1) ČÍSLA a VÝRAZY Teorie

Transkript

1 1) ČÍSLA VÝRAZY Teorie číselné obory: roztřiďte čísl podle oborů: -,8; -. 5 ; 1 ; 1,1; ; 5, sin60 ; ; - 4 7; 0; 1; ; 17;,1 ; 0,001; -1; 7 ; 0, I ) Přirozená čísl znky dělitelnosti, násobek dělitel krácení rozšiřování zlomků, slovní úlohy II) Celá čísl operce se zápornými čísly, bsolutní hodnoty III) Rcionální čísl krácení, sčítání, odčítání, násobení, dělení zlomků, složené zlomky převod desetinných čísel n zlomky nopk IV) Ircionální čísl mocniny, odmocniny I ) Přirozená čísl 1) Vypište všechny dělitele čísl: 6; 48; 10; 4; 11; 54; 7; 150; 68; 78 ) Njděte n D dvojice čísel: (64,10); (4,10); (10,168); (81,7); (54,70) II) Celá čísl ).(4-5) ) [.(4-5) ]. 8 5).[(4-5) ] 6).[(4-5) ]. 8

2 7) (-4)(-5)(-) : (-10) 8) [(-5).(-6) : 15] : (-) 9) - - {- [ - - ( )]} 10)1 - { [ - - ( 5 )]} 11) [ - - ( 5 )] 1)1 [ ( 5 )] 1) [ - 5.( - ) + 4 ]( ) 14)[ - 5.( - + ) 4 ]( ) 15) [ - 5.( - + ) ] 4.( ) 16)- 5.( - ) + 4.( ) 17) ) (-) - (-). (-1.5) 19) 0) 1) ) ) 4) 5) [ ( ) ] 6)[ ( ) ] III) Rcionální čísl 7) 1 5 (1 + 4 ) : ) 16 ( 11 6 ) 8 0)18 6 8)14 6 : (1 4 8 ) 1 19 ( 9 ) : ) ( 0 1 ) (8 9 : 4 6 ) ) 1 ( ) ( ) 4 ) ) ) 7) 9) ( ) 7 11 : 1 6 ( : 6 14 ) : (9 8 1) ) ( 5 4 ) ( 5 14 ) 4 8) ) ( ) ( 9 11 ) ) rozkld n prvočinitele, ) 8 960; 4 10; 4 840; 9 648; ) 44 4) -40 5) 100 6) 16 7) 4 8) -1 9) 0 10) 6 11) -4 1) 0 1) 18 14) ) ) 5 17) 18) ) 14 0) 17 1) -9 ) 11 ) -17 4) 6 5) 1 6) -7 7) 5 / 5 8) 9) - 16 / 11 0) 487 / 54 1) - 7 / 18 ) 8 / 0 ) -5 4) 0 5) 6 / 7 6) 1 / 6 7) 9 / 8 8) -10 9) 4 / 1 40) -0

3 Některá čísl je dobré znát:

4 Příkldy 1) (9 0,) = Výsledky: 6 684,4 ) = ) ( 4 4 ) = ) Porovnej hodnoty > ) 0,04: 5 = 0,04 6) ( 4 ) 0,008 = 0 = 0,15 7) Částečně odmocni ) Zpiš číselným výrzem urči hodnotu: Podíl podílu čísel rozdílu čísel druhé mocniny dvou. 4,5 9) Urči hodnotu výrzu ( b + 1) c pro hodnoty proměnných 1 = 1 1 ; b = ; c = 6. = ) Zjednoduš výrz: ( 5x 4 + 0,x 0,10x + 0,4x +,6) (0,7x 5 + x 4 1,x ) (1,07x 5 5,4x 4 ) (0,x x 0,4x + 4). 1,77x 5,6x 4 +,098x + 0,8x 1,4 11) 4uv ( u v 5 + uv ) = 4u v + 4u v 5 1) Pro která x se hodnot zlomku rovná nule? x 9 x+4. ± 1) Pro která x se hodnot součinu (6x 1) bude rovnt ); b)-; c)0? 14) Užitím vzorců uprv: c 4 5 = (u ) = (x 5) (x + 5) = ) 1 ; b) 5 ; c) 1 6 (c + 5)(c + 5)(c 5); u 4u + 4; x 45 15) Uprvte n součin: x 10xy + 5y = ( x 5y) 16) Pro které hodnoty proměnné má výrz smysl? u u 1 ; x 4 5 ; 1+4 ) u ± ; b) vždy; c) > 17) Pro jké x je výrz 5x x 4 smysl? 18) k 7 Zjednoduš lomený výrz: ) b) x x x x (x 0,5). 19) Vynásob: ) rs 5s 5s r 0) Vyděl: ) u 4 u +u u ; ) kldný, b) záporný, c) roven nule, d) nemá r+6s s+r ; 1) 1 ( m +m + 1 m ) ) 1 ( 5 1 ) 4 ) 5b c 9 5b c : 4b c ) ( 5) k + k ; k k+ k 9 b)( xy y x x). x y x b) (1+ b + 1+ b ) (+1 b ). b) ( ) + ( 1 ) ( 5 ) ) ( ; 0) (4; ); b) (0; 4); c) 0; d) 4 ) k 1 k 9 ; b) x (x 0,5) ; x 0,5 ) s; r s; r 5s; b) x; x y; x 0 ) u ; u 0; u ; b) b; 0; b 0; 1 16, m , ± 5 ) c 9,,b,c 0 b) 44 00

5 ) ROVNICE, NEROVNICE, SLOVNÍ ÚLOHY Příkldy 1) 6(x + ) 5( x) = (x 4) Výsledky 4 ) 7 [5 ( x)] = (1 x) NŘ ) x 7[x 6(x 5)] = 6(6x 5) R 4) 5(x 1) (x + ) = (x + ) 7(6x 1) 4 5) 5x + 1 7x = 1 x ) x + 5 x = x x 7) x + 1 x x x 8 = 11 8 x 8) x 1 + x + 1 = 5x + 4 x 1 9) x x 9 = 1 x + 1 x 1 NŘ NŔ R { ; } 10) x y = 18; 6x + 5y = [ ; 4] 11) x + 7y 4 x + 8y = 1; x + 4y 4x 5y = 4 7 [ 5; ] 1) (x ) (x + ) = y + 5, 6 x y+5 5 = [x, 5x 5] 1) (5x 6) (x 4) (4x ) + 8x(x ) 44 (, ) 14) x x > x x 5 15) x 5x 8 < x ) Tři zákldní školy nvštěvuje celkem 678 žáků. Do první dochází o 1 žáků více do třetí o 108 méně než do druhé školy. Kolik žáků nvštěvuje jednotlivé školy? 17) Klkulčk byl nejprve zlevněn o 10%, potom ještě 14%. Po dvojím zlevnění stál 87 Kč. Jká byl původní cen? 18) Z Brn do Hlinsk je 117 km. Z obou měst vyjel ve stejné době po téže trse proti sobě dvě ut. Auto z Brn jelo rychlostí 75 km/h uto z Hlinsk rychlostí 55 km/h. Z jkou dobu se ut potkl? 19) Nádrž se nplní dvěm přívody součsně z 4 hodiny. Prvním přívodem by se nplnil z 1 hodin. Z jk dlouho by se nplnil druhým přívodem? 0) Kolik litrů 60% roztoku soli kolik litru 40% roztoku soli je třeb k vytvoření litrů 55% roztoku NŘ R 76, 55, Kč 54 minut 6 hodin 1,5 litru 60% roztoku

6 Slovní úlohy ) o pohybu zápis formou tbulky rychlost dráh čs zkoušk!!! objekt A objekt B objekt C, přípdně dlší Porovnání, sestvení rovnice, kontrol jednotek Z měst vyrzil cyklist rychlostí 0km/h 10 minut po něm z ním vyjel utomobil rychlostí 60km/h. Jk dlouho jel cyklist, než ho utomobil dohonil jk dleko od měst to bylo? (0 min., 10km) rychlost dráh čs cyklist 0 km/h 0x (km) x (hod) utomobil 60 km/h 60 (x 1/6) (km) x 1/6 (hod) pohyb z sebou rovnjí se dráhy Z míst A do míst B vyjel cyklist rychlostí 0km/h z 10 minut vyjel z míst B do míst A druhý cyklist stejnou rychlostí. Z jk dlouho od výjezdu prvního cyklisty se potkli, jestliže vzdálenost mezi místy A B je 55 km? (z 1 hodinu) rychlost dráh čs 1. cyklist 0 km/h 0x (km) x (hod). cyklist 0 km/h 0 (x 1/6) (km) x 1/6 (hod) vzdálenost AB pohyb proti sobě celkem 55 km součet drh se rovná celkové vzdálenosti b) společná práce zápis formou tbulky čs nutný n odvedení celé práce díl práce z jednotku čsu skutečná dob práce objekt A objekt B objekt C (příp. dlší) podíl n splnění celé práce, skutečně odprcovný díl, zkoušk!!! sestvení rovnice buď ve. nebo 5. sloupci: kontrol jednotek!!! součet je roven části práce odpovídjící jednotce čsu součet = 1 při účsti škodiče použít odčítání Prvním přítokem se bzén nplní z 1 hodin, druhým z 8 hodin. Z jk dlouho nplníme bzén, jestliže druhý přítok otevřeme ž po dvou hodinách práce prvního přítoku? ( 6 hodin) potřebuje k nplnění z jednu hodinu skutečná dob podíly n práci

7 1. přítok 1 hod. 1/1 (bzénu) x (hod.) x/1. přítok 8 hod. 1/8 X - (x-)/8 x/1 + (x-)/8 = 1 První přítok npustí bzén z 10 hodin, druhý z 1 čerpdlo vyčerpá bzén z 15 hodin. Jk dlouho budeme npouštět bzén oběm přítoky, jestliže je pustíme součsně z dvě hodiny potom omylem zpneme odčerpávání? (si 7 hodin 5 minut) potřebuje k nplnění z jednu hodinu skutečná dob podíly n práci 1. přítok 10 hod. 1/10 (bzénu) x (hod.) x/10. přítok 1 hod. 1/1 x x/1 čerpdlo 15 hod. 1/15 - (x )/15 x/10 + x/1 (x-)/15 = 1 c) směsi zápis formou tbulky celkov obsh látky A obsh látky B totéž pro é mn. dlší složky v % v kg, l, v % v kg, l, směsi směsí zkou šk!!! směs I. směs II. směs III. (příp. dlší) výsledná směs porovnt součty pro jednu (pro kontrolu obě) látky kontrol jednotek Kolik grmů 90procentního roztoku soli kolik grmů 50procentního roztoku soli je třeb smícht, bychom získli 100 grmů roztoku, ve kterém je 60 grmů soli? (5 75 grmů) celkem (v grmech) obsh soli obsh vody Zkoušk!!! v % v g v % v g roztok I. x 90 0,9 x 10 0,1 x roztok II x 50 0,5 (100-x) 50 0,5 (100-x) výsledný rovnice buď 0,9x + 0,5 (100-x) = 60 nebo 0,1 x + 0,5 (100-x) = 40 Mořská vod má 5% soli. Kolik destilovné vody přidáme k 40 kg mořské vody, by obsh soli klesl n %? (60 kg) celkem obsh soli obsh vody Zkoušk!!! (v kg) v % v kg v % v kg mořská vod , , destilovná v. x x výsledek 40 + x 0,0 (40 + x) 98 0,98 (40 + x) rovnice buď 0, = 0,0 (40 + x) nebo 0, x = 0,98 (40 + x)

8 ) GEOMETRIE V ROVINĚ (podrobněji n )

9

10

11 ostroúhlý, tupoúhlý Mnohoúhelníky (podrobněji n webu.. ) obecný b c + b c - b c + + = 180 výšky v vb vc ortocentrum V těžnice t tb tc těžiště T, : 1 osy strn o ob oc kruž. opsná střed So, r n = trojúhelník osy úhlů o o o kruž. vepsná střed Sv, V, T, So, Sv vzájemně různé body rovnormenný = b c v = vb vc vzorce: v b v c v b c S = s s s s b s c s = 1 /. ( + b + c ) S = 1 / b sin = 1 / c sin = 1 / b c sin = t = tb tc v c = t c = o c = o = o (os souměrnosti) V, T, So, Sv o řešení: rozdělení n dv shodné prvoúhlé trojúhelníky rovnostrnný: = b = c = = = 60 v = vb = vc, t = tb =tc splývjí v, t obě osy V = T = So = Sv existují osy souměrnosti vzorce: v =, r =, = 6, S = 4

12 právě 1 dvojice rovnoběžných strn prvoúhlý nerovnormenný odvěsny b přepon c úseky n přeponě c, cb c = c + cb úhly:, = 90 -, = 90 výšky: v = b, vb =, vc vzorce: Pyth. vět Euklidovy věty vc = c.. cb c = + b = c. c b = c. cb goniometrické funkce sin = cos = /c ( = c / = vc /b ) sin = cos = b /c ( = vc / = cb /b ) tg = cotg = /b ( = c /vc = vc /cb ) tg = cotg = b / ( = cb /vc = vc /c ) rovnormenný obsh S = b / ( = 90 ) = b c c =. = = 45 v c = t c = o c = o = o (os soum. dlší rr prv. tr.) V, T, So, Sv o Thletov kr. kr. vepsná: CT S vt b je čtverec pol. kružnice vepsné: tc = + = c / = c /.( -1) = (1- /) n =4 čtyřúhelník obecný ( různoběžník žádná dvojice rovnoběžných strn ) b c d + + = 60 lichoběžník zákldny c, c rmen b d, b d vnitřní úhly + = + = 180 přilehlé střední příčk s = ( + c ) / obsh S = s.v = ( + c ). v / lichoběžník rovnormenný zákldny c, c rmen b d, b = d vnitřní úhly =, = osově souměrný o = oc = o lichoběžník prvoúhlý pod rovnoběžníky AD = BC = ( c ) /

13 prvoúhelníky rovnoběžníky obě dvojice protějších strn jsou rovnoběžné shodné úsečky kosodélník ( b ) c = c b d b = d vnitřní úhly =, = + = + = 180 přilehlé výšky v = vc vb = vd úhlopříčky e, f : vzájemně se půlí, průsečík S je střed souměrnosti kosočtverec ( spec. přípd kosodélníku, má všechny jeho vlstnosti + : ) = b = c = d úhlopříčky e, f : jsou n sebe kolmé půlí úhly při vrcholech jejich průsečík je střed kružnice vepsné vzorce: Pyth. Eukl. věty v prvoúhlých tr., gon. funkce S =. v =. = e. f / obdélník ( spec. přípd kosodélníku, má všechny jeho vlstnosti + : ) vnitřní úhly všechny prvé výšky v = b vb = úhlopříčky e, f : stejně dlouhé e = f = u jejich průsečík je střed kr. opsné ( nejsou kolmé, nepůlí úhly ) vzorce: P. v., E. v., gon. f. u = b r = u / S =. b = 1 / u. sin čtverec ( spec. přípd obdélníku, má všechny jeho vlstnosti + : ) úhlopříčky: stejně dlouhé jsou kolmé půlí úhly úhly 45 mezi strnou úhlopř. jejich průsečík je střed kr. opsné i vepsné vzorce: u =. r =. / = / S = = u /

14 zvláštní čtyřúhelníky lichoběžník prvoúhlý zákldny c, c rmen b d vnitřní úhly = = 90 + = 180 deltoid = b c = d úhlopříčky e f e f e - os souměrnosti půlí úhly při vrcholech B, D skládá se ze dvou rovnormenných tr. čtyř prvoúhlých tr., dv dv shodné čtyřúhelník tětivový + = + = 180 obvodové Ptolemiov vět c + bd = e. f S = s s s b s c s d, s = 1 /. ( + b + c + d ) čtyřúhelník tečnový + c = b + d S =. s n 4 (konvexní) n-úhelník pro všechny pltí jen dv vzorce: součet velikostí vnitřních úhlů su = ( n - ). 180 počet úhlopříček pu = 1 /. n. ( n - ) prvidelný n-úhelník lze mu kružnici opst i vepst So = Sv lze jej rozložit n n shodných rovnormenných trojúhelníků A1AS,... středové úhly A1S A = = / n poloměr kr. opsné r = poloměr kr. vepsné = /. sin ( / n) /. tg ( / n)

15 Kružnice, kruh Kružnice k (S;r) je množin všech bodů X roviny, které mjí od bodu S vzdálenost r. S - střed kružnice r - poloměr kružnice AB = d - průměr kružnice; d =.r k (S, r) = kružnice k se středem v bodě S poloměrem r Množin všech bodů roviny, jejichž vzdálenost od bodu S je menší než r nebo se rovná r, se nzývá kruh. S - střed kruhu, r - poloměr kruhu AB = d - průměr kruhu; d =.r M, N - body kruhu, N vnitřní bod K (S, r) = kruh K se středem v bodě S poloměrem r Kružnice k(s, r) ohrničuje kruh K(S, r). Thletov vět Jestliže ABC je prvoúhlý s přeponou AB, pk vrchol C (prvý úhel) leží n kružnici k s průměrem AB (pltí pro libovolný ). (Tháles z Milétu si př. n. l., řecký filosof, mtemtik stronom) Thletov kružnice - kružnice opsná prvoúhlému Thletov kružnice je tková kružnice, která má střed uprostřed přepony prvoúhlého trojúhelníku poloměr rovný polovině přepony.

16

17

18 Příkldy 1) ) Existuje rovnormenný trojúhelník o strnách, cm 5 cm? b) Vypočítejte zbývjící vnitřní vnější úhly trojúhelník ABC : α = 7 41, β = c) Vypočítejte velikosti vnitřních úhlů trojúhelník ABC, jsou-li v poměru : 5 : 5. Jký je to tr.? d) Obvod trojúhelník A 1B 1C 1, který je tvořen středními příčkmi trojúhelník ABC, je 4,7 cm. Vypočtěte obvod trojúhelník ABC ) Odvěsny prvoúhlého trojúhelníku ABC s prvým úhlem při vrcholu C mjí délky 1 cm 18 cm. Vypočtěte velikost ostrých úhlů délku přepony trojúhelník ABC. ) V rovnormenném trojúhelníku ABC má zákldn c = 1 cm rmen délku 7 cm. Vypočtěte velikosti vnitřních úhlů tr. výšku n zákldnu. 4) V prvoúhlém trojúhelníku ABC s prvým úhlem při vrcholu C je úhel α = 8 délk přepony c = 18, cm. Vypočtěte délku odvěsny b. 5) Určete délky strn velikosti vnitřních úhlů prvoúhlého trojúhelník ABC s přeponou c, je-li obsh trojúhelník 4,46 cm strn = 5,8 cm. ) no, jeden b) α = 15 19, β = 100, = 5 17, = c) 0, 75, rr. d) x větší 40 ; ,6 cm 1 ;,6 cm 14,4 cm b = 17,4 m; c = 1,1 cm; α = 56, β = 4 1 6) Strny obdélníku mjí délky v poměru : 5. Jk velké úhly svírjí úhlopříčky se strnmi obdélník? 7) V lichoběžníku ABCD (AB CD) je dán delší zákldn = 56, cm, výšk v c = 6,7 cm b = = 0 cm, α = 60 β = 48, které svírjí rmen se zákldnou AB. 6,9 cm d =,1 Vypočítejte délku druhé zákldny CD velikost rmen BC AD. cm 8) Kosočtverec má obsh S = 867 cm, poměr jeho úhlopříček je e : f = : 4, 51, 0,6,. Vypočtěte velikosti úhlopříček, jeho strny výšky. 8, 9) Vypočítejte délku strny obsh prvidelného sedmiúhelníku, je-li délk 9,05cm, jeho nejkrtší úhlopříčky u = 16, cm. 97,5cm 10) Vypočtěte obsh kruhové úseče, jejíž tětivou je strn prvidelného 0,4cm osmiúhelník vepsného do kružnice o poloměru r =,5 cm. 11) Obsh kruhové výseče je S = 15, cm, délk jejího oblouku je l = 6 cm. 5,1, 67 Vypočítejte poloměr kruhu příslušný středový úhel. 1) Vypočtěte obsh plochy omezené třemi shodnými vzájemně se vně 1,45 cm dotýkjícími kružnicemi s poloměry r = cm. 1) Tětiv MN v kružnici k příslušná středovému úhlu MSN 1 má od středu 0 cm S kružnice vzdálenost 8 mm. Vypočítejte poloměr kružnice. 14) Vypočítejte velikost úhlu, který svírjí tečny vedené z bodu M ke kružnici k, 0 která má střed v bodě S poloměr 6 cm. SM = 1 cm. 15) Štít chty má tvr rovnormenného trojúhelník se zákldnou,1 m,95 m rmenem,8 m. Kolik čtverečných metrů prken je nutno koupit k zbednění dvou štítů, počítá-li se s 5,5 % odpdu? 16) Přímá železniční trť má stoupání 16 promile. Pod jkým úhlem stoupá? 1 17) Lnovk má přímou trť pod úhlem 40, její délk je 870 metrů. Jký je 559 m, 666 m výškový rozdíl mezi dolní horní stnicí jká je jejich vodorovná vzdálenost? 18) Kolik schodů je třeb n schodiště, které má sklon 6 0, je vysoké 15 metrů jednotlivé schody jsou široké 7 cm? 19) Fotblová brnk je široká 7 metrů vysoká metry. Znčk pokutového kopu je od brnky vzdálen 11 metrů. ) Jký střelecký úhel má k dispozici střelec, který kope pokutový kop? b) Pod jkým největším úhlem do výšky může vystřelit fotblist, který kope pokutový kop, by brnku nepřestřelil? c) Pod jkým úhlem musí vystřelit fotblist, který kope pokutový kop, by trefil prvý horní roh brány? d) Jk dleko od znčky je vzdálen roh brnky? 0) Z okn ležícího 8 m nd horizontální rovinou vidíme vrchol věže ve výškovém úhlu 5 0 v hloubkovém úhlu Jk vysoká je věž? 75 ) 5 0, b) 10 10, c) 9 50 d) 11,7 m 50, m

19 4) KONSTRUKČNÍ ÚLOHY Množiny bodů dné vlstností (podrobněji n ) Množinou M všech bodů dné vlstnosti V rozumíme tkový geometrický útvr G, jehož všechny body splňují následující dvě podmínky: 1) Kždý bod útvru G má dnou vlstnost V ) obráceně, kždý bod, který má dnou vlstnost V, je bodem útvru G.

20

21 Příkldy (řešené úlohy 1) Sestrojte obdélník ABCD, je-li dán strn = 7 cm úhlopříčk AC = 8,5 cm. ) Sestrojte kosočtverec ABCD, je-li AC =10 cm, BD =6 cm. ) Sestrojte lichoběžník ABCD (AB CD), je-li: = 7 cm, c = cm, = 75, v = 5 cm. 4) Sestrojte lichoběžník ABCD (AB CD), je-li: = 8 cm, c = 4 cm, d = 5 dm, = 75. 5) Sestrojte lichoběžník ABCD (AB CD), je-li: = 7 cm, c = cm, IBDI = 6 dm, ABD = 45. 6) Sestrojte prvidelný šestiúhelník o strně = 4 cm. 7) Sestrojte prvidelný osmiúhelník, který je vepsán kružnici o poloměru r = 4 cm. 8) Sestrojte trojúhelník ABC ( = 5 cm, b = 5,5 cm, c = 6 cm). Opište mu kružnici. 9) Sestrojte trojúhelník ABC, ve kterém = 40, b = 4 cm, c = 5 cm. 10) Sestrojte trojúhelník ABC, ve kterém = 40, = 60, c = 8 cm. 11) Sestrojte trojúhelník ABC, ve kterém c = 8 cm, v c = 4 cm, b = 5 cm. 1) Sestrojte trojúhelník ABC, jestliže b= 6 cm, = 4,5 cm, v b= cm. 1) Sestrojte trojúhelník ABC, jestliže c = 5 cm, v c = cm, t c = cm 14) Sestrojte trojúhelník ABC, ve kterém c = 7 cm, = 60, t c = 4 cm. 15) Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dán délk strny b = 5 cm, v b = 4 cm poloměr kružnice opsné r =,5 cm. 16) Sestrojte prvoúhlý trojúhelník ABC s prvým úhlem při vrcholu C, je-li c = 6,6 cm, v c = cm. 17) Sestrojte prvoúhlý trojúhelník ABC, ve kterém přepon c = 7 cm odvěsn b = 5,5 cm. 18) Je dán kružnice k(s; cm). N polopřímce SX zvolte bod M, tk by ISMI = 5 cm. Z bodu M sestrojte tečnu ke kružnici, njděte bod dotyku T. 19) Sestrojte trojúhelník, je-li dáno: ) = cm, b = 6 cm, = 0 b) c = 7,cm, = 60, = 15 c) c = 8 cm, = 45, = 70 0) Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: ) = 4, cm, v = 5 cm, = 0 b) c =,8 cm, b = 5,1 cm, t c = 5,1 cm c) * b = cm, t c =,5 cm, t = 4 cm (Návod: Využijte vlstnosti těžiště.)

22 5) ZNÁMÁ TĚLESA krychle (1 údj) čtverec obdélník trojúhelník prvoúhlý, rovnostrnný kvádr ( údje) u U u c obdélník, úhlopříčk v obdélníku trojúhelník prvoúhlý, Pythgorov vět u1 b prvidelný čtyřboký hrnol ( údje) u U v čtverec obdélník úhlopříčk čtverce, obdélníku trojúhelník prvoúhlý, Pythgorov vět u1 prvidelný trojboký hrnol ( údje) v trojúhelník rovnostrnný, rovnormenný obdélník úhlopříčk obdélníku prvidelný pětiboký hrnol ( údje) u u1 v prvidelný pětiúhelník trojúhelník rovnormenný prvoúhlý goniometrické funkce obdélníky

23 prvidelný šestiboký hrnol ( údje) us U1 U v prvidelný šestiúhelník trojúhelník rovnostrnný prvoúhlý obdélníky u = prvidelný čtyřboký jehln ( údje) v b čtverec trojúhelník rovnormenný prvoúhlý goniometrické funkce (odchylky) prvidelný trojboký jehln ( údje) b v trojúhelník rovnostrnný, rovnormenný, prvoúhlý prvidelný čtyřstěn (1 údj) vt rovnostrnný trojúhelník obsh výšk těžiště T vs prvidelný šestiboký jehln ( údje) v b trojúhelník rovnostrnný (obsh výšk) rovnormenný, prvoúhlý

24 r rotční válec ( údje) o v kružnice, kruh obdélník S d rotční kužel ( údje) s o v s kružnice, kruh, kruhová výseč trojúhelník rovnormenný, prvoúhlý d r řez koulí r1 koule (1 údj) h1 r d r h d v r O v S r1 kružnice, kruh, prvoúhlý trojúhelník

25 Přehled vzorců hrntá čtverec u =. r =. / = / S = = u / krychle S = 6 V = U =. čtverec (obdélník, prvoúh. rs. tr.) obdélník u = + b S = b = 1 / u. sin prvoúhlý tr. v c = c.. c b b = c. cb = c. c c = + b sin = /c sin = cos = b /c tg = /b kvádr S = (b + bc + c) V = bc U = + b + c obdélník (prvoúhlý trojúh.) S =.b rs. tr. obecný tr. rovnoběžník v = r = S= S = = 4 6 z v s s s = 1 /. ( + b + c ) S = 1 / b sin = 1 / c sin = 1 / b c sin S = z. v s s b s c S = d. sin S = 1 / ef. sin hrnol V = Sp. v S = Sp + Spl podstv: trojúhelník obecný, rr, rs, prvoúhlý čtverec, obdélník, rovnoběžník, kosočtverec, lichoběžníky prv. n-úhelník boční stěny: obdélník, čtverec kosočtverec lichoběžník ob. lichoběžník rr. = ( e ) + ( f ) S =. v =. = e.f S = +c. v = s. v s = +c S = +c. v b = d = v + ( c ) prv. n- úhelník n rr. trojúhelníků, = 60 n jehln Sp.v V = S = Sp + Spl podstv: trojúhelník obecný, rr, rs, prvoúhlý čtverec, obdélník, rovnoběžník, kosočtverec, lichoběžníky prv. n-úhelník boční stěny: trojúhelník většinou rr (rs, obecný, prvoúhlý)

26 kultá kružnice, kruh části kružnice, kruhu prvoúhlý tr. kružnice, kruh o = r S = r l = r 60. φ Sv = r 60. φ Sú = Sv St = r. φ r. sinφ 60 v c = c.. c b = c. c b = c. cb c = + b sin = /c sin = cos = b /c tg = /b S =.b o = r S = r válec kužel koule V = Sp. v V = r.v S = Sp + Spl S = r.(r+v) podstv: kruh (kr. výseč, úseč) plášť : obdélník (kruhový oblouk) Sp.v V = V = r.v S = Sp + Spl S = r + rs = r.(r+s) podstv: kruh plášť : kruhová výseč prvoúhlý trojúh. V = 4 πr S = 4 r části kružnice, kruhu prvoúhlý tr. l = r 60. φ Sv = r 60. φ Sú = Sv St = r. φ r. sinφ 60 c = + b sin = /c sin = cos = b /c tg = /b S =.b kulová ploch S = 4 r dutá koule V = 4 π(r 1 r )

27 Příkldy 1) Zmenšíme-li hrny krychle o 0 %, má krychle povrch cm. Vypočítejte původní délku hrny krychle její objem., ) Kolik čtverečních metrů plechu spotřebuje klempíř n výrobu expnzní nádoby ústředního vytápění tvru krychle nhoře otevřené s hrnou délky 75 cm? ) Podstv kvádru má tvr obdélníku s délkou,6 m šířkou, m. Výšk kvádru je jednou osminou obvodu podstvy. Vypočítejte objem kvádru povrch kvádru. 4) Nákldní uto o nosnosti 5t má ložnou plochu o rozměrech,9m,1m. Do jké výšky bychom ho mohli nložit mokrým pískem, by nebyl překročen nosnost, má-li 1m písku hmotnost 000kg? 5) Vypočítejte objem povrch prvidelného ) čtyřbokého b) trojbokého hrnolu, je-li dáno: Sp = 16cm, v = 10cm. 6) Vypočítejte hmotnost broušeného skleněného hrnolu o výšce 1 dm, jehož podstv je prvoúhlý rovnormenný trojúhelník s odvěsnmi délky cm. Hustot skl je 500 kg.m - 7) Hrnol s kosočtvercovou podstvou má jednu úhlopříčku podstvy 0cm podstvnou hrnu 6cm. Podst. hrn je s výškou hrnolu v poměru :. Vypočítejte objem hrnolu. 8) Povrch vody v bzénu tvoří obdélník o délce 50 m šířce 1m. Hloubk vody stoupá rovnoměrně od 1m n jednom konci bzénu do m n druhém konci bzénu (delší strny). Určete množství vody v bzénu v hektolitrech. 0 cm, cm,81 5 m 6,864 m,,96 m 0,m ) 160 cm, 19cm b) 160 cm, 14,6cm 9) Vypočtěte objem prvidelného trojbokého jehlnu ABCV, je-li dáno : Sp = dm, AV = 5 dm (nebo dm). Vyjádřete i v jiných jednotkách ) Střech n věži má tvr prvidelného šestibokého jehlnu. Jeho podstvná hrn měří 1,5 metru boční hrn má od roviny podstvy odchylku Kolik m plechu je třeb n její pokrytí, počítáme-li n odpd s 8 % nvíc? 11) Plášť rotčního válce, rozvinutý do roviny, je čtverec o obshu S = 0,81 m. Určete poloměr r výšku v. 1) Silniční válec má průměr podstvy 1, metru délku m. Při jízdě jedním směrem se otočí 100 krát. ) Jk dlouhou cestu tímto pohybem válec uválcuje? b) jk velkou plochu cesty tímto pohybem uválcuje? 1) Vypočtěte strnu rotčního kužele, je-li objem kužele 11,76 π cm poloměr podstvy,8 cm 14) Nákldní uto uveze 5 m písku. Vejde se n jeho korbu písek, který je složen n hromdě tvru kužele o průměru podstvy 4 metry výšce 1 metr? 15) Vypočtěte objem povrch koule, je-li: povrch koule v cm číselně roven objemu koule v cm. 16) Kolik stojí pochromování nádoby tvru polokoule o průměru 0 cm zevně i zevnitř, stojí-li 1 cm 4,50 Kč? ) tloušťku stěny znedbejte, b) počítejte přesně tloušťk stěny je mm. 17) Jk dlouhý vývlek čtvercového průřezu se strnou 180mm bude potřeb k vykování desky 50mm široké, 100mm tlusté 800mm dlouhé, počítáme-li s % odpdem? 18) Ze dvou koulí o poloměrech r 1 = 1 cm, r = 5 cm je ulit jedn koule. Určete její poloměr povrch. 19) Do koule o poloměru r = 14 cm je vepsán kvádr, jehož rozměry jsou v poměru 1::. Vypočítejte, jkou částí objemu koule je objem kvádru. 0) V rotčním válci je dutin tvru kužele, přičemž podstvy obou těles jsou společné výšky též. Vypočtěte objem tohoto těles, jestliže válec i kužel mjí stejné obshy plášťů poloměr podstvy válce je cm. 11,5 g 1870 cm 1 000hl 0,69 l nebo 1 / 6 l b = 5, m 5,1 m r = 0,14 m; v = 0,9 m ) 76,8 m; b) 75,6 m 5, cm no, protože písku je 4, m 11,097 cm, 11,097 cm ) 87,4 cm 17,45 Kč b) 808, Kč 65,8mm přibližně 5 cm, S = 16 cm 1,88% v =, V =,648 cm