S t u d i j n í m a t e r i á l - M a t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m a t e m a t i c e

Transkript

1 S d i j n í m a e i á l - M a i c e e s ř e d o š k o l s k é m a e m a i c e 9 Vyžií ablkoého poceso Open.Office.og Calc při počíání s maicemi a deeminany Tao kapiola je čena předeším po y čenáře, keří pefejí nekomeční balík kancelářských pogamů Open.Office. Ten si můžee zdama sáhno z hp://.openoffice.cz/sahno. Osobně jej aké přednosňji. Nebd se zabýa sočem maic a k-násobkem maice, poože způsob ýpoč je sejný jako konkenčním Ecel. Přejděme hned k násobení maic. 9. S o č i n m a i c Půodce fnkcemi nejychleji yoláe lačíkem mezi ediačním řádkem a polem názů. Dho možnosí, jak jej yoláe je Vloži/Fnkce (ClF). V Calc jso fnkce kaegoizoány obdobně jako Ecel., s ím ozdílem, že zde najdee speciálně kaegoii Maice (iz. ob). Zolíme o kaegoii a nabídne se nám ýče fnkcí nad maicemi a deeminany. Násobení maic odpoídá fnkce MMULT(maice,maice). Již zde si můžee šimno, že leém dolním oh je checkbo (zaškáací políčko) Maice. Too zýhodňje y, keří nemějí či yp ýsledné maice. Připomínám, že Ecel msíe nejdříe yba oblas odpoídající ynásobené maici a epe poom yola půodce fnkcí. Další ecelacko zado je ona již zmiňoaná kláesoá zkaka ClShif. Toho šeho jse Calc šeřeni. Sačí jen zaškno checkbo Maice. Viz. sana 8 pao dole. /9

2 S d i j n í m a e i á l - M a i c e e s ř e d o š k o l s k é m a e m a i c e V pním dialogoém okně klikneme na lačíko Další, abychom přešli do dhého, kde do polí maice ybeeme maice, keé násobíme (shoa dolů pořadí, jak maice násobíme). Pokd by maice byly skyy dialogoým oknem, pomůžeme si lačíkem. Pokd ne, posačí okno přesno poažením za ilkoo liš a následně yba jedn a pak dho maici. Následjící obázek názoně demonsje, jak yba maice, keé chceme násobi. Všimněe si, jak se fnkce zapisje do ediačního řádk MMULT(B:E, H:I). Máme-li obě maice ybané, sačí podi klikním na lačíko OK. Pek (,) ýsledné maice se loží do ybané bňky. V našem případě je o bňka C8. /9

3 S d i j n í m a e i á l - M a i c e e s ř e d o š k o l s k é m a e m a i c e 9. D a l š í f n k c e p o p o č í á n í s m a i c e m i a d e e m i n a n y O p e n. O f f i c e. O g C a l c V předchozí kapiole jse mohli názoně idě, jak maicoé fnkce fngjí. Ty zbyle již ponechám na čenáři. Připomínám jen, že pokd má bý ýsledkem maice, je řeba zaškno checkbo leém dolním oh půodce fnkcemi. Na záě přikládám popis ěch nejdůležiějších maicoých fnkcí: Náze fnkce Synae Popis MDETERM MDETERM(maice) Vací deeminan maice. MINVERSE MINVERSE(maice) Vací inezní maici k zadané. MMULT MMULT(maice,maice) Vací sočin maic. MUNIT TRNSPOSE MUNIT(ozměy) TRNSPOSE(maice) Vací jednoko maici čeného ozmě. Poede záměn řádků a slopců maice. Příklady: Řeše ablkoém poceso. Zkse Ecel i Calc, ať se můžee ozhodno, keý Vám bde íce yhooa.. Zopakje si šechny důležié ypy maic. Dále čee maice inezní k ěmo maicím. 8 B. Pojďme se nyní zabýa počeními opeacemi s maicemi. Nejdříe si kážeme, jak se maice Ecel sčíají. Sečěe maice, B a maice C, D. C Vypočěe k násobek maice, jesliže k {,,, } B C Vyžije k om absolní adesace bňky. /9

4 S d i j n í m a e i á l - M a i c e e s ř e d o š k o l s k é m a e m a i c e /9. Na maicích B, z řeího příklad oěře, zda je opeace násobení maic komainí.. Vynásobe maice z pního příklad s příslšno inezní maicí. Co byse řekli o ýsledné maici?. Učee ( ) Q po dano maici a polynom ( ) X Q. Číslo kadaickém ojčlen poažje za jednokoo maici E. ( ) X Q. Vypočěe deeminany maic B,. Řeše děma způsoby - zocem a přes půodce fnkcí. 8 B C 8. Vypočěe deeminany následjících maic a pozoje jejich hodnoy záislosi na řádcích, popř. pcích na hlaní diagonále. 8 B 9 C D E F 9. Řeše následjící sosa žiím: a) Cameoa paidla, b) Maicoo meodo.

5 S d i j n í m a e i á l - M a i c e e s ř e d o š k o l s k é m a e m a i c e Užií deeminan e ekooé algebře a analyické geomeii Užií deeminan e ekooé algebře a analyické geomeii je značné a dle mého sod nezbyně nné. V mnoha případech snadňje složié nmeické ýpočy a eliminje ykonsoané algoimy známé z mnoha sředoškolských čebnic maemaiky. no, zasěcený čenář by mohl namíno, že maicoý poče není sandadní náplní gymnaziální láky, ašak řešení je nasnadě. V úodní sekci ekooé algeby sačí zaés pojem maice, jakožo schéma zniknší oganizací čísel do řádků a slopců. Následně definoa deeminan, jakožo číslo příslšející poze čecoým maicím. Omezil bych se poze na deeminan dhého a řeího řád. Po ýpoče deeminan dhého řád dopočji aplikoa Sasoo paidlo, deeminan maice řeího řád je hodné počía ozojem pního řádk. Obecný zoec může zůsa sdenům ajen. Teno maemaický apaá je po naše kapioly naposo dosačjící. jaké kapioly mám lasně na mysli? Jso jimi: ekooý sočin, smíšený sočin, obecná onice oiny zájemná poloha do přímek poso. Podobný ýklad ýše zmiňoaných kapiol by jisě ysačil na další sdijní maeiál, a poo se jimi bd zabýa jen okajoě a spíše zdůazním aplikace maicoého poč konkéně deeminan. Osaně eno je předměem našeho sdia, ne?. V e k o o ý s o č i n Vekooý sočin je maemaice označení binání opeace mezi děma nenloými ekoy ojozměném ekooém poso. Výsledkem éo opeace je eko (na ozdíl od sočin skaláního, jehož ýsledkem je při sočin do ekoů skalá číslo). Definice: Nechť, o a ϕ je úhel, jež yo da ekoy síají. Pak ekooým sočinem ekoů, ( omo pořadí) ozmíme eko, keý má yo lasnosi:. smě eko je kolmý na oin, do níž lze ekoy, mísi,. elikos eko se ypočíá sinϕ,. oienace eko se řídí paidlem paé ky 8. Vekooým sočinem ekoů, označíme Viz. kapiola. Výpoče deeminan Výhadně pního řádk (důody bdo ysěleny následjící kapiole) 8 Tj. mísíme-li malíkoo han paé ky do oiny čené ekoy, ak, že psy kazjí smě naočení eko k eko, pak zyčený palec čje oienaci eko. /9

6 S d i j n í m a e i á l - M a i c e e s ř e d o š k o l s k é m a e m a i c e nyní, jak číme sořadnice eko. Nechť je (, ), (, ) a ( ), pomocí deeminan ako:,,. Vekooý sočin ekoů, lze či, ( ),,, ( ) ( ), Jednolié sořadnice získáme ze sbdeeminanů yskyjících se e zoci po ýpoče deeminan podle pků. řádk. Jednodše řečeno škneme řádek a slopec, němž leží pek a, a ak získáme sbdeeminan po ýpoče pní sořadnice ekooého sočin. U zbylých sořadnic pospjeme analogicky, jen dhé sořadnice msíme sbdeeminan předřadi záponé znaménko 9. Geomeický ýznam ekooého sočin Věa: Nechť je dán onoběžník BDC poso. Poažjeme-li sany B a C za mísění ekoů,, pak obsah S onoběžník BDC lze yjádři onosí S, obsah ojúhelník BC S Důkaz: Vzoec po ýpoče obsah ojúhelník S c () c Z paoúhlého ojúhelník PC lze ýšk na san c či ze zah: c b sinα () () () S c b sinα () dále pak B c C b () () () () () a α nahadíme ϕ S sinϕ () Z definice ekooého sočin íme, že jeho elikos je ona sin ϕ, poo plaí dokázaný zah po obsah ojúhelník BC. Obsah onoběžník BDC ž je pohým dojnásobkem. S BC S BDC 9 poč? Vše je zřejmé ze zoce po ýpoče deeminan podle pků -ého řádk (iz. kapiola. Výpoče deeminan ) /9

7 S d i j n í m a e i á l - M a i c e e s ř e d o š k o l s k é m a e m a i c e. S m í š e n ý s o č i n Věa: Nechť je dán onoběžnosěn BCD B C D. Poažjeme-li hany B, D, za mísění ekoů,,, pak po objem onoběžnosěn plaí: V ( ) Důkaz: Z předchozí kapioly íme, že obsah S onoběžník BCD lze yjádři ekooým sočinem. Po obsah podsay onoběžnosěn plaí: S. Na obázk je přímka P kolmá k oběma sěnám BCD a B C D, zn., že úsečka P je ýško onoběžnosěn ( ). Bdeme ji počía z paoúhlého ojúhelník P : P cosϕ cosϕ, kde ϕ je odchylka ekoů,. Pak po objem onoběžnosěn plaí: V S cosϕ cos ( ) ϕ Výaz absolní hodnoě yjadřje elikos skaláního sočin ekoů ( ) V ( ),. Pak edy: Poznámka: Sočin ( ) se nazýá smíšený sočin ekoů,,. ( omo pořadí). Z geomeického ýznam je zřejmé, že plaí: ( ) ( ) ( ) jak yžíáme deeminan při ýpoč smíšeného sočin? Tako: ( ), Dále plaí: Vonoběžno sěn ( ) Záě: Objem onoběžnosěn, jehož hany epezenjí ekoy,, ypočíáme jako absolní hodno z deeminan sesaeného z ěcho ekoů. Počíáme ýšk. Ta msí bý kladné R-číslo, a poo je ýaz ϕ Skalání sočin do ekoů: n Σ i i i cos absolní hodnoě. Po případ, že by π ϕ, π. /9