a logaritmickou funkci a goniometrické funkce. 6.1 Násobení řad. Podívejme se neprve na násobení mnohočlenů x = x x n a y = y y n.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "a logaritmickou funkci a goniometrické funkce. 6.1 Násobení řad. Podívejme se neprve na násobení mnohočlenů x = x x n a y = y y n."

Transkript

1 Matematická aalýza II předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Semestr letí Nekoečé řady fukcí V šesté kapitole pokračujeme ve studiu ekoečých řad. Nejprve odvozujeme základí tvrzeí o součiech řad (která později využijeme při odvozováí základích vlastostí expoeciálí a goiometrických fukcí). Poté zavádíme pojmy ekoečé řady fukcí a její bodové a stejoměré kovergece. V dalším odstavci probíráme mocié řady, které jsou základím příkladem ekoečých řad fukcí. Pomocí mociých řad pak v posledím odstavci defiujeme ěkteré elemetárí fukce: expoeciálí a logaritmickou fukci a goiometrické fukce. 6.1 Násobeí řad. Podívejme se eprve a ásobeí mohočleů x = x x a y = y y. Podle distributivího zákoa máme pro = 1 x y = x 1 y 1, = 2 x y = (x 1 y 1 ) + (x 1 y 2 + x 2 y 2 + x 2 y 1 ) (oproti předchozímu součiu přibyl součet x 1 y 2 + x 2 y 2 + x 2 y 1 ). Pro dva trojčley dostaeme = 3 x y = (x 1 y 1 + x 1 y 2 + x 2 y 2 + x 2 y 1 ) + (x 1 y 3 + x 2 y 3 + x 3 y 3 + x 3 y 2 + x 3 y 2 ) (tedy oproti ásobeí dvojčleů přibyl součet x 1 y 3 + x 2 y 3 + x 3 y 3 + x 3 y 2 + x 3 y 2 ). Jistě bychom yí byli schopi apsat které čley přibudou ásobíme-li dva -čley, toho za chvíli využijeme. Obdobě postupujeme i v případě součiu ekoečých řad. Uvažme dvě řady x a y s posloupostmi částečých součtů (s ) a (t ). Máme s t = (x 1 + x x )(y 1 + y y ) = x 1 y 1 + +x 1 y 2 + x 2 y 2 + x 2 y 1 +x 1 y 3 + x 2 y 3 + x 3 y 3 + x 3 y 2 + x 3 y 1 (6.1.1). +x 1 y + x 2 y + + x 1 y + x y + + x y 1 + x y x y 1. Posloupost (u ) = (s t ) je tedy posloupostí částečých součtů řady z, kde z = x 1 y + x 2 y + + x 1 y + x y + (6.1.2) + x y 1 + x y x y 1. Jestliže yí existují limity s = lim s a t = lim t, pak existuje i limita lim u a je rova st. Dokázali jsme tedy Věta 6.1. Necht čley řady z jsou určey předpisem (6.1.2). Kovergují-li řady x a y, pak koverguje i řada z a platí z = x y. (6.1.3) Řada z z předchozí věty se azývá (obyčejý) souči řad x a y. Věta 6.2. Necht řada z, je tvořea součiy x i y j, i, j N uspořádaými v libovolém pořadí. Pak jestliže řady x a y absolutě kovergují, koverguje absolutě i řada z a platí z = x y. (6.1.4) 6-1

2 Nekoečé řady fukcí D ů k a z. Tvrzeí, že řada z koverguje při libovolém uspořádáí čleů x i y i plye z absolutí kovergece řad x, y a věty Zbývá tedy dokázat vztah (6.1.4). Protože, jak už víme, uspořádáí čleů řady z její součet ezměí, předpokládejme, že čley poslouposti (z ) jsou uspořádáy takto: (z ) = (x 1 y 1, x 1 y 2, x 2 y 2, x 2 y 1, x 1 y 3, x 2 y 3, x 3 y 3, x 3, y 2, x 3 y 1, ). Jelikož řady x a y kovergují absolutě, pak podle věty 6.1 koverguje i řada z, tvořeá čley z = x 1 y + x 2 y + + x 1 y + x y + + x y 1 + x y x y 1 Posloupost částečých součtů této řady je vybraou posloupostí z poslouposti částečých součtů řady z, která má ezáporé čley a koverguje. Řada z tedy koverguje absolutě. Tím je věta dokázáa. Důsledek 6.3. Jestliže řady x a y absolutě kovergují, pak absolutě koverguje i řada z, kde z = x 1 y + x 2 y x y 1 a platí z = x y. Řada z z předchozího tvrzeí se azývá Cauchyho souči řad x a y. Uvažujme dvě geometrické řady p a q, Cauchyho souči řad saději pochopíme uspořádáme-li si všechy součiy p i q j kde i, j N do ekoečě velké,,tabulky pq p 2 q p 3 q p 4 q pq 2 p 2 q 2 p 2 q 3 pq 3 p 3 q 2 pq 4 Cauchyho souči q p, porovej s defiicí, je řada z jejíž čley jsou z 1 = pq (čle v levém horím rohu), z 2 = p 2 q + pq 2 (druhá diagoála zprava do leva), dále z 3 = p 3 q + p 2 q + pq 3 (třetí diagoála), až obecě z = p q + + pq. To může být velmi výhodé, jak uvidíme u mociých řad. Ale již yí, pokud by p = q, dostaeme z = p Nekoečé řady fukcí. Necht Y X R. Uvažujeme posloupost ( f ) fukcí f : X R. Symbol f azýváme ekoečou řadou fukcí, určeou posloupostí ( f ). Posloupost (h ) fukcí h : X R, defiovaou předpisem h = f 1 + f f, azýváme posloupostí částečých součtů řady f. Jestliže je posloupost částečých součtů (h ) a možiě Y bodově kovergetí, azýváme řadu f bodově kovergetí a možiě Y. Obor kovergece poslouposti (h ) azýváme oborem kovergece řady f. Je-li Z X obor kovergece řady f, pak fukci f : Z R takovou, že pro každé x Z platí f (x) = f (x) azýváme součtem řady f. Je-li posloupost (h ) a možiě Y stejoměrě kovergetí, azýváme řadu f stejoměrě kovergetí a možiě Y. Necht X = R \ {0} a f : X R, f (x) = /x. Najděme obor kovergece řady f. Necht x X. Použijeme podílové kritérium (věta 5.21) a řadu / x platí ( + 1) x lim x = lim = 1 x x.

3 Matematická aalýza II 6-3 Je-li tedy 1/ x < 1, řada / x koverguje, a tedy řada /x koverguje absolutě. Je-li 1/ x > 1 řada / x, a tedy ai řada /x esplňuje utou podmíku kovergece. Řady /1 a /( 1) divergují. Oborem kovergece řady f je tedy možia (, 1) (1, ). Stejého výsledku lze dosáhout pomocí odmociového kritéria. Věta 6.4 (Cauchy-Bolzaovo kritérium). Řada f koverguje stejoměrě a možiě Y, právě když ke každému ε > 0 existuje číslo 0 takové, že pro každé a x Y platí f f 2 < ε. (6.2.1) D ů k a z. Stačí použít větu 5.8 a posloupost částečých součtů řady f. Jestliže v (6.2.1) položíme 1 = 2, dostaeme Důsledek 6.5 (utá podmíka stejoměré kovergece řady fukcí). Jestliže řada f koverguje stejoměrě a Y, pak posloupost ( f ) koverguje stejoměrě k ule a Y. Důsledek 6.6. Jestliže řada f koverguje stejoměrě a Y, pak posloupost ( k= f k ) koverguje stejoměrě k ule a Y. Věta 6.7. Jestliže řada f koverguje a Y, pak i řada f koverguje a Y a platí f f. D ů k a z. Pro každé 1 2 a x Y platí f 1 (x) + + f 2 (x) f 1 (x) + + f 2 (x) Prví část tvrzeí je tedy důsledkem věty 6.4. Druhou část dokazuje ásledující výpočet: f (x) = lim ( f 1(x) + + f (x)) lim ( f 1(x) + + f (x) ) = f (x). Jestliže řada f koverguje stejoměrě a Y (což podle věty 6.7 zameá, že řada f a Y rověž stejoměrě koverguje) říkáme, že řada a Y koverguje absolutě stejoměrě. Věta 6.8. Necht ( f ) a (g ) jsou poslouposti reálých fukcí a X. Jestliže ( f ) (g ) a řada g koverguje stejoměrě a Y, pak řada f koverguje absolutě stejoměrě a Y. D ů k a z. Řada g splňuje a Y podmíku Cauchyho-Bolzaova kritéria (věta 6.4). Ke každému ε > 0 tedy existuje číslo 0 takové, že pro každé platí g g 2 < ε. Jelikož ( f ) (g ), řada f rověž a Y splňuje podmíku Cauchyho-Bolzaova kritéria. Řada f tedy a Y koverguje absolutě stejoměrě. Jsou-li fukce g kostatí, plye stejoměrá kovergece řady g z její bodové kovergece (ověřte!). V tomto případě je použití uvedeé věty velmi výhodé (porovej s příkladem 2). Následující důležité tvrzeí je bezprostředím důsledkem věty 5.9. Věta 6.9. Necht fukce f jsou spojité a možiě Y a řada f stejoměrě koverguje k fukci f a Y. Pak fukce f je a možiě Y spojitá. D ů k a z. Stačí aplikovat větu 5.9 a posloupost částečých fukcí řady f (jak?). Důsledek Necht řada f stejoměrě koverguje a možiě Y k fukci f a echt pro každé N existuje limita lim x x0 f (x) = a. Pak řada a koverguje, limita lim x x0 f (x) existuje a platí a = lim x x 0 f (x). 6.3 Mocié řady. Výsledky předchozího odstavce aplikujeme a důležitý typ řad fukcí, a mocié řady.

4 Nekoečé řady fukcí Necht X = R, x 0 R a (a ) je posloupost reálých čísel. Defiujme posloupost fukcí f : R R předpisem f 1 = a 1, f = a (x x 0 ) 1, pro > 1. (6.3.1) Řada f se azývá mociá řada, číslo x 0 její střed, posloupost a její posloupost koeficietů. Pro = 1 a x = x 0 výraz a (x x 0 ) 1 emá smysl (číslo 0 0 eí defiováo). Proto bylo uté fukci f 1 defiovat zvlášt. Na druhou strau, abychom se apříště vyhuli epříjemostem s defiováím advakrát, domluvíme se takto: kdykoli apíšeme mociou řadu a (x x 0 ) 1, budeme mít a mysli řadu, jejíž prví čle je kostatí fukce a 1. Věta Obor kovergece mocié řady a (x x 0 ) 1 je eprázdý iterval koečé délky se středem v x 0 ebo možia R. V prvím případě je poloměr itervalu rove číslu 1/p, kde p = lim sup a, (6.3.2) ve druhém případě je p = 0. V každém vitřím bodě svého oboru kovergece mociá řada koverguje absolutě. D ů k a z. Zvolme x R. Je-li x = x 0, řada a (x x 0 ) 1 absolutě koverguje. Předpokládejme, že x x 0 a ozačme p = lim sup a. Z limitího odmociového kritéria (věta 5.23) plye, že je-li x x 0 p < 1, řada a (x x 0 ) 1 absolutě koverguje a je-li x x 0 p > 1, pak tato řada diverguje. Odtud plye, že oborem kovergece řady a (x x 0 ) 1 je iterval se středem v x 0 a poloměrem 1/p (jestliže 0 < p < ) ebo iterval (, ) (je-li p = 0) ebo iterval [x 0, x 0 ] (je-li p = ). Kovergece v kocových bodech (tedy kdy x x 0 p = 1) je pro tvrzeí epodstatá. 1) Obor kovergece mocié řady a (x x 0 ) 1 se azývá iterval kovergece této řady a jeho poloměr poloměr kovergece této řady (je-li itervalem kovergece možia R, je tedy poloměr kovergece řady rove ). Uvažujme řadu ( 1) +1 (x + 1) +1. (6.3.3) Najdeme iterval kovergece této řady. Pro x R aplikujeme odmociové kritérium a řadu x (řada absolutích hodot z (6.3.3)) (je to řada ezáporých reálých čísel). Platí lim x x + 1 = lim x + 1 = x + 1. Naše řada tedy koverguje absolutě pro x + 1 < 1, tedy pro x ( 2, 0) a diverguje pro x + 1 > 1, tedy pro x (, 2) (0, ). Poloměr kovergece této řady je tedy 1. Zbývá vyšetřit kovergeci řady pro x = 2 a 1) To zameá, že se může stát, že oborem kovergece bude z jedé stray otevřeý a z druhé stray uzavřeý iterval (porovej s příkladem za ásledujícím odstavcem).

5 Matematická aalýza II 6-5 x = 0. V prvím případě se jedá o harmoickou řadu, která diverguje, ve druhém o alterující řadu, o íž sado pomocí Leibizova kritéria zjistíme, že koverguje. Itervalem kovergece aší mocié řady je tedy iterval ( 2, 0]. Stejého výsledku lze dosáhout i pomocí podílového kritéria. Věta Mociá řada a (x x 0 ) 1 s poloměrem kovergece r koverguje stejoměrě a itervalu [x 0 p, x 0 + p] pro každé kladé p < r. D ů k a z. Podle věty 6.11 řada a p 1 koverguje absolutě. Navíc pro každý prvek x [x 0 p, x 0 + p] platí a x x 0 1 a p 1. Tvrzeí tedy plye z věty ) Důsledek Součet mocié řady a (x x 0 ) 1 je fukce spojitá ve všech vitřích bodech jejího itervalu kovergece. D ů k a z. Plye z předchozí věty a z věty Expoeciálí fukce a logaritmus. Uvažujme mociou řadu x /!. Pomocí podílového kritéria sado zjistíme (viz. příklad 5), že oborem kovergece této řady je R. Můžeme tedy defiovat fukci exp : R (0, ) 3) předpisem exp(x) = x!. (6.4.1) Tato fukce se jmeuje expoeciálí fukce. Klademe e = exp(1). Číslo e azýváme Eulerovo číslo. 4) Je-li e = exp(1), je pouhým využitím defiice fukce exp dostaeme, že 1/! = e. Následující tvrzeí shruje základí vlastosti fukce exp. Věta Fukce exp je spojitá. 2. Pro každé x, y R, platí exp(x + y) = exp(x) exp(y). 3. Fukce exp je rostoucí. 4. lim x exp(x) = a lim x exp(x) = 0. D ů k a z. 1. Plye z důsledku Máme exp(x) exp(y) = x! y! = ( ) y =! + x y 1 1!( 1)! + + x! = (( ) ( ) ( ) 1 y + x y )x! =! (x + y) (biomická věta) = exp(x + y). (důsledek 6.3 součet po diagoálách) 3. Jestliže x < y, pak pro každé N je x /! < y /!. Řady pro exp(x) a exp(y) přitom mají ezáporé čley, což zameá, že exp(x) < exp(y). Tím jsme dokázali, že fukce exp je rostoucí a itervalu [0, ). Ze vztahu exp(x) exp( x) = 1 (který plye z bodu 2.) yí sado odvodíme (jak?), že fukce exp je rostoucí i a itervalu (, 0]. 4. Podle bodu 3. je exp(1) > exp(0), eboli e > 1. Podle bodu 2. je exp() = e. Odtud plye, že lim exp() =. Z bodu 3. ovšem plye, že také lim x exp(x) =. Hodota druhé limity plye z toho, že exp( x) = 1/ exp(x). 2) Zde je vidět, jak je výhodé ohraičeí kostatími fukcemi (jsou to fukce a p 1 ). 3) To, že jsme mohli vzít za obor hodot iterval (0, ) ukáže ásledující věta. 4) Časem se ukáže, že 1/! = lim(1 + 1/). Tím bude odstraěa estrovalost, vziklá dvojím defiováím čísla e.

6 Nekoečé řady fukcí Důsledek Pro každé celé číslo k platí exp(k) = e k. 2. exp(r) = (0, ). 3. Fukce exp je homeomorfismus. D ů k a z. 1. Plye ihed z bodu 2. předchozí věty. 2. Plye z bodů 3. a 4. předchozí věty. 3. Plye z bodů 1. a 3. předchozí věty, z věty 4.21 a z bodu 2. tohoto důsledku. Iverzí fukci k fukci exp azýváme přirozeý logaritmus a ozačujeme symbolem l. Následující tvrzeí je jedoduchým důsledkem vlastostí expoeciálí fukce. Věta Fukce l je spojitá. 2. Pro každé x 1, x 2 (0, ) je l(x 1 x 2 ) = l(x 1 ) + l(x 2 ). 3. Fukce l je rostoucí. 4. lim x 0 + l(x) = a lim x l(x) =. D ů k a z. 1. Plye z bodu 3. důsledku Ozačme y 1 = l(x 1 ), y 2 = l(x 2 ). Máme l(x 1 x 2 ) = l(e y 1 e y 2 ) = l(e y 1+y 2 ) = y 1 + y 2 = l(x 1 ) + l(x 2 ). 3. Iverzí fukce k roustoucí fukci je vždy rostoucí (proč?). 4. Z věty 4.26 vyplývá že tyto limity existují (v R). Ozačíme-li lim x 0 + l(x) = a a lim x l(x) = b, máme podle věty 4.24 lim x a ex = lim y 0 el(y) = lim l(y) = 0 + y 0 + což zameá, že a =. Podobě, z lim x b ex = lim y el(y) = lim y = y plye, že b =. Nyí můžeme defiovat expoeciálí a logaritmickou fukci o libovolém základu. Pro libovolé číslo a > 0 defiujeme fukci exp a : R (0, ) předpisem exp a (x) = e x l(a). (6.4.2) Fukce exp a se azývá expoeciálí fukce o základu a. Následující věta shruje její základí vlastosti (všechy sado vyplývají z vlastostí fukcí exp a l; proto echáme její důkaz a čteáři). Věta Fukce exp a je spojitá. 2. Pro každé x, y R platí exp a (x + y) = exp a (x) exp a (y). 3. Je-li a (0, 1), je fukce exp a klesající. Pro a = 1 je kostatí a pro a > 1 rostoucí. 4. Je-li a (0, 1), je lim x exp a (x) = 0 a lim x exp a (x) =, je-li a > 1 je lim x exp a (x) = a lim x exp a (x) = Důsledek Pro každé celé číslo k platí exp a (k) = a k. 2. Pro a 1 je exp a (R) = (0, ). 3. Pro a 1 je exp a homeomorfismus. Vzhledem k bodu 1. uvedeého důsledku je přirozeé zavést ozačeí exp a (x) = a x pro libovolé reálé číslo a. Ihed dostáváme (a x ) y = a xy. Necht a (0, 1) (1, ). Iverzí fukce k fukci exp a se azývá logaritmus o základu a a ozačuje l a. Základí vlastosti této fukce si milý čteář již sado odvodí sám. 6.5 Goiometrické fukce. Podobě jako expoeciálí fukce se defiují i fukce goiometrické. Fukce sius si : R [ 1, 1] a kosius cos : R [ 1, 1] jsou defiováy předpisem

7 Matematická aalýza II 6-7 si(x) = ( 1) x 2+1 (2 + 1)!, (6.5.1) cos(x) = ( 1) x2 (6.5.2) (2)! (opět lze zjistit, že řady a pravé straě kovergují pro každé x R, což ás opravňuje vzít za defiičí obor R; později se ukáže, že maximum a miimu těchto fukcí je 1 a 1, proto oborem hodot může být iterval [ 1, 1]). Základí vlastosti goiometrických uvádí ásledující věta. Věta Fukce si a cos jsou spojité. 2. Fukce si je lichá, fukce cos je sudá. 3. Pro každé x, y R platí a si(x + y) = si(x) cos(y) + cos(x) si(y) cos(x + y) = cos(x) cos(y) si(x) si(y). (součtový vzorec pro sius) (součtový vzorec pro kosius) D ů k a z. 1. Plye z důsledku Plye z tvrzeí 3. věty Dokážeme ejprve součtový vzorec pro sius. Vyjádřeme si výrazy si(x) cos(y) a cos(x) si(y) jako cauchyovy součiy řad z (6.5.1) a (6.5.2) (tedy použijeme důsledek 6.3, můžeme, řady jsou přece absolutě kovergetí (ověřte!)). Máme x x y2 2! x y 4 4! x y6 6! x3 3! x 3 y 2 3!2! x3 y 4 3!4! si(x) cos(y) x 5 5! x5 y 2 5!2! x 7 7! y x2 y 2! x 4 y 4! x6 y 2! si(y) cos(x) y3 3! x 2 y 3 2!3! x4 y 3 4!3! y 5 5! x2 y 5 2!5! Vezmeme-li postupě z obou těchto tabulek ejprve prví diagoály a sečteme je potom druhé a tak dále (to přece můžeme, jsou to absolutě kovergetí řady, porovej s větou 5.27), dostaeme řadu ( ) x 3 a = (x + y) 3! + x2 y + x y2 2! 2! + y3 + 3! = = + ( x 5 5! + x4 y 4! + x3 y 2 3!2! + x2 y 3 2!3! + x y4 4! + y5 5! 2+1 ( 1) x 2+1 k y k (2 + 1 k)!k! k=0 2+1 ( 1) 1 ( ) x 2+1 k y k (2 + 1)! k k=0 ) y7 7!

8 Nekoečé řady fukcí = (x + y)2+1 ( 1) = si(x + y) (2 + 1)! Obdobým způsobem lze dokázat i součtový vzorec pro kosius te ale přeecháváme tobě čteáři. Důsledek Pro každé x R platí si(2x) = 2 si(x) cos(x) a cos(2x) = cos 2 (x) si 2 (x). 2. Pro každé x R platí si 2 (x) + cos 2 (x) = 1. D ů k a z. 1. Plye ze součtových vzorců siu a kosiu. 2. V součtovém vzorci pro kosius položíme y = x, využijeme bodu 2. předchozí věty a toho, že cos(0) = 1. Potom tedy dostáváme 1 = cos(x x) = cos(x) cos( x) si(x) si( x) = cos 2 (x) + si 2 (x). Lze dokázat, ale zatím to eí v ašich silách, že takto defiovaé fukce si a cos mají téže vlastosti, s imiž se čitatel v předchozím studiu setkal. Zopakujme pouze, že fukce si a cos jsou periodické a poloviu jejich periody budeme začit π. 5) Další vlastosti goiometrických fukcí zde již ezmiňujeme, spoléháme se a čteářovy dřívější zalosti, o dalších goiometrických fukcích se zde již je zmííme. Defiujeme fukci ta : R \ {π/2 + kπ k Z} R, tak že položíme ta(x) = si(x)/ cos(x), tuto fukci azveme tages. Obdobě defiujeme fukci kotages cota : R \ {kπ k Z} R, cota(x) = cos(x)/ si(x). 6.6 Cyklometrické fukce. Iverzí fukce ke zúžeým fukcím si : [ π/2, π/2] [ 1, 1], cos : [0, π] [ 1, 1], ta : ( π/2, π/2) R a cota : (0, π) R azýváme arkus sius, arkus kosius, arkus tages a arkus kotages, začíme je arcsi, arccos, arcta a arccota. Vlastosti těchto fukcí laskavě poecháváme k prozkoumáí čteáři. Příklady 1. Najděte obor kovergece řady f, jestliže f (x) = (x 2) /. Řešeí: Použijeme odmociové kritérium a řadu f lim sup x 2 = lim sup x 2 = x 2. 1 Z odmociového kritéria dostáváme, že pro x 2 < 1 řada f koverguje a podle věty 5.25 koverguje i f. Pro x 2 > 1 řada f a tudíž i f esplňuje utou podmíku kovergece. Zbývá ám ověřit případy x = 3 a x = 1. Pro x = 3 jde o řadu 1/, tedy o harmoickou řadu, která, jak jistě víme, ekoverguje. Pro x = 1 jde o řadu ( 1) /, tato řada je kovergetí. Lze se o tom přesvědčit Leibitzovým kritériem. Celkově, oborem kovergece aší řady je iterval [1, 3). 2. Dokažte, že řada f stejoměrě koverguje a I, jestliže f (x) = e 1 x a I = [1, ). Řešeí: Pokusíme se k řadě f ajít stejoměrě kovergetí majoratu. Nejlépe se pro teto účel hodí řada kostatích fukcí (pro ty přece stejoměrá kovergece plye z kovergece, proč?). Každou fukci f shora ohraičíme kostatí fukcí g (x) = sup x [1, ) f (x). Protože každá z fukcí f je a itervalu [1, ) klesající (opravdu f (x) = f (x) = 1/ 1/e x, fukce 1/ je 5) Zámé Ludolfovo číslo. Pomocí součtu ekoečé řady jej lze defiovat π = 4 ( 1)

9 Matematická aalýza II 6-9 kostatí a e x rostoucí), abývá f svého maxima v bodě 1. Proto g (x) = f (1) = 1/e, řada 1/e je kovergetí (ověřte odmociovým kritériem!) a řada g, tudíž i f, je stejoměrě kovergetí. 3. Ukažte, že součet řady fukcí f, kde f : [0, 1] R, f (x) = 5x2 2 je spojitá fukce. Řešeí: Je jasé, že každá z fukcí f je spojitá, pokud se ám podaří ukázat, že řada f koverguje stejoměrě a [0, 1], pak i její součet bude utě spojitá fukce. Stejě jako v předchozím příkladě se pokusíme fukce f shora ohraičit kostatími fukcemi. Jelikož f 0 a pro každé x [0, 1] platí 5x 2 5, vezmeme posloupost (g ) kostatích fukcí, g (x) = 5/ 2, pro které platí f g a protože g = 5/ 2 koverguje (ověřte podílovým kritériem!), podařilo se ám řadu fukcí f shora ohraičit stejoměrě kovergetí řadou fukcí g. 4. Najděte obor kovergece mocié řady se středem v x 0 a posloupostí koeficietů (a ), jestliže x 0 = 0 a a = 5. Řešeí: Počítejme poloměr kovergece r = 1/p, kde p = lim sup 5. Tedy p = lim sup 5 = lim sup 5 = 1 5. Víme, že řada koverguje pro x (x 0 r, x 0 + r) = ( 1 5, 1 5 ), jak je tomu v kocových bodech musíme prozkoumat zvlášt. Pro x = 1 5, jde o řadu 5 ( 5 1 ) = ( 1), která ale esplňuje utou podmíku kovergece. Obdobě je tomu i pro x = 1 5. Celkově dostáváme, že itervalem kovergece této řady je ( 5 1, 1 5 ). 5. Najděte obor kovergece řady x!. Řešeí: Využijeme limitího podílového kritéria. Počítejme lim sup f +1 f = lim sup x +1 ( + 1)! x pro každé x R. Tedy oborem kovergece je R.! x = lim = 0, Cvičeí 1. Najděte obor kovergece řady f, jestliže a) f (x) = (3 x) ; b) f (x) = x(x + ) ; c) f (x) =! (x 2 + 1)(x 2 + 2) (x 2 + ) ; d) f (x) = 1 ( ) x ; x e) f (x) = l (3x); f) f (x) = cos(x) e x. 2. Dokažte ásledující tvrzeí: Je-li f kovergetí řada kostatích fukcí f : X R, pak tato řada koverguje a X stejoměrě. 3. Dokažte, že řada =2 f stejoměrě koverguje a I, jestliže a) f (x) = 1 x 4 + 2, I = R; b) f (x) = x 2 e x, I = [0, ); c) f (x) = x x 2, I = [0, ); d) f (x) = 1 2 2x, I = R; + e

10 Nekoečé řady fukcí e) f (x) = cos(x) 2, I = R; f) f (x) = si(x), I = R; ( ) g) f (x) = l 1 + x l 2, I = ( 1, 1); h) f (x) = ( 1) () + si(x), I = [0, 2π]; i) f (x) = ( 1) x +, I = (0, ); j) f (x) = e 2 x 2 3, I = R. 4. Dokažte, že součet řady f je spojitá fukce, kde e x2 ( 2 + 1). 5. Najděte obor kovergece mocié řady se středem x 0 a posloupostí koeficietů (a ), jestliže a) f (x) = cos(x) ( + 1) ; b) f (x) = si(x) ( + 1) ; c) f (x) = a) x 0 = 0, a = 5 ; b) x 0 = 0, a =!; c) x 0 = 0, a = 3 2 ; d) x 0 = 0, a = 3 + ( 1) ; e) x 0 = 2, a = ( 1) + ; f) x 0 = 2, a =!. 6. Najděte obor kovergece řady f, jestliže a) f (x) = x 2 1 (2 1)!(2 1) ; b) f (x) = 3 2 x 2 ; c) f (x) =!x 2 ; d) f (x) = x2 2 ; e) f (x) = ( 1)5 1 1 ; f) f (x) = 10 2 (2x 3). 7. Pomocí Cauchyho součiu řad ukažte, že platí ásledující rovosti a) cos(x + y) = cos(x) cos(y) si(x) si(y); b) exp(1 1) = Bud a = ( 1). Dokažte, že Cauchyho souči řad a a ekoverguje. Obyčejý souči řad a a ale koverguje (proč?). Jak je to možé? 9. Pomocí Cauchyho součiu spočtěte druhou mociu řady ( 1 5 ) 1. Výsledky 1. a) (2, 4); b) ; c) R \ {0}; d) (, 0); e) (1/3e, e/3); f) { π/2 π = 0, 1, 2, } (0, ). 3. a) Stejoměrě kovergetí majorata a I : g (x) = 1/ 2 ; b) g (x) = e ; c) g (x) = 1/2 2 ; e) g (x) = 2 ; f) g (x) = 3/2 ; h) g (x) = ( 1) /; i) g (x) = ( 1) /; j) g (x) = 1/ a) Stejoměrě kovergetí majorata: g (x) = 1/(( + 1)); b) g (x) = 1/(( + 1)); c) g (x) = 1/(( 2 + 1)). 5. a) ( 1 5, 1 5 ); b) {0}; c) ( 2 3 2, 3 2 2); e) (1, 3); f) (2 e, 2 + e). 6. b) ( 1 3, 1 3 ); c) {0}; d) ( 2, 2); e) ; f) ( , )

5. Posloupnosti a řady

5. Posloupnosti a řady Matematická aalýza I předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Zimí semestr 2004/05 5. Poslouposti a řady 5.1 Limita a hromadé hodoty. Mějme posloupost x ) prvků Hausdorffova topologického prostoru

Více

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

Posloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b

Posloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b Najděte itu Poslouposti a číselé řady ) + Protože + = + x ) + + =, je + + + + ) + = = 0 + + Najděte itu 3 si! + Protože je si! a 3 = 0, je 3 si! = 0 Najděte itu + a + a + + a + b + b, a

Více

Mocninné řady - sbírka příkladů

Mocninné řady - sbírka příkladů UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Mocié řady - sbírka příkladů Vedoucí bakalářské práce: Mgr. Iveta Bebčáková, Ph.D.

Více

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad...

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad... Obsah 1 Mocié řady 1 1.1 Defiice a vlastosti mociých řad.................... 1 1. Rozvoj fukce do mocié řady...................... 5 1.3 Aplikace mociých řad........................... 10 1 Kapitola 1

Více

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 2. století (reg. č. CZ..07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská Techická

Více

Přednáška 7, 14. listopadu 2014

Přednáška 7, 14. listopadu 2014 Předáška 7, 4. listopadu 204 Uvedeme bez důkazu klasické zobecěí Leibizova kritéria (v ěmž b = ( ) + ). Tvrzeí (Dirichletovo a Abelovo kritérium). Nechť (a ), (b ) R, přičemž a a 2 a 3 0. Pak platí, že.

Více

I. Exponenciální funkce Definice: Pro komplexní hodnoty z definujeme exponenciální funkci předpisem. z k k!. ( ) e z = k=0

I. Exponenciální funkce Definice: Pro komplexní hodnoty z definujeme exponenciální funkci předpisem. z k k!. ( ) e z = k=0 8. Elemetárí fukce I. Expoeciálí fukce Defiice: Pro komplexí hodoty z defiujeme expoeciálí fukci předpisem ) e z = z k k!. Vlastosti expoeciálí fukce: a) řada ) koverguje absolutě v C; b) pro z = x + jy

Více

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují

Více

6. Posloupnosti a jejich limity, řady

6. Posloupnosti a jejich limity, řady Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme

Více

Kapitola 1. Nekonečné číselné řady. Definice 1.1 Nechť {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol. a n nebo a 1 + a 2 + a

Kapitola 1. Nekonečné číselné řady. Definice 1.1 Nechť {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol. a n nebo a 1 + a 2 + a Kpitol Nekoečé číselé řdy Defiice. Nechť { } je posloupost reálých čísel. Symbol ebo + 2 + 3 +... zýváme ekoečou číselou řdou. s = i= i = + 2 +... + zveme -tý částečý součet řdy {s } posloupost částečých

Více

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - - DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ ÚVODNÍ POZNÁMKY I derivace podobě jako limity můžeme počítat ěkolikerým způsobem a to kokrétě pomocí: defiice vět o algebře

Více

1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie

1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie 1 Uzavřeá Gaussova rovia a její topologie Podobě jako reálá čísla rozšiřujeme o dva body a, rozšiřujeme také možiu komplexích čísel. Nepřidáváme však dva body ýbrž je jede. Te budeme začit a budeme ho

Více

Nekonečné řady. 1. Nekonečné číselné řady 1.1. Definice. = L L nekonečnou posloupnost reálných čísel. a) Označme { a }

Nekonečné řady. 1. Nekonečné číselné řady 1.1. Definice. = L L nekonečnou posloupnost reálných čísel. a) Označme { a } Nekoečé řdy. Nekoečé číselé řdy.. Defiice ) Ozčme { } { } = L L ekoečou posloupost reálých čísel.,,,,, Nekoečá číselá řd je součet tvru = + + + L+ + L. Jedotlivá čísl,,, L,, L se zývjí čley řdy, čle obvykle

Více

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie 3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se

Více

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost

Více

6.2. ČÍSELNÉ ŘADY. V této kapitole se dozvíte:

6.2. ČÍSELNÉ ŘADY. V této kapitole se dozvíte: 6.2. ČÍSELNÉ ŘADY V této kpitole se dozvíte: jk defiujeme číselou řdu; defiici kovergece řdy jejího součtu; jk vypdá ritmetická, geometrická hrmoická řd jk je to s jejich kovergecí; jk zí utá podmík kovergece

Více

MASARYKOVA UNIVERZITA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY. Bakalářská práce BRNO 2012 PAVLA STARÁ

MASARYKOVA UNIVERZITA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY. Bakalářská práce BRNO 2012 PAVLA STARÁ MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY Bakalářská práce BRNO 202 PAVLA STARÁ MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY Rozklady celých

Více

Cvičení 1.1. Dokažte Bernoulliovu nerovnost (1 + x) n 1 + nx, n N, x 2. Platí tato nerovnost obecně pro všechna x R a n N?

Cvičení 1.1. Dokažte Bernoulliovu nerovnost (1 + x) n 1 + nx, n N, x 2. Platí tato nerovnost obecně pro všechna x R a n N? 1 Prví prosemiář Cvičeí 1.1. Dokažte Beroulliovu erovost (1 + x) 1 + x, N, x. Platí tato erovost obecě pro všecha x R a N? Řešeí: (a) Pokud předpokládáme x 1, pak lze řešit klasickou idukcí. Pro = 1 tvrzeí

Více

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1 Číselé řady Úvod U řad budeme řešit dva typy úloh: alezeí součtu a kovergeci. Nalezeí součtu (v případě, že řada koverguje) je obecě mohem těžší, elemetárě lze sečíst pouze ěkolik málo typů řad. Součet

Více

Matematika I, část II

Matematika I, část II 1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího

Více

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých 9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

Petr Šedivý Šedivá matematika

Petr Šedivý  Šedivá matematika LIMITA POSLOUPNOSTI Úvod: Kapitola, kde poprvé arazíme a ekoečo. Argumety posloupostí rostou ade všechy meze a zkoumáme, jak vypadají hodoty poslouposti. V kapitole se sezámíte se základími typy it a početími

Více

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE 1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE V této kapitole se dozvíte: jak je axiomaticky defiová vektor a vektorový prostor včetě defiice sčítáí vektorů a ásobeí vektorů skalárem;

Více

= + nazýváme tečnou ke grafu funkce f

= + nazýváme tečnou ke grafu funkce f D E R I V A C E F U N KCE Deiice. (derivace Buď ukce,!. Eistuje-li limitu derivací ukce v bodě a začíme ji (. lim ( + lim Deiice. (teča a ormála Přímku o rovici y ( v bodě, přímku o rovici y ( (, kde (

Více

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy 1. Číselé obory, dělitelost, výrazy 1. obor přirozeých čísel - vyjadřující počet prvků možiy - začíme (jsou to kladá edesetiá čísla) 2. obor celých čísel - možia celých čísel = edesetiá, ale kladá i záporá

Více

Zimní semestr akademického roku 2015/ listopadu 2015

Zimní semestr akademického roku 2015/ listopadu 2015 Cvičeí k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikovaé matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičeí Zimí semestr akademického roku 2015/2016 20. listopadu 2015 Předmluva

Více

Iterační výpočty projekt č. 2

Iterační výpočty projekt č. 2 Dokumetace k projektu pro předměty IZP a IUS Iteračí výpočty projekt č. 5..007 Autor: Václav Uhlíř, xuhlir04@stud.fit.vutbr.cz Fakulta Iformačích Techologii Vysoké Učeí Techické v Brě Obsah. Úvodí defiice.....

Více

množina všech reálných čísel

množina všech reálných čísel /6 FUNKCE Základí pojmy: Fukce sudá a lichá, Iverzí fukce Nepřímá úměrost, Mociá fukce, Epoeciálí fukce a rovice Logaritmus, logaritmická fukce a rovice Opakováí: Defiice fukce, graf fukce Defiičí obor,

Více

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V Předáška 1: Vektorové prostory Vektorový prostor Pro abstraktí defiici vektorového prostoru jsou podstaté vlastosti dvou operací, sčítáí vektorů a ásobeí vektoru (reálým číslem) Tyto dvě operace musí být

Více

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D.

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D. MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ PH.D. Obsah MNOŽINY.... ČÍSELNÉ MNOŽINY.... OPERACE S MNOŽINAMI... ALGEBRAICKÉ VÝRAZY... 6. OPERACE S JEDNOČLENY A MNOHOČLENY...

Více

U. Jestliže lineární zobrazení Df x n n

U. Jestliže lineární zobrazení Df x n n MATEMATICKÁ ANALÝZA III předášky M. Krupky Zmí semestr 999/ 3. Iverzí a mplctí zobrazeí V této kaptole uvádíme dvě důležté věty, které acházeí aplkace v moha oblastech matematky: Větu o verzím a větu o

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost

8.2.1 Aritmetická posloupnost 8.. Aritmetická posloupost Předpoklady: 80, 80, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Př. : V továrě dokočí každou hodiu motáž

Více

2.4. INVERZNÍ MATICE

2.4. INVERZNÍ MATICE 24 INVERZNÍ MICE V této kapitole se dozvíte: defiici iverzí matice; základí vlastosti iverzí matice; dvě základí metody výpočtu iverzí matice; defiici celočíselé mociy matice Klíčová slova této kapitoly:

Více

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte: 1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost I

8.2.1 Aritmetická posloupnost I 8.2. Aritmetická posloupost I Předpoklady: 80, 802, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Čley posloupostí pak při kotrole vypíšu

Více

Přehled často se vyskytujících limit posloupností. = ek. = 1 lim n n! = = C = α 0+

Přehled často se vyskytujících limit posloupností. = ek. = 1 lim n n! = = C = α 0+ Neurčité výrzy (lgebr s posloupostmi divergujícími k ekoeču), zvedeí pojmu číselé řdy, defiice POSLOUPNOST ČÁSTEČNÝCH SOUČTŮ, součet řdy, TVRZENÍ O NUTNÉ PODMÍNCE KONVERGENCE ŘADY, kokrétí příkldy výpočtu

Více

Aritmetická posloupnost, posloupnost rostoucí a klesající Posloupnosti

Aritmetická posloupnost, posloupnost rostoucí a klesající Posloupnosti 8 Aritmetická posloupost, posloupost rostoucí a klesající Poslouposti Posloupost je fukci s defiičím oborem celých kladých čísel - apř.,,,,,... 3 4 5 Jako fukci můžeme také posloupost zobrazit do grafu:

Více

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI 6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI Fukce Dovedosti:. Základí pozatky o fukcích -Chápat defiici fukce,obvyklý způsob jejího zadáváí a pojmy defiičí obor hodot fukce. U fukcí zadaých předpisem umět správě operovat

Více

k(k + 1) = A k + B. s n = n 1 n + 1 = = 3. = ln 2 + ln. 2 + ln

k(k + 1) = A k + B. s n = n 1 n + 1 = = 3. = ln 2 + ln. 2 + ln Číselé řady - řešeé přílady ČÍSELNÉ ŘADY - řešeé přílady A. Součty řad Vzorové přílady:.. Přílad. Určete součet řady + = + 6 + +.... Řešeí: Rozladem -tého čleu řady a parciálí zlomy dostáváme + = + ) =

Více

Zkoušková písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3

Zkoušková písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 Katedra matematiky Fakulty jaderé a fyzikálě ižeýrské ČVUT v Praze Příjmeí a jméo 1 2 3 4 5 BONUS CELKEM (13 bodů) Zkoušková písemá práce č. 1 z předmětu 01MAB3 14. leda 2016, 9:00 11:00 Pro kvadratickou

Více

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina;

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina; . Náhodá veličia Většia áhodých pokusů koaých v přírodích ebo společeských vědách má iterpretaci pomocí reálé hodoty. Při takovýchto dějích přiřazujeme tedy reálá čísla áhodým jevům. Proto je důležité

Více

1.2. NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN

1.2. NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN 2 NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN V této kapitole se dozvíte: axiomatickou defiici ormy vektoru; co je to ormováí vektoru a jak vypadá Euklidovská orma; axiomatickou defiici skalárího (také vitřího) součiu vektorů;

Více

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet 6 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí. 6.1. Číselé charakteristiky áhodé veličiy 6.1.1. Středí hodota Uvažujme ejprve diskrétí áhodou veličiu X s rozděleím {x }, {p

Více

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti.

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti. 10 Cvičeí 10 Statistický soubor. Náhodý výběr a výběrové statistiky aritmetický průměr, geometrický průměr, výběrový rozptyl,...). Bodové odhady parametrů. Itervalové odhady parametrů. Jedostraé a oboustraé

Více

Derivace součinu a podílu

Derivace součinu a podílu 5 Derivace součiu a podílu Předpoklad: Pedagogická pozámka: Následující odvozeí jsem převzal a amerického fzikálího kursu Mechaical Uiverse Možá eí dostatečě rigorózí, ale mě osobě se strašě líbí spojitost

Více

1 Trochu o kritériích dělitelnosti

1 Trochu o kritériích dělitelnosti Meu: Úloha č.1 Dělitelost a prvočísla Mirko Rokyta, KMA MFF UK Praha Jaov, 12.10.2013 Růzé dělitelosti, třeba 11 a 7 (aeb Jak zfalšovat rodé číslo). Prvočísla: které je ejlepší, které je ejvětší a jak

Více

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde POLYNOM Zákldí pojmy Polyomem stupě zveme fukci tvru y ( L +, P + + + + kde,,, R,, N Čísl,,, se zývjí koeficiety polyomu Číslo c zveme kořeem polyomu P(, je-li P(c výrz (-c pk zýváme kořeový čiitel Vlstosti

Více

Zformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu):

Zformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu): Pricip matematické idukce PMI) se systematicky probírá v jié části středoškolské matematiky. a tomto místě je zařaze z důvodu opakováí matka moudrosti) a proto, abychom ji mohli bez uzarděí použít při

Více

SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU

SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU Matematické modelováí (KMA/MM Téma: Model pohybu mraveců Zdeěk Hazal (A8N18P, zhazal@sezam.cz 8/9 Obor: FAV-AVIN-FIS 1. ÚVOD Model byl převzat z kihy Spojité modely v biologii

Více

Statistika je vědní obor zabývající se zkoumáním jevů, které mají hromadný charakter.

Statistika je vědní obor zabývající se zkoumáním jevů, které mají hromadný charakter. Statistika Cíle: Chápat pomy statistický soubor, rozsah souboru, statistická edotka, statistický zak, umět sestavit tabulku rozděleí četostí, umět zázorit spoicový diagram a sloupcový diagram / kruhový

Více

f x a x DSM2 Cv 9 Vytvořující funkce Vytvořující funkcí nekonečné posloupnosti a0, a1,, a n , reálných čísel míníme formální nekonečnou řadu ( )

f x a x DSM2 Cv 9 Vytvořující funkce Vytvořující funkcí nekonečné posloupnosti a0, a1,, a n , reálných čísel míníme formální nekonečnou řadu ( ) DSM Cv 9 Vytvořující fukce Vytvořující fukcí ekoečé poslouposti a0, a,, a, reálých čísel mííme formálí ekoečou řadu =. f a i= 0 i i Příklady: f = + = + + + + + ) Platí: (biomická věta). To zameá, že fukce

Více

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice Matematika I Název studijího programu RNDr. Jaroslav Krieg 2014 České Budějovice 1 Teto učebí materiál vzikl v rámci projektu "Itegrace a podpora studetů se specifickými vzdělávacími potřebami a Vysoké

Více

DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY

DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY URČENO PRO VZDĚLÁVÁNÍ V AKREDITOVANÝCH STUDIJNÍCH PROGRAMECH IVAN KŘIVÝ ČÍSLO OPERAČNÍHO PROGRAMU: CZ..07 NÁZEV OPERAČNÍHO PROGRAMU: VZDĚLÁVÁNÍ PRO KONKURENCESCHOPNOST

Více

Infinity series collection of solved and unsolved examples

Infinity series collection of solved and unsolved examples Nekoečé řady sbírka řešeých a eřešeých příkladů Ifiity series collectio of solved ad usolved examples Lucie Jaoušková Bakalářská práce 9 ABSTRAKT Cílem práce bylo vytvořit sbírku řešeých příkladů, která

Více

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu.

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu. 2. URČITÝ INTEGRÁL 2. Určitý itegrál Průvodce studiem V předcházející kapitole jsme se sezámili s pojmem eurčitý itegrál, který daé fukci přiřazoval opět fukci (přesěji možiu fukcí). V této kapitole se

Více

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika Přijímací řízeí akademický rok 0/0 c. studium Kompletí zěí testových otázek matematika Koš Zěí otázky Odpověď a) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá. Které číslo doplíte místo 8? 6 6 8 C. Které číslo

Více

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů:

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů: Odhady parametrů polohy a rozptýleí pro často se vyskytující rozděleí dat v laboratoři se vyčíslují podle ásledujících vztahů: a : Laplaceovo (oboustraé expoeciálí rozděleí se vyskytuje v případech, kdy

Více

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem

Více

PříkladykecvičenízMMA ZS2013/14

PříkladykecvičenízMMA ZS2013/14 PříkladykecvičeízMMA ZS203/4 (středa, M3, 9:50 :20) Pozámka( ):Pokudebudeuvedeojiakbudemevždypracovatsprostoryadtělesem T= R.Ve všech ostatích případech(tj. při T = C), bude těleso explicitě specifikováo.

Více

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin 3. Charateristiy a parametry áhodých veliči Úolem této apitoly je zavést pomocý aparát, terým budeme dále popisovat pomocí jedoduchých prostředů áhodé veličiy. Taovýmto aparátem jsou tzv. parametry ebo

Více

OSTRAVSKÁ UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA MATEMATICKÁ ANALÝZA 1. Doc. RNDr. Jaroslav Hančl, CSc. Jan Šustek

OSTRAVSKÁ UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA MATEMATICKÁ ANALÝZA 1. Doc. RNDr. Jaroslav Hančl, CSc. Jan Šustek OSTRAVSKÁ UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA MATEMATICKÁ ANALÝZA Doc. RNDr. Jaroslav Hačl, CSc. Ja Šustek OSTRAVA 00 0. ÚVOD 0.. INFORMACE O POUŽITÝCH SYMBOLECH Průvodce studiem vstup autora do tetu, specifický

Více

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení.

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení. 4. Itervalové odhady parametrů rozděleí. Jedou ze základích úloh mtematické statistiky je staoveí hodot parametrů rozděleí, ze kterého máme k dispozici áhodý výběr. Nejčastěji hledáme odhady dvou druhů:

Více

M - Posloupnosti VARIACE

M - Posloupnosti VARIACE M - Poslouposti Autor: Mgr Jromír Juřek - http://wwwjrjurekcz Kopírováí jkékoliv dlší využití výukového mteriálu je povoleo pouze s uvedeím odkzu wwwjrjurekcz VARIACE Teto dokumet byl kompletě vytvoře,

Více

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr Náhodý výběr 1 Náhodý výběr Matematická statistika poskytuje metody pro popis veliči áhodého charakteru pomocí jejich pozorovaých hodot, přesěji řečeo jde o určeí důležitých vlastostí rozděleí pravděpodobosti

Více

Sekvenční logické obvody(lso)

Sekvenční logické obvody(lso) Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách

Více

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Zákoy velkých čísel Vedoucí diplomové práce: prof. RNDr. Ig. Lubomír Kubáček, DrSc.,

Více

Komplexní čísla, komplexně sdružená čísla, opačná komplexní čísla, absolutní hodnota (modul) komplexního čísla. z 2 z 1

Komplexní čísla, komplexně sdružená čísla, opačná komplexní čísla, absolutní hodnota (modul) komplexního čísla. z 2 z 1 Komplexí čísla, komplexě sdružeá čísla, opačá komplexí čísla, absolutí hodota (modul) komplexího čísla Defiice komplexího čísla Komplexí číslo je uspořádaá dvojice reálých čísel = (, ) (, ). je reálá,

Více

Aplikovaná informatika. Podklady předmětu Aplikovaná informatika pro akademický rok 2006/2007 Radim Farana. Obsah. Algoritmus

Aplikovaná informatika. Podklady předmětu Aplikovaná informatika pro akademický rok 2006/2007 Radim Farana. Obsah. Algoritmus Podklady předmětu pro akademický rok 006007 Radim Faraa Obsah Tvorba algoritmů, vlastosti algoritmu. Popis algoritmů, vývojové diagramy, strukturogramy. Hodoceí složitosti algoritmů, vypočitatelost, časová

Více

Matematika přehled vzorců pro maturanty (zpracoval T. Jánský) Úpravy výrazů. Binomická věta

Matematika přehled vzorců pro maturanty (zpracoval T. Jánský) Úpravy výrazů. Binomická věta Matematika přehled vzorců pro maturaty (zpracoval T. Jáský) Úpravy výrazů a r. a s = a r+s a r = ar s as a r s = a r.s a. b r = a r b r a b r = ar b r a. b a b = a b = a. b ( a) m = a m m a m. = a a k.

Více

3. Limity posloupností

3. Limity posloupností 3. Limity posloupostí V této kapitole bude slovo posloupost zameat zobrazeí možiy Nebo obecějimožiy NN):= { Z; N},kde N Z)domožiy Rvšech koečých) reálých čísel. Je-li a posloupost, měli bychomv souladu

Více

5. Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu

5. Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu 5 3.3.8 8:44 Josef Herdla lieárí difereciálí rovice -tého řádu 5. Lieárí difereciálí rovice -tého řádu (rovice s ostatími oeficiety) ( ), a,, a (5.) ( ) ( ) y a y a y ay q L[ y] y a y a y a y, q je spojitá

Více

1. K o m b i n a t o r i k a

1. K o m b i n a t o r i k a . K o m b i a t o r i k a V teorii pravděpodobosti a statistice budeme studovat míru výskytu -pravděpodobostvýsledků procesů, které mají áhodý charakter, t.j. při opakováí za stejých podmíek se objevují

Více

8. Zákony velkých čísel

8. Zákony velkých čísel 8 Zákoy velkých čísel V této část budeme studovat velm často užívaá tvrzeí o součtech posloupost áhodých velč Nedříve budeme vyšetřovat tvrzeí azývaá souhrě ako slabé zákoy velkých čísel Veškeré úvahy

Více

8.1.2 Vzorec pro n-tý člen

8.1.2 Vzorec pro n-tý člen 8 Vzorec pro -tý čle Předpolady: 80 Pedagogicá pozáma: Přílady a hledáí dalších čleů posloupostí a a objevováí vzorců pro -tý čle do začé míry odpovídají typicým příladům z IQ testů, teré studeti zají

Více

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo

Více

8. Elementární funkce

8. Elementární funkce Moderí techologie ve studiu plikové fzik CZ.1.07/2.2.00/07.0018 8. Elemetárí fukce Historie přírodích věd potvrzuje, že většiu reálě eistujících dějů lze reprezetovt mtemtickými model, které jsou popsá

Více

Matematická analýza III - funkční posloupnosti a. Ing. Leopold Vrána

Matematická analýza III - funkční posloupnosti a. Ing. Leopold Vrána Mtemtická lýz III - fukčí poslouposti řdy Ig. Leopold Vrá Obsh Předmluv 5 Část. Mocié řdy 7 Kpitol. Kovergece mocié řdy 9 Kpitol. Součtová fukce mocié řdy 7 Část. Fukčí poslouposti 3 Kpitol 3. Kovergece

Více

f B 6. Funkce a posloupnosti 3 patří funkci dané předpisem y = 2 x + 3. [všechny] 1) Rozhodněte, která z dvojic [ ;9][, 0;3 ][, 2;7]

f B 6. Funkce a posloupnosti 3 patří funkci dané předpisem y = 2 x + 3. [všechny] 1) Rozhodněte, která z dvojic [ ;9][, 0;3 ][, 2;7] 6. Fukce a poslouposti ) Rozoděte, která z dvojic [ ;9[, 0; [, ; patří fukci daé předpisem y +. [všecy ) Auto má spotřebu 6 l beziu a 00 km. Na začátku jízdy mělo v plé ádrži 6 l beziu. a) Vyjádřete závislost

Více

Diskrétní matematika

Diskrétní matematika Diskrétí matematika Biárí relace, zobrazeí, Teorie grafů, Teorie pravděpodobosti Diskrétí matematika látka z I semestru iformatiky MFF UK Zpracovali: Odřej Keddie Profat, Ja Zaatar Štětia Obsah Biárí relace2

Více

Iterační metody řešení soustav lineárních rovnic

Iterační metody řešení soustav lineárních rovnic Iteračí metody řešeí soustav lieárích rovic Matice je: diagoálě domiatí právě tehdy, když pozitivě defiití (symetrická matice) právě tehdy, když pro x platí x, Ax a ij Tyto vlastosti budou důležité pro

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

5 Funkce. jsou si navzájem rovny právě tehdy, když se rovnají jejich.

5 Funkce. jsou si navzájem rovny právě tehdy, když se rovnají jejich. Fukce. Základí pojmy V kpt.. jsme mluvili o zobrazeí mezi možiami AB., Připomeňme, že se jedá o libovolý předpis, který každému prvku a A přiřadí ejvýše jede prvek b B. Jsou-li A, B číselé možiy, azýváme

Více

1 Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné

1 Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné Spojitost a limity - 7 - Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé Spojitost a limity Defiice -okolím bodu a azýváme iterval ( a a ) Redukovaým -okolím bodu a azýváme sjedoceí itervalů a a a a Spojitost

Více

PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR

PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR Ze serveru www.czso.cz jsme sledovali sklizeň obilovi v ČR. Sklizeň z ěkolika posledích let jsme vložili do tabulky 10.10. V kapitole 7. Idexy

Více

5 PŘEDNÁŠKA 5: Jednorozměrný a třírozměrný harmonický oscilátor.

5 PŘEDNÁŠKA 5: Jednorozměrný a třírozměrný harmonický oscilátor. 5 PŘEDNÁŠKA 5: Jedorozměrý a třírozměrý harmoický oscilátor. Půjde o spektrum harmoického oscilátoru emá to ic společého se spektrem atomu ebo se spektrálími čarami atomu. Liší se to právě poteciálem!

Více

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky Matematika III Řady Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská Ústav matematiky Přednášky ZS 202-203 Obsah Číselné řady. Součet nekonečné řady. Kritéria konvergence 2 Funkční řady. Bodová konvergence.

Více

8.2.7 Geometrická posloupnost

8.2.7 Geometrická posloupnost 87 Geometrická posloupost Předpokldy: 80, 80, 80, 807 Pedgogická pozámk: V hodiě rozdělím třídu dvě skupiy kždá z ich dělá jede z prvích dvou příkldů Větši studetů obou skupi potřebuje pomoc u tbule Ob

Více

8.1.3 Rekurentní zadání posloupnosti I

8.1.3 Rekurentní zadání posloupnosti I 8.. Rekuretí zadáí poslouposti I Předpoklady: 80, 80 Pedagogická pozámka: Podle mých zkušeostí je pro studety pochopitelější zavádět rekuretí posloupost takto (sado kotrolovatelou ukázkou), ež dosazováím

Více

IAJCE Přednáška č. 12

IAJCE Přednáška č. 12 Složitost je úvod do problematiky Úvod praktická realizace algoritmu = omezeí zejméa: o časem o velikostí paměti složitost = vztah daého algoritmu k daým prostředkům: časová složitost každé možiě vstupích

Více

5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC

5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC 5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC V této kaptole se dozvíte: jak je defováa fukce přrozeá odmoca v kompleím oboru a jaké má vlastost včetě odlšostí od odmocy v reálém

Více

Nové symboly pro čísla

Nové symboly pro čísla Nové symboly pro čísl V pitole Ituitiví ombitori jsme řešili tyto dv typy příldů. Stále se v ich opují součiy přirozeých čísel, t j jdou z sebou, ědy ž do, ědy sočí dříve. Proto si zvedeme dv ové symboly

Více

Posloupnosti a řady. Obsah

Posloupnosti a řady. Obsah Poslouposti řdy Poslouposti řdy Obsh. Poslouposti... 8. Úvod do posloupostí... 8. Aritmetická geometrická posloupost... 9. Limit poslouposti... 9. Řdy... 0. Nekoečá geometrická řd... 0 Strák 7 Poslouposti

Více

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení Odhad parametru p biomického rozděleí a test hypotézy o tomto parametru Test hypotézy o parametru p biomického rozděleí Motivačí úloha Předpokládejme, že v důsledku realizace jistého áhodého pokusu P dochází

Více

4. Topologické vlastnosti množiny reálných

4. Topologické vlastnosti množiny reálných Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 4. Topologické vlastnosti množiny reálných čísel V této kapitole definujeme přirozenou topologii na množině

Více

ZÁKLADNÍ TYPY DŮKAZŮ, MATEMATICKÁ INDUKCE

ZÁKLADNÍ TYPY DŮKAZŮ, MATEMATICKÁ INDUKCE Projekt ŠABLONY NA GVM Gymázium Velké Meziříčí registračí číslo projektu: CZ07/500/098 IV- Iovace a zkvalitěí výuky směřující k rozvoji matematické gramotosti žáků středích škol ZÁKLADNÍ TYPY DŮKAZŮ, MATEMATICKÁ

Více

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu Cvičeí 6: Výpočet středí hodoty a rozptylu, bodové a itervalové odhady středí hodoty a rozptylu Příklad 1: Postupě se zkouší spolehlivost čtyř přístrojů Další se zkouší je tehdy, když předchozí je spolehlivý

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více