Archimedes ( př. Kr.)

Transkript

1 Archimedes ( př. Kr.) Největším matematikem a fyzikem starověku byl Archimedes, který se narodil v Syrakusách a tam také působil. Studoval pravděpodobně v Alexandrii a s tamními učenci udržoval písemné kontakty. Část dopisů se dochovala. Zahynul v roce 212 př. n. l. při dobytí Syrakus Římany. Na jeho hrobu byla zobrazena koule a jí opsaný válec. Archimédes totiž objevil poměr objemů a povrchů těchto těles. Svých znalostí využíval v praxi. Vynalezl čerpadlo (Archimédův šroub) k zavodňování polí, objevil hydrostatický zákon a použil ho k určení skladby slitiny jejím vážením ve vodě. Používal systémů pák, kladek, kladkostrojů a šroubů při zdvihání těžkých břemen i při konstrukci metacích vojenských strojů.

2 Archimedova díla: O rovnováze ploch, kniha 1 Kvadratura paraboly O rovnováze ploch, kniha 2 Poselství Eratosthenovi o mechanické metodě O kouli a válci O spirálách O konoidech a sféroidech O plovoucích tělesech Měření kruhu O počítání písku

3 O rovnováze ploch V 1. knize Archimédes dokázal 15 vět a zabýval se výpočtem těžišt rovnoběžníků, trojúhelníka a lichoběžníka. Podobně jako Eukleides vyložil svoji teorii axiomaticky. 2. kniha obsahuje výpočet těžiště parabolické úseče. Kvadratura paraboly Ve spisu stanovil Archimédes obsah parabolické úseče vyt até libovolnou tětivou. Dnes bychom tuto úlohu snadno řešili metodou integrálního počtu a také v Archimédově práci nacházíme infinitezimální úvahy. O metodě Znovu je odvozen výpočet obsahu úseče paraboly a kromě toho Archimédes ukázal, že objem válce opsaného kouli (rotačnímu elipsoidu) a mající výšku rovnou průměru koule (ose rotačního elipsoidu) se rovná třem polovinám objemu koule (nebo elipsoidu). Dále zde nalezneme objem úsečí vyt atých na rotačních tělesech.

4 Věta: Trojúhelník, který má s úsečí paraboly společnou základnu a stejnou výšku, je větší než polovina úseče. Obsah a trojúhelníka ABC je roven polovině obsahu rovnoběžníka AMNC; úseč je menší než rovnoběžník. Tento poznatek lze přenést na trojúhelníky a úseče ADB, BEC, atd.

5 Věta: Trojúhelník ABC je osmkrát větší než každý z trojúhelníků ADB, BEC. S = a + a 4 + a a 4 n

6 2.,3. konstanta π, která figuruje ve vzorcích pro výpočet obvodu a obsahu kruhu, se objevuje i ve vzorcích pro výpočet objemu a povrchu koule a jejích částí. O kouli a válci V tomto spisu Archimédes ukázal: 1. Povrch pláště kužele o poloměru základny r a straně s je roven obsahu kruhu o poloměru rs. 2. Povrch koule je roven čtyřnásobku obsahu kruhu o stejném poloměru. 3. Objem koule je roven čtyřnásobku objemu kužele, jehož poloměr i výška jsou rovny poloměru koule. 4. Povrch vrchlíku je roven obsahu kruhu o poloměru rovném vzdálenosti okraje tohoto vrchlíku od jeho vrcholu. 5. Objem kulové výseče je roven objemu kužele, jehož výška je rovna poloměru koule a jehož základna má obsah rovný povrchu pláště kužele vepsaného v příslušné úseči.

7 Jiná formulace: 2. Povrch koule je roven dvěma třetinám povrchu opsaného válce, tj. povrchu pláště opsaného válce. 3. Objem koule je roven dvěma třetinám objemu opsaného válce. Důsledek: Objemy kužele o poloměru základny r a výšce 2r, koule o poloměru r a válce o poloměru r a výšce 2r jsou v poměru 1 : 2 : 3.

8 O konoidech a sféroidech Parabola = řez pravoúhlého kužele rovinou, která je kolmá na jednu povrchovou přímku. Hyperbola = řez tupoúhlého kužele rovinou, která je kolmá na jednu povrchovou přímku. Kružnice = řez ostroúhlého kužele rovinou, která je kolmá na jeho osu. Elipsa = řez ostroúhlého kužele rovinou, která protíná všechny povrchové přímky a není kolmá na jeho osu. Konoidy nazývá Archimédes rotační paraboloid a dvoudílný rotační hyperboloid. Sféroidem je pro něj rotační elipsoid. V práci studuje jejich vlastnosti. Například objem rotačního elipsoidu s poloosami a, a, b: V = 4 3 πa2 b

9 O plovoucích tělesech Voda v rovnováze musí vytvářet hladinu v podobě kulové plochy se středem ve středu Země (tedy v aristotelovském středu světa). Vznášení těles v kapalině: Těleso stejě těžké jako kapalina (tj. o téže hustotě) se ponoří do kapaliny tak, že nebude vyčnívat ani se nebude dále potápět. Je-li těleso lehčí než kapalina vhozeno do kapaliny, nepotopí se úplně, ale jeho část bude vyčnívat nad hladinou. Je-li těleso lehčí než kapalina vhozeno do kapaliny, ponoří se tak hluboko, až objem kapaliny rovný objemu ponořené části tělesa bude mít stejnou váhu jako celé těleso. Je-li těleso lehčí než kapalina násilně do kapaliny ponořeno, je puzeno vzhůru silou rovnou váze, o kterou váha stejně velkého objemu kapaliny převyšuje váhu tělesa. Je-li těleso těžší než kapalina vhozeno do kapaliny, bude klesat tak hluboko, jak bude moci, a bude v kapalině lehčí o váhu takového množství kapaliny, které zaujímá stejný objem jako těleso.

10 Měření kruhu Jedná se o nejznámější Archimédovo dílo, ze kterého se však dochoval jen zlomek tří vět. Dokazuje se zde: 1. Obsah kruhu je roven obsahu pravoúhlého trojúhelníku, jehož délky odvěsen jsou rovny poloměru a obvodu kruhu. S = 1 2 O r. Důkaz: sporem pomocí exhaustivní metody

11

12

13 S > T : Pro dostatečně vysoké n bude S > S n > T, ale v n < r, a n < O S n < T... SPOR! n T > S : Pro dostatečně vysoké n bude T > S n > S, ale v n = r, n a n > O S n > T... SPOR!

14

15

16 3. Obvod kruhu je třikrát větší než jeho průměr a rozdíl obvodu kruhu a trojnásobku průměru je menší než 1/7 a větší než 10/71 průměru. O > 3d, d < O 3d < 1 7 d Tj. pro obvod O a průměr d libovolného kruhu platí: < O d < 31 7 (3, < π < 3, 14286) Odhad π pomocí 96-úhelníku: < π <

17 2. Poměr obsahu kruhu a čtverce jeho průměru je přibližně dán poměrem 11 : 14, tj. S. 11 = d 2 14 (Při přepisu patrně omylem předřazena třetí větě, jejímž je důsledkem) 1. S = 1 4 Od; 3. O d < 22 S O d = d. =

18 O spirálách Spirálu definuje Archimédes kinematicky: Polopřímka p s počátečním bodem O se v rovině ρ začne rovnoměrně otáčet kolem bodu O a současně se z bodu O po polopřímce p začne rovnoměrně pohybovat bod P. Pohybující se bod P kreslí v rovině ρ tzv. Archimedovu spirálu. Bod O je tzv. počátek spirály, původní poloha polopřímky p se nazývá výchozí polopřímka, úsečka OP se nazývá průvodič bodu P.

19 Dnes bychom rovnici Archimedovy spirály zapsali v polárních souřadnicích: r = a ϕ. Archimédes studoval tečny a normály této křivky, počítal obsah oblasti omezené touto spirálou.

20 Počítání písku Zde je vyložen způsob, jak vyjádřit libovolně velké číslo. Zápis čísel ve starém Řecku: písmena řecké abecedy (odvozena z abecedy fénické):

21 Přechod od největšího čísla (myriada) k ještě většímu: Čísla první oktády (první čísla): 1, 2,..., 10 4, , ,..., , ,..., , , , ,..., = 10 8

22 Čísla druhé oktády (druhá čísla): , ,..., , ,..., ,..., = Čísla třetí oktády (třetí čísla): , ,..., atd., takovýchto posloupností vytvořil myriadu myriad a dospěl k číslu Čísla od 1 po tuto hodnotu nazval čísly první periody.

23 Následují čísla druhé periody: ( ) , ,..., ,..., atd., tá perioda končí číslem ( ) = Toto číslo má 80 biliard nul a Archimédes tak ukázal, že má prostředek k vyjádření počtu pískových zrnek, která by zaplnila celý vesmír. Přitom odhadl počet zrnek na Přitom vycházel z tehdy známých vzdáleností ve vesmíru a vzdálenost ke sféře hvězd stanovil řádově tak, jak víme, že je dnes vzdálena nejbližší hvězda. Toto dílo nemělo žádný praktický význam, cílem bylo pouze ukázat sílu abstraktního lidského myšlení.

24 Polopravidelné mnohostěny Pappovou zásluhou se nám dochovalo svědectví o Archimédově objevu polopravidelných mnohostěnů, tj. takových mnohostěnů, jejichž všechny strany jsou pravidelné mnohoúhelníky více než jednoho druhu, ale všechny úhly stěn jsou vzájemně shodné nebo jsou symetrické podle středu mnohostěnu. Archimédes našel 13 takových těles ohraničených 8, 14, 26, 32, 38, 62 a 92 stěnami ve tvaru trojúhelníků, čtverců, pětiúhelníků, šestiúhelníků, osmiúhelníků, devítiúhelníků a dvanáctiúhelníků. Deset je ohraničeno dvěma, zbývající tři třemi druhy mnohoúhelníků.

25

26 ARCHIMEDOVA STATIKA V GEOMETRII Dnes již téměř zapomenutá metoda, pomocí níž podal Archimedes historicky první známý důkaz věty o těžnicích trojúhelníka a řady dalších vlastností rovinných útvarů. Připomíná, proč se vlastně spojnici vrcholu se středem protější strany říká těžnice Umožňuje dokázat větu o těžnicích analogicky s obvyklým důkazem věty o průsečíku os stran, tedy na základě množin bodů dané vlastnosti Poukazuje na oboustranně užitečnou symbiózu matematiky a fyziky Archimedes jako první systematizoval jednotlivé poznatky o těžištích konkrétních těles a vybudoval statiku jako axiomatickou teorii, která má význam nejen pro fyziku, ale i pro geometrii.

27 Základ teorie axiomy: 1. Existence a jednoznačnost: Každá hmotná soustava (soustava hmotných bodů, přímek apod.) má právě jedno těžiště. 2. Zákon páky: Těžiště dvou hmotných bodů A, B o hmotnostech m 1, m 2 je ten bod T úsečky AB, pro který platí: m 1 AT = m 2 BT. 3. Redukční princip: Těžiště hmotné soustavy se nezmění, zaměníme-li libovolnou její část jedním hmotným bodem splývajícím s těžištěm této části a majícím celou její hmotnost.

28 Příklad poloha těžiště v trojúhelníku: Uvažujme soustavu S tří hmotných bodů o téže hmotnosti (položme ji rovnu jedné) vrcholů A, B, C daného trojúhelníka. Axiom 3 (redukční princip) dvojici bodů B, C lze zaměnit hmotným bodem A 0 o hmotnosti 2 těžiště soustavy S leží na úsečce AA 0 a podle axiomu 2 (zákon páky) platí AT : A 0 T = 2 : 1 Podobně lze S zredukovat na soustavy B, B 0, resp. C, C 0, těžiště soustavy S leží na všech třech těžnicích a dělí každou z nich v poměru 2 : 1.

29 Formalizace pomocí vektorové algebry Hmotný bod v n rozměrném eukleidovském prostoru E n : libovolná uspořádaná dvojice (m, A), kde m R, A E n Těžiště T E n libovolné konečné soustavy S = {(m 1, A 1 ), (m 2, A 2 ),..., (m N, A N )} hmotných bodů v E n : N k=1 m k T A k = 0 ( ) Věta 1: Těžiště T soustavy S existuje a je jediné, je-li součet hmotností všech jejích bodů různý od nuly. Poloha těžiště T je pak určena rovností ( N ) m k N P T = m k P A k, ( ) k=1 k=1 kde P je libovolně zvolený bod prostoru E n.

30 Důkaz: T A k = P A k P T = (( ) ( )) Je-li N m k 0, lze z ( ) vypočítat k=1 P T = N k=1 m k P A k N k=1 m k

31 Axiom 1 (existence a jednoznačnost): Věta 1 Axiom 2 (zákon páky): Definice ( ) pro dvojici HB: m 1 T A 1 + m 2 T A 2 = 0 Axiom 3 (redukční princip) S a S mají stejné těžiště T : S = {(m 1, A 1 ),..., (m r, A r ),(m r+1, A r+1 ),..., (m N, A N )} S = {(m, T ),(m r+1, A r+1 ),..., (m N, A N )}, kde T je těžiště {(m 1, A 1 ),..., (m r, A r )}, m = m m r Věta 1 pro S, P = T : m ( r ) T T = m k k=1 m T T + N k=r+1 T T = r k=1 m k T A k, m k T A k = 0, ( ) ( )

32 Eratosthenes Eratosthenes se narodil asi v roce 276 př. n. l. v Kyréně na severním pobřeží Afriky. Většinu života prožil v Alexandrii, kde byl ředitelem proslulé knihovny. Třebaže byl ve své době ceněn jako významný matematik, proslavil se pouze svým Eratosthenovým sítem pro určení prvočísel. Zemřel kolem roku 194 př. n. l. Eratostenovo síto: způsob, jak sestavit tabulku prvočísel n. Vypíšeme čísla od 2 do n; 2 ponecháme (nejmenší prvočíslo), všechna ostatní sudá škrtneme; 3 ponecháme (první nevyškrtnuté číslo), všechny ostatní násobky 3 škrtneme, atd. Jestliže jsme vyškrtali všechny násobky prvočísel menších než p, budou všechna nevyškrtnutá čísla menší než p 2 prvočísly. Věta: První složené číslo, se kterým se setkáme při vysévání násobků prvočísla p, je p 2. Věta: Sestavování tabulky prvočísel n je skončeno, vyškrtámeli všechna čísla s prvočiniteli n nebo, což je totéž, [ n].

33 Cenné jsou jeho práce astronomické. Stanovil poměrně přesně rozměry Země a je autorem kalendáře, který zaváděl jednou za čtyři roky přestupný rok. Určení poloměru Země: měřil úhlovou vzdálenost středu Slunce od zenitu v Alexandrii v poledne při letním slunovratu v tom okamžiku je Slunce právě v zenitu v Syeně (téměř na stejném poledníku a na obratníku), kde v pravé poledne při letním slunovratu svítí Slunce do hlubokých studní úhel AOS = 7, 2, vzdálenost AB = 5000 stadií, 1 stadie = 158m, Obvod Země = stadií, Poloměr Země = 6300km

34

35 Appolonios z Pergy ( př. Kr.) Vedle Eukleida a Archiméda poslední velký geometr helénistického období Nejvýznamnější dílo: Kuželosečky tvořené 8 knihami. (Další díla známe jen podle názvů.) První čtyři knihy se dochovaly v řečtině, další tři v arabském překladu, poslední se ztratila. Zatímco do té doby se každý ze tří druhů kuželoseček získával z různých druhů kuželů, Appolonius je všechny získával zlibovolného kužele.

36 Kónika (kuželosečky)

37

38 První kniha: definice kruhového kužele, zavedení klíčových pojmů: vrchol kuželosečky, její osy a sdružené průměry. Pro každou kuželosečku Apollonios stanoví její základní vlastnosti. Druhá kniha: Studium asymptot hyperboly, vlastností tečen kuželoseček a úloh, požadujících konstrukci tečny za různých podmínek. Třetí kniha: Definice pojmu ohniska elipsy a hyperboly, zkoumání normál ke kuželosečkám. Čtvrtá kniha: Studium průsečíků kuželoseček a kružnice, resp. kuželoseček mezi sebou. Pátá kniha: Zkoumání normál vedených z různých bodů ke kuželosečkám, jako přímky maximální nebo minimální délky. Šestá kniha: Studium shodných a podobných řezů na dvou kuželích. Sedmá kniha: Studium tětiv rovnoběžných se sdruženými průměry.

39 Kuželosečky jako geometrická místa bodů Jiná možnost získání kuželoseček plynoucí z vlastností kuželoseček a související se starými úlohami geometrické algebry Parabola

40 Parabolé = porovnání:

41 Elipsa Středová rovnice elipsy: (x m) 2 a 2 + (y n)2 b 2 = 1

42 (2a p) 2 = p 2 + (2e) 2 (2a p) 2 = p 2 + 4(a 2 b 2 ) b 2 = ap (x m) 2 a 2 + y2 ap = 1

43 (x m) 2 a 2 + y2 ap = 1 p(x 2 2ax + a 2 ) + ay 2 = a 2 p px 2 2apx + pa 2 + ay 2 = pa 2 y 2 = 2px p a x2 y 2 x(2p p a x) y 2 = x(2p q), q = p a x

44 y 2 = x(2p q), q = p a x

45 Elipson = nedostatek

46 Hyperbola Středová rovnice hyperboly: (x m) 2 a 2 (y n)2 b 2 = 1

47 p 2 + (2e) 2 = (2a + p) 2 p 2 + 4(a 2 + b 2 ) = (2a + p) 2 p 2 + 4a 2 + 4b 2 = 4a 2 + 4ap + p 2 b 2 = ap

48 (x m) 2 (y n)2 a 2 ap = 1 x 2 p + 2apx + a 2 p y 2 a = a 2 p y 2 a = x 2 p + 2apx y 2 = 2px + p a x2 y 2 = x(2p + p a x)

49 Hyperbolé = nadbytek y 2 = x(2p + q), q = p a x)

50

51 Klaudios Ptolemaios (85-165) je autorem díla Matematická sbírka v 13 knihách, později zvanou pod názvem Almagest. Z matematického hlediska je důležité, že je zde vyložena teorie tětiv a základy rovinné a sférické trigonometrie. Po celá staletí sloužily matematikům Ptolemaiovy tabulky tětiv s intervalem 0,5 stupně. Matematika římského období 146 př. Kr.: válka mezi achajským spolkem a Římany, vyvrácení Korintu, konec samostatného Řecka Hipparchos ( př. n. l.) byl asi největším astronomem starověku. Objevil precesi (předcházení rovnodennosti), znal mimořádně přesně trvání slunečního roku a lunárního měsíce, sklon ekliptiky aj. Přitom se opíral o měření Babyloňanů. Jeho práce se nedochovaly, ale známe je z pozdějšího zpracování Ptolemaiem. Hipparchovi se připisuje i objev stereografické projekce koule na rovinu. Sestavil katalog asi 1000 hvězd. Jeho matematicky nejdůležitější dílo se týká tětiv kružnice, kterou rozdělil na 360 stupňů.

52 Klaudius Ptolemaios (85 165) Systematicky vyložil řecké astronomické poznatky v práci Almagest (Velká skladba). Podobně jako Eukleidovy Základy je i Almagest rozdělen do 13 knih. Z matematického hlediska je důležité, že je zde vyložena teorie tětiv a základy rovinné a sférické trigonometrie. Po celá staletí sloužily matematikům Ptolemaiovy tabulky tětiv s intervalem 0,5 stupně. Základní postuláty jeho geocentrické soustavy: Země je sférická, je nehybná a nachází se ve středu nebeské klenby, je velmi malá ve srovnání se vzdáleností hvězd, nebeská klenba má sférický tvar a rotuje jako tuhá koule kolem Země, jednu otočku vykoná za jeden den, planety, ke kterým jsou přiřazeny Slunce a Měsíc rovněž obíhají kolem Země. Ptolemaiovi se podařilo pomocí pojmu epicykl, deferent a ekvant objasnit smyčky v pohybu planet. Jeho uspořádání planet bylo: Měsíc, Merkur, Venuše, Slunce, Mars, Jupiter a Saturn.

53 Je zajímavé, že Ptolemaios nepřipisoval svému modelu fyzikální reálnost. Byl to jen model pro výpočty, který vyžadoval 40 epicyklů. Ptolemaios znal model Aristarchův, ale jemu se zdálo pro výpočty vhodnější postulovat nehybnost Země.

54

55

56 Pappos (3. stol. n. l.) je autorem práce Matematická sbírka, kde v osmi knihách mimořádně zdařile popsal mnoho poznatků z geometrie. Zmiňuje se zde o 30 autorech, a proto je toto dílo významné z hlediska historie řecké matematiky. Najdeme zde i počátky algebraické symboliky, když pro obecná čísla volí velká písmena a pro konkrétní číselné hodnoty malá písmena.

57 Heron Herón (10-75) psal téměř o všech problémech matematiky, mechaniky, astronomie a fyziky. Jeho nejdůležitějším geometrickým dílem je Metrika (Nauka o měření). Zde se nejprve věnoval měřením obsahů ploch a povrchů těles (Heronův vzorec byl znám již Archimédovi). Herón udává i numerické příklady, kde počítá také s odmocninami. V další části se věnoval měřením objemů a rozdělování obrazců i těles na části. Udává návod, jak počítat třetí odmocninu. Heronův vzorec: Obsah trojúhelníka o stranách a, b, c : S = s(s a)(s b)(s c), kde s = a + b + c 2

58 Další Herónovy matematické spisy se nazývají Geometrie, Stereometrie, Geodézie a Dioptra. Ve Stereometrii se zabývá nejen měřením objemů geometrických těles, ale také divadel, lodí, plaveckých bazénů, sudů aj. Ve spisu Dioptra popisuje přístroj, který sloužil k měření výšek a vzdáleností. Kromě toho zde nacházíme hodometr, přístroj k měření dráhy projeté vozem. Herón je rovněž autorem fyzikálních spisů. Jeho Mechanika začíná popisem mechanismu složeného z ozubených kol, který sloužil k přemist ování těles. Pak studuje nakloněnou rovinu, kolo na hřídeli, páku, rumpál, klín a šroub. Napsal pak řadu dalších menších spisů z aplikované mechaniky. V díle Katoptrika vyslovil zákon o rovnosti úhlu dopadu a odrazu světelného paprsku.

59 Diofantos ( ) Poslední velký řecký matematik. O jeho životě víme jen toto: Šestinu života dopřál mu bůh být chlapcem. Za dvanáctinu života pak narostly mu vousy. K tomu sedmina, když uzavřel sňatek manželský. Po pěti letech vzešel z toho spojení syn. Běda, dítě tak milované dožilo se poloviny let otcových, když ho Hades strašlivý povolal k sobě. Ještě čtyři léta snášel Diofant bolest, věnuje se vědě... Z toho usuzujeme, že se dožil 84 let.

60 Jeho hlavním dílem je Aritmetika o třinácti knihách. Dlouhou dobu bylo známo jen šest knih. Ty v 15. století objevil Regiomontanus v řeckém rukopise. Až v roce 1972 byly nalezeny další čtyři knihy v arabském překladu. Diofantos je autorem důsledného zavádění algebraické symboliky. Podobně jako Eukleidovy Základy je možno považovat i Diofantovu Aritmetiku především za kompilát dřívějších výsledků. Diofantos zavádí zvláštní symboly pro různé mocniny neznámé x v rozsahu od x 6 do x 6. To je značný pokrok samo o sobě, kromě toho do té doby neměly vyšší mocniny než tři geometrický význam. Používal i znak pro plus. Řešení Diofantos uvažuje v množině racionálních čísel. Počet neznámých mohl být až šest, ale symbol měl pouze jeden, což komplikovalo četbu textu.

61 Pět dalších knih je věnováno především neurčitým rovnicím, tedy rovnicím a soustavám rovnic s více neznámými, které mají více Z hlediska školské matematiky je zajímavá jen I. kniha, která je věnována lineárním a kvadratickým rovnicím s jednou nebo více neznámými. Uved me příklad: Určete dvě čísla, známe-li jejich součet a součin. Necht součet je 20 a součin 96. Řešíme tedy soustavu rovnic x + y = 20 a xy = 96. Diofantos uvažoval tak, že položil rozdíl obou čísel roven 2d. Pak jsou tato čísla rovna 10 + d a 10 d. Jejich součin je (10 + d)(10 d) = 96 a tedy 100 d 2 = 96. Dostáváme d = 2 a hledaná čísla jsou x = 12 a y = 8.

62 Aritmetika je dílo v řecké matematice ojedinělé. Její význam se ukázal až v novověku. řešení. Také zde uvažoval Diofantos racionální řešení, třebaže dnes při řešeních diofantických rovnic hledáme pouze řešení celočíselná. Rovnice, které vedou k záporným kořenům, nazýval protismyslné. Diofantos své úlohy formuloval s konkrétními číselnými hodnotami, a tak se zdá, že ten, kdo vyřeší 100 úloh, nevyřeší úlohu 101. Na druhé straně je třeba říci, že volba příkladů a způsob jejich řešení naznačují, že Diofantos znal obecný způsob řešení těchto úloh. Celou řadu problémů můžeme zařadit do teorie čísel. Otázka možnosti vyjádření čtverce jako součtu dvou čtverců inspirovala později Fermata. Diofantos věděl, že libovolné prvočíslo ve tvaru 4n + 1 je možno vyjádřit jako součet dvou čtverců, zatímco číslo 4n + 3 nikoliv. Podobně číslo 8n + 7 není součtem tří čtverců, apod.

63 Theón Alexandrijský ( ) je autorem komentáře Ptolemaiova Almagestu a zejména vydáním komentovaného textu Eukleidových Základů. Hypatia ( ) byla dcerou Theóna a zabývala se filozofií, matematikou, astronomií a medicínou. Pomáhala svému otci při komentáři Almagestu a sama napsala komentář k Diofantově Aritmetice a Appoloniovým Kuželosečkám. Zřejmě díky jí se dochovalo šest knih Aritmetiky. V roce 415 byla rozsápána skupinou křest anských fanatiků. Proklos ( ) se stal vůdčí osobností novoplatónské filozofické školy. Z hlediska matematiky je nejdůležitější jeho komentář k první knize Eukleidových Základů, kde popsal vývoj řecké geometrie.

64 Konec antického světa 313 Edikt Milánský Císař Konstantin I. Veliký (asi ) a jeho spoluvladař Licinius vyhlásili všeobecnou svobou vyznání (zrovnoprávění křest anství s ostatními vyznáními) 330 Řím přestává být hlavním městem Konstantinopol (Konstantin jej programově budoval jako hl.m. z řecké osady Byzantion) 395 Rozdělení Římské říše na Západní a Východní s centry v Římě a Konstantinopoli 410 Vyplenění Říma Vizigóty (3 dny plenili) 455 Vyplenění Říma Vandaly (14 dní velitel dal město vplén svým vojákům) 476 Zánik Západořímské říše (Odoakar (asi ), náčelník germánského kmene Skirů, svrhl posledního císaře Západořímské říše Romula Augusta (asi )) = konec starověku