Nelineární systémy. Fázové portréty Hezké příklady nelineárních systémů

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Nelineární systémy. Fázové portréty Hezké příklady nelineárních systémů"

Transkript

1 Nelineární systémy Fázové portréty Hezké příklady nelineárních systémů

2 Numerická konstrukce fázových portrétů Pro numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic existuje mnoho programů Můžeme je použít ke kreslení fázových portrétů Několik praktických rad, jak nakreslit hezké portréty (další rady v literatuře) Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 2

3 Výpočet trajektorie Trajektorii (řešení) rovnice x = f( x), která prochází bodem x0 najdeme tak, že 1. řešíme rovnici x = f( x) z bodu x(0) = x0 kupředu, tj. v rostoucím (kladném) čase 2. řešíme rovnici x = f( x) z bodu x(0) = x0 dozadu, tj. v klesajícím (záporném) čase a to tak, že v kladném (normálním) čase řešíme rovnici x = f( x), x(0) = x Platí totiž dx( t) dx( t) dx( t) x = = f( x( t)) = f( x( t)) = f( x( t)) dt d( t) d() t 0 Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 3

4 Příklad Rovnice řešíme dopředu a dozadu x x = e, x(0) = 2 x x = e, x(0) = 2 x( t) = ln( t+ e ) x x = e, x(0) = 2 x( t) = ln( t + e ) 2 2 fwd=dsolve('dx=exp(x)','x(0)=-2'), ezplot(fwd), hold on fwd = -log(-t+exp(2)) bwd=dsolve('dx=-exp(x)','x(0)=-2'),ezplot(bwd) bwd = -log(t+exp(2)) Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 4

5 Použití pro fázový portrét Fázový portrét systému kreslíme takto: 1. vyberme jeden bod trajektorie 2. část trajektorie, vycházející z tohoto bodu ( dopředu ) vypočteme integrací rovnic s počátečními podmínkami 3. část trajektorie, končící v tomto bodě ( dozadu ) vypočteme integrací rovnic s počátečními podmínkami x 1 = f1( x1, x2) x = f ( x, x ) [ x, x ] P P 1 2 x 1 = f1( x1, x2) x = f ( x, x ) x (0) = x, x (0) = x P P x 1 = f1( x1, x2) x = f ( x, x ) x (0) = x, x (0) = x P P Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 5

6 Další důležité věci Uvedený postup je jedinou možností, jak dostat hezký portrét v okolí nestabilních uzlů, nestabilních ohnisek nestabilních cyklů Důležitou věcí je také správně zvolit rozsahy: aby portrét obsahoval všechny zajímavé jevy všechna ekvilibria a aby v něm všude integrační metoda fungovala když toho dopředu moc nevíme, postupujeme iteračně Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 6

7 Přehled Příklady nelineárních systémů Tlumené kyvadlo podle Newtona Oscilátor podle Van der Pola Nosník podle Eulera Klarinet a housle podle Reyleigho Dravci a oběti podle Volterry Tunelová dioda Vítr DW oscilátor Adaptivně řízený systém další příklady Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 7

8 Tlumené kyvadlo podle Newtona Isaac Newton Rovnice Simulink Fázový portrét

9 Sir Isaac Newton Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 9

10 Isaac Newton Newton [njútn], sir Isaac, * , , anglický fyzik, matematik a astronom; člen, v letech předseda Královské spol. v Londýně. Roku 1705 povýšen do šlechtického stavu. Zakladatel klasické mechaniky. Objevil gravitační zákon, podílel se (souběžně s G. W. Leibnizem) na vytvoření infinitezimálního počtu. Prováděl optické výzkumy, objasnil rozklad světla, zkonstruoval zrcadlový dalekohled. Zabýval se též alchymií. V díle Philosophiae naturalis principia mathematica (Matematické základy přírodovědy) formuloval tři základní zákony dynamiky (dnes nazývány Newtonovy). Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 10

11 Tlumené kyvadlo - rovnice Pohybová rovnice v tečném směru ml ϕ = mg sinϕ kl ϕ Pro stavové proměnné x dostaneme model = ϕ, x = ϕ 1 2 Podobné rovnice: synchronní generátor připojený na nekonečné vedení Josephsonovy obvody x = x 1 2 k g x 2 = x2 sin( x1) m l Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 11

12 Tlumené kyvadlo - Simulink Model v Simulinku pend_damp x = π, x = cokoli jiného Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 12

13 Tlumené kyvadlo - fázový portrét fázový portrét tlumeného kyvadla demoph2 Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 13

14 Oscilátor podle van der Pola Balthasar van der Pol Oscilátor Fázový portrét

15 Balthasar van der Pol Balthasar van der Pol, Holandský elektroinženýr. Jako jeden z prvních studoval experimentálně dynamiku v laboratoři v dvacátých a třicátých letech. Zkoumal elektrické obvody s vakuovými lampami a objevil, že mohou mít stabilní oscilace, dnes nazývané limitní cykly. V rovce 1927 publikoval (s kolegou van der Markem) v Nature článek o nepravidelném šumu, který pozoroval pro některé budící frekvence. Z rekonstrukce jeho pokusí dnes víme, že objevil deterministický chaos. Sestrojil mnoho elektronkových modelů lidského srdce a na nich studoval jeho dynamiku. Zkoumal vliv buzení analogický vlivu kardiostimulátoru. Snažil se najít způsob, jak stabilizovat srdeční arytmie. Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 15

16 Oscilátor RLC obvod s lineárními L, C a nelineárním rezistorem s kubickou charakteristikou i = αvv 2 ( 1) Pro stavy x = i, x = v 1 L 2 jsou stavové rovnice 1 x 1 = x2 L 1 x 2 = x1+ x2 x2 C C ( 2 α ( 1) ) Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 16

17 Oscilátor - fázový portrét Fázový portrét pro L = C = 1 demophvanderpol nestabilní ekvilibrium triviální řešení limitní cyklus periodické řešení Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 17

18 Nosník podle Eulera Leonard Euler Rovnice Netlumený nosník Malé zatížení Větší zatížení Ekvilbria Bifurkace Tlumený nosník

19 Leonard Euler Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 19

20 Leonard Euler Euler [ojlr] Leonhard * , , švýcarský matematik, fyzik a astronom. Působil v Petrohradě a v Berlíně. Napsal řadu učebnic matematiky. Pracoval v teorii čísel a integrálů; zabýval se diferenciálními rovnicemi, variačním počtem, exponenciálními a goniometrickými funkcemi i úlohami geometrickou tematikou. Známá je např. Eulerova hypotéza (později přesně dokázaná), že tzv. úloha o 36 důstojnících nemá řešení. Pro geofyziku má význam zejména jeho studie rotace tuhého tělesa. Viz též Eulerova perioda. Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 20

21 Ohnutý nosník rovnice Pohybová rovnice ve směru x mx dx x x x 3 + µ + λ + = 0 tlumení zatížení pružná síla v nosníku dostaneme model Pro stavové proměnné x = x 1 2 x = x, x = x 1 2 d µ λ 1 x = x + x x m m m Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 21

22 Nosník netlumený - malé zatížení Pro malé zatížení µ < λ se nosník stlačí, ale neprohne demophbuckledbeam1eq d = 0 Hamiltonovský systém Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 22

23 Nosník netlumený - větší zatížení Pro velké zatížení µ > λ se nosník prohne demophbuckledbeam2eq d = 0 Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 23

24 Ohnutý nosník - ekvilibria x = x 1 2 d µ λ 1 x = x + x x m m m x = 0, x = x = 0, x = µ λ = x 2 0 = dx + ( µ λ) x x µ λ: x = x = µ > λ : x = 0, ± µ λ; x = ekvilibrium 3 ekvilibria Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 24

25 Nosník - Bifurkace Přechod mezi neohnutým a ohnutými stavy µ < λ µ = λ Bifurkace µ > λ Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 25

26 Nosník - tlumený d = 0.3 λ = 1 µ = 0.8 demophbuckledbeam1eqdumped není Hamiltonovský Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 26

27 Nosník tlumený, větší zatížení d = 0.3 λ = 1 µ = 3 demophbuckledbeam2eqdumped Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 27

28 Klarinet a housle podle Rayleigho Baron Rayleigh Zvuk hudebních nástrojů Foukání na klarinet Vliv parametrů Smyčec a housle Fázový portrét

29 Zimní John semestr 2006 William SRI Rayleigh, M. Šebek FEL ČVUT

30 Baron Rayleigh Rayleigh [rejli] John William, baron, , , britský fyzik; profesor na univerzitě v Cambridgi ředitel Cavendishovy laboratoře, člen a ředitel Královské společnosti v Londýně. Zabýval se optikou, akustikou a elektromagnetismem, objevil (spolu s W. Ramsayem ) argon a zákon o záření absolutně černého tělesa. Rayleighovy výzkumy přispěly k rozšíření fyzikálních znalostí o stavu hmoty. Nobelova cena v roce 1904 za výzkumy o hustotě nejdůležitějších plynů a za objev argonu. Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 30

31 Teorie zvuku hudebních nástrojů J. W. Rayleigh: The Theory of Sound: Vols. I and II. Dover (1945 edition), Rayleigh rozlišuje dva druhy hudebních nástrojů: perkusní (bicí) : bubny, kytary, piána modeluje tlumenými oscilacemi, jednoduchá dynamika vlastně jen přechod do ustáleného stavu udržované : smyčcové a dechové moduluje udržovanými oscilacemi = uzavřenými orbity Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 31

32 Foukání na klarinet podle Rayleigho Rayleigh popisuje jazýček klarinetu jako lineární oscilátor x + kx = 0 a efekt klarinetistova foukání členem αx β αβ> 3 ( x),, 0 na pravé straně (záporné tlumení pro malé Tedy celkem x αx + β x + kx = 3 ( ) 0 x a kladné pro velké). nebo x = x 1 2 x = αx βx kx Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 32

33 Klarinet - fázový portrét Fázový portrét demophclarinet Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 33

34 Klarinet Vliv parametrů na zvuk α = β = k = 1 tužší jazýček (tužší pružina, větší k) αβ=, 1, k = 3 bohatší tón tvrdší foukání (širší charakteristika tření, menší β ) α, k = 1, β = 0.5 hlasitější zvuk demophclarinet,demophclarinet2,demophclarinet3 Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 34

35 Smyčec a houslová struna Rayleigh navrhl model analogický systému hmotnost-pružina položenému na pásovém dopravníku s konstantní rychlostí struna bez smyčce ~ hmotnost-pružina použití smyčce ~ tření mezi pásem a tělesem Tedy celkem nebo stavově x mx + kx + f ( x b) = 0 = x 1 2 k 1 x 2 = x1 f( x2 b) m m Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 35

36 Smyčec a struna - fázový portrét limitní cyklus - asi špatně kreslí? demophbowingstring Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 36

37 Dravci a oběti podle Volterry Vito Volterra Dravec a oběť Omezený růst Soutěžící populace

38 Vito Volterra Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 38

39 Vito Volterra Vito Volterra, Volterra publikoval články o parciálních diferenciálních rovnicích, zejména o rovnicích cylindrických vln. Nejslavnější je jeho práce o integrálních rovnicích, zejména o té, které se dnes říká Volterrova integrální rovnice. Další info na: www-history.mcs.standrews.ac.uk/history/ Mathematicians/Volterra.html Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 39

40 Dravec a oběť Hrabě Vito Volterra: Model vývoje dvou populací v Jaderském moři: oběť x dravec y x = ax bxy y = cxy dy abcd,,,, xy>, 0 Model je velmi zjednodušený. Možno přidat např. omezený růst (o. bez d. a d. s o.) kvůli sociálním faktorům x = ( a by λ x) x y = ( cx d µ y) y abcdλµ>,,,,, 0 soutěžící druhy (každý druh jí ten druhý) x = ax bxy y = dy cxy Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 40

41 Dravec a oběť dravci další kvadranty nemají fyzikální smysl x e = (0,0);(1,1); oběti Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 41

42 Dravec a oběť s omezeným růstem dravci x e = (0,0);(1,0); (0, 1) oběti Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 42

43 Soutěžící populace druh 2 x e = (0,0);(1,1); druh1 Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 43

44 Obvod s tunelovou diodou RLC obvod s tunelovou diodou i C = dv C dt c v L = di L dt L i R = hv ( ) R 1 x 1 = ( hx ( 1) + x2) C 1 x 2 = x1+ Rx2 + u L ( ) Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 44

45 Charakteristika tunelové diody Polynomiální charakteristika i = hv ( ) R = R R + R R + R hv ( ) 17.76v v v v 83.72v R R až 3 rovnovážné stavy podle zátěže Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 45

46 Fázový portrét x=0:.01:1;plot(x,tunneldiode(x)) demophtunnel ir [ ma] vr [ V] Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 46

47 Počet rovnovážných stavů Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 47

48 Vítr podle Oscilace vynucené větrem

49 Systém s oscilacemi vynucenými větrem Sastry, s. 342 x = µ x µ x + xx x 2= µ 2x1 µ 1x2+ ( x1 + x2 ) 2 tlumení rozladění µ = 0 1 µ = 1 2 Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 49

50 Vítr případ µ = 0 1 µ = 1 2 limitní cykly (heteroklinické orbity) x e = (-2,0),(0, 0) Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 50

51 Vítr případ µ 1 = µ 2 = 1 x e = (-2.383,0.704),(0, 0) Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 51

52 Double Well oscilátor Rovnice Vliv buzení Chaos Citlivost na počáteční podmínky Poincarého řez Bifurkace

53 Double Well oscilátor magneto-elastický mechanický systém v klidu má 2 ustálené stavy periodická budící síla popsán Duffingovou rovnicí b F ω 3 x + bx x + x = F t tlumení amplituda budící síly budící frekvence cos( ω ) x = x = cos( ω ) x bx x x F t Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 53

54 DW Oscilátor - bez buzení Bez buzeni b = 0.05 F = 0 ω = 1 double well = dvojitá jáma x = 0, ± 1 e Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 54

55 DW Oscilátor = = = = = x = 0, ± 1 Bez buzeni b 0.05, F 0, ω 1 ( x1(0) 1.5, x2(0) 1) DWoscilatorMS e Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 55

56 DW Oscilátor - malé buzení Malé buzeni b = 0.25 F == 0.22 ω 1 2 stabilní limitní cykly Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 56

57 DW Oscilátor Malé buzeni b= 0.25, F = 0.22, ω = 1 ( x1(0) = 1, x2(0) = 0) DWoscilatorMS Stabilní limitní cyklus je tam ještě jeden Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 57

58 DW Oscilátor - větší buzení Větší buzeni přechodný chaos b = 0.25 F == ω 1 jako dříve 2 stabilní limitní cykly ale přechodový jev je chaotický při malé změně počát. podmínek může skončit na druhé straně hranice oblastí počátečních podmínek vedoucích k jednotlivým cyklům jsou složité: mají fraktální charakter Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 58

59 DW Oscilátor Větší buzeni b= 0.25, F = 0.245, ω = 1 ( x1(0) 1, x2(0) = 0) x 1 (0) = x 1(0) = 1 x 1 (0) = 1.01 x 1(0) = 1.02 Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 59

60 DW Oscilátor Ještě větší buzeni - chaos b = 0.25 F == 0.4 ω 1 chaotické chování Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 60

61 DW Oscilátor Ještě větší buzeni b= 0.25, F = 0.4, ω = 1 ( x1(0) = 1, x2(0) = 0) Chaos Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 61

62 DW Při dalším zvětšování buzení se chování zase mění Např. pro F = 0.5 se zdá být zase limitní cyklus obdobně při změnách dalších parametrů zkuste sami b= 0.15, F = 0.3, ω = 1 Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 62

63 DW Citlivost na počáteční podmínky Co to znamená velká citlivost na počáteční podmínky? Jak se rozpliznou blízké počáteční stavy po 0, 0.5, 1.0, 1.5, 2.0, 2.5, 3.0, 3.5 a 4.0 cyklech délky 2*pi Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 63

64 DW Citlivost na počáteční podmínky A takhle to vypadá po 25 cyklech: Poznámka: Výpočet těchto 25 cyklů při 200 krocích integrace v cyklu pro počátečních podmínek trval přes 7 hodin na rychlém počítači s 9000 mips! Poznáte, kde to začalo? ~bfraser/ Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 64

65 DW další zajímavý obrázek: extrém vs. extrém extrém v kroku i Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 65

66 DW Poincarého řezy Přidáme-li jako třetí rozměr velikost budící síly, dostaneme třírozměrný fázový portrét. Jeho dvourozměrný řez (třeba pro sílu f = Fcos(2 π n) = F ) odhalí, že to je (3-D) podivný atraktor. je překvapivé že po 2pi skáče po tak hezké křivce (srovnej obr Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 66

67 I zde jsou bifurkace b= 1, F [1.0,1.1], ω = 1 animace bifurkací Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 67

Diferenciální rovnice a jejich aplikace. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36

Diferenciální rovnice a jejich aplikace. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36 Diferenciální rovnice a jejich aplikace Zdeněk Kadeřábek (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36 Obsah 1 Co to je derivace? 2 Diferenciální rovnice 3 Systémy diferenciálních rovnic

Více

Příklady k přednášce 26 Nelineární systémy a řízení

Příklady k přednášce 26 Nelineární systémy a řízení Příklady k přednášce 6 Nelineární systémy a řízení Michael Šebek Automatické řízení 14 18-5-15 DC motor s omezením - odezva na rampu, sinus a součet rampa+sinus nefunguje superpozice ne-věrnost frekvence

Více

Mechanické kmitání (oscilace)

Mechanické kmitání (oscilace) Mechanické kmitání (oscilace) pohyb, při kterém se těleso střídavě vychyluje v různých směrech od rovnovážné polohy př. kyvadlo Příklady kmitavých pohybů kyvadlo v pendlovkách struna hudebního nástroje

Více

1 Modelování systémů 2. řádu

1 Modelování systémů 2. řádu OBSAH Obsah 1 Modelování systémů 2. řádu 1 2 Řešení diferenciální rovnice 3 3 Ukázka řešení č. 1 9 4 Ukázka řešení č. 2 11 5 Ukázka řešení č. 3 12 6 Ukázka řešení č. 4 14 7 Ukázka řešení č. 5 16 8 Ukázka

Více

MECHANICKÉ KMITÁNÍ. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - 3.A

MECHANICKÉ KMITÁNÍ. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - 3.A MECHANICKÉ KMITÁNÍ Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - 3.A Kinematika kmitavého pohybu Mechanický oscilátor - volně kmitající zařízení Rovnovážná poloha Výchylka Kinematika kmitavého pohybu Veličiny charakterizující

Více

Fyzikální praktikum 1

Fyzikální praktikum 1 Fyzikální praktikum 1 FJFI ČVUT v Praze Úloha: #10 Lineární harmonický oscilátor a Pohlovo kyvadlo Jméno: Ondřej Finke Datum měření: 10.11.2014 Kruh: FE Skupina: 4 Klasifikace: 1. Pracovní úkoly (a) Změřte

Více

1.7.4. Skládání kmitů

1.7.4. Skládání kmitů .7.4. Skládání kmitů. Umět vysvětlit pojem superpozice.. Umět rozdělit různé typy skládání kmitů podle směru a frekvence. 3. Umět určit amplitudu a fázi výsledného kmitu. 4. Vysvětlit pojem fázor. 5. Znát

Více

Tlumené a vynucené kmity

Tlumené a vynucené kmity Tlumené a vynucené kmity Katedra fyziky FEL ČVUT Evropský sociální fond Praha & U: Е Investujeme do vaší budoucnosti Problémová úloha 1: Laplaceova transformace Pomocí Laplaceovy transformace vlastností

Více

Fyzika, maturitní okruhy (profilová část), školní rok 2014/2015 Gymnázium INTEGRA BRNO

Fyzika, maturitní okruhy (profilová část), školní rok 2014/2015 Gymnázium INTEGRA BRNO 1. Jednotky a veličiny soustava SI odvozené jednotky násobky a díly jednotek skalární a vektorové fyzikální veličiny rozměrová analýza 2. Kinematika hmotného bodu základní pojmy kinematiky hmotného bodu

Více

Úvod do chaotické dynamiky

Úvod do chaotické dynamiky Úvod do chaotické dynamiky Jakub Dohnal, Střední škola stavební Jihlava, jakudon@centrum.cz Kristýna Onderková, gymnázium Budějovická, Praha, padawanka@gmail.com Libor Šeda, gymnázium Vysoké Mýto, Oromis.E@seznam.cz

Více

Maturitní otázky z předmětu FYZIKA

Maturitní otázky z předmětu FYZIKA Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu FYZIKA 1. Pohyby z hlediska kinematiky a jejich zákon Relativnost klidu a pohybu, klasifikace pohybů z hlediska

Více

1 Rozdělení mechaniky a její náplň

1 Rozdělení mechaniky a její náplň 1 Rozdělení mechaniky a její náplň Mechanika je nauka o rovnováze a pohybu hmotných útvarů pohybujících se rychlostí podstatně menší, než je rychlost světla (v c). Vlastnosti skutečných hmotných útvarů

Více

Pracovní list: Opakování učiva sedmého ročníku. Fyzikální veličiny. Fyzikální jednotky. Fyzikální zákony. Vzorce pro výpočty 100 200.

Pracovní list: Opakování učiva sedmého ročníku. Fyzikální veličiny. Fyzikální jednotky. Fyzikální zákony. Vzorce pro výpočty 100 200. Pracovní list: Opakování učiva sedmého ročníku 1. Odpovězte na otázky: Fyzikální veličiny Fyzikální jednotky Fyzikální zákony Měřidla Vysvětli pojmy Převody jednotek Vzorce pro výpočty Slavné osobnosti

Více

Mechanika úvodní přednáška

Mechanika úvodní přednáška Mechanika úvodní přednáška Petr Šidlof TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií Tento materiál vznikl v rámci projektu ESF CZ.1.07/2.2.00/07.0247, který je

Více

Příklady k přednášce 1. Úvod

Příklady k přednášce 1. Úvod Příklady k řednáše. Úvod Mihael Šebek Automatiké řízení 05 Evroský soiální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budounosti 6--5 Kyvadlo řízené momentem Automatiké řízení - Kybernetika a robotika Pohybová

Více

1.3 Pohyb hmotného nabitého bodu v homogenním magnetickém poli

1.3 Pohyb hmotného nabitého bodu v homogenním magnetickém poli Klasická mechanika analytická řešení pohybu částic a těles 1. Pohyb v odporujícím prostředí 1.1 Odporující síla je úměrná rychlosti pohybujícího se tělesa 1.2 Pohyb hmotného nabitého bodu v homogenním

Více

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)

Více

DUM označení: VY_32_INOVACE_... Jméno autora výukového materiálu: Ing. Jitka Machková Škola: Základní škola a mateřská škola Josefa Kubálka Všenory

DUM označení: VY_32_INOVACE_... Jméno autora výukového materiálu: Ing. Jitka Machková Škola: Základní škola a mateřská škola Josefa Kubálka Všenory DUM označení: VY_32_INOVACE_... Jméno autora výukového materiálu: Ing. Jitka Machková Škola: Základní škola a mateřská škola Josefa Kubálka Všenory Karla Majera 370, 252 31 Všenory. Datum (období) vytvoření:

Více

+ ω y = 0 pohybová rovnice tlumených kmitů. r dr dt. B m. k m. Tlumené kmity

+ ω y = 0 pohybová rovnice tlumených kmitů. r dr dt. B m. k m. Tlumené kmity Tlumené kmit V praxi téměř vžd brání pohbu nějaká brzdicí síla, jejíž původ je v třecích silách mezi reálnými těles. Matematický popis těchto sil bývá dosti komplikovaný. Velmi často se vsktuje tzv. viskózní

Více

diferenciální rovnice verze 1.1

diferenciální rovnice verze 1.1 Diferenciální rovnice vyšších řádů, snižování řádu diferenciální rovnice verze 1.1 1 Úvod Následující text popisuje řešení diferenciálních rovnic, konkrétně diferenciálních rovnic vyšších řádů a snižování

Více

Projekty do předmětu MF

Projekty do předmětu MF Univerzita Palackého v Olomouci Přírodovědecká fakulta Katedra optiky ZÁVĚREČNÁ PRÁCE Projekty do předmětu MF Vypracoval: Miroslav Mlynář E-mail: mlynarm@centrum.cz Studijní program: B1701 Fyzika Studijní

Více

Kmitání mechanického oscilátoru Mechanické vlnění Zvukové vlnění

Kmitání mechanického oscilátoru Mechanické vlnění Zvukové vlnění Mechanické kmitání a vlnění Kmitání mechanického oscilátoru Mechanické vlnění Zvukové vlnění Kmitání mechanického oscilátoru Kmitavý pohyb Mechanický oscilátor = zařízení, které kmitá bez vnějšího působení

Více

Mechanické kmitání - určení tíhového zrychlení kyvadlem

Mechanické kmitání - určení tíhového zrychlení kyvadlem I N V E S T I C E D O R O Z V O J E V Z D Ě L Á V Á N Í TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Laboratorní práce č. 9 Mechanické kmitání - určení

Více

OBECNÁ FYZIKA III (KMITY, VLNY, OPTIKA), FSI-TF-3

OBECNÁ FYZIKA III (KMITY, VLNY, OPTIKA), FSI-TF-3 OBECNÁ FYZIKA III (KMITY, VLNY, OPTIKA), FSI-TF-3 GARANT PEDMTU: Prof. RNDr. Jií Petráek, Dr. (ÚFI) VYUUJÍCÍ PEDMTU: Prof. RNDr. Jií Petráek, Dr. (ÚFI), CSc., Mgr. Vlastimil Kápek, Ph.D. (ÚFI) JAZYK VÝUKY:

Více

Zdeněk Halas. Aplikace matem. pro učitele

Zdeněk Halas. Aplikace matem. pro učitele Obyčejné diferenciální rovnice Nejzákladnější aplikace křivky Zdeněk Halas KDM MFF UK, 2011 Aplikace matem. pro učitele Zdeněk Halas (KDM MFF UK, 2011) Obyčejné diferenciální rovnice Aplikace matem. pro

Více

Elektromagnetický oscilátor

Elektromagnetický oscilátor Elektromagnetický oscilátor Již jsme poznali kmitání mechanického oscilátoru (závaží na pružině) - potenciální energie pružnosti se přeměňuje na kinetickou energii a naopak. T =2 m k Nejjednodušší elektromagnetický

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/2 BA07. Cvičení, zimní semestr

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/2 BA07. Cvičení, zimní semestr Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika I/ BA07 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 0 () Integrace užitím základních vzorců.

Více

Stanovení forem, termínů a témat profilové části maturitní zkoušky oboru vzdělání 78-42-M/01 Technické lyceum STROJNICTVÍ

Stanovení forem, termínů a témat profilové části maturitní zkoušky oboru vzdělání 78-42-M/01 Technické lyceum STROJNICTVÍ Stanovení forem, termínů a témat profilové části maturitní zkoušky oboru vzdělání 78-42-M/01 Technické lyceum STROJNICTVÍ 1. Mechanické vlastnosti materiálů 2. Technologické vlastnosti materiálů 3. Zjišťování

Více

Czech Technical University in Prague Faculty of Electrical Engineering. Fakulta elektrotechnická. České vysoké učení technické v Praze.

Czech Technical University in Prague Faculty of Electrical Engineering. Fakulta elektrotechnická. České vysoké učení technické v Praze. Nejprve několik fyzikálních analogií úvodem Rezonance Rezonance je fyzikálním jevem, kdy má systém tendenci kmitat s velkou amplitudou na určité frekvenci, kdy malá budící síla může vyvolat vibrace s velkou

Více

Tabulace učebního plánu. Vzdělávací obsah pro vyučovací předmět : Fyzika. Ročník: I.ročník - kvinta

Tabulace učebního plánu. Vzdělávací obsah pro vyučovací předmět : Fyzika. Ročník: I.ročník - kvinta Tabulace učebního plánu Vzdělávací obsah pro vyučovací předmět : Fyzika Ročník: I.ročník - kvinta Fyzikální veličiny a jejich měření Fyzikální veličiny a jejich měření Soustava fyzikálních veličin a jednotek

Více

Numerické řešení variačních úloh v Excelu

Numerické řešení variačních úloh v Excelu Numerické řešení variačních úloh v Excelu Miroslav Hanzelka, Lenka Stará, Dominik Tělupil Gymnázium Česká Lípa, Gymnázium Jírovcova 8, Gymnázium Brno MirdaHanzelka@seznam.cz, lenka.stara1@seznam.cz, dtelupil@gmail.com

Více

Název: Studium kmitů hudebních nástrojů, barva zvuku

Název: Studium kmitů hudebních nástrojů, barva zvuku Název: Studium kmitů hudebních nástrojů, barva zvuku Autor: Mgr. Lucia Klimková Název školy: Gymnázium Jana Nerudy, škola hl. města Prahy Předmět (mezipředmětové vztahy) : Fyzika (Hudební výchova) Tematický

Více

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení.

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. @083 6 Polynomické funkce Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. Definice: Polynomická funkce n-tého stupně (n N) je dána předpisem n n 1 2 f : y a x

Více

ČÁST VI - K M I T Y A V L N Y

ČÁST VI - K M I T Y A V L N Y ČÁST VI - K M I T Y A V L N Y 23. Harmonický oscilátor 24. Vlnění 25. Elektromagnetické vlnění 26. Geometrická optika 27. Fyzikální optika 28. Nelineární optika 261 Periodické pohyby částic a těles (jako

Více

Netradiční výklad tradičních témat

Netradiční výklad tradičních témat Netradiční výklad tradičních témat J. Musilová, P. Musilová: Matematika pro porozumění i praxi I. VUTIUM, Brno 2006 (291 s.), 2009 (349 s.). J. Musilová, P. Musilová: Matematika pro porozumění i praxi

Více

ZVUKOVÉ JEVY. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Tercie

ZVUKOVÉ JEVY. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Tercie ZVUKOVÉ JEVY Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Tercie Odraz zvuku Vznik ozvěny Dozvuk Několikanásobný odraz Ohyb zvuku Zvuk se dostává za překážky Překážka srovnatelná s vlnovou délkou Pružnost Působení

Více

Matematika II: Pracovní listy do cvičení

Matematika II: Pracovní listy do cvičení Matematika II: Pracovní listy do cvičení Radomír Paláček, Petra Schreiberová, Petr Volný Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Příklady Integrální počet funkcí

Více

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ PRŮVODCE GB01-P04 MECHANICKÉ KMITÁNÍ

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ PRŮVODCE GB01-P04 MECHANICKÉ KMITÁNÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ Prof. Ing. Bohumil Koktavý,CSc. FYZIKA PRŮVODCE GB01-P04 MECHANICKÉ KMITÁNÍ STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA 2 OBSAH 1 Úvod...5

Více

Ing. Radovan Nečas Mgr. Miroslav Hroza

Ing. Radovan Nečas Mgr. Miroslav Hroza Výzkumný ústav stavebních hmot, a.s. Hněvkovského, č.p. 30, or. 65, 617 00 BRNO zapsaná v OR u krajského soudu v Brně, oddíl B, vložka 3470 Aktivační energie rozkladu vápenců a její souvislost s ostatními

Více

Laserová technika 1. Rychlostní rovnice pro Q-spínaný laser. 16. prosince 2013. Katedra fyzikální elektroniky. jan.sulc@fjfi.cvut.

Laserová technika 1. Rychlostní rovnice pro Q-spínaný laser. 16. prosince 2013. Katedra fyzikální elektroniky. jan.sulc@fjfi.cvut. Laserová technika 1 Aktivní prostředí Rychlostní rovnice pro Q-spínaný laser Jan Šulc Katedra fyzikální elektroniky České vysoké učení technické jan.sulc@fjfi.cvut.cz 16. prosince 2013 Program přednášek

Více

Mechanické kmitání Kinematika mechanického kmitání Vojtěch Beneš

Mechanické kmitání Kinematika mechanického kmitání Vojtěch Beneš Mechanické kmitání Vojtěch Beneš Výstup RVP: Klíčová slova: žák užívá základní kinematické vztahy při řešení problémů a úloh o pohybech mechanické kmitání, kinematika, harmonický oscilátor Sexta Příprava

Více

Akustika. Rychlost zvukové vlny v v prostředí s hustotou ρ a modulem objemové pružnosti K

Akustika. Rychlost zvukové vlny v v prostředí s hustotou ρ a modulem objemové pružnosti K zvuk každé mechanické vlnění v látkovém prostředí, které je schopno vyvolat v lidském uchu sluchový vjem akustika zabývá se fyzikálními ději spojenými se vznikem zvukového vlnění, jeho šířením a vnímáním

Více

Stanovení forem, termínů a témat profilové části maturitní zkoušky oboru vzdělání 23-41-M/01 Strojírenství STROJÍRENSKÁ TECHNOLOGIE

Stanovení forem, termínů a témat profilové části maturitní zkoušky oboru vzdělání 23-41-M/01 Strojírenství STROJÍRENSKÁ TECHNOLOGIE Stanovení forem, termínů a témat profilové části maturitní zkoušky oboru vzdělání 23-41-M/01 Strojírenství STROJÍRENSKÁ TECHNOLOGIE 1. Mechanické vlastnosti materiálů, zkouška pevnosti v tahu 2. Mechanické

Více

Měření momentu setrvačnosti prstence dynamickou metodou

Měření momentu setrvačnosti prstence dynamickou metodou Měření momentu setrvačnosti prstence dynamickou metodou Online: http://www.sclpx.eu/lab1r.php?exp=13 Tato úloha patří zejména svým teoretickým základem k nejobtížnějším. Pojem momentu setrvačnosti dělá

Více

Sbírka příkladů z matematické analýzy II. Petr Tomiczek

Sbírka příkladů z matematické analýzy II. Petr Tomiczek Sbírka příkladů z matematické analýzy II Petr Tomiczek Obsah Diferenciální rovnice. řádu 3. Separace proměnných......................... 3. Přechod k separaci.......................... 4.3 Variace konstant...........................

Více

Josef Pojar 31.1.2007. Transitivita znamená, že aplikace transformace na libovolný daný interval I 1 ho roztahuje

Josef Pojar 31.1.2007. Transitivita znamená, že aplikace transformace na libovolný daný interval I 1 ho roztahuje Sférické kyvadlo Josef Pojar 31.1.2007 1 Teoretický úvod 1.1 Chaotický pohyb Abychom mohli klasifikovat chování systému jako chaotické musí systém vykazovat následující vlastnosti : musí být citlivý na

Více

MODELOVÁNÍ. Základní pojmy. Obecný postup vytváření induktivních modelů. Měřicí a řídicí technika magisterské studium FTOP - přednášky ZS 2009/10

MODELOVÁNÍ. Základní pojmy. Obecný postup vytváření induktivních modelů. Měřicí a řídicí technika magisterské studium FTOP - přednášky ZS 2009/10 MODELOVÁNÍ základní pojmy a postupy principy vytváření deterministických matematických modelů vybrané základní vztahy používané při vytváření matematických modelů ukázkové příklady Základní pojmy matematický

Více

Gymnázium, Havířov - Město, Komenského 2 MATURITNÍ OTÁZKY Z FYZIKY Školní rok: 2012/2013

Gymnázium, Havířov - Město, Komenského 2 MATURITNÍ OTÁZKY Z FYZIKY Školní rok: 2012/2013 1. a) Kinematika hmotného bodu klasifikace pohybů poloha, okamžitá a průměrná rychlost, zrychlení hmotného bodu grafické znázornění dráhy, rychlosti a zrychlení na čase kinematika volného pádu a rovnoměrného

Více

Okruhy k maturitní zkoušce z fyziky

Okruhy k maturitní zkoušce z fyziky Okruhy k maturitní zkoušce z fyziky 1. Fyzikální obraz světa - metody zkoumaní fyzikální reality, pojem vztažné soustavy ve fyzice, soustava jednotek SI, skalární a vektorové fyzikální veličiny, fyzikální

Více

Lineární diferenciální rovnice 1. řádu verze 1.1

Lineární diferenciální rovnice 1. řádu verze 1.1 Úvod Lineární diferenciální rovnice. řádu verze. Následující tet popisuje řešení lineárních diferenciálních rovnic. řádu. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT2 na Univerzitě Hradec Králové

Více

K přednášce NUFY028 Teoretická mechanika prozatímní učební text, verze 01 10. Spojitá prostředí: rovnice struny Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 2014

K přednášce NUFY028 Teoretická mechanika prozatímní učební text, verze 01 10. Spojitá prostředí: rovnice struny Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 2014 K přednášce NUFY8 Teoretická mechanika prozatímní učební text, verze 1 1 Spojitá prostředí: rovnice strun Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 14 Spojitá prostředí: rovnice strun Dosud jsme se zabývali pohbem soustav

Více

Název: Studium kmitů na pružině

Název: Studium kmitů na pružině Název: Studium kmitů na pružině Autor: Mgr. Lucia Klimková Název školy: Gymnázium Jana Nerudy, škola hl. města Prahy Předmět (mezipředmětové vztahy) : Fyzika (Matematika) Tematický celek: Mechanické kmitání

Více

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti

Více

Proč studovat hvězdy? 9. 1 Úvod 11 1.1 Energetické úvahy 11 1.2 Zjednodušení použitá při konstrukci sférických modelů... 13 1.3 Model našeho Slunce 15

Proč studovat hvězdy? 9. 1 Úvod 11 1.1 Energetické úvahy 11 1.2 Zjednodušení použitá při konstrukci sférických modelů... 13 1.3 Model našeho Slunce 15 Proč studovat hvězdy? 9 1 Úvod 11 1.1 Energetické úvahy 11 1.2 Zjednodušení použitá při konstrukci sférických modelů.... 13 1.3 Model našeho Slunce 15 2 Záření a spektrum 21 2.1 Elektromagnetické záření

Více

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel. 5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených

Více

Matematika I. dvouletý volitelný předmět

Matematika I. dvouletý volitelný předmět Název předmětu: Zařazení v učebním plánu: Matematika I O7A, C3A, O8A, C4A dvouletý volitelný předmět Cíle předmětu Tento předmět je koncipován s cílem usnadnit absolventům gymnázia přechod na vysoké školy

Více

2. Kmity. 2.1 Úvod. 2.2 Kmity tělesa na pružině, harmonický pohyb

2. Kmity. 2.1 Úvod. 2.2 Kmity tělesa na pružině, harmonický pohyb 2. Kmity 2.1 Úvod Kmitání stejně jako vlnění patří k typickým nestacionárním dějům s převážně periodickým průběhem. Veličiny, kterými kmitání popisujeme, se tedy s časem mění, ale mají také opakující se

Více

Rovnice matematické fyziky cvičení pro akademický školní rok 2013-2014

Rovnice matematické fyziky cvičení pro akademický školní rok 2013-2014 Harmonogram výuky předmětu Rovnice matematické fyziky cvičení pro akademický školní rok 2013-2014 Vedoucí cvičení: ing. Václav Klika, Ph.D. & MSc. Karolína Korvasová & & ing. Matěj Tušek, Ph.D. Katedra

Více

λ, (20.1) 3.10-6 infračervené záření ultrafialové γ a kosmické mikrovlny

λ, (20.1) 3.10-6 infračervené záření ultrafialové γ a kosmické mikrovlny Elektromagnetické vlny Optika, část fyziky zabývající se světlem, patří spolu s mechanikou k nejstarším fyzikálním oborům. Podle jedné ze starověkých teorií je světlo vyzařováno z oka a oko si jím ohmatává

Více

3.1.3 Rychlost a zrychlení harmonického pohybu

3.1.3 Rychlost a zrychlení harmonického pohybu 3.1.3 Rychlost a zrychlení haronického pohybu Předpoklady: 312 Kroě dráhy (výchylky) popisujee pohyb i poocí dalších dvou veličin: rychlosti a zrychlení. Jak budou vypadat jejich rovnice? Společný graf

Více

7.[4body] Jedánautonomnísystém. 8.[4 body] Integrál

7.[4body] Jedánautonomnísystém. 8.[4 body] Integrál Písemná část zkoušky z Inženýrské matematiky, 9.2.20(60 minut) Body Jméno:... 2 3 4 5 6 7 8 První příklad vypočítejte na samostatný podepsaný papír a odevzdejte po 5 minutách..[povinný] Pro mytí autobusů

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

MECHANICKÉ KMITÁNÍ A VLNĚNÍ VLASTNÍ KMITÁNÍ MECHANICKÉHO OSCILÁTORU

MECHANICKÉ KMITÁNÍ A VLNĚNÍ VLASTNÍ KMITÁNÍ MECHANICKÉHO OSCILÁTORU Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: FYZIKA PRVNÍ MGR. JÜTTNEROVÁ 9. 6. 2013 Název zpracovaného celku: MECHANICKÉ KMITÁNÍ A VLNĚNÍ VLASTNÍ KMITÁNÍ MECHANICKÉHO OSCILÁTORU Kmitavý pohyb Je periodický pohyb

Více

Mgr. Jan Ptáčník. Elektrodynamika. Fyzika - kvarta! Gymnázium J. V. Jirsíka

Mgr. Jan Ptáčník. Elektrodynamika. Fyzika - kvarta! Gymnázium J. V. Jirsíka Mgr. Jan Ptáčník Elektrodynamika Fyzika - kvarta! Gymnázium J. V. Jirsíka Vodič v magnetickém poli Vodič s proudem - M-pole! Vložení vodiče s proudem do vnějšího M-pole = interakce pole vnějšího a pole

Více

Státní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách

Státní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách Státní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách Ústní zkouška z oboru Náročnost zkoušky je podtržena její ústní formou a komisionálním charakterem. Předmětem bakalářské zkoušky

Více

ŠKOLNÍ VZDĚLÁVACÍ PROGRAM

ŠKOLNÍ VZDĚLÁVACÍ PROGRAM Vyučovací předmět : Období ročník : Učební texty : Fyzika 3. období 8. ročník M.Macháček : Fyzika pro ZŠ a VG 7/1 (Prometheus), M.Macháček : Fyzika pro ZŠ a VG 7/2 (Prometheus) M.Macháček : Fyzika 8/1

Více

VÝUKA FYZIKY NA FAKULTĚ ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ VUT V BRNĚ. Pavel Koktavý

VÝUKA FYZIKY NA FAKULTĚ ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ VUT V BRNĚ. Pavel Koktavý VÝUKA FYZIKY NA FAKULTĚ ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ VUT V BRNĚ Pavel Koktavý Ústav fyziky Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií Vysoké učení technické v Brně Představení FEKT

Více

Teoretický úvod: [%] (1)

Teoretický úvod: [%] (1) Vyšší odborná škola a Střední průmyslová škola elektrotechnická Božetěchova 3, Olomouc Laboratoře elektrotechnických měření Název úlohy Číslo úlohy ZESILOVAČ OSCILÁTOR 101-4R Zadání 1. Podle přípravku

Více

Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 "

Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST Příklad Nalezněte pomocí Laplaceovy transformace řešení dané Cauchyho úlohy lineární diferenciální rovnice prvního řádu s konstantními koeficienty v intervalu 0,, které vyhovuje

Více

Mädler Johann Heinrich von

Mädler Johann Heinrich von Mädler Johann Heinrich von (1794 1874) Johann Mädler Jeden z nejvýznamnějších astronomů 19. století Němec Johann Mädler má všestranné zásluhy o rozvoj a popularizaci astronomie. Navrhl i prozíravé řešení

Více

Základní vlastnosti křivek

Základní vlastnosti křivek křivka množina bodů v rovině nebo v prostoru lze chápat jako trajektorii pohybu v rovině či v prostoru nalezneme je také jako množiny bodů na ploše křivky jako řezy plochy rovinou, křivky jako průniky

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A4. Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A4. Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A4 Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 200 (1) 120 krát jsme házeli hrací kostkou.

Více

24 VLNĚNÍ. 24.1 Základní druhy vlnění a vlnová rovnice

24 VLNĚNÍ. 24.1 Základní druhy vlnění a vlnová rovnice 278 24 VLNĚNÍ Základní druhy vlnění a vlnová rovnice Skládání vln, interference a polarizace Fázová a grupová rychlost, disperze Dopplerův jev, Čerenkovův jev Vlny v omezeném prostředí Energie a hybnost

Více

Laboratorní měření 1. Seznam použitých přístrojů. Popis měřicího přípravku

Laboratorní měření 1. Seznam použitých přístrojů. Popis měřicího přípravku Laboratorní měření 1 Seznam použitých přístrojů 1. Generátor funkcí 2. Analogový osciloskop 3. Měřící přípravek na RL ČVUT FEL, katedra Teorie obvodů Popis měřicího přípravku Přípravek umožňuje jednoduchá

Více

3.2 Rovnice postupné vlny v bodové řadě a v prostoru

3.2 Rovnice postupné vlny v bodové řadě a v prostoru 3 Vlny 3.1 Úvod Vlnění můžeme pozorovat například na vodní hladině, hodíme-li do vody kámen. Mechanické vlnění je děj, při kterém se kmitání šíří látkovým prostředím. To znamená, že například zvuk, který

Více

Maturitní témata fyzika

Maturitní témata fyzika Maturitní témata fyzika 1. Kinematika pohybů hmotného bodu - mechanický pohyb a jeho sledování, trajektorie, dráha - rychlost hmotného bodu - rovnoměrný pohyb - zrychlení hmotného bodu - rovnoměrně zrychlený

Více

Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.4.00/21.3075

Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.4.00/21.3075 Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.4.00/21.3075 Šablona: III/2 Sada: VY_32_INOVACE_5IS Ověření ve výuce Třída 9. B Datum: 17. 10. 2012 Pořadové číslo 05 1 Kmitavý pohyb Předmět: Ročník: Jméno autora:

Více

Elektronický učební text pro podporu výuky klasické mechaniky pro posluchače učitelství I. Mechanika hmotného bodu

Elektronický učební text pro podporu výuky klasické mechaniky pro posluchače učitelství I. Mechanika hmotného bodu Elektronický učební text pro podporu výuky klasické mechaniky pro posluchače učitelství I Mechanika hmotného bodu Autor: Kateřina Kárová Text vznikl v rámci bakalářské práce roku 2006. Návod na práci s

Více

Fyzikální praktikum 1

Fyzikální praktikum 1 Fyzikální praktikum 1 FJFI ČVUT v Praze Úloha: #9 Základní experimenty akustiky Jméno: Ondřej Finke Datum měření: 3.11.014 Kruh: FE Skupina: 4 Klasifikace: 1. Pracovní úkoly (a) V domácí přípravě spočítejte,

Více

Hydromechanické procesy Obtékání těles

Hydromechanické procesy Obtékání těles Hydromechanické procesy Obtékání těles M. Jahoda Klasifikace těles 2 Typy externích toků dvourozměrné osově symetrické třírozměrné (s/bez osy symetrie) nebo: aerodynamické vs. neaerodynamické Odpor a vztlak

Více

Maturitní okruhy Fyzika 2015-2016

Maturitní okruhy Fyzika 2015-2016 Maturitní okruhy Fyzika 2015-2016 Mgr. Ladislav Zemánek 1. Fyzikální veličiny a jejich jednotky. Měření fyzikálních veličin. Zpracování výsledků měření. - fyzikální veličiny a jejich jednotky - mezinárodní

Více

Měření závislosti statistických dat

Měření závislosti statistických dat 5.1 Měření závislosti statistických dat Každý pořádný astronom je schopen vám předpovědět, kde se bude nacházet daná hvězda půl hodiny před půlnocí. Ne každý je však téhož schopen předpovědět v případě

Více

c ÚM FSI VUT v Brně 20. srpna 2007

c ÚM FSI VUT v Brně 20. srpna 2007 20. srpna 2007 1. 3 arctg x 1+x 2 dx 2. (x 2 + 2x + 17)e x dx 3. 1 x 3 x dx Vypočtěte integrál: 3 arctg x 1 + x 2 dx Příklad 1. Řešení: Použijeme substituci: arctg x = t 3 arctg x dx = 1 dx = dt 1+x 2

Více

ANALÝZA LIDSKÉHO HLASU

ANALÝZA LIDSKÉHO HLASU ANALÝZA LIDSKÉHO HLASU Pomůcky mikrofon MCA-BTA, LabQuest, program LoggerPro (nebo LoggerLite), tabulkový editor Excel, program Mathematica Postup Z každodenní zkušenosti víme, že každý lidský hlas je

Více

Fyzika II mechanika zkouška 2014

Fyzika II mechanika zkouška 2014 Fyzika II mechanika zkouška 2014 Přirozené složky zrychlení Vztahy pro tečné, normálové a celkové zrychlení křivočarého pohybu, jejich odvození, aplikace (nakloněná rovina, bruslař, kruhový závěs apod.)

Více

a vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0.

a vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0. Výpočet vlastních čísel a vlastních vektorů S pojmem vlastního čísla jsme se již setkali například u iteračních metod pro řešení soustavy lineárních algebraických rovnic. Velikosti vlastních čísel iterační

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

28 NELINEÁRNÍ OPTIKA. Nelineární optické jevy Holografie a optoelektronika

28 NELINEÁRNÍ OPTIKA. Nelineární optické jevy Holografie a optoelektronika 336 28 NELINEÁRNÍ OPTIKA Nelineární optické jevy Holografie a optoelektronika Světelná vlna (jako každá jiná vlna) vyjádřená ve tvaru y=y o sin (út - ) je charakterizována základními charakteristikami:

Více

laboratorní řád, bezpečnost práce metody fyzikálního měření, chyby měření hustota tělesa

laboratorní řád, bezpečnost práce metody fyzikálního měření, chyby měření hustota tělesa Vyučovací předmět Fyzika Týdenní hodinová dotace 2 hodiny Ročník 1. Roční hodinová dotace 72 hodin Výstupy Učivo Průřezová témata, mezipředmětové vztahy používá s porozuměním učivem zavedené fyzikální

Více

3. Optimalizace pomocí nástroje Řešitel

3. Optimalizace pomocí nástroje Řešitel 3. Optimalizace pomocí nástroje Řešitel Rovnováha mechanické soustavy Uvažujme dvě různé nehmotné lineární pružiny P 1 a P 2 připevněné na pevné horizontální tyči splývající s osou x podle obrázku: (0,0)

Více

ELEKTRICKÝ PROUD ELEKTRICKÝ ODPOR (REZISTANCE) REZISTIVITA

ELEKTRICKÝ PROUD ELEKTRICKÝ ODPOR (REZISTANCE) REZISTIVITA ELEKTRICKÝ PROD ELEKTRICKÝ ODPOR (REZISTANCE) REZISTIVITA 1 ELEKTRICKÝ PROD Jevem Elektrický proud nazveme usměrněný pohyb elektrických nábojů. Např.:- proud vodivostních elektronů v kovech - pohyb nabitých

Více

SBÍRKA ŘEŠENÝCH FYZIKÁLNÍCH ÚLOH

SBÍRKA ŘEŠENÝCH FYZIKÁLNÍCH ÚLOH SBÍRKA ŘEŠENÝCH FYZIKÁLNÍCH ÚLOH MECHANIKA MOLEKULOVÁ FYZIKA A TERMIKA ELEKTŘINA A MAGNETISMUS KMITÁNÍ A VLNĚNÍ OPTIKA FYZIKA MIKROSVĚTA ODRAZ A LOM SVĚTLA 1) Index lomu vody je 1,33. Jakou rychlost má

Více

Maturitní témata profilová část

Maturitní témata profilová část SEZNAM TÉMAT: Kinematika hmotného bodu mechanický pohyb, relativnost pohybu a klidu, vztažná soustava hmotný bod, trajektorie, dráha klasifikace pohybů průměrná a okamžitá rychlost rovnoměrný a rovnoměrně

Více

PROBLEMATIKA INTEGRÁLŮ A APLIKACÍ V POČÍTAČOVÝCH ALGEBRAICKÝCH SYSTÉMECH

PROBLEMATIKA INTEGRÁLŮ A APLIKACÍ V POČÍTAČOVÝCH ALGEBRAICKÝCH SYSTÉMECH PROBLEMATIKA INTEGRÁLŮ A APLIKACÍ V POČÍTAČOVÝCH ALGEBRAICKÝCH SYSTÉMECH František Bubeník České vysoké učení technické v Praze Abstrakt: Příspěvek se zabývá problematikou řešení různých typů integrálů

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Cvičení z matematiky Náplň: Systematizace a prohloubení učiva matematiky Třída: 4. ročník Počet hodin: 2 Pomůcky: Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné obory

Více

Statistika. Regresní a korelační analýza Úvod do problému. Roman Biskup

Statistika. Regresní a korelační analýza Úvod do problému. Roman Biskup Statistika Regresní a korelační analýza Úvod do problému Roman Biskup Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Ekonomická fakulta (Zemědělská fakulta) Katedra aplikované matematiky a informatiky 2008/2009

Více

Plán výuky - fyzika tříletá

Plán výuky - fyzika tříletá Modulární systém dalšího vzdělávání pedagogických pracovníků JmK v přírodních vědách a informatice CZ.1.07/1.3.10/02.0024 Plán výuky - fyzika tříletá Tomáš Nečas Gymnázium, třída Kapitána Jaroše 14, Brno

Více

PROTOKOL O PROVEDENÍ LABORATORNÍ PRÁCE

PROTOKOL O PROVEDENÍ LABORATORNÍ PRÁCE PROTOKOL O PROVEDENÍ LABORATORNÍ PRÁCE Jméno: Třída: Úloha: F-VI-1 Izotermický děj Spolupracovník: Hodnocení: Datum měření: Úkol: Experimentálně ověřte platnost Boyle-Mariottova zákona. Pomůcky: Teorie:

Více

METODICKÝ NÁVOD MODULU

METODICKÝ NÁVOD MODULU Centrum celoživotního vzdělávání METODICKÝ NÁVOD MODULU Název Základy matematiky modulu: Zkratka: ZM Počet kreditů: 4 Semestr: Z/L Mentor: Petr Dolanský Tutor: Petr Dolanský I OBSAH BALÍČKU STUDIJNÍCH

Více