, f g jsou elementární funkce.

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download ", f g jsou elementární funkce."

Transkript

1 Průběh funkce použité definice a věty Definice. Řekneme, že funkce je spojitá na otevřeném intervalu (a, b), jestliže je spojitá v každém vnitřním bodě tohoto intervalu. Řekneme, že funkce je spojitá na polouzavřeném intervalu (a, b (resp. a, b)), jestliže je spojitá na příslušném otevřeném intervalu a navíc spojité zleva v bodě b (resp. zprava v bodě a). Řekneme, že funkce je spojitá na uzavřeném intervalu, pokud je spojitá na příslušném otevřeném intevalu a navíc je jednostranně spojitá zevnitř intervalu v krajních bodech. Definice 2. Elementární funkce definujeme induktivně takto: (i) Nechť c R a n N, pak c, x n, n x, sin x, arcsin x, ln x, exp x jsou elementární funkce. (ii) Jsou-li f a g elementární funkce, tak potom f + g, f g, f g, pro g 0 f g, f g jsou elementární funkce. (iii) Každá elementární funkce vzniká konečným počtem aplikací (i) a (ii). Věta. Elementární funkce jsou spojité na intervalech svých definičních oborů. Příklad. Funkce f(x) = arcsin 2x2 x 4 + je elementární, protože x2 je elementární, konstanta je také elementární a jejich součin 2x 2 je tudíž také elementární, x 4 je opět elementární a součet s konstantou je elementární. Podíl dvou elementárních funkcí je opět elementární, arcsin je elementární a složením s elemenární funkcí máme opět elementární funkci. Definice 3 (Derivace). Nechť f je reálná funkce reálné proměnné a nechť a D(f). Potom pokud existuje f(a + h) f(a) lim, h 0 h tak tuto limitu nazýváme derivací funkce f v bodě a a značíme ji f (a). Derivaci zprava v bodě a definujeme a značíme následujícím způsobem f +(a) = lim h 0+ f(a + h) f(a). h Analogicky se definuje derivace zleva v bodě a, kterou značíme f (a). Poznámka. Derivaci můžeme definovat ekvivalentně následujícím způsobem, f f(x) f(a) (a) = lim x a x a, pro jednostranou derivaci vypadá definice následovně f +(a) f(x) f(a) = lim x a+ x a (analogicky zleva). Tato definice definice derivace je ekvivalentní s definicí 3 a nechá se na ní převézt pomocí substituce x = a + h. Pro výpočty je obvykle výhodnější definice 3. Pokud počítáme derivaci funkce (i jednostrannou) z definice, můžeme při výpočtu dospět ke třem závěrům. f (a) R, potom říkáme, že derivace v a existuje a je vlastní (říkáme, že funkce f je v a diferencovatelná) nebo f (a) = ±, potom říkáme, že derivace v a existuje a je nevlastní a konečně třetí možnost je, že limita v definici derivace neexistuje a potom říkáme, že derivace v a neexistuje. Věta 2 (Limita derivace). Nechť f je spojitá v bodě a R a nechť existuje lim x a f (x). Potom existuje f (a) a platí f (a) = lim x a f (x). Poznámka. Předchozí věta (věta 2) platí i v případě jednostranných derivací. Například pro derivaci zleva bude tvrzení vypadat následovně: Nechť f je spojitá v bodě a R a nechť existuje lim x a f (x). Potom existuje f (a) a platí f (a) = lim x a f (x). Věta 2 nám dává poměrně jednoduchou metodu jak spočítat derivaci v bodech, ve kterých nelze použít výsledek po mechanické derivaci. Jestliže pracujeme s elementárními funkcemi, tak máme práci usnadněnou tím, že jsou spojité na svých definičních oborech a tím je tedy ověřování prvního předpokladu věty velice snadné. Při používání této věty je nutné dát si pozor na to, že se jedná o větu ve tvaru implikace. Pokud tedy při výpočtu zjistíme, že lim x a f (x) neexistuje, nemůžeme ještě rozhodnout zda derivace v tomto bodě existuje nebo neexistuje. Když tedy zjistíme, že lim x a f (x) neexistuje, můžeme ještě použít větu 2 pro výpočet jednostranných derivací. Spočítáme lim x a+ f (x) a lim x a f (x) a pokud tyto limity existují, tak potom příslušné jednostranné derivace jsou rovny těmto jednostranným limitám a navíc pokud f (a) f +(a), tak potom f (a) neexistuje. Pokud ale lim x a+ f (x) a lim x a f (x) neexistují, tak opět nemůžeme nic říct o derivaci v bodě a a derivaci tedy musíme vypočítat z definice.

2 Definice 4 (Monotonie na intervalu). Řekneme, že funkce f je rostoucí na množině M, jestliže platí následující: x, x 2 M : x < x 2 f(x ) < f(x 2 ) Analogicky definujeme funkci neklesající ( x, x 2 M : x < x 2 f(x ) f(x 2 )), klesající ( x, x 2 M : x < x 2 f(x ) > f(x 2 )), nerostoucí ( x, x 2 M : x < x 2 f(x ) f(x 2 )) na množině M. Věta 3. Je-li f spojitá na (a, b a rostoucí na (a, b), je rostoucí i na (a, b. Věta samozřejmě platí i pro polouzavřený interval zleva a samozřejmě i pro uzavřený interval. Věta 3 nám pomáhá při určování maximálních intervalů monotonie. Byla by chyba napsat, že funkce roste pouze na otevřeném intervalu, pokud by byla navíc spojitá ještě na příslušném polouzavřeném (uzavřeném) intervalu. Pokud při vyšetřování průběhu funkce zjistíme, že funkce f je rostoucí na intervalu (a, b a na intervalu b, c), tak obecně nemůžeme psát, že je rostoucí na jejich sjednocení (interval (a, c)). O tom, kdy je to možné, mluví následující věta. Věta 4. Nechť je funkce f rostoucí na intervalu (a, b a na b, c). Potom je f rostoucí na (a, c) právě když, lim x b f(x) lim x b+ f(x). Poznámka. Je-li funkce v přechozí větě spojitá na intervalu (a, c), jsou tím předpoklady věty automaticky splněny, protože zřejmě platí lim x b f(x) = lim x b+ f(x). Není-li tam spojitá, tak můžeme psát, že je rostoucí na intervalu (a, c), pokud v bodě b dochází ke skoku nahoru. Věta 5 (Vztah derivace a monotonie). Nechť f je spojitá na a, b a má derivaci na (a, b). Potom je-li x (a, b) : f (x) > 0, tak je f rostoucí na a, b. Analogicky neklesající, klesající, nerostoucí. Definice 5 (Monotonie v bodě). Řekneme, že funkce f je v bodě c D(f) rostoucí zleva, pokud P (c) D(f) x P (c) : f(x) < f(c) Analogicky definujeme neklesající, klesající, nerostoucí a to samé zprava. Řekneme, že funkce je v bodě c D(f) rostoucí (resp. neklesající, klesající, nerostoucí) je-li v něm rostoucí (resp. neklesající, klesající, nerostoucí) zleva i zprava. Poznámka. Při vyšetřování průběhu funkce nesmíme zaměňovat dvě výše uvedené definice monotonie (definice 4 a definice 5), protože jedna hovoří o vlastnosti na množině a druhá pouze o bodové vlastnosti. Například funkce x je klesající v každém bodě definičního oboru, ale není klesající na celém definičním oboru. Nebo existují jiné funkce, které jsou rostoucí v nějakém bodě, ale nejsou rostoucí na žádném jeho okolí, protože tam oscilují. Definice 6 (Lokální extrém). Řekneme, že funkce f má v bodě c D(f) lokální maximum, pokud je v něm zleva neklesající a zprava nerostoucí. Je-li zleva rostoucí a zprava klesající, hovoříme o ostrém lokálním maximu. Analogicky definujeme lokální minimum. Věta 6 (Nutná podmínka lokálního extrému). Nechť a R je bodem lokální maxima nebo minima funkce f. Potom f (a) neexistuje nebo je rovna nule. Tato věta nám dává návod na to, jak hledat lokální extrémy funkcí, ale je nutné si uvědomit, že jde o nutnou podmínku existence, nikoliv postačující. To znamená, že pokud zjistíme, že je v nějakém bodě nulová derivace, případně tam derivace neexistuje, tak ještě musíme vyšetřit monotonii funkce na okolí tohoto bodu. Například funkce daná předpisem y = x 3 má v nule derivaci rovnou nule, ale nemá tam žádný extrém, protože je v bodě nula rostoucí (ve skutečnosti je rostoucí na celém svém definičním oboru). Věta 7 (Postačující podmínka lokálního extrému). Mějme funkci f a bod b D(f), tak že f je rostoucí na pravém okolí bodu b a klesající na jeho levém okolí. Potom bod b je bodem lokálního maxima. Poznámka. Implikaci v předchozí větě (věta 7) není možné obrátit, protože funkce může mít lokální maximum v nějakém bodě, ale na žádném levém okolí tohoto bodu nemusí být rostoucí a na žádném pravém okolí tohoto bodu klesající. V reálných příkladech na vyšetření průběhu funkce zpravidla nastávají lokální extrémy jen tam, kde funkce mění monotonii, neplatí to však jako obecná závislost. Definice 7 (Globální extrém). Globální maximum a globální minimum funkce f definujeme následovně max f := max H(f), min f := min H(f). 2

3 Poznámka. Při vyšetřování průběhu funkce nás nejdříve zajímá hodnota suprema a infima funkce (sup f := sup(h(f)) a inf f := inf(h(f))). Protože obor hodnot reálné funkce je podmnožinou reálných čísel, tak supremum a infimum funkce existuje vždy. Pokud sup f = +, tak funkce f maximum nemá. Je-li sup f R a je-li této hodnoty nabyto někde ve vnitřním bodě definičního oboru (funkce f nesmí této hodnoty nabývat jen limitně), tak max f = sup f, jinak maximum neexistuje. Analogicky toto platí i pro infimum (resp. minimum). U lokálních extrémů je důležité dát si pozor na to, že funkce musí být definovaná na nějakém oboustranném okolí bodu, což je vidět přímo v definici. Například tedy x nemá v nule lokální minimum, ale má (globální) minimum nula, které je nabýváno v nule. Dále je nutné uvědomit si, že existence lokálních a globálních extrémů se nevylučuje a kauzálně spolu nesouvisí. Například hodnoty globálního extrému může být nabyto jak v bodě lokálního extrému (x 2 ), tak mimo něj ( x), globální extrém může existovat i když lokální neexistuje (opět x) nebo i obráceně (x 3 x). Na základě znalosti lokálních extrémů tedy nemůžeme nic tvrdit o globálních extrémech a naopak také ne. Podstatný rozdíl spočívá v tom, že zatímco u lokálních extrémů se ptáme na to, kde tyto extrémy nastávají, a zajímá nás tedy x-ová souřadnice bodu, tak u globálních extrémů se ptáme přímo na hodnotu a tam nás tedy zajímá y-ová souřadnice bodu. Například funkce f(x) = x 2 má lokální minimum v 0 a minimum funkce je. Definice 8 (Konvexní a konkávní funkce). Řekneme, že funkce f je ryze konvexní (resp. ryze konkávní, konvexní, konkávní) na intervalu I, pokud (resp. >,, ). x, x 2, x 3 : x < x 2 < x 3 f(x 2) f(x ) x 2 x < f(x 3) f(x 2 ) x 3 x 2 S touto definicí konvexní a konkávní funkce je ekvivalentní následující definice. Definice 8* (Konvexní a konkávní funkce). Nechť f je funkce na intervalu I D(f). Řekneme, že f je ryze konvexní na intervalu I, jestliže x, x 2 I λ 0, : f (λx + ( λ)x 2 ) < λf(x ) + ( λ)f(x 2 ) Řekneme, že f je ryze konkávní na intervalu I, jestliže x, x 2 I λ 0, : f (λx + ( λ)x 2 ) > λf(x ) + ( λ)f(x 2 ) Poznámka. Předchozí definice může na první pohled vypadat složitě, ale ve skutečnosti je její význam jednoduchý. Podle této definice je funkce ryze konvexní právě tehdy, když leží-li spojnice každých dvou bodů na grafu nad grafem. Věta 8. Je-li f rostoucí na intervalu (a, b), je f na tomto intervalu ryze konvexní. Věta 9. Nechť f je spojitá na intervalu (a, b). Potom je-li x (a, b) : f (x) > 0, je f je ryze konvexní na (a, b). Analogicky ryze konkávní, konvexní, konkávní. Poznámka. Nejrychleji získáme představu o tom, jak vypadá konvexní (konkávní) funkce, podíváme-li se na grafy funkcí f(x) = x 2 a g(x) = x 2. Grafem funkce f je parabola obrácená ve směru kladné části osy y a navíc platí f (x) = 2, tudíž je konvexní. Grafem funkce g je parabola obrácená ve směru záporné části osy y a navíc platí g (x) = 2, tudíž je konkávní. Definice 9 (Inflexní bod). Řekneme, že f má v bodě c D(f) inflexní bod, pokud existuje f (c) (může být i nevlastní) a f je buď na jistém P (c) ryze konvexní a na jistém P + (c) ryze konkávní nebo na jistém P (c) ryze konkávní a na jistém P + (c) ryze konvexní. Poznámka (Asymptoty funkce). Při vyšetřování průběhu funkce nás zajímají asymptoty funkce ve vlastních a nevlastních bodech. Nechť c R a platí lim x c f(x) = lim x c+ f(x) =, potom x = c je asymptotou funkce f v bodě c. V nevlastním bodě c (+ nebo ) je asymptota ve tvaru y = kx+q, f(x) kde k = lim x c x a q = lim x c (f(x) kx), jsou-li k a q reálná čísla, pokud alespoň jedna z limit neexistuje nebo je alespoň jedna rovna + nebo, tak asymptota neexistuje. Asymptoty nám dávají představu o tom, jak se v daných bodech funkce asi chová a to nám zároveň pomáhá při kreslení grafu funkce. Nutná (nikoliv postačující) podmínka pro to, aby asymptota existovala v nevlastním bodě c je, že lim x c f (x) < +. Vyjde-li nám limita derivace v nevlastním bodě nekonečná, tak už víme, že asymptota neexistuje. V opačném případě asymptota může, ale nemusí existovat. 3

4 2 Postup vyšetřování průběhu funkce Mějme funkci f. Její průběh vyšetříme následovně: (i) Definiční obor a limity. Určíme definiční obor D(f) a jeho hraniční body, což jsou fakticky krajní body intervalů D(f). Množinu těchto bodů chápaných jednostranně zevnitř D(f) nazvěme K. Spočítáme limity ve všech bodech K. (ii) Derivace a její nulové body. Úplná první derivace. Úplná derivace znamená, že se musíme vyjádřit k hodnotě oboustranné derivace v každém bodě definičního oboru a k jednostranným derivacím v bodech, kde neexistuje oboustranná a funkce f je v nich definovaná. Nejdříve provedeme mechanickou derivaci. Tímto pojmem rozumíme, že předpis funkce zderivujeme podle pravidel pro derivaci součtu, součinu, podílu a derivaci složené funkce. Ve všech bodech D(f), ve kterých je takto vzniklá funkce definovaná, je hodnota derivace funkce f rovna přímo její hodnotě. V bodech, kde definovaná není, zkusíme použít větu o limitě derivace (věta 2). V bodech, ve kterých selže i tato věta, musíme derivaci spočítat z definice. Na závěr určíme množinu P := {z; f (z) = 0 z D(f)} (nulové body první derivace, tzv. stacionární body). (iii) Monotonie, extrémy, obor hodnot. Maximální intervaly monotonie, lokální a globální extrémy, obor hodnot. Nejdříve si určíme množinu bodů M := K P (D(f)\D(f )) (je to množina, ve které jsou krajní body intervalů D(f), nulové body první derivace a body, ve kterých je funkce f definovaná, ale neexistuje tam oboustranná první derivace). V M budou tedy všechny body, ve kterých může funkce f změnit monotonii (ale nemusí). Body množiny M rozdělí definiční obor funkce f na intervaly, na kterých už bude funkce f určitě monotónní. Toto nám dává dva postupy, jak vyšetřovat monotonii funkce: (a) Určíme znaménka derivace na vzniklých intervalech (například dosazením libovolného bodu zevnitř příslušného intervalu) a z toho určíme monotonii funkce. Tento postup schematicky zachycuje následující tabulka. x 0 sgn f K P (D(f) \ D(f )) body řadíme vzestupně znaménko derivace ve vzniklých intervalech (b) Spočítáme limity funkce f v bodech M. Nyní už pouze porovnáme hodnoty limit v krajních bodech vzniklých intervalů a tím zjistíme, zda je na daném intervalu funkce rostoucí nebo klesající. Tento postup je zachycen v následující tabulce. Tento postup je výhodnější, protože nám umožní snadnější a rychlejší určení (globálních) extrémů. x 0 lim x x0 f K P (D(f) \ D(f )) body řadíme vzestupně limity v bodech z prvního řádku tabulky Tímto máme hotovou první část průběhu funkce. Stejný postup nyní provedeme pro funkci f. Určíme množinu K, spočítáme limity v bodech z množiny K, Určíme úplnou druhou derivaci, vyšetříme intervaly monotonie f. Závěry z této druhé části ale nebudeme vztahovat k funkci f, nýbrž k funkci f - nulové body druhé derivace pro nás budou kandidáty na inflexní body, intervaly monotonie funkce f budou intervaly konvexity a konkávity funkce f. Na závěr nakreslíme graf funkce. 3 Řešený příklad Příklad 2. Vyšetřete průběh funkce: f(x) = x 3 4x 2 + 4x. (i) Pro jednodušší výpočet si předpis funkce nejdříve trochu upravíme: f(x) = x 3 4x 2 + 4x = x 2 x. Převedení funkce na součin obecně zjednodušuje vyšetření průběhu. Definiční obor Například u funkce f(x) = by množina K vypadalo takto: K = {, 0, 0+, + }, u funkce f(x) = x vypadalo takto: K = {,, +,, +, + }. x 2 by 4

5 je tedy D(f) = 0, + ) a množina K = {0+, + }. Nyní spočítáme limity v krajních bodech definičního oboru, v tomto případě jsou pouze dvě, lim f(x) = 0 a Nyní už můžeme přistoupit k úplné první derivaci. (ii) Nejdříve provedeme mechanickou derivaci: f (x) = sgn(x 2) x + x 2 2 x lim x + f(x) = +. 2 = sgn(x 2)3x 2, pro x D(f) \ {0, 2} x Vidíme, že nám vypadly dva body, 0 a 2. V těchto dvou bodech musíme derivaci spočítat jinak. Protože funkce f je elementární, tudíž spojitá na svém definičním oboru, můžeme použít větu o limitě derivace (věta 2), a to zevnitř definičního oboru (tedy ve 2 oboustranně, v 0 jen zprava). To nám tedy dává následující: lim sgn(x 2) 2 x = lim sgn(x 2) }{{} 2 {}}{ 2 x = lim x = lim 0+ = + = f +(0) Protože tato limita existuje, je derivace zprava v nule rovna plus nekonečnu. lim sgn(x 2) x 2 2 x = lim sgn(x 2) x 2 2 = { 2 pro x 2+ 2 lim sgn(x 2) = x x 2 2 pro x 2 }{{} 2 To, že v bodě 2 existují alespoň jednostranné limity, nám dává existenci příslušných jednostranných derivací a jejich hodnoty, takže f +(2) = 2 a f (2) = 2. A díky tomu, že f +(2) f (2), neexistuje f (2) (toto nelze vyvodit na základě nerovnosti limit derivace, ale až na základě nerovnosti jednostranných derivací). Na závěr ještě určíme množinu P, což budou nulové body první derivace. f (x) = 0 = 0, takže P = { 2 3 }. Nyní už můžeme přistoupit k vyšetřování monotonie funkce. (iii) Nejdříve si vytvoříme tabulku, ze které potom vyčteme vše, co nás bude zajímat. V prvním řádku máme krajní body intervalů definičního oboru (množina K), body, kde je derivace nulová (množina P ) a body, kde je funkce f definovaná, ale nemá tam derivaci. V druhém řádku budou limity v příslušných bodech, což kromě krajních bodů definičního oboru znamená přímo funkční hodnoty (protože f je elementární, tudíž spojitá na svém definičním oboru a tedy její limita v každém bodě definičního oboru rovná přímo funkční hodnotě). 2 x lim x x0 f f Funkce f je rostoucí na 0, 2 3 a na 2, + ) (nemůžeme psát na sjednocení, protože na sjednocení těchto intervalů tato funkce není rostoucí, později to bude snadno vidět z obrázku) a f je klesající na 2 3, 2. Lokální minimum má v bodě x = 2, lokální maximum má v bodě x = 2 3, min f = inf f = 0, sup f = + a maximum tedy nemá. Na závěr této části můžeme ještě určit obor hodnot, který je v tomto případě H(f) = 0, + ). Nyní už můžeme postoupit k úplné druhé derivaci a ke zjišťování intervalů konvexity a konkávity. (i ) Budeme postupovat stejně jako v (i),(ii) a (iii), akorát místo f budeme pracovat s f, jako reálnou funkcí (vynecháme tedy z jejího definičního oboru případně ty body, kde derivace existuje, ale je nekonečná). Máme tedy f (x) = sgn(x 2) 3x 2 2 x, a D(f ) = (0, 2) (2, + ), K = {0+, 2, 2+, + }. Spočítáme limity ve všech bodech K. V bodech 0, 2, 2+ už máme limity spočítané (viz bod (ii)), takže zbývá pouze bod + : Teď už můžeme přejít ke druhé derivaci. 2 lim sgn(x 2)3x x + 2 x = +. 5

6 (ii ) Opět začneme mechanickou derivací: f (x) = sgn(x 2) 3 x () 2 x x = sgn(x 2) 3x x 3 pro x D(f ). Tento předpis platí pro všechny body v D(f ), takže tímto je druhá derivace hotová. Vidíme, že v D(f ) neleží žádný nulový bod druhé derivace, takže P =. (iii ) Vyšetříme maximální intervaly konvexity a konkávity. Stejně jako u monotonie si pomůžeme tabulkou, která v tomto případě bude vypadat následovně: x lim x x0 f f f Dvojitá svislá čára mezi body 2 a 2+ tam je optickou pomůckou, kterou vkládáme mezi body, mezi nimiž funkce není definovaná, protože nemá smysl se ptát na vlastnosti na takových intervalech. Funkce je konkávní na 0, 2 a je konvexní na 2, + ). Funkce nemá žádné inflexní body. (iv ) Nakreslíme graf funkce f. Nejdříve si na osu x vyneseme všechny významné body (jsou to body z prvního řádku obou tabulek). Tyto body nám osu x rozdělí na intervaly, na kterých je funkce už určitě monotónní a je konvexní nebo konkávní. Často je výhodné pro kreslení grafu funkce mít na každé souřadnicové ose jiné měřítko, to znamená, na každé ose si volíme jinak jednotku. Nezřídka je totiž graf funkce tak blízký ose x, že v proporcionálním obrázku by nebylo možné rozlišit zjištěné vlastnosti (monotonie, konvexnost a konkávnost). Poté si ve všech těchto významných bodech vyneseme funkční hodnotu funkce, případně limitu funkce. Pokud je v některém bodě limita funkce nekonečná, naznačíme si tuto skutečnost asymptotou nebo v případě ± přibližným směrem. V tomto případě vynášíme na osu x body 0, 2 3 a 2. Nyní můžeme přistoupit k samotnému kreslení grafu funkce. Začneme například zleva. Na intervalu 0, 2 3 je funkce rostoucí a konkávní, takže k přesnému zakreslení (v rámci možností náčrtu) stačí určit její chování v pravém okolí nuly a v levém okolí 2 3. Derivace v nule zprava je +, to znamená, že graf funkce se zde bude přimykat k ose y (osa y zde bude tečnou grafu). V bodě 2 3 je derivace nulová, to znamená, že tam se graf funkce bude přimykat rovnoběžce s osou x procházející bodem [ 2 3, f( 2 3 )] (opět to bude její tečna). Dalším intervalem je interval 2 3, 2, kde je funkce klesající a konkávní. Lokální chování v bodě 2 3 je zprava stejné jako zleva a derivace zleva v bodě 2 je 2, proto se funkce f u bodu 2 zleva přimyká k tečně se směrnicí 2 procházející bodem [2, 0]. Tuto skutečnost nemusíme znázornit přesně (neproporcionální grafy navíc sklon přímek mění), je podstatné jenom ji odlišit od situací, kdy je derivace nulová či nekonečná. Zbývá interval 2, + ). Funkce je na něm rostoucí a konvexní. Podle derivace se funkce ve 2 zprava přimyká k tečně se směrnicí 2 procházející bodem [2, 0]. Lokální chování v okolí + nemůžeme v grafu dobře zachytit, spokojíme se s tím, že graf vyjádří fakt, že lim x + f(x) = +. Povšimněme si, že v bodě 2 má funkce hrot ; jde o přímý důsledek toho, že funkce má v tomto bodě různou derivaci zprava a zleva. Právě podle hrotu lze nejjednodušeji z grafu vyčíst, že funkce v nějakém bodě nemá derivaci. 6

7 Obrázek : Graf funkce f. Pomocné tečny jsou vyznačeny červeně. 7

IX. Vyšetřování průběhu funkce

IX. Vyšetřování průběhu funkce IX. Vyšetřování průběhu funkce Úvodní poznámky: Cíl: vyšetřit průběh dané funkce f. Zahrnuje: základní vlastnosti: D(f), spojitost, limity v krajních bodech, průsečíky s osami souřadnic, intervaly, kde

Více

7.1 Extrémy a monotonie

7.1 Extrémy a monotonie KAPITOLA 7: Průběh funkce [ZMA13-P38] 7.1 Extrémy a monotonie Řekneme, že funkce f nabývá na množině M Df svého globálního maxima globálního minima A v bodě x 0, jestliže x 0 M, fx 0 = A a pro každé x

Více

Kapitola 4: Průběh funkce 1/11

Kapitola 4: Průběh funkce 1/11 Kapitola 4: Průběh funkce 1/11 Funkce monotonní 2/11 Věta: Necht je f spojitá a má derivaci na intervalu I. Potom platí (i) Je-li f (x) > 0 na I, je f rostoucí na I. (ii) Je-li f (x) 0 na I, je f neklesající

Více

Aplikace derivace a průběh funkce

Aplikace derivace a průběh funkce Aplikace derivace a průběh funkce Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného

Více

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015 Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární

Více

Monotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

Monotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 66 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné I. 5. Vyšetřování průběhu funkce Monotonie a lokální etrémy Důsledek. Nechť má funkce f) konečnou derivaci na intervalu I. Je-li f ) > 0 pro každé I, pak

Více

1 Množiny, výroky a číselné obory

1 Množiny, výroky a číselné obory 1 Množiny, výroky a číselné obory 1.1 Množiny a množinové operace Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Definice. Dvě množiny jsou

Více

Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 1 4. Derivace funkce 4.3. Průběh funkce 2 Pro přesné určení průběhu grafu funkce je třeba určit bližší vlastnosti funkce. Monotónnost funkce Funkce monotónní =

Více

Zlín, 23. října 2011

Zlín, 23. října 2011 (. -. lekce) Sylva Potůčková, Dana Stesková, Lubomír Sedláček Gymnázium a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Zlín Zlín, 3. října 0 Postup při vyšetřování průběhu funkce. Definiční obor funkce,

Více

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6 Příklad 1 Vyšetřete průběh funkce: a) = b) = c) = d) =ln1+ e) =ln f) = Poznámka K vyšetřování průběhu funkce použijeme postup uvedený v zadání. Některé kroky nejsou již tak detailní, všechny by ale měly

Více

1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU

1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU Obsah 1. Pojmy... 2 1.1. Formule výrokového počtu... 2 1.2. Množina... 3 1.2.1. Operace s množinami... 3 1.2.2. Relace... 3 2. Číselné obory... 5 2.1. Uzavřenost množiny na operaci... 5 2.2. Rozšíření

Více

MATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel

MATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel MATEMATIKA Příklady pro 1. ročník bakalářského studia II. část II.1. Posloupnosti reálných čísel Rozhodněte, zda posloupnost a n (n = 1, 2, 3,...) je omezená (omezená shora, omezená zdola) resp. monotónní

Více

Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Vlastnosti funkcí Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Definiční obor Definiční obor funkce je množina všech čísel,

Více

Příklady na konvexnost a inflexní body. Funkce f (x) = x 3 9x. Derivace jsou f (x) = 3x 2 9 a f (x) = 6x. Funkce f je konvexní na intervalu (0, )

Příklady na konvexnost a inflexní body. Funkce f (x) = x 3 9x. Derivace jsou f (x) = 3x 2 9 a f (x) = 6x. Funkce f je konvexní na intervalu (0, ) Příklady na konvexnost a inflexní body. Funkce = x 3 9x. Derivace jsou f (x) = 3x 9 a f (x) = 6x. Funkce f je konvexní na intervalu (, ) a konkávní na intervalu (, ). Inflexní bod c =. 3 1 1 y = x 3 9x

Více

Derivace funkce. existuje limita lim 0 ) xx xx0. Jestliže tato limita neexistuje nebo pokud funkce ff

Derivace funkce. existuje limita lim 0 ) xx xx0. Jestliže tato limita neexistuje nebo pokud funkce ff Derivace funkce Derivace je základním pojmem v diferenciálním počtu. Má uplatnění tam, kde se zkoumá povaha funkčních závislostí určitých proměnných (veličin). V matematice, ekonomii, fyzice ale i v jiných

Více

2. spojitost (7. cvičení) 3. sudost/lichost, periodicita (3. cvičení) 4. první derivace, stacionární body, intervaly monotonie (10.

2. spojitost (7. cvičení) 3. sudost/lichost, periodicita (3. cvičení) 4. první derivace, stacionární body, intervaly monotonie (10. MA. cvičení průběh funkce Lukáš Pospíšil,202 Průběh funkce Pod úkolem vyšetřete průběh funkce budeme rozumět nalezení všech kvalitativních vlastností zadané funkce - tedy bude potřeba zjistit o funkci

Více

5. Lokální, vázané a globální extrémy

5. Lokální, vázané a globální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,

Více

Definice globální minimum (absolutní minimum) v bodě A D f, jestliže X D f

Definice globální minimum (absolutní minimum) v bodě A D f, jestliže X D f Výklad Globální extrémy mají stejný význam jako u funkcí jedné proměnné. Hledáme je bud na celém definičním oboru dané funkce, nebo na předem zadané podmnožině definičního oboru. Definice 6..1. Řekneme,

Více

Bakalářská matematika I

Bakalářská matematika I 1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,

Více

Význam a výpočet derivace funkce a její užití

Význam a výpočet derivace funkce a její užití OPAKOVÁNÍ ZÁKLADŮ MATEMATIKY Metodický list č. 1 Význam a výpočet derivace funkce a její užití 1. dílčí téma: Výpočet derivace přímo z definice a pomocí základních vzorců. K tomuto tématu je třeba zopakovat

Více

Použití derivací. V této části budou uvedena některá použití derivací. LEKCE08-PRU. Použití derivací. l Hospital

Použití derivací. V této části budou uvedena některá použití derivací. LEKCE08-PRU. Použití derivací. l Hospital V této části budou uvedena některá použití derivací. a derivace a derivace -zbytek L HOSPITALOVO PRAVIDLO POČÍTÁNÍ LIMIT Tvrzení je uvedeno pro jednostrannou limitu zprava. Samozřejmě obdobné tvrzení platí

Více

DIFERENCIÁLNÍ POČET SPOJITOST FUNKCE,

DIFERENCIÁLNÍ POČET SPOJITOST FUNKCE, DIFERENCIÁLNÍ POČET SPOJITOST FUNKCE, LIMITA FUNKCE, DERIVACE FUNKCE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století

Více

Matematika B 2. Úvodní informace

Matematika B 2. Úvodní informace Matematika B 2 MIROSLAV KUČERA Úvodní informace Kontakt miroslav.kucera@vsfs.czvsfs.cz Studijní středisko Kladno IT oddělení 306B (kanceláře studijního oddělení) Konzultační hodiny Po Pá 8:30 15:00 možno

Více

IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel

IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel Matematická analýza IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel na množině R je definováno: velikost (absolutní hodnota), uspořádání, aritmetické operace; znázornění:

Více

Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y =

Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y = 0.1 Diferenciální počet Je částí infinitezimálního počtu, což je souhrnný název pro diferenciální a integrální počet. Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si

Více

Stručný přehled učiva

Stručný přehled učiva Stručný přehled učiva TU1M2 Matematika 2 pro LP17, LP18 4. Aplikace diferenciálního počtu 4.1 Rovnice tečny a normály Má-li funkce v bodě vlastní derivaci, pak je to směrnice tečny grafu funkce v tečném

Více

Výsledky Př.1. Určete intervaly monotónnosti a lokální extrémy funkce a) ( ) ( ) ( ) Stacionární body:

Výsledky Př.1. Určete intervaly monotónnosti a lokální extrémy funkce a) ( ) ( ) ( ) Stacionární body: Výsledky Př.. Určete intervaly monotónnosti a lokální extrémy funkce a) y < y > y < y > -2 0 3 Funkce je rostoucí v intervalech. Funkce je klesající v intervalech b) y < y > y < - Funkce je rostoucí v

Více

22. & 23. & 24. Vlastnosti funkcí a jejich limita a derivace

22. & 23. & 24. Vlastnosti funkcí a jejich limita a derivace 22. & 23. & 24. Vlastnosti funkcí a jejich ita a derivace Základní vlastnosti Definiční obor Definiční obor je množina neznámých, pro něž je funkce definována. Obor hodnot Obor hodnot je množina všech

Více

1.1 Příklad z ekonomického prostředí 1

1.1 Příklad z ekonomického prostředí 1 1.1 Příklad z ekonomického prostředí 1 Smysl solidního zvládnutí matematiky v bakalářských oborech na Fakultě podnikatelské VUT v Brně je především v aplikační síle matematiky v odborných předmětech a

Více

Aplikační úlohy z diferenciálního počtu jedné proměnné

Aplikační úlohy z diferenciálního počtu jedné proměnné Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Fakulta Katedra Bakalářská práce Aplikační úlohy z diferenciálního počtu jedné proměnné Vypracoval: Michaela Jelínková Vedoucí práce: RNDr. Vladimíra Petrášková,

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z ÚVODU DO MATEMATICKÉ ANLÝZY FUNKCE 999/000 CIFRIK Funkce F a) Zadání: Vyšetřete bez užití limit a derivací funkci : y = { x } f Definice:

Více

Mocninná funkce: Příklad 1

Mocninná funkce: Příklad 1 Mocninná funkce: Příklad 1 Zadání: Vyšetřete průběh mocninné funkce. Řešení: 1. Jako první si určíme definiční obor: D(f)=R. 2. Nyní si spočítáme zda je daná funkce sudá nebo lichá: Daná funkce je lichá.

Více

Definice derivace v bodě

Definice derivace v bodě Definice derivace v bodě tgϕ = f ( ) f () f () : = tgϕ = lim f f () tgϕ = f f () Obecně: f f f ( ) ( ) : = lim f ( + h) f f : = lim h h Derivace zleva (zprava): f ( ) : = lim f f ( ) f ( ) : = lim + +

Více

c ÚM FSI VUT v Brně 20. srpna 2007

c ÚM FSI VUT v Brně 20. srpna 2007 20. srpna 2007 1. f = 3 12 2. f = 2 e 3. f = ln Příklad 1. Nakreslete graf funkce f() = 3 12 Příklad 1. f = 3 12 Nejprve je třeba určit definiční obor. Výraz je vždy definován. Příklad 1. f = 3 12 f =

Více

Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné

Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné Přednáška 4 Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné V několika následujících přednáškách budeme studovat zobrazení jedné reálné proměnné f : X Y, kde X R a Y R k. Protože pro každé

Více

Derivace a průběh funkce.

Derivace a průběh funkce. Derivace a průběh funkce. Robert Mařík 14. října 2008 Obsah 1 Základní myšlenky. 2 2 Přesné věty a definice 10 3 Okolí nevlastních bodů. 16 4 Sestrojení grafu funkce. 19 1 Základní myšlenky. y x Uvažujme

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Univerzita Karlova v Praze Pedagogická akulta DRUHÁ SEMINÁRNÍ PRÁCE Z DIFERENCIÁLNÍHO POČTU PRŮBĚH FUNKCE 000/001 Cirik, M-ZT Zadání: Vyšetřete průběh unkce ( ) : y Vypracování: ( ) : y Předně určíme deiniční

Více

Otázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta.

Otázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta. 1 Implicitní funkce Implicitní funkce nejsou funkce ve smyslu definice, že funkce bodu z definičního oboru D přiřadí právě jednu hodnotu z oboru hodnot H. Přesnější termín je funkce zadaná implicitně.

Více

PRŮBĚH FUNKCE JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ

PRŮBĚH FUNKCE JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ Dierenciální počet unkcí jedné reálné proměnné - 5 - PRŮBĚH FUNKCE JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ Cílem vyšetřování průběhu unkce je umět nakreslit její gra Obvykle postupujeme tak že nalezneme její maimální deiniční

Více

Průvodce studiem. do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat

Průvodce studiem. do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat 6. Extrémy funkcí více proměnných Průvodce studiem Hledání extrémů je v praxi často řešená úloha. Např. při cestě z bodu A do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat

Více

1. Definiční obor funkce dvou proměnných

1. Definiční obor funkce dvou proměnných Definiční obor funkce dvou proměnných Řešené příklady 1. Definiční obor funkce dvou proměnných Vyšetřete a v kartézském souřadném systému (O, x, y) zakreslete definiční obory následujících funkcí dvou

Více

MATEMATIKA B. Lineární algebra I. Cíl: Základním cílem tohoto tématického celku je objasnit některé pojmy lineární algebry a

MATEMATIKA B. Lineární algebra I. Cíl: Základním cílem tohoto tématického celku je objasnit některé pojmy lineární algebry a MATEMATIKA B metodický list č. 1 Lineární algebra I Základním cílem tohoto tématického celku je objasnit některé pojmy lineární algebry a poukázat na jejich vzájemnou souvislost. Posluchači se seznámí

Více

Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Průběh funkce Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Průběh funkce Průběhem funkce rozumíme určení vlastností funkce

Více

Derivace a průběh funkce příklady z písemných prací

Derivace a průběh funkce příklady z písemných prací Derivace a průběh funkce příklady z písemných prací Vyšetřete průběh následuících funkcí. Příklad. = x +arctg( x ). D(f) =R.. Funkce e spoitá na R. 3. Funkce není lichá, sudá, ani periodická.. lim x ±

Více

soubor FUNKCÍ příručka pro studenty

soubor FUNKCÍ příručka pro studenty soubor FUNKCÍ příručka pro studenty 1 Obsah Poznámky 6 lineární funkce mocninné funkce s přirozeným exponentem o sudým o lichým s celým záporným exponentem o sudým o lichým s racionálním exponentem o druhá

Více

MATEMATIKA A Metodický list č. 1

MATEMATIKA A Metodický list č. 1 Metodický list č. 1 Název tématického celku: Lineární algebra I Základním cílem tohoto tématického celku je objasnit některé pojmy lineární algebry a poukázat na jejich vzájemnou souvislost. Posluchači

Více

Přednáška z MA. Michal Tuláček 16. prosince 2004. 1 IV.7 Průběhy funkce 3. 2 Vyšetřování průběhu funkce- KUCHAŘKA 4

Přednáška z MA. Michal Tuláček 16. prosince 2004. 1 IV.7 Průběhy funkce 3. 2 Vyšetřování průběhu funkce- KUCHAŘKA 4 Přednáška z MA Michal Tuláček 6. prosince 004 Obsah IV.7 Průběhy funkce 3 Vyšetřování průběhu funkce- KUCHAŘKA 4 3 Vzorový příklad na průběh funkce ze cvičení 4 4 Příkladynadobumezikapremahusou 7 Definice:

Více

Posloupnosti a řady. 28. listopadu 2015

Posloupnosti a řady. 28. listopadu 2015 Posloupnosti a řady Přednáška 5 28. listopadu 205 Obsah Posloupnosti 2 Věty o limitách 3 Řady 4 Kritéria konvergence 5 Absolutní a relativní konvergence 6 Operace s řadami 7 Mocninné a Taylorovy řady Zdroj

Více

Matematika (KMI/PMATE)

Matematika (KMI/PMATE) Matematika (KMI/PMATE) Přednáška druhá aneb Úvod do matematické analýzy Limita a spojitost funkce Matematika (KMI/PMATE) 1 / 30 Osnova přednášky lineární funkce y = kx + q definice lineární funkce význam

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

Funkce - pro třídu 1EB

Funkce - pro třídu 1EB Variace 1 Funkce - pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv využití výukového materiálu je povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému

Více

Průběh funkce pomocí systému MAPLE.

Průběh funkce pomocí systému MAPLE. Průběh funkce pomocí systému MAPLE. Vyšetřování průběhu funkce je komplení a někdy velmi obtížná úloha. V konkrétních aplikacích nás většinou zajímají jen některé otázky týkající se průběhu dané funkce.

Více

Průběh funkce pomocí systému MAPLE.

Průběh funkce pomocí systému MAPLE. Průběh funkce pomocí systému MAPLE. Vyšetřování průběhu funkce je komplení a někdy velmi obtížná úloha. V konkrétních aplikacích nás většinou zajímají jen některé otázky týkající se průběhu dané funkce.

Více

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/ Anotace. Diferenciální počet VY_32_INOVACE_M0217.

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/ Anotace. Diferenciální počet VY_32_INOVACE_M0217. Vzdělávací materiál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 20 Číslo projektu: Název projektu: Číslo a název klíčové aktivity: CZ.1.07/1.5.00/34.0211 Zlepšení podmínek

Více

MATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. II. Základy matematické analýzy

MATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. II. Základy matematické analýzy MATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. II. Základy matematické analýzy 1 Matematika I. I. Lineární algebra II. Základy matematické analýzy III. Diferenciální počet IV. Integrální počet 2 Matematika

Více

VII. Limita a spojitost funkce

VII. Limita a spojitost funkce VII. Limita a spojitost funkce VII.1. Limita funkce Úvodní poznámky: Limita funkce f v bodě c R hodnota a R, k níž se přibližují hodnoty f(x), jestliže x se blíží k hodnotě c; funkce f nemusí být definovaná

Více

Metody výpočtu limit funkcí a posloupností

Metody výpočtu limit funkcí a posloupností Metody výpočtu limit funkcí a posloupností Martina Šimůnková, 6. listopadu 205 Učební tet k předmětu Matematická analýza pro studenty FP TUL Značení a terminologie R značí množinu reálných čísel, rozšířenou

Více

Funkce a lineární funkce pro studijní obory

Funkce a lineární funkce pro studijní obory Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce

Více

Funkce dvou a více proměnných

Funkce dvou a více proměnných Funkce dvou a více proměnných. Motivace V praxi nevstačíme s funkcemi jedné proměnné, většina veličin závisí více než na jedné okolnosti, např.: obsah obdélníka: S( ) kinetická energie: Ek = = x mv ekonomika:

Více

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)

Více

Funkce. RNDR. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

Funkce. RNDR. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Funkce RNDR. Yvetta Bartáková Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Derivace funkce VY INOVACE_05 0_M Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Definice Mějme funkci f definovanou v okolí bodu 0. Eistuje-li

Více

1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x.

1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x. 1 LIMITA FUNKCE 1. 1 Definice funkce Pravidlo f, které každému z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné. Píšeme y f ( ) Někdy používáme i jiná písmena argument (nezávisle

Více

Lineární funkce, rovnice a nerovnice

Lineární funkce, rovnice a nerovnice Lineární funkce, rovnice a nerovnice 1. Lineární funkce 1.1 Základní pojmy Pojem lineární funkce Funkce je předpis, který každému číslu x z definičního oboru funkce přiřadí právě jedno číslo y Obecně je

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Užití derivací. x, x a, b : x x f x f x MATA P12. Funkce rostoucí a klesající: Definice rostoucí a klesající funkce

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Užití derivací. x, x a, b : x x f x f x MATA P12. Funkce rostoucí a klesající: Definice rostoucí a klesající funkce MATA P1 Užití derivací Funkce rostoucí a klesající: Deinice rostoucí a klesající unkce Funkce je rostoucí v intervalu (a,b), právě když platí: ( ) ( ) ( ), a, b : 1 1 1 Funkce je klesající v intervalu

Více

Asymptoty funkce. 5,8 5,98 5,998 5,9998 nelze 6,0002 6,002 6,02 6, nelze

Asymptoty funkce. 5,8 5,98 5,998 5,9998 nelze 6,0002 6,002 6,02 6, nelze Asymptoty funkce 1 Asymptota bez směrnice 6 Máme dvě funkce f 1 : y a 3 f : y 3 Člověk nemusí být matematický génius, aby pochopil, že do předpisu obou funkcí lze dosadit za libovolné reálné číslo kromě

Více

Vyšetřování průběhu funkcí v programu GeoGebra

Vyšetřování průběhu funkcí v programu GeoGebra Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Pedagogická fakulta Katedra matematiky Bakalářská práce Vyšetřování průběhu funkcí v programu GeoGebra Autor práce: Markéta Medviďová Vedoucí práce: RNDr. Vladimíra

Více

Aplikace derivace ( )

Aplikace derivace ( ) Aplikace derivace Mezi aplikace počítáme:. LHospitalovo pravidlo. Etrémy funkce (růst a pokles funkce) 3. Inflee (konávnost a konvenost). Asymptoty funkce (se i bez směrnice) 5. Průběh funkce 6. Ekonomické

Více

0.1 Úvod do matematické analýzy

0.1 Úvod do matematické analýzy Matematika I (KMI/PMATE) 1 0.1 Úvod do matematické analýzy 0.1.1 Pojem funkce Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Příklady veličin: hmotnost

Více

Derivace funkce. prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky BI-ZMA ZS 2009/2010

Derivace funkce. prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky BI-ZMA ZS 2009/2010 Derivace funkce prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky České vysoké učení technické v Praze c Čestmír Burdík, Edita Pelantová 2009 Základy matematické analýzy

Více

2.7. Průběh funkce. Vyšetřit průběh funkce znamená určit (ne nutně v tomto pořadí): 1) Definiční obor; sudost, lichost; periodičnost

2.7. Průběh funkce. Vyšetřit průběh funkce znamená určit (ne nutně v tomto pořadí): 1) Definiční obor; sudost, lichost; periodičnost .7. Průběh unkce Všetřit průběh unkce znamená určit ne nutně v tomto pořadí: deiniční obor; sudost, lichost; periodičnost, interval spojitosti a bod nespojitosti, průsečík grau unkce s osami, interval,

Více

Matematická analýza III.

Matematická analýza III. 1. - limita, spojitost Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Úvod Co bychom měli znát limity posloupností v R základní vlastnosti funkcí jedné proměnné (definiční obor, monotónnost, omezenost,... )

Více

Základy matematiky pro FEK

Základy matematiky pro FEK Základ matematik pro FEK 7. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 06/07 Blanka Šedivá (KMA) Základ matematik pro FEK zimní semestr 06/07 / 5 Jednostranné limit Definice: Vlastní limita ve vlastním

Více

Sbírka úloh z matematiky

Sbírka úloh z matematiky Střední průmyslová škola a Střední odborné učiliště, Trutnov, Školní 101 Sbírka úloh z matematiky v rámci projektu královéhradeckého kraje zavádění inovativních metod výuky pomocí ICT v předmětu matematika

Více

verze 1.4 Ekvivalentní podmínkou pro stacionární bod je, že totální diferenciál je nulový

verze 1.4 Ekvivalentní podmínkou pro stacionární bod je, že totální diferenciál je nulový 1 Úvod Lokální extrémy funkcí více proměnných verze 14 Následující text popisuje výpočet lokálních extrémů funkcí více proměnných Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT1 na Univerzitě Hradec

Více

Matematika (KMI/PMATE)

Matematika (KMI/PMATE) Úvod do matematické analýzy Funkce a její vlastnosti Funkce a její vlastnosti Veličina Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Funkce a její

Více

Matematika I. Funkce jedné proměnné. Funkce jedné proměnné Matematika I 1 / 212

Matematika I. Funkce jedné proměnné. Funkce jedné proměnné Matematika I 1 / 212 Matematika I Funkce jedné proměnné Funkce jedné proměnné Matematika I 1 / 212 1. Množiny a zobrazení Funkce jedné proměnné Matematika I 2 / 212 Množiny Definice 1.1.1: Množinou rozumíme soubor prvků se

Více

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/ Anotace. Diferenciální počet VY_32_INOVACE_M0216.

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/ Anotace. Diferenciální počet VY_32_INOVACE_M0216. Vzdělávací materiál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 20 Číslo projektu: Název projektu: Číslo a název klíčové aktivity: CZ.1.07/1.5.00/34.0211 Zlepšení podmínek

Více

Kapitola 1: Reálné funkce 1/13

Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Číselné množiny N, N 0, Z, Q, I, R, C Definice: Kartézský součin M N množin M a N je množina všech uspořádaných dvojic, ve kterých je první složka prvkem množiny M a druhá

Více

KVADRATICKÁ FUNKCE URČENÍ KVADRATICKÉ FUNKCE Z PŘEDPISU FUNKCE

KVADRATICKÁ FUNKCE URČENÍ KVADRATICKÉ FUNKCE Z PŘEDPISU FUNKCE KVADRATICKÁ FUNKCE URČENÍ KVADRATICKÉ FUNKCE Z PŘEDPISU FUNKCE Slovo kvadrát vzniklo z latinského slova quadratus které znamená: čtyřhranný, čtvercový. Obsah čtverce se vypočítá, jako druhá mocnina délky

Více

Vyšetřování průběhu funkce pomocí programu MatLab. 1. Co budeme potřebovat?

Vyšetřování průběhu funkce pomocí programu MatLab. 1. Co budeme potřebovat? Vyšetřování průběhu funkce pomocí programu MatLab K práci budeme potřebovat následující příkazy pro 1. Co budeme potřebovat? (a) zadání jednotlivých výrazů symbolicky (obecně) (b) řešení rovnice f()=0,

Více

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení

Více

O FUNKCÍCH. Obsah. Petr Šedivý www.e-matematika.cz Šedivá matematika

O FUNKCÍCH. Obsah. Petr Šedivý www.e-matematika.cz Šedivá matematika O FUNKCÍCH Obsah Nezbytně nutná kapitola, kterou musíte znát pro studium limit, derivací a integrálů. Základ, bez kterého se neobejdete. Nejprve se seznámíte se všemi typy funkcí, které budete potřebovat,

Více

3. Derivace funkce Definice 3.1. Nechť f : R R je definována na nějakém okolí U(a) bodu a R. Pokud existuje limita f(a + h) f(a) lim

3. Derivace funkce Definice 3.1. Nechť f : R R je definována na nějakém okolí U(a) bodu a R. Pokud existuje limita f(a + h) f(a) lim 3 a b s = (a + b) 2 f(s) 3,46 4,680 3,93-2,9422 3,93 4,680 4,2962-2,034 4,2962 4,680 4,4886-0,0954 4,4886 4,680 4,5848 3,2095 4,4886 4,5848 4,5367,0963 4,4886 4,5367 4,526 0,427 4,4886 4,526 4,5006 0,508

Více

a = a 0.a 1 a 2 a 3...

a = a 0.a 1 a 2 a 3... Reálná čísla Definice 1 Nekonečným desetinným rozvojem čísla a nazýváme výraz a = a 0.a 1 a 2 a 3... kde a 0 je celé číslo a každé a i, i =1, 2,... je jedna z číslic 0,...,9. Pokud existuje m N takové,

Více

[ 5;4 ]. V intervalu 1;5 je funkce rostoucí (její první derivace je v tomto intervalu

[ 5;4 ]. V intervalu 1;5 je funkce rostoucí (její první derivace je v tomto intervalu 1..1 Průběh funkce III (prohnutí Předpoklad: 111 Pedagogická poznámka: Při poctivém probírání b tato látka zabrala dvě celé vučovací hodin. Studenti z toho nebudou příliš nadšení, je zde příliš mnoho definic

Více

Matematika I (KMI/PMATE)

Matematika I (KMI/PMATE) Přednáška první aneb Úvod do matematické analýzy Funkce a její vlastnosti Úvod do matematické analýzy Osnova přednášky pojem funkce definice funkce graf funkce definiční obor funkce obor hodnot funkce

Více

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení.

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. @083 6 Polynomické funkce Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. Definice: Polynomická funkce n-tého stupně (n N) je dána předpisem n n 1 2 f : y a x

Více

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady

Více

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a

Více

Časopis pro pěstování matematiky

Časopis pro pěstování matematiky Časopis pro pěstování matematiky Jiří Bečvář; Miloslav Nekvinda Poznámka o extrémech funkcí dvou a více proměnných Časopis pro pěstování matematiky, Vol. 81 (1956), No. 3, 267--271 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/117194

Více

Funkce. Vlastnosti funkcí

Funkce. Vlastnosti funkcí FUNKCE Funkce zobrazení (na číselných množinách) předpis, který každému prvku z množiny M přiřazuje právě jeden prvek z množiny N zapisujeme ve tvaru y = f () značíme D( f ) Vlastnosti funkcí 1. Definiční

Více

1.3. Číselné množiny. Cíle. Průvodce studiem. Výklad

1.3. Číselné množiny. Cíle. Průvodce studiem. Výklad 1.3. Cíle Cílem kapitoly je seznámení čtenáře s axiomy číselných oborů a jejich podmnožin (intervalů) a zavedení nových pojmů, které nejsou náplní středoškolských osnov. Průvodce studiem Vývoj matematiky

Více

Písemná zkouška z Matematiky II pro FSV vzor

Písemná zkouška z Matematiky II pro FSV vzor Písemná zkouška z Matematik II pro FSV vzor. (0 bodů) Určete a nakreslete definiční obor funkce sin x f(x, ) = (Kalenda 00/) spočtěte její parciální derivace podle všech proměnných všude, kde existují,

Více

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015)

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) doplněné o další úlohy 24. 2. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi (e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz

Více

MATEMATIKA. Robert Mařík Ústav matematiky, LDF, MZLU 5. patro, budova B marik@mendelu.cz user.mendelu.cz/marik

MATEMATIKA. Robert Mařík Ústav matematiky, LDF, MZLU 5. patro, budova B marik@mendelu.cz user.mendelu.cz/marik MATEMATIKA Robert Mařík Ústav matematiky, LDF, MZLU 5. patro, budova B marik@mendelu.cz user.mendelu.cz/marik P. Rádl, B. Černá, L. Stará: Základy vyšší matematiky, skriptum MZLU Text přednášky na user.mendelu.cz/marik,

Více

Petr Hasil. Prvákoviny c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

Petr Hasil. Prvákoviny c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57 Úvod do infinitezimálního počtu Petr Hasil Prvákoviny 2015 c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny 2015 1 / 57 Obsah 1 Úvod Funkce Reálná čísla a posloupnosti Limita a spojitost

Více

Vlastní (charakteristická) čísla a vlastní (charakteristické) Pro zadanou čtvercovou matici A budeme řešit maticovou

Vlastní (charakteristická) čísla a vlastní (charakteristické) Pro zadanou čtvercovou matici A budeme řešit maticovou 1 Vlastní (charakteristická) čísla a vlastní (charakteristické) vektory matice Pro zadanou čtvercovou matici A budeme řešit maticovou rovnici A x = λ x, kde x je neznámá matice o jednom sloupci (sloupcový

Více

Základy matematiky pro FEK

Základy matematiky pro FEK Základy matematiky pro FEK 8. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 14 Derivace funkce U lineárních funkcí ve tvaru

Více

Matematická analýza pro informatiky I. Extrémy funkcí více proměnných

Matematická analýza pro informatiky I. Extrémy funkcí více proměnných Matematická analýza pro informatiky I. 12. přednáška Extrémy funkcí více proměnných Jan Tomeček jan.tomecek@upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 12. dubna 2011

Více