Matematika 2 LS 2012/13. Prezentace vznikla na základě učebního textu, jehož autorem je doc. RNDr. Mirko Rokyta, CSc. J. Stebel Matematika 2

Transkript

1 Matematika přednáška Číselné a mocninné řady Jan Stebel Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studíı Technická univerzita v Liberci LS 2012/13 Prezentace vznikla na základě učebního textu, jehož autorem je doc. RNDr. Mirko Rokyta, CSc.

2 14.1 Základní pojmy Definice Necht {a n } C je posloupnost komplexních čísel. Pro m N položme s m = a 1 + a a m. Číslo s m nazveme m-tým částečným součtem řady n=1 a n. Prvek a n budeme nazývat n-tým členem řady n=1 a n. Součtem nekonečné řady n=1 a n nazveme limitu posloupnosti {s m }, pokud tato limita existuje. Součet řady budeme značit symbolem n=1 a n. Řekneme, že řada konverguje, je-li její součet konečné číslo. V jiném případě řekneme, že řada diverguje.

3 14.1 Základní pojmy (pokrač.) Věta 14.1 (nutná podmínka konvergence řady) Jestliže řada n=1 a n konverguje, pak lim a n = 0. Poznámka Právě uvedená nutná podmínka konvergence se používá především ve tvaru Jestliže lim a n 0 nebo lim a n neexistuje, potom řada n=1 a n diverguje.

4 14.1 Základní pojmy (pokrač.) Věta 14.2 (i) Necht α C, α 0. Potom n=1 a n konverguje, právě když n=1 αa n konverguje. V tom případě platí αa n = α a n. n=1 n=1 (ii) Necht n=1 a n a n=1 b n jsou konvergentní řady. Potom n=1 (a n + b n ) konverguje, a platí (a n + b n ) = n=1 a n + b n. n=1 n=1

5 14.1 Základní pojmy (pokrač.) Věta 14.3 (Bolzano-Cauchy) Řada n=1 a n konverguje, právě když platí ε > 0 n 0 N m > n n 0 : m j=n+1 a j < ε.

6 14.2 Kritéria konvergence Věta 14.4 (srovnávací kritérium) Necht n 0 N. Dále necht n=1 a n a n=1 b n jsou dvě řady splňující 0 a n b n pro každé n N, n n 0. (i) Je-li n=1 b n konvergentní, je rovněž n=1 a n konvergentní. (ii) Je-li n=1 a n divergentní, je rovněž n=1 b n divergentní.

7 14.2 Kritéria konvergence (pokrač.) Věta 14.5 (limitní srovnávací kritérium) Necht n=1 a n a n=1 b n jsou řady s nezápornými členy a lim n + a n /b n = c R. (i) Necht c (0, ). Potom n=1 a n konverguje, právě když konverguje n=1 b n. (ii) Necht c = 0. Pak konverguje-li n=1 b n, konverguje i n=1 a n. (iii) Necht c =. Pak konverguje-li n=1 a n, konverguje i n=1 b n.

8 14.2 Kritéria konvergence (pokrač.) Věta 14.6 (Cauchyovo odmocninové kritérium) Necht n=1 a n je řada s nezápornými členy. Potom platí: (i) Existuje-li q (0, 1) takové, že n 0 N n N, n n 0 : n a n q, potom n=1 a n konverguje. (ii) Je-li lim n a n < 1, pak je n=1 a n konvergentní. (iii) Je-li lim n a n > 1, pak neplatí lim a n = 0 a n=1 a n je divergentní.

9 14.2 Kritéria konvergence (pokrač.) Věta 14.7 (d Alembertovo podílové kritérium) Necht n=1 a n je řada s kladnými členy. (i) Existuje-li q (0, 1) takové, že n 0 N n N, n n 0 : a n+1 a n q, potom n=1 a n konverguje. (ii) Je-li lim a n+1 a n < 1, pak je n=1 a n konvergentní. (iii) Je-li lim a n+1 a n > 1, pak neplatí lim a n = 0 a n=1 a n je divergentní.

10 14.2 Kritéria konvergence (pokrač.) Věta 14.8 (integrální kritérium) Necht f je nezáporná, nerostoucí a spojitá na n 0, + ), kde n 0 N. Necht pro posloupnost reálných čísel {a n } n=1 platí a n = f (n) pro n n 0. Pak n 0 f (x)dx < + a n konverguje. n=1 Věta 14.9 Necht α R. Řada n=1 1 n α konverguje právě tehdy, když α > 1.

11 14.2 Kritéria konvergence (pokrač.) Věta (Raabeovo kritérium) Necht n=1 a n je řada s kladnými členy. ( ) (i) Je-li lim n an a n+1 1 > 1, pak je n=1 a n konvergentní. ( ) (ii) Je-li lim n an a n+1 1 < 1, pak je n=1 a n divergentní.

12 14.2 Kritéria konvergence (pokrač.) Definice Řekneme, že řada n=1 a n je absolutně konvergentní, pokud řada n=1 a n konverguje. Věta Je-li řada n=1 a n absolutně konvergentní, je rovněž konvergentní.

13 14.3 Neabsolutní konvergence Věta (Abel-Dirichletovo kritérium) Necht {a n } n=1 je posloupnost a {b n} n=1 je omezená monotónní posloupnost. Jestliže je splněna některá z následujících podmínek, pak je n=1 a nb n konvergentní. (A) n=1 a n je konvergentní, (D) lim n b n = 0 a n=1 a n má omezenou posloupnost částečných součtů.

14 14.3 Neabsolutní konvergence (pokrač.) Věta (Leibniz) Necht {a n } n=1 je posloupnost splňující n N : a n 0, n N : a n a n+1, lim a n = 0. Potom je řada n=1 ( 1)n a n konvergentní.

15 14.4 Přerovnávání řad Definice Necht p : N N je bijekce. Přerovnáním řady n=1 a n rozumíme řadu n=1 a p(n). Věta Necht n=1 a n je absolutně konvergentní řada a n=1 a p(n) je její přerovnání. Pak n=1 a p(n) je absolutně konvergentní a má stejný součet jako n=1 a n.

16 14.5 Součin řad Definice Cauchyovým součinem řad n=1 a n a m=1 b m budeme rozumět řadu ( k ) a k+1 i b i. k=1 i=1 Věta (Mertens) Necht řady n=1 a n, m=1 b m konvergují, přičemž alespoň jedna z nich konverguje absolutně. Potom ( k ) ( ) ( ) a k+1 i b i = a n b m. k=1 i=1 n=1 m=1

17 14.5 Součin řad (pokrač.) Věta (Abel) Necht n=1 a n, m=1 b m jsou konvergentní řady, takové, že i jejich Cauchyův součin konverguje. Pak platí ( k ) ( ) ( ) a k+1 i b i = a n b m. k=1 i=1 n=1 m=1

18 14.5 Součin řad (pokrač.) Shrnutí Vztah absolutni konvergence a konvergence a n 0 AK K a n C AK = K Aritmetické operace s řadami operace násobek konstantou asociativita (uzávorkování) součet, rozdíl přerovnání (komutativita) násobení dvou řad stačí, když řada konverguje řada konverguje obě řady konvergují řada konverguje absolutně obě řady konvergují, alespoň jedna z nich absolutně

19 14.6 Mocninné řady Definice Mocninnou řadou o středu z 0 C rozumíme řadu k=0 a k(z z 0 ) k, kde z C a a k C pro každé k N {0}.

20 14.6 Mocninné řady (pokrač.) Věta Necht k=0 a k(z z 0 ) k je mocninná řada. Pak existuje nezáporný prvek R R takový, že Platí pro každé z C, z z 0 < R, uvedená řada konverguje absolutně, pro každé z C, z z 0 > R, uvedená řada diverguje. R = 1 lim k k a k, pokud limita ve jmenovateli zlomku vpravo existuje. Výrazu 1/0 zde přiřazujeme hodnotu R = + a výrazu 1/ přiřazujeme hodnotu R = 0.

21 14.6 Mocninné řady (pokrač.) Poznámka. Platí také R = 1 a lim k+1, k a k pokud limita ve jmenovateli zlomku vpravo existuje. Výrazu 1/0 zde opět přiřazujeme hodnotu R = + a výrazu 1/ přiřazujeme hodnotu R = 0. Definice Prvek R z předchozí věty nazýváme poloměrem konvergence řady k=0 a k(z z 0 ) k. Kruh v komplexní rovině K R (z 0 ) := {z C; z z 0 < R} nazýváme kruhem konvergence, a kružnici K R (z 0 ) := {z C; z z 0 = R} nazýváme konvergenční kružnicí dané řady.

22 14.6 Mocninné řady (pokrač.) Poznámka. V dalším textu budeme používat pojem derivace komplexní funkce, který je definován formálně zcela stejně jako pojem derivace reálné funkce reálné proměnné. Tedy, řekneme, že f : C C má derivaci v bodě z C, pokud existuje limita f f (w) f (z) (z) := lim C. w z w z Na rozdíl od reálných funkcí nedefinujeme v tomto případě pojem nevlastní limity (derivace), ani pojmy jednostranná limita (derivace).

23 14.6 Mocninné řady (pokrač.) Věta Necht R > 0 je poloměrem konvergence mocninné řady n=0 a n(z z 0 ) n. Definujme f (z) := a n (z z 0 ) n, z z 0 < R. n=0 Potom řada n=1 na n(z z 0 ) n 1 konverguje pro z z 0 < R a platí f (z) = na n (z z 0 ) n 1, z z 0 < R. n=1

24 14.6 Mocninné řady (pokrač.) Věta Necht f je jako ve Větě Potom má f derivace všech řádů pro z C, z z 0 < R, a platí: f (k) (z) = n(n 1)... (n k + 1)a n (z z 0 ) n k. n=k Speciálně platí f (k) (z 0 ) = k!a k.

25 14.6 Mocninné řady (pokrač.) Poznámka. Mocninnou řadu lze tedy uvnitř kruhu konvergence libovolněkrát derivovat (a integrovat) člen po členu, aniž se změní poloměr konvergence. Stejně tak lze provádět uvnitř kruhu konvergence všechny výše sepsané aritmetické operace, včetně přerovnání řady.

26 14.6 Mocninné řady (pokrač.) Věta (Abel) Necht f je jako ve Větě a necht číselná řada n=0 a n(z z 0 ) n konverguje pro nějaké z C, ležící na konvergenční kružnici, tedy pro z = z 0 + Re iϕ, ϕ 0, 2π). Potom existuje vlastní limita lim r R f (z 0 + re iϕ ) a platí: a n (z z 0 ) n = n=0 a n R n e inϕ = lim f (z 0 + re iϕ ). r R n=0 Speciálně, pokud konverguje číselná řada n=0 a nr n, je n=0 a nr n = lim x R f (x), a podobně je n=0 ( 1)n a n R n = lim x R+ f (x) za předpokladu, že číselná řada n=0 ( 1)n a n R n konverguje.

27 14.6 Mocninné řady (pokrač.) Příklady: Některá z použití teorie číselných a mocninných řad: Rozvíjení funkcí do Taylorových řad pomocí derivování a integrovaní řady (ln(1 + x), arctg x). Sčítání některých číselných (i mocninných) řad (ln 2, = arctg 1). π 4 Hledání řešení ODR ve tvaru řady.