Finanční matematikou rozumíme soubor obecných matematických metod uplatněných v oblasti financí. Základní pojmy ve finanční matematice:

Transkript

1 1 Úvod Fnanční ateatkou rozuíe soubor obecných ateatckých etod uplatněných v oblast fnancí. Základní pojy ve fnanční ateatce: 1. Úrok je cena půjčky. Věřtel, který půjčku poskytne, s účtuje úrok jako cenu za rzko, které takto podstupuje. Z hledska dlužníka je úrok cena, kterou za půjčku (jako za jný předět obchodu) zaplatí. 2. Úroková íra je výše úroku uvedená v procentech za určté období, nejčastěj za rok. Např., 5% p.a. značí úrok 5 procent, který bude přpsán na konc roku. 3. Míra zsku (výnosnost, výnosové procento) je úroková íra většnou na roční báz realzovaná př nvestování. 4. Doba splatnost (úroková doba) je doba, po kterou je kaptál uložen č zapůjčen. 5. Úrokové období je doba, na jejíž konc je přpsán úrok z vkladu. Obecně neusí být stejně dlouhé jako doba splatnost. 6. Úročení je způsob výpočtu úroku. Z hledska doby splatnost dělíe úročení na jednoduché, složení a síšené. Z hledska doby výplaty úroků rozdělujee úročení na předlhůtní (antcpatvní) a polhůtní (dekursvní). 2 Jednoduché úročení Předpoklady: úrokové období je jeden rok, doba splatnost bývá obvykle kratší než jeden rok, je-l delší, počítáe pak úrok ze stále stejného počátečního kaptálu (nepočítáe tedy úroky z úroků). Výpočet jednoduchého úroku u = P t (1) kde P je základní kaptál pro výpočet úroku (výše půjčky), je úroková íra vyjádřená desetnný čísle a t je čas v letech, po které je základní kaptál uložen (půjčen). Ze vzorce (1) je zřejé, že závslost výše úroku na čase je lneární. Vzorec (1) lze také přepsat do tvaru u = P p k , 1

2 kde p je úroková íra jako počet procent za rok, k je počet dní. Pro vyjádření doby splatnost ve dnech se v evropských zeích používají tzv. standardy: ACT/365 (anglcký standard) znaená, že každý ěsíc á skutečný počet dní (ACT) a rok á 365 dní v roce ACT/360 (francouzský standard) znaená, že každý ěsíc á skutečný počet dní (ACT) a rok á 360 dní v roce 30E/360 (něecký standard) znaená, že každý ěsíc á 30 dní a rok á 360 dní v roce Výpočet úroku poocí úrokových čísel(uc) a úrokového děltele (UD): UC = P k 360, UD = 100 p u = P k p = UC UD. Tohoto způsobu výpočtu úroku se používá př účtování na běžných a kontokorentních účtech, a př výpočtech splatných částek sěnek. 2.1 Jednoduché polhůtní úročení Zde je navíc předpokládáno, že příslušný úrok je vyplacen na konc doby splatnost. Základní rovnce jednoduchého polhůtního úročení: S = P + u = P (1 + t) = P (1 + p k ), (2) kde S je splatná částka a P je základní kaptál (půjčka). Současná a budoucí hodnota kaptálu Vzhlede k nflac se hodnota peněz v čase ění. Př výpočtech, kde potřebujee porovnávat fnanční částky v různých časech, je pravdle vztahovat všechny tyto částky k jednéu časovéu okažku. Je-l títo časový okažke teď, nazývají se hodnoty přepočtených částek současný hodnota. Jestlže jsou částky přepočítány do nějakého budoucího časového bodu, nazývají se pak jejch hodnoty budoucí hodnota. V případě jednoduchého úročení je tedy splatná částka S budoucí hodnotou počátečního kaptálu P a, naopak, kaptál P je současnou hodnotou splatné částky S. 2

3 2.2 Jednoduché předlhůtní úročení Zde je, na rozdíl od předchozí podkaptoly, předpokládáno, že úrok je vyplacen hned na začátku doby splatnost. Takový úrok se nazývá dskont (značíe D) a počítá se ze splatné částky S. Částka P je rovna částce S snížené o dskont. Příslušná úroková íra se nazývá dskontní íra d. Výpočet dskontu: Výpočet splatné částky D = Sdt P = S(1 dt) = S(1 p D ), (3) kde p D je dskontní íra v procentech a t z zbytková doba splatnost ve dnech. Vztah ez polhůtní úrokovou írou a dskontní írou d získáe porovnání částek S ze vzorců (2) a (3). Obdržíe vztahy = d 1 dt d = t z 1 + t, (4) které nacházejí využtí př porovnání výhodnost krátkodobých půjček, anž bycho usel počítat splatné částky. 3 Aplkace jednoduchého úročení Jednoduchého úročení je v prax využíváno v polhůtní dskontní prncpu. Krátkodobé cenné papíry (doba splatnost kratší než jeden rok) bývají před svou dobou splatnost obchodovány na dskontní prncpu, zatíco př tvorbě uzávěrek běžných č kontokorentních účtů se používá polhůtního úročení. 3.1 Aplkace jednoduchého úročení s dskontní prncpe Pokladnční poukázky, depoztní certfkáty Cena P těchto krátkodobých cenných papírů před dobou splatnost se vypočte podle vzorce P = S(1 dt), (5) kde S je nonální hodnota cenného papíru, d je roční dskontní íra. 3

4 Sěnky Cena sěnky S D před dobou splatnost se opět vypočte podle vzorce (5), kde S je sěnečná částka (ozn. S), která je vždy uvedena přío na sěnce. Pro sěnku tedy platí S D = SC(1 dt) = S(1 p D ). Chcee-l zjstt, jaká bude celková vyplacená částka v den eskontu za více sěnek s různý sěnečný částka a různý zbytkový doba splatnost př stejné dskontní íře, pak je pro výpočet dskontu výhodnější pracovat s úrokový čísly a úrokový děltele. Pro -tou sěnku, = 1,..., n bude výše dskontu rovna pro celkový dskont pak D = S.t z p D = UC UD, t z D = n=1 UC UD = p n=1 D S.t z Vyplacenou částku za všechny sěnky dohroady pak vypočtee poocí vzorce n n n=1 UC S D = S UD =1 =1 n = S p n=1 D S.t z =1 = Určení střední doby splatnost t S a středního data splatnost T S sěnek: p D =1 S.(t S t z ) = p nj=1 D S j.(t zj t S ) t S = =1 S t z + n j=1 S j t zj =1 S + n j=1 S j. T S = datu eskontu + t S. 4

5 3.2 Aplkace polhůtního úročení V této podkaptole bude ukázáno na příkladech, jak se provádí uzávěrka běžného a kontokorentního účtu na konc roku. Předpokládá roční úročení, tj. patřčný úrok je na účet přpsán na konc roku. Veškeré úroky budou počítány poocí úrokových čísel a úrokových děltelů. Běžné účty Exstují tř způsoby, jak provádět uzávěrku na běžné účtu: 1. Zůstatkový způsob Zůstatky na účtu jsou úročeny vždycky za dobu, po kterou skutečně na účtu ležely. Pro úrok u, který bude na konc roku přpsán na účet, platí př úrokové íře u = n=1 UC UD, kde UC, = 1,..., n jsou úroková čísla za -tou dobu, po kterou ležel zůstatek na účtu. Př standardu 30E/360 určíe počet dní za každé -té období podle vztahu 30(M 2 M 1 ) + D 2 D 1. (6) 2. Postupný způsob Úroky z jednotlvých položek jsou počítány za dobu od data, kdy se na účtu objevly (toto datu nepočítáe) až do konce roku. U položek ze sloupce Dal budou ít příslušná úroková čísla kladné znaénko, u položek ze sloupce Má dát záporné znaénko. Př standardu 30E/360 se počty dní opět počítají podle vzorce (6). Výše úroku přpsaného na účet na konc roku pak ční UCDal UC Mdt u =. UD 3. Zpětný způsob Postup výpočtu úroku je opačný než u v předchozí případě. Úroky jsou počítány od zvoleného data epochy (např. 1.1.) až do data zěny na účtu, znaénka úrokových čísel pro položky Dal jsou záporná a pro položky Má dát kladná. Úrokové číslo náležející zůstatku ze dne á však kladné znaénko. Celkový přpsaný úrok bude UCMdt UC u = Dal +UC UD. Konečný zůstatek dostanee sečtení zůstatku ze dne a vypočteného úroku u. 5

6 Kontokorentní účet Na takové účtu je krátkodobě povoleno přejít z kladných zůstatků na záporné, je tedy o jakous půjčku ze strany banky nazvanou kontokoretní úvěr. Další pojy: úvěrový ráec (UR) - axální povolený debet (záporný zůstatek) na účtu kredtní úrok - úrok z kladných zůstatků přpsaný ve prospěch ajtele účtu debetní úrok - úrok ze záporných zůstatků, které nejsou větší než sjednaný úvěrový ráec pohotovostní provze - náklady vznklé v důsledku sjednaného, avšak nečerpaného úvěru; patří se pohotovostní provze z nečerpaného úvěrového ráce (NU) provze za překročení úvěrového ráce (PR) - sankční úrok přesto, že překročení bylo povoleno Výpočty: Provádíe uzávěrku na konc roku s tí, že c je kredtní úroková íra, d debetní úroková íra a dále znáe procentuální sazby pohotovostní provze z nečerpaného úvěru p NU a sankčního úroku překročení úvěru p P R. Kredtní a debetní úroky se vypočítají zůstatkový způsobe (vz předchozí podkaptola), pohotovostní provze z nečerpaného úvěrového ráce podle vzorce u NU = t t.ur 100 j=1 U j 100 UD a provze za překročení úvěrového ráce se spočítá poocí vztahu u P R = t j=1 U j 100 t.ur 100 UD 4 Složené úročení Předpoklady: počáteční kaptál ve výš K 0, úrokové období je roční, doba splatnost je n roků, kde n je celé kladné číslo, úroky jsou přpsány vždy na konc roku př roční úroková íře, tj. jedná se o polhůtní složené úročení. Předlhůtní složené úročení neá v prax využtí, nebudu se jí tedy zabývat. Odvození základní rovnce polhůtního složeného úročení: 6

7 Rok Stav na konc roku 1 K 1 = K 0 (1 + ) 2 K 2 = K 1 (1 + ) = K 0 (1 + ) 2 3 K 3 = K 2 (1 + ) = K 0 (1 + ) n K n = K 0 (1 + ) n Základní rovnce pro složené úročení je uvedena v poslední řádku, tedy K n = K 0 (1 + ) n, (7) kde K n je splatná částka na konc n-tého roku. Částky K, = 1,..., n na konc -tého roku tvoří geoetrckou posloupnost s kvocente 1 +, který se nazývá úrokovací faktor nebol úročtel. Interpretace úročtele: budoucí hodnota jednotkového kaptálu na konc roku Z hledska času je částka K n budoucí hodnotou počátečního kaptálu K 0 a, naopak, částka K 0 je současnou hodnotou splatné částky K n. Současnou hodnotu K 0 vypočítáe ze základní rovnce (7): 1 K 0 = K n (1 + ) n = K 1 n( 1 + )n, 1 podíl 1+ se nazývá dskontní faktor nebol odúročtel. V lteratuře se často značí jako v, tj. v = 1 1 +, K 0 = K n v n, a je nterpretován jako současná hodnota jednotkového kaptálu počítaná za období jednoho roku. 4.1 Složené úročení s častější přpsování úroků Předpoklady: počáteční kaptál ve výš K 0, doba splatnost je tvořena více úrokový období kratší než jeden rok, jejchž počet je vyjádřen celý kladný čísle, úroky jsou přpsány vždy na konc úrokového období př roční úrokové íře. Příklady úrokových období ( značí počet úrokových období v jedno roce): 7

8 Úrokové období roční 1 pololetní 2 čtvrtletní 4 ěsíční 12 týdenní 52 denní 365 Je-l úrokové období kratší než jeden rok a je-l roční úroková íra, usíe ve výpočtech tuto úrokovou íru vydělt příslušnou hodnotou. Odvození splatné částky na konc n-tého roku: Část roku () 1 K 1 2 K 2 3 K n Stav kaptálu na konc část roku = K 0 (1 + ) K 1 = K 1 (1 + ) = K 0(1 + )2 = K 2 (1 + ) = K 0(1 + )3 = K 2 (1 + ) = K 0(1 + ) 1 K = K 0(1 + ) = K 1 K 2 K 3 K n = K 0 (1 + )2 = K 2 = K 0 (1 + )3 = K 3 = K 0(1 + )n = K n V poslední řádku tabulky naleznee rovnc pro výpočet splatné částky po n letech. 4.2 Síšené úročení Předpoklady: počáteční kaptál ve výš K 0, doba splatnost zde není vyjádřena celý kladný čísle, je dána jako součet celého počtu úrokových období (n ) a zbytku (l), který je kratší než jedno úrokové období, po dobu n jsou úroky přpsovány vždy na konc úrokového období a v další období znovu úročeny, pouze na konc doby splatnost (za dobu l) se úročí jednoduše, uvažujee roční úrokovou íru. Splatná částka př síšené úročení K n = K 0 (1 + )n (1 + l), 8

9 kde n = n + l. 4.3 Efektvní úroková íra, úroková ntenzta Efektvní úroková íra e je roční úroková íra, která poskytne za jeden rok stejný úrok jako roční úroková íra s častější přpsování úroků. Platí 1 + e = (1 + ) e = (1 + ) 1. Je-l úrokové období nekonečně alé, tj. budou-l úroky přpsovány spojtě, platí 1 + e = l 0 (1 + ) = l 0 [(1 + 1 ) ] = e e = e 1 Efektvní úroková íra odpovídající spojtéu úročení se nazývá úroková ntenzta. Splatná částka př spojté úročení: K n = K 0 e n. Využtí efektvní úrokové íry: př porovnávání úrokových ěr s různou frekvencí přpsování úroků. Př častější přpsování úroků je odpovídající efektvní úroková íra rostoucí, svého axa dosahuje v případě spojtého úročení. 4.4 Nonální a reálná úroková íra Nonální úroková íra - přío napsaná ve slouvách, v nabídkách bankovních produktů nebo přío na cenných papírech (dluhopsech). Reálná úroková íra - úroková íra, k jejíuž určení se počítá s írou nflace. Máe-l počáteční kaptál K 0, bude splatná částka za jeden rok př nonální roční úrokové íře čnt podle (2) K 1 = K 0 (1 + ). Uvažujee-l íru nflace, bude platt: 9

10 1 K 0 (1 + ) = K 0 (1 + r ), 1 + kde r je reálná úroková íra. Úpravou rovnce dostanee vztah = r + + r, zvaný Fsherova rovnce. Součn r se někdy pro svoje nízké hodnoty zanedbává a Fsherova rovnce se zapsuje ve zkrácené tvaru. = r Hrubá a čstá výnosnost Hrubá výnosnost je úroková íra realzovaná př nvestování. Čstá výnosnost je hrubá výnosnost snížená o daň. Je-l d daňová sazba, hrubá výnosnost, pak čstá výnosnost je = (1 d). Čstý konečný kaptál je v případě jednoduchého úročení vyjádřen jako v případě složeného úročení K n = K 0 [1 + (1 d)t], K n = K 0 [1 + (1 d)] n. 5 Investční rozhodování Základní pojy: 1. hodnota peněz - nezůstává v čase stejná, ění se vlve nflace nebo írou zsku 10

11 2. fnanční toky (cash flows) - realzované nebo očekávané pohyby peněžních prostředků v různých časových okažcích nvestčních projektů, dělíe je na příjy - fnanční toky s kladný znaénke výdaje - fnanční toky se záporný znaénke 3. nvestce - je systé fnančních toků rozložených v čase, př výpočtech obvykle vztahujee všechny fnanční toky k jednou časovéu bodu, tzv. referenčníu datu, přčež použjee úročení, jdee-l časově dopředu (zajíají nás budoucí hodnoty) a dskontování př pohybu dozadu (zajíají nás současné hodnoty) 4. ocenění nvestce - poocí nvestčních pravdel určíe, zda je vhodné nvestovat č ne pravdla pro ocenění nvestc: pravdlo (čsté) současné hodnoty pravdlo vntřní íry výnosnost pravdlo doby návratnost 5. hodnotová rovnce - rovnce, v níž porovnáváe dané fnanční toky vztažené k referenčníu datu a řešíe podle příslušné neznáé. 5.1 Pravdlo současné hodnoty Nechť C 0, C 1,..., C n jsou fnanční toky vztažené k určté nvestc, kde C 0 značí počáteční výdaj (pořzovací cenu nvestce) a je požadovaná úroková íra požadovaná nvestore v rác nvestc se srovnatelný paraetry. Pak současná hodnota (present value, PV) fnančních toků C 1,..., C n je P V = n C n j (1 + ) j=1 j = j=1 C j v j Pravdlo současné hodnoty spočívá v porovnání hodnot P V a C 0 a podle toho, která z hodnot je větší, se doporučuje nvestovat nebo nenvestovat. je-l P V > C 0, pak nvestuj, je-l P V < C 0, pak nenvestuj, je-l P V = C 0, pak nelze podle tohoto pravdla rozhodnout. Započítáe-l do sočasné hodnoty také částku C 0, dostanee tzv. čstou současnou hodnotu (net present value, NPV): 11

12 n C n j NP V = (1 + ) j = C j v j j=0 Pravdlo čsté současné hodnoty: je-l NP V > 0, pak nvestuj, je-l NP V < 0, pak nenvestuj, je-l NP V = 0, pak nelze podle tohoto pravdla rozhodnout. j=0 5.2 Pravdlo vntřní íry výnosnost Vntřní íra výnosnost je odhadována z rovnce n j=0 C j (1 + ) j = 0, a následně porovnána s írou zsku běžně dostupnou na kaptálové trhu v rác nvestc se srovnatelný paraetry. Př použtí tohoto pravdla záleží také na průběhu funkce popsující závslost čsté současné hodnoty na íře zsku. Proto je-l > a zároveň je NPV (na levé straně rovnce výše) klesající funkcí íry zsku, pak nvestuj je-l < a zároveň je NPV rostoucí funkcí íry zsku, pak nvestuj 5.3 Pravdlo doby návratnost Doba návratnost je doba, za kterou postupně splatí kuulované příjy nvestovaný kaptál. Př použtí tohoto pravdla preferujee nvestc s nejkratší dobou návratnost. Vypočtenou dobu návratnost porovnáváe se znáou dobou návratnost v rác stejného typu nvestce. 5.4 Investční krtéra Investoř př výběru vhodné nvestce sledují zpravdla následující tř hledska: 1. výnosnost, s níž souvsí ocenění nvestce dle tří pravdel výše 12

13 2. rzko (bývá vyjádřeno sěrodatnou odchylkou, exstují různé stupnce rzka) 3. lkvdtu, tj. rychlost, s jakou lze nvestc zpět proěnt v hotovost. Tato tř krtéra se většnou vzájeně vylučují, proto usí nvestor udělat ez n kopros. Výnosnost nvestce vždy bývá spjata s rzke, že jí nedosáhnee. Příslušné rzko ůže nabývat určtých hodnot vypočtených jako sěrodatné odchylky od průěrné výnosnost. Pro lepší představu o rzkovost jednotlvých typů nvestc exstuje stupnce rzka např.: neovtost, drahé kovy, starožtnost pokladnční poukázky, peněžní vklady, státní oblgace, kounální oblgace depoztní cetfkáty, podílové lsty, pojstky sěnky, prortní akce obyčejné akce terínové obchody Jednotlvé typy nvestc jsou seřazeny podle rostoucího rzka. Podobně jako pro rzko, exstuje také stupnce lkvdty: peněžní prostředky (tuzeské, devzy, valuty) zlato, vklady, pokladnční poukázky, podílové lsty depoztní certfkáty, oblgace, akce kotované na burze oblgace a akce nekotované na burze neovtost, starožtnost, podnkatelské projekty Uvedené nvestce jsou seřazeny od těch vysoce lkvdních až po nejéně lkvdní. 6 Spoření Cíle této kaptoly je odvodt potřebné vztahy pro výpočet naspořených částek. Předpoklady: určtou částku ukládáe v pravdelných časových ntervalech (na počátku nebo na konc) po dobu jednoho nebo několka úrokových období. Zajíá nás, jak velká bude konečná naspořená částka, případně jakou část z ní zaujíají úložky a úroky z nch. Rozlšujee částku uloženou (součet všech úložek) a částku naspořenou (součet částky uložené a příslušných úroků). Z hledska počtu úrokových období dělíe spoření na krátkodobé a dlouhodobé, případně kobnované. Podle toho, spoříe-l stanovenou částku na počátku pravdelného časového ntervalu nebo na jeho 13

14 konc, luvíe o spoření předlhůtní nebo polhůtní. Kobnací těchto výše uvedených rozlšení získáe několk typů spoření, jejchž splatné částky budou odvozeny v následujících podkaptolách. 6.1 Krátkodobé předlhůtní spoření Předpoklady: částku ve výš x Kč ukládáe na počátku každé -tny daného úrokového období (tj. úroky budou přpsány až na konc úrokového období) př úrokové íře. Odvození naspořené částky S x : Pořadí úložky Doba splatnost úložky Úrok ( 1) 1 1 ( 1) 3 ( 2) 1 1 ( 2) Hodnoty úroků z jednotlvých úložek (ve třetí sloupc tabulky) tvoří artetckou posloupnost s dferencí d = 1.. Sečtení těchto hodnot dostanee výš celkového úroku: u = x +1 2 Částka uložená ční x Kč, částka naspořená S x pak je ( ) S x = x + x +1 2 = x ( ) Výraz vyjadřuje naspořenou částku, ční-l uložená částka 1 Kč, tj. ukládáel pravdelně počátke každé -tny úrokového období částku 1 Kč. 6.2 Krátkodobé polhůtní spoření Předpoklady: částku ve výš x Kč ukládáe na konc každé -tny daného úrokového období př úrokové íře. Odvození naspořené částky S x Pořadí úložky Doba splatnost úložky Úrok ( 1) 2 ( 2) 1 1 ( 2) 3 ( 3) 1 1 ( 3)

15 Hodnoty úroků z jednotlvých úložek tvoří opět artetckou posloupnost s dferencí d = 1. Celkový úrok á hodnotu u = x 1 2 Částka uložená ční x Kč, částka naspořená S x pak je ( ) S x = x + x 1 2 = x ( ) Výraz vyjadřuje naspořenou částku, ční-l uložená částka 1 Kč, tj. ukládáel pravdelně počátke každé -tny úrokového období částku 1 Kč. 6.3 Dlouhodobé předlhůtní spoření Předpoklady: spoříe částku a Kč na začátku zvoleného úrokového období po dobu n úrokových období (tj. úroky z úložek jsou znovu úročeny) př úrokové íře. Odvození naspořené částky S : Pořadí úložky Počet období, po která je úložka úročena Hodnota úložky na konc n-tého období 1 n a(1 + ) n 2 (n 1) a(1 + ) n 1 3 (n 2) a(1 + ) n 2... n 1 a(1 + ) Hodnoty ve třetí sloupc tabulky) tvoří geoetrckou posloupnost s kvocente q = (1 + ). Sečtení těchto hodnot dostanee přío výš naspořené částky: S = a(1 + ) (1 + )n 1 (8) Výraz (1 + ) (1+)n 1 se nazývá střadatel předlhůtní a lze jej nterpretovat jako naspořenou částku, kterou získáe, spoříe-l na počátku každého úrokového období 1 Kč po dobu n úrokových období př úrokové íře. Označení: (1 + ) (1+)n 1 = s n Zkrácený záps rovnce (8): S = as n 15

16 6.4 Dlouhodobé polhůtní spoření Předpoklady: spoříe částku a Kč na konc zvoleného úrokového období po dobu n úrokových období př úrokové íře. Odvození naspořené částky S : Pořadí úložky Počet období, po která je úložka úročena Hodnota úložky na konc n-tého období 1 n 1 a(1 + ) n 1 2 (n 2) a(1 + ) n 2 3 (n 3) a(1 + ) n 3... n 0 a Hodnoty ve třetí sloupc tabulky) tvoří geoetrckou posloupnost s kvocente q = (1 + ). Sečtení těchto hodnot dostanee opět výš naspořené částky: S = a (1 + )n 1 (9) se nazývá střadatel polhůtní a lze jej nterpretovat jako naspořenou částku, kterou získáe, spoříe-l na konc každého úrokového období 1 Kč po dobu n úrokových období př úrokové íře. Označení: = s n Výraz (1+)n 1 (1+) n 1 Zkrácený záps rovnce (9): S = as n Vztah ez střadatele předlhůtní a polhůtní: s n = (1 + )s n 6.5 Kobnace krátko- a dlouhodobého spoření Předpoklady: částku ve výš x Kč ukládáe buď na počátku nebo na konc každé -tny daného úrokového období po dobu n úrokových období (tj. úroky jsou přpsány na konc každého úrokového období) př úrokové íře. Odvození naspořených částek: do konce prvního úrokového období naspoříe na prncpu krátkodobého spoření částky S x a S x. Na obě částky pak pohlížíe jako na úložky př dlouhodobé polhůtní spoření trvající n úrokových období. Příslušné vztahy pro naspořenou částku v předlhůtní a polhůtní případě jsou následující: 16

17 ( S = x ) 2 s n ( S = x ) 2 s n 7 Důchody Důchode rozuíe systé plateb realzovaných v pravdelných časových ntervalech. V této kaptole budou odvozeny současné hodnoty určtých typů důchodů a v některých případech o budoucí hodnoty. Předpoklady: částka a, která se též nazývá anuta, je vyplácena v pravdelných časových ntervalech. U důchodů nás zajíá předevší jeho současná hodnota D, která je rovna součtu všech současných hodnot jednotlvých budoucích plateb. Počítá se též koncová hodnota důchodu jakožto budoucí hodnota všech výplat. Místo úrokového období je zde zaveden poje výplatní období. Důchody lze rozlšovat podle několka hledsek: dle celkové doby výplat - důchod dočasný a věčný dle toho, je-l výplata uskutečněna na začátku č na konc pravdelného ntervalu - důchod předlhůtní a polhůtní dle toho, odkdy se s výplata začíná - důchod bezprostřední a odložený dle toho, je-l výplatní období dlouhé právě jeden rok nebo je kratší než jeden rok - důchody roční a področní 7.1 Důchod dočasný Předpoklady: částka a Kč je vyplácena po dobu n výplatních období Důchod bezprostřední předlhůtní roční Předpoklady: částka a Kč je vyplácena od nynějška počátke každého roku př úrokové íře. Odvození současné hodnoty bezprodstředního předlhůtního důchodu: Pořadí výplaty Současná hodnota 1 a 2 a.v 3 a.v 2.. n a.v n 1 17

18 Sečtení hodnot v pravé sloupc tabulky dostanee současnou hodnotu důchodu PV: 1 (1 + ) n P V = a(1 + ) = a 1 vn v = a 1 vn, (10) d kde v = 1 1+ je dskontní faktor z kaptoly 4 a d je dskontní íra z kaptoly 2.2. Výraz 1 vn d se jenuje zásobtel předlhůtní, značíe ho a n nebo ä n a lze jej nterpretovat jako současnou hodnotu důchodu s anuta ve výš 1 Kč vyplácený počátke každého roku po dobu n let př úrokové íře. Zkrácený záps pro vztah (10): P V = a.ä n = a.a n. Vztah pro budoucí hodnotu důchodu se odvodí jako součet plateb úročených ke konc n-tého roku: F V = a(1 + ) (1 + )n 1 Tento vztah také vyjadřuje hodnotu naspořené částky pro dlouhodobé předlhůtní spoření. Pro výraz (1 + ) (1+)n 1 exstuje druhé označení (první bylo s n), a sce s n Důchod bezprostřední polhůtní roční Předpoklady: částka a Kč je vyplácena od nynějška konce každého roku př úrokové íře. Odvození současné hodnoty bezprodstředního polhůtního důchodu: Pořadí výplaty Současná hodnota 1 av 2 a.v 2 3 a.v 3.. n a.v n Sečtení hodnot v pravé sloupc tabulky dostanee současnou hodnotu důchodu PV: 1 (1 + ) n P V = a = a 1 vn (11) Výraz 1 vn se jenuje zásobtel polhůtní, značíe ho a n nebo a n a lze jej nterpretovat jako současnou hodnotu důchodu s anuta ve výš 1 Kč vyplácený konce každého roku po dobu n let př úrokové íře. 18

19 Zkrácený záps pro vztah (11): P V = a.a n = a.a n. Vztah pro budoucí hodnotu důchodu se odvodí jako součet plateb úročených ke konc n-tého roku: F V = a (1 + )n 1 Tento vztah je stejný jako vztah pro hodnotu naspořené částky v případě dlouhodobého polhůtního spoření. Pro výraz (1+)n 1 exstuje též druhé označení (první bylo s n), a sce s n. Výpočet počtu výplatních období n: Ze vzorce (11) pro n dostanee a ) n = ln(1 P V ln(1 + ). Aby ěl výraz v čtatel zloku sysl, usí platt 1 P V a a > P V. > 0, odtud je Hodnoty n tedy jsou n = { ln(1 P V a ) ln(1+) je-l a > P V, je-l a P V Důchod bezprostřední předlhůtní področní Předpoklady: částka a Kč je vyplácena od nynějška počátke každé -tny roku př úrokové íře, výplatní (úrokové) období je právě jedna -tna roku. Odvození současné hodnoty PV: Pořadí výplaty Současná hodnota 1 a 2 a.v 1 3 a.v 2.. n a.v (n 1) Současná hodnota důchodu PV je: 19

20 P V = a 1 (1 + ) n 1 (12) kde výraz 1 (1+ ) n 1 se značí sybole ä n a ůžee jej nterpretovat jako současnou hodnotu jednotkového důchodu vypláceného počátke každé -tny roku po dobu n let př úrokové íře. Zkrácený záps pro současnou hodnotu: P V = a.ä n. Budoucí hodnota důchodu FV: F V = a(1 + )(1 + )n 1 = a s n Důchod bezprostřední polhůtní področní Předpoklady: částka a Kč je vyplácena od nynějška konce každé -tny roku př úrokové íře, výplatní (úrokové) období je právě jedna -tna roku. Odvození současné hodnoty PV: Pořadí výplaty Současná hodnota 1 a.v 1 2 a.v 2 3 a.v 3.. n a.v n Současná hodnota důchodu PV je: P V = a 1 (1 + ) n (13) kde výraz 1 (1+ ) n se značí sybole a n a ůžee jej nterpretovat jako současnou hodnotu jednotkového důchodu vypláceného konce každé -tny roku po dobu n let př úrokové íře. Zkrácený záps pro současnou hodnotu: P V = a.a n Budoucí hodnota důchodu FV: F V = a (1 + )n 1 = as n 20

21 Pro področní důchody exstují ještě přblžné vztahy. Pro předlhůtní důchody přblžně platí P V. = a( )a n F V. = a( )s n Pro polhůtní področní důchody přblžně platí P V. = a( )a n F V. = a( )s n Jestlže budee zkracovat výplatní období délky 1 až na nulu, dostanee případ spojtého důchodu, pro jehož současnou a budoucí hodnotu platí: 7.2 Důchod věčný n P V = a F V = a 0 n 0 e t dt = a (1 e n ) e t dt = a (en 1) Předpokládeje, že platby v hodnotě a Kč jsou vypláceny v pravdelných ntervalech stále (do nekonečna), proto je věčný důchod ltní případe všech předchozích uvedených typů důchodů. Uvedu vztah pro výpočet současné hodnoty věčného bezprostředního ročního důchodu předlhůtního a polhůtního. Pro předlhůtní důchod platí P V = a + av + av 2 + = a 1 1 v = a d, kde d je je dskontní íra z kaptoly 2.2. Jný přístup k odvození současné hodnoty je poocí lty: vn P V = l a1 n d Pro polhůtní důchod dostanee vztahy = a d P V = av + av = av 1 v = a, 21

22 7.3 Důchod odložený vn P V = l a1 n Na rozdíl od bezprostředního důchodu zde budee předpokládat období v délce k výplatních období, o které budou jednotlvé platby opožděny. Současnou hodnotu odloženého důchodu získáe dskontování současných hodnot všech výše uvedených důchodů. V případě področních důchodů je třeba dskontovat o k výplatních období. = a Příklady odložených důchodů a jejch současné hodnoty: 1. dočasný roční předlhůtní důchod P V = av k 1 vn d = a k ä n 2. dočasný roční polhůtní důchod P V = av k 1 vn = a k a n 3. dočasný področní předlhůtní důchod P V = av k 1 (1+ ) n dočasný področní polhůtní důchod P V = av k 1 (1+ ) n 5. věčný předlhůtní důchod P V = avk d 6. věčný polhůtní důchod P V = avk Využtí důchodů: splácení dluhu, výpočty pojštění 8 Splácení úvěrů Předpoklady: dluh ve výš D splácíe polhůtní roční anuta ve výš a př neěnné roční úrokové íře. Splátka (a) se skládá z úroku (U) a úoru (M), platí a = U+M a vypočtee j ze vztahu (11), tj. a = D 1 v n. 22

23 Pro splácení dluhů se sestavují uořovací plány, což jsou tabulky obsahující stav dluhu za jednotlvá období, hodnoty úroků, úorů a anut. Uořovací plán pro splácení dluhu se stejný splátka: Rok Splátka Úrok Úor Stav dluhu 0 D = a.a n 1 a a(1 v n ) a.v n a.a n 1 2 a a(1 v n 1 ) a.v n 1 a.a n 2 3 a a(1 v n 2 ) a.v n 2 a.a n n 1 a a(1 v 2 ) a.v 2 a.v n a a(1 v) a.v 0 n.a n.a D D - V prax často nastane případ, že poslední splátka je enší než všechny předchozí. Předpokládeje, že tuto nžší splátku uhradíe v (n + 1)-ní roce a označíe j b. Pro současnou hodnotu úvěru tedy platí D = av + av av n + bv n+1 Počet roků, po které je úvěr splácen určíe ze vztahu (11): n = ln(1 D. a ) ln v a pro výš poslední splátky áe b = 1 v n D a v. n+1 Uořovací plán pro splácení dluhu s nestejný splátka, ale s konstantní úore : Je-l počet období pro splácení dluhu n, bude výše úoru čnt D n. Rok Splátka Úrok Úor Stav dluhu 0 D = n. D n D 1 n (.n + 1) n. D n. D D n n (n 1) D 2 n [(n 1) + 1] (n 1). D n. D D n n (n 2) D 3 n [(n 2) + 1] (n 2). D n. D D n n (n 3)..... D n 1 n (2 + 1) 2 D n. D D n n D D n n ( + 1) n. D n 0 ( ) D n D n+1 2. D - 23

24 8.1 Hypotéční úvěr Tento úvěr bývá poskytován v souvslost s pořízení neovtost, která slouží jako zástava po dobu splácení úvěru. Velkost poskytnuté půjčky je v současné době až sto procent, dříve banky poskytovaly axálně 70 procent z požadované částky. Úvěr se poskytuje na dobu 5-30 let a bývá obvykle splácen ěsíční anuta, jejchž výš vypočtee ze vztahu (13), tj. P V = a 1 (1 + ) n. Pokud jde o úrokovou íru, exstuje dnes ožnost j zafxovat na určtý počet roků, konkrétně na 1-15 let, výječně až na 30 let. Za určtých podínek lze využít státní podpory (dotace), jejíž výše závsí na velkost úrokové íry pro hypotéční úvěry, vz následující tabulku: Úroková íra Podpora > 10% 4% > 9% 3% > 8% 2% > 7% 1% < 7% 0 Podpora se vyjadřuje v procentech a vypočte se jako rozdíl ez splátka odpovídající sjednané úrokové íře a úrokové íře snížené o procenta z podpory. Státní podpora se poskytuje na dobu axálně 10 let a neusí se vztahovat na celou výš půjčky. To však záleží na typu pořzované neovtost a také na to, je-l do půjčky zahrnuta též cena pozeku. Podpora se tedy vztahuje na půjčky ve výš 1,5 l. Kč na výstavbu nebo koup rodnného doku s jední byte 2 l. Kč na výstavbu nebo koup rodnného doku se dvěa byty Kč za 1 2 celkové podlahové plochy bytu, nejvýše však Kč na jeden byt v bytové doě s více než dvěa byty Kč za 1 2 celkové podlahové plochy bytu, nejvýše však Kč na jeden byt, pokud přístavbou, vestavbou, půdní nástavbou nebo stavební úprava vznkne nový byt s podlahovou plochou nejéně V prvních třech případech je ožné podporu uplatnt na částku zvýšenou o dalších Kč, je-l hypotéční úvěr použt též na nákup pozeku, 24

25 na něž se á nová neovtost nacházet. Toto zvýšení platí bez ohledu na počet bytů v doě. Výpočet splátky př uplatnění státní podpory: Nechť D je výše poskytnutého hypotéčního úvěru a D p jeho část, na nž se bude uplatňovat státní podpora. Nechť je úroková íra zafxovaná na celou dobu splácení úvěru po dobu n let a s je úroková íra snížená o procenta z přznané podpory. Splátky úvěru budou realzovány vždy konce každého ěsíce. Teoretcky pro hodnoty D a D p platí: D > D p. Nechť D > D p. Pak výslednou anutu a ůžee spočítat dvěa způsoby: 1. Poocí vztahu (13) vypočtee anutu a 0 pro celkový dluh D: a 0 = D 1 (1+ ) n. Pro dluh D p vypočítáe splátku a př úrokové íře a splátku a p př snížení úrokové íře s. Rozdíl a a p pak vyjadřuje absolutní výš podpory. Tuto hodnotu poto odečtee od splátky a 0, číž obdržíe splátku a sníženou o přznanou státní podporu. a = D p 1 (1+ ) n D p a p = 1 (1+ s ) n s a = a 0 (a a p ) 2. Dluh D rozdělíe na část D p, na kterou se bude vztahovat státní podpora a na část D D p, na n se podpora nevztahuje. Pro obě část dluhu vypočítáe anuty a p a a b s příslušný úrokový íra a poté je sečtee. a p = D p 1 (1+ s ) n s a b = D D p 1 (1+ ) n 25