Cvičení 5 - Inverzní matice

Transkript

1 Cvičení 5 - Inverzní matice Pojem Inverzní matice Buď A R n n. A je inverzní maticí k A, pokud platí, AA = A A = I n. Matice A, pokud existuje, je jednoznačná. A stačí nám jen jedna rovnost, aby platilo, že matice je inverzní. Platí:. (A = A 2. (A T = (A T 3. (αa = α A pro 0 4. (AB = B A Příklad 0: Proč platí vlastnost 4.? Řešení: To je díky tomu, že (AB(B A = A(BB A = AA = I n Ze stejných důvodů platí (ABC = C B A. Příklad : Dejme tomu, že ještě nevíme, jak počítat inverzi. Spočítejte inverzní matici k matici ( 2 3 A = 4 4 Řešení: Podíváme se, co vlastně chceme ( ( 2 3 a b = 4 4 c d ( 0 0 Podle definice maticového násobení nám to vede na rovnice 2a 3c = 2b 3d = 0 4a + 4c = 0 4b + 4d = b = 3 2 d a = c

2 Což po vyřešení dává koeficienty a, b, c, d, a z nich dostaneme matici ( A 3 = Pokud úplně stejným způsobem budeme chtít spočítat inverzní matici pro matici ( α β A = γ δ Dostaneme A = αδ βγ pro αδ βγ 0. Z čehož nám vyplývají dvě věci: ( δ β γ α. Změna jednoho koeficientu v původní matici se promítne všech koeficientů inverzní matice 2. A naopak koeficient v inverzní matici závisí na všech koeficientech v původní matici Z toho vyplývá, že inverzní matice je numericky nestabilní a numerikové ji neradi používají. Naštěstí jen v málo případech je potřeba počítat přímo inverzi, lze ji často obejít, například řešením soustav rovnic. Jak tedy počítat inverze pro větší matice? Například Gauss-Jordanovou eliminací. Historické okénko Wilhelm Jordan ( Pozor nikoli Camille Jordan (Jordanův normální tvar matice, žili současně profesor geodézie na vysokém technickém učení v Karlsruhe současně s touto eliminací přišel i jeden francouz Jordan ji publikoval v roce 888 Pojem Regulární matice Čtvercová matice A řádu n je regulární Ax = 0 má pouze triviální řešení A má hodnost = n k A existuje inverzní matice. Pojem Matice elementárních úprav Elementární řádkové úpravy na matici A lze vyjádřit jako násobení A nějakou maticí zleva, sloupcové úpravy pak násobením stejnou maticí zprava. Matice elementárních úprav E jsou regulární, a tedy pokud A je regulární, pak EA je také regulární. Například díky 2

3 existenci inverzní matice A E. Ukážeme si jak vypočítat inverzní matici a dvě zdůvodnění proč to platí. Začínáme s maticí (A I, kde A je matice, kterou chceme invertovat a I je jednotková matice odpovídajících rozměrů. Provádíme na obou maticích zároveň řádkové úpravy dokud to jde anebo dokud nepřevedeme matici A do RREF tvaru, tedy pokud jsme došli do konce ten bude jednotková matice. Na pravé straně pak stojí inverzní matice k naší A. Proč to ale platí? Ukážeme dvě vysvětlení: Z přednášky víme, že řádkové úpravy jdou reprezentovat jako násobení původní matice zprava odpovídajícími regulárními maticemi. Budeme je značit E i pro i-tou řádkovou operaci. V matici to pak bude vypadat takto ( ( A I E A E I ( E 2 E A E 2 E I ( Ek... E 2 E }{{} A B E k... E 2 E I }{{} B Poslední matice odpovídá matici (I B, kde B = E k... E 2 E I. No ale pokud se podíváme na levou část této matice, zjistíme, že je to matice BA. Pokud bychom chtěli být důslední, řekli bychom, že to plyne z asociativity násobení matic a sice, že platí E k (... (E 2 (E A... = (E k... E 2 E A. Po vynásobení AB dává jednotkovou matici, B je tedy hledaná inverzní matice. 2 Můžeme úlohu rozkouskovat po jednotlivých sloupečcích. Budeme hledat nejprve jeden i-tý sloupeček inverzní matice B k matici A. Řešíme rovnici Ax i = e i, kde e i je i-tý sloupec jednotkové matice I a x i je vektor. Soustavu budeme řešit Gauss- Jordanovou eliminací. V G-J eliminaci máme na levé straně jednotkovou matici, pokud je původní matice A regulární, takže na pravé straně se nám rovnou objeví řešení soustavy. Je jasně vidět, že když tento postup provedeme pro všechny sloupce i spočítáme postupně inverzní matici. Bude nám platit (a kdo to nevidí, má opět smůlu! A x... x n = e... e n Co nám ale brání, abychom G-J eliminaci provedli pro všechny sloupce najednou? Nic! Můžeme je dát do matice, která bude mít několik pravých stran všechny jednotkové vektory z jednotkové matice (A I, pokud to lze, zeliminujeme na (I B a nyní by již mělo být jasné, proč B je inverzní matice k A. 3

4 Příklad 2: Najděte inverzní matici k matici A = Řešení: Úpravy jsou zřetelné z matic tedy A = Správnost ověříme vynásobením A A Příklad 3: Najděte matici X splňující X = AX + B, pro matice A = 0 0, B = Řešení: Stačí nahlédnout, že X = (I A B = = Příklad 4: Jak vypadá inverzní matice k diagonální matici? 4

5 Řešení: Musí zaprvé platit pro původní matici d ii 0, pak inverzní matice vypadá takto: d... 0 d = d nn 0... d nn Příklad 5: Existuje nějaká nediagonální matice tž. A = A? Řešení: ( ( 0 A =, A 0 2 =. 0 Maticová inverze je hezký teoretický nástroj, který se nám bude hodit v důkazové technice. A později si ukážeme ještě spoustu pěkných výsledků spojených s maticovou inverzí. V praktickém počítání se jí však snažíme vyhnout. Jak jsme totiž viděli výše, maličká změna jednoho koeficientu matice A se promítně do všech koeficientů matice A. Proto soustavu Ax = b typicky neřešíme jako x = A b (samozřejmě pokud je A regulární. Jacobiho metoda Naproti tomu při počítání řešení soustavy můžeme využít, že se inverzní matice k některým maticím počítá snadno. Viz třeba diagonální matice a příklad 4. Ukážeme si tzv. iterační metodu pro řešení soustavy rovnic, konkrétně Jacobiho metodu. Pokud máme nějakou soustavu Ax = b můžeme si matici a přepsat jako A = E + D + F, kde E je horní trojúhelníková, D je diagonální matice, F je dolní trojúhelníková. Prostě roztrhnu původní matici na horní trojúhelník a dám ji do matice E, pak vezmu diagonálu a dám ji do matice D a podobně s maticí F. Celou soustavu můžeme přepsat jako A to se dá upravit jako Dále jako Vytvoříme z této formule iterační vzorec (E + D + F x = b. Dx = (E + F x + b. x = D (E + F x + D b. x k+ = D (E + F x k + D b. Kde začneme s nějakým x 0 jako počátečním odhadem vektoru řešení (třeba samé jedničky a další x vypočítáme podle předchozího předpisu. Pokud jsou matice se kterými pracujeme rozumné (chovají se numericky dobře daný algoritmus by měl zkonvergovat do ekvilibria kdy pro nějaké k platí x k = x k+. Typicky to může trvat mnoho iterací, a nemusí nikdy 5

6 skončit díky chybám v zaokrouhlováních na počítači, proto často končíme když jsou nějaká dvě po sobě jdoucí řešení blízká. Jinými slovy pro nějaké předem zvolené ɛ > 0. x k+ x k < ɛ, 6