Historický přehled vývoje geometrie

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Historický přehled vývoje geometrie"

Transkript

1 Katedra matematiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Seminar z Geometrickémechaniky,

2 Přehled historie geometrie - starověk Babylon, Egypt, Řecko starověký Babylon, starověký Egypt (2. tisíciletí př. n. l.)

3 Přehled historie geometrie - starověk Babylon, Egypt, Řecko starověký Babylon, starověký Egypt (2. tisíciletí př. n. l.) geometrie má empirický charakter,

4 Přehled historie geometrie - starověk Babylon, Egypt, Řecko starověký Babylon, starověký Egypt (2. tisíciletí př. n. l.) geometrie má empirický charakter, řešení praktických potřeb a úkolů (měření délek, obsahů a objemů jednoduch. geometr. útvarů) na základě zkušenosti

5 Přehled historie geometrie - starověk Babylon, Egypt, Řecko starověký Babylon, starověký Egypt (2. tisíciletí př. n. l.) geometrie má empirický charakter, řešení praktických potřeb a úkolů (měření délek, obsahů a objemů jednoduch. geometr. útvarů) na základě zkušenosti nezabývali se zřejmě obec. úvahami a důkazy

6 Přehled historie geometrie - starověk Babylon, Egypt, Řecko starověký Babylon, starověký Egypt (2. tisíciletí př. n. l.) geometrie má empirický charakter, řešení praktických potřeb a úkolů (měření délek, obsahů a objemů jednoduch. geometr. útvarů) na základě zkušenosti nezabývali se zřejmě obec. úvahami a důkazy důležitější bylo jak se to počítá

7 Přehled historie geometrie - starověk Babylon, Egypt, Řecko starověký Babylon, starověký Egypt (2. tisíciletí př. n. l.) geometrie má empirický charakter, řešení praktických potřeb a úkolů (měření délek, obsahů a objemů jednoduch. geometr. útvarů) na základě zkušenosti nezabývali se zřejmě obec. úvahami a důkazy důležitější bylo jak se to počítá starověké Řecko ( stol. př. n. l.)

8 Přehled historie geometrie - starověk Babylon, Egypt, Řecko starověký Babylon, starověký Egypt (2. tisíciletí př. n. l.) geometrie má empirický charakter, řešení praktických potřeb a úkolů (měření délek, obsahů a objemů jednoduch. geometr. útvarů) na základě zkušenosti nezabývali se zřejmě obec. úvahami a důkazy důležitější bylo jak se to počítá starověké Řecko ( stol. př. n. l.) navazují na poznatky Babyloňanů a Egypt anů

9 Přehled historie geometrie - starověk Babylon, Egypt, Řecko starověký Babylon, starověký Egypt (2. tisíciletí př. n. l.) geometrie má empirický charakter, řešení praktických potřeb a úkolů (měření délek, obsahů a objemů jednoduch. geometr. útvarů) na základě zkušenosti nezabývali se zřejmě obec. úvahami a důkazy důležitější bylo jak se to počítá starověké Řecko ( stol. př. n. l.) navazují na poznatky Babyloňanů a Egypt anů objevují se obecnější úvahy, snaha přesvědčovat se důkazy

10 Přehled historie geometrie - starověk Babylon, Egypt, Řecko starověký Babylon, starověký Egypt (2. tisíciletí př. n. l.) geometrie má empirický charakter, řešení praktických potřeb a úkolů (měření délek, obsahů a objemů jednoduch. geometr. útvarů) na základě zkušenosti nezabývali se zřejmě obec. úvahami a důkazy důležitější bylo jak se to počítá starověké Řecko ( stol. př. n. l.) navazují na poznatky Babyloňanů a Egypt anů objevují se obecnější úvahy, snaha přesvědčovat se důkazy nejen jak se to počítá, ale především také proč to tak je

11 Přehled historie geometrie - starověké Řecko přehled nejdůležitějších jmen a jejich přínos k rozvoji geometrie

12 Přehled historie geometrie - starověké Řecko přehled nejdůležitějších jmen a jejich přínos k rozvoji geometrie Thales z Miletu ( př. n. l.)

13 Přehled historie geometrie - starověké Řecko přehled nejdůležitějších jmen a jejich přínos k rozvoji geometrie Thales z Miletu ( př. n. l.) Thaletova věta, Thaletova kružnice

14 Přehled historie geometrie - starověké Řecko přehled nejdůležitějších jmen a jejich přínos k rozvoji geometrie Thales z Miletu ( př. n. l.) Thaletova věta, Thaletova kružnice Pythagoras ze Samu ( př. n. l.) Pythagoras

15 Přehled historie geometrie - starověké Řecko přehled nejdůležitějších jmen a jejich přínos k rozvoji geometrie Thales z Miletu ( př. n. l.) Thaletova věta, Thaletova kružnice Pythagoras ze Samu ( př. n. l.) Pythagoras Pythagorova věta a její důkaz, vlastnosti pravoúhlých trojúhelníků,

16 Přehled historie geometrie - starověké Řecko přehled nejdůležitějších jmen a jejich přínos k rozvoji geometrie Thales z Miletu ( př. n. l.) Thaletova věta, Thaletova kružnice Pythagoras ze Samu ( př. n. l.) Pythagoras Pythagorova věta a její důkaz, vlastnosti pravoúhlých trojúhelníků, zakladatel katoptriky - část optiky, která se zabývá odrazem světla od geometrických útvarů

17 Přehled historie geometrie - starověké Řecko Hippokratés z Chiu (5. stol př. n. l.)(nezaměňovat s lékařem Hippokratem z Kóu)

18 Přehled historie geometrie - starověké Řecko Hippokratés z Chiu (5. stol př. n. l.)(nezaměňovat s lékařem Hippokratem z Kóu) Hippokratova kvadratura měsíčků

19 Přehled historie geometrie - starověké Řecko Hippokratés z Chiu (5. stol př. n. l.)(nezaměňovat s lékařem Hippokratem z Kóu) Hippokratova kvadratura měsíčků Hippias z Elidy ( př. n. l.)

20 Přehled historie geometrie - starověké Řecko Hippokratés z Chiu (5. stol př. n. l.)(nezaměňovat s lékařem Hippokratem z Kóu) Hippokratova kvadratura měsíčků Hippias z Elidy ( př. n. l.) transcendentní křivka - Hippiasova kvadratrix a její použití pří řešení trisekce úhlu a kvadratury kruhy

21 Přehled historie geometrie - starověké Řecko Hippokratés z Chiu (5. stol př. n. l.)(nezaměňovat s lékařem Hippokratem z Kóu) Hippokratova kvadratura měsíčků Hippias z Elidy ( př. n. l.) transcendentní křivka - Hippiasova kvadratrix a její použití pří řešení trisekce úhlu a kvadratury kruhy Hippiasova kvadratix

22 Přehled historie geometrie - starověké Řecko Celá Hippiasova kvadartrix (vyjádřena explicitně jako graf funkce)

23 Stručný přehled historie geometrie - starověké Řecko Platón ( př. n. l.)

24 Stručný přehled historie geometrie - starověké Řecko Platón ( př. n. l.) platónská tělesa Platónská tělesa

25 Stručný přehled historie geometrie - starověké Řecko Platón ( př. n. l.) platónská tělesa Platónská tělesa Eudoxos z Knidu ( př. n. l.)

26 Stručný přehled historie geometrie - starověké Řecko Platón ( př. n. l.) platónská tělesa Platónská tělesa Eudoxos z Knidu ( př. n. l.) tvůrce exhaustivní metody (metody vyčerpání )

27 Stručný přehled historie geometrie - starověké Řecko Platón ( př. n. l.) platónská tělesa Platónská tělesa Eudoxos z Knidu ( př. n. l.) tvůrce exhaustivní metody (metody vyčerpání ) počítání obsahů zaoblených útvarů, principem je pokrýt útvar mnohoúhelníky a tak co nejvíce vyčerpat plochu útvaru

28 Stručný přehled historie geometrie - starověké Řecko Platón ( př. n. l.) platónská tělesa Platónská tělesa Eudoxos z Knidu ( př. n. l.) tvůrce exhaustivní metody (metody vyčerpání ) počítání obsahů zaoblených útvarů, principem je pokrýt útvar mnohoúhelníky a tak co nejvíce vyčerpat plochu útvaru vyšetřoval valení válcové plochy podél hlavní kružnice plochy kulové, dospěl k prostorové křivce, tzv. hypopedě

29 Přehled historie geometrie - starověké Řecko velké množství geometric. poznatků - nutnost jejich uspořádání do celku

30 Přehled historie geometrie - starověké Řecko velké množství geometric. poznatků - nutnost jejich uspořádání do celku Eukleides z Alexandrie ( př. n. l.) Eukleides

31 Přehled historie geometrie - starověké Řecko velké množství geometric. poznatků - nutnost jejich uspořádání do celku Eukleides z Alexandrie ( př. n. l.) Eukleides Eukleidovy Základy

32 Přehled historie geometrie - starověké Řecko velké množství geometric. poznatků - nutnost jejich uspořádání do celku Eukleides z Alexandrie ( př. n. l.) Eukleides Eukleidovy Základy mistrovské dílo architektury matematiky nebo též bible geometrie

33 Přehled historie geometrie - starověké Řecko velké množství geometric. poznatků - nutnost jejich uspořádání do celku Eukleides z Alexandrie ( př. n. l.) Eukleides Eukleidovy Základy mistrovské dílo architektury matematiky nebo též bible geometrie podává systematický výklad základů geometrie syntetickou metodou

34 Přehled historie geometrie - starověké Řecko velké množství geometric. poznatků - nutnost jejich uspořádání do celku Eukleides z Alexandrie ( př. n. l.) Eukleides Eukleidovy Základy mistrovské dílo architektury matematiky nebo též bible geometrie podává systematický výklad základů geometrie syntetickou metodou geometrie je zde vybudovaná axiomaticky, na základě striktních pravidel logiky

35 Obsah Eukleidových Základů Dílo tvoří 13 knih

36 Obsah Eukleidových Základů Dílo tvoří 13 knih KNIHA 1 - věty o trojúhelnících, jejich konstrukce, teorie rovnoběžek

37 Obsah Eukleidových Základů Dílo tvoří 13 knih KNIHA 1 - věty o trojúhelnících, jejich konstrukce, teorie rovnoběžek KNIHA 2 - transformace trojúhelníků na rovnoplochý čtverec

38 Obsah Eukleidových Základů Dílo tvoří 13 knih KNIHA 1 - věty o trojúhelnících, jejich konstrukce, teorie rovnoběžek KNIHA 2 - transformace trojúhelníků na rovnoplochý čtverec KNIHA 3 - kružnice

39 Obsah Eukleidových Základů Dílo tvoří 13 knih KNIHA 1 - věty o trojúhelnících, jejich konstrukce, teorie rovnoběžek KNIHA 2 - transformace trojúhelníků na rovnoplochý čtverec KNIHA 3 - kružnice KNIHA 4 - pravidelné mnohoúhelníky a jejich konstrukce pro n = 5, 6, 10

40 Obsah Eukleidových Základů Dílo tvoří 13 knih KNIHA 1 - věty o trojúhelnících, jejich konstrukce, teorie rovnoběžek KNIHA 2 - transformace trojúhelníků na rovnoplochý čtverec KNIHA 3 - kružnice KNIHA 4 - pravidelné mnohoúhelníky a jejich konstrukce pro n = 5, 6, 10 KNIHA 5 - teorie poměrů

41 Obsah Eukleidových Základů Dílo tvoří 13 knih KNIHA 1 - věty o trojúhelnících, jejich konstrukce, teorie rovnoběžek KNIHA 2 - transformace trojúhelníků na rovnoplochý čtverec KNIHA 3 - kružnice KNIHA 4 - pravidelné mnohoúhelníky a jejich konstrukce pro n = 5, 6, 10 KNIHA 5 - teorie poměrů KNIHA 6 - podobné mnohoúhelníky

42 Obsah Eukleidových Základů Dílo tvoří 13 knih KNIHA 1 - věty o trojúhelnících, jejich konstrukce, teorie rovnoběžek KNIHA 2 - transformace trojúhelníků na rovnoplochý čtverec KNIHA 3 - kružnice KNIHA 4 - pravidelné mnohoúhelníky a jejich konstrukce pro n = 5, 6, 10 KNIHA 5 - teorie poměrů KNIHA 6 - podobné mnohoúhelníky KNIHY 7, 8, 9 - aritmetika v geometrickém pojetí

43 Obsah Eukleidových Základů Dílo tvoří 13 knih KNIHA 1 - věty o trojúhelnících, jejich konstrukce, teorie rovnoběžek KNIHA 2 - transformace trojúhelníků na rovnoplochý čtverec KNIHA 3 - kružnice KNIHA 4 - pravidelné mnohoúhelníky a jejich konstrukce pro n = 5, 6, 10 KNIHA 5 - teorie poměrů KNIHA 6 - podobné mnohoúhelníky KNIHY 7, 8, 9 - aritmetika v geometrickém pojetí KNIHA 10 - nesouměřitelné veličiny

44 Obsah Eukleidových Základů a logická struktura díla KNIHA 11, 12 - základy stereometrie

45 Obsah Eukleidových Základů a logická struktura díla KNIHA 11, 12 - základy stereometrie KNIHA 13 - pravidelné mnohostěny

46 Obsah Eukleidových Základů a logická struktura díla KNIHA 11, 12 - základy stereometrie KNIHA 13 - pravidelné mnohostěny Základy sloužily lidstvu jako učebnice geometrie po vícu než 2000 let

47 Obsah Eukleidových Základů a logická struktura díla KNIHA 11, 12 - základy stereometrie KNIHA 13 - pravidelné mnohostěny Základy sloužily lidstvu jako učebnice geometrie po vícu než 2000 let logická struktura díla knihy začínají základními definicemi pojmů

48 Obsah Eukleidových Základů a logická struktura díla KNIHA 11, 12 - základy stereometrie KNIHA 13 - pravidelné mnohostěny Základy sloužily lidstvu jako učebnice geometrie po vícu než 2000 let logická struktura díla knihy začínají základními definicemi pojmů následují základní nepochybná tvrzení, která se nedokazují, tzv. axiomy a postuláty

49 Obsah Eukleidových Základů a logická struktura díla KNIHA 11, 12 - základy stereometrie KNIHA 13 - pravidelné mnohostěny Základy sloužily lidstvu jako učebnice geometrie po vícu než 2000 let logická struktura díla knihy začínají základními definicemi pojmů následují základní nepochybná tvrzení, která se nedokazují, tzv. axiomy a postuláty postulátů je celkem 5 a tvoří jakési základní kameny velkolepé stavby geometrie

50 Obsah Eukleidových Základů a logická struktura díla KNIHA 11, 12 - základy stereometrie KNIHA 13 - pravidelné mnohostěny Základy sloužily lidstvu jako učebnice geometrie po vícu než 2000 let logická struktura díla knihy začínají základními definicemi pojmů následují základní nepochybná tvrzení, která se nedokazují, tzv. axiomy a postuláty postulátů je celkem 5 a tvoří jakési základní kameny velkolepé stavby geometrie tvrzení jsou pak řazeny v přesném logickém pořadí

51 Obsah Eukleidových Základů a logická struktura díla KNIHA 11, 12 - základy stereometrie KNIHA 13 - pravidelné mnohostěny Základy sloužily lidstvu jako učebnice geometrie po vícu než 2000 let logická struktura díla knihy začínají základními definicemi pojmů následují základní nepochybná tvrzení, která se nedokazují, tzv. axiomy a postuláty postulátů je celkem 5 a tvoří jakési základní kameny velkolepé stavby geometrie tvrzení jsou pak řazeny v přesném logickém pořadí každá věta se dá dokázat z předchozích vět a s využitím axiomů a postulátů

52 Logická struktura Eukleidových Základů výstižný citát:

53 Logická struktura Eukleidových Základů výstižný citát: Eukleides na pěti základních kamenech klade s železnou logikou cihlu po cihle, ujišt uje se, že každá cihla pevně drží na předcházejících bez nejmenší mezery a tak vystaví celou katedrálu geometrie pevně zakotvenou ve svých základech.

54 Logická struktura Eukleidových Základů výstižný citát: Eukleides na pěti základních kamenech klade s železnou logikou cihlu po cihle, ujišt uje se, že každá cihla pevně drží na předcházejících bez nejmenší mezery a tak vystaví celou katedrálu geometrie pevně zakotvenou ve svých základech. Beckmann,P., Historie čísla π, Academia, Praha, 1998, ISBN

55 Euklidovsky přípustné konstrukce a neřešitelné antické úlohy euklidovsky přípustnými konstrukcemi se rozumí

56 Euklidovsky přípustné konstrukce a neřešitelné antické úlohy euklidovsky přípustnými konstrukcemi se rozumí konstrukce provedené pouze za pomocí pravítka a kružítka

57 Euklidovsky přípustné konstrukce a neřešitelné antické úlohy euklidovsky přípustnými konstrukcemi se rozumí konstrukce provedené pouze za pomocí pravítka a kružítka a konečného počtu kroků

58 Euklidovsky přípustné konstrukce a neřešitelné antické úlohy euklidovsky přípustnými konstrukcemi se rozumí konstrukce provedené pouze za pomocí pravítka a kružítka a konečného počtu kroků Slavné neřešitelné antické úlohy:

59 Euklidovsky přípustné konstrukce a neřešitelné antické úlohy euklidovsky přípustnými konstrukcemi se rozumí konstrukce provedené pouze za pomocí pravítka a kružítka a konečného počtu kroků Slavné neřešitelné antické úlohy: 1. kvadratura kruhu a její modifikace 1. rektifikace kružnice a 1. kubatura koule

60 Euklidovsky přípustné konstrukce a neřešitelné antické úlohy euklidovsky přípustnými konstrukcemi se rozumí konstrukce provedené pouze za pomocí pravítka a kružítka a konečného počtu kroků Slavné neřešitelné antické úlohy: 1. kvadratura kruhu a její modifikace 1. rektifikace kružnice a 1. kubatura koule 2. trisekce úhlu

61 Euklidovsky přípustné konstrukce a neřešitelné antické úlohy euklidovsky přípustnými konstrukcemi se rozumí konstrukce provedené pouze za pomocí pravítka a kružítka a konečného počtu kroků Slavné neřešitelné antické úlohy: 1. kvadratura kruhu a její modifikace 1. rektifikace kružnice a 1. kubatura koule 2. trisekce úhlu 3. zdvojení (duplikace) krychle

62 Euklidovsky přípustné konstrukce a neřešitelné antické úlohy euklidovsky přípustnými konstrukcemi se rozumí konstrukce provedené pouze za pomocí pravítka a kružítka a konečného počtu kroků Slavné neřešitelné antické úlohy: 1. kvadratura kruhu a její modifikace 1. rektifikace kružnice a 1. kubatura koule 2. trisekce úhlu 3. zdvojení (duplikace) krychle podmínkou přitom je, aby se pouze rýsovalo euklidovsky přípustnými konstrukcemi,

63 Euklidovsky přípustné konstrukce a neřešitelné antické úlohy euklidovsky přípustnými konstrukcemi se rozumí konstrukce provedené pouze za pomocí pravítka a kružítka a konečného počtu kroků Slavné neřešitelné antické úlohy: 1. kvadratura kruhu a její modifikace 1. rektifikace kružnice a 1. kubatura koule 2. trisekce úhlu 3. zdvojení (duplikace) krychle podmínkou přitom je, aby se pouze rýsovalo euklidovsky přípustnými konstrukcemi, bez jakéhokoliv měření, žádného pravítka se stupnicí, křivítka apod., vyžaduje se tedy tzv.eukleidovské řešení

64 Euklidovsky přípustné konstrukce a neřešitelné antické úlohy 1. kvadratura kruhu: Sestrojení čtverce stejného obsahu jako daný kruh poloměru r, tzn. euklidovskou konstrukcí sestrojit čtverec o straně délky r π

65 Euklidovsky přípustné konstrukce a neřešitelné antické úlohy 1. kvadratura kruhu: Sestrojení čtverce stejného obsahu jako daný kruh poloměru r, tzn. euklidovskou konstrukcí sestrojit čtverec o straně délky r π 1. rektifikace kružnice: K dané kružnici sestrojit úsečku stejné délky, jako je obvod kružnice, tzn. euklidovskou konstrukcí sestrojit k danému poloměru r úsečku délky 2πr.

66 Euklidovsky přípustné konstrukce a neřešitelné antické úlohy 1. kvadratura kruhu: Sestrojení čtverce stejného obsahu jako daný kruh poloměru r, tzn. euklidovskou konstrukcí sestrojit čtverec o straně délky r π 1. rektifikace kružnice: K dané kružnici sestrojit úsečku stejné délky, jako je obvod kružnice, tzn. euklidovskou konstrukcí sestrojit k danému poloměru r úsečku délky 2πr. 1. kubatura koule: Sestrojení krychle stejného objemu jako daná koule poloměru r, tzn. euklidovskou konstrukcí sestrojit krychli o hraně délky r 3 4π 3

67 Euklidovsky přípustné konstrukce a neřešitelné antické úlohy 2. trisekce úhlu: Euklidovskou konstrukcí rozdělit obecný úhel na tři přesně stejné díly.

68 Euklidovsky přípustné konstrukce a neřešitelné antické úlohy 2. trisekce úhlu: Euklidovskou konstrukcí rozdělit obecný úhel na tři přesně stejné díly. 3. zdvojení (duplikace) krychle: Sestrojit krychli, která má přesně dvojnásobný objem jako zadaná krychle o hraně a, tzn. euklidovskou konstrukcí sestrojit úsečku délky a 3 π

69 Euklidovsky přípustné konstrukce a neřešitelné antické úlohy 2. trisekce úhlu: Euklidovskou konstrukcí rozdělit obecný úhel na tři přesně stejné díly. 3. zdvojení (duplikace) krychle: Sestrojit krychli, která má přesně dvojnásobný objem jako zadaná krychle o hraně a, tzn. euklidovskou konstrukcí sestrojit úsečku délky a 3 π pol. 19. stol.- podařilo se dokázat, že žádná z uvedených úloh není euklidovsky řešitelná

70 Euklidovsky přípustné konstrukce a neřešitelné antické úlohy 2. trisekce úhlu: Euklidovskou konstrukcí rozdělit obecný úhel na tři přesně stejné díly. 3. zdvojení (duplikace) krychle: Sestrojit krychli, která má přesně dvojnásobný objem jako zadaná krychle o hraně a, tzn. euklidovskou konstrukcí sestrojit úsečku délky a 3 π pol. 19. stol.- podařilo se dokázat, že žádná z uvedených úloh není euklidovsky řešitelná Pierre Laurent Wantzel ( ) vyslovil a dokázal větu :

71 Euklidovsky přípustné konstrukce a neřešitelné antické úlohy 2. trisekce úhlu: Euklidovskou konstrukcí rozdělit obecný úhel na tři přesně stejné díly. 3. zdvojení (duplikace) krychle: Sestrojit krychli, která má přesně dvojnásobný objem jako zadaná krychle o hraně a, tzn. euklidovskou konstrukcí sestrojit úsečku délky a 3 π pol. 19. stol.- podařilo se dokázat, že žádná z uvedených úloh není euklidovsky řešitelná Pierre Laurent Wantzel ( ) vyslovil a dokázal větu : eukleidovskou konstrukcí je možné provádět pouze početní operace sčítání, odčítání, násobení, dělení a druhou odmocninu. (Nic jiného).

72 Euklidovsky přípustné konstrukce a neřešitelné antické úlohy kubatura koule, zdvojení krychle a trisekce úhlů vedou přitom na výpočet třetí odmocniny

73 Euklidovsky přípustné konstrukce a neřešitelné antické úlohy kubatura koule, zdvojení krychle a trisekce úhlů vedou přitom na výpočet třetí odmocniny neřešitelnost kvadratury kruhu a rektifikace kružnice plyne zase z faktu, že číslo π je transendentní iracionální číslo,

74 Euklidovsky přípustné konstrukce a neřešitelné antické úlohy kubatura koule, zdvojení krychle a trisekce úhlů vedou přitom na výpočet třetí odmocniny neřešitelnost kvadratury kruhu a rektifikace kružnice plyne zase z faktu, že číslo π je transendentní iracionální číslo, není řešením žádné algebraické rovnice s racionálními koeficienty a celočíselnými mocninami (dokázal Lindemann (1882))

75 Euklidovsky přípustné konstrukce a neřešitelné antické úlohy kubatura koule, zdvojení krychle a trisekce úhlů vedou přitom na výpočet třetí odmocniny neřešitelnost kvadratury kruhu a rektifikace kružnice plyne zase z faktu, že číslo π je transendentní iracionální číslo, není řešením žádné algebraické rovnice s racionálními koeficienty a celočíselnými mocninami (dokázal Lindemann (1882)) Závěr:

76 Euklidovsky přípustné konstrukce a neřešitelné antické úlohy kubatura koule, zdvojení krychle a trisekce úhlů vedou přitom na výpočet třetí odmocniny neřešitelnost kvadratury kruhu a rektifikace kružnice plyne zase z faktu, že číslo π je transendentní iracionální číslo, není řešením žádné algebraické rovnice s racionálními koeficienty a celočíselnými mocninami (dokázal Lindemann (1882)) Závěr: antické úlohy nejsou sice řešitelné eukleidovskou konstrukcí, jsou ale řešitelné moderními postupy, které jsou často přesnější než rýsování.

77 Přehled historie geometrie - starověké Řecko Archimédes ze Syrakus ( př. n. l.) Archimédes

78 Přehled historie geometrie - starověké Řecko Archimédes ze Syrakus ( př. n. l.) Archimédes polopravidelné mnohostěny, Archimédovská tělesa

79 Přehled historie geometrie - starověké Řecko mistrovské uplatňování exhaustivní metody (určování obsahů a objemů obecnějších útvarů)

80 Přehled historie geometrie - starověké Řecko mistrovské uplatňování exhaustivní metody (určování obsahů a objemů obecnějších útvarů) úsvit infinitesimálního počtu

81 Přehled historie geometrie - starověké Řecko mistrovské uplatňování exhaustivní metody (určování obsahů a objemů obecnějších útvarů) úsvit infinitesimálního počtu spisy Kvadratura paraboly,

82 Přehled historie geometrie - starověké Řecko mistrovské uplatňování exhaustivní metody (určování obsahů a objemů obecnějších útvarů) úsvit infinitesimálního počtu spisy Kvadratura paraboly, O kouli a válci (objem a povrch koule a válce), Měření kruhu (obvod a obsah kruhu),

83 Přehled historie geometrie - starověké Řecko mistrovské uplatňování exhaustivní metody (určování obsahů a objemů obecnějších útvarů) úsvit infinitesimálního počtu spisy Kvadratura paraboly, O kouli a válci (objem a povrch koule a válce), Měření kruhu (obvod a obsah kruhu), O konoidech a sferoidech, O spirálách (Archimedova spirála)

84 Přehled historie geometrie - starověké Řecko mistrovské uplatňování exhaustivní metody (určování obsahů a objemů obecnějších útvarů) úsvit infinitesimálního počtu spisy Kvadratura paraboly, O kouli a válci (objem a povrch koule a válce), Měření kruhu (obvod a obsah kruhu), O konoidech a sferoidech, O spirálách (Archimedova spirála) Apollonius z Pergy ( př. n. l.)

85 Přehled historie geometrie - starověké Řecko mistrovské uplatňování exhaustivní metody (určování obsahů a objemů obecnějších útvarů) úsvit infinitesimálního počtu spisy Kvadratura paraboly, O kouli a válci (objem a povrch koule a válce), Měření kruhu (obvod a obsah kruhu), O konoidech a sferoidech, O spirálách (Archimedova spirála) Apollonius z Pergy ( př. n. l.) Appoloniovy úlohy, Konika - spis O kuželosečkách

86 Přehled historie geometrie - pozdní starověk, středověk Pappos z Alexandrie (4. stol. n. l.)

87 Přehled historie geometrie - pozdní starověk, středověk Pappos z Alexandrie (4. stol. n. l.) Pappova věty (objem rotačního tělesa je roven součinu obsahu otáčejícího se útvaru a obvodu kružnice, kterou opíše těžiště útvaru) (Guldinova věta)

88 Přehled historie geometrie - pozdní starověk, středověk Pappos z Alexandrie (4. stol. n. l.) Pappova věty (objem rotačního tělesa je roven součinu obsahu otáčejícího se útvaru a obvodu kružnice, kterou opíše těžiště útvaru) (Guldinova věta) Výpočet objemu tóru pomocí Pappovy věty

89 Přehled historie geometrie - pozdní starověk, středověk Pappos z Alexandrie (4. stol. n. l.) Pappova věty (objem rotačního tělesa je roven součinu obsahu otáčejícího se útvaru a obvodu kružnice, kterou opíše těžiště útvaru) (Guldinova věta) Výpočet objemu tóru pomocí Pappovy věty zabýval se kónickou spirálou (průnik rotační kuželové plochy s válcovou plochou)

90 Přehled historie geometrie - pozdní starověk, středověk Pappos z Alexandrie (4. stol. n. l.) Pappova věty (objem rotačního tělesa je roven součinu obsahu otáčejícího se útvaru a obvodu kružnice, kterou opíše těžiště útvaru) (Guldinova věta) Výpočet objemu tóru pomocí Pappovy věty zabýval se kónickou spirálou (průnik rotační kuželové plochy s válcovou plochou) 476 n. l. zánik Západořímské říše - konec starověku

91 Přehled historie geometrie - pozdní starověk, středověk Pappos z Alexandrie (4. stol. n. l.) Pappova věty (objem rotačního tělesa je roven součinu obsahu otáčejícího se útvaru a obvodu kružnice, kterou opíše těžiště útvaru) (Guldinova věta) Výpočet objemu tóru pomocí Pappovy věty zabýval se kónickou spirálou (průnik rotační kuželové plochy s válcovou plochou) 476 n. l. zánik Západořímské říše - konec starověku středověk - období globální stagnace myšlení,pokroku a vědy v Evropě

92 Přehled historie geometrie - reformace feudalismu Johannes Kepler ( Johanes Kepler

93 Přehled historie geometrie - reformace feudalismu Johannes Kepler ( Johanes Kepler zabýval se pravidelnými hvězdicovitými mnohostěny

94 Přehled historie geometrie - reformace feudalismu Johannes Kepler ( Johanes Kepler zabýval se pravidelnými hvězdicovitými mnohostěny Martin Hvězdicovité Swaczyna Historický mnohostěny přehled vývoje geometrie

95 Přehled historie geometrie - reformace feudalismu spis Nové výpočty vinných sudů - určení objemu 90 rotač. těles

96 Přehled historie geometrie - reformace feudalismu spis Nové výpočty vinných sudů - určení objemu 90 rotač. těles nebeská mechanika - kinematika pohybů planet (Keplerovy zákony, elipsy)

97 Přehled historie geometrie - reformace feudalismu spis Nové výpočty vinných sudů - určení objemu 90 rotač. těles nebeská mechanika - kinematika pohybů planet (Keplerovy zákony, elipsy) vyložil heliocentrickou planetární soustavu pomocí pěti platonských těles

98 Přehled historie geometrie - reformace feudalismu spis Nové výpočty vinných sudů - určení objemu 90 rotač. těles nebeská mechanika - kinematika pohybů planet (Keplerovy zákony, elipsy) vyložil heliocentrickou planetární soustavu pomocí pěti platonských těles Planetární model podle Keplerova prvního spisu Tajemství vesmíru

99 Přehled historie geometrie - humanismus René Descartes (Cartesius)( )

100 Přehled historie geometrie - humanismus René Descartes (Cartesius)( ) zakladatel analytické geometrie

101 Přehled historie geometrie - humanismus René Descartes (Cartesius)( ) zakladatel analytické geometrie zavedl do geometrie souřadnice (kartézské souřadnice)

102 Přehled historie geometrie - humanismus zabýval se zajímavou křivkou Descartův list Descartův list

103 Přehled historie geometrie - humanismus zabýval se zajímavou křivkou Descartův list Descartův list ve spisu Dipotrika - zákon lomu světla, výklad vzniku duhy

104 Přehled historie geometrie - 17,. stol. matematika proměnných veličin Pierre Fermat( )

105 Přehled historie geometrie - 17,. stol. matematika proměnných veličin Pierre Fermat( ) úloha setrojit kulovou plochu z daných 4 bodů na ní ležících

106 Přehled historie geometrie - 17,. stol. matematika proměnných veličin Pierre Fermat( ) úloha setrojit kulovou plochu z daných 4 bodů na ní ležících Fermatův princip - obecný zákon geometrické optiky světlo se šíří po časově nejúspornější dráze

107 Přehled historie geometrie - 17,. stol. matematika proměnných veličin Isaac Newton ( )

108 Přehled historie geometrie - 17,. stol. matematika proměnných veličin Gottlieb Wilhelm Leibniz ( )

109 Přehled historie geometrie - 17,. stol. matematika proměnných veličin Gottlieb Wilhelm Leibniz ( ) nezávisle objevili a rozpracovali infinitesimální počet

110 Přehled historie geometrie - 17,. stol. matematika proměnných veličin vznik matematické analýzy a dalších discipĺın s ním souvisejících, např.

111 Přehled historie geometrie - 17,. stol. matematika proměnných veličin vznik matematické analýzy a dalších discipĺın s ním souvisejících, např. aplikace ve fyzice a geometrii, diferenciální rovnice, diferenciální geometrie, diferenciální principy ve fyzice,

112 Přehled historie geometrie - 17,. stol. matematika proměnných veličin vznik matematické analýzy a dalších discipĺın s ním souvisejících, např. aplikace ve fyzice a geometrii, diferenciální rovnice, diferenciální geometrie, diferenciální principy ve fyzice, důležitý motivační význam geometrie při vzniku a rozvoji infinitesimálního počtu

113 Přehled historie geometrie - 17,. stol. matematika proměnných veličin vznik matematické analýzy a dalších discipĺın s ním souvisejících, např. aplikace ve fyzice a geometrii, diferenciální rovnice, diferenciální geometrie, diferenciální principy ve fyzice, důležitý motivační význam geometrie při vzniku a rozvoji infinitesimálního počtu pojem tečna ke křivce předcházel pojmu derivace

114 Přehled historie geometrie - 17,. stol. matematika proměnných veličin vznik matematické analýzy a dalších discipĺın s ním souvisejících, např. aplikace ve fyzice a geometrii, diferenciální rovnice, diferenciální geometrie, diferenciální principy ve fyzice, důležitý motivační význam geometrie při vzniku a rozvoji infinitesimálního počtu pojem tečna ke křivce předcházel pojmu derivace pojem obsahu obrazce předcházel pojmu integrálu

115 Přehled historie geometrie - 17,. stol. matematika proměnných veličin vznik matematické analýzy a dalších discipĺın s ním souvisejících, např. aplikace ve fyzice a geometrii, diferenciální rovnice, diferenciální geometrie, diferenciální principy ve fyzice, důležitý motivační význam geometrie při vzniku a rozvoji infinitesimálního počtu pojem tečna ke křivce předcházel pojmu derivace pojem obsahu obrazce předcházel pojmu integrálu pojem povrchu a objemu tělesa předcházel pojmu dvojného a trojného integrálu

116 Přehled historie geometrie - objevy a studium různých křivek postupný rozvoj infinitesimálního počtu a metod řešení diferenciálních rovnic

117 Přehled historie geometrie - objevy a studium různých křivek postupný rozvoj infinitesimálního počtu a metod řešení diferenciálních rovnic dovoloval řešit složitější úlohy z mechaniky hmotného bodu a studovat složitější geometrické křivky

118 Přehled historie geometrie - objevy a studium různých křivek postupný rozvoj infinitesimálního počtu a metod řešení diferenciálních rovnic dovoloval řešit složitější úlohy z mechaniky hmotného bodu a studovat složitější geometrické křivky 1673 Huygens studium tautochrony - křivky stejného času

119 Přehled historie geometrie - objevy a studium různých křivek postupný rozvoj infinitesimálního počtu a metod řešení diferenciálních rovnic dovoloval řešit složitější úlohy z mechaniky hmotného bodu a studovat složitější geometrické křivky 1673 Huygens studium tautochrony - křivky stejného času matematické kyvadlo dospěje do spodní polohy vždy za stejnou dobu nezávisle na počáteční výchylce, bude-li se pohybovat po cykloidě

120 Přehled historie geometrie - objevy a studium různých křivek postupný rozvoj infinitesimálního počtu a metod řešení diferenciálních rovnic dovoloval řešit složitější úlohy z mechaniky hmotného bodu a studovat složitější geometrické křivky 1673 Huygens studium tautochrony - křivky stejného času matematické kyvadlo dospěje do spodní polohy vždy za stejnou dobu nezávisle na počáteční výchylce, bude-li se pohybovat po cykloidě cykloida má vlastnost tautochrony, tzv. izochronismus cykloidálního kyvadla

121 Přehled historie geometrie - Bernoulliové - objevy a studium různých křivek 2. pol. 17. stol., 18. stol. Jacob a Johann Bernoulliové Jacob Bernoulli Johann Bernoulli

122 Přehled historie geometrie - Bernoulliové - objevy a studium různých křivek 2. pol. 17. stol., 18. stol. Jacob a Johann Bernoulliové Jacob Bernoulli Johann Bernoulli úloha o rovnováze ohebného vlákna zavěšeného v tíhovém poli,

123 Přehled historie geometrie - Bernoulliové - objevy a studium různých křivek 2. pol. 17. stol., 18. stol. Jacob a Johann Bernoulliové Jacob Bernoulli Johann Bernoulli úloha o rovnováze ohebného vlákna zavěšeného v tíhovém poli, řešení: řetězovka (catenary)

124 Přehled historie geometrie - Bernoulliové - objevy a studium různých křivek Řetězovka

125 Přehled historie geometrie - Bernoulliové - objevy a studium různých křivek řetězovka v praxi Řetězovka

126 Přehled historie geometrie - Bernoulliové - objevy a studium různých křivek řetězovka v architektuře (klendby staveb, mostní stavitelství)

127 Přehled historie geometrie - Bernoulliové - objevy a studium různých křivek řetězovka v architektuře (klendby staveb, mostní stavitelství)

128 Přehled historie geometrie - Bernoulliové - objevy a studium různých křivek Řetězovka - transcendentní rovinná křivka popsaná funkcí kosinus hyperbolický Na obrázku: řetězovky s různými parametry

129 Přehled historie geometrie - Bernoulliové - objevy a studium různých křivek rotací řetězovky vznikají rotační plochy minimálního povrchu tzv. katenoidy

130 Přehled historie geometrie - Bernoulliové - objevy a studium různých křivek rotací řetězovky vznikají rotační plochy minimálního povrchu tzv. katenoidy

131 Přehled historie geometrie - Bernoulliové - objevy a studium různých křivek z diferenciálně geometric. hlediska se jedná o plochy nulové střední křivosti

132 Přehled historie geometrie - Bernoulliové - objevy a studium různých křivek z diferenciálně geometric. hlediska se jedná o plochy nulové střední křivosti katenoid v praxi: mýdlová blána napnutá na dvou rovnoběžných kruhových obručích

133 Přehled historie geometrie - Bernoulliové - objevy a studium různých křivek z diferenciálně geometric. hlediska se jedná o plochy nulové střední křivosti katenoid v praxi: mýdlová blána napnutá na dvou rovnoběžných kruhových obručích princip minimální povrchové energie

134 Přehled historie geometrie - Leibniz, Bernoulliové - objevy a studium různých křivek 1687 Leibniz

135 Přehled historie geometrie - Leibniz, Bernoulliové - objevy a studium různých křivek 1687 Leibniz nalézt křivku po níž by hm. bod klesal v tíhovém poli, tak že jeho rychlost ve svislém směru zůstává konstantní

136 Přehled historie geometrie - Leibniz, Bernoulliové - objevy a studium různých křivek 1687 Leibniz nalézt křivku po níž by hm. bod klesal v tíhovém poli, tak že jeho rychlost ve svislém směru zůstává konstantní řešení: Leibnizova izochrona

137 Přehled historie geometrie - Leibniz, Bernoulliové - objevy a studium různých křivek 1687 Leibniz nalézt křivku po níž by hm. bod klesal v tíhovém poli, tak že jeho rychlost ve svislém směru zůstává konstantní řešení: Leibnizova izochrona 1694 Jacob Bernoulli

138 Přehled historie geometrie - Leibniz, Bernoulliové - objevy a studium různých křivek 1687 Leibniz nalézt křivku po níž by hm. bod klesal v tíhovém poli, tak že jeho rychlost ve svislém směru zůstává konstantní řešení: Leibnizova izochrona 1694 Jacob Bernoulli nalézt křivku, po níž se hm. bod v tíhovém poli bĺıží k cílovému bodu s konstantní rychlostí

139 Přehled historie geometrie - Leibniz, Bernoulliové - objevy a studium různých křivek 1687 Leibniz nalézt křivku po níž by hm. bod klesal v tíhovém poli, tak že jeho rychlost ve svislém směru zůstává konstantní řešení: Leibnizova izochrona 1694 Jacob Bernoulli nalézt křivku, po níž se hm. bod v tíhovém poli bĺıží k cílovému bodu s konstantní rychlostí řešení: paracentrická izochrona

140 Přehled historie geometrie - Leibniz, Bernoulliové - objevy a studium různých křivek 1687 Leibniz nalézt křivku po níž by hm. bod klesal v tíhovém poli, tak že jeho rychlost ve svislém směru zůstává konstantní řešení: Leibnizova izochrona 1694 Jacob Bernoulli nalézt křivku, po níž se hm. bod v tíhovém poli bĺıží k cílovému bodu s konstantní rychlostí řešení: paracentrická izochrona další zajímavé křivky spojené s Bernoulliovými

141 Přehled historie geometrie - Leibniz, Bernoulliové - objevy a studium různých křivek 1687 Leibniz nalézt křivku po níž by hm. bod klesal v tíhovém poli, tak že jeho rychlost ve svislém směru zůstává konstantní řešení: Leibnizova izochrona 1694 Jacob Bernoulli nalézt křivku, po níž se hm. bod v tíhovém poli bĺıží k cílovému bodu s konstantní rychlostí řešení: paracentrická izochrona další zajímavé křivky spojené s Bernoulliovými lemniskáta, logaritmická spirála, limacon (hlemýžd ovka), asteroida

142 Přehled historie geometrie - Leibniz, Bernoulliové - objevy a studium různých křivek lemniskáta logaritmická spirála

143 Přehled historie geometrie - Leibniz, Bernoulliové - objevy a studium různých křivek lemniskáta logaritmická spirála asteroida limacon

144 Přehled historie geometrie - problém brachystochrony Johan Bernoulli formuloval problém brachystochrony

145 Přehled historie geometrie - problém brachystochrony Johan Bernoulli formuloval problém brachystochrony původ slova z řečtiny: brachis = nejkratší, chronos = čas

146 Přehled historie geometrie - problém brachystochrony Johan Bernoulli formuloval problém brachystochrony původ slova z řečtiny: brachis = nejkratší, chronos = čas nalézt křivku, podél které se hmotný bod pohybující se v tíhovém poli dostane z výše položeného bodu do níže položeného bodu za nejkratší čas

147 Přehled historie geometrie - problém brachystochrony Johan Bernoulli formuloval problém brachystochrony původ slova z řečtiny: brachis = nejkratší, chronos = čas nalézt křivku, podél které se hmotný bod pohybující se v tíhovém poli dostane z výše položeného bodu do níže položeného bodu za nejkratší čas brachystochrona

148 Přehled historie geometrie - problém brachystochrony řešením je oblouk cykloidy

149 Přehled historie geometrie - problém brachystochrony řešením je oblouk cykloidy

150 Přehled historie geometrie - problém brachystochrony řešitelé: Leibniz, oba bratři Bernoulliové, l Hospital, Newton

151 Přehled historie geometrie - problém brachystochrony řešitelé: Leibniz, oba bratři Bernoulliové, l Hospital, Newton důležitý milník ve vývoji matematiky,

152 Přehled historie geometrie - problém brachystochrony řešitelé: Leibniz, oba bratři Bernoulliové, l Hospital, Newton důležitý milník ve vývoji matematiky, úloha nového typu - typu izoperimetrických úloh,

153 Přehled historie geometrie - problém brachystochrony řešitelé: Leibniz, oba bratři Bernoulliové, l Hospital, Newton důležitý milník ve vývoji matematiky, úloha nového typu - typu izoperimetrických úloh, extrém se hledá ve třídě přípustných křivek

154 Přehled historie geometrie - problém brachystochrony řešitelé: Leibniz, oba bratři Bernoulliové, l Hospital, Newton důležitý milník ve vývoji matematiky, úloha nového typu - typu izoperimetrických úloh, extrém se hledá ve třídě přípustných křivek vznik variačního počtu

155 Přehled historie geometrie stol.- Euler Leonhard Euler ( )

156 Přehled historie geometrie stol.- Euler Leonhard Euler ( ) geniální matematik, přispěl k rozvoji všech oblastí matematiky

157 Přehled historie geometrie stol.- Euler Leonhard Euler ( ) geniální matematik, přispěl k rozvoji všech oblastí matematiky přínos k rozvoji variačního počtu

158 Přehled historie geometrie stol.- Euler Leonhard Euler ( ) geniální matematik, přispěl k rozvoji všech oblastí matematiky přínos k rozvoji variačního počtu zabýva se i některými problémy diferenciální geometrie (tečna, normála křivky, křivost křivek)

159 Přehled historie geometrie stol.- Euler Leonhard Euler ( ) geniální matematik, přispěl k rozvoji všech oblastí matematiky přínos k rozvoji variačního počtu zabýva se i některými problémy diferenciální geometrie (tečna, normála křivky, křivost křivek) studuje geodetické problémy

160 Přehled historie geometrie stol.- Euler Leonhard Euler ( ) geniální matematik, přispěl k rozvoji všech oblastí matematiky přínos k rozvoji variačního počtu zabýva se i některými problémy diferenciální geometrie (tečna, normála křivky, křivost křivek) studuje geodetické problémy 1732 publikuje rovnici geodetické křivky (geodetiky)

161 Přehled historie geometrie stol.- Euler Leonhard Euler ( ) geniální matematik, přispěl k rozvoji všech oblastí matematiky přínos k rozvoji variačního počtu zabýva se i některými problémy diferenciální geometrie (tečna, normála křivky, křivost křivek) studuje geodetické problémy 1732 publikuje rovnici geodetické křivky (geodetiky) geodetika - křivka na ploše, podél níž se tečný vektor přenáší paralelně

162 Přehled historie geometrie - geodetiky v množině geodetik leží též nejkratší spojnice dvou bodů na ploše

163 Přehled historie geometrie - geodetiky v množině geodetik leží též nejkratší spojnice dvou bodů na ploše např. na válc. ploše - oblouky šroubovic,

164 Přehled historie geometrie - geodetiky v množině geodetik leží též nejkratší spojnice dvou bodů na ploše např. na válc. ploše - oblouky šroubovic, na kulové ploše - ortodromy (oblouky hlavních kružnic)

165 Přehled historie geometrie - geodetiky v množině geodetik leží též nejkratší spojnice dvou bodů na ploše např. na válc. ploše - oblouky šroubovic, na kulové ploše - ortodromy (oblouky hlavních kružnic)

166 Přehled historie geometrie - geodetiky nezaměňovat ortodromy s loxodromami - křivkami stálého kursu (námořní navigace), protínají poledníky pod stejným úhlem

167 Přehled historie geometrie - geodetiky nezaměňovat ortodromy s loxodromami - křivkami stálého kursu (námořní navigace), protínají poledníky pod stejným úhlem

168 Přehled historie geometrie - geodetiky nezaměňovat ortodromy s loxodromami - křivkami stálého kursu (námořní navigace), protínají poledníky pod stejným úhlem název geodetika zavádí Laplace v r. 1799

169 Přehled historie geometrie - konec 18. stol., 19. stol. Gaspard Monge ( )

170 Přehled historie geometrie - konec 18. stol., 19. stol. Gaspard Monge ( ) zakladatel diferenciální geometrie,

171 Přehled historie geometrie - konec 18. stol., 19. stol. Gaspard Monge ( ) zakladatel diferenciální geometrie, tvůrce Mongeova promítání (deskriptivní geometrie)

172 Přehled historie geometrie - konec 18. stol., 19. stol. Gaspard Monge ( ) zakladatel diferenciální geometrie, tvůrce Mongeova promítání (deskriptivní geometrie) 1795 dílo Aplikace analýzy v geometrii

173 Přehled historie geometrie - konec 18. stol., 19. stol. Gaspard Monge ( ) zakladatel diferenciální geometrie, tvůrce Mongeova promítání (deskriptivní geometrie) 1795 dílo Aplikace analýzy v geometrii hlavní učebnice diferenciální geometrie

174 Přehled historie geometrie - konec 18. stol., 19. stol. Gaspard Monge ( ) zakladatel diferenciální geometrie, tvůrce Mongeova promítání (deskriptivní geometrie) 1795 dílo Aplikace analýzy v geometrii hlavní učebnice diferenciální geometrie Fréderic Frenet ( )

175 Přehled historie geometrie - konec 18. stol., 19. stol. Gaspard Monge ( ) zakladatel diferenciální geometrie, tvůrce Mongeova promítání (deskriptivní geometrie) 1795 dílo Aplikace analýzy v geometrii hlavní učebnice diferenciální geometrie Fréderic Frenet ( ) teorie prostorových křivek, Frenetovy vzorce

176 Přehled historie geometrie - konec 18. stol., 19. stol. Carl Friedrich Gauss ( )

177 Přehled historie geometrie - konec 18. stol., 19. stol. Carl Friedrich Gauss ( ) nutnost řešit geodetické problémy v praxi (pověřen triangulací Hannoverska), zakladatel geodézie

178 Přehled historie geometrie - konec 18. stol., 19. stol. Carl Friedrich Gauss ( ) nutnost řešit geodetické problémy v praxi (pověřen triangulací Hannoverska), zakladatel geodézie studuje konformní zobrazení, zakřivené plochy a geodetiky

179 Přehled historie geometrie - konec 18. stol., 19. stol. Carl Friedrich Gauss ( ) nutnost řešit geodetické problémy v praxi (pověřen triangulací Hannoverska), zakladatel geodézie studuje konformní zobrazení, zakřivené plochy a geodetiky pojmy geodetická křivost, Gaussova křivost plochy

180 Přehled historie geometrie - konec 18. stol., 19. stol. Carl Friedrich Gauss ( ) nutnost řešit geodetické problémy v praxi (pověřen triangulací Hannoverska), zakladatel geodézie studuje konformní zobrazení, zakřivené plochy a geodetiky pojmy geodetická křivost, Gaussova křivost plochy 1827 kniha Studium křivých ploch - základy teorie ploch a geodetik

181 Přehled historie geometrie - konec 18. stol., 19. stol. Carl Friedrich Gauss ( ) nutnost řešit geodetické problémy v praxi (pověřen triangulací Hannoverska), zakladatel geodézie studuje konformní zobrazení, zakřivené plochy a geodetiky pojmy geodetická křivost, Gaussova křivost plochy 1827 kniha Studium křivých ploch - základy teorie ploch a geodetik diferenciální geometrie jako samostatná vědní disipĺına

182 Přehled historie geometrie - konec 18. stol., 19. stol. Carl Friedrich Gauss ( ) nutnost řešit geodetické problémy v praxi (pověřen triangulací Hannoverska), zakladatel geodézie studuje konformní zobrazení, zakřivené plochy a geodetiky pojmy geodetická křivost, Gaussova křivost plochy 1827 kniha Studium křivých ploch - základy teorie ploch a geodetik diferenciální geometrie jako samostatná vědní disipĺına autor prvních náčrtů neeuklidovské hyperbolické geometrie (nepublikované)

183 Přehled historie geometrie - konec 18. stol., 19. stol. Gaussova křivka (hustota normálního rozdělení pravděpodobnosti)

184 Snahy o důkaz nadbytečnosti (závislosti) pátého Euklidova postulátu konec 18., poč. 19. stol., nezávislost soustavy Euklidových postulátů narušena

185 Snahy o důkaz nadbytečnosti (závislosti) pátého Euklidova postulátu konec 18., poč. 19. stol., nezávislost soustavy Euklidových postulátů narušena neotřesitelná pozice euklidovské geometrie (pět postulátů) se začíná viklat v základech

186 Snahy o důkaz nadbytečnosti (závislosti) pátého Euklidova postulátu konec 18., poč. 19. stol., nezávislost soustavy Euklidových postulátů narušena neotřesitelná pozice euklidovské geometrie (pět postulátů) se začíná viklat v základech dávno známa nadbytečnost 4. Euklidova postulátu (Všechny pravé úhly jsou shodné)

187 Snahy o důkaz nadbytečnosti (závislosti) pátého Euklidova postulátu konec 18., poč. 19. stol., nezávislost soustavy Euklidových postulátů narušena neotřesitelná pozice euklidovské geometrie (pět postulátů) se začíná viklat v základech dávno známa nadbytečnost 4. Euklidova postulátu (Všechny pravé úhly jsou shodné) dá se dokázat ze zbývajících axiomů a postulátů

188 Snahy o důkaz nadbytečnosti (závislosti) pátého Euklidova postulátu konec 18., poč. 19. stol., nezávislost soustavy Euklidových postulátů narušena neotřesitelná pozice euklidovské geometrie (pět postulátů) se začíná viklat v základech dávno známa nadbytečnost 4. Euklidova postulátu (Všechny pravé úhly jsou shodné) dá se dokázat ze zbývajících axiomů a postulátů odvěké váhání matematiků také nad nezávislosti 5. Euklidova postulátem (postulát o rovnoběžkách):

189 Snahy o důkaz nadbytečnosti (závislosti) pátého Euklidova postulátu konec 18., poč. 19. stol., nezávislost soustavy Euklidových postulátů narušena neotřesitelná pozice euklidovské geometrie (pět postulátů) se začíná viklat v základech dávno známa nadbytečnost 4. Euklidova postulátu (Všechny pravé úhly jsou shodné) dá se dokázat ze zbývajících axiomů a postulátů odvěké váhání matematiků také nad nezávislosti 5. Euklidova postulátem (postulát o rovnoběžkách): Každým bodem neležícím na přímce p prochází právě jedna přímka, která je s ní rovnoběžná

190 Snahy o důkaz nadbytečnosti (závislosti) pátého Euklidova postulátu konec 18., poč. 19. stol., nezávislost soustavy Euklidových postulátů narušena neotřesitelná pozice euklidovské geometrie (pět postulátů) se začíná viklat v základech dávno známa nadbytečnost 4. Euklidova postulátu (Všechny pravé úhly jsou shodné) dá se dokázat ze zbývajících axiomů a postulátů odvěké váhání matematiků také nad nezávislosti 5. Euklidova postulátem (postulát o rovnoběžkách): Každým bodem neležícím na přímce p prochází právě jedna přímka, která je s ní rovnoběžná příliš složitý, netriviální ve srovnání se zbylými postuláty

191 Snahy o důkaz nadbytečnosti (závislosti) pátého Euklidova postulátu tisícileté snahy ukázat, že 5. postulát je důsledkem prvních čtyř

192 Snahy o důkaz nadbytečnosti (závislosti) pátého Euklidova postulátu tisícileté snahy ukázat, že 5. postulát je důsledkem prvních čtyř neúspěšné, nebo jen zdánlivě úspěšné

193 Snahy o důkaz nadbytečnosti (závislosti) pátého Euklidova postulátu tisícileté snahy ukázat, že 5. postulát je důsledkem prvních čtyř neúspěšné, nebo jen zdánlivě úspěšné důkazy opřeny o předpoklady nebo tvrzení skrytě ekvivalentní s 5. postulátem

194 Snahy o důkaz nadbytečnosti (závislosti) pátého Euklidova postulátu tisícileté snahy ukázat, že 5. postulát je důsledkem prvních čtyř neúspěšné, nebo jen zdánlivě úspěšné důkazy opřeny o předpoklady nebo tvrzení skrytě ekvivalentní s 5. postulátem výsledkem úsiĺı - řada tvrzení a vět ekvivalentních s 5. postulátu

195 Snahy o důkaz nadbytečnosti (závislosti) pátého Euklidova postulátu tisícileté snahy ukázat, že 5. postulát je důsledkem prvních čtyř neúspěšné, nebo jen zdánlivě úspěšné důkazy opřeny o předpoklady nebo tvrzení skrytě ekvivalentní s 5. postulátem výsledkem úsiĺı - řada tvrzení a vět ekvivalentních s 5. postulátu např. věta součet vnitřních úhlů v trojúhelníku je roven dvěma pravým nebo Pythagorova věta

196 Snahy o důkaz nadbytečnosti (závislosti) pátého Euklidova postulátu tisícileté snahy ukázat, že 5. postulát je důsledkem prvních čtyř neúspěšné, nebo jen zdánlivě úspěšné důkazy opřeny o předpoklady nebo tvrzení skrytě ekvivalentní s 5. postulátem výsledkem úsiĺı - řada tvrzení a vět ekvivalentních s 5. postulátu např. věta součet vnitřních úhlů v trojúhelníku je roven dvěma pravým nebo Pythagorova věta Legendre ( )

197 Snahy o důkaz nadbytečnosti (závislosti) pátého Euklidova postulátu tisícileté snahy ukázat, že 5. postulát je důsledkem prvních čtyř neúspěšné, nebo jen zdánlivě úspěšné důkazy opřeny o předpoklady nebo tvrzení skrytě ekvivalentní s 5. postulátem výsledkem úsiĺı - řada tvrzení a vět ekvivalentních s 5. postulátu např. věta součet vnitřních úhlů v trojúhelníku je roven dvěma pravým nebo Pythagorova věta Legendre ( ) Součet vnitřních úhlů v každém trojúhelníku je úhel přímý, právě když platí 5. postulát.

198 Snahy o důkaz nadbytečnosti (závislosti) pátého Euklidova postulátu Giovanni Saccheri - nový ne nepochybný postoj k 5. postulátu

199 Snahy o důkaz nadbytečnosti (závislosti) pátého Euklidova postulátu Giovanni Saccheri - nový ne nepochybný postoj k 5. postulátu první věta Saccheriho - Legendreova:

200 Snahy o důkaz nadbytečnosti (závislosti) pátého Euklidova postulátu Giovanni Saccheri - nový ne nepochybný postoj k 5. postulátu první věta Saccheriho - Legendreova: Součet velikostí vnitřních úhlů libovolného trojúhelníka je nejvýše rovna úhlu přímému.

201 Snahy o důkaz nadbytečnosti (závislosti) pátého Euklidova postulátu Giovanni Saccheri - nový ne nepochybný postoj k 5. postulátu první věta Saccheriho - Legendreova: Součet velikostí vnitřních úhlů libovolného trojúhelníka je nejvýše rovna úhlu přímému. a její důsledek - druhá věta Saccheriho - Legendreova:

202 Snahy o důkaz nadbytečnosti (závislosti) pátého Euklidova postulátu Giovanni Saccheri - nový ne nepochybný postoj k 5. postulátu první věta Saccheriho - Legendreova: Součet velikostí vnitřních úhlů libovolného trojúhelníka je nejvýše rovna úhlu přímému. a její důsledek - druhá věta Saccheriho - Legendreova: Jestliže existuje trojúhelník, jehož součet velikostí vnitřních úhlů je menší než úhel přímý, pak tuto vlastnost má každý trojúhelník.

203 Snahy o důkaz nadbytečnosti (závislosti) pátého Euklidova postulátu Giovanni Saccheri - nový ne nepochybný postoj k 5. postulátu první věta Saccheriho - Legendreova: Součet velikostí vnitřních úhlů libovolného trojúhelníka je nejvýše rovna úhlu přímému. a její důsledek - druhá věta Saccheriho - Legendreova: Jestliže existuje trojúhelník, jehož součet velikostí vnitřních úhlů je menší než úhel přímý, pak tuto vlastnost má každý trojúhelník. poč. 19. stol. - vyvrcholení snah podat důkaz platnosti 5. postulátu z platnosti ostatních postulátů a axiomů

204 Snahy o důkaz nadbytečnosti (závislosti) pátého Euklidova postulátu Giovanni Saccheri - nový ne nepochybný postoj k 5. postulátu první věta Saccheriho - Legendreova: Součet velikostí vnitřních úhlů libovolného trojúhelníka je nejvýše rovna úhlu přímému. a její důsledek - druhá věta Saccheriho - Legendreova: Jestliže existuje trojúhelník, jehož součet velikostí vnitřních úhlů je menší než úhel přímý, pak tuto vlastnost má každý trojúhelník. poč. 19. stol. - vyvrcholení snah podat důkaz platnosti 5. postulátu z platnosti ostatních postulátů a axiomů významně zasáhlo do dalšího vývoje geometrie, vznik neeuklidovských geometríı

205 Vyvrcholení snah o důkaz nadbytečnosti (závislosti) pátého Euklidova postulátu - neeuklidovské geoemetrie 1829 Nikolaj Ivanovič Lobačevskij ( ) a v r nezávisle János Bolyai ( )

206 Vyvrcholení snah o důkaz nadbytečnosti (závislosti) pátého Euklidova postulátu - neeuklidovské geoemetrie 1829 Nikolaj Ivanovič Lobačevskij ( ) a v r nezávisle János Bolyai ( ) 5. postulát nelze odvodit z ostatních axiomů a postulátů (nezávislost 5. postulátu)

207 Vyvrcholení snah o důkaz nadbytečnosti (závislosti) pátého Euklidova postulátu - neeuklidovské geoemetrie Lobačevskij zaměnil znění 5. postulátu za tvrzení

208 Vyvrcholení snah o důkaz nadbytečnosti (závislosti) pátého Euklidova postulátu - neeuklidovské geoemetrie Lobačevskij zaměnil znění 5. postulátu za tvrzení K dané přímce lze daným bodem, který na ní neleží vést v rovině alespoň dvě přímky, které procházejí tímto bodem a neprotínají danou přímku

209 Vyvrcholení snah o důkaz nadbytečnosti (závislosti) pátého Euklidova postulátu - neeuklidovské geoemetrie Lobačevskij zaměnil znění 5. postulátu za tvrzení K dané přímce lze daným bodem, který na ní neleží vést v rovině alespoň dvě přímky, které procházejí tímto bodem a neprotínají danou přímku očekával, že dojde ke sporům v axiomatice euklidovské geometrie

210 Vyvrcholení snah o důkaz nadbytečnosti (závislosti) pátého Euklidova postulátu - neeuklidovské geoemetrie Lobačevskij zaměnil znění 5. postulátu za tvrzení K dané přímce lze daným bodem, který na ní neleží vést v rovině alespoň dvě přímky, které procházejí tímto bodem a neprotínají danou přímku očekával, že dojde ke sporům v axiomatice euklidovské geometrie sporem by tak dokázal závislost 5. postulátu

211 Vyvrcholení snah o důkaz nadbytečnosti (závislosti) pátého Euklidova postulátu - neeuklidovské geoemetrie Lobačevskij zaměnil znění 5. postulátu za tvrzení K dané přímce lze daným bodem, který na ní neleží vést v rovině alespoň dvě přímky, které procházejí tímto bodem a neprotínají danou přímku očekával, že dojde ke sporům v axiomatice euklidovské geometrie sporem by tak dokázal závislost 5. postulátu k žádným sporům však nedošlo, 5. postulát je nezávislý

212 Vyvrcholení snah o důkaz nadbytečnosti (závislosti) pátého Euklidova postulátu - neeuklidovské geoemetrie Lobačevskij zaměnil znění 5. postulátu za tvrzení K dané přímce lze daným bodem, který na ní neleží vést v rovině alespoň dvě přímky, které procházejí tímto bodem a neprotínají danou přímku očekával, že dojde ke sporům v axiomatice euklidovské geometrie sporem by tak dokázal závislost 5. postulátu k žádným sporům však nedošlo, 5. postulát je nezávislý existence jiných alternativních geometríı, tzv. neeuklidovských geometríı

213 Vyvrcholení snah o důkaz nadbytečnosti (závislosti) pátého Euklidova postulátu - neeuklidovské geoemetrie Lobačevskij zaměnil znění 5. postulátu za tvrzení K dané přímce lze daným bodem, který na ní neleží vést v rovině alespoň dvě přímky, které procházejí tímto bodem a neprotínají danou přímku očekával, že dojde ke sporům v axiomatice euklidovské geometrie sporem by tak dokázal závislost 5. postulátu k žádným sporům však nedošlo, 5. postulát je nezávislý existence jiných alternativních geometríı, tzv. neeuklidovských geometríı stejně bezesporných a logicky ucelených jako geometrie euklidovská

214 Neeuklidovské geoemetrie neeuklidovské geometrie - axiomaticky vybudované geometrie splňující první čtyři Euklidovy postuláty ale nesplňující 5. Euklidův postulát

215 Neeuklidovské geoemetrie neeuklidovské geometrie - axiomaticky vybudované geometrie splňující první čtyři Euklidovy postuláty ale nesplňující 5. Euklidův postulát geometrie splňující také 5. postulát se nazývá euklidovská

216 Neeuklidovské geoemetrie neeuklidovské geometrie - axiomaticky vybudované geometrie splňující první čtyři Euklidovy postuláty ale nesplňující 5. Euklidův postulát geometrie splňující také 5. postulát se nazývá euklidovská část geometrie, společná pro euklidovskou i neeuklidovské geometrie, (splňující pouze první 4 Euklidovy postuláty)

217 Neeuklidovské geoemetrie neeuklidovské geometrie - axiomaticky vybudované geometrie splňující první čtyři Euklidovy postuláty ale nesplňující 5. Euklidův postulát geometrie splňující také 5. postulát se nazývá euklidovská část geometrie, společná pro euklidovskou i neeuklidovské geometrie, (splňující pouze první 4 Euklidovy postuláty) je tzv. absolutní geometrie nebo pangeometrie

218 Neeuklidovské geoemetrie neeuklidovské geometrie - axiomaticky vybudované geometrie splňující první čtyři Euklidovy postuláty ale nesplňující 5. Euklidův postulát geometrie splňující také 5. postulát se nazývá euklidovská část geometrie, společná pro euklidovskou i neeuklidovské geometrie, (splňující pouze první 4 Euklidovy postuláty) je tzv. absolutní geometrie nebo pangeometrie podle způsobu popření 5. postulátu rozlišujeme 2 základní typy neeuklidovských geometríı

219 Neeuklidovské geoemetrie neeuklidovské geometrie - axiomaticky vybudované geometrie splňující první čtyři Euklidovy postuláty ale nesplňující 5. Euklidův postulát geometrie splňující také 5. postulát se nazývá euklidovská část geometrie, společná pro euklidovskou i neeuklidovské geometrie, (splňující pouze první 4 Euklidovy postuláty) je tzv. absolutní geometrie nebo pangeometrie podle způsobu popření 5. postulátu rozlišujeme 2 základní typy neeuklidovských geometríı hyperbolickou a eliptickou neeuklidovskou geometrii

220 Neeuklidovské geoemetrie neeuklidovské geometrie - axiomaticky vybudované geometrie splňující první čtyři Euklidovy postuláty ale nesplňující 5. Euklidův postulát geometrie splňující také 5. postulát se nazývá euklidovská část geometrie, společná pro euklidovskou i neeuklidovské geometrie, (splňující pouze první 4 Euklidovy postuláty) je tzv. absolutní geometrie nebo pangeometrie podle způsobu popření 5. postulátu rozlišujeme 2 základní typy neeuklidovských geometríı hyperbolickou a eliptickou neeuklidovskou geometrii hyperbolický 5. postulát: Existují nejméně dvě různé přímky vedené bodem neležícím na přímce p, které neprotínají p. (bodem lze vést nekonečně mnoho rovnoběžek s danou přímkou) (navrhli Lobačevskij, Bolyai)

221 Neeuklidovské geoemetrie neeuklidovské geometrie - axiomaticky vybudované geometrie splňující první čtyři Euklidovy postuláty ale nesplňující 5. Euklidův postulát geometrie splňující také 5. postulát se nazývá euklidovská část geometrie, společná pro euklidovskou i neeuklidovské geometrie, (splňující pouze první 4 Euklidovy postuláty) je tzv. absolutní geometrie nebo pangeometrie podle způsobu popření 5. postulátu rozlišujeme 2 základní typy neeuklidovských geometríı hyperbolickou a eliptickou neeuklidovskou geometrii hyperbolický 5. postulát: Existují nejméně dvě různé přímky vedené bodem neležícím na přímce p, které neprotínají p. (bodem lze vést nekonečně mnoho rovnoběžek s danou přímkou) (navrhli Lobačevskij, Bolyai) odtud název Lobačevského geometrie, někdy též Bolyai - Lobačevského pro hyperbolickou geometrii

222 Eliptická neeuklidovské geoemetrie eliptický 5. postulát:neexistuje žádná přímka vedená bodem neležícím na přímce p, která neprotíná p. (bodem nelze vést žádnou rovnoběžku s danou přímkou)

223 Eliptická neeuklidovské geoemetrie eliptický 5. postulát:neexistuje žádná přímka vedená bodem neležícím na přímce p, která neprotíná p. (bodem nelze vést žádnou rovnoběžku s danou přímkou) vede na eliptickou neeuklidovskou geometrii, jejímž spec. případem je sférická geometrie s využitím v v kartografii a navigaci

224 Eliptická neeuklidovské geoemetrie eliptický 5. postulát:neexistuje žádná přímka vedená bodem neležícím na přímce p, která neprotíná p. (bodem nelze vést žádnou rovnoběžku s danou přímkou) vede na eliptickou neeuklidovskou geometrii, jejímž spec. případem je sférická geometrie s využitím v v kartografii a navigaci chování rovnoběžek v jednotlivých geometríıch

225 Eliptická neeuklidovské geoemetrie základy eliptické geometrie vyložil v r Georg Friedrich Bernhard Riemann ( )

226 Eliptická neeuklidovské geoemetrie základy eliptické geometrie vyložil v r Georg Friedrich Bernhard Riemann ( ) v práci O hypotézách tvořících základy geometrie

227 Eliptická neeuklidovské geoemetrie základy eliptické geometrie vyložil v r Georg Friedrich Bernhard Riemann ( ) v práci O hypotézách tvořících základy geometrie ve snaze klasifikovat nové neeukleidovské geometrie

228 Eliptická neeuklidovské geoemetrie Riemanovské pojetí neeuklidovských geometríı jako ploch s konstantní nenulovou křivostí

229 Eliptická neeuklidovské geoemetrie Riemanovské pojetí neeuklidovských geometríı jako ploch s konstantní nenulovou křivostí

230 Eliptická neeuklidovské geoemetrie Riemanovské pojetí neeuklidovských geometríı jako ploch s konstantní nenulovou křivostí speciálně : eukleidovská geometrie je plochá (má nulovou křivost)

231 Modely neeuklidovských geoemetríı názvy neeuklidovských geometríı vycházi z modelových prostorů - ploch, na nichž se geometrie konstruují

232 Modely neeuklidovských geoemetríı názvy neeuklidovských geometríı vycházi z modelových prostorů - ploch, na nichž se geometrie konstruují nejjednodušším modelem eliptické (sférické) geometrie je povrch koule (sféra), přímky - hlavní kružnice

233 Modely neeuklidovských geoemetríı názvy neeuklidovských geometríı vycházi z modelových prostorů - ploch, na nichž se geometrie konstruují nejjednodušším modelem eliptické (sférické) geometrie je povrch koule (sféra), přímky - hlavní kružnice modelový prostor má konstantní kladnou Gaussovu křivost, je vypuklý

234 Modely neeuklidovských geoemetríı názvy neeuklidovských geometríı vycházi z modelových prostorů - ploch, na nichž se geometrie konstruují nejjednodušším modelem eliptické (sférické) geometrie je povrch koule (sféra), přímky - hlavní kružnice modelový prostor má konstantní kladnou Gaussovu křivost, je vypuklý přímkami jsou hlavní kružnice,

235 Modely neeuklidovských geoemetríı názvy neeuklidovských geometríı vycházi z modelových prostorů - ploch, na nichž se geometrie konstruují nejjednodušším modelem eliptické (sférické) geometrie je povrch koule (sféra), přímky - hlavní kružnice modelový prostor má konstantní kladnou Gaussovu křivost, je vypuklý přímkami jsou hlavní kružnice, sférický trojúhelník má součet vnitřních úhlů větší než 180

236 Modely neeuklidovských geoemetríı názvy neeuklidovských geometríı vycházi z modelových prostorů - ploch, na nichž se geometrie konstruují nejjednodušším modelem eliptické (sférické) geometrie je povrch koule (sféra), přímky - hlavní kružnice modelový prostor má konstantní kladnou Gaussovu křivost, je vypuklý přímkami jsou hlavní kružnice, sférický trojúhelník má součet vnitřních úhlů větší než 180

237 Modely neeuklidovských geoemetríı modelem hyperbolické geometrie je plocha, tzv. pseudosféra

238 Modely neeuklidovských geoemetríı modelem hyperbolické geometrie je plocha, tzv. pseudosféra ale dá se lokálně modelovat též např. na hyperbolickém paraboloidu nebo hyperboloidu

239 Modely neeuklidovských geoemetríı modelem hyperbolické geometrie je plocha, tzv. pseudosféra ale dá se lokálně modelovat též např. na hyperbolickém paraboloidu nebo hyperboloidu

240 Modely neeuklidovských geoemetríı modelem hyperbolické geometrie je plocha, tzv. pseudosféra ale dá se lokálně modelovat též např. na hyperbolickém paraboloidu nebo hyperboloidu trojúhelník má v této geometrii součet vnitřních úhlů menší než 180

241 Modely neeuklidovských geoemetríı modelem hyperbolické geometrie je plocha, tzv. pseudosféra ale dá se lokálně modelovat též např. na hyperbolickém paraboloidu nebo hyperboloidu trojúhelník má v této geometrii součet vnitřních úhlů menší než 180 modelový prostor má konstantní zápornou Gaussovu křivost, je vydutý

242 Pseudosféra pseudosféra - plocha, která má v každém bodě konstantní zápornou Gaussovu křivost

243 Pseudosféra pseudosféra - plocha, která má v každém bodě konstantní zápornou Gaussovu křivost modelová plocha hyperbolické geometrie

244 Pseudosféra pseudosféra - plocha, která má v každém bodě konstantní zápornou Gaussovu křivost modelová plocha hyperbolické geometrie vzniká rotací křivky, tzv. traktrix

245 Pseudosféra Na pseudosféře je součet vnitřních úhlů trojúhelníka menší než 180

246 Pseudosféra pseudosféra jako geometrický protiklad sféry

247 Souvislost neeuklidovských geoemetríı s kosmologickými modely vesmíru nejprve nepochopení neeuklidovských geometríı

248 Souvislost neeuklidovských geoemetríı s kosmologickými modely vesmíru nejprve nepochopení neeuklidovských geometríı potom jejich uznání jako čistě abstraktních axiomatických teoríı

249 Souvislost neeuklidovských geoemetríı s kosmologickými modely vesmíru nejprve nepochopení neeuklidovských geometríı potom jejich uznání jako čistě abstraktních axiomatických teoríı bez jakéhokoliv využití v reálu

250 Souvislost neeuklidovských geoemetríı s kosmologickými modely vesmíru nejprve nepochopení neeuklidovských geometríı potom jejich uznání jako čistě abstraktních axiomatických teoríı bez jakéhokoliv využití v reálu později našly uplatnění jako vhodné modely časoprostoru v kosmologických teoríıch vesmíru

251 Souvislost neeuklidovských geoemetríı s kosmologickými modely vesmíru nejprve nepochopení neeuklidovských geometríı potom jejich uznání jako čistě abstraktních axiomatických teoríı bez jakéhokoliv využití v reálu později našly uplatnění jako vhodné modely časoprostoru v kosmologických teoríıch vesmíru pro kosmolog. model uzavřeného vesmíru (současné rozpínání přejde ve smršt ování)

252 Souvislost neeuklidovských geoemetríı s kosmologickými modely vesmíru nejprve nepochopení neeuklidovských geometríı potom jejich uznání jako čistě abstraktních axiomatických teoríı bez jakéhokoliv využití v reálu později našly uplatnění jako vhodné modely časoprostoru v kosmologických teoríıch vesmíru pro kosmolog. model uzavřeného vesmíru (současné rozpínání přejde ve smršt ování) vhodná eliptická geometrie

253 Souvislost neeuklidovských geoemetríı s kosmologickými modely vesmíru nejprve nepochopení neeuklidovských geometríı potom jejich uznání jako čistě abstraktních axiomatických teoríı bez jakéhokoliv využití v reálu později našly uplatnění jako vhodné modely časoprostoru v kosmologických teoríıch vesmíru pro kosmolog. model uzavřeného vesmíru (současné rozpínání přejde ve smršt ování) vhodná eliptická geometrie pro kosmolog. model otevřeného vesmíru (neustálé zpomalované rozpínání)

254 Souvislost neeuklidovských geoemetríı s kosmologickými modely vesmíru nejprve nepochopení neeuklidovských geometríı potom jejich uznání jako čistě abstraktních axiomatických teoríı bez jakéhokoliv využití v reálu později našly uplatnění jako vhodné modely časoprostoru v kosmologických teoríıch vesmíru pro kosmolog. model uzavřeného vesmíru (současné rozpínání přejde ve smršt ování) vhodná eliptická geometrie pro kosmolog. model otevřeného vesmíru (neustálé zpomalované rozpínání) vhodná hyperbolická geometrie

255 Riemannova a pseudoriemannova neeuklidovská geometrie a Obecná teorie relativity dnes se Riemannovou (riemanovskou) geometríı rozumí diferencovatelná varieta s pozitivně definitním metrickým tenzorem

256 Riemannova a pseudoriemannova neeuklidovská geometrie a Obecná teorie relativity dnes se Riemannovou (riemanovskou) geometríı rozumí diferencovatelná varieta s pozitivně definitním metrickým tenzorem je li tento indefinitní hovoříme o pseudo-riemannově (pseudoriemannovské) geometrii

257 Riemannova a pseudoriemannova neeuklidovská geometrie a Obecná teorie relativity dnes se Riemannovou (riemanovskou) geometríı rozumí diferencovatelná varieta s pozitivně definitním metrickým tenzorem je li tento indefinitní hovoříme o pseudo-riemannově (pseudoriemannovské) geometrii našla uplatnění v Einsteinově obecné teorii relativity jako geometrický model časoprostoru

258 Riemannova a pseudoriemannova neeuklidovská geometrie a Obecná teorie relativity dnes se Riemannovou (riemanovskou) geometríı rozumí diferencovatelná varieta s pozitivně definitním metrickým tenzorem je li tento indefinitní hovoříme o pseudo-riemannově (pseudoriemannovské) geometrii našla uplatnění v Einsteinově obecné teorii relativity jako geometrický model časoprostoru Einsteinovy gravitační rovnice vyjadřují úzkou souvislost mezi hmotou a zakřivením časoprostoru

259 Riemannova a pseudoriemannova neeuklidovská geometrie a Obecná teorie relativity pohyb se realizuje po geodetikách časoprostoru

260 Přehled historie geometrie - konec 19. stol. Möbius ( ) - studium topologicky netriviálních ploch

261 Přehled historie geometrie - konec 19. stol. Möbius ( ) - studium topologicky netriviálních ploch Möbiova páska- dvojrozměrná neorientovatelná plocha, která má pouze jednu stranu

262 Přehled historie geometrie - konec 19. stol. Möbius ( ) - studium topologicky netriviálních ploch Möbiova páska- dvojrozměrná neorientovatelná plocha, která má pouze jednu stranu rozvoj projektivní geometrie

263 Přehled historie geometrie - konec 19. stol. Möbius ( ) - studium topologicky netriviálních ploch Möbiova páska- dvojrozměrná neorientovatelná plocha, která má pouze jednu stranu rozvoj projektivní geometrie Grassmann ( ), Plücker ( ) - základy teorie n-rozměrného prostoru

264 Přehled historie geometrie - konec 19. stol. Felix Klein ( )

265 Přehled historie geometrie - konec 19. stol. Felix Klein ( ) 1872 vytýčil Erlangenský program - další rozvoj diferenciální geometrie

266 Přehled historie geometrie - konec 19. stol. Felix Klein ( ) 1872 vytýčil Erlangenský program - další rozvoj diferenciální geometrie Kleinova láhev 1882

267 Přehled historie geometrie - konec 19. stol. konec 19. stol. nutnost revize euklidovské geometrie

268 Přehled historie geometrie - konec 19. stol. konec 19. stol. nutnost revize euklidovské geometrie nesplňuje striktní požadavky současné matem. logiky na axiomatickou výstavbu teorie

269 Přehled historie geometrie - konec 19. stol. konec 19. stol. nutnost revize euklidovské geometrie nesplňuje striktní požadavky současné matem. logiky na axiomatickou výstavbu teorie Nedostatky Euklidových Základů

270 Přehled historie geometrie - konec 19. stol. konec 19. stol. nutnost revize euklidovské geometrie nesplňuje striktní požadavky současné matem. logiky na axiomatickou výstavbu teorie Nedostatky Euklidových Základů intuitivní pojetí některých pojmů

271 Přehled historie geometrie - konec 19. stol. konec 19. stol. nutnost revize euklidovské geometrie nesplňuje striktní požadavky současné matem. logiky na axiomatickou výstavbu teorie Nedostatky Euklidových Základů intuitivní pojetí některých pojmů formální logické chyby ve formulacích

272 Přehled historie geometrie - konec 19. stol. konec 19. stol. nutnost revize euklidovské geometrie nesplňuje striktní požadavky současné matem. logiky na axiomatickou výstavbu teorie Nedostatky Euklidových Základů intuitivní pojetí některých pojmů formální logické chyby ve formulacích závislost soustavy postulátů a axiomů

273 Přehled historie geometrie - konec 19. stol David Hilbert ( )

274 Přehled historie geometrie - konec 19. stol David Hilbert ( ) v knize Základy geometrie

275 Přehled historie geometrie - konec 19. stol David Hilbert ( ) v knize Základy geometrie představil novou axiomatickou výstavbu geometrie

276 Přehled historie geometrie - konec 19. stol David Hilbert ( ) v knize Základy geometrie představil novou axiomatickou výstavbu geometrie bez vazby na intuici a smyslovou názornost

277 Hilbertova axiomatická soustava základem 3 neprázdné množiny E, F, G

278 Hilbertova axiomatická soustava základem 3 neprázdné množiny E, F, G E...množina všech bodů, F...množina všech přímek, G...množina všech rovin

279 Hilbertova axiomatická soustava základem 3 neprázdné množiny E, F, G E...množina všech bodů, F...množina všech přímek, G...množina všech rovin definuje 1. relace incidence ( ), 2. relace uspořádání (µ(a, B, C)...bod B leží mezi body A a C)

280 Hilbertova axiomatická soustava základem 3 neprázdné množiny E, F, G E...množina všech bodů, F...množina všech přímek, G...množina všech rovin definuje 1. relace incidence ( ), 2. relace uspořádání (µ(a, B, C)...bod B leží mezi body A a C) 3. relace shodnosti =

281 Hilbertova axiomatická soustava základem 3 neprázdné množiny E, F, G E...množina všech bodů, F...množina všech přímek, G...množina všech rovin definuje 1. relace incidence ( ), 2. relace uspořádání (µ(a, B, C)...bod B leží mezi body A a C) 3. relace shodnosti = Hilbertova soustava axiomů - 20 axiomů rozdělených do 5 skupin

282 Hilbertova axiomatická soustava základem 3 neprázdné množiny E, F, G E...množina všech bodů, F...množina všech přímek, G...množina všech rovin definuje 1. relace incidence ( ), 2. relace uspořádání (µ(a, B, C)...bod B leží mezi body A a C) 3. relace shodnosti = Hilbertova soustava axiomů - 20 axiomů rozdělených do 5 skupin I. axiomy incidence (8 axiomů), II. axiomy uspořádání (4 axiomy)

283 Hilbertova axiomatická soustava základem 3 neprázdné množiny E, F, G E...množina všech bodů, F...množina všech přímek, G...množina všech rovin definuje 1. relace incidence ( ), 2. relace uspořádání (µ(a, B, C)...bod B leží mezi body A a C) 3. relace shodnosti = Hilbertova soustava axiomů - 20 axiomů rozdělených do 5 skupin I. axiomy incidence (8 axiomů), II. axiomy uspořádání (4 axiomy) III. axiomy shodnosti (5 axiomů), IV. axiomy spojitosti (2 axiomy)

284 Hilbertova axiomatická soustava základem 3 neprázdné množiny E, F, G E...množina všech bodů, F...množina všech přímek, G...množina všech rovin definuje 1. relace incidence ( ), 2. relace uspořádání (µ(a, B, C)...bod B leží mezi body A a C) 3. relace shodnosti = Hilbertova soustava axiomů - 20 axiomů rozdělených do 5 skupin I. axiomy incidence (8 axiomů), II. axiomy uspořádání (4 axiomy) III. axiomy shodnosti (5 axiomů), IV. axiomy spojitosti (2 axiomy) V. axiom rovnoběžnosti (1 axiom)

285 Hilbertova axiomatická soustava základem 3 neprázdné množiny E, F, G E...množina všech bodů, F...množina všech přímek, G...množina všech rovin definuje 1. relace incidence ( ), 2. relace uspořádání (µ(a, B, C)...bod B leží mezi body A a C) 3. relace shodnosti = Hilbertova soustava axiomů - 20 axiomů rozdělených do 5 skupin I. axiomy incidence (8 axiomů), II. axiomy uspořádání (4 axiomy) III. axiomy shodnosti (5 axiomů), IV. axiomy spojitosti (2 axiomy) V. axiom rovnoběžnosti (1 axiom) z dnešního pohledu - příliš složitá

286 Přehled historie geometrie - poč. 20. stol D. Hilbert představil na Kongresu v Paříži

287 Přehled historie geometrie - poč. 20. stol D. Hilbert představil na Kongresu v Paříži 23 matematických problémů pro 20. stol. (Hilbertovy problémy)

288 Přehled historie geometrie - poč. 20. stol D. Hilbert představil na Kongresu v Paříži 23 matematických problémů pro 20. stol. (Hilbertovy problémy) ovlivnily další vývoj matematiky a geometrie

289 Přehled historie geometrie - poč. 20. stol D. Hilbert představil na Kongresu v Paříži 23 matematických problémů pro 20. stol. (Hilbertovy problémy) ovlivnily další vývoj matematiky a geometrie zasloužil se o geometrizaci kvantové mechaniky

290 Přehled historie geometrie - poč. 20. stol D. Hilbert představil na Kongresu v Paříži 23 matematických problémů pro 20. stol. (Hilbertovy problémy) ovlivnily další vývoj matematiky a geometrie zasloužil se o geometrizaci kvantové mechaniky Hilbertův prostor

291 Přehled historie geometrie - poč. 20. stol Hermann Weyl ( )

292 Přehled historie geometrie - poč. 20. stol Hermann Weyl ( ) upravená axiomatika, tzv. Weylova axiomatická soustava

293 Weylova axiomatická soustava celkem 15 axiomů : 8 axiomů vektorového prostoru

294 Weylova axiomatická soustava celkem 15 axiomů : 8 axiomů vektorového prostoru 1 axiom - dimenze vektor. prostoru

295 Weylova axiomatická soustava celkem 15 axiomů : 8 axiomů vektorového prostoru 1 axiom - dimenze vektor. prostoru 4 axiomy bilineární formy (skalárního součinu)

296 Weylova axiomatická soustava celkem 15 axiomů : 8 axiomů vektorového prostoru 1 axiom - dimenze vektor. prostoru 4 axiomy bilineární formy (skalárního součinu) 2 doplňkové Weylovy axiomy

297 Weylova axiomatická soustava celkem 15 axiomů : 8 axiomů vektorového prostoru 1 axiom - dimenze vektor. prostoru 4 axiomy bilineární formy (skalárního součinu) 2 doplňkové Weylovy axiomy základem je afinní prostor opatřený skalárním součinem na svém vektorovém zaměření

298 Weylova axiomatická soustava celkem 15 axiomů : 8 axiomů vektorového prostoru 1 axiom - dimenze vektor. prostoru 4 axiomy bilineární formy (skalárního součinu) 2 doplňkové Weylovy axiomy základem je afinní prostor opatřený skalárním součinem na svém vektorovém zaměření měření délek vektorů, vzdáleností bodů, určování odchylek, vyšetřování kolmosti

299 Moderní geometrie základem moderní diferenciální geometrie je pojem variety

300 Moderní geometrie základem moderní diferenciální geometrie je pojem variety zobecnění plochy na topologicky netriviální vícerozměrnou hyperplochu

301 Moderní geometrie základem moderní diferenciální geometrie je pojem variety zobecnění plochy na topologicky netriviální vícerozměrnou hyperplochu známé příklady hladkých variet: kružnice S 1, sféra S 2, nadsféra S 3,

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

Gymnázium Česká a Olympijských nadějí, České Budějovice, Česká 64, 37021

Gymnázium Česká a Olympijských nadějí, České Budějovice, Česká 64, 37021 Maturitní témata MATEMATIKA 1. Funkce a jejich základní vlastnosti. Definice funkce, def. obor a obor hodnot funkce, funkce sudá, lichá, monotónnost funkce, funkce omezená, lokální a globální extrémy funkce,

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Maturitní témata profilová část

Maturitní témata profilová část Seznam témat Výroková logika, úsudky a operace s množinami Základní pojmy výrokové logiky, logické spojky a kvantifikátory, složené výroky (konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence), pravdivostní tabulky,

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy

Více

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky 1. Lineární rovnice a nerovnice a) Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou absolutní hodnota reálného čísla definice, geometrický význam, srovnání řešení rovnic s abs. hodnotou

Více

Matematika - Historie - 1

Matematika - Historie - 1 Matematika - Historie - 1 Vybrali jsme zajímavé jevy z historie matematiky a sestavili z nich jeden test. Doufáme, že se podaří splnit hned několik cílů. Test vás potěší, překvapí a poučí. Odpovědi hledejte

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky. Téma Školní výstupy Učivo (pojmy) volné rovnoběžné promítání průmětna

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky. Téma Školní výstupy Učivo (pojmy) volné rovnoběžné promítání průmětna Předmět: Matematika Náplň: Stereometrie, Analytická geometrie Třída: 3. ročník a septima Počet hodin: 4 hodiny týdně Pomůcky: PC a dataprojektor, učebnice Stereometrie Volné rovnoběžné promítání Zobrazí

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Cvičení z matematiky Náplň: Systematizace a prohloubení učiva matematiky Třída: 4. ročník Počet hodin: 2 Pomůcky: Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné obory

Více

Systematizace a prohloubení učiva matematiky. Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Systematizace a prohloubení učiva matematiky. Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Cvičení z matematiky Systematizace a prohloubení učiva matematiky 4. ročník 2 hodiny Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné

Více

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky Ročník I II III IV Dotace 3 3+1 2+1 2+2 Povinnost povinný povinný povinný povinný Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Ročník 1 2 3 4 5 6 Dotace

Více

B) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika.

B) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika. 4.8.3. Cvičení z matematiky Předmět Cvičení z matematiky je vyučován v sextě a v septimě jako volitelný předmět. Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Cvičení z matematiky vychází ze vzdělávací oblasti

Více

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné

Více

Maturitní témata od 2013

Maturitní témata od 2013 1 Maturitní témata od 2013 1. Úvod do matematické logiky 2. Množiny a operace s nimi, číselné obory 3. Algebraické výrazy, výrazy s mocninami a odmocninami 4. Lineární rovnice a nerovnice a jejich soustavy

Více

Tematický plán Obor: Informační technologie. Vyučující: Ing. Joanna Paździorová

Tematický plán Obor: Informační technologie. Vyučující: Ing. Joanna Paździorová Tematický plán Vyučující: Ing. Joanna Paździorová 1. r o č n í k 5 h o d i n t ý d n ě, c e l k e m 1 7 0 h o d i n Téma- Tematický celek Z á ř í 1. Opakování a prohloubení učiva základní školy 18 1.1.

Více

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce MATEMATIKA 5. TŘÍDA 1 - Přirozená čísla a číslo nula a číselná osa, porovnávání b zaokrouhlování c zápis čísla v desítkové soustavě d součet, rozdíl e násobek, činitel, součin f dělení, dělení se zbytkem

Více

Maturitní okruhy z matematiky - školní rok 2007/2008

Maturitní okruhy z matematiky - školní rok 2007/2008 Maturitní okruhy z matematiky - školní rok 2007/2008 1. Některé základní poznatky z elementární matematiky: Číselné obory, dělitelnost přirozených čísel, prvočísla a čísla složená, největší společný dělitel,

Více

Matematika PRŮŘEZOVÁ TÉMATA

Matematika PRŮŘEZOVÁ TÉMATA Matematika ročník TÉMA 1-4 Operace s čísly a - provádí aritmetické operace v množině reálných čísel - používá různé zápisy reálného čísla - používá absolutní hodnotu, zapíše a znázorní interval, provádí

Více

TEMATICKÝ PLÁN. září říjen

TEMATICKÝ PLÁN. září říjen TEMATICKÝ PLÁN Předmět: MATEMATIKA Literatura: Matematika doc. RNDr. Oldřich Odvárko, DrSc., doc. RNDr. Jiří Kadleček, CSc Matematicko fyzikální tabulky pro základní školy UČIVO - ARITMETIKA: 1. Rozšířené

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Náplň: Cvičení z matematiky geometrie (CZMg) Systematizace a prohloubení učiva matematiky Planimetrie, Stereometrie, Analytická geometrie, Kombinatorika, Pravděpodobnost a statistika Třída: 4.

Více

Matematika. ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání:

Matematika. ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání: Studijní obor: Aplikovaná chemie Učební osnova předmětu Matematika Zaměření: ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání: denní Celkový počet vyučovacích hodin za

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. volné rovnoběžné promítání průmětna

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. volné rovnoběžné promítání průmětna Předmět: Matematika Náplň: Stereometrie, Analytická geometrie, Komplexní čísla Třída: 3. ročník Počet hodin: 4 hodiny týdně Pomůcky: PC a dataprojektor Volné rovnoběžné promítání Zobrazí ve volném rovnoběžném

Více

Nezbytnou součástí ústní zkoušky je řešení matematických příkladů, které student obdrží při zadání otázky.

Nezbytnou součástí ústní zkoušky je řešení matematických příkladů, které student obdrží při zadání otázky. Maturitní témata Matematika Školní rok 2016/17 Nezbytnou součástí ústní zkoušky je řešení matematických příkladů, které student obdrží při zadání otázky. Příprava ke zkoušce trvá 15 minut, ústní zkouška

Více

Témata ke státní závěrečné zkoušce z matematiky ARITMETIKA

Témata ke státní závěrečné zkoušce z matematiky ARITMETIKA Státní zkouška aritmetika Témata ke státní závěrečné zkoušce z matematiky ARITMETIKA Teoretická aritmetika 1. Prvky výrokové logiky - výrok, skládání výroků, abeceda výrokové logiky, výrokové formule,

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro nástavbové studium. varianta B 6 celkových týd.

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro nástavbové studium. varianta B 6 celkových týd. MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro nástavbové studium (hodinová dotace: varianta A 4 až 5 celkových týd. hodin, varianta B 6 celkových týd. hodin) Schválilo

Více

Historie matematiky a informatiky

Historie matematiky a informatiky Historie matematiky a informatiky 2018 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph.D. Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT v Praze 22. 2. 2018 Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze 1 Pýthagorás ze Samu, 6. stol. př. n. l.

Více

DĚJINY MATEMATIKY tematické okruhy ke zkoušce

DĚJINY MATEMATIKY tematické okruhy ke zkoušce DĚJINY MATEMATIKY tematické okruhy ke zkoušce ZIMNÍ SEMESTR Pythagorejská matematika: Pýthagorova věta. Formulace. Školský důkaz, Eukleidův důkaz. Pýthagorejské trojice. Definice, popis všech pýthagorejských

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011

MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011 MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011 1. Výroková logika a teorie množin Výrok, pravdivostní hodnota výroku, negace výroku; složené výroky(konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence);

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro střední odborné školy s humanitním zaměřením (6 8 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy

Více

Co vedlo ke zkoumání řezů kuželové plochy?

Co vedlo ke zkoumání řezů kuželové plochy? Různé přístupy ke kuželosečkám Zdeněk Halas KDM MFF UK Parabola dle Apollónia Elipsa a hyperbola dle Apollónia Konstrukce elipsy proužková součtová Obsah elipsy Zdeněk Halas (KDM MFF UK) 1 / 35 Zdeněk

Více

1.1 Základní pojmy prostorové geometrie. Předmětem studia prostorové geometrie je prostor, jehož prvky jsou body. Další

1.1 Základní pojmy prostorové geometrie. Předmětem studia prostorové geometrie je prostor, jehož prvky jsou body. Další Kapitola 1 Planimetrie a stereometrie Doplňky ke středoškolské látce 1.1 Základní pojmy prostorové geometrie 1.1.1 Axiomy Předmětem studia prostorové geometrie je prostor, jehož prvky jsou body. Další

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 2 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo a

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem)

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy dne 14. 6. 2000,

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná Racionální čísla Zlomky Rozšiřování a krácení zlomků

Více

PROSLULÉ GEOMETRICKÉ PROBLÉMY

PROSLULÉ GEOMETRICKÉ PROBLÉMY PROSLULÉ GEOMETRICKÉ PROBLÉMY STAROVĚKU Kvadratura kruhu Nalezení strany čtverce, který má stejný obsah jako daný kruh Zdvojení krychle (délský problém) Nalezení hrany krychle, jejíž objem je roven dvojnásobku

Více

volitelný předmět ročník zodpovídá CVIČENÍ Z MATEMATIKY 8. MACASOVÁ Učivo obsah

volitelný předmět ročník zodpovídá CVIČENÍ Z MATEMATIKY 8. MACASOVÁ Učivo obsah Výstupy žáka ZŠ Chrudim, U Stadionu Učivo obsah Mezipředmětové vztahy Metody + formy práce, projekty, pomůcky a učební materiály ad. Poznámky je schopen vypočítat druhou mocninu a odmocninu nebo odhadnout

Více

Maturitní zkouška z matematiky (v profilové části) Informace o zkoušce, hodnocení zkoušky, povolené pomůcky a požadavky

Maturitní zkouška z matematiky (v profilové části) Informace o zkoušce, hodnocení zkoušky, povolené pomůcky a požadavky Maturitní zkouška z matematiky (v profilové části) Informace o zkoušce, hodnocení zkoušky, povolené pomůcky a požadavky A. Informace o zkoušce Písemná maturitní zkouška z matematiky v profilové části se

Více

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět Název předmětu: Zařazení v učebním plánu: Cvičení z matematiky O8A, C4A, jednoletý volitelný předmět Cíle předmětu Obsah předmětu je zaměřen na přípravu studentů gymnázia na společnou část maturitní zkoušky

Více

Zavedeme-li souřadnicový systém {0, x, y, z}, pak můžeme křivku definovat pomocí vektorové funkce.

Zavedeme-li souřadnicový systém {0, x, y, z}, pak můžeme křivku definovat pomocí vektorové funkce. KŘIVKY Křivka = dráha pohybujícího se bodu = = množina nekonečného počtu bodů, které závisí na parametru (čase). Proto můžeme křivku také nazvat jednoparametrickou množinou bodů. Zavedeme-li souřadnicový

Více

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik R4 1. ČÍSELNÉ VÝRAZY 1.1. Přirozená čísla počítání s přirozenými čísly, rozlišit prvočíslo a číslo složené, rozložit složené

Více

Učitelství 1. stupně ZŠ tématické plány předmětů matematika

Učitelství 1. stupně ZŠ tématické plány předmětů matematika Učitelství 1. stupně ZŠ tématické plány předmětů matematika Povinné předměty: Matematika I aritmetika (KMD/MATE1) 2 Matematika 3 aritmetika s didaktikou (KMD/MATE3) 3 Matematika 5 geometrie (KMD/MATE5)

Více

Planimetrie 2. část, Funkce, Goniometrie. PC a dataprojektor, učebnice. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky

Planimetrie 2. část, Funkce, Goniometrie. PC a dataprojektor, učebnice. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Planimetrie 2. část, Funkce, Goniometrie 2. ročník a sexta 4 hodiny týdně PC a dataprojektor, učebnice Planimetrie II. Konstrukční úlohy Charakterizuje

Více

Těleso racionálních funkcí

Těleso racionálních funkcí Těleso racionálních funkcí Poznámka. V minulém semestru jsme libovolnému oboru integrity sestrojili podílové těleso. Pro libovolné těleso R je okruh polynomů R[x] oborem integrity, máme tedy podílové těleso

Více

Obsah a průběh zkoušky 1PG

Obsah a průběh zkoušky 1PG Obsah a průběh zkoušky PG Zkouška se skládá z písemné a ústní části. Písemná část (cca 6 minut) dvě konstrukční úlohy dle části po. bodech a jedna úloha výpočetní úloha dle části za bodů. Ústní část jedna

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Cvičení z matematiky algebra (CZMa) Systematizace a prohloubení učiva matematiky: Číselné obory, Algebraické výrazy, Rovnice, Funkce, Posloupnosti, Diferenciální

Více

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0.

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0. Ukázky typových maturitních příkladů z matematiky..reálná čísla. 3} x R; I. Zobrazte množiny A = {x є 3} < + x R; B = {x є II. Zapište ve tvaru zlomku číslo, 486.Komplexní čísla. I. Určete a + b, a - b,

Více

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY TU v LIBERCI FAKULTA MECHATRONIKY POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY Tematické okruhy středoškolské látky: Číselné množiny N, Z, Q, R, C Body a intervaly na číselné ose Absolutní hodnota Úpravy

Více

Matematika - 6. ročník Očekávané výstupy z RVP Učivo Přesahy a vazby desetinná čísla. - zobrazení na číselné ose

Matematika - 6. ročník Očekávané výstupy z RVP Učivo Přesahy a vazby desetinná čísla. - zobrazení na číselné ose Matematika - 6. ročník desetinná čísla - čtení a zápis v desítkové soustavě F užití desetinných čísel - zaokrouhlování a porovnávání des. čísel ve výpočtových úlohách - zobrazení na číselné ose MDV kritické

Více

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace Střední škola umělecká a řemeslná Evropský sociální fond "Praha a EU: Investujeme do vaší budoucnosti" Projekt IMPLEMENTACE ŠVP Evaluace a aktualizace metodiky předmětu Matematika Výrazy Obory nástavbového

Více

MOCNINY A ODMOCNINY. Standardy: M-9-1-01 M-9-1-02 PYTHAGOROVA VĚTA. Standardy: M-9-3-04 M-9-3-01

MOCNINY A ODMOCNINY. Standardy: M-9-1-01 M-9-1-02 PYTHAGOROVA VĚTA. Standardy: M-9-3-04 M-9-3-01 matematických pojmů a vztahů, k poznávání základě těchto vlastností k určování a zařazování pojmů matematického aparátu Zapisuje a počítá mocniny a odmocniny racionálních čísel Používá pro počítání s mocninami

Více

Témata absolventského klání z matematiky :

Témata absolventského klání z matematiky : Témata absolventského klání z matematiky : 1.Dělitelnost přirozených čísel - násobek a dělitel - společný násobek - nejmenší společný násobek (n) - znaky dělitelnosti 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9,10 - společný

Více

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě.

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě. STANDARDY MATEMATIKA 2. stupeň ČÍSLO A PROMĚNNÁ 1. M-9-1-01 Žák provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel; užívá ve výpočtech druhou mocninu a odmocninu 1. žák provádí základní početní

Více

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Obsah Obsah NIŽŠÍ úroveň obtížnosti 4 MAGZD10C0K01 říjen 2010..........................

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (13 15 hodin týdně celkem)

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (13 15 hodin týdně celkem) MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro studijní obory SOŠ a SOU (13 15 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy dne 14.června

Více

Deskriptivní geometrie 1

Deskriptivní geometrie 1 S třední škola stavební Jihlava Deskriptivní geometrie 1 01. Úvod do DG 1 Digitální učební materiál projektu: SŠS Jihlava šablony registrační číslo projektu:cz.1.09/1.5.00/34.0284 Šablona: III/2 - inovace

Více

Odvození středové rovnice kružnice se středem S [m; n] a o poloměru r. Bod X ležící na kružnici má souřadnice [x; y].

Odvození středové rovnice kružnice se středem S [m; n] a o poloměru r. Bod X ležící na kružnici má souřadnice [x; y]. Konzultace č. 6: Rovnice kružnice, poloha přímky a kružnice Literatura: Matematika pro gymnázia: Analytická geometrie, kap. 5.1 a 5. Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ a studijní obory SOU. část, kap. 6.1

Více

Matematika. 8. ročník. Číslo a proměnná druhá mocnina a odmocnina (využití LEGO EV3) mocniny s přirozeným mocnitelem. výrazy s proměnnou

Matematika. 8. ročník. Číslo a proměnná druhá mocnina a odmocnina (využití LEGO EV3) mocniny s přirozeným mocnitelem. výrazy s proměnnou list 1 / 7 M časová dotace: 4 hod / týden Matematika 8. ročník M 9 1 01 provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel; užívá ve výpočtech druhou mocninu a odmocninu Číslo a proměnná druhá

Více

A B C D E F 1 Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace 2 Vzdělávací obor: Matematika 3 Ročník: 8. 4 Klíčové kompetence. Opakování 7.

A B C D E F 1 Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace 2 Vzdělávací obor: Matematika 3 Ročník: 8. 4 Klíčové kompetence. Opakování 7. A B C D E F 1 Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace 2 Vzdělávací obor: Matematika 3 Ročník: 8. 4 Klíčové kompetence Výstupy Učivo Průřezová témata Evaluace žáka Poznámky (Dílčí kompetence) 5 Kompetence

Více

CVIČNÝ TEST 13. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Zdeňka Strnadová. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 13. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Zdeňka Strnadová. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 13 Mgr. Zdeňka Strnadová OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 V trojúhelníku ABC na obrázku dělí úsečka

Více

Vzdělávací obor matematika

Vzdělávací obor matematika "Cesta k osobnosti" 6.ročník Hlavní okruhy Očekávané výstupy dle RVP ZV Metody práce (praktická cvičení) obor navázání na již zvládnuté ročník 1. ČÍSLO A Žák používá početní operace v oboru de- Dělitelnost

Více

3.2 OBJEMY A POVRCHY TĚLES

3.2 OBJEMY A POVRCHY TĚLES . OBJEMY A POVRCHY TĚLES Krychle, kvádr, hranol Dochované matematické texty ze starého Egypta obsahují několik úloh na výpočet objemu čtverhranných obilnic tvaru krychle; lze předpokládat, že stejným způsobem

Více

Učivo obsah. Druhá mocnina a odmocnina Druhá mocnina a odmocnina Třetí mocnina a odmocnina Kružnice a kruh

Učivo obsah. Druhá mocnina a odmocnina Druhá mocnina a odmocnina Třetí mocnina a odmocnina Kružnice a kruh Výstupy žáka ZŠ Chrudim, U Stadionu Je schopen vypočítat druhou mocninu a odmocninu nebo odhadnout přibližný výsledek Určí druhou mocninu a odmocninu pomocí tabulek a kalkulačky Umí řešit úlohy z praxe

Více

Maturitní okruhy z matematiky ve školním roce 2010/2011

Maturitní okruhy z matematiky ve školním roce 2010/2011 Vyučující: RNDr. Ivanka Dvořáčková Třída: 8.A Maturitní okruhy z matematiky ve školním roce 2010/2011 Otázka Okruh 1 1. Výroky a operace s nimi 2. Množiny a operace s nimi 2 3. Matematické věty a jejich

Více

INFINITESIMÁLNÍHO POČTU

INFINITESIMÁLNÍHO POČTU POČÁTKY INFINITESIMÁLNÍHO POČTU společný název pro diferenciální a integrální počet pracuje s nekonečně malými veličinami OBSAHY ROVINNÝCH ÚTVARŮ Egypt, 2. pol. 2. tisíciletí př. Kr. Obdélník základní

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Matematika (MAT) Náplň: Rovnice a nerovnice, kruhy a válce, úměrnost, geometrické konstrukce, výrazy 2 Třída: Tercie Počet hodin: 4 hodiny týdně Pomůcky: Učebna s PC a dataprojektorem (interaktivní

Více

Matematika I. dvouletý volitelný předmět

Matematika I. dvouletý volitelný předmět Název předmětu: Zařazení v učebním plánu: Matematika I O7A, C3A, O8A, C4A dvouletý volitelný předmět Cíle předmětu Tento předmět je koncipován s cílem usnadnit absolventům gymnázia přechod na vysoké školy

Více

volitelný předmět ročník zodpovídá PŘÍPRAVA NA PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY Z MATEMATIKY 9. MACASOVÁ

volitelný předmět ročník zodpovídá PŘÍPRAVA NA PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY Z MATEMATIKY 9. MACASOVÁ Výstupy žáka ZŠ Chrudim, U Stadionu Učivo obsah Mezipředmětové vztahy Metody + formy práce, projekty, pomůcky a učební materiály ad. Poznámky provádí operace s celými čísly (sčítání, odčítání, násobení

Více

Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu. Strojírenství. (platné znění k 1. 9. 2009)

Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu. Strojírenství. (platné znění k 1. 9. 2009) Střední průmyslová škola Jihlava tř. Legionářů 1572/3, Jihlava Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu Strojírenství (platné znění k 1. 9. 09) Tento dodatek nabývá platnosti dne 1. 9. 13 (počínaje

Více

Pythagorova věta Pythagorova věta slovní úlohy. Mocniny s přirozeným mocnitelem mocniny s přirozeným mocnitelem operace s mocninami

Pythagorova věta Pythagorova věta slovní úlohy. Mocniny s přirozeným mocnitelem mocniny s přirozeným mocnitelem operace s mocninami Vyučovací předmět: Matematika Ročník: 8. Vzdělávací obsah Očekávané výstupy z RVP ZV Školní výstupy Učivo užívá různé způsoby kvantitativního vyjádření vztahu celek část (procentem) řeší aplikační úlohy

Více

M - 2. stupeň. Matematika a její aplikace Školní výstupy Žák by měl

M - 2. stupeň. Matematika a její aplikace Školní výstupy Žák by měl 6. ročník číst, zapisovat, porovnávat, zaokrouhlovat, rozkládat přirozená čísla do 10 000 provádět odhady výpočtů celá čísla - obor přirozených čísel do 10 000 numerace do 10 000 čtení, zápis, porovnávání,

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

Rovnice, soustavy rovnic, funkce, podobnost a funkce úhlů, jehlany a kužely

Rovnice, soustavy rovnic, funkce, podobnost a funkce úhlů, jehlany a kužely Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika (MAT) Rovnice, soustavy rovnic, funkce, podobnost a funkce úhlů, jehlany a kužely Kvarta 4 hodiny týdně Učebna s PC a dataprojektorem (interaktivní

Více

5. Konstrukční planimetrické úlohy

5. Konstrukční planimetrické úlohy 5 Konstrukční planimetrické úlohy 5.1 Řešení konstrukčních úloh 5. Konstrukční planimetrické úlohy Konstrukční úlohou rozumíme úlohu, ve které je požadováno sestrojení jistého geometrického útvaru (alespoň

Více

Státní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách

Státní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách Státní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách Ústní zkouška z oboru Náročnost zkoušky je podtržena její ústní formou a komisionálním charakterem. Předmětem bakalářské zkoušky

Více

Číslo hodiny. Označení materiálu. 1. Mnohočleny. 25. Zlomky. 26. Opakování učiva 7. ročníku. 27. Druhá mocnina, odmocnina, Pythagorova věta

Číslo hodiny. Označení materiálu. 1. Mnohočleny. 25. Zlomky. 26. Opakování učiva 7. ročníku. 27. Druhá mocnina, odmocnina, Pythagorova věta 1. Mnohočleny 2. Rovnice rovné nule 3. Nerovnice různé od nuly 4. Lomený výraz 5. Krácení lomených výrazů 6. Rozšiřování lomených výrazů 7. Sčítání lomených výrazů 8. Odčítání lomených výrazů 9. Násobení

Více

SBÍRKA ÚLOH I. Základní poznatky Teorie množin. Kniha Kapitola Podkapitola Opakování ze ZŠ Co se hodí si zapamatovat. Přírozená čísla.

SBÍRKA ÚLOH I. Základní poznatky Teorie množin. Kniha Kapitola Podkapitola Opakování ze ZŠ Co se hodí si zapamatovat. Přírozená čísla. Opakování ze ZŠ Co se hodí si zapamatovat Přírozená čísla Číselné obory Celá čísla Racionální čísla Reálná čísla Základní poznatky Teorie množin Výroková logika Mocniny a odmocniny Množiny Vennovy diagramy

Více

Úterý 8. ledna. Cabri program na rýsování. Základní rozmístění sad nástrojů na panelu nástrojů

Úterý 8. ledna. Cabri program na rýsování. Základní rozmístění sad nástrojů na panelu nástrojů Úterý 8. ledna Cabri program na rýsování program umožňuje rýsování základních geometrických útvarů, měření délky úsečky, velikosti úhlu, výpočet obvodů a obsahů. Je vhodný pro rýsování geometrických míst

Více

Vyučovací předmět: CVIČENÍ Z MATEMATIKY. A. Charakteristika vyučovacího předmětu.

Vyučovací předmět: CVIČENÍ Z MATEMATIKY. A. Charakteristika vyučovacího předmětu. Vyučovací předmět: CVIČENÍ Z MATEMATIKY A. Charakteristika vyučovacího předmětu. a) Obsahové, časové a organizační vymezení předmětu Základem vzdělávacího obsahu předmětu Cvičení z matematiky je vzdělávací

Více

A B C D E F 1 Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace 2 Vzdělávací obor: Matematika 3 Ročník: 8. 4 Klíčové kompetence. Opakování 7.

A B C D E F 1 Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace 2 Vzdělávací obor: Matematika 3 Ročník: 8. 4 Klíčové kompetence. Opakování 7. A B C D E F 1 Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace 2 Vzdělávací obor: Matematika 3 Ročník: 8. 4 Klíčové kompetence Výstupy Učivo Průřezová témata Evaluace žáka Poznámky (Dílčí kompetence) 5 Kompetence

Více

8 Plochy - vytvoření, rozdělení, tečná rovina a normála. Šroubové plochy - přímkové, cyklické. Literatura:

8 Plochy - vytvoření, rozdělení, tečná rovina a normála. Šroubové plochy - přímkové, cyklické. Literatura: 8 Plochy - vytvoření, rozdělení, tečná rovina a normála. Šroubové plochy - přímkové, cyklické. Literatura: (1)Poláček, J., Doležal, M.: Základy deskriptivní a konstruktivní geometrie, díl 5, Křivky a plochy

Více

Pythagorova věta Pythagorova věta slovní úlohy

Pythagorova věta Pythagorova věta slovní úlohy Vyučovací předmět: Matematika Ročník: 8. Vzdělávací obsah Očekávané výstupy z RVP ZV Školní výstupy Učivo provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel, užívá ve výpočtech druhou mocninu

Více

OBSAH 1 Úvod Fyzikální charakteristiky Zem Referen ní plochy a soustavy... 21

OBSAH 1 Úvod Fyzikální charakteristiky Zem Referen ní plochy a soustavy... 21 OBSAH I. ČÁST ZEMĚ A GEODÉZIE 1 Úvod... 1 1.1 Historie měření velikosti a tvaru Země... 1 1.1.1 První určení poloměru Zeměkoule... 1 1.1.2 Středověké měření Země... 1 1.1.3 Nové názory na tvar Země...

Více

Matematický seminář. OVO ŠVP Tématický celek Učivo ŠVP Integrace Mezipředmětové vztahy. jejich soustavy. Spojitost funkce v bodě. Limita funkce v bodě

Matematický seminář. OVO ŠVP Tématický celek Učivo ŠVP Integrace Mezipředmětové vztahy. jejich soustavy. Spojitost funkce v bodě. Limita funkce v bodě Řeší s porozumněním rovnice s parametrem Rovnice, nerovnice a jejich soustavy Řovnice, nerovnice a jejich soustavy Třetí, 24 hodin Zvolí vhodnou metodu řešení rovnice nebo nerovnice Vysvětlí zvolený způsob

Více

Základní topologické pojmy:

Základní topologické pojmy: Křivky Marie Ennemond Camille Jordan (88 9): Křivka je množina bodů, která je surjektivním obrazem nějakého intervalu Giuseppe Peano (858 9): Zobrazení intervalu na čtverec Wacław Franciszek Sierpiński

Více

ICT podporuje moderní způsoby výuky CZ.1.07/1.5.00/ Matematika planimetrie. Mgr. Tomáš Novotný

ICT podporuje moderní způsoby výuky CZ.1.07/1.5.00/ Matematika planimetrie. Mgr. Tomáš Novotný Název projektu ICT podporuje moderní způsoby výuky Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0717 Název školy Gymnázium, Turnov, Jana Palacha 804, přísp. organizace Číslo a název šablony klíčové aktivity IV/2 Inovace

Více

Předmět: MATEMATIKA Ročník: PRVNÍ Měsíc: učivo:. ZÁŘÍ ŘÍJEN LISTOPAD PROSINEC

Předmět: MATEMATIKA Ročník: PRVNÍ Měsíc: učivo:. ZÁŘÍ ŘÍJEN LISTOPAD PROSINEC Předmět: MATEMATIKA Ročník: PRVNÍ Měsíc: učivo:. ZÁŘÍ Úvod k učivu o přirozeném čísle. Numerace do 5, čtení čísel 0-5. Vytváření souborů o daném počtu předmětů. Znaménka méně, více, rovná se, porovnávání

Více

volitelný předmět ročník zodpovídá CVIČENÍ Z MATEMATIKY 9. MACASOVÁ

volitelný předmět ročník zodpovídá CVIČENÍ Z MATEMATIKY 9. MACASOVÁ Výstupy žáka ZŠ Chrudim, U Stadionu je schopen provádět složitější operace s racionálními čísly umí řešit a tvořit úlohy, ve kterých aplikuje osvojené početní operace Učivo obsah Mezipředmětové vztahy

Více

Matematická kartografie. Černý J., Kočandrlová M.: Konstruktivní geometrie, ČVUT. Referenční plochy

Matematická kartografie. Černý J., Kočandrlová M.: Konstruktivní geometrie, ČVUT. Referenční plochy Matematická kartografie Buchar.: Matematická kartografie 10, ČVUT; Černý J., Kočandrlová M.: Konstruktivní geometrie, ČVUT Referenční plochy referenční elipsoid (sféroid) zploštělý rotační elipsoid Besselův

Více

MATEMATIKA - 4. ROČNÍK

MATEMATIKA - 4. ROČNÍK VZDĚLÁVACÍ OBLAST: VZDĚLÁVACÍ OBOR: PŘEDMĚT: MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE MATEMATIKA MATEMATIKA - 4. ROČNÍK Téma, učivo Rozvíjené kompetence, očekávané výstupy Mezipředmětové vztahy Poznámky Opakování ze

Více

0. Pak existuje n tak, že Bµ APn

0. Pak existuje n tak, že Bµ APn Euklidovský prostor Základní pojmy: bod, přímka rovina Základní vztahy: bod leží na přímce přímka prochází bodem bod leží v rovině rovina prochází bodem bod inciduje s přímkou přímka inciduje s bodem bod

Více

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 00 007 TEST Z MATEMATIKY PRO PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY ČÍSLO FAST-M-00-0. tg x + cot gx a) sinx cos x b) sin x + cos x c) d) sin x e) +. sin x cos

Více

CHARAKTERISTIKA. VZDĚLÁVACÍ OBLAST VYUČOVACÍ PŘEDMĚT ZODPOVÍDÁ VOLITELNÉ PŘEDMĚTY Seminář z matematiky Mgr. Dana Rauchová

CHARAKTERISTIKA. VZDĚLÁVACÍ OBLAST VYUČOVACÍ PŘEDMĚT ZODPOVÍDÁ VOLITELNÉ PŘEDMĚTY Seminář z matematiky Mgr. Dana Rauchová CHARAKTERISTIKA VZDĚLÁVACÍ OBLAST VYUČOVACÍ PŘEDMĚT ZODPOVÍDÁ VOLITELNÉ PŘEDMĚTY Seminář z matematiky Mgr. Dana Rauchová Vyučovací volitelný předmět Cvičení z matematiky je zařazen samostatně na druhém

Více

Vlasta Moravcová. Matematicko-fyzikální fakulta & Nad Ohradou 23 Univerzita Karlova v Praze Praha 3. Letní škola geometrie 2018,

Vlasta Moravcová. Matematicko-fyzikální fakulta & Nad Ohradou 23 Univerzita Karlova v Praze Praha 3. Letní škola geometrie 2018, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY Katedra didaktiky matematiky Gymnázium Na Pražačce Matematicko-fyzikální fakulta & Nad Ohradou 23 Univerzita Karlova v Praze Praha 3 Letní škola geometrie 2018, 4. července 2018, Česká

Více