Nelineární systémy. Fázové portréty Hezké příklady nelineárních systémů

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Nelineární systémy. Fázové portréty Hezké příklady nelineárních systémů"

Transkript

1 Nelineární systémy Fázové portréty Hezké příklady nelineárních systémů

2 Numerická konstrukce fázových portrétů Pro numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic existuje mnoho programů Můžeme je použít ke kreslení fázových portrétů Několik praktických rad, jak nakreslit hezké portréty (další rady v literatuře) Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 2

3 Výpočet trajektorie Trajektorii (řešení) rovnice x = f( x), která prochází bodem x0 najdeme tak, že 1. řešíme rovnici x = f( x) z bodu x(0) = x0 kupředu, tj. v rostoucím (kladném) čase 2. řešíme rovnici x = f( x) z bodu x(0) = x0 dozadu, tj. v klesajícím (záporném) čase a to tak, že v kladném (normálním) čase řešíme rovnici x = f( x), x(0) = x Platí totiž dx( t) dx( t) dx( t) x = = f( x( t)) = f( x( t)) = f( x( t)) dt d( t) d() t 0 Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 3

4 Příklad Rovnice řešíme dopředu a dozadu x x = e, x(0) = 2 x x = e, x(0) = 2 x( t) = ln( t+ e ) x x = e, x(0) = 2 x( t) = ln( t + e ) 2 2 fwd=dsolve('dx=exp(x)','x(0)=-2'), ezplot(fwd), hold on fwd = -log(-t+exp(2)) bwd=dsolve('dx=-exp(x)','x(0)=-2'),ezplot(bwd) bwd = -log(t+exp(2)) Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 4

5 Použití pro fázový portrét Fázový portrét systému kreslíme takto: 1. vyberme jeden bod trajektorie 2. část trajektorie, vycházející z tohoto bodu ( dopředu ) vypočteme integrací rovnic s počátečními podmínkami 3. část trajektorie, končící v tomto bodě ( dozadu ) vypočteme integrací rovnic s počátečními podmínkami x 1 = f1( x1, x2) x = f ( x, x ) [ x, x ] P P 1 2 x 1 = f1( x1, x2) x = f ( x, x ) x (0) = x, x (0) = x P P x 1 = f1( x1, x2) x = f ( x, x ) x (0) = x, x (0) = x P P Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 5

6 Další důležité věci Uvedený postup je jedinou možností, jak dostat hezký portrét v okolí nestabilních uzlů, nestabilních ohnisek nestabilních cyklů Důležitou věcí je také správně zvolit rozsahy: aby portrét obsahoval všechny zajímavé jevy všechna ekvilibria a aby v něm všude integrační metoda fungovala když toho dopředu moc nevíme, postupujeme iteračně Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 6

7 Přehled Příklady nelineárních systémů Tlumené kyvadlo podle Newtona Oscilátor podle Van der Pola Nosník podle Eulera Klarinet a housle podle Reyleigho Dravci a oběti podle Volterry Tunelová dioda Vítr DW oscilátor Adaptivně řízený systém další příklady Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 7

8 Tlumené kyvadlo podle Newtona Isaac Newton Rovnice Simulink Fázový portrét

9 Sir Isaac Newton Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 9

10 Isaac Newton Newton [njútn], sir Isaac, * , , anglický fyzik, matematik a astronom; člen, v letech předseda Královské spol. v Londýně. Roku 1705 povýšen do šlechtického stavu. Zakladatel klasické mechaniky. Objevil gravitační zákon, podílel se (souběžně s G. W. Leibnizem) na vytvoření infinitezimálního počtu. Prováděl optické výzkumy, objasnil rozklad světla, zkonstruoval zrcadlový dalekohled. Zabýval se též alchymií. V díle Philosophiae naturalis principia mathematica (Matematické základy přírodovědy) formuloval tři základní zákony dynamiky (dnes nazývány Newtonovy). Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 10

11 Tlumené kyvadlo - rovnice Pohybová rovnice v tečném směru ml ϕ = mg sinϕ kl ϕ Pro stavové proměnné x dostaneme model = ϕ, x = ϕ 1 2 Podobné rovnice: synchronní generátor připojený na nekonečné vedení Josephsonovy obvody x = x 1 2 k g x 2 = x2 sin( x1) m l Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 11

12 Tlumené kyvadlo - Simulink Model v Simulinku pend_damp x = π, x = cokoli jiného Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 12

13 Tlumené kyvadlo - fázový portrét fázový portrét tlumeného kyvadla demoph2 Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 13

14 Oscilátor podle van der Pola Balthasar van der Pol Oscilátor Fázový portrét

15 Balthasar van der Pol Balthasar van der Pol, Holandský elektroinženýr. Jako jeden z prvních studoval experimentálně dynamiku v laboratoři v dvacátých a třicátých letech. Zkoumal elektrické obvody s vakuovými lampami a objevil, že mohou mít stabilní oscilace, dnes nazývané limitní cykly. V rovce 1927 publikoval (s kolegou van der Markem) v Nature článek o nepravidelném šumu, který pozoroval pro některé budící frekvence. Z rekonstrukce jeho pokusí dnes víme, že objevil deterministický chaos. Sestrojil mnoho elektronkových modelů lidského srdce a na nich studoval jeho dynamiku. Zkoumal vliv buzení analogický vlivu kardiostimulátoru. Snažil se najít způsob, jak stabilizovat srdeční arytmie. Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 15

16 Oscilátor RLC obvod s lineárními L, C a nelineárním rezistorem s kubickou charakteristikou i = αvv 2 ( 1) Pro stavy x = i, x = v 1 L 2 jsou stavové rovnice 1 x 1 = x2 L 1 x 2 = x1+ x2 x2 C C ( 2 α ( 1) ) Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 16

17 Oscilátor - fázový portrét Fázový portrét pro L = C = 1 demophvanderpol nestabilní ekvilibrium triviální řešení limitní cyklus periodické řešení Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 17

18 Nosník podle Eulera Leonard Euler Rovnice Netlumený nosník Malé zatížení Větší zatížení Ekvilbria Bifurkace Tlumený nosník

19 Leonard Euler Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 19

20 Leonard Euler Euler [ojlr] Leonhard * , , švýcarský matematik, fyzik a astronom. Působil v Petrohradě a v Berlíně. Napsal řadu učebnic matematiky. Pracoval v teorii čísel a integrálů; zabýval se diferenciálními rovnicemi, variačním počtem, exponenciálními a goniometrickými funkcemi i úlohami geometrickou tematikou. Známá je např. Eulerova hypotéza (později přesně dokázaná), že tzv. úloha o 36 důstojnících nemá řešení. Pro geofyziku má význam zejména jeho studie rotace tuhého tělesa. Viz též Eulerova perioda. Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 20

21 Ohnutý nosník rovnice Pohybová rovnice ve směru x mx dx x x x 3 + µ + λ + = 0 tlumení zatížení pružná síla v nosníku dostaneme model Pro stavové proměnné x = x 1 2 x = x, x = x 1 2 d µ λ 1 x = x + x x m m m Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 21

22 Nosník netlumený - malé zatížení Pro malé zatížení µ < λ se nosník stlačí, ale neprohne demophbuckledbeam1eq d = 0 Hamiltonovský systém Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 22

23 Nosník netlumený - větší zatížení Pro velké zatížení µ > λ se nosník prohne demophbuckledbeam2eq d = 0 Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 23

24 Ohnutý nosník - ekvilibria x = x 1 2 d µ λ 1 x = x + x x m m m x = 0, x = x = 0, x = µ λ = x 2 0 = dx + ( µ λ) x x µ λ: x = x = µ > λ : x = 0, ± µ λ; x = ekvilibrium 3 ekvilibria Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 24

25 Nosník - Bifurkace Přechod mezi neohnutým a ohnutými stavy µ < λ µ = λ Bifurkace µ > λ Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 25

26 Nosník - tlumený d = 0.3 λ = 1 µ = 0.8 demophbuckledbeam1eqdumped není Hamiltonovský Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 26

27 Nosník tlumený, větší zatížení d = 0.3 λ = 1 µ = 3 demophbuckledbeam2eqdumped Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 27

28 Klarinet a housle podle Rayleigho Baron Rayleigh Zvuk hudebních nástrojů Foukání na klarinet Vliv parametrů Smyčec a housle Fázový portrét

29 Zimní John semestr 2006 William SRI Rayleigh, M. Šebek FEL ČVUT

30 Baron Rayleigh Rayleigh [rejli] John William, baron, , , britský fyzik; profesor na univerzitě v Cambridgi ředitel Cavendishovy laboratoře, člen a ředitel Královské společnosti v Londýně. Zabýval se optikou, akustikou a elektromagnetismem, objevil (spolu s W. Ramsayem ) argon a zákon o záření absolutně černého tělesa. Rayleighovy výzkumy přispěly k rozšíření fyzikálních znalostí o stavu hmoty. Nobelova cena v roce 1904 za výzkumy o hustotě nejdůležitějších plynů a za objev argonu. Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 30

31 Teorie zvuku hudebních nástrojů J. W. Rayleigh: The Theory of Sound: Vols. I and II. Dover (1945 edition), Rayleigh rozlišuje dva druhy hudebních nástrojů: perkusní (bicí) : bubny, kytary, piána modeluje tlumenými oscilacemi, jednoduchá dynamika vlastně jen přechod do ustáleného stavu udržované : smyčcové a dechové moduluje udržovanými oscilacemi = uzavřenými orbity Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 31

32 Foukání na klarinet podle Rayleigho Rayleigh popisuje jazýček klarinetu jako lineární oscilátor x + kx = 0 a efekt klarinetistova foukání členem αx β αβ> 3 ( x),, 0 na pravé straně (záporné tlumení pro malé Tedy celkem x αx + β x + kx = 3 ( ) 0 x a kladné pro velké). nebo x = x 1 2 x = αx βx kx Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 32

33 Klarinet - fázový portrét Fázový portrét demophclarinet Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 33

34 Klarinet Vliv parametrů na zvuk α = β = k = 1 tužší jazýček (tužší pružina, větší k) αβ=, 1, k = 3 bohatší tón tvrdší foukání (širší charakteristika tření, menší β ) α, k = 1, β = 0.5 hlasitější zvuk demophclarinet,demophclarinet2,demophclarinet3 Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 34

35 Smyčec a houslová struna Rayleigh navrhl model analogický systému hmotnost-pružina položenému na pásovém dopravníku s konstantní rychlostí struna bez smyčce ~ hmotnost-pružina použití smyčce ~ tření mezi pásem a tělesem Tedy celkem nebo stavově x mx + kx + f ( x b) = 0 = x 1 2 k 1 x 2 = x1 f( x2 b) m m Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 35

36 Smyčec a struna - fázový portrét limitní cyklus - asi špatně kreslí? demophbowingstring Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 36

37 Dravci a oběti podle Volterry Vito Volterra Dravec a oběť Omezený růst Soutěžící populace

38 Vito Volterra Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 38

39 Vito Volterra Vito Volterra, Volterra publikoval články o parciálních diferenciálních rovnicích, zejména o rovnicích cylindrických vln. Nejslavnější je jeho práce o integrálních rovnicích, zejména o té, které se dnes říká Volterrova integrální rovnice. Další info na: www-history.mcs.standrews.ac.uk/history/ Mathematicians/Volterra.html Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 39

40 Dravec a oběť Hrabě Vito Volterra: Model vývoje dvou populací v Jaderském moři: oběť x dravec y x = ax bxy y = cxy dy abcd,,,, xy>, 0 Model je velmi zjednodušený. Možno přidat např. omezený růst (o. bez d. a d. s o.) kvůli sociálním faktorům x = ( a by λ x) x y = ( cx d µ y) y abcdλµ>,,,,, 0 soutěžící druhy (každý druh jí ten druhý) x = ax bxy y = dy cxy Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 40

41 Dravec a oběť dravci další kvadranty nemají fyzikální smysl x e = (0,0);(1,1); oběti Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 41

42 Dravec a oběť s omezeným růstem dravci x e = (0,0);(1,0); (0, 1) oběti Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 42

43 Soutěžící populace druh 2 x e = (0,0);(1,1); druh1 Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 43

44 Obvod s tunelovou diodou RLC obvod s tunelovou diodou i C = dv C dt c v L = di L dt L i R = hv ( ) R 1 x 1 = ( hx ( 1) + x2) C 1 x 2 = x1+ Rx2 + u L ( ) Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 44

45 Charakteristika tunelové diody Polynomiální charakteristika i = hv ( ) R = R R + R R + R hv ( ) 17.76v v v v 83.72v R R až 3 rovnovážné stavy podle zátěže Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 45

46 Fázový portrét x=0:.01:1;plot(x,tunneldiode(x)) demophtunnel ir [ ma] vr [ V] Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 46

47 Počet rovnovážných stavů Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 47

48 Vítr podle Oscilace vynucené větrem

49 Systém s oscilacemi vynucenými větrem Sastry, s. 342 x = µ x µ x + xx x 2= µ 2x1 µ 1x2+ ( x1 + x2 ) 2 tlumení rozladění µ = 0 1 µ = 1 2 Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 49

50 Vítr případ µ = 0 1 µ = 1 2 limitní cykly (heteroklinické orbity) x e = (-2,0),(0, 0) Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 50

51 Vítr případ µ 1 = µ 2 = 1 x e = (-2.383,0.704),(0, 0) Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 51

52 Double Well oscilátor Rovnice Vliv buzení Chaos Citlivost na počáteční podmínky Poincarého řez Bifurkace

53 Double Well oscilátor magneto-elastický mechanický systém v klidu má 2 ustálené stavy periodická budící síla popsán Duffingovou rovnicí b F ω 3 x + bx x + x = F t tlumení amplituda budící síly budící frekvence cos( ω ) x = x = cos( ω ) x bx x x F t Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 53

54 DW Oscilátor - bez buzení Bez buzeni b = 0.05 F = 0 ω = 1 double well = dvojitá jáma x = 0, ± 1 e Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 54

55 DW Oscilátor = = = = = x = 0, ± 1 Bez buzeni b 0.05, F 0, ω 1 ( x1(0) 1.5, x2(0) 1) DWoscilatorMS e Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 55

56 DW Oscilátor - malé buzení Malé buzeni b = 0.25 F == 0.22 ω 1 2 stabilní limitní cykly Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 56

57 DW Oscilátor Malé buzeni b= 0.25, F = 0.22, ω = 1 ( x1(0) = 1, x2(0) = 0) DWoscilatorMS Stabilní limitní cyklus je tam ještě jeden Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 57

58 DW Oscilátor - větší buzení Větší buzeni přechodný chaos b = 0.25 F == ω 1 jako dříve 2 stabilní limitní cykly ale přechodový jev je chaotický při malé změně počát. podmínek může skončit na druhé straně hranice oblastí počátečních podmínek vedoucích k jednotlivým cyklům jsou složité: mají fraktální charakter Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 58

59 DW Oscilátor Větší buzeni b= 0.25, F = 0.245, ω = 1 ( x1(0) 1, x2(0) = 0) x 1 (0) = x 1(0) = 1 x 1 (0) = 1.01 x 1(0) = 1.02 Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 59

60 DW Oscilátor Ještě větší buzeni - chaos b = 0.25 F == 0.4 ω 1 chaotické chování Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 60

61 DW Oscilátor Ještě větší buzeni b= 0.25, F = 0.4, ω = 1 ( x1(0) = 1, x2(0) = 0) Chaos Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 61

62 DW Při dalším zvětšování buzení se chování zase mění Např. pro F = 0.5 se zdá být zase limitní cyklus obdobně při změnách dalších parametrů zkuste sami b= 0.15, F = 0.3, ω = 1 Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 62

63 DW Citlivost na počáteční podmínky Co to znamená velká citlivost na počáteční podmínky? Jak se rozpliznou blízké počáteční stavy po 0, 0.5, 1.0, 1.5, 2.0, 2.5, 3.0, 3.5 a 4.0 cyklech délky 2*pi Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 63

64 DW Citlivost na počáteční podmínky A takhle to vypadá po 25 cyklech: Poznámka: Výpočet těchto 25 cyklů při 200 krocích integrace v cyklu pro počátečních podmínek trval přes 7 hodin na rychlém počítači s 9000 mips! Poznáte, kde to začalo? ~bfraser/ Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 64

65 DW další zajímavý obrázek: extrém vs. extrém extrém v kroku i Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 65

66 DW Poincarého řezy Přidáme-li jako třetí rozměr velikost budící síly, dostaneme třírozměrný fázový portrét. Jeho dvourozměrný řez (třeba pro sílu f = Fcos(2 π n) = F ) odhalí, že to je (3-D) podivný atraktor. je překvapivé že po 2pi skáče po tak hezké křivce (srovnej obr Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 66

67 I zde jsou bifurkace b= 1, F [1.0,1.1], ω = 1 animace bifurkací Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 67

Diferenciální rovnice a jejich aplikace. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36

Diferenciální rovnice a jejich aplikace. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36 Diferenciální rovnice a jejich aplikace Zdeněk Kadeřábek (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36 Obsah 1 Co to je derivace? 2 Diferenciální rovnice 3 Systémy diferenciálních rovnic

Více

Příklady k přednášce 26 Nelineární systémy a řízení

Příklady k přednášce 26 Nelineární systémy a řízení Příklady k přednášce 6 Nelineární systémy a řízení Michael Šebek Automatické řízení 14 18-5-15 DC motor s omezením - odezva na rampu, sinus a součet rampa+sinus nefunguje superpozice ne-věrnost frekvence

Více

Nelineární systémy a teorie chaosu

Nelineární systémy a teorie chaosu Martin Duspiva KOIF2-2007/2008 Definice Lineární systém splňuje podmínky linearita: f (x + y) = f (x) + f (y) aditivita: f (αx) = αf (x) Každý systém, který nesplňuje jednu z předchozích podmínek nazveme

Více

Mechanické kmitání (oscilace)

Mechanické kmitání (oscilace) Mechanické kmitání (oscilace) pohyb, při kterém se těleso střídavě vychyluje v různých směrech od rovnovážné polohy př. kyvadlo Příklady kmitavých pohybů kyvadlo v pendlovkách struna hudebního nástroje

Více

Příklady kmitavých pohybů. Mechanické kmitání (oscilace)

Příklady kmitavých pohybů. Mechanické kmitání (oscilace) Mechanické kmitání (oscilace) pohyb, při kterém se těleso střídavě vychyluje v různých směrech od rovnovážné polohy př. kyvadlo Příklady kmitavých pohybů kyvadlo v pendlovkách struna hudebního nástroje

Více

Přechodné děje 2. řádu v časové oblasti

Přechodné děje 2. řádu v časové oblasti Přechodné děje 2. řádu v časové oblasti EO2 Přednáška 8 Pavel Máša - Přechodné děje 2. řádu ÚVODEM Na předchozích přednáškách jsme se seznámili s obecným postupem řešení přechodných dějů, jmenovitě pak

Více

Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14

Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14 Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14 Co je to diferenciální rovnice? Definice: Diferenciální rovnice je vztah mezi hledanou funkcí y(x), jejími derivacemi y (x), y (x), y (x),... a nezávisle proměnnou

Více

FYZIKA II. Petr Praus 9. Přednáška Elektromagnetická indukce (pokračování) Elektromagnetické kmity a střídavé proudy

FYZIKA II. Petr Praus 9. Přednáška Elektromagnetická indukce (pokračování) Elektromagnetické kmity a střídavé proudy FYZIKA II Petr Praus 9. Přednáška Elektromagnetická indukce (pokračování) Elektromagnetické kmity a střídavé proudy Osnova přednášky Energie magnetického pole v cívce Vzájemná indukčnost Kvazistacionární

Více

MECHANICKÉ KMITÁNÍ POJMY K ZOPAKOVÁNÍ. Testové úlohy varianta A

MECHANICKÉ KMITÁNÍ POJMY K ZOPAKOVÁNÍ. Testové úlohy varianta A Škola: Autor: DUM: Vzdělávací obor: Tematický okruh: Téma: Masarykovo gymnázium Vsetín Mgr. Jitka Novosadová MGV_F_SS_3S3_D19_Z_OPAK_KV_Mechanicke_kmitani_T Člověk a příroda Fyzika Mechanické kmitání Opakování

Více

Fyzika 6. ročník. přesahy, vazby, mezipředmětové vztahy průřezová témata. témata / učivo. očekávané výstupy RVP. očekávané výstupy ŠVP

Fyzika 6. ročník. přesahy, vazby, mezipředmětové vztahy průřezová témata. témata / učivo. očekávané výstupy RVP. očekávané výstupy ŠVP očekávané výstupy RVP témata / učivo 1. Časový vývoj mechanických soustav Studium konkrétních příkladů 1.1 Pohyby družic a planet Keplerovy zákony Newtonův gravitační zákon (vektorový zápis) pohyb satelitů

Více

1 Modelování systémů 2. řádu

1 Modelování systémů 2. řádu OBSAH Obsah 1 Modelování systémů 2. řádu 1 2 Řešení diferenciální rovnice 3 3 Ukázka řešení č. 1 9 4 Ukázka řešení č. 2 11 5 Ukázka řešení č. 3 12 6 Ukázka řešení č. 4 14 7 Ukázka řešení č. 5 16 8 Ukázka

Více

B. MECHANICKÉ KMITÁNÍ A VLNĚNÍ

B. MECHANICKÉ KMITÁNÍ A VLNĚNÍ B. MECHANICKÉ KMITÁNÍ A VLNĚNÍ I. MECHANICKÉ KMITÁNÍ 8.1 Kmitavý pohyb a) mechanické kmitání (kmitavý pohyb) pohyb, při kterém kmitající těleso zůstává stále v okolí určitého bodu tzv. rovnovážné polohy

Více

Fyzikální praktikum 1

Fyzikální praktikum 1 Fyzikální praktikum 1 FJFI ČVUT v Praze Úloha: #10 Lineární harmonický oscilátor a Pohlovo kyvadlo Jméno: Ondřej Finke Datum měření: 10.11.2014 Kruh: FE Skupina: 4 Klasifikace: 1. Pracovní úkoly (a) Změřte

Více

Téma: Dynamiky - Základní vztahy kmitání

Téma: Dynamiky - Základní vztahy kmitání Počítačová podpora statických výpočtů Téma: Dynamiky - Základní vztahy kmitání 1) Vlastnosti materiálů při dynamickém namáháni ) Základní vztahy teorie kmitání s jedním stupněm volnosti Katedra konstrukcí

Více

Mechanické kmitání a vlnění

Mechanické kmitání a vlnění Mechanické kmitání a vlnění Pohyb tělesa, který se v určitém časovém intervalu pravidelně opakuje periodický pohyb S kmitavým pohybem se setkáváme např.: Zařízení, které volně kmitá, nazýváme mechanický

Více

Tlumené a vynucené kmity

Tlumené a vynucené kmity Tlumené a vynucené kmity Katedra fyziky FEL ČVUT Evropský sociální fond Praha & U: Е Investujeme do vaší budoucnosti Problémová úloha 1: Laplaceova transformace Pomocí Laplaceovy transformace vlastností

Více

Fyzika, maturitní okruhy (profilová část), školní rok 2014/2015 Gymnázium INTEGRA BRNO

Fyzika, maturitní okruhy (profilová část), školní rok 2014/2015 Gymnázium INTEGRA BRNO 1. Jednotky a veličiny soustava SI odvozené jednotky násobky a díly jednotek skalární a vektorové fyzikální veličiny rozměrová analýza 2. Kinematika hmotného bodu základní pojmy kinematiky hmotného bodu

Více

Základy matematiky pro FEK

Základy matematiky pro FEK Základy matematiky pro FEK 8. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 14 Derivace funkce U lineárních funkcí ve tvaru

Více

Maturitní otázky z předmětu FYZIKA

Maturitní otázky z předmětu FYZIKA Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu FYZIKA 1. Pohyby z hlediska kinematiky a jejich zákon Relativnost klidu a pohybu, klasifikace pohybů z hlediska

Více

1.7.4. Skládání kmitů

1.7.4. Skládání kmitů .7.4. Skládání kmitů. Umět vysvětlit pojem superpozice.. Umět rozdělit různé typy skládání kmitů podle směru a frekvence. 3. Umět určit amplitudu a fázi výsledného kmitu. 4. Vysvětlit pojem fázor. 5. Znát

Více

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1 Příklady pro předmět plikovaná matematika (M) část 1 1. Lokální extrémy funkcí dvou a tří proměnných Nalezněte lokální extrémy funkcí: (a) f 1 : f 1 (x, y) = x 3 3x + y 2 + 2y (b) f 2 : f 2 (x, y) = 1

Více

MECHANICKÉ KMITÁNÍ. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - 3.A

MECHANICKÉ KMITÁNÍ. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - 3.A MECHANICKÉ KMITÁNÍ Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - 3.A Kinematika kmitavého pohybu Mechanický oscilátor - volně kmitající zařízení Rovnovážná poloha Výchylka Kinematika kmitavého pohybu Veličiny charakterizující

Více

Obsah PŘEDMLUVA...9 ÚVOD TEORETICKÁ MECHANIKA...15

Obsah PŘEDMLUVA...9 ÚVOD TEORETICKÁ MECHANIKA...15 Obsah PŘEDMLUVA...9 ÚVOD...11 1. TEORETICKÁ MECHANIKA...15 1.1 INTEGRÁLNÍ PRINCIPY MECHANIKY... 16 1.1.1 Základní pojmy z mechaniky... 16 1.1.2 Integrální principy... 18 1.1.3 Hamiltonův princip nejmenší

Více

Pracovní list: Opakování učiva sedmého ročníku. Fyzikální veličiny. Fyzikální jednotky. Fyzikální zákony. Vzorce pro výpočty 100 200.

Pracovní list: Opakování učiva sedmého ročníku. Fyzikální veličiny. Fyzikální jednotky. Fyzikální zákony. Vzorce pro výpočty 100 200. Pracovní list: Opakování učiva sedmého ročníku 1. Odpovězte na otázky: Fyzikální veličiny Fyzikální jednotky Fyzikální zákony Měřidla Vysvětli pojmy Převody jednotek Vzorce pro výpočty Slavné osobnosti

Více

Moderní numerické metody

Moderní numerické metody Moderní numerické metody Sbírka příkladů doc. RNDr. Jaromír Baštinec, CSc. RNDr. Michal Novák, Ph.D. ÚSTAV MATEMATIKY Moderní numerické metody 1 Obsah 1 Soustavy lineárních rovnic 7 2 Řešení jedné nelineární

Více

4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE

4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE FBI VŠB-TUO 28. března 2014 4.1. Základní pojmy Definice 4.1. Rovnice tvaru F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 se nazývá obyčejná diferenciální rovnice n-tého řádu a vyjadřuje vztah mezi neznámou funkcí y

Více

1.3 Pohyb hmotného nabitého bodu v homogenním magnetickém poli

1.3 Pohyb hmotného nabitého bodu v homogenním magnetickém poli Klasická mechanika analytická řešení pohybu částic a těles 1. Pohyb v odporujícím prostředí 1.1 Odporující síla je úměrná rychlosti pohybujícího se tělesa 1.2 Pohyb hmotného nabitého bodu v homogenním

Více

KMITÁNÍ PRUŽINY. Pomůcky: Postup: Jaroslav Reichl, LabQuest, sonda siloměr, těleso kmitající na pružině

KMITÁNÍ PRUŽINY. Pomůcky: Postup: Jaroslav Reichl, LabQuest, sonda siloměr, těleso kmitající na pružině KMITÁNÍ PRUŽINY Pomůcky: LabQuest, sonda siloměr, těleso kmitající na pružině Postup: Těleso zavěsíme na pružinu a tu zavěsíme na pevně upevněný siloměr (viz obr. ). Sondu připojíme k LabQuestu a nastavíme

Více

ekologie Pavel Fibich rovnice rovnice Pavel Fibich Shrnutí Literatura

ekologie Pavel Fibich rovnice rovnice Pavel Fibich Shrnutí Literatura a diferenční - nalévárna pavel.fibich@prf.jcu.cz 27. září 2012 Obsah 1 2 3 4 5 6 7 Proč povídat o diferenciálních (δr) a diferenčních rovnicích ( R) v kurzu? δr a R jsou vhodné pro popisy vztahů a vývoje

Více

Vibrace atomů v mřížce, tepelná kapacita pevných látek

Vibrace atomů v mřížce, tepelná kapacita pevných látek Vibrace atomů v mřížce, tepelná kapacita pevných látek Atomy vázané v mřížce nejsou v klidu. Míru jejich pohybu vyjadřuje podobně jako u plynů a kapalin teplota. - Elastické vlny v kontinuu neatomární

Více

Mechanika úvodní přednáška

Mechanika úvodní přednáška Mechanika úvodní přednáška Petr Šidlof TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií Tento materiál vznikl v rámci projektu ESF CZ.1.07/2.2.00/07.0247, který je

Více

1 Rozdělení mechaniky a její náplň

1 Rozdělení mechaniky a její náplň 1 Rozdělení mechaniky a její náplň Mechanika je nauka o rovnováze a pohybu hmotných útvarů pohybujících se rychlostí podstatně menší, než je rychlost světla (v c). Vlastnosti skutečných hmotných útvarů

Více

KLASICKÁ MECHANIKA. Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny.

KLASICKÁ MECHANIKA. Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny. MECHANIKA 1 KLASICKÁ MECHANIKA Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny. Klasická mechanika rychlosti těles jsou mnohem menší než rychlost světla ve

Více

Management rekreace a sportu. 10. Derivace

Management rekreace a sportu. 10. Derivace Derivace Derivace Před mnoha lety se matematici snažily o obecné vyřešení úlohy, jak sestrojit tečnu k dané křivce a také yzici zápolili s problémem určení rychlosti nerovnoměrného pohybu K zásadnímu obratu

Více

Úvod do analytické mechaniky

Úvod do analytické mechaniky Úvod do analytické mechaniky Vektorová mechanika, která je někdy nazývána jako Newtonova, vychází bezprostředně z principů, které jsou vyjádřeny vztahy mezi vektorovými veličinami. V tomto případě např.

Více

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)

Více

Úvod do chaotické dynamiky

Úvod do chaotické dynamiky Úvod do chaotické dynamiky Jakub Dohnal, Střední škola stavební Jihlava, jakudon@centrum.cz Kristýna Onderková, gymnázium Budějovická, Praha, padawanka@gmail.com Libor Šeda, gymnázium Vysoké Mýto, Oromis.E@seznam.cz

Více

+ ω y = 0 pohybová rovnice tlumených kmitů. r dr dt. B m. k m. Tlumené kmity

+ ω y = 0 pohybová rovnice tlumených kmitů. r dr dt. B m. k m. Tlumené kmity Tlumené kmit V praxi téměř vžd brání pohbu nějaká brzdicí síla, jejíž původ je v třecích silách mezi reálnými těles. Matematický popis těchto sil bývá dosti komplikovaný. Velmi často se vsktuje tzv. viskózní

Více

Fyzika - Sexta, 2. ročník

Fyzika - Sexta, 2. ročník - Sexta, 2. ročník Fyzika Výchovné a vzdělávací strategie Kompetence komunikativní Kompetence k řešení problémů Kompetence sociální a personální Kompetence občanská Kompetence k podnikavosti Kompetence

Více

Lorenzův atraktor. MM semestrální práce. Jméno a příjmení: Pavel Martínek Osobní číslo: A08N0203P. Datum odevzdání: 12.2.

Lorenzův atraktor. MM semestrální práce. Jméno a příjmení: Pavel Martínek Osobní číslo: A08N0203P. Datum odevzdání: 12.2. Lorenzův atraktor Jméno a příjmení: Osobní číslo: A08N0203P Obor: MA E-mail: pmartine@students.zcu.cz Datum odevzdání: 12.2.2009 Strana 1 (celkem 25) Obsah Lorenzův atraktor...1 Úvod...3 Dynamický systém...3

Více

Energie, její formy a měření

Energie, její formy a měření Energie, její formy a měření aneb Od volného pádu k E=mc 2 Přednášející: Martin Zápotocký Seminář Aplikace lékařské biofyziky 2014/5 Definice energie Energos (ἐνεργός) = pracující, aktivní; ergon = práce

Více

Substituce ve vícenásobném integrálu verze 1.1

Substituce ve vícenásobném integrálu verze 1.1 Úvod Substituce ve vícenásobném integrálu verze. Následující text popisuje výpočet vícenásobných integrálů pomocí věty o substituci. ěl by sloužit především studentům předmětu ATEAT k přípravě na zkoušku.

Více

Příklady k přednášce 1. Úvod

Příklady k přednášce 1. Úvod Příklady k řednáše. Úvod Mihael Šebek Automatiké řízení 05 Evroský soiální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budounosti 6--5 Kyvadlo řízené momentem Automatiké řízení - Kybernetika a robotika Pohybová

Více

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015 Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární

Více

Maturitní otázky z předmětu FYZIKA

Maturitní otázky z předmětu FYZIKA Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu FYZIKA 1. Pohyby z hlediska kinematiky a jejich zákony Klasifikace pohybů z hlediska trajektorie a závislosti rychlosti

Více

DUM označení: VY_32_INOVACE_... Jméno autora výukového materiálu: Ing. Jitka Machková Škola: Základní škola a mateřská škola Josefa Kubálka Všenory

DUM označení: VY_32_INOVACE_... Jméno autora výukového materiálu: Ing. Jitka Machková Škola: Základní škola a mateřská škola Josefa Kubálka Všenory DUM označení: VY_32_INOVACE_... Jméno autora výukového materiálu: Ing. Jitka Machková Škola: Základní škola a mateřská škola Josefa Kubálka Všenory Karla Majera 370, 252 31 Všenory. Datum (období) vytvoření:

Více

Projekty do předmětu MF

Projekty do předmětu MF Univerzita Palackého v Olomouci Přírodovědecká fakulta Katedra optiky ZÁVĚREČNÁ PRÁCE Projekty do předmětu MF Vypracoval: Miroslav Mlynář E-mail: mlynarm@centrum.cz Studijní program: B1701 Fyzika Studijní

Více

Zdeněk Halas. Aplikace matem. pro učitele

Zdeněk Halas. Aplikace matem. pro učitele Obyčejné diferenciální rovnice Nejzákladnější aplikace křivky Zdeněk Halas KDM MFF UK, 2011 Aplikace matem. pro učitele Zdeněk Halas (KDM MFF UK, 2011) Obyčejné diferenciální rovnice Aplikace matem. pro

Více

OBECNÁ FYZIKA III (KMITY, VLNY, OPTIKA), FSI-TF-3

OBECNÁ FYZIKA III (KMITY, VLNY, OPTIKA), FSI-TF-3 OBECNÁ FYZIKA III (KMITY, VLNY, OPTIKA), FSI-TF-3 GARANT PEDMTU: Prof. RNDr. Jií Petráek, Dr. (ÚFI) VYUUJÍCÍ PEDMTU: Prof. RNDr. Jií Petráek, Dr. (ÚFI), CSc., Mgr. Vlastimil Kápek, Ph.D. (ÚFI) JAZYK VÝUKY:

Více

Přechodné děje 1. řádu v časové oblasti

Přechodné děje 1. řádu v časové oblasti Přechodné děje 1. řádu v časové oblasti EO2 Přednáška 6 Pavel Máša Pokud v obvodu dojde ke změně Připojení zdroje Odpojení zdroje Připojení nebo odpojení obvodového prvku (R, L, C, ) Změně velikosti některého

Více

Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze

Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze Matematika vzorce Ing. Petr Šídlo verze 0050409 Obsah Jazyk matematiky 3. Výrokový počet.......................... 3.. Logické spojky...................... 3.. Tautologie výrokového počtu...............

Více

MODIFIKOVANÝ KLIKOVÝ MECHANISMUS

MODIFIKOVANÝ KLIKOVÝ MECHANISMUS MODIFIKOVANÝ KLIKOVÝ MECHANISMUS Michal HAJŽMAN Tento materiál je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. Vyšetřování pohybu vybraných mechanismů v systému ADAMS

Více

ČÁST VI - K M I T Y A V L N Y

ČÁST VI - K M I T Y A V L N Y ČÁST VI - K M I T Y A V L N Y 23. Harmonický oscilátor 24. Vlnění 25. Elektromagnetické vlnění 26. Geometrická optika 27. Fyzikální optika 28. Nelineární optika 261 Periodické pohyby částic a těles (jako

Více

Elektromagnetický oscilátor

Elektromagnetický oscilátor Elektromagnetický oscilátor Již jsme poznali kmitání mechanického oscilátoru (závaží na pružině) - potenciální energie pružnosti se přeměňuje na kinetickou energii a naopak. T =2 m k Nejjednodušší elektromagnetický

Více

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015)

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) doplněné o další úlohy 24. 2. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi (e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/2 BA07. Cvičení, zimní semestr

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/2 BA07. Cvičení, zimní semestr Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika I/ BA07 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 0 () Integrace užitím základních vzorců.

Více

diferenciální rovnice verze 1.1

diferenciální rovnice verze 1.1 Diferenciální rovnice vyšších řádů, snižování řádu diferenciální rovnice verze 1.1 1 Úvod Následující text popisuje řešení diferenciálních rovnic, konkrétně diferenciálních rovnic vyšších řádů a snižování

Více

Kmitání mechanického oscilátoru Mechanické vlnění Zvukové vlnění

Kmitání mechanického oscilátoru Mechanické vlnění Zvukové vlnění Mechanické kmitání a vlnění Kmitání mechanického oscilátoru Mechanické vlnění Zvukové vlnění Kmitání mechanického oscilátoru Kmitavý pohyb Mechanický oscilátor = zařízení, které kmitá bez vnějšího působení

Více

Mechanické kmitání - určení tíhového zrychlení kyvadlem

Mechanické kmitání - určení tíhového zrychlení kyvadlem I N V E S T I C E D O R O Z V O J E V Z D Ě L Á V Á N Í TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Laboratorní práce č. 9 Mechanické kmitání - určení

Více

KŘIVKOVÝ INTEGRÁL V SYSTÉMU MAPLE

KŘIVKOVÝ INTEGRÁL V SYSTÉMU MAPLE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL V SYSTÉMU MAPLE Jiří Novotný Ústav matematiky a deskriptivní geometrie, Fakulta stavební, Vysoké učení technické v Brně Abstrakt: V rámci řešení projektu Inovace bakalářského studia Počítačová

Více

Stanovení forem, termínů a témat profilové části maturitní zkoušky oboru vzdělání 78-42-M/01 Technické lyceum STROJNICTVÍ

Stanovení forem, termínů a témat profilové části maturitní zkoušky oboru vzdělání 78-42-M/01 Technické lyceum STROJNICTVÍ Stanovení forem, termínů a témat profilové části maturitní zkoušky oboru vzdělání 78-42-M/01 Technické lyceum STROJNICTVÍ 1. Mechanické vlastnosti materiálů 2. Technologické vlastnosti materiálů 3. Zjišťování

Více

Diferenciální rovnice a dynamické modely

Diferenciální rovnice a dynamické modely Diferenciální rovnice a namické modely Robert Mařík 31. srpna 2009 c Robert Mařík, 2009 G. Galilei: Velkou knihu příro mohou číst jen ti, kteří znají jazyk, jímž je tato kniha napsána. A tímto jazykem

Více

Numerické řešení variačních úloh v Excelu

Numerické řešení variačních úloh v Excelu Numerické řešení variačních úloh v Excelu Miroslav Hanzelka, Lenka Stará, Dominik Tělupil Gymnázium Česká Lípa, Gymnázium Jírovcova 8, Gymnázium Brno MirdaHanzelka@seznam.cz, lenka.stara1@seznam.cz, dtelupil@gmail.com

Více

Laserová technika 1. Rychlostní rovnice pro Q-spínaný laser. 16. prosince 2013. Katedra fyzikální elektroniky. jan.sulc@fjfi.cvut.

Laserová technika 1. Rychlostní rovnice pro Q-spínaný laser. 16. prosince 2013. Katedra fyzikální elektroniky. jan.sulc@fjfi.cvut. Laserová technika 1 Aktivní prostředí Rychlostní rovnice pro Q-spínaný laser Jan Šulc Katedra fyzikální elektroniky České vysoké učení technické jan.sulc@fjfi.cvut.cz 16. prosince 2013 Program přednášek

Více

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}. VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:

Více

Laboratorní úloha č. 4 - Kmity II

Laboratorní úloha č. 4 - Kmity II Laboratorní úloha č. 4 - Kmity II Úkoly měření: 1. Seznámení s měřením na přenosném dataloggeru LabQuest 2 základní specifikace přístroje, způsob zapojení přístroje, záznam dat a práce se senzory, vyhodnocování

Více

Metoda konečných prvků Charakteristika metody (výuková prezentace pro 1. ročník navazujícího studijního oboru Geotechnika)

Metoda konečných prvků Charakteristika metody (výuková prezentace pro 1. ročník navazujícího studijního oboru Geotechnika) Inovace studijního oboru Geotechnika Reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0009 Metoda konečných prvků Charakteristika metody (výuková prezentace pro 1. ročník navazujícího studijního oboru Geotechnika) Doc. RNDr.

Více

Rychlost, zrychlení, tíhové zrychlení

Rychlost, zrychlení, tíhové zrychlení Úloha č. 3 Rychlost, zrychlení, tíhové zrychlení Úkoly měření: 1. Sestavte nakloněnou rovinu a změřte její sklon.. Změřte závislost polohy tělesa na čase a stanovte jeho rychlost a zrychlení. 3. Určete

Více

Parciální derivace a diferenciál

Parciální derivace a diferenciál Parciální derivace a diferenciál Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Pohyby HB v některých význačných silových polích

Pohyby HB v některých význačných silových polích Pohyby HB v některých význačných silových polích Pohyby HB Gravitační pole Gravitační pole v blízkém okolí Země tíhové pole Pohyb v gravitačním silovém poli Keplerova úloha (podrobné řešení na semináři)

Více

Název: Studium kmitů hudebních nástrojů, barva zvuku

Název: Studium kmitů hudebních nástrojů, barva zvuku Název: Studium kmitů hudebních nástrojů, barva zvuku Autor: Mgr. Lucia Klimková Název školy: Gymnázium Jana Nerudy, škola hl. města Prahy Předmět (mezipředmětové vztahy) : Fyzika (Hudební výchova) Tematický

Více

Měření tíhového zrychlení matematickým a reverzním kyvadlem

Měření tíhového zrychlení matematickým a reverzním kyvadlem Úloha č. 3 Měření tíhového zrychlení matematickým a reverzním kyvadlem Úkoly měření: 1. Určete tíhové zrychlení pomocí reverzního a matematického kyvadla. Pro stanovení tíhového zrychlení, viz bod 1, měřte

Více

Czech Technical University in Prague Faculty of Electrical Engineering. Fakulta elektrotechnická. České vysoké učení technické v Praze.

Czech Technical University in Prague Faculty of Electrical Engineering. Fakulta elektrotechnická. České vysoké učení technické v Praze. Nejprve několik fyzikálních analogií úvodem Rezonance Rezonance je fyzikálním jevem, kdy má systém tendenci kmitat s velkou amplitudou na určité frekvenci, kdy malá budící síla může vyvolat vibrace s velkou

Více

Předmluva 9 Obsah knihy 9 Typografické konvence 10 Informace o autorovi 10 Poděkování 10

Předmluva 9 Obsah knihy 9 Typografické konvence 10 Informace o autorovi 10 Poděkování 10 Obsah Předmluva 9 Obsah knihy 9 Typografické konvence 10 Informace o autorovi 10 Poděkování 10 KAPITOLA 1 Úvod 11 Dostupná rozšíření Matlabu 13 Alternativa zdarma GNU Octave 13 KAPITOLA 2 Popis prostředí

Více

Optika. Co je světlo? Laser vlastnosti a využití. Josef Štěpánek Fyzikální ústav MFF UK

Optika. Co je světlo? Laser vlastnosti a využití. Josef Štěpánek Fyzikální ústav MFF UK Optika Co je světlo? Laser vlastnosti a využití Josef Štěpánek Fyzikální ústav MFF UK Optika Vědecká disciplína zabývající se světlem a zářením obdobných vlastností (optické záření) z hlediska jeho vzniku,

Více

ZVUKOVÉ JEVY. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Tercie

ZVUKOVÉ JEVY. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Tercie ZVUKOVÉ JEVY Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Tercie Odraz zvuku Vznik ozvěny Dozvuk Několikanásobný odraz Ohyb zvuku Zvuk se dostává za překážky Překážka srovnatelná s vlnovou délkou Pružnost Působení

Více

Dvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy,

Dvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy, Spočtěte = { x, y) ; 4x + y 4 }. Dvojné a trojné integrály příklad 3 x y dx dy, Řešení: Protože obor integrace je symetrický vzhledem k ose x, tj. vzhledem k substituci [x; y] [x; y], a funkce fx, y) je

Více

Tabulace učebního plánu. Vzdělávací obsah pro vyučovací předmět : Fyzika. Ročník: I.ročník - kvinta

Tabulace učebního plánu. Vzdělávací obsah pro vyučovací předmět : Fyzika. Ročník: I.ročník - kvinta Tabulace učebního plánu Vzdělávací obsah pro vyučovací předmět : Fyzika Ročník: I.ročník - kvinta Fyzikální veličiny a jejich měření Fyzikální veličiny a jejich měření Soustava fyzikálních veličin a jednotek

Více

Ing. Radovan Nečas Mgr. Miroslav Hroza

Ing. Radovan Nečas Mgr. Miroslav Hroza Výzkumný ústav stavebních hmot, a.s. Hněvkovského, č.p. 30, or. 65, 617 00 BRNO zapsaná v OR u krajského soudu v Brně, oddíl B, vložka 3470 Aktivační energie rozkladu vápenců a její souvislost s ostatními

Více

Matematika II: Pracovní listy do cvičení

Matematika II: Pracovní listy do cvičení Matematika II: Pracovní listy do cvičení Radomír Paláček, Petra Schreiberová, Petr Volný Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Příklady Integrální počet funkcí

Více

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ PRŮVODCE GB01-P04 MECHANICKÉ KMITÁNÍ

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ PRŮVODCE GB01-P04 MECHANICKÉ KMITÁNÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ Prof. Ing. Bohumil Koktavý,CSc. FYZIKA PRŮVODCE GB01-P04 MECHANICKÉ KMITÁNÍ STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA 2 OBSAH 1 Úvod...5

Více

Okruhy k maturitní zkoušce z fyziky

Okruhy k maturitní zkoušce z fyziky Okruhy k maturitní zkoušce z fyziky 1. Fyzikální obraz světa - metody zkoumaní fyzikální reality, pojem vztažné soustavy ve fyzice, soustava jednotek SI, skalární a vektorové fyzikální veličiny, fyzikální

Více

Numerické řešení 2D stlačitelného proudění s kondenzací. Michal Seifert

Numerické řešení 2D stlačitelného proudění s kondenzací. Michal Seifert Numerické řešení 2D stlačitelného proudění s kondenzací Michal Seifert Úkoly diplomové práce Popsat matematické modely proudící tekutiny Popis numerických metod založených na metodě konečných objemů Porovnání

Více

Petr Hasil

Petr Hasil Základy Vyšší Matematiky Petr Hasil hasil@mendelu.cz Poznámka 1. Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny

Více

Matematika 3. m působíme silou F, uvedeme ho do pohybu a udělíme mu zrychlení a. Úkolem

Matematika 3. m působíme silou F, uvedeme ho do pohybu a udělíme mu zrychlení a. Úkolem Matematika 3. Ing. Marek Nikodým, Ph.D. Katedra matematiky a deskriptívní geometrie VŠB-TU Ostrava DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE Diferenciální rovnice jsou velmi důležité a mají obrovské využití hlavně ve fyzice.

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z FYZIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z FYZIKY MATURITNÍ TÉMATA Z FYZIKY Školní rok 2016 / 2017 Struktura zkoušky: příprava ke zkoušce trvá 15 minut; ústní zkouška trvá 15 minut - její součástí je i řešení fyzikálních úloh Pomůcky: Matematické, fyzikální

Více

UČIVO. Termodynamická teplota. První termodynamický zákon Přenos vnitřní energie

UČIVO. Termodynamická teplota. První termodynamický zákon Přenos vnitřní energie PŘEDMĚT: FYZIKA ROČNÍK: SEXTA VÝSTUP UČIVO MEZIPŘEDM. VZTAHY, PRŮŘEZOVÁ TÉMATA, PROJEKTY, KURZY POZNÁMKY Zná 3 základní poznatky kinetické teorie látek a vysvětlí jejich praktický význam Vysvětlí pojmy

Více

MODELOVÁNÍ. Základní pojmy. Obecný postup vytváření induktivních modelů. Měřicí a řídicí technika magisterské studium FTOP - přednášky ZS 2009/10

MODELOVÁNÍ. Základní pojmy. Obecný postup vytváření induktivních modelů. Měřicí a řídicí technika magisterské studium FTOP - přednášky ZS 2009/10 MODELOVÁNÍ základní pojmy a postupy principy vytváření deterministických matematických modelů vybrané základní vztahy používané při vytváření matematických modelů ukázkové příklady Základní pojmy matematický

Více

Stanovení forem, termínů a témat profilové části maturitní zkoušky oboru vzdělání 23-41-M/01 Strojírenství STROJÍRENSKÁ TECHNOLOGIE

Stanovení forem, termínů a témat profilové části maturitní zkoušky oboru vzdělání 23-41-M/01 Strojírenství STROJÍRENSKÁ TECHNOLOGIE Stanovení forem, termínů a témat profilové části maturitní zkoušky oboru vzdělání 23-41-M/01 Strojírenství STROJÍRENSKÁ TECHNOLOGIE 1. Mechanické vlastnosti materiálů, zkouška pevnosti v tahu 2. Mechanické

Více

Akustika. Rychlost zvukové vlny v v prostředí s hustotou ρ a modulem objemové pružnosti K

Akustika. Rychlost zvukové vlny v v prostředí s hustotou ρ a modulem objemové pružnosti K zvuk každé mechanické vlnění v látkovém prostředí, které je schopno vyvolat v lidském uchu sluchový vjem akustika zabývá se fyzikálními ději spojenými se vznikem zvukového vlnění, jeho šířením a vnímáním

Více

Fyzikální vzdělávání. 1. ročník. Učební obor: Kuchař číšník Kadeřník. Implementace ICT do výuky č. CZ.1.07/1.1.02/ GG OP VK

Fyzikální vzdělávání. 1. ročník. Učební obor: Kuchař číšník Kadeřník. Implementace ICT do výuky č. CZ.1.07/1.1.02/ GG OP VK Fyzikální vzdělávání 1. ročník Učební obor: Kuchař číšník Kadeřník 1 1 Mechanika 1.1 Pohyby přímočaré, pohyb rovnoměrný po kružnici 1.2 Newtonovy pohybové zákony, síly v přírodě, gravitace 1.3 Mechanická

Více

Harmonické oscilátory

Harmonické oscilátory Harmonické oscilátory Jakub Kákona, kaklik@mlab.cz Abstrakt Tato úloha se zabývá měřením rezonančních vlastností mechanických tlumených i netlumených oscilátorů. 1 Úvod 1. Změřte tuhost pružiny statickou

Více

Výpočtové nadstavby pro CAD

Výpočtové nadstavby pro CAD Výpočtové nadstavby pro CAD 4. přednáška eplotní úlohy v MKP Michal Vaverka, Martin Vrbka Přenos tepla Př: Uvažujme pro jednoduchost spalovací motor chlazený vzduchem. Spalováním vzniká teplo, které se

Více

Josef Pojar 31.1.2007. Transitivita znamená, že aplikace transformace na libovolný daný interval I 1 ho roztahuje

Josef Pojar 31.1.2007. Transitivita znamená, že aplikace transformace na libovolný daný interval I 1 ho roztahuje Sférické kyvadlo Josef Pojar 31.1.2007 1 Teoretický úvod 1.1 Chaotický pohyb Abychom mohli klasifikovat chování systému jako chaotické musí systém vykazovat následující vlastnosti : musí být citlivý na

Více

Fyzika I. Něco málo o fyzice. Petr Sadovský. ÚFYZ FEKT VUT v Brně. Fyzika I. p. 1/20

Fyzika I. Něco málo o fyzice. Petr Sadovský. ÚFYZ FEKT VUT v Brně. Fyzika I. p. 1/20 Fyzika I. p. 1/20 Fyzika I. Něco málo o fyzice Petr Sadovský petrsad@feec.vutbr.cz ÚFYZ FEKT VUT v Brně Fyzika I. p. 2/20 Fyzika Motto: Je-li to zelené, patří to do biologie. Smrdí-li to, je to chemie.

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím

Více

1. Řešená konstrukce Statické řešení Výpočet průhybové čáry Dynamika Vlastní netlumené kmitání...

1. Řešená konstrukce Statické řešení Výpočet průhybové čáry Dynamika Vlastní netlumené kmitání... . Řešená konstrukce.... Statické řešení.... Výpočet průhybové čáry... 5. Dynamika.... Vlastní netlumené kmitání..... Jacobiho metoda rovinné rotace... 4.. Popis algoritmu... 4. Vynucené kmitání... 5 4.

Více

Gymnázium, Havířov - Město, Komenského 2 MATURITNÍ OTÁZKY Z FYZIKY Školní rok: 2012/2013

Gymnázium, Havířov - Město, Komenského 2 MATURITNÍ OTÁZKY Z FYZIKY Školní rok: 2012/2013 1. a) Kinematika hmotného bodu klasifikace pohybů poloha, okamžitá a průměrná rychlost, zrychlení hmotného bodu grafické znázornění dráhy, rychlosti a zrychlení na čase kinematika volného pádu a rovnoměrného

Více

Sbírka příkladů z matematické analýzy II. Petr Tomiczek

Sbírka příkladů z matematické analýzy II. Petr Tomiczek Sbírka příkladů z matematické analýzy II Petr Tomiczek Obsah Diferenciální rovnice. řádu 3. Separace proměnných......................... 3. Přechod k separaci.......................... 4.3 Variace konstant...........................

Více

Netradiční výklad tradičních témat

Netradiční výklad tradičních témat Netradiční výklad tradičních témat J. Musilová, P. Musilová: Matematika pro porozumění i praxi I. VUTIUM, Brno 2006 (291 s.), 2009 (349 s.). J. Musilová, P. Musilová: Matematika pro porozumění i praxi

Více