a logaritmickou funkci a goniometrické funkce. 6.1 Násobení řad. Podívejme se neprve na násobení mnohočlenů x = x x n a y = y y n.

Transkript

1 Matematická aalýza II předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Semestr letí Nekoečé řady fukcí V šesté kapitole pokračujeme ve studiu ekoečých řad. Nejprve odvozujeme základí tvrzeí o součiech řad (která později využijeme při odvozováí základích vlastostí expoeciálí a goiometrických fukcí). Poté zavádíme pojmy ekoečé řady fukcí a její bodové a stejoměré kovergece. V dalším odstavci probíráme mocié řady, které jsou základím příkladem ekoečých řad fukcí. Pomocí mociých řad pak v posledím odstavci defiujeme ěkteré elemetárí fukce: expoeciálí a logaritmickou fukci a goiometrické fukce. 6.1 Násobeí řad. Podívejme se eprve a ásobeí mohočleů x = x x a y = y y. Podle distributivího zákoa máme pro = 1 x y = x 1 y 1, = 2 x y = (x 1 y 1 ) + (x 1 y 2 + x 2 y 2 + x 2 y 1 ) (oproti předchozímu součiu přibyl součet x 1 y 2 + x 2 y 2 + x 2 y 1 ). Pro dva trojčley dostaeme = 3 x y = (x 1 y 1 + x 1 y 2 + x 2 y 2 + x 2 y 1 ) + (x 1 y 3 + x 2 y 3 + x 3 y 3 + x 3 y 2 + x 3 y 2 ) (tedy oproti ásobeí dvojčleů přibyl součet x 1 y 3 + x 2 y 3 + x 3 y 3 + x 3 y 2 + x 3 y 2 ). Jistě bychom yí byli schopi apsat které čley přibudou ásobíme-li dva -čley, toho za chvíli využijeme. Obdobě postupujeme i v případě součiu ekoečých řad. Uvažme dvě řady x a y s posloupostmi částečých součtů (s ) a (t ). Máme s t = (x 1 + x x )(y 1 + y y ) = x 1 y 1 + +x 1 y 2 + x 2 y 2 + x 2 y 1 +x 1 y 3 + x 2 y 3 + x 3 y 3 + x 3 y 2 + x 3 y 1 (6.1.1). +x 1 y + x 2 y + + x 1 y + x y + + x y 1 + x y x y 1. Posloupost (u ) = (s t ) je tedy posloupostí částečých součtů řady z, kde z = x 1 y + x 2 y + + x 1 y + x y + (6.1.2) + x y 1 + x y x y 1. Jestliže yí existují limity s = lim s a t = lim t, pak existuje i limita lim u a je rova st. Dokázali jsme tedy Věta 6.1. Necht čley řady z jsou určey předpisem (6.1.2). Kovergují-li řady x a y, pak koverguje i řada z a platí z = x y. (6.1.3) Řada z z předchozí věty se azývá (obyčejý) souči řad x a y. Věta 6.2. Necht řada z, je tvořea součiy x i y j, i, j N uspořádaými v libovolém pořadí. Pak jestliže řady x a y absolutě kovergují, koverguje absolutě i řada z a platí z = x y. (6.1.4) 6-1

2 Nekoečé řady fukcí D ů k a z. Tvrzeí, že řada z koverguje při libovolém uspořádáí čleů x i y i plye z absolutí kovergece řad x, y a věty Zbývá tedy dokázat vztah (6.1.4). Protože, jak už víme, uspořádáí čleů řady z její součet ezměí, předpokládejme, že čley poslouposti (z ) jsou uspořádáy takto: (z ) = (x 1 y 1, x 1 y 2, x 2 y 2, x 2 y 1, x 1 y 3, x 2 y 3, x 3 y 3, x 3, y 2, x 3 y 1, ). Jelikož řady x a y kovergují absolutě, pak podle věty 6.1 koverguje i řada z, tvořeá čley z = x 1 y + x 2 y + + x 1 y + x y + + x y 1 + x y x y 1 Posloupost částečých součtů této řady je vybraou posloupostí z poslouposti částečých součtů řady z, která má ezáporé čley a koverguje. Řada z tedy koverguje absolutě. Tím je věta dokázáa. Důsledek 6.3. Jestliže řady x a y absolutě kovergují, pak absolutě koverguje i řada z, kde z = x 1 y + x 2 y x y 1 a platí z = x y. Řada z z předchozího tvrzeí se azývá Cauchyho souči řad x a y. Uvažujme dvě geometrické řady p a q, Cauchyho souči řad saději pochopíme uspořádáme-li si všechy součiy p i q j kde i, j N do ekoečě velké,,tabulky pq p 2 q p 3 q p 4 q pq 2 p 2 q 2 p 2 q 3 pq 3 p 3 q 2 pq 4 Cauchyho souči q p, porovej s defiicí, je řada z jejíž čley jsou z 1 = pq (čle v levém horím rohu), z 2 = p 2 q + pq 2 (druhá diagoála zprava do leva), dále z 3 = p 3 q + p 2 q + pq 3 (třetí diagoála), až obecě z = p q + + pq. To může být velmi výhodé, jak uvidíme u mociých řad. Ale již yí, pokud by p = q, dostaeme z = p Nekoečé řady fukcí. Necht Y X R. Uvažujeme posloupost ( f ) fukcí f : X R. Symbol f azýváme ekoečou řadou fukcí, určeou posloupostí ( f ). Posloupost (h ) fukcí h : X R, defiovaou předpisem h = f 1 + f f, azýváme posloupostí částečých součtů řady f. Jestliže je posloupost částečých součtů (h ) a možiě Y bodově kovergetí, azýváme řadu f bodově kovergetí a možiě Y. Obor kovergece poslouposti (h ) azýváme oborem kovergece řady f. Je-li Z X obor kovergece řady f, pak fukci f : Z R takovou, že pro každé x Z platí f (x) = f (x) azýváme součtem řady f. Je-li posloupost (h ) a možiě Y stejoměrě kovergetí, azýváme řadu f stejoměrě kovergetí a možiě Y. Necht X = R \ {0} a f : X R, f (x) = /x. Najděme obor kovergece řady f. Necht x X. Použijeme podílové kritérium (věta 5.21) a řadu / x platí ( + 1) x lim x = lim = 1 x x.

3 Matematická aalýza II 6-3 Je-li tedy 1/ x < 1, řada / x koverguje, a tedy řada /x koverguje absolutě. Je-li 1/ x > 1 řada / x, a tedy ai řada /x esplňuje utou podmíku kovergece. Řady /1 a /( 1) divergují. Oborem kovergece řady f je tedy možia (, 1) (1, ). Stejého výsledku lze dosáhout pomocí odmociového kritéria. Věta 6.4 (Cauchy-Bolzaovo kritérium). Řada f koverguje stejoměrě a možiě Y, právě když ke každému ε > 0 existuje číslo 0 takové, že pro každé a x Y platí f f 2 < ε. (6.2.1) D ů k a z. Stačí použít větu 5.8 a posloupost částečých součtů řady f. Jestliže v (6.2.1) položíme 1 = 2, dostaeme Důsledek 6.5 (utá podmíka stejoměré kovergece řady fukcí). Jestliže řada f koverguje stejoměrě a Y, pak posloupost ( f ) koverguje stejoměrě k ule a Y. Důsledek 6.6. Jestliže řada f koverguje stejoměrě a Y, pak posloupost ( k= f k ) koverguje stejoměrě k ule a Y. Věta 6.7. Jestliže řada f koverguje a Y, pak i řada f koverguje a Y a platí f f. D ů k a z. Pro každé 1 2 a x Y platí f 1 (x) + + f 2 (x) f 1 (x) + + f 2 (x) Prví část tvrzeí je tedy důsledkem věty 6.4. Druhou část dokazuje ásledující výpočet: f (x) = lim ( f 1(x) + + f (x)) lim ( f 1(x) + + f (x) ) = f (x). Jestliže řada f koverguje stejoměrě a Y (což podle věty 6.7 zameá, že řada f a Y rověž stejoměrě koverguje) říkáme, že řada a Y koverguje absolutě stejoměrě. Věta 6.8. Necht ( f ) a (g ) jsou poslouposti reálých fukcí a X. Jestliže ( f ) (g ) a řada g koverguje stejoměrě a Y, pak řada f koverguje absolutě stejoměrě a Y. D ů k a z. Řada g splňuje a Y podmíku Cauchyho-Bolzaova kritéria (věta 6.4). Ke každému ε > 0 tedy existuje číslo 0 takové, že pro každé platí g g 2 < ε. Jelikož ( f ) (g ), řada f rověž a Y splňuje podmíku Cauchyho-Bolzaova kritéria. Řada f tedy a Y koverguje absolutě stejoměrě. Jsou-li fukce g kostatí, plye stejoměrá kovergece řady g z její bodové kovergece (ověřte!). V tomto případě je použití uvedeé věty velmi výhodé (porovej s příkladem 2). Následující důležité tvrzeí je bezprostředím důsledkem věty 5.9. Věta 6.9. Necht fukce f jsou spojité a možiě Y a řada f stejoměrě koverguje k fukci f a Y. Pak fukce f je a možiě Y spojitá. D ů k a z. Stačí aplikovat větu 5.9 a posloupost částečých fukcí řady f (jak?). Důsledek Necht řada f stejoměrě koverguje a možiě Y k fukci f a echt pro každé N existuje limita lim x x0 f (x) = a. Pak řada a koverguje, limita lim x x0 f (x) existuje a platí a = lim x x 0 f (x). 6.3 Mocié řady. Výsledky předchozího odstavce aplikujeme a důležitý typ řad fukcí, a mocié řady.

4 Nekoečé řady fukcí Necht X = R, x 0 R a (a ) je posloupost reálých čísel. Defiujme posloupost fukcí f : R R předpisem f 1 = a 1, f = a (x x 0 ) 1, pro > 1. (6.3.1) Řada f se azývá mociá řada, číslo x 0 její střed, posloupost a její posloupost koeficietů. Pro = 1 a x = x 0 výraz a (x x 0 ) 1 emá smysl (číslo 0 0 eí defiováo). Proto bylo uté fukci f 1 defiovat zvlášt. Na druhou strau, abychom se apříště vyhuli epříjemostem s defiováím advakrát, domluvíme se takto: kdykoli apíšeme mociou řadu a (x x 0 ) 1, budeme mít a mysli řadu, jejíž prví čle je kostatí fukce a 1. Věta Obor kovergece mocié řady a (x x 0 ) 1 je eprázdý iterval koečé délky se středem v x 0 ebo možia R. V prvím případě je poloměr itervalu rove číslu 1/p, kde p = lim sup a, (6.3.2) ve druhém případě je p = 0. V každém vitřím bodě svého oboru kovergece mociá řada koverguje absolutě. D ů k a z. Zvolme x R. Je-li x = x 0, řada a (x x 0 ) 1 absolutě koverguje. Předpokládejme, že x x 0 a ozačme p = lim sup a. Z limitího odmociového kritéria (věta 5.23) plye, že je-li x x 0 p < 1, řada a (x x 0 ) 1 absolutě koverguje a je-li x x 0 p > 1, pak tato řada diverguje. Odtud plye, že oborem kovergece řady a (x x 0 ) 1 je iterval se středem v x 0 a poloměrem 1/p (jestliže 0 < p < ) ebo iterval (, ) (je-li p = 0) ebo iterval [x 0, x 0 ] (je-li p = ). Kovergece v kocových bodech (tedy kdy x x 0 p = 1) je pro tvrzeí epodstatá. 1) Obor kovergece mocié řady a (x x 0 ) 1 se azývá iterval kovergece této řady a jeho poloměr poloměr kovergece této řady (je-li itervalem kovergece možia R, je tedy poloměr kovergece řady rove ). Uvažujme řadu ( 1) +1 (x + 1) +1. (6.3.3) Najdeme iterval kovergece této řady. Pro x R aplikujeme odmociové kritérium a řadu x (řada absolutích hodot z (6.3.3)) (je to řada ezáporých reálých čísel). Platí lim x x + 1 = lim x + 1 = x + 1. Naše řada tedy koverguje absolutě pro x + 1 < 1, tedy pro x ( 2, 0) a diverguje pro x + 1 > 1, tedy pro x (, 2) (0, ). Poloměr kovergece této řady je tedy 1. Zbývá vyšetřit kovergeci řady pro x = 2 a 1) To zameá, že se může stát, že oborem kovergece bude z jedé stray otevřeý a z druhé stray uzavřeý iterval (porovej s příkladem za ásledujícím odstavcem).

5 Matematická aalýza II 6-5 x = 0. V prvím případě se jedá o harmoickou řadu, která diverguje, ve druhém o alterující řadu, o íž sado pomocí Leibizova kritéria zjistíme, že koverguje. Itervalem kovergece aší mocié řady je tedy iterval ( 2, 0]. Stejého výsledku lze dosáhout i pomocí podílového kritéria. Věta Mociá řada a (x x 0 ) 1 s poloměrem kovergece r koverguje stejoměrě a itervalu [x 0 p, x 0 + p] pro každé kladé p < r. D ů k a z. Podle věty 6.11 řada a p 1 koverguje absolutě. Navíc pro každý prvek x [x 0 p, x 0 + p] platí a x x 0 1 a p 1. Tvrzeí tedy plye z věty ) Důsledek Součet mocié řady a (x x 0 ) 1 je fukce spojitá ve všech vitřích bodech jejího itervalu kovergece. D ů k a z. Plye z předchozí věty a z věty Expoeciálí fukce a logaritmus. Uvažujme mociou řadu x /!. Pomocí podílového kritéria sado zjistíme (viz. příklad 5), že oborem kovergece této řady je R. Můžeme tedy defiovat fukci exp : R (0, ) 3) předpisem exp(x) = x!. (6.4.1) Tato fukce se jmeuje expoeciálí fukce. Klademe e = exp(1). Číslo e azýváme Eulerovo číslo. 4) Je-li e = exp(1), je pouhým využitím defiice fukce exp dostaeme, že 1/! = e. Následující tvrzeí shruje základí vlastosti fukce exp. Věta Fukce exp je spojitá. 2. Pro každé x, y R, platí exp(x + y) = exp(x) exp(y). 3. Fukce exp je rostoucí. 4. lim x exp(x) = a lim x exp(x) = 0. D ů k a z. 1. Plye z důsledku Máme exp(x) exp(y) = x! y! = ( ) y =! + x y 1 1!( 1)! + + x! = (( ) ( ) ( ) 1 y + x y )x! =! (x + y) (biomická věta) = exp(x + y). (důsledek 6.3 součet po diagoálách) 3. Jestliže x < y, pak pro každé N je x /! < y /!. Řady pro exp(x) a exp(y) přitom mají ezáporé čley, což zameá, že exp(x) < exp(y). Tím jsme dokázali, že fukce exp je rostoucí a itervalu [0, ). Ze vztahu exp(x) exp( x) = 1 (který plye z bodu 2.) yí sado odvodíme (jak?), že fukce exp je rostoucí i a itervalu (, 0]. 4. Podle bodu 3. je exp(1) > exp(0), eboli e > 1. Podle bodu 2. je exp() = e. Odtud plye, že lim exp() =. Z bodu 3. ovšem plye, že také lim x exp(x) =. Hodota druhé limity plye z toho, že exp( x) = 1/ exp(x). 2) Zde je vidět, jak je výhodé ohraičeí kostatími fukcemi (jsou to fukce a p 1 ). 3) To, že jsme mohli vzít za obor hodot iterval (0, ) ukáže ásledující věta. 4) Časem se ukáže, že 1/! = lim(1 + 1/). Tím bude odstraěa estrovalost, vziklá dvojím defiováím čísla e.

6 Nekoečé řady fukcí Důsledek Pro každé celé číslo k platí exp(k) = e k. 2. exp(r) = (0, ). 3. Fukce exp je homeomorfismus. D ů k a z. 1. Plye ihed z bodu 2. předchozí věty. 2. Plye z bodů 3. a 4. předchozí věty. 3. Plye z bodů 1. a 3. předchozí věty, z věty 4.21 a z bodu 2. tohoto důsledku. Iverzí fukci k fukci exp azýváme přirozeý logaritmus a ozačujeme symbolem l. Následující tvrzeí je jedoduchým důsledkem vlastostí expoeciálí fukce. Věta Fukce l je spojitá. 2. Pro každé x 1, x 2 (0, ) je l(x 1 x 2 ) = l(x 1 ) + l(x 2 ). 3. Fukce l je rostoucí. 4. lim x 0 + l(x) = a lim x l(x) =. D ů k a z. 1. Plye z bodu 3. důsledku Ozačme y 1 = l(x 1 ), y 2 = l(x 2 ). Máme l(x 1 x 2 ) = l(e y 1 e y 2 ) = l(e y 1+y 2 ) = y 1 + y 2 = l(x 1 ) + l(x 2 ). 3. Iverzí fukce k roustoucí fukci je vždy rostoucí (proč?). 4. Z věty 4.26 vyplývá že tyto limity existují (v R). Ozačíme-li lim x 0 + l(x) = a a lim x l(x) = b, máme podle věty 4.24 lim x a ex = lim y 0 el(y) = lim l(y) = 0 + y 0 + což zameá, že a =. Podobě, z lim x b ex = lim y el(y) = lim y = y plye, že b =. Nyí můžeme defiovat expoeciálí a logaritmickou fukci o libovolém základu. Pro libovolé číslo a > 0 defiujeme fukci exp a : R (0, ) předpisem exp a (x) = e x l(a). (6.4.2) Fukce exp a se azývá expoeciálí fukce o základu a. Následující věta shruje její základí vlastosti (všechy sado vyplývají z vlastostí fukcí exp a l; proto echáme její důkaz a čteáři). Věta Fukce exp a je spojitá. 2. Pro každé x, y R platí exp a (x + y) = exp a (x) exp a (y). 3. Je-li a (0, 1), je fukce exp a klesající. Pro a = 1 je kostatí a pro a > 1 rostoucí. 4. Je-li a (0, 1), je lim x exp a (x) = 0 a lim x exp a (x) =, je-li a > 1 je lim x exp a (x) = a lim x exp a (x) = Důsledek Pro každé celé číslo k platí exp a (k) = a k. 2. Pro a 1 je exp a (R) = (0, ). 3. Pro a 1 je exp a homeomorfismus. Vzhledem k bodu 1. uvedeého důsledku je přirozeé zavést ozačeí exp a (x) = a x pro libovolé reálé číslo a. Ihed dostáváme (a x ) y = a xy. Necht a (0, 1) (1, ). Iverzí fukce k fukci exp a se azývá logaritmus o základu a a ozačuje l a. Základí vlastosti této fukce si milý čteář již sado odvodí sám. 6.5 Goiometrické fukce. Podobě jako expoeciálí fukce se defiují i fukce goiometrické. Fukce sius si : R [ 1, 1] a kosius cos : R [ 1, 1] jsou defiováy předpisem

7 Matematická aalýza II 6-7 si(x) = ( 1) x 2+1 (2 + 1)!, (6.5.1) cos(x) = ( 1) x2 (6.5.2) (2)! (opět lze zjistit, že řady a pravé straě kovergují pro každé x R, což ás opravňuje vzít za defiičí obor R; později se ukáže, že maximum a miimu těchto fukcí je 1 a 1, proto oborem hodot může být iterval [ 1, 1]). Základí vlastosti goiometrických uvádí ásledující věta. Věta Fukce si a cos jsou spojité. 2. Fukce si je lichá, fukce cos je sudá. 3. Pro každé x, y R platí a si(x + y) = si(x) cos(y) + cos(x) si(y) cos(x + y) = cos(x) cos(y) si(x) si(y). (součtový vzorec pro sius) (součtový vzorec pro kosius) D ů k a z. 1. Plye z důsledku Plye z tvrzeí 3. věty Dokážeme ejprve součtový vzorec pro sius. Vyjádřeme si výrazy si(x) cos(y) a cos(x) si(y) jako cauchyovy součiy řad z (6.5.1) a (6.5.2) (tedy použijeme důsledek 6.3, můžeme, řady jsou přece absolutě kovergetí (ověřte!)). Máme x x y2 2! x y 4 4! x y6 6! x3 3! x 3 y 2 3!2! x3 y 4 3!4! si(x) cos(y) x 5 5! x5 y 2 5!2! x 7 7! y x2 y 2! x 4 y 4! x6 y 2! si(y) cos(x) y3 3! x 2 y 3 2!3! x4 y 3 4!3! y 5 5! x2 y 5 2!5! Vezmeme-li postupě z obou těchto tabulek ejprve prví diagoály a sečteme je potom druhé a tak dále (to přece můžeme, jsou to absolutě kovergetí řady, porovej s větou 5.27), dostaeme řadu ( ) x 3 a = (x + y) 3! + x2 y + x y2 2! 2! + y3 + 3! = = + ( x 5 5! + x4 y 4! + x3 y 2 3!2! + x2 y 3 2!3! + x y4 4! + y5 5! 2+1 ( 1) x 2+1 k y k (2 + 1 k)!k! k=0 2+1 ( 1) 1 ( ) x 2+1 k y k (2 + 1)! k k=0 ) y7 7!

8 Nekoečé řady fukcí = (x + y)2+1 ( 1) = si(x + y) (2 + 1)! Obdobým způsobem lze dokázat i součtový vzorec pro kosius te ale přeecháváme tobě čteáři. Důsledek Pro každé x R platí si(2x) = 2 si(x) cos(x) a cos(2x) = cos 2 (x) si 2 (x). 2. Pro každé x R platí si 2 (x) + cos 2 (x) = 1. D ů k a z. 1. Plye ze součtových vzorců siu a kosiu. 2. V součtovém vzorci pro kosius položíme y = x, využijeme bodu 2. předchozí věty a toho, že cos(0) = 1. Potom tedy dostáváme 1 = cos(x x) = cos(x) cos( x) si(x) si( x) = cos 2 (x) + si 2 (x). Lze dokázat, ale zatím to eí v ašich silách, že takto defiovaé fukce si a cos mají téže vlastosti, s imiž se čitatel v předchozím studiu setkal. Zopakujme pouze, že fukce si a cos jsou periodické a poloviu jejich periody budeme začit π. 5) Další vlastosti goiometrických fukcí zde již ezmiňujeme, spoléháme se a čteářovy dřívější zalosti, o dalších goiometrických fukcích se zde již je zmííme. Defiujeme fukci ta : R \ {π/2 + kπ k Z} R, tak že položíme ta(x) = si(x)/ cos(x), tuto fukci azveme tages. Obdobě defiujeme fukci kotages cota : R \ {kπ k Z} R, cota(x) = cos(x)/ si(x). 6.6 Cyklometrické fukce. Iverzí fukce ke zúžeým fukcím si : [ π/2, π/2] [ 1, 1], cos : [0, π] [ 1, 1], ta : ( π/2, π/2) R a cota : (0, π) R azýváme arkus sius, arkus kosius, arkus tages a arkus kotages, začíme je arcsi, arccos, arcta a arccota. Vlastosti těchto fukcí laskavě poecháváme k prozkoumáí čteáři. Příklady 1. Najděte obor kovergece řady f, jestliže f (x) = (x 2) /. Řešeí: Použijeme odmociové kritérium a řadu f lim sup x 2 = lim sup x 2 = x 2. 1 Z odmociového kritéria dostáváme, že pro x 2 < 1 řada f koverguje a podle věty 5.25 koverguje i f. Pro x 2 > 1 řada f a tudíž i f esplňuje utou podmíku kovergece. Zbývá ám ověřit případy x = 3 a x = 1. Pro x = 3 jde o řadu 1/, tedy o harmoickou řadu, která, jak jistě víme, ekoverguje. Pro x = 1 jde o řadu ( 1) /, tato řada je kovergetí. Lze se o tom přesvědčit Leibitzovým kritériem. Celkově, oborem kovergece aší řady je iterval [1, 3). 2. Dokažte, že řada f stejoměrě koverguje a I, jestliže f (x) = e 1 x a I = [1, ). Řešeí: Pokusíme se k řadě f ajít stejoměrě kovergetí majoratu. Nejlépe se pro teto účel hodí řada kostatích fukcí (pro ty přece stejoměrá kovergece plye z kovergece, proč?). Každou fukci f shora ohraičíme kostatí fukcí g (x) = sup x [1, ) f (x). Protože každá z fukcí f je a itervalu [1, ) klesající (opravdu f (x) = f (x) = 1/ 1/e x, fukce 1/ je 5) Zámé Ludolfovo číslo. Pomocí součtu ekoečé řady jej lze defiovat π = 4 ( 1)

9 Matematická aalýza II 6-9 kostatí a e x rostoucí), abývá f svého maxima v bodě 1. Proto g (x) = f (1) = 1/e, řada 1/e je kovergetí (ověřte odmociovým kritériem!) a řada g, tudíž i f, je stejoměrě kovergetí. 3. Ukažte, že součet řady fukcí f, kde f : [0, 1] R, f (x) = 5x2 2 je spojitá fukce. Řešeí: Je jasé, že každá z fukcí f je spojitá, pokud se ám podaří ukázat, že řada f koverguje stejoměrě a [0, 1], pak i její součet bude utě spojitá fukce. Stejě jako v předchozím příkladě se pokusíme fukce f shora ohraičit kostatími fukcemi. Jelikož f 0 a pro každé x [0, 1] platí 5x 2 5, vezmeme posloupost (g ) kostatích fukcí, g (x) = 5/ 2, pro které platí f g a protože g = 5/ 2 koverguje (ověřte podílovým kritériem!), podařilo se ám řadu fukcí f shora ohraičit stejoměrě kovergetí řadou fukcí g. 4. Najděte obor kovergece mocié řady se středem v x 0 a posloupostí koeficietů (a ), jestliže x 0 = 0 a a = 5. Řešeí: Počítejme poloměr kovergece r = 1/p, kde p = lim sup 5. Tedy p = lim sup 5 = lim sup 5 = 1 5. Víme, že řada koverguje pro x (x 0 r, x 0 + r) = ( 1 5, 1 5 ), jak je tomu v kocových bodech musíme prozkoumat zvlášt. Pro x = 1 5, jde o řadu 5 ( 5 1 ) = ( 1), která ale esplňuje utou podmíku kovergece. Obdobě je tomu i pro x = 1 5. Celkově dostáváme, že itervalem kovergece této řady je ( 5 1, 1 5 ). 5. Najděte obor kovergece řady x!. Řešeí: Využijeme limitího podílového kritéria. Počítejme lim sup f +1 f = lim sup x +1 ( + 1)! x pro každé x R. Tedy oborem kovergece je R.! x = lim = 0, Cvičeí 1. Najděte obor kovergece řady f, jestliže a) f (x) = (3 x) ; b) f (x) = x(x + ) ; c) f (x) =! (x 2 + 1)(x 2 + 2) (x 2 + ) ; d) f (x) = 1 ( ) x ; x e) f (x) = l (3x); f) f (x) = cos(x) e x. 2. Dokažte ásledující tvrzeí: Je-li f kovergetí řada kostatích fukcí f : X R, pak tato řada koverguje a X stejoměrě. 3. Dokažte, že řada =2 f stejoměrě koverguje a I, jestliže a) f (x) = 1 x 4 + 2, I = R; b) f (x) = x 2 e x, I = [0, ); c) f (x) = x x 2, I = [0, ); d) f (x) = 1 2 2x, I = R; + e

10 Nekoečé řady fukcí e) f (x) = cos(x) 2, I = R; f) f (x) = si(x), I = R; ( ) g) f (x) = l 1 + x l 2, I = ( 1, 1); h) f (x) = ( 1) () + si(x), I = [0, 2π]; i) f (x) = ( 1) x +, I = (0, ); j) f (x) = e 2 x 2 3, I = R. 4. Dokažte, že součet řady f je spojitá fukce, kde e x2 ( 2 + 1). 5. Najděte obor kovergece mocié řady se středem x 0 a posloupostí koeficietů (a ), jestliže a) f (x) = cos(x) ( + 1) ; b) f (x) = si(x) ( + 1) ; c) f (x) = a) x 0 = 0, a = 5 ; b) x 0 = 0, a =!; c) x 0 = 0, a = 3 2 ; d) x 0 = 0, a = 3 + ( 1) ; e) x 0 = 2, a = ( 1) + ; f) x 0 = 2, a =!. 6. Najděte obor kovergece řady f, jestliže a) f (x) = x 2 1 (2 1)!(2 1) ; b) f (x) = 3 2 x 2 ; c) f (x) =!x 2 ; d) f (x) = x2 2 ; e) f (x) = ( 1)5 1 1 ; f) f (x) = 10 2 (2x 3). 7. Pomocí Cauchyho součiu řad ukažte, že platí ásledující rovosti a) cos(x + y) = cos(x) cos(y) si(x) si(y); b) exp(1 1) = Bud a = ( 1). Dokažte, že Cauchyho souči řad a a ekoverguje. Obyčejý souči řad a a ale koverguje (proč?). Jak je to možé? 9. Pomocí Cauchyho součiu spočtěte druhou mociu řady ( 1 5 ) 1. Výsledky 1. a) (2, 4); b) ; c) R \ {0}; d) (, 0); e) (1/3e, e/3); f) { π/2 π = 0, 1, 2, } (0, ). 3. a) Stejoměrě kovergetí majorata a I : g (x) = 1/ 2 ; b) g (x) = e ; c) g (x) = 1/2 2 ; e) g (x) = 2 ; f) g (x) = 3/2 ; h) g (x) = ( 1) /; i) g (x) = ( 1) /; j) g (x) = 1/ a) Stejoměrě kovergetí majorata: g (x) = 1/(( + 1)); b) g (x) = 1/(( + 1)); c) g (x) = 1/(( 2 + 1)). 5. a) ( 1 5, 1 5 ); b) {0}; c) ( 2 3 2, 3 2 2); e) (1, 3); f) (2 e, 2 + e). 6. b) ( 1 3, 1 3 ); c) {0}; d) ( 2, 2); e) ; f) ( , )