Výfučtení: Goniometrické funkce

Transkript

1 Výfučtení: Goniometriké funke Tentokrát se seriál ude zývt spíše mtemtikým než fyzikálním témtem. Pokud počítáte nějkou úlohu, ve které vystupují síly, tk je potřeujete dost čsto rozložit n součet dopočítt v něm ty, které neznáte. Tk nejen k tomu nám slouží goniometriké funke. Pod tímto odstršujíím názvem se skrývjí tři funke (sinus, osinus, tngens), které nám převádějí velikost úhlu n číslo. To nám umožňuje npříkld dopočítt délky strn velikosti úhlů v trojúhelníku. Úhly jk je měřit Úhel je prostor mezi dvěm polopřímkmi, tzv. rmeny. Průsečík rmen tvoří vrhol úhlu pro oznčení vyereme liovolné dv ody, n kždém A rmeni jeden, ož dohromdy dává trojii písmen. Název vrholu pk píšeme vždy doprostřed. Úhel n orázku je tedy úhel ABC (zkráeně znčíme ABC). Velie čsto se úhly znčí řekými písmeny (, β, γ,...). B C Pro popis úhlu tké používáme jeho velikost, kterou znčíme ABC. Podle ní je dělíme do těhto skupin: Or. plný úhel rmen splývjí oshuje zytek roviny (orázek ) přímý úhel rmen tvoří jednu přímku (orázek ) prvý úhel rmen jsou n see kolmá (orázek ) ostrý úhel menší než prvý (orázek d) tupý úhel větší než prvý (orázek e) Ke správnému určení velikosti potřeujeme ještě jednotku. N zákldní škole se k tomu nejčstěji používjí stupně. V tom přípdě má plný úhel 360, přímý (polovin plného) 80 prvý (polovin přímého) 90. Můžete se setkt i s tzv. oloukovou mírou. Její zákldní jednotkou je rdián (v prxi se všk jednotk rdián zřídkkdy uvádí, zprvidl se ztotožňuje s jednotkou velikost úhlu povžujeme z ezrozměrnou, tedy rd = ). Tkto velký úhel n kružnii vytíná olouk dlouhý jko je poloměr kružnie. Kružnie o poloměru r má potom ovod πr. Plný úhel y oshovl elou kružnii, má tedy velikost π. Podoně přímý úhel má velikost π, protože jí oshuje už jen polovinu. Výhod měření úhlu v rdiáneh je, že rovnou víme, jk dlouhý je olouk, který vytíná n kružnii stčí velikost úhlu přenásoit poloměrem oné kružnie. Převodní vzth mezi rdiány stupni získáme sndno npříkld vyjádřením velikosti plného úhlu 360 = π. Jk počítt s úhly Pythgorov vět Pokud jsou dv úhly ve vhodné poloze vůči soě, dokážeme dopočítt jeden z druhého (orázek 3). Útvr, v němž se s úhly počítá si nejlépe nejčstěji, je trojúhelník. Součet vnitřníh úhlů kždého trojúhelníku je přímý úhel 80 (orázek 4). Známe-li dv úhly v trojúhelníku, umíme dopočítt zývjíí třetí. Speiálním přípdem trojúhelníku je trojúhelník prvoúhlý, který má jeden ze tří vnitřníh úhlů prvý (orázek 4). Jeho nejdelší strn (t nproti prvému úhlu) se jmenuje přepon zylým dvěm říkáme odvěsny.

2 () plný úhel () přímý úhel () prvý úhel (d) ostrý úhel (e) tupý úhel Or. : Txonomie úhlů β () vrholové úhly, β = β () vedlejší úhly, β = 80 Or. 3: Vzthy mezi úhly V prvoúhlém trojúhelníku pltí tzv. Pythgorov vět. Při oznčení velikosti přepony písmenem odvěsen písmeny, zpíšeme vzth mezi nimi tkto = +. Uvedeme si tu i jeden orázkový důkz této věty. Nkreslíme si dv čtvere o strně + kždý rozdělíme n několik dílů podle orázku 5. V dělení nprvo máme dv čtvere. Jeden o oshu druhý o oshu. V levém orázku je čtvere pouze jeden, o oshu. V oou čtveríh jsou čtyři stejné trojúhelníky, které zírjí v oou přípdeh stejný osh. Tedy pltí, že = +, kde je přepon trojúhelníků, jsou jejih odvěsny.

3 β γ + β + γ = 80 () Součet úhlů v trojúhelníku odvěsn odvěsn přepon () Názvosloví prvoúhlého trojúhelníku Or. 4: Trojúhelník Or. 5: Důkz Pythgorovy věty Goniometriké funke v prvoúhlém trojúhelníku Vezmeme si prvoúhlý trojúhelník, kde si oznčíme jko přeponu, jeden z ostrýh úhlů, odvěsnu nproti zývjíí odvěsnu. Pk goniometriké funke úhlu zvedeme: sin = Čteme: Sinus úhlu je poměr délky protilehlé odvěsny k déle přepony. os = protilehlá odvěsn úhlu Čteme: Kosinus úhlu je poměr délky přilehlé odvěsny k déle přepony. přepon přilehlá odvěsn úhlu tg = Čteme: Tngens úhlu je poměr délek protilehlé přilehlé odvěsny. Můžeme si všimnout, že pltí tg = sin /os. Thle definie má všk tu vdu, že umíme spočítt goniometriké funke pouze úhlů o velikosti od 0 do 90. Proto se to pokusíme ještě nějk rozšířit i n dlší velikosti úhlů. 3

4 Goniometriké funke jednotková kružnie Jednotková kružnie je kružnie o poloměru r =. Její střed pro názornost umístíme do počátku souřdné soustvy. Zvolíme si liovolný úhel s vrholem ve středu kružnie. N orázku 6 si njdeme, kde jsou hodnoty goniometrikýh funkí. y sin tg O os x Or. 6 Bylo y vhodné mít pomůku, podle které určíme hodnotu goniometriké funke pro jkoukoliv velikost. Nkresleme si tkový orázek pro sin. Nneseme si n x-ovou osu stupně. Pro kždou hodnotu úhlu si njdeme n jednotkové kružnii velikost sinu pro tento úhel (je to y-ová souřdnie odu n kružnii) zkreslíme ji n správné místo do grfu (orázek 7). Stejným způsoem yhom mohli sestrojit i grf osttníh (orázky 8 9). sin os tg 0 0 rd π 6 rd π 4 rd 60 π 3 rd π rd 0 neexistuje Tulk : Důležité hodnoty goniometrikýh funkí 4

5 sin Or. 7: Grf funke sinus os Or. 8: Grf funke osinus tg Or. 9: Grf funke tngens 5

6 Fyzikální úloh k provičení Novou teorii si ukážeme n příkldu ze život. Mlý Shlitt z seou táhne stále stejně ryhle n provázku dřevěné sáňky o hmotnosti 5 kg. Úhel, který svírá provázek s podlhou je = 30 (orázek 0). Jkou silou F s musí Shlitt sáně táhnout? F s 30 F G Or. 0: Shlitt táhne sáně Následujíí řešení úlohy je úplně šptně. V rzké doě zde nleznete jinou úlohu. Vyházíme z toho, že při rovnoměrném přímočrém pohyu jsou síly v rovnováze. Spočítáme si grvitční sílu, která půsoí n sáně F G = mg = 50 N. Víme, že pltí sin = F G /F s. Vyjádříme si dosdíme F s = F G sin = 50 N = 00 N. Shlitt musí sáně táhnout silou 00 N. Cyklometriké funke Cyklometriké funke jsou opčné funke k funkím goniometrikým (npř. rus osinus doslov znmená úhel osinu). Tyto funke slouží k tomu, když známe hodnotu npříkld sin = / heme z něho znovu vypočítt, jk je velký úhel. Pk rsin / =. Přesnou hodnotu si můžete spočítt tře n klkulče. Měl y to umět kždá, která umí počítt normální goniometriké funke. Většinou jsou tm znčeny tkto: rus sinus jko sin, rus osinus jko os rus tngens jko tg. Fyzikální korespondenční seminář je orgnizován studenty MFF UK. Je zstřešen Oddělením pro vnější vzthy propgi MFF UK podporován Ústvem teoretiké fyziky MFF UK, jeho změstnni Jednotou českýh mtemtiků fyziků. Toto dílo je šířeno pod liení Cretive Commons Attriution-Shre Alike 3.0 Unported. Pro zorzení kopie této liene, nvštivte 6