VYSOK A ˇ SKOLA POLYTECHNICK A JIHLAVA Katedra matematiky Matematick y semin aˇ r Petra Hor aˇ ckov a, Miroslav Han aˇ cek 2016

Transkript

1 VYSOKÁ ŠKOLA POLYTECHNICKÁ JIHLAVA Katedra matematik Matematický seminář Petra Horáčková, Miroslav Hanáček

2 Za jazkovou a věcnou správnost obsahu díla odpovídají autoři. Tet neprošel jazkovou ani redakční úpravou.. vdání Petra Horáčková, Miroslav Hanáček, ISBN

3 Obsah Vzorce 5 Graf elementárních (základních) funkcí 8. Lineární funkce Kvadratické funkce Lineárně lomené funkce Eponenciální funkce Logaritmické funkce Goniometrické funkce Další tp funkcí Graf křivek (kuželoseček) 9 Algebraické výraz 5 5 Soustav rovnic 9 Nerovnice 7 Goniometrické rovnice 8 8 Goniometrické výraz 5 9 Eponenciální rovnice 5 Logaritmické rovnice 5 Analtická geometrie 59

4 Předmluva Tato sbírka shrnuje tp středoškolských příkladů, které jsou základem ke studiu matematických předmětů na VŠPJ. Sbírka je rozdělena do jedenácti kapitol. V první kapitole jsou vpsán všechn potřebné vzorce, které jsou potřeba při řešení příkladů. Další kapitol obsahují příklad z jednotlivých partií středoškolské matematik. V úvodu je slovní popis a vzorově vřešené příklad. Za nimi následují neřešené příklad k procvičení. Samozřejmostí jsou správné výsledk všech příkladů, tto jsou pro přehlednost umístěné hned za zadáním. Sbírka bla vsázena sstémem L A TEX a pro grafické výstup blo použito programu Maple. Autoři

5 VZORCE Vzorce Mocnin a rozklad mnohočlenů (a + b) = a + ab + b (a b) = a ab + b a b = (a b)(a + b) (a + b) = a + a b + ab + b (a b) = a a b + ab b a + b = (a + b)(a ab + b ) a b = (a b)(a + ab + b ) Mocnin a odmocnin reálných čísel Vzorce Příklad a m a n = a m+n = 7 (a m ) n = a m n ( ) = a n b n = (a b) n = ( ) = a n b n = ( a a m a n = a ) n b m n 7 = ( ) 5 = 7 5 = a n = a n = = 8 a = n am = ( n a) m = a m n n a n b = n ab = = = 8 = n a n b = n a b = 5 = 5 m n a = mn a = n am = np a mp (obráceně) 5 = 5 = 5 5 Kořen kvadratické rovnice a + b + c = (základní tvar rovnice) Vzorcem, = b ± b ac a Rozkladem a( )( ) = pro kořen, platí + = b a, = c a 5

6 VZORCE Goniometrické funkce sin + cos = sin = sin cos cos = cos sin tg cotg = tg = sin = = cos cotg cotg cotg = cos sin π π π π π π π sin cos tg cotg Logaritm log a r = s a s = r log a r n = n log a r log a (r s) = log a r + log a s log a ( r s ) = log a r log a s log a a = log a = log a a n = n log r = log r ln r = log e r, (e. =, 7 - Eulerovo číslo) a log a r = r Analtická geometrie Směrový vektor s = AB = B A Normálový vektor n = (a; b) Velikost úsečk AB = (b a ) + (b a ) Přímka parametrická rovnice p : X = A + t s, t R s je směrový vektor obecná rovnice p : a + b + c =, a, b, c R n = (a; b) je normálový vektor směrnicový tvar p : = k + q, k, q R k je směrnice

7 VZORCE Kružnice ( s ) + ( s ) = r Elipsa ( s ) a + ( s ) b = Hperbola hlavní osa o ( s ) a ( s ) b = hlavní osa o ( s ) + ( s ) = a b Parabola hlavní osa o ( v ) = p( v ), p R hlavní osa o ( v ) = p( v ), p R 7

8 GRAFY ELEMENTÁRNÍCH (ZÁKLADNÍCH) FUNKCÍ Graf elementárních (základních) funkcí. Lineární funkce Předpis: = a + b, kde a, b R. Grafem lineární funkce je přímka, tzn. stačí nalézt dva různé bod přímk a t spojit. Vhodnými bod mohou být průsečík přímk se souřadnými osami. Řešené příklad:. Nakreslete graf funkce f : =. Grafem této funkce je přímka, proto nám stačí určit souřadnice dvou libovolných (různých) bodů. Můžeme si pomoci např. tabulkou, kterou známe už ze základní škol. Za volíme libovolné číslo, dopočítáme ze vzorce =. (lib.) Dostáváme ted souřadnice dvou bodů [; ], [; ]. (Pokud je -ová souřadnice nulová mluvíme o průsečíku s osou a bod značíme P [; ].) Graf:. Nakreslete graf funkce f : = + a určete průsečík se souřadnými osami. Vpočítáme souřadnice dvou libovolných (různých) bodů. Za volíme libovolné číslo, dopočítáme ze vzorce = +. (lib.) [; ] = P, [; ] Chceme-li vpočítat souřadnice průsečíku s osou, volíme = a -ovou souřadnici dopočítáme ze zadané rovnice. P : = + = / = P [; ] 8

9 . Kvadratické funkce GRAFY ELEMENTÁRNÍCH (ZÁKLADNÍCH) FUNKCÍ Graf:. Kvadratické funkce Předpis: = a + b + c, kde a, b, c R. Grafem kvadratické funkce je parabola, nejdůležitějším bodem parabol je vrchol V [v ; v ]. První souřadnici vrcholu můžeme spočítat ze vzorce v = b, druhou souřadnici poté dopočítat a z předpisu funkce. Další možnost, jak získat souřadnice vrcholu, je z tzv. vrcholové rovnice = a( v ) + v, kterou z obecné rovnice získáme tzv. METODOU ÚPRAVY NA ČTVEREC. Poté, co získáme vrchol, dopočítáme souřadnice dalšího/dalších bodů (nejlépe v blízkosti vrcholu), které nám určí rozevřenost parabol. Řešené příklad:. Nakreslete graf funkce f : = + 5 a určete souřadnice průsečíků se souřadnými osami. Obecnou rovnici převedeme na vrcholovou. = + 5 = ( ) ±?... číslo je polovina z čísla (včetně znaménka) = ( )... za závorku doplníme takové číslo, ab bl výsledek po umocnění a sečtení +5 Souřadnice vrcholu jsou ted V [; ]. Dále můžeme dopočítat souřadnice dalších bodů (nejlépe v blízkosti vrcholu) a průsečík s osou ( = ). (lib.) 5 Další bod, kterými parabola prochází, jsou: [; ], [; ], P [; 5]. Chceme-li vpočítat souřadnice průsečíku s osou, volíme = a -ovou souřadnici dopočítáme ze zadané rovnice. P : = + 5 = ( )( 5) =, = 5 P [; ], P [5; ] 9

10 . Kvadratické funkce GRAFY ELEMENTÁRNÍCH (ZÁKLADNÍCH) FUNKCÍ Graf:. Nakreslete graf funkce f : = +. Obecnou rovnici převedeme va vrcholovou. = + = ( ) + = [ ( ) ] + = ( ) + = ( ) + V [; ] Dále můžeme dopočítat souřadnice dalších bodů (nejlépe v blízkosti vrcholu) a průsečík s osou ( = ). (lib.) Další bod, kterými parabola prochází, jsou: [; ], [; ], P [; ]. Graf:

11 . Lineárně lomené funkce GRAFY ELEMENTÁRNÍCH (ZÁKLADNÍCH) FUNKCÍ. Lineárně lomené funkce Předpis: = a+b c+d =, kde a, b, c, d R nebo k s + s, kde k, s, s R. Grafem lineárně lomené funkce je hperbola, nejdůležitějším bodem hperbol je střed S [s ; s ]. V grafu je nutné vkreslit (čárkovaně) i asmptot hperbol (přímk, ke kterým se graf funkce přibližuje). Řešené příklad:. Nakreslete graf funkce f : = a určete souřadnice průsečíků se souřadnými osami. + Z předpisu funkce = můžeme určit souřadnice středu hperbol S [ ; ]. + Dále můžeme dopočítat souřadnice dalších bodů (nejlépe v blízkosti středu). (lib.) 5 Další bod, kterými hperbola prochází, jsou: [ ; 5], P [; ]. Chceme-li vpočítat souřadnice průsečíku s osou, volíme = a -ovou souřadnici dopočítáme ze zadané rovnice. P : = + = + / ( + ) + = = / : = P [ ; ] Graf (nesmíme zapomenout středem hperbol vést asmptot svislou a vodorovnou přímku):. Nakreslete graf funkce f : = +. -ovou souřadnici středu hperbol určíme stejně, jako bchom řešili podmínk řešitelnosti, příp. definiční obor. Střed hperbol je vlastně bod, který vjímáme z definičního oboru. s = -ovou souřadnici můžeme získat ze zadání = + tak, že vdělíme lineární člen

12 . Eponenciální funkce GRAFY ELEMENTÁRNÍCH (ZÁKLADNÍCH) FUNKCÍ čitatele a jmenovatele zlomku. s = = S [; ] Dále můžeme dopočítat souřadnice dalších bodů. (lib.) =, =, =, Pokud nám některé hodnot vchází příliš vsoké/nízké, můžeme dopočítat souřadnice i jiných vhodných bodů =, =, =, =, =, Další bod, kterými hperbola prochází, jsou např.: P [;, ], [ ;, ], [;, ]. Graf (nesmíme zapomenout středem hperbol vést asmptot svislou a vodorovnou přímku):. Eponenciální funkce Předpis základního tvaru: = a, kde a R +. Grafem eponenciální funkce je eponenciála. Ve vsokoškolské matematice nejčastěji používáme přirozenou eponenciálu = e, kde e je Eulerovo číslo a jeho hodnota je e. =, 7. Pro konstrukci základního tvaru této funkce můžeme použít např. tabulku, ve které si pro vhodné libovolné dopočítáme. (lib.) = e (lib.) = e e = e = e = e = e e. e. e.. =, =, =, 7 = 7, Graf ted (přibližně) prochází bod [ ;, ], [ ;, ], [; ], [;, 7], [; 7, ] a přibližuje se k ose, která je asmptotou eponenciál. Graf funkce = e :

13 . Eponenciální funkce GRAFY ELEMENTÁRNÍCH (ZÁKLADNÍCH) FUNKCÍ = e^ 8 Řešené příklad:. Nakreslete graf funkce f : = e +. Graf funkce f : = e + můžeme sestrojit pomocí posunu základní funkce = e o jednotk na ose (dvě vlevo) a o jednotk na ose (tři dolů). Posuneme-li původní základní souřadnice o a, dostaneme následující souřadnice. (lib.) = e. =,. =, 7... =, = =, původní asmptota = asmptota = Graf ted prochází (přibližně) bod [ ;, ], [ ; ], [ ;, ] a přibližuje se k přímce =. Graf (nesmíme zapomenout nakreslit asmptotu):. Nakreslete graf funkce f : = e +. Předpis funkce f : = e + můžeme přepsat na = e +. Dále postupujeme stejně jako v předchozím příkladu. Základní funkci = e ve směru os neposunujeme (posun o jednotek), ve směru os posuneme o + jednotk (dvě nahoru). Posuneme-li původní základní souřadnice o, dostaneme následující souřadnice. (lib.) = e. =,. =, 7 (+)... + =, = = 5, 7 původní asmptota = asmptota = + Graf ted prochází (přibližně) bod [ ;, ], [; ], [; 5, 7] a přibližuje se k přímce =. Graf (nesmíme zapomenout nakreslit asmptotu):

14 .5 Logaritmické funkce GRAFY ELEMENTÁRNÍCH (ZÁKLADNÍCH) FUNKCÍ.5 Logaritmické funkce Předpis základního tvaru: = log a, kde a R +, a, >. Grafem logaritmické funkce je logaritmická křivka. Ve vsokoškolské matematice nejčastěji používáme přirozený logaritmus = ln, základ přirozeného logaritmu je Eulerovo číslo e (jeho hodnota je e. =, 7). Pro konstrukci základního tvaru této funkce můžeme použít např. tabulku, ve které si pro vhodné libovolné dopočítáme. (Logaritmovat lze pouze kladná čísla.) (lib.) e e e e e.... =, =, =, 7 = 7, = ln (lib.) e e e e.... =, =, =, 7 = 7, = ln (Srovnáme-li tabulku hodnot přirozeného logaritmu s hodnotami přirozené eponenciál, vidíme, že tto funkce jsou vzájemně inverzní záměna -ové a -ové souřadnice.) Přirozený logaritmus ted (přibližně) prochází bod [, ; ], [, ; ], [; ], [, 7; ], [7, ; ] a přibližuje se k ose, která je jeho svislou asmptotou. Graf funkce = ln : = ln 8

15 .5 Logaritmické funkce GRAFY ELEMENTÁRNÍCH (ZÁKLADNÍCH) FUNKCÍ Řešené příklad:. Nakreslete graf funkce f : = ln ( + ). Graf funkce f : = ln (+) můžeme sestrojit pomocí posunu základní funkce = ln o jednotk na ose (jedna vlevo) a o jednotk na ose (tři dolů). Posuneme-li původní základní souřadnice o a, dostaneme následující souřadnice. (lib.) e e e.. =, =, 7 = ln. =,. =, 7 původní asmptota = asmptota = Graf ted prochází (přibližně) bod [, ; ], [; ], [, 7; ] a přibližuje se k přímce =. Graf (nesmíme zapomenout nakreslit asmptotu):. Nakreslete graf funkce f : = log ( + ). Graf funkce f : = log (+) můžeme sestrojit pomocí posunu základní funkce = log o jednotk na ose (jedna vlevo) a o jednotk na ose (tři dolů). Posuneme-li původní základní souřadnice o a, dostaneme následující souřadnice. (lib.), 5 = ln, 5 původní asmptota = asmptota = Graf ted prochází bod [, 5; ], [; ], [; ] a přibližuje se k přímce =. Graf (nesmíme zapomenout nakreslit asmptotu): 5

16 . Goniometrické funkce GRAFY ELEMENTÁRNÍCH (ZÁKLADNÍCH) FUNKCÍ. Goniometrické funkce Předpis: = sin, = cos, = tg, = cotg. Grafem funkce = sin je sinusoida. Pro ostatní funkce názv sice eistují (kosinusoida, tangentoida, kotangentoida), ale běžně se nepoužívají. Graf jednotlivých funkcí můžeme sestrojit na základě znalosti hodnot základních úhlů a znalosti period dané funkce (sin, cos mají periodu π, tg, cotg mají periodu π). Základní graf goniometrických funkcí: = sin = sin = cos = cos = tg = cotg = tg = cotg Řešené příklad:. Nakreslete graf funkce f : = cos ( π ). Graf funkce f : = cos ( ) π můžeme sestrojit pomocí posunu základní funkce = cos o + π jednotek na ose ( π vpravo) a o jednotk na ose (dvě dolů). Posuneme-li původní základní souřadnice (z tabulk v kapitole VZORCE) o π a, dostaneme následující souřadnice. π π π π π π π π 5 π = cos Graf zadané funkce zakreslíme do vodorovného pásu ;, prochází bod [ π ; ], [π; ], [ π; ], [π; ], [ 5 π; ]. Pro nakreslení dalších bodů můžeme vužít periodicitu funkce (pravidelné opakování, p = π). Graf: + π

17 .7 Další tp funkcí GRAFY ELEMENTÁRNÍCH (ZÁKLADNÍCH) FUNKCÍ. Nakreslete graf funkce f : = tg ( + π ). Graf funkce f : = tg ( ) + π + můžeme sestrojit pomocí posunu základní funkce = tg o π jednotek na ose ( π vlevo) a o jednotek na ose (žádný posun). Posuneme-li ted původní základní souřadnice o π, dostaneme následující souřadnice. π π π π = tg π π π π π + Graf zadané funkce prochází bod [ π; ], [ π; ], [; ], asmptot jsou = π, = π. Pro nakreslení dalších bodů (částí grafu) můžeme vužít periodicitu funkce (pravidelné opakování, p = π). Graf (nesmíme zapomenout nakreslit asmptot):.7 Další tp funkcí Mezi základní funkce můžeme přiřadit i absolutní hodnotu (odstraňuje záporné znaménko), což grafick lze vjádřit jako otočení grafu podle os. Další operaci, kterou můžeme použít na základní funkce, je změna znaménka v argumentu funkce, např. = ln( ), která při tvorbě grafu otáčí původní funkci ( = ln ) podle os. Tto funkce dále můžeme různě posunovat ve směru os i os. Řešené příklad:. Nakreslete graf funkce = + +. Uvnitř absolutní hodnot je kvadratická funkce a grafem je ted parabola. Nejdřív musíme určit souřadnice vrcholu a poté zpracovat absolutní hodnotu. = + + = (+) +? = (+) Souřadnice vrcholu jsou V [ ; ]. Dopočítáme souřadnice dalších bodů (v blízkosti vrcholu). (lib.) 7

18 .7 Další tp funkcí GRAFY ELEMENTÁRNÍCH (ZÁKLADNÍCH) FUNKCÍ Další bod, kterými parabola prochází, jsou: P [ ; ], P [ ; ], P [; ]. Nakreslíme graf a vše, co je pood osou otočíme nad osu. Graf:. Nakreslete graf funkce =. Uvnitř absolutní hodnot je lomená funkce a grafem je hperbola. Nejdřív musíme určit souřadnice středu a poté zpracovat absolutní hodnotu. = souřadnice středu jsou S [; ]. Dopočítáme souřadnice dalších bodů (v blízkosti středu). (lib.) Další bod, kterými parabola prochází, jsou: P [; ], [; ]. Pokud bchom dopočítali průsečík s osou (dosadíme = a vřešíme rovnici), je P [ ; ] Nakreslíme graf a vše, co je pood osou otočíme nad osu. Graf: 8

19 .7 Další tp funkcí GRAFY ELEMENTÁRNÍCH (ZÁKLADNÍCH) FUNKCÍ. Nakreslete graf funkce = cotg( ). Nejdříve nakreslíme graf funkce cotg a potom ho otočíme podle os. Graf:. Nakreslete graf funkce = e. Nejdříve nakreslíme graf funkce e, otočíme ho podle os a posuneme o dvě jednotk dolů ( ). Graf: Neřešené příklad:. Nakreslete následující funkce a určete průsečík se souřadnými osami. (a) = (b) = (c) = (d) = (e) = (f) = + (g) = (h) =, (i) = 5 (j*) = + (k*) = (l*) = + +. Nakreslete následující funkce a určete průsečík se souřadnými osami. (a) = (b) = (c) = (d) = (e) = (f) = + (g) = ( + ) (h) = ( ) (i) = ( + ) (j) = ( ) + (k) = ( + ) (l) = ( + ). Nakreslete následující funkce a určete průsečík se souřadnými osami. (a) = + (b) = (c) = + + (d) = + (e) = + (f) = + (g) = (h) = (i) = + (j) = + (k*) = + (l*) = + 9

20 .7 Další tp funkcí GRAFY ELEMENTÁRNÍCH (ZÁKLADNÍCH) FUNKCÍ. Nakreslete následující funkce a určete průsečík se souřadnými osami. (a) = (b) = (c) = 5 (d) = 5 (e) = + (f) = + (g) = (h) = + (i) = (j) = + (k) = + (l) = 5. Nakreslete následující funkce a určete průsečík se souřadnými osami. (a) = + (b) = (c) = + (d) = (g) = + (h) = + (e) = 5 (f) = + (i) = (j) = (k) = 8+ (l) = Nakreslete následující funkce a určete průsečík se souřadnými osami. (a) = e (b) = e (c) = e (d) = e (e) = e + (f) = e + (g) = e (h) = e + (i) = + (j) = ( + e) (k) = e + (l) = e + 7. Nakreslete následující funkce: (a) = ln ( ) (b) = ln (c) = ln (d) = ln ( ) (e) = ln ( + ) (f) = ln ( ) + (g) = ln (h) = ln ( + ) (i) = log ( ) + (j) = ln ( ) (k) = log ( ) + (l) = log ( + ) 8. Nakreslete následující funkce, určete nejmenší periodu: (a) = sin( π ) (b) = cos (c) = sin + (d) = cos( + π) (e) = sin( ) (f) = cos ( π) (g) = sin( π) (h) = tg( + π ) (i) = cotg (j) = sin ( π) (k) = cos ( + 5π) (l) = sin( + π) 9. Nakreslete následující funkce: (a) = (b) = + (c) = ( ) (d) = (e) = + (f) = + (g) = (h) = e + (i) = ln( ) + (j) = sin (k) = sin ( ) π (l) = tg. Nakreslete následující funkce: (a) = (b) = ( ) (c) = + (d) = e (e) = e (f) = e (g) = ln( + ) (h) = ln( + ) (i) = ln( ) (j) = sin( ) (k) = tg ( ) (l) = tg ( ) π

21 .7 Další tp funkcí GRAFY ELEMENTÁRNÍCH (ZÁKLADNÍCH) FUNKCÍ Výsledk: a) b) c) = = - =. d) e) f) = / = - = - + g) h) i) = =, - = j) k) l) = (+) / (+) = (^ - - ) / (+) = (^ - ) / ( - ) a) b) c).

22 .7 Další tp funkcí GRAFY ELEMENTÁRNÍCH (ZÁKLADNÍCH) FUNKCÍ d) e) f) g) h) i) 5 j) k) l) a) b) c). d) e) f)

23 .7 Další tp funkcí GRAFY ELEMENTÁRNÍCH (ZÁKLADNÍCH) FUNKCÍ g) h) i) j) k) l) a) b) c). d) e) f) g) h) i)

24 .7 Další tp funkcí GRAFY ELEMENTÁRNÍCH (ZÁKLADNÍCH) FUNKCÍ j) k) l) 5a) 5b) 5c) 5. 5d) 5e) 5f) 5g) 5h) 5i) 5j) 5k) 5l)

25 .7 Další tp funkcí GRAFY ELEMENTÁRNÍCH (ZÁKLADNÍCH) FUNKCÍ a) b) c). d) e) f) g) h) i) j) k) l) a) b) c) 7. 5

26 .7 Další tp funkcí GRAFY ELEMENTÁRNÍCH (ZÁKLADNÍCH) FUNKCÍ d) e) f) g) h) i) j) k) l) 8a) p = π 8b) p = π 8c) p = π d) p = π 8e) p = π 8f) p = π

27 .7 Další tp funkcí GRAFY ELEMENTÁRNÍCH (ZÁKLADNÍCH) FUNKCÍ 8g) p = π 8h) p = π 8i) p = π j) p = π 8k) p = π 8l) p = π 9a) 9b) 9c) 9. 9d) 9e) 9f) 9g) 9h) 9i) 7

28 .7 Další tp funkcí GRAFY ELEMENTÁRNÍCH (ZÁKLADNÍCH) FUNKCÍ 9j) 9k) 9l) a) b) c). d) e) f) g) h) i) j) k) l) 8

29 GRAFY KŘIVEK (KUŽELOSEČEK) Graf křivek (kuželoseček) V této kapitole řešíme pouze graf kuželoseček nebo jejich částí. Kuželosečkou (tj. rovinným řezem kuželové ploch) je kružnice, elipsa, parabola nebo hperbola. Speciální případ, kd je řezem jediná přímka, různoběžné přímk nebo bod, nerozebíráme. Student musí znát klasifikaci kuželoseček a jejich středové (kružnice, elipsa, hperbola, resp. vrcholové (parabola) rovnice. Též musí umět tzv. úpravu na čtverec. Řešené příklad:. Nakreslete graf funkce = +. Tp kuželosečk můžeme zjistit z její vrcholové resp. středové rovnice a to tak, že předpis funkce umocníme (zbavíme se odmocnin). = + + = + / ( + ) = + Jedná se o parabolu s osou o a vrcholem V [ ; ]. Protože parabola je zadaná jako funkce (pomocí odmocnin) a tato odmocnina je kladná, = + +, jedná se o horní část parabol. Lze si i udělat tabulku s dalšími několika bod parabol. P [ ; ], P [;, ]. =, Graf:. Nakreslete graf funkce = +. 9 Tp kuželosečk můžeme zjistit z její vrcholové resp. středové rovnice a to tak, že předpis funkce umocníme (zbavíme se odmocnin). = + 9 = / 9 ( ) = ( ) = 9 + ( ) = 9

30 GRAFY KŘIVEK (KUŽELOSEČEK) Jedná se o elipsu se středem S [; ], délkou hlavní poloos a = a délkou vedlejší poloos b =. Protože elipsa je zadaná jako funkce (pomocí odmocnin) a tato odmocnina je záporná, = Graf: 9 +, jedná se o dolní část elips.. (Složitější) Nakreslete graf křivk =. Tp kuželosečk zjistíme z její středové rovnice. Tu získáme úpravou na čtverec = = ( + ) [ ] = ( + ) [( ) 9] = ( + ) ( ) + = ( + ) ( ) + = ( + ) ( ) = / : ( ) ( + ) ( ) + = Jedná se o hperbolu s hlavní osou o, středem S [ ; ], délkami a =, b =. Graf:

31 GRAFY KŘIVEK (KUŽELOSEČEK) Neřešené příklad:. Načrtněte graf funkce. (a) = + (b) = + (c) = + (d) = 5 + (e) = + (f) = (g) = (h) = (i) = + +. Nakreslete graf funkce. (a) = (b) = (c) = + (d) = (e) = (f) =. Nakreslete graf funkce. (a) = (b) = + 9 (c) = 9 (d) = (e) = (f) = + (g) = 9 (h) = (i) = 9 9. Nakreslete graf funkce. (a) = (b) = 9 (c) = (d) = (e) = + (f) = + 5. Načrtněte křivku, která má rovnici (určete střed, popř. vrchol kuželosečk): (a) = (b) = (c) 9 + = (d) 9 = (e) 9 + = (f) 5 = (g) = (h) = (i) =. Rozhodněte, o jaký tp kuželosečk k se jedná (určete střed, popř. vrchol kuželosečk). (a) k : = (b) k : = [parabola] [parabola] (c) k : ( ) + = [elipsa] (d) k : ( ) = [hperbola] (e) k : + = [hperbola]] (f) k : = + (g) k : + = [parabola] [parabola]

32 GRAFY KŘIVEK (KUŽELOSEČEK) Výsledk:. a) b) c) a 5 8 b c d) e) f) d e f g) h) i) 5 5 g h i. a) b) c) 8 a b c d) e) f) d 5 e 8 f

33 GRAFY KŘIVEK (KUŽELOSEČEK) a) b) c) a b c d) e) f) d e f g) h) i) g g h a) b) c) a b c. d) e) f) d e f

34 GRAFY KŘIVEK (KUŽELOSEČEK) 5a) 5b) 5c) 5a 5b 5c d) 5e) 5f) 5d 5e 5f g) 5h) 5i) 5g 5h 5i

35 ALGEBRAICKÉ VÝRAZY Algebraické výraz Ve většině případů se úprava výrazů řeší sečtením zlomků, rozložením na součin a krácením zlomků. U podmínek řešitelnosti se vchází z předpokladů, že ve jmenovateli zlomku nesmí být nula (výraz ), u složitějších výrazů se dále pod odmocninou může vsktnout pouze kladné číslo nebo nula (výraz ), v logaritmech číslo kladné (výraz > ). V drtivé většině středoškolských příkladů podmínk řešitelnosti určujeme z kombinace těchto tří postupů. V ostatních případech samozřejmě též vcházíme z definičních oborů příslušných funkcí. Řešené příklad:. Zjednodušte složený zlomek a udejte podmínk řešitelnosti +. + Postupně příslušné zlomk ve jmenovatelích sčítáme. + = + = = ++ = 7+ = Podmínk řešitelnosti: jmenovatele v průběhu celého výpočtu musí být nenulové / : 7 / : 7 7 Výraz je řešitelný pro,, 7.. ( Zjednodušte výraz a udejte podmínk řešitelnosti ) : + Ve jmenovatelích se snažíme příslušné výraz maimálně rozložit na součin a poté převést na společný jmenovatel. ( + + ) ( ) + + : = : = ( ) ( ) (+) ( ) ( ) : = (+)(+)+ (+)( ) 5 : = ( ) ( )(+) (+) ( ) ( )(+) ( )(+) (+)(+)+ (+)( ) ( )(+) = +++ ( + ) = = ( )(+) = = 5 Podmínk řešitelnosti: všechn jmenovatele musí být nenulové. + Výraz je řešitelný pro ±.. Zjednodušte výraz a udejte podmínk řešitelnosti 5. Všechn odmocnin převedeme na mocnin a sečteme (mocnin z čitatelů) resp. odečteme (mocnin ze jmenovatelů). = ( ) = = +5 = 5+ = 5 = 5 5

36 ALGEBRAICKÉ VÝRAZY Podmínk řešitelnosti: (jmenovatel), (sudé odmocnin). Výraz je řešitelný pro >. Neřešené příklad:. Zkrat te zlomk a udejte podmínk řešitelnosti: (a) a ab a +ab (b) + (c) a ab b ab (d) a ab ab b (e) [ a b ; a, a b] a+b [ + ; ] [ a ; a b, b ] b [ a ; a b, b ] b a +ab [ ; a, a b, b ] a b+ab b (f) + z z z z (g) [ ; + z,, z ] z ac bc [ ; a, a ±b, c ] 5a c ab c 5a(a+b) (h) [ ;,, ] ( ). Zjednodušte a udejte podmínk řešitelnosti: (a) a b a +ab+b (b) a b a b [ a b a+b ; a b] [ a +ab+b ; a ±b] a+b (c) a b a +b [a b ; a b ] (d) a b a b [ (a+b)(a +b ) a +ab+b ; a b] (e) (a+b) c a+b+c [a + b c; a b c]. Sečtěte zlomk: (a) + + ( ) [ ; ±] (b) [ ; ±] + (c) a +a a [ ;, ±a] (d) a a a a a a [ ; a, a ] a. Upravte: (a) + + [ ;,, ] (b) a b a+b (a+b) a b (c) a+a + [ ; a ±b] + a +a+a [ ( ) ; a, ±] (d) ( ) ( z ) ( z ) ( ) [ ;,, z ] 5. Zjednodušte: (a) ( ) [;, ±, ] (b) ( ) m [ m ; m, m n, n ] m n m n n (c) ( )( + ) [; ±, ]

37 ALGEBRAICKÉ VÝRAZY (d) ( a+ a a [ ; a, a ±] a (e) ( )( + [ ; ±, ] (f) ( a+ a a a+ [ ; a ±] (g) ( )( + [ ; ±] (h) ( + a + a )( a ) a [ ;, a]. Vpočtěte: (a) p q : q p p+q q+p [ ; p ±q] (b) k k : k k [ k; k, k ] (c) m n m +mp (d) (+) : m n m+p (e) a+b : a+b a b 5a 5b [ m+n ; m, m n, m p] m : [ + ( ) ] [ ; ±, ] [ 5 9 ; a ±b] am (f) an : am amn+an [ ; a, m ±n] m +mn+n m+n m n 7. Upravte: (a) ( + ) : + [ + ; ±] (b) (a b ) : (a + b a+b ) (c) ( b + a +ab a+b [a b ; a b] a ) : ( b + a) [ ; a, a ±b, b ] b +ab a b a+b (d) ( + ) : ( + ) [ + ;, ] (e) ( a + a + 8a ) : a [; a ±, a ] a+ a a a ( ) [( ) ] (f) + + : + [ ;,, ] + 8. Zjednodušte: (a) (b) + + (c) + (d) + (e) 5+ + (f) + 9. Zjednodušte: (a) + b a b a [,, ] [ (+5) 5+,, 5, 5 ] [ 5 5,, 5, 5 ] [ +,,, ] + [,,, ] [ + 5,,, 5 ] [ a+b ; a, a b] a b (b) + [ ;, ] (c) a a 7 [ + a;, a]

38 ALGEBRAICKÉ VÝRAZY (d) (e) a a a (f) (g) (h) (i) a a+b + b a b a a b b a+b a+b a b (a+b) a b (j) (k) a +b +a b b + a. Zjednodušte: + b a +b a b a [; ] [ ; a, ±a, ] a [; a ±b] [ ; ±, ] [ + ; ±, ] [; a ±b] [ + 7+ ;, 7, ] [a + b ; a, a ±b, b ] (a) 5 [ 5, > ] (b) 5 (c) [, > ] [ 5, > ] (d) 5 5 (e) 5 5 [ 5 8, > ] [, > ] (f) 5 7 [, > ] 8

39 5 SOUSTAVY ROVNIC 5 Soustav rovnic Jednoduché soustav lineárních rovnic většinou řešíme sčítací nebo dosazovací metodou (soustav třech a více rovnic můžeme přehledněji řešit také pomocí matic). Soustav rovnic, z nichž alespoň jedna není lineární, často řešíme dosazovací metodou. Speciální kategorií jsou soustav rovnic, které se řeší zavedením vhodné substituce (. příklad). Pro počet řešení soustav LINEÁRNÍCH rovnic musíme vědět, že mohou nastat pouze tři případ: soustava lineárních rovnic má jediné řešení, žádné řešení, nebo nekonečně mnoho řešení. Jiné případ NEMOHOU nastat. Pokud má soustava rovnic nekonečně mnoho řešení, můžeme je napsat jako uspořádanou dvojici (trojici,... ), která však závisí na nějakém parametru. Soustav rovnic obvkle řešíme elementárními úpravami (sčítání, odčítání, násobení, dělení číslem nebo nenulovým výrazem), proto není nutné dělat zkoušku. (Přesto b si každý student měl výsledek ověřit.) U rovnic, v nichž se vsktne zlomek, odmocnina, logaritmus,..., je zkouška nutná. (Můžeme též uvést podmínk řešitelnosti a výsledek potvrdit nebo vloučit.) Řešené příklad:. Řešte soustavu rovnic. V případě, že má soustava rovnic nekonečně mnoho řešení určete tři libovolná konkrétní řešení. = ( ) = Nejdříve si soustavu rovnic upravíme do základního tvaru a poté ji vřešíme, v našem případě je řešená sčítací metodou. = / ( )( ) = / ( ) ( ) ( ) = ( ) = ( ) = = + = + = / ( ) sčítací metoda + = = + = = nekonečně mnoho řešení Vzhledem k výrazům ve jmenovatelích je vhodné určit podmínk řešitelnosti:,. Soustava rovnic má ted nekonečně mnoho řešení, které můžeme vjádřit z jedné z rovnic. + = = 9

40 5 SOUSTAVY ROVNIC Řešením je uspořádaná dvojice [; ] = [ ; ], R, vzhledem k podmínkám musíme dodat [; ] [; ]. Dále máme určit tři libovolná konkrétní řešení, které dostaneme tak, že za volíme libovolné hodnot. V našem případě např. =, =, = 5: [ ; ], [ 8; ], [; 5].. Řešte následující soustavu rovnic. + = + + =. Tuto soustavu rovnic řešíme dosazovací metodou, kde si z první rovnice vjádříme jednu neznámou např. a dosadíme do druhé rovnice. + = = = + ( + ) ( + ) + = + ( + + ) + = = + 8 = / : + 8 = /můžeme řešit rozkladem ( )( ) = = = = + = + = 5 = Řešení soustav rovnic jsou dvě a můžeme je zapsat jako množinu uspořádaných dvojic [; ] {[; ], [; 5]} Neřešené příklad:. Řešte soustavu rovnic: (a) + = = 5 [[9; 7]] (b) + = 7 = [[; ]] (c) 5 = = (d) 5 = = (e) 7 + = = [nekonečně mnoho řešení tvaru [; ], R] 5 5 [nekonečně mnoho řešení tvaru [; 7 ], R] (f) ( + )( ) = ( 5)( + ) ( + )( ) = ( )( + ) [[8; ]] (g) ( + 5)( ) = ( + )( ) ( )( + 7) = ( )( + ) [[7; 5]] [ ]

41 5 SOUSTAVY ROVNIC. Řešte soustavu rovnic: (a) = = (b) (c) (d) + = 9 5 (e) + = 5 = 7 9+ = = [[ ; ]] = [[7; ]] = + = [[; ]] [[; ]] [[; ]] (f) ( ) : ( + ) = : ( ) : ( + ) = : [[5; ]]. Řešte soustavu rovnic: (a) (b) + = + = + + = +. Řešte soustavu rovnic: (a) = + = 9 [[ ; ]] + = [[; ]] [[; ], [; ]] (b) + = = 7 [[ 8; ], [; ]] (c) + = = [[ ; ], [; ]] 7 7 (d) + = 5 + = [[; 8]] (e) + = + = [[; ], [ 8 5 ; 5 ]] (f) 5 + = 5 + = 9 [[; 7], [ 9 ; ]] (g) 5 = + 5 = (h) = 5 = [ [ ; ], [; ]] 5. Řešte soustavu rovnic: (a) = + = [[ ; ], [ ; ]] (b) + = = [[±; ±5], [±5; ±]] [ ]

42 5 SOUSTAVY ROVNIC (c) = = [[±; ±]] (d) = 5 = [[±; ± ]] (e) 5 = + = 588 [[; ±], [ ; ±]]

43 NEROVNICE Nerovnice Pokud nerovnici násobíme záporným číslem, mění se všechna znaménka, včetně porovnávacího (>, <,, ). Máme-li v nerovnici zlomek, jehož jmenovatelem je výraz, je problematické nerovnici tímto jmenovatelem vnásobit. Výraz pro některé hodnot může být kladný, pro jiné záporný, proto je nen9 jednoduché výrazem násobit. (Samozřejmě to jde, pokud rozebereme možnosti, kd je násobený výraz kladný a kd záporný. Je to však mnohem pracnější.) Jednodušším způsobem je vše převést na jednu stranu (abchom porovnávali s nulou), určit si tzv. nulové bod nerovnice (hodnot, které vnulují čitatel a jmenovatel). T nám množinu všech reálných čísel rozdělí na jednotlivé interval, na nichž má výraz stejné znaménko. Zda je na intervalu výraz kladný nebo záporný zjistíme tím, že dosadíme libovolné číslo z příslušného intervalu (kromě nulových bodů). Ověříme nerovnost a podmínk řešitelnosti pro nulové bod. Výsledek napíšeme jako sjednocení všech intervalů, pro které je nerovnost splněna. Pokud není psáno jinak, nerovnice řešíme v množině reálných čísel R. Kvadratické nerovnice (. příklad) řešíme podobným způsobem. Vše převedeme na jednu stranu a výraz porovnáváme s nulou. Pomocí rozkladu na součin (rozklad na součin kořenových činitelů) určíme nulové bod. Dále postupujeme stejně: reálnou osu si pomocí nulových bodů rozdělíme na jednotlivé interval, zjistíme si na nich znaménko výrazu a sjednotíme všechna řešení.. a 5. příklad je spojením předchozího. Tzn. pokud je v nerovnici ve jmenovateli zlomku výraz, vše převedeme na jednu stranu, sečteme resp. odečteme a vtvoříme jediný zlomek. Určíme nulové bod, jimi rozdělíme reálnou osu, určíme znaménko výrazu na jednotlivých intervalech a do výsledku napíšeme sjednocení dílčích řešení.. příklad je věnovaný definičním obrům zadaných funkcí, které můžeme řešit právě pomocí nerovnic. V poslední řadě musíme znát rozdíl mezi uzavřenými a otevřenými interval, tzn. kd krajní hodnota patří do intervalu (uzavřený interval, hranatá závorka : resp. ), nebo krajní hodnota do intervalu nepatří (otevřený interval, kulatá závorka : ( resp. ) ). Smbolick můžeme krajní hodnot zakreslovat do reálné os pomocí standardizovaných značek plných a prázdných puntíků.

44 NEROVNICE Řešené příklad:. Na zadané množině řešte nerovnici. + + Je-li R, N, Z. Nerovnici řešíme elementárními úpravami jako např. vnásobení číslem (zbavení se zlomků), přičtení/odečtení čísla/výrazu (převedení na levou/pravou stranu). + + / ( + ) ( ) / : ( ) Má-li být R, výsledek zapíšeme: ; ). Má-li být N, vbereme z výsledného řešení taková přirozená čísla, která odpovídají výsledku. V našem příkladu výsledek můžeme zapsat: {; ; ;...} nebo také N. Má-li být Z, vbereme z výsledného řešení taková celá záporná čísla, která odpovídají výsledku. V našem příkladu výsledek můžeme zapsat: nebo také {}.. V množině R řešte nerovnici Vše převedeme na jednu stranu, zlomk sečteme/odečteme, čitatel i jmenovatel výsledného zlomku rozložíme na součin ( )( ) ( ) + ( )( ) ( )( ) ( )( ) + 5 ( )( ) ( + 5)( ) ( )( ) Nulové bod nerovnice: = 5, =, =, =. Naneseme je na reálnou osu, zjistíme znaménko intervalu a vbereme správný výsledek. Na reálné ose je plnými a prázdnými kolečk vznačeno, které z bodů (ne)budou součástí výsledku.

45 NEROVNICE 5; (; ) (. Určete definiční obor funkce f : = log + 5 ). Argument logaritmu ( vnitřek logaritmu) musí být kladný, proto musíme vřešit následující nerovnici (podmínku). + 5 > + 5 > + > Neřešené příklad:. Na dané množině vřešte nerovnice. ( ; ) (; ) (a) +, R [ ; )] (b) 7 8 +, R 8 [ 5; )] (c) ( ) + ( + ) < +, R [( ; )] [ ] (d) 5 8 +, N [{; ; ; }] (e) + 5 <, Z 5 [{ 7; ; 5;...}] (f) + >, Z 7 (g) , 8 Z+ [Z + ] (h) +, R + [R + ] (i) + 5 <, R [( 7; )]. V množině R řešte nerovnici. (a) [ ; )] (b) [( ; (; )] (c) [ ] (d) 5 5 [( ; ( ; )] 7 5 (e) 5 + [( ; ) 8; )] 5

46 NEROVNICE (f) + > [( ; ) (; )] (g) 5 < [( ; )] + 7 (h) + < (i) [ ( ; 7 < [( ; ) ( 5; )] V množině R řešte nerovnici. (a) 5 + ) ] [( ; ; )] (b) [ ; 7 ] (c) + + (d) + < [(; )] (e) + (f) + 7 (g) + 5 > (h) + 5 > (i) > (j) + + (k) ( ) + ( + ) < + ( ). V množině R řešte nerovnici. (a) [ ] [R] [ ] [( ; ) ( ; )] [( ; 5 ) ( 7 ; )] (+) ( ) [( ; ) { } ( ; (; )] ( )(5+) 5 (b) ( )( ) < [( ; ) ( ; ) (; )] (c) ( 5)(5 ) +7+ [( ; {5}] (d) +9 ( )( ) (e) [( ; ) ( ; ) (; )] < [(; )] (f) + + < [( ; )] (g) ++ > (h) > 5. V množině R řešte nerovnici. (a) + (b) < [R] [ ] [ ] [( ; ) ( ; ) (; )] [( ; ) (; )] [ ] [(; ) (; )] (c) + > + [( ; ) ( ; )] (d) + > (e) + 5 [R\{}] [( ; (; ) ; )] (f) + < [( ; ) ( ; )] 7 (g) < [( 5; ) (; )] ( )( ) (h) [(; (; )]

47 NEROVNICE (i) > [( ; ) (; )] (j) < ( ) +. Určete definiční obor následujících funkcí. (a) f : = (b) f : = (c) f : = 5 + (d) f : = + + (e) f : = + 5 (f) f : = 7+ [( ; ) (; )] [R\{; }] [ ; 5)] [( ; ; )] [R] [( ; (; )] [( ; ) ; )] (g) f : = log + [( ; ) (; )] 7. Určete definiční obor následujících funkcí. (a) f : = + (b) f : = ln ( ) + [( ; ) ; (; )] [(; )] (c) f : = + ( ) [( ; ) (; ) (; )] (d) f : = ln ( ) 7 [(7; )] (e) f : = log (9 ) + + [( ; )\{; }] (f) f : = + + [ ; ] ++5 (g) f : = +5 [( 7; ; 7) ] 9 (h) f : = log ( + ) [(; 7)] (i) f : = [ 5; + ) ] (j) f : = +5 ln(9 ) [ 5; 8) (8; 9)] 7

48 7 GONIOMETRICKÉ ROVNICE 7 Goniometrické rovnice Řešení goniometrických rovnic můžeme vjádřit v radiánech (oblouková míra) nebo ve stupních (úhlová míra). V tomto tetu je vše uvedeno v obloukové míře pomocí násobků Ludolfova čísla π. Goniometrické funkce jsou periodické, proto řešení goniometrických rovnic je nekonečně mnoho (v obecných případech) a k základnímu výsledku se přičítá celočíselný násobek period. (Uvědomme si, že i po přičtení celočíselného násobku period s výraz můžeme provádět elementární úprav.) Neměli bchom zapomenout, že goniometrické rovnice mohou mít dvě nezávislá řešení. (Pozor při výpočtech na kalkulačce, která uvede pouze jedno!) Příklad. a. je na procvičení základních úloh, které rovnou plnou z tabulk hodnot goniometrických funkcí pro základní úhl. Hodnot můžeme též včíst z jednotkové kružnice nebo grafu. Ve. a. příkladu je potřeba rovnici upravit podle vztahů goniometrických výrazů, ab se v rovnici vsktoval jeden druh goniometrické funkce (např. pouze sin ). Rovnici dál řešíme zavedením vhodné substituce a převedením zejména na kvadratickou rovnici. Nakonec se vrátíme k substituci a původní proměnné. 5. příklad se může řešit pomocí goniometrické funkce tg (resp. cotg ) tak, že rovnici vdělíme výrazem cos (resp. sin ). Musíme si ovšem dát pozor, abchom nedělili nulovým výrazem. Řešené příklad:. Řešte v R rovnici sin( π) =. Vjádříme si sin. Potom pomocí jednotkové kružnice, tabulk hodnot nebo grafu funkce sin, zjistíme řešení a vjádříme si. sin( π) = / : sin( π) = π = π + kπ = 5π + kπ = 5π + kπ po úpravě = π + kπ, k Z. Řešte v R rovnici cos ( + π ) =. Vjádříme si cos. Potom pomocí jednotkové kružnice, tabulk hodnot nebo grafu funkce cos, zjistíme řešení a vjádříme si. cos ( + ) π = / : cos ( + π ) = + π = π + kπ / π = π + kπ / = π + kπ + π = 5π + kπ / π = 7π + kπ / = 7π + kπ, k Z 8

49 7 GONIOMETRICKÉ ROVNICE. Řešte v R rovnici cos + = sin. Rovnici upravíme tak, ab se v ní kromě konstant vsktoval pouze výraz cos, poté zavedeme substituci a vřešíme kvadratickou rovnici. Nakonec se vrátíme k původní proměnné. cos + = ( cos ) cos + = cos cos + cos + = / subs.: cos = t t + t + = t, = ± = ± t = cos =, = ± π + kπ = { + = = t = cos = = π + kπ, k Z Neřešené příklad:. Řešte v R rovnice: (a) cos( + π) = [ π + kπ, k Z] (b) sin( + π ) = [π + kπ, k Z] (c) sin( + π) = [k π, k Z] (d) cos( + π) = [ π + kπ; π + kπ, k Z] (e) cos( + 5 π) = [ 5 8 π + k π ; 5 π + k π, k Z] (f) 5 cos( + π) = 5 [ π + kπ, k Z] 5. Řešte v R rovnice: (a) tg( π ) = [ π + k π, k Z] (b) cotg( π) = [ π + k π, k Z] (c) tg( + π ) = [ π + k π, k Z] (d) cotg(π ) = [ π + kπ, k Z] (e) tg( + π) = [ π + kπ, k Z] (f) tg ( + π ) = [π + kπ, k Z] (g) cotg( π ) = [ π + kπ, k Z]. Řešte v R rovnice: (a) sin sin = [kπ; π + kπ; 5 π + kπ, k Z] (b) sin + sin = [ π + kπ, k Z] (c) sin sin = [ ] (d) cos ( cos + ) = [ π + kπ; 5 π + kπ; π + kπ, k Z] (e) tg + tg = [ π + kπ; π + kπ, k Z] (f) tg + tg tg = [ π + kπ; π + kπ, k Z] 9

50 7 GONIOMETRICKÉ ROVNICE (g) cotg = cotg [ π + kπ; π + k π, k Z]. Řešte v R rovnice: (a) sin 7 cos = [± π + kπ, k Z] (b) sin = cos [ π + kπ; 5 π + kπ, k Z] (c) sin = cos [± π + kπ, k Z] (d) sin + cos + = [π + kπ] (e) cos cos sin = [± π + kπ, k Z] (f) cos + sin = [ π + kπ; 7π + kπ; π + kπ, k Z] (g) cos cos sin = [ 7π + kπ; π + kπ, k Z] 5. Řešte v R rovnice: (a) sin = cos [ π (b) sin + cos = [ π + kπ, k Z] + kπ, k Z] 5

51 8 GONIOMETRICKÉ VÝRAZY 8 Goniometrické výraz Goniometrické výraz zjednodušujeme pomocí pravidel pro řešení algebraických výrazů (mocnění, rozklad na součin,... ) a dále vztah mezi goniometrickými funkcemi. Pokud máme goniometrický výraz ve tvaru zlomku, zpravidla se ho snažíme zkrátit. U podmínek řešitelnosti se, stejně jako u algebraických výrazů, vchází z předpokladů, že ve jmenovateli zlomku nesmí být nula, výraz pod odmocninou musí být větší nebo roven nule. Mohou nastat i další případ, ale t jsou naprosto ojedinělé. Pokud porovnáváme s nulou, řešíme vlastně jednoduché goniometrické rovnice respektive nerovnice. Nesmíme zapomenout na všechna řešení, tzn. přičíst celočíselný násobek period, který většinou označujeme k. Ve výsledku b se samozřejmě mělo objevit k Z. Řešené příklad:. Upravte výraz sin + cos. Vužijeme vztah mezi goniometrickými funkcemi a vhodné vzorečk. sin + cos = sin cos + cos sin = sin cos cos + sin + cos sin = sin cos = = sin cos cos = tg Podmínk řešitelnosti: Jmenovatelé musí být nenulové. cos π + kπ, k Z Dále bchom si mohli vjádřit podmínku (vzhledem k tomu, že jsme ve výrazu krátili pouze cos, musí vjít stejně jako předchozí podmínk řešitelnosti). + cos cos π + kπ / : π + kπ, k Z. Upravte výraz sin cos + cos. Vužijeme vztah mezi goniometrickými funkcemi a vhodné vzorečk. sin cos + cos = (sin cos )(sin + cos ) + cos = = sin cos + cos = sin Neřešené příklad:. Zjednodušte výraz a udejte podmínk řešitelnosti: (a) sin cos + cos [cos ] (b) ( + sin )( sin ) [cos ] (c) sin + cos tg [ sin ; π + kπ, k Z] (d) sin cos (tg + cotg ) [; k π, k Z] (e) (sin + cos ) + (sin cos ) [] 5

52 8 GONIOMETRICKÉ VÝRAZY. Upravte: (a) cos sin (b) sin + sin (c) sin [cos ] [ sin ] [sin cos ]. Zjednodušte: (a) cos sin + cos [ sin ] (b) cos [tg ; π + kπ, k Z] (c) sin cos [cotg ; kπ, k Z] (d) (e) (f) cos [ sin ; π + kπ, k Z] +sin sin π [ cos π; + k, k Z] +cos π sin + +cos (g) cotg + (h) sin [ ; kπ, k Z] cos sin sin [ ; kπ, k Z]] +cos sin sin cos [ ( cos sin tg ); k π, k Z] (i) cos sin [tg ; π + k π, k Z]. Upravte: (a) +tg + +cotg [; k π, k Z] (b) tg +tg (c) (d) (e) cos sin [ ; π + kπ, π + kπ, k Z] cos +sin cos [cos sin ; π + kπ, k Z] sin +cos sin cos [ cos ; π + kπ, π + kπ, k Z] tg sin [cos sin ; π + kπ, k Z] cos sin (f) sin [ cos sin ; π + kπ, k Z] sin cos (g) (h) (i) cos +sin 5. Upravte: (a) (b) (c) (d) (e) cos sin [ ; π + kπ, k Z] cos +sin +sin [; π + kπ, k Z] (sin +cos ) tg +sin cos [tg ; π + kπ, π + kπ, k Z] cos +cotg cotg [ + sin ; k π, k Z] tg tg +cotg [sin ; k π, k Z] cotg +cotg [sin ; kπ, k Z] cos +sin [tg ; π + kπ, π + kπ, k Z] +cos +sin sin sin [tg ; k π, k Z] sin +sin (f) [cos ; π + k π, π + kπ, k Z] + tg tg (g) sin +cos [tg ; π + kπ, π + kπ, k Z] cos sin cos +cos (h) cos sin + sin [tg ; k π, k Z] +cos 5

53 9 EXPONENCIÁLNÍ ROVNICE 9 Eponenciální rovnice Eponenciální rovnice si můžeme rozdělit na tři základní tp:. tp na levé i pravé straně rovnice máme pouze jeden eponenciální člen, nebo na tento tvar můžeme rovnici převést (tzn. vše mezi sebou násobíme nebo dělíme). (Příklad.,.) Rovnice řešíme tak, že jednotlivé výraz převedeme, ab měl stejný základ. Platí věta, že pokud se rovnají základ eponenciálních výrazů, rovnají se i mocnin. Jejich porovnáním eponenciální rovnici převedeme na nějakou jednodušší (např. lineární, kvadratickou,... ).. tp V rovnici je více členů, které mezi sebou sčítáme nebo odčítáme. Všechn výraz s mocninou mají stejný základ, nebo jdou převést na výraz se stejným základem. (Příklad.,., 5.) Zvolíme vhodnou substituci. Tím eponenciální rovnici převedeme na nějakou jednodušší (lineární, kvadratickou,... ) a vřešíme ji. Nakonec se vrátíme k původní proměnné a příklad dořešíme jako rovnici. nebo. tpu.. a. příklad můžeme řešit i vtknutím výrazu s mocninou, jeho osamostatněním a převedením na. tp (resp. na. tp).. tp eponenciální výraz nemají stejný základ. Rovnici je potřeba zlogaritmovat. Řešené příklad:. Řešte v R rovnici 7 7 = 8 5. Všechn základ eponenciálních výrazů lze převést na mocninu čísla. ( ) = ( 5) + ( ) = ( 5) + ( ) = ( 5) = = 7. Řešte v R rovnici + 7 = + +. Výraz s eponent převedeme na levou stranu, číslo 7 na pravou. Ze všech tří členů na levé straně vtkneme společný výraz a osamostatníme. Nakonec porovnáme mocnin. + + = 7 = 7 ( ) = 7 ( 9 ) = 7 ( 8 ) = 7 = 7 = 5

54 9 EXPONENCIÁLNÍ ROVNICE. Řešte v R rovnici 8 + = 9. Mocnin si upravíme, zavedeme substituci a eponenciální rovnici převedeme na kvadratickou. Nakonec se vrátíme k substituci a původní proměnné. 8 + = /substituce = t 8 t + = t 9 9 t + 8t + = / ( 9) 9 t 8t 9 = (t 9)(t + ) = t = 9 t = = 9 = = nemá řešení Jediným řešením je =. Neřešené příklad:. Řešte v R rovnice: (a) (9+) = 5 (b) 5 = [ ; 7] (c) 7 = 8 5 (d) 5 =, ( ) 5 (e) =, 5 8 (f) + = ( 8 ) +5 [ 7 ; ] (g) + = + (h) 5 7 = 5 []. Řešte v R rovnice: [] [ 7 ] [ ] [] [5] (a) ( 7 )+7 = ( 7 )7 (b) ( 5 8 ) + = ( 5 5 ) (c) ( 5) 9 = ( 9 ) 5 (d) ( ) ( 9 8 ) = 7 (e) ( 9 ) ( 7 8 ) = (f) ( ) ( ) = 9 (g) ( 9 5 ) ( 5 7 ) = log 8 log (h) ( 9 ) ( 7 8 ) = log log 8 [ ] [ ; ] [ ] [] [] [ ± ] [ ] []. Řešte v R rovnice: (a) + = 9 [5] (b) + + = 8 [] (c) = [] 5

55 9 EXPONENCIÁLNÍ ROVNICE (d) = (e) + + = [ ] (f) = [] (g) + = []. Řešte v R rovnice: (a) + = 5 [] (b) + + = 8 [9] (c) = [] (d) 7, 5 = + + [, 5] (e), 5, + +, 8, =, 7 [] + (f) 7 8 = 9 (g) = 9 5. Řešte v R rovnice: (a) + + = 7 [±] (b) + = 5 [ ; ] (c) + = [] (d) = (e) = 8 [] (f) = 7 [] (g) + 5 = [±] 5 5 (h) 5 5 = [ ] (i) 8 = [] [] [5] [ ] [] 55

56 LOGARITMICKÉ ROVNICE Logaritmické rovnice Logaritmické rovnice můžeme rozdělit na tři základní tp:. tp v rovnici je pouze jeden logaritmický výraz na jedné straně a číslo resp. výraz na druhé, nebo rovnici takto můžeme upravit (. příklad). Rovnice se řeší přímým dosazením do vztahu log a r = s a s = r. Logaritmické rovnice se tak převede na lineární, kvadratickou, eponenciální,..... tp v rovnici je více logaritmických výrazů nebo čísel. Logaritm mají stejný základ a jsou lineární (. 5. příklad). Logaritmické výraz upravíme pomocí vzorců pro součet, rozdíl logaritmů nebo násobení logaritmu konstantou. Na levé i pravé straně dostaneme po úpravách jediný logaritmický výraz. Platí věta, že pokud se rovnají logaritm stejných základů, rovnají se i argument: log a (výraz ) = log a (výraz ) výraz = výraz. Rovnici ted odlogaritmujeme, tím ji zjednodušíme např. na lineární, kvadratickou,..... tp v rovnici jsou logaritmické výraz stejných základů, logaritm jsou všších mocnin (. příklad). Zavedeme substituci a logaritmickou rovnici řešíme nejčastěji jako kvadratickou. Poté se vrátíme k substituci a původní proměnné. U logaritmických rovnic musíme dbát na podmínk řešitelnosti nebo provést zkoušku. Tzv. odlogaritmování rovnice není elementární úprava, proto se doporučuje VŽDY zkouškou ověřit, zda pro daný výsledek je rovnice splněna. Řešené příklad:. Řešte v R rovnici log 5 ( + 9) + log 5 ( ) = + log 5 ( + ). Levou stranu upravíme podle vztahu pro součet logaritmů, na pravé straně převedeme číslo na logaritmus o základu 5 a součet logaritmů také vjádříme jako logaritmus součinu. Po odlogaritmování řešíme kvadratickou rovnici. log 5 [( + 9)( )] = log log 5 ( + ) log 5 (8 + 7) = log 5 [5( + )] = / : + + =, = ± = ± = { + = = Zkouška: L = log 5 [ ( ) + 9] + log 5 [ ( )] = = log log 5 = + log 5 ( 5) = = + log 5 + log 5 5 = + log 5 P = + log 5 ( ) = + log 5 L = P L = log 5 [ ( ) + 9] + log 5[ ( )] = log 5( 5 ) +... nelze řešit Jediným řešením rovnice je ted =. 5

57 LOGARITMICKÉ ROVNICE. Řešte v R rovnici log + = log. Nejdřív se zbavíme zlomku, potom zavedeme substituci a vřešíme kvadratickou rovnici. log + = log / log log + log = / subs.: log = t t + t = t, = ± { 5 = ± 5 +5 = = 5 = t = log = t = log = = = = =, Zkouška: L = log + = + = P = log = = L = log, + = + = P = log, = = Řešením rovnice je {, ; }. L = P L = P Neřešené příklad:. Řešte v R rovnice: (a) log( + ) = [] (b) log 5 [( + ) + 9] = [ ; ] (c) log ( ) = [ 5; ] (d) ln( ) = [ + e ] (e) ln[( ) + ] = (f) log, = (g) log 7 = [9] (h) log,5 8 = + 5 (i) ln = ( + ) + ( 7) [ 8; ] (j) log = [ + ] (k) log 5 ( + 5) = (l) log ( ) = [ + ]. Řešte v R rovnice: (a) log( + ) log( ) = log [ 9 8 ] 57 [ ] [ ] [ ] [ 5]

58 LOGARITMICKÉ ROVNICE (b) log( + ) + log( ) log( ) = log 8 [; 5] (c) log( ) log( ) = (d) log( ) log( ) = log (e) log(+) = log( + ) [] (f) log( ) log( ) = log( ) []. Řešte v R rovnice: (a) log ( + ) + log ( + ) = [] (b) log ( + ) log ( ) = log 8 [5] (c) log ( ) + log ( ) = [; + ] (d) log ( + ) + log (7 ) = [ 5, 5; ] 7 (e) log + log = [ 7] + (f) log ( + 5) = log ( ) + [ ] 5 5. Řešte v R rovnice: (a) log + log = 5 [] (b) log + log = [, ] (c) log + + log( + ) = [98] (d) log + log( ) = 5 [] (e) log + log = 7 [] (f) log log + = [ (g) log 5 + log 5 log 5 = [5] (h) log log + log = [ 5 7] (i) ln ln ln = [e ] 5. Řešte v R rovnice: (a) log( 9) + log = [] (b) log 5 + log + = log [] (c) log( 9) + log = [] (d) log + + log = log + (e) log 5 + log 7 = + log, []. Řešte v R rovnice: (a) log log = [, ; ] (b) log + 8 log + = [ ; ] (c) log (8 log ) = 5 [ ; 5 ] (d) log + log = [] (e) + log = log [ ; 5 ] (f) + 5 = +log log [ ; ] (g) log = log [] [ ] [ ] ] [ ] 58

59 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Analtická geometrie Tato kapitola je zredukovaná pouze na vjádření přímek v rovině. Je potřeba znát pojm obecná rovnice přímk, parametrická rovnice přímk, směrnicový tvar rovnice přímk, směrový a normálový vektor, směrnice přímk, střed úsečk a délk úsečk. Většina příkladů je na určení některého tpu rovnice přímk. Poslední příklad (příklad. určení průsečíku přímek) se řeší jako soustava lineárních rovnic. Průsečík přímek v rovině může být bud jediný (přímk jsou různoběžné), žádný (rovnoběžné přímk), nebo jich může být nekonečně mnoho (přímk jsou totožné). Řešené příklad:. Určete směrnici, parametrickou rovnici a obecnou rovnici přímk, která prochází počátkem soustav souřadnic a je kolmá k přímce q : + 5 =. Výslednou přímku si označíme p. Z obecné rovnice přímk q dostaneme její normálový vektor. Platí n q = s p = (; ). Můžeme napsat parametrickou rovnici přímk p : X = A + t s, t R. p : = t, = t, t R. Obecnou rovnici a + b + c = ; a, b, c R si můžeme vjádřit např. z parametrické tak, že se zbavíme parametru a místo dvou rovnic budeme mít jenom jednu: = t / () = t / ( ) = t = t = p : = Směrnici můžeme určit např. ze směrnicového tvaru rovnice přímk = k + q; k, q R, kde směrnice je k. + 5 = / 5 = 5 / : ( ) = + 5 Směrnice: k =. 59

60 ANALYTICKÁ GEOMETRIE. Určete průsečík přímek p, q: p : = t, = 5t, t R, q : = + 5s, = + s, s R. Průsečík přímek p, q označíme P. Protože je to společný bod obou přímek, jeho souřadnice můžeme vpočítat z následující soustav rovnic. p = q p = q t = + 5s / 5 5t = + s / 5 t = 5 + 5s t = + s 5 = + 9s s = 9 Všlo nám jedno řešení, tzn. přímk mají společný jeden bod a jsou tudíž různoběžné. Souřadnice průsečíku P dostaneme po dosazení s do parametrické rovnice přímk q. P = = 9 9 P = = P = [ ; ] Neřešené příklad:. Napište obecnou rovnici přímk r, která prochází bodem M[ ; 5] a je rovnoběžná s přímkou: (a) a : = [ = ] (b) b : + + = [ = ] (c) c : = t, = t, t R [ + 7 = ] (d) d : = 8 t, = 5t, t R [5 + 5 = ] (e) e : =, = t, t R [ + = ] (f) f : = [ + = ] (g) g : = + [ + 7 = ]. Napište obecnou rovnici přímk k, která je kolmá na přímku s a prochází bodem A, jestliže (a) A[ ; ], s : = [ + = ] (b) A[; ], s : + + = [ = ] (c) A[; ], s : = + t, = + 5t, t R [ + 5 = ] (d) A[; ], s : = t, = 5, t R [ = ] (e) A[; 5], s : + = [ = ] (f) A[ ; 5], s : = + 5 [ + = ]. Napište rovnici přímk p, která prochází počátkem souřadné soustav a je kolmá k přímce q : =. [ = ]

61 ANALYTICKÁ GEOMETRIE. Určete směrnici a napište parametrickou rovnici přímk p, která prochází počátkem souřadné soustav a je kolmá k přímce q : =. [ ; = t, = t, t R] 5. Určete směrnici přímk p, která prochází počátkem souřadné soustav a je kolmá k přímce q : + 8 =. [ ]. Určete směrnici přímk p, která prochází bod A[; ] a B[; ]. Dále určete zbývající souřadnice bodů X[; ] a Y [; ] ležících na této přímce. [, X[; ],Y [; ]] 7. Napište parametrickou, obecnou a směrnicový tvar rovnice přímk, která prochází bod A[; ] a B[; ]. [ = t, = + 5t, t R; 5 + = ; = 5 + ] 8. Napište parametrickou, obecnou a směrnicový tvar rovnice přímk p, která prochází bodem M[; ] a je kolmá k přímce q : + =. [ = + t, = + t, t R; = ; = ] 9. Napište parametrické vjádření přímk, která prochází bodem A[; ] a je rovnoběžná: (a) s osou [ = + t, =, t R] (b) s osou [ =, = + t, t R] (c) s osou I. a III. kvadrantu [ = + t, = + t, t R]. Napište obecnou rovnici, parametrické vjádření a směrnicový tvar os úsečk AB, jestliže A[5; ], B[ ; 8]. [ + = ; = + t, = + t, t R; = + ]. Napište obecnou rovnici přímk procházející bod A[; ], B[ ; ] a vpočítejte délku úsečk AB. [ + = ; 5]. Určete průsečík přímek (a) p : 5 + = ; q : 5 + = [[; ]] (b) p : = ; q : = [[8; ]] (c) p : + 8 = ; q : 5 = [[; 5]] (d) p : + 7 = ; q : = + t, = 5 + t, t R [[ ; ]] (e) p : = t, = 5t, t R; q : 7 = [[; ]] (f) p : = ; q : = + t, = + t, t R [p q, tzn. [ + t; + t], t R] (g) p : = + t, = 5 t; q : = s, = + s, t, s R [[; 7]] (h) p : = + t, = t; q : =, = s, t, s R [[; ]] (i) p : = t, = 7; q : =, = s, t, s R [[; 7]] (j) p : = 5 ; q : = t, = + 5t, t R [[; ]] (k) p : = 8 t, = + t, t R; q : = + [[ ; ]] (l) p : = +, q : + = [p q, tzn.[ ]]