PŘECHODOVÝ JEV V RC OBVODU

Transkript

1 PŘEHODOVÝ JEV V OBVOD Pracovní úkoly:. Odvoďte vztah popisující časovou závislost elektrického napětí na kondenzátoru při vybíjení. 2. Měřením určete nabíjecí a vybíjecí křivku kondenzátoru. 3. rčete nabíjecí a vybíjecí konstantu. Změřenou hodnotu porovnejte s vypočítanou. Pomůcky: zdroj stejnosměrného napětí, přípravek pro měření, voltmetr, stopky, vodiče Teorie: V odvodech stejnosměrného proudu s kondenzátory dochází po připojení ke zdroji elektrického napětí k nestacionárnímu stavu, kdy elektrický proud tyto kondenzátory nabíjí. Elektrický proud má v čase proměnnou velikost a v okamžiku nabití kondenzátorů zaniká. Při odpojení zdroje elektrického proudu jsou naopak kondenzátory vybíjeny zátěží tvořenou okolním elektrickým obvodem. Elektrický proud tekoucí kondenzátorem odnáší elektrický náboj dříve nahromaděný v kondenzátorech. Oba tyto jevy jsou označovány jako přechodové jevy. V praxi tento jev našel uplatnění v mnoha aplikacích v elektronice a elektrotechnice, např. v časovacích a zpožďovacích obvodech, dále při měření rezistancí, kapacit kondenzátorů a indukčností cívek. Nabíjení kondenzátoru: Přechodový jev nabíjení kondenzátoru je možné studovat v zapojení podle obrázku č.. Obrázek č. : Obvod pro studium nabíjení kondenzátoru Předpokládejme, že v čase t= s je na kondenzátoru nulové napětí (kondenzátor je vybitý). Obvod připojíme spínačem S ke zdroji elektrického napětí o velikosti. Obvodem prochází elektrický proud, který nabíjí kondenzátor. S rostoucím elektrickým nábojem na kondenzátoru roste i elektrické napětí na kondenzátoru. Na rezistoru vzniká úbytek elektrického napětí. V každém okamžiku pro elektrická napětí v obvodu platí vztah: () = Proud tekoucí obvodem vyjádříme z Ohmova zákona: I = (2) Velikost napětí na kondenzátoru závisí na jeho kapacitě a velikosti náboje uloženého v kondenzátoru podle vztahu: Q (3) 25 S. P.

2 Dosazením vztahů (2) a (3) do vztahu () získáme výraz: Q = I (4) Protože hledáme časovou závislost, derivujeme vztah (4) podle času a získáme: d d Q d I = (5) d t d t d t d Pro konstantní napětí zdroje, bude derivace rovna. Derivace náboje podle času představuje d t elektrický proud, proto lze výraz (5) přepsat do podoby: d I(t) d I(t) = I(t), resp. = I(t) (6) d t d t ovnice (6) je lineární diferenciální rovnicí. řádu bez pravé strany. Řešení předpokládáme ve tvaru t d I t I e, jehož derivace je e. Potom má rovnice (6) tvar: d t = t t t e e = e (7) ovnici splňuje řešení. Partikulární řešení má rovnice (6) má tvar I e. Obecné řešení dostaneme jako lineární kombinaci z počátečních podmínek. I K e Řešení musí splňovat rovnici (4) v čase t= s, kdy je náboj kondenzátoru Q nulový. Odtud platí pro konstantu K vztah: = K e = K e = K kde I představuje amplitudu elektrického proudu tekoucího obvodem. Obecné řešení popisující nabíjení kondenzátoru má podobu:, kde K je konstanta určená (8) K I, (9) t e nebo I e I I () S pomocí vztahů () a (2) lze dojít ke vztahu popisujícímu časovou závislost elektrického napětí na kondenzátoru během nabíjení: I I e e ( e ) () 25 S. P. 2

3 Z matematického rozboru výrazu () vyplývá, že elektrické napětí na kondenzátoru dosáhne hodnoty napětí zdroje v nekonečném čase. Z praktického hlediska po určité konečné době roste napětí na kondenzátoru již tak pomalu, že je tento růst běžnými přístroji neměřitelný. Vybíjení kondenzátoru: Přechodový jev vybíjení kondenzátoru je možné studovat v zapojení podle obrázku č. 2. Obrázek č. 2: Obvod pro studium vybíjení kondenzátoru V obvodu není zapojen žádný zdroj elektrického napětí, proto situaci popisuje následující rovnice: S použitím vztahů (2) a (3) lze výraz (2) upravit do podoby: = (2) Q I (3) Stejným postupem jako v případě nabíjení kondenzátoru lze odvodit hledanou závislost elektrického napětí na čase ve tvaru: = e (4) Vybíjení kondenzátoru opět trvá nekonečně dlouho, ale v praxi klesne napětí na kondenzátoru za konečnou dobu na neměřitelnou velikost. Ve vztazích (), () a (4) vystupující součin se označuje jako časová konstanta obvodu a značí. Princip měření: Měření se provádí v zapojení podle obrázku č. 3. Obrázek č. 3: Schéma zapojení měřícího obvodu pro studium nabíjení a vybíjení kondenzátoru ezistor se uplatňuje při nabíjení kondenzátoru ze zdroje stejnosměrného napětí. ezistor 2 slouží jako zátěž pro vybíjení kondenzátoru. Přepínačem V 3 se volí mezi režimem nabíjení a vybíjení. Pozn.: Z důvodu bezpečnosti jsou kondenzátor a rezistor umístěny uvnitř krabičky. ezistor 2 je umístěn vně, aby byla možná jeho jednoduchá výměna. 25 S. P. 3

4 Při měření nabíjení kondenzátoru připojte spínačem V 2 vybitý kondenzátor přes rezistor ke zdroji elektrického napětí. V pravidelných časových intervalech zapisujte velikost napětí na kondenzátoru. Po proložení získané závislosti =(t) teoretickou závislostí () lze získat časovou konstantu obvodu. Pro známou velikost odporu jsme schopni určit hodnotu kapacity kondenzátoru. (5) Pro zpracování měření je vhodné použití linearizace. Vyjdeme ze vztahu (), který upravíme: ( e e e ) e ln t tj. ln t f (t) (6) Graf závislosti ln f (t) lze zpracovat běžnou lineární regresí. Časovou konstantu obvodu určíme ze směrnice přímky:, (7) k kde k je směrnice přímky proložené závislostí f (t) ln. rčení časové konstanty nabíjení kondenzátoru v technické praxi: V technické praxi se lze setkat s jinou metodou určení časové konstanty obvodu. V čase t rovném časové konstantě obvodu přejde vztah () do podoby: ( e ) (,367879),632 (8) Časovou konstantu obvodu je možné chápat jako dobu, za kterou se kondenzátor nabije na napětí o velikosti 63,2 % napětí zdroje. Pozn.: Měření je zatíženo systematickou chybou způsobenou vnitřním odporem použitého voltmetru. Voltmetrem paralelně připojeným k nabíjenému kondenzátoru prochází elektrický proud, který by jinak nabíjel kondenzátor. Nabíjení trvá déle a naměřená kapacita vychází vyšší. Při měření vybíjení kondenzátoru připojte spínačem V 2 kondenzátor nabitý na napětí k rezistoru 2 tvořícímu zátěž. V pravidelných časových intervalech zapisujte velikost napětí na kondenzátoru. Po proložení získané závislosti =(t) teoretickou závislostí (4) lze získat časovou konstantu obvodu. Pro známou velikost odporu 2 jsme opět podle vztahu (5) schopni určit hodnotu kapacity kondenzátoru. 25 S. P. 4

5 Pro zpracování měření je vhodné použití linearizace. Vyjdeme ze vztahu (4), který upravíme: e e ln t tj. ln t f (t) (9) Graf závislosti ln f (t) lze zpracovat běžnou lineární regresí. Časovou konstantu obvodu určíme ze směrnice přímky:, k kde k je směrnice přímky proložené závislostí f (t) ln. rčení časové konstanty vybíjení kondenzátoru v technické praxi: V technické praxi se lze setkat s jinou metodou určení časové konstanty obvodu. V čase t rovném časové konstantě obvodu přejde vztah (4) do podoby: e,367879,368 (2) Časovou konstantu obvodu je možné chápat jako dobu, za kterou se kondenzátor vybije na napětí o velikosti 36,8 % napětí zdroje (tj. ). e Pozn.: Měření je opět zatíženo systematickou chybou způsobenou vnitřním odporem použitého voltmetru. Voltmetrem paralelně připojeným k nabíjenému kondenzátoru prochází elektrický proud, který vybíjí kondenzátor. Vybíjení trvá kratší dobu a kapacita vypočtená ze vztahu (5) vychází nižší. Systematickou chybu měření při nabíjení a vybíjení lze částečně eliminovat použitím voltmetru o velkém vstupním odporu a rezistorů s výrazně nižšími hodnotami odporů, resp. 2. Pokyny pro měření:. Zapojte obvod podle schématu na obrázku Na základě hodnot kapacity kondenzátoru a velikostí odporů a 2 odhadněte časové konstanty obvodu n pro nabíjení a v pro vybíjení. 3. Přepínač V 3 přepněte do polohy pro vybíjení, rozepněte spínač V 2 a sepnutím spínače V zcela vybijte kondenzátor. Jakmile klesne napětí na kondenzátoru na, rozepněte zkratovací spínač V. Pozor, aby nedošlo ke zkratu zdroje např. nevhodnou polohou přepínačů V 2 a V 3! 4. Přepínač V 3 přepněte do polohy pro nabíjení. Současně se sepnutím spínače V 2 spusťte stopky. Zapisujte si v pravidelných intervalech odpovídající hodnoty napětí do tabulky, dokud se hodnota elektrického napětí neustálí. 25 S. P. 5

6 5. Odpojte zdroj napětí od kondenzátoru rozepnutím spínače V 2. Přepněte přepínač V 3 do polohy pro vybíjení. Současně se sepnutím spínače V 2 spusťte stopky. Zapisujte si v pravidelných intervalech odpovídající hodnoty napětí do tabulky, dokud hodnota elektrického napětí neklesne do blízkosti nuly. 6. Opakujte postup z bodů 3-5 nejméně 5x. 7. Sestrojte grafy =(t) a f (t) ln pro nabíjení kondenzátoru. 8. Sestrojte grafy =(t) a ln f (t) pro vybíjení kondenzátoru. 9. Pomocí vztahů (8) a (2) určete časové konstanty obvodu pro nabíjení n a vybíjení v.. Z časových konstant n a v stanovte kapacitu kondenzátoru.. Porovnejte vypočtené a změřené hodnoty časových konstant n a v. Porovnejte změřenou hodnotu kapacity kondenzátoru s hodnotou uváděnou výrobcem. 2. Posuďte, zda je možné zanedbat hodnotu vnitřního odporu voltmetru. Pozor! V kondenzátoru se hromadí velké množství elektrické energie, která se může prakticky okamžitě uvolnit a způsobit úraz elektrickým proudem! Literatura: [i] SEDLÁK, B., ŠTOLL, I. Elektřina a magnetismus. Praha: Academia, 993, 22. [ii] ANE, K. Elektronika (fyzikální a analogová část). Plzeň: Vydavatelství ZČ, S. P. 6