Tento text se snaží být takovým atlasem elementárních funkcí podobně jako atlas hub, ptáků či květin.
|
|
- Martin Veselý
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 A T L A S F U N K C Í Každý absolvent(ka) gynázia či střední odborné školy zaěřené na techniku by si ěl(a) do života po aturitě odnést povědoí o eleentárních funkcích, jejich seznau a vlastností jednotlivých druhů. Měl(a) by uět bez zaváhání načrtnout jejich graf a pokud u(jí) je předložen graf okažitě poznat, o kterou eleentární funkci jde. Tento tet se snaží být takový atlase eleentárních funkcí podobně jako atlas hub, ptáků či květin. Eleentární funkce lze rozdělit do několika skupin: Polynoické konstantní lineární (příá úěra) kvadratická polynoická Racionální loené reciproká (nepříá úěra) lineární loená racionální loená Mocninné ocninná Eponenciální eponenciální logaritická Gonioetrické sinus kosinus tangent kotangent Ostatní absolutní hodnota signu celá část desetinná část
2 K O N S T A N T N Í F U N K C E název: konstantní funkce předpis: y = k zařazení: patří do skupiny polynoických funkcí definiční obor: celá nožina reálných čísel R obor hodnot: jednoprvková nožina {k} graf: křivka: příka rovnoběžná s osou asyptoty: neá funkce inverzní: konstantní funkce není prostá, funkce inverzní neeistuje derivace: y = užití: poznáka: protože grafe je příka - linea, je konstantní funkce zahrnována pod funkce lineární zvláštní případ: funkce y = se nazývá nulová, grafe je osa
3 L I N E Á R N Í F U N K C E název: lineární funkce (příá úěra) předpis: y = k + q, k zařazení: patří do skupiny polynoických funkcí definiční obor: celá nožina reálných čísel R obor hodnot: celá nožina reálných čísel R graf: sklon příky k ose určuje znaénko koeficientu k křivka: příka asyptoty: neá funkce inverzní: lineární funkce je prostá, funkce inverzní je opět lineární y k q k derivace: y = k užití: veli pestré; lze říci, když nevíe jak na to, použijee lineární funkci; lineární interpolace; všude ta, kde jsou jevy spolu svázány přío úěrně poznáka: a) grafe je příka - linea, odtud název; b) z důvodu podobnosti grafu k ní bývá připojena také konstantní funkce jako součást c) žádná lineární funkce neá za graf příku rovnoběžnou s osou y zvláštní případ:
4 3 K V A D R A T I C K Á F U N K C E název: kvadratická funkce předpis: y a b c, a zařazení: patří do skupiny polynoických funkcí definiční obor: celá nožina reálných čísel R obor hodnot: pro a> interval 4ac b 4a graf: sěr otevření určuje znaénko koeficientu a, ), pro a< interval (, 4 ac b 4a křivka: parabola asyptoty: neá funkce inverzní: kvadratická funkce není prostá derivace: y = a + b užití: veli pestré; spolu s lineární funkcí je kvadratická funkce nuericky i logicky dostupná široké veřejnosti b poznáka: v bodě á funkce etré; pro a> iniu a pro a< aiu a zvláštní případ:
5 4 P O L Y N O M I C K Á F U N K C E název: polynoická funkce stupně n n n n předpis: y an an an... a a a, a, a, a,... a, a, a R zařazení: patří do skupiny polynoických funkcí definiční obor: celá nožina reálných čísel R obor hodnot: pro lichý stupeň celé R, pro sudý stupeň nelze obecně říci graf: příliš individuální křivka: příka, parabola, další nejsou pojenovány asyptoty: neá n n n funkce inverzní: polynoická funkce obecně není prostá; záleží na konkrétní zadání n n n 3 derivace: y na ( n ) a ( n ) a... a a n užití: kroě příého zadání se používá k aproiaci jiných funkcí poznáka: zvláštní případ: některé stupně ají zvláštní pojenování n= konstantní n= lineární n= kvadratická n=3 kubická n=4 bikvadratická n n
6 5 R E C I P R O K Á F U N K C E název: reciproká funkce (nepříá úěra) předpis: y k, k zařazení: patří do skupiny racionálních loených funkcí definiční obor: celá nožina reálných čísel R, kroě obor hodnot: celá nožina reálných čísel R, kroě graf: tvar křivky závisí na znaénku koeficientu k křivka: rovnoosá hyperbola asyptoty: á dvě asyptoty, které jsou totožné se souřadnýi osai a y funkce inverzní: reciproká funkce je prostá, funkce inverzní je táž reciproká funkce k y k derivace: y užití: veli časté; všude ta, kde jsou jevy spolu svázány nepřío úěrně poznáka: reciproká funkce je zvláštní případe funkce lineární loené zvláštní případ:
7 6 L I N E Á R N Í L O M E N Á F U N K CE název: lineární loená funkce předpis: y a b a b c d, c, c d ad bc zařazení: patří do skupiny racionálních loených funkcí definiční obor: nožina reálných čísel R\{-d/c} obor hodnot: nožina reálných čísel R\{a/c} graf: tvar křivky závisí na znaénku deterinantu křivka: rovnoosá hyperbola asyptoty: á dvě asyptoty rovnoběžné se souřadnýi osai a y: příka rovnoběžná s osou y a protínající osu v bodě -d/c. příka rovnoběžná s osou a protínající osu y v bodě a/c. funkce inverzní: lineární loená funkce je prostá, funkce inverzní je též lineární loená funkce d b y c a derivace: y ( c d) užití: veli časté; všude ta, kde jsou jevy spolu svázány nepřío úěrně s počáteční a b a K konstantou K, kde K dostanee rozklade y, c d c c d K c poznáka: zvláštní případ: reciproká funkce, kde a=d=, c=, b=k a tedy k
8 7 R A C I O N Á L N Í L O M E N Á F U NKCE název: racionální loená funkce stupně n/ předpis: y n n a n a n... a a, b b... b b a, a, a,... a, a, a, b, b, b,... b, b, b R n n n zařazení: patří do skupiny racionálních loených funkcí definiční obor: nožina reálných čísel R, kroě reálných kořenů rovnice obor hodnot: nelze obecně říci b b b... b b b graf: příliš individuální křivka: hyperbola, další není pojenováno asyptoty: á rovnoběžné asyptoty s osou y a v kořenech rovnice b b b... b b b Je-li n<, pak jednou asyptotou je osa. Jsou-li n=, pak á jednu asyptotu rovnoběžnou s osou a protínající osu y v bodě a y b. Platí-li n=+, pak á jednu šikou asyptotu. funkce inverzní: racionální loená funkce není obecně prostá, funkce inverzní obecně neeistuje derivace: nutno použít pravidel pro derivování na konkrétní případ užití: poznáka: zvláštní případ: některé stupně ají zvláštní pojenování n=, = reciproká n=, = lineární loená
9 8 M O C N I N N Á F U N K C E název: ocninná funkce s reálný eponente předpis: y t, R, t R zařazení: definiční obor: nožina kladných reálných čísel R obor hodnot: nožina kladných reálných čísel R graf: všiněte si, jak eponent t ovlivňuje tvar křivky křivka: asyptoty: pro t< jsou souřadné osy asyptotai, jinak neá funkce inverzní: ocninná je prostá, funkce inverzní je též ocninná funkce y t t derivace: y t t užití: veli časté hlavně v ekonoii a fyzice poznáka: ocninná funkce á varianty podle hodnot jichž ůže nabývat eponent; srovnejte s funkcí eponenciální zvláštní případ: grafy všech ocninných funkcí procházejí bode [; ]
10 9 E X P O N E N C I Á L N Í F U N K C E název: eponenciální funkce o základu z předpis: y z, z>, z zařazení: patří do skupiny eponenciálních funkcí definiční obor: nožina všech reálných čísel R obor hodnot: nožina kladných reálných čísel R graf: křivka: eponenciela asyptoty: á jednu asyptotu, kterou je osa funkce inverzní: eponenciální funkce je prostá, funkcí inverzní je logaritická funkce o základu z y log derivace: y z ln z, speciální případ pro z=e: ( e ) užití: veli časté v ekonoii, fyzice a astronoii poznáka: každou eponenciální funkci o základu z lze převést na eponenciální funkci o ln z základu e - Eulerovo číslo: y z e zvláštní případ: pro z=e je derivace funkce rovna stejné funkci grafy všech eponenciálních funkcí procházejí bode [; ] z e
11 L O G A R I T M I C K Á F U N K C E název: logaritická funkce o základu z předpis: y log, z>, z z zařazení: patří do skupiny eponenciálních funkcí definiční obor: nožina kladných reálných čísel R obor hodnot: nožina všech reálných čísel R graf: grafy logaritické funkce a eponenciální funkce jsou zrcadlové podle osy. a 3. kvadrantu křivka: eponenciela (někdy se uvádí logaritická křivka) asyptoty: á jednu asyptotu, kterou je osa y funkce inverzní: logaritická funkce je prostá, funkcí inverzní je eponenciální funkce o základu z derivace: y ln z y z, speciální případ pro z=e: (ln ) užití: veli časté v ekonoii, fyzice a astronoii poznáka: funkce dekadického a přirozeného logaritu je vydávána v tabulkách; logaritus převádí násobení na sčítání, ocnění na násobení; byl to nástroj, který poohl Keplerovi s výpočte pohybu planet a zforulování jeho pohybových zákonů každou logaritickou funkci o základu z lze převést na logaritickou funkci o základu e - ln Eulerovo číslo: y log z ln z zvláštní případ: některé základy ají zvláštní pojenování z= dekadický logaritus y=log z = e přirozený logaritus y=ln grafy všech logaritických funkcí procházejí bode [; ]
12 F U N K C E S I N U S název: sinus předpis: y = sin zařazení: patří do skupiny gonioetrických funkcí definiční obor: nožina všech reálných čísel R obor hodnot: interval <-; > graf: křivka: sinusoida asyptoty: neá funkce inverzní: funkce sinus není prostá derivace: y = cos užití: veli časté v trigonoetrii, fyzice a astronoii poznáka: kroě rovinné trigonoetrie je také sférická trigonoetrie zvláštní případ:
13 F U N K C E K O S I N U S název: kosinus předpis: y = cos zařazení: patří do skupiny gonioetrických funkcí definiční obor: nožina všech reálných čísel R obor hodnot: interval <-; > graf: grafy funkce sinus a kosinus jsou stejné jen posunuté o / křivka: sinusoida asyptoty: neá funkce inverzní: funkce kosinus není prostá derivace: y = - sin užití: veli časté v trigonoetrii, fyzice a astronoii poznáka: kroě rovinné trigonoetrie je také sférická trigonoetrie zvláštní případ:
14 3 F U N K C E T A N G E N T název: tangent předpis: y = tg zařazení: patří do skupiny gonioetrických funkcí definiční obor: nožina všech reálných čísel R kroě všech lichých násobků čísla / obor hodnot: nožina všech reálných čísel R graf: křivka: tangentoida asyptoty: nekonečně noho rovnoběžných s osou y protínající osu v lichých násobcích čísla / funkce inverzní: funkce tangent není prostá derivace: y cos užití: v trigonoetrii, fyzice a astronoii poznáka: kroě rovinné trigonoetrie je také sférická trigonoetrie zvláštní případ:
15 4 F U N K C E K O T A N G E N T název: kotangent předpis: y = cotg zařazení: patří do skupiny gonioetrických funkcí definiční obor: nožina všech reálných čísel R kroě všech sudých násobků čísla / (všech násobku ) obor hodnot: nožina všech reálných čísel R graf: křivka: tangentoida asyptoty: nekonečně noho rovnoběžných s osou y protínající osu v sudých násobcích čísla / funkce inverzní: funkce kotangent není prostá derivace: y sin užití: v trigonoetrii, fyzice a astronoii poznáka: kroě rovinné trigonoetrie je také sférická trigonoetrie zvláštní případ:
16 5 F U N K C E A B S O L U T N Í H O D N O T A název: absolutní hodnota předpis: y = zařazení: patří do skupiny speciálních funkcí definiční obor: nožina všech reálných čísel R obor hodnot: nožina všech nezáporných reálných čísel R graf: křivka: asyptoty: neá funkce inverzní: funkce absolutní hodnota není prostá derivace: y neeist. pro pro pro užití: v ateatice a ekonoii poznáka: v bodě nula á funkce bod zvratu zvláštní případ: platí vztah = sgn() a také = sgn()
17 6 F U N K C E S I G N U M název: signu (znaénko) pro předpis: y sgn zařazení: patří do skupiny speciálních funkcí definiční obor: nožina všech reálných čísel R obor hodnot: tříbodová nožina {-; ; } graf: křivka: asyptoty: neá funkce inverzní: funkce signu není prostá derivace: y = pro, pro = neeistuje užití: v ateatice a ekonoii poznáka: v bodě nula je funkce nespojitá zvláštní případ: platí vztah = sgn() a také = sgn()
18 7 F U N K C E C E L Á Č Á S T název: celá část předpis: y = [], každéu reálnéu číslu je přiřazeno nejbližší nižší celé číslo zařazení: patří do skupiny speciálních funkcí definiční obor: nožina všech reálných čísel R obor hodnot: nožina všech celých čísel graf: křivka: asyptoty: neá funkce inverzní: funkce celá část není prostá derivace: y = pro Z, pro Z neeistuje užití: v ateatice a ekonoii Mateatické zaokrouhlování na celá čísla je dáno vzorce: y = [ +,5] V zákoně o dani z příjů se praví, že základ daně se zaokrouhlí na tisíce korun nahoru; odpovídající vzorec á tvar y = [/ +,999] poznáka: v každé celočíselné bodě je funkce nespojitá zvláštní případ: platí vztah = [] + {}
19 8 F U N K C E D E S E T I N N Á Č Á S T název: desetinná část předpis: y = {}, každéu reálnéu číslu je přiřazena jeho desetinná část zařazení: patří do skupiny speciálních funkcí definiční obor: nožina všech reálných čísel R obor hodnot: interval <; ) graf: křivka: asyptoty: neá funkce inverzní: funkce desetinná část není prostá derivace: y = pro Z, pro Z neeistuje užití: v ateatice a ekonoii poznáka: v každé celočíselné bodě je funkce nespojitá funkce je periodická s periodou zvláštní případ: platí vztah = [] + {}
Funkce. Vlastnosti funkcí
FUNKCE Funkce zobrazení (na číselných množinách) předpis, který každému prvku z množiny M přiřazuje právě jeden prvek z množiny N zapisujeme ve tvaru y = f () značíme D( f ) Vlastnosti funkcí 1. Definiční
Vícey = 1/(x 3) - 1 x D(f) = R D(f) = R\{3} D(f) = R H(f) = ( ; 2 H(f) = R\{ 1} H(f) = R +
Funkce. Vlastnosti funkcí Funkce f proměnné R je zobrazení na množině reálných čísel (reálnému číslu je přiřazeno právě jedno reálné číslo). Z grafu poznáme, zda se jedná o funkci tak, že nenajdeme žádnou
VíceDiferenciální počet funkcí jedné proměnné
Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 1 1. Elementární funkce 1.2. Přehled elementárních funkcí 2 Lineární funkce - je každá funkce na množině R, která je dána ve tvaru y = a.x + b, kde a,b R. Pokud
VíceV této chvíli je obtížné exponenciální funkci přesně definovat. Můžeme však říci, že
.5. Cíle Uvedeme nní několik unkcí, z nichž většinu studenti znají již ze střední škol. Nazveme je základní elementární unkce. Konečným počtem sčítání, odčítání, násobení, dělení, skládání a případně invertování
VíceFUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI
PŘEDNÁŠKA 3 FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI Pojem zobrazení a funkce Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Přiřadíme-li každému prvku x A právě jeden prvek y B, dostáváme množinu F uspořádaných dvojic
VíceObecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.
5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených
VíceFunkce základní pojmy a vlastnosti
Funkce základní pojm a vlastnosti Základ všší matematik LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplín společného
VíceFunkce. b) D =N a H je množina všech kladných celých čísel,
Funkce ) Napište funkční předpisy a najděte definiční obory funkcí f pro které platí: f ( ) je povrch krychle o straně b) f ( ) je objem kvádru s čtvercovou podstavou o straně a povrchem rovným c) f (
VíceFunkce základní pojmy a vlastnosti
Funkce základní pojm a vlastnosti Základ všší matematik LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺın společného
VíceDiferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.
Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin
VícePoznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení.
@083 6 Polynomické funkce Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. Definice: Polynomická funkce n-tého stupně (n N) je dána předpisem n n 1 2 f : y a x
VíceVypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY
Vlastnosti funkcí Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Definiční obor Definiční obor funkce je množina všech čísel,
VíceElementární funkce. Polynomy
Elementární funkce 1 Elementární funkce Elementární funkce jsou níže uvedené funkce a jejich složenin : 1. Polnom.. Racionální funkce. 3. Mocninné funkce. 4. Eponenciální funkce. 5. Logaritmické funkce.
VíceP ˇ REDNÁŠKA 3 FUNKCE
PŘEDNÁŠKA 3 FUNKCE 3.1 Pojem zobrazení a funkce 2 3 Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Přiřadíme-li každému prvku x A právě jeden prvek y B, dostáváme množinu F uspořádaných dvojic (x, y) A B,
VíceStřední průmyslová škola, Hronov, Hostovského 910, 549 31 Hronov
Protokol SADA DUM Číslo sady DUM: VY_4_INOVACE_MA_ Název sady DUM: Funkce a rovnice I. Název a adresa školy: Střední průmyslová škola, Hronov, Hostovského 90, 549 3 Hronov Registrační číslo projektu: Číslo
VíceBakalářská matematika I
1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,
Vícea r Co je to r-tá mocnina čísla a, za jakých podmínek má smysl, jsme důkladně probrali v kurzu ČÍSELNÉ MNOŽINY. Tam jsme si mj.
@121 12. Mocninné funkce a r Co je to r-tá mocnina čísla a, za jakých podmínek má smysl, jsme důkladně probrali v kurzu ČÍSELNÉ MNOŽINY. Tam jsme si mj. řekli: 1. Je-li exponent r přirozené číslo, může
VíceFunkce. Obsah. Stránka 799
Obsah 4. Funkce... 800 4.. Základní vlastnosti funkcí... 800 4.. Grafy funkcí... 8 4.. Eponenciální a logaritmické funkce... 8 4.4. Eponenciální a logaritmické rovnice... 8 4.5. Eponenciální a logaritmické
VíceMATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY
MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické
VíceFunkce jedné reálné proměnné. lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou
Funkce jedné reálné proměnné lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou lineární y = ax + b Průsečíky s osami: Px [-b/a; 0] Py [0; b] grafem je přímka (získá se pomocí
VíceFunkce základní pojmy a vlastnosti
Funkce základní pojm a vlastnosti Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Pojem funkce Vlastnosti funkcí Inverzní funkce 4 Základní elementární funkce Mocninné Eponenciální Logaritmické
VíceReciprokou funkci znáte ze základní školy pod označením nepřímá úměra.
@091 7. Reciproá funce Reciproou funci znáte ze záladní šoly pod označením nepřímá úměra. Definice: Reciproá funce je dána předpisem ( 0 je reálné číslo) f : y R \ {0} A) Definiční obor funce: Je třeba
VíceŘešení: Odmocninu lze vždy vyjádřit jako mocninu se zlomkovým exponentem. A pro práci s mocninami = = = 2 0 = 1.
Varianta A Př.. Zloek 3 3 je roven číslu: a), b) 3, c), d), e) žádná z předchozích odpovědí není Řešení: Odocninu lze vždy vyjádřit jako ocninu se zlokový exponente. A pro práci s ocninai již áe jednoduchá
VíceUniverzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta
Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z ÚVODU DO MATEMATICKÉ ANLÝZY FUNKCE 999/000 CIFRIK Funkce F a) Zadání: Vyšetřete bez užití limit a derivací funkci : y = { x } f Definice:
Více0.1 Funkce a její vlastnosti
0.1 Funkce a její vlastnosti Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Příklady veličin: hmotnost (m) čas (t) výše úrokové sazby v bance (i) cena
VíceMatematika I (KMI/PMATE)
Přednáška první aneb Úvod do matematické analýzy Funkce a její vlastnosti Úvod do matematické analýzy Osnova přednášky pojem funkce definice funkce graf funkce definiční obor funkce obor hodnot funkce
Více0.1 Úvod do matematické analýzy
Matematika I (KMI/PMATE) 1 0.1 Úvod do matematické analýzy 0.1.1 Pojem funkce Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Příklady veličin: hmotnost
Více3.1.3 Rychlost a zrychlení harmonického pohybu
3.1.3 Rychlost a zrychlení haronického pohybu Předpoklady: 312 Kroě dráhy (výchylky) popisujee pohyb i poocí dalších dvou veličin: rychlosti a zrychlení. Jak budou vypadat jejich rovnice? Společný graf
VícePřehled funkcí. Funkce na množině D R je předpis, který každému číslu z množiny D přiřazuje právě jedno reálné číslo. přehled fcí.
Přehled funkcí Martina Hetmerová Gymnázium Přípotoční 1337 Praha 10 Vlastnosti funkcí Funkce na množině D R je předpis, který každému číslu z množiny D přiřazuje právě jedno reálné číslo Zapisujeme: f:y=f(x)
VíceMatematika (KMI/PMATE)
Úvod do matematické analýzy Funkce a její vlastnosti Funkce a její vlastnosti Veličina Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Funkce a její
VíceGymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora
Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Cvičení z matematiky algebra (CZMa) Systematizace a prohloubení učiva matematiky: Číselné obory, Algebraické výrazy, Rovnice, Funkce, Posloupnosti, Diferenciální
VíceII. 3. Speciální integrační metody
48 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné II.. Speciální integrační metody Integrály typu f ( x, r x, r x,..., r k x ), tj. integrály obsahující proměnnou x pod odmocninou, kde k N a r,..., r k jsou
VíceFunkce pro studijní obory
Variace 1 Funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení,
VíceFUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného
VíceGymnázium Česká a Olympijských nadějí, České Budějovice, Česká 64, 37021
Maturitní témata MATEMATIKA 1. Funkce a jejich základní vlastnosti. Definice funkce, def. obor a obor hodnot funkce, funkce sudá, lichá, monotónnost funkce, funkce omezená, lokální a globální extrémy funkce,
VíceMaturitní otázky z předmětu MATEMATIKA
Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti
VícePlanimetrie 2. část, Funkce, Goniometrie. PC a dataprojektor, učebnice. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky
Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Planimetrie 2. část, Funkce, Goniometrie 2. ročník a sexta 4 hodiny týdně PC a dataprojektor, učebnice Planimetrie II. Konstrukční úlohy Charakterizuje
VíceFunkce, které jsme až dosud probírali, se souhrnně nazývají elementární funkce. Elementární snad proto, že jsou takové hladké, žádný nečekaný zlom.
@213 17. Speciální funkce Funkce, které jsme až dosud probírali, se souhrnně nazývají elementární funkce. Elementární snad proto, že jsou takové hladké, žádný nečekaný zlom. Nyní si řekneme něco o třech
Více1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:
Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky
Více7. Funkce jedné reálné proměnné, základní pojmy
, základní pojmy POJEM FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ Reálná funkce f jedné reálné proměnné je funkce (zobrazení) f: X Y, kde X, Y R. Jde o zvláštní případ obecného pojmu funkce definovaného v přednášce. Poznámka:
Více1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x.
1 LIMITA FUNKCE 1. 1 Definice funkce Pravidlo f, které každému z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné. Píšeme y f ( ) Někdy používáme i jiná písmena argument (nezávisle
VíceMATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel
MATEMATIKA Příklady pro 1. ročník bakalářského studia II. část II.1. Posloupnosti reálných čísel Rozhodněte, zda posloupnost a n (n = 1, 2, 3,...) je omezená (omezená shora, omezená zdola) resp. monotónní
Více4. Určete definiční obor elementární funkce g, jestliže g je definována předpisem
4 Určete definiční obor elementární funkce g jestliže g je definována předpisem a) g ( x) = x 16 + ln ( x) x 16 ( x + 4 )( x 4) Řešíme-li kvadratickou nerovnice pomocí grafu kvadratické funkce tj paraboly
VíceFUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného
VíceFunkce a lineární funkce pro studijní obory
Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce
VíceMatematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala
Matematická analýza ve Vesmíru Jiří Bouchala Katedra aplikované matematiky jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala - p. /8 3. Elementární funkce. 3. Elementární funkce. Matematická analýza ve Vesmíru.
Vícesoubor FUNKCÍ příručka pro studenty
soubor FUNKCÍ příručka pro studenty 1 Obsah Poznámky 6 lineární funkce mocninné funkce s přirozeným exponentem o sudým o lichým s celým záporným exponentem o sudým o lichým s racionálním exponentem o druhá
VíceMaturitní témata z matematiky
Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy
VíceMaturitní nácvik 2008/09
Maturitní nácvik 008/09 1. Parabola a) Načrtněte graf funkce y + 4 - ² a z grafu vypište všechny její vlastnosti. b) Určete čísla a,b,c tak, aby parabola s rovnicí y a + b + c procházela body K[1,-], L[0,-1],
VíceOtázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta.
1 Implicitní funkce Implicitní funkce nejsou funkce ve smyslu definice, že funkce bodu z definičního oboru D přiřadí právě jednu hodnotu z oboru hodnot H. Přesnější termín je funkce zadaná implicitně.
VíceZákladní poznatky o funkcích
Základní poznatk o funkcích Tajemství černé skříňk (Definice funkce, základní pojm) 0 c, d, g, h 0 a) ANO b) NE 0 D( f )={ 6} H( f )={ 7} 0 a) D( f )={ 0 } b) H( f )={ 8 9 0 } c) f ( 0)= f ( )=9 f ( )=
VíceUkázka závěrečného testu
Okruhy otázek pro závěrečný test ) Vlastnosti funkce ) Graf funkce ) Definiční obor funkce ) imita funkce ) Derivace funkce 6) Užití derivace 7) Matice 8) Řešení soustavy lineárních rovnic 9) Určitý integrál
VíceFunkce - pro třídu 1EB
Variace 1 Funkce - pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv využití výukového materiálu je povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému
VíceOpakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 <
8.. Otázka číslo Mocniny a odmocniny. b.) Zjednodušte: 6 b. b Opakování k maturitě matematika. roč. TAD : 6.) Zjednodušte: 6 6.) Vypočtěte: a. y : ( a. y ) =.) Usměrněte zlomek =.. Otázka číslo Lineární
VíceFunkce a základní pojmy popisující jejich chování
a základní pojmy ující jejich chování Pro zobrazení z reálných čísel do reálných čísel se používá termín reálná funkce reálné proměnné. 511 f bude v této části znamenat zobrazení nějaké neprázdné podmnožiny
VíceMatematika 1 pro PEF PaE
Reálné funkce 1 / 21 Matematika 1 pro PEF PaE 1. Reálné funkce Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU funkce Reálné funkce Základní pojmy 2 / 21 Zobrazení z množiny A do množiny B je množina f uspořádaných
VíceMaturitní okruhy z matematiky - školní rok 2007/2008
Maturitní okruhy z matematiky - školní rok 2007/2008 1. Některé základní poznatky z elementární matematiky: Číselné obory, dělitelnost přirozených čísel, prvočísla a čísla složená, největší společný dělitel,
VíceFunkce. RNDR. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou
Funkce RNDR. Yvetta Bartáková Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Derivace funkce VY INOVACE_05 0_M Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Definice Mějme funkci f definovanou v okolí bodu 0. Eistuje-li
VíceKVADRATICKÁ FUNKCE URČENÍ KVADRATICKÉ FUNKCE Z PŘEDPISU FUNKCE
KVADRATICKÁ FUNKCE URČENÍ KVADRATICKÉ FUNKCE Z PŘEDPISU FUNKCE Slovo kvadrát vzniklo z latinského slova quadratus které znamená: čtyřhranný, čtvercový. Obsah čtverce se vypočítá, jako druhá mocnina délky
VíceObecnou definici vynecháme. Jednoduše řečeno: složenou funkci dostaneme, když dosadíme za argument funkci g. Potom y f g
Složená funkce Obecnou definici vynecháme Jednoduše řečeno: složenou funkci dostaneme, když do funkce y f dosadíme za argument funkci g Potom y f g Funkce f je vnější složka, funkce g vnitřní složka Pochopitelně
Více. 1 x. Najděte rovnice tečen k hyperbole 7x 2 2y 2 = 14, které jsou kolmé k přímce 2x+4y 3 = 0. 2x y 1 = 0 nebo 2x y + 1 = 0.
Diferenciální počet příklad s výsledky ( Najděte definiční obor funkce f() = ln arcsin + ) D f = (, 0 Najděte rovnici tečny ke grafu funkce f() = 3 +, která je rovnoběžná s přímkou y = 4 4 y 4 = 0 nebo
VíceMatematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)
VíceFUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
FUNKCE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE DO ROZVOJE
VíceFunkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická
Variace 1 Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu
VíceTematický plán Obor: Informační technologie. Vyučující: Ing. Joanna Paździorová
Tematický plán Vyučující: Ing. Joanna Paździorová 1. r o č n í k 5 h o d i n t ý d n ě, c e l k e m 1 7 0 h o d i n Téma- Tematický celek Z á ř í 1. Opakování a prohloubení učiva základní školy 18 1.1.
VíceMatematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 a) Napište Frobeniovu větu. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a b) Vyšetřete počet řešení soustavy
Více1 L Hospitalovo pravidlo
L Hospitalovo pravidlo Věta.. Bud R R R {± }). Necht je splněna jedna z podmínek i) ii) f) g), g). Eistuje-li vlastní nebo nevlastní) f ) g ) Obdobné tvrzení platí i pro jednostranné ity., pak eistuje
VíceMATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA
MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné
VíceMezi elementární komplexní funkce se obvykle počítají tyto funkce: f(z) = az + b,
Elementární funkce Mezi elementární komplení funkce se obvykle počítají tyto funkce:. Lineární funkce Lineární funkce je funkce tvaru f(z) az + b, kde a a b jsou konečná komplení čísla. Její derivace je
Více. je zlomkem. Ten je smysluplný pro jakýkoli jmenovatel různý od nuly. Musí tedy platit = 0
Příklad 1 Určete definiční obor funkce: a) = b) = c) = d) = e) = 9 f) = Řešení 1a Máme určit definiční obor funkce =. Výraz je zlomkem. Ten je smysluplný pro jakýkoli jmenovatel různý od nuly. Musí tedy
VícePoznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1. Funkce pro UO 1
Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1 Funkce pro UO 1 Co je to matematická funkce? Mějme dvě množiny čísel. Množinu A a množinu B, které jsou neprázdné. Jestliže přiřadíme
Více1. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, limita a spojitost. Definiční obor, obor hodnot a vrstevnice grafu
22- a3b2/df.te. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, ita a spojitost. Definiční obor, obor hodnot a vrstevnice grafu. Určete definiční obor funkce a proveďte klasifikaci bodů z R 2 vzhledem k a rozhodněte
Více1. Písemka skupina A...
. Písemka skupina A.... jméno a příjmení Načrtněte grafy funkcí (v grafu označte všechny průsečíky funkce s osami a asymptoty). y y sin 4 y y arccos ) Určete, jestli je funkce y ln prostá? ) Je funkce
VíceTest Matematika Var: 101
Test Matematika Var: 101 Pokyny: Vyplňte příslušné kolečko odpovídající správné odpovědi u každé otázky ve zvláštním odpovědním formuláři, který Vám byl rozdán spolu se zadáním testu. 1. Přímky p: y =
VíceSbírka úloh z matematiky
Střední průmyslová škola a Střední odborné učiliště, Trutnov, Školní 101 Sbírka úloh z matematiky v rámci projektu královéhradeckého kraje zavádění inovativních metod výuky pomocí ICT v předmětu matematika
VíceČíselné množiny. Přirozená čísla (N) Množina všech přirozených čísel N={1,2,3 } Celá čísla (Z) Množina všech celých čísel Z={,-3,-2,-1,0,1,2,3, }
ÚVOD DO MATEMATIKY Číselné množin Přirozená čísla (N) Množina všech přirozených čísel N={1,2,3 } Celá čísla (Z) Množina všech celých čísel Z={,-3,-2,-1,0,1,2,3, } Racionální čísla (Q) Čísla která lze vjádřit
Vícec ÚM FSI VUT v Brně 20. srpna 2007
20. srpna 2007 1. f = 3 12 2. f = 2 e 3. f = ln Příklad 1. Nakreslete graf funkce f() = 3 12 Příklad 1. f = 3 12 Nejprve je třeba určit definiční obor. Výraz je vždy definován. Příklad 1. f = 3 12 f =
VíceA[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz
1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině
VíceZáklady matematiky kombinované studium 714 0365/06
Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06 1. Některé základní pojmy: číselné množiny, intervaly, operace s intervaly (sjednocení, průnik), kvantifikátory, absolutní hodnota čísla, vzorce: 2. Algebraické
Vícex (D(f) D(g)) : (f + g)(x) = f(x) + g(x), (2) rozdíl funkcí f g znamená: x (D(f) D(g)) : (f g)(x) = f(x) g(x), (3) součin funkcí f.
1. Funkce Deinice 1.1. Zobrazení nazýváme reálná unkce, jestliže H() R. Další speciikaci můžeme provést podle deiničního oboru zobrazení. Deinice 1.2. Reálná unkce se nazývá (1) unkce jedné reálné proměnné,
VícePOŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY
TU v LIBERCI FAKULTA MECHATRONIKY POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY Tematické okruhy středoškolské látky: Číselné množiny N, Z, Q, R, C Body a intervaly na číselné ose Absolutní hodnota Úpravy
VíceMANUÁL K ŘEŠENÍ TESTOVÝCH ÚLOH
Krok za krokem k nové maturitě Maturita nanečisto 005 MA4 MANUÁL K ŘEŠENÍ TESTOVÝCH ÚLOH Matematika rozšířená úroveň Vážení vyučující! ředmětoví koordinátoři Centra pro zjišťování výsledků vzdělávání pro
VíceMATEMATIKA Přijímací zkoušky na ČVUT
Kolektiv MATEMATIKA Přijímací zkoušky na ČVUT Praha 200 Vydavatelství ČVUT Lektoři: doc. RNDr. Čeněk Zlatník, CSc. doc. RNDr. Ludmila Machačová, CSc. Jaroslav Černý, Růžena Černá, František Gemperle, Vladimíra
Více. Opakovací kurs středoškolské matematiky podzim 2015
. Opakovací kurs středoškolské matematiky podzim 0 František Mráz Ústav technické matematiky, Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz I. Mocniny, odmocniny, algeraické výrazy Upravte (zjednodušte), případně určete číselnou
VíceKapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14
Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14 Neurčitý integrál 2/14 Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f (x) x I nazýváme primitivní
Více(FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října Přehled některých elementárních funkcí
1. Reálná funkce reálné proměnné, derivování (FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října 2011 Obsah 1 Přehled některých elementárních funkcí 1 1.1 Polynomické funkce.......................... 1 1.2 Racionální
VíceÚvod, základní pojmy, funkce
Úvod, základní pojmy, funkce Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 1. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 69 Obsah 1 Matematická logika 2 Množiny 3 Funkce,
VíceCZ 1.07/1.1.32/02.0006
PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI
VíceKapitola1. Lineární lomená funkce Kvadratická funkce Mocninná funkce s obecným reálným exponentem Funkce n-tá odmocnina...
Kapitola1 Základní soubor funkcí v R Lineární funkce.......................................................... 1-1 Kvadratická funkce...................................................... 1-2 Mocninná
VíceNejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti.
U. 4. Goniometrie Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti. 4.. Orientovaný úhel a jeho velikost. Orientovaným úhlem v rovině rozumíme uspořádanou dvojici polopřímek
VíceCyklometrické funkce
4 Cyklometrické funkce V minulé kapitole jsme zkoumali první funkci inverzní ke funkci goniometrické (tyto funkce se nazývají cyklometrické) funkci y = arcsin x (inverzní k funkci y = sin x ) Př: Nakresli
VíceObsah. Metodický list Metodický list Metodický list Metodický list
METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání Jaroslav Švrček a kolektiv Rámcový vzdělávací program pro gymnázia Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický okruh: Závislosti
VíceMonotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
66 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné I. 5. Vyšetřování průběhu funkce Monotonie a lokální etrémy Důsledek. Nechť má funkce f) konečnou derivaci na intervalu I. Je-li f ) > 0 pro každé I, pak
VíceGymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora
Předmět: Cvičení z matematiky Náplň: Systematizace a prohloubení učiva matematiky Třída: 4. ročník Počet hodin: 2 Pomůcky: Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné obory
VíceMATEMATIKA I - vybrané úlohy ze zkoušek v letech
MATEMATIKA I - vybrané úlohy ze zkoušek v letech 008 0 doplněné o další úlohy. část DIFERENCIÁLNÍ POČET funkcí jedné proměnné Další část ( integrální počet) bude vydána na konci listopadu 9. 9. 0 Případné
VíceSystematizace a prohloubení učiva matematiky. Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora
Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Cvičení z matematiky Systematizace a prohloubení učiva matematiky 4. ročník 2 hodiny Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné
Více3.2.2 Rovnice postupného vlnění
3.. Rovnice postupného vlnění Předpoklady: 310, 301 Chcee najít rovnici, která bude udávat výšku vlny v libovolné okažiku i libovolné bodě (v jedno okažiku je v různých ístech různá výška vlny). Veličiny
VíceOpakovací kurs středoškolské matematiky podzim
. Opakovací kurs středoškolské matematiky podzim František Mráz Ústav technické matematiky, Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz I. Mocniny, odmocniny, algeraické výrazy Upravte (zjednodušte), případně určete číselnou
VíceKapitola 7: Integrál. 1/17
Kapitola 7: Integrál. 1/17 Neurčitý integrál - Motivační příklad 2/17 Příklad: Necht se bod pohybuje po přímce rychlostí a) v(t) = 3 [m/s] (rovnoměrný přímočarý pohyb), b) v(t) = 2t [m/s] (rovnoměrně zrychlený
Více5. Kvadratická funkce
@063 5. Kvadratická funkce Kvadratickou funkci také znáte ze základní školy, i když jen v té nejjednodušší podobě. Definice: Kvadratická funkce je dána předpisem f: y = ax 2 + bx + c, kde a, b, c R, a
Více