Pokroky matematiky, fyziky a astronomie
|
|
- Štěpán Holub
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Pokroky matematiky, fyziky a astronomie A. A. Karatsuba; Štefan Porubský; Mirko Rokyta; Zdeněk Vlášek Nedožité sedmdesátiny Prof. RNDr. Břetislava Nováka, DrSc. ( ) Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, Vol. 53 (2008), No. 1, Persistent URL: Terms of use: Jednota českých matematiků a fyziků, 2008 Institute of Mathematics of the Academy of Sciences of the Czech Republic provides access to digitized documents strictly for personal use. Each copy of any part of this document must contain these Terms of use. This paper has been digitized, optimized for electronic delivery and stamped with digital signature within the project DML-CZ: The Czech Digital Mathematics Library
2 Nedožité sedmdesátiny Prof. RNDr. Břetislava Nováka, DrSc. ( ) A. A. Karatsuba, Š. Porubský, M. Rokyta, Z. Vlášek I když se Břetislav Novák narodil 2. března 1938 v Pardubicích, byl, jak on sám říkával, Chrudimák. V Chrudimi totiž prožil prvních osmnáct let svého života, a i potom se sem rád a pravidelně vracíval. V letech zde navštěvoval národní školu, poté školu střední ( ) a konečně i jedenáctiletku ( ), kde v roce 1956 úspěšně odmaturoval. B. Novák v r. 1983, fotografie J. Lukeš Už v Chrudimi se začal projevovat jeho mimořádný matematický talent. V roce 1955, ve věku pouhých 17 let, obsadil B. Novák 6. místo v celostátním kole Matematické Prof. Anatolij Alexejevič Karatsuba, Oddělení teorie čísel, Stěklovův ústav matematiky Ruské akademie věd, Gubkina 8, , Moskva, karatsuba@mi.ras.ru, Prof. RNDr. Štefan Porubský, DrSc., Ústav informatiky AV ČR, v. v. i., Pod Vodárenskou věží 2, Praha 8, porubsky@cs.cas.cz, Doc. RNDr. Mirko Rokyta, CSc., Katedra mat. analýzy MFF UK, Sokolovská 83, Praha 8 - Karlín, , rokyta@karlin.mff.cuni.cz, Doc. RNDr. Zdeněk Vlášek, CSc., Katedra mat. analýzy MFF UK, Sokolovská 83, Praha 8 - Karlín, , vlasek@karlin.mff.cuni.cz. Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, ročník 53 (2008), č. 1 53
3 olympiády, a o rok později, v roce 1956, se stal absolutním vítězem celostátního kola této soutěže. Nebylo tedy žádným překvapením, že Břetislav pokračoval po maturitě ve studiu matematiky na Matematicko-fyzikální fakultě Univerzity Karlovy v Praze (v letech ). Na fakultě také potkal Vojtěcha Jarníka, autora dodnes nepřekonané čtyřsvazkové monografie, věnované základům diferenciálního a integrálního počtu, matematika, kterého zejména v české vědecké komunitě není nutno nijak zvlášť představovat. Profesor Jarník se stal Břetislavovým učitelem, později vedoucím jeho diplomové i kandidátské práce, a také kolegou ve vědecké práci. B. Novák ukončil fakultu v roce 1961 s vyznamenáním a také díky V. Jarníkovi se rozhodl zasvětit svůj odborný život teorii čísel. V roce 1967 získal B. Novák jak titul RNDr., tak vědeckou hodnost kandidáta věd, CSc. Vědecko-pedagogický titul docenta obdržel v roce 1972 na základě úspěšné habilitace z roku V roce 1980 získal B. Novák hodnost doktora věd, DrSc., profesorem pak byl jmenován v roce Celý profesní život Břetislava Nováka byl spojen s jeho Alma Mater, Matematicko- -fyzikální fakultou Univerzity Karlovy. Už jako student 4. a 5. ročníku (v letech ) byl Břetislav na MFF zaměstnán jako asistent na půl úvazku. Po úspěšném ukončení studia se stal asistentem ( ) a odborným asistentem ( ). Po získání docentského titulu byl v roce 1972 přijat na místo docenta na MFF UK. Od roku 1982 až do své smrti v roce 2003 působil na MFF UK jako vysokoškolský profesor. Během svého života působil Břetislav Novák na mnoha zahraničních univerzitách a výzkumných pracovištích. K nejvýznamnějším patřil jeho semestrální pobyt na Moskevské státní univerzitě ve školním roce 1962/63 a semestrální pobyt na University of Illinois, Urbana-Champaign, v letech Břetislav Novák patřil také k neúnavným organizátorům matematických akcí nejen na MFF UK, ale také v celé československé (a po rozpadu Československa i české) matematické komunitě. V letech byl vedoucím katedry matematické analýzy MFF UK Praha, na MFF UK působil také jako proděkan (nejprve v letech a poté v letech ). Velkou část svého času věnoval Břetislav Novák činnosti v Jednotě československých (a českých) matematiků a fyziků. Členem Jednoty se stal už v roce Od roku 1972 působil jako člen výboru MVS JČSMF, v roce 1978 se stal členem ÚV JČSMF a místopředsedou MVS JČMF. V letech působil B. Novák jako předseda JČSMF a v letech jako předseda MVS JČMF a místopředseda JČMF. Podrobnější seznam jeho aktivit v JČ(S)MF může čtenář nalézt v [10], viz též nekrolog, uveřejněný v PMFA 49 (2004). Za svou významnou činnost v těchto organizacích byl B. Novák mnohokrát oceněn, zmiňme například jeho jmenování zasloužilým členem JČSMF v r či čestným členem JČMF v r V neposlední řadě byl Břetislav (cca od roku 1966) členem Společnosti pro dějiny přírodních věd a techniky, dále členem vědecké rady ČVUT (v letech ), působil rovněž jako člen vědeckého kolegia matematiky ČSAV ( ), člen Národního komitétu pro matematiku při MŠ ČSR a ČR (od r. 1977), člen komise expertů pro matematiku při MŠ ČSR, předseda předmětové rady a člen mnoha dalších komisí, výborů a rad. 54 Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, ročník 53 (2008), č. 1
4 K jedné z priorit Břetislava Nováka patřila také snaha o co největší vzájemnou komunikaci mezi vědeckými a pedagogickými pracovníky a o rychlé zavádění nejnovějších matematických poznatků do výuky. Byl autorem či spoluautorem několika učebnic pro střední i vysoké školy a jeho skripta z teorie čísel [5] patří i tři desetiletí po svém vydání k nejvýznamnějším česky psaným zdrojům poznatků klasické analytické teorie čísel. Břetislav Novák zemřel 18. srpna 2003 v Praze. Všichni, kdo jej znali, na něj nikdy nezapomenou. Matematické zájmy Břetislava Nováka Břetislav Novák se zabýval širokou škálou problémů celé matematické analýzy se speciálním důrazem na teorii funkcí komplexní proměnné a jejich aplikací. Hlavním předmětem jeho zájmu se však stala (zejména analytická) teorie čísel. Ve svém prvním publikovaném článku [1] charakterizoval B. Novák polynomy s celočíselnými koeficienty, nabývajícími pouze hodnot tvaru 6m ± 1. Jádrem důkazu tvrzení, obsaženého v článku, bylo následující pozorování: nabývá-li kvadratický polynom s celočíselnými koeficienty pouze hodnot tvaru 6m ± 1, a to v šesti po sobě jdoucích hodnotách argumentu, pak nabývá již nutně hodnot tvaru 6m±1 ve všech celočíselných hodnotách argumentu. V článku [2], který vznikl krátce poté, vylepšil Břetislav tento výsledek důkazem tvrzení, že pokud libovolný polynom s celočíselnými koeficienty nabývá pouze hodnot tvaru 6m ± 1, a to ve třech po sobě jdoucích hodnotách argumentu, jsou už nutně všechny jeho celočíselné hodnoty tvaru 6m ± 1. Od samého počátku své matematické pouti se Břetislav, ovlivněn svým školitelem Vojtěchem Jarníkem, zabýval teorií mřížových bodů ve vícedimenzionálních elipsoidech. Hlavním předmětem jeho zájmu bylo nalezení přesných asymptotických odhadů chování rozdílu mezi tzv. váženým počtem celočíselných bodů n-dimenzionálního elipsoidu a jeho objemem. Největší technickou překážkou je v tomto případě zásadní rozdíl mezi tzv. racionálním a iracionálním elipsoidem. První zajímavé výsledky pro iracionální elipsoidy dokázal už v r A. Walfisz. Způsob, jakým by bylo možno tento problém zcela vyřešit, naznačil V. Jarník sérií článků publikovaných po roce Břetislav zdokonalil Jarníkův přístup a ve svých článcích z 60. let 20. století de facto ukázal cestu k jeho řešení. Čtenáře, kterého zajímají podrobnosti, odkazujeme na monografii F. Frickera [7], na tomto místě uvedeme pouze některá základní fakta a výsledky: 1 ) Nechť Q(µ 1,µ 2,...,µ r ), r>4, je pozitivně definitní kvadratická forma s celočíselnými koeficienty. Označme D její determinant. Nechť dále jsou M 1,M 2,...,M r čísla přirozená, b 1,b 2,...,b r čísla celá a konečně α 1,α 2,...,α r čísla reálná. Pro x>0 uvažujeme funkci A(x), A(x) = e 2πi(α1µ1+α2µ2+...+αrµr), 1 ) Zbytek tohoto paragrafu čerpá z rukopisu [9]. Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, ročník 53 (2008), č. 1 55
5 kde sčítáme přes taková µ 1,µ 2,...,µ r,prokterá Q(µ 1,µ 2,...,µ r ) x, a µ j b j mod M j, j =1, 2,...,r. Je-li M 1 = M 2 =... = M r =1aα 1 = α 2 =... = α r =0,pakA(x) vyjadřuje počet celočíselných bodů v příslušném elipsoidu. Hlavní člen A(x) je roven I(x) = π r 2 e 2πi(α1b1+α2b2+...+αrbr) DM1 M 2 M r Γ ( r 2 +1) x r 2 δ, kde δ = 1, jsou-li všechna čísla α 1 M 1, α 2 M 2,..., α r M r celá a δ =0vevšechostatních případech. B. Novák se zaměřil na studium chování zbytku R(x) =A(x) I(x). a dokázal o tomto chování (pro různé systémy (α 1,α 2,...,α r )) řadu vět. Některé z nich byly dokázány během jeho pobytu na Moskevské univerzitě v letech Věta 1. Pro všechny systémy (α 1,α 2,...,α r ) platí R(x) =O(x r 2 1 ) pro x. Věta 2. Je-li alespoň jedno z čísel α 1,α 2,...,α r iracionální, je R(x) =o(x r 2 1 ) pro x. (1) Odhad z Věty 2 nelze zlepšit: Věta 3. Buď ϕ(x) > 0 reálná funkce, ϕ(x) 0 když x. Potom existuje systém (α 1,α 2,...,α r ) takový, že platí (1) apřitom R(x) =Ω(x r 2 1 ϕ(x)) pro x. Věta 4. Pro skoro všechny systémy (α 1,α 2,...,α r ) (ve smyslu Lebesgueovy míry v R r ) aprovšechnaε>0 platí odhad R(x) =O(x r 4 log 2r+1+ε x) pro x. Tytovýsledkybylyuveřejněnyvčlánku[3],kterýbylpřijatkpublikacinadoporučení akademika A. N. Kolmogorova. Celočíselné body ve vícerozměrných elipsoidech byly v Novákově tvůrčí práci hlavním tématem, i v celosvětovém měřítku patřil v tomto oboru k předním odborníkům. Jedním z posledních jeho článků na toto téma (viz [6]) byl příspěvek na konferenci 56 Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, ročník 53 (2008), č. 1
6 International Conference on Analytical Methods in Number Theory and Analysis, která se uskutečnila (na počest 90. narozenin I. M. Vinogradova) v roce 1981 v Moskvě. V uvedeném článku shrnul B. Novák výsledky svého mnohaletého výzkumu, současný stav problematiky a seznam souvisejících otevřených problémů. B. Nováka také zajímaly další problémy teorie čísel. Připomeňme některé z těch, ve kterých dosáhl zajímavých výsledků. V roce 1997 se B. Novák spolu s A. A. Karatsubou zabýval aritmetickými problémy týkajícími se čísel, která ve dvojkovém vyjádření mají sudý (lichý) počet jedniček a obdržel výsledky o rozložení takovýchto čísel v krátkých aritmetických posloupnostech, o rozložení kvadratických zbytků a nezbytků podle rostoucího prvočíselného modulu mezi takovýmito čísly, a také o rozložení primitivních kořenů a indexů mezi nimi. Část těchto výsledků byla publikována v ruském časopisu Matěmatičeskije zamětky (Math. Notes, viz [8]). V posledních letech svého života se B. Novák věnoval řešení problému, jehož formulaci motivovala úloha, kterou pro 31. Mezinárodní matematickou olympiádu, konanou v čínském Pekingu ve dnech , formulovala rumunská výprava: úkolem bylo najít všechna přirozená čísla n>1taková, že 2 n + 1 je dělitelné n 2.Zřešení této úlohy nejprve plynulo, že nejmenším prvočíselným dělitelem každého řešení n je číslo 3, a posléze že jediným řešením celého problému je n =3.B.Novákzačalpod vlivem této úlohy studovat vlastnosti a rozložení přirozených čísel n>1 takových, že n dělí 2 n + 1. Čísla s touto vlastností byla později v Rusku nazvána Novákovými čísly (viz [9]) a množina těchto čísel byla označována N B, podle počátečních písmen Novákova jména. Označme N B (x) počet Novákových čísel nepřevyšujících x, tj. N B (x) =#{n x; n N B }, x > 2. O vlastnostech této množiny dokázal sám B. Novák řadu zajímavých výsledků (viz [11]), ke kterým patří například následující odhad: N B (x) =O(x/ log x ) pro x. Až do své smrti se snažil B. Novák najít nejlepší odhad asymptotického chování funkce N B (x). S použitím počítače provedl rozsáhlé výpočty (mimo jiné nalezl také první milión čísel s uvedenou vlastností). Formuloval také následující hypotézu (viz [11]): pro libovolné ε>0 platí N B (x) =O(x ε ) pro x. Toto tvrzení zůstává stále nedokázáno. Jeho důkaz by byl podstatným přínosem pro teorii čísel. Poznámka: Tento článek je českou verzí anglicky psaného příspěvku Prof. RNDr. Břetislav Novák, DrSc. ( ) would be seventy (viz [13]), ve kterém je také možno nalézt úplný seznam (více než 70) publikací B. Nováka. Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, ročník 53 (2008), č. 1 57
7 Poděkování: Autoři by chtěli poděkovat Břetislavově ženě, Dr. Evě Novákové, za její pomoc s přípravou tohoto článku. S její pomocí byla také již dříve připravena stránka [12], ze které jsme intenzivně čerpali. Literatura [1] Novák, B.: Poznámka ke kvadratickým polynomům. Časopis Pěst. Mat. 80 (1955), [2] Novák, B.: Poznámka o polynomech s celočíselnými koeficienty. Časopis Pěst. Mat. 82 (1957), 99. [3] Novák, B.: Celye točki v mnogoměrnych ellipsoidach. Dokl. Akad. Nauk SSSR 153 (1963), (Anglický překlad: Sov. Math. Dokl. 4 (1963), ). [4] Novák, B.: Über Gitterpunkte in mehrdimensionalen Ellipsoiden. In: Zahlentheorie Tagung des Mathematischen Forschungsinstituts Oberwolfach März 1970 (Tagungsleiter Th. Schneider; M. Barner, W. Schwarz eds.), Berichte aus dem Mathematischen Forschungsinstitut Oberwolfach, Heft 5, Bibliographisches Institut Mannheim, Wien, Zürich 1971, [5] Novák, B.: Vybrané partie z teorie čísel. Skriptum MFF UK, SPN Praha [6] Novák, B.: Celye točki v mnogoměrnych ellipsoidach. International conference on analytical methods in number theory and analysis (Moscow, 1981), Trudy Mat. Inst. Stěklova 163 (1984), (Anglický překlad: Proc. Steklov Inst. Mat. 4 (1985), ). [7] Fricker F.: Einführung in die Gitterpunktlehre. Birkhäuser Verlag, [8] Karatsuba, A. A., Novák, B.: Arifmetičeskie zadači s čislami special novo vida. Mat. Zametki 66 (1999), no. 1 2, [9] Karatsuba A. A: Pamjati Professora B. Novaka. Nepublikovaný přípěvek přednesený A. A. Karatsubou, Conference on number theory, dedicated to the memory of B. Novák, Prague, [10] Břetislav Novák Informace MVS 59, prosinec 2003, p. 6. [11] Novák, B.: Některé vlastnosti čísel Q n =2 n +1. Nepublikovaný rukopis. [12] Pages/Novak.htm (webová stránka věnovaná životu a dílu B. Nováka, sestavil Š. Porubský). [13] Karatsuba A. A., Porubský Š., Rokyta M., Vlášek Z.: Prof. RNDr. Břetislav Novák, DrSc. ( ) would be seventy. Math. Bohem. 133 (2008), no Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, ročník 53 (2008), č. 1
Jednota českých matematiků a fyziků ve 150. roce aktivního života
Jednota českých matematiků a fyziků ve 150. roce aktivního života Organizace JČMF In: Jiří Dolejší (editor); Jiří Rákosník (editor): Jednota českých matematiků a fyziků ve 150. roce aktivního života. (Czech).
VíceJubilejní almanach Jednoty čs. matematiků a fyziků 1862 1987
Jubilejní almanach Jednoty čs. matematiků a fyziků 1862 1987 Zdeněk Horský Písemnosti z pozůstalosti prof. dr. A. Seydlera In: Libor Pátý (editor): Jubilejní almanach Jednoty čs. matematiků a fyziků 1862
VíceNeurčité rovnice. In: Jan Vyšín (author): Neurčité rovnice. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fyziků, 1949. pp. 21--24.
Neurčité rovnice 4. Nejjednodušší rovnice neurčité 2. stupně In: Jan Vyšín (author): Neurčité rovnice. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fyziků, 1949. pp. 21--24. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/402869
VícePokroky matematiky, fyziky a astronomie
Pokroky matematiky, fyziky a astronomie Vladimír Kořínek Poznámky k postgraduálnímu studiu matematiky učitelů škol 2. cyklu Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, Vol. 12 (1967), No. 6, 363--366 Persistent
VícePokroky matematiky, fyziky a astronomie
Pokroky matematiky, fyziky a astronomie Emil Calda; Oldřich Odvárko Speciální třídy na SVVŠ v Praze pro žáky nadané v matematice a fyzice Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, Vol. 13 (1968), No. 5,
VíceO dělitelnosti čísel celých
O dělitelnosti čísel celých 9. kapitola. Malá věta Fermatova In: František Veselý (author): O dělitelnosti čísel celých. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1966. pp. 98 105. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403572
VícePANM 16. List of participants. http://project.dml.cz. Terms of use:
PANM 16 List of participants In: Jan Chleboun and Karel Segeth and Jakub Šístek and Tomáš Vejchodský (eds.): Programs and Algorithms of Numerical Mathematics, Proceedings of Seminar. Dolní Maxov, June
VíceFunkcionální rovnice
Funkcionální rovnice Úlohy k procvičení In: Ljubomir Davidov (author); Zlata Kufnerová (translator); Alois Kufner (translator): Funkcionální rovnice. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1984. pp. 88 92. Persistent
VíceO nerovnostech a nerovnicích
O nerovnostech a nerovnicích Kapitola 3. Množiny In: František Veselý (author); Jan Vyšín (other); Jiří Veselý (other): O nerovnostech a nerovnicích. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1982. pp. 19 22. Persistent
VícePANM 14. List of participants. http://dml.cz. Terms of use:
PANM 14 List of participants In: Jan Chleboun and Petr Přikryl and Karel Segeth and Tomáš Vejchodský (eds.): Programs and Algorithms of Numerical Mathematics, Proceedings of Seminar. Dolní Maxov, June
VícePokroky matematiky, fyziky a astronomie
Pokroky matematiky, fyziky a astronomie Vítěslav Jozífek Poznámky k teorii vyučování matematice Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, Vol. 14 (1969), No. 3, 148--151 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/139905
VíceZáklady teorie grupoidů a grup
Základy teorie grupoidů a grup 27. Cyklické grupy In: Otakar Borůvka (author): Základy teorie grupoidů a grup. (Czech). Praha: Nakladatelství Československé akademie věd, 1962. pp. 198--202. Persistent
VícePokroky matematiky, fyziky a astronomie
Pokroky matematiky, fyziky a astronomie Jan Vlachý Zaměstnání, kvalifikace a věková struktura pracovníků matematicko-fyzikálních věd Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, Vol. 15 (1970), No. 5, 230--233
VíceStaroegyptská matematika. Hieratické matematické texty
Staroegyptská matematika. Hieratické matematické texty Staroegyptská matematika In: Hana Vymazalová (author): Staroegyptská matematika. Hieratické matematické texty. (Czech). Praha: Český egyptologický
VíceZáklady teorie matic
Základy teorie matic 23. Klasifikace regulárních párů matic In: Otakar Borůvka (author): Základy teorie matic. (Czech). Praha: Academia, 1971. pp. 162--168. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/401352 Terms
VíceKongruence. 1. kapitola. Opakování základních pojmů o dělitelnosti
Kongruence 1. kapitola. Opakování základních pojmů o dělitelnosti In: Alois Apfelbeck (author): Kongruence. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1968. pp. 3 9. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403653 Terms
VíceJan Sobotka (1862 1931)
Jan Sobotka (1862 1931) Martina Kašparová Vysokoškolská studia Jana Sobotky In: Martina Kašparová (author); Zbyněk Nádeník (author): Jan Sobotka (1862 1931). (Czech). Praha: Matfyzpress, 2010. pp. 231--234.
VíceZáklady teorie grupoidů a grup
Základy teorie grupoidů a grup 13. Homomorfní zobrazení (deformace) grupoidů In: Otakar Borůvka (author): Základy teorie grupoidů a grup. (Czech). Praha: Nakladatelství Československé akademie věd, 1962.
VíceMatematika v 19. století
Matematika v 19. století Martina Němcová František Josef Studnička a Americký klub dam In: Jindřich Bečvář (editor); Eduard Fuchs (editor): Matematika v 19. století. Sborník přednášek z 15. letní školy
VíceČasopis pro pěstování matematiky a fysiky
Časopis pro pěstování matematiky a fysiky Jan Novák Aritmetika v primě a sekundě Časopis pro pěstování matematiky a fysiky, Vol. 67 (1938), No. Suppl., D254--D257 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/120798
VícePokroky matematiky, fyziky a astronomie
Pokroky matematiky, fyziky a astronomie Josef B. Slavík; B. Klimeš Hluk jako methodická pomůcka při zjišťování příčin chvění v technické praxi Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, Vol. 2 (957), No.
VícePANM 12. List of participants. http://dml.cz. Terms of use:
PANM 12 List of participants In: Jan Chleboun and Petr Přikryl and Karel Segeth (eds.): Programs and Algorithms of Numerical Mathematics, Proceedings of Seminar. Dolní Maxov, June 6-11, 2004. Institute
VícePANM 17. List of participants. http://project.dml.cz. Terms of use:
PANM 17 List of participants In: Jan Chleboun and Petr Přikryl and Karel Segeth and Jakub Šístek and Tomáš Vejchodský (eds.): Programs and Algorithms of Numerical Mathematics, Proceedings of Seminar. Dolní
VíceÚvod do neeukleidovské geometrie
Úvod do neeukleidovské geometrie Obsah In: Václav Hlavatý (author): Úvod do neeukleidovské geometrie. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fysiků, 1926. pp. 209 [212]. Persistent URL:
VíceKombinatorika. In: Antonín Vrba (author): Kombinatorika. (Czech). Praha: Mladá fronta, pp. 3 [6].
Kombinatorika Předmluva In: Antonín Vrba (author): Kombinatorika. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1980. pp. 3 [6]. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403963 Terms of use: Antonín Vrba, 1080 Institute of
VíceDeterminanty a matice v theorii a praxi
Determinanty a matice v theorii a praxi 1. Lineární závislost číselných soustav In: Václav Vodička (author): Determinanty a matice v theorii a praxi. Část druhá. (Czech). Praha: Jednota československých
VíceZáklady teorie matic
Základy teorie matic 7. Vektory a lineární transformace In: Otakar Borůvka (author): Základy teorie matic. (Czech). Praha: Academia, 1971. pp. 43--47. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/401335 Terms of
VíceCo víme o přirozených číslech
Co víme o přirozených číslech 4. Největší společný dělitel a nejmenší společný násobek In: Jiří Sedláček (author): Co víme o přirozených číslech. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1961. pp. 24 31. Persistent
VícePokroky matematiky, fyziky a astronomie
Pokroky matematiky, fyziky a astronomie Marta Chytilová; Jiří Mikulčák Půl století časopisu Rozhledy matematicko-fyzikální Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, Vol. 18 (1973), No. 3, 132--135 Persistent
VíceDeterminanty a matice v theorii a praxi
Determinanty a matice v theorii a praxi Rejstřík In: Václav Vodička (author): Determinanty a matice v theorii a praxi. Část druhá. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fysiků, 1950. pp.
VíceO dělitelnosti čísel celých
O dělitelnosti čísel celých 6. kapitola. Nejmenší společný násobek In: František Veselý (author): O dělitelnosti čísel celých. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1966. pp. 73 79. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403569
VíceÚvod do filosofie matematiky
Úvod do filosofie matematiky Axiom nekonečna In: Otakar Zich (author): Úvod do filosofie matematiky. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fysiků, 1947. pp. 114 117. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403163
VíceČasopis pro pěstování matematiky a fysiky
Časopis pro pěstování matematiky a fysiky Ferdinand Pietsch Výpočet cívky pro demonstraci magnetoindukce s optimálním využitím mědi v daném prostoru Časopis pro pěstování matematiky a fysiky, Vol. 62 (1933),
VícePokroky matematiky, fyziky a astronomie
Pokroky matematiky, fyziky a astronomie Bohdan Klimeš Normalisace veličin, jednotek a značek ve fysice Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, Vol. 3 (1958), No. 4, 437--441 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/137041
VícePokroky matematiky, fyziky a astronomie
Pokroky matematiky, fyziky a astronomie Zdeněk Češpíro Výbojový vakuoměr bez magnetického pole Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, Vol. 3 (1958), No. 3, 299--302 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/137111
VíceČasopis pro pěstování matematiky a fysiky
Časopis pro pěstování matematiky a fysiky Jaroslav Bílek Pythagorova věta ve třetí třídě středních škol Časopis pro pěstování matematiky a fysiky, Vol. 66 (1937), No. 4, D265--D268 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/123381
VíceCo víme o přirozených číslech
Co víme o přirozených číslech 2. Dělení se zbytkem a dělení beze zbytku In: Jiří Sedláček (author): Co víme o přirozených číslech. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1961. pp. 9 15. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403438
VícePokroky matematiky, fyziky a astronomie
Pokroky matematiky, fyziky a astronomie Ivo Volf Současný stav a některé problémy fyzikální olympiády Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, Vol. 41 (1996), No. 3, 162--166 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/137762
VíceO dynamickém programování
O dynamickém programování 7. kapitola. O jednom přiřazovacím problému In: Jaroslav Morávek (author): O dynamickém programování. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1973. pp. 55 59. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403799
VíceNeurčité rovnice. In: Jan Vyšín (author): Neurčité rovnice. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fyziků, pp
Neurčité rovnice 3. Neurčité rovnice 1. stupně o 3 neznámých In: Jan Vyšín (author): Neurčité rovnice. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fyziků, 1949. pp. 15 20. Persistent URL: http:dml.czdmlcz402868
VíceZlatý řez nejen v matematice
Zlatý řez nejen v matematice Zlaté číslo a jeho vlastnosti In: Vlasta Chmelíková author): Zlatý řez nejen v matematice Czech) Praha: Katedra didaktiky matematiky MFF UK, 009 pp 7 Persistent URL: http://dmlcz/dmlcz/40079
VíceČasopis pro pěstování mathematiky a fysiky
Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky František Kaňka Důsledky akusticko-dynamického principu. [V.] Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky, Vol. 47 (1918), No. 2-3, 158--163 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/122325
VícePokroky matematiky, fyziky a astronomie
Pokroky matematiky, fyziky a astronomie Antonín Bohun Elektronová emise, luminiscence a zbarvení iontových krystalů Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, Vol. 6 (1961), No. 3, 150--153 Persistent URL:
VíceČasopis pro pěstování matematiky
Časopis pro pěstování matematiky Oto Obůrka Zemřel profesor Jiří Klapka Časopis pro pěstování matematiky, Vol. 101 (1976), No. 4, 412--413,415--416 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/117927 Terms of use:
VíceČasopis pro pěstování mathematiky a fysiky
Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky František Kaňka Důsledky akusticko-dynamického principu. [IV.] Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky, Vol. 47 (1918), No. 1, 25--31 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/124004
VícePlochy stavebně-inženýrské praxe
Plochy stavebně-inženýrské praxe 9. Plochy rourové In: František Kadeřávek (author): Plochy stavebně-inženýrské praxe. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fysiků, 1950. pp. 95 98. Persistent
VícePlochy stavebně-inženýrské praxe
Plochy stavebně-inženýrské praxe 10. Plochy šroubové In: František Kadeřávek (author): Plochy stavebně-inženýrské praxe. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fysiků, 1950. pp. 99 106.
VíceActa Universitatis Palackianae Olomucensis. Facultas Rerum Naturalium. Mathematica-Physica-Chemica
Acta Universitatis Palackianae Olomucensis. Facultas Rerum Naturalium. Mathematica-Physica-Chemica Cyril Dočkal Automatické elektromagnetické váhy Acta Universitatis Palackianae Olomucensis. Facultas Rerum
VíceO dynamickém programování
O dynamickém programování 9. kapitola. Cauchy-Lagrangeova nerovnost In: Jaroslav Morávek (author): O dynamickém programování. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1973. pp. 65 70. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403801
Více100 let Jednoty československých matematiků a fyziků
100 let Jednoty československých matematiků a fyziků Závěrečné slovo In: František Veselý (author): 100 let Jednoty československých matematiků a fyziků. (Czech). Praha: Státní pedagogické nakladatelství,
VíceDějepis Jednoty českých mathematiků
Dějepis Jednoty českých mathematiků II. Změna stanov; studentský spolek se rozšiřuje na Jednotu českých mathematiků In: Václav Posejpal (author): Dějepis Jednoty českých mathematiků. K padesátému výročí
VíceČasopis pro pěstování matematiky
Časopis pro pěstování matematiky Zemřel člen korespondent ČSAV profesor Jiří Fábera Časopis pro pěstování matematiky, Vol. 104 (1979), No. 1, 101--103,105--106 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/118004
VíceStaroegyptská matematika. Hieratické matematické texty
Staroegyptská matematika. Hieratické matematické texty Počítání se zlomky In: Hana Vymazalová (author): Staroegyptská matematika. Hieratické matematické texty. (Czech). Praha: Český egyptologický ústav
VíceČasopis pro pěstování matematiky a fysiky
Časopis pro pěstování matematiky a fysiky M. Jahoda; Ivan Šimon Užití sodíkového světla pro Ramanův zjev Časopis pro pěstování matematiky a fysiky, Vol. 69 (1940), No. 3-4, 187--190 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/123324
VíceHistorický vývoj geometrických transformací
Historický vývoj geometrických transformací Věcný rejstřík In: Dana Trkovská (author): Historický vývoj geometrických transformací. (Czech). Praha: Katedra didaktiky matematiky MFF UK, 2015. pp. 171 174.
VíceAplikace matematiky. Terms of use: Aplikace matematiky, Vol. 3 (1958), No. 5, 372--375. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/102630
Aplikace matematiky František Šubart Odvození nejvýhodnějších dělících tlaků k-stupňové komprese, při ssacích teplotách lišících se v jednotlivých stupních Aplikace matematiky, Vol. 3 (1958), No. 5, 372--375
VíceČasopis pro pěstování mathematiky a fysiky
Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky Matyáš Lerch K didaktice veličin komplexních. [I.] Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky, Vol. 20 (1891), No. 5, 265--269 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/108855
VíceMatematika v proměnách věků. V
Matematika v proměnách věků. V Martina Bečvářová Semináře z historie matematiky In: Martina Bečvářová (editor); Jindřich Bečvář (editor): Matematika v proměnách věků. V. (Czech). Praha: Matfyzpress, 2007.
VíceAplikace matematiky. Josef Čermák Algoritmy. 27. PSQRT. Řešení soustavy rovnic se symetrickou pozitivně definitní
Aplikace matematiky Josef Čermák Algoritmy. 27. PSQRT. Řešení soustavy rovnic se symetrickou pozitivně definitní (2m + 1) diagonální maticí Aplikace matematiky, Vol. 17 (1972), No. 4, 321--324 Persistent
VícePANM 15. List of participants. Terms of use:
PANM 15 List of participants In: Jan Chleboun and Petr Přikryl and Karel Segeth and Jakub Šístek (eds.): Programs and Algorithms of Numerical Mathematics, Proceedings of Seminar. Dolní Maxov, June 6-11,
VíceJubilejní almanach Jednoty čs. matematiků a fyziků 1862 1987
Jubilejní almanach Jednoty čs. matematiků a fyziků 1862 1987 Libor Pátý Nová medaile JČSMF In: Libor Pátý (editor): Jubilejní almanach Jednoty čs. matematiků a fyziků 1862 1987. Sestavil Libor Pátý k sto
VícePANM 18. List of participants. Terms of use:
PANM 18 List of participants In: Jan Chleboun and Pavel Kůs and Petr Přikryl and Karel Segeth and Jakub Šístek and Tomáš Vejchodský (eds.): Programs and Algorithms of Numerical Mathematics, Proceedings
VíceCo víme o přirozených číslech
Co víme o přirozených číslech 3. Prvočísla a čísla složená In: Jiří Sedláček (author): Co víme o přirozených číslech. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1961. pp. 16 23. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403439
VíceO rovnicích s parametry
O rovnicích s parametry 3. kapitola. Kvadratické rovnice In: Jiří Váňa (author): O rovnicích s parametry. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1964. pp. 45 [63]. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403496 Terms
VíceStaroegyptská matematika. Hieratické matematické texty
Staroegyptská matematika. Hieratické matematické texty Výpočet objemu tělesa In: Hana Vymazalová (author): Staroegyptská matematika. Hieratické matematické texty. (Czech). Praha: Český egyptologický ústav
VíceČasopis pro pěstování mathematiky a fysiky
Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky František Hromádko Ukázky z indické arithmetiky obecné Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky, Vol. 5 (1876), No. 4, 182--187 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/121711
VíceStaroegyptská matematika. Hieratické matematické texty
Staroegyptská matematika. Hieratické matematické texty Stanovení kvality piva a chleba In: Hana Vymazalová (author): Staroegyptská matematika. Hieratické matematické texty. (Czech). Praha: Český egyptologický
VíceAritmetické hry a zábavy
Aritmetické hry a zábavy 1. Doplnění naznačených výkonů In: Karel Čupr (author): Aritmetické hry a zábavy. (Czech). Praha: Jednota českých matematiků a fysiků, 1942. pp. 5 9. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/4329
VíceČasopis pro pěstování matematiky
Časopis pro pěstování matematiky Jiří Bečvář; Miloslav Nekvinda Poznámka o extrémech funkcí dvou a více proměnných Časopis pro pěstování matematiky, Vol. 81 (1956), No. 3, 267--271 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/117194
VíceMatematika v proměnách věků. I
Matematika v proměnách věků. I Karel Lepka Souvislost mezi Fermatovými kvocienty a kvocientem Wilsonovým In: Jindřich Bečvář (editor); Eduard Fuchs (editor): Matematika v proměnách věků. I. Sborník. (Czech).
VíceNeurčité rovnice. In: Jan Vyšín (author): Neurčité rovnice. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fyziků, pp
Neurčité rovnice 2. Lineární rovnice o dvou neznámých In: Jan Vyšín (author): Neurčité rovnice. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fyziků, 1949. pp. 10 14. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/402867
VíceMalý výlet do moderní matematiky
Malý výlet do moderní matematiky Úvod [též symboly] In: Milan Koman (author); Jan Vyšín (author): Malý výlet do moderní matematiky. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1972. pp. 3 6. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403755
VíceProf. RNDr. Alois Zátopek, DrSc. ( )
Prof. RNDr. Alois Zátopek, DrSc. (1907 1985) Prof. RNDr. Alois Zátopek, DrSc. (1907 1985) Stručný životopis: Narozen v obci Zašová dne 30. června 1907 Gymnasium Valašské Meziříčí - maturita 1927 Přírodovědecká
VíceKongruence. 5. kapitola. Soustavy kongruencí o jedné neznámé s několika moduly
Kongruence 5. kapitola. Soustavy kongruencí o jedné neznámé s několika moduly In: Alois Apfelbeck (author): Kongruence. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1968. pp. 55 66. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403657
VíceAritmetické hry a zábavy
Aritmetické hry a zábavy 3. Soustavy číselné In: Karel Čupr (author): Aritmetické hry a zábavy. (Czech). Praha: Jednota českých matematiků a fysiků, 1942. pp. 12 15. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403031
VíceActa Universitatis Palackianae Olomucensis. Facultas Rerum Naturalium. Mathematica-Physica-Chemica
Acta Universitatis Palackianae Olomucensis. Facultas Rerum Naturalium. Mathematica-Physica-Chemica Richard Pastorek ph-metrické stanovení disociačních konstant komplexů v kyselé oblasti systému Cr 3+ ---
VíceČasopis pro pěstování mathematiky a fysiky
Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky Jan Sommer Pokus vysvětliti Machův klam optický Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky, Vol. 20 (1891), No. 2, 101--105 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/109224
VíceBooleova algebra. 1. kapitola. Množiny a Vennovy diagramy
Booleova algebra 1. kapitola. Množiny a Vennovy diagramy In: Oldřich Odvárko (author): Booleova algebra. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1973. pp. 5 14. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403767 Terms of
VícePokroky matematiky, fyziky a astronomie
Pokroky matematiky, fyziky a astronomie Josef Šeda Modernizace a vývoj učebních plánů za 20 let na FJFI Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, Vol. 20 (1975), No. 4, 217--222 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/139512
VíceČasopis pro pěstování matematiky a fysiky
Časopis pro pěstování matematiky a fysiky Jaroslav Šafránek Některé fysikální pokusy s katodovou trubicí Časopis pro pěstování matematiky a fysiky, Vol. 66 (1937), No. 4, D285--D289 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/123398
VíceO náhodě a pravděpodobnosti
O náhodě a pravděpodobnosti 13. kapitola. Metoda maximální věrohodnosti neb o tom, jak odhadnout počet volně žijících divokých zvířat In: Adam Płocki (author); Eva Macháčková (translator); Vlastimil Macháček
VícePokroky matematiky, fyziky a astronomie
Pokroky matematiky, fyziky a astronomie Jan Vlachý Postavení fyziky, věd o Zemi a astronomie, v rozpočtech amerických federálních ministerstev a agentur Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, Vol. 13
VícePokroky matematiky, fyziky a astronomie
Pokroky matematiky, fyziky a astronomie Aleš Fořt Několik poznámek o dosavadním vývoji palivových článků Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, Vol. 5 (1960), No. 6, 697--700 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/138258
VícePokroky matematiky, fyziky a astronomie
Pokroky matematiky, fyziky a astronomie Kliment Šoler Řízení vyučování fyziky na sovětských vysokých školách technických Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, Vol. 12 (1967), No. 3, 154--157 Persistent
VíceKongruence. 4. kapitola. Kongruence o jedné neznámé. Lineární kongruence
Kongruence 4. kapitola. Kongruence o jedné neznámé. Lineární kongruence In: Alois Apfelbeck (author): Kongruence. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1968. pp. 43 54. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403656
VíceNerovnosti v trojúhelníku
Nerovnosti v trojúhelníku Úvod In: Stanislav Horák (author): Nerovnosti v trojúhelníku. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1986. pp. 5 12. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/404130 Terms of use: Stanislav
VíceFrantišek Josef Studnička ( )
František Josef Studnička (1836 1903) Martina Němcová Úvodní slovo In: Martina Němcová (author): František Josef Studnička (1836 1903). (Czech). Praha: Prometheus, 1998. pp. 3 6. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/401626
VíceSymetrické funkce. In: Alois Kufner (author): Symetrické funkce. (Czech). Praha: Mladá fronta, pp
Symetrické funkce Kapitola III. Symetrické funkce n proměnných In: Alois Kufner (author): Symetrické funkce. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1982. pp. 24 33. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/404069 Terms
VícePolynomy v moderní algebře
Polynomy v moderní algebře 2. kapitola. Neutrální a inverzní prvek. Grupa In: Karel Hruša (author): Polynomy v moderní algebře. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1970. pp. 15 28. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403713
VíceRozhledy matematicko-fyzikální
Rozhledy matematicko-fyzikální Pavel Töpfer Ústřední kolo 65. ročníku Matematické olympiády kategorie P Rozhledy matematicko-fyzikální, Vol. 91 (2016), No. 2, 43 46 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/146668
VícePokroky matematiky, fyziky a astronomie
Pokroky matematiky, fyziky a astronomie Ivan Netuka; Jiří Veselý Gustaf Mittag-Leffler (K padesátému výročí úmrtí) Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, Vol. 22 (1977), No. 5, 241--245 Persistent URL:
VícePokroky matematiky, fyziky a astronomie
Pokroky matematiky, fyziky a astronomie Rudolf Zelinka III. mezinárodní matematická olympiáda Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, Vol. 6 (96), No. 6, 335--339 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/383
VícePokroky matematiky, fyziky a astronomie
Pokroky matematiky, fyziky a astronomie Alois Urban První čs. konference o diferenciální geometrii Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, Vol. 7 (1962), No. 1, 40--44 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/139807
VíceZáklady teorie grupoidů a grup
Základy teorie grupoidů a grup 12. Základní pojmy o grupoidech In: Otakar Borůvka (author): Základy teorie grupoidů a grup. (Czech). Praha: Nakladatelství Československé akademie věd, 1962. pp. 94--100.
VíceNěkolik úloh z geometrie jednoduchých těles
Několik úloh z geometrie jednoduchých těles Úlohy ke cvičení In: F. Hradecký (author); Milan Koman (author); Jan Vyšín (author): Několik úloh z geometrie jednoduchých těles. (Czech). Praha: Mladá fronta,
VíceMatematicko-fyzikálny časopis
Matematicko-fyzikálny časopis Zdeněk Jiskra Jednoduché integrační zařízení pro rentgenové komůrky Matematicko-fyzikálny časopis, Vol. 8 (1958), No. 4, 236--240 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/126695
VíceFaktoriály a kombinační čísla
Faktoriály a kombinační čísla 7. kapitola. Různé In: Jiří Sedláček (author): Faktoriály a kombinační čísla. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1964. pp. 72 81. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403522 Terms
VíceČasopis pro pěstování mathematiky a fysiky
Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky Josef Janoušek O nepravidelném rozkladu světla Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky, Vol. 1 (1872), No. 5, 256--261 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/122691
VíceO dělitelnosti čísel celých
O dělitelnosti čísel celých 10. kapitola. Některé staré i nové problémy číselné teorie In: František Veselý (author): O dělitelnosti čísel celých. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1966. pp. 106 115. Persistent
VíceJaká je logická výstavba matematiky?
Jaká je logická výstavba matematiky? 2. Výrokové vzorce In: Miroslav Katětov (author): Jaká je logická výstavba matematiky?. (Czech). Praha: Jednota československých mathematiků a fysiků, 1946. pp. 15
Více