4. EZY NA KUŽELÍCH 4.1. KUŽELOVÁ PLOCHA, KUŽEL

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "4. EZY NA KUŽELÍCH 4.1. KUŽELOVÁ PLOCHA, KUŽEL"

Transkript

1 4. EZY NA KUŽELÍCH 4.1. KUŽELOVÁ PLOCHA, KUŽEL Definice : Je dána kružnice k ležící v rovin a mimo ni bod V. Všechny pímky jdoucí bodem V a protínající kružnici k tvoí kruhovou kuželovou plochu. Tyto pímky se nazývají povrchové pímky, bod V se nazývá vrchol, kružnice k se nazývá ídící kružnice a pímka jdoucí stedem S kružnice k a vrcholem V se nazývá stedná s. Definice : ást prostoru omezená kruhovou válcovou plochou a vrcholem V se nazývá kruhový kužel. Definice : Je li stedná kolmá k rovin, vzniká kolmá kuželová plocha, resp. kolmý kruhový kužel. Kolmá kruhová kuželová plocha mže vzniknout také rotací povrchové pímky p, která není k ose o kolmá a protíná jí v bod V, kolem osy o. Potom se nazývá rotaní kuželová plocha. Podobn kolmý kruhový kužel mže též vzniknout rotací pravoúhlého trojúhelníka kolem jedné své odvsny. Potom se nazývá rotaní kužel. 53

2 Pokud necháme rotovat pravoúhlý trojúhelník SAV s pravým úhlem u vrcholu S, rotací bodu A vznikne podstavná hrana kužele (kružnice k), jednotlivé polohy úseky AV pi rotaci se nazývají strany kužele. Rotací úseky AS se tvoí podstava válce (kruh). Osa rotace je zárove osou válce a délka úseky SV je výška válce v. Bod V se nazývá vrchol. Definice: Rovnostranný kužel je kužel, jehož prmr podstavy se rovná délce jeho strany. Rotací úseky AV získáme pláš kužele. Rozstihneme li jej podél nkteré jeho strany a rozvineme - li jej do roviny, vznikne kruhová výse. Polomr výsee je délka strany válce s a velikost úhlu je urena vztahem : r α = 360 s Pláš spolu s podstavou tvoí povrch kužele. Sí kužele je rozvinutý povrch do roviny. Definice: Rovina procházející vrcholem V kužele se nazývá vrcholová rovina. ezem vrcholové roviny a kužele je trojúhelník. Pi ezech vrcholovou rovinou využíváme toho, že jedním z vrchol ezného trojúhelníka je pímo vrchol jehlanu. Staí tedy najít prsenici podstavy a roviny ezu a zbytek ezu doplnit spojením s vrcholem V. Vrcholové roviny se opt využívá pi hledání prseíku pímky a kuželem. 54

3 4.2. KONSTRUKCE EZ NA KUŽELÍCH QUÉTELETOVA DANDELINOVA VTA Vta : Rotaní kuželová plocha je proata rovinou, která není vrcholová ani kolmá k ose a která s rovinou podstavy rotaní kuželové plochy svírá úhel menší (resp. roven, resp. vtší) než povrchové pímky, protíná kuželovou plochu v elipse (resp. parabole, resp. hyperbole), piemž ohniska ezu jsou dotykové body kulových ploch vepsaných kuželové ploše a dotýkajících se roviny ezu. elipsa > parabola = hyperbola < dkaz : Obdobn jako u ezu na válci. Pro každý typ ezu se dlá zvláš. Parabolický ez : MF = MM, nebo teny z bodu ke kulové ploše jsou stejn dlouhé. V otoení kolem bodu V pejde MM v MM. MM = Md Platí tedy : MF = Md Dokázali jsme, že ezem je množina bod, která mají stejnou vzdálenost od daného bodu a dané pímky, tedy parabola 55

4 Dsledek : Pravoúhlým prmtem eliptického, resp. parabolického, resp. hyperbolického ezu rotaní kuželové plochy do roviny kolmé k ose plochy je elipsa, resp. parabola, resp. hyperbola, jejichž jedním ohniskem je prmt vrcholu kuželové plochy. Pro sestrojování ez na kuželích se dále využívá toho, že kružnice a kuželoseka jsou ve vzájemném vztahu stedové kolineace. STEDOVÁ KOLINEACE MEZI KRUŽNICÍ A KUŽELOSEKOU ÚBŽNÍKY A ÚBŽNICE : Bod U roviny, který ve stedové kolineaci odpovídá nevlastnímu bodu U se nazývá úbžník. Pímka u, která odpovídá nevlastní pímce u se nazývá úbžnice. Úbžnice je zárove množinou všech úbžník a je rovnobžná s osou kolineace, nebo nevlastní pímka a úbžnice mají spolený bod v nevlastním bod osy kolineace. Vta : Ve stedové kolineaci rovinných polí existují dv úbžnice. Orientovaná vzdálenost stedu od jedné z nich je rovna orientované vzdálenosti druhé z nich od osy. 56

5 STEDOVÁ KOLINEACE MEZI KRUŽNICÍ A KUŽELOSEKOU Vta : Stedovým prmt kuželoseky ( i kružnice), jejíž rovina neprochází stedem promítání, je kuželoseka. Vta : Kuželoseka, v níž nevrcholová rovina protne kuželovou plochu, a kružnice podstavy kuželové plochy si odpovídají ve stedové kolineaci. Stedem této kolineace je vrchol kuželové plochy a osou kolineace je prsenice roviny ezu a roviny podstavy. Vta : Teny a sdružené prmry kolineárních kuželoseek si navzájem odpovídají, stedy kuželoseek si ve stedové kolineaci neodpovídají. Vta : Nech kružnici k prvního pole odpovídá ve stedové kolineaci kuželoseka k druhého pole. Tato kuželoseka je elipsou (resp. parabolou, resp. hyperbolou) podle toho, zda úbžnice u prvního pole (pole kružnice k) nemá s kružnicí k žádný spolený bod (resp. má s kružnicí k práv jeden spolený bod, resp. má s kružnicí k dva rzné spolené body). 57

6 Stedová kolineace mezi kružnicí a elipsou Stedová kolineace je zadána osou o a stedem S. Dále je dána kružnice k a úbžnice stejného pole u (ta nesmí mít s kružnicí žádný spolený bod, aby kolineární kuželosekou byla elipsa). Hledáme sdružené prmry elipsy k. Ke kružnici k vedeme teny m a n rovnobžné s osou kolineace o. jejich dotykové body M a N leží na prmru p kružnice, který je kolmý k ose o. Prmru p odpovídá prmr p. Obraz jeho prseíku U s úbžnicí u je nevlastní bod U, prseík s sou o je samodružný bod. Sted O úseky M N je stedem kuželoseky k. Druhý sdružený prmr q prochází bodem O rovnobžn s osou o (teny m a n v bodech M N jsou rovnobžné s osou o, nebo m a n byly rovnobžné s osou o. Pro sdružené prmry elipsy platí: Teny v koncových bodech jednoho prmru jsou rovnobžné s druhým prmrem). K pímce q a bodu O najdeme bod O a pímku q. Její prseíky P a Q s kružnicí k nám urí body P a Q, které omezí druhý sdružený prmr elipsy k. 58

7 Stedová kolineace mezi kružnicí a parabolou Stedová kolineace je zadána osou o a stedem S. Dále je dána kružnice k a úbžnice stejného pole u (ta musí mít s kružnicí spolený práv jeden bod, tedy musí být její tenou, aby kolineární kuželosekou byla parabola). Parabolu budeme sestrojovat lichobžníkovou konstrukcí (viz. vybrané konstrukce paraboly a hyperboly str. 61 ). Proto hledáme libovolné dv teny i s body dotyku paraboly. Staí tedy zvolit dva libovolné body M a N na kružnici k a v nich sestrojit teny m a n. Jejich kolineární obrazy M N m a n nám staí k vyrýsování paraboly podle lichobžníkové konstrukce. Protíná li osa kolineace o kružnici k, je výhodné vzít za body M a N prseíky osy o a kružnice k. 59

8 Stedová kolineace mezi kružnicí a hyperbolou Stedová kolineace je zadána osou o a stedem S. Dále je dána kružnice k a úbžnice stejného pole u (ta musí mít s kružnicí spolené dva body, tedy musí být její senou, aby kolineární kuželosekou byla hyperbola). Sestrojíme body M a N, které jsou prseíky úbžnice u a kružnice k a v nich teny m a n. Tm odpovídají teny m a n s dotykovými body M a N v nekonenu, tedy asymptoty. Osy hyperboly plí úhly asymptot. Hlavní osa je pímka h, její obraz h protne kružnici v bodech A a B, body A a B jsou hlavní vrcholy hyperboly k. Osy hyperboly mžeme sestrojit také pouze z asymptot a jednoho bodu (pokud osa kolineace o protíná kružnici k, máme hned dva takové body X = X a Y = Y ), (viz. : vybrané konstrukce paraboly a hyperboly, str. 62 ) 60

9 VYBRANÉ POUŽITÉ KONSTRUKCE PARABOLY A HYPERBOLY Lichobžníková konstrukce paraboly : Parabola je urena tenami p q s body dotyku P a Q. Hledáme její vrchol a osu. Spojíme body P a Q a stedem jimi urené úseky vedeme pímku o do bodu R (prseíku teen p a q). Pímka o je smrem osy paraboly. Dále body dotyku P a q vedeme rovnobžky m a n s pímkou o. Bodem R vedeme kolmici na o. V jejím prseíku s pímkou m je bod M, v prseíku s pímkou n je bod N. Vzniknul tak lichobžník PQMN. Jeho úhlopíky se protnou v bod V, jež je vrcholem hledané paraboly. Pímka o procházející bodem V rovnobžn s o je osa paraboly. Ohnisko F sestrojíme pomocí ohniskových vlastností paraboly (prseíkem vrcholové teny v a teny q vedeme kolmici k ten q a v jejím prseíku s osou o je ohnisko F). 61

10 konstrukce velikosti hlavní osy hyperboly : Hyperbola je urena asymptotami a jedním svým bodem. Hlavní a vedlejší osa plí úhly asymptot. Bodem K vedeme rovnobžku s hlavní osou. Její prseík s vedlejší osou oznaíme O, prseík s asymptotou oznaíme P. Dále sestrojíme kružnici k (O; OK ). Velikost kolmice sestrojené z bodu P kolmo na hlavní osu je hledaná velikost hlavní poloosy a. Pi konstruování ez na kuželové ploše využíváme jak Quételetovy - Dandelinovy vty, tak jejího dsledku (o kolmém prmtu vrcholu kuželové plochy do ohniska kuželoseky ezu). Dále mžeme využít stedové kolineace mezi podstavnou kružnicí a kuželosekou ezu. Úbžnicí kružnice k, podle které poznáme, o jakou kuželoseku se jedná, je stopa roviny, která je rovnobžná s rovinou ezu a prochází vrcholem kuželové plochy. Pi konstrukcích složitjších ez je poteba využít nkterých speciálních konstrukcí hyperboly a paraboly. 62

11 Píklad 26 : Sestrojte ez daného kužele rovinou a sestrojte sí seíznuté ásti. Popis konstrukce : V náryse vidíme, že rovina svírá s pdorysnou (rovinou podstavy kužele) menší úhel než povrchové pímky, ezem bude elipsa. V náryse se zobrazí do pímky A 2 B 2. Její nárys je rovnobžný se základnicí (poloha spádové pímky), body A 1 B 1 leží na ordinálách. Podle dsledku Quételetovy Dandelinovy vty se vrchol kužele v pdoryse zobrazí do ohniska. Elipsu v pdoryse sestrojíme pomocí ohniskových vlastností. Sí sestrojíme rozdlením podstavné kružnice na dílky a penesením do nárysu. Skutenou velikost povrchových pímek vyteme na povrchové pímce rovnobžné s nárysnou. Skutenou velikost hlavní osy elipsy ezu vidíme v náryse, skutenou velikost vedlejší osy v pdoryse. 63

12 64

13 Píklad 27 : Sestrojte ez daného kužele rovinou. Popis konstrukce : V náryse vidíme, že rovina svírá s pdorysnou (rovinou podstavy kužele) stejný úhel jako povrchové pímky, ezem bude parabola. V náryse se zobrazí do pímky A 2 X 2 =Y 2. Její nárys je rovnobžný se základnicí body A 1 X 1 Y 1 leží na ordinálách. Podle dsledku Quételetovy Dandelinovy vty se vrchol kužele v pdoryse zobrazí do ohniska. Parabolu v pdoryse sestrojíme pomocí ohniskových vlastností. 65

14 Píklad 28 : Sestrojte ez daného kužele rovinou. Popis konstrukce : V náryse vidíme, že rovina svírá s pdorysnou (rovinou podstavy kužele) vtší úhel než povrchové pímky, ezem bude hyperbola. V náryse se zobrazí do polopímek A 2 M 2 =M 2, B 2 N 2 =N 2 Její nárys je rovnobžný se základnicí body A 1 B 1 M 1 M 1 N 2 N 2 leží na ordinálách. Podle dsledku Quételetovy Dandelinovy vty se vrchol kužele v pdoryse zobrazí do ohniska. Zbývá nejít asymptoty. Vedeme rovinu vrcholem V rovnobžnou s rovinou. Ta eže kužel v pímkách a a b, které udávají smr asymptot. Pímky m a n jdoucí stedem hyperboly rovnobžn s pímkami a a b jsou asymptoty hyperboly. Hyperbolu v pdoryse sestrojíme pomocí ohniskových vlastností. 66

15 Píklad 29 : Protnte daný kužel rovinou v elipse. Popis konstrukce : ez sestrojíme pomocí roviny, která prochází osou kužele kolmo k pdorysn i k rovin ezu. Ve sklopení v pdoryse vidíme body A a B ezu, ohnisko se zobrazí opt do vrcholu. V pdoryse elipsu sestrojíme pomocí ohniskových vlastností. Do nárysu peneseme osy elipsy a dorýsujeme ji Rytzovou konstrukcí. Body pechodu viditelnosti pro nárys odvodíme z pdorysu na hlavní pímce druhé osnovy. 67

16 Píklad 30 : Rovina je dána svojí pdorysnou stopou. Urete její nárysnou stopu tak, aby ezem byla parabola a ez sestrojte. Popis konstrukce : Pdorysná stopa roviny, která prochází bodem V a je rovnobžná s rovinou je tenou podstavy rovnobžnou s pdorysnou stopou roviny. Její nárysnou stopu najdeme pomocí hlavní pímky, nárysná stopa roviny je s ní rovnobžná. Pdorys ezu sestrojíme opt pomocí roviny. Nárys sestrojíme pomocí lichobžníkové konstrukce (pomocí teen m a n s body dotyku M a N). Bod pechodu viditelnosti T pro nárys odvodíme z pdorysu na hlavní pímce druhé osnovy. 68

17 Píklad 31 : Protnte daný kužel rovinou. Popis konstrukce : Pomocí roviny, která prochází bodem v rovnobžn s rovinou, zjistíme, že ezem je hyperbola a zárove uríme smry asymptot a 1 b 1 pro pdorys. Zde hyperbolu sestrojíme opt pomocí roviny, která prochází vrcholem V a je kolmá k pdorysn. Ve sklopení najdeme polohu bod A a B. Bod V 1 =F 1, a proto v pdoryse hyperbolu dorýsujeme pomocí ohniskových vlastností. Její asymptoty n 1 a m 1 jsou rovnobžné s pímkami a 1 b 1. Do nárysu peneseme body A, B (ty však nejsou pro nárys hlavními vrcholy) a asymptoty m a n. V náryse hyperbolu dorýsujeme bu pomocí hlavních pímek první osnovy, nebo podle konstrukce na str. 62. Body pechodu viditelnosti pro nárys leží na hlavní pímce druhé osnovy. 69

18 Píklad 32 : Sestrojte ez kužele s podstavou v rovin obsahuje pímku p. vrcholovou rovinou, která Popis konstrukce : Libovolným bodem na pímce p vedeme pímku v, která prochází vrcholem V. Poté hledáme prsenici r roviny a vrcholové roviny urené pímkami p a v metodou krycí pímky (pímky m a n). Prsenice r protne podstavu kužele, zbytek ezu doplníme spojením s vrcholem kužele. 70

19 Píklad 33 : Sestrojte ez daného kužele rovinou. Popis konstrukce : Podle polohy roviny,která je rovnobžná s rovinou a prochází bodem V poznáme, že ezem je elipsa (nemá s podstavnou kružnicí žádný spolený bod). Elipsu v pdoryse sestrojím pomocí konstrukce na str. 58. Sdružené prmry peneseme do nárysu a zde elipsu vyrýsujeme pomocí sdružených prmr (Rytzova konstrukce). Body pechodu viditelnosti TT pro nárys jsou v pdoryse sestrojeny pomocí kolineace. 71

20 Píklad 34 : Protnte daný kužel rovinou v parabole a tento ez sestrojte., která je dána svojí pdorysnou stopou, Popis konstrukce : Rovina,která je rovnobžná s rovinou a prochází bodem V, má svojí pdorysnou stopu rovnobžnou s rovinou a je tenou podstavné kružnice. Parabolu v pdoryse sestrojím pomocí konstrukce na str. 59. V náryse pomocí lichobžníkové konstrukce. Bod pechodu viditelnosti T pro nárys je v pdoryse sestrojen pomocí kolineace. 72

21 Píklad 35 : Sestrojte ez daného kužele rovinou. Popis konstrukce : Podle polohy roviny,která je rovnobžná s rovinou a prochází bodem V, poznáme, že ezem je hyperbola (má s podstavnou kružnicí spolené dva body). Hyperbolu v pdoryse sestrojím pomocí konstrukce na str. 60. V náryse je teba najít velikost hlavní poloosy konstrukcí ze str. 62. Body pechodu viditelnosti TT pro nárys jsou v pdoryse sestrojeny pomocí kolineace. 73

22 5. EZY NA KOULÍCH 5.1. KULOVÁ PLOCHA, KOULE Definice : Množina všech bod v prostoru, které mají od pevného bodu S konstantní vzdálenost r (r > 0) se nazývá kulová plocha. Definice : Množina všech bod v prostoru, které mají od pevného bodu s vzdálenost menší nebo rovnu r (r > 0) se nazývá koule. Také kulovou plochu a kouli lze definovat pomocí rotací Definice : Kulová plocha vzniká rotací plkružnice kolem svého prmru. Definice : Koule vzniká rotací plkruhu kolem svého prmru. Definice : Hlavní kružnice kulové plochy je kružnice, která leží v rovin procházející stedem kulové plochy. Tedy kružnice, které mají s kulovou plochou stejný sted a polomr. Vta : Pravoúhlým prmtem kulové plochy je kružnice. Stedem této kružnice je prmt stedu kulové plochy a polomr se rovná polomru kulové plochy 74

23 Quételetova Dandelinova vta pro kosoúhlý prmt kulové plochy : Kosoúhlým prmtem kulové plochy je elipsa. Sted této elipsy je prmtem stedu kulové plochy, její ohniska jsou prmty krajních bod prmtu kulové plochy, který je kolmý k prmtn. Délka vedlejší poloosy se rovná polomru kulové plochy KONSTRUKCE EZ NA KOULÍCH Vta : ezem kulové plochy libovolnou rovinou je kružnice. Její sted je v prseíku roviny ezu a kolmice vedené ze stedu kolové plochy k rovin ezu. Definice : Hlavní kružnice kulové plochy je kružnice, která leží v rovin procházející stedem kulové plochy. Tedy kružnice, které mají s kulovou plochou stejný sted a polomr. Pi konstruování ez na kouli se používá pomocné roviny kolmé k rovin ezu. 75

24 Píklad 36 : Sestrojte ez dané kulové plochy rovinou. Popis konstrukce : Protože je rovina kolmá k pdorysn, zobrazí se v pdoryse kružnice ezu do úseky A 1 B 1. Do nárysu se kružnice zobrazí jako elipsa s hlavní osou C 2 D 2, kde platí C 2 D 2 = A 1 B 1, a vedlejší osou A 2 B 2. Body TT pechodu viditelnosti pro nárys leží v pdoryse na hlavní pímce druhé osnovy. 76

25 Píklad 37 : Sestrojte ez dané kulové plochy rovinou. Popis konstrukce : Sted O kulové plochy je prseíkem pímky k. která je kolmá k rovin ezu a prochází bodem s, a roviny ezu (získáme ho pomocí krycí pímky m). ez sestrojíme pomocí pomocné tetí prmtny 3, která je kolmá jak k rovin ezu, tak k pdorysn a prochází body S a O. Ve sklopení vidíme polomr elipsy ( (O)(S) ). Do nárysu peneseme body A, B (leží na hlavní pímce první osnovy). Dále známe velikost hlavní osy na hlavní pímce druhé osnovy jdoucí bodem O. V náryse elipsu dorýsujeme pomocí proužkové konstrukce. Body pechodu viditelnosti UU pro pdorys leží na hlavní pímce první osnovy, body TT pro nárys na hlavní pímce druhé osnovy. 77

26 Píklad 38 : Je dána rovina a v ní kružnice. Sestrojte prmt kulové plochy, která obsahuje tuto kružnici a má sted v rovin. Popis konstrukce : Sted S kulové plochy leží na kolmici k k rovinám a, najdeme ho pomocí hlavní pímky. Pokud vedeme pomocnou rovinu 3, která je kolmá jak k rovin ezu, tak k nárysn a prochází body S a O, mžeme ve sklopení urit obraz kulové plochy (Sklopíme body S a O, zadanou kružnici i roviny a. Kulová plocha prochází prseíky kružnice s rovinou.). Polomr ve sklopení se zobrazí ve skutené velikosti. 78

Definice : Jsou li povrchové pímky kolmé k rovin, vzniká kolmá kruhová válcová plocha a pomocí roviny také kolmý kruhový válec.

Definice : Jsou li povrchové pímky kolmé k rovin, vzniká kolmá kruhová válcová plocha a pomocí roviny také kolmý kruhový válec. 3. EZY NA VÁLCÍCH 3.1. VÁLCOVÁ PLOCHA, VÁLEC Definice : Je dána kružnice k ležící v rovin a pímka a rznobžná s rovinou. Všechny pímky rovnobžné s pímkou a protínající kružnici k tvoí kruhovou válcovou

Více

2. EZY NA JEHLANECH. Píklad 47 : Sestrojte ez pravidelného tybokého jehlanu ABCDV rovinou.

2. EZY NA JEHLANECH. Píklad 47 : Sestrojte ez pravidelného tybokého jehlanu ABCDV rovinou. 2. EZY NA JEHLANECH Píklad 47 : Sestrojte ez pravidelného tybokého jehlanu ABCDV rovinou. Popis konstrukce : Podobn jako u píkladu 41 je výhodné proložit nkterými dvma hranami jehlanu rovinu kolmou k pdorysn.

Více

Pr niky ploch a t les

Pr niky ploch a t les Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5 RONÍKOVÁ PRÁCE Prniky ploch a tles Vypracoval: Tomáš Martínek ída: 4.C Školní rok: 2013/2014 Seminá: Deskriptivní geometrie Prohlašuji, že jsem svou

Více

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ - 2. část

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ - 2. část MONGEOVO PROMÍTÁNÍ - 2. část ZOBRAZENÍ KRUŽNICE Příklad: V rovině ρ zobrazte kružnici o středu S a poloměru r. kružnice ležící v obecné rovině se v obou průmětech zobrazuje jako elipsa poloměr kružnice

Více

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDĚCKÁ FAKULTA KATEDRA ALGEBRY A GEOMETRIE PLOCHY A OBLÁ TĚLESA V KOSOÚHLÉM PROMÍTÁNÍ DO PŮDORYSNY DIPLOMOVÁ PRÁCE Vedoucí práce: Mgr. Marie Chodorová, Ph.D. Rok

Více

Klíčová slova Mongeovo promítání, kuželosečka, rotační plocha.

Klíčová slova Mongeovo promítání, kuželosečka, rotační plocha. Abstrakt Tento text je určen všem zájemcům z řad široké veřejnosti, především jako studijní materiál pro studenty Konstruktivní a počítačové geometrie. Práce pojednává o rotačních kvadratických plochách,

Více

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. bylo objeveno a rozvinuto francouzem Gaspardem Mongem (1746 1818) po dlouhou dobu bylo vojenským tajemstvím

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. bylo objeveno a rozvinuto francouzem Gaspardem Mongem (1746 1818) po dlouhou dobu bylo vojenským tajemstvím část 1. MONGEOVO PROMÍTÁNÍ kolmé promítání na dvě průmětny (půdorysna, nárysna), někdy se používá i třetí pomocná průmětna bokorysna bylo objeveno a rozvinuto francouzem Gaspardem Mongem (1746 1818) po

Více

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA ALGEBRY A GEOMETRIE Diplomová práce Řezy rotačních těles v projekcích Vedoucí diplomové práce: Mgr. Marie Chodorová, Ph.D. Rok odevzdání:

Více

Cyklografie. Cyklický průmět bodu

Cyklografie. Cyklický průmět bodu Cyklografie Cyklografie je nelineární zobrazovací metoda - bodům v prostoru odpovídají kružnice v rovině a naopak. Úlohy v rovině pak převádíme na řešení prostorových úloh, např. pomocí cyklografie řešíme

Více

! " # $ % # & ' ( ) * + ), -

!  # $ % # & ' ( ) * + ), - ! " # $ % # & ' ( ) * + ), - INDIVIDUÁLNÍ VÝUKA MATEMATIKA METODIKA Kuželosek Mgr. Petra Dunovská bezen 9 Obtížnost této kapitol matematik je dána tím, že se pi výkladu i ešení úloh komplexn vužívají vdomosti

Více

Je-li dána hranolová nebo jehlanová plocha s podstavou v rovině σ a rovina řezu ρ:

Je-li dána hranolová nebo jehlanová plocha s podstavou v rovině σ a rovina řezu ρ: Kapitola 1 Elementární plochy 1.1 Základní pojmy Elementární plochou budeme rozumět hranolovou, jehlanovou, válcovou, kuželovou a kulovou plochu. Pokud tyto plochy omezíme, popř. přidáme podstavy, můžeme

Více

Další servery s elektronickým obsahem

Další servery s elektronickým obsahem Právní upozornění Všechna práva vyhrazena. Žádná část této tištěné či elektronické knihy nesmí být reprodukována a šířena v papírové, elektronické či jiné podobě bez předchozího písemného souhlasu nakladatele.

Více

8. Deskriptivní geometrie

8. Deskriptivní geometrie 8. Deskriptivní geometrie 337 Volitelný pedmt - dvouletý Vzdlávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdlávací obor: Matematika a její aplikace Vyuovací pedmt: Deskriptivní geometrie 1. Charakteristika

Více

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. ZOBRAZENÍ BODU - sdružení průměten. ZOBRAZENÍ BODU - kartézské souřadnice A[3; 5; 4], B[-4; -6; 2]

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. ZOBRAZENÍ BODU - sdružení průměten. ZOBRAZENÍ BODU - kartézské souřadnice A[3; 5; 4], B[-4; -6; 2] ZOBRAZENÍ BODU - sdružení průměten MONGEOVO PROMÍTÁNÍ π 1... půdorysna π 2... nárysna x... osa x (průsečnice průměten) sdružení průměten A 1... první průmět bodu A A 2... druhý průmět bodu A ZOBRAZENÍ

Více

Deskriptivní geometrie 2

Deskriptivní geometrie 2 Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Deskriptivní geometrie 2 Pomocný učební text - díl II Světlana Tomiczková Plzeň 4. května 2011 verze 1.0 Obsah 1 Středové promítání

Více

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. ONDŘEJ MACHŮ a kol.

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. ONDŘEJ MACHŮ a kol. ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE ONDŘEJ MACHŮ a kol. Předmluva Otevíráte sbírku, která vznikla z příkladů zadaných studentům pátého ročníku PřF UP v Olomouci, učitelů matematiky a deskriptivní

Více

1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem

1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem Analytická geometrie - kružnice Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A = ; 5 [ ] Napište středový i obecný tvar rovnice kružnice, která má střed

Více

Využití Rhinoceros ve výuce předmětu Počítačová geometrie a grafika. Bítov Blok 1: Kinematika

Využití Rhinoceros ve výuce předmětu Počítačová geometrie a grafika. Bítov Blok 1: Kinematika Využití Rhinoceros ve výuce předmětu Počítačová geometrie a grafika Bítov 13.-17.8.2012 Blok 1: Kinematika Pro lepší orientaci v obrázku je vhodné umísťovat. Nabízí se dvě rychlé varianty. Buď pomocí příkazu

Více

BA008 Konstruktivní geometrie. Kolmá axonometrie. pro kombinované studium. učebna Z240 letní semestr

BA008 Konstruktivní geometrie. Kolmá axonometrie. pro kombinované studium. učebna Z240 letní semestr BA008 Konstruktivní geometrie pro kombinované studium Kolmá axonometrie Jan Šafařík Jana Slaběňáková přednášková skupina P-BK1VS1 učebna Z240 letní semestr 2016-2017 31. března 2017 Základní literatura

Více

Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5. Technické Osvětlení

Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5. Technické Osvětlení Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5 ROČNÍKOVÁ PRÁCE Technické Osvětlení Vypracoval: Zbyšek Sedláček Třída: 8.M Školní rok: 2013/2014 Seminář: Deskriptivní geometrie Prohlašuji, že jsem

Více

Deskriptivní geometrie pro střední školy

Deskriptivní geometrie pro střední školy Deskriptivní geometrie pro střední školy. díl Ivona Spurná Nakladatelství a vydavatelství R www.computermedia.cz Deskriptivní geometrie Díl Deskriptivní geometrie,. díl Mgr. Ivona Spurná Jazyková úprava:

Více

Deg2-Kvadriky. Světlana Tomiczková

Deg2-Kvadriky. Světlana Tomiczková KMA FAV ZČU Plzeň 18. března 2016 Kvadriky Rotační kvadriky singulární (vzniknou rotací singulární kuželosečky) a) rotační válcová plocha x2 + y2 = 1 a 2 a 2 b) rotační kuželová plocha x2 + y2 z2 = 0 a

Více

Zadání domácích úkolů a zápočtových písemek

Zadání domácích úkolů a zápočtových písemek Konstruktivní geometrie (KG-L) Zadání domácích úkolů a zápočtových písemek Sestrojte elipsu, je-li dáno a = 5cm a b = 3cm. V libovolném bodě sestrojte její tečnu. Tento úkol je na krásu, tj. udělejte oskulační

Více

P R O M Í T Á N Í. rovina π - průmětna vektor s r - směr promítání. a // s r, b// s r,

P R O M Í T Á N Í. rovina π - průmětna vektor s r - směr promítání. a // s r, b// s r, P R O M Í T Á N Í Promítání je zobrazení prostorového útvaru do roviny. Je určeno průmětnou a směrem (rovnoběžné) nebo středem (středové) promítání. Princip rovnoběžného promítání rovina π - průmětna vektor

Více

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Řešené úlohy v axonometrii. UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI Přírodovědecká fakulta Katedra algebry a geometrie

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Řešené úlohy v axonometrii. UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI Přírodovědecká fakulta Katedra algebry a geometrie UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI Přírodovědecká fakulta Katedra algebry a geometrie BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Řešené úlohy v axonometrii Vypracovala: Barbora Bartošová M-DG, III. ročník Vedoucí práce: RNDr. Miloslava

Více

5) Průnik rotačních ploch. A) Osy totožné (a kolmé k půdorysně) Bod R průniku ploch. 1) Pomocná plocha κ

5) Průnik rotačních ploch. A) Osy totožné (a kolmé k půdorysně) Bod R průniku ploch. 1) Pomocná plocha κ 5) Průnik rotačních ploch Bod R průniku ploch κ, κ : 1) Pomocná plocha κ ) Průniky : l κ κ, l κ κ 3) R l l Volba pomocné plochy pro průnik rotačních ploch závisí na poloze os ploch. Omezíme se pouze na

Více

KRUHOVÁ ŠROUBOVICE A JEJÍ VLASTNOSTI

KRUHOVÁ ŠROUBOVICE A JEJÍ VLASTNOSTI KRUHOVÁ ŠROUBOVICE A JEJÍ VLASTNOSTI Šroubový pohyb vzniká složením otáčení kolem osy o a posunutí ve směru osy o, přičemž oba pohyby jsou spojité a rovnoměrné. Jestliže při pohybu po ose "dolů" je otáčení

Více

Šroubovice... 5 Šroubové plochy Stanovte paprsek tak, aby procházel bodem A a po odrazu na rovině ρ procházel bodem

Šroubovice... 5 Šroubové plochy Stanovte paprsek tak, aby procházel bodem A a po odrazu na rovině ρ procházel bodem Geometrie Mongeovo promítání................................ 1 Řezy těles a jejich průniky s přímkou v pravoúhlé axonometrii......... 3 Kuželosečky..................................... 4 Šroubovice......................................

Více

Pravoúhlá axonometrie

Pravoúhlá axonometrie Pravoúhlá axonometrie bod, přímka, rovina, bod v rovině, trojúhelník v rovině, průsečnice rovin, průsečík přímky s rovinou, čtverec v půdorysně, kružnice v půdorysně V Rhinu vypneme osy mřížky (tj. červenou

Více

DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE - elektronická skripta. ŘEZY HRANOLŮ A JEHLANŮ V MONGEOVĚ PROMÍTÁNÍ (sada řešených příkladů) ---

DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE - elektronická skripta. ŘEZY HRANOLŮ A JEHLANŮ V MONGEOVĚ PROMÍTÁNÍ (sada řešených příkladů) --- DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE - elektronická skripta ŘEZY HRANOLŮ A JEHLANŮ V MONGEOVĚ PROMÍTÁNÍ (sada řešených příkladů) --- PŘÍKLA: A4 na výšku, O [10,5; 9,5] Pravidelný šestiboký hranol má podstavu v půdorysně

Více

DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE PRO STUDENTY GYMNÁZIA CH. DOPPLERA. Mgr. Ondřej Machů. --- Pracovní verze:

DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE PRO STUDENTY GYMNÁZIA CH. DOPPLERA. Mgr. Ondřej Machů. --- Pracovní verze: DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE PRO STUDENTY GYMNÁZIA CH. DOPPLERA Mgr. Ondřej Machů --- Pracovní verze: 6. 10. 2014 --- Obsah Úvodní slovo... - 3-1 Základy promítacích metod... - 4-1.1 Rovnoběžné promítání...

Více

Deskriptivní geometrie 1

Deskriptivní geometrie 1 Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Deskriptivní geometrie 1 Pomocný učební text 1. část Světlana Tomiczková Plzeň 2. října 2006 verze 2.0 Předmluva Tento pomocný

Více

L I C H O B Ž N Í K (2 HODINY) ? Co to vlastn lichobžník je? Podívej se napíklad na následující obrázky:

L I C H O B Ž N Í K (2 HODINY) ? Co to vlastn lichobžník je? Podívej se napíklad na následující obrázky: L I C H O B Ž N Í K (2 HODINY)? Co to vlastn lichobžník je? Podívej se napíklad na následující obrázky: Na obrázcích je vyobrazena hospodáská budova a židlika, kterou urit mají tvoji rodie na chodb nebo

Více

Základní úlohy v Mongeově promítání. n 2 A 1 A 1 A 1. p 1 N 2 A 2. x 1,2 N 1 x 1,2. x 1,2 N 1

Základní úlohy v Mongeově promítání. n 2 A 1 A 1 A 1. p 1 N 2 A 2. x 1,2 N 1 x 1,2. x 1,2 N 1 Základní úlohy v Mongeově promítání Předpokladem ke zvládnutí zobrazení v Mongeově promítání je znalost základních úloh. Ale k porozumění následujícího textu je třeba umět zobrazit bod, přímku a rovinu

Více

Konstruktivní geometrie

Konstruktivní geometrie Konstruktivní geometrie Elipsa Úloha 1: Najděte bod M takový, aby součet jeho vzdáleností od bodů F 1 a F 2 byl 12cm; tj. F 1 M+F 2 M=12. Najděte více takových bodů. Konstruktivní geometrie Elipsa Oskulační

Více

AXONOMETRIE. Rozměry ve směru os (souřadnice bodů) jsou násobkem příslušné jednotky.

AXONOMETRIE. Rozměry ve směru os (souřadnice bodů) jsou násobkem příslušné jednotky. AXONOMETRIE 1) Princip, základní pojmy Axonometrie je rovnoběžné promítání do průmětny různoběžné se souřadnicovými rovinami. Kvádr v axonometrii : {O,x,y,z} souřadnicový systém XYZ - axonometrická průmětna

Více

M N O Ž I N Y B O D D A N É V L A S T N O S T I V R O V I N 3 HODINY

M N O Ž I N Y B O D D A N É V L A S T N O S T I V R O V I N 3 HODINY M N O Ž I N Y B O D D A N É V L A S T N O S T I V R O V I N 3 HODINY V této kapitole se budeme zabývat množinami (skupinami) bod, které spojuje njaká spolená vlastnost. Tato vlastnost je pro všechny body

Více

Kuželoseč ky. 1.1 Elipsa

Kuželoseč ky. 1.1 Elipsa Kuželoseč ky 1.1 Elipsa Definice: Elipsa je množina všech bodů v 2, které mají od dvou pevných (různých) bodů v 2, zvaných ohniska (značíme F 1, F 2 ), stálý součet vzdáleností rovný 2a, který je větší

Více

MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA. DIPLOMOVÁ PRÁCE Úlohy s prostorovými tělesy v Mongeově zobrazovací metodě

MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA. DIPLOMOVÁ PRÁCE Úlohy s prostorovými tělesy v Mongeově zobrazovací metodě MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA DIPLOMOVÁ PRÁCE Úlohy s prostorovými tělesy v Mongeově zobrazovací metodě BRNO 2006 BLANKA MORÁVKOVÁ Prohlášení: Prohlašuji, že jsem diplomovou práci vypracovala

Více

Kuželosečky. Klasické definice. Základní vlastnosti. Alča Skálová

Kuželosečky. Klasické definice. Základní vlastnosti. Alča Skálová Kuželosečky Alča Skálová Klasické definice Elipsa je množina všech bodů v rovině, majících od dvou pevně daných různých bodů E, F(ohnisek)konstantnísoučetvzdáleností2a,kde2a > EF =2e. Parabola je množina

Více

Konstruktivní geometrie - LI. Konstruktivní geometrie - LI () Kótované promítání 1 / 44

Konstruktivní geometrie - LI. Konstruktivní geometrie - LI () Kótované promítání 1 / 44 Kótované promítání Konstruktivní geometrie - LI Konstruktivní geometrie - LI () Kótované promítání 1 / 44 Obsah 1 Polohové úlohy 2 Spád přímky a roviny Konstruktivní geometrie - LI () Kótované promítání

Více

Prùniky tìles v rùzných projekcích

Prùniky tìles v rùzných projekcích UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PØÍRODOVÌDECKÁ FAKULTA Katedra algebry a geometrie Prùniky tìles v rùzných projekcích Bakalářská práce Vedoucí práce: RNDr. Lenka Juklová, Ph.D. Rok odevzdání: 2010 Vypracoval:

Více

ROTAČNÍ KVADRIKY. Definice, základní vlastnosti, tečné roviny a řezy, průsečíky přímky s rotační kvadrikou

ROTAČNÍ KVADRIKY. Definice, základní vlastnosti, tečné roviny a řezy, průsečíky přímky s rotační kvadrikou ROTAČNÍ KVADRIKY Definice, základní vlastnosti, tečné roviny a řezy, průsečíky přímky s rotační kvadrikou Rotační kvadriky jsou rotační plochy, které vzniknou rotací kuželosečky kolem některé její osy.

Více

Západočeská univerzita v Plzni. Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Geometrie pro FST 1. Pomocný učební text

Západočeská univerzita v Plzni. Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Geometrie pro FST 1. Pomocný učební text Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Geometrie pro FST 1 Pomocný učební text František Ježek, Marta Míková, Světlana Tomiczková Plzeň 11. září 2006 verze 4.0 Předmluva

Více

Mongeova projekce - úlohy polohy

Mongeova projekce - úlohy polohy Mongeova projekce - úlohy polohy Mgr. František Červenka VŠB-Technická univerzita Ostrava 16. 2. 2010 Mgr. František Červenka (VŠB-TUO) Mongeova projekce - úlohy polohy 16. 2. 2010 1 / 14 osnova 1 Mongeova

Více

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDĚCKÁ FAKULTA KATEDRA ALGEBRY A GEOMETRIE KOSOÚHLÉ PROMÍTÁNÍ DO PŮDORYSNY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Vedoucí práce: Mgr. Marie Chodorová, Ph.D. Rok odevzdání: 2012 Vypracovala:

Více

prostorová definice (viz obrázek vlevo nahoře): elipsa je průsečnou křivkou rovinného

prostorová definice (viz obrázek vlevo nahoře): elipsa je průsečnou křivkou rovinného Elipsa Výklad efinice a ohniskové vlastnosti prostorová definice (viz obrázek vlevo nahoře): elipsa je průsečnou křivkou rovinného řezu na rotační kuželové ploše, jestliže řezná rovina není kolmá k ose

Více

tečen a osu o π, V o; plochu omezte hranou vratu a půdorysnou a proved te rozvinutí

tečen a osu o π, V o; plochu omezte hranou vratu a půdorysnou a proved te rozvinutí Řešené úlohy Rozvinutelná šroubová plocha v Mongeově promítání Příklad: V Mongeově promítání zobrazte půl závitu rozvinutelné šroubové plochy, jejíž hranou vratu je pravotočivá šroubovice, která prochází

Více

Deskriptivní geometrie II.

Deskriptivní geometrie II. Střední průmyslová škola elektrotechnická a Vyšší odborná škola Pardubice, Karla IV. 13 Deskriptivní geometrie II. Ing. Rudolf Rožec Pardubice 2001 Skripta jsou určena pro předmět deskriptivní geometrie

Více

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1) .6. Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině. 6.1. V této kapitole budeme studovat geometrické úloh v rovině analtick, tj. lineární a kvadratické geometrické útvar vjádříme pomocí

Více

ROTAČNÍ PLOCHY. 1) Základní pojmy

ROTAČNÍ PLOCHY. 1) Základní pojmy ROTAČNÍ PLOCHY 1) Základní pojmy Rotační plocha vznikne rotací tvořicí křivky k kolem osy o. Pro zobrazení a konstrukce bude výhodnější nechat rotovat jednotlivé body tvořicí křivky. Trajektorii rotujícího

Více

Deskriptivní geometrie pro střední školy

Deskriptivní geometrie pro střední školy Deskriptivní geometrie pro střední školy Mongeovo promítání 1. díl Ivona Spurná Nakladatelství a vydavatelství R www.computermedia.cz Obsah TEMATICKÉ ROZDĚLENÍ DÍLŮ KNIHY DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE 1. díl

Více

O P A K O V Á N Í A P R O H L O U B E N Í U I V A O J E D N O D U C H Ý C H K O N S T R U K C Í C H 1,5 HODINY

O P A K O V Á N Í A P R O H L O U B E N Í U I V A O J E D N O D U C H Ý C H K O N S T R U K C Í C H 1,5 HODINY O P A K O V Á N Í A P R O H L O U B E N Í U I V A O J E D N O D U C H Ý C H K O N S T R U K C Í C H 1,5 HODINY Díve, než spolen pikroíme k uivu o množinách bod, pokusíme se zopakovat nkteré jednoduché

Více

Důkazy vybraných geometrických konstrukcí

Důkazy vybraných geometrických konstrukcí Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5 Ročníková práce Důkazy vybraných geometrických konstrukcí Vypracovala: Ester Sgallová Třída: 8.M Školní rok: 015/016 Seminář : Deskriptivní geometrie

Více

Zobrazení a řezy těles v Mongeově promítání

Zobrazení a řezy těles v Mongeově promítání UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI Pedagogická fakulta Katedra matematiky Michaela Sukupová 3. ročník prezenční studium Obor: Matematika se zaměřením na vzdělávání a český jazyk se zaměřením na vzdělávání

Více

Definice Tečna paraboly je přímka, která má s parabolou jediný společný bod,

Definice Tečna paraboly je přímka, která má s parabolou jediný společný bod, 5.4 Parabola Parabola je křivka, která vznikne řezem rotační kuželové plochy rovinou, jestliže odchylka roviny řezu od osy kuželové plochy je stejná jako odchylka povrchových přímek plochy a rovina řezu

Více

2 OSOVÁ AFINITA V ROVINĚ 37

2 OSOVÁ AFINITA V ROVINĚ 37 Kuželosečky Obsah 1 OHNISKOVÉ VLASTNOSTI KUŽELOSEČEK 5 1.1 Úvod..................................... 5 1.2 Elipsa.................................... 9 1.2.1 Ohniskové vlastnosti elipsy.....................

Více

Západočeská univerzita v Plzni. Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Geometrie. Pomocný učební text. František Ježek, Světlana Tomiczková

Západočeská univerzita v Plzni. Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Geometrie. Pomocný učební text. František Ježek, Světlana Tomiczková Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Geometrie Pomocný učební text František Ježek, Světlana Tomiczková Plzeň 20. září 2004 verze 2.0 Předmluva Tento pomocný text

Více

DRUHY ROVNOBŽNÍK A JEJICH VLASTNOSTI 1 HODINA

DRUHY ROVNOBŽNÍK A JEJICH VLASTNOSTI 1 HODINA DRUHY ROVNOBŽNÍK A JEJICH VLASTNOSTI HODINA Podívej se na následující obrázek: Na obrázku je rovnobžník s vyznaeným pravým úhlem. Odpovídej na otázky:? Jaká je velikost vnitního úhlu pi vrcholu C? Je rovna

Více

3.MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. Rovnoběžný průmět 3D těles na rovinu není vzájemně jednoznačné zobrazení, k obrazu neumíme jednoznačně určit objekt v prostoru

3.MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. Rovnoběžný průmět 3D těles na rovinu není vzájemně jednoznačné zobrazení, k obrazu neumíme jednoznačně určit objekt v prostoru 3.MONGEOVO PROMÍTÁNÍ A B E 3 E 2 Rovnoběžný průmět 3D těles na rovinu není vzájemně jednoznačné zobrazení, k obrazu neumíme jednoznačně určit objekt v prostoru 3.1.Kartézský souřadnicový systém O počátek

Více

5 Kuželosečky ÚM FSI VUT v Brně Studijní text. 5 Kuželosečky

5 Kuželosečky ÚM FSI VUT v Brně Studijní text. 5 Kuželosečky 5 Kuželosečky S kuželosečkami jsme se seznámili již na střední škole. Těchto středoškolských znalostí jsme již využili i v několika příkladech v předchozím textu. V této kapitole své znalosti prohloubíme

Více

R O V N O B Ž N Í K (2 HODINY)

R O V N O B Ž N Í K (2 HODINY) R O V N O B Ž N Í K (2 HODINY)? Co to vlastn rovnobžník je? Na obrázku je dopravní znaka, která íká, že vzdálenost k železninímu pejezdu je 1 m (dva pruhy, jeden pruh pedstavuje vzdálenost 80 m): Pozorn

Více

Analytická geometrie přímky, roviny (opakování středoškolské látky) = 0. Napište obecnou rovnici. 8. Jsou dány body A [ 2,3,

Analytická geometrie přímky, roviny (opakování středoškolské látky) = 0. Napište obecnou rovnici. 8. Jsou dány body A [ 2,3, Analytická geometrie přímky roviny opakování středoškolské látk Jsou dány body A [ ] B [ 5] a C [ 6] a) přímky AB b) osy úsečky AB c) přímky na které leží výška vc trojúhelníka ABC d) přímky na které leží

Více

Katedra matematiky. Geometrie pro FST 1. Plzeň 1. února 2009 verze 6.0

Katedra matematiky. Geometrie pro FST 1. Plzeň 1. února 2009 verze 6.0 Katedra matematiky Geometrie pro FST 1 Pomocný učební text František Ježek, Marta Míková, Světlana Tomiczková Plzeň 1. února 2009 verze 6.0 Předmluva Tento pomocný text vznikl pro potřeby předmětu Geometrie

Více

Jihoeská univerzita v eských Budjovicích Pedagogická fakulta

Jihoeská univerzita v eských Budjovicích Pedagogická fakulta Jihoeská univerzita v eských Budjovicích Pedagogická fakulta Konstrukní úlohy ešené pomocí Cabri geometrie Miroslava Lutzová Finanní matematika 2001-2004 Vedoucí diplomové práce: Mgr. Pavel Leischner Most,

Více

[obr. 1] Rozbor S 3 S 2 S 1. o 1. o 2 [obr. 2]

[obr. 1] Rozbor S 3 S 2 S 1. o 1. o 2 [obr. 2] Příklad Do dané kruhové výseče s ostrým středovým úhlem vepište kružnici (obr. ). M k l V N [obr. ] Rozbor Oblouk l a hledaná kružnice k se dotýkají v bodě T, mají proto v tomto bodě společnou tečnu t.

Více

Konstruktivní geometrie

Konstruktivní geometrie Mgr. Miroslava Tihlaříková, Ph.D. Konstruktivní geometrie & technické kreslení Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny

Více

KARTOGRAFIE. Rovinné projekce. Gnómické projekce. 1. Pólová gnómonická projekce

KARTOGRAFIE. Rovinné projekce. Gnómické projekce. 1. Pólová gnómonická projekce KARTOGRAFIE Kartografie se zabývá zobrazováním zemského povrchu. Zemský povrch (geoid) nahrazujeme plochou kulovou a tu zobrazujeme. Délky zmenšujeme v daném měřítku. Na kulové ploše zavádíme souřadný

Více

Pravoúhlá axonometrie - řezy hranatých těles

Pravoúhlá axonometrie - řezy hranatých těles Pravoúhlá axonometrie - řezy hranatých těles KG - L MENDELU KG - L (MENDELU) Pravoúhlá axonometrie - řezy hranatých těles 1 / 1 Příklad (Řez šikmého hranolu) Sestrojte řez šikmého čtyřbokého hranolu ABCDA

Více

Ročníková práce Konstrukce kuželosečky zadané pěti body

Ročníková práce Konstrukce kuželosečky zadané pěti body Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5 Ročníková práce Konstrukce kuželosečky zadané pěti body Jakub Borovanský 4. C 2011/2012 Zadavatel: Mgr. Ondřej Machů Přísahám, že jsem zadanou ročníkovou

Více

Mendelova univerzita. Konstruktivní geometrie

Mendelova univerzita. Konstruktivní geometrie Mendelova univerzita Petr Liška Konstruktivní geometrie rno 2014 Tato publikace vznikla za přispění Evropského sociálního fondu a státního rozpočtu ČR prostřednictvím Operačního programu Vzdělávání pro

Více

Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5. ROČNÍKOVÁ PRÁCE Technické osvětlení

Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5. ROČNÍKOVÁ PRÁCE Technické osvětlení Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5 ROČNÍKOVÁ PRÁCE Technické osvětlení Vypracoval: Martin Hanuš Třída: 8.M Školní rok: 2015/2016 Seminář: Deskriptivní geometrie Prohlašuji, že jsem ročníkovou

Více

Deskriptivní geometrie 2

Deskriptivní geometrie 2 Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Deskriptivní geometrie 2 Pomocný učební text - díl I Světlana Tomiczková Plzeň 12. února 2016 verze 2.0 2 Autoři Obsah 1 Elementární

Více

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI. Bakaláská práce. Analytická geometrie kuželoseek

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI. Bakaláská práce. Analytická geometrie kuželoseek UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra matematiky Bakaláská práce Martin Krbec, DiS. Analytická geometrie kuželoseek Olomouc 2013 vedoucí práce: Mgr. David Nocar, Ph.D. Prohlášení

Více

Deskriptivní geometrie

Deskriptivní geometrie Deskriptivní geometrie Stavebnictví RNDr. Milan Vacka 2013 České Budějovice 1 Tento učební materiál vznikl v rámci projektu "Integrace a podpora studentů se specifickými vzdělávacími potřebami na Vysoké

Více

KONSTRUKTIVNÍ GEOMETRIE

KONSTRUKTIVNÍ GEOMETRIE KONSTRUKTIVNÍ GEOMETRIE Přednáška Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)

Více

s touto válcovou plochou. Tento případ nebudeme dále uvažovat.

s touto válcovou plochou. Tento případ nebudeme dále uvažovat. Šroubové plochy Šroubová plocha Φ(k) vzniká šroubovým pohybem křivky k, která není trajektorií daného šroubového pohybu. Je-li pohyb levotočivý, resp. pravotočivý je i plocha Φ levotočivá, resp. pravotočivá.

Více

Pravoúhlá axonometrie. tělesa

Pravoúhlá axonometrie. tělesa Pravoúhlá axonometrie tělesa V Rhinu vypneme osy mřížky (tj. červenou vodorovnou a zelenou svislou čáru). Tyto osy v axonometrii vůbec nevyužijeme a zbytečně by se nám zde pletly. Stejně tak můžeme vypnout

Více

Píkazy pro kreslení.

Píkazy pro kreslení. Píkazy pro kreslení. Tento text je psán pro AUTOCAD 2006, eskou modifikaci. V jiných verzích se proto vyskytnou odchylky. Jsou to píkazy, které umožují nakreslit jednotlivé entity v AUTOCADu. Z menu je

Více

Topografické plochy KG - L MENDELU. KG - L (MENDELU) Topografické plochy 1 / 56

Topografické plochy KG - L MENDELU. KG - L (MENDELU) Topografické plochy 1 / 56 Topografické plochy KG - L MENDELU KG - L (MENDELU) Topografické plochy 1 / 56 Obsah 1 Úvod 2 Křivky a body na topografické ploše 3 Řez topografické plochy rovinou 4 Příčný a podélný profil KG - L (MENDELU)

Více

A 1. x x. 1.1 V pravoúhlé axonometrii zobrazte průměty bodu A [4, 5, 8].

A 1. x x. 1.1 V pravoúhlé axonometrii zobrazte průměty bodu A [4, 5, 8]. strana 1 1. onometrie. 1.1 V pravoúhlé aonometrii obrate průmět bodu [4, 5, 8]. 1.2 Zobrate bývající pravoúhlé průmět bodu do souřadnicových rovin. Určete souřadnice bodu, který je obraen v pravoúhlé aonometrii.

Více

Vybrané kapitoly z Mongeova promítání

Vybrané kapitoly z Mongeova promítání UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI Pedagogická fakulta Katedra matematiky Michaela Sukupová 2. ročník prezenční studium Obor: Učitelství matematiky Učitelství českého jazyka Vybrané kapitoly z Mongeova promítání

Více

Konstruktivní geometrie Bod Axonometrie. Úloha: V pravoúhlé axonometrii (XY = 10; XZ = 12; YZ = 11) zobrazte bod A[2; 3; 5] a bod V[9; 7.5; 11].

Konstruktivní geometrie Bod Axonometrie. Úloha: V pravoúhlé axonometrii (XY = 10; XZ = 12; YZ = 11) zobrazte bod A[2; 3; 5] a bod V[9; 7.5; 11]. Konstruktivní geometrie Bod Axonometrie Úloha: V pravoúhlé axonometrii (XY = 10; XZ = 12; YZ = 11) zobrazte bod A[2; 3; 5] a bod V[9; 7.5; 11]. VŠB-TU Ostrava 1 Jana Bělohlávková Konstruktivní geometrie

Více

Aplikace deskriptivní geometrie

Aplikace deskriptivní geometrie INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Rozšíření akreditace učitelství matematiky a učitelství deskriptivní geometrie na PřF UP v Olomouci o formu kombinovanou CZ.1.07/2.2.00/18.0013 Aplikace deskriptivní geometrie

Více

11. Rotační a šroubové plochy

11. Rotační a šroubové plochy Rotační a šroubové plochy ÚM FSI VU v Brně Studijní text. Rotační a šroubové plochy. Rotační plochy Rotační plochy jsou plochy, které lze získat rotačním šablonováním křivky. Jejich rovnice je tedy tvaru

Více

Deskriptivní geometrie

Deskriptivní geometrie Deskriptivní geometrie Stavebnictví RNDr. Milan Vacka 2013 České Budějovice 1 Tento učební materiál vznikl v rámci projektu "Integrace a podpora studentů se specifickými vzdělávacími potřebami na Vysoké

Více

ZÁKLADNÍ ZOBRAZOVACÍ METODY

ZÁKLADNÍ ZOBRAZOVACÍ METODY ZÁKLADNÍ ZOBRAZOVACÍ METODY Prostorové útvary zobrazujeme do roviny pomocí promítání, což je jisté zobrazení trojrozměrného prostoru (uvažujme rozšířený Eukleidovský prostor) do roviny, které je zadáno

Více

Prbh funkce Jaroslav Reichl, 2006

Prbh funkce Jaroslav Reichl, 2006 rbh funkce Jaroslav Reichl, 6 Vyšetování prbhu funkce V tomto tetu je vzorov vyešeno nkolik úloh na vyšetení prbhu funkce. i ešení úlohy jsou využity základní vlastnosti diferenciálního potu.. ešený píklad

Více

Užití stejnolehlosti v konstrukčních úlohách

Užití stejnolehlosti v konstrukčních úlohách Užití stejnolehlosti v konstrukčních úlohách Příklad 1: Je dána kružnice k(o,r) a bod M ležící uvnitř kružnice k. Bodem M veďte tětivu AB, jejíž délka je bodem M rozdělena v poměru 2 : 1. Sestrojte obraz

Více

Kartografické projekce

Kartografické projekce GYMNÁZIUM CHRISTIANA DOPPLERA Zborovská 45, Praha 5 Ročníková práce z deskriptivní geometrie Kartografické projekce Vypracoval: Nguyen, Viet Bach, 4.C Školní rok: 2011/2012 Zadavatel: Mgr. Ondřej Machů

Více

Deskriptivní geometrie I Prezentace a podklady k pr edna s ka m

Deskriptivní geometrie I Prezentace a podklady k pr edna s ka m Deskriptivní geometrie I Prezentace a podklady k pr edna s ka m Geometrická zobrazení v rovině Shodná zobrazení v rovině: identita, posunutí, rotace, středová souměrnost osová souměrnost posunutá souměrnost

Více

P L A N I M E T R I E

P L A N I M E T R I E M T E M T I K P L N I M E T R I E rovinná geometrie Základní planimetrické pojmy od - značí se velkými tiskacími písmeny, např.,,. P, Q. Přímka - značí se malými písmeny, např. a, b, p, q nebo pomocí bodů

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Mongeovo zobrazení. Bod a přímka v rovině

Mongeovo zobrazení. Bod a přímka v rovině Mongeovo zobrazení Bod a přímka v rovině Přímka v rovině Přímka v rovině připomeňme si nejprve větu, která říká, kdy přímka leží v rovině; Přímka v rovině připomeňme si nejprve větu, která říká, kdy přímka

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Čtyřúhelník. O b s a h : Čtyřúhelník. 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti. 2. Názvy čtyřúhelníků Deltoid Tětivový čtyřúhelník

Čtyřúhelník. O b s a h : Čtyřúhelník. 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti. 2. Názvy čtyřúhelníků Deltoid Tětivový čtyřúhelník Čtyřúhelník : 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti 2. Názvy čtyřúhelníků 2.1. Deltoid 2.2. Tětivový čtyřúhelník 2.3. Tečnový čtyřúhelník 2.4. Rovnoběžník 2.4.1. Základní vlastnosti 2.4.2. Výšky

Více

Deskriptivní geometrie 0A5

Deskriptivní geometrie 0A5 Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Deskriptivní geometrie 0A5 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Veronika Roušarová Brno c 2003 Obsah

Více

( ) ( ) 2 2 B A B A ( ) ( ) ( ) B A B A B A

( ) ( ) 2 2 B A B A ( ) ( ) ( ) B A B A B A Vzdálenost dvou bod, sted úseky Ž Vzdálenost dvou bod Pi vyšetování vzájemné polohy bod, pímek a rovin lze použít libovolnou vhodn zvolenou soustavu souadnic (afinní). však pi vyšetování metrických vlastností

Více

Deskriptivní geometrie BA03

Deskriptivní geometrie BA03 Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Deskriptivní geometrie BA03 Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 2014 Určeno pro studenty studijních

Více

8 Podobná (ekviformní) zobrazení v rovině

8 Podobná (ekviformní) zobrazení v rovině Typeset by LATEX2ε 1 8 Podobná (ekviformní) zobrazení v rovině 8.1 Stejnolehlost (homotetie) v rovině Definice 8.1.1. Nechť jsou dány 3 různé kolineární body A, B, C. Dělicím poměrem λ = (ABC) rozumíme

Více