Konzultace z předmětu MATEMATIKA pro druhý ročník dálkového studia

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Konzultace z předmětu MATEMATIKA pro druhý ročník dálkového studia"

Transkript

1 - - Konzultace z předmětu MATEMATIKA pro druhý ročník dálkového studia ) Pojem funkce, základní pojmy ) Grafy funkcí, druhy funkcí ) Druhy funkcí lineární, lomená ) Kvadratická funkce, mocninné funkce 5) Exponenciální funkce 6) Logaritmická funkce 7) Vlastnosti logaritmů, pravidla pro počítání s logaritmy 8) Exponenciální rovnice 9) Logaritmické rovnice 0) Doplnění, shrnutí a opakování učiva. pololetí ) Řešení pravoúhlého trojúhelníka ) Goniometrické funkce ostrého úhlu ) Obecný úhel, oblouková a stupňová míra ) Goniometrické funkce v oboru reálných čísel 5) Úpravy goniometrických výrazů 6) Goniometrické rovnice a jejich řešení 7) Geometrické rovnice metoda substituce 8) Řešení obecného trojúhelníka sinová věta 9) Řešení obecného trojúhelníka kosinová věta 0) Doplnění, shrnutí a opakování učiva. pololetí Vyučuje: RNDr. Věra Schuhová Zkoušení z matematiky na konci každého pololetí se skládá z písemného testu doba trvání asi 5 minut - a následného ústního zkoušení. Absolvování písemného testu je nutnou podmínkou k tomu, aby student mohl vykonat ústní zkoušku, k níž se dostaví osobně a přinese si studijní průkaz. Teprve po jejím absolvování může být klasifikován z matematiky. Doporučená literatura (pro celé studium): ( ) MATEMATIKA - přehled středoškolského studia, edice Maturita(N. Kubešová, E.Cibulková) ( ) ODMATURUJ Z MATEMATIKY nakladatelství Didaktik. díl rozsáhleji je zde teorie, pěkné, doporučuji hlavně pro ty, kteří uvažují o maturitě z matematiky ( ) Matematika v kostce pro střední školy (Z. Vošický) ( ) Matematika pro SOŠ a studijní obory SOU (kol. autorů-odvárko, Calda,..). 6. část, určeno spíše pro denní studium ( 5 ) MFCH Tabulky pro střední školy ( 6 ) Matematika pro netechnické obory SOU.. díl kolektiv autorů dále existují různé sbírky úloh k probírané tematice, řešené příklady i teorii lze hledat i na internetu (matematika po lopatě, matematika on line atd.)

2 - -. pololetí Funkce je předpis, který ke každému číslu x (argument neboli nezávisle proměnná) z definičního oboru funkce D(f) přiřazuje jediné číslo y (závisle proměnná neboli hodnota funkce) z množiny funkčních hodnot H(f). Funkce se zadává rovnicí (funkčním předpisem), tabulkou, grafem x y Sloupce v tabulce jsou souřadnice jednotlivých bodů grafu, x si volíme, y počítáme podle rovnice funkce. Znalost vynesení bodů do grafu = základní škola ( viz také doporučená literatura) Graf funkce je množina bodů [x;y], kde y = f(x). Grafy se znázorňují v pravoúhlé soustavě souřadnic, osa x je rovnoběžná, orientovaná zleva doprava, osa y je svislá, orientovaná zdola nahoru. Průsečík je počátek souřadnic [0;0]. Osy rozdělují rovinu na čtyři kvadranty číslované proti směru hodinových ručiček II I III IV Př. Zkuste si určit znaménka bodů v jednotlivých kvadrantech Lineární funkce je dána rovnicí y = ax + b, kde a, b R, a 0, D(f) = R. Grafem je přímka, která neprochází (pro b 0) počátkem souřadnic a není rovnoběžná s osou y. Pro b = 0 přímka prochází počátkem ( funkce se pak nazývá přímá úměrnost). Pokud je přímka rovnoběžná s osou x ve vzdálenosti b, jedná se o konstantní funkci y = b (a = 0, b 0). Osa x má rovnici y = 0, osa y má rovnici x = 0 Poznámka: přímka rovnoběžná s osou y by nemohla být grafem žádné funkce, protože by nesplňovala obecnou definici funkce Grafem lineární funkce je tedy přímka, k sestrojení přímky stačí dva různé body Koeficient a určuje směr přímky, koeficient b určuje úsek na ose y, kde přímka protíná osu y Je-li a > 0, je přímka rostoucí ( směrový úhel je ostrý ), je-li a < 0, je přímka klesající (směrový úhel je tupý) Příklady: ) Graf lineární funkce prochází body A [-;], B[;-]. Zapište rovnici této funkce Řešení: y = ax + b = -a + b soustava rovnic, druhou vynásobíme, sečteme, - = a + b/. dostaneme - = b b = -, dosadíme do druhé z rovnic a spočítáme a = - funkce má tedy rovnici y = -x - ) Funkce má předpis y = x +. Vypočítejte chybějící souřadnici bodu D[-; ], leží-li na grafu této funkce. Řešení: dosadíme do rovnice za x a spočítáme y, tj. y = ( ) + = + = ) Funkce je určena rovnicí y = x. Vypočítejte zbývající souřadnice bodů A [-; ], B[ ;0]. Řešení: dosazením za x: y =.(-) = -8 pro bod A, dosazením za y: 0 = x a výpočtem dostaneme x = pro bod B )Funkce má rovnici y = -x + 9. Vypočítej souřadnice průsečíků této funkce se souřadnými osami.

3 - - řešení: každý průsečík s osou x má vždy druhou souřadnici rovnou 0, každý průsečík s osou y má vždy první souřadnici rovnou 0, proto podle toho dosadíme a spočítáme, tj. bod X: 0 = -x + 9 x = X[;0] bod Y: y = y = 9 Y[0;9] Další příklady: Neúplně určená rovnice lineární funkce má tvar y = ax +6. Určete průsečíky s osami souřadnic, víte-li, že graf prochází bodem A[;-6] (nejprve spočítat a, pak podle př. ) Vypočítejte souřadnice průsečíku dvou lineárních funkcí daných rovnicemi y = x + 5, y = x ( řešíme jako soustavu dvou lineárních rovnic o dvou neznámých např. sčítací metodou nebo graficky ) atd. Kvadratická funkce je dána rovnicí y = ax + bx + c, kde a,b,c jsou libovolná reálná čísla, a 0. Grafem je parabola, jejíž osa je rovnoběžná s osou y. Je-li a > 0, je parabola tvaru U a y-ová souřadnice vrcholu paraboly je minimem funkce, je-li a < 0, je parabola tvaru I a y-ová souřadnice jejího vrcholu je maximem. Souřadnice vrcholu paraboly se dají spočítat: b b ac V = [ -, ]. (grafy viz doporučená literatura) a a Zkuste si načrtnout parabolu a popsat, kdy je rostoucí a kdy je klesající Jednoduchá kvadratická funkce je dána rovnicí y = ax, její vrchol leží v počátku souřadnic, tj. má souřadnice V = [0, 0]. Kvadratické funkce dané rovnicí y = ax + c mají vrchol posunutý po ose y vzhledem ke grafu funkce y = ax, tj. V = [0, c]. Hledat průsečíky grafu kvadratické funkce s vodorovnou osou x je vlastně totéž jako řešit kvadratické rovnice ( látka. ročníku /. pololetí - zopakovat ) Průsečíky mohou být buď dva (osa x je sečnou paraboly) nebo jeden ( osa x je tečnou) nebo nebo žádný (osa x parabolu vůbec neprotne) Průsečík s osou y je vždy jeden: Y= [0;c] Příklady užití KF: obsah kruhu, objem válce, dráha volného pádu, závislost výkonu na proudu Příklad: ) Kvadratická funkce je dána rovnicí y = x x. Určete souřadnice jejího vrcholu V, průsečíků s osou x X, X a s osou y Y, sestrojte tabulku a načrtněte a popište její graf b 6 řešení: V =, = = [, ], X [ ; 0], X [ - ; 0], Y[0; - ] x -x - = 0 D = b ac = (-) -..(-) = + = 6, D je kladný, existují tedy dva průsečíky ± 6 6 s osou x: x = = = nebo = jsou jejich x-ové souřadnice Je-li x = 0 (průsečík s osou y), dosadíme do rovnice a y = - Náčrt grafu na konzultaci Další příklady pro studenty: ) y = x + 9x + ) y = x x + 0 ) y = -x - x + 0 5) y = x 6) y = x + x +

4 - - 7) y = x x + 8) Porovnej grafy y = x, y = x, y = x + Exponenciální a logaritmická funkce ( ) str. 70 kap. 6.6 str. 7 kap. 6.8 ( ) str kap. 8 ( ) str. 8 kap. 5.6 ( ). část - str. kap..6,.8,.9,.0 Definice: Exponenciální funkce je dána rovnicí y = a x, kde a > 0, a, a R. D(f) = R, H(f) = R + = (0, + ). Grafem této funkce je křivka zvaná exponenciála. Vlastnosti: ) Exponenciální křivka má různý průběh pro a > a pro > a > 0 (grafy viz doporučená literatura) ) Všechny exponenciální křivky procházejí jedním bodem, a to bodem [0;] ) Pro a > je exponenciální funkce rostoucí v celém D(f) ) Pro > a > 0 je funkce klesající v celém D(f) 5) Funkce je definována pro všechna reálná čísla, ale nabývá vždy pouze kladných hodnot, tj. celý graf leží nad osou x 6) Pro všechna a > platí: je-li x > 0, je a x >, je-li x < 0, je a x <, je-li x = 0, je a x = 7) Pro > a > 0 platí: je-li x > 0, je a x <, je-li x < 0, je a x >, je-li x = 0, je a x = 8) Exponenciální funkce je spojitá v celém D(f) 9) Je to funkce prostá, tj. pro všechna x D(f) platí: je-li x x, je také f(x ) f(x ). Existuje k ní tedy inverzní funkce zvaná logaritmická. 0) Exponenciální funkce není sudá ani lichá. ) Je to funkce omezená zdola osou x, tj. hodnotou 0 neboli pro všechna x D(f) platí, že f(x)> 0 ) x Pro všechna přípustná a R platí: je-li a x = a, je to právě když x = x důležité pro řešení exponenciálních rovnic. Definice: Logaritmická funkce je dána rovnicí y = log a x, kde a > 0, a, a R. D(f) = R +, H(f) = R Funkční hodnoty se nazývají logaritmy. Grafem této funkce je logaritmická křivka. Vlastnosti: ) Logaritmická křivka má různý průběh pro a > a pro > a > 0 (grafy viz doporučená literatura) ) Všechny logaritmické křivky procházejí jedním bodem, a to bodem [;0] ) Pro a > je funkce rostoucí v celém D(f).

5 - 5 - ) Pro > a > 0 je funkce klesající v celém D(f). 5) Funkce je definována pouze pro kladné hodnoty x, ale nabývá všech reálných hodnot, tj. celý graf leží vpravo od osy y. 6) Logaritmická funkce je spojitá v celém D(f). 7) Je to funkce prostá a tedy k ní existuje inverzní funkce zvaná exponenciální. 8) Funkce není sudá ani lichá. 9) Funkce není omezená ani zdola ani shora. 0) Pro všechna přípustná a R platí: je-li log a x = log a x, je to právě když x = x. Pro všechna přípustná a, x, y tedy platí: y = log a x právě když a y = x Pravidla pro počítání s logaritmy ( platí pro všechny přípustné hodnoty a, x, y, n) log a = 0 log a a = log a xy = log a x + log a x log a x n = n log a x log a y x = loga x - log a y log a n x = n loga x pravidlo pro převod logaritmu o jiném základu: log b a = log log c c a b Logaritmus, jehož základ a = 0, se nazývá dekadický a je zvykem vynechat v zápisu základ, tj. zapisujeme pouze y = log x. Poznámka: tzv. přirozený logaritmus je ten, který má za základ Eulerovo číslo ln a ( e =,78) značí se ln x možný přepis log a = ln0 Některé výpočty logaritmů: log = 5 protože 5 = log 7 = protože = 7 log 0,0 = = 0,0 log 6 = = 6 log 5 65 = 5 = 65 log 6 = = 6 log = = 6 log (- 000) není řešení log x = 5 x = 5 = log x = x = 8 protože = 8 log x = x = = 8 log x = x = ( ) = 6 log x = - x = - = 9 log x = x = ( ) - = 6 log x = 0 x = 0 0 = log a 000 = a = 0 protože 0 = 000 log - x = neexistuje (-< 0) log a 0,000 = - a = 0 protože 0 - = 0,000 atd. Příklady: Zlogaritmujte výrazy: - použijte pravidla pro počítání s logaritmy

6 - 6 - xy log = [log x + log y log 5log z] 5 z 5x y log = [log 5 + log x + log y log z] z log x ( x + y y) 000x y log ( x + y) = [log x + log (x + y) - log y] = [ + log x + log y -log(x + y) ] atd. Odlogaritmujte: log a + log b log log c = a b [log c ] log n log(n + ) + - log m = n.00 [ log ] ( n+ ). m a. d log a + log d log b - log c = [ log b. c atd. ] Příklady na určování D(f) důležité z hlediska teorie a z hlediska následného řešení logaritmických rovnic Určete D(f) daných funkcí: ) y = log(x + ) x + > 0 x > -, tj. D(f) = (-; + ) ) y = log(x ) + log(x + ) x > a současně x > -, tj. D(f) = (; + ) ) x y = log -x > 0 a současně +x > 0 > x a současně x > -, ) y = log + x x x + tj. D(f) = (-; ), ale musíme také prověřit x < 0 a současně + x < 0 < x a současně x < -, tj. D(f) = Ø, takže platí pouze D(f) = (-; ) x + > 0 vždy, x ->0, tj. (x + ).(x ) > 0 D(f) = (- ; -) ( ;+ ) 5) y = 0 x + x exp. funkce, tj. nemusíme určovat D(f), ten je celé R další příklady viz doporučená literatura Logaritmické a exponenciální rovnice ( ) str. 7 kap. 6.7, str. 7 kap. 6.9 ( ) str. 8-8 kap. 8 ( ) str. kap. 5.6

7 - 7 - ( ). část str. kap..7,. Exponenciální rovnice: obsahují neznámou v exponentu ) x- = 8 8 = 7 x = 7 x = 9 x = ) x. x = x + x = - 5x = - x = 6 5 ). 7 x- = 8 x-5 + (x- ) = (x-5) + 6x 9 = x = x 6x = 6x x = ) x 5x+ 6 = x -5x + 6 = 0 (protože 0 = ) vyřešíme tuto kvadratickou rovnici, jejím řešením jsou čísla, a ta jsou i řešením původní exp. rovnice 5) 5 x+ + 5 x+ = x x. 5 = x.(5 + 5) = x.0 = 750 ( dělíme číslem 0) 5 x = 5 x = 0 x = - x = - 6). x +. x+ 0 = x 0 ( +.) = x.0 = 7) = 5 5 -x+ = 5 -x + = -x = - x = x atd. 5 poznámka: nemusíme se většinou zabývat stanovováním D)f) Logaritmické rovnice: obsahují neznámou buď jako logaritmovaný výraz nebo jako základ logaritmu.používáme často metodu substituce buď za argument nebo za funkční hodnotu. Nesmíme zapomínat na určení D(f). ) log x = 5 x =, D(f): x > 0 ) log( x + 5) = log (x + 5) = log 00 x + 5 = 00 x = 95, D(f): x > -5 ).log(x-) = log(x + ) (x ) = x + 9x x + = x + 9x x = 0 x.(9x ) = 0 x = 0 nebo x = 9, D(f): x > 0, tj. x >, x + > 0, tj. x > - platí pouze řešení x = 9 log( x + 8) ) = log(x + 8) =.log(x + ) x + 8 = (x + ) log( x + ) x + 8 = x + x + = x x =, D(f): x > -, x - 5x 5) log (5x -) log ( + x) = log log = log 5x = ( + x) + x 5x = 8 + x x =, D(f): x > 5, (x >-) 6) log x + = 8 log x log x + = 8.log x log x 8.log x + = 0 substituce za log x y 8y + = 0 řešením této kvadratické rovnice jsou čísla 6 a, log x = 6

8 - 8 - x = , log x = x = 00, D(f): x > 0, x 7) + log x = 8 + log x = + log x = log x = x = 000, D(f): x > 0 x 5 8) log = log x x 5 = x 5 =.(x ) x 5 = x x 5 x = -, D(f): x >, x > rovnice nemá řešení atd. Další příklady: Řešte exponenciální rovnice: -x = x+ + x- = 6 x - 9. x + 8 = 0.5 x +.5 x = 9.5, x x- = 9 Řešte logaritmické rovnice: x -logx = 00 log x + 8.log x + 6 = 0 x 6 log6 = x log6 log( x + 5) = log(7 x) log(x + 5) =.log(-x) log(x-) = 0 log(x ) = log( x 5) log log(x + ) + log x = log(x ) + log log x + = log x log(x x ) log(x + ) = 0 log x log x 6 = 0 další příklady viz doporučená literatura

9 pololetí Základy geometrie, Řešení pravoúhlého trojúhelníka ( ) str. 88 kap.8 základní pojmy -.., 8.., 8..5, 8..6 str. kap.9 základní pojmy 9.. ( ) str.-7, kap.5 základní pojmy str. 5 kap.6 zákl. pojmy str.9 kap.7 zákl. pojmy str.7 kap. zákl. pojmy ( ) str.57 kap. 7 7., 7., 7.5, 7.9, 7.0 ( ). část - str.0 kap..,.,.. část str. 5 kap..0 Základní pojmy: bod..a, B, C,. přímka, úsečka, strana.a, b, c, výška..v, úhlopříčka..u, střední příčka.s, těžnice.t vnitřní úhly: α (u vrcholu A), β (u vrcholu B), γ (u vrcholu C) Kruh: o = r, S = r Čtyřúhelníky: čtverec, obdélník, kosočtverec, kosodélník, lichoběžník Obvod (o) a obsah (S) těchto čtyřúhelníků: čtverec: o = a, S = a obdélník: o =.(a + b), S = a.b ( a + c). v lichoběžník: o = a + b + c + d, S = Trojúhelníky: rovnostranný, rovnoramenný, obecný ostroúhlý, tupoúhlý, pravoúhlý a. va b. vb c. vc o = a + b + c, S = = =, S = ab sinγ (cyklická záměna) atd. a.b pravoúhlý ABC: S =, kde a, b.odvěsny pojmy: výška, těžnice, těžiště, střední příčka součet vnitřních úhlů trojúhelníka: α + β + γ = 80 V pravoúhlém trojúhelníku platí Pythagorova věta: a + b = c, kde a, b jsou odvěsny (strany, které tvoří pravý úhel), c je přepona (nejdelší strana v trojúhelníku) základní geometrická tělesa: krychle, kvádr, hranol, jehlan válec, kužel, koule vzorce pro povrch ( S-jednotky: m, dm, cm, ) a objem ( V- jednotky: m, dm, cm, ) těles viz literatura, resp. tabulky kg kg g hmotnost těles m jednotky: kg, g, q, t atd., hustota materiálu ρ - jednotky:,, m dm cm

10 - 0 - platí, že m = ρ.v další teorie - viz literatura, resp. tabulky příklady: V pravoúhlém trojúhelníku ABC je dáno: a) a = 60 cm, b = 8 cm. Vypočítejte c, o, S. b) a = cm, c = 99 cm. Vypočítejte b, o, S. a. b návod: a) c = a + b, o = a + b + c, S = a. b b) b = c a, o = a + b + c, S = další příklady viz doporučená literatura Goniometrické funkce ostrého úhlu ( ) str. 85 kap. 7.7 ( ) str. 95 kap. 9 ( ) str. kap. 6. ( ). část str. kap.. Úhly v trojúhelníku ABC jsou dány buď ve stupňové míře nebo v obloukové míře zavedení viz literatura Platí, že 60 = 80 =, 90 =, 5 =, 0 = 6, 60 =, 5 0 =, 50 = atd. V pravoúhlém trojúhelníku ABC jsou zavedeny goniometrické funkce sinus, kosinus, tangens, kotangens vždy jako poměr příslušných dvou stran daného trojúhelníka ( c přepona a, b - odvěsny: a.protilehlá odvěsna k úhlu α, b.přilehlá odvěsna k úhlu α a.přilehlá odvěsna k úhlu β a.protilehlá odvěsna k úhlu β Zavedení funkcí v pravoúhlém trojúhelníku: a b a b sin α =, cos α =, tg α =, cotg α = c c b a sin β = c b, cos β = c a, tg β = a b, cotg β = b a Vyřešit pravoúhlý trojúhelník znamená vypočítat délky všech tří stran a, b, c, velikosti všech vnitřních úhlů α, β, γ, resp. obvod a obsah. Příklady:

11 - - ) V R- ABC je dáno: c =, dm, α = 60. Vypočítejte úhel β, délky stran a, b, obvod a obsah ABC. Návod: β = 90 - α = 0, sinα = c a a = c. sinα, sinα = 0,866 - najdete v pomocné tabulce (*) nebo v tabulkách nebo na kalkulačce, a =,. 0,866 =, dm, b pomocí buď Pythagorovy věty nebo pomocí funkce cosα (= 0,500), a.b o = a + b + c, S =, podobně zkuste i ostatní příklady ) V R- ABC je dáno: a = cm, b = 0 mm. Určete přeponu c, úhly α, β, obvod a obsah. ) Určete sin 60, cos 5, tg 0, cotg 5, atd. použijte pomocnou tabulku, kalkulačku, tabulky ) Určete úhel α, je-li sin α = 0,500, cos α =, tg α =, cotg α =, atd. použijte pomocnou tabulku, kalkulačku, tabulky 5) Převeďte úhly 5, 75, 70, 0, 50, 5, atd. do obloukové míry, tj. pomocí Pomocná tabulka (*) α sin α = 0, 5 = 0, 707 = 0, cos α 0, 866 = = 0, 707 = 0, tg α 0 = 0, 577 =, cotg α =, 7 = 0, další příklady viz literatura

12 - - Goniometrické funkce obecného úhlu, tj. v oboru reálných čísel ( ) str. 76 kap. 7., 7., 7., 7. ( ) str kap. 9 ( ) str. kap. 6., 6., 6., 6.5, 6.6, 6.7 ( ). část - str. 75 kap..,.,.,.5,.7,.8,.9 obecný, resp. orientovaný úhel zavedení a definice viz literatura každý obecný úhel lze vyjádřit pomocí jeho základní velikosti α 0, což je úhel z intervalu 0, ): α = α 0 + k (α = α 0 + k.60 ) Platí, že sin α = sin α 0 ( platí i pro všechny ostatní goniometrické funkce ). I. kvadrant... (0, ) = (0, 90 ) II. kvadrant (, ) = (90, 80 ) III. kvadrant. (, ) = (80, 70 ) IV. kvadrant. (, ) = (70, 60 ) Příklad řešený: Určete základní velikost úhlu: 780 = = = = = = = = = -. + =. + - =. + = =. + atd. Zavedení funkcí obecného úhlu φ se dělá pomocí jednotkové kružnice (viz literatura) Funkce sinus φ je zavedena jako y-ová souřadnice bodu M, což je průsečík jednotkové kružnice a koncového ramene základní velikosti příslušného úhlu. Funkce kosinus φ je zavedena jako x-ová souřadnice bodu M. Funkce tangens φ je zavedena jako poměr y-ové a x-ové souřadnice bodu M, pokud x-ová souřadnice bodu M (tj. cos φ) není rovna 0. Funkce kotangens φ je zavedena jako poměr x-ové a y-ové souřadnice bodu M, pokud y-ová souřadnice bodu M (tj. sin φ) není rovna 0. Platí to i ve všech ostatních kvadrantech (podrobněji v doporučené literatuře)

13 - - V ostatních kvadrantech se ale musí přepočítávat pomocný úhel, jehož funkci pak můžeme stanovit v tabulkách. Je nutné také v jednotlivých kvadrantech stanovit znaménka jednotlivých goniometrických funkcí. kvadrant/funkce sin cos tg cotg I II III IV I. kvadrant - φ II. kvadrant α = φ III. kvadrant α = φ IV. kvadrant α = φ Např. 50 = 80-0 sin 50 = sin 0 cos 50 = -cos 0 podobně tg, cotg 0 = sin 0 = -sin 0 cos 0 = -cos = 60-0 sin 0 = -sin 0 cos 0 = cos atd. Příklady Urči kvadrant, znaménko funkce, případně hodnotu: sin 0, cos (-60 ), tg 5, cotg 5, cos 855, sin (-05 ), sin, cos, tg, cotg, 6 Základní vztahy mezi goniometrickými funkcemi: sin x cos x tg x = cosx 0, cotg x = sinx 0, sin x + cos x =, tg x. cotg x =, cos x sin x sin x = sin x cos x, cos x = cos x sin x.. atd. další vztahy jsou v tabulkách Funkce sin, tg, cotg jsou tzv. liché funkce tj. sin (-x) = -sin x, tg (-x) = tg x, cotg (-x) = cotg x Funkce cos je sudá, tj. cos (-x) = cos x Goniometrické funkce jsou periodické, tj. jejich hodnoty se pravidelně opakují perioda funkcí sin, cos je neboli 60, perioda funkcí tg, cotg je poloviční, tj. neboli 80. Definice goniometrických funkcí: Funkce y = sin x je definována pro všechna x R a nabývá hodnot od - do, tj. D(f) = R, H(f) =,. Je to funkce periodická s periodou, spojitá v celém R, rostoucí v I. a IV. kvadrantu, lichá, omezená shora i zdola, v jedné periodě má jedno maximum () a jedno minimum(-), jejím grafem je sinusoida. Ta protíná osu x v bodech 0,,

14 - - Funkce y = cos x je definována pro všechna x R a nabývá hodnot od - do, tj. D(f) = R, H(f) =,. Je to funkce periodická s periodou, spojitá v celém R, rostoucí ve III. a IV. kvadrantu, sudá, omezená shora i zdola, v jedné periodě má jedno maximum () a jedno minimum(-), jejím grafem je kosinusoida. Ta protíná osu x v bodech,. Funkce y = tg x je definována pro všechna x R, x (k + )., kde k je celé číslo.nabývá všech reálných hodnot, tj. D(f) = R -{(k+). }, H(f) = R. Je to funkce periodická s periodou, spojitá vždy jen v D(f), rostoucí v celém D(f), lichá, neomezená, nemá maximum ani minimum, jejím grafem je tangentoida. Funkce y = cotg x je definována pro všechna x R, x k. k., kde k je celé číslo.nabývá všech reálných hodnot, tj. D(f) = R -{k.}, H(f) = R. Je to funkce periodická s periodou, spojitá vždy jen v D(f), klesající v celém D(f), lichá, neomezená, nemá maximum ani minimum, jejím grafem je kotangentoida. Grafy jednotlivých funkcí najdete v doporučených učebnicích nebo v tabulkách. Goniometrické rovnice ( ) str. 8 kap. 7.5 ( ) str. 9 kap. 9 ( ) str. 5 kap. 6.8 ( ). část str. 05 kap..6 mohou to být rovnice lineární i kvadratické, v jejichž zadání se vyskytují goniometrické funkce Budeme řešit pouze rovnice s jedním typem goniometrické funkce K řešení se užívají definice goniometrických funkcí, goniometrické vzorce, substituce za celou funkci nebo za argument Nesmíme při zápisu řešení zapomenout na to, že funkce jsou periodické Funkce sin, cos mají stejné řešení většinou ve dvou kvadrantech, obě řešení je nutné zapsat funkce tg, cotg stačí zapsat jen v jednom kvadrantu, protože jejich perioda je poloviční než u funkcí sin, cos Příklady: ) sin x = x = 90 + k.60 čili x = +k ) cos x = - x = 80 + k.60 čili x = + k v obou příkladech šlo o rozhraní kvadrantů

15 - 5 - ) tg x = x = 0 + k.80 čili x = + k. 6 kdyby zde bylo znaménko -, tak by řešení bylo 50 + k.80 ) sin(x-0 ) = substituce y = x-0 x = y+0 sin y = y = 60 +k.60 ( I. kvadrant), y = 0 + k.60 ( II. kvadrant) x = k.60 = 90 + k.60 čili x = + k, x = k.60 x = 50 + k.60 čili x = 5 + k 5) tg x = y = x x = y y = 8 + k.80 x = 9 + k.90 6) cos x + cos x = 0 substituce y = cos x y + y = 0 řešíme kvadratickou rovnici (D = 9), jejímž řešením jsou čísla - a cos x = - x = 80 + k.60, tj. + k., cos x = x = 60 + k.60,. x = 00 + k.60,. 7) sin x sin x = 0 sin x.(sin x ) = 0 sin x = 0 nebo sin x = sin x = 0 x = 0 + k.60, x = 80 + k.60 čili dohromady x = 0 + k.80, sin x = x = 90 + k.60, y 60 o 8) tg (x + 60 ) = - substituce: x + 60 = y x = tg y = - o o o o o k k.80 o o y = 5 + k.80 x = = = 5 + k.60 + cos x 9) = substituce y = cos x, D)f): cos x,tj. x 0 + k.60 cos x + y = + y =.( y) + y = y y = y = cos x = y ( I. a IV. kvadrant) x = 60 + k.60 čili k +, x 5 = 00 + k.60 čili + k Další příklady: U předcházejících příkladů si vyzkoušejte vyjádřit všechna řešení v obloukové míře (kde to není již uděláno), u příkladů 9), 8), 5), ) nezapomeňte doplnit podmínky neboli definiční obory ( pokud tam nejsou). Další příklady v doporučených učebnicích

16 - 6 - Řešení obecného trojúhelníka ( ) str. 86 kap. 7.8 ( ) str. 95 kap. 9 ( ) str. 5 kap. 6.9 ( ). část str. 0 kap.., str. 7 kap.. V obecném trojúhelníku platí mezi stranami a vnitřními úhly různé vztahy, z nichž si uvedeme tzv. větu sinovou a větu kosinovou. Samozřejmě platí, že součet všech tří vnitřních úhlů je 80. Věta sinová se užívá při zadání v trojúhelníku: ) délky dvou stran a velikost úhlu proti jedné z nich ) délka jedné strany a velikost libovolných dvou úhlů Je dána vztahem a : b : c = sin α : sin β : sin γ sinα sin β sin γ Pro konkrétní výpočty se používají spíše vztahy = = nebo a b c a b c obráceně = = sinα sin β sin γ (a vždy dva zápisy ze tří) Příklad : V trojúhelníku ABC je dáno: b = 7, cm, α = 6, γ = 9. Vypočítejte zbývající strany a úhel β = = 79 b a b c b.sinα 7,.0,889 =, = a = = = 6, 5 cm sin β sinα sin β sinγ sin β 0,986 b.sin γ 7,.0,69 c = = =, 6 cm sin β 0,986 Příklad : V ABC je dáno: β = 8, γ = 7, a = 50 cm. Určete α, b, c α = 80 - β γ = 60 a.sin β 50.0,995 b = = = 57 sinα 0,8660 a.sinγ 50.0,608 cm, c = = = 5 sinα 0,8660 cm Věta kosinová se užívá při zadání trojúhelníku: ) délky všech tří stran ) délky dvou stran a velikost úhlu jimi sevřeného Je dána vztahem: c = a + b abcos γ a cyklickou záměnou a = b + c bccos α b = c + a accos β Příklad : V ABC je dáno: a = 7 cm, b = 5 cm, c = 5 cm. Určete α, β, γ Návod: a = b + c b + c a bccos α cos α = = = 0, 6 bc.5.5 (II. kvadrant) α = 98 (viz př. ), pak buď sinovou větou (snazší) nebo kosinovou větou β β = 5, a nakonec γ dopočítat do 80 7

17 - 7 - Příklad : V ABC je dáno: b = 6, cm, c = 9, cm, α = 8. Určete β, γ, a. návod: a = b + c bccos α a = 6, + 9,.6,.9,.0,669 = 5,87 b.sinα 6,.0,7 a = 9,5 cm, pak např. úhel β: sin β = = = 0, 96 a 9,5 β = 7 γ = 58 další příklady: ) je dáno: b = 5 cm, α = 50, γ = 00. Určete a, c, β ) je dáno: a = cm, b = cm, c = 5 cm. Určete α, β, γ. ) je dáno: a = 55 cm, b = 5 cm, γ = 8. Určete c, α, β. ) U všech př. zkuste vypočítat také obsah ABC použijte vzorec S = a. b.sinγ (a cyklická záměna) Další příklady k procvičování látky: ).tg 0 -.sin 5 +.cos 90 - cotg 5 = ) 6.cos 90 -.sin 5 + tg 60-5cotg 0 = ) sin x = + sin x ) sin x - = 0 5) tg x tg x = 0 6) 5 sin x = sin x + 7) cotg (x+5 ) = - 8) cos (x+5 ) = - 9) sin (x-5 ) = 0) tg x = - ) = + sin x atd.

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel. 5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených

Více

Funkce. Vlastnosti funkcí

Funkce. Vlastnosti funkcí FUNKCE Funkce zobrazení (na číselných množinách) předpis, který každému prvku z množiny M přiřazuje právě jeden prvek z množiny N zapisujeme ve tvaru y = f () značíme D( f ) Vlastnosti funkcí 1. Definiční

Více

Planimetrie 2. část, Funkce, Goniometrie. PC a dataprojektor, učebnice. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky

Planimetrie 2. část, Funkce, Goniometrie. PC a dataprojektor, učebnice. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Planimetrie 2. část, Funkce, Goniometrie 2. ročník a sexta 4 hodiny týdně PC a dataprojektor, učebnice Planimetrie II. Konstrukční úlohy Charakterizuje

Více

Přehled funkcí. Funkce na množině D R je předpis, který každému číslu z množiny D přiřazuje právě jedno reálné číslo. přehled fcí.

Přehled funkcí. Funkce na množině D R je předpis, který každému číslu z množiny D přiřazuje právě jedno reálné číslo. přehled fcí. Přehled funkcí Martina Hetmerová Gymnázium Přípotoční 1337 Praha 10 Vlastnosti funkcí Funkce na množině D R je předpis, který každému číslu z množiny D přiřazuje právě jedno reálné číslo Zapisujeme: f:y=f(x)

Více

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 00 007 TEST Z MATEMATIKY PRO PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY ČÍSLO FAST-M-00-0. tg x + cot gx a) sinx cos x b) sin x + cos x c) d) sin x e) +. sin x cos

Více

Funkce a lineární funkce pro studijní obory

Funkce a lineární funkce pro studijní obory Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce

Více

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a

Více

GONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE

GONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE GONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Funkce - pro třídu 1EB

Funkce - pro třídu 1EB Variace 1 Funkce - pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv využití výukového materiálu je povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému

Více

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná Racionální čísla Zlomky Rozšiřování a krácení zlomků

Více

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 <

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 < 8.. Otázka číslo Mocniny a odmocniny. b.) Zjednodušte: 6 b. b Opakování k maturitě matematika. roč. TAD : 6.) Zjednodušte: 6 6.) Vypočtěte: a. y : ( a. y ) =.) Usměrněte zlomek =.. Otázka číslo Lineární

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

y = 1/(x 3) - 1 x D(f) = R D(f) = R\{3} D(f) = R H(f) = ( ; 2 H(f) = R\{ 1} H(f) = R +

y = 1/(x 3) - 1 x D(f) = R D(f) = R\{3} D(f) = R H(f) = ( ; 2 H(f) = R\{ 1} H(f) = R + Funkce. Vlastnosti funkcí Funkce f proměnné R je zobrazení na množině reálných čísel (reálnému číslu je přiřazeno právě jedno reálné číslo). Z grafu poznáme, zda se jedná o funkci tak, že nenajdeme žádnou

Více

Trojúhelníky. a jejich různé středy. Součet vnitřních úhlů trojúhelníku = 180 neboli π radiánů.

Trojúhelníky. a jejich různé středy. Součet vnitřních úhlů trojúhelníku = 180 neboli π radiánů. Úvod V této knize předkládáme čtenáři základní matematické a fyzikální vzorce v přívětivé a snadno použitelné podobě. Využití čísel a symbolů k modelování, předpovídání a ovládání reality je mocnou zbraní

Více

Bakalářská matematika I

Bakalářská matematika I 1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,

Více

Funkce základní pojmy a vlastnosti

Funkce základní pojmy a vlastnosti Funkce základní pojm a vlastnosti Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Pojem funkce Vlastnosti funkcí Inverzní funkce 4 Základní elementární funkce Mocninné Eponenciální Logaritmické

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik R4 1. ČÍSELNÉ VÝRAZY 1.1. Přirozená čísla počítání s přirozenými čísly, rozlišit prvočíslo a číslo složené, rozložit složené

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy

Více

VY_32_INOVACE_M-Ar 8.,9.20 Lineární funkce graf, definiční obor a obor hodnot funkce

VY_32_INOVACE_M-Ar 8.,9.20 Lineární funkce graf, definiční obor a obor hodnot funkce VY_32_INOVACE_M-Ar 8.,9.20 Lineární funkce graf, definiční obor a obor hodnot funkce Anotace: Prezentace zavádí pojmy lin. funkce, její definiční obor a obor hodnot funkce. Dále vysvětluje typy funkcí

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Témata absolventského klání z matematiky :

Témata absolventského klání z matematiky : Témata absolventského klání z matematiky : 1.Dělitelnost přirozených čísel - násobek a dělitel - společný násobek - nejmenší společný násobek (n) - znaky dělitelnosti 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9,10 - společný

Více

6 Planimetrie. 6.1 Trojúhelník. body A, B, C vrcholy trojúhelníku. vnitřní úhly BAC = α, ABC = β, BCA = γ. konvexní (menší než 180º)

6 Planimetrie. 6.1 Trojúhelník. body A, B, C vrcholy trojúhelníku. vnitřní úhly BAC = α, ABC = β, BCA = γ. konvexní (menší než 180º) 6 Planimetrie Planimetrie = část matematiky, která se zabývá geometrií (původně věda o měřené země) v rovině (obrazce, jejich vlastnosti, shodnost a podobnost, zobrazení). 6.1 Trojúhelník Každé tři body,

Více

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Obsah Obsah NIŽŠÍ úroveň obtížnosti 4 MAGZD10C0K01 říjen 2010..........................

Více

INTERNETOVÉ ZKOUŠKY NANEČISTO - VŠE: UKÁZKOVÁ PRÁCE

INTERNETOVÉ ZKOUŠKY NANEČISTO - VŠE: UKÁZKOVÁ PRÁCE INTERNETOVÉ ZKOUŠKY NANEČISTO - VŠE: UKÁZKOVÁ PRÁCE. Součin 5 4 je roven číslu: a) 4, b), c), d), e) žádná z předchozích odpovědí není správná. 5 5 5 5 + + 5 5 5 5 + + 4 9 9 4 Správná odpověď je a) Počítání

Více

1. Přímka a její části

1. Přímka a její části . Přímka a její části přímka v rovině, v prostoru, přímka jako graf funkce, konstrukce přímky nebo úsečky, analytická geometrie přímky, přímka jako tečna grafu, přímka a kuželosečka Přímka v rovině a v

Více

Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Vlastnosti funkcí Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Definiční obor Definiční obor funkce je množina všech čísel,

Více

Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická

Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická Variace 1 Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu

Více

Rovnice, soustavy rovnic, funkce, podobnost a funkce úhlů, jehlany a kužely

Rovnice, soustavy rovnic, funkce, podobnost a funkce úhlů, jehlany a kužely Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika (MAT) Rovnice, soustavy rovnic, funkce, podobnost a funkce úhlů, jehlany a kužely Kvarta 4 hodiny týdně Učebna s PC a dataprojektorem (interaktivní

Více

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0.

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0. Ukázky typových maturitních příkladů z matematiky..reálná čísla. 3} x R; I. Zobrazte množiny A = {x є 3} < + x R; B = {x є II. Zapište ve tvaru zlomku číslo, 486.Komplexní čísla. I. Určete a + b, a - b,

Více

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna 16. Trojúhelník, Mnohoúhelník, Kružnice (typy trojúhelníků a jejich vlastnosti, Pythagorova věta, Euklidovy věty, čtyřúhelníky druhy a jejich vlastnosti, kružnice obvodový a středový, úsekový úhel, vzájemná

Více

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti

Více

KVADRATICKÁ FUNKCE URČENÍ KVADRATICKÉ FUNKCE Z PŘEDPISU FUNKCE

KVADRATICKÁ FUNKCE URČENÍ KVADRATICKÉ FUNKCE Z PŘEDPISU FUNKCE KVADRATICKÁ FUNKCE URČENÍ KVADRATICKÉ FUNKCE Z PŘEDPISU FUNKCE Slovo kvadrát vzniklo z latinského slova quadratus které znamená: čtyřhranný, čtvercový. Obsah čtverce se vypočítá, jako druhá mocnina délky

Více

0.1 Úvod do matematické analýzy

0.1 Úvod do matematické analýzy Matematika I (KMI/PMATE) 1 0.1 Úvod do matematické analýzy 0.1.1 Pojem funkce Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Příklady veličin: hmotnost

Více

Matematika I (KMI/PMATE)

Matematika I (KMI/PMATE) Přednáška první aneb Úvod do matematické analýzy Funkce a její vlastnosti Úvod do matematické analýzy Osnova přednášky pojem funkce definice funkce graf funkce definiční obor funkce obor hodnot funkce

Více

9. Je-li cos 2x = 0,5, x 0, π, pak tgx = a) 3. b) 1. c) neexistuje d) a) x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R d) x < 4. e) 3 3 b

9. Je-li cos 2x = 0,5, x 0, π, pak tgx = a) 3. b) 1. c) neexistuje d) a) x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R d) x < 4. e) 3 3 b 008 verze 0A. Řešeními nerovnice x + 4 0 jsou právě všechna x R, pro která je x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R x < 4 e) nerovnice nemá řešení b. Rovnice x + y x = je rovnicí přímky b) dvojice přímek c) paraboly

Více

2. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku a zlomek uveďte v základním tvaru. 4. Upravte a stanovte podmínky, za kterých má daný výraz smysl:

2. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku a zlomek uveďte v základním tvaru. 4. Upravte a stanovte podmínky, za kterých má daný výraz smysl: KVINTA úlohy k opakování 1. Jsou dány množiny: = {xr; x - 9 5} B = {xr; 1 - x } a) zapište dané množiny pomocí intervalů b) stanovte A B, A B, A - B, B A. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku

Více

CVIČNÝ TEST 9 OBSAH. Mgr. Václav Zemek. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

CVIČNÝ TEST 9 OBSAH. Mgr. Václav Zemek. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 CVIČNÝ TEST 9 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Vypočítejte (7,5 10 3 2 10 2 ) 2. Výsledek zapište ve tvaru a 10 n, kde

Více

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY TU v LIBERCI FAKULTA MECHATRONIKY POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY Tematické okruhy středoškolské látky: Číselné množiny N, Z, Q, R, C Body a intervaly na číselné ose Absolutní hodnota Úpravy

Více

( ) ( ) 6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou ( ) ( ) ( ) ( 2. e) = ( )

( ) ( ) 6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou ( ) ( ) ( ) ( 2. e) = ( ) 6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou Další dovednosti: -iracionální nerovnice -lineární nerovnice s parametrem -kvadratické nerovnice s parametrem Možné maturitní otázky: Lineární a kvadratické nerovnice

Více

MATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel

MATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel MATEMATIKA Příklady pro 1. ročník bakalářského studia II. část II.1. Posloupnosti reálných čísel Rozhodněte, zda posloupnost a n (n = 1, 2, 3,...) je omezená (omezená shora, omezená zdola) resp. monotónní

Více

4. GONIOMETRICKÉ A CYKLOMETRICKÉ FUNKCE, ROVNICE A NEROVNICE 4.1. GONIOMETRICKÉ FUNKCE

4. GONIOMETRICKÉ A CYKLOMETRICKÉ FUNKCE, ROVNICE A NEROVNICE 4.1. GONIOMETRICKÉ FUNKCE GONIOMETRICKÉ A CYKLOMETRICKÉ FUNKCE, ROVNICE A NEROVNICE V této kapitole se dozvíte: GONIOMETRICKÉ FUNKCE vztah mezi stupňovou a obloukovou mírou; jak jsou definovány čtyři základní goniometrické funkce:

Více

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy 5 Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy Trojúhelník: Trojúhelník je definován jako průnik tří polorovin. Pojmy: ABC - vrcholy trojúhelníku abc - strany trojúhelníku ( a+b>c,

Více

Funkce. Logaritmická funkce. Mgr. Tomáš Pavlica, Ph.D. Digitální učební materiály, Gymnázium Uherské Hradiště

Funkce. Logaritmická funkce. Mgr. Tomáš Pavlica, Ph.D. Digitální učební materiály, Gymnázium Uherské Hradiště Funkce Logaritmická funkce Mgr. Tomáš Pavlica, Ph.D. Gymnázium Uherské Hradiště Digitální učební materiály, 01-1 Obsah Logaritmická funkce 1 Logaritmická funkce předpis funkce a ukázky grafů srovnání grafů

Více

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 Mgr. Tomáš Kotler I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Je dán rovinný obrazec, v obrázku vyznačený barevnou výplní, který představuje

Více

Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti.

Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti. U. 4. Goniometrie Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti. 4.. Orientovaný úhel a jeho velikost. Orientovaným úhlem v rovině rozumíme uspořádanou dvojici polopřímek

Více

Projekt: Zlepšení výuky na ZŠ Schulzovy sady registrační číslo: CZ.1.07./1.4.00/ Mgr. Jakub Novák. Datum: Ročník: 9.

Projekt: Zlepšení výuky na ZŠ Schulzovy sady registrační číslo: CZ.1.07./1.4.00/ Mgr. Jakub Novák. Datum: Ročník: 9. Projekt: Zlepšení výuky na ZŠ Schulzovy sady registrační číslo: CZ.1.07./1.4.00/1.581 VY_4_INOVACE_1NOV40 Autor: Mgr. Jakub Novák Datum: 10. 3. 013 Ročník: 9. Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace

Více

CVIČNÝ TEST 2. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 2. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 2 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST 1 Od součtu libovolného čísla x a čísla 256 odečtěte číslo x zmenšené o 256.

Více

β 180 α úhel ve stupních β úhel v radiánech β = GONIOMETRIE = = 7π 6 5π 6 3 3π 2 π 11π 6 Velikost úhlu v obloukové a stupňové míře: Stupňová míra:

β 180 α úhel ve stupních β úhel v radiánech β = GONIOMETRIE = = 7π 6 5π 6 3 3π 2 π 11π 6 Velikost úhlu v obloukové a stupňové míře: Stupňová míra: GONIOMETRIE Veliost úhlu v oblouové a stupňové míře: Stupňová míra: Jednota (stupeň) 60 600 jeden stupeň 60 minut 600 vteřin Př. 5,4 5 4 0,4 0,4 60 4 Oblouová míra: Jednota radián radián je veliost taového

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Cvičení z matematiky Náplň: Systematizace a prohloubení učiva matematiky Třída: 4. ročník Počet hodin: 2 Pomůcky: Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné obory

Více

Systematizace a prohloubení učiva matematiky. Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Systematizace a prohloubení učiva matematiky. Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Cvičení z matematiky Systematizace a prohloubení učiva matematiky 4. ročník 2 hodiny Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné

Více

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz 1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině

Více

CVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

CVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 CVIČNÝ TEST 5 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Zjednodušte výraz (2x 5) 2 (2x 5) (2x + 5) + 20x. 2 Určete nejmenší trojciferné

Více

Goniometrické a hyperbolické funkce

Goniometrické a hyperbolické funkce Kapitola 5 Goniometrické a hyperbolické funkce V této kapitole budou uvedeny základní poznatky týkající se goniometrických funkcí - sinus, kosinus, tangens, kotangens a hyperbolických funkcí - sinus hyperbolický,

Více

Sbírka úloh z matematiky

Sbírka úloh z matematiky Střední průmyslová škola a Střední odborné učiliště, Trutnov, Školní 101 Sbírka úloh z matematiky v rámci projektu královéhradeckého kraje zavádění inovativních metod výuky pomocí ICT v předmětu matematika

Více

Nezbytnou součástí ústní zkoušky je řešení matematických příkladů, které student obdrží při zadání otázky.

Nezbytnou součástí ústní zkoušky je řešení matematických příkladů, které student obdrží při zadání otázky. Maturitní témata Matematika Školní rok 2016/17 Nezbytnou součástí ústní zkoušky je řešení matematických příkladů, které student obdrží při zadání otázky. Příprava ke zkoušce trvá 15 minut, ústní zkouška

Více

[ ] = [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) 2 1 :: MOCNINY A ODMOCNINY

[ ] = [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) 2 1 :: MOCNINY A ODMOCNINY Daniel Nechvátal :: maturitní otázky z matematiky 008 :: MOCNINY A ODMOCNINY ) Zjednodušte následující výrazy a určete, pro které hodnoty proměnných mají smysl a) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] : n n n n b) [

Více

PRACOVNÍ SEŠIT FUNKCE. 4. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT FUNKCE. 4. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online PRACOVNÍ SEŠIT 4. tematický okruh: FUNKCE vytvořila: RNDr. Věra Effenberger epertka na online přípravu na SMZ z matematiky

Více

Funkce. RNDR. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

Funkce. RNDR. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Funkce RNDR. Yvetta Bartáková Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Derivace funkce VY INOVACE_05 0_M Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Definice Mějme funkci f definovanou v okolí bodu 0. Eistuje-li

Více

1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x.

1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x. 1 LIMITA FUNKCE 1. 1 Definice funkce Pravidlo f, které každému z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné. Píšeme y f ( ) Někdy používáme i jiná písmena argument (nezávisle

Více

FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY

FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného

Více

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné

Více

Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie

Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie 20. 10. porovnávání úseček grafický součet úseček grafický rozdíl úseček... porovnávání úhlů grafický součet úhlů grafický rozdíl úhlů... osa úhlu úhly vedlejší a vrcholové...

Více

Obsah. Metodický list Metodický list Metodický list Metodický list

Obsah. Metodický list Metodický list Metodický list Metodický list METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání Jaroslav Švrček a kolektiv Rámcový vzdělávací program pro gymnázia Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický okruh: Závislosti

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo a

Více

Matematika. ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání:

Matematika. ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání: Studijní obor: Aplikovaná chemie Učební osnova předmětu Matematika Zaměření: ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání: denní Celkový počet vyučovacích hodin za

Více

Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1. Funkce pro UO 1

Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1. Funkce pro UO 1 Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1 Funkce pro UO 1 Co je to matematická funkce? Mějme dvě množiny čísel. Množinu A a množinu B, které jsou neprázdné. Jestliže přiřadíme

Více

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady

Více

Maturitní témata profilová část

Maturitní témata profilová část Seznam témat Výroková logika, úsudky a operace s množinami Základní pojmy výrokové logiky, logické spojky a kvantifikátory, složené výroky (konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence), pravdivostní tabulky,

Více

Analytická geometrie lineárních útvarů

Analytická geometrie lineárních útvarů ) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Analtická geometrie lineárních útvarů Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý bod

Více

Maturitní okruhy z matematiky ve školním roce 2010/2011

Maturitní okruhy z matematiky ve školním roce 2010/2011 Vyučující: RNDr. Ivanka Dvořáčková Třída: 8.A Maturitní okruhy z matematiky ve školním roce 2010/2011 Otázka Okruh 1 1. Výroky a operace s nimi 2. Množiny a operace s nimi 2 3. Matematické věty a jejich

Více

Funkce. Úkol: Uveďte příklady závislosti dvou veličin.

Funkce. Úkol: Uveďte příklady závislosti dvou veličin. Funkce Pojem funkce Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. Funkce vyjadřuje závislost

Více

Lineární funkce, rovnice a nerovnice

Lineární funkce, rovnice a nerovnice Lineární funkce, rovnice a nerovnice 1. Lineární funkce 1.1 Základní pojmy Pojem lineární funkce Funkce je předpis, který každému číslu x z definičního oboru funkce přiřadí právě jedno číslo y Obecně je

Více

3. LINEÁRNÍ FUNKCE, LINEÁRNÍ ROVNICE A LINEÁRNÍ NEROVNICE

3. LINEÁRNÍ FUNKCE, LINEÁRNÍ ROVNICE A LINEÁRNÍ NEROVNICE . LINEÁRNÍ FUNKCE, LINEÁRNÍ ROVNICE A LINEÁRNÍ NEROVNICE Dovednosti:. Lineární funkce. -Vědět, že je vyjádřena předpisem f: y = a + b, a znát geometrický význam konstant a,b. -Umět přiřadit proměnné její

Více

Funkce pro učební obory

Funkce pro učební obory Variace 1 Funkce pro učební obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení,

Více

M - Goniometrie a trigonometrie

M - Goniometrie a trigonometrie M - Goniometrie a trigonometrie Určeno jako učební text pro studenty dálkového studia a jako shrnující učební text pro studenty denního studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

Číslo hodiny. Označení materiálu. 1. Mnohočleny. 25. Zlomky. 26. Opakování učiva 7. ročníku. 27. Druhá mocnina, odmocnina, Pythagorova věta

Číslo hodiny. Označení materiálu. 1. Mnohočleny. 25. Zlomky. 26. Opakování učiva 7. ročníku. 27. Druhá mocnina, odmocnina, Pythagorova věta 1. Mnohočleny 2. Rovnice rovné nule 3. Nerovnice různé od nuly 4. Lomený výraz 5. Krácení lomených výrazů 6. Rozšiřování lomených výrazů 7. Sčítání lomených výrazů 8. Odčítání lomených výrazů 9. Násobení

Více

Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205

Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Šablona: III/2 Přírodovědné

Více

Maturitní témata od 2013

Maturitní témata od 2013 1 Maturitní témata od 2013 1. Úvod do matematické logiky 2. Množiny a operace s nimi, číselné obory 3. Algebraické výrazy, výrazy s mocninami a odmocninami 4. Lineární rovnice a nerovnice a jejich soustavy

Více

CVIČNÝ TEST 13. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Zdeňka Strnadová. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 13. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Zdeňka Strnadová. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 13 Mgr. Zdeňka Strnadová OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 V trojúhelníku ABC na obrázku dělí úsečka

Více

Střední průmyslová škola, Hronov, Hostovského 910, 549 31 Hronov

Střední průmyslová škola, Hronov, Hostovského 910, 549 31 Hronov Protokol SADA DUM Číslo sady DUM: VY_4_INOVACE_MA_ Název sady DUM: Funkce a rovnice I. Název a adresa školy: Střední průmyslová škola, Hronov, Hostovského 90, 549 3 Hronov Registrační číslo projektu: Číslo

Více

Základy matematiky pracovní listy

Základy matematiky pracovní listy Dagmar Dlouhá, Michaela Tužilová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Úvod Pracovní listy jsou určeny pro předmět Základy matematiky vyučovaný Katedrou matematiky

Více

Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y =

Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y = 0.1 Diferenciální počet Je částí infinitezimálního počtu, což je souhrnný název pro diferenciální a integrální počet. Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky 1. Lineární rovnice a nerovnice a) Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou absolutní hodnota reálného čísla definice, geometrický význam, srovnání řešení rovnic s abs. hodnotou

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Exponenciální funkce. a>1, pro a>0 a<1 existuje jiný graf, který bude uveden za chvíli. Z tohoto

Exponenciální funkce. a>1, pro a>0 a<1 existuje jiný graf, který bude uveden za chvíli. Z tohoto Exponenciální funkce Exponenciální funkce je taková funkce, která má neznámou na místě exponentu. Symbolický zápis by tedy vypadal takto: f:y = a x, kde a > 0 a zároveň a 1 (pokud by se a mohlo rovnat

Více

PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh

PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh Lomená čára A 0 A 1 A 2 A 3..., A n (n 2) se skládá z úseček A 0 A 1, A 1 A 2, A 2 A 3,..., A n 1 A n, z nichž každé dvě sousední mají společný jeden krajní

Více

CVIČNÝ TEST 3. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Zdeňka Strnadová. II. Autorské řešení 7 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

CVIČNÝ TEST 3. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Zdeňka Strnadová. II. Autorské řešení 7 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 CVIČNÝ TEST 3 Mgr. Zdeňka Strnadová OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Jsou dány intervaly A = ( ; 2), B = 1; 3, C = 0;

Více

Mateřská škola a Základní škola při dětské léčebně, Křetín 12

Mateřská škola a Základní škola při dětské léčebně, Křetín 12 Mateřská škola a Základní škola při dětské léčebně, Křetín 12 Autor: Mgr. Miroslav Páteček Vytvořeno: červen 2012 Klíčová slova: Matematika a její aplikace Podobnost, funkce, goniometrické funkce, lomený

Více

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce 5. Funkce 8. ročník 5. Funkce 5.. Opakování - Zobrazení a zápis intervalů a) uzavřený interval d) otevřený interval čísla a,b krajní body intervalu číslo a patří do intervalu (plné kolečko) číslo b patří

Více

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Závislosti a funkční vztahy Gradovaný řetězec úloh Téma: graf funkce, derivace funkce a její

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

5. P L A N I M E T R I E

5. P L A N I M E T R I E 5. P L A N I M E T R I E 5.1 Z Á K L A D N Í P L A N I M E T R I C K É P O J M Y Bod (definice, značení, znázornění) Přímka (definice, značení, znázornění) Polopřímka (definice, značení, znázornění, počáteční

Více

c) nelze-li rovnici upravit na stejný základ, logaritmujeme obě strany rovnice

c) nelze-li rovnici upravit na stejný základ, logaritmujeme obě strany rovnice Několik dalších ukázek: Eponenciální rovnice. Řešte v R: a) 5 +. 5 - = 5 - b) 5 9 4 c) 7 + = 5 d) = e) + + = f) 6 4 = g) 4 8.. 9 9 S : a) na každé straně rovnice musí být základ 5, aby se pak základy mohly

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

4.3.3 Základní goniometrické vzorce I

4.3.3 Základní goniometrické vzorce I 4.. Základní goniometrické vzorce I Předpoklady: 40 Dva vzorce, oba známe už z prváku. Pro každé R platí: + =. Důkaz: Použijeme definici obou funkcí v jednotkové kružnici: T sin() T 0 - cos() S 0 R - Obě

Více