Výuka algoritmizace a vazba na ostatní předměty

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Výuka algoritmizace a vazba na ostatní předměty"

Transkript

1 Mendelova zemědělská a lesnická univerzita v Brně Institut celoživotního vzdělávání Výuka algoritmizace a vazba na ostatní předměty Závěrečná práce Vedoucí práce: doc. Ing. Dr. Jiří rybička Mgr. Miroslav Janyš Ústí nad Orlicí 2008

2 Děkuji doc. Ing. Jiřímu Rybičkovi za cenné rady a připomínky, které mi poskytl při tvorbě této závěrečné práce. 2

3 3 Prohlašuji, že jsem tuto závěrečnou práci vyřešil samostatně s použitím literatury, která je uvedena v seznamu literatury. V Ústí nad Orlicí 20. srpna 2008

4 4 Abstract Janyš M., Teaching Algorithmisation and Relationships to Other Subjects. Ústí nad Orlicí, 2008 The final paper deals with the basics of the Algorithms topic and its utilisation in some subjects. The theory is accompanied with examples and demonstrations. The aim of the paper is to show the connection and relations of computer science to other subjects. Abstrakt Janyš M., Výuka algoritmizace a vazba na ostatní předměty. Ústí nad Orlicí, 2008 Závěrečná práce zpracovává základy tématického celku algoritmy a jeho užití v některých předmětech. Teorie je doplněna příklady a ukázkami. Cílem práce je ukázat propojení a vazbu výpočetní techniky na ostatní předměty.

5 5 Obsah 1. Úvod a cíl práce Úvod do problematiky Cíl práce Analýza problému Pojem algoritmus Algoritmus ve výuce Algoritmus a jeho charakteristiky Algoritmická úloha a její specifikace Algoritmus a jeho vlastnosti Zápis algoritmů Užití a ukázky algoritmů ve výuce Proč vývojový diagram Nástroje pro tvorbu diagramu Postup algoritmizace při řešení úloh Jednoduché algoritmy bez použití cyklu a větvení Algoritmy s užitím větvení Algoritmy s použitím cyklu Závěr Literatura 36

6 6 1. Úvod a cíl práce 1.1 Úvod do problematiky Tato závěrečná práce zpracovává problematiku algoritmizace ve výuce. Algoritmický přístup k řešení problémů je celkem běžný a používaný v pedagogické praxi. Přírodovědné předměty, zejména pak matematika, fyzika, chemie, biologie nebo informatika a výpočetní technika často vyžadují přesnou specifikaci vstupních a výstupních dat a následný algoritmický návrh řešení. Tento způsob myšlení a řešení úloh se může užít i v dalších předmětech. Můžeme tak doplnit výuku o nové přístupy a ukázat propojení informatiky a dalších předmětů. 1.2 Cíl práce Koordinátor informačních a komunikačních technologií (dále jen ICT) by měl pomáhat kolegům při aplikacích ICT na škole a metodicky usměrňovat výuku v různých předmětech. Ne každý vyučující je schopen efektivně využívat výpočetní techniku a algoritmizovat úlohy. Algoritmický přistup k řešení problémů a jeho zpracování je pro většinu učitelů velmi náročný. V oblasti algoritmizace má každý učitel své postupy a těžko přijímá nové, pokud mu nejsou správně vysvětleny. Pokusil jsem se spolupracovat s učiteli různých předmětů a vytvořit s jejich pomocí algoritmy jimi navržených úloh. Ukázky dané problematiky pro jiné předměty jsou proto důležité pro přijetí nového postupu. V úvodu práce jsou vysvětleny základní pojmy, které by měli vyučující znát, pokud by chtěli zkusit algoritmicky zpracovat určitý problém, úlohu nebo příklad. Tento úvodní výklad je svým podáním více zaměřen na informatiku a výpočetní techniku. Dále na ukázkách z několika dalších předmětů je ukázán algoritmický přístup a zpracování úkolů.

7 7 2. Analýza problému 2.1 Pojem algoritmus Pojem algoritmus není nový. Setkáváme se s ním už u starých Babylóňanů. Pojem algoritmus patří mezi základní, prvotní matematické pojmy. Takovéto pojmy nedefinujeme přímo, ale pomocí jejich vlastností, jejich chováni, účinků apod. Intuitivně pod pojmem algoritmus rozumíme postup, návod jak řešit libovolnou úlohu, problém nebo příklad. Algoritmus je tedy obecný návod, jak postupovat. Je tvořen posloupností pokynů (příkazů, instrukcí), které popisují určitou činnost. Je to přesně definovaná konečná postupnost pravidel, jejichž realizace nám pro vstupní data umožní po konečném počtu kroků získat výstupní data. 2.2 Algoritmus ve výuce Vytvoření algoritmu je určitá, obvykle dost náročná duševní práce. Základním krokem při řešení každé úlohy, každého problému je vědět, co chceme řešit, co je dáno, tedy jaké jsou vstupní informace nebo údaje, a co požadujeme jako výstup řešení, jaké jsou výstupní informace nebo údaje. Toto je dobré si uvědomit při řešení všech úloh a problémů ve vyučování. Většina studentů je připravena takto přemýšlet hlavně v matematice, fyzice, informatice nebo přírodovědných předmětech. Stejným způsobem lze řešit úlohy a takto uvažovat i v jiných předmětech, kde pak můžeme získat velmi přehledné a názorné postupy. Zápis řešení je pak dalším logickým krokem řešení. Nejjednodušší zápis algoritmu je pomocí prostředků přirozeného jazyka. Běžně se využívá při zpracování a řešení úloh. Ve většině příkladů takto řešitel pracuje, aniž si to uvědomuje. Z dalších možných zápisů je pro výuku vhodný zápis pomocí vývojových diagramů. Seznámit se se základními značkami a principy tvorby vývojových diagramů je pro vyučující i žáky poměrně snadné. Proto algoritmizace úloh a jejich zápis v této formě je ve většině předmětů možný a vhodný. Současně by však bylo chybou snažit se algoritmizovat vše a za každou cenu.

8 8 3. Algoritmus a jeho charakteristiky Každou úlohu, kterou chceme řešit, musíme správně pochopit. Musíme se s ní seznámit a vědět co chceme řešit. Úloha musí být přesně specifikována. To znamená, že musíme přesně vědět, co je dáno, tedy jaké jsou vstupní informace nebo údaje, a co požadujeme jako výstup řešení, jaké jsou výstupní informace nebo údaje. Podle algoritmů neřeší úlohy pouze člověk, ale také stroj (např. počítač). Člověku nebo stroji, který pracuje podle daného algoritmu, říkáme realizátor algoritmu nebo procesor. Procesor proto, že řešení úlohy se obvykle neuskutečňuje v jednom kroku, ale tvoří určitý proces. Pojem realizátor používáme častěji ve spojeni s člověkem, procesor se strojem (počítačem). Řešení úlohy podle daného algoritmu říkáme realizace algoritmu. Aby procesor mohl pracovat podle daného algoritmu, musí být algoritmus zapsán v takovém jazyce, kterému procesor rozumí, s pomocí takových akci, které je schopen provádět. To je i jeden z důvodů, proč by se algoritmizaci a tvorbě algoritmů měla věnovat pozornost právě ve spojitosti s počítačem. Počítač umí provádět jen velmi elementární akce a jeho mateřský jazyk je velmi vzdálen našemu jazyku. Proto se při tvorbě algoritmu nesnažíme psát algoritmy hned v jazyce určitého procesoru, ale v jazyce, který je bližší řešené úloze. Z tohoto jazyka je potom obvykle přepíšeme do požadovaného jazyka. V souvislosti s výukou a vazbou na ostatní předměty využijeme zápis algoritmu pomocí vývojových diagramů. 3.1 Algoritmická úloha a její specifikace Z hlediska výuky jsou důležité takové úlohy, jejichž řešením získáme nové informace. Protože jsou produktem řešení, nazveme je výstupní informace nebo výstupní údaje. Informace, z kterých při řešení úloh vycházíme, nazýváme vstupní informace nebo také vstupní údaje. Pomoci vstupních a výstupních údajů zadáme úlohu k řešení, určíme, jakou úlohu budeme vlastně řešit. Vstupní údaje známe před začátkem řešení jako konkrétní údaje. Výstupní údaje před řešením v konkrétním tvaru neznáme. Výstupní hodnoty zadáváme implicitně - skrytě, pomoci podmínek, které musí tyto údaje splňovat. Jestliže řešíme například úlohu, v které je třeba najít největší společný dělitel dvou celých kladných čísel A, B, vstupními údaji budou dána dvě celá kladná čísla A, B jako konkrétní hodnoty. Výstupní hodnotu určíme pomoci podmínky, že to bude největší celé číslo, které děli A i B beze zbytku. Podmínku, kterou musí splňovat výstupní údaje, nazýváme výstupní podmínka. Ani vstupní údaje nemohou mít libovolnou hodnotu, ale musí vyhovovat jisté podmínce, kterou nazýváme vstupní podmínka. Vstupní a výstupní podmínkou charakterizujeme úlohu, kterou máme řešit, specifikujeme to, co je třeba řešit. Nejde nám o jednu konkrétní úlohu, ale o celou třídu úloh, jejichž vstupní údaje splňuji vstupní podmínku a výstupní údaje výstupní podmínku. Protože na řešení takovéto úlohy chceme vytvořit algoritmus, budeme ji nazývat algoritmická úloha.

9 9 Skutečnost, že úloha je specifikována, že víme, co máme řešit, ještě neznamená, že se nám musí vždy podařit utvořit odpovídající algoritmus na její řešeni. Existuji úlohy, pro které to není možné. Jakékoliv údaje o řešení úlohy je však možné udělat jen tehdy, když víme, co je třeba řešit. Protože specifikace úlohy platí pro libovolnou úlohu dané třídy, budeme vstupní a výstupní údaje často označovat symbolicky. Neřekneme, že je třeba najít největší společný dělitel čísel například 286 a 2 268, ale obecně čísel A a B. Budeme-li řešit kvadratickou rovnici, můžeme použit tvar: AX 2 + BX + C = 0 a kořeny budeme označovat jako X 1 a X 2. Takovéto symbolické označení vytvoříme z písmen a číslic, přičemž prvním znakem bude vždy písmeno. Nazveme je identifikátory. Identifikátory jsou například A, B, KOEFICIENT, POLOMĚR, PI, X1, X2 atd. V úlohách budeme většinou používat pro identifikátory malá písmena, čímž zdůrazníme, že jde o konkrétní úlohu. V specifikaci a v algoritmech budeme pro identifikátory používat velká písmena, čímž zdůrazníme obecnost specifikace a algoritmu. Takovéto označení identifikátorů je velmi výhodné například při řešení úloh v matematice, fyzice, chemii nebo v informatice. V jiných předmětech je většinou méně použitelné. Pokud by nás zajímalo především řešení úloh na počítači, chápeme identifikátor jako symbolické označeni místa, kde si počítač uchovává danou hodnotu. Během řešení úlohy mohou být v daném místě různé hodnoty, ale v každém okamžiku jen jedna. Můžeme říci, že je to vlastně objekt, který během řešeni úlohy mění svoji hodnotu. Podobně jako v matematice nazveme tento objekt proměnná. Pro jednoduchost a stručnost neříkáme proměnná označená například identifikátorem A, ale jednoduše proměnná A. Hovoříme také o vstupních a výstupních proměnných, které pro konkrétní úlohy nabudou konkrétních hodnot. Vstupní a výstupní podmínka se bude týkat právě hodnot proměnných. K zápisu specifikací úloh používáme nejčastěji jazyk výrokových forem, který budeme doplňovat výrazy z přirozeného jazyka. Jestliže se podmínka skládá z několika části, které musí platit současně, jednotlivé části doplníme o logické spojky. V některých předmětech lze použít pouze výrazy přirozeného jazyka. Ukázka specifikace úlohy z matematiky obsahy rovinných obrazců Úlohu výpočtu povrchu a objemu krychle se stranou a můžeme specifikovat takto: Vstupná proměnná: A Vstupní podmínka: A je celé kladné číslo Výstupní proměnné: POVRCH, OBJEM Výstupní podmínka: POVRCH = 6 * A 2, OBJEM = A 3 Úloha může mít jeden nebo více vstupních údajů. Každá konkrétní úloha si vyžaduje takový počet konkrétních vstupních hodnot, kolik jich určuje specifikace úlohy. Specifikace úlohy nemusí být vždy nutnou součástí řešení, ale je nutné si výše uvedené pojmy uvědomit a v návrhu řešení je brát v úvahu.

10 10 Úlohy procvičení specifikace úloh matematika a informatika Specifikujte následující úlohy : 1. Je dáno reálné číslo r. Najděte obsah kruhu, délku kružnice, objem koule s poloměrem r. 2. Jsou dány přímky 3x - 2y + 1 = 0, x - 5y + 2 = 0. Zjistěte, zda bod se souřadnicemi [a, b] je jejich průsečíkem. 3. Jsou dána tři čísla a, b, c. Najděte maximální a minimální z nich. 3.2 Algoritmus a jeho vlastnosti Po specifikaci úlohy, po specifikaci toho, co je třeba řešit, přistupujeme k tomu, jak řešit, tj. k tvorbě postupu řešení, návrhu algoritmu. Zde už je třeba brát v úvahu nejen samotnou úlohu, ale i realizátora - procesor postupu řešeni. Každý procesor je schopen vykonávat určitý počet akcí - operací, přičemž každá akce má předepsány podmínky realizace, účinek realizace a konečnou dobu trvání. Co znamená vytvořit postup řešení? Nejprve zjistíme, zda lze úlohu řešit použitím některé z akci procesoru. Jestliže ano, použijeme ji a úlohu máme vyřešenu. Jestliže ne, musíme úlohu rozkládat na podúlohy, a to tak dlouho, dokud neodpovídají podúlohám, které umíme řešit některou akci procesoru. Kombinaci - akcí odpovídajících jednotlivým podúlohám dostaneme hledaný postup řešení. Jeho použitím pro vstupní údaje zajistíme jejich transformaci, převod na výstupní údaje, tj. údaje splňující výstupní podmínku. Jestliže vezmeme úlohu z příkladu v předchozí kapitole (povrch a objem krychle) a procesor umí násobit celá čísla, potom postup řešení je přímočarý. Stačí použít výstupní podmínku, v které umocněni nahradíme násobením. Akce, které je procesor schopen vykonávat, jsou obvykle jednoduché a transformaci vstupních údajů na výstupní je třeba zajistit jejich postupné skládání. Transformace se tedy neuskutečňuje v jednom kroku, ale postupně tak, jak se provádějí jednotlivé akce procesoru. Každá akce mění hodnoty - stav proměnných vyskytujících se v algoritmu. Postup řešení předpisuje následnost provádění jednotlivých akci. Obecná pravidla určující postupnou - transformaci vstupních údajů na výstupní nazýváme algoritmus. Pro algoritmus jako postup řešení úlohy většinou platí tzv. základní vlastnosti: hromadnost, determinovanost a rezultativnost. Hromadností algoritmu rozumíme skutečnost, že algoritmus je použitelný nejen pro jednu konkrétní úlohu s konkrétními vstupními údaji, ale pro libovolné vstupní údaje splňující vstupní podmínku. Determinovanost algoritmu znamená, že v každém kroku algoritmu musí být jednoznačně určeno, co se má provést. Realizace algoritmu nesmí být podmíněna jinými podmínkami než těmi, které jsou v něm uvedeny.

11 11 Rezultativnost algoritmu znamená, že proces předepsaný algoritmem je konečný, že skončí po konečném počtu kroků. Někdy říkáme stručně, že algoritmus je konečný. Tyto vlastnosti by měli námi navržené algoritmy splňovat. Jednotlivé pojmy jsou vysvětleny při řešeni jednoduché úlohy. Příklad matematika řešení kvadratické rovnice v R Algoritmus řešení kvadratické rovnice s reálnými koeficienty, přičemž nás budou zajímat pouze reálné kořeny. Předpokládáme, že procesor umí provádět předepsané operace. Specifikace úlohy Vstupní proměnné : A, B, C Výstupní podmínka : A, B, C jsou reálná čísla, B 2 4.A.C = 0, A<>0 Výstupní proměnné : X1, X2 Výstupní podmínka : A.X1 2 + B.X1+C = 0, A.X2 2 + B.X2 + C = 0 Algoritmus popis prostředky přirozeného jazyka 1. Polož A, B, C rovnající se koeficientům konkrétní kvadratické rovnice a pokračuj 2. krokem. 2. Vypočítej hodnotu diskriminantu D, tedy B 2-4.A.C, a pokračuj 3. krokem. B + D 3. Polož X1 rovné hodnotě výrazu, X2 rovné hodnotě 2. a B D 2. a a skonči. Tento algoritmus je použitelný pro libovolnou trojici reálných čísel A, B, C splňujících vstupní podmínku, a má tedy i požadovanou vlastnost hromadnost. Vlastnost determinovanost je podmíněna znalostí provádění uvedených operací, což jsme předpokládali. Každý krok algoritmu potom jednoznačně určuje, jaké operace je třeba v daném kroku provést, a také to, kterým krokem pokračovat po jejich provedení. Konečnost procesu realizace algoritmu je zřejmá. Algoritmus skonči ve 3. kroku.

12 12 Úlohy fyzika, informatika, procvičení tvorby algoritmu zápis přirozeným jazykem 1. Je dáno přirozené číslo c představující časový interval vyjádřený v sekundách. Vytvořte algoritmus pro vyjádření daného časového intervalu v hodinách, minutách a sekundách. 2. Jsou dána dvě celá kladná čísla a, b. Vytvořte algoritmus pro výpočet součinu a. b pomoci sčítání. 3.3 Zápis algoritmů Pro zápis algoritmů můžeme použít přirozený jazyk. Toto je asi nejjednodušší a nejpřirozenější způsob zápisu algoritmů. Takto zapsané algoritmy se užívají ve výuce, aniž bychom je takto pojmenovali. Z logicky souvisejících akcí jsme vytvoříme jednotlivé kroky algoritmu, přičemž předpokládáme, že realizace algoritmu obsahuje informaci o tom, který krok se bude provádět jako následující. Tento zápis obyčejně zjednodušujeme tímto předpokladem: jednotlivé kroky algoritmu se provádějí postupně za sebou tak, jak jsou zapsány, jestliže není explicitně udáno jiné pořadí. Další možností, jak algoritmus zapsat, je použít vývojového diagramu. Tento způsob je jednoduchý a srozumitelný nejen pro žáky, ale i pro vyučující nepočítačových předmětů. Stačí se seznámit s několika základními značkami a jejich významem. Jazyk vývojových diagramů má definovánu abecedu, která je v tomto případě definována množinou přípustných značek bloků určených normou ČSN ISO 5807 ČSH Do značek zapisujeme činnost nebo činnosti, které se mají v daném s místě algoritmu provést. Tok řízení se zapisuje orientovanou spojnici jednotlivých značek. Z množiny přípustných značek stačí ukázat jen základní, které nám postačí pro zápis libovolného algoritmu. Jsou zobrazeny na obr. 1 až 4.

13 13 Obr. 1. Začátek algoritmu. V tomto místě začíná realizace algoritmu. Obr. 2. Konec algoritmu. V tomto místě končí realizace algoritmu. Obr. 3. Zpracování. Do bloku zpracováni zapisujeme akce, které se mají provést, jestliže se řízení předá tomuto bloku. Obr. 4. Rozhodování. Do rozhodovacího bloku zapisujeme podmínku. Její splněni nebo nesplněni urči blok, kterému se v dalším kroku předá řízení. Konstrukce algoritmu ze specifikace úlohy není přímočará. Přímočaře můžeme postupovat při jednoduchých úlohách. Základní technikou konstrukce algoritmů pro složitější úlohy je jejich rozklad na jednodušší podúlohy. Budeme používat tři druhy rozkladů : konjunktivní, disjunktivní a repetiční. Konjunktivní rozklad je takový rozklad, při kterém bude řešení úlohy sestávat z postupného řešení všech podúloh, na které jsme danou úlohu rozložili. Při disjunktivním rozkladu bude řešení (konkrétní) úlohy sestávat z řešení pouze jedné, vybrané podúlohy. Při repetičním rozkladu bude řešení úlohy sestávat z několikanásobného opakování řešeni dané podúlohy. Těmto rozkladům odpovídají tyto algoritmické konstrukce: konjunktivnímu rozkladu odpovídá sekvence, disjunktivnímu rozkladu odpovídá větvení, repetičnímu rozkladu odpovídá cyklus.

14 14 Sekvence je algoritmická konstrukce vytvořená z akcí a 1, a 2,..., a n odpovídajícím podúlohám p 1, p 2,..., p n, na které jsme rozložili úlohu p. Sekvence se realizuje tak, že se realizuji jednotlivé akce a 1, a 2,..., a n, a to v takovém pořadí, jak jsou napsány, jestliže není explicitně udáno jiné pořadí. V jazyce vývojových diagramů zapisujeme sekvenci takto (možný je i vertikální zápis): Vývojový diagram sekvence V jazyce založeném na češtině zapisujeme sekvenci takto: proveď a 1, a 2, a N Větveni (někdy též binární větveni, rozhodování, podmínka) je algoritmická konstrukce utvořená z podmínky b a akcí a 1, a 2 odpovídajících podúlohám p 1, p 2, na které jsme rozložili úlohu p. Větveni se realizuje tak, že jestliže je podmínka b splněna, realizuje se akce a 1, jinak akce a 2. V jazyce vývojových diagramů zapisujeme větveni takto: Vývojový diagram větvení V jazyce založeném na češtině zapisujeme větvení takto: jestliže b pak a 1 jinak a 2 + znamená splněni podmínky b - znamená nesplnění podmínky b

15 15 Speciálním případem větvení je situace, kdy je jedna akce, např. a 2, prázdná. Realizace je potom taková, že jestliže je podmínka b splněna, provede se akce a 1, jinak se neprovede nic. V jazyce vývojových diagramů zapisujeme tento druh větvení: Vývojový diagram větvení s prázdnou akcí V jazyce založeném na češtině zapisujeme větvení takto: jestliže b pak a 1 + znamená splněni podmínky b - znamená nesplnění podmínky b Cyklus je algoritmická konstrukce utvořená z podmínky b (podmínka opuštění cyklu) a z akce a odpovídající podúloze p, nebo z akci a 1, a 2 odpovídajících podíílohám p 1, p 2. Podle způsobu organizace podmínky b a akce a, popřípadě akcí a 1, a 2, rozlišujeme tři typy cyklů: 1. cyklus s podmínkou na konci 2. cyklus s podmínkou na začátku 3. cyklus s pevným počtem opakování

16 16 Cyklus s podmínkou na konci zapisujeme v jazyce vývojových diagramů tak, jak je znázorněno na obrázku: Vývojový diagram cyklu s podmínkou na konci V jazyce založeném na češtině zapisujeme cyklus s podmínkou na konci takto: opakuj a dokud nebude b Realizuje se následovně: realizuje se akce a. Potom se zjišťuje, zda je nebo není splněna podmínka. Říkáme, že testujeme podmínku b. Jestliže je splněna, realizace cyklu konči. Jestliže splněna není, opakuje se proces realizace akce a a testu podmínky b, a to tak dlouho, dokud podmínka není splněna:

17 17 Cyklus s podmínkou na začátku zapisujeme v jazyce vývojových diagramů tak, jak ukazuje obrázek: Vývojový diagram cyklu s podmínkou na začátku V jazyce založeném na češtině zapisujeme cyklus s podmínkou na začátku takto: opakuj dokud nebude b prováděj a Realizujeme následovně: Testuje se podmínka b. Jestliže je splněna realizace cyklu konči. Jestliže není splněna, opakuje se realizace akce a a testu podmínky b, a to tak dlouho, dokud podmínka b není splněna.

18 18 Cyklus s pevným počtem opakování zapisujeme v jazyce vývojových diagramů tak, jak je znázorněno na obrázku: Vývojový diagram cyklu s pevným počtem opakování V jazyce založeném na češtině zapisujeme cyklus s pevným počtem opakování takto: opakuj a není-li konec cyklu Realizujeme následovně: Proměnná I je tzv. řídící proměnná cyklu. Na začátku má hodnotu 1, která se postupně zvyšuje o 1 při každém průběhu cyklu. Při každém průběhu cyklu se provede akce a. Provádění cyklu končí, když proměnná I nabude hodnotu N. V úlohách můžeme použít některé základní operace (matematika, fyzika, chemie), např.: Součet + Rozdíl - Součin * Mocnina SQR Logický součet OR Logický součin AND Negace NOT Podíl / (jmenovatel různý od nuly) Odmocnina SQRT (odmocněnec kladný) Celočíselné dělení DIV (jmenovatel různý od nuly)

19 19 4. Užití algoritmů ve výuce a ukázky 4.1 Proč vývojový diagram Pokud je žák i vyučující seznámen se základními pojmy z oblasti tvorby algoritmů a vývojových diagramů, je poměrně snadné použít tento princip řešení úloh ve výuce. Takový návrh řešení je srozumitelný, logický a snadno pochopitelný. Formulace a použití algoritmů je svázáno s dovedností jasně a srozumitelně formulovat myšlenky a pravidla a přesně je dodržovat. V libovolné oblasti činnosti často vzniká potřeba sestavit určité instrukce, pravidla, předpisy (např. pravidla pro určení zadaného vzorku atd.). Ne každý dovede tyto instrukce, předpisy, pravidla (tj. algoritmy) vytvořit, ale přesně je dodržovat musí umět každý člověk, protože vlastně na každém kroku plníme jistá pravidla vyjadřující organizaci našeho života. Největší potíže činí většinou algoritmy větvených procesů, obsahující současně s matematickými operacemi i ověřování logických podmínek, na jejichž výsledku závisí další cesta řešení úlohy. Ve většině předmětů je možné použít ve vyučování názorný způsob zápisů algoritmů. Touto názornou formu zápisu je vývojový diagram algoritmu. Tento zápis použitý ve výuce umožní žákům správně a názorně pochopit a porozumět problematice daného problému. Výklad teorie však nemusí být tak důkladný a podrobný, jak je uvedeno v předchozí kapitole. Vývojovým diagramem určitého procesu je grafické znázornění jeho logické struktury a chronologické návaznosti jednotlivých činností (např. aritmetických nebo logických operací). Vývojový diagram se skládá ze značek, do nichž se vpisují slovně nebo symbolicky operace (skupiny operací). Základní značky a struktury potřebné pro správnou tvorbu vývojových diagramů byly uvedeny v předchozí kapitole. Zvláštní stránka algoritmizace, o které je třeba se zmínit, je algoritmizace ve vyučování, která spočívá v sestavení algoritmu samotného vyučování, tj. popisu samotné vyučovací činnosti učitele pomocí předpisů algoritmického typu. Proces vyučování žáka učitelem spočívá v určité posloupnosti pedagogických činností, pomocí kterých učitel řeší určité pedagogické úlohy. Takovými činnostmi jsou: kladení otázek, způsob objasnění, uvádění příkladů a protipříkladů, ukázka názorného materiálu, zadávání cvičení a úkolů. Pomocí analýzy tohoto procesu je možné vyčlenit činnosti, ze kterých se uvedený proces skládá. Často taková analýza reálných vyučovacích procesů ukáže neracionálnost jejich sestavení, bezdůvodnost pedagogických činností učitele a neúčelnost posloupností těchto činností. Vyučovací proces nějakého učiva si můžeme představit ve tvaru předpisů algoritmického typu čili algoritmů vyučování. Toto budeme samozřejmě respektovat, ale nebudeme se této problematice věnovat. Naším úkolem bude tvorba algoritmů úloh, příkladů nebo laboratorní práce v různých předmětech a jejich znázornění pomocí vývojových diagramů.

20 Nástroje pro tvorbu diagramů Pro vlastní tvorbu vývojových diagramů lze použít v nejjednodušším případě tabuli a vhodný nástroj na psaní. To však není příliš výhodné, protože takto vytvořený diagram se nedá dále použít a jeho tvorba je časově náročná. Využití tabule má však i své výhody. Žáci se mohou aktivně zapojit do tvorby diagramu a ovlivnit jeho podobu. Myslím si, že pro vlastní tvorbu diagramů je vhodnější použít některý z programů, které jsou nabízeny většinou jako free software a plně dostačují pro potřeby výuky. V této práci byly veškeré diagramy a značky vytvořeny pomocí programu Dia, což je free software pro kreslení strukturovaných diagramů ( 4.3 Postup algoritmizace při řešení úloh Dříve než začne vyučující nebo žák tvořit algoritmus nebo nakreslí vývojový diagram je určitě nutné znovu zdůraznit základní pravidla jak postupovat. Samozřejmě dodržujeme postupy a pravidla uvedená v minulých kapitolách, ale soustředíme se jen na nejpodstatnější: - zadání úlohy, formulace problému - analýza problému a nástin řešení - analýza vstupních a výstupních dat - návrh algoritmu - zápis algoritmu vývojový diagram - zkušební provoz algoritmu a testování vstupních dat 4.4 Jednoduché algoritmy bez použití cyklu a větvení Posloupnost (sekvence) je nejednodušším typem algoritmu. Příslušný problém je rozložen na dílčí problémy, které budou prováděny za sebou. Hlavním úkolem je dát jednotlivé činnosti do správného pořadí a tyto činnosti správně popsat. Dají se použít jednoduché úlohy z různých předmětů. Jako nejvhodnější se pro tuto strukturu se ukázali úlohy z matematicky, fyziky nebo chemie. Také v ostatních předmětech však můžeme použít postupné provádění činností. Matematika, některá témata - geometrie v rovině obdélník, trojúhelník, Pythagorova věta, kružnice a kruh, mnohoúhelníky - geometrie v prostoru - objemy a povrchy těles - goniometrie převody úhlů (míra oblouková a stupňová) - funkce výpočet hodnot funkcí Fyzika, chemie, některá témata veškeré úlohy pro výpočty s užitím vzorců

21 21 Příklad matematika, objemy a povrchy těles - ukázka sekvenčního algoritmu Algoritmus pro výpočet objemu a povrchu krychle, délky stěnové a tělesové úhlopříčky. Vstupná proměnná: A hrana krychle Vstupní podmínka: A>0 Výstupní proměnné: V objem krychle S povrch krychle US velikost stěnové úhlopříčky UT - velikost tělesové úhlopříčky 3 Objem krychle: V = a Povrch krychle: S = 6a Stěnová úhlopříčka: U s = a 2 Tělesová úhlopříčka: U t = a 3 2

22 22 Příklad zeměpis, památky UNESCO - ukázka sekvenčního algoritmu Památky UNESCO V roce 1972 byla pod patronací UNESCO uzavřena Úmluva o ochraně světového kulturního a přírodního dědictví. Na základě Úmluvy se vytváří Seznam světového dědictví, do něhož jsou zapisovány památky s mimořádnými hodnotami. V současné době Seznam světového dědictví obsahuje více než 750 kulturních a přírodních památek. V ČR do seznamu památek UNESCO byly postupně zapsány památky uvedené v následujícím algoritmu. Algoritmus pro přiřazeni lokality a historické památky do proměnných. Možnost využít v dalších úlohách. Vstupná proměnná: Vstupní podmínka: Výstupní proměnné: ne ne ne

23 23

24 24 Poznámky a doporučení: - sekvence se vyskytuje většinou v kombinaci s ostatními strukturami - samotná sekvence se zdá být méně vhodná pro humanitní předměty Pokud použijeme některé operace je třeba dávat pozor na: - podíl a celočíselné dělení můžeme provádět pouze v případě nenulového jmenovatele. Pokud bychom připustili nulovou hodnotu, musíme použít větvení - výraz pod odmocninou musí být nezáporný. Pokud ne je opět nutné použít větvení. - dělení proměnnou, resp. proměnná pod odmocninou musí být také ošetřeno větvením 4.5 Algoritmy s užitím větvení Větvení značně rozšíří možnosti algoritmizace úloh. Pomocí větvení můžeme také ošetřit nežádoucí důsledky v algoritmech, stanovit podmínky, kdy se daná část algoritmu bude provádět. V rozhodovacím bloku musí být však pouze takové podmínky, na které je možno odpovědět buď ano nebo ne. Např. otázka Jaké barvy je dům? nemůže být. Musíme se ptát Je bílý? Je černý? apod. Tato struktura se taká jevila jako snadno pochopitelná a logická pro většinu vyučujících a byli ochotni ji akceptovat a používat.

25 25 Příklad informatika, ukázka algoritmu s podmínkou Algoritmus, který načte tři čísla a vypíše hodnotu toho, které je prostřední. Vstupná proměnné: Výstupní proměnné : A, B, C zadaná čísla S druhé největší číslo

26 26 Příklad chemie, ukázka algoritmu s podmínkou Škrob je produktem fotosyntézy rostlin. Ukládá se jako zásobní látka zejména v hlízách, semenech a plodech. Z těchto částí rostlin se také škrob získává. Škrob je makromolekulární látka složená z amylopektinu a z amylosy. Důkaz škrobu a neznámého sacharidu Algoritmus, který určí sacharid v zadaném vzorku Vstupná proměnné: Výstupní proměnné : vzorek vzorek, určení cukru

27 27 Příklad biologie, jednoduchý určovací klíč, ukázka algoritmu s podmínkou Třída hmyz je dále dělena na dvě podtřídy, do těchto dvou podtříd je zařazen vzorek Systém třídy Insecta - hmyz Podtřída: Thysanura - šupinušky (= Apterygota - bezkřídlí) Podtřída: Pterygota křídlatí Algoritmus, který zadaný vzorek hmyzu zařadí do podtřídy. Vstupná proměnné: Výstupní proměnné: vzorek hmyzu třída do které je vzorek přiřazen

28 28 Poznámky a doporučení: - užití podmínky je názorné pří určování různých vzorků - biologie: klíče k určování živočišných nebo rostlinných druhů - zeměpis: klíč k určování nerostů 4.6 Algoritmy s použitím cyklu Cyklus je silným nástrojem při tvorbě algoritmů. Opakuje se celý algoritmus nebo jeho určitá část a to se stejnými nebo s jinými daty. Jednou ze základních vlastností algoritmu je konečnost. Proto musí být jednoznačně určeno, kdy nebo za jakých podmínek se bude cyklus opakovat a kdy musí být ukončen. Poznámka cyklus s podmínkou na začátku - do cyklu se vstupuje, je-li splněna podmínka - neplatí-li podmínka, z cyklu vystupujete a pokračujete dalšími příkazy - není-li splněna podmínka na začátku, do cyklu nevstoupíte Poznámka cyklus s podmínkou na konci - do cyklu se vstupuje vždy a cyklus proběhne minimálně jednou - cyklus se opakuje, dokud nebude splněna podmínka na konci cyklu - je-li podmínka na konci cyklu splněna, cyklus končí a algoritmus pokračuje dalšími příkazy - Poznámka cyklus s určeným počtem opakování - řídící proměnná cyklu má určenu počáteční hodnotu, koncovou hodnotu a krok o který se řídící proměnná zvětší nebo zmenší při každém průchodu cyklem - cyklus končí, pokud řídící proměnná nabyla své koncové hodnoty

29 29 Příklad informatika, ukázka algoritmu s užitím cyklu s určeným počtem opakování Vytvořte algoritmus který z N zadaných čísel vypočítá aritmetický průměr z kladných čísel a aritmetický průměr ze záporných čísel. Vstupná proměnné: Vstupní podmínky: Výstupní proměnné: N počet čísel X načítané číslo N přirozené číslo S1 průměr ze záporných čísel S2 - průměr z kladných čísel

30 30

31 31 Příklad biologie, ukázka algoritmu s užitím cyklu s podmínkou na konci Testujeme vstupní data Nemoc hemofilie (krvácivosti) typu A. Chorobu způsobuje ztrátová mutace genu pro faktor krevní srážlivosti č. VIII. U mužů jsou dvě možnosti muž má buď chromosom X s dominantní normální alelou H (píšeme to jako index u značky chromosomu, tedy XH ) a je zdráv, nebo mutovanou recesívní alelu h (Xh ) a je nemocen, protože tato alela je u muže jediná a vždy se projevuje. U žen jsou ovšem tři genotypy: XHXH (žena plně zdravá), XHXh (žena zdravá, ale přenašečka) a XhXh (žena nemocná, pro velkou vzácnost chorobné alely velmi vzácný případ). V praxi se můžeme setkat s následujícími případy (rodinami): 1. Rodiče: XHY x XHXh - zdravý muž si vezme přenašečku. Budou mít gamety XH, Y x XH, Xh. Polovina dcer zdravých, polovina přenašečky a polovina synů zdravých, polovina nemocných: XHXH ; XHXh ; HY ; Xh Y. 2. Rodiče: Xh Y x XHXH - nemocný muž si vezme zdravou ženu. Budou mít gamety: Xh, Y x XH, XH. Všechny dcery přenašečky s jedním X od otce a všichni synové zdravý s X od matky a Y od otce: XHXh ; XHY. V třetím (vzácném) případě si vezme nemocný muž ženu přenašečku. Jen v takové rodině se může narodit postižená dcera. Další možnosti jsou ukázány ve vývojovém diagramu

32 32

33 33 Příklad chemie, ukázka algoritmu s užitím cyklu Důkaz škrobu a neznámého sacharidu Škrob je produktem fotosyntézy rostlin. Ukládá se jako zásobní látka zejména v hlízách, semenech a plodech. Z těchto částí rostlin se také škrob získává. Škrob je makromolekulární látka složená z amylopektinu a amylosy.

34 34

35 35 5. Závěr V závěrečné práci jsem se snažil ukázat jeden z možných postupů při výuce v různých předmětech. Algoritmizace úloh může propojit další předměty s informatikou. Zjistil jsem, že algoritmizace je důležitým, ale velmi náročným postupem. Zvláště pro humanitně zaměřené vyučující je tento způsob myšlení většinou obtížný a mnohdy i těžko realizovatelný. Chtěl jsem alespoň částečně nastínit možnost algoritmického zpracování úloh a to i v předmětech, kde to není obvyklé. Můj původní záměr, algoritmizace a programování na gymnáziu by svým rozsahem a náročností přesáhl obsah této závěrečné práce. Proto jsem problematiku zúžil na algoritmy a algoritmizaci se zaměřením na další předměty, mezipředmětové vztahy a ukázky užití v několika předmětech. V některých předmětech jako jsou matematika, fyzika, chemie nebo informatika se algoritmické myšlení (vstup zpracování - výstup) podvědomě promítá do myšlení vyučujících i žáků. Také navrhované zpracování úloh pomocí vývojového diagramu se ukázalo jako vhodné, názorné a snadno pochopitelné pro vyučující i žáky. V ukázkách z dalších předmětů jsem narážel u většiny vyučujících na problém správně pochopit a následně algoritmicky danou úlohu a problém zpracovat. Všichni zúčastnění se však shodli na tom, že algoritmický zápis je velmi přehledný, názorný a v praxi použitelný. Ne všechny předměty a úlohy jsou pro algoritmizaci vhodné. Největší problémy pak mohou nastat v obsahově rozsáhlejších úlohách, úlohách, kde nelze přesně specifikovat vstup nebo výstup nebo v úlohách, které mohou mít složitější návrh řešení. Hlavními důvody, proč algoritmizovat a proč algoritmicky přemýšlet jsou podle mého názoru zejména: - nutnost správně pochopit řešení úlohy a problémů, které mohou nastat - potřeba podrobně analyzovat vstupní a výstupní data - logicky řešit a zpracovat problém - přehledně a srozumitelně zapsat řešení - možnost graficky znázornit řešení pomocí vývojového diagramu - možnost snadno modifikovat algoritmizované úlohy Pokusil jsem se ukázat jednu z cest, jak aplikovat do výuky mezipředmětové vztahy. Ukázky užití by pak mohly být návodem jak algoritmizovat úlohy v různých předmětech. Zvládnutí základů algoritmizace a tvorby vývojových diagramů by mělo být snadné a jednoduché, pokud bude mít vyučující snahu a chuť zkusit nové metody ve výuce. Zavádění nových metod do výuky je poměrně náročné a někdy i komplikované. Pokud se někdo rozhodne zkusit tento způsob řešení úloh, určitě obohatí o nový způsob myšlení nejenom sebe ale i své studenty.

36 36 6. Literatura GABČO, P. Informatika a výpočetní technika. Praha: SPN, 1989, ISBN HVORECKÝ, J., FRANEK, M. Algoritmy pro IV. ročník gymnázií. Praha: SPN, MOLNÁR, Ľ., FRANEK, M. Algoritmy pro III. ročník gymnázií. Praha: SPN, PŠENČÍKOVÁ, J., Algoritmizace. Kralice na Hané: Computer media, 2007, ISBN NOVÁK, J. Doporučení pro úpravu závěrečných prací (Diplomová práce). Brno: MZLU, 2006 WRÓBLEWSKI, P. Algoritmy : datové struktury a programovací techniky. Brno: Computer Press, ISBN

Výukový materiál zpracován v rámci projektu EU peníze školám

Výukový materiál zpracován v rámci projektu EU peníze školám Výukový materiál zpracován v rámci projektu EU peníze školám Registrační číslo projektu: CZ. 1.07/1.5.00/34.0637 Šablona III/2 Název VY_32_INOVACE_39_Algoritmizace_teorie Název školy Základní škola a Střední

Více

VÝUKOVÝ MATERIÁL. Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632 Číslo projektu

VÝUKOVÝ MATERIÁL. Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632 Číslo projektu VÝUKOVÝ MATERIÁL Identifikační údaje školy Vyšší odborná škola a Střední škola, Varnsdorf, příspěvková organizace Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632

Více

Lekce 01 Úvod do algoritmizace

Lekce 01 Úvod do algoritmizace Počítačové laboratoře bez tajemství aneb naučme se učit algoritmizaci a programování s využitím robotů Lekce 01 Úvod do algoritmizace Tento projekt CZ.1.07/1.3.12/04.0006 je spolufinancován Evropským sociálním

Více

Algoritmizace. Obrázek 1: Přeložení programu překladačem

Algoritmizace. Obrázek 1: Přeložení programu překladačem Algoritmizace V každém okamžiku ví procesor počítače přesně, co má vykonat. Pojmem procesor se v souvislosti s algoritmy označuje objekt (např. stroj i člověk), který vykonává činnost popisovanou algoritmem.

Více

Algoritmizace. 1. Úvod. Algoritmus

Algoritmizace. 1. Úvod. Algoritmus 1. Úvod Algoritmizace V dnešní době již počítače pronikly snad do všech oblastí lidské činnosti, využívají se k řešení nejrůznějších úkolů. Postup, který je v počítači prováděn nějakým programem se nazývá

Více

Algoritmus. Přesné znění definice algoritmu zní: Algoritmus je procedura proveditelná Turingovým strojem.

Algoritmus. Přesné znění definice algoritmu zní: Algoritmus je procedura proveditelná Turingovým strojem. Algoritmus Algoritmus je schematický postup pro řešení určitého druhu problémů, který je prováděn pomocí konečného množství přesně definovaných kroků. nebo Algoritmus lze definovat jako jednoznačně určenou

Více

ALGORITMIZACE Příklady ze života, větvení, cykly

ALGORITMIZACE Příklady ze života, větvení, cykly ALGORITMIZACE Příklady ze života, větvení, cykly Cíl kapitoly: Uvedení do problematiky algoritmizace Klíčové pojmy: Algoritmus, Vlastnosti správného algoritmu, Možnosti zápisu algoritmu, Vývojový diagram,

Více

Algoritmus. Cílem kapitoly je seznámit žáky se základy algoritmu, s jeho tvorbou a způsoby zápisu.

Algoritmus. Cílem kapitoly je seznámit žáky se základy algoritmu, s jeho tvorbou a způsoby zápisu. Algoritmus Cílem kapitoly je seznámit žáky se základy algoritmu, s jeho tvorbou a způsoby zápisu. Klíčové pojmy: Algoritmus, vlastnosti algoritmu, tvorba algoritmu, vývojový diagram, strukturogram Algoritmus

Více

Algoritmizace prostorových úloh

Algoritmizace prostorových úloh INOVACE BAKALÁŘSKÝCH A MAGISTERSKÝCH STUDIJNÍCH OBORŮ NA HORNICKO-GEOLOGICKÉ FAKULTĚ VYSOKÉ ŠKOLY BÁŇSKÉ - TECHNICKÉ UNIVERZITY OSTRAVA Algoritmizace prostorových úloh Algoritmus Daniela Szturcová Tento

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

Gymnázium a Střední odborná škola, Rokycany, Mládežníků 1115

Gymnázium a Střední odborná škola, Rokycany, Mládežníků 1115 Gymnázium a Střední odborná škola, Rokycany, Mládežníků 1115 Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0410 Číslo šablony: 1 Název materiálu: Ročník: Identifikace materiálu: Jméno autora: Předmět: Tématický celek:

Více

Matematika. ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání:

Matematika. ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání: Studijní obor: Aplikovaná chemie Učební osnova předmětu Matematika Zaměření: ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání: denní Celkový počet vyučovacích hodin za

Více

Vyučovací předmět: CVIČENÍ Z MATEMATIKY. A. Charakteristika vyučovacího předmětu.

Vyučovací předmět: CVIČENÍ Z MATEMATIKY. A. Charakteristika vyučovacího předmětu. Vyučovací předmět: CVIČENÍ Z MATEMATIKY A. Charakteristika vyučovacího předmětu. a) Obsahové, časové a organizační vymezení předmětu Základem vzdělávacího obsahu předmětu Cvičení z matematiky je vzdělávací

Více

Pracovní listy - programování (algoritmy v jazyce Visual Basic) Algoritmus

Pracovní listy - programování (algoritmy v jazyce Visual Basic) Algoritmus Pracovní listy - programování (algoritmy v jazyce Visual Basic) Předmět: Seminář z informatiky a výpočetní techniky Třída: 3. a 4. ročník vyššího stupně gymnázia Algoritmus Zadání v jazyce českém: 1. Je

Více

Základy algoritmizace a programování

Základy algoritmizace a programování Základy algoritmizace a programování Přednáška 1 Olga Majlingová Katedra matematiky, ČVUT v Praze 21. září 2009 Obsah Úvodní informace 1 Úvodní informace 2 3 4 Organizace předmětu Přednášky 1. 5. Základní

Více

MOCNINY A ODMOCNINY. Standardy: M-9-1-01 M-9-1-02 PYTHAGOROVA VĚTA. Standardy: M-9-3-04 M-9-3-01

MOCNINY A ODMOCNINY. Standardy: M-9-1-01 M-9-1-02 PYTHAGOROVA VĚTA. Standardy: M-9-3-04 M-9-3-01 matematických pojmů a vztahů, k poznávání základě těchto vlastností k určování a zařazování pojmů matematického aparátu Zapisuje a počítá mocniny a odmocniny racionálních čísel Používá pro počítání s mocninami

Více

Operátory pro maticové operace (operace s celými maticemi) * násobení maticové Pro čísla platí: 2*2

Operátory pro maticové operace (operace s celými maticemi) * násobení maticové Pro čísla platí: 2*2 * násobení maticové Pro čísla platí: Pro matice - násobení inverzní maticí inv inverzní matice A -1 k dané matici A je taková matice, která po vynásobení s původní maticí dá jednotkovou matici. Inverzní

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

TEMATICKÝ PLÁN. září říjen

TEMATICKÝ PLÁN. září říjen TEMATICKÝ PLÁN Předmět: MATEMATIKA Literatura: Matematika doc. RNDr. Oldřich Odvárko, DrSc., doc. RNDr. Jiří Kadleček, CSc Matematicko fyzikální tabulky pro základní školy UČIVO - ARITMETIKA: 1. Rozšířené

Více

M - 2. stupeň. Matematika a její aplikace Školní výstupy Žák by měl

M - 2. stupeň. Matematika a její aplikace Školní výstupy Žák by měl 6. ročník číst, zapisovat, porovnávat, zaokrouhlovat, rozkládat přirozená čísla do 10 000 provádět odhady výpočtů celá čísla - obor přirozených čísel do 10 000 numerace do 10 000 čtení, zápis, porovnávání,

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

A B C D E F 1 Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace 2 Vzdělávací obor: Matematika 3 Ročník: 8. 4 Klíčové kompetence. Opakování 7.

A B C D E F 1 Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace 2 Vzdělávací obor: Matematika 3 Ročník: 8. 4 Klíčové kompetence. Opakování 7. A B C D E F 1 Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace 2 Vzdělávací obor: Matematika 3 Ročník: 8. 4 Klíčové kompetence Výstupy Učivo Průřezová témata Evaluace žáka Poznámky (Dílčí kompetence) 5 Kompetence

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Vývojové diagramy 1/7

Vývojové diagramy 1/7 Vývojové diagramy 1/7 2 Vývojové diagramy Vývojový diagram je symbolický algoritmický jazyk, který se používá pro názorné zobrazení algoritmu zpracování informací a případnou stručnou publikaci programů.

Více

Učivo obsah. Druhá mocnina a odmocnina Druhá mocnina a odmocnina Třetí mocnina a odmocnina Kružnice a kruh

Učivo obsah. Druhá mocnina a odmocnina Druhá mocnina a odmocnina Třetí mocnina a odmocnina Kružnice a kruh Výstupy žáka ZŠ Chrudim, U Stadionu Je schopen vypočítat druhou mocninu a odmocninu nebo odhadnout přibližný výsledek Určí druhou mocninu a odmocninu pomocí tabulek a kalkulačky Umí řešit úlohy z praxe

Více

CVIČNÝ TEST 13. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Zdeňka Strnadová. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 13. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Zdeňka Strnadová. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 13 Mgr. Zdeňka Strnadová OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 V trojúhelníku ABC na obrázku dělí úsečka

Více

Matematika PRŮŘEZOVÁ TÉMATA

Matematika PRŮŘEZOVÁ TÉMATA Matematika ročník TÉMA 1-4 Operace s čísly a - provádí aritmetické operace v množině reálných čísel - používá různé zápisy reálného čísla - používá absolutní hodnotu, zapíše a znázorní interval, provádí

Více

Cvičení z matematiky - volitelný předmět

Cvičení z matematiky - volitelný předmět Vyučovací předmět : Období ročník : Učební texty : Cvičení z matematiky - volitelný předmět 3. období 9. ročník Sbírky úloh, Testy k přijímacím zkouškám, Testy Scio, Kalibro aj. Očekávané výstupy předmětu

Více

1 Základy algoritmizace a programování. 1.1 Algoritmus. 1.1.1 Možnosti zápisu algoritmů. Základy algoritmizace a programování

1 Základy algoritmizace a programování. 1.1 Algoritmus. 1.1.1 Možnosti zápisu algoritmů. Základy algoritmizace a programování 1 Základy algoritmizace a programování 1.1 Algoritmus Algoritmus je posloupnost operací, která řeší daný úkol v konečném počtu kroků. Je to přesný postup, který je potřeba k vykonání určité činnosti. Jinak

Více

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY TU v LIBERCI FAKULTA MECHATRONIKY POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY Tematické okruhy středoškolské látky: Číselné množiny N, Z, Q, R, C Body a intervaly na číselné ose Absolutní hodnota Úpravy

Více

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce MATEMATIKA 5. TŘÍDA 1 - Přirozená čísla a číslo nula a číselná osa, porovnávání b zaokrouhlování c zápis čísla v desítkové soustavě d součet, rozdíl e násobek, činitel, součin f dělení, dělení se zbytkem

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

CVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

CVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 CVIČNÝ TEST 5 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Zjednodušte výraz (2x 5) 2 (2x 5) (2x + 5) + 20x. 2 Určete nejmenší trojciferné

Více

MATEMATIKA - 4. ROČNÍK

MATEMATIKA - 4. ROČNÍK VZDĚLÁVACÍ OBLAST: VZDĚLÁVACÍ OBOR: PŘEDMĚT: MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE MATEMATIKA MATEMATIKA - 4. ROČNÍK Téma, učivo Rozvíjené kompetence, očekávané výstupy Mezipředmětové vztahy Poznámky Opakování ze

Více

B) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika.

B) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika. 4.8.3. Cvičení z matematiky Předmět Cvičení z matematiky je vyučován v sextě a v septimě jako volitelný předmět. Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Cvičení z matematiky vychází ze vzdělávací oblasti

Více

pracovní listy Výrazy a mnohočleny

pracovní listy Výrazy a mnohočleny A B C D E F 1 Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace 2 Vzdělávací obor: Cvičení z matematiky 3 Ročník: 8. 4 Klíčové kompetence (Dílčí kompetence) 5 Kompetence k učení vybírat a využívat pro efektivní

Více

pro každé i. Proto je takových čísel m právě N ai 1 +. k k p

pro každé i. Proto je takových čísel m právě N ai 1 +. k k p KOMENTÁŘE ÚLOH 43. ROČNÍKU MO, KATEGORIE A 1. Přirozené číslo m > 1 nazveme k násobným dělitelem přirozeného čísla n, pokud platí rovnost n = m k q, kde q je celé číslo, které není násobkem čísla m. Určete,

Více

Funkce a lineární funkce pro studijní obory

Funkce a lineární funkce pro studijní obory Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9.

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9. Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9. Školní rok 2013/2014 Mgr. Lenka Mateová Kapitola Téma (Učivo) Znalosti a dovednosti (výstup)

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

3 Co je algoritmus? 2 3.1 Trocha historie... 2 3.2 Definice algoritmu... 3 3.3 Vlastnosti algoritmu... 3

3 Co je algoritmus? 2 3.1 Trocha historie... 2 3.2 Definice algoritmu... 3 3.3 Vlastnosti algoritmu... 3 Obsah Obsah 1 Program přednášek 1 2 Podmínky zápočtu 2 3 Co je algoritmus? 2 3.1 Trocha historie............................ 2 3.2 Definice algoritmu.......................... 3 3.3 Vlastnosti algoritmu.........................

Více

DRUHÁ MOCNINA A ODMOCNINA. Irena Sytařová

DRUHÁ MOCNINA A ODMOCNINA. Irena Sytařová DRUHÁ MOCNINA A ODMOCNINA Irena Sytařová Vzdělávací oblast Rámcového vzdělávacího programu Matematika a její aplikace je rozdělena na čtyři tématické okruhy. V tématickém kruhu Číslo a proměnná si ţák

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

Seminář z IVT Algoritmizace. Slovanské gymnázium Olomouc Tomáš Kühr

Seminář z IVT Algoritmizace. Slovanské gymnázium Olomouc Tomáš Kühr Seminář z IVT Algoritmizace Slovanské gymnázium Olomouc Tomáš Kühr Algoritmizace - o čem to je? Zatím jsme se zabývali především tím, jak určitý postup zapsat v konkrétním programovacím jazyce (např. C#)

Více

Reálné gymnázium a základní škola města Prostějova Školní vzdělávací program pro ZV Ruku v ruce

Reálné gymnázium a základní škola města Prostějova Školní vzdělávací program pro ZV Ruku v ruce 2 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE UČEBNÍ OSNOVY 2. 2 Cvičení z matematiky Časová dotace 7. ročník 1 hodina 8. ročník 1 hodina 9. ročník 1 hodina Charakteristika: Předmět cvičení z matematiky doplňuje vzdělávací

Více

CVIČNÝ TEST 1. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23

CVIČNÝ TEST 1. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23 CVIČNÝ TEST 1 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23 I. CVIČNÝ TEST 1 Určete výraz V, který je největším společným dělitelem výrazů V 1 V 3 :

Více

Základy algoritmizace a programování

Základy algoritmizace a programování Základy algoritmizace a programování Přednáška 1 Olga Majlingová Katedra matematiky, ČVUT v Praze 19. září 2011 Obsah Úvodní informace 1 Úvodní informace 2 3 4 Doporučená literatura web: http://marian.fsik.cvut.cz/zapg

Více

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï 15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï Čas od času je možné slyšet v pořadech o počasí jména jako Andrew, Mitch, El Ňiňo. otom následuje zpráva o katastrofálních vichřicích, uragánech a jiných mimořádných

Více

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět Název předmětu: Zařazení v učebním plánu: Cvičení z matematiky O8A, C4A, jednoletý volitelný předmět Cíle předmětu Obsah předmětu je zaměřen na přípravu studentů gymnázia na společnou část maturitní zkoušky

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/ Množiny, funkce

Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/ Množiny, funkce Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/07.0018 2. Množiny, funkce MNOŽIN, ZÁKLDNÍ POJMY Pojem množiny patří v matematice ke stěžejním. Nelze jej zavést ve formě definice pomocí

Více

Učební osnovy Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9.

Učební osnovy Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9. Učební osnovy Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9. Kapitola Téma (Učivo) Znalosti a dovednosti (výstup) Průřezová témata, projekty

Více

ANOTACE nově vytvořených/inovovaných materiálů

ANOTACE nově vytvořených/inovovaných materiálů ANOTACE nově vytvořených/inovovaných materiálů Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.1017 III/2 - Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Komplexní

Více

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky Ročník I II III IV Dotace 3 3+1 2+1 2+2 Povinnost povinný povinný povinný povinný Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Ročník 1 2 3 4 5 6 Dotace

Více

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel. 5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Matematika - 6. ročník Očekávané výstupy z RVP Učivo Přesahy a vazby desetinná čísla. - zobrazení na číselné ose

Matematika - 6. ročník Očekávané výstupy z RVP Učivo Přesahy a vazby desetinná čísla. - zobrazení na číselné ose Matematika - 6. ročník desetinná čísla - čtení a zápis v desítkové soustavě F užití desetinných čísel - zaokrouhlování a porovnávání des. čísel ve výpočtových úlohách - zobrazení na číselné ose MDV kritické

Více

Matematika - 6. ročník Vzdělávací obsah

Matematika - 6. ročník Vzdělávací obsah Matematika - 6. ročník Září Opakování učiva Obor přirozených čísel do 1000, početní operace v daném oboru Čte, píše, porovnává čísla v oboru do 1000, orientuje se na číselné ose Rozlišuje sudá a lichá

Více

CVIČNÝ TEST 41. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 41. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 41 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Je dán magický čtverec, pro nějž platí,

Více

ANOTACE vytvořených/inovovaných materiálů

ANOTACE vytvořených/inovovaných materiálů ANOTACE vytvořených/inovovaných materiálů Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast Formát Druh učebního materiálu Druh interaktivity CZ.1.07/1.5.00/34.0722 IV/2 Inovace a

Více

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti

Více

Matematika I (KMI/5MAT1)

Matematika I (KMI/5MAT1) Přednáška první aneb Úvod do algebry (opakování ze SŠ a možná i ZŠ) Seznámení s předmětem Osnova přednášky seznámení s předmětem množiny pojem množiny operace s množinami číselné obory intervaly mocniny

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro nástavbové studium. varianta B 6 celkových týd.

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro nástavbové studium. varianta B 6 celkových týd. MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro nástavbové studium (hodinová dotace: varianta A 4 až 5 celkových týd. hodin, varianta B 6 celkových týd. hodin) Schválilo

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.0963 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti

Více

2. Množiny, funkce. Poznámka: Prvky množiny mohou být opět množiny. Takovou množinu, pak nazýváme systém množin, značí se

2. Množiny, funkce. Poznámka: Prvky množiny mohou být opět množiny. Takovou množinu, pak nazýváme systém množin, značí se MNOŽIN, ZÁKLDNÍ POJMY Pojem množiny patří v matematice ke stěžejním. Nelze jej zavést ve formě definice pomocí primitivních pojmů; považuje se totiž rovněž za pojem primitivní. Představa o pojmu množina

Více

Matematika Název Ročník Autor

Matematika Název Ročník Autor Desetinná čísla řádu desetin a setin 6. Opakování učiva 6.ročníku 7. Opakování učiva 6.ročníku 7. Opakování učiva 6.ročníku 7. Dělitelnost přirozených čísel 7. Desetinná čísla porovnávání 7. Desetinná

Více

Tematický plán Obor: Informační technologie. Vyučující: Ing. Joanna Paździorová

Tematický plán Obor: Informační technologie. Vyučující: Ing. Joanna Paździorová Tematický plán Vyučující: Ing. Joanna Paździorová 1. r o č n í k 5 h o d i n t ý d n ě, c e l k e m 1 7 0 h o d i n Téma- Tematický celek Z á ř í 1. Opakování a prohloubení učiva základní školy 18 1.1.

Více

CVIČNÝ TEST 9 OBSAH. Mgr. Václav Zemek. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

CVIČNÝ TEST 9 OBSAH. Mgr. Václav Zemek. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 CVIČNÝ TEST 9 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Vypočítejte (7,5 10 3 2 10 2 ) 2. Výsledek zapište ve tvaru a 10 n, kde

Více

U Úvod do modelování a simulace systémů

U Úvod do modelování a simulace systémů U Úvod do modelování a simulace systémů Vyšetřování rozsáhlých soustav mnohdy nelze provádět analytickým výpočtem.často je nutné zkoumat chování zařízení v mezních situacích, do kterých se skutečné zařízení

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro střední odborné školy s humanitním zaměřením (6 8 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy

Více

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u

Více

Variace. Mocniny a odmocniny

Variace. Mocniny a odmocniny Variace 1 Mocniny a odmocniny Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Mocniny a odmocniny Obor přirozených

Více

Volitelné předměty Matematika a její aplikace

Volitelné předměty Matematika a její aplikace Vzdělávací oblast : Vyučovací předmět: Volitelné předměty Matematika a její aplikace Cvičení z matematiky Charakteristika předmětu: Vzdělávací obsah: Základem vzdělávacího obsahu předmětu Cvičení z matematiky

Více

Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu. Strojírenství. (platné znění k 1. 9. 2009)

Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu. Strojírenství. (platné znění k 1. 9. 2009) Střední průmyslová škola Jihlava tř. Legionářů 1572/3, Jihlava Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu Strojírenství (platné znění k 1. 9. 09) Tento dodatek nabývá platnosti dne 1. 9. 13 (počínaje

Více

7.5.3 Hledání kružnic II

7.5.3 Hledání kružnic II 753 Hledání kružnic II Předpoklady: 750 Pedagogická poznámka: Tato hodina patří mezi vůbec nejtěžší Není reálné předpokládat, že by většina studentů dokázala samostatně přijít na řešení, po čase na rozmyšlenou

Více

VISUAL BASIC. Přehled témat

VISUAL BASIC. Přehled témat VISUAL BASIC Přehled témat 1 ÚVOD DO PROGRAMOVÁNÍ Co je to program? Kuchařský předpis, scénář k filmu,... Program posloupnost instrukcí Běh programu: postupné plnění instrukcí zpracovávání vstupních dat

Více

vzdělávací oblast vyučovací předmět ročník zodpovídá MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE MATEMATIKA 4. BÁRTOVÁ, VOJTÍŠKOVÁ

vzdělávací oblast vyučovací předmět ročník zodpovídá MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE MATEMATIKA 4. BÁRTOVÁ, VOJTÍŠKOVÁ Výstupy žáka ZŠ Chrudim, U Stadionu Učivo obsah Mezipředmětové vztahy Metody + formy práce, projekty, pomůcky a učební materiály ad. Poznámky 4. ročník OPAKOVÁNÍ UČIVA 3. ROČNÍKU Rozvíjí dovednosti s danými

Více

Kompetence k řešení problému: správně používat a převádět běžné jednotky;

Kompetence k řešení problému: správně používat a převádět běžné jednotky; 1. Elektrotechnika - fyzika 4. Zdroje elektrického napětí Cíle Ověřit, že galvanickým článkem může být libovolný druh ovoce a zeleniny. Cílová skupina 2. ročník Kompetence k řešení problému: spolupracovat

Více

4.3.3 Základní goniometrické vzorce I

4.3.3 Základní goniometrické vzorce I 4.. Základní goniometrické vzorce I Předpoklady: 40 Dva vzorce, oba známe už z prváku. Pro každé R platí: + =. Důkaz: Použijeme definici obou funkcí v jednotkové kružnici: T sin() T 0 - cos() S 0 R - Obě

Více

REÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ

REÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ REÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ 5 přednáška S funkcemi se setkáváme na každém kroku ve všech přírodních vědách ale i v každodenním životě Každá situace kdy jsou nějaký jev nebo veličina jednoznačně určeny

Více

ALGORITMIZACE A PROGRAMOVÁNÍ

ALGORITMIZACE A PROGRAMOVÁNÍ Metodický list č. 1 Algoritmus a jeho implementace počítačovým programem Základním cílem tohoto tematického celku je vysvětlení pojmů algoritmus a programová implementace algoritmu. Dále je cílem seznámení

Více

- 1 - 1. - osobnostní rozvoj cvičení pozornosti,vnímaní a soustředění při řešení příkladů,, řešení problémů

- 1 - 1. - osobnostní rozvoj cvičení pozornosti,vnímaní a soustředění při řešení příkladů,, řešení problémů - 1 - Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět: Matematika 6.ročník Výstup Učivo Průřezová témata - čte, zapisuje a porovnává přirozená čísla s přirozenými čísly - zpaměti a písemně

Více

CHARAKTERISTIKA. VZDĚLÁVACÍ OBLAST VYUČOVACÍ PŘEDMĚT ZODPOVÍDÁ VOLITELNÉ PŘEDMĚTY Seminář z matematiky Mgr. Dana Rauchová

CHARAKTERISTIKA. VZDĚLÁVACÍ OBLAST VYUČOVACÍ PŘEDMĚT ZODPOVÍDÁ VOLITELNÉ PŘEDMĚTY Seminář z matematiky Mgr. Dana Rauchová CHARAKTERISTIKA VZDĚLÁVACÍ OBLAST VYUČOVACÍ PŘEDMĚT ZODPOVÍDÁ VOLITELNÉ PŘEDMĚTY Seminář z matematiky Mgr. Dana Rauchová Vyučovací volitelný předmět Cvičení z matematiky je zařazen samostatně na druhém

Více

Pythagorova věta Pythagorova věta slovní úlohy

Pythagorova věta Pythagorova věta slovní úlohy Vyučovací předmět: Matematika Ročník: 8. Vzdělávací obsah Očekávané výstupy z RVP ZV Školní výstupy Učivo provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel, užívá ve výpočtech druhou mocninu

Více

Základní škola Fr. Kupky, ul. Fr. Kupky 350, Dobruška 5.2 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE Matematika 8.

Základní škola Fr. Kupky, ul. Fr. Kupky 350, Dobruška 5.2 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE Matematika 8. 5.2 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE 5.2.1 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE Matematika 8. ročník RVP ZV Obsah RVP ZV Kód RVP ZV Očekávané výstupy ŠVP Školní očekávané výstupy ŠVP Učivo ČÍSLO A PROMĚNNÁ M9101 M9102

Více

Obsah. Metodický list Metodický list Metodický list Metodický list

Obsah. Metodický list Metodický list Metodický list Metodický list METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání Jaroslav Švrček a kolektiv Rámcový vzdělávací program pro gymnázia Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický okruh: Závislosti

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy

Více

Pythagorova věta Pythagorova věta slovní úlohy. Mocniny s přirozeným mocnitelem mocniny s přirozeným mocnitelem operace s mocninami

Pythagorova věta Pythagorova věta slovní úlohy. Mocniny s přirozeným mocnitelem mocniny s přirozeným mocnitelem operace s mocninami Vyučovací předmět: Matematika Ročník: 8. Vzdělávací obsah Očekávané výstupy z RVP ZV Školní výstupy Učivo užívá různé způsoby kvantitativního vyjádření vztahu celek část (procentem) řeší aplikační úlohy

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky 1. Lineární rovnice a nerovnice a) Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou absolutní hodnota reálného čísla definice, geometrický význam, srovnání řešení rovnic s abs. hodnotou

Více

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 Mgr. Tomáš Kotler I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Je dán rovinný obrazec, v obrázku vyznačený barevnou výplní, který představuje

Více

CVIČNÝ TEST 10. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Renáta Koubková. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

CVIČNÝ TEST 10. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Renáta Koubková. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 CVIČNÝ TEST 10 Mgr. Renáta Koubková OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Pro x R řešte rovnici: 5 x 1 + 5 x + 5 x + 3 = 3 155. 2 Za předpokladu

Více

Maturitní témata profilová část

Maturitní témata profilová část Seznam témat Výroková logika, úsudky a operace s množinami Základní pojmy výrokové logiky, logické spojky a kvantifikátory, složené výroky (konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence), pravdivostní tabulky,

Více

Matematika a její aplikace Matematika 1. období 3. ročník

Matematika a její aplikace Matematika 1. období 3. ročník Vzdělávací oblast : Vyučovací předmět : Období ročník : Matematika a její aplikace Matematika 1. období 3. ročník Počet hodin : 165 Učební texty : H. Staudková : Matematika č. 7 (Alter) R. Blažková : Matematika

Více

Učitelství 1. stupně ZŠ tématické plány předmětů matematika

Učitelství 1. stupně ZŠ tématické plány předmětů matematika Učitelství 1. stupně ZŠ tématické plány předmětů matematika Povinné předměty: Matematika I aritmetika (KMD/MATE1) 2 Matematika 3 aritmetika s didaktikou (KMD/MATE3) 3 Matematika 5 geometrie (KMD/MATE5)

Více

GRAFICKÉ ŘEŠENÍ ROVNIC A JEJICH SOUSTAV

GRAFICKÉ ŘEŠENÍ ROVNIC A JEJICH SOUSTAV GRAFICKÉ ŘEŠENÍ ROVNIC A JEJICH SOUSTAV Mgr. Jitka Nováková SPŠ strojní a stavební Tábor Abstrakt: Grafické řešení rovnic a jejich soustav je účinná metoda, jak vysvětlit, kolik různých řešení může daný

Více

2.1.4 Funkce, definiční obor funkce. π 4. Předpoklady: 2103. Pedagogická poznámka: Následující ukázky si studenti do sešitů nepřepisují.

2.1.4 Funkce, definiční obor funkce. π 4. Předpoklady: 2103. Pedagogická poznámka: Následující ukázky si studenti do sešitů nepřepisují. .. Funkce, definiční obor funkce Předpoklady: 03 Pedagogická poznámka: Následující ukázky si studenti do sešitů nepřepisují. Uděláme si na tabuli jenom krátký seznam: S = a, y = x, s = vt, výška lidí v

Více

CVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 15 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Je dána čtvercová mřížka, v níž každý čtverec má délku

Více