Matematika 2. Doc. Mgr. Petr Habala, Ph.D. Přepis přednášek z LS 2005/2006. České vysoké učení technické v Praze, Fakulta elektrotechnická

Transkript

1 České vysoké učení technické v Praze, Fakulta elektrotechnická Matematika 2 Doc. Mgr. Petr Habala, Ph.D. Přepis přednášek z LS 25/26 Přepsal Radomír Černoch, cernor@fel.cvut.cz

2 Obsah Úvodní hodina...4 Skripta...4 Upozornění...4 Diferenciální rovnice...5 Obyčejné diferenciální rovnice...5 Lineární ODR řádu, separovatelné...6 Jednoznačnost diferenciálních rovnic...9 Lineární ODT (. řádu)...9 Metoda variace konstant pro... Lineární ODT (n-tého řádu)...2 Lineární ODR s konstantními koeficienty...5 Lineární nehomogenní diferenciální rovnice s konstantními parametry...6 Metoda odhadu pro speciální pravou stranu...2 Speciální verze...2 Soustavy lineárních ODR...2 Maticový přístup...2 Nehomogenní rovnice...24 Laplaceova transformace...26 Slovník...28 Gramatika...29 Inverzní Laplaceova transformace...3 Slovníček...32 Gramatika...32 Integrálně-diferenciální rovnice...32 Soustavy...34 Konvoluce...34 Řady...37 Reálné řady...37 Částečné součty...37 Konvergence...37 Geometrická řada...38 Aritmetická řada...38 Teleskopická řada...39 Konvergence řad důkladně...4 Řady s...4 Integrální test...4 Integrální odhad...4 Srovnávací test...42 Srovnávací škála...42 Alternující řady...44 Reálné řady: absolutní konvergence...45 Situace...45 Posloupnosti a řady...48 Posloupnosti...48 Řady...49 Obor konvergence...49 Mocninné řady...49 Taylorova řada...52 Matematika 2 2 / 6 verze

3 Slavné Taylorovy rozklady...53 Oblíbeným trikem je substituce...53 Mocninné řady na C...55 Fourierova řada...55 Lemma...56 Periodické prodloužení...57 Jordanovo kritérium...58 Sinová a cosinová fourierova řada...59 Matematika 2 3 / 6 verze

4 Úvodní hodina Úvodní hodina Úvodní hodina Skripta Petr Habala Konzultace středa 2:3 4:2 Tkadlec sylabus Cvika 3% absencí je povoleno Písemky 6. a 3. týden Upozornění Přepisovatel (já :-) nenese žádnou odpovědnost za informace obsažené v tomto textu. Pokud byste tedy náhodou neudělali zkoušku kvůli chybě v tomto dokumentu, tak se na mne, prosím, nezlobte. Radši na chybu upozorněte, ať se to nestane dalšímu. Je totiž celkem jisté, že text chyby a překlepy obsahuje. Pište, prosím, na r.cernoch@atlas.cz. Matematika 2 4 / 6 verze

5 Diferenciální rovnice Diferenciální rovnice Diferenciální rovnice Obyčejné diferenciální rovnice má znaménko = obsahuje proměnnou a funkci může mít i derivaci Dif. rovnice má řád (ODR) nejvyšší řád derivace, která se objeví. DEF Obyčejná diferenciální rovnice řádu n je rovnice tvaru F x, y, y ',... y n =, kde F je funkce n2 proměnných, ve které se y n vyskytuje. řád : např: y 2 3sin x x 3=sin x y=± x!= x řád : x '= x y= dx=ln x C ; x!= x DEF řád 2: 3 x ' 2 y 2 y ' ' y = - to např vůbec nevíme co s tím! x4 3y ' 2 y 2 y ' ' y x4 = F x, y, y ', y' ' Jak tedy na to? Vykašlu se na derivace a integrály F a, b, c, d = 3 c 2b 2 a b a4 Řešení rce y= y x je řešením rovnice na otevřeném intervalu I <=> f je n-krát diferenciovatelná na I a x I : F x, y x, y x,..., y n x= y x=x e x je řešení na,. Zkusím dosadit: 3 xe x 2 x e x 2x2e x x e x x4 = x3 x4 = Je dobré dosazovat do původní funkce aby nepřibylo, nebo neubylo žádní řešení. GRAF y =x e x je maximální řešení tamté rovnice na 4,, y=x e x je maximální řešení tamté rovnice na, 4 : Vím, že jediný problém je v -4 minule, když jsme dosazovali, tak nic nezlobilo. Platí: A R : y x= A x e x je řešením na obou zadaných intervalech. Z toho vyplývá, že řešení je nekonečně mnoho (viz GRAF 2). POZN Nejčastěji bývá řešení tolik, kolik je ODR Matematika 2 5 / 6 verze

6 Diferenciální rovnice Obyčejné diferenciální rovnice Najdi řešení původní rovnice splňující a) y = 5 e 2 Chci, aby y = 5 e 2, takže A e = 5 e 2 a to nejde. b) y 2= 5 e 2 A 2 e 2 = 5 e A= 5 5 y x= e 2 e x e x 4 Cauchyho úloha je jednoznačně řešitelná <=> y, y 2 řešení okolí U =U x : y = y 2. Řešení z je jednoznačné na intervalu I A vřešení úlohy na J, I J : y=v na I Lineární ODR řádu, separovatelné Budeme řešit rovnice typu y n = f x, y, y ',..., y n DEF Lineární ODR řádu lze zapsat ve tvaru y ' x=g x h x DOPSAT Z PAPÍRU VĚTA o existenci a jednoznačnosti: Uvažujme rovnici y '=g x h y : S. Nechť I, J jsou otevřené intervaly: g x je spojitá na I h y je spojitá na a na I OBR SAKRAŠ, SEM NEVÍM CO PATŘÍ... x I, y J. řešení Cauchyho úlohy (S) y x = y Toto řešení lze protáhnout až na hranici I x J a je jednoznačné VĚTA Předpokládejme, že G je primitivní fce k g na I, a H(x) je primitivní k /h y na J. Jestliže má H inverzní funkci H, pak y x=h G xc je obecné řešení (S) na I Matematika 2 6 / 6 verze

7 Diferenciální rovnice Lineární ODR řádu, separovatelné A jak vlastně řešíme? y ' x=g x h y dy =g x h y dx dy=g x h y dx dy h y = yxdx dy h y = yxdx H y=g xc y x=h G xc DK Jak na důkaz? Tkadlec má ve skriptech odvození to je dlouhé. Chytrý student vezme ten poslední řádek a dosadí ho do původní rovnice. Musíme znát větu o derivaci inverzní funkce. Pro ODR x 5 y'= 2 y a) y =3 b) y = ) Je separovatelná? řešte Cauchyho úlohy y '= x 2 5 y x 5 d y d x = 2 y yd y= 2 x 5 d x yd y= 2 x 5 d x Je separovatelná! 2) Vyřešíme 2 y2 = 2 4 x 4 C y 2 = x 4 2C y 2 = x 4 C Matematika 2 7 / 6 verze

8 Diferenciální rovnice Lineární ODR řádu, separovatelné 3) A teď rozdělíme y= x 4 C C x, () C x, (2) C x, 4 C (3) C x 4, C (4) y= x 4 C obdobně 4 možnosti 4) A Cauchyho podmínky Díky podmínce, že x a y => 4 intervaly a) y =3 b) y = 3= 3 C C=3 y x= 3 ; x, x = 4 C C= y x= ; x, x Matematika 2 8 / 6 verze

9 Diferenciální rovnice Lineární ODR řádu, separovatelné Jednoznačnost diferenciálních rovnic Cauchyho úloha y '=3 y 2, y= y x= na R y a počáteční podmínky y x=x 3 ; na R dy 2 = dx 3 y y / 3 = xc y x= xc 3, x R Dohromady tedy 2 řešení a je z toho jasné, že jednoznačnost není jednoduchá. VĚTA O jednoznačnosti a existenci řešení ODR y '= f x, y Předpokládám, že otevřené intervaly I a J: f(x) je spojitá na I J. Pak x, y :neco, neco a y x = y Máme existenci a teď jednoznačnost: Pokud navíc d f x d y je spojitá nebo omezená na I J, pak jsou ta řešení jednoznačné. A teď pro separovatelné rovnice. y '=g x h y= f x, y. g, h spojité => existuje řešení 2. h' je spojité (nebo omezené) na J => jednoznačné Tato věta nám sice zaručí, jestli řešení existuje, ale vůbec nám neřekne, jaké to řešení je. Lineární ODT (. řádu) Obecný vzorec: y 'a x y=b x A pokud je navíc homogenní, tak b x= Přidružená homogenní potom vypadá takto: y h 'a x y h = Důsledek: VĚTA O existenci a jednoznačnosti L: Pokud a x, b x spojitá na I => x I, y R řešení úlohy L y x = y a je jednoznačné na I. Matematika 2 9 / 6 verze

10 Diferenciální rovnice Lineární ODT (. řádu) TVRZENÍ Jestliže a x je spojité na intervalu I => obecné řešení y 'a x y= na I je y x=c e Ax, kde A je primitivní funkce k a x a na I. DK L je separovatelná y ' x= a x y x. Díky tomu platí platí: stacionární řešení y x= na I. jinak pro C= dostanu A stacionární. dy y = a xdx ln x = A xc y=±e C ;e Ax =C e Ax POZNMnožina řešení homogenní rovnice je {C e A x ;C R}. To tvoří vektorový prostor dimenze s bází {e A x }. POZN Definujeme zobrazení L : y y 'a x y y { f na I : f ' na I } y je řešením homogenní rovnice <=> L y= => množina všech řešení homogenní rovnice Ker(I) a to je vektorový prostor. A teď zpět k LINDR: VĚTA Nechť a, b jsou spojité funkce na intervalu I. Pak pro x I ; y R : Cauchyho úloha y 'a x y=b x, y x = y má jednoznačné řešení na I. VĚTA Obecné řešení této rovnice na I je y x=bxc e A x, kde A je primitivní fce k a x na I a B(x) je primitivní funkce b x e Ax na I. Metoda variace konstant pro y'a x y=b x. Vyřešíme přidruženou homogenní rovnici y 'a x y = a tím dostaneme obecné řešení y h x = formulka s C. 2. Variujeme konstantu: předstírej, že C=C x y x. Dosadíme y x do y 'a x y=b x, vyleze z toho rovnice pro C ' x=.... Integrací získáme C x = Obecná řešení y 'a x y=b x dostaneme dosazením C x do y x. Matematika 2 / 6 verze

11 Diferenciální rovnice Lineární ODT (. řádu) DK. y 'a x y= už z dřívějška y h x=c e A x. To h nám říká, že toto řešení je homogenní na rozdíl od finálního řešení. 2. Variace: y x=c e Ax dosadím do rovnice y 'a x y=b x a zderivuji. Vyjde C ' x e Ax C x e Ax a xa x C x e A x =b x C ' x e Ax =b x A x C ' x=b x e C x=b xc 3. Obecné řešení y x=bxc e A x ; x I Dosazování y x =C x x, pak po dosazení C ' x x =b x - TOMU NEROZUMÍM y ' y cotg x=2 x sin x, y 3 2 = Podmínky: x k => řeším na k,k Lineární, řádu => variace konstant. Homogenní řešení y h ' y h cotg x= d y d x y h cotg x= d y h cos x = y h sinx d x ln y h =ln sin x C y =e C sin x y=±e C sinx Obecné řešení homogenní rovnice y h x=c sin x, x k 2. C začneme brát jako funkci C x a řešíme y x=c x sin x a dosadím [C xsin x]' C xsin xcotg x=2x sin x C ' xsinxc xcos x C xcos x=2x sin x C ' xsin x=2x sin x 3. A vyřešíme y x=x 2 C sin x, x k A počáteční podmínka: C sin 3 2 = C= y x=x sin x ; x, 2 Matematika 2 / 6 verze

12 Diferenciální rovnice Lineární ODT (. řádu) POZN y x= BxC e Ax y x=b x e A x C e Ax konkretní řešení (partikulární) řešení přidružené homogenní rovnice VĚTA Nechť y p je nějaké partikulární řešení y 'a x y=b x. Pak množina všech řešení této rovnice je { y p y h ; y h řeší y' a x y= } DK. Jsou y p y n řešení??? Dosadím!!! [ y p y h ]'a x[ y p y h ]= y p ' y n 'a x y p a x y n = =[ y p 'a x y p ][ y n 'a x y n ]=b x=b x 2. y řešení y 'a x y =b x, chci y a množina y = y p y y p = y p y n y = y p y h y h řeší přidruženou homogenní rovnici? A dosadím: y h ' 'a x y h = =[ y h y p ]'a x y y d = =[ y 'a x] [ y p ' g x y p ]= =b x b x= POZN y y'a x y { y: L y=b }={ y p }Ker L POZN Soustava n rovnic, n neznámých A x = b, prostor řešení A x= je vektorovým prostorem dimenze n. Pokud x řeší A x= b, pak množina všech řešení je { x p x h ; A x r =}. Lineární ODT (n-tého řádu) DEF Lineární ODR řádu n je ODR je definována podle vzorce: y n a n x y n...a 2 x y ''a x y '=b x Pokud potřebujeme přidruženou homogenní => b x A Cauchyho úloha vypadá takto: y x = y y' x = y 2 y x x = y n Matematika 2 2 / 6 verze

13 Diferenciální rovnice Lineární ODT (n-tého řádu) TADY JE NĚJAKÁ VĚTA A JEJÍ DŮKAZ PROČ MUSÍ TEN BLBEJ LINUX POŘÁD PADAT? :-) TEN DŮKAZ ASI KONČÍ TAKTO =[ y n...a x y n 'a x y n ]=b x b x= VĚTA Uvažujme LinODR y n a n x y n...a x y'a x y= na spojitém intervalu I. Pak prostor řešení této rovnice na intervalu I je vektorový prostor V dimenze n, kde V ={y ; L y= ; x I }. DK Definujeme derivační operátor L : y y n...a n x y '=a x x y a ten je lineární. ) Je to vektorový prostor? a) y, y 2 V, chci y, y 2 V dosazením do L. b) y V, R y V y n...a x[ y ]'a x[ y]= =[ y n...a x y' y] = = z definice 2) Dimenze - je problém, není na to vzoreček. Dimenze je počet vektorů v bázi => najdu bázi s n vektory (funkcemi) = potřebuji najít n lineárně nezávislých funkcí, jejichž lineární kombinací dostaneme celé obecné řešení. Uděláme to pomocí věty, kterou NEMÁM NAPSANOU (!!!KVŮLI LINUXU!!!) a) zvolím n různých Cauchyho podmínek a tím zafixuji y x : k y x y ' x y 2 x... y n x n Z toho dostanu postupně řešení y, y,..., y n. Díky větě o existenci vím, že řešení existuje. Všechna se liší dost podstatně jsou lineárně nezávislá. Je to díky tomu, že v každém sloupečku má každá derivace jen jednu. A teď matematicky: LN jen tehdy, když i : i =. n i y i x= i= Matematika 2 3 / 6 verze

14 Diferenciální rovnice Lineární ODT (n-tého řádu) Dělá se to tak, že zadanou rovnici k-krát zderivuji. n t a i y x= i = a dosadím čas x. Jediná derivace, která není, je derivace k-tá. y i k = i=k y i k = i k Rovnice potřebná pro důkaz lineární nezávislosti teď vypadá: n i y i x=a k = a k = i= b) Víme, že funkce {y,..., y n } jsou LN. Generují ale prostor V? Vezmu si libovolný prvek z V a zjistím, že ho můžu generovat pomocí ypsilonů: Nechť {y V } y řeší rovnici ( L y= ) a splňuje Cauchyho podmínky y x, y' x,..., y n x R. n Definuji y= y i x y i y V, které také řeší L na I. i= Tvrdím, že y= y. A použiji větu o jednoznačnosti porovnám Cauchyho podmínky. n yx y x = y i y i x = y x i = n y ' x y ' x = i = y i x y i ' x = y ' x... y n x y n x =...= y n x Díky stejným Cauchyho podmínkám platí tvrzení nahoře. Někdo mi tedy dá homogenní rovnici a já ji chci řešit. Dostanu bázi a díky ní už mám všechna možná řešení. Tato báze je tak zásadní, že má jméno: DEF Dána rovnice L. Fundamentální systém je libovolná báze prostoru řešení přidružené homogenní rovnice. Ale jak ten fundamentální systém najít? ) Najdu n řešení. 2) Dokážu, že jsou lineárně nezávislá. Matematika 2 4 / 6 verze

15 Diferenciální rovnice Lineární ODT (n-tého řádu) DEF Wronskián je determinant definován jako: n y y... yn y ' y'... y ' n W y'' x= y ''... y '' n n n y y... y n Nechť y, y,... y n jsou řešení téže rovnice na intervalu I. Řešení jsou nezávislá W x na I x I :W x. A jak tedy najdu tu bázi? Nevím. Potřebujeme ještě hezčí rovnice. Lineární ODR s konstantními koeficienty Budou se jmenovat třeba LK: y n a n y n...a 2 y ' ' a 'a y=b x;a i R. Důležité je, že místo a i x obsahují jen a i. DEF Charakteristický polynom: p : n a n n...a 2 2 a a =b x Charakteristická čísla (řešení): p= y 4 2 y 3 y 2 2 y ' 2y= Charakteristická rovnice je =. A tu teď vyřeším. Je to školní příklad, takže si můžu být jist, že vyjde pěkně. Charakteristická čísla tedy vyjdou = 22x a=±2j. VĚTA Uvažujme lineární ODR řádu n s konstantními koeficienty. Nechť je její charakteristické číslo násobnosti k.. = R, pak funkce e x, x e x,..., x k e x patří do fundamentálního systému. 2. = j ;, pak funkce e x sin x, e x cos x, x e x sin x, x e x cos x,...,..., x k e x sin x, x k e x cos x také patří do fundamentálního systému. 3. Do fundamentálního systému nepatří nic jiného. y 4 2 y 3 y 2 2 y '2 y= a) najděte fundamentální systém b) obecné řešení c) pro tuto rovnici vyřešte Cauchyho podmínky y = ; y ' =3 ; y 2 =2 ; y 3 = 26 Matematika 2 5 / 6 verze

16 Diferenciální rovnice Lineární ODT (n-tého řádu) a) Charakteristická čísla jsou 22x ;±2j => podle předcházející věty: b) ze a): {e 2x, x e 2x, e x sin2x, e x cos2x} y x=a e 2x b x e 2x c e x sin 2xd e x cos2x ; x R c) Dosadím z Cauchyho podmínek y x=a e 2x b x e 2x c e x sin 2xd e x cos2x y' x=e 2x 2a b sin 2xe x c 2dcos2x e x 2ed y' ' x=e 2x 4a 4b4b x e x c 2d sin2x e x 3c 4acos2x e x 4c 3a y ' ' ' x=e 2x 2a2bx e x 8bsin 2xe x c2d cos2x e x 2c b a d = 2a b 2c d = 4a 4b 4c 3d =3 8a b 2c d =26 a= ;b= ;c=3 ;d = A teď stačí dosadit do obecného řešení: y x=e 2x x e 2x 3 e x sin2x ; x R Lineární nehomogenní diferenciální rovnice s konstantními parametry Už umíme y n a n y n...a y 'a y= - z minulého týdne Teď se naučíme y n a n y n...a y 'a y=b x. A využijeme platnosti věty y x= y p y n. Metodou variace konstant! (bude platit i pro a i i jako funkce a i x ) Připomenutí z minula: n=. Řešení homogenní rovnice y h x=c h x 2. Variace y x=c x h x 3. Dosazení do původní rovnice C ' x h x=b x 4. A dosadíme C x=... y p x=c x u x Matematika 2 6 / 6 verze

17 Diferenciální rovnice Lineární nehomogenní diferenciální rovnice s konstantními parametry My teď použijeme přechod na vyšší řád:. Řeším přidruženou homogenní y h x=c y x...c n y n x 2. Variace y h x=c x y x...c n x y n x 3. Rovnice C ' x y x...c ' y n x= - je tam! C ' x y ' x...c ' y n ' x= C ' x y ' ' x...c ' y n ' ' x= C ' x y n x...c ' y n n x=b x 4. A tyto rovnice vyřešíme C ' x=... ;C 2 ' x=... ;... ;C n ' x= 5. A zintegrujeme y p x=c x y x...c n x y n x A proč to tak funguje? Rovnici n- krát zderivujeme a dosadíme do původní funkce stejně jako u řádu. y= c k y k y '= c k ' y k c k y k ' Při každé další derivaci přibude jedna derivace a po dosazení by to nepomohlo Pokud: y' = c k ' y k y ' ' = c k ' y k ' c k y k ' y' c k y k ' '... y n= c k ' y k n c k y k n A pokud tyto rovnice dosadím do té původní, dostanu tu velkou soustavu a je to. Naštěstí to nemusíme umět. Najdi obecné řešení rovnice y ' ' x 2 x 2 y ' 2x 2 y= x 2 x Jako vždy neumím. Víme-li, že {2x, e x/ 2 } je fundamentální systém.. Vyřešíme přidruženou homogenní y h x=a 2xb e x /2. Matematika 2 7 / 6 verze

18 Diferenciální rovnice Lineární nehomogenní diferenciální rovnice s konstantními parametry 2. Variace konstant y x =a x 2xb x e x /2 3. Rovnice a ' x 2xb ' xe x /2 = a' x 2b ' x 2 ex /2 = x 2 x Odečtením vyřešíme a' x[4 2x]=2 x 2 x a ' x= x x /2 b' x=2 e 4. Dořeším a x= ln x b x = 4 e x/ 2 y p x= ln x 2x 4 e x /2 e x /2 y x= y p y h =2 a xb e x/ 2 2x ln x 4 ; x, x, 2 x 2, Alternativní postup: a x= ln x a b x= 4 e x /2 b y x= ln x a 2x 4 e x/ 2 b e x/ 2 5. alternativní: Cramerem D= 2x e x / e x/ =ex /2 x 2 = e x/ 2 x 2 D a' x 2 x = e /2 2 e x/ 2 x 2 = 2x D b ' x 2 2 =2x 2 x a '= Da ' D = x b '= Da' /2 =2e x D Matematika 2 8 / 6 verze

19 Diferenciální rovnice Lineární nehomogenní diferenciální rovnice s konstantními parametry Vyřeš ẍ x= ; x =2, ẋ = cost. homogenní ẍx= 2 == =± j x h t =a sin xb cost 2. Variace x t=at sin tbt cost 3. Rovnice a ' tsint b' t cost = a' t cost b ' t sin t= cost Kramerovo pravidlo domácí úkol je dobré to zkusit Finta: sin t cost 2= a' t[sin 2 t cos 2 t]= a ' t = a dosadím do # b ' t= sin x cos x a t=ta b t=ln cost b 4. Dosadím x t=t sin tln cos t costa sint b cost ;t 2 k 5. Počáteční podmínky ẋ t=sin tt cost sint ln cost sint a cost b sin t dosadím t= do x, ẋ : a= ;b=2 6. x t=t sin tln cost cost=2cost ;t 2, 2 Matematika 2 9 / 6 verze

20 Diferenciální rovnice Lineární nehomogenní diferenciální rovnice s konstantními parametry Metoda odhadu pro speciální pravou stranu TADY TO VŠECHNO CHYBÍ Speciální verze b x=p x;=, = yx =x k P x b x=p x e x ;= y x=x k P x e x b x=p xsin xq xcos x ;= yx= x k [ P x sin x Q x cos x] VĚTA Platí princip superpozice L y= y n a n x y n...a x y... y řeší L y=b x y 2 řeší L y=b 2 x y y 2 řeší L y=b xb 2 x Najděte obecné řešení rovnice =,= y ' ' 2 y ' y= 2 e x = 2, = 27 e 2x. 2 2 =, 2 = ;= 2. pravé strany =, = 2 e x =, = j= k=2 x 2 A e x 27 e 2x = 2, = = j= 2 k = x B e 2 x 3. Součet = = j= x = x C y p x= Ax 2 e x B e 2x C Matematika 2 2 / 6 verze

21 Diferenciální rovnice Soustavy lineárních ODR Soustavy lineárních ODR y '=a y a 2 y 2...a n y n b x y '=a 2 y a 22 y 2...a 2n y n b 2 x... y '=a n y a n2 y 2...a nn y n b n x Soustava homogenní b i = FAKT Soustava n rovnic, y.. y n pocvičím s tím a vyjde rovnice řádu n. Eliminací! Zpět trikem. VĚTA O existenci a jednoznačnosti fce b i spojitá na I => soustava má jednoznačné řešení Cauchyho podmínek má jednoznačné řešení Cauchyho úloh na I. DEF Cauchyho úlohy v soustavách y x = y, y 2 x = y 2,..., y n x = y n Vypočítejte soustavu [ y ' = y y2 y3 y 2 ' = y 2 y 2 y 3 ' = y 2 y 3] [ y 3 ' ' 2 y 3 '= y 3 ' 2 y 3 y 2 y 3 y 2 '= y 3 ' 2 y 2 2 y 2 y = y 3 ' 2 y 3 ] y = y ' ' 3 y '3 y y 3 ' ' ' 3 y 3 ' '3 y 3 ' = y 3 '2 y 3 ' ' 6 y 3 ' 6 y 3 2 y 3 y 3 ' ' ' 5 y ' '8 y 3 '= Char. polynom: = =, 2 4 4= =22x y 3 x=a e 2 b e 2x c x e 2x A dosadím do y 2 x =a e x b e 2x c xe 2x 4 be 2x =6 b e 2x 3 b e 2x c[ 3x e 2x 32xe 2x 4x4 e 2x ] Ještě jednou dosadím do y x = a e x c x e 2x Maticový přístup Teď se podíváme na soustavu jinak. Zavedeme matici soustavy: Matematika 2 2 / 6 verze

22 Diferenciální rovnice Soustavy lineárních ODR DEF Matice soustavy a 2... a n a A=a 2 a a 2n a n a n2... a nn Vektor neznámých y x y... x= y n x Vektor pravých stran b x=b... b n x POZN Nulový vektor =... Tedy: Řešením soustavy y ' = A y b dostaneme y. Počáteční podmínky: y x = y R VĚTA Množina řešení soustavy homogenní velikosti n je vektorovým prostorem o dimenzi n. => můžu hledat bázi n vektorů y={y x,..., y n x } => fundamentální matice y= y,..., y n POZN n y x c i y i x i = y x=y x c c R n Stejný jako minule, ale tentokrát maticově e x y e y x= a x c x e 2x =a e x a e x b e 2x c x x e 2x e x a e x b e 2x c x e 2x b e 2x 2x e y 2 Y x =y x = e x xe 2x e x e 2x x x e 2x e x e 2x x e 2x e c x 2x x e 2x x e 2x y 3 Matematika 2 22 / 6 verze

23 Diferenciální rovnice Soustavy lineárních ODR a máme matici soustavy. y 3 =e x dosadím do a y 2 =e x, y = e x e y = 2 x e x e x 2. zbylé vektory obdobně Existuje však ještě jeden postup: DEF A matice n n (reálná) je vlastní číslo <=> det A E = (det bude stupně n) Vlastní vektor v, A E v= VĚTA Homogenní soustava => matice A => vlastní čísla => vlastní vektor v, pak y x=v e x řeší soustavu Pokud mám, 2 ; 2, pak y, y 2 jsou LN. Návrat k příkladu, tento: [ y' = y y2 y 3 y 2 ' = y 2 y 2 A= 2 2 y 3 ' = y 2 y 3] A E =[ 2 2 ]= = A začneme = v v 3= 2 v ~ = ; =2 2x Matematika 2 23 / 6 verze

24 Diferenciální rovnice Soustavy lineárních ODR A zvolím si v 3 = v 2 =, v = v= y = e x A ještě =2 ~ Zvolím v 3 = v 2 = a, zvolím si i v =. Co teď s vícenásobným vlastním číslem? Je to problém. Ale existuje na to procedura:. je vícenásobná: A E V = y = v e x A E v 2 = v y 2 = v x v 2 e x A E v 3 = v 2 y 3 = 2 v x 2 v 2 x v 3 e x A E v 4 = v 3 y 4 = 6 v x 3 2 v 2 x2 v 3 x v 4 e x 2. Co když je C? => najdu v e x => řešení je Rv e x, Iv e x A je náš případ, pokračujeme v našem příkladě: ~ Dosadíme a řešení pak vyjde: =[ y 3 ]e 2x x Nehomogenní rovnice Můžu použít eliminaci Použiji variaci přímo na soustavu.. Vyřeším homogenní soustavu y x=a u xbv 2 x c w 3 x y n x=a u n x b v n xc w n x... Matematika 2 24 / 6 verze

25 Diferenciální rovnice Soustavy lineárních ODR 2. Variace a ' xu xb ' xv x...=b x... a' xu n xb ' xv n x...=b n x Vektorová variace. Najdu vlastní čísla a fundamentální matici => obecné řešení přidružené rovnice y x=y x c 2. Variace Y x c ' x= b x c '=Y xb x c x= Y x b xdx y P x=y x c x [ y '=2 y y 2 3 y 2 ' = y 2 y 2 3 x 4] y=6, y 2 x = Eliminací: y 2 = y ' 2 y 3 y ' ' 4 y ' 3 y = 3 x2 spec j = y x =2 xa e x b e 3x do y 2 x= 2x a e x b e 3x y x= 2x 2 x a ex e x b e3x e 3x Z poč. podm: a=, b=2 Vektorovou metodou 2 2 = A, 3 e x, e3x Řádková a ' xe x b ' xe 3x = 3 a ' xe x b ' xe 3x =3x 4 Vektorová ex e x e 3x C ' e C 2 ' x = 3 2x 4 Matematika 2 25 / 6 verze

26 Laplaceova transformace Laplaceova transformace Laplaceova transformace DEF Zapisujeme: f x: ; R Definuji Laplaceovu transformaci jako L { f t}: p L : f t L { f t} f t= L { f t }, L { f t } p=f p L : f t F p, f t= F p f te pt dt f t=e at, t L { f t} p= =[ ea p a p ] a) a p : b) a p : e at e pt dt= e t a p dt= =lim t a p a p et a p = Tedy L { f t} p= p a, p nebo f t a p a, pa POZN k příkladu: Je dobré si uvědomit: f t=e at, t f t= t = umrtvování. Umrtvování je naprosto samozřejmé, dokonce tak, že se ani nepíše. Tedy: e at = pa p a DEF Heavisidova funkce: H t = ; t H t = ; t FAKT g t :R R g t H t =gt ; t g t H t = ; t Tedy píšu L {e at }, ale myslím tím L {e at H t }. Matematika 2 26 / 6 verze

27 Laplaceova transformace Laplaceova transformace DEF L {e t 2 }: p e t 2 e pt d t= p 2 = e t p/ 22 p 2 / 4 d t=e 4 t p /22 e d t p 2 e 4 dt= Závěr - tuhle funkci nezlaplacíme. Co tedy jde zlaplacit? Třeba integrál musí jít spočítat. f je po částech spojitá na intervalu I x x 2 x 3... I, aby {x k } je konečná a x k. f je spojitá na x i, x i, f x, f x a I U =x i, x i. Funkce je pak po částech spojitá je i integrovatelná (po částech). DEF f :, R je nejvýše exponenciálního růstu M, a R : f t M e a t. DEF L = f :, R ; f je po částech spojitá na, a f je nejvýše exp. růstu. L obsahuje po částech spojité funkce, které jsou omezené exponenciály polynomy (viz škála mocnin) VĚTA Jestliže f L f M e a t, pak L { f } p pro pa, navíc lim L { f } p= p DK na dvojku u ústního kouknu se na f t e p t f L K => je po částech spojitá e => a co když K Dokonce odhadnu: f t e pt M e at e p t A tím pádem existuje i Laplacka. Taky L { f p} = M p a f te p t d t f t e p t d t k M e t a p = p a ; pa, tedy konverguje! Matematika 2 27 / 6 verze

28 Laplaceova transformace Slovník Slovník e a t p a ; t n n! n n ; pa pa sin t cost p 2 2, p p 2 2, p p VĚTA. věta gramatická: LT je lineární f, g L,, R f g L a L { f g }= L { f } L {g f } DK DK Věty o linearitě (2) f, g je po částech spojitá, pak f g je také po částech spojitá f <= M e a t g <= N e b t f g f g M e at N e a t max M, N e at e bt max M, N 2 e maxa,b t = = M e a t = Slovníku L { f g }= f g e p t d t= f t e p t d t f t e p t d t= L { f } p L {g } p L {sin t}=l { 2 j e j t 2 j e j t }= = 2 L {e j t } L {e j t }= = 2 p j p j = p 2 2 cost dokážu stejně Matematika 2 28 / 6 verze

29 Laplaceova transformace Slovník t n matematickou indukcí n= : L {}=L {H t }= e p t dt=...= p =! p n n : L {t n }L {H t t n }= t n e p t d t= = per partes =[ t n pt e = lim t t n = n p p ] e pt p n p n n p L {t n }=indukcí n p n! p t n e p t p d t= OK t n e pt d t= n! n= p n Gramatika VĚTA Gramatika 2 DK f L (i) a : L { f a t }= a L { f } p a - změna měřítka (ii) a R : L {e a t f t }=L { f } p a - posun v obraze (iii) a : L { f t a H t a }=e ap L { f } - posun ve vzoru (iv) n N: L {t n f t }= n d n (v) lim f t t t konverguje L { f t t 2 3 jsou v pohodě, 4 a 5 jsou hustý. Posun sin t=sin t H t A co když posunu proměnnou sin t 2 H t 2 d p n [ L { f }] }= p L { f }qdq Funkce se šoupne o 2 - jasný A co: sin t H t = viz obr. 2 Takže Heaviside se posouvá kvůli tomu, abysme funkce dokázali zabíjet i jinde, než na. Matematika 2 29 / 6 verze

30 Laplaceova transformace Gramatika DEF Konečný signál fce, která není, jen na a, b FAKT H t a H t b = ; t a, b f = ; jinde Zapisujeme také X a, b Funkce, která má jen. kopeček ze sinusovky Můžu použít Heavisida: L { f }= L {sin t [ H t H t ]}= = p 2 e p L {sin t}= = p 2 e p L {sin t}= p 2 e p p 2 L {t e 3t }= tuto funkci chci zmermomocnit tak, aby byla ze slovníku VĚTA n L L { n }= DK Indukcí n= : n=n L { f N t}= =lim t L { f t }= p L { f } f n t e p t = per partes = =[ f n t e p t ] f n t pe p t d t= tn t e p t f n p f n e pt d t= = f n p [ p n L { f } p n f... f n ] = p n L { f } p n f... p f n f n DK 2 L { f }= L {[ a t f sds] ' } = p L { t f sds} Matematika 2 3 / 6 verze

31 Laplaceova transformace Gramatika DK z minula: Bývá u zkoušek! nebo = y=t t= ya L { f t a H t a}= = dt=dy L {e a t f t }= f y H ye p ya d y=e p a e a t f t e p t dt= f t a H t ae pt d t=...= a f ye p y dy=e p a L { f } f t e p a t dt=l {} p a VĚTA f je T-periodická L { f } L { f T } e p t, kde f T je perioda = f t,, T, nebo, jindy = f t X,T DK Je to krásný důkaz ke zkoušce = k = T e pk T L { f }= = y=t k T f t e p t dt= k = k T T k T dy=dt = f yk T k= T f y f t e p t dt= e p ykt dy= f ye p y dy=l { f T } e pt K =L { f T } k = e p T Inverzní Laplaceova transformace Je tu problém, protože Laplacka není prostá transformace. Ale Laplacka je tak úžasná, že se na tento problém radši vykašleme. T : X Y VĚTA f, g L, L { f }= L {g} f =g, až na spočetnou množinu izolovaných bodů. Navíc f, g zprava spojité f =g. L { f }= F Hledáme tedy f L spojitou zprava, značíme f =L {F }. Matematika 2 3 / 6 verze

32 Laplaceova transformace Inverzní Laplaceova transformace Slovníček L { p a }=ea t L { p n }= n! t n sin... podobně cos... taky Gramatika () L je lineární () L {e a p F p}=l {F p} t a H t a (2) L {F p a}=e at L {F p} (3) L F p= t L {F p } (4) L {p F p }=... L { p 2 2 p5} = { L { p 2 4 } =e t = 2 2 e t L p 2 4 } = 2 e t sin 2t L { p 2 4 } = p e L { p 2 } =L { p p 2 t H t =cost H t = costh t } VĚTA F je ryzí racionální lomená funkce => má vzor v L, najdu ho skrz parciální zlomky. Integrálně-diferenciální rovnice Jsou to rovnice s y, y ', y ' ', a možná také y dt. Jak na ně? Cimrmanovským krokem stranou = zlaplacím obě strany a dostanu rovnice s L {y}, p L {y}, p 2 L {y}. K tomu potřebuji také y t, y' t,.... Ale ejhle! To jsou Cauchyho podmínky. Takže po zlaplacení je z integrodiferenciální rovnice rovnice algebraická! Na konci tedy dostanu Y =L {y}. Pak inverzní Laplackou dostanu y=l {Y }. Matematika 2 32 / 6 verze

33 Laplaceova transformace Integrálně-diferenciální rovnice ẍ x=2 X,, x =, ẋ = Zkusíme LT, L {x}= X p 2 X p x ẋ X = L {2[ H t H t i ]} p 2 X X = 2 p e p 2 p X p 2 = 2 p e p 2 p 2 X = p p 2 2 p p 2 e p tedy x t L 2 { p p 2 2 p p 2 e p }= L 2 2 { p p 2 }L { p p 2 } H t = t = 2 p p p = 2 p p p L {}= 2e t e t = =e t e t 2 e t e t 2 H t = =e t e t 2, t t =e t e e t e, t POZN Po úpravě se dá dostat ke tvaru x t= =2cosh t 2, t t =e t e e t e,t POZN Skorozkouška - není to úplná zkouška, ale většinou nám bude stačit. Skutečná zkouška by znamenala, že výsledek dosadím do původní rovnice, ale to je moc moc škaredý. Mrkneme se, jestli se obě větve napojí vrazíme do prvního i druhého vzorce a testneme, jestli se budou rovnat. Dosazení : e e 2 e e e e =e e 2 Matematika 2 33 / 6 verze

34 Laplaceova transformace Integrálně-diferenciální rovnice POZN U zkoušky se občas stává, že se student nechá vyvést z míry a rozhodí skokovou změnu na dvě rovnice už na začátku. To je ale blbě. Není to blbě úplně, ale radši řešit normálně POZN Jak najdeme obecné řešení? Fintou! Parametry a, b, R a řeším rovnici y =a, y ' =b,... => řešíme obecné řešení. L {y ' }= py a L {y ' ' }= p 2 Y ap b... t y '4 y 3 y sds= L { y}=y py 24Y 3 p Y = / p Y p 2 4p3=2 2 p Y = p3 p = p 3 p3 y=l {Y }= e t 3 e 3t, t Soustavy Zlaplacím: ẏ = y 2 y 2 2e t ẏ 2 = y y 2 a y =, y 2 = [ py = Y 2 Y 2 2 ] p py 2 =Y Y [ 2 2 py 2 Y 2 ] = p Y p Y 2 = Y =...,Y 2 =... y = L {Y }, y 2 = L {Y 2 }, y t =sin tcost, y 2 t =e t cost, r R Konvoluce DEF f, g R R Konvoluce je f g :t f u g t ud u= f t ug ud u Matematika 2 34 / 6 verze

35 Laplaceova transformace Konvoluce Platí všechno jako u násobení (pro důkaz stačí řádek z definice): f g =g f f g h= f g h a f g =a f g f g h= f hg h Při Laplacení platí: f g t = f, g L : f u g t ud t VĚTA f, g L : L { f g }=L { f } L {g } Máme tedy 2 prostory funkcí - L a nějaký druhý. Laplacka přenáší funkce z jednoho do druhého. Je zajímavé, že když v prostoru L konvoluji, tak ve druhém je stačí prachsprostě vynásobit. Pro spočítání konvoluce tedy stačí funkce zlaplacit, vynásobit a odlaplacit. DK Je krásný, elegantní, ale potřebuje dvojné integrály. Jestli zbude čas... t y ' cosh t u yu d u= ; x =2 POZN k : Zpět k př: y 'cosh t y= L {y}=y p Y 2 p Y = p 2 L {cosht }= 2 L {et }L {e t }= 2 p p a L {sinht }= p 2 p 3 Y =2 p 2 Y = 2 p 2 2, y t =2 t t 3 p DK Těch zbývajících L {t f t }= [ F p]' L { t f t}= p F p= L { f } F qd q a b Matematika 2 35 / 6 verze

36 Laplaceova transformace Konvoluce a) [ F p ]'= d = b) L { f }= ) =F t d p [ f t e p t ] f t e p t tdt= t 2) = L {t t L { t d = f t }= d d t [ L { t d t [ L { t f t} ] p f t}= a lim p L { t d d p [ f te p t ]= f t e p t d t=l {t f t} = F p p f t }] F qdq= F qdqc f t }=lim p =lim p L { p t f t }= p p F q d qc C= F q d q F q d q F q d qc F q d q= F qdq p Matematika 2 36 / 6 verze

37 Řady Řady Řady Reálné řady DEF řada je je to symbol pro a n a n a k, kde a k R a n Z k=n Částečné součty DEF Pro danou řadu definuji částečné součty. N S N = a k =a n a...a, pro N n n N k=n Konvergence Řekneme, že řada konverguje (k A), jestliže {S N } konvergují k A. Značíme: a k = A k=n Jinak řada diverguje. a k = S N k=n a k = S N k=n něco úplně jiného :-) k= 2 = k S = 2 S 2 = 2 4 = S N = 2 n DK Matematickou indukcí lim S N = N Matematika 2 37 / 6 verze

38 Řady Konvergence tedy: k= 2 = k k= =... S =, S 2 =2, S 3 =3,... S N =N N k= k= = k =... S =, S 2 =, S 3 =,... S N = N sudé N liché N k= k diverguje Geometrická řada DEF Geometrická řada a q n k=n FAKT qn S N = q q k = k= = q, =, q pron = q =divergence, q Aritmetická řada DEF Aritmetická řada k= aq k FAKT S N = N aq N N 2 konverguje a=q= Matematika 2 38 / 6 verze

39 Řady Aritmetická řada n k=2...n= nn k= 2 n k 2 = nn2n 6 k = 5 3 k k=2 2 = k = 5 2k k =2 2 4 k 6 k=2 = 3 4 = k 4 = k= 3/ 4 = = k 4 = Jak posunu index n u geometrické řady: k =n q k =q n q n q n 2...= =q n qq 2 q 3...=q n k= = n=k 2 k=2 3 k 4 k=n2 = n = q k 3 n2 4 = n= 3 n 4 Teleskopická řada Teleskopická řada k k = k k k= S N = k=2 k= k k = S N = N N = n 2 n n n VĚTA a k b k = a k b k c a k =c a k Matematika 2 39 / 6 verze

40 Řady Konvergence řad důkladně Konvergence řad důkladně VĚTA k=n k=n a k, n n k =n n a k = a k k =n k =n a k a k konverguje k=n a k Řešíme otázku: a k konverguje??? VĚTA a k konverguje a k, tedy a k nejdou k a k diverguje DK řada konverguje N a k S k=n a N =S N S N lim a N = lim S N lim S N =S S = N N N Řady s a k => a k =konverguje=s = a k S N S N {S N } je není omezená shora je omezená shora S N S Integrální test VĚTA Integrální test: f je nerosoucí na n, Navíc platí n k o f tdt k=n k f k n f tdt f k f n k=n f t d t Matematika 2 4 / 6 verze

41 Řady Konvergence řad důkladně DK Myšlenka: a k = a k obdélník Tento obdélník má obsah jako horní součet Riemanova integrálu. A teď jak to zapíšeme matematicky: N t N = n f t d t f je neklesající, tedy t n a k konverguje f konverguje a k diverguje f diverguje [ N, N ] n [ f t d t konverguje lim x x n N Ale: n f tdt= n k k f t d t t N 2 f t dt ] konverguje {t N }konverguje N k f tdt n k N f k d t= n f k =S N Shrnutí t N S N omezené shora {t N }omezené shora a roste konverguje n f t d t n f t Dotaz: k ln 2 k konverguje? f x= x ln 2 x, Použiji integrální test: pro x 3 k ln 2 k ~ x ln 2 x d x = = lnx = y = d y y 2 k ln 2 k konv konverguje Integrální odhad Ale vůbec nevíme, kolik řada vyjde. Např: k=3 k ln 2 k 3 d x x ln 2 x, 3 ln 2 3 d x =,9 ;,9 3 x ln 2 x Matematika 2 4 / 6 verze

42 Řady Konvergence řad důkladně Srovnávací test VĚTA (Srovnávací test) a k, b k a k b k pro všechna k. a k = b k = 2. b k konv a k konv VĚTA Limitní srovnávací test a k, b k, a k ~b k v a k ~ b k a k b k a k konv b k konv tzn.: lim k Srovnávací škála k p konv p div p k= k =, k 2 konv k 2 =2 6 k 2 konverguje, protože integrální test na jeden řádek srovnávací test k 2 k 2 k 2 a to konverguje. To si pamatuji. k 2 Je dobré se k tomuto příkladu vrátit dnes ještě stihneme 4 další testy a všechny u ní sklamou. 2 k 2 jde to k? Jde => nic nevím umíme integrovat? Ano parciální zlomky s 2 to se nám nechce nic dalšího nepomůže Srovnávací test 2 k 2 2k 2 2 k 2 2k 2 Mám tedy řadu která konverguje a o té druhé tedy nevím nic Matematika 2 42 / 6 verze

43 Řady Konvergence řad důkladně Limitní srovnávací test už zabere: LST => řada konverguje pro k ~ : =lim k lim k a k b k VĚTA VELIKÁ A DŮLEŽITÁ: pro a k. Odmocninový test q k : k a k q a k konv k : k a k a k div 2. Limitní odmocninový test k a k =lim k a k konv a k div = nic nevím 2 k 2 ~ 2k 2 2 k 2 2 k 2 2 k 2 ~ 2k 2 = konv k k ln k k kc e e = 3. Podílový test q k : a k a a a k konv k k : a k a a a k div k 4. Limitní podílový test =lim k a k a k : a k : a k konv div Matematika 2 43 / 6 verze

44 Řady Konvergence řad důkladně 2! 2 k Limitním podílovým testem: =lim k k! 2k 2 k k! =lim k k 2 = = k! 2 k div. 2 ln k k Limitní odmocninový test 2 =lim k k ln k k =lim = konv k k 2 ln k k k a k = k k k e div Alternující řady VĚTA Leibnizův test k b k, b k Nechť b k k b k konv b k k b k k k je Leibniz b k = k je klesající, větší než, jdou k Tedy konverguje konv k ln = harmonická řada 5 Matematika 2 44 / 6 verze

45 Řady Konvergence řad důkladně Reálné řady: absolutní konvergence DEF a k konverguje absolutně a k konv Řada konverguje neabsolutně (podmínečně) <=> konverguje, ale ne absolutně VĚTA a k konv a k konv Absolutní konvergence je tedy silnější, než konvergence. DK fintou jak jinak... a R= a maxa, a max a, a =a a a ± a a k konv a, a a a díky srovnávacímu kritériu a, a a a konv konv Zpátky to neplatí viz k k - ta konverguje neabsolutně Situace konvergence konvergence NEJDE divergence a k konverguje konverguje diverguje diverguje a k konverguje diverguje konverguje diverguje VĚTA a k konverguje absolutně => a 2k, a 2k konverguje. Bacha! Neplatí to pro neabsolutní konvergenci konverguje, ale ne absolutně 6 ale každý druhý člen: = DEF Přerovnání řady znamená pomíchání členů a k = a n, kde je permutace. Matematika 2 45 / 6 verze

46 Řady Konvergence řad důkladně VĚTA. a k konverguje absolutně, pak konvergují všechna přerovnání a součet je a k. 2. Zajímavější: Jestliže řada konverguje neabsolutně => c R {±} přerovnání řady se součtem c. VĚTA a k konverguje absolutně znaménka něco něco k a k konverguje k k 2 konverguje? je klesající, jde k nule, větší než nula => Leibniz => konverguje Absolutně konverguje? k k 2 = konverguje (p-test) 2 k sin n 2 n - absolutní konvergence je záchranou Konverguje absolutně? sin n 2 n 2 n Použijeme srovnávací test a ta řada napravo konverguje ( q=,5 ). DK. =lim n a k a chceme a a k konverguje k Zvolíme q. Dle limity n nn a k a k q. Co vím: a n a n q a n a n q a a n 2 a n q a n 2 a n q a n q k Matematickou indukcí pak lehce dokážu a n k a n q k pro n n platí A a n a n q n n =an q a nq n q n n konverguje Matematika 2 46 / 6 verze

47 Řady Konvergence řad důkladně 2. =lim k a k a k diverguje Zvolím q: q, n n n : k a k q a k q k a k q k = q Matematika 2 47 / 6 verze

48 Posloupnosti a řady Posloupnosti a řady Posloupnosti a řady Posloupnosti { f k } k =n x D f k { f k x} a to je reálná posloupnost. Pak se můžu ptát na konvergenci, Tedy vezmu si M ={x D f k { f k x }konv } DEF f x=lim f k x je tzv. bodová limita. k f k x=arctank x, k lim arctan k x = k /2 x x= /2 x Takže výsledná funkce je pěkný hnus. Problém je v aproximaci. Zvolím si a jde mi o to, aby se výsledná funkce nelišila od nějakého arkustangensu nelišila o víc, než o. Problém je v ať si arkustangens zvolím jakýkoli, u nuly se bude lišit o moc. DEF Řeknu, že f k f na množině M (konvergují stejnoměrně) N n N : x M : f x f n x VĚTA f k f na M f k je spojitá na M => f spojitá na M podobně derivace, integrál, dokonce f '=lim f k ' Matematika 2 48 / 6 verze

49 Posloupnosti a řady Řady Řady k=n f k = f n f n f n2 f n3... Obor konvergence DEF obor konvergence {x D f k ; f k x konv} f x= k=n f k x,značím k=n f k = f obor absolutní konvergence {x D f k ; f k x konv abs} kde f je součet řady řeknu n=n f k N f { k=n f k } f na M VĚTA f k = f, g k =g f k g k = f g, f k = f VĚTA Proč je stejnoměrná lepší f f na M k. f k spoj na M f je spoj na M 2. f k ' na M f ' = f k ' na M x 3. f k na M x x f t d t= x f k t d t x k =, x, k= x ale není stejnoměrná pro x - a se k výsledku přibližuje velmi pomalu. Pokavaď ale dáme x,9 ;,9 tak už stejnoměrná je. Mocninné řady DEF Mocninná řada se středem v x a k x x k, a k R k= Matematika 2 49 / 6 verze

50 Posloupnosti a řady Řady VĚTA podstatná mocninné řady r, takové, že x U r x : a k x x k konv abs x U r x : a k x x k div x x r x x r POZN Vždy máme abs. konv. v x=x POZN r je poloměr konvergence r= lim sup k Pozn: lim sup na rozdíl od lim existuje vždycky r=lim k a k a k k a k pokud konverguje 2 xk k 3 k 2 xk k 3 = 2k k k 3 k x k A je to tedy mocninná řada se středem v. Kdy konverguje absolutně? Použijeme odmocninové kriterium: k =lim k 2 k x k 2k k 3 k =lim k 3 k x k k = 2k k 3 k x k 2 k /k 3 x = 2 3 x konv 2 3 x x 3 2 r= 3 2 x= 3 2 : = div k x= 3 2 : k k konv obor konvergence: 3 2 x 3 2 obor abs konvergence: 3 2 x 3 2 Matematika 2 5 / 6 verze

51 Posloupnosti a řady Řady 2x 4k k podílové krtérium!= 2k k! x 2k střed je tedy ve 2 2x 4k k! =lim k konvergence x R k! = 2x 4k k! 2x 4 =lim k r=, obor konvergence = obor abs. konv. = R k! 2x 4 k = Mocninné řady připomeňme: tvar: a k x x k Jednu speciální mocninnou řadu umíme sečíst geometrickou. A každá řada má poloměr konvergence. VĚTA Jestliže má řada poloměr konvergence r, pak pro libovolné,r : a k x x k n U x a DŮSLEDEK Mocninná řada (se součtem f x ) konvergující na U r x, pak x x -ρ ρ. f je spojitá na U r x 2. f ' x= a k k x x k na U r x k = první člen mi nevadí, protože derivace ho stejně zabije. 3. prim. fce F x= a k k x x k na U r x k = A půjde to naopak? Vyjádřit libovolnou funkci pomocí mocninné řady? Matematika 2 5 / 6 verze

52 Posloupnosti a řady Řady Taylorova řada DEF Nechť funkce f má všechny derivace v bodě x. Definujeme její Taylorovu řadu jako následující řadu: k= f k x x x k! k VĚTA Jestliže f x se rozloží jako mocninná řada na U r x, pak je to řada Taylorova. DK na dvojku: Zvolím si n a pak podle DŮSLEDKU f n x= a k k k k 2... k n x x k n k=n šup tam x : f x =a n n n... =a n n! a n = f n x n! f x=e x, x = řada =? e x k k= k! Rozdíl: x k = k = k! x k = k= x k k! R n x=e k x k k= k! = Lagrange = = f n c n! xn, kdec x Zkusím tento rozdíl poslat do nekonečna. x R n x = [e x n ] n! max ec 2. x R n x e x = x k k = k!, x R c, x x n max c x, n! x n = n! x n ec n! x n = n! x n Matematika 2 52 / 6 verze

53 Posloupnosti a řady Řady Slavné Taylorovy rozklady x = x k, x, k= e x = k= =x x 2 x 3 x 4... x k 2 x, x R =x k! 2! x3 3! x4 4!... sin x= k k= 2k! x2k, x R = x x3 3! x5 5! x7 7!... cos x= k k = 2k! x 2k, x R = x 2 2! x4 4! x6 6!... Logaritmus problém má v : Můžu udělat střed v, nebo logaritmus posunout: ln x= x d x= x k d x= Co s Cčkem? Dosadíme : x= : ln= C C= ln x= x k k = k = k k= x k d x= x k k C k= x k k, x Oblíbeným trikem je substituce lnx=ln x = ln x=lnx = k= k = k xk, x k k x k, x 2 k f x= x3e 4x, x = - roztrhnutím na 2 věci f x=x e 4x 3 e 4x = y=4x e y = k k = k k = k=! y k =x k= k 4 k 4x k k! k! x k k = 3 4 k k! 3 k= 4x k k! x k =3 k = =3 k24 k x k, x R k= k! = k = 4 k x k k! 4 [ k k! 3 4k k! ] xk 3 4 k x k = k= k! = Matematika 2 53 / 6 verze

54 Posloupnosti a řady Řady f x= 3x 2, v = 2= y = 3x 2 f = y 3x 2 3x x 2 /3 x 3 x 3 = 2 k = k = k 3 k x 2k, x 3 f x= x sin x, x = Střed je v -, takže budu chtít výrazy x k f x=[ x 2 ]sin x =[ x 2 ]sinx = = [ x 2 ] sinx=2 sin x xsin x= k = y=x y R x R =2 k= = k = f x= 2x 5 2, x = k 2 2k 2k! 2k! x2k x k= x 2k k= f x=[ 2 ' = 2x5 ] ' = 2 [ 2x 5 ] 2[ = y= 2 3 x y x 3 2 = [ 6 k= = 2 k k k = 3 k = k x k k k k = k= ' = 2 x 3 ] [ 2 3 k 2k! k2k = k 2k x 2k 2, x R 2k! 2 k]' 3 x =[ k = 2 3 x ' = k x k] 2 k 3 2 k k 3 k2 x k, x 3 2 ]'= [ 6 2 x ]= 3 VĚTA f má všechny derivace na U R x a M k : f k M na U r x T-řada f na U r x Matematika 2 54 / 6 verze

55 Posloupnosti a řady Řady Mocninné řady na C VĚTA f = a k x x k, g= b k x x k f g = f g= k k = i= a k b k x x k a i b k i x x k C : U r z ={z C z z r} Všechno funguje, až do momentu, kdy potřebuju porovnávat. To pak nende. A k nekonečnu: =, = - SUPER!!! ALE!!! : lim e z neexistuje z sin a cos nejsou omezené!!! z n Z R Z n R Z I Z n IZ tady začíná nekonečno Fourierova řada DEF a 2 [ a k cosk t b k sink t] i= = obecně trigonometrická řada, tato se navíc jmenuje Fourierova řada. A chceme f =F-řada, f :R R Matematika 2 55 / 6 verze

56 Posloupnosti a řady Fourierova řada FAKTÍK T = 2 sin k t,cosk t=t - periodická => F-řada je T-periodická např sin k tt =sink t2 k =sink t DŮSLEDEK f =F-řada f... T-periodická Teď uděláme důkaz, že Fourierův rozklad je jednoznačný asi bude dost dlouhý Lemma T. sin 2 k t d t= T T 2, cos 2 k t= T 2 T 2. sin k t sin l t d t=, k l T sin k tcosl tdt=, k, l N T cosk t cosl t d t=, k l BONUS pro zvídavější To, co tady je je vlastně skalární součin. T f g= f g dt V ={ f :, T R,integrovatelné} tím pádem f g f g= A můžeme provádět i průměty - f =a ub v Tím pádem vzorečky v lemmě nám říkají, že tyto goniometrické funkce jsou vlastně lineárně nezávislé. Funkce sin a cos pak tvoří bází, nekonečnou. VĚTA a f :T-periodická, ě ; Pak [ a k cosk t b k sink t ] f na, T T a k = 2 T T b k = 2 T f t cosk t d t, k N f t sink t d t, k N Matematika 2 56 / 6 verze

57 Posloupnosti a řady Fourierova řada DK = T a 2 cosk t = f = a 2 [ a l cosl tb l sin l t ] / cosk t, l = dt l = T T f t cosk t d t= [a l cosl t cosk tdtb l sin l t cosk t dt ]= Lemma = Lemma k l T 2 k=l T T =a k T 2 Periodické prodloužení DEF f :a, at singlerbrace R Teď tuto funkci zkopírujeme, tak aby šla Fourieřit periodické prodloužení f = f t= f t k T, kde k splňuje t k T a, at ) DEF pořádná. Nechť f je T-periodická na R a integrovatelná = 2 T, Fourierova řada fce f je f ~ a 2 [ a k cosk t b k sink t], kde k = T a k = 2 T f t cosk t d t T b k = 2 T f t sin k tdt 2. f :a, at ) R, integrovatelná Její F-řada je F-řada jejího periodického prodloužení POZN f je T-periodická, pak at a k = 2 T a at b k = 2 T a f t cosk t d t f t sink tdt Matematika 2 57 / 6 verze

58 Posloupnosti a řady Fourierova řada Najdi F-řadu fce f t=t 2, t, Nejdříve si v duchu uděláme periodické prodloužení a integrujeme T =2, = 2 T = a = 2 T f tdt=[ t3 3 ] a k = 2 t 2 cosk t d 2 t=[ k t 2 sin sink t] = [ 2 t k cosk t 2 ] =...= 4 k 2 2 k = 2 3 2t sin k t d t= k 2 cosk t dt= 2 k b k = 2 t ě sin k t d t= 2 f ~ 3 k 4 cosk t k= k 2 2 Jordanovo kritérium VĚTA Jordanovo kritérium f: T-periodická, po částech spojitá na intervalu délky T Pak pro t R : lim N a 2 k= 3 k = f ~ a 2 [ a k cosk t b k sin k t] infinty [ a k cosk t b k sink t] = f t f t k 4 k 2 2 cosk t t2 na, pro t=: 3 k 4 k cos k = k 3 k= k 2 = k 2 2=má se rovnat A tím pádem jsme dostali docela zajímavý vztah nejjednodušší odvození sumy je přes Fourierovu řadu. pro t=. stejně jako minule k= k k 2 = 2 2 Matematika 2 58 / 6 verze

59 Posloupnosti a řady Fourierova řada FAKT f je T-periodická T / 2. f sudá b k =, a k = 4 T T / 2 2. f lichá a k =, b k = 4 T f ~ a 2... f tcosk t d t f tsink t d t Sinová a cosinová fourierova řada f t:, T ) R Můžu periodicky prodloužit a z toho udělat F-řadu. Nebo můžu zrcadlit kolem osy y, dostanu sudé periodické prodloužení => cosinová F-řada Nebo můžu zrcadlit 2x kolem obou os, dostanu liché periodické prodloužení => sinová F-řada Je dobré si všimnout, že se zdvojnásobí perioda. Můžu si tedy to samé vyjádřit normálně, sinovou řadou, nebo cosinovou řadou. Matematika 2 59 / 6 verze

60 Posloupnosti a řady Fourierova řada PLATÍ f, T ) R sinová řada: = T, a k = T b k = 2 T f t sin k t d t kosinová řada = T, b k = T a k = 2 T f t sin k t d t f t=h t, t, 2 singlerbrace. Máme najít Fourierovu řadu, sinovou F-řadu a cosinovou F-řadu. Flita fň pro každou z nich urči její součet.. F-řada 2 b k = a k = 2 2 T =2, = 2 a = 2 2 f tdt = f t cosk t d t= cosk t d t= f t sin k t d t= sin k t d t= [cosk cos]= k k k To by mohlo stačit a napíšu f ~ 2 k= k k sink t a teď nepovinná úprava: = 2 2 sin2 n n= 2 n Pro obrázek součtu řady použijeme Jordana stejný jako na začátku, ale ve skocích je bod mezi limitami. 2. Sinová Fourierka b k =dle def = f ~ k= T =2,= 2 a k = ot sin k 2 tdt= 2 [ cosk /2] k 2 [ cosk /2]sink t /2 k Pro součet platí stejná pravidla, jako pro sinovou řadu 3. Cosinová je za DÚ f ~ 2 n= n 2 cos2 nt /2 22 n Matematika 2 6 / 6 verze