Nelineární systémy. Fázové portréty Hezké příklady nelineárních systémů

Transkript

1 Nelineární systémy Fázové portréty Hezké příklady nelineárních systémů

2 Numerická konstrukce fázových portrétů Pro numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic existuje mnoho programů Můžeme je použít ke kreslení fázových portrétů Několik praktických rad, jak nakreslit hezké portréty (další rady v literatuře) Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 2

3 Výpočet trajektorie Trajektorii (řešení) rovnice x = f( x), která prochází bodem x0 najdeme tak, že 1. řešíme rovnici x = f( x) z bodu x(0) = x0 kupředu, tj. v rostoucím (kladném) čase 2. řešíme rovnici x = f( x) z bodu x(0) = x0 dozadu, tj. v klesajícím (záporném) čase a to tak, že v kladném (normálním) čase řešíme rovnici x = f( x), x(0) = x Platí totiž dx( t) dx( t) dx( t) x = = f( x( t)) = f( x( t)) = f( x( t)) dt d( t) d() t 0 Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 3

4 Příklad Rovnice řešíme dopředu a dozadu x x = e, x(0) = 2 x x = e, x(0) = 2 x( t) = ln( t+ e ) x x = e, x(0) = 2 x( t) = ln( t + e ) 2 2 fwd=dsolve('dx=exp(x)','x(0)=-2'), ezplot(fwd), hold on fwd = -log(-t+exp(2)) bwd=dsolve('dx=-exp(x)','x(0)=-2'),ezplot(bwd) bwd = -log(t+exp(2)) Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 4

5 Použití pro fázový portrét Fázový portrét systému kreslíme takto: 1. vyberme jeden bod trajektorie 2. část trajektorie, vycházející z tohoto bodu ( dopředu ) vypočteme integrací rovnic s počátečními podmínkami 3. část trajektorie, končící v tomto bodě ( dozadu ) vypočteme integrací rovnic s počátečními podmínkami x 1 = f1( x1, x2) x = f ( x, x ) [ x, x ] P P 1 2 x 1 = f1( x1, x2) x = f ( x, x ) x (0) = x, x (0) = x P P x 1 = f1( x1, x2) x = f ( x, x ) x (0) = x, x (0) = x P P Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 5

6 Další důležité věci Uvedený postup je jedinou možností, jak dostat hezký portrét v okolí nestabilních uzlů, nestabilních ohnisek nestabilních cyklů Důležitou věcí je také správně zvolit rozsahy: aby portrét obsahoval všechny zajímavé jevy všechna ekvilibria a aby v něm všude integrační metoda fungovala když toho dopředu moc nevíme, postupujeme iteračně Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 6

7 Přehled Příklady nelineárních systémů Tlumené kyvadlo podle Newtona Oscilátor podle Van der Pola Nosník podle Eulera Klarinet a housle podle Reyleigho Dravci a oběti podle Volterry Tunelová dioda Vítr DW oscilátor Adaptivně řízený systém další příklady Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 7

8 Tlumené kyvadlo podle Newtona Isaac Newton Rovnice Simulink Fázový portrét

9 Sir Isaac Newton Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 9

10 Isaac Newton Newton [njútn], sir Isaac, * , , anglický fyzik, matematik a astronom; člen, v letech předseda Královské spol. v Londýně. Roku 1705 povýšen do šlechtického stavu. Zakladatel klasické mechaniky. Objevil gravitační zákon, podílel se (souběžně s G. W. Leibnizem) na vytvoření infinitezimálního počtu. Prováděl optické výzkumy, objasnil rozklad světla, zkonstruoval zrcadlový dalekohled. Zabýval se též alchymií. V díle Philosophiae naturalis principia mathematica (Matematické základy přírodovědy) formuloval tři základní zákony dynamiky (dnes nazývány Newtonovy). Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 10

11 Tlumené kyvadlo - rovnice Pohybová rovnice v tečném směru ml ϕ = mg sinϕ kl ϕ Pro stavové proměnné x dostaneme model = ϕ, x = ϕ 1 2 Podobné rovnice: synchronní generátor připojený na nekonečné vedení Josephsonovy obvody x = x 1 2 k g x 2 = x2 sin( x1) m l Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 11

12 Tlumené kyvadlo - Simulink Model v Simulinku pend_damp x = π, x = cokoli jiného Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 12

13 Tlumené kyvadlo - fázový portrét fázový portrét tlumeného kyvadla demoph2 Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 13

14 Oscilátor podle van der Pola Balthasar van der Pol Oscilátor Fázový portrét

15 Balthasar van der Pol Balthasar van der Pol, Holandský elektroinženýr. Jako jeden z prvních studoval experimentálně dynamiku v laboratoři v dvacátých a třicátých letech. Zkoumal elektrické obvody s vakuovými lampami a objevil, že mohou mít stabilní oscilace, dnes nazývané limitní cykly. V rovce 1927 publikoval (s kolegou van der Markem) v Nature článek o nepravidelném šumu, který pozoroval pro některé budící frekvence. Z rekonstrukce jeho pokusí dnes víme, že objevil deterministický chaos. Sestrojil mnoho elektronkových modelů lidského srdce a na nich studoval jeho dynamiku. Zkoumal vliv buzení analogický vlivu kardiostimulátoru. Snažil se najít způsob, jak stabilizovat srdeční arytmie. Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 15

16 Oscilátor RLC obvod s lineárními L, C a nelineárním rezistorem s kubickou charakteristikou i = αvv 2 ( 1) Pro stavy x = i, x = v 1 L 2 jsou stavové rovnice 1 x 1 = x2 L 1 x 2 = x1+ x2 x2 C C ( 2 α ( 1) ) Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 16

17 Oscilátor - fázový portrét Fázový portrét pro L = C = 1 demophvanderpol nestabilní ekvilibrium triviální řešení limitní cyklus periodické řešení Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 17

18 Nosník podle Eulera Leonard Euler Rovnice Netlumený nosník Malé zatížení Větší zatížení Ekvilbria Bifurkace Tlumený nosník

19 Leonard Euler Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 19

20 Leonard Euler Euler [ojlr] Leonhard * , , švýcarský matematik, fyzik a astronom. Působil v Petrohradě a v Berlíně. Napsal řadu učebnic matematiky. Pracoval v teorii čísel a integrálů; zabýval se diferenciálními rovnicemi, variačním počtem, exponenciálními a goniometrickými funkcemi i úlohami geometrickou tematikou. Známá je např. Eulerova hypotéza (později přesně dokázaná), že tzv. úloha o 36 důstojnících nemá řešení. Pro geofyziku má význam zejména jeho studie rotace tuhého tělesa. Viz též Eulerova perioda. Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 20

21 Ohnutý nosník rovnice Pohybová rovnice ve směru x mx dx x x x 3 + µ + λ + = 0 tlumení zatížení pružná síla v nosníku dostaneme model Pro stavové proměnné x = x 1 2 x = x, x = x 1 2 d µ λ 1 x = x + x x m m m Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 21

22 Nosník netlumený - malé zatížení Pro malé zatížení µ < λ se nosník stlačí, ale neprohne demophbuckledbeam1eq d = 0 Hamiltonovský systém Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 22

23 Nosník netlumený - větší zatížení Pro velké zatížení µ > λ se nosník prohne demophbuckledbeam2eq d = 0 Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 23

24 Ohnutý nosník - ekvilibria x = x 1 2 d µ λ 1 x = x + x x m m m x = 0, x = x = 0, x = µ λ = x 2 0 = dx + ( µ λ) x x µ λ: x = x = µ > λ : x = 0, ± µ λ; x = ekvilibrium 3 ekvilibria Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 24

25 Nosník - Bifurkace Přechod mezi neohnutým a ohnutými stavy µ < λ µ = λ Bifurkace µ > λ Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 25

26 Nosník - tlumený d = 0.3 λ = 1 µ = 0.8 demophbuckledbeam1eqdumped není Hamiltonovský Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 26

27 Nosník tlumený, větší zatížení d = 0.3 λ = 1 µ = 3 demophbuckledbeam2eqdumped Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 27

28 Klarinet a housle podle Rayleigho Baron Rayleigh Zvuk hudebních nástrojů Foukání na klarinet Vliv parametrů Smyčec a housle Fázový portrét

29 Zimní John semestr 2006 William SRI Rayleigh, M. Šebek FEL ČVUT

30 Baron Rayleigh Rayleigh [rejli] John William, baron, , , britský fyzik; profesor na univerzitě v Cambridgi ředitel Cavendishovy laboratoře, člen a ředitel Královské společnosti v Londýně. Zabýval se optikou, akustikou a elektromagnetismem, objevil (spolu s W. Ramsayem ) argon a zákon o záření absolutně černého tělesa. Rayleighovy výzkumy přispěly k rozšíření fyzikálních znalostí o stavu hmoty. Nobelova cena v roce 1904 za výzkumy o hustotě nejdůležitějších plynů a za objev argonu. Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 30

31 Teorie zvuku hudebních nástrojů J. W. Rayleigh: The Theory of Sound: Vols. I and II. Dover (1945 edition), Rayleigh rozlišuje dva druhy hudebních nástrojů: perkusní (bicí) : bubny, kytary, piána modeluje tlumenými oscilacemi, jednoduchá dynamika vlastně jen přechod do ustáleného stavu udržované : smyčcové a dechové moduluje udržovanými oscilacemi = uzavřenými orbity Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 31

32 Foukání na klarinet podle Rayleigho Rayleigh popisuje jazýček klarinetu jako lineární oscilátor x + kx = 0 a efekt klarinetistova foukání členem αx β αβ> 3 ( x),, 0 na pravé straně (záporné tlumení pro malé Tedy celkem x αx + β x + kx = 3 ( ) 0 x a kladné pro velké). nebo x = x 1 2 x = αx βx kx Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 32

33 Klarinet - fázový portrét Fázový portrét demophclarinet Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 33

34 Klarinet Vliv parametrů na zvuk α = β = k = 1 tužší jazýček (tužší pružina, větší k) αβ=, 1, k = 3 bohatší tón tvrdší foukání (širší charakteristika tření, menší β ) α, k = 1, β = 0.5 hlasitější zvuk demophclarinet,demophclarinet2,demophclarinet3 Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 34

35 Smyčec a houslová struna Rayleigh navrhl model analogický systému hmotnost-pružina položenému na pásovém dopravníku s konstantní rychlostí struna bez smyčce ~ hmotnost-pružina použití smyčce ~ tření mezi pásem a tělesem Tedy celkem nebo stavově x mx + kx + f ( x b) = 0 = x 1 2 k 1 x 2 = x1 f( x2 b) m m Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 35

36 Smyčec a struna - fázový portrét limitní cyklus - asi špatně kreslí? demophbowingstring Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 36

37 Dravci a oběti podle Volterry Vito Volterra Dravec a oběť Omezený růst Soutěžící populace

38 Vito Volterra Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 38

39 Vito Volterra Vito Volterra, Volterra publikoval články o parciálních diferenciálních rovnicích, zejména o rovnicích cylindrických vln. Nejslavnější je jeho práce o integrálních rovnicích, zejména o té, které se dnes říká Volterrova integrální rovnice. Další info na: www-history.mcs.standrews.ac.uk/history/ Mathematicians/Volterra.html Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 39

40 Dravec a oběť Hrabě Vito Volterra: Model vývoje dvou populací v Jaderském moři: oběť x dravec y x = ax bxy y = cxy dy abcd,,,, xy>, 0 Model je velmi zjednodušený. Možno přidat např. omezený růst (o. bez d. a d. s o.) kvůli sociálním faktorům x = ( a by λ x) x y = ( cx d µ y) y abcdλµ>,,,,, 0 soutěžící druhy (každý druh jí ten druhý) x = ax bxy y = dy cxy Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 40

41 Dravec a oběť dravci další kvadranty nemají fyzikální smysl x e = (0,0);(1,1); oběti Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 41

42 Dravec a oběť s omezeným růstem dravci x e = (0,0);(1,0); (0, 1) oběti Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 42

43 Soutěžící populace druh 2 x e = (0,0);(1,1); druh1 Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 43

44 Obvod s tunelovou diodou RLC obvod s tunelovou diodou i C = dv C dt c v L = di L dt L i R = hv ( ) R 1 x 1 = ( hx ( 1) + x2) C 1 x 2 = x1+ Rx2 + u L ( ) Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 44

45 Charakteristika tunelové diody Polynomiální charakteristika i = hv ( ) R = R R + R R + R hv ( ) 17.76v v v v 83.72v R R až 3 rovnovážné stavy podle zátěže Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 45

46 Fázový portrét x=0:.01:1;plot(x,tunneldiode(x)) demophtunnel ir [ ma] vr [ V] Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 46

47 Počet rovnovážných stavů Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 47

48 Vítr podle Oscilace vynucené větrem

49 Systém s oscilacemi vynucenými větrem Sastry, s. 342 x = µ x µ x + xx x 2= µ 2x1 µ 1x2+ ( x1 + x2 ) 2 tlumení rozladění µ = 0 1 µ = 1 2 Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 49

50 Vítr případ µ = 0 1 µ = 1 2 limitní cykly (heteroklinické orbity) x e = (-2,0),(0, 0) Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 50

51 Vítr případ µ 1 = µ 2 = 1 x e = (-2.383,0.704),(0, 0) Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 51

52 Double Well oscilátor Rovnice Vliv buzení Chaos Citlivost na počáteční podmínky Poincarého řez Bifurkace

53 Double Well oscilátor magneto-elastický mechanický systém v klidu má 2 ustálené stavy periodická budící síla popsán Duffingovou rovnicí b F ω 3 x + bx x + x = F t tlumení amplituda budící síly budící frekvence cos( ω ) x = x = cos( ω ) x bx x x F t Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 53

54 DW Oscilátor - bez buzení Bez buzeni b = 0.05 F = 0 ω = 1 double well = dvojitá jáma x = 0, ± 1 e Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 54

55 DW Oscilátor = = = = = x = 0, ± 1 Bez buzeni b 0.05, F 0, ω 1 ( x1(0) 1.5, x2(0) 1) DWoscilatorMS e Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 55

56 DW Oscilátor - malé buzení Malé buzeni b = 0.25 F == 0.22 ω 1 2 stabilní limitní cykly Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 56

57 DW Oscilátor Malé buzeni b= 0.25, F = 0.22, ω = 1 ( x1(0) = 1, x2(0) = 0) DWoscilatorMS Stabilní limitní cyklus je tam ještě jeden Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 57

58 DW Oscilátor - větší buzení Větší buzeni přechodný chaos b = 0.25 F == ω 1 jako dříve 2 stabilní limitní cykly ale přechodový jev je chaotický při malé změně počát. podmínek může skončit na druhé straně hranice oblastí počátečních podmínek vedoucích k jednotlivým cyklům jsou složité: mají fraktální charakter Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 58

59 DW Oscilátor Větší buzeni b= 0.25, F = 0.245, ω = 1 ( x1(0) 1, x2(0) = 0) x 1 (0) = x 1(0) = 1 x 1 (0) = 1.01 x 1(0) = 1.02 Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 59

60 DW Oscilátor Ještě větší buzeni - chaos b = 0.25 F == 0.4 ω 1 chaotické chování Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 60

61 DW Oscilátor Ještě větší buzeni b= 0.25, F = 0.4, ω = 1 ( x1(0) = 1, x2(0) = 0) Chaos Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 61

62 DW Při dalším zvětšování buzení se chování zase mění Např. pro F = 0.5 se zdá být zase limitní cyklus obdobně při změnách dalších parametrů zkuste sami b= 0.15, F = 0.3, ω = 1 Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 62

63 DW Citlivost na počáteční podmínky Co to znamená velká citlivost na počáteční podmínky? Jak se rozpliznou blízké počáteční stavy po 0, 0.5, 1.0, 1.5, 2.0, 2.5, 3.0, 3.5 a 4.0 cyklech délky 2*pi Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 63

64 DW Citlivost na počáteční podmínky A takhle to vypadá po 25 cyklech: Poznámka: Výpočet těchto 25 cyklů při 200 krocích integrace v cyklu pro počátečních podmínek trval přes 7 hodin na rychlém počítači s 9000 mips! Poznáte, kde to začalo? ~bfraser/ Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 64

65 DW další zajímavý obrázek: extrém vs. extrém extrém v kroku i Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 65

66 DW Poincarého řezy Přidáme-li jako třetí rozměr velikost budící síly, dostaneme třírozměrný fázový portrét. Jeho dvourozměrný řez (třeba pro sílu f = Fcos(2 π n) = F ) odhalí, že to je (3-D) podivný atraktor. je překvapivé že po 2pi skáče po tak hezké křivce (srovnej obr Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 66

67 I zde jsou bifurkace b= 1, F [1.0,1.1], ω = 1 animace bifurkací Zimní semestr 2006 SRI M. Šebek FEL ČVUT 67