrzeí biomické věty 2) ), pro > 1, a tedy 0 < h < x/. Jelikož lim x/ = x lim 1/ = 0, pak také lim h = 0 a tedy lim x = 1. 2) Biomická věta: Pro každé a, b R, N platí a + b) = a + 1 ) a 1 b + 2 ) a 2 b ) ab 1 + b, kde

10 Poslouposti a řady Jestliže 0 < x < 1, položme y = 1/x, tedy y > 1. Jelikož x y = x y = 1 = 1, máme x = 1/ y. Nyí, když využijeme to, co už víme o limitě z miulého tématu, dostaeme lim x = lim 1 = 1 y 1 = 1. lim 2. Vypočtěte lim ). Řešeí: Výraz v limitě rozšíříme výrazem a dostaeme lim ) = lim ) ) = lim = lim Výraz v posledí limitě rozšíříme 1/ a dostaeme lim / = lim 1 + 5/ + 6/ 2 + = = / + 1/ 2 3. Dokažte, že posloupost a, kde a = ), je kovergetí. Řešeí: Položme b = ) +1. Pokusíme se dokázat, že posloupost b) je klesající. Chceme tedy dokázat, že ) +1 = To je ale splěo, právě když ) > ) ) > + 1 ) + 1) 2 +2 > ) ). ) +2 = ) tj. tj. ) +2 > 1 + 1, jelikož + 1)2 = + 2) + 1. Pro h > 0, k > 1, k celé je 1 + h) k. Levá straa posledí erovosti je tedy větší ež k ) =!. Čteář si jistě toto tvrzeí dokáže za pomocí pricipu matematické idukce. k)!k!

11 Matematická aalýza I ) + 2) = Tím je posledí erovost dokázáa a posloupost b ) je klesající. Oa je ovšem také zdola ohraičeá ebot b > 0), existuje tedy lim b a my ji ozačíme e. 3) Nyí lim ) ) +1 = lim = lim ) +1 lim ) = e. 4. Dokažte tvrzeí Pricip vořeých itervalů): Bud I ) posloupost uzavřeých itervalů s kocovými body a, b tak, že 1. pro každé N je I +1 I, 2. lima b ) = 0. Pak {I, N} je jedoprvková možia. Řešeí: Z prví podmíky vyplývá, že posloupost a ) je eklesající. Podle věty 4.26 tedy má limitu a = lim a. Dále, posloupost a ) je shora ohraičeá každým z čísel b k k N), a tedy a b, pro každé N viz pozámku za důkazem). Navíc, jelikož posloupost a ) je eklesající, je pro každé k N, a k a proč?). Celkově: pro každé k N, a I k. Předpokládejme yí, že existuje jié číslo a, které také leží v každém z itervalů I k. Jestliže a < a, pak podle defiice limity existuje číslo 0 tak, že pro každé 0 je a > a, což ovšem zameá, že a / I, a to je spor. Jestliže a > a, pak k tomu, aby a leželo v každém z itervalů I, je uté, aby pro každé N bylo a a b a. To ovšem zameá, že a a limb a ) = 0. viz pozámku za důkazem), eboli a = a, to je spor. Tím je tvrzeí dokázáo. Pozámka: V uvedeém důkazu jsme a dvou místech využili ásledující tvrzeí, které je jedoduchým důsledkem defiice limity: Jestliže pro fukce f, g : X R R platí f g a existují-li limity lim x x0 f x) a lim x x0 gx), pak lim x x0 f x) lim x x0 gx). 5. Rozhoděte o stejoměré kovergeci poslouposti fukcí f ) a itervalech 0, a) a [a, ), kde a > 0, když f : [0, ) R, f x) = x. Řešeí: Jestliže je x > 0, pak je lim f x) = 0. Posloupost f ) tedy bodově koverguje k ulové fukci a 0, ). Pro x > a je 0 < f x) a 1 a. Je-li ε > 0, stačí za 0 zvolit celé číslo větší ež 1/aε. Pro každé 0 a pro každé x a potom platí f x) 0 = f x) < 1 a 1 0 a < ε. Na itervalu [a, ) se tedy jedá o stejoměrou kovergeci. 3) Číslo e se azývá Eulerovo číslo. Budeme se s ím často setkávat.

12 Poslouposti a řady Podívejme se, jak to vypadá a itervalu 0, a). Platí f 1/) = 1 2. Jestliže tedy zvolíme ε < 1 2, eexistuje k ěmu žádé 0 N tak, aby z podmíky x 0, a), 0 plyulo f 0 ε. At si totiž zvolíme 0 jakkoliv velké, lze vždy ajít přirozeé tak, že 0 a 1/ < a. Položíme-li x = 1/, je splěo 0 a x 0, a), ale zároveň f x) 0 = f 1/) = 1 2 > ε. Na itervalu 0, a) se tedy o stejoměrou kovergeci ejedá. Cvičeí 1. Sestrojte posloupost reálých čísel a ) tak, aby lim a = a aby byla splěa podmíka a) lima +1 a ) = ; b) lima +1 a ) = 1; c) lima +1 a ) = Uved te příklad posloupostí a ), b ), pro ěž je lim a =, lim b = a přitom: a) lima b ) = ; b) lima b ) = ; c) lima b ) = a R; d) lima b ) eexistuje. 3. Uved te příklad posloupostí a ), b ), pro ěž je lim a =, lim b = 0 a přitom: a) lima b ) = ; b) lima b ) = 0; c) lima b ) = ; d) lima b ) = a > 0, a R; e) lima b ) = a < 0, a R; f) lima b ) eexistuje. 4. Rozhoděte, zda pro každou kovergetí posloupost a ) existuje a) mi{a N}; b) max{a N}; c) if{a N}; d) sup{a N}. 5. Necht lim a =. Dokažte, že posloupost a ) je zdola ohraičeá. 6. Necht lim a = a R. Dokažte, že lim a σ ) pro každé rostoucí zobrazeí σ : N N. 7. Bud a > 0 pro každé N, echt lim a = 0. Dokažte, že z poslouposti a ) lze vybrat klesající podposloupost, ale elze vybrat eklesající podposloupost. 8. Dokažte, že ke každému a R existuje posloupost reálých čísel kovergující k a. 9. Uved te příklad poslouposti reálých čísel která a) emá v R žádou hromadou hodotu; b) má v R jediou hromadou hodotu; c) má v R jediou hromadou hodotu, ale emá limitu; d) má v R právě dvě hromadé hodoty; e) má v R právě hromadých hodot N); f) má v R ekoečě moho hromadých hodot. 10. Dokažte: Jestliže ohraičeá posloupost eí kovergetí, pak má alespoň dvě růzé hromadé hodoty. 11. Pomocí defiice limity dokažte, že a) lim = 0; b) lim 3 = 1; c) lim 1 2 = Pomocí defiice limity dokažte, že posloupost a ), kde a = 1) emá limitu. 13. Zjistěte, zda koverguje posloupost a ), když a) a = 2 + 1) ; b) a = 1 + 1). 14. Určete limitu a = lim k x v závislosti a parametrech k, x R. 15. Vypočtete lim a, kde a) a = ; b) a = ; c) a =

13 Matematická aalýza I Vypočtěte limitu poslouposti a ), kde a) a = + 1 ; b) a = ; c) a = + 2 ; d) a = + 1 ). 17. Spočtěte limitu lim Bud a R, a > 0. Spočtěte: a) lim a 1 + a ; b) lim a a a + a. 19. Dokažte, že pro každou posloupost a ) platí lim if a = lim mi{a 1, a 2,... a }. 20. Vypočtěte lim sup a, lim if a, kde: a) a = 1 + 1) ; b) a = 2 + 1) ) 2. Nalezěte všechy hromadé hodoty těchto posloupostí. 21. Dokažte, že posloupost a ) je mootoí a ohraičeá a ajděte její limitu, když: a) a = ; b) a = ; c) a = Spočtěte limitu poslouposti a ), když a) a = ; b) a = 4 16; c) a = ; d) a = ) 3; e) a = + 1) + 3) + 2) Dokažte, že uvedeé divergetí poslouposti emají vlastí limitu a ajděte k im vybraou posloupost, která má vlastí ebo evlastí limitu: a) 2) + 2 ); b) 1) ); c) 1) ). 24. Vypočtěte limitu poslouposti a ), kde: a) a = 1 1 ) ; ) b) a = Na příkladech ukažte, že všechy předpoklady Pricipu vořeých itervalů jsou uté. 26. Dokažte, že z Pricipu vořeých itervalů vyplývá axiom spojitosti. 27. Najděte obor kovergece a limitu poslouposti fukcí f ), jestliže a) f x) = 2 x x ; b) f x) = 1 + x ). 28. Rozhoděte, zda posloupost f ) koverguje stejoměrě a I, jestliže a) f x) = x2 + 1, I = R; b) f x) = 2 x2, I = 0, ); c) f x) = χx), I = R. 29. Rozhoděte o kovergeci ásledujících řad. U kovergetích se pokuste ajít součet. a) 1 ; b) ) ) 5 +2 c) 1 =2 3 ; d) =2 l ; e) ). 30. Rozhoděte o kovergeci ásledujících řad a) ; b) ; c) 1 2 ; d) + 1 g) ) 2; e) 2 1 ; f) 1! ; ) ; h) ) ; i) ) ) ; j) 2!. 31. Uved te příklad kovergetí řady a s kladými čley, pro kterou uplatí lim sup a +1 /a > 1.

14 Poslouposti a řady Existuje kovergetí řada a s kladými čley, pro kterou platí lim a > 1? 32. Najděte součet řady a, kde 1 /2, je-li sudé, a = 3 1 2)/2, je-li liché Najděte součet řady a, jestliže a) a = 1) +1)/2 2 ; 1 2/3, je-li dělitelé 3; 2) 1 b) a = + 1)/3, je-li zbytek čísla po děleí 3 rove 1; 2) 1 ++1)/3, je-li zbytek čísla po děleí 3 rove 2. 2) 34. Rozhoděte o eabsolutí kovergeci řady 1) + 1) log 2 + 1). 35. Rozhoděte o absolutí a eabsolutí kovergeci řad: a) 1) ) ; b) 1) + 3 ; c) 1) +1 log /). Výsledky 2. a) a = 2, b = ; b) a =, b = 2; c) a = + a, b = d) a = + 1), b =. 3. a) a = 2, b = 1/ b) a = 1/, b = 2 c) a = 2, b = 1/; d) a =, b = a/; e) a =, b = a/; f) a =, b = 1) /. 4. a) Nemusí apříklad 1/)); b) emusí apříklad 1/)); c) existuje; d) existuje. 9. a) a = ; b) a = 1/; c) a =, pro lichá, a = 1/, pro sudá; d) 1) ; e) a ) = 1, 2,...,, 1, 2,...,,...); f) a ) = 1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4,...). 13. a) Ao, lim a = 0; b) e. 14. pro x, k > 0, a =, pro x < 0, k > 0, a =, pro x > 0, k < 0, a = 0 a pro x, k < 0, a = a) 1 2 ; b) 0; c). 16. a) 0; b) 1; c) 0; d) a) 2; b) 1; c) a) 3; b) 15; c) 1; d) 8; e) a) Diverguje; b) koverguje ; c) koverguje 1 4 ; d) koverguje l 2 3 ; e) koverguje a) Diverguje; b) koverguje; c) koverguje; d) diverguje; e) koverguje; f) koverguje; g) diverguje; h) diverguje; i) koverguje; j) koverguje a) 3 5 ; 35. a) Diverguje; b) koverguje eabsolutě; c) koverguje eabsolutě.

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

a logaritmickou funkci a goniometrické funkce. 6.1 Násobení řad. Podívejme se neprve na násobení mnohočlenů x = x x n a y = y y n.

a logaritmickou funkci a goniometrické funkce. 6.1 Násobení řad. Podívejme se neprve na násobení mnohočlenů x = x x n a y = y y n. Matematická aalýza II předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Semestr letí 2005 6. Nekoečé řady fukcí V šesté kapitole pokračujeme ve studiu ekoečých řad. Nejprve odvozujeme základí tvrzeí o

Více

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 2. století (reg. č. CZ..07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská Techická

Více

Přednáška 7, 14. listopadu 2014

Přednáška 7, 14. listopadu 2014 Předáška 7, 4. listopadu 204 Uvedeme bez důkazu klasické zobecěí Leibizova kritéria (v ěmž b = ( ) + ). Tvrzeí (Dirichletovo a Abelovo kritérium). Nechť (a ), (b ) R, přičemž a a 2 a 3 0. Pak platí, že.

Více

Posloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b

Posloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b Najděte itu Poslouposti a číselé řady ) + Protože + = + x ) + + =, je + + + + ) + = = 0 + + Najděte itu 3 si! + Protože je si! a 3 = 0, je 3 si! = 0 Najděte itu + a + a + + a + b + b, a

Více

6. Posloupnosti a jejich limity, řady

6. Posloupnosti a jejich limity, řady Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme

Více

Mocninné řady - sbírka příkladů

Mocninné řady - sbírka příkladů UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Mocié řady - sbírka příkladů Vedoucí bakalářské práce: Mgr. Iveta Bebčáková, Ph.D.

Více

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost

Více

Kapitola 1. Nekonečné číselné řady. Definice 1.1 Nechť {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol. a n nebo a 1 + a 2 + a

Kapitola 1. Nekonečné číselné řady. Definice 1.1 Nechť {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol. a n nebo a 1 + a 2 + a Kpitol Nekoečé číselé řdy Defiice. Nechť { } je posloupost reálých čísel. Symbol ebo + 2 + 3 +... zýváme ekoečou číselou řdou. s = i= i = + 2 +... + zveme -tý částečý součet řdy {s } posloupost částečých

Více

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie 3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se

Více

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad...

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad... Obsah 1 Mocié řady 1 1.1 Defiice a vlastosti mociých řad.................... 1 1. Rozvoj fukce do mocié řady...................... 5 1.3 Aplikace mociých řad........................... 10 1 Kapitola 1

Více

Petr Šedivý Šedivá matematika

Petr Šedivý  Šedivá matematika LIMITA POSLOUPNOSTI Úvod: Kapitola, kde poprvé arazíme a ekoečo. Argumety posloupostí rostou ade všechy meze a zkoumáme, jak vypadají hodoty poslouposti. V kapitole se sezámíte se základími typy it a početími

Více

1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie

1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie 1 Uzavřeá Gaussova rovia a její topologie Podobě jako reálá čísla rozšiřujeme o dva body a, rozšiřujeme také možiu komplexích čísel. Nepřidáváme však dva body ýbrž je jede. Te budeme začit a budeme ho

Více

6.2. ČÍSELNÉ ŘADY. V této kapitole se dozvíte:

6.2. ČÍSELNÉ ŘADY. V této kapitole se dozvíte: 6.2. ČÍSELNÉ ŘADY V této kpitole se dozvíte: jk defiujeme číselou řdu; defiici kovergece řdy jejího součtu; jk vypdá ritmetická, geometrická hrmoická řd jk je to s jejich kovergecí; jk zí utá podmík kovergece

Více

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých 9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie

Více

Cvičení 1.1. Dokažte Bernoulliovu nerovnost (1 + x) n 1 + nx, n N, x 2. Platí tato nerovnost obecně pro všechna x R a n N?

Cvičení 1.1. Dokažte Bernoulliovu nerovnost (1 + x) n 1 + nx, n N, x 2. Platí tato nerovnost obecně pro všechna x R a n N? 1 Prví prosemiář Cvičeí 1.1. Dokažte Beroulliovu erovost (1 + x) 1 + x, N, x. Platí tato erovost obecě pro všecha x R a N? Řešeí: (a) Pokud předpokládáme x 1, pak lze řešit klasickou idukcí. Pro = 1 tvrzeí

Více

Zimní semestr akademického roku 2015/ listopadu 2015

Zimní semestr akademického roku 2015/ listopadu 2015 Cvičeí k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikovaé matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičeí Zimí semestr akademického roku 2015/2016 20. listopadu 2015 Předmluva

Více

Nekonečné řady. 1. Nekonečné číselné řady 1.1. Definice. = L L nekonečnou posloupnost reálných čísel. a) Označme { a }

Nekonečné řady. 1. Nekonečné číselné řady 1.1. Definice. = L L nekonečnou posloupnost reálných čísel. a) Označme { a } Nekoečé řdy. Nekoečé číselé řdy.. Defiice ) Ozčme { } { } = L L ekoečou posloupost reálých čísel.,,,,, Nekoečá číselá řd je součet tvru = + + + L+ + L. Jedotlivá čísl,,, L,, L se zývjí čley řdy, čle obvykle

Více

k(k + 1) = A k + B. s n = n 1 n + 1 = = 3. = ln 2 + ln. 2 + ln

k(k + 1) = A k + B. s n = n 1 n + 1 = = 3. = ln 2 + ln. 2 + ln Číselé řady - řešeé přílady ČÍSELNÉ ŘADY - řešeé přílady A. Součty řad Vzorové přílady:.. Přílad. Určete součet řady + = + 6 + +.... Řešeí: Rozladem -tého čleu řady a parciálí zlomy dostáváme + = + ) =

Více

Přehled často se vyskytujících limit posloupností. = ek. = 1 lim n n! = = C = α 0+

Přehled často se vyskytujících limit posloupností. = ek. = 1 lim n n! = = C = α 0+ Neurčité výrzy (lgebr s posloupostmi divergujícími k ekoeču), zvedeí pojmu číselé řdy, defiice POSLOUPNOST ČÁSTEČNÝCH SOUČTŮ, součet řdy, TVRZENÍ O NUTNÉ PODMÍNCE KONVERGENCE ŘADY, kokrétí příkldy výpočtu

Více

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1 Číselé řady Úvod U řad budeme řešit dva typy úloh: alezeí součtu a kovergeci. Nalezeí součtu (v případě, že řada koverguje) je obecě mohem těžší, elemetárě lze sečíst pouze ěkolik málo typů řad. Součet

Více

Zformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu):

Zformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu): Pricip matematické idukce PMI) se systematicky probírá v jié části středoškolské matematiky. a tomto místě je zařaze z důvodu opakováí matka moudrosti) a proto, abychom ji mohli bez uzarděí použít při

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost

8.2.1 Aritmetická posloupnost 8.. Aritmetická posloupost Předpoklady: 80, 80, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Př. : V továrě dokočí každou hodiu motáž

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost I

8.2.1 Aritmetická posloupnost I 8.2. Aritmetická posloupost I Předpoklady: 80, 802, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Čley posloupostí pak při kotrole vypíšu

Více

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují

Více

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - - DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ ÚVODNÍ POZNÁMKY I derivace podobě jako limity můžeme počítat ěkolikerým způsobem a to kokrétě pomocí: defiice vět o algebře

Více

1 Trochu o kritériích dělitelnosti

1 Trochu o kritériích dělitelnosti Meu: Úloha č.1 Dělitelost a prvočísla Mirko Rokyta, KMA MFF UK Praha Jaov, 12.10.2013 Růzé dělitelosti, třeba 11 a 7 (aeb Jak zfalšovat rodé číslo). Prvočísla: které je ejlepší, které je ejvětší a jak

Více

Diskrétní matematika

Diskrétní matematika Diskrétí matematika Biárí relace, zobrazeí, Teorie grafů, Teorie pravděpodobosti Diskrétí matematika látka z I semestru iformatiky MFF UK Zpracovali: Odřej Keddie Profat, Ja Zaatar Štětia Obsah Biárí relace2

Více

MASARYKOVA UNIVERZITA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY. Bakalářská práce BRNO 2012 PAVLA STARÁ

MASARYKOVA UNIVERZITA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY. Bakalářská práce BRNO 2012 PAVLA STARÁ MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY Bakalářská práce BRNO 202 PAVLA STARÁ MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY Rozklady celých

Více

Matematika I, část II

Matematika I, část II 1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího

Více

Aritmetická posloupnost, posloupnost rostoucí a klesající Posloupnosti

Aritmetická posloupnost, posloupnost rostoucí a klesající Posloupnosti 8 Aritmetická posloupost, posloupost rostoucí a klesající Poslouposti Posloupost je fukci s defiičím oborem celých kladých čísel - apř.,,,,,... 3 4 5 Jako fukci můžeme také posloupost zobrazit do grafu:

Více

množina všech reálných čísel

množina všech reálných čísel /6 FUNKCE Základí pojmy: Fukce sudá a lichá, Iverzí fukce Nepřímá úměrost, Mociá fukce, Epoeciálí fukce a rovice Logaritmus, logaritmická fukce a rovice Opakováí: Defiice fukce, graf fukce Defiičí obor,

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte: 1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí

Více

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI 6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI Fukce Dovedosti:. Základí pozatky o fukcích -Chápat defiici fukce,obvyklý způsob jejího zadáváí a pojmy defiičí obor hodot fukce. U fukcí zadaých předpisem umět správě operovat

Více

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika Přijímací řízeí akademický rok 0/0 c. studium Kompletí zěí testových otázek matematika Koš Zěí otázky Odpověď a) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá. Které číslo doplíte místo 8? 6 6 8 C. Které číslo

Více

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet 6 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí. 6.1. Číselé charakteristiky áhodé veličiy 6.1.1. Středí hodota Uvažujme ejprve diskrétí áhodou veličiu X s rozděleím {x }, {p

Více

SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU

SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU Matematické modelováí (KMA/MM Téma: Model pohybu mraveců Zdeěk Hazal (A8N18P, zhazal@sezam.cz 8/9 Obor: FAV-AVIN-FIS 1. ÚVOD Model byl převzat z kihy Spojité modely v biologii

Více

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE 1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE V této kapitole se dozvíte: jak je axiomaticky defiová vektor a vektorový prostor včetě defiice sčítáí vektorů a ásobeí vektorů skalárem;

Více

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem

Více

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti.

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti. 10 Cvičeí 10 Statistický soubor. Náhodý výběr a výběrové statistiky aritmetický průměr, geometrický průměr, výběrový rozptyl,...). Bodové odhady parametrů. Itervalové odhady parametrů. Jedostraé a oboustraé

Více

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V Předáška 1: Vektorové prostory Vektorový prostor Pro abstraktí defiici vektorového prostoru jsou podstaté vlastosti dvou operací, sčítáí vektorů a ásobeí vektoru (reálým číslem) Tyto dvě operace musí být

Více

OSTRAVSKÁ UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA MATEMATICKÁ ANALÝZA 1. Doc. RNDr. Jaroslav Hančl, CSc. Jan Šustek

OSTRAVSKÁ UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA MATEMATICKÁ ANALÝZA 1. Doc. RNDr. Jaroslav Hančl, CSc. Jan Šustek OSTRAVSKÁ UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA MATEMATICKÁ ANALÝZA Doc. RNDr. Jaroslav Hačl, CSc. Ja Šustek OSTRAVA 00 0. ÚVOD 0.. INFORMACE O POUŽITÝCH SYMBOLECH Průvodce studiem vstup autora do tetu, specifický

Více

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D.

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D. MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ PH.D. Obsah MNOŽINY.... ČÍSELNÉ MNOŽINY.... OPERACE S MNOŽINAMI... ALGEBRAICKÉ VÝRAZY... 6. OPERACE S JEDNOČLENY A MNOHOČLENY...

Více

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy 1. Číselé obory, dělitelost, výrazy 1. obor přirozeých čísel - vyjadřující počet prvků možiy - začíme (jsou to kladá edesetiá čísla) 2. obor celých čísel - možia celých čísel = edesetiá, ale kladá i záporá

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

Posloupnosti a řady. Obsah

Posloupnosti a řady. Obsah Poslouposti řdy Poslouposti řdy Obsh. Poslouposti... 8. Úvod do posloupostí... 8. Aritmetická geometrická posloupost... 9. Limit poslouposti... 9. Řdy... 0. Nekoečá geometrická řd... 0 Strák 7 Poslouposti

Více

f x a x DSM2 Cv 9 Vytvořující funkce Vytvořující funkcí nekonečné posloupnosti a0, a1,, a n , reálných čísel míníme formální nekonečnou řadu ( )

f x a x DSM2 Cv 9 Vytvořující funkce Vytvořující funkcí nekonečné posloupnosti a0, a1,, a n , reálných čísel míníme formální nekonečnou řadu ( ) DSM Cv 9 Vytvořující fukce Vytvořující fukcí ekoečé poslouposti a0, a,, a, reálých čísel mííme formálí ekoečou řadu =. f a i= 0 i i Příklady: f = + = + + + + + ) Platí: (biomická věta). To zameá, že fukce

Více

8.1.3 Rekurentní zadání posloupnosti I

8.1.3 Rekurentní zadání posloupnosti I 8.. Rekuretí zadáí poslouposti I Předpoklady: 80, 80 Pedagogická pozámka: Podle mých zkušeostí je pro studety pochopitelější zavádět rekuretí posloupost takto (sado kotrolovatelou ukázkou), ež dosazováím

Více

ZÁKLADNÍ TYPY DŮKAZŮ, MATEMATICKÁ INDUKCE

ZÁKLADNÍ TYPY DŮKAZŮ, MATEMATICKÁ INDUKCE Projekt ŠABLONY NA GVM Gymázium Velké Meziříčí registračí číslo projektu: CZ07/500/098 IV- Iovace a zkvalitěí výuky směřující k rozvoji matematické gramotosti žáků středích škol ZÁKLADNÍ TYPY DŮKAZŮ, MATEMATICKÁ

Více

8. Zákony velkých čísel

8. Zákony velkých čísel 8 Zákoy velkých čísel V této část budeme studovat velm často užívaá tvrzeí o součtech posloupost áhodých velč Nedříve budeme vyšetřovat tvrzeí azývaá souhrě ako slabé zákoy velkých čísel Veškeré úvahy

Více

3. Limity posloupností

3. Limity posloupností 3. Limity posloupostí V této kapitole bude slovo posloupost zameat zobrazeí možiy Nebo obecějimožiy NN):= { Z; N},kde N Z)domožiy Rvšech koečých) reálých čísel. Je-li a posloupost, měli bychomv souladu

Více

4. Topologické vlastnosti množiny reálných

4. Topologické vlastnosti množiny reálných Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 4. Topologické vlastnosti množiny reálných čísel V této kapitole definujeme přirozenou topologii na množině

Více

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr Náhodý výběr 1 Náhodý výběr Matematická statistika poskytuje metody pro popis veliči áhodého charakteru pomocí jejich pozorovaých hodot, přesěji řečeo jde o určeí důležitých vlastostí rozděleí pravděpodobosti

Více

PříkladykecvičenízMMA ZS2013/14

PříkladykecvičenízMMA ZS2013/14 PříkladykecvičeízMMA ZS203/4 (středa, M3, 9:50 :20) Pozámka( ):Pokudebudeuvedeojiakbudemevždypracovatsprostoryadtělesem T= R.Ve všech ostatích případech(tj. při T = C), bude těleso explicitě specifikováo.

Více

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení Odhad parametru p biomického rozděleí a test hypotézy o tomto parametru Test hypotézy o parametru p biomického rozděleí Motivačí úloha Předpokládejme, že v důsledku realizace jistého áhodého pokusu P dochází

Více

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice Matematika I Název studijího programu RNDr. Jaroslav Krieg 2014 České Budějovice 1 Teto učebí materiál vzikl v rámci projektu "Itegrace a podpora studetů se specifickými vzdělávacími potřebami a Vysoké

Více

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina;

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina; . Náhodá veličia Většia áhodých pokusů koaých v přírodích ebo společeských vědách má iterpretaci pomocí reálé hodoty. Při takovýchto dějích přiřazujeme tedy reálá čísla áhodým jevům. Proto je důležité

Více

= + nazýváme tečnou ke grafu funkce f

= + nazýváme tečnou ke grafu funkce f D E R I V A C E F U N KCE Deiice. (derivace Buď ukce,!. Eistuje-li limitu derivací ukce v bodě a začíme ji (. lim ( + lim Deiice. (teča a ormála Přímku o rovici y ( v bodě, přímku o rovici y ( (, kde (

Více

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Zákoy velkých čísel Vedoucí diplomové práce: prof. RNDr. Ig. Lubomír Kubáček, DrSc.,

Více

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Úloha obchodího cestujícího OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Nejprve k pojmům používaým v okružích a rozvozích úlohách: HAMILTONŮV CYKLUS je typ cesty,

Více

8.1.2 Vzorec pro n-tý člen

8.1.2 Vzorec pro n-tý člen 8 Vzorec pro -tý čle Předpolady: 80 Pedagogicá pozáma: Přílady a hledáí dalších čleů posloupostí a a objevováí vzorců pro -tý čle do začé míry odpovídají typicým příladům z IQ testů, teré studeti zají

Více

Iterační výpočty projekt č. 2

Iterační výpočty projekt č. 2 Dokumetace k projektu pro předměty IZP a IUS Iteračí výpočty projekt č. 5..007 Autor: Václav Uhlíř, xuhlir04@stud.fit.vutbr.cz Fakulta Iformačích Techologii Vysoké Učeí Techické v Brě Obsah. Úvodí defiice.....

Více

Matematická analýza III - funkční posloupnosti a. Ing. Leopold Vrána

Matematická analýza III - funkční posloupnosti a. Ing. Leopold Vrána Mtemtická lýz III - fukčí poslouposti řdy Ig. Leopold Vrá Obsh Předmluv 5 Část. Mocié řdy 7 Kpitol. Kovergece mocié řdy 9 Kpitol. Součtová fukce mocié řdy 7 Část. Fukčí poslouposti 3 Kpitol 3. Kovergece

Více

5 PŘEDNÁŠKA 5: Jednorozměrný a třírozměrný harmonický oscilátor.

5 PŘEDNÁŠKA 5: Jednorozměrný a třírozměrný harmonický oscilátor. 5 PŘEDNÁŠKA 5: Jedorozměrý a třírozměrý harmoický oscilátor. Půjde o spektrum harmoického oscilátoru emá to ic společého se spektrem atomu ebo se spektrálími čarami atomu. Liší se to právě poteciálem!

Více

f B 6. Funkce a posloupnosti 3 patří funkci dané předpisem y = 2 x + 3. [všechny] 1) Rozhodněte, která z dvojic [ ;9][, 0;3 ][, 2;7]

f B 6. Funkce a posloupnosti 3 patří funkci dané předpisem y = 2 x + 3. [všechny] 1) Rozhodněte, která z dvojic [ ;9][, 0;3 ][, 2;7] 6. Fukce a poslouposti ) Rozoděte, která z dvojic [ ;9[, 0; [, ; patří fukci daé předpisem y +. [všecy ) Auto má spotřebu 6 l beziu a 00 km. Na začátku jízdy mělo v plé ádrži 6 l beziu. a) Vyjádřete závislost

Více

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin 3. Charateristiy a parametry áhodých veliči Úolem této apitoly je zavést pomocý aparát, terým budeme dále popisovat pomocí jedoduchých prostředů áhodé veličiy. Taovýmto aparátem jsou tzv. parametry ebo

Více

ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY

ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY Michael Kubesa Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská

Více

Řady s nezápornými členy

Řady s nezápornými členy Studujeme,kde 0pro N. Prořdysezáporýmičleymohousttpouzedvěmožosti. Rebo =+. Toplyeztoho,žeposloupost {s m } jeeklesjící,tedydlev2.9- lim s m =. VĚTA 2(lierit kovergetích řd): Nechť b kovergují.pk: (i)

Více

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu.

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu. 2. URČITÝ INTEGRÁL 2. Určitý itegrál Průvodce studiem V předcházející kapitole jsme se sezámili s pojmem eurčitý itegrál, který daé fukci přiřazoval opět fukci (přesěji možiu fukcí). V této kapitole se

Více

DIM PaS Připomenutí poznatků ze střední školy. Faktoriály a kombinační čísla základní vzorce: n = k. (binomická věta) Příklady: 1.

DIM PaS Připomenutí poznatků ze střední školy. Faktoriály a kombinační čísla základní vzorce: n = k. (binomická věta) Příklady: 1. DIM PaS. Připomeutí pozatků ze středí školy Faktoriály a kombiačí čísla základí vzorce: ( )( 2 )...2.! =. 0! = =! ( k)! k! ( )...( k ). + = k! = k + + = k + k + 2 2 ( a + b) = a + a b+ a b +... + a b +...

Více

Zkoušková písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3

Zkoušková písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 Katedra matematiky Fakulty jaderé a fyzikálě ižeýrské ČVUT v Praze Příjmeí a jméo 1 2 3 4 5 BONUS CELKEM (13 bodů) Zkoušková písemá práce č. 1 z předmětu 01MAB3 14. leda 2016, 9:00 11:00 Pro kvadratickou

Více

1.2. NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN

1.2. NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN 2 NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN V této kapitole se dozvíte: axiomatickou defiici ormy vektoru; co je to ormováí vektoru a jak vypadá Euklidovská orma; axiomatickou defiici skalárího (také vitřího) součiu vektorů;

Více

Aplikovaná informatika. Podklady předmětu Aplikovaná informatika pro akademický rok 2006/2007 Radim Farana. Obsah. Algoritmus

Aplikovaná informatika. Podklady předmětu Aplikovaná informatika pro akademický rok 2006/2007 Radim Farana. Obsah. Algoritmus Podklady předmětu pro akademický rok 006007 Radim Faraa Obsah Tvorba algoritmů, vlastosti algoritmu. Popis algoritmů, vývojové diagramy, strukturogramy. Hodoceí složitosti algoritmů, vypočitatelost, časová

Více

1. Nakreslete všechny kostry následujících grafů: nemá žádnou kostru, roven. roven n,

1. Nakreslete všechny kostry následujících grafů: nemá žádnou kostru, roven. roven n, DSM2 Cv 7 Kostry grafů Defiice kostry grafu: Nechť G = V, E je souvislý graf. Kostrou grafu G azýváme každý jeho podgraf, který má stejou možiu vrcholů a je zároveň stromem. 1. Nakreslete všechy kostry

Více

VLASTNOSTI ÚLOH CELOČÍSELNÉHO PROGRAMOVÁNÍ

VLASTNOSTI ÚLOH CELOČÍSELNÉHO PROGRAMOVÁNÍ Vlastosti úloh celočíselého programováí VLASTNOSTI ÚLOH CELOČÍSELNÉHO PROGRAMOVÁNÍ PRINCIP ZESILOVÁNÍ NEROVNOSTÍ A ZÁKLADNÍ METODY. METODA VĚTVENÍ A HRANIC. TYPY ÚLOH 1. Úloha lieárího programováí: max{c

Více

1 Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné

1 Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné Spojitost a limity - 7 - Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé Spojitost a limity Defiice -okolím bodu a azýváme iterval ( a a ) Redukovaým -okolím bodu a azýváme sjedoceí itervalů a a a a Spojitost

Více

Statistika je vědní obor zabývající se zkoumáním jevů, které mají hromadný charakter.

Statistika je vědní obor zabývající se zkoumáním jevů, které mají hromadný charakter. Statistika Cíle: Chápat pomy statistický soubor, rozsah souboru, statistická edotka, statistický zak, umět sestavit tabulku rozděleí četostí, umět zázorit spoicový diagram a sloupcový diagram / kruhový

Více

1. K o m b i n a t o r i k a

1. K o m b i n a t o r i k a . K o m b i a t o r i k a V teorii pravděpodobosti a statistice budeme studovat míru výskytu -pravděpodobostvýsledků procesů, které mají áhodý charakter, t.j. při opakováí za stejých podmíek se objevují

Více

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů Odhady parametrů 1 Odhady parametrů Na statistický soubor (x 1,..., x, který dostaeme statistickým šetřeím, se můžeme dívat jako a výběrový soubor získaý realizací áhodého výběru z áhodé veličiy X. Obdobě:

Více

DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY

DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY URČENO PRO VZDĚLÁVÁNÍ V AKREDITOVANÝCH STUDIJNÍCH PROGRAMECH IVAN KŘIVÝ ČÍSLO OPERAČNÍHO PROGRAMU: CZ..07 NÁZEV OPERAČNÍHO PROGRAMU: VZDĚLÁVÁNÍ PRO KONKURENCESCHOPNOST

Více

5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC

5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC 5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC V této kaptole se dozvíte: jak je defováa fukce přrozeá odmoca v kompleím oboru a jaké má vlastost včetě odlšostí od odmocy v reálém

Více

Úloha II.S... odhadnutelná

Úloha II.S... odhadnutelná Úloha II.S... odhadutelá 10 bodů; průměr 7,17; řešilo 35 studetů a) Zkuste vlastími slovy popsat, k čemu slouží itervalový odhad středí hodoty v ormálím rozděleí a uveďte jeho fyzikálí iterpretaci (postačí

Více

5. Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu

5. Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu 5 3.3.8 8:44 Josef Herdla lieárí difereciálí rovice -tého řádu 5. Lieárí difereciálí rovice -tého řádu (rovice s ostatími oeficiety) ( ), a,, a (5.) ( ) ( ) y a y a y ay q L[ y] y a y a y a y, q je spojitá

Více

8. Analýza rozptylu.

8. Analýza rozptylu. 8. Aalýza rozptylu. Lieárí model je popis závislosti, který je využívá v řadě disciplí matematické statistiky. Uvedeme jeho popis a tvrzeí, která budeme využívat. Setkáme se s ím jedak v aalýze rozptylu,

Více

Internetová matematická olympiáda listopadu ročník -autorská řešení

Internetová matematická olympiáda listopadu ročník -autorská řešení Iteretová matematická olympiáda - 24. listopadu 2009 2. ročík -autorská řešeí. Na ekoečě velkém čtverečkovaém papíře si zvolte mřížový bod A, který bude počátkem. Nadále se od bodu A můžete pohybovat pouze

Více

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky Matematika III Řady Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská Ústav matematiky Přednášky ZS 202-203 Obsah Číselné řady. Součet nekonečné řady. Kritéria konvergence 2 Funkční řady. Bodová konvergence.

Více

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n Petra Suryková Modelováí křivek základím prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polyomiálí Q( t) a a t... a t polyomiálí křivky můžeme sado vyčíslit sado diferecovatelé lze z ich skládat křivky

Více

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení.

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení. 4. Itervalové odhady parametrů rozděleí. Jedou ze základích úloh mtematické statistiky je staoveí hodot parametrů rozděleí, ze kterého máme k dispozici áhodý výběr. Nejčastěji hledáme odhady dvou druhů:

Více

Kapitola 8. Řady funkcí

Kapitola 8. Řady funkcí 343 Kapitola 8 Řady fukcí Možá jste si právě prolistovali obsah této kapitoly a kladete si otázku, proč se máme ještě zabývat posloupostmi a řadami, když jsme jim už popřáli docela dost pozorosti v prvím

Více

Infinity series collection of solved and unsolved examples

Infinity series collection of solved and unsolved examples Nekoečé řady sbírka řešeých a eřešeých příkladů Ifiity series collectio of solved ad usolved examples Lucie Jaoušková Bakalářská práce 9 ABSTRAKT Cílem práce bylo vytvořit sbírku řešeých příkladů, která

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

2.4. INVERZNÍ MATICE

2.4. INVERZNÍ MATICE 24 INVERZNÍ MICE V této kapitole se dozvíte: defiici iverzí matice; základí vlastosti iverzí matice; dvě základí metody výpočtu iverzí matice; defiici celočíselé mociy matice Klíčová slova této kapitoly:

Více

8.1.2 Vzorec pro n-tý člen

8.1.2 Vzorec pro n-tý člen 8.. Vzorec pro -tý čle Předpolady: 80 Pedagogicá pozáma: Myslím, že jde o jedu z velmi pěých hodi. Přílady a hledáí dalších čleů posloupostí a a objevováí vzorců pro -tý čle do začé míry odpovídají typicým

Více

8.2.7 Geometrická posloupnost

8.2.7 Geometrická posloupnost 87 Geometrická posloupost Předpokldy: 80, 80, 80, 807 Pedgogická pozámk: V hodiě rozdělím třídu dvě skupiy kždá z ich dělá jede z prvích dvou příkldů Větši studetů obou skupi potřebuje pomoc u tbule Ob

Více

1 3Masarykova univerzita 6 1 P 0 0 rodov deck fakulta NEKONE 0 9N 0 7 0 9ADY

1 3Masarykova univerzita 6 1 P 0 0 rodov deck fakulta NEKONE 0 9N 0 7 0 9ADY 3Masarykova uiverzita 6 P 0 0 rodov deck fakulta Zuzaa Do 0 8l, V t zslav Nov k NEKONE 0 9N 0 7 0 9ADY Bro 2002 3c П Zuzaa Do 0 8l, V t zslav Nov k, Masarykova uiverzita, Bro, 998, 2002 ISBN 80-20-949-2

Více

1.7.4 Těžiště, rovnovážná poloha

1.7.4 Těžiště, rovnovážná poloha 74 ěžiště, rovovážá poloha Předpoklady: 00703 Př : Polož si sešit a jede prst tak, aby espadl Záleží a místě, pod kterým sešit podložíš? Proč? Musíme sešit podložit prstem přesě uprostřed, jiak spade Sešit

Více

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo

Více

Derivace součinu a podílu

Derivace součinu a podílu 5 Derivace součiu a podílu Předpoklad: Pedagogická pozámka: Následující odvozeí jsem převzal a amerického fzikálího kursu Mechaical Uiverse Možá eí dostatečě rigorózí, ale mě osobě se strašě líbí spojitost

Více

14. Testování statistických hypotéz Úvod statistické hypotézy Definice 14.1 Statistickou hypotézou parametrickou neparametrickou. nulovou testovanou

14. Testování statistických hypotéz Úvod statistické hypotézy Definice 14.1 Statistickou hypotézou parametrickou neparametrickou. nulovou testovanou 4. Testováí statistických hypotéz Úvod Při práci s daty se mohdy spokojujeme s itervalovým či bodovým odhadem parametrů populace. V mohých případech se však uchylujeme k jiému postupu, většiou jde o případy,

Více