Pojistná matematika 2 KMA/POM2E

Transkript

1 Pojistná matematika 2 KMA/POM2E RNDr. Ondřej Pavlačka, Ph.D. pracovna tel ondrej.pavlacka@upol.cz web: (informace + podkladové materiály) Konzultační hodiny (LS 2016): Středa 13:30 15:00 Čtvrtek 9:15 10:45 Doporučuji domluvit se dopředu přes .

2 Matematické modelování v NŽP

3 Matematické modelování v NŽP Jde o součást teorie rizika (zahrnuje rovněž problematiku finančního rizika). Motivace pro tvorbu matematických modelů: model může nahradit nedostatečný počet dat, často lze pomocí jednoduchých mat. vztahů popsat chování rozsáhlých pojistných kmenů, lze tak statisticky testovat vlastnosti pojistných kmenů, aj.

4 1. Modely počtu škod (poj. nároků)

5 Modely počtu škod (poj. nároků) Modely vycházející z pravděpodobnostního rozdělení náhodné veličiny n, která označuje počet pojistných nároků (PU, škod) obvykle na jednu pojistnou smlouvu během jednoho roku. Náhodná veličina n může nabývat hodnot 0,1,2, s určitými p-stmi.

6 Modely počtu škod (poj. nároků) Binomické rozdělení K přirozené, 0 < p < 1. n počet zdarů v K nezávislých pokusech, p p-st zdaru, 1-p p-st nezdaru,

7 Modely počtu škod (poj. nároků) Poissonovo rozdělení,,,,,,,,,,,,, l > 0 limitní případ binomického rozdělení n počet zdarů ve velkém počtu nezávislých pokusů s malou p-stí zdaru

8 Modely počtu škod (poj. nároků) Negativní binomické rozdělení (Pólyovo) pro přirozené a: a > 0, n počet nezdarů před a-tým zdarem v nezávislých pokusech s p-stí zdaru p

9 Modely počtu škod (poj. nároků) Smíšené Poissonovo rozdělení parametr l je náhodný s f-cí hustoty f(l): Použití: u poj. kmenů s heterogenními riziky, např. v pojištění proti lesnímu požáru, kde riziko vzniku požáru (a tedy počet škod) závisí na typu počasí. Příklad na tabuli + MS Excel.

10 Smíšené Poissonovo rozdělení

11 Modely počtu škod (poj. nároků) Rozdělení binomické Poissonovo negativní binomické Vlastnost E(n) > var (n) E(n) = var (n) E(n) < var (n)

12 Modely počtu škod (poj. nároků) Počet škod na 1 smlouvu za 1 rok Skutečný počet smluv Modelovaný počet smluv: Poissonovým rozd. Modelovaný počet smluv: negat. binom. rozd a více Celkem

13 Modely počtu škod (poj. nároků) Nechť NV n: počet škod za 1 rok v N nezávislých poj. smlouvách, tj. n = n 1 + n n N :

14 Modely počtu škod (poj. nároků) Jsou-li pojistné smlouvy homogenní se stejnou škodní frekvencí q1: Příklad na tabuli Je-li N hodně velké, tj. jde-li o rozsáhlejší pojistný kmen, lze Poissonovo rozdělení asymptoticky aproximovat normálním rozdělením:

15 Příklady I. V pojištění domácnosti byly pozorovány hodnoty: Riziko Počet smluv Doba pozorování Počet škod Živelní události rok 12 Odcizení rok 250 Odpovědnost roky 35 a) P-st, že v poj. kmeni s pojistkami nevznikne během 1 roku více než 300 škod? b) Jaký rozsah poj. nároků (počet škod) může pojišťovna během 1 roku očekávat se spolehlivostí 95%?

16 II. Vypočtěte: 1. průměrný počet odcizených aut v tarifní skupině o smlouvách během 1 roku, jestliže škodní frekvence činí q 1 = 0, , počet krádeží na každou pojistnou smlouvu je NV s Poissonovým rozdělením s parametrem q 1, NV jsou vzájemně nezávislé; 2. Pravděpodobnost, že počet krádeží bude během následujících 2 po sobě jdoucích letech za předchozích předpokladů vyšší než 110.

17 2. Modely výše škod

18 Modely výše škod Modely vycházející z pravděpodobnostního rozdělení náhodné veličiny X, která označuje výši škody. Většinou X 0 nebo 0 X H (či 0 X M). Rozdělení náhodné veličiny X je popsáno hustotou f(x).

19 Modely výše škod Logaritmicko-normální rozdělení, s >0, R Použití: v pojištění úrazovém, havarijním, požárním zděných budov, proti vichřicím, aj.

20 Modely výše škod Gama rozdělení a>0, b>0

21 Modely výše škod Speciální případ Gama rozdělení (a=, b=1): Exponenciální rozdělení Exp(l), l >0 Použití Exp(l): modelování doby mezi pojistnými nároky.

22 Modely výše škod Beta rozdělení a>0, b>0, c>0 Funkce hustoty má v případě a<1, b<1 tvar písmene U, čehož se využívá k modelování výše škod v požárním pojištění (velmi malé nebo velmi velké škody).

23 Modely výše škod Paretovo rozdělení a>0, b>0 f X (x) = ba b /x (b+1), x a E(X) = ab/(b-1), b>1 var (X) = a 2 b/[(b-1) 2 (b-2)], b>2 Tzv. rozdělení s těžkými konci. Použití: např. v pojištění nemocenském, požárním dřevěných budov, kde lze čekat odlehlé extrémní hodnoty počtu škod.

24 Příklady 1. Určete střední hodnotu, rozptyl, směrodatnou odchylku a pravděpodobnost, že výše škody (v i-té smlouvě) překročí 4 mil. Kč. Rozdělení výše škody bylo odhadnuto na log-normální: Výše škody (v tis. Kč) Počet škod nad Celkem 100

25 2. Nechť X je náhodná veličina popisující výši škody u 1 smlouvy během 1 roku s rozdělením logn(5; 1,44). Určete pravděpodobnost, že výše škody leží v intervalu 50$, $. 3. Nechť průměrná výše škody u 1 smlouvy je 310$ a směrodatná odchylka činí 420$. Během 1 roku bylo pozorováno 520 škod. Určete pravděpodobnost, že celková škoda převýší $.

26 4. Výše pojistného nároku v portfoliu pojistných smluv je uváděna ve stovkách dolarů a lze ji popsat Paretovým rozdělením s parametry b = 3, a = 2. Určete pravděpodobnost, že výše nároku přesáhne 500 $. Určete průměrnou výši nároku přesahujícího 500 $.

27 3. Složené pojistné modely

28 Složené pojistné modely O náhodné veličině S = X 1 + X X n označující celkovou výši škody v rámci n pojistných nároků (tj. součet náhodného počtu náhodných veličin ) se říká, že má složené pravděpodobnostní rozdělení (compound distribution). Vzniká složením rozdělení náhodné veličiny n a rozdělení náhodných veličin X 1,X 2,,X n.

29 Složené pojistné modely Platí: Jsou-li náhodné veličiny X 1,X 2,,X n iid, tj. nezávislé a stejně rozdělené (X i = X, i=1,2,,n) a n a X jsou nezávislé s konečnými momenty E(n), var(n), E(X) a var(x), pak E(S) = E(n)*E(X), var(s) = E(n)*var(X) + var(n)*[e(x)] 2.

30 Složené pojistné modely Složené Poissonovo rozdělení: CP(l, F), kde a p-stní rozdělení výše škod X je dáno distribuční funkcí F: E(S) = E(n)*E(X) = l* E(X), var(s) = E(n)*var(X) + var(n)*[e(x)] 2 = = l*var(x) + l* [E(Xi)] 2 = l* E(X 2 ).

31 Příklad V souboru pojistných smluv 1 tarifní skupiny byly pozorovány následující počty škod: Počet škod (na 1 smlouvu) Počet smluv Celkem Distribuční funkce pro výši škody je dána předpisem F(x) = 1 e -0,001*x, x 0. Odhadněte očekávané (průměrné) náklady na krytí škod pro 100 smluv platných během 1 roku a směrodatnou odchylku těchto nákladů.

32 4. Pojistné modely v čase

33 Pojistné modely v čase Proces rizika: {T 1,X 1,T 2,X 2, } T i délka doby mezi uplatněním i-tého a (i-1)- ního nároku, X i výše škody jako i-té v čase, tj. v čase W i = T 1 + T T i Obvyklý předpoklad: T i, X i vzájemně nezávislé NV

34 Pojistné modely v čase Proces počtu pojistných nároků: {n t, t 0}, n t NV popisující počet poj. nároků do času t, Proces celkové výše pojistných nároků: {S t, t 0} S t NV popisující celkovou výši poj. nároků do času t, S t = X 1 + X Xn t.

35 Pojistné modely v čase Poissonův proces s intenzitou l: {T 1,X 1,T 2,X 2, }, s tím, že délky dob T i mají exponenciální rozdělení Exp(l), střední hodnota 1/l. Potom počet poj. nároků do času t (NV n t ) má Poissonovo rozdělení P(lt)

36 výše celkového poj. nároku do času t S t = X 1 + X Xn t, X i, i=1,..., n t, jsou nezávislé NV se stejným rozdělením (daným distribuční funkcí F), n t je NV s Poissonovým rozdělením P(lt) S t je NV se složeným Poissonovým rozdělením CP(l,F): Pojistné modely v čase

37 Příklad Během 1 roku bylo u smluv uplatňováno 140 pojistných nároků. Jaká je pravděpodobnost, že nedojde ke škodě u žádné smlouvy a) během následujících 2 let, b) během následujících 9 měsíců, při zachování škodní frekvence?

38 5. Pravděpodobnost ruinování

39 Pravděpodobnost ruinování Pravděpodobnost toho, že stav rezervy pojišťovny klesne pod nulu (na zápornou hodnotu). T i - doba mezi 2 poj. nároky, W i - čas uplatnění nároku ve R t rezerva v čase t výši X i X 1 X 2 výše škody v čase 2 R 0 X 3 pravděpodobnost ruinování Y = P{min R t < 0, t 0} W 1 W 2 W 3 T 1 T 2 T 3 t

40 Pravděpodobnost ruinování

41 Pravděpodobnost ruinování

42 6. Systémy bonus-malus

43 Systémy bonus - malus Bonus smluvně zaručená sleva ze základního pojistného podle počtu předchozích bezškodních roků, Malus přirážka k pojistnému podle počtu a výše pojistných nároků uplatněných v minulých letech pojištění.

44 Systémy bonus - malus Bonusová náročnost systému: (1-P /P)*100 (%) celk. pojistné s použitím bonusů celk. pojistné při hypotetickém vyloučení bonusů

45 Systémy bonus - malus Hlad po bonusu situace, kdy klient raději nepřizná pojišťovně škodu z důvodu poklesu v bonusové stupnici. Bonusový systém se obvykle stupňuje, např. slevy ve výši. 0 %, 20 %, 40 % a 50 % ze základního pojistného. Bonusový stupeň se řídí rozhodnou dobou = dobou nepřerušeného trvání pojištění, po kterou nebyl uplatněn pojistný nárok.

46 Systémy bonus - malus t (roky) 20% 40% bonus v % základního pojistného

47 Systémy bonus - malus Matematické modely systémů bonus-malus jsou založeny především na pravděpodobnostní teorii markovských řetězců, takže při jejich praktickém použití je nutné nejprve odhadnout pravděpodobnosti přechodů mezi jednotlivými stupni systému. Příklad na tabuli