Sbírka maturitních příkladů z matematiky. Mgr. Marie Kubíčková Mgr. Radek Nowak

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Sbírka maturitních příkladů z matematiky. Mgr. Marie Kubíčková Mgr. Radek Nowak"

Transkript

1 Sírk mturitích příkldů z mtemtik Mgr Mrie Kuíčková Mgr Rdek Nowk

2 Úprv výrzů Uprvte udejte podmík eistece výrzů ( ) ( ) ( ) : ( ) ( ) 7 : 8 m m m m 9 ( ) 7 : si cos cos si cos si si cos Fukce Určete defiičí oor fukcí ) ( ) log e) ( ) cos log ) log f) ( ) cos log c) ( ) log g) 7 d) cos Sestrojte grf fukcí ) ) c) d) e) π π π ; si f) cos g) si

3 h) si i) π si Určete vlstosti fukcí sestrojte jejich grf ) l f) log ) g) c) ( ) h) log i) log d) ( ) e) Určete iverzí fukci k fukci ; Z průěhu epoeciálí logritmické fukce hrďte zk zmékem erovosti tk výrok l prvdivý ) 7 ) c) m > 7 m d) log e) log f) log Určete všech R pro která je fukce která klesjící 7 Určete pro která s R je defiová fukce která s je fukce rostoucí pro která klesjící 8 7 log m < log 7 m s rostoucí pro Určete pro 8 r g Logritmujte výrz (dekdický logritmus) r t r 9 Určete jk dlouho z jké výšk pdá těleso volým pádem jestliže v posledí sekudě svého pádu urzí jedu třetiu celkové dráh Odvoďte si α cos α pomocí vhodých goiometrických vzthů cos π π Vpočtěte hodotu výrzu je-li cos cos Bez použití tulek klkulátorů určete hodot osttích goiometrických π fukcí je-li si ; π Rovice Řešte v R rovici: l l e e e log( ) log( ) log( ) log log si si cos tg cotg 7 si cos 8 cos cos cos 9 si si 7 si cos si cos si 7 8

4 7 8 9 Prík potřeovl plvu dlouhou 8 km proti proudu 8 km zpět dohromd hodi Jkou rchlostí jel prík po klidé vodě l-li rchlost proudu kmh -? Rovice s prmetrem Řešte v R rovici s ezámou prmetrem: m m m m m m k k ( m ) ( m ) ( m ) Soustv rovic Řešte v R soustvu z z 7 z z 9 z z 9 log log log log 8 Je dá soustv rovic o dvou ezámých R s prmetrem m R Určete hodot prmetru m tk průsečík grfů l ve III kvdrtu m 7 Po okruhu dlouhém m jezdí dv motockl tkovými rchlostmi že se potkávjí kždou miutu jezdí-li proti soě doháějí se kždých pět miut jezdí-li týmž směrem Určete jejich rchlosti 8 9 Vpočtěte I I I v elektrickém ovodu jeli dáo U V U V R Ω R Ω R 7Ω I R I R I Nerovice Řešte v R erovici eo soustvu R U U

5 Zorzte zpište itervl moži { R; < } M { R; } < < Řešte grfick si > cos tg 7 Zorzeí M 7 Sestrojte ABC je-li dáo v cm ::c :: Určete tp zorzeí který vužijete při řešeí 7 V rovormeém trojúhelíku o zákldě z 8 cm rmeech r 7 cm vpočtěte výšk 7 Sestrojte ABC je-li dáo ::c :: t c 7 cm 7 Jsou dá kružice k (S ; cm) k (S ; cm) S S 8 cm Njděte od z ichž jsou oě kružice vidět pod stejým zorým úhlem 7 Vpočtěte délku společé vitří teč kružic k (S ; cm) k (S ; cm) S S 8 cm 8 Rovié orzce 8 Sestrojte velikosti úsečk 7 pomocí Eukleidových vět Pthgorov vět 8 Určete velikosti těžic prvoúhlého trojúhelíku je-li odvěs cm α 8 Pomocí ) Pthgorov vět ) Eukleidov vět o výšce vpočítejte poloměr mostího kruhového olouku o rozpětí 8 m výšce v m 8 Sestrojte úsečku délk je-li > 8 Vpočítejte délk str prvoúhlého trojúhelíku ABC s přepoou c je-li t cm t cm 8 V trojúhelíku ABC pltí α : β : : : Určete jeho vitří úhl 87 Vpočtěte výšku kopce jehož vrcholu je rozhled vsoká cm Její vrchol ptu je vidět ze stoviště v údolí pod výškovými úhl α 9 β 7 88 Ze všech trojúhelíků s dou strou dým úhlem α ležícím proti í jděte trojúhelík s ejvětším ovodem 89 Sílu F N která půsoí hmotý od A rozložte složk F F tk úhel F 9 F 7 F F 8 Tři síl jejichž velikosti jsou v poměru 9::7 půsoí v roviě v jedom odě tk že jsou v rovováze Určete velikosti úhlů mezi jedotlivými silmi 8 Kružice je rozděle dv olouk jejichž délk jsou v poměru : V jkém poměru jsou osh oou úsečí? 8 Vpočtěte osh prvidelého dváctiúhelíku je-li délk jeho ejkrtší úhlopříčk u cm 8 Určete celá čísl udávjící velikosti str prvoúhlého trojúhelíku jehož ovod i osh jsou vjádře týmž číslem 8 Výšk rovoěžé str lichoěžíku jsou v poměru :: osh je cm Určete velikost výšk záklde 8 V prvidelém -úhelíku je velikost vitřího úhlu α 8 poloměr kružice vepsé je r cm Určete teto -úhelík vpočítejte jeho osh velikost jeho str 9 Těles 9 Podstvou kosého hrolu je trojúhelík v ěmž poloměr kružice opsé je r cm úhl α β Poočá hr h cm svírá s roviou podstv úhel ϕ 7 Vpočtěte ojem hrolu 9 Kvádr má ojem 7 dm jeho rozměr jsou v poměru : : jeho povrch tělesovou úhlopříčku Vpočtěte 9 Kolmý trojoký hrol jehož podstv je prvoúhlý trojúhelík má ojem cm osh ejvětší stě S cm tělesová výšk cm Vpočtěte délk podstvých hr

6 9 Ojem prvidelého -tiokého hrolu je V [ j ] Délk podstvé hr k délce výšk v je v poměru : Vpočtěte povrch hrolu 9 Prvidelý čtřoký jehl jehož podstvé očí hr mjí tutéž délku má ojem V určete délk hr povrch těles 9 Prvidelý čtřstě má hru Vpočtěte jeho výšku ojem povrch odchlku hr od rovi stě v íž eleží 97 V erotčím kuželi je ejdelší str s cm ejkrtší s cm 98 Podstvou kosého čtřokého jehlu ABCDV je čtverec o strě cm výškou je poočá hr VD cm Vpočtěte povrch jehlu 99 Rotčí kužel válec mjí shodé podstv o poloměru o poloměru r stejé velikosti výšek i plášťů Jk jsou vsoké? (Poz vjádřete výšku v jko fukci poloměru r ) 9 Je dá ojem V 9π [ j ] rovostrého kužele V jké vzdáleosti od vrcholu kužele je tře vést řez roviou rovoěžou s podstvou která rozdělí dý kužel dvě těles se stejými ojem? 9 Tvrdost mteriálu se zjišťuje zkouškmi Jedou z ich je Briellov zkoušk Při í se do testového mteriálu tvru rovié desk tlčí kosttí silou po určitou dou ocelová kuličk o průměru d Tím se v mteriálu vtlčí prostor tvru kolové úseče o průměru podstv d ) Určete do jké hlouk l kuličk vtlče je-li d mm d mm? ) Vpočtěte osh kulového vrchlíku který je částí hrice vtlčeé kulové úseče 9 Vpočtěte ojem kulové vrstv poloměr koule je-li dáo ρ 7 cm ρ cm v cm 9 Vpočtěte ojem povrch kulové úseče která vzike vedeím sečé rovi v kouli o poloměru r cm cm od jejího středu 9 Polokulovitá ádo je zcel plěá vodou Nkloíme-li ji o vteče z í l vod Kolik litrů v ádoě zývá? 9 Kouli je opsá rotčí kužel jehož výšk se rová šestiásoku poloměru koulev jkém poměru jsou povrch oou těles? 9 Určete ojem kulové vrstv která vzike z polokoule o poloměru r cm odřízutím úseče o výšce v cm Altická geometrie přímk rovi Určete úhel vektorů u v je-li u v 8 u v 7 Určete tk vektor c l lieárě závislé vpočtěte úhel vektorů c ; ( 9) ( ) c ( ) u má Určete v dé roviě vektor v který je kolmý k vektoru ( ) velikost v Jsou dá od A [ ] B [ ] C [ ] Určete pomocí vektorů zd od tvoří trojúhelík určete délk str zjistěte zd trojúhelík eí prvoúhlý Určete vektor kolmý k vektorům ( ) ( ) Vjádřete vzth mezi m q tk rovice přímek ( m) q l: ) vjádřeím téže přímk ) vjádřeím dvou rovoěžých přímek c) vjádřeím růzoěžých přímek 7 Vpočtěte osh čtverce jehož rovoěžé str leží přímkách: : :

7 8 Pro které hodot prmetrů m r R vjdřují rovice: m r ( m) ( ) r tutéž přímku? 9 V oecé rovici přímk 8 určete prmetr tk tto přímk pocházel průsečíkem přímek 7 t t Npište rovici přímk která prochází odem [ 7] M s přímkou π svírá úhelα Dokžte že přímk p q jsou rovoěžé určete jejich vzdáleost: p : t t z t t R q : r r z r r R Zjistěte vzájemou polohu přímk rovi Podle poloh pk určete uď vzdáleost eo průsečík úhel: p : q : AB : A [ ] B [ ] 7 z 7 Určete průsečík přímk určeé od [ ] B [ ] souřdicovými osmi A se Určete rovici rovi která je urče od A [ ] [ ] C [ 78 9] B Npište rovici rovi (prmetrick i oecě) ve které leží přímk t t z t která je kolmá k roviě dé rovicí z Určete vzájemou polohu přímek v prostoru : p : t 7 t z t t R q : r r z 8 r r R 7 Určete vzdáleost odu [ ] A od rovi ρ : z M od přímk p : t t z t 9 Určete grfick i početě vzájemou polohu rovi dých rovicemi z z 8 Jká je vzdáleost odu [ 797] Npište prmetrické vjádřeí rovi oecou rovici rovi α procházející odem M [ ] kolmé k roviám ρ : z σ : z Průsečicí rovi α β veďte roviu γ kolmou k σ : α : z β: z γ : cz d σ : z Altická geometrie kuželoseček Určete odchlku teče vedeých z počátku ke kružici 8 Určete ejmeší vzdáleost odu [ 8 ] P od kružice Určete rovici kružice která prochází od A [ ] [ ] přímce B střed Npište rovici kružice se středem přímce p o rovici B jestliže kružice prochází od A [ ] [ ] Npište rovici kružice procházející od A [ ] [ ] C [ ] Nejprve všk ověřte zd dé od určují kružici Njděte rovici elips která prochází odem [ ] B M dotýká se přímk t : (os osách souřdic)

8 7 Určete střed poloos ecetricitu elips o rovici 8 Určete osovou rovici elips která se dotýká přímk v odě T 9 [ ] 9 Ohisk elips leží přímce jejich vzájemá vzdáleost je E je vrcholem vedlejší os Npište rovici této elips od [ ] Zjistěte jkou kuželosečku předstvuje rovice Určete rovice teče k této kuželosečce v jejích průsečících s osou N prole 9 jděte od který má od přímk 8 ejmeší vzdáleost Do prol o rovici je vepsá rovostrý trojúhelík jehož jede vrchol leží ve vrcholu prol protější str je kolmá k ose prol Vpočtete osh tohoto trojúhelíku Jk dlouhou tětivu utíá prol 9 přímce 7 Prolický olouk má rozpětí l m výšku v 9 m Vjádřete rovici prolického olouku Npište rovici přímk která svírá s osou úhel π prochází vrcholem prol 7 Npište osovou rovici hperol víte-li že její smptot mjí rovici ± její teč rovici 7 Npište osovou rovici hperol která má souřdice ohisek F [ ] F [ ] prochází odem M [ ] 8 Zjistěte zd rovice je rovicí hperol Je-li tomu tk určete její střed ohisk poloos Proveďte grfické zorzeí 9 Npište rovici hperol která má vrchol v ohiscích ohisk ve vrcholech elips 9 Určete vzdáleost středu hperol h od přímk p : h : 8 p : Určete odchlku křivek 9 9 k prole 9 veďte teču rovoěžou s přímkou q : 8 Určete osovou rovici hperol která má smptotu teču Políž železičí trtě která opisuje prolický olouk o rovici vede přímá silice o rovici Který od trtě leží ejlíže k silici? Npište rovici kružice se středem přímce p : 7 8 která se dotýká přímek : : Mticový počet Určete souči mtic 8 Njděte mtici X pro kterou pltí: X X

9 Určete mtici X její hodost je-li dá mticová rovice: X 8 7 Ukžte že pro dé mtice B A pltí: B E A A kde E je jedotková mtice stejého stupě jko A 8 B A Řešte rovici A B A X B A Určete hodost mtice její determit: 7 A 7 Řešte rovici: 9 8 Rozhoděte pomocí determitu pro které hodot je mtice sigulárí 9 Určete číslo tk soustv měl řešeí pk soustvu řešte: 7 Rozhoděte zd dá soustv má řešeí 7 z z z z Difereciálí počet Vpočítejte limitu ) lim g) si lim ) si lim h) tg si cos lim π c) 9 lim i) lim d) lim j) 7 lim e) lim k) si lim f) lim l) cos cos si lim π Podle defiice vpočítejte derivci fukce

10 Derivujte fukci ) l f) ) g) c) d) l si l si h) e si tg i) e) Je dá fukce si si log e cos Urči rovici teč v jejím odě T [ T ] V roviě jsou dá od A [ ] B [ ] tk součet vzdáleostí AM BM l co ejmeší N ose jděte od M Lichoěžíkové korto hoře otevřeé má zákldu i rme dlouhé dm Při jkém sklou α rme pojme co ejvíce vod jká ude jeho horí šířk? 7 Jké rozměr musí mít uzvřeá litrová válcová ádo má-li ýt spotře plechu její výrou včetě odpdu co ejmeší (předpokládejte že plech spotřeový podstvu má tvr čtverce opsého podstvě) 8 Určete lokálí etrém fukce její solutí etrém itervlu 9 Určete itervl ve kterých je fukce Všetřete průěh grf fukcí: ) koveí eo kokáví d) ( 9 7) ) c) e) f) l Těleso lo vržeo svisle vzhůru počátečí rchlostí v m s Z předpokldu že g m s vpočtěte okmžitou rchlost v čse t s dou výšku výstupu okmžité zrchleí v čse t Npište rovici teč ormál v oecém tvru k prole v odě T kde Hmotý od M se pohuje přímočře tk že jeho vzdáleost od výchozího odu O (počátek soustv souřdic) je kuickou fukcí čsu Vjádřete teto poh víte-li že v čse t s se zčl od pohovt z odu O v čse t s se do tohoto odu opět vrátil kdž předtím v čse t s dosáhl mimálí vzdáleosti d 8cm od výchozího odu Ve které odě má křivk teču: ) se směrovým úhlem ) rovoěžou s přímkou c) kolmou přímku Npište rovici teč ormál e cos T v odě T [ ] Akumulátor má elektromotorické pětí U e vitří odpor R i Jký vější odpor je uto zpojit chceme-li ve vějším proudovém okruhu získt ejvětší výko? Určete jej Itegrálí počet Užitím vhodé metod itegrujte ) si l d d) tg d ) tg d e) e si d c) cos si d f) si cos d T

11 Itegrujte: ) přímou metodou si cos d tg ) sustitucí d cos c) metodou per prtes si d jsou si cos jděte kosttu o kterou se Ukžte že fukce F ( ) cos G( ) si si primitiví k fukci f ( ) liší Určete k f ( ) primitiví fukci ( ) procházel odem B [ ] Vpočítejte osh roviého orzce ohričeého grf fukcí: ) ) c) e e d) f ( ) ( ) g F tk její grf Vpočítejte ojem těles které vzike rotcí ploch ohričeé prolmi okolo os Komitorik prvděpodoost Kolik jedo ž čtřciferých čísel je možo sestvit z cifer jestliže ) kždá cifr se smí vsktovt ejvýše jedou ) kždé číslo je dělitelé šesti? Kolik prvků má moži z jejichž prvků je vricí třetí tříd -krát víc ež vricí druhé tříd? Kolik je možo utvořit součiů dělitelých třemi oshujících liovolé tři čiitele z čísel : 79? Kolik prvků je dých kdž počet vricí třetí tříd z ich utvořeých je pětkrát větší ež vricí druhé tříd? Zvýši-li se počet prvků o jedu zvýší se počet komicí třetí tříd o Kolik je dáo prvků? V roviě je liovolě položeých odů Kolik jimi lze určit kružic jestliže ) žádé od eleží kružici ) odů leží jedé kružici? 7 Kolik zček Morseov eced lze vtvořit mimálě ze prvků? 8 Řešte iomickou rovici stovte její defiičí oor: ) N ) c) ( ) C ( ) ( ) C d) 7 e) f) Určete solutí čle v rozvoji výrzu: ( ) Určete v rozvoji výrzu ( ) 9 rove 8 tk sedmý čle l

12 V iomickém rozvoji výrzu mjí stejý epoet lezěte čle v ěmž Určete hodotu třetího reálého čleu iomického rozvoje ( ) R { } l rove ( ) i kde V témž rozvoji vpočtěte R tk sedmý čle rozvoje V rozvoji výrzu ( ) Určete je součet prvích tří koeficietů 7 Určete prvděpodoost že áhodě vré dvojciferé číslo ude: ) sudé ) sudé eo moci c) prvočíslo eo dělitelé Test oshuje otázek u kždé z ich jsou čtři odpovědi z ichž je je jed správá Jká je prvděpodoost že studet zodpoví lespoň otázek správě jestliže látku vůec ezá odpovědi volí áhodě? Jká je prvděpodoost že při hodu dvěmi kostkmi pde součet 7 eo 8? 7 Fotlist střílí rku z pokutového kopu s prvděpodoostí p 8 Vpočtěte prvděpodoost jevu že z desíti pokutových kopů proměí lespoň osm 8 Elektrotechický závod používá k motáži fiálího výroku součástk které kupuje od tří dodvtelů Prví z ich podílí dodáváí možstvím % le má 8% zmetků Druhý z ich se podílí % má % zmetků Třetí se podílí % má % zmetků S jkou prvděpodoostí je tře počítt že áhodě vrá součástk k motáži je vdá? 9 Při zkoušce doste kždý studet růzých otázek z ichž si áhodě vere tři K úspěšému solvováí zkoušk je tře dvě z ich dovedl správě zodpovědět Jká je prvděpodoost že určitý studet který přistupuje ke zkoušce zvládl před zkouškou je 7% otázek si vtáhe otázk ěž dovede odpovědět? Blo zjištěo že ze rodi v jedom domě má % uto i chtu Přitom uto vlstí o rodi ež chtu eí rodi která eměl chtu eo uto Kolik rodi z domu má uto? Kolik rodi má pouze uto? Určete prvděpodoost že mátkou vrá rodi z domu ude vlstit je chtu Poslouposti řd Určete ritmetickou posloupost o čleech jejíž součet všech čleů je 8 součet prostředích dvou čleů je Délk str prvoúhlého trojúhelíku tvoří ritmetickou posloupost Určete odvěs má-li přepo délku c cm Určete čísl tvořící část ritmetické poslouposti víte-li že součet prvích čtř je 8 součet posledích čtř je součet všech je 8 Str prvoúhlého trojúhelíku tvoří ritmetickou posloupost Delší odvěs je Vpočtěte ovod trojúhelíku Určete čtři čísl která jsou po soě jdoucí čle geometrické poslouposti jejichž dekdické logritm jsou po soě jdoucí čle ritmetické poslouposti s d součtem Určete počet čleů geometrické poslouposti kvociet záte-li 8 s 97 7 V lese je m stojtého dříví Kolik v ěm ude z let je-li ročí přírůstek % kácí-li se ročě m dříví? Stv se ere k 8 V geometrické poslouposti je součet prvího čtvrtého čleu 8 součet druhého třetího čleu Vpočtěte součet prvích osmi čleů 9 V lese je 9 m stojtého dříví Ročě v lese přiývá % dříví kácí se m dřívíkolik dříví ude v lese po letech Po kolik letech se zdvojásoí původí vkld při % úrokováí ročě? Vpočítejte ) ( 8) ( )

13 ) c) Řešte rovici: ) ) 7 Kompleí čísl 7 Řešte v C: ( i ) z iz i 7 Vpočtěte ( i ) ( i ) i určete A A i 7 Pro která reálá je splě rovost: ) ( i) ( i ) 7 ( i ) ( i ) 9i ) ( i) i i i 7 Zjedodušte: i i 7 Převeďte lgerický tvr zorzte v Gussově roviě zpište zorzte π π číslo kompleě sdružeé k číslu z cos i si i i 7 Je dáo kompleí číslo ( i )( i ) i i Vpočítejte 77 Určete ) z z je-li z ( i ) S je-li 9 ) i 78 Vpočítejte ( ) i 79 Užitím Moivreov iomické vět určete si α cos α pro si α 7 Užitím Moivreov vět vpočtěte kompleí mociu D pro D i 7 Řešte iomickou rovici v C koře zpište v lgerickém tvru zorzte v Gussově roviě: ) z d) 8 ) 7 e) c) 7 Určete iomickou rovici jestliže všech její koře jsou urče grfick (koře tvoří vrchol šestiúhelíku jemuž je opsá kružice r ) 8 Výrok výroková logik 8 Verte z dých formulí všech dvojice -i které dohromd dávjí ekvivlece výroků A B : A B A B B A B A A B A B A B A B 8 Dokžte že výroková formule je kotrdikcí: p q p q p q ( ) [( ) ( )] 8 Přesvědčete se že pltí výroková formule ( A B) ( A B) plikujte pltost této výrokové formule pro tvrzeí: Neí prvd že je-li trojúhelík rovormeý pk je rovostrý 8 Utvořte kojukci egcí těchto tvrzeí: > < Které číslo splňuje tuto kojukci? 8 Formulujte v logické smolice: Jestliže C ple z A jestliže z B ple C pk C ple z A eo B Dokžte že se jedá o tutologii 8 Zjistěte zd dá výroková formule je tutologií: ( A B) A B 9 Důkz I m i R e

14 9 Dokžte mtemtickou idukcí ) /[ ( ) ] )!!!! ( )! c) 9 Dokžte ( ) ) pltost iomické vět ) je ircioálí číslo c) pro kždé N je číslo dělitelé číslem d) k k k

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava-

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava- Okruhy z učiv středoškolské mtemtiky pro příprvu ke studiu VŠB TU Ostrv- I Zákldí poztky z logistiky teorie moži: výrok prvdivostí hodot výroku, egce, disjukce, kojukce, implikce, ekvivlece, složeé výroky,

Více

Digitální učební materiál. III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Příjemce podpory Gymnázium, Jevíčko, A. K.

Digitální učební materiál. III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Příjemce podpory Gymnázium, Jevíčko, A. K. Digitálí učeí mteriál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.080 Název projektu Zkvlitěí výuk prostředictvím ICT Číslo ázev šlo klíčové ktivit III/ Iovce zkvlitěí výuk prostředictvím ICT Příjemce podpor Gmázium,

Více

8.2.7 Geometrická posloupnost

8.2.7 Geometrická posloupnost 87 Geometrická posloupost Předpokldy: 80, 80, 80, 807 Pedgogická pozámk: V hodiě rozdělím třídu dvě skupiy kždá z ich dělá jede z prvích dvou příkldů Větši studetů obou skupi potřebuje pomoc u tbule Ob

Více

16. Kombinatorika ( 125;250;125 )

16. Kombinatorika ( 125;250;125 ) 6. Kombitorik Dlší dovedosti: - permutce s opkováím - kombice s opkováím (při mi.4-ti hod.dotci) - zákldí pojmy prvděpodobosti - důkzové úlohy zákldě biomické věty Možé mturití otázky: Vrice permutce Kombice

Více

1 - Integrální počet, výpočet obsahu plochy, objemu rotačního tělesa 1) Vypočítejte (integrace pomocí substituce): 1 a) c) x. + 4x

1 - Integrální počet, výpočet obsahu plochy, objemu rotačního tělesa 1) Vypočítejte (integrace pomocí substituce): 1 a) c) x. + 4x - Itegrálí počet, výpočet oshu plochy, ojemu rotčího těles ) Vypočítejte (itegrce pomocí sustituce): ) 9 d si( l ) ) d c) e d d) e d ) Vypočítejte (itegrce metodou per - prtes): l ) ( ) e d ) d c) ( )

Více

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 NavMg. studium Kompletní znění testových otázek matematika a statistika

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 NavMg. studium Kompletní znění testových otázek matematika a statistika Přijímcí řízeí kdemický rok /4 NvMg studium Kompletí zěí testových otázek mtemtik sttistik Koš Zěí otázky Odpověď ) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá odpověď efiičí obor fukce defiové předpisem f

Více

Aritmetická posloupnost

Aritmetická posloupnost /65 /65 Obsh Obsh... Aritmetická posloupost.... Soustv rovic, součet.... AP - předpis... 5. AP - součet... 6. AP - prvoúhlý trojúhelík... 7. Součet čísel v itervlu... 8 Geometrická posloupost... 0. Soustv

Více

D = H = 1. člen posloupnosti... a 1 2. člen posloupnosti... a 2 3. člen posloupnosti... a 3... n. člen posloupnosti... a n

D = H = 1. člen posloupnosti... a 1 2. člen posloupnosti... a 2 3. člen posloupnosti... a 3... n. člen posloupnosti... a n /9 POSLOUPNOSTI Zákldí pojmy: Defiice poslouposti Vlstosti poslouposti Určeí poslouposti Aritmetická posloupost Geometrická posloupost Užití poslouposti. Defiice poslouposti Př. Sestrojte grf fukce y =.x

Více

Seznámíte se s použitím určitého integrálu při výpočtu hmotnosti, statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti.

Seznámíte se s použitím určitého integrálu při výpočtu hmotnosti, statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti. Mtemtik II 5 Fzikálí plikce 5 Fzikálí plikce Cíle Sezámíte se s použitím určitého itegrálu při výpočtu hmotosti, sttických mometů, souřdic těžiště mometů setrvčosti Předpokládé zlosti Předpokládáme, že

Více

9. Racionální lomená funkce

9. Racionální lomená funkce @ 9. Rcioálí loeá fukce Defiice: Nechť P je poloická fukce -tého stupě... ) ( P kde R... A echť Q je poloická fukce -tého stupě... ) ( Q kde R... Rcioálí loeá fukce R je dá podíle ) ( ) ( ) ( Q P R pro

Více

1. ZÁKLADY VÝROKOVÉ LOGIKY.

1. ZÁKLADY VÝROKOVÉ LOGIKY. . ZÁKLADY VÝROKOVÉ LOGIKY. Mturití opkováí.doc ) Mmik řekl Petrovi: Jestliže budeš hodý, dosteš dort. Jsou čtyři možosti: ) Petr byl hodý, dostl dort. b) Petr byl hodý, edostl dort. c) Petr ebyl hodý,

Více

Matematika přehled vzorců pro maturanty (zpracoval T. Jánský) Úpravy výrazů. Binomická věta

Matematika přehled vzorců pro maturanty (zpracoval T. Jánský) Úpravy výrazů. Binomická věta Matematika přehled vzorců pro maturaty (zpracoval T. Jáský) Úpravy výrazů a r. a s = a r+s a r = ar s as a r s = a r.s a. b r = a r b r a b r = ar b r a. b a b = a b = a. b ( a) m = a m m a m. = a a k.

Více

Posloupnosti a řady. Obsah

Posloupnosti a řady. Obsah Poslouposti řdy Poslouposti řdy Obsh. Poslouposti... 8. Úvod do posloupostí... 8. Aritmetická geometrická posloupost... 9. Limit poslouposti... 9. Řdy... 0. Nekoečá geometrická řd... 0 Strák 7 Poslouposti

Více

Nekonečné řady. 1. Nekonečné číselné řady 1.1. Definice. = L L nekonečnou posloupnost reálných čísel. a) Označme { a }

Nekonečné řady. 1. Nekonečné číselné řady 1.1. Definice. = L L nekonečnou posloupnost reálných čísel. a) Označme { a } Nekoečé řdy. Nekoečé číselé řdy.. Defiice ) Ozčme { } { } = L L ekoečou posloupost reálých čísel.,,,,, Nekoečá číselá řd je součet tvru = + + + L+ + L. Jedotlivá čísl,,, L,, L se zývjí čley řdy, čle obvykle

Více

14 Kuželosečky v základní poloze

14 Kuželosečky v základní poloze 4 Kuželosečk v zákldní poloze Následující tet 4 7 se týkjí geometrie v rovině. Až dosud jsme studovli útvr lineární (v nltickém vjádření l vžd proměnné,, z v první mocnině). Nní se udeme zývt některými

Více

8. Elementární funkce

8. Elementární funkce Moderí techologie ve studiu plikové fzik CZ.1.07/2.2.00/07.0018 8. Elemetárí fukce Historie přírodích věd potvrzuje, že většiu reálě eistujících dějů lze reprezetovt mtemtickými model, které jsou popsá

Více

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde POLYNOM Zákldí pojmy Polyomem stupě zveme fukci tvru y ( L +, P + + + + kde,,, R,, N Čísl,,, se zývjí koeficiety polyomu Číslo c zveme kořeem polyomu P(, je-li P(c výrz (-c pk zýváme kořeový čiitel Vlstosti

Více

Algebraický výraz je číselný výraz s proměnou. V těchto výrazech se vyskytují vedle reálných čísel také proměnné. Například. 4a 4,5x + 6,78 7t.

Algebraický výraz je číselný výraz s proměnou. V těchto výrazech se vyskytují vedle reálných čísel také proměnné. Například. 4a 4,5x + 6,78 7t. ročík - loeý lgebrický výrz, lieárí rovice s ezáou ve jeovteli Loeý lgebrický výrz Lieárí rovice s ezáou ve jeovteli Doporučujee žáků zopkovt vzorce tpu ( + pod úprvu výrzu souči Loeý výrz Číselé výrz

Více

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI 6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI Fukce Dovedosti:. Základí pozatky o fukcích -Chápat defiici fukce,obvyklý způsob jejího zadáváí a pojmy defiičí obor hodot fukce. U fukcí zadaých předpisem umět správě operovat

Více

1.2. MOCNINA A ODMOCNINA

1.2. MOCNINA A ODMOCNINA .. MOCNINA A ODMOCNINA V této kpitole se dozvíte: jk je defiová oci s přirozeý, celý, rcioálí oecý reálý epoete jké jsou její vlstosti; jk je defiová přirozeá odoci, jké jsou její vlstosti jk se dá vyjádřit

Více

Maturitní témata z Matematiky

Maturitní témata z Matematiky Mturitní témt z Mtemtik. Výrz jejich úprv. Lineární rovnice nerovnice, lineární rovnice s prmetrem. vdrtická rovnice nerovnice, kvdrtická rovnice s prmetrem. Rovnice nerovnice v součinovém podílovém tvru.

Více

STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ 30, p. o. MATEMATIKA

STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ 30, p. o. MATEMATIKA STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ, p. o. MATEMATIKA Ig. Rudolf PŠENICA 6 OBSAH:. SHRNUTÍ A PROHLOUBENÍ UČIVA... 5.. Zákldí možiové pojmy... 5.. Číselé možiy... 6.. Itervly... 6.. Absolutí

Více

6.2. ČÍSELNÉ ŘADY. V této kapitole se dozvíte:

6.2. ČÍSELNÉ ŘADY. V této kapitole se dozvíte: 6.2. ČÍSELNÉ ŘADY V této kpitole se dozvíte: jk defiujeme číselou řdu; defiici kovergece řdy jejího součtu; jk vypdá ritmetická, geometrická hrmoická řd jk je to s jejich kovergecí; jk zí utá podmík kovergece

Více

Posloupnosti na střední škole Bakalářská práce

Posloupnosti na střední škole Bakalářská práce MASARYKOVA UNIVERZITA V BRNĚ Přírodovědecká fkult Ktedr mtemtiky Poslouposti středí škole Bklářská práce Bro 00 Kteři Rábová Prohlášeí Prohlšuji, že tto bklářská práce je mým původím utorským dílem, které

Více

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA TŘETÍ MGR. JÜTTNEROVÁ Název zpracovaného celku: GEOMETRICKÁ POSLOUPNOST A JEJÍ UŽITÍ

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA TŘETÍ MGR. JÜTTNEROVÁ Název zpracovaného celku: GEOMETRICKÁ POSLOUPNOST A JEJÍ UŽITÍ Předmět: Ročík: Vytvořil: Dtum: MATEMATIKA TŘETÍ MGR JÜTTNEROVÁ Název zprcového celku: GEOMETRICKÁ POSLOUPNOST A JEJÍ UŽITÍ GEOMETRICKÁ POSLOUPNOST Defiice: Poloupot e zývá geometrická právě tehdy, když

Více

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení.,

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení., Def: Vetorovým součiem vetorů u =(u, u, u 3 ) v = (v, v, v 3 ) zýváme vetor u v = (u v 3 u 3 v, u 3 v u v 3, u v u v ) Vět: Pro vetory i, j, ortoormálí báze pltí i i = j = i, i = j Vět: Nechť u v, w, jsou

Více

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA. , x = opačný vektor

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA. , x = opačný vektor . LINEÁRNÍ LGEBR Vektorový prostor.. Defiice Nechť V e moži které sou defiováy operce sčítáí + : t. zobrzeí V V V ásobeí i : t zobrzeí R V V. Možiu V zýváme vektorovým prostorem, sou-li splěy ásleduící

Více

1.8.1 Mnohočleny, sčítání a odčítání mnohočlenů

1.8.1 Mnohočleny, sčítání a odčítání mnohočlenů .8. Mohočley, sčítáí odčítáí mohočleů Předpokldy: 7 Mohočle = zvláští typ výrzů. Jk je pozáme? Mohočley obshují pouze přirozeé mociy ezámých (jedé ebo více) kostty. Př. : Rozhodi, které z ásledujících

Více

Funkční řady. 3. Kovové pásmo, napínané na obou koncích, se prověsí do řetězovky x Určete funkci s(x), x D

Funkční řady. 3. Kovové pásmo, napínané na obou koncích, se prověsí do řetězovky x Určete funkci s(x), x D Fukčí řdy. Těžké dokole ohebé epružé pásmo jehož průřez se měí tk že proti přetržeí klde stálý odpor po zvěšeí zujme tvr řetězovky stálé pevosti. Řetězovk je vyjádře rovicí ( ) = l cos >. Určete deiičí

Více

1. ČÍSELNÉ OBORY 10. Kontrolní otázky 24. Úlohy k samostatnému řešení 25. Výsledky úloh k samostatnému řešení 25. Klíč k řešení úloh 26

1. ČÍSELNÉ OBORY 10. Kontrolní otázky 24. Úlohy k samostatnému řešení 25. Výsledky úloh k samostatnému řešení 25. Klíč k řešení úloh 26 Zákld mtemtik Číselé oor ČÍSELNÉ OBORY 0 Některé pojm z mtemtické logik 0 Výroková logik 0 Moži vzth mezi imi Možiové operce Grfické zázorěí moži Číselé oor Čísl ázv jejich chrkteristik Chrkteristik číselých

Více

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a

Více

Opakování ke státní maturitě didaktické testy

Opakování ke státní maturitě didaktické testy Číslo projektu CZ..7/../.9 Škol Autor Číslo mteriálu Název Tém hodiny Předmět Ročník/y/ Anotce Střední odborná škol Střední odborné učiliště, Hustopeče, Msrykovo nám. Mgr. Rent Kučerová VY INOVACE_MA..

Více

Sbírka procvičovacích příkladů k maturitě. Maturitní témata

Sbírka procvičovacích příkladů k maturitě. Maturitní témata Sírk procvičovcích příkldů k mturitě Mturitní témt. Tp důkzů, dělitelnost čísel. Výrok množin. Definice vlstnosti fcí, grf funkce, inverzní funkce. Lineární kvdrtická funkce. Mocnin s reálným eponentem,

Více

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh:

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh: Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT 5. temtický okruh: POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z

Více

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika Přijímací řízeí akademický rok 0/0 c. studium Kompletí zěí testových otázek matematika Koš Zěí otázky Odpověď a) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá. Které číslo doplíte místo 8? 6 6 8 C. Které číslo

Více

je pravoúhlý BNa ose y najděte bod, který je vzdálený od bodu A = [ 4;

je pravoúhlý BNa ose y najděte bod, který je vzdálený od bodu A = [ 4; 1 BUAnlytická geometrie - bod, souřdnice bodu, vzdálenost bodů 11 1BRozhodněte, zd trojúhelník s vrcholy A [ ; ], B [ 1; 1] C [ 11; 6] je prvoúhlý 1 1BN ose y njděte bod, který je vzdálený od bodu A [

Více

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy 1. Číselé obory, dělitelost, výrazy 1. obor přirozeých čísel - vyjadřující počet prvků možiy - začíme (jsou to kladá edesetiá čísla) 2. obor celých čísel - možia celých čísel = edesetiá, ale kladá i záporá

Více

Napíšeme si, jaký význam mají jednotlivé zadané hodnoty z hlediska posloupností. Zbytek příkladu je pak pouhým dosazováním do vzorců.

Napíšeme si, jaký význam mají jednotlivé zadané hodnoty z hlediska posloupností. Zbytek příkladu je pak pouhým dosazováním do vzorců. 8..4 Užití ritmetických posloupostí Předpokldy: 80,80 Př. : S hloubkou roste teplot Země přibližě rovoměrě o 0 C 000 m. Jká bude teplot dě dolu hlubokého 900 m, je-li v hloubce 5 m teplot 9 C? Jký by byl

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ČÍSELNÉ OBORY vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z mtemtiky školí rok 204/205

Více

Opakovací test. Posloupnosti A, B

Opakovací test. Posloupnosti A, B VY INOVACE_MAT_189 Opkovcí test Poslouposti A, B Mgr. Rdk Mlázovská Období vytvořeí: prosiec 01 Ročík: čtvrtý Temtická oblst: mtemtické vzděláváí Předmět: mtemtik, příprv k mturitě, příprv VŠ, opkováí,

Více

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a

Více

Kapitola 1. Nekonečné číselné řady. Definice 1.1 Nechť {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol. a n nebo a 1 + a 2 + a

Kapitola 1. Nekonečné číselné řady. Definice 1.1 Nechť {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol. a n nebo a 1 + a 2 + a Kpitol Nekoečé číselé řdy Defiice. Nechť { } je posloupost reálých čísel. Symbol ebo + 2 + 3 +... zýváme ekoečou číselou řdou. s = i= i = + 2 +... + zveme -tý částečý součet řdy {s } posloupost částečých

Více

8.2.6 Geometrická posloupnost

8.2.6 Geometrická posloupnost 8.. Geometricá posloupost Předpoldy: 80, 80, 80, 807 Pedgogicá pozám: V hodiě rozdělím třídu dvě supiy ždá z ich dělá jede z prvích dvou příldů. Př. : Poločs rozpdu (dob z terou se rozpde polovi existujícího

Více

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D.

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D. MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ PH.D. Obsah MNOŽINY.... ČÍSELNÉ MNOŽINY.... OPERACE S MNOŽINAMI... ALGEBRAICKÉ VÝRAZY... 6. OPERACE S JEDNOČLENY A MNOHOČLENY...

Více

III.4. Fubiniova (Fubiniho) věta pro trojný integrál

III.4. Fubiniova (Fubiniho) věta pro trojný integrál E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírk příkldů Mtemtik II ( III.. Fubiniov (Fubiniho vět pro trojný integrál Vpočítejte trojné integrál n dných množinách E : Příkld. I Řešení : I ( + d d d; {[,, E

Více

2.cvičení. 1. Polopřímka: bod O dělí přímku na dvě navzájem opačné polopřímky.

2.cvičení. 1. Polopřímka: bod O dělí přímku na dvě navzájem opačné polopřímky. 2.cvičení 1. Polopřímk: od O dělí přímku n dvě nvzájem opčné polopřímky. Úsečk: průnik dvou polopřímek,. Polorovin: přímk dělí rovinu n dvě nvzájem opčné poloroviny. Úhel: průnik polorovin (pozor n speciální

Více

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1) .6. Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině. 6.1. V této kapitole budeme studovat geometrické úloh v rovině analtick, tj. lineární a kvadratické geometrické útvar vjádříme pomocí

Více

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa.

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa. .. Ojem rotčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí určitého integrálu výpočtem ojemu rotčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si prostudovli zvedení pojmu určitý integrál (kpitol.).

Více

Geometrie. Mgr. Jarmila Zelená. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

Geometrie. Mgr. Jarmila Zelená. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Geometrie Mgr. Jrmil Zelená Gymnázium, SOŠ VOŠ Ledeč nd Sázvou Výpočty v prvoúhlém trojúhelníku VY_3_INOVACE_05_3_1_M Gymnázium, SOŠ VOŠ Ledeč nd Sázvou PRAVOÚHLÝ TROJÚHELNÍK 1 Pojmy oznčení:,.odvěsny

Více

1. Integrální počet, vypočet obsahu plochy, objemu rotačního tělesa 1) Vypočítejte (integrace pomocí substituce): c) dx. x dx. x e

1. Integrální počet, vypočet obsahu plochy, objemu rotačního tělesa 1) Vypočítejte (integrace pomocí substituce): c) dx. x dx. x e . Integrální počet, vypočet oshu plochy, ojemu rotčního těles ) Vypočítejte (integrce pomocí sustituce): sin( ln ) ) d ) e d ) Vypočítejte (integrce metodou per - prtes): ln ) d ) ( ) sin d e c) d c) ln

Více

a) 5.3 + 12 26 [výrok, 1] b) Kolik je hodin? [není výrok] c) 2x + 3 0 [výroková forma] d) [výrok, 0] e) Pro každé reálné číslo x platí sin x 1

a) 5.3 + 12 26 [výrok, 1] b) Kolik je hodin? [není výrok] c) 2x + 3 0 [výroková forma] d) [výrok, 0] e) Pro každé reálné číslo x platí sin x 1 . Výroková logik. Určete, které zápisy předstvují výroky, které hypotézy, které výrokové formy které nejsou výroky. U výroků určete prvdivostní hodnotu. ). 6 [výrok, ] Kolik je hodin? [není výrok] c) 0

Více

SBÍRKA PŘÍKLADŮ Z MATEMATIKY

SBÍRKA PŘÍKLADŮ Z MATEMATIKY SBÍRKA PŘÍKLADŮ Z MATEMATIKY . Proměnná, výroky, množiny Dlší dovednosti znlosti: - hypotéz - tutologie - kvntifikátory kvntifikovné výroky - výrokový form - druhy mtemtických vět - oměn, negce, orácení

Více

Užití stejnolehlosti v konstrukčních úlohách

Užití stejnolehlosti v konstrukčních úlohách Užití stejnolehlosti v konstrukčních úlohách Příklad 1: Je dána kružnice k(o,r) a bod M ležící uvnitř kružnice k. Bodem M veďte tětivu AB, jejíž délka je bodem M rozdělena v poměru 2 : 1. Sestrojte obraz

Více

Střední škola obchodu, řemesel, služeb a Základní škola, Ústí nad Labem, příspěvková organizace Vzdělávací středisko Trmice

Střední škola obchodu, řemesel, služeb a Základní škola, Ústí nad Labem, příspěvková organizace Vzdělávací středisko Trmice Střední škol ohodu, řemesel, služe Zákldní škol, Ústí nd Lem, příspěvková orgnize Vzděláví středisko Trmie MATURITNÍ TÉMATA Předmět: Mtemtik Oor vzdělání: Ekonomik podnikání Školní rok: 0/06 Tříd: EKP

Více

= + nazýváme tečnou ke grafu funkce f

= + nazýváme tečnou ke grafu funkce f D E R I V A C E F U N KCE Deiice. (derivace Buď ukce,!. Eistuje-li limitu derivací ukce v bodě a začíme ji (. lim ( + lim Deiice. (teča a ormála Přímku o rovici y ( v bodě, přímku o rovici y ( (, kde (

Více

MATEMATIKA PRO EKONOMY

MATEMATIKA PRO EKONOMY VYSOKÁ ŠKOLA POLYECHNICKÁ JIHLAVA Ktedr mtemtik MAEMAIKA PRO EKONOMY Rdek Stolí 8 Recezovl: doc RNDr Ev Věčková CSc Mgr Adre Kubišová Z jzkovou věcou správost obshu díl odpovídá utor et eprošel jzkovou

Více

Při výpočtu obsahu takto omezených rovinných oblastí mohou nastat následující základní případy : , osou x a přímkami. spojitá na intervalu

Při výpočtu obsahu takto omezených rovinných oblastí mohou nastat následující základní případy : , osou x a přímkami. spojitá na intervalu Geometrické plikce určitého integrálu Osh rovinné olsti Je-li ploch ohrničen křivkou f () osou Při výpočtu oshu tkto omezených rovinných olstí mohou nstt následující zákldní přípd : Nechť funkce f () je

Více

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0.

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0. Ukázky typových maturitních příkladů z matematiky..reálná čísla. 3} x R; I. Zobrazte množiny A = {x є 3} < + x R; B = {x є II. Zapište ve tvaru zlomku číslo, 486.Komplexní čísla. I. Určete a + b, a - b,

Více

Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie

Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie 20. 10. porovnávání úseček grafický součet úseček grafický rozdíl úseček... porovnávání úhlů grafický součet úhlů grafický rozdíl úhlů... osa úhlu úhly vedlejší a vrcholové...

Více

f B 6. Funkce a posloupnosti 3 patří funkci dané předpisem y = 2 x + 3. [všechny] 1) Rozhodněte, která z dvojic [ ;9][, 0;3 ][, 2;7]

f B 6. Funkce a posloupnosti 3 patří funkci dané předpisem y = 2 x + 3. [všechny] 1) Rozhodněte, která z dvojic [ ;9][, 0;3 ][, 2;7] 6. Fukce a poslouposti ) Rozoděte, která z dvojic [ ;9[, 0; [, ; patří fukci daé předpisem y +. [všecy ) Auto má spotřebu 6 l beziu a 00 km. Na začátku jízdy mělo v plé ádrži 6 l beziu. a) Vyjádřete závislost

Více

9. Planimetrie 1 bod

9. Planimetrie 1 bod 9. Plnimetrie 1 bod 9.1. Do rovnostrnného trojúhelníku ABC o strně je vepsán rovnostrnný trojúhelník DEF tk, že D AB, E BC, F CA. Jestliže obsh trojúhelníku DEF je roven polovině obshu trojúhelníku ABC,

Více

Aritmetická posloupnost, posloupnost rostoucí a klesající Posloupnosti

Aritmetická posloupnost, posloupnost rostoucí a klesající Posloupnosti 8 Aritmetická posloupost, posloupost rostoucí a klesající Poslouposti Posloupost je fukci s defiičím oborem celých kladých čísel - apř.,,,,,... 3 4 5 Jako fukci můžeme také posloupost zobrazit do grafu:

Více

množina všech reálných čísel

množina všech reálných čísel /6 FUNKCE Základí pojmy: Fukce sudá a lichá, Iverzí fukce Nepřímá úměrost, Mociá fukce, Epoeciálí fukce a rovice Logaritmus, logaritmická fukce a rovice Opakováí: Defiice fukce, graf fukce Defiičí obor,

Více

Výpočet obsahu rovinného obrazce

Výpočet obsahu rovinného obrazce Výpočet oshu rovinného orzce Pro výpočet oshu čtverce, odélník, trojúhelník, kružnice, dlších útvrů, se kterými se můžeme setkt v elementární geometrii, máme k dispozici vzorce Kdchom chtěli vpočítt osh

Více

Cílem kapitoly je zavedení význačných pojmů pro matice, jejichž znalost je nutná, mimo jiné, pro řešení soustav lineárních rovnic.

Cílem kapitoly je zavedení význačných pojmů pro matice, jejichž znalost je nutná, mimo jiné, pro řešení soustav lineárních rovnic. Mtemtik I část I Cíle Cílem kpitoly je zvedeí výzčýh pojmů pro mtie jejihž zlost je utá mimo jié pro řešeí soustv lieáríh rovi Předpokládé zlosti Předpokldem dorého zvládutí látky je zejmé zlost opere

Více

( ) ( ) Úpravy algebraických výrazů. Mocniny a odmocniny. a a. b b. b a 1 = 1, ( 1) = 1, ( 1) = 1

( ) ( ) Úpravy algebraických výrazů. Mocniny a odmocniny. a a. b b. b a 1 = 1, ( 1) = 1, ( 1) = 1 Úrvy lgebrických výrzů Mociy odmociy Pro kždé reálé r, s kždé > 0, b > 0 (res ro kždé celé r, s kždé 0, b 0 ltí: r 0 s rs, r r ( b b r r r r s r+ s b b r s rs b : b Dále ltí +, (, ( Je-li N, 0, eistuje

Více

Obsah rovinného obrazce

Obsah rovinného obrazce Osh rovinného orzce Nejjednodušší plikcí určitého integrálu je výpočet oshu rovinného orzce. Zčneme větou. Vět : Je-li funkce f spojitá nezáporná n n orázku níže roven f ( ) d. ;, je osh rovinného orzce

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU 3. přednášk Vektorová lger Prvoúhlé souřdnice odu v prostoru Poloh odu v prostoru je vzhledem ke třem osám k soě kolmým určen třemi souřdnicemi, které tvoří uspořádnou trojici

Více

PROCVIČOVÁNÍ K MATURITĚ Z MATEMATIKY (PRO SP a DN)

PROCVIČOVÁNÍ K MATURITĚ Z MATEMATIKY (PRO SP a DN) PROCVIČOVÁNÍ K MATURITĚ Z MATEMATIKY (PRO SP DN). Objem povrch těles. Mocnin s celým eponentem. Odmocnin, mocnin s rcionálním eponentem. Algebrické výrz. Lineární rovnice. Soustv lineárních rovnic o dvou

Více

KKKKKKKKKKKKKK. (i = 1,..., m; j = 1,..., n) jsou reálná čísla a x j jsou neznámé, se nazývá soustava m lineárních rovnic o

KKKKKKKKKKKKKK. (i = 1,..., m; j = 1,..., n) jsou reálná čísla a x j jsou neznámé, se nazývá soustava m lineárních rovnic o SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC Zákldí pojmy Defiice Soustv rovic m m m b b b m kde ij bi (i m; j jsou reálá čísl j jsou ezámé se zývá soustv m lieárích rovic o ezámých stručě soustv lieárích rovic Čísl ij

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY,

POSLOUPNOSTI A ŘADY, POSLOUPNOSTI A ŘADY, ÚVOD DO INTEGRÁLNÍHO POČTU Obsh Poslouposti řdy. Poslouposti reálých čísel................................ Aritmetická geometrická posloupost........................ 4.3 Nekoečé číselé

Více

Marie Dostálová Eliška Gardavská Radka Hamříková Věra Janků Miloslava Tannenbergová

Marie Dostálová Eliška Gardavská Radka Hamříková Věra Janků Miloslava Tannenbergová VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA ZÁKLADY MATEMATIKY Mrie Dostálová Elišk Grdvská Rdk Hmříková Věr Jků Miloslv Tebergová Vtvořeo v rámci projektu Operčího progrmu Rozvoje lidských zdrojů

Více

ZPG Křivky. Hermitova interpolace. Fergusonovy křivky (3) Cíl Po prostudování této kapitoly budete umět

ZPG Křivky. Hermitova interpolace. Fergusonovy křivky (3) Cíl Po prostudování této kapitoly budete umět ZPG Křivk. Hermitov iterpolce. Fergusoov křivk (). KŘIVKY A PLOCHY Cíl Po prostudováí této kpitol budete umět defiovt iterpolčí proximčí křivk pro dé bod defiovt ploch z dých prvků plikovt křivk ploch

Více

1. Přímka a její části

1. Přímka a její části . Přímka a její části přímka v rovině, v prostoru, přímka jako graf funkce, konstrukce přímky nebo úsečky, analytická geometrie přímky, přímka jako tečna grafu, přímka a kuželosečka Přímka v rovině a v

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ALGEBRAICKÉ VÝRAZY vtvořil: RNDr. Věr Effeberger epertk olie příprvu SMZ z mtemtik školí rok 04/05

Více

ARITMETICKÉ POSLOUPNOSTI VYŠŠÍCH ŘÁDŮ

ARITMETICKÉ POSLOUPNOSTI VYŠŠÍCH ŘÁDŮ ARITMETICKÉ POSLOUPNOSTI VYŠŠÍCH ŘÁDŮ JAROSLAV ZHOUF Pedagogická fakulta UK Praha Osova předášky 1. Vysvětleí pojmu Aritmetické poslouposti vyšších řádů (APVŘ). APVŘ a ižším gymáziu 3. APVŘ a vyšším gymáziu

Více

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly.

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly. 0. KOMBINATORIKA, PRAVDĚPODOBNOST, STATISTIKA Dovedosti :. Chápat pojem faktoriál a ovládat operace s faktoriály.. Zát defiici kombiačího čísla a základí vlastosti kombiačích čísel. Ovládat jedoduché operace

Více

Konstruktivní geometrie

Konstruktivní geometrie Konstruktivní geometrie Elipsa Úloha 1: Najděte bod M takový, aby součet jeho vzdáleností od bodů F 1 a F 2 byl 12cm; tj. F 1 M+F 2 M=12. Najděte více takových bodů. Konstruktivní geometrie Elipsa Oskulační

Více

8.2.4 Užití aritmetických posloupností

8.2.4 Užití aritmetických posloupností 8..4 Užití ritmetických posloupostí Předpokldy: 80,80 Př. : S hloubkou roste teplot Země přibližě rovoměrě o 0 C 000 m. Jká bude teplot dě dolu hlubokého 900 m, je-li v hloubce 5 m teplot 9 C? Jká by byl

Více

7.5.8 Středová rovnice elipsy

7.5.8 Středová rovnice elipsy 758 Středová rovnice elips Předpokld: 750, 7507 Př : Vrchol elips leží v odech A[ ;], B [ 3;], [ ;5], [ ; 3] elips souřdnice jejích ohnisek Urči prmetr Zdné souřdnice už n první pohled vpdjí podezřele,

Více

1. Základní poznatky z matematiky

1. Základní poznatky z matematiky . Základní poznatky z matematiky. Určete opačné číslo k číslu (3 5). a) 8 b) 8 c) 8 d) 8. Čísla,, 0, 3,, 8 9, seřaďte od největšího k nejmenšímu. a), 3,, 8 9,, 0, b), 3,, 8 9,, 0, c) 3,,, 8 9,, 0, d),,

Více

Přehled často se vyskytujících limit posloupností. = ek. = 1 lim n n! = = C = α 0+

Přehled často se vyskytujících limit posloupností. = ek. = 1 lim n n! = = C = α 0+ Neurčité výrzy (lgebr s posloupostmi divergujícími k ekoeču), zvedeí pojmu číselé řdy, defiice POSLOUPNOST ČÁSTEČNÝCH SOUČTŮ, součet řdy, TVRZENÍ O NUTNÉ PODMÍNCE KONVERGENCE ŘADY, kokrétí příkldy výpočtu

Více

a a Posloupnost ( ) je totožná s posloupností: (A) 9 (B) 17 (C) 21 (D) 34 (E) 64 (B) (C) (E)

a a Posloupnost ( ) je totožná s posloupností: (A) 9 (B) 17 (C) 21 (D) 34 (E) 64 (B) (C) (E) . Když c + d + bc + bd = 68 c+ d = 4, je + b+ c+ d rovno: 9 7 34 64 4. Posloupnost ( ) =, n+ = 3 =, n+ n = 3 3 =, n+ = = 3, n+ = n + 3n + n je totožná s posloupností: n n =. n+ = 3, = n Povrch rotčního

Více

1. ALGEBRAICKÉ VÝRAZY A JEJICH ÚPRAVY

1. ALGEBRAICKÉ VÝRAZY A JEJICH ÚPRAVY . ALGEBRAICKÉ VÝRAZY A JEJICH ÚPRAVY Zjednodušte uveďte, kdy mjí dné výrzy smysl: ) + + + ) y + + + y : y y y ) n + n n + n + n n :. n n + ) b b : +. + b b b + 5) + +. + 6) +. 7) + b b + b b. + b 8) 8

Více

P R O M Í T Á N Í. rovina π - průmětna vektor s r - směr promítání. a // s r, b// s r,

P R O M Í T Á N Í. rovina π - průmětna vektor s r - směr promítání. a // s r, b// s r, P R O M Í T Á N Í Promítání je zobrazení prostorového útvaru do roviny. Je určeno průmětnou a směrem (rovnoběžné) nebo středem (středové) promítání. Princip rovnoběžného promítání rovina π - průmětna vektor

Více

Nové symboly pro čísla

Nové symboly pro čísla Nové symboly pro čísl V pitole Ituitiví ombitori jsme řešili tyto dv typy příldů. Stále se v ich opují součiy přirozeých čísel, t j jdou z sebou, ědy ž do, ědy sočí dříve. Proto si zvedeme dv ové symboly

Více

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují

Více

Matematika II: Testy

Matematika II: Testy Mtemtik II: Testy Petr Schreiberová Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzit Ostrv Mtemtik II - testy 69. Řy 9 - Test Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzit

Více

Otázky. má objem V v. Orientace

Otázky. má objem V v. Orientace Gymnázium F X Šldy v Liberci: Mturitní otázky z mtemtiky Výroky operce s nimi vyučující:vítězslv Pěničk Účst Aleny, Báry, Cyril Dvid n koncertě skupiny PINK FLOYD je vázán těmito podmínkmi: Přijde spoň

Více

Výraz. podmínky (B) 1 (E) (A) 56 (B) 144 (C) 512 (D) 2 011 (E) Taková čísla neexistují. Počet všech přirozených čísel, která vyhovují

Výraz. podmínky (B) 1 (E) (A) 56 (B) 144 (C) 512 (D) 2 011 (E) Taková čísla neexistují. Počet všech přirozených čísel, která vyhovují . Posloupnost ( ) =, n+ = 3 =, n+ n = 3 3 =, n+ = = 3, n+ = n +. = = n+ 3, 3n + n je totožná s posloupností: n n n = Dvid hrje kždý všední den fotbl v sobotu i v neděli chodí do posilovny. Dnes se sportovně

Více

skripta MZB1.doc 8.9.2011 1/81

skripta MZB1.doc 8.9.2011 1/81 skript MZB.doc 8.9. /8 skript MZB.doc 8.9. /8 Osh Osh... Zlomk... Dělitelnost v množině přirozených čísel... Trojčlenk... 9 Výrz s mocninmi s celočíselným eponentem ()... Výrz s mocninmi s rcionálním eponentem...

Více

5.2. Určitý integrál Definice a vlastnosti

5.2. Určitý integrál Definice a vlastnosti Určitý intgrál Dfinic vlstnosti Má-li spojitá funkc f() n otvřném intrvlu I primitivní funkci F(), pk pro čísl, I j dfinován určitý intgrál funkc f() od do vzthm [,, 7: [ F( ) = F( ) F( ) f ( ) d = (6)

Více

Analytická geometrie lineárních útvarů

Analytická geometrie lineárních útvarů ) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Analtická geometrie lineárních útvarů Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý bod

Více

Střední průmyslová škola sdělovací techniky Panská 3 Praha 1 Jaroslav Reichl

Střední průmyslová škola sdělovací techniky Panská 3 Praha 1 Jaroslav Reichl Středí průmyslová škol sdělovcí techiky Pská 3 Prh Jroslv Reichl, 00 Jroslv Reichl OBSAH Poslouposti, Jroslv Reichl, 00 Poslouposti jejich vlstosti 3 Pojem posloupost 3 Připomeutí fukcí 3 Defiice poslouposti

Více

{ } ( ) ( ) 2.5.8 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice. Předpoklady: 2301, 2508, 2507

{ } ( ) ( ) 2.5.8 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice. Předpoklady: 2301, 2508, 2507 58 Vzth mezi kořen koefiient kvdrtiké rovnie Předpokld:, 58, 57 Pedgogiká poznámk: Náplň zřejmě přeshuje možnost jedné vučoví hodin, příkld 8 9 zůstvjí n vičení neo polovinu hodin při píseme + + - zákldní

Více

M a t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m a t e m a t i c e

M a t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m a t e m a t i c e M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e P t r i k K v e c k ý M e d e l o v o g y m á z i u m v O p v ě S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i

Více

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz 1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině

Více

Funkce jedné proměnné

Funkce jedné proměnné Funkce jedné proměnné Lineární funkce f: y = kx + q, D f = R, H f = R, grf je přímk množin odů [x, y], x D f, y = f(x) q úsek n ose y, tj. od [0, q], k směrnice, k = tn φ = 2 2 1 1, A[ 1, 2 ], B[ 1, 2

Více

Komplexní čísla, komplexně sdružená čísla, opačná komplexní čísla, absolutní hodnota (modul) komplexního čísla. z 2 z 1

Komplexní čísla, komplexně sdružená čísla, opačná komplexní čísla, absolutní hodnota (modul) komplexního čísla. z 2 z 1 Komplexí čísla, komplexě sdružeá čísla, opačá komplexí čísla, absolutí hodota (modul) komplexího čísla Defiice komplexího čísla Komplexí číslo je uspořádaá dvojice reálých čísel = (, ) (, ). je reálá,

Více

1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem

1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem Analytická geometrie - kružnice Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A = ; 5 [ ] Napište středový i obecný tvar rovnice kružnice, která má střed

Více