Stochastická dominance a optimalita portfolií

Transkript

1 Dopravní fakulta ČVUT 2010

2 Obsah 1 Stochastická dominance 2 Zavedení pojmů Dosavadní výsledky 3 4 Portfolia optimální vzhledem k exponenciálním užitkovým funkcím Předpoklady Konvexita množiny optimálních portfolií Množiny optimálních a striktně přijatelných portfolií 5

3 Obsah 1 Stochastická dominance 2 Zavedení pojmů Dosavadní výsledky 3 4 Portfolia optimální vzhledem k exponenciálním užitkovým funkcím Předpoklady Konvexita množiny optimálních portfolií Množiny optimálních a striktně přijatelných portfolií 5

4 Obsah 1 Stochastická dominance 2 Zavedení pojmů Dosavadní výsledky 3 4 Portfolia optimální vzhledem k exponenciálním užitkovým funkcím Předpoklady Konvexita množiny optimálních portfolií Množiny optimálních a striktně přijatelných portfolií 5

5 Obsah 1 Stochastická dominance 2 Zavedení pojmů Dosavadní výsledky 3 4 Portfolia optimální vzhledem k exponenciálním užitkovým funkcím Předpoklady Konvexita množiny optimálních portfolií Množiny optimálních a striktně přijatelných portfolií 5

6 Obsah 1 Stochastická dominance 2 Zavedení pojmů Dosavadní výsledky 3 4 Portfolia optimální vzhledem k exponenciálním užitkovým funkcím Předpoklady Konvexita množiny optimálních portfolií Množiny optimálních a striktně přijatelných portfolií 5

7 Množiny užitkových funkcí Koncept stochastické dominance pracuje s užitkovými funkcemi jednotlivých investorů. Množina všech přípustných užitkových funkcí: U = {u : R R, u(x) je neklesající na R}. Budeme se zabývat těmito podmnožinami U: U N = {u U C N : ( 1) k u (k) (x) 0, x R, k = 1,..., N} U = N N N=1 U N U E = {u U : u(x) = ae kx + b, a < 0, k < 0, b R}

8 Množiny užitkových funkcí Koncept stochastické dominance pracuje s užitkovými funkcemi jednotlivých investorů. Množina všech přípustných užitkových funkcí: U = {u : R R, u(x) je neklesající na R}. Budeme se zabývat těmito podmnožinami U: U N = {u U C N : ( 1) k u (k) (x) 0, x R, k = 1,..., N} U = N N N=1 U N U E = {u U : u(x) = ae kx + b, a < 0, k < 0, b R}

9 Množiny užitkových funkcí Koncept stochastické dominance pracuje s užitkovými funkcemi jednotlivých investorů. Množina všech přípustných užitkových funkcí: U = {u : R R, u(x) je neklesající na R}. Budeme se zabývat těmito podmnožinami U: U N = {u U C N : ( 1) k u (k) (x) 0, x R, k = 1,..., N} U = N N N=1 U N U E = {u U : u(x) = ae kx + b, a < 0, k < 0, b R}

10 Předpoklady S čím dále pracujeme Možné finanční výstupy investičních příležitostí (aktiv) jsou reprezentovány náhodnými veličinami. Aktiva tak lze s náhodnými veličinami ztotožnit. Množinu všech přípustných aktiv značíme X. Investoři maximalizují svůj užitek.

11 Předpoklady S čím dále pracujeme Možné finanční výstupy investičních příležitostí (aktiv) jsou reprezentovány náhodnými veličinami. Aktiva tak lze s náhodnými veličinami ztotožnit. Množinu všech přípustných aktiv značíme X. Investoři maximalizují svůj užitek.

12 Stochastická dominance Definice: Bud U U. Řekneme, že náhodná veličina X (stochasticky) dominuje náhodnou veličinu Y vzhledem k množině U, jestliže Eu(X) Eu(Y ) u U, je-li nerovnost definována. Zapisujeme X U Y. Množinu U nazýváme generátorem stochastické dominance U. Platí-li navíc pro nějakou funkci u 0 U ostrá nerovnost, řekneme, že náhodná veličina X striktně (stochasticky) dominuje náhodnou veličinu Y vzhledem k množině U. Značíme X U Y.

13 Stochastická dominance Definice: Bud U U. Řekneme, že náhodná veličina X (stochasticky) dominuje náhodnou veličinu Y vzhledem k množině U, jestliže Eu(X) Eu(Y ) u U, je-li nerovnost definována. Zapisujeme X U Y. Množinu U nazýváme generátorem stochastické dominance U. Platí-li navíc pro nějakou funkci u 0 U ostrá nerovnost, řekneme, že náhodná veličina X striktně (stochasticky) dominuje náhodnou veličinu Y vzhledem k množině U. Značíme X U Y.

14 Obsah Zavedení pojmů Dosavadní výsledky 1 Stochastická dominance 2 Zavedení pojmů Dosavadní výsledky 3 4 Portfolia optimální vzhledem k exponenciálním užitkovým funkcím Předpoklady Konvexita množiny optimálních portfolií Množiny optimálních a striktně přijatelných portfolií 5

15 Zavedení pojmů Dosavadní výsledky Několik pojmů..aneb proč se v práci slovo eficientní příliš nevyskytuje Neexistuje jednotná definice eficientního aktiva. Budeme pracovat se třemi specifikacemi aktiv, která někteří označují jako eficienci: Přijatelnost Striktní přijatelnost Optimalita

16 Zavedení pojmů Dosavadní výsledky Několik pojmů..aneb proč se v práci slovo eficientní příliš nevyskytuje Neexistuje jednotná definice eficientního aktiva. Budeme pracovat se třemi specifikacemi aktiv, která někteří označují jako eficienci: Přijatelnost Striktní přijatelnost Optimalita

17 Zavedení pojmů Dosavadní výsledky Několik pojmů..aneb proč se v práci slovo eficientní příliš nevyskytuje Neexistuje jednotná definice eficientního aktiva. Budeme pracovat se třemi specifikacemi aktiv, která někteří označují jako eficienci: Přijatelnost Striktní přijatelnost Optimalita

18 Definice Přijatelnost, striktní přijatelnost a optimalita Zavedení pojmů Dosavadní výsledky Definice: Mějme množinu přípustných aktiv X a generátor stochastické dominance U U. Řekneme, že aktivum X X je vzhledem k U nepřijatelné, jestliže Y X Y U X. přijatelné, jestliže není nepřijatelné. striktně nepřijatelné, jestliže Y X u U, u rostoucí na R Eu(Y ) > Eu(X). striktně přijatelné, jestliže není striktně nepřijatelné. optimální, jestliže u U, u rostoucí na R Eu(X) Eu(Y ) Y X.

19 Definice Přijatelnost, striktní přijatelnost a optimalita Zavedení pojmů Dosavadní výsledky Definice: Mějme množinu přípustných aktiv X a generátor stochastické dominance U U. Řekneme, že aktivum X X je vzhledem k U nepřijatelné, jestliže Y X Y U X. přijatelné, jestliže není nepřijatelné. striktně nepřijatelné, jestliže Y X u U, u rostoucí na R Eu(Y ) > Eu(X). striktně přijatelné, jestliže není striktně nepřijatelné. optimální, jestliže u U, u rostoucí na R Eu(X) Eu(Y ) Y X.

20 Definice Přijatelnost, striktní přijatelnost a optimalita Zavedení pojmů Dosavadní výsledky Definice: Mějme množinu přípustných aktiv X a generátor stochastické dominance U U. Řekneme, že aktivum X X je vzhledem k U nepřijatelné, jestliže Y X Y U X. přijatelné, jestliže není nepřijatelné. striktně nepřijatelné, jestliže Y X u U, u rostoucí na R Eu(Y ) > Eu(X). striktně přijatelné, jestliže není striktně nepřijatelné. optimální, jestliže u U, u rostoucí na R Eu(X) Eu(Y ) Y X.

21 Definice Přijatelnost, striktní přijatelnost a optimalita Zavedení pojmů Dosavadní výsledky Definice: Mějme množinu přípustných aktiv X a generátor stochastické dominance U U. Řekneme, že aktivum X X je vzhledem k U nepřijatelné, jestliže Y X Y U X. přijatelné, jestliže není nepřijatelné. striktně nepřijatelné, jestliže Y X u U, u rostoucí na R Eu(Y ) > Eu(X). striktně přijatelné, jestliže není striktně nepřijatelné. optimální, jestliže u U, u rostoucí na R Eu(X) Eu(Y ) Y X.

22 Jednoduché důsledky..zjevné přímo z definic Zavedení pojmů Dosavadní výsledky Optimální aktivum je striktně přijatelné. Bud U generátor stochastické dominance složený jen z rostoucích funkcí. Aktivum, které je vzhledem k U přijatelné, je vzhledem k U také striktně přijatelné. Opačné implikace obecně neplatí.

23 Jednoduché důsledky..zjevné přímo z definic Zavedení pojmů Dosavadní výsledky Optimální aktivum je striktně přijatelné. Bud U generátor stochastické dominance složený jen z rostoucích funkcí. Aktivum, které je vzhledem k U přijatelné, je vzhledem k U také striktně přijatelné. Opačné implikace obecně neplatí.

24 Jednoduché důsledky..zjevné přímo z definic Zavedení pojmů Dosavadní výsledky Optimální aktivum je striktně přijatelné. Bud U generátor stochastické dominance složený jen z rostoucích funkcí. Aktivum, které je vzhledem k U přijatelné, je vzhledem k U také striktně přijatelné. Opačné implikace obecně neplatí.

25 Scénářový přístup Dále jej budeme předpokládat Zavedení pojmů Dosavadní výsledky Definice: Množiny přípustných portfolií pro matici výnosů X n m s lineárně nezávislými sloupci. Povolené krátké prodeje: Θ = {θ R m : 1 θ = 1}. Krátké prodeje omezené koeficientem a (, 0]: Θ a = {θ = (θ 1,..., θ m ) R m : 1 θ = 1, θ i a, i = 1,..., m}. Definice: Θ množina příp. portfolií, V = { } Xθ : θ Θ. Za množinu X přípustných aktiv generovanou maticí X považujeme množinu náhodných veličin X splňujících n k=1 v V P(X = v i ) = I v k =v i. n X je scénářové aktivum reprezentované vektorem v.

26 Scénářový přístup Dále jej budeme předpokládat Zavedení pojmů Dosavadní výsledky Definice: Množiny přípustných portfolií pro matici výnosů X n m s lineárně nezávislými sloupci. Povolené krátké prodeje: Θ = {θ R m : 1 θ = 1}. Krátké prodeje omezené koeficientem a (, 0]: Θ a = {θ = (θ 1,..., θ m ) R m : 1 θ = 1, θ i a, i = 1,..., m}. Definice: Θ množina příp. portfolií, V = { } Xθ : θ Θ. Za množinu X přípustných aktiv generovanou maticí X považujeme množinu náhodných veličin X splňujících n k=1 v V P(X = v i ) = I v k =v i. n X je scénářové aktivum reprezentované vektorem v.

27 Interpretace a poznámky Zavedení pojmů Dosavadní výsledky Volně řečeno: Sloupce matice X odpovídají výnosům m lineárně nezávislých aktiv, řádky reprezentují n stejně pravděpodobných scénářů. Dále připouštíme aktiva vzniklá kombinacemi sloupců podle koeficientů z množiny přípustných portfolií. Pojmy jako (striktní) stoch. dominance a všechny uvedené druhy eficience definujeme pro přípustné portfolio θ pomocí aktiva reprezentovaného vektorem Xθ. Pro aktivum X reprezentované vektorem Xθ je Eu(X) = 1 n n u((xθ) i ). i=1

28 Obsah Zavedení pojmů Dosavadní výsledky 1 Stochastická dominance 2 Zavedení pojmů Dosavadní výsledky 3 4 Portfolia optimální vzhledem k exponenciálním užitkovým funkcím Předpoklady Konvexita množiny optimálních portfolií Množiny optimálních a striktně přijatelných portfolií 5

29 Zavedení pojmů Dosavadní výsledky Tvar množin přijatelných, striktně přijatelných a optimálních portfolií Souvislost Množiny portfolií striktně přijatelných a optimálních vzhledem ke stochastické dominanci prvního řádu, při zakázaných krátkých prodejích, obecně nejsou souvislé. (Kopa, Post, 2009) V diplomové práci analyzuji souvislost množin portfolií optimálních vzhledem k obloukově souvislým generátorům tvořeným striktně konkávními funkcemi, při omezených krátkých prodejích.

30 Zavedení pojmů Dosavadní výsledky Tvar množin přijatelných, striktně přijatelných a optimálních portfolií Souvislost Množiny portfolií striktně přijatelných a optimálních vzhledem ke stochastické dominanci prvního řádu, při zakázaných krátkých prodejích, obecně nejsou souvislé. (Kopa, Post, 2009) V diplomové práci analyzuji souvislost množin portfolií optimálních vzhledem k obloukově souvislým generátorům tvořeným striktně konkávními funkcemi, při omezených krátkých prodejích.

31 Zavedení pojmů Dosavadní výsledky Tvar množin přijatelných, striktně přijatelných a optimálních portfolií Konvexita V případě stochastické dominance prvního řádu není ani jedna z množin obexně konvexní. Množina portfolií optimálních vzhledem k U 2 není obecně konvexní, jak při omezených, tak při povolených krátkých prodejích (Dybvig, Ross, 1983). Množina portfolií přijatelných vzhledem k U N a U není při zakázaných krátkých prodejích obecně konvexní (Kopa, 2008). Ve své diplomové práci hledám nutnou a postačující podmínku pro rozměry matice výnosů X, zaručující konvexitu množiny portfolií optimálních vzhledem k U E, při povolených krátkých prodejích.

32 Zavedení pojmů Dosavadní výsledky Tvar množin přijatelných, striktně přijatelných a optimálních portfolií Konvexita V případě stochastické dominance prvního řádu není ani jedna z množin obexně konvexní. Množina portfolií optimálních vzhledem k U 2 není obecně konvexní, jak při omezených, tak při povolených krátkých prodejích (Dybvig, Ross, 1983). Množina portfolií přijatelných vzhledem k U N a U není při zakázaných krátkých prodejích obecně konvexní (Kopa, 2008). Ve své diplomové práci hledám nutnou a postačující podmínku pro rozměry matice výnosů X, zaručující konvexitu množiny portfolií optimálních vzhledem k U E, při povolených krátkých prodejích.

33 Zavedení pojmů Dosavadní výsledky Tvar množin přijatelných, striktně přijatelných a optimálních portfolií Konvexita V případě stochastické dominance prvního řádu není ani jedna z množin obexně konvexní. Množina portfolií optimálních vzhledem k U 2 není obecně konvexní, jak při omezených, tak při povolených krátkých prodejích (Dybvig, Ross, 1983). Množina portfolií přijatelných vzhledem k U N a U není při zakázaných krátkých prodejích obecně konvexní (Kopa, 2008). Ve své diplomové práci hledám nutnou a postačující podmínku pro rozměry matice výnosů X, zaručující konvexitu množiny portfolií optimálních vzhledem k U E, při povolených krátkých prodejích.

34 Zavedení pojmů Dosavadní výsledky Tvar množin přijatelných, striktně přijatelných a optimálních portfolií Konvexita V případě stochastické dominance prvního řádu není ani jedna z množin obexně konvexní. Množina portfolií optimálních vzhledem k U 2 není obecně konvexní, jak při omezených, tak při povolených krátkých prodejích (Dybvig, Ross, 1983). Množina portfolií přijatelných vzhledem k U N a U není při zakázaných krátkých prodejích obecně konvexní (Kopa, 2008). Ve své diplomové práci hledám nutnou a postačující podmínku pro rozměry matice výnosů X, zaručující konvexitu množiny portfolií optimálních vzhledem k U E, při povolených krátkých prodejích.

35 1 Stochastická dominance 2 Zavedení pojmů Dosavadní výsledky 3 4 Portfolia optimální vzhledem k exponenciálním užitkovým funkcím Předpoklady Konvexita množiny optimálních portfolií Množiny optimálních a striktně přijatelných portfolií 5

36 Definice Souvislost a oblouková souvislost Podmnožina A M metrického prostoru (M, ρ) je souvislá, jestliže neexistují neprázdné otevřené množiny A 1, A 2 splňující A = A 1 A 2 a A 1 A 2 =. Podmnožina A M metrického prostoru (M, ρ) je obloukově souvislá, jestliže mezi každou dvojicí jejich bodů lze sestrojit spojitý oblouk, tedy x, y A f : [0, 1] (A, ρ) spojitá, splňující f (0) = x, f (1) = y. Obloukově souvislá množina je souvislá.

37 Definice Souvislost a oblouková souvislost Podmnožina A M metrického prostoru (M, ρ) je souvislá, jestliže neexistují neprázdné otevřené množiny A 1, A 2 splňující A = A 1 A 2 a A 1 A 2 =. Podmnožina A M metrického prostoru (M, ρ) je obloukově souvislá, jestliže mezi každou dvojicí jejich bodů lze sestrojit spojitý oblouk, tedy x, y A f : [0, 1] (A, ρ) spojitá, splňující f (0) = x, f (1) = y. Obloukově souvislá množina je souvislá.

38 Předpoklady Opět uvažujeme scénářový přístup. Pracujeme s množinou Û a supremovou metrikou ρ: Û = {u : R R, u C 2, u (x) > 0, u (2) (x) < 0, x R} ρ(u 1, u 2 ) = sup u 1 (x) u 2 (x), u 1, u 2 Û. x R Omezujeme krátké prodeje, tedy Θ a = {θ = (θ 1,..., θ m ) R m : 1 θ = 1, θ i a, i = 1,..., m}, pro pevné a (, 0].

39 Hlavní výsledek kapitoly Věta: Bud U Û množina užitkových funkcí obloukově souvislá vzhledem k supremové metrice ρ a necht a (, 0]. Pak množina portfolií z Θ a optimálních vzhledem k U je obloukově souvislá.

40 Hlavní myšlenky důkazu Definujeme zobrazení g : (Û, ρ) (Θ a, σ) 1 g(u) = arg max θ Θ a n n u((xθ) i ). Přesvědčíme se, že zobrazení g je dobře definováno a že je spojité (σ - libovolná metrika). Množinou portfolií optimálních vzhledem k U Û je g(u). Je-li U Û obloukově souvislá množina, existuje pro libovolná portfolia τ, λ spojitý oblouk f mezi funkcemi u τ, u λ τ = g(u τ ), λ = g(u λ ). Pak ovšem g f je spojitý oblouk mezi τ a λ. i=1

41 Hlavní myšlenky důkazu Definujeme zobrazení g : (Û, ρ) (Θ a, σ) 1 g(u) = arg max θ Θ a n n u((xθ) i ). Přesvědčíme se, že zobrazení g je dobře definováno a že je spojité (σ - libovolná metrika). Množinou portfolií optimálních vzhledem k U Û je g(u). Je-li U Û obloukově souvislá množina, existuje pro libovolná portfolia τ, λ spojitý oblouk f mezi funkcemi u τ, u λ τ = g(u τ ), λ = g(u λ ). Pak ovšem g f je spojitý oblouk mezi τ a λ. i=1

42 Hlavní myšlenky důkazu Definujeme zobrazení g : (Û, ρ) (Θ a, σ) 1 g(u) = arg max θ Θ a n n u((xθ) i ). Přesvědčíme se, že zobrazení g je dobře definováno a že je spojité (σ - libovolná metrika). Množinou portfolií optimálních vzhledem k U Û je g(u). Je-li U Û obloukově souvislá množina, existuje pro libovolná portfolia τ, λ spojitý oblouk f mezi funkcemi u τ, u λ τ = g(u τ ), λ = g(u λ ). Pak ovšem g f je spojitý oblouk mezi τ a λ. i=1

43 Hlavní myšlenky důkazu Definujeme zobrazení g : (Û, ρ) (Θ a, σ) 1 g(u) = arg max θ Θ a n n u((xθ) i ). Přesvědčíme se, že zobrazení g je dobře definováno a že je spojité (σ - libovolná metrika). Množinou portfolií optimálních vzhledem k U Û je g(u). Je-li U Û obloukově souvislá množina, existuje pro libovolná portfolia τ, λ spojitý oblouk f mezi funkcemi u τ, u λ τ = g(u τ ), λ = g(u λ ). Pak ovšem g f je spojitý oblouk mezi τ a λ. i=1

44 Obsah Předpoklady Konvexita množiny optimálních portfolií Množiny optimálních a striktně přijatelných portfolií 1 Stochastická dominance 2 Zavedení pojmů Dosavadní výsledky 3 4 Portfolia optimální vzhledem k exponenciálním užitkovým funkcím Předpoklady Konvexita množiny optimálních portfolií Množiny optimálních a striktně přijatelných portfolií 5

45 Předpoklady Předpoklady Konvexita množiny optimálních portfolií Množiny optimálních a striktně přijatelných portfolií Připomeňme U E = {u : u(x) = aekx + b, a < 0, k < 0, b R} a definujme U E = {u : u(x) = e kx, k < 0}. Práce s oběma generátory je pro stochastickou dominanci ekvivalentní. Volíme množinu U E. Pro vyšetřování souvislosti pracujeme s množinou přípustných portfolií Θ a, a (, 0], omezení a může být libovolně volné. Pro vyšetřování konvexity pracujeme s množinou Θ.

46 Předpoklady Předpoklady Konvexita množiny optimálních portfolií Množiny optimálních a striktně přijatelných portfolií Připomeňme U E = {u : u(x) = aekx + b, a < 0, k < 0, b R} a definujme U E = {u : u(x) = e kx, k < 0}. Práce s oběma generátory je pro stochastickou dominanci ekvivalentní. Volíme množinu U E. Pro vyšetřování souvislosti pracujeme s množinou přípustných portfolií Θ a, a (, 0], omezení a může být libovolně volné. Pro vyšetřování konvexity pracujeme s množinou Θ.

47 Obsah Předpoklady Konvexita množiny optimálních portfolií Množiny optimálních a striktně přijatelných portfolií 1 Stochastická dominance 2 Zavedení pojmů Dosavadní výsledky 3 4 Portfolia optimální vzhledem k exponenciálním užitkovým funkcím Předpoklady Konvexita množiny optimálních portfolií Množiny optimálních a striktně přijatelných portfolií 5

48 Předpoklady Konvexita množiny optimálních portfolií Množiny optimálních a striktně přijatelných portfolií Množina Θ a, a (, 0] a generátor U E. Množina optimálních portfolií je souvislá pro každou matici X n m s linárně nezávislými sloupci - aplikace věty dokázané v předchozí části.

49 Předpoklady Konvexita množiny optimálních portfolií Množiny optimálních a striktně přijatelných portfolií Množina Θ a, a (, 0] a generátor U E. Množina optimálních portfolií je souvislá pro každou matici X n m s linárně nezávislými sloupci - aplikace věty dokázané v předchozí části.

50 Obsah Předpoklady Konvexita množiny optimálních portfolií Množiny optimálních a striktně přijatelných portfolií 1 Stochastická dominance 2 Zavedení pojmů Dosavadní výsledky 3 4 Portfolia optimální vzhledem k exponenciálním užitkovým funkcím Předpoklady Konvexita množiny optimálních portfolií Množiny optimálních a striktně přijatelných portfolií 5

51 Specifikace úlohy Předpoklady Konvexita množiny optimálních portfolií Množiny optimálních a striktně přijatelných portfolií Pracujeme s generátorem U E. Mějme matici výnosů X n m s lineárně nezávislými sloupci (X 1,..., X m ) a označme množinu optimálních portfolií E, kde je E Θ. Dále označme E = XE. Úloha: Rozhodněte, při kterých rozměrech X je E obecně konvexní. Místo konvexity E lze ekvivalentně vyšetřovat konvexitu E.

52 Specifikace úlohy Předpoklady Konvexita množiny optimálních portfolií Množiny optimálních a striktně přijatelných portfolií Pracujeme s generátorem U E. Mějme matici výnosů X n m s lineárně nezávislými sloupci (X 1,..., X m ) a označme množinu optimálních portfolií E, kde je E Θ. Dále označme E = XE. Úloha: Rozhodněte, při kterých rozměrech X je E obecně konvexní. Místo konvexity E lze ekvivalentně vyšetřovat konvexitu E.

53 Specifikace úlohy Předpoklady Konvexita množiny optimálních portfolií Množiny optimálních a striktně přijatelných portfolií Pracujeme s generátorem U E. Mějme matici výnosů X n m s lineárně nezávislými sloupci (X 1,..., X m ) a označme množinu optimálních portfolií E, kde je E Θ. Dále označme E = XE. Úloha: Rozhodněte, při kterých rozměrech X je E obecně konvexní. Místo konvexity E lze ekvivalentně vyšetřovat konvexitu E.

54 Přepis úlohy Předpoklady Konvexita množiny optimálních portfolií Množiny optimálních a striktně přijatelných portfolií Pro s = (s 1,..., s n ) R n definujme e s = (e s 1,..., e sn ). Portfolio τ Θ leží v E, právě když k < 0 : (X 1 X j ) e k (Xτ) = 0, j = 2,..., m tedy k < 0 : e k(xτ) {X 1 X i, i = 2,..., m} = S.

55 y vyšetřování konvexity Rozměry matice X n m zaručující konvexitu E Předpoklady Konvexita množiny optimálních portfolií Množiny optimálních a striktně přijatelných portfolií m = 1 E je konvexní. m = 2 E je konvexní. Konvexita E vyplývá ze souvislosti této množiny. m = n E je konvexní. Důkaz konvexity využívá skutečnost, že prostor S je jednorozměrný. V ostatních případech E obecně konvexní není.

56 y vyšetřování konvexity Rozměry matice X n m zaručující konvexitu E Předpoklady Konvexita množiny optimálních portfolií Množiny optimálních a striktně přijatelných portfolií m = 1 E je konvexní. m = 2 E je konvexní. Konvexita E vyplývá ze souvislosti této množiny. m = n E je konvexní. Důkaz konvexity využívá skutečnost, že prostor S je jednorozměrný. V ostatních případech E obecně konvexní není.

57 y vyšetřování konvexity Rozměry matice X n m zaručující konvexitu E Předpoklady Konvexita množiny optimálních portfolií Množiny optimálních a striktně přijatelných portfolií m = 1 E je konvexní. m = 2 E je konvexní. Konvexita E vyplývá ze souvislosti této množiny. m = n E je konvexní. Důkaz konvexity využívá skutečnost, že prostor S je jednorozměrný. V ostatních případech E obecně konvexní není.

58 y vyšetřování konvexity Rozměry matice X n m zaručující konvexitu E Předpoklady Konvexita množiny optimálních portfolií Množiny optimálních a striktně přijatelných portfolií m = 1 E je konvexní. m = 2 E je konvexní. Konvexita E vyplývá ze souvislosti této množiny. m = n E je konvexní. Důkaz konvexity využívá skutečnost, že prostor S je jednorozměrný. V ostatních případech E obecně konvexní není.

59 y vyšetřování konvexity 2 Matice výnosů X o rozměrech 4 3 nezaručuje konvexitu E Předpoklady Konvexita množiny optimálních portfolií Množiny optimálních a striktně přijatelných portfolií Necht m = 3, n = 4. Pak existuje matice X 4 3 s lineárně nezávislými sloupci, pro kterou množina E není konvexní.

60 y vyšetřování konvexity 3 Protipříklad pro úlohu m = 3, n = 4 Protipříklad. Zvolme a položme c = d = X = Předpoklady Konvexita množiny optimálních portfolií Množiny optimálních a striktně přijatelných portfolií c d Portfolia (1, 0, 0), ( 3, 4, 0) E, portfolio ( 1, 2, 0) / E.

61 y vyšetřování konvexity 3 Protipříklad pro úlohu m = 3, n = 4 Protipříklad. Zvolme a položme c = d = X = Předpoklady Konvexita množiny optimálních portfolií Množiny optimálních a striktně přijatelných portfolií c d Portfolia (1, 0, 0), ( 3, 4, 0) E, portfolio ( 1, 2, 0) / E.

62 Předpoklady Konvexita množiny optimálních portfolií Množiny optimálních a striktně přijatelných portfolií y vyšetřování konvexity 4 Rozšíření výsledku pro m = 3, n = 4 pro matice X vyšší dimenze Za pomoci uvedené matice lze protipříklad rozšířit pro m 3 a n m + 1. Jedná se pouze o technické úpravy.

63 Předpoklady Konvexita množiny optimálních portfolií Množiny optimálních a striktně přijatelných portfolií y vyšetřování konvexity 4 Rozšíření výsledku pro m = 3, n = 4 pro matice X vyšší dimenze Za pomoci uvedené matice lze protipříklad rozšířit pro m 3 a n m + 1. Jedná se pouze o technické úpravy.

64 Obsah Předpoklady Konvexita množiny optimálních portfolií Množiny optimálních a striktně přijatelných portfolií 1 Stochastická dominance 2 Zavedení pojmů Dosavadní výsledky 3 4 Portfolia optimální vzhledem k exponenciálním užitkovým funkcím Předpoklady Konvexita množiny optimálních portfolií Množiny optimálních a striktně přijatelných portfolií 5

65 Příklad Striktně přijatelné portfolio nemusí být optimální Předpoklady Konvexita množiny optimálních portfolií Množiny optimálních a striktně přijatelných portfolií Mějme matici X = ( a testujme přijatelnost a optimalitu portfolia τ = (1, 0) Uvažujeme generátor U E a povolené krátké prodeje. Vypočteme, že portfolio τ je přijatelné a striktně přijatelné, ale není optimální. Tento příklad ukazuje, že se množiny striktně přijatelných a optimálních portfolií obecně liší. )

66 Příklad Striktně přijatelné portfolio nemusí být optimální Předpoklady Konvexita množiny optimálních portfolií Množiny optimálních a striktně přijatelných portfolií Mějme matici X = ( a testujme přijatelnost a optimalitu portfolia τ = (1, 0) Uvažujeme generátor U E a povolené krátké prodeje. Vypočteme, že portfolio τ je přijatelné a striktně přijatelné, ale není optimální. Tento příklad ukazuje, že se množiny striktně přijatelných a optimálních portfolií obecně liší. )

67 Příklad Striktně přijatelné portfolio nemusí být optimální Předpoklady Konvexita množiny optimálních portfolií Množiny optimálních a striktně přijatelných portfolií Mějme matici X = ( a testujme přijatelnost a optimalitu portfolia τ = (1, 0) Uvažujeme generátor U E a povolené krátké prodeje. Vypočteme, že portfolio τ je přijatelné a striktně přijatelné, ale není optimální. Tento příklad ukazuje, že se množiny striktně přijatelných a optimálních portfolií obecně liší. )

68 Příklad Striktně přijatelné portfolio nemusí být optimální Předpoklady Konvexita množiny optimálních portfolií Množiny optimálních a striktně přijatelných portfolií Mějme matici X = ( a testujme přijatelnost a optimalitu portfolia τ = (1, 0) Uvažujeme generátor U E a povolené krátké prodeje. Vypočteme, že portfolio τ je přijatelné a striktně přijatelné, ale není optimální. Tento příklad ukazuje, že se množiny striktně přijatelných a optimálních portfolií obecně liší. )

69 Předpoklady Konvexita množiny optimálních portfolií Množiny optimálních a striktně přijatelných portfolií Spojení striktní přijatelnosti a optimality Po zvolení vhodných předpokladů Uvažujme krátké prodeje omezené libovolným pevným a (, 0]. Pro pevné p < 1 zaved me generátor U E (p) = {u : u(x) = (te kx + (1 t)e lx ), k [ l p, 1 ] }, t [0, 1]. p [ p, 1 ], p Pro pevné τ Θ a definujeme f τ : (Θ a U) R předpisem f τ (θ, u) = 1 n [u((xθ) i ) u((xτ) i )]. n i=1

70 Předpoklady Konvexita množiny optimálních portfolií Množiny optimálních a striktně přijatelných portfolií Spojení striktní přijatelnosti a optimality Po zvolení vhodných předpokladů Uvažujme krátké prodeje omezené libovolným pevným a (, 0]. Pro pevné p < 1 zaved me generátor U E (p) = {u : u(x) = (te kx + (1 t)e lx ), k [ l p, 1 ] }, t [0, 1]. p [ p, 1 ], p Pro pevné τ Θ a definujeme f τ : (Θ a U) R předpisem f τ (θ, u) = 1 n [u((xθ) i ) u((xτ) i )]. n i=1

71 Předpoklady Konvexita množiny optimálních portfolií Množiny optimálních a striktně přijatelných portfolií Spojení striktní přijatelnosti a optimality Po zvolení vhodných předpokladů Uvažujme krátké prodeje omezené libovolným pevným a (, 0]. Pro pevné p < 1 zaved me generátor U E (p) = {u : u(x) = (te kx + (1 t)e lx ), k [ l p, 1 ] }, t [0, 1]. p [ p, 1 ], p Pro pevné τ Θ a definujeme f τ : (Θ a U) R předpisem f τ (θ, u) = 1 n [u((xθ) i ) u((xτ) i )]. n i=1

72 Předpoklady Konvexita množiny optimálních portfolií Množiny optimálních a striktně přijatelných portfolií Spojení striktní přijatelnosti a optimality Jako důsledek minimaxové věty Lze dokázat, že pro libovolné τ Θ a je max θ Θ a min f v U E (p) τ (θ, v) = sup inf f v U E (p) τ (θ, v) = θ Θ a = inf sup f τ (θ, v) = min max f τ (θ, v). v U E (p) θ Θ a v U E (p) θ Θ a Má-li tento výraz nulovou hodnotu, je portfolio τ optimální, přijatelné i striktně přijatelné. Platí i opačná implikace.

73 Předpoklady Konvexita množiny optimálních portfolií Množiny optimálních a striktně přijatelných portfolií Spojení striktní přijatelnosti a optimality Jako důsledek minimaxové věty Lze dokázat, že pro libovolné τ Θ a je max θ Θ a min f v U E (p) τ (θ, v) = sup inf f v U E (p) τ (θ, v) = θ Θ a = inf sup f τ (θ, v) = min max f τ (θ, v). v U E (p) θ Θ a v U E (p) θ Θ a Má-li tento výraz nulovou hodnotu, je portfolio τ optimální, přijatelné i striktně přijatelné. Platí i opačná implikace.

74 1 Stochastická dominance 2 Zavedení pojmů Dosavadní výsledky 3 4 Portfolia optimální vzhledem k exponenciálním užitkovým funkcím Předpoklady Konvexita množiny optimálních portfolií Množiny optimálních a striktně přijatelných portfolií 5

75 Zavedli jsme používané pojmy, včetně tří různých definic eficientního portfolia. Shrnuli jsme dosavadní výsledky. Dokázali jsme souvislost množiny portfolií optimálních vzhledem k obloukově souvislému generátoru, tvořenému ze striktně konkávních funkcí, při omezených krátkých prodejích. Formulovali jsme nutnou a postačující podmínku pro rozměry matice výnosů zaručující konvexitu množin portfolií optimálních vzhledem k exponenciálním funkcím, při povolených krátkých prodejích. Formulovali jsme postačující podmínku pro ekvivalenci tří používaných definic eficience.

76 Zavedli jsme používané pojmy, včetně tří různých definic eficientního portfolia. Shrnuli jsme dosavadní výsledky. Dokázali jsme souvislost množiny portfolií optimálních vzhledem k obloukově souvislému generátoru, tvořenému ze striktně konkávních funkcí, při omezených krátkých prodejích. Formulovali jsme nutnou a postačující podmínku pro rozměry matice výnosů zaručující konvexitu množin portfolií optimálních vzhledem k exponenciálním funkcím, při povolených krátkých prodejích. Formulovali jsme postačující podmínku pro ekvivalenci tří používaných definic eficience.

77 Zavedli jsme používané pojmy, včetně tří různých definic eficientního portfolia. Shrnuli jsme dosavadní výsledky. Dokázali jsme souvislost množiny portfolií optimálních vzhledem k obloukově souvislému generátoru, tvořenému ze striktně konkávních funkcí, při omezených krátkých prodejích. Formulovali jsme nutnou a postačující podmínku pro rozměry matice výnosů zaručující konvexitu množin portfolií optimálních vzhledem k exponenciálním funkcím, při povolených krátkých prodejích. Formulovali jsme postačující podmínku pro ekvivalenci tří používaných definic eficience.

78 Zavedli jsme používané pojmy, včetně tří různých definic eficientního portfolia. Shrnuli jsme dosavadní výsledky. Dokázali jsme souvislost množiny portfolií optimálních vzhledem k obloukově souvislému generátoru, tvořenému ze striktně konkávních funkcí, při omezených krátkých prodejích. Formulovali jsme nutnou a postačující podmínku pro rozměry matice výnosů zaručující konvexitu množin portfolií optimálních vzhledem k exponenciálním funkcím, při povolených krátkých prodejích. Formulovali jsme postačující podmínku pro ekvivalenci tří používaných definic eficience.

79 Konec prezentace.

80 Odpověd k oponentskému posudku Část 1 Nedávají zcela smysl některé komentáře, např. poznámka na str. 34 nebo konvexnost množiny portfolií eficientních vzhledem k Markowitzovu modelu (str. 23). Poznámkou na str. 34 je de facto myšleno, že v důkazu Věty 5.2 volíme jinou terminologii, než která je uvedena např. ve skriptech Doc. Lachouta Matematické programování. Přesto je v důkazu postupováno v souladu s těmito skripty. Proto má oponent pravdu, poznámka není formulována přesně. Na str. 23 jsem měl na mysli úlohu s povolenými krátkými prodeji, ve které lze, za splnění jistých předpokladů, hovořit o konvexitě množiny markowitzovsky eficientních portfolií. Poznámka není formulována přesně.

81 Odpověd k oponentskému posudku Část 1 Nedávají zcela smysl některé komentáře, např. poznámka na str. 34 nebo konvexnost množiny portfolií eficientních vzhledem k Markowitzovu modelu (str. 23). Poznámkou na str. 34 je de facto myšleno, že v důkazu Věty 5.2 volíme jinou terminologii, než která je uvedena např. ve skriptech Doc. Lachouta Matematické programování. Přesto je v důkazu postupováno v souladu s těmito skripty. Proto má oponent pravdu, poznámka není formulována přesně. Na str. 23 jsem měl na mysli úlohu s povolenými krátkými prodeji, ve které lze, za splnění jistých předpokladů, hovořit o konvexitě množiny markowitzovsky eficientních portfolií. Poznámka není formulována přesně.

82 Odpověd k oponentskému posudku Část 1 Nedávají zcela smysl některé komentáře, např. poznámka na str. 34 nebo konvexnost množiny portfolií eficientních vzhledem k Markowitzovu modelu (str. 23). Poznámkou na str. 34 je de facto myšleno, že v důkazu Věty 5.2 volíme jinou terminologii, než která je uvedena např. ve skriptech Doc. Lachouta Matematické programování. Přesto je v důkazu postupováno v souladu s těmito skripty. Proto má oponent pravdu, poznámka není formulována přesně. Na str. 23 jsem měl na mysli úlohu s povolenými krátkými prodeji, ve které lze, za splnění jistých předpokladů, hovořit o konvexitě množiny markowitzovsky eficientních portfolií. Poznámka není formulována přesně.

83 Odpověd k oponentskému posudku Část 2 Vhodné by bylo uvést znění Bernsteinovy věty zmíněné na str. 43. Bernsteinovu větu jsem neuvedl, jelikož v práci pracujeme pouze se závěrem, který za použití této věty učinil Whitmore (1989, 1994). Přesto jsem se nyní přesvědčil, že vět o tomto názvu je více, proto její znění uvedu. Bernsteinova věta: Jestliže f je omezená a absolutně monotónní funkce na intervalu (0, ), pak existuje jednoznačně určená Borelova míra µ na intervalu [0, ], splňující µ([0, ]) = f (0 + ) a pro každé x > 0: f (x) = 0 e αx dµ(α).

84 Odpověd k oponentskému posudku Část 2 Vhodné by bylo uvést znění Bernsteinovy věty zmíněné na str. 43. Bernsteinovu větu jsem neuvedl, jelikož v práci pracujeme pouze se závěrem, který za použití této věty učinil Whitmore (1989, 1994). Přesto jsem se nyní přesvědčil, že vět o tomto názvu je více, proto její znění uvedu. Bernsteinova věta: Jestliže f je omezená a absolutně monotónní funkce na intervalu (0, ), pak existuje jednoznačně určená Borelova míra µ na intervalu [0, ], splňující µ([0, ]) = f (0 + ) a pro každé x > 0: f (x) = 0 e αx dµ(α).

85 Odpověd k oponentskému posudku Část 2 Vhodné by bylo uvést znění Bernsteinovy věty zmíněné na str. 43. Bernsteinovu větu jsem neuvedl, jelikož v práci pracujeme pouze se závěrem, který za použití této věty učinil Whitmore (1989, 1994). Přesto jsem se nyní přesvědčil, že vět o tomto názvu je více, proto její znění uvedu. Bernsteinova věta: Jestliže f je omezená a absolutně monotónní funkce na intervalu (0, ), pak existuje jednoznačně určená Borelova míra µ na intervalu [0, ], splňující µ([0, ]) = f (0 + ) a pro každé x > 0: f (x) = 0 e αx dµ(α).

86 Odpověd k oponentskému posudku Část 3 Zajímavá (v práci neřešená) otázka je, které výsledky lze použít bez předpokladu stejných pravděpodobností scénářů. Většina výsledků zůstane v platnosti, i když se některé řádky matice výnosů X nebudou navzájem lišit (lineární nezávislost sloupců však musí zůstat zachována). Pomocí tohoto konceptu lze uvažovat, že pracujeme s konečným množstvím scénářů, jejichž pravděpodobnosti nemusejí být stejné, ale jsou vyjádřitelné racionálním číslem.

87 Odpověd k oponentskému posudku Část 3 Zajímavá (v práci neřešená) otázka je, které výsledky lze použít bez předpokladu stejných pravděpodobností scénářů. Většina výsledků zůstane v platnosti, i když se některé řádky matice výnosů X nebudou navzájem lišit (lineární nezávislost sloupců však musí zůstat zachována). Pomocí tohoto konceptu lze uvažovat, že pracujeme s konečným množstvím scénářů, jejichž pravděpodobnosti nemusejí být stejné, ale jsou vyjádřitelné racionálním číslem.

88 a optimalita portfolií Část 1

89 Obsah

90 Pojmy Portfolio = množina finančních aktiv (akcie, dluhopisy, ) Výnos portfolia je náhodná veličina Investor vybírá portfolio za účelem maximalizace očekávaného a minimalizace rizika Očekávaný výnos odpovídá střední hodnotě výnosu

91 Předpoklady Investor se rozhoduje na základě očekávaného výnosu a kovariance výnosů Neomezená dělitelnost aktiv Neexistují transakční náklady Povoleny krátké pozice

92 Riziko je třeba zohlednit? St Peterburg paradox 1713 Nicholas Bernoulli Hážeme mincí, dokud nepadne orel Padne-li orel v n-tém pokusu, dostaneme n dukátů. 2 1 Střední hodnota výnosů je nekonečná, přesto by za účast ve hře žádný investor nedal příliš velkou částku. Řešení investor nemaximalizuje výnos, ale užitek. V tomto přístupu je již zohledněno riziko.

93 Jak vzít v potaz riziko? Dva základní přístupy 1. Maximalizujeme očekávaný výnos při zohlednění rizika Zavádíme míry rizika 2. Maximalizujeme očekávaný užitek Užitková funkce (Von Neumann a Morgenstern, 1944) Sem patří i koncept stochastické dominance

94 Míry rizika Rozptyl výnosů (Markowitz, 1951) Semivariance (Markowitz, 1970) Střední absolutní odchylka (Sharpe, 1971) Value at risk (VaR) (1995) Conditional value at risk (CVaR) (Rockafellar a Uryasev, 2000)

95 Markowitzův model I

96 Markowitzův model II Řešíme úlohu nebo max r(x) k. w(x), k > 0 min w(x) za podmínky r(x) > r 0 Řešení pro různá k tvoří eficientní hranici (mean-variance efficient frontier)

97 Markowitzův model III Markowitz bullet Markowitzův model lze reprezentovat taktéž pomocí užitkových funkcí

98 VaR Value-at-risk p% - VaR je příslušný kvantil rozdělení ztrát Tedy je to velikost ztrát, kterým se vyhneme s pravděpodobností p Volíme p = 95%, p = 99%

99 CVaR Conditional Value-at-risk nebo též Expected shortfall Střední hodnota ztrát, jestliže překročí stanovenou hladinu p Míra zavedena po špatných zkušenostech s VaR (volba rozdělení s těžkými chvosty) Lze reprezentovat pomocí konceptu stochastické dominance

100 Užitkové funkce Zavedl Von Neumann a Morgernstern (1944)