při jízdě stejným směrem v čase L/(v2 v1) = 1200/(12 10) s = 600 s = 10 min. jsou dvakrát, třikrát, n-krát delší.

Transkript

1 EF1: Dva cyklisté Lenka jede rychlostí v1 = 10 m/s, Petr rychlostí v2 = 12 m/s, tedy v2 > v1, délka uzavřené trasy L = 1200 m. Když vyrazí cyklisté opačnými směry, potom pro čas setkání t platí v1 t + v2 t = L, pokud jedou stejným směrem v2 t v1 t = L. a) Při jízdě opačným směrem se poprvé setkají v čase L/(v2 + v1) = 1200/( ) s = 54,5 s, při jízdě stejným směrem v čase L/(v2 v1) = 1200/(12 10) s = 600 s = 10 min. b) Pro druhé setkání je na pravé straně rovnic 2L, pro další 3L, pro n-té nl. Doby pro setkání jsou dvakrát, třikrát, n-krát delší. c) Pohyby obou cyklistů zaznamenáme do grafu s(t); mějme na paměti, že poté, co daný cyklista dospěje do cíle, tj. na konec jednoho kola, je současně na začátku dalšího kola. To se projeví tak, že v daném okamžiku je cyklista na obou místech na konci i na začátku, Jízda opačným směrem

2 Jízda stejným směrem EF2: Rychlík vyjíždí Maximální rychlost vlaku v = 72 km/h = 20 m/s. Úlohu budeme řešit postupně. a) Načrtneme graf v(t), kde je znázorněn úsek zrychlování rychlíku, rovnoměrný pohyb, zpomalování a zastavení vlaku, doba stání před semaforem, znovu rozjíždění a rovnoměrný pohyb včetně průjezdu následující stanicí. b) Doby pohybu v jednotlivých úsecích: t1 = 60 s, t2 = ( )/20 s = 80 s, t3 =90 s, t4 = 150 s (vlak stojí před semaforem), t5 = 60 s, t6 = 2000/20 s = 100 s, celkem t = t1 + t2 + t3 + t4 + t5 + t6 = 540 s. c) Úseky jízdy: s1 = v t1/2 = 20 60/2 = 600 m, s2 = ( ) m = 1600 m, s3 = v t3/2 = 20 90/2 = 900 m, s4 = 0 m, s5 = v t5/2 = 20 60/2 = s1 = 600 m, s6 = 2000 m, celkem 5700 m. d) Přesnější graf pohybu. EF3: Na trase Berlín Vídeň a zpět a) Jízdní trasy se poněkud liší podle toho, kudy se pohybují zejména ve Vídni. b) K výpočtu průměrných rychlostí (včetně čekání ve stanicích) nutno znát vždy celkovou dráhu a celkovou dobu jízdy viz tabulka. c) Znázorníme v grafickém záznamu s(t) viz obrázek. d) Je vhodné se seznámit s uvedenou webovskou stránkou a využívat ji v praktickém životě.

3 Vlak Berlín Praha a zpět Praha Vídeň a zpět Berlín Vídeň a zpět EN477 s = ( ) km s = 804 km Metropol t = (24 + 0,45 19,42) h s = 407 km t = (24 + 6,13 19,42) h t = 5,03 h t = (6,13 0,62) h t = 10,71 h v = 78,9 km/h t = 5,51 h v = 75,0 km/h v = 73,9 km/h EC173 s = ( ) km s = ( ) km s = ( ) km Vindobona s = 420 km s = 817 km t = (13,45 8,60) h t = (18,38 13,65) h t = (18,38 8,60) h t = 4,85 h t = 4,73 h t = 9,78 h v = 81,9 km/h v = 88,8 km/h v = 83,5 km/h EC177 s = (403 6) km s = ( ) km s = (801 6) km Johannes s = 398 km s = 795 km Brahms t = (17,45 12,60) h t = (22,07 17,65) h t = (22,07 12,60) h t = 4,85 h t = 4,42 h t = 9,47 h v = 81,9 km/h v = 90,0 km/h v = 83,9 km/h D406 s = ( ) km s = (418 11) km s = (815 11) km Chopin s = 407 km s = 804 km t = (8,90 3,55) h t = (24 + 3,37 22,38) h t = (24 + 8,90 22,38) h t = 5,35 h t = 4,99 h t = 10,62 h v = 74,2 km/h v = 81,56 km/h v = 75,7 km/h s = ( ) km s = 398 km s = 795 km Carl Maria von t = (10,35 5,83) h t = (15,33 5,83) h Weber t = (15,33 10,52) h t = 4,52 h t = 9,50 h t = 4,81 h v = 88,1 km/h v = 83,7 km/h EC378 v = 82,5 km/h EC172 s = ( ) km s = ( ) km s = ( ) km Vindobona s = 420 km s = 817 km t = (19,33 14,52) h t = (14,35 9,53) h t = (19,33 9,53) h t = 4,81 h t = 4,82 h t = 9,80 h v = 82,5 km/h v = 87,1 km/h v = 83,4 km/h

4 EF4: Cyklista jede z kopce (1) Jde o dvě na sebe navazující úlohy 4 a 5; v prvním případě neuvažujeme odporovou sílu, s níž působí na cyklistu vzduch, ve druhém případě ji nemůžeme zanedbat. První řešení (úloha 4) dospívá k nereálným výsledkům, druhá (úloha 5) odpovídá více skutečnosti. a) Obrázek je jednoduchý a vede ke znázornění sil, působících na cyklistu při jízdě. b) Síla, působící na cyklistu, je rovna F = m g p = ( ,12) N = 90 N. c) Změna polohové energie ΔEp = m g h. d) Změnou polohové energie se zvětší energie pohybová. Ze zákona zachování energie pro rychlost cyklisty platí v 2 g h 2 g p l Poté, co cyklista urazí vzdálenost l = 500 m, dosáhne okamžité rychlosti 34,6 m/s = 125 km/h, poté, co urazí 800 m, dosáhne rychlostí 44 m/s = 158 km/h; obě rychlosti jsou nepravděpodobné. EF5: Cyklista jede z kopce (2) Výsledná síla, která působí na cyklistu, je rovna F = m g p k v2, tedy její velikost závisí na okamžité rychlosti cyklisty. V krajním případě může tato síla dosáhnout nulové hodnoty, takže se dále pohybuje rovnoměrným pohybem. a) Pro okamžitou rychlost 5 m/s vychází výsledná síla F = ( ,12 0,30 52) N = = 82,5 N.

5 b) Pro okamžitou rychlost 15 m/s vychází výsledná síla F = ( ,12 0,30 152) N = = 22,5 N. c) Mezní rychlost, při které se výsledná síla rovná nule F = 0, tj. m g p = k v2, je 17,3 m/s= = 62,4 km/h. d) Pro jízdu po rovině s okamžitým výkonem P při okamžité rychlosti značené v platí P = F v = k v2 v = k v3, odkud hodnota mezní rychlosti je 17,1 m/s = 61,6 km/h. EF6: Spotřeba benzínu Vyjdeme ze vztahu pro odporovou sílu F = k v2. a) Mezní hodnoty odporové síly při rychlostech 15 m/s až 40 m/s: 124 N, 880 N, sestrojíme graf F(v). b) Práce, potřebná k překonání odporové síly na dráze s = 100 km = m je W = F s = = k v2 s. Objem spotřebovaného benzínu o výhřevnosti H = 32 MJ/l při účinnosti spalování η = 0,2 pak vychází V W 0, v 2 0,00859v 2 n H 0, Spotřeba benzínu při daných rychlostech je 5,37 litru, 9,53 litru a 13,75 litru na trase 100 km. c) Po zlepšení technických parametrů vozidla se spotřeba sníží na 3,9 litru, popř. 6,9 litru či 10,0 litru na trase 100 km.

6 EF7: Atmosféra se ohřívá Nejprve provedeme odhad hmotnosti atmosféry. a) Pro poloměr Země RZ = m vychází povrch kulové plochy S = 4π RZ2 5, m2. Atmosférický tlak asi 100 kpa je způsoben gravitačními účinky Země na vzdušný obal; potom m = p S / g = 5, kg, což odpovídá údajům z tabulek. b) Teplo potřebné pro ohřátí atmosféry o 1 C je rovno Q1 = m c Δt = (5, ) J = = 5, J, o 2 C činí Q2 = 10, J. c) Sluneční záření při úplném pohlcení má na hranici atmosféry výkon 1370 W/m2. Uvažme plochu disku o poloměru rovném poloměru Země, potom celkový výkon dopadajícího záření na plochu S2 = π RZ2 = 1, m2 je P = 1, W. Kdyby bylo možno využít celého tepla k ohřátí zemské atmosféry, potom by to trvalo dobu Q1/P = s, tj. asi 8,3 h. Zahřívání atmosféry však není tak jednoduché, ohřívá se vždy jen na přivrácené části, část záření dopadne až na povrch Země aj. V celkové dlouhodobé bilanci se udržuje střední hodnota teploty přibližně stálá. Teplo způsobené pohlcením slunečního záření je zdrojem pro mnoho jevů, které probíhají na povrchu Země. EF8: Ledová kra a) Objem ledu je V = 6,5 ha 30 cm = m 2 0,3 m = 1, m3, hmotnost ledu m = (910 1,95 104) kg = 17, kg = tun. b) Na roztátí ledu je třeba teplo Q = (17, ) J = 5, J, ovšem v případě, že teplota tajícího ledu bude 0 C. Jinak je třeba přidat teplo k ohřátí ledu na teplotu tání. c) K roztátí by bylo třeba asi Q/( ) kg teplé vody o teplotě 70 C, tj m3. To by představovalo zvýšení hladiny vody v rybníce asi o 32 cm za předpokladu, že se nezvětší rozlitím vody jeho plocha. EF9: Pohyb těles kolem Země a) Kruhová dráha Měsíce má velikost s1 = 2π R1 = 2 3, km = 2, km, oběžná doba T1 = 27,32 dne = 2, s. Oběžná rychlost Měsíce na trajektorii kolem Země má střední hodnotu v1 = s1/t1 = 1,023 km/s; protože je však trajektorie eliptická, mění se mezi hodnotami 1,082 km/s v perigeu a 0,968 km/s v apogeu. b) Analogicky s2 = 2π R2 = 2 3, km = 2, km, T2 = 23 h 56 min 04 s = = s. Stacionární družice Země dosahuje rychlosti v1 = s2/t2 = 3,067 km/s, umisťuje

7 se nad rovníkem ve výšce ( ) km = km nad povrchem Země. c) Určíme poměr r3/t2 pro pohyb Měsíce 1, v jednotkách SI, pro pohyb družice stacionární 1, , což je vzhledem k přesnosti údajů prakticky stejné. EF10: Práce s fotomapou Dané místo se nalézá na Václavském náměstí v Praze, v blízkosti sochy sv. Václava na koni. a) Poledníky mají délku asi km, na 1 připadá 111,2 km, na 1 připadá asi 1853 m, na 1 asi 30,9 m, na 0,01 asi 0,31 m, tj. 1 foot. b,c) Vypočteme rozdíl zeměpisných šířek a s využitím faktu, na 1 připadá 111,2 km, určíme hledanou vzdálenost. Tu ověříme funkcí měření. Měření na 50 04,8, tj. 50,08 je délka rovnoběžky km, na 1 připadá 71,35 km, pak na 1 asi 1190 m, na 1 asi 19,8 m. d) Všechny poledníky mají tvar elipsy s delší poloosou rovnou rovníkovému poloměru a kratší poloosou rovnou polárnímu poloměru, což je pro všechny poledníky stejné. Rovnoběžky vzniknou jako řez Zemí rovinami rovnoběžnými s rovinou rovníku, a proto mají od rovníku k pólu zmenšující se poloměry. EF11: Kolumbova první výprava Příslušná místa najdeme v atlase nebo na GoogleEarth3D, kde použijeme funkci měření. Dobu plavby určíme z údajů, předpokládáme, že lodě se nikde nadlouho nezastavovaly (v opačném případě vyjde rychlost větší). a) Z přístavu Palos na Kanárské ostrovy je to asi 1370 km, z Kanárských ostrovů na Bahamské souostroví asi 5730 km, celkem lodě ujely 7100 km (což činí jen 3834 námořních mil, neboť 1 nmi = 1,852 km) za 69 dní, ujely tedy průměrně denně přes 100 km. b) Cesta trvala 28 dní v srpnu, 30 dni v září a 11 dní v říjnu, tj. celkem 69 dní, ujely tedy denně 55,6 námořních mil. c) Průměrná rychlost plujících lodí byla 2,32 uzlů, tj. 4,3 km/h. Rychlost závisela na rychlosti mořského proudění, na rychlosti a směru větru, neboť šlo o plachetnice. EF12: Výzkum pohybu kuličky po nakloněné rovině Sestavíme si experimentální soupravu podle návodu nebo soupravu podobnou, která nám

8 umožní změřit dráhu kuličky při pohybu po nakloněné rovině a příslušnou dobu pohybu. FO52EF13: Automobil a životní prostředí a) Podle zadaných údajů je spotřeba l za jeden rok. b) Podle zadaných údajů se roční emise pohybují v rozmezí 2,6 3,68 tun. c) Odpovídající práce při účinnosti 0,22 bude W = ( ) ,22 J = = 6,4 14,0 GJ. d) Protože platí W = F s, pro střední hodnotu tahové síly máme F = W/s = N e) Člověk produkuje za rok 3720 kg oxidu uhličitého. FO52EF14: Průřez měděného drátu Smotek měděného drátu o délce 350 m má odpor 20 Ω, který jsme zjistili měřením ohmmetrem. Víme, že měděný drát o délce 1 m a průřezu 1 mm2 má odpor R1 = 0,017 Ω. Odpor drátu je přímo úměrný délce drátu a nepřímo jeho průřezu. a) Pokud by měl drát průřez 1 mm2, byl by při délce 350 m jeho odpor 350 0,017 Ω = = 5,95 Ω. Protože je jeho odpor větší, musí mít menší průřez v poměru 5,95/20 0,3 mm2. Ze vztahu pro obsah kruhu S = π d2/4 zjistíme odpovídající poloměr d 0,6 mm. b) Objem drátu V = S l = 0, m2 350 m m3. Pomocí hustoty pak dopočteme hledanou hmotnost m = V ρ = S l ρ = 0,935 kg. c) Pro odpor drátu o průřezu S a délce l platí R = R1 l/s, kde R1 = 0,017 Ω je odpor drátu o délce 1 m a průřezu 1 mm2; pro hmotnost podle předchozí části m = S l ρ. Vyloučení průřezu S z obou vztahů vychází l m R R1 FO52EF15: Experimentální výzkum natékání a vytékání kapaliny z nádoby Práci provedeme nejlépe v koupelně nebo na zahradě či na balkóně, přesně podle návodu. Zvolte vhodnou plastovou lahev. Navrhněte si soupravu, údaje zapisujte do vhodné tabulky.