Sbírka maturitních příkladů z matematiky. Mgr. Marie Kubíčková Mgr. Radek Nowak

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Sbírka maturitních příkladů z matematiky. Mgr. Marie Kubíčková Mgr. Radek Nowak"

Transkript

1 Sírk mturitích příkldů z mtemtik Mgr Mrie Kuíčková Mgr Rdek Nowk

2 Úprv výrzů Uprvte udejte podmík eistece výrzů ( ) ( ) ( ) : ( ) ( ) 7 : 8 m m m m 9 ( ) 7 : si cos cos si cos si si cos Fukce Určete defiičí oor fukcí ) ( ) log e) ( ) cos log ) log f) ( ) cos log c) ( ) log g) 7 d) cos Sestrojte grf fukcí ) ) c) d) e) π π π ; si f) cos g) si

3 h) si i) π si Určete vlstosti fukcí sestrojte jejich grf ) l f) log ) g) c) ( ) h) log i) log d) ( ) e) Určete iverzí fukci k fukci ; Z průěhu epoeciálí logritmické fukce hrďte zk zmékem erovosti tk výrok l prvdivý ) 7 ) c) m > 7 m d) log e) log f) log Určete všech R pro která je fukce která klesjící 7 Určete pro která s R je defiová fukce která s je fukce rostoucí pro která klesjící 8 7 log m < log 7 m s rostoucí pro Určete pro 8 r g Logritmujte výrz (dekdický logritmus) r t r 9 Určete jk dlouho z jké výšk pdá těleso volým pádem jestliže v posledí sekudě svého pádu urzí jedu třetiu celkové dráh Odvoďte si α cos α pomocí vhodých goiometrických vzthů cos π π Vpočtěte hodotu výrzu je-li cos cos Bez použití tulek klkulátorů určete hodot osttích goiometrických π fukcí je-li si ; π Rovice Řešte v R rovici: l l e e e log( ) log( ) log( ) log log si si cos tg cotg 7 si cos 8 cos cos cos 9 si si 7 si cos si cos si 7 8

4 7 8 9 Prík potřeovl plvu dlouhou 8 km proti proudu 8 km zpět dohromd hodi Jkou rchlostí jel prík po klidé vodě l-li rchlost proudu kmh -? Rovice s prmetrem Řešte v R rovici s ezámou prmetrem: m m m m m m k k ( m ) ( m ) ( m ) Soustv rovic Řešte v R soustvu z z 7 z z 9 z z 9 log log log log 8 Je dá soustv rovic o dvou ezámých R s prmetrem m R Určete hodot prmetru m tk průsečík grfů l ve III kvdrtu m 7 Po okruhu dlouhém m jezdí dv motockl tkovými rchlostmi že se potkávjí kždou miutu jezdí-li proti soě doháějí se kždých pět miut jezdí-li týmž směrem Určete jejich rchlosti 8 9 Vpočtěte I I I v elektrickém ovodu jeli dáo U V U V R Ω R Ω R 7Ω I R I R I Nerovice Řešte v R erovici eo soustvu R U U

5 Zorzte zpište itervl moži { R; < } M { R; } < < Řešte grfick si > cos tg 7 Zorzeí M 7 Sestrojte ABC je-li dáo v cm ::c :: Určete tp zorzeí který vužijete při řešeí 7 V rovormeém trojúhelíku o zákldě z 8 cm rmeech r 7 cm vpočtěte výšk 7 Sestrojte ABC je-li dáo ::c :: t c 7 cm 7 Jsou dá kružice k (S ; cm) k (S ; cm) S S 8 cm Njděte od z ichž jsou oě kružice vidět pod stejým zorým úhlem 7 Vpočtěte délku společé vitří teč kružic k (S ; cm) k (S ; cm) S S 8 cm 8 Rovié orzce 8 Sestrojte velikosti úsečk 7 pomocí Eukleidových vět Pthgorov vět 8 Určete velikosti těžic prvoúhlého trojúhelíku je-li odvěs cm α 8 Pomocí ) Pthgorov vět ) Eukleidov vět o výšce vpočítejte poloměr mostího kruhového olouku o rozpětí 8 m výšce v m 8 Sestrojte úsečku délk je-li > 8 Vpočítejte délk str prvoúhlého trojúhelíku ABC s přepoou c je-li t cm t cm 8 V trojúhelíku ABC pltí α : β : : : Určete jeho vitří úhl 87 Vpočtěte výšku kopce jehož vrcholu je rozhled vsoká cm Její vrchol ptu je vidět ze stoviště v údolí pod výškovými úhl α 9 β 7 88 Ze všech trojúhelíků s dou strou dým úhlem α ležícím proti í jděte trojúhelík s ejvětším ovodem 89 Sílu F N která půsoí hmotý od A rozložte složk F F tk úhel F 9 F 7 F F 8 Tři síl jejichž velikosti jsou v poměru 9::7 půsoí v roviě v jedom odě tk že jsou v rovováze Určete velikosti úhlů mezi jedotlivými silmi 8 Kružice je rozděle dv olouk jejichž délk jsou v poměru : V jkém poměru jsou osh oou úsečí? 8 Vpočtěte osh prvidelého dváctiúhelíku je-li délk jeho ejkrtší úhlopříčk u cm 8 Určete celá čísl udávjící velikosti str prvoúhlého trojúhelíku jehož ovod i osh jsou vjádře týmž číslem 8 Výšk rovoěžé str lichoěžíku jsou v poměru :: osh je cm Určete velikost výšk záklde 8 V prvidelém -úhelíku je velikost vitřího úhlu α 8 poloměr kružice vepsé je r cm Určete teto -úhelík vpočítejte jeho osh velikost jeho str 9 Těles 9 Podstvou kosého hrolu je trojúhelík v ěmž poloměr kružice opsé je r cm úhl α β Poočá hr h cm svírá s roviou podstv úhel ϕ 7 Vpočtěte ojem hrolu 9 Kvádr má ojem 7 dm jeho rozměr jsou v poměru : : jeho povrch tělesovou úhlopříčku Vpočtěte 9 Kolmý trojoký hrol jehož podstv je prvoúhlý trojúhelík má ojem cm osh ejvětší stě S cm tělesová výšk cm Vpočtěte délk podstvých hr

6 9 Ojem prvidelého -tiokého hrolu je V [ j ] Délk podstvé hr k délce výšk v je v poměru : Vpočtěte povrch hrolu 9 Prvidelý čtřoký jehl jehož podstvé očí hr mjí tutéž délku má ojem V určete délk hr povrch těles 9 Prvidelý čtřstě má hru Vpočtěte jeho výšku ojem povrch odchlku hr od rovi stě v íž eleží 97 V erotčím kuželi je ejdelší str s cm ejkrtší s cm 98 Podstvou kosého čtřokého jehlu ABCDV je čtverec o strě cm výškou je poočá hr VD cm Vpočtěte povrch jehlu 99 Rotčí kužel válec mjí shodé podstv o poloměru o poloměru r stejé velikosti výšek i plášťů Jk jsou vsoké? (Poz vjádřete výšku v jko fukci poloměru r ) 9 Je dá ojem V 9π [ j ] rovostrého kužele V jké vzdáleosti od vrcholu kužele je tře vést řez roviou rovoěžou s podstvou která rozdělí dý kužel dvě těles se stejými ojem? 9 Tvrdost mteriálu se zjišťuje zkouškmi Jedou z ich je Briellov zkoušk Při í se do testového mteriálu tvru rovié desk tlčí kosttí silou po určitou dou ocelová kuličk o průměru d Tím se v mteriálu vtlčí prostor tvru kolové úseče o průměru podstv d ) Určete do jké hlouk l kuličk vtlče je-li d mm d mm? ) Vpočtěte osh kulového vrchlíku který je částí hrice vtlčeé kulové úseče 9 Vpočtěte ojem kulové vrstv poloměr koule je-li dáo ρ 7 cm ρ cm v cm 9 Vpočtěte ojem povrch kulové úseče která vzike vedeím sečé rovi v kouli o poloměru r cm cm od jejího středu 9 Polokulovitá ádo je zcel plěá vodou Nkloíme-li ji o vteče z í l vod Kolik litrů v ádoě zývá? 9 Kouli je opsá rotčí kužel jehož výšk se rová šestiásoku poloměru koulev jkém poměru jsou povrch oou těles? 9 Určete ojem kulové vrstv která vzike z polokoule o poloměru r cm odřízutím úseče o výšce v cm Altická geometrie přímk rovi Určete úhel vektorů u v je-li u v 8 u v 7 Určete tk vektor c l lieárě závislé vpočtěte úhel vektorů c ; ( 9) ( ) c ( ) u má Určete v dé roviě vektor v který je kolmý k vektoru ( ) velikost v Jsou dá od A [ ] B [ ] C [ ] Určete pomocí vektorů zd od tvoří trojúhelík určete délk str zjistěte zd trojúhelík eí prvoúhlý Určete vektor kolmý k vektorům ( ) ( ) Vjádřete vzth mezi m q tk rovice přímek ( m) q l: ) vjádřeím téže přímk ) vjádřeím dvou rovoěžých přímek c) vjádřeím růzoěžých přímek 7 Vpočtěte osh čtverce jehož rovoěžé str leží přímkách: : :

7 8 Pro které hodot prmetrů m r R vjdřují rovice: m r ( m) ( ) r tutéž přímku? 9 V oecé rovici přímk 8 určete prmetr tk tto přímk pocházel průsečíkem přímek 7 t t Npište rovici přímk která prochází odem [ 7] M s přímkou π svírá úhelα Dokžte že přímk p q jsou rovoěžé určete jejich vzdáleost: p : t t z t t R q : r r z r r R Zjistěte vzájemou polohu přímk rovi Podle poloh pk určete uď vzdáleost eo průsečík úhel: p : q : AB : A [ ] B [ ] 7 z 7 Určete průsečík přímk určeé od [ ] B [ ] souřdicovými osmi A se Určete rovici rovi která je urče od A [ ] [ ] C [ 78 9] B Npište rovici rovi (prmetrick i oecě) ve které leží přímk t t z t která je kolmá k roviě dé rovicí z Určete vzájemou polohu přímek v prostoru : p : t 7 t z t t R q : r r z 8 r r R 7 Určete vzdáleost odu [ ] A od rovi ρ : z M od přímk p : t t z t 9 Určete grfick i početě vzájemou polohu rovi dých rovicemi z z 8 Jká je vzdáleost odu [ 797] Npište prmetrické vjádřeí rovi oecou rovici rovi α procházející odem M [ ] kolmé k roviám ρ : z σ : z Průsečicí rovi α β veďte roviu γ kolmou k σ : α : z β: z γ : cz d σ : z Altická geometrie kuželoseček Určete odchlku teče vedeých z počátku ke kružici 8 Určete ejmeší vzdáleost odu [ 8 ] P od kružice Určete rovici kružice která prochází od A [ ] [ ] přímce B střed Npište rovici kružice se středem přímce p o rovici B jestliže kružice prochází od A [ ] [ ] Npište rovici kružice procházející od A [ ] [ ] C [ ] Nejprve všk ověřte zd dé od určují kružici Njděte rovici elips která prochází odem [ ] B M dotýká se přímk t : (os osách souřdic)

8 7 Určete střed poloos ecetricitu elips o rovici 8 Určete osovou rovici elips která se dotýká přímk v odě T 9 [ ] 9 Ohisk elips leží přímce jejich vzájemá vzdáleost je E je vrcholem vedlejší os Npište rovici této elips od [ ] Zjistěte jkou kuželosečku předstvuje rovice Určete rovice teče k této kuželosečce v jejích průsečících s osou N prole 9 jděte od který má od přímk 8 ejmeší vzdáleost Do prol o rovici je vepsá rovostrý trojúhelík jehož jede vrchol leží ve vrcholu prol protější str je kolmá k ose prol Vpočtete osh tohoto trojúhelíku Jk dlouhou tětivu utíá prol 9 přímce 7 Prolický olouk má rozpětí l m výšku v 9 m Vjádřete rovici prolického olouku Npište rovici přímk která svírá s osou úhel π prochází vrcholem prol 7 Npište osovou rovici hperol víte-li že její smptot mjí rovici ± její teč rovici 7 Npište osovou rovici hperol která má souřdice ohisek F [ ] F [ ] prochází odem M [ ] 8 Zjistěte zd rovice je rovicí hperol Je-li tomu tk určete její střed ohisk poloos Proveďte grfické zorzeí 9 Npište rovici hperol která má vrchol v ohiscích ohisk ve vrcholech elips 9 Určete vzdáleost středu hperol h od přímk p : h : 8 p : Určete odchlku křivek 9 9 k prole 9 veďte teču rovoěžou s přímkou q : 8 Určete osovou rovici hperol která má smptotu teču Políž železičí trtě která opisuje prolický olouk o rovici vede přímá silice o rovici Který od trtě leží ejlíže k silici? Npište rovici kružice se středem přímce p : 7 8 která se dotýká přímek : : Mticový počet Určete souči mtic 8 Njděte mtici X pro kterou pltí: X X

9 Určete mtici X její hodost je-li dá mticová rovice: X 8 7 Ukžte že pro dé mtice B A pltí: B E A A kde E je jedotková mtice stejého stupě jko A 8 B A Řešte rovici A B A X B A Určete hodost mtice její determit: 7 A 7 Řešte rovici: 9 8 Rozhoděte pomocí determitu pro které hodot je mtice sigulárí 9 Určete číslo tk soustv měl řešeí pk soustvu řešte: 7 Rozhoděte zd dá soustv má řešeí 7 z z z z Difereciálí počet Vpočítejte limitu ) lim g) si lim ) si lim h) tg si cos lim π c) 9 lim i) lim d) lim j) 7 lim e) lim k) si lim f) lim l) cos cos si lim π Podle defiice vpočítejte derivci fukce

10 Derivujte fukci ) l f) ) g) c) d) l si l si h) e si tg i) e) Je dá fukce si si log e cos Urči rovici teč v jejím odě T [ T ] V roviě jsou dá od A [ ] B [ ] tk součet vzdáleostí AM BM l co ejmeší N ose jděte od M Lichoěžíkové korto hoře otevřeé má zákldu i rme dlouhé dm Při jkém sklou α rme pojme co ejvíce vod jká ude jeho horí šířk? 7 Jké rozměr musí mít uzvřeá litrová válcová ádo má-li ýt spotře plechu její výrou včetě odpdu co ejmeší (předpokládejte že plech spotřeový podstvu má tvr čtverce opsého podstvě) 8 Určete lokálí etrém fukce její solutí etrém itervlu 9 Určete itervl ve kterých je fukce Všetřete průěh grf fukcí: ) koveí eo kokáví d) ( 9 7) ) c) e) f) l Těleso lo vržeo svisle vzhůru počátečí rchlostí v m s Z předpokldu že g m s vpočtěte okmžitou rchlost v čse t s dou výšku výstupu okmžité zrchleí v čse t Npište rovici teč ormál v oecém tvru k prole v odě T kde Hmotý od M se pohuje přímočře tk že jeho vzdáleost od výchozího odu O (počátek soustv souřdic) je kuickou fukcí čsu Vjádřete teto poh víte-li že v čse t s se zčl od pohovt z odu O v čse t s se do tohoto odu opět vrátil kdž předtím v čse t s dosáhl mimálí vzdáleosti d 8cm od výchozího odu Ve které odě má křivk teču: ) se směrovým úhlem ) rovoěžou s přímkou c) kolmou přímku Npište rovici teč ormál e cos T v odě T [ ] Akumulátor má elektromotorické pětí U e vitří odpor R i Jký vější odpor je uto zpojit chceme-li ve vějším proudovém okruhu získt ejvětší výko? Určete jej Itegrálí počet Užitím vhodé metod itegrujte ) si l d d) tg d ) tg d e) e si d c) cos si d f) si cos d T

11 Itegrujte: ) přímou metodou si cos d tg ) sustitucí d cos c) metodou per prtes si d jsou si cos jděte kosttu o kterou se Ukžte že fukce F ( ) cos G( ) si si primitiví k fukci f ( ) liší Určete k f ( ) primitiví fukci ( ) procházel odem B [ ] Vpočítejte osh roviého orzce ohričeého grf fukcí: ) ) c) e e d) f ( ) ( ) g F tk její grf Vpočítejte ojem těles které vzike rotcí ploch ohričeé prolmi okolo os Komitorik prvděpodoost Kolik jedo ž čtřciferých čísel je možo sestvit z cifer jestliže ) kždá cifr se smí vsktovt ejvýše jedou ) kždé číslo je dělitelé šesti? Kolik prvků má moži z jejichž prvků je vricí třetí tříd -krát víc ež vricí druhé tříd? Kolik je možo utvořit součiů dělitelých třemi oshujících liovolé tři čiitele z čísel : 79? Kolik prvků je dých kdž počet vricí třetí tříd z ich utvořeých je pětkrát větší ež vricí druhé tříd? Zvýši-li se počet prvků o jedu zvýší se počet komicí třetí tříd o Kolik je dáo prvků? V roviě je liovolě položeých odů Kolik jimi lze určit kružic jestliže ) žádé od eleží kružici ) odů leží jedé kružici? 7 Kolik zček Morseov eced lze vtvořit mimálě ze prvků? 8 Řešte iomickou rovici stovte její defiičí oor: ) N ) c) ( ) C ( ) ( ) C d) 7 e) f) Určete solutí čle v rozvoji výrzu: ( ) Určete v rozvoji výrzu ( ) 9 rove 8 tk sedmý čle l

12 V iomickém rozvoji výrzu mjí stejý epoet lezěte čle v ěmž Určete hodotu třetího reálého čleu iomického rozvoje ( ) R { } l rove ( ) i kde V témž rozvoji vpočtěte R tk sedmý čle rozvoje V rozvoji výrzu ( ) Určete je součet prvích tří koeficietů 7 Určete prvděpodoost že áhodě vré dvojciferé číslo ude: ) sudé ) sudé eo moci c) prvočíslo eo dělitelé Test oshuje otázek u kždé z ich jsou čtři odpovědi z ichž je je jed správá Jká je prvděpodoost že studet zodpoví lespoň otázek správě jestliže látku vůec ezá odpovědi volí áhodě? Jká je prvděpodoost že při hodu dvěmi kostkmi pde součet 7 eo 8? 7 Fotlist střílí rku z pokutového kopu s prvděpodoostí p 8 Vpočtěte prvděpodoost jevu že z desíti pokutových kopů proměí lespoň osm 8 Elektrotechický závod používá k motáži fiálího výroku součástk které kupuje od tří dodvtelů Prví z ich podílí dodáváí možstvím % le má 8% zmetků Druhý z ich se podílí % má % zmetků Třetí se podílí % má % zmetků S jkou prvděpodoostí je tře počítt že áhodě vrá součástk k motáži je vdá? 9 Při zkoušce doste kždý studet růzých otázek z ichž si áhodě vere tři K úspěšému solvováí zkoušk je tře dvě z ich dovedl správě zodpovědět Jká je prvděpodoost že určitý studet který přistupuje ke zkoušce zvládl před zkouškou je 7% otázek si vtáhe otázk ěž dovede odpovědět? Blo zjištěo že ze rodi v jedom domě má % uto i chtu Přitom uto vlstí o rodi ež chtu eí rodi která eměl chtu eo uto Kolik rodi z domu má uto? Kolik rodi má pouze uto? Určete prvděpodoost že mátkou vrá rodi z domu ude vlstit je chtu Poslouposti řd Určete ritmetickou posloupost o čleech jejíž součet všech čleů je 8 součet prostředích dvou čleů je Délk str prvoúhlého trojúhelíku tvoří ritmetickou posloupost Určete odvěs má-li přepo délku c cm Určete čísl tvořící část ritmetické poslouposti víte-li že součet prvích čtř je 8 součet posledích čtř je součet všech je 8 Str prvoúhlého trojúhelíku tvoří ritmetickou posloupost Delší odvěs je Vpočtěte ovod trojúhelíku Určete čtři čísl která jsou po soě jdoucí čle geometrické poslouposti jejichž dekdické logritm jsou po soě jdoucí čle ritmetické poslouposti s d součtem Určete počet čleů geometrické poslouposti kvociet záte-li 8 s 97 7 V lese je m stojtého dříví Kolik v ěm ude z let je-li ročí přírůstek % kácí-li se ročě m dříví? Stv se ere k 8 V geometrické poslouposti je součet prvího čtvrtého čleu 8 součet druhého třetího čleu Vpočtěte součet prvích osmi čleů 9 V lese je 9 m stojtého dříví Ročě v lese přiývá % dříví kácí se m dřívíkolik dříví ude v lese po letech Po kolik letech se zdvojásoí původí vkld při % úrokováí ročě? Vpočítejte ) ( 8) ( )

13 ) c) Řešte rovici: ) ) 7 Kompleí čísl 7 Řešte v C: ( i ) z iz i 7 Vpočtěte ( i ) ( i ) i určete A A i 7 Pro která reálá je splě rovost: ) ( i) ( i ) 7 ( i ) ( i ) 9i ) ( i) i i i 7 Zjedodušte: i i 7 Převeďte lgerický tvr zorzte v Gussově roviě zpište zorzte π π číslo kompleě sdružeé k číslu z cos i si i i 7 Je dáo kompleí číslo ( i )( i ) i i Vpočítejte 77 Určete ) z z je-li z ( i ) S je-li 9 ) i 78 Vpočítejte ( ) i 79 Užitím Moivreov iomické vět určete si α cos α pro si α 7 Užitím Moivreov vět vpočtěte kompleí mociu D pro D i 7 Řešte iomickou rovici v C koře zpište v lgerickém tvru zorzte v Gussově roviě: ) z d) 8 ) 7 e) c) 7 Určete iomickou rovici jestliže všech její koře jsou urče grfick (koře tvoří vrchol šestiúhelíku jemuž je opsá kružice r ) 8 Výrok výroková logik 8 Verte z dých formulí všech dvojice -i které dohromd dávjí ekvivlece výroků A B : A B A B B A B A A B A B A B A B 8 Dokžte že výroková formule je kotrdikcí: p q p q p q ( ) [( ) ( )] 8 Přesvědčete se že pltí výroková formule ( A B) ( A B) plikujte pltost této výrokové formule pro tvrzeí: Neí prvd že je-li trojúhelík rovormeý pk je rovostrý 8 Utvořte kojukci egcí těchto tvrzeí: > < Které číslo splňuje tuto kojukci? 8 Formulujte v logické smolice: Jestliže C ple z A jestliže z B ple C pk C ple z A eo B Dokžte že se jedá o tutologii 8 Zjistěte zd dá výroková formule je tutologií: ( A B) A B 9 Důkz I m i R e

14 9 Dokžte mtemtickou idukcí ) /[ ( ) ] )!!!! ( )! c) 9 Dokžte ( ) ) pltost iomické vět ) je ircioálí číslo c) pro kždé N je číslo dělitelé číslem d) k k k

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava-

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava- Okruhy z učiv středoškolské mtemtiky pro příprvu ke studiu VŠB TU Ostrv- I Zákldí poztky z logistiky teorie moži: výrok prvdivostí hodot výroku, egce, disjukce, kojukce, implikce, ekvivlece, složeé výroky,

Více

VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ

VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ VEKTOROVÁ LGEBR NLYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Délk úsečk, střed úsečk,, B Délk úsečk B : B C, BC Střed úsečk : B S s, s souřdice středu: s, s Vektor Vektor = oži všech souhlsě orietových rovoěžých úseček

Více

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2018

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2018 NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T BŘEZNA 08 :. břez 08 D : 0 P P P : 0 M. M. M. :,8 % S : 0 : 7,5 : -7,5 M. P : -,0 : 0,6 Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí máte 90

Více

Kuželosečky jako algebraické křivky 2. stupně

Kuželosečky jako algebraické křivky 2. stupně Kuželosečk Pretrické iplicití vjádřeí kuželoseček P. Pech: Kuželosečk, JU České Budějovice 4, 59s Kuželosečk jko lgerické křivk. stupě Kuželosečk je oži odů v roviě, jejichž souřdice (, ) vhovují v ějké

Více

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY DUBNA 2018

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY DUBNA 2018 NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T DUBNA 08 : 8. dub 08 D : 884 P P P S M. M. M. : 0 : 5,5 % : 0 : 7,8 : -7,5 M.. P : -6,0 : 9,7 Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí

Více

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY ÚNORA 2019

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY ÚNORA 2019 NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY ÚNORA 09 T á D P č P č ů ú P ů ě S á :. úor 09 : 004 : 0 M. M. M. á : 9, % ě č M.. P ů ě ž ó : 0 ž ž ó : 0 ó : -7,5 ž ó : -,8 ó : 4,4 Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test

Více

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2018

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2018 NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T BŘEZNA 08 : 9. břez 08 D : 897 P P P : 0 M. M. M. :, % S : 0 : 0 : -7,5 M. P : -, : 0, Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí máte 90

Více

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY ÚNORA 2018

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY ÚNORA 2018 NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T ÚNORA 08 :. úor 08 D : 96 P P P : 0 M. M. : 0 : 0 M. :,4 % S : -7,5 M. P : -,8 : 4,5 Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí máte 90 miut

Více

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2019

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2019 NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY T BŘEZNA 09 D : 30. břez 09 M. možé skóre: 30 Počet řešitelů testu: 85 M. dosžeé skóre: 30 Počet úloh: 30 Mi. možé skóre: -7,5 Průměrá vyechost: 9, % Mi. dosžeé skóre: -,8 Správé

Více

DUM č. 19 v sadě. 13. Ma-1 Příprava k maturitě a PZ algebra, logika, teorie množin, funkce, posloupnosti, řady, kombinatorika, pravděpodobnost

DUM č. 19 v sadě. 13. Ma-1 Příprava k maturitě a PZ algebra, logika, teorie množin, funkce, posloupnosti, řady, kombinatorika, pravděpodobnost projekt GML Bro Doces DUM č. 9 v sdě. M- Příprv k mturitě PZ lgebr, logik, teorie moži, fukce, poslouposti, řdy, kombitorik, prvděpodobost Autor: Jrmil Šimečková Dtum:.0.0 Ročík: mturití ročíky Aotce DUMu:

Více

a) 1 b) 0 c) 1 d) 2 x e) 2x

a) 1 b) 0 c) 1 d) 2 x e) 2x FSI VUT v Brě zdáí č.. str. Příjmeí jméo: Z uvedeých odpovědí je vžd právě jed správá. Zkroužkujte ji! ) Je-li 0, pk 0 c) e) ) Výrz lze uprvit tvr c) e) ) Nerovice má řešeí c) e) ) Rovice 0 má právě jedo

Více

Digitální učební materiál. III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Příjemce podpory Gymnázium, Jevíčko, A. K.

Digitální učební materiál. III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Příjemce podpory Gymnázium, Jevíčko, A. K. Digitálí učeí mteriál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.080 Název projektu Zkvlitěí výuk prostředictvím ICT Číslo ázev šlo klíčové ktivit III/ Iovce zkvlitěí výuk prostředictvím ICT Příjemce podpor Gmázium,

Více

8.2.7 Geometrická posloupnost

8.2.7 Geometrická posloupnost 87 Geometrická posloupost Předpokldy: 80, 80, 80, 807 Pedgogická pozámk: V hodiě rozdělím třídu dvě skupiy kždá z ich dělá jede z prvích dvou příkldů Větši studetů obou skupi potřebuje pomoc u tbule Ob

Více

Seznámíte se s použitím určitého integrálu při výpočtu hmotnosti, statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti.

Seznámíte se s použitím určitého integrálu při výpočtu hmotnosti, statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti. Mtemtik II 5 Fzikálí plikce 5 Fzikálí plikce Cíle Sezámíte se s použitím určitého itegrálu při výpočtu hmotosti sttických mometů souřdic těžiště mometů setrvčosti Předpokládé zlosti Předpokládáme že jste

Více

16. Kombinatorika ( 125;250;125 )

16. Kombinatorika ( 125;250;125 ) 6. Kombitorik Dlší dovedosti: - permutce s opkováím - kombice s opkováím (při mi.4-ti hod.dotci) - zákldí pojmy prvděpodobosti - důkzové úlohy zákldě biomické věty Možé mturití otázky: Vrice permutce Kombice

Více

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na Fakultě bezpečnostního inženýrství VŠB TU Ostrava

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na Fakultě bezpečnostního inženýrství VŠB TU Ostrava Okruhy z učiv sředoškolské memiky pro příprvu ke sudiu Fkulě ezpečosího ižeýrsví VŠB TU Osrv I Úprvy lgerických výrzů, zlomky, rozkld kvdrického rojčleu, mociy se záporým epoeem, mociy s rcioálím epoeem,

Více

1 - Integrální počet, výpočet obsahu plochy, objemu rotačního tělesa 1) Vypočítejte (integrace pomocí substituce): 1 a) c) x. + 4x

1 - Integrální počet, výpočet obsahu plochy, objemu rotačního tělesa 1) Vypočítejte (integrace pomocí substituce): 1 a) c) x. + 4x - Itegrálí počet, výpočet oshu plochy, ojemu rotčího těles ) Vypočítejte (itegrce pomocí sustituce): ) 9 d si( l ) ) d c) e d d) e d ) Vypočítejte (itegrce metodou per - prtes): l ) ( ) e d ) d c) ( )

Více

právě jedna správná. Zakroužkujte ji! a) a b) a c) x b) 6 x c) 5) Rovnice y = je rovnicí a) elipsy b) paraboly c) přímky d) kružnice e) hyperboly

právě jedna správná. Zakroužkujte ji! a) a b) a c) x b) 6 x c) 5) Rovnice y = je rovnicí a) elipsy b) paraboly c) přímky d) kružnice e) hyperboly FSI VUT v Brě zdáí č.. str. MATEMATIKA 009 Příjmeí jméo: Z uvedeých odpovědí je vždy právě jed správá. Zkroužkujte ji! ) Je-li > 0, pk c) e) ) Je-li > 0, pk : 6 6 c) 6 e) ) Nerovice < má řešeí < > c)

Více

M - Posloupnosti VARIACE

M - Posloupnosti VARIACE M - Poslouposti Autor: Mgr Jromír Juřek - http://wwwjrjurekcz Kopírováí jkékoliv dlší využití výukového mteriálu je povoleo pouze s uvedeím odkzu wwwjrjurekcz VARIACE Teto dokumet byl kompletě vytvoře,

Více

právě jedna správná. Zakroužkujte ji! a) a b) a c)

právě jedna správná. Zakroužkujte ji! a) a b) a c) FSI VUT v Brě zdáí č. str. MATEMATIKA 06 Příjmeí jméo: Z uvedeých odpovědí je vždy právě jed správá. Zkroužkujte ji! ) Je-li > 0, pk c) e) ) Je-li > 0, pk 6 c) 6 9 e) 9 ) Rovice má řešeí v itervlu ; )

Více

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2019

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2019 NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY T BŘEZNA 9 D : 8. břez 9 Mx. možé skóre: Počet řešitelů testu: Mx. dosžeé skóre: Počet úloh: Mi. možé skóre: -7,5 Průměrá vyechost:, %Správé Mi. dosžeé skóre: -, odpovědi jsou

Více

právě jedna správná. Zakroužkujte ji! ax + ay bx by ax ay bx + by d) a b 4) Řešením nerovnice x 3x e) nemá řešení

právě jedna správná. Zakroužkujte ji! ax + ay bx by ax ay bx + by d) a b 4) Řešením nerovnice x 3x e) nemá řešení FSI VUT v Brě zdáí č.. str. MATEMATIKA 0 Příjmeí jméo: Z uvedeých odpovědí je vždy právě jed správá. Zkroužkujte ji! ) Pro všechy přípusté hodoty pltí: + y y b) y + y c) + b b + y b by y b + by d) b +

Více

D = H = 1. člen posloupnosti... a 1 2. člen posloupnosti... a 2 3. člen posloupnosti... a 3... n. člen posloupnosti... a n

D = H = 1. člen posloupnosti... a 1 2. člen posloupnosti... a 2 3. člen posloupnosti... a 3... n. člen posloupnosti... a n /9 POSLOUPNOSTI Zákldí pojmy: Defiice poslouposti Vlstosti poslouposti Určeí poslouposti Aritmetická posloupost Geometrická posloupost Užití poslouposti. Defiice poslouposti Př. Sestrojte grf fukce y =.x

Více

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 NavMg. studium Kompletní znění testových otázek matematika a statistika

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 NavMg. studium Kompletní znění testových otázek matematika a statistika Přijímcí řízeí kdemický rok /4 NvMg studium Kompletí zěí testových otázek mtemtik sttistik Koš Zěí otázky Odpověď ) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá odpověď efiičí obor fukce defiové předpisem f

Více

Aritmetická posloupnost

Aritmetická posloupnost /65 /65 Obsh Obsh... Aritmetická posloupost.... Soustv rovic, součet.... AP - předpis... 5. AP - součet... 6. AP - prvoúhlý trojúhelík... 7. Součet čísel v itervlu... 8 Geometrická posloupost... 0. Soustv

Více

Seznámíte se s použitím určitého integrálu při výpočtu hmotnosti, statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti.

Seznámíte se s použitím určitého integrálu při výpočtu hmotnosti, statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti. Mtemtik II 5 Fzikálí plikce 5 Fzikálí plikce Cíle Sezámíte se s použitím určitého itegrálu při výpočtu hmotosti, sttických mometů, souřdic těžiště mometů setrvčosti Předpokládé zlosti Předpokládáme, že

Více

Základní elementární funkce.

Základní elementární funkce. 6. předášk Zákldí elemetárí fukce. Defiice: Elemetárími fukcemi zveme všech fukce, které jsou vtvoře koečým počtem zákldích opercí ze zákldích elemetárích fukcí. Zákldí operce s fukcemi jsou:. Sčítáí dvou

Více

9. Racionální lomená funkce

9. Racionální lomená funkce @ 9. Rcioálí loeá fukce Defiice: Nechť P je poloická fukce -tého stupě... ) ( P kde R... A echť Q je poloická fukce -tého stupě... ) ( Q kde R... Rcioálí loeá fukce R je dá podíle ) ( ) ( ) ( Q P R pro

Více

Matematika přehled vzorců pro maturanty (zpracoval T. Jánský) Úpravy výrazů. Binomická věta

Matematika přehled vzorců pro maturanty (zpracoval T. Jánský) Úpravy výrazů. Binomická věta Matematika přehled vzorců pro maturaty (zpracoval T. Jáský) Úpravy výrazů a r. a s = a r+s a r = ar s as a r s = a r.s a. b r = a r b r a b r = ar b r a. b a b = a b = a. b ( a) m = a m m a m. = a a k.

Více

STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE POSLOUPNOSTI A ŘADY FUNKCÍ

STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE POSLOUPNOSTI A ŘADY FUNKCÍ STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE Ztím ebylo v těchto textech věováo příliš pozorosti kovergeci fukcí, t jko limit poslouposti ebo součet řdy. Jik byl kovergece poslouposti fukcí ebo řdy brá jko bodová kovergece.

Více

7. Analytická geometrie

7. Analytická geometrie 7. Aaltická geoetrie Studijí tet 7. Aaltická geoetrie A. Příka v roviě ϕ s A s ϕ s 2 s 1 B p s ϕ = (s1, s 2 ) sěrový vektor přík p orálový vektor přík p sěrový úhel přík p k = tgϕ = s 2 s 1 sěrice příkp

Více

14 Kuželosečky v základní poloze

14 Kuželosečky v základní poloze 4 Kuželosečk v zákldní poloze Následující tet 4 7 se týkjí geometrie v rovině. Až dosud jsme studovli útvr lineární (v nltickém vjádření l vžd proměnné,, z v první mocnině). Nní se udeme zývt některými

Více

8. Elementární funkce

8. Elementární funkce Moderí techologie ve studiu plikové fzik CZ.1.07/2.2.00/07.0018 8. Elemetárí fukce Historie přírodích věd potvrzuje, že většiu reálě eistujících dějů lze reprezetovt mtemtickými model, které jsou popsá

Více

Nekonečné řady. 1. Nekonečné číselné řady 1.1. Definice. = L L nekonečnou posloupnost reálných čísel. a) Označme { a }

Nekonečné řady. 1. Nekonečné číselné řady 1.1. Definice. = L L nekonečnou posloupnost reálných čísel. a) Označme { a } Nekoečé řdy. Nekoečé číselé řdy.. Defiice ) Ozčme { } { } = L L ekoečou posloupost reálých čísel.,,,,, Nekoečá číselá řd je součet tvru = + + + L+ + L. Jedotlivá čísl,,, L,, L se zývjí čley řdy, čle obvykle

Více

6. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI A ŘADY 6.1. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI

6. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI A ŘADY 6.1. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI 6. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI A ŘADY 6.. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI V této kpitole se dozvíte: jk defiujeme posloupost reálých ebo komplexích čísel; defiici vlstí evlstí limity poslouposti; defiici pojmů souvisejících

Více

Posloupnosti a řady. Obsah

Posloupnosti a řady. Obsah Poslouposti řdy Poslouposti řdy Obsh. Poslouposti... 8. Úvod do posloupostí... 8. Aritmetická geometrická posloupost... 9. Limit poslouposti... 9. Řdy... 0. Nekoečá geometrická řd... 0 Strák 7 Poslouposti

Více

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde POLYNOM Zákldí pojmy Polyomem stupě zveme fukci tvru y ( L +, P + + + + kde,,, R,, N Čísl,,, se zývjí koeficiety polyomu Číslo c zveme kořeem polyomu P(, je-li P(c výrz (-c pk zýváme kořeový čiitel Vlstosti

Více

DUM č. 11 v sadě. Ma-2 Příprava k maturitě a PZ geometrie, analytická geometrie, analýza, komlexní čísla

DUM č. 11 v sadě. Ma-2 Příprava k maturitě a PZ geometrie, analytická geometrie, analýza, komlexní čísla projekt GML Brno Docens DUM č. v sdě M- Příprv k mturitě PZ geometrie, nltická geometrie, nlýz, komlení čísl 4. Autor: Mgd Krejčová Dtum: 3.8.3 Ročník: mturitní ročník Anotce DUMu: Anltická geometrie v

Více

1. ZÁKLADY VÝROKOVÉ LOGIKY.

1. ZÁKLADY VÝROKOVÉ LOGIKY. . ZÁKLADY VÝROKOVÉ LOGIKY. Mturití opkováí.doc ) Mmik řekl Petrovi: Jestliže budeš hodý, dosteš dort. Jsou čtyři možosti: ) Petr byl hodý, dostl dort. b) Petr byl hodý, edostl dort. c) Petr ebyl hodý,

Více

Vlastnosti posloupností

Vlastnosti posloupností Vlstosti posloupostí Nekoečá posloupost je fukce defiová v oboru přirozeých čísel Z toho plye, že kždá posloupost má prví čle (zčíme ), koečé poslouposti mjí i čle posledí Př Vypište prví čtyři čley poslouposti

Více

Algebraický výraz je číselný výraz s proměnou. V těchto výrazech se vyskytují vedle reálných čísel také proměnné. Například. 4a 4,5x + 6,78 7t.

Algebraický výraz je číselný výraz s proměnou. V těchto výrazech se vyskytují vedle reálných čísel také proměnné. Například. 4a 4,5x + 6,78 7t. ročík - loeý lgebrický výrz, lieárí rovice s ezáou ve jeovteli Loeý lgebrický výrz Lieárí rovice s ezáou ve jeovteli Doporučujee žáků zopkovt vzorce tpu ( + pod úprvu výrzu souči Loeý výrz Číselé výrz

Více

11.1 Úvod. Definice : [MA1-18:P11.1] definujeme pro a C: nedefinujeme: Posloupnosti komplexních čísel

11.1 Úvod. Definice : [MA1-18:P11.1] definujeme pro a C: nedefinujeme: Posloupnosti komplexních čísel KAPITOLA : Číselé řdy MA-8:P.] Ozčeí: R {, +} R R C {} C rozšířeá komplexí rovi evlstí hodot, číslo, bod U ε {x C x < ε } pro C, ε > 0 U K {x C x > K } pro K 0 defiujeme pro C: ±, je pro 0, edefiujeme:

Více

Správnost vztahu plyne z věty o rovnosti úhlů s rameny na sebe kolmými (obr. 13).

Správnost vztahu plyne z věty o rovnosti úhlů s rameny na sebe kolmými (obr. 13). 37 Metrické vlastosti lieárích útvarů v E 3 Výklad Mějme v E 3 přímky p se směrovým vektorem u a q se směrovým vektorem v Zvolme libovolý bod M a veďme jím přímky p se směrovým vektorem u a q se směrovým

Více

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI 6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI Fukce Dovedosti:. Základí pozatky o fukcích -Chápat defiici fukce,obvyklý způsob jejího zadáváí a pojmy defiičí obor hodot fukce. U fukcí zadaých předpisem umět správě operovat

Více

1.2. MOCNINA A ODMOCNINA

1.2. MOCNINA A ODMOCNINA .. MOCNINA A ODMOCNINA V této kpitole se dozvíte: jk je defiová oci s přirozeý, celý, rcioálí oecý reálý epoete jké jsou její vlstosti; jk je defiová přirozeá odoci, jké jsou její vlstosti jk se dá vyjádřit

Více

Posloupnosti ( 1) ( ) 1. Různým způsobem (rekurentně i jinak) zadané posloupnosti. 2. Aritmetická posloupnost

Posloupnosti ( 1) ( ) 1. Různým způsobem (rekurentně i jinak) zadané posloupnosti. 2. Aritmetická posloupnost Poloupoti Růzým způobem (rekuretě i jik zdé poloupoti Urči prvích pět čleů poloupoti, ve které, + Urči prvích pět čleů poloupoti, je-li dáo:, + + Urči prvích pět čleů poloupoti, je-li dáo: 0,, Urči prvích

Více

Analytická geometrie

Analytická geometrie Alytická geometrie Vektory Prmetrické vyjádřeí přímky roviy Obecá rovice droviy Vektorový prostor Nechť jsou dáy ásledující mtemtické objekty: ) ) ) 4) Číselé těleso T. Neprázdá moži V. Zobrzeí Zobrzeí

Více

Maturitní témata z Matematiky

Maturitní témata z Matematiky Mturitní témt z Mtemtik. Výrz jejich úprv. Lineární rovnice nerovnice, lineární rovnice s prmetrem. vdrtická rovnice nerovnice, kvdrtická rovnice s prmetrem. Rovnice nerovnice v součinovém podílovém tvru.

Více

STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ 30, p. o. MATEMATIKA

STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ 30, p. o. MATEMATIKA STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ, p. o. MATEMATIKA Ig. Rudolf PŠENICA 6 OBSAH:. SHRNUTÍ A PROHLOUBENÍ UČIVA... 5.. Zákldí možiové pojmy... 5.. Číselé možiy... 6.. Itervly... 6.. Absolutí

Více

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA TŘETÍ MGR. JÜTTNEROVÁ Název zpracovaného celku: GEOMETRICKÁ POSLOUPNOST A JEJÍ UŽITÍ

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA TŘETÍ MGR. JÜTTNEROVÁ Název zpracovaného celku: GEOMETRICKÁ POSLOUPNOST A JEJÍ UŽITÍ Předmět: Ročík: Vytvořil: Dtum: MATEMATIKA TŘETÍ MGR JÜTTNEROVÁ Název zprcového celku: GEOMETRICKÁ POSLOUPNOST A JEJÍ UŽITÍ GEOMETRICKÁ POSLOUPNOST Defiice: Poloupot e zývá geometrická právě tehdy, když

Více

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení.,

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení., Def: Vetorovým součiem vetorů u =(u, u, u 3 ) v = (v, v, v 3 ) zýváme vetor u v = (u v 3 u 3 v, u 3 v u v 3, u v u v ) Vět: Pro vetory i, j, ortoormálí báze pltí i i = j = i, i = j Vět: Nechť u v, w, jsou

Více

6.2. ČÍSELNÉ ŘADY. V této kapitole se dozvíte:

6.2. ČÍSELNÉ ŘADY. V této kapitole se dozvíte: 6.2. ČÍSELNÉ ŘADY V této kpitole se dozvíte: jk defiujeme číselou řdu; defiici kovergece řdy jejího součtu; jk vypdá ritmetická, geometrická hrmoická řd jk je to s jejich kovergecí; jk zí utá podmík kovergece

Více

Posloupnosti na střední škole Bakalářská práce

Posloupnosti na střední škole Bakalářská práce MASARYKOVA UNIVERZITA V BRNĚ Přírodovědecká fkult Ktedr mtemtiky Poslouposti středí škole Bklářská práce Bro 00 Kteři Rábová Prohlášeí Prohlšuji, že tto bklářská práce je mým původím utorským dílem, které

Více

1.8.1 Mnohočleny, sčítání a odčítání mnohočlenů

1.8.1 Mnohočleny, sčítání a odčítání mnohočlenů .8. Mohočley, sčítáí odčítáí mohočleů Předpokldy: 7 Mohočle = zvláští typ výrzů. Jk je pozáme? Mohočley obshují pouze přirozeé mociy ezámých (jedé ebo více) kostty. Př. : Rozhodi, které z ásledujících

Více

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA. , x = opačný vektor

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA. , x = opačný vektor . LINEÁRNÍ LGEBR Vektorový prostor.. Defiice Nechť V e moži které sou defiováy operce sčítáí + : t. zobrzeí V V V ásobeí i : t zobrzeí R V V. Možiu V zýváme vektorovým prostorem, sou-li splěy ásleduící

Více

METODICKÝ NÁVOD MODULU

METODICKÝ NÁVOD MODULU Centrum celoživotního vzdělávání METODICKÝ NÁVOD MODULU Název modulu: Zákldy mtemtiky Zkrtk: ZM Počet kreditů: Semestr: Z/L Mentor: Petr Dolnský Tutor: Petr Dolnský I OBSAH BALÍČKU STUDIJNÍCH OPOR: ) Skriptum:

Více

I. TAYLORŮV POLYNOM ( 1

I. TAYLORŮV POLYNOM ( 1 I. TAYLORŮV POLYNOM Připomeňme si defiice elemetárích fukcí: a si( = 2+ = ( (2+! b cos( = 2 = ( (2! c e = =!. Dokažte, že Taylorův polyom k-tého řádu v bodě pro fukce f je rove polyomu P : (tyto výsledky

Více

I. TAYLORŮV POLYNOM. Taylorovy řady některých funkcí: Pro x R platí: sin(x) =

I. TAYLORŮV POLYNOM. Taylorovy řady některých funkcí: Pro x R platí: sin(x) = Taylorovy řady ěkterých fukcí: I. TAYLORŮV POLYNOM Pro R platí: si) = 2+ = ), cos) = 2 2+)! = ), 2)! e = =.! Pro, : log + ) = = ) Pro, ) a a R: + ) a = a ) =, kde ) a = a a ) a 2) a +).!. Nalezěte Taylorův

Více

Funkční řady. 3. Kovové pásmo, napínané na obou koncích, se prověsí do řetězovky x Určete funkci s(x), x D

Funkční řady. 3. Kovové pásmo, napínané na obou koncích, se prověsí do řetězovky x Určete funkci s(x), x D Fukčí řdy. Těžké dokole ohebé epružé pásmo jehož průřez se měí tk že proti přetržeí klde stálý odpor po zvěšeí zujme tvr řetězovky stálé pevosti. Řetězovk je vyjádře rovicí ( ) = l cos >. Určete deiičí

Více

1.8.1 Mnohočleny, sčítání a odčítání mnohočlenů

1.8.1 Mnohočleny, sčítání a odčítání mnohočlenů .8. Mohočley, sčítáí odčítáí mohočleů Předpokldy: 7 Mohočle = zvláští typ výrzů. Jk ho pozáme? Mohočley obshují pouze přirozeé mociy ezámých (jedé ebo více) kostty. Př. : Rozhodi, které z ásledujících

Více

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a

Více

Diferenciální počet. Spojitost funkce

Diferenciální počet. Spojitost funkce Dierenciální počet Spojitost unkce Co to znmená, že unkce je spojitá? Jký je mtemtický význm tvrzení, že gr unkce je spojitý? Jké jsou vlstnosti unkce v bodě? Jké jsou vlstnosti unkce v intervlu I? Vlstnosti

Více

Hyperbola a přímka

Hyperbola a přímka 7.5.8 Hperol přímk Předpokld: 75, 75, 755, 756 N orázku je nkreslen hperol = se středem v počátku soustv souřdnic. Jká je vzájemná poloh této hperol přímk, která prochází počátkem soustv souřdnic? E B

Více

Posloupnosti. a a. 5) V aritmetické posloupnosti je dáno: a

Posloupnosti. a a. 5) V aritmetické posloupnosti je dáno: a Poslouposti ) Prví čle ritmetické poslouposti je diferece Určete prvích pět čleů této poslouposti ) Prví čle ritmetické poslouposti je 8 diferece Určete prvích pět čleů této poslouposti ) V ritmetické

Více

8.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P8.1] výpočet obsahu plochy pod grafem funkce. (nejdříve jen pro a < b ) a = x 0 < x 1 <... < x n = b.

8.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P8.1] výpočet obsahu plochy pod grafem funkce. (nejdříve jen pro a < b ) a = x 0 < x 1 <... < x n = b. KPITOL 8: určitý itegrál Riemův itegrál [M-8:P8.] motivce: výpočet oshu plochy pod grfem fukce 8. Úvod ejdříve je pro < ) řekeme, že moži D, je děleím itervlu,, jestliže je koečá, D. Prvky děleí D {x,

Více

1. ČÍSELNÉ OBORY 10. Kontrolní otázky 24. Úlohy k samostatnému řešení 25. Výsledky úloh k samostatnému řešení 25. Klíč k řešení úloh 26

1. ČÍSELNÉ OBORY 10. Kontrolní otázky 24. Úlohy k samostatnému řešení 25. Výsledky úloh k samostatnému řešení 25. Klíč k řešení úloh 26 Zákld mtemtik Číselé oor ČÍSELNÉ OBORY 0 Některé pojm z mtemtické logik 0 Výroková logik 0 Moži vzth mezi imi Možiové operce Grfické zázorěí moži Číselé oor Čísl ázv jejich chrkteristik Chrkteristik číselých

Více

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika Přijímací řízeí akademický rok 0/0 c. studium Kompletí zěí testových otázek matematika Koš Zěí otázky Odpověď a) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá. Které číslo doplíte místo 8? 6 6 8 C. Které číslo

Více

Sbírka procvičovacích příkladů k maturitě. Maturitní témata

Sbírka procvičovacích příkladů k maturitě. Maturitní témata Sírk procvičovcích příkldů k mturitě Mturitní témt. Tp důkzů, dělitelnost čísel. Výrok množin. Definice vlstnosti fcí, grf funkce, inverzní funkce. Lineární kvdrtická funkce. Mocnin s reálným eponentem,

Více

Sbírka procvičovacích příkladů k maturitě. Maturitní témata

Sbírka procvičovacích příkladů k maturitě. Maturitní témata Sírk procvičovcích příkldů k mturitě Mturitní témt. Tp důkzů, dělitelnost čísel. Výrok množin. Definice vlstnosti fcí, grf funkce, inverzní funkce. Lineární kvdrtická funkce. Mocnin s reálným eponentem,

Více

STEREOMETRIE 9*. 10*. 11*. 12*. 13*

STEREOMETRIE 9*. 10*. 11*. 12*. 13* STEREOMETRIE Bod, přímka, rovina, polorovina, poloprostor, základní symboly označující přímku, bod, polorovinu, patří, nepatří, leží, neleží, vzájemná poloha dvou přímek v prostoru, vzájemná poloha dvou

Více

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a

Více

Opakování ke státní maturitě didaktické testy

Opakování ke státní maturitě didaktické testy Číslo projektu CZ..7/../.9 Škol Autor Číslo mteriálu Název Tém hodiny Předmět Ročník/y/ Anotce Střední odborná škol Střední odborné učiliště, Hustopeče, Msrykovo nám. Mgr. Rent Kučerová VY INOVACE_MA..

Více

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh:

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh: Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT 5. temtický okruh: POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z

Více

je pravoúhlý BNa ose y najděte bod, který je vzdálený od bodu A = [ 4;

je pravoúhlý BNa ose y najděte bod, který je vzdálený od bodu A = [ 4; 1 BUAnlytická geometrie - bod, souřdnice bodu, vzdálenost bodů 11 1BRozhodněte, zd trojúhelník s vrcholy A [ ; ], B [ 1; 1] C [ 11; 6] je prvoúhlý 1 1BN ose y njděte bod, který je vzdálený od bodu A [

Více

Kapitola 1. Nekonečné číselné řady. Definice 1.1 Nechť {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol. a n nebo a 1 + a 2 + a

Kapitola 1. Nekonečné číselné řady. Definice 1.1 Nechť {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol. a n nebo a 1 + a 2 + a Kpitol Nekoečé číselé řdy Defiice. Nechť { } je posloupost reálých čísel. Symbol ebo + 2 + 3 +... zýváme ekoečou číselou řdou. s = i= i = + 2 +... + zveme -tý částečý součet řdy {s } posloupost částečých

Více

Přijímací řízení akademický rok 2012/2013 Kompletní znění testových otázek matematické myšlení

Přijímací řízení akademický rok 2012/2013 Kompletní znění testových otázek matematické myšlení Přijímací řízeí akademický rok 0/0 Kompletí zěí testových otázek matematické myšleí Koš Zěí otázky Odpověď a) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá odpověď. Které číslo doplíte místo otazíku? 6 8 8 6?.

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ČÍSELNÉ OBORY vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z mtemtiky školí rok 204/205

Více

Napíšeme si, jaký význam mají jednotlivé zadané hodnoty z hlediska posloupností. Zbytek příkladu je pak pouhým dosazováním do vzorců.

Napíšeme si, jaký význam mají jednotlivé zadané hodnoty z hlediska posloupností. Zbytek příkladu je pak pouhým dosazováním do vzorců. 8..4 Užití ritmetických posloupostí Předpokldy: 80,80 Př. : S hloubkou roste teplot Země přibližě rovoměrě o 0 C 000 m. Jká bude teplot dě dolu hlubokého 900 m, je-li v hloubce 5 m teplot 9 C? Jký by byl

Více

+ c. n x ( ) ( ) f x dx ln f x c ) a. x x. dx = cotgx + c. A x. A x A arctgx + A x A c

+ c. n x ( ) ( ) f x dx ln f x c ) a. x x. dx = cotgx + c. A x. A x A arctgx + A x A c ) INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ ) Pojem neurčitého integrálu Je dán funkce Pltí všk tké F tk, y pltilo F ( ) f ( ) Zřejmě F ( ), protože pltí, 5,, oecně c, kde c je liovolná kon- stnt f ( ) nším

Více

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy 1. Číselé obory, dělitelost, výrazy 1. obor přirozeých čísel - vyjadřující počet prvků možiy - začíme (jsou to kladá edesetiá čísla) 2. obor celých čísel - možia celých čísel = edesetiá, ale kladá i záporá

Více

Opakovací test. Posloupnosti A, B

Opakovací test. Posloupnosti A, B VY INOVACE_MAT_189 Opkovcí test Poslouposti A, B Mgr. Rdk Mlázovská Období vytvořeí: prosiec 01 Ročík: čtvrtý Temtická oblst: mtemtické vzděláváí Předmět: mtemtik, příprv k mturitě, příprv VŠ, opkováí,

Více

2.cvičení. 1. Polopřímka: bod O dělí přímku na dvě navzájem opačné polopřímky.

2.cvičení. 1. Polopřímka: bod O dělí přímku na dvě navzájem opačné polopřímky. 2.cvičení 1. Polopřímk: od O dělí přímku n dvě nvzájem opčné polopřímky. Úsečk: průnik dvou polopřímek,. Polorovin: přímk dělí rovinu n dvě nvzájem opčné poloroviny. Úhel: průnik polorovin (pozor n speciální

Více

6 Stabilita lineárních diskrétních regulačních obvodů

6 Stabilita lineárních diskrétních regulačních obvodů 6 Stbilit lieárích diskrétích regulčích obvodů Pro diskrétí systémy pltí stejá defiice stbility jko pro systémy spojité. Systém je stbilí, když se po odezěí vstupího sigálu vrátí zpět do rovovážého stvu.

Více

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa.

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa. .. Ojem rotčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí určitého integrálu výpočtem ojemu rotčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si prostudovli zvedení pojmu určitý integrál (kpitol.).

Více

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1) .6. Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině. 6.1. V této kapitole budeme studovat geometrické úloh v rovině analtick, tj. lineární a kvadratické geometrické útvar vjádříme pomocí

Více

8.2.6 Geometrická posloupnost

8.2.6 Geometrická posloupnost 8.. Geometricá posloupost Předpoldy: 80, 80, 80, 807 Pedgogicá pozám: V hodiě rozdělím třídu dvě supiy ždá z ich dělá jede z prvích dvou příldů. Př. : Poločs rozpdu (dob z terou se rozpde polovi existujícího

Více

Geometrie. Mgr. Jarmila Zelená. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

Geometrie. Mgr. Jarmila Zelená. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Geometrie Mgr. Jrmil Zelená Gymnázium, SOŠ VOŠ Ledeč nd Sázvou Výpočty v prvoúhlém trojúhelníku VY_3_INOVACE_05_3_1_M Gymnázium, SOŠ VOŠ Ledeč nd Sázvou PRAVOÚHLÝ TROJÚHELNÍK 1 Pojmy oznčení:,.odvěsny

Více

Analytická geometrie

Analytická geometrie 7..06 Alytická geometrie Vektory Prmetrické vyjádřeí přímky roviy Obecá rovice droviy Vektorový prostor Nechť jsou dáy ásledující mtemtické objekty: ) ) ) 4) Číselé těleso T. Neprázdá moži V. Zobrzeí Zobrzeí

Více

III.4. Fubiniova (Fubiniho) věta pro trojný integrál

III.4. Fubiniova (Fubiniho) věta pro trojný integrál E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírk příkldů Mtemtik II ( III.. Fubiniov (Fubiniho vět pro trojný integrál Vpočítejte trojné integrál n dných množinách E : Příkld. I Řešení : I ( + d d d; {[,, E

Více

7.5.8 Středová rovnice elipsy

7.5.8 Středová rovnice elipsy 758 Středová rovnice elips Předpokld: 7501, 7507 Př 1: Vrchol elips leží v odech A[ 1;1], [ 3;1], [ 1;5], [ 1; 3] elips souřdnice jejích ohnisek Urči prmetr Zdné souřdnice už n první pohled vpdjí podezřele,

Více

56. ročník Matematické olympiády. b 1,2 = 27 ± c 2 25

56. ročník Matematické olympiády. b 1,2 = 27 ± c 2 25 56. ročník Mtemtické olympiády Úlohy domácí části I. kol ktegorie 1. Njděte všechny dvojice (, ) celých čísel, jež vyhovují rovnici + 7 + 6 + 5 + 4 + = 0. Řešení. Rovnici řešíme jko kvdrtickou s neznámou

Více

Základní věta integrálního počtu (Newton Leibnizova) nám umožní výpočet určitých integrálů. Poznáte základní vlastnosti určitých integrálů.

Základní věta integrálního počtu (Newton Leibnizova) nám umožní výpočet určitých integrálů. Poznáte základní vlastnosti určitých integrálů. Mtemtik II Výpočet vlstosti určitého itegrálu Výpočet vlstosti určitého itegrálu Cíle Zákldí vět itegrálího počtu (Newto Leiizov) ám umoží výpočet určitých itegrálů Pozáte zákldí vlstosti určitých itegrálů

Více

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D.

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D. MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ PH.D. Obsah MNOŽINY.... ČÍSELNÉ MNOŽINY.... OPERACE S MNOŽINAMI... ALGEBRAICKÉ VÝRAZY... 6. OPERACE S JEDNOČLENY A MNOHOČLENY...

Více

Středová rovnice hyperboly

Středová rovnice hyperboly 757 Středová rovnice hperol Předpokld: 7508, 75, 756 Př : Nkresli orázek, vpočti souřdnice vrcholů, ecentricitu urči rovnice smptot hperol se středem v počátku soustv souřdnic, pokud je její hlvní os totožná

Více

Užití stejnolehlosti v konstrukčních úlohách

Užití stejnolehlosti v konstrukčních úlohách Užití stejnolehlosti v konstrukčních úlohách Příklad 1: Je dána kružnice k(o,r) a bod M ležící uvnitř kružnice k. Bodem M veďte tětivu AB, jejíž délka je bodem M rozdělena v poměru 2 : 1. Sestrojte obraz

Více

= + nazýváme tečnou ke grafu funkce f

= + nazýváme tečnou ke grafu funkce f D E R I V A C E F U N KCE Deiice. (derivace Buď ukce,!. Eistuje-li limitu derivací ukce v bodě a začíme ji (. lim ( + lim Deiice. (teča a ormála Přímku o rovici y ( v bodě, přímku o rovici y ( (, kde (

Více

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0.

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0. Ukázky typových maturitních příkladů z matematiky..reálná čísla. 3} x R; I. Zobrazte množiny A = {x є 3} < + x R; B = {x є II. Zapište ve tvaru zlomku číslo, 486.Komplexní čísla. I. Určete a + b, a - b,

Více

Přijímací řízení akademický rok 2015/2016 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika

Přijímací řízení akademický rok 2015/2016 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika Přijímcí řízení kemický rok 0/06 Bc. stuium Kompletní znění testových otázek mtemtik Koš Znění otázk Opověď ) Opověď ) Opověď c) Opověď ) Správná opověď. Které číslo oplníte místo otzníku? 7 6 8 6?. Které

Více

f B 6. Funkce a posloupnosti 3 patří funkci dané předpisem y = 2 x + 3. [všechny] 1) Rozhodněte, která z dvojic [ ;9][, 0;3 ][, 2;7]

f B 6. Funkce a posloupnosti 3 patří funkci dané předpisem y = 2 x + 3. [všechny] 1) Rozhodněte, která z dvojic [ ;9][, 0;3 ][, 2;7] 6. Fukce a poslouposti ) Rozoděte, která z dvojic [ ;9[, 0; [, ; patří fukci daé předpisem y +. [všecy ) Auto má spotřebu 6 l beziu a 00 km. Na začátku jízdy mělo v plé ádrži 6 l beziu. a) Vyjádřete závislost

Více

Střední škola obchodu, řemesel, služeb a Základní škola, Ústí nad Labem, příspěvková organizace Vzdělávací středisko Trmice

Střední škola obchodu, řemesel, služeb a Základní škola, Ústí nad Labem, příspěvková organizace Vzdělávací středisko Trmice Střední škol ohodu, řemesel, služe Zákldní škol, Ústí nd Lem, příspěvková orgnize Vzděláví středisko Trmie MATURITNÍ TÉMATA Předmět: Mtemtik Oor vzdělání: Ekonomik podnikání Školní rok: 0/06 Tříd: EKP

Více