Člověk a svět práce rýsování Design a konstruování. Mgr. Dana Pavlíková

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Člověk a svět práce rýsování Design a konstruování. Mgr. Dana Pavlíková"

Transkript

1 Člověk a svět práce rýsování Design a konstruování Mgr. Dana Pavlíková Brno 2012

2 Obsah KAPITOLA 1 Planimetrie... 4 KAPITOLA 2 Shodnost a podobnost trojúhelníků KAPITOLA 3 Kružnice a kruh. Obvodové a středové úhly Mocnost přímky ke kružnici KAPITOLA 4 Posunutí v rovině. Otočení a středová souměrnost. Osová souměrnost KAPITOLA 5 Pythagorova věta a Euklidovy věty KAPITOLA 6 Čtyřúhelníky. Stereometrie hranol, jehlan, válec, kužel, koule KAPITOLA 7 Technické výkresy, kótování, značky, Kosoúhlé zobrazování KAPITOLA 8 Mandala, M. C. Escher-geometrie v obrazech Literatura

3 Výuka bude zaměřena na osvojení si rýsovacích technik a znalostí z oblasti geometrie, které jsou důleţitou součástí matematického vzdělání. Geometrie se prolíná celým základním a středoškolským vzděláváním, učí studenty dovednostem vyuţitelných v praktickém ţivotě a rozvíjí jejich prostorovou představivost. Ţáci rozeznávají, pojmenovávají a znázorňují základní geometrické útvary. Hledají podobnosti a odlišnosti útvarů, které se vyskytují všude kolem nás a popisují vzájemné polohy objektů v rovině a v prostoru. Učí se porovnávat, měřit a zdokonalovat svůj grafický projev. Studenti jsou schopni vytvořit dle náčrtu, technický výkres a po té model objektu. 3

4 Kapitola 1 Planimetrie KAPITOLA 1 Planimetrie Planimetrie: základní pojmy bod, přímka, rovina. Vzájemná poloha dvou přímek. Úhel klasifikace úhlů podle velikosti a jejich konstrukce. Trojúhelník klasifikace trojúhelníků podle velikosti stran a úhlů. Osy stran a úhlů, těţnice, výška, středová úsečka, kruţnice opsaná a vepsaná. Thaletova kruţnice. - Ţák ovládá pojmy a označení bodů, přímek, polopřímek, rovin, úhlů. - dokáţe pojmenovat trojúhelník podle velikosti stran a úhlů. - umí zkonstruovat daný úhel bez pomocí úhloměru - dokáţe pracovat s rýsovacími pomůckami GEOMETRIE Geometrie je jedna z matematických věd, která se původně zabývala vlastnostmi (tvar a velikost) a vzájemnými vztahy mezi geometrickými útvary (prostorových těles, ploch, bodů, přímek a rovin). Slovo geometrie je řeckého původu a znamená zeměměřičství. Ve starověkém Egyptě a Babylonii byla totiţ geometrie vyuţívána k vyměřování pozemků a stavbě chrámů a pyramid pravidelných tvarů. Pozdější studium geometrických útvarů, kterým se zabýval např. Thales, vedlo ke vzniku geometrie jako matematického oboru. Geometrie bývá povaţována za jeden z prvních matematických oborů vůbec. Základy geometrie jako matematického oboru poloţil Euklides, který se pokusil zachytit abstraktní strukturu geometrických útvarů pomocí definic a axiomů. Euklidovy postuláty - axiomy: 1. postulát: Máme-li dány dva body, existuje jedna přímka, která jimi prochází. 2. postulát: Kaţdá úsečka můţe být prodlouţena tak, ţe vznikne opět úsečka. 3. postulát: Je moţné nakreslit kruţnici s libovolným středem a poloměrem. 4. postulát: Všechny pravé úhly jsou si rovny. 5. postulát: K danému bodu a přímce lze sestrojit právě jednu rovnoběţku, která prochází daným bodem. (tzv. postulát rovnoběţnosti) Podařilo se mu tak zaloţit geometrii, kterou označujeme jako euklidovskou geometrii. Euklidovu geometrii dělíme na rovinnou a prostorovou. Přestoţe je geometrie nejstarší oblastí matematiky, dodnes se vyvíjí. PLANIMETRIE Planimetrie je část geometrie pojednávající o vzájemných vztazích a vzdálenostech rovinných geometrických útvarů, tj. geometrických útvarů, které jsou částí dvourozměrné roviny. Základními pojmy jsou bod a přímka. Mnoţiny bodů se nazývají geometrické útvary. Mezi geometrické útvary patří rovinné křivky např. kuţelosečky parabola, hyperbola, kruţnice, elipsa. Uzavřené souvislé útvary se označují jako obrazce (např. kruh, čtverec...). 4

5 Kapitola 1 Planimetrie Geometrické útvary Geometrické útvary lze dělit podle různých vlastností: Základní geometrické útvary (bod, přímka, rovina, prostor) Lineární geometrické útvary (přímka, polopřímka, úsečka) Rovinné geometrické útvary obrazce (polorovina, mnohoúhelníky, kruţnice, kruh, kuţelosečky, křivky a útvary vymezené křivkami Prostorové geometrické útvary tělesa (hranoly (např. krychle, kvádr), válec, jehlan, kuţel, koule, ) Základní geometrické útvary Základní geometrické útvary jsou útvary, z nichţ se odvozují další geometrické útvary. Jsou to: bod, přímka, rovina a prostor (trojrozměrný) Bod je bezrozměrný geometrický útvar. Bod se znázorňuje kříţkem, malým kolečkem nebo krouţkem, označuje se velkým tiskacím písmenem. Přímka je jednorozměrný geometrický útvar. Pro kaţdé dva body existuje právě jedna přímka, která oběma prochází - označuje se malým písmenem. Rovina je dvourozměrný geometrický útvar- označuje se malým řeckým písmenem. Polopřímka vznikne rozdělením přímky jedním bodem tzv. počáteční bod Polorovina je část roviny, která vznikne rozdělením roviny jednou přímkou-tzv. hraniční přímka poloroviny Úsečka je část přímky mezi dvěma body- tzv. krajní body úsečky. Velikost úsečky neboli délka úsečky se zapisuje např. AB. Střed úsečky je bod, který leţí na úsečce a jehoţ vzdálenost od obou krajních bodů je stejná. 5

6 Kapitola 1 Planimetrie Osa úsečky je přímka kolmá k úsečce procházející jejím středem. ÚHEL Rovinný úhel je část roviny určená dvěma polopřímkami se společným počátkem. Polopřímky se nazývají ramena úhlu, společný počáteční bod polopřímek se nazývá vrchol úhlu. Nulový úhel je úhel, jehoţ ramena leţí na sobě. Ostrý úhel je úhel menší neţ pravý úhel. Pravý úhel je polovina přímého úhlu. Všimněte si na obrázku, ţe pravý úhel se označuje tečkou v obloučku. Dvě přímky v pravém úhlu dělí plochu na 4 shodné kvadranty. Tupý úhel je větší neţ pravý úhel. Přímý úhel je úhel, jehoţ ramena jsou opačné polopřímky (tzn. 180 ). Plný úhel je úhel, jehoţ ramena leţí na sobě, za úhel se povaţuje celá rovina kolem nich. Kosý úhel je úhel, který není nulový, pravý, přímý nebo plný Dutý úhel je úhel, který je menší neţ přímý úhel 6

7 Kapitola 1 Planimetrie Konvexní úhel je úhel přímý nebo menší neţ přímý. Konkávní úhel je větší neţ přímý úhel. Dvojice úhlů Vrcholové úhly jsou dva úhly, jejichţ ramena jsou opačné polopřímky. Vrcholové úhly jsou shodné. Vedlejší úhly jsou dva úhly, jejichţ jedno rameno je společné a druhá ramena jsou opačné polopřímky. Souhlasné úhly Střídavé úhly 7

8 Kapitola 1 Planimetrie Osa úhlu prochází vrcholem a rozděluje úhel na dvě shodné části (poloviny úhlu). Operace s úhly Sčítání úhlů Odčítání úhlů. Dělení úhlů dvěma Úhel se dělí dvěma sestrojením osy úhlu. Početně se vydělí velikost úhlu dvěma. Konstrukčně nelze provést přesné dělení obecného úhlu třemi, úloha je známa pod jménem trisekce úhlu. TROJÚHELNÍK Trojúhelník je rovinný geometrický útvar. Mnohoúhelník se třemi vrcholy a třemi stranami. Úsečky, které spojují vrcholy, se nazývají strany trojúhelníka. Úhly, které svírají strany, se nazývají vnitřní úhly trojúhelníka. Součet velikostí všech vnitřních úhlů trojúhelníku je přesně 180. Úhly vedlejší k vnitřním úhlům, se nazývají vnější úhly trojúhelníka. Kaţdý trojúhelník má 3 strany, 3 vnitřní úhly, 6 vnějších úhlů (u kaţdého vrcholu dva). Trojúhelník nemá úhlopříčky. Konstrukce: Trojúhelník můţe být určen: (sss) délkou všech tří stran, (sus) délkou dvou stran a velikostí úhlu, který svírají, (usu) délkou strany a velikostí úhlů, které k ní přiléhají, (Ssu) délkou dvou stran a velikostí úhlu proti větší z nich. 8

9 Kapitola 1 Planimetrie Vlastnosti: Strany trojúhelníku splňují trojúhelníkové nerovnosti: součet dvou libovolných stran je vţdy delší neţ strana třetí, neboli a + b > c a + c > b b + c > a, kde a, b, c jsou strany trojúhelníka. Součet všech vnitřních úhlů je v kaţdém trojúhelníku 180. Součet vnitřního a příslušného vnějšího úhlu je 180. Součet dvou vnitřních úhlů se rovná vnějšímu úhlu u zbývajícího vrcholu. Proti většímu úhlu leţí větší strana. Obecný trojúhelník není osově ani středově souměrný, některé druhy trojúhelníků mohou být osově souměrné. Vztahy mezi úhly a stranami určuje sinová, kosinová a tangentová věta. Trojúhelníku lze opsat kruţnici, kde střed kruţnice opsané leţí v průsečíku os stran a poloměr se rovná vzdálenosti středu od libovolného vrcholu. Trojúhelníku lze vepsat kruţnici, kde střed kruţnice vepsané leţí v průsečíku os úhlů a poloměr se rovná vzdálenosti středu od libovolné strany (na kolmici). Rozdělení trojúhelníků 1) podle stran obecný trojúhelník (různostranný) - ţádné dvě strany nejsou shodné rovnoramenný trojúhelník - dvě strany jsou navzájem shodné, ale nejsou shodné s třetí stranou rovnostranný trojúhelník - všechny strany jsou shodné Rovnoramenný trojúhelník 9

10 Kapitola 1 Planimetrie Vlastnosti Rovnoramenný trojúhelník je osově souměrný podle osy procházející hlavním vrcholem a středem základny. Úhly při základně jsou shodné. Výšky příslušné ramenům jsou shodné. Těţnice příslušné ramenům jsou shodné. Výška k základně rozdělí rovnoramenný trojúhelník na dva shodné pravoúhlé trojúhelníky. Těţnice k základně a výška k základně jsou totoţné. Rovnostranný trojúhelník Všechny vnitřní úhly jsou shodné a jejich velikost je 60. Všechny výšky a těţnice jsou shodné. Těţnice a výška příslušné téţe straně jsou totoţné. 2) podle velikostí vnitřních úhlů Ostroúhlý trojúhelník 10

11 Kapitola 1 Planimetrie Pravoúhlý trojúhelník Strany trojúhelníka a, b sousedící s pravým úhlem se označují jako odvěsny, strana protilehlá pravému úhlu c jako přepona. Základní vlastnosti Vnitřní úhly pravoúhlého trojúhelníka mají hodnoty α, β a γ = 90 Mezi délkami stran trojúhelníka platí Pythagorova věta: a 2 + b 2 = c 2. Vrchol pravého úhlu vţdy leţí na kruţnici, jejímţ průměrem je přepona trojúhelníku (Thaletova věta) Pravoúhlý trojúhelník je základem pro definice goniometrických funkcí. 11

12 Kapitola 1 Planimetrie Pythagorova věta Obsah čtverce sestrojeného nad přeponou (nejdelší stranou) pravoúhlého rovinného trojúhelníka je roven součtu obsahů čtverců nad jeho odvěsnami (dvěma kratšími stranami). Formálně Pythagorovu větu vyjadřuje tato rovnice: a 2 + b 2 = c 2 kde písmeno c označuje délku přepony pravoúhlého trojúhelníka a délky odvěsen jsou označeny jako a a b. Thaletova věta Thaletova věta: Všechny úhly vytvořené nad průměrem kruţnice jsou pravé. Úsečky v trojúhelníku: Výšky trojúhelníku Výška je kolmice spuštěná z vrcholu na protější stranu. Průsečík výšky s příslušnou stranou se nazývá pata výšky. Kaţdý trojúhelník má 3 výšky: Výšky: v a, v b, v c Paty výšky: P a, P b, P c Střední příčka Střední příčka je spojnice středů dvou stran. Střední příčka je rovnoběţná s příslušnou stranou a má velikost poloviny příslušné strany. Střední příčky dohromady rozdělují trojúhelník na 4 shodné trojúhelníky. Kaţdý trojúhelník má 3 střední příčky: Střední příčky: s a, s b, s c Středy stran: S a, S b, S c 12

13 Kapitola 1 Planimetrie ČTYŘÚHELNÍKY Čtyřúhelník je mnohoúhelník se čtyřmi vrcholy. Součet všech vnitřních úhlů čtyřúhelníku je vţdy 360. Čtyřúhelník můţe být konvexní či nekonvexní (je nekonvexní mnoţinou, jeden jeho vnitřní úhel je nekonvexní). Můţeme říci, ţe čtyřúhelník vznikne spojením dvou trojúhelníků s jednou stejnou stranou, čehoţ vyuţijeme u konstrukčních úloh. Konvexní čtyřúhelníky se rozdělují podle rovnoběţnosti stran: ţádná dvojice stran není rovnoběţná - různoběţníky dvě dvojice stran jsou rovnoběţné - rovnoběţníky jedna dvojice stran je rovnoběţná - lichoběţníky ROVNOBĚŽNÍKY Rovnoběţník je konvexní čtyřúhelník, který má dvě dvojice rovnoběţných stran (a c, b d). Vlastnosti: rovnoběţné stany jsou stejně dlouhé (a=c, b=d) protější úhly jsou stejně velké (α = γ, β = δ) úhlopříčky se navzájem půlí výška rovnoběţníku je úsečka, která je kolmá na rovnoběţky a jejíţ krajní body leţí na těchto rovnoběţkách (rovnoběţník má dvě výšky - v a, v b ) 13

14 Kapitola 1 Planimetrie Obvod a obsah Obvod o je součet délek všech stran. o = 2 (a + b) o = 2 a + 2 b Obsah: S = a v a S = b v b Rozdělení rovnoběžníků má pravý úhel (všechny úhly jsou pravé) - má všechny strany stejně dlouhé čtverec - nemá všechny strany stejně dlouhé - obdélník nemá pravý úhel - nemá všechny strany stejně dlouhé - kosodélník - má všechny strany stejně dlouhé - kosočtverec ČTVEREC V geometrii je čtverec pravidelný čtyřúhelník - rovinný útvar ohraničený čtyřmi úsečkami (stranami) stejné délky. Sousední strany spolu svírají pravý úhel a protější strany jsou rovnoběţné. Čtverec má někdy význam druhé mocniny, protoţe obsah čtverce je právě druhá mocnina délky jeho strany. Vlastnosti: Úhlopříčky čtverce půlí jeho úhly. Úhlopříčky čtverce jsou navzájem kolmé. Protilehlé strany čtverce jsou rovnoběţné a stejně velké. Všechny čtyři úhly čtverce jsou stejně velké (Velikost kaţdého úhlu je 360/4=90, kaţdý úhel čtverce je tedy pravý). Úhlopříčky čtverce jsou stejně velké. 14

15 Kapitola 1 Planimetrie OBDÉLNÍK Obdélník je rovnoběţník, který má všechny úhly pravé. Vlastnosti: Vzájemně protilehlé strany jsou rovnoběţné a mají shodnou délku. Úhlopříčky jsou stejně dlouhé, ale nejsou na sebe kolmé. Obdélník má kruţnici opsanou se středem v průsečíku úhlopříček a poloměrem rovným polovině délky úhlopříčky. Obdélník nemá kruţnici vepsanou. Obdélník je středově souměrný podle průsečíku úhlopříček. Obdélník je v obecném případě osově souměrný podle dvou os. Osami souměrnosti jsou rovnoběţky se stranami procházející průsečíkem úhlopříček. KOSODÉLNÍKY Kosodélník (rovnoběţník) je čtyřúhelník, jehoţ protilehlé strany jsou rovnoběţné. Vlastnosti: Kosodélník má 4 strany, 4 vrcholy, 4 úhly, jejichţ součet je 360. Z rovnoběţnosti protilehlých stran plyne, ţe velikost protilehlých stran je stejná, tzn. AB = CD, AD = BC. Velikost protilehlých úhlů má stejnou velikost. Nelze opsat ani vepsat kruţnici. Nemá osu souměrnosti. Úhlopříčky nejsou shodné a nejsou na sebe kolmé. 15

16 Kapitola 1 Planimetrie KOSOČTVEREC Kosočtverec je rovnostranný rovnoběţník, který má všechny strany stejně dlouhé, avšak na rozdíl od čtverce jeho strany nesvírají pravý úhel. Vlastnosti: Kosočtverec má dvě úhlopříčky, které nejsou shodné. Jeho úhlopříčky jsou na sebe kolmé. Kosočtverec má dvě osy souměrnosti, kterými jsou úhlopříčky a jeden střed souměrnosti, kterým je průsečík úhlopříček. Kosočtverci lze vepsat kruţnici, která má střed v průsečíku úhlopříček. LICHOBĚŽNÍKY Lichoběţník je čtyřúhelník, jehoţ dvě protější strany jsou rovnoběţné a další dvě zbývající různoběţné. Názvy stran se podobají názvům rovnoramenného trojúhelníku, jen s tím rozdílem, ţe má dvě základny. Dvě protilehlé strany vzájemně rovnoběţné se nazývají základnami a zbývající dvojice různoběţných stran se nazývá rameny. Rozdělení lichoběžníků: 1) Obecný 2) Pravoúhlý má dva vnitřní úhly pravé 3) Rovnoramenný ramena jsou shodné a úhlopříčky jsou také shodné Vlastnosti: Úhlopříčky obecného lichoběţníku se navzájem nepůlí a nemusí se protínat na střední příčce lichoběţníku. Neexistuje pravoúhlý rovnoramenný lichoběţník. 16

17 Kapitola 1 Planimetrie DELTOID Deltoid je geometrický útvar, čtyřúhelník, u kterého mají dvě dvojice vzájemně přiléhajících stran stejnou velikost. Vlastnosti: Deltoid má dvě úhlopříčky různé velikosti. Úhlopříčky deltoidu jsou na sebe kolmé a jedna z úhlopříček je druhou úhlopříčkou půlena. Součet délek jeho základen je roven součtu délek jeho ramen. Deltoid je konvexní čtyřúhelník. Je různoběţník (ţádné dvě strany nejsou rovnoběţné) souměrný podle jedné úhlopříčky. Lze vepsat kruţnici. Úhly při vrcholech B a D jsou shodné. N ÚHELNÍK Pravidelný n-úhelník je mnohoúhelník, jehoţ všechny strany i vnitřní úhly jsou shodné. Vlastnosti: Pravidelnému n-úhelníku lze opsat i vepsat kruţnici. Obě kruţnice mají společný střed tento střed je zároveň středem pravidelného mnohoúhelníku. Je-li n sudé, existuje ke kaţdému vrcholu protější vrchol, ke kaţdé straně protější strana s ní rovnoběţná. Je-li n liché, přísluší ke kaţdému vrcholu protější strana. Pravidelný n-úhelník můţeme rozloţit na n shodných rovnoramenných trojúhelníků, které nemají ţádný společný vnitřní bod. r - poloměr kruţnice opsané 17

18 Kapitola 1 Planimetrie KRUH A KRUŽNICE ρ - poloměr kruţnice vepsané V euklidovské geometrii je kruţnice mnoţina všech bodů v rovině, které leţí ve stejné vzdálenosti, označované jako poloměr, od pevně daného bodu, zvaného střed. Kruţnice jsou jednoduché uzavřené křivky, rozdělující rovinu na vnitřek a vnějšek. Poloměrem nazýváme také kaţdou úsečku spojující střed s bodem na kruţnici. S kruţnicí úzce souvisí i termín kruh, coţ je mnoţina bodů sloţená z kruţnice i jejího vnitřku, tedy všech bodů ve stejné nebo menší vzdálenosti od středu neţ je poloměr. Vzájemná poloha kružnice a přímky Dělí podle počtu společných bodů: ţádný společný bod - přímka je vnější přímka kruţnice jeden společný bod (bod dotyku) - přímka je tečna (je kolmá na poloměr v bodě dotyku); obráceně: kruţnice se dotýká přímky dva společné body - přímka je sečna (spojnice společných bodů se nazývá tětiva) Vlastnosti: Tětiva kruţnice je úsečka spojující dva různé body kruţnice. Průměr kruţnice d je tětiva, která obsahuje střed kruţnice S. Části kruhu Mějme dva body (A,B) leţící na kruţnici. spojíme-li oba body se středem, rozdělí se kruh na dvě kruhové výseče (konvexní a nekonvexní) - mnoţiny bodů ohraničené částí kruţnice a získanými úsečkami tětiva AB rozdělí kruh na dvě kruhové úseče - mnoţiny bodů ohraničené částí kruţnice a tětivou Kruhová úseč Kruhovou úsečí nazýváme průnik kruhu a poloroviny, jejíţ hraniční přímka má od středu kruhu S vzdálenost menší neţ jeho poloměr. Obsah kruhové úseče se rovná rozdílu obsahu kruhové výseče a obsahu trojúhelníka ASB. Mezikruží Mezikruţí je mnoţina všech bodů v rovině, které mají od pevného bodu S zvaného střed mezikruţí vzdálenost alespoň r a nejvýše R. Kruhová výseč Kruhovou výsečí nazýváme průnik kruhu a úhlu s vrcholem ve středu kruhu S. Výseč mezikruží Plocha ohraničená dvěma oblouky soustředných kruţnic a úsečkami, které spojují krajní body těchto oblouků. 18

19 Kapitola 1 Planimetrie Příklady Spoj čarou název rovinného útvaru s příslušným rovinným útvarem. TROJÚHELNÍK OBDÉLNÍK ČTVEREC KOSODELNÍK KOSOČTVEREC LICHOBĚŢNÍK KRUŢNICE RŮZNOBĚŢNÍK PRAVIDELNÝ OSMIÚHELNÍK Pojmenuj nepřiřazený rovinný útvar: Rovinné útvary mohou mít některé z následujících vlastností. K dané vlastnosti připiš útvary, kterých se vlastnost týká: 1) útvar nemá ţádnou osu souměrnosti 2) úhlopříčky se navzájem půlí 3) součet velikostí vnitřních úhlů je 180 4) všechny strany mají stejnou délku 5) všechny vnitřní úhly jsou pravé 6) kaţdé dvě protější strany jsou rovnoběţné 7) úhlopříčky jsou na sebe kolmé 8) součet velikostí vnitřních úhlů je 360 9) jeden vnitřní úhel je pravý, ostatní jsou ostré 10) útvar má 4 osy souměrnosti 11) útvar má právě 3 osy souměrnosti 12) dva protější úhly jsou shodné 13) kaţdé dvě protější strany jsou stejně dlouhé 14) útvar je středově souměrný podle průsečíku úhlopříček 15) pouze dvě strany jsou stejně dlouhé 19

20 Kapitola 2 Shodnost a podobnost trojúhelníků KAPITOLA 2 Shodnost a podobnost trojúhelníků. - student dokáţe samostatně pracovat na řešení konstrukčních příkladů - umí zapsat zadání, vytvořit náčrt a stanovit postup řešení a pomocí rýsovacích pomůcek je správně narýsovat. Věty o SHODNOSTI trojúhelníků Kdyţ chceme zjistit, zda jsou dva trojúhelníky shodné, stačí porovnat jen některé jejich strany a úhly. O shodnosti trojúhelníků mluví následující tři věty: Věta sss: Pokud se dva trojúhelníky shodují ve všech třech stranách, pak jsou shodné. Věta sus: Pokud se dva trojúhelníky shodují ve dvou stranách a úhlu jimi sevřeným, pak jsou shodné. Věta usu: Pokud se dva trojúhelníky shodují v jedné straně a v obou úhlech k této straně přilehlých, pak jsou shodné. Existuje ještě jedna věta o shodnosti trojúhelníků. Věta Ssu: Pokud se dva trojúhelníky shodují ve dvou stranách a úhlu naproti delší straně, pak jsou shodné. Je důleţité, ţe úhel je naproti delší straně. Kdyby byl naproti kratší straně (věta ssu), tak shodný být nemusí. 20

21 Kapitola 2 Shodnost a podobnost trojúhelníků Příklady: O trojúhelnících KLM a OPR platí: KLM OPR. a) Následující zápisy doplňte tak, aby byly správné: LMK POR KML PRO b) Vypočítejte velikost všech vnitřních úhlů KLM, jestliţe OPR = 53 45, POR = Je dán obdélník ABCD (AB>CD). Jeho úhlopříčky se protínají v bodě S. Vypište všechny dvojice shodných a) ostroúhlých trojúhelníků, b) tupoúhlých trojúhelníků, c) pravoúhlých trojúhelníků Sestrojte libovolný rovnostranný trojúhelník. Nad jeho stranami sestrojte čtverce (délka strany čtverce = délka strany trojúhelníku). Spojte vrcholy čtverců tak, ţe vznikne šestiúhelník. Rozhodněte, zda jsou vzniklé tupoúhlé trojúhelníky shodné, své rozhodnutí zdůvodněte. Věty o PODOBNOSTI trojúhelníků Stejně jako u shodnosti i u podobnosti platí, ţe chceme-li zjistit, zda jsou dva trojúhelníky podobné, stačí porovnat jen některé jejich strany a úhly. O podobnosti trojúhelníků mluví následující tři věty: Věta sss: Pokud je ve dvou trojúhelnících poměr dvojic odpovídajících si stran vţdy stejný, pak jsou podobné. Věta sus: Pokud je ve dvou trojúhelnících poměr dvou dvojic odpovídajících si stran stejný a shodují-li se v úhlu jimi sevřeným, pak jsou podobné. Věta uu: Pokud se dva trojúhelníky shodují ve dvou úhlech, pak jsou podobné. 21

22 Kapitola 2 Shodnost a podobnost trojúhelníků Věta uu by se mohla jmenovat uuu. Kdyţ se dva trojúhelníky shodují ve dvou úhlech, tak se shodují i v tom třetím. Oběma trojúhelníkům totiţ chybí stejný úhel do 180. Pomocí podobnosti trojúhelníků sestrojil Thalet z Milétu (7.-6. stol. př. n.l.) dálkoměr. Příklady Dokaţte, ţe jsou podobné a) kaţdé dva rovnostranné trojúhelníky b) kaţdé dva rovnoramenné pravoúhlé trojúhelníky. Trojúhelníky ABC a TUV mají strany délky a = 8,8 cm, b = 5,6 cm, c = 4,2 cm, t = 84 mm, u = 132 mm, v = 63 mm. Zjistěte, zda jsou podobné. Jestliţe ano, určete poměr podobnosti a zapište tuto podobnost. Pozor na odpovídající si strany!!! Sestrojte trojúhelník ABC se stranami o délkách a = 8 cm, b = 6 cm, c = 7 cm; úhly tohoto trojúhelníku označte a, b, g. Potom sestrojte trojúhelník A B C tak, aby platilo: b b, g g, a = ¾ a. Jsou tyto trojúhelníky podobné? 22

23 Kapitola 3 Kruţnice a kruh. Obvodové a středové úhly. Mocnost přímky ke kruţnici KAPITOLA 3 Kružnice a kruh. Obvodové a středové úhly. Mocnost přímky ke kružnici. - dokáţe uvést rozdíl mezi kruţnicí a kruhem - umí kruţnici a kruh správně zapsat a popsat v rysu - dokáţe určit a sestrojit mimoběţku, tečnu, sečnu a tětivu. KRUŽNICE k Kruţnice je mnoţina všech bodů v rovině, které leţí ve stejné vzdálenosti, označované jako poloměr, od pevně daného bodu, zvaného střed. Kruţnice jsou jednoduché uzavřené křivky, rozdělující rovinu na vnitřek a vnějšek. KRUH K S kruţnicí úzce souvisí i termín kruh, coţ je mnoţina bodů sloţená z kruţnice i jejího vnitřku, tedy všech bodů ve stejné nebo menší vzdálenosti od středu neţ je poloměr. Poloměrem nazýváme také kaţdou úsečku spojující střed s bodem na kruţnici. OBVODOVÉ A TŘEDOVÉ Obvodové a středové úhly a jejich vlastnosti se hojně vyuţívají při výpočtech a konstrukcích v mnohoúhelníkách. Stačí jen porozumět jejich vztahům a vědět, jak konstruovat obvodové úhly. Středový úhel Mějme oblouk AB na kruţnici k se středem S. Úhel s vrcholem S a rameny procházejícími body A a B se nazývá středový úhel k oblouku AB. Nejčastěji se značí malým řeckým písmenkem omega (ω). Vidíme dva oblouky AB: středový úhel k malému oblouku AB je vţdy konvexní středový úhel k velkému oblouku AB je vţdy nekonvexní Kdyţ je úsečka AB průměrem kruţnice k, potom je středový úhel k oběma obloukům přímý úhel (180 ). 23

24 Kapitola 3 Kruţnice a kruh. Obvodové a středové úhly. Mocnost přímky ke kruţnici Obvodový úhel Mějme oblouk AB na kruţnici k se středem S. Úhel, jehoţ vrchol leţí na kruţnici k (a není to bod A nebo B) a jehoţ ramena procházejí body A a B, se nazývá obvodový úhel k oblouku AB. Nejčastěji se značí malým řeckým písmenkem alfa (α). Obvodový úhel k oblouku AB je vţdy stejně velký, i kdyţ je vrchol kdekoliv na tomto oblouku. Dále platí: Středový úhel k oblouku AB je dvojnásobek obvodového. ω=2 α Taky platí: obvodový úhel k malému oblouku AB je vţdy ostrý obvodový úhel k velkému oblouku AB je vţdy tupý obvodový úhel k půlkruţnici AB je vţdy pravý (Thaletova věta) 24

25 Kapitola 3 Kruţnice a kruh. Obvodové a středové úhly. Mocnost přímky ke kruţnici Příklady 1) Vypočítejte velikost obvodového úhlu k oblouku, který má délku kruţnice. Řešení: kdyţ délka oblouku jsou kruţnice, tak velikost jeho středového úhlu budou z 360, tedy 135 obvodový úhel je polovina středového, tedy 67,5 (67 30 ) 2) V pravidelném desetiúhelníku ABCDEFGHIJ zjistěte velikost úhlů ABE, ABF a ADG. Řešení: jelikoţ se jedná o pravidelný desetiúhelník, má opsanou kruţnici (jeho vrcholy leţí na jedné kruţnici) ze stejného důvodu je jasné, ţe vrcholy rozdělují tuto kruţnici na stejné části (stejně velké oblouky) - kaţdý má délku kruţnice počítejme úhel ABE (vrchol je bod B) - to je obvodový úhel k oblouku AE musíme si uvědomit, zda se jedná o malý či velký oblouk - poznáme to snadno, bod B neleţí na tomto oblouku - jedná se tedy o velký oblouk délka oblouku je kruţnice, velikost středové úhlu je tedy z 360, coţ je 216 obvodový úhel je polovina středového, tedy 108 stejným způsobem je moţno dopočítat zbylé úhly 25

26 Kapitola 3 Kruţnice a kruh. Obvodové a středové úhly. Mocnost přímky ke kruţnici MOCNOST BODU KE KRUŽNICI Mějme kruţnici k se středem S a poloměrem r. Kaţdému bodu M lze přiřadit reálné číslo m takové, ţe m = MA MB, kde A a B jsou průsečíky kruţnice k a sečny této kruţnice procházející bodem M. Dále platí: m > 0, pokud MS > r (bod M leţí mimo kruh) m = 0, pokud MS = r (bod M leţí na kruţnici) m < 0, pokud MS < r (bod M leţí uvnitř kruhu) Zatím jsme o mocnosti mluvili u sečen. Mocnost platí i pro tečnu. V tomto případě nám oba průsečíky (A a B) splynou v jeden bod. Budeme ho značit T. Je zřejmé, ţe tečnu můţeme sestrojit jenom z bodu, který leţí mimo kruh - mocnost tedy bude kladná. m = MT MT = MT 2 Mějme kruţnici k se středem S a poloměrem r a nějaký bod M. Označme si vzdálenost bodu M od středu S ( MS ) písmenkem v. Z Pythagorovy věty plyne: MT 2 = v 2 - r 2. m = MT 2, takţe: m = v 2 - r 2 coţ je nový, velmi dobře pouţitelný vzoreček pro mocnost. 26

27 Kapitola 4 Posunutí v rovině. Otočení a středová souměrnost. Osová souměrnost KAPITOLA 4 Posunutí v rovině. Otočení a středová souměrnost. Osová souměrnost. - ţák vyuţije znalosti o základních geometrických obrazcích a dokáţe s nimi pracovat v posunutí, otočení, středové a osové souměrnosti GEOMETRICKÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ geometrickým zobrazením v rovině se rozumí předpis, který libovolnému bodu X roviny přiřazuje jako jeho obraz právě jeden bod X' téţe roviny jestliţe v daném zobrazení splývá bod X se svým obrazem X', pak se bod X=X' nazývá samodružným bodem daného zobrazení nechť U je geometrický útvar a U' jeho obraz v daném zobrazení; jestliţe obraz kaţdého bodu útvaru U je opět bodem tohoto útvaru, pak obraz U' splývá s útvarem U a takový útvar U=U' se nazývá samodružným útvarem daného zobrazení; je-li kaţdý bod samodruţného útvaru U samodruţný, pak je útvar U tzv. silně samodružný v daném zobrazení, jinak je slabě samodruhý SHODNÁ ZOBRAZENÍ (shodnosti) v rovině prosté zobrazení v rovině se nazývá shodným zobrazením nebo krátce shodností, právě kdyţ pro kaţdé dva body X,Y roviny a jejich obrazy X',Y' v tomto zobrazení platí X'Y' = XY, tj. shodnost zachovává délku úsečky zvláštním případem shodnosti je tzv. identita, v níţ je kaţdému bodu X roviny přiřazen tentýţ bod X'=X Základní vlastnosti shodností obrazem kaţdé úsečky AB je úsečka A'B' s ní shodná ( A'B' = AB ) obrazy rovnoběţných přímek jsou rovnoběţné přímky, tj. shodnost zachovává rovnoběţnost obrazem kaţdého trojúhelníka ABC je trojúhelník A'B'C' s ním shodný Rozdělení shodností přímé - libovolný trojúhelník a jeho obraz jsou přímo shodné, tj. mají souhlasnou orientaci vrcholů o identita, posunutí (translace), otočení (rotace), středová souměrnost nepřímé - libovolný trojúhelník a jeho obraz jsou nepřímo shodné, tj. mají nesouhlasnou orientaci vrcholů o osová souměrnost, posunutá souměrnost 27

28 Kapitola 4 Posunutí v rovině. Otočení a středová souměrnost. Osová souměrnost Skládání shodností sloţením dvou přímých nebo dvou nepřímých shodností vznikne přímá shodnost sloţením přímé a nepřímé shodnosti vznikne nepřímá shodnost kaţdou přímou shodnost lze sloţit ze dvou osových souměrností kaţdou nepřímou shodnost lze sloţit ze středové souměrnosti a osové souměrnosti PODOBNÁ ZOBRAZENÍ (podobnosti) v rovině prosté zobrazení v rovině se nazývá podobným zobrazením nebo krátce podobností, právě kdyţ pro kaţdé dva body X,Y roviny a jejich obrazy X',Y' v tomto zobrazení platí X'Y' =k XY, kde k>0 je daná konstanta zvaná koeficient podobnosti zvláštním případem podobnosti je pro k=1 shodnost Základní vlastnosti shodností obrazem kaţdé úsečky AB v podobnosti s koeficientem k je úsečka A'B' délky A'B' =k AB obrazy rovnoběţných přímek jsou rovnoběţné přímky, tj. podobnost zachovává rovnoběţnost obrazem kaţdého trojúhelníka ABC je podobný trojúhelník A'B'C' Významný zástupce podobného zobrazení stejnolehlost POSUNUTÍ (translace) posunutí (translace) v rovině je přímá shodnost, která kaţdému bodu X roviny přiřazuje obraz X' tak, ţe platí XX'=s, kde s je daný vektor vektoru s se říká vektor posunutí, jeho délka udává délku posunutí a jeho směr určuje směr posunutí posunutí je jednoznačně určeno vektorem posunutí posunutí nemá samodruţné body; (slabě) samodruţné jsou všechny přímky rovnoběţné se směrem posunutí je-li přímka p' obrazem dané přímky p v posunutí, pak jsou přímky p,p' rovnoběţné 28

29 Kapitola 4 Posunutí v rovině. Otočení a středová souměrnost. Osová souměrnost OTOČENÍ (rotace) otočení (rotace) kolem středu S o úhel velikosti φ (0 <φ<=360 ) v daném kladném nebo záporném smyslu je přímá shodnost, která přiřazuje bodu S týţ bod S'=S a kaţdému bodu X roviny různému od S přiřazuje obraz X' tak, ţe platí: 1. bod X' leţí na kruţnici o středu S a poloměru SX 2. polopřímka SX' se získá otočením polopřímky SX o daný úhel otočení velikosti φ v daném smyslu (kladném, tj. proti směru pohybu hodinových ručiček; nebo záporném, tj. po směru pohybu hodinových ručiček) otočení je jednoznačně určeno středem otočení S, velikostí úhlu otočení φ a daným smyslem otočení pro velikost φ=360 úhlu otočení jsou všechny body roviny samodruţné, jinak je samodruţný pouze střed S; pro velikost φ=360 úhlu otočení jsou všechny přímky roviny (silně) samodruţné, pro velikost φ=180 jsou (slabě) samodruţné všechny přímky jdoucí bodem S, v ostatních případech otočení samodruţné přímky nemá STŘEDOVÁ SOUMĚRNOST středová souměrnost se středem S je přímá shodnost, která přiřazuje bodu S týţ bod S'=S a kaţdému bodu X roviny různému od S přiřazuje obraz X' tak, ţe platí: 1. bod X' leţí na polopřímce opačné k polopřímce SX 2. SX' = SX středová souměrnost je jednoznačně určena středem S souměrnosti samodruţný je právě jen střed S souměrnosti; (slabě) samodruţné jsou všechny přímky jdoucí bodem S středová souměrnost je speciálním případem otočení o úhel velikosti 180 je-li přímka p' obrazem přímky p v dané středové souměrnosti, pak jsou přímky p,p' rovnoběţné 29

30 Kapitola 4 Posunutí v rovině. Otočení a středová souměrnost. Osová souměrnost OSOVÁ SOUMĚRNOST osová souměrnost s osou o je nepřímá shodnost, která kaţdému bodu X roviny přiřazuje obraz X' tak, ţe platí: 1. bod X'=X, právě kdyţ bod X leţí na ose o souměrnosti 2. bod X' leţí na kolmici k ose o vedené bodem X a to v opačné polorovině určené osou o neţ bod X 3. ox' = ox osová souměrnost je jednoznačně určena osou o souměrnosti samodruţnými body jsou právě jen všechny body osy o; silně samodruţná je osa o, slabě samodruţné jsou všechny přímky kolmé k ose o přímka p a její obraz p' mají stejnou odchylku od osy o souměrnosti STEJNOLEHLOST stejnolehlost se středem S a koeficientem k (kde k je různé od nuly) je přímá podobnost, která: 1. bodu S přiřazuje obraz S'=S 2. bodu X různému od S přiřazuje obraz X' tak, ţe platí SX' = k. SX a přitom bod X' leţí na polopřímce SX pro k>0 (obr. a), resp. bod X' leţí na polopřímce opačné k polopřímce SX pro k<0 (obr. b) stejnolehlost je jednoznačně určena středem S a koeficientem k stejnolehlost se středem S a koeficientem k=-1 je středová souměrnost se středem S; stejnolehlost s koeficientem k=1 je identita pro k různé od jedné je samodruţným bodem právě jen střed S, slabě samodruţné jsou všechny přímky procházející bodem S je-li přímka p' obrazem přímky p v dané stejnolehlosti, pak jsou přímky p, p' rovnoběţné obraz U' omezeného útvaru U je zvětšený pro k >1 (obr. a) a zmenšený pro k <1 (obr. b) kaţdé dvě kruţnice v rovině jsou stejnolehlé a) k>0 a k >1 b) k<0 a k <1 30

31 Kapitola 5 Pythagorova věta a Euklidovy věty KAPITOLA 5 Pythagorova věta a Euklidovy věty. - dokáţe popsat strany v pravoúhlém trojúhelníku - umí pracovat s Pythagorovou a Euklidovou větou - zná geometrický význam Pythagorovy i Euklidovy věty PYTHAGORAS ZE SAMU Řecký filosof Pythagoras se narodil mezi lety 580 a 570 před n.l. na Samu. Zprávy o jeho ţivotě jsou poměrně hodně nespolehlivé. Nevíme jistě, kdo byl jeho učitelem nebo kam cestoval (zřejmě do Orientu, Egypta,...). V Itálii zaloţil Pythagoras náboţensko - filosofickou společnost s přísnými zásadami a tento typ školy se později velmi rozvíjel a našel mnoho následovníků, dokonce i v křesťanských školách, neboť se zakládal na víře. Více o ţivotě filosofa nevíme, snad zemřel okolo roku 510 před n.l. - moţná při pronásledování za jeho myšlenky. Harmonie světa podle Pythagora tkví v tom, ţe celý svět - Pythagoras ho jako první nazval kosmos - je uspořádán do číselných vztahů. Důkazem toho je pak podle filosofa hudba, kde právě on za stupnicemi a souzvuky našel číselné vztahy. Hudební harmonii nalézá Pythagoras i ve stavbě vesmíru. Tak jako těleso v pohybu za pohybu vydává zvuk, tak i nebeská tělesa vyvolávají nepřetrţitou hudbu sfér, kterou my ovšem nevnímáme. Tato unikátní a velmi pěkná myšlenka se pak čas od času vynořovala z hlubin polozapomnění po celý starověk i středověk, zabývali se jí mnozí fyzikové či astronomové. Kepler jí dokonce věnoval spis. Tajemství vzniku světa a jeho udrţování nehledá Pythagoras na rozdíl od Miléťanů v nějaké pralátce, ale v prazákonu, totiţ v neměnných číselných vztazích mezi elementy světa. Kdo zná periodický systém prvků, musí uznat, ţe Pythagoras měl opravdu geniální a pravdivou předtuchu. Přes tyto své poznatky se sám nepovaţoval za mudrce. Filosofům se do té doby říkalo "sofos", tedy mudrc. Aţ právě Pythagoras povaţoval tento titul za přemrštěný a nazval se skromněji "filosofos", přítel nebo milovník moudrosti. Kromě této své pozůstalosti - obrovské a hodné jeho génia - nám filosof zanechal i výše zmíněný spolek lidí, pythagorejců. Tento v podstatě náboţenský řád stál na pevných pravidlech a na víře ve svého Mistra - Pythagora. Pythagorejci pěstovali učení asijských orfiků, tzv. orfismus, coţ je v podstatě nauka o převtělování duší. Neţ se duše dostane do lidského těla (hrob duše; Empedoklés se vyjádřil o lidském těle jako o klenuté jeskyni), musí projít všemi ţivočišnými těly, tedy těly suchozemských, vodních i létajících ţivočichů, coţ trvá 3000 let (pravděpodobně zde opět nejde o konkrétní časový údaj, ale o nesmírně dlouhou dobu). Členové museli slíbit, ţe nezabijí neútočné zvíře, budou ţít zdrţenlivě a skromně, kaţdý večer zpytovat své svědomí. Byli také zavázáni k mlčenlivosti a poslušnosti, čímţ vlastně ve městech vytvořili vlastní diasporu, často velmi vlivnou. Pod vlivem Pythagora měli tito lidé zpravidla aristokratické názory, coţ jim vynášelo časté pronásledování - na jedno z nich snad doplatil ţivotem i sám Mistr. Pythagorejci přijímali i ţeny a právě ty, vzdělané vedle domácích prací i ve filosofii, se staly ideálem antické ţeny. Mistrovi následováni velmi podporovali vzdělání, hudbu, gymnastiku a lékařství. Přestoţe pythagorejský okruh nevydrţel zrovna dvakrát dlouho, zůstává pozoruhodným pokusem o skloubení náboţenství a filosofické myšlenky. Nauka Pythagora je známa především ze spisů Filoláových, od Mistra se nám nedochovalo absolutně nic. Vliv jeho učení nekončil jeho smrtí a rozehnáním jeho "řádu". Naopak, byl ţivý 31

32 Kapitola 5 Pythagorova věta a Euklidovy věty po celý starověk a po zlomu století dokonce došla váţnosti škola novopythagorejců, kteří vycházeli z učení Pythagora, tehdy uţ půl tisíciletí mrtvého. Pythagorova věta Pravoúhlý trojúhelník je trojúhelník, jehoţ jeden vnitřní úhel je pravý. Zbývající úhly musí být ostré, protoţe součet velikostí vnitřních úhlů v kaţdém trojúhelníku je 180. Přeponou nazýváme stranu leţící proti pravému úhlu, odvěsnami pak strany leţící proti zbývajícím úhlům. Pythagorova věta: v kaţdém pravoúhlém trojúhelníku platí c 2 = a 2 + b 2, kde c je délka přepony, a,b jsou délky jeho odvěsen. Jiná formulace věty: Obsah čtverce sestrojeného nad přeponou pravoúhlého trojúhelníku se rovná součtu obsahů čtverců nad jeho odvěsnami. Věta obrácená: Jsou-li a, b, c délky stran v trojúhelníku a platí-li pro ně c 2 = a 2 + b 2, pak je trojúhelník pravoúhlý a c je délka přepony. Důkaz: Představme si libovolný pravoúhlý trojúhelník ABC s délkou přepony c a odvěsnami a, b. Sestrojíme nyní dva shodné čtverce o straně a + b a do kaţdého z nich umístíme čtyři shodné trojúhelníky ABC. Obsahy vybarvených částí musí být stejné. V levém obrázku jsou vybarveny dva čtverce, které mají obsahy a 2 a b 2. V pravém obrázku má vybarvený čtyřúhelník délky všech stran c, a protoţe α + β= 90 0, má čtyřúhelník všechny vnitřní úhly pravé, je to tedy čtverec a jeho obsah je c 2. Vybarvené části mají stejný obsah, a proto platí c 2 = a 2 + b 2. 32

33 Kapitola 5 Pythagorova věta a Euklidovy věty Máme čtverec o straně. Vypočítáme úhlopříčku, kterou označíme. tělesová úhlopříčka: Pouţijeme pravoúhlý trojúhelník o stranách,, kde tělesová úhlopříčka je přeponou, označíme ji. Pythagorejský strom 33

34 Kapitola 5 Pythagorova věta a Euklidovy věty Řešené příklady Příklad 1. Přední strana stanu typu áčko měří u země 150 cm. Boční stěna stanu od země k vrcholu stanu měří 180 cm. Jak vysoký je stan? Výpočet: x 2 = x 2 = x= (26775) x=163,63 cm Stan má výšku asi 164 cm. Příklad 2. Žebřík opřený o zeď je dlouhý 10 m. Jeho pata je vzdálena od stěny 2 m. V jaké výšce stěny je umístěn vrchol žebříku? Výpočet: x 2 = x 2 =100-4 x= (96) x=9,8 m Vrchol ţebříku je vzdálen asi 9,8 metrů od země. Příklad 3. Čtverci o straně 5 cm je opsána a vepsána kružnice. Urči poloměry obou kružnic Výpočet: x 2 =2,5 2 +2,5 2 x 2 =6,25+6,25 x= (12,5) x=3,54 cm Poloměr kruţnice čtverci vepsané je 2,5 cm. Poloměr kruţnice čtverci opsané je 3,54 cm. 34

35 Kapitola 5 Pythagorova věta a Euklidovy věty Příklad 4. Pyramida se čtvercovou základnou je vysoká 50 m má výšku boční stěny 80 m. Urči šířku základny pyramidy. Výpočet: x 2 = x 2 = x= (3900) x=62,45 m Základna má šířku 2x, tj. 124,9 m. Příklad 5. V kvádru je známa délka tělesové úhlopříčky 60 cm a výška kvádru 20 cm. Urči délku úhlopříčky podstavy kvádru. Výpočet: x 2 = x 2 = x= (3200) x=56,57 m Kvádr má úhlopříčku podstavy dlouhou asi 56,57 cm. Příklad 6. Urči délku tělesové úhlopříčky krychle o hraně 10 cm. Výpočet: Pythagorovu větu musíme pouţít dvakrát. V trojúhelníku ABD: u 2 = u 2 = u= (200) u=14,14 cm V trojúhelníku DBH: v 2 = ,14 2 u 2 = u= (300) u=17,32 cm Krychle má tělesovou úhlopříčku dlouhou asi 17, 32 cm. 35

36 Kapitola 5 Pythagorova věta a Euklidovy věty Příklad 7. Automobil jel z bodu A 20 km severním a potom 30 km východním směrem. Zastavil se v bodě B. Jaká je přímá vzdálenost bodů A a B? Výpočet: x 2 = x 2 = x= (1300) x=36,06 cm Přímá vzdálenost bodů A, B je 36,06 km. Příklady 1. Rozhodni, zda je trojúhelník pravoúhlý: a = 85 mm, b = 132 mm, c = 157 mm a = 0,85 m, b = 1,3 m, c = 15,1 m a = 1,44 m, b = 1,08 m, c = 2,8 m a = 72 m, b = 154 m, c = 170 m a = 9,6 m, b = 11 m, c = 14,6 m a = 9,6 cm, b = 10 cm, c = 14 cm a = 110 m, b = 96 m, c = 146 m a = 9,5 cm, b = 16,8 cm, c = 10,3 cm 2. Vypočítej úhlopříčku obdélníku, jsou-li dány délky jeho stran: a = 54 cm, b = 72 cm, u =? a = 3,9 cm, b = 8 cm, u =? a = 0,12 m, b = 0,119 m, u =? a = 1,08 cm, b = 1,44 cm, u =? 3. Vypočítej výšku rovnostranného trojúhelníku: a = 6 cm b) a = 8 cm c) a = 10 cm d) a = 12 cm e) a = 20 cm 4. Vypočítej výšku rovnoramenného trojúhelníku (c = základna, a = rameno): a = 17 cm, c = 32 cm, v =? a = 108 cm, c = 90 cm, v =? a = 40 mm, c = 1,8 mm, v =? a = 7,8 m, c = 12 m, v =? 5. Vypočítej úhlopříčku čtverce se stranou: a) a = 6 cm b) a = 8 cm c) a = 12 cm d) a = 18 cm 6. Vypočítej stranu čtverce, znáš-li úhlopříčku u: a) u = 72 mm b) u = 288 mm c) u = 74,42 mm d) u = 11,4242 mm 36

37 Kapitola 5 Pythagorova věta a Euklidovy věty 7. Vypočti délku přepony c pravoúhlého trojúhelníku ABC s odvěsnami délek a=12 cm, b=9cm. 8. Rozhodněte, zda je trojúhelník se stranami daných délek pravoúhlý: a) 10 m, 24 m, 26 m b) 7 cm, 8 cm, 11 cm 9. Jak dlouhá je úhlopříčka obdélníku se stranami dlouhými 6 cm a 8 cm? 10. Vypočítej délku úhlopříčky AC obdélníku ABCD, jestliţe a = 125 dm, b = 27,5 m. 11. Vypočti délku přepony pravoúhlého trojúhelníku s odvěsnami o délkách 215 mm a 32 cm. 12. Vypočítej délku odvěsny pravoúhlého trojúhelníku, jestliţe známe délku odvěsny r = 26,8 cm a délku přepony s = 0,38 m. 13. Vypočítej výšku k základně rovnoramenného trojúhelníku ABC se základnou délky 16 cm a rameny dlouhými 2,2 dm. 14. Vypočítej výšku rovnostranného trojúhelníku o straně a = 6 cm. 15. Výpočtem zjisti délku ramen rovnoramenného trojúhelníku se základnou c = 10 cm a vysokého v = 10,9 cm. 16. Vypočti obsah rovnostranného trojúhelníku o straně 2 cm. 17. Kosočtverec má stranu a = 45 cm a úhlopříčku e = 80 cm. Vypočítej velikost druhé úhlopříčky f. 18. Kosočtverec má úhlopříčky e = 96 cm, f = 40 cm. Určete délku strany kosočtverce. 19. V pravoúhlém trojúhelníku ABC je dána odvěsna a = 36 cm a obsah S = 540 cm 2. Vypočítej velikost přepony. 20. V trojúhelníku ABC jsou dány strany AC = 8 cm, BC = 10 cm a výška v c = 6,5 cm. Vypočítej délku strany AB. 21. Vypočítej obvod a obsah obdélníka, který má úhlopříčku 26 cm a jedna strana měří 15 cm. 22. Jak dlouhé je zábradlí u schodiště se 17 schody, je-li schod 32 cm široký a 14,5 cm vysoký?(poslední schod se nepočítá.) 23. Jak velký obsah má pravidelný šestiúhelník vepsaný do kruţnice o průměru 10 cm? 24. Ve vzdálenosti 12 km od přímé trati je dělo, které dostřelí do vzdálenosti 20 km. Jak dlouhá část trati je v dostřelu? 25. Vypočtěte průměr válcové tyče, z níţ se má vyfrézovat hranol čtvercového průřezu o straně 45mm. 37

38 Kapitola 5 Pythagorova věta a Euklidovy věty 26. Rovnoramenný trojúhelník ABC má základnu 6 cm a rameno 12,5 cm. Vypočti výšku příslušnou a) k základně b) k rameni. 27. Vypočti poloměr kruţnice opsané obdélníku o rozměrech 16,5 cm a 12,8 cm. 28. Vypočítej úhlopříčku obdélníku ABCD: a = 62 mm, b = 48 mm. 29. Vypočítej úhlopříčku čtverce ABCD: a = 38 mm. 30. Vypočítej délku strany čtverce, je-li délka úhlopříčky u = 156 mm. 31. Kosočtverec má délku strany a = 48 mm a délku úhlopříčky e = 62 mm. Vypočítej délku úhlopříčky f. (e = AC, f = BD). 38

39 Kapitola 5 Pythagorova věta a Euklidovy věty EUKLIDÉS Hlavním Euklidovým dílem je sepsání 13-ti dílné knihy s názvem Základy. Tento svazek shrnuje výsledky bádání matematiků a fyziků před ním s jeho vlastními poznatky. Prvních 6 knih pojednává o planimetrii (popisují elementární vlastnosti přímek a úhlů, podobnost trojúhelníků, kruh, pravidelné mnohoúhelníky apod.). Sedmá aţ desátá kniha jsou věnovány teorii čísel, dělitelnosti, geometrickým posloupnostem, vlastnostem prvočísel apod. Poslední tři knihy se zabývají stereometrií. Dílo vyniká svojí systematičností a přehledností. Euklidés ovlivnil vývoj matematiky na dlouhá století. Na Euklida navázali další matematici, především Archimédés. Na středních školách se vyučují Euklidovy věty o výšce a o odvěsně. Zabýval se i teorií čísel a nalezl postup pro vyhledání největšího společného dělitele dvou celých čísel Euklidův algoritmus. Euklidovy věty Platí pro pravoúhlý trojúhelník ABC. I. Euklidova věta: obsah čtverce sestrojeného nad výškou trojúhelníka se rovná obsahu obdélníka sestrojeného z obou úseků na přeponě. II. Euklidova věta: obsah čtverce sestrojeného nad odvěsnou se rovná obsahu obdélníka sestrojeného z celé přepony a úseku přilehlého k dané odvěsně. Pythagorova věta: součet obsahů čtverců nad odvěsnami se rovná obsahu čtverce nad přeponou. Odvození: sečtením Euklidových vět. 39

40 Kapitola 5 Pythagorova věta a Euklidovy věty Příklady Euklidovy věty a Pythagorova věta 1. Zjistěte, zda trojúhelník, jehoţ strany mají délky a) 3 cm, 4 cm, 6 cm b) 5 cm, 12 cm, 13 cm je pravoúhlý. 2. Vypočítejte zbývající prvky (a, b, c, c a, c b, v) v pravoúhlém trojúhelníku ABC (s pravým úhlem při vrcholu C), je-li dáno: a) c = 10 cm, c a = 7 cm b) a = 5 cm, c a = 4 cm c) b = 5 cm, c = 13 cm 3. V trojúhelníku ABC je vypočítejte délky stran a, b, je-li dáno: c = 16 cm, v c = 4,4 cm, t c = 6 cm. 4. Vypočítejte délku tětivy v kruţnici o poloměru 10 cm, jestliţe tětiva dělí průměr k ní kolmý v poměru 2 : Dvě rovnoběţné tětivy v kruţnici o poloměru 6 cm mají délky 6 cm a 10 cm. Určete jejich vzdálenost. 6. Vypočtěte výšku v pravidelném čtyřbokém jehlanu, je-li podstavná hrana a = 10 cm a boční hrana b = 12 cm. 7. Sestrojte úsečku délky: a) d = 5 cm b) d = 7 cm c) d = 10 cm 8. Sestrojte čtverec, který má obsah stejný jako obdélník o rozměrech 5 cm a 3 cm. 40

41 Kapitola 6 Čtyřúhelníky. Stereometrie hranol, jehlan, válec, kuţel, koule KAPITOLA 6 Čtyřúhelníky. Stereometrie hranol, jehlan, válec, kužel, koule. - umí rozlišit druhy čtyřúhelníků a vyslovit jejich charakteristické vlastnosti - umí sestrojit čtyřúhelníky dle zadaných parametrů - získává prostorovou představivost ČTYŘÚHELNÍKY Čtyřúhelníky mohou být konvexní a nekonvexní (konkávní). Konvexní se dále dělí na: různoběžník ţádné dvě protilehlé strany nejsou rovnoběţné rovnoběžník (kosodélník) dvě a dvě protilehlé strany jsou rovnoběţné o obdélník všechny vnitřní úhly jsou pravé o kosočtverec všechny strany mají stejnou délku o čtverec všechny strany mají stejnou délku a všechny vnitřní úhly jsou pravé lichoběžník jeden pár protilehlých stran je rovnoběţný deltoid dvě dvojice vzájemně přiléhajících stran mají stejnou velikost 41

42 Kapitola 6 Čtyřúhelníky. Stereometrie hranol, jehlan, válec, kuţel, koule Pro některé čtyřúhelníky se pouţívá zvláštní označení, např.: tětivový čtyřúhelník čtyřúhelník, kterému lze opsat kruţnici tečnový čtyřúhelník čtyřúhelník, kterému lze vepsat kruţnici dvojstředový čtyřúhelník čtyřúhelník, kterému lze mu opsat i vepsat kruţnici STEREOMETRIE úvod HRANOL Hranol je mnohostěn, jehoţ dvě stěny leţí v rovnoběţných rovinách. Tyto dvě stěny označujeme jako podstavy (podstavné stěny). Ostatní, tzv. boční stěny tvoří tzv. plášť hranolu. Povrch hranolu je tvořen všemi jeho stěnami. Strany podstavy hranolu nazýváme podstavnými hranami. Hrany, které nejsou podstavnými nazýváme boční hrany. Podle počtu stran podstavy hovoříme o hranolu trojbokém, čtyřbokém, pětibokém atd. Vzdálenost obou podstav se nazývá výškou hranolu. Rozdělení hranolů Jsou-li boční hrany kolmé k rovině podstavy, pak se hranol označuje jako kolmý. Pokud hranol není kolmý, říkáme, ţe je kosý. Kolmý hranol, jehoţ podstavou je pravidelný mnohoúhelník, se nazývá pravidelný. Kosý hranol - pětiboký Kolmý hranol - šestiboký Čtyřboký hranol, jehoţ podstavou je rovnoběţník, se nazývá rovnoběţnostěnem. Kolmý hranol, jehoţ podstavou je obdélník nebo čtverec se označuje jako kvádr. Kolmý hranol, jehoţ všechny stěny jsou čtverce, se nazývá krychlí (hexaedrem). Kvádr - podstava obdélník 42

43 Kapitola 6 Čtyřúhelníky. Stereometrie hranol, jehlan, válec, kuţel, koule Kvádr - podstava čtverec Krychle Kolmý hranol síť 43

44 Kapitola 6 Čtyřúhelníky. Stereometrie hranol, jehlan, válec, kuţel, koule JEHLAN Jehlan je trojrozměrné těleso. Jeho základnu (nebo také podstavu) tvoří mnohoúhelník. Vrcholy základny jsou spojeny s jedním bodem mimo rovinu základny - tento bod se obvykle nazývá vrchol jehlanu. Kolmá vzdálenost vrcholu od roviny podstavy se nazývá výška jehlanu. Jehlan - podstava čtverec Jehlan - podstava obdélník KUŽEL Koule je prostorové těleso tvořené mnoţinou všech bodů, jejichţ vzdálenost od zadaného bodu (středu) je rovna nebo menší neţ zadaný poloměr. Body, jejichţ vzdálenost je právě rovna poloměru, tvoří povrch koule, tzv. kulovou plochu (také označovanou jako sféru nebo sférickou plochu). Pojmy koule a sféry se tedy v matematice obvykle rozlišují, na rozdíl od běţné řeči. 44

45 Kapitola 6 Čtyřúhelníky. Stereometrie hranol, jehlan, válec, kuţel, koule Rotační kuţel VÁLEC Válec je v prostorové geometrii těleso, vymezené dvěma rovnoběţnými podstavami a pláštěm. Plášť je rozvinutelná plocha, všechny povrchové (tvořící) přímky pláště jsou rovnoběţné, a pokud jsou k podstavám kolmé, hovoříme o kolmém válci. V opačném případě se jedná o válec kosý. Vzdálenost mezi podstavami se nazývá výška válce. Vzdálenost mezi dvěma podstavami podél pláště (tj. podél povrchové přímky) se nazývá strana válce. Je-li podstavou kruh, pak válec označíme jako kruhový. Kolmý kruhový válec nazýváme rotačním válcem. Přímku procházející středy obou podstav rotačního válce nazýváme osou rotace. Rotační válec KOULE Koule je prostorové těleso tvořené mnoţinou všech bodů, jejichţ vzdálenost od zadaného bodu (středu) je rovna nebo menší neţ zadaný poloměr. Body, jejichţ vzdálenost je právě rovna poloměru, tvoří povrch koule, tzv. kulovou plochu (také označovanou jako sféru nebo sférickou plochu). Koule 45

46 Kapitola 7 Technické výkresy, kótování, značky, Kosoúhlé zobrazování KAPITOLA 7 Technické výkresy, kótování, značky, Kosoúhlé zobrazování - studentovládá techniku zobrazování, pravoúhlé zobrazování, kótování - studenti se seznámí se základy sestrojování stavebních a strojnických výkresů - naučit studenty zejména orientaci v těchto výkresech - mí narýsovat trojrozměrná objekt podle pravidel kosoúhlého promítání HISTORIE TECHNICKÉHO KRESLENÍ Deskriptivní geometrie a technické kreslení nabyly ve výuce na školách významu nejen informativního, ale téţ formativního, tedy jako prostředku pěstování preciznosti, představivosti, manuální zručnosti. Vznik strojnického kreslení je spjat se vznikem a rozvojem strojové výroby. Počátky strojové tovární výroby byly uspíšeny vyuţitím parostrojní techniky, která umoţnila zakládání továren (zpočátku textilních) i mimo zdroje vodní energie. V souvislosti s textilní výrobou, stavbou a provozem parních strojů a také ţelezářstvím (opracování odlitku) vznikají první zárodky strojních dílen, jejichţ sortiment se stále rozšiřuje. Na vzhledu, dnes bychom řekli designu prvních strojů je jasně vidět, ţe strojnické kreslení a navrhování strojů bylo odvozeno od stavitelství, protoţe první strojnické školy byly odnoţí škol stavebních. Na starých strojnických výkresech (a pochopitelně starých strojích) jsou patrné téměř antické sloupy, trámové překlady, římsy, či pro změnu gotické (spíše neogotické) lomené oblouky. Pod vlivem stavitelského kreslení sice vstoupilo promítání na kolmé průmětny i do kreslení strojnického, ale zásady byly autory výkresu interpretovány volně. Velká pozornost byla věnována estetice, výkresy jsou plné nepodstatných detailu, barev i stínování. V průběhu 19. století došlo k osamostatnění strojnického kreslení, mizí stavitelský vliv a tvary strojních součástí i celých strojů získávají na účelovosti. Aţ do nástupu sériové výroby měly výkresy ráz kótovaných sestavení, jednotlivé součásti se samostatně nerozkreslovaly, mistr nanejvýš pořídil náčrty pro dělníky. Přesnost rozměru se na výkresech neuváděla. Skutečné rozměry dosaţené při výrobě se někdy zapisovaly do zvláštních knih. Jednotlivé součásti se kreslily v rozpiskách jako náčrty a kótovaly hlavními kótami. Sériová výroba, v počátcích především v oboru výroby zbraní, si vynutila kreslení výkresu součástí (zpočátku na společný výkres). Na výkres se dostávají informace o tolerancích, materiálech, jakosti povrchu. Dalším důsledkem zavádění sériové výroby byla racionalizace a z ní plynoucí potřeba standardizace. Mongeova projekce sice udávala obecná pravidla zobrazování, ale zejména v oblasti kreslení upřesňujících a často se opakujících prvků vládla nejednotnost. ANSI - American National Standards Institute začal pracovat v roce 1926 na standardech normách pro technické kreslení, Československá normalizační společnost, zaloţená v r. 1922, vydala v roce 1928 normu ČSN 1032 Strojnické výkresy, I. část. 46

47 Kapitola 7 Technické výkresy, kótování, značky, Kosoúhlé zobrazování Charakteristickým rysem technického kreslení 2. poloviny 20. století je zapojení výpočetní techniky. Téměř v samých počátcích elektronických samočinných počítačů byly konány pokusy se zobrazením grafiky (na MIT Massachusetts Institute of Technology uţ v r. 1950). V 60. letech vyvíjeli odborníci z MIT i z oblasti průmyslu (leteckého, vojenského) hardware i software pro počítačovou grafiku. Od počátku 70. let jsou vyvíjeny interaktivní počítačové grafické systémy a od počátku let 80. se grafiky zmocňují i osobní počítače. V širší známost vstupuje pojem CAD (Computer Aided Design), jehoţ obsah se během vývoje proměňuje od pouhé úspory rutinní práce projektanta či konstruktéra po vytvoření geometrického modelu navrhovaného objektu. Výpočetní technika umoţňuje nejen vytvořit trojdimenzionální model, ale zaznamenat a vyhodnotit kaţdý krok při vytváření a vyuţívání výrobku. Tato správa ţivotního cyklu výrobku (PLM Product Lifecycle Management) racionalizuje a urychluje vývoj, zvyšuje kvalitu, bezpečnost a hospodárnost, vyţaduje vysoce týmovou práci a je dalším vývojovým stupněm vytváření technických výrobku. Zobrazení 3D (trojrozměrného) modelu takto navrţeného technického výrobku je uţ značně vzdáleno klasickému technickému výkresu. Spíše připomíná ony leonardovské náčrty ve své době fantastických automobilu, lodí, mostu, zdymadel, výrobních strojů a dalších systému. Výuka klasické geometrie tím ale neztrácí opodstatnění, její poslání je naopak filozofičtější, podílí se na formování schopnosti grafické komunikace a napomáhá vytvoření geometrického pohledu na svět, tedy umění geometrizace a matematizace reálných objektu jako jednoho ze základních rysů technického myšlení. TECHNICKÁ DOKUMENTACE TD musí obsahovat všechny nutné údaje, musí být srozumitelná, jednoznačná, musí odpovídat normám, musí být zhotovena v odpovídajícím formátu. Výkresy i listy musí obsahovat popisové pole Dokumentace projekčního záměru objednává jí zákazník, dělá jí odborná firma, mapy a popisy. Dokumentace pro stavební povolení dělá ji odborná firma, výkresy, vyjádření úřadů, zmínka o době výstavby. Poptávková dokumentace podrobná dokumentace, obchodní, finanční podmínky Nabídková dokumentace charakteristické údaje (hlučnost, výkon, záruka, obsluha). Propagační dokumentace součást nabídkové, katalogy, fotky, málo tech. dat, loga firem Projekční dokumentace, dokumentace pro stavební povolení, poptávková součástí je i propagační blok, projekční dokumentace, montáţní, provozní, dokumentace pro údrţbu a dokumentace skutečného provedení. 47

48 Kapitola 7 Technické výkresy, kótování, značky, Kosoúhlé zobrazování KÓTOVÁNÍ Všeobecná ustanovení Při volbě kót je nutné vycházet z funkce, technologie výroby a způsobu měření. Pro určení rozměrů jsou rozhodující pouze kóty bez ohledu na měřítko, v němţ je obraz na výkresu nakreslen. Výkres nemá obsahovat více kót neţ je nutné k jednoznačnému určení tvaru a velikosti výrobku. Je-li to účelné, smí se uţít doplňkových (informativních) kót s rozměry zapsanými v oblých závorkách. Kaţdý konstrukční prvek se kótuje na výkrese pouze jednou. Kóta má být umístěna co nejblíţe ke kótovanému prvku v tom obraze, v němţ je konstrukční prvek zobrazen nezkresleně a je nejzřetelnější. Rozměry, které vyplývají ze zobrazení, se nemusí kótovat. Jsou to zejména: - pravé úhly (90 ) nakreslených obrysů ploch, hran os apod.; - úhly, které svírají boční stěny pravidelných rovnoběţnostěnů Na výkresech se délkové rozměry kótují v mm. Uţívá-li se na výkresech jiných neţ délkových měřicích jednotek, musí se k hodnotám veličin připojit značka příslušné měřicí jednotky (např. kpa, N, ). Kótovací a pomocné čáry: Kótovací a pomocné čáry se kreslí jako tenké plné čáry. Pomocné čáry se prodluţují za kótovací čáry (o 1 aţ 2 mm). Kóty a odkazové čáry se umisťují přednostně vně obrázku a nemají se vzájemně protínat. Je-li několik kótovacích čar umístěno nad sebou, umisťují se delší kótovací čáry postupně dále od obrazu. Jako pomocných čar je dovoleno uţít os nebo prodlouţených os: 48

49 Kapitola 7 Technické výkresy, kótování, značky, Kosoúhlé zobrazování Kótovací čáry se ukončují hraničními šipkami; na výkrese se pouţívá jen jednoho způsobu hraničení kót; hraniční šipky se kreslí tenkými plnými čarami: 1,2.otevřené 3,4.uzavřené 5 úsečky Hraniční šipky se kreslí uvnitř pomocných nebo obrysových čar: Soustavy kót Při kótování dvou nebo několika délkových rozměrů téhoţ směru a při kótování úhlů majících společný vrchol, se můţe pouţít: - řetězcového kótování - kótování od společné základny - smíšeného kótování - souřadnicového kótování Řetězcové kótování Řetězce lze pouţít tehdy, jestliţe součet mezních úchylek jednotlivých rozměrů nemůţe ovlivnit funkci výrobku: 49

50 Kapitola 7 Technické výkresy, kótování, značky, Kosoúhlé zobrazování Větší počet stejných rozměrů lze kótovat součinem, v němţ první člen udává počet roztečí prvků, druhý člen (za znaménkem x) udává rozměr roztečí. V oblých závorkách se za rovnítkem zapíše celkový součet rozměrů, např. všech roztečí: 12 5 x 14 ( = 7 0) Kótování od společné základny Kótovací čáry délkových nebo úhlových rozměrů vycházejí od téţe pomocné, popř. obrysové čáry nebo osy: Při zjednodušeném kótování od společné základny se výchozí bod (počátek) na pomocné čáře označí kruţnicí malého průměru (přibliţně 3 mm) a číslicí Jednoduché kótování, řetězcové kótování a kótování od společné základny mohou být na výkrese kombinovány, je-li to účelné. 50

51 Kapitola 7 Technické výkresy, kótování, značky, Kosoúhlé zobrazování Kótování konstrukčních prvků Pomocné čáry se kreslí na směr kótovaného rozměru. Jestliţe by takto kreslená kóta byla nejasná, nakreslí se pomocné čáry šikmé, navzájem rovnoběţné: Je-li obraz součásti přerušený, kótovací čára se nepřerušuje. Kótování úhlů Rovinné úhly se kótují v úhlových stupních, minutách a vteřinách, značky měřicích jednotek se k rozměrům připisují vţdy. Kótování oblouků Oblouky kruţnic se kótují poloměrem a jedním z těchto rozměrů: - středovým úhlem; - délkou tětivy; - délkou oblouku. Kótování poloměrů Před číselnou hodnotu velikosti poloměru oblouku kruţnice se vţdy umisťuje značka R. Kótování průměrů Průměr, který je zobrazen jako úsečka, se kótuje délkou této úsečky: 51

52 Kapitola 7 Technické výkresy, kótování, značky, Kosoúhlé zobrazování Průměr, který je zobrazen jako kruţnice, se kótuje: Před číselnou hodnotu velikosti průměru se jako nedílná součást kóty umisťuje značka průměru. Není-li kruţnice zobrazena celá nebo kótuje-li se více průměrů v obrazu rotačního předmětu uţijí se neúplné kótovací čáry s jednou hraničící šipkou KOSOÚHLÉ PROMÍTÁNÍ Kosoúhlé promítání je rovnoběţné promítání na jednu průmětnu υ směrem, který má od průmětny odchylku φ jinou neţ 90 od průmětny, promítací paprsky S jsou tak rovnoběţné, ale ne kolmé k průmětně π. Průmětna π je rovnoběţná s některou z hlavních rovin. Kosoúhlé promítání do obecné roviny se nazývá kosoúhlá axonometrie. Výhodou tohoto způsobu zobrazení je skutečnost, ţe předměty které se nacházejí v nárysně jsou zobrazeny v reálné velikosti. 52

53 Kapitola 7 Technické výkresy, kótování, značky, Kosoúhlé zobrazování PRAVOÚHLÉ PROMÍTÁNÍ NA NĚKOLIK PRŮMĚTEN Toto promítaní je dosud nejrozšířenější způsob zobrazovaní ve strojnickém kreslení. Představuje plošné, tzv. dvojrozměrné zobrazení (2D). Jeho výhodou je snadnost kótování. Objekt můţe být promítán aţ na šest navzájem kolmých průměten. Platí však pravidlo, ţe se zobrazení provede jen nezbytně nutným počtem průmětů. V praxi se promítá do tří hlavních průměten, popř. pouze do dvou a v jednoduchých případech pouze do jedné průmětny. Metody pravoúhlého promítaní V souladu s ČSN EN ISO jsou uţívány dvě metody pravoúhlého promítání na několik průměten, které se liší umístěním zobrazovaného objektu vzhledem k pozorovateli a průmětnám. Kaţdá ze dvou k sobě kolmých průměten rozděluje prostor na dva poloprostory a následně tedy na čtyři kvadranty (obr. 4.3). V evropských zemích, tedy i v České republice, se přednostně pouţívá promítání v 1. kvadrantu, tzv. "evropské", označované ISO E. V anglosaských zemích, zejména v USA, se pouţívá metoda promítání ve 3. kvadrantu, označovaná ISO A a nazývaná "americká". Ve výkresové dokumentaci se uţitá metoda promítání označí značkou, umístěnou v popisovém poli výkresu nebo v jeho blízkosti. My budeme přednostně uţívat promítaní v 1. kvadrantu. 53

54 Kapitola 7 Technické výkresy, kótování, značky, Kosoúhlé zobrazování Pravoúhlé promítání 54

55 Kapitola 7 Technické výkresy, kótování, značky, Kosoúhlé zobrazování Rozkreslení domu, pohledy a půdorys: 55

5. P L A N I M E T R I E

5. P L A N I M E T R I E 5. P L A N I M E T R I E 5.1 Z Á K L A D N Í P L A N I M E T R I C K É P O J M Y Bod (definice, značení, znázornění) Přímka (definice, značení, znázornění) Polopřímka (definice, značení, znázornění, počáteční

Více

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna 16. Trojúhelník, Mnohoúhelník, Kružnice (typy trojúhelníků a jejich vlastnosti, Pythagorova věta, Euklidovy věty, čtyřúhelníky druhy a jejich vlastnosti, kružnice obvodový a středový, úsekový úhel, vzájemná

Více

Trojúhelník - určují tři body které neleţí na jedné přímce. Trojúhelník je rovněţ moţno povaţovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů.

Trojúhelník - určují tři body které neleţí na jedné přímce. Trojúhelník je rovněţ moţno povaţovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů. Trojúhelník Trojúhelník - určují tři body které neleţí na jedné přímce. Trojúhelník je rovněţ moţno povaţovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů. C Body se nazývají vrcholy trojúhelníku Úsečky

Více

Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie

Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie 20. 10. porovnávání úseček grafický součet úseček grafický rozdíl úseček... porovnávání úhlů grafický součet úhlů grafický rozdíl úhlů... osa úhlu úhly vedlejší a vrcholové...

Více

Omezíme se jen na lomené čáry, jejichž nesousední strany nemají společný bod. Jestliže A 0 = A n (pro n 2), nazývá se lomená čára uzavřená.

Omezíme se jen na lomené čáry, jejichž nesousední strany nemají společný bod. Jestliže A 0 = A n (pro n 2), nazývá se lomená čára uzavřená. MNOHOÚHELNÍKY Vlastnosti mnohoúhelníků Lomená čára C 0 C C C 3 C 4 protíná samu sebe. Lomená čára A 0 A A... A n- A n (n ) se skládá z úseček A 0 A, A A,..., A n- A n, z nichž každé dvě sousední mají společný

Více

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná Racionální čísla Zlomky Rozšiřování a krácení zlomků

Více

6 Planimetrie. 6.1 Trojúhelník. body A, B, C vrcholy trojúhelníku. vnitřní úhly BAC = α, ABC = β, BCA = γ. konvexní (menší než 180º)

6 Planimetrie. 6.1 Trojúhelník. body A, B, C vrcholy trojúhelníku. vnitřní úhly BAC = α, ABC = β, BCA = γ. konvexní (menší než 180º) 6 Planimetrie Planimetrie = část matematiky, která se zabývá geometrií (původně věda o měřené země) v rovině (obrazce, jejich vlastnosti, shodnost a podobnost, zobrazení). 6.1 Trojúhelník Každé tři body,

Více

PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh

PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh Lomená čára A 0 A 1 A 2 A 3..., A n (n 2) se skládá z úseček A 0 A 1, A 1 A 2, A 2 A 3,..., A n 1 A n, z nichž každé dvě sousední mají společný jeden krajní

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuk prostřednictvím ICT Číslo a název šablon klíčové aktivit III/2 Inovace a zkvalitnění výuk prostřednictvím

Více

Čtyřúhelník. O b s a h : Čtyřúhelník. 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti. 2. Názvy čtyřúhelníků Deltoid Tětivový čtyřúhelník

Čtyřúhelník. O b s a h : Čtyřúhelník. 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti. 2. Názvy čtyřúhelníků Deltoid Tětivový čtyřúhelník Čtyřúhelník : 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti 2. Názvy čtyřúhelníků 2.1. Deltoid 2.2. Tětivový čtyřúhelník 2.3. Tečnový čtyřúhelník 2.4. Rovnoběžník 2.4.1. Základní vlastnosti 2.4.2. Výšky

Více

PLANIMETRIE úvodní pojmy

PLANIMETRIE úvodní pojmy PLANIMETRIE úvodní pojmy Je část geometrie zabývající se studiem geometrických útvarů v rovině. Základními stavebními kameny v rovině budou bod a přímka. 1) Přímka a její části Dvěma různými body lze vést

Více

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy 5 Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy Trojúhelník: Trojúhelník je definován jako průnik tří polorovin. Pojmy: ABC - vrcholy trojúhelníku abc - strany trojúhelníku ( a+b>c,

Více

- shodnost trojúhelníků. Věta SSS: Věta SUS: Věta USU:

- shodnost trojúhelníků. Věta SSS: Věta SUS: Věta USU: 1/12 PLANIMETRIE Základní pojmy: Shodnost, podobnost trojúhelníků Středová souměrnost, osová souměrnost, posunutí, otočení shodná zobrazení Středový a obvodový úhel Obsahy a obvody rovinných obrazců 1.

Více

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce MATEMATIKA 5. TŘÍDA 1 - Přirozená čísla a číslo nula a číselná osa, porovnávání b zaokrouhlování c zápis čísla v desítkové soustavě d součet, rozdíl e násobek, činitel, součin f dělení, dělení se zbytkem

Více

Opakování ZŠ - Matematika - část geometrie - konstrukce

Opakování ZŠ - Matematika - část geometrie - konstrukce Opakování ZŠ - Matematika - část geometrie - konstrukce Základní útvary v rovině Bod je nejzákladnější geometrický pojem. Body zapisujeme písmeny velké abecedy: A, B, N, H, Přímka Přímky zapisujeme písmeny

Více

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA DRUHÝ MGR. JÜTTNEROVÁ Název zpracovaného celku: PODOBNOST A STEJNOLEHLOST PODOBNOST

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA DRUHÝ MGR. JÜTTNEROVÁ Název zpracovaného celku: PODOBNOST A STEJNOLEHLOST PODOBNOST Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA DRUHÝ MGR. JÜTTNEROVÁ 7. 5. 0 Název zpracovaného celku: PODOBNOST A STEJNOLEHLOST PODOBNOST Je každé zobrazení v rovině takové, že pro libovolné body roviny

Více

PRACOVNÍ SEŠIT PLANIMETRIE. 6. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT PLANIMETRIE. 6. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online PRACOVNÍ SEŠIT 6. tematický okruh: PLANIMETRIE vytvořila: RNDr. Věra Effenberger expertka na online přípravu na SMZ

Více

ICT podporuje moderní způsoby výuky CZ.1.07/1.5.00/ Matematika planimetrie. Mgr. Tomáš Novotný

ICT podporuje moderní způsoby výuky CZ.1.07/1.5.00/ Matematika planimetrie. Mgr. Tomáš Novotný Název projektu ICT podporuje moderní způsoby výuky Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0717 Název školy Gymnázium, Turnov, Jana Palacha 804, přísp. organizace Číslo a název šablony klíčové aktivity IV/2 Inovace

Více

Základní geometrické tvary

Základní geometrické tvary Základní geometrické tvary č. 37 Matematika 1. Narýsuj bod A. 2. Narýsuj přímku b. 3. Narýsuj přímku, která je dána body AB. AB 4. Narýsuj polopřímku CD. CD 5. Narýsuj úsečku AB. 6. Doplň. Rýsujeme v rovině.

Více

1. Planimetrie - geometrické útvary v rovině

1. Planimetrie - geometrické útvary v rovině 1. Planimetrie - geometrické útvary v rovině 1. Základní pojmy Body průsečíky čar, značí se velkými tiskacími písmeny A = B bod A je totožný (splývá) s bodem B A B různé body A, B Přímka je dána dvěma

Více

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444 ARITMETIKA CELÁ ČÍSLA Celá čísla jsou. -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, Celá čísla rozdělujeme na záporná (-1, -2, -3, ) kladná (1, 2, 3,.) nula 0 (není číslo kladné ani záporné) absolutní

Více

Témata absolventského klání z matematiky :

Témata absolventského klání z matematiky : Témata absolventského klání z matematiky : 1.Dělitelnost přirozených čísel - násobek a dělitel - společný násobek - nejmenší společný násobek (n) - znaky dělitelnosti 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9,10 - společný

Více

A STEJNOLEHLOST,, EUKLIDOVYE VĚTY 2.

A STEJNOLEHLOST,, EUKLIDOVYE VĚTY 2. PODOBNOST A STEJNOLEHLOST,, EUKLIDOVYE VĚTY 2. ČÁST MAT. OT 2. OT. Č.. 15: SHODNÁS HODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ, PODOBNOST A STEJNOLEHLOST,, EUKLIDOVYE VĚTY PODOBNOST KDE LÁTKU NAJDETE Kapitola Základy planimetrie

Více

SHODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ GEOMETRICKÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ SHODNÁ ZOBRAZENÍ

SHODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ GEOMETRICKÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ SHODNÁ ZOBRAZENÍ Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MTEMTIK DRUHÝ Mgr. Tomáš MŇÁK 21. června 2012 Název zpracovaného celku: SHODNÁ ZORZENÍ V ROVINĚ Teoretická část GEOMETRICKÁ ZORZENÍ V ROVINĚ Zobrazení Z v rovině je předpis,

Více

GEOMETRIE. Projekt byl podpořen z Evropského sociálního fondu. Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti

GEOMETRIE. Projekt byl podpořen z Evropského sociálního fondu. Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti GEOMETRIE pracovní sešit pro 6. ročník Projekt byl podpořen z Evropského sociálního fondu. Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Tato publikace byla vytvořena v souladu s RVP ZV v rámci projektu

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

Úsečka spojující sousední vrcholy se nazývá strana, spojnice nesousedních vrcholů je úhlopříčka mnohoúhelníku.

Úsečka spojující sousední vrcholy se nazývá strana, spojnice nesousedních vrcholů je úhlopříčka mnohoúhelníku. Mnohoúhelníky Je dáno n různých bodů A 1, A 2,. A n, z nichž žádné tři neleží na přímce. Geometrický útvar tvořený lomenou čarou a částí roviny touto čarou ohraničenou nazýváme n-úhelníkem A 1 A 2. A n.

Více

Téma 5: PLANIMETRIE (úhly, vlastnosti rovinných útvarů, obsahy a obvody rovinných útvarů) Úhly 1) Jaká je velikost úhlu? a) 60 b) 80 c) 40 d) 30

Téma 5: PLANIMETRIE (úhly, vlastnosti rovinných útvarů, obsahy a obvody rovinných útvarů) Úhly 1) Jaká je velikost úhlu? a) 60 b) 80 c) 40 d) 30 Téma 5: PLANIMETRIE (úhly, vlastnosti rovinných útvarů, obsahy a obvody rovinných útvarů) Úhly 1) Jaká je velikost úhlu? a) 60 b) 80 c) 40 d) 30 2) Vypočtěte velikost úhlu : a) 150 10 b) 149 22 c) 151

Více

P L A N I M E T R I E

P L A N I M E T R I E M T E M T I K P L N I M E T R I E rovinná geometrie Základní planimetrické pojmy od - značí se velkými tiskacími písmeny, např.,,. P, Q. Přímka - značí se malými písmeny, např. a, b, p, q nebo pomocí bodů

Více

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě.

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě. STANDARDY MATEMATIKA 2. stupeň ČÍSLO A PROMĚNNÁ 1. M-9-1-01 Žák provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel; užívá ve výpočtech druhou mocninu a odmocninu 1. žák provádí základní početní

Více

Pojmy: stěny, podstavy, vrcholy, podstavné hrany, boční hrany (celkem hran ),

Pojmy: stěny, podstavy, vrcholy, podstavné hrany, boční hrany (celkem hran ), Tělesa 1/6 Tělesa 1.Mnohostěny n-boký hranol Pojmy: stěny, podstavy, vrcholy, podstavné hrany, boční hrany (celkem hran ), hranol kosý hranol kolmý (boční stěny jsou kolmé k rovině podstavy) pravidelný

Více

Syntetická geometrie I

Syntetická geometrie I Shodnost Pedagogická fakulta 2016 www.karlin.mff.cuni.cz/~zamboj/ Vzdálenost dvou bodů Necht A, B, C ρ. Vzdálenost dvou bodů A, B v rovině je číslo AB a platí AB 0 AB = 0 A = B AB = BA pozitivně definitní

Více

je-li dáno: a) a = 4,6 cm; α = 28 ; b) b = 8,4 cm; β = 64. Při výpočtu nepoužívejte Pythagorovu větu!

je-li dáno: a) a = 4,6 cm; α = 28 ; b) b = 8,4 cm; β = 64. Při výpočtu nepoužívejte Pythagorovu větu! -----Pravoúhlý trojúhelník----- 156 V pravoúhlém trojúhelníku ABC má pravý úhel vrchol C. Vypočítejte velikost jeho ostrých úhlů, je-li dáno: a) a = 62 mm, b = 37 mm, b) a = 36 mm, c = 58 mm, c) b = 8,4

Více

M - 2. stupeň. Matematika a její aplikace Školní výstupy Žák by měl

M - 2. stupeň. Matematika a její aplikace Školní výstupy Žák by měl 6. ročník číst, zapisovat, porovnávat, zaokrouhlovat, rozkládat přirozená čísla do 10 000 provádět odhady výpočtů celá čísla - obor přirozených čísel do 10 000 numerace do 10 000 čtení, zápis, porovnávání,

Více

( ) ( ) 6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou ( ) ( ) ( ) ( 2. e) = ( )

( ) ( ) 6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou ( ) ( ) ( ) ( 2. e) = ( ) 6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou Další dovednosti: -iracionální nerovnice -lineární nerovnice s parametrem -kvadratické nerovnice s parametrem Možné maturitní otázky: Lineární a kvadratické nerovnice

Více

Předpokládané znalosti žáka 1. stupeň:

Předpokládané znalosti žáka 1. stupeň: Předpokládané znalosti žáka 1. stupeň: ČÍSLO A POČETNÍ OPERACE používá přirozená čísla k modelování reálných situací, počítá předměty v daném souboru, vytváří soubory s daným počtem prvků čte, zapisuje

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

Tělesa Geometrické těleso je prostorový omezený geometrický útvar. Jeho hranicí neboli povrchem je uzavřená plocha. Geometrická tělesa dělíme na

Tělesa Geometrické těleso je prostorový omezený geometrický útvar. Jeho hranicí neboli povrchem je uzavřená plocha. Geometrická tělesa dělíme na Tělesa Geometrické těleso je prostorový omezený geometrický útvar. Jeho hranicí neboli povrchem je uzavřená plocha. Geometrická tělesa dělíme na mnohostěny a rotační tělesa. - Mnohostěny mají stěny, hrany

Více

GEOMETRIE PLANIMETRIE Úlohy k rozvoji geometrické představivosti Úlohy početní. Růžena Blažková

GEOMETRIE PLANIMETRIE Úlohy k rozvoji geometrické představivosti Úlohy početní. Růžena Blažková GEOMETRIE PLANIMETRIE Úlohy k rozvoji geometrické představivosti Úlohy početní Růžena Blažková 1. Základní pojmy 1. Zvolte si čtyři různé body v rovině. Kolik různých přímek je těmito body určeno? Jak

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Cvičení z matematiky Náplň: Systematizace a prohloubení učiva matematiky Třída: 4. ročník Počet hodin: 2 Pomůcky: Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné obory

Více

Trojúhelník. MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů. Ing. Miroslav Čapek srpen 2011

Trojúhelník. MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů. Ing. Miroslav Čapek srpen 2011 MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů Trojúhelník Ing. Miroslav Čapek srpen 2011 Projekt Využití e-learningu k rozvoji klíčových kompetencí reg. č.: CZ.1.07/1.1.10/03.0021 je spolufinancován

Více

February 05, Čtyřúhelníky lichoběžníky.notebook. 1. Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace

February 05, Čtyřúhelníky lichoběžníky.notebook. 1. Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Registrační číslo projektu: Název projektu: Název a číslo globálního grantu: CZ.1.07/1.1.12/02.0010 Šumavská škola = evropská škola Zvyšování kvality ve vzdělání v Plzeňském kraji CZ.1.07/1.1.12 Název

Více

Kružnice, úhly příslušné k oblouku kružnice

Kružnice, úhly příslušné k oblouku kružnice KRUŽNICE, KRUH Kružnice, úhly příslušné k oblouku kružnice Je dán bod S a kladné číslo r. Kružnice k(s;r) je množina všech bodů (roviny), které mají od bodu S vzdálenost r. Můžeme také říci. Kružnicí k

Více

Systematizace a prohloubení učiva matematiky. Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Systematizace a prohloubení učiva matematiky. Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Cvičení z matematiky Systematizace a prohloubení učiva matematiky 4. ročník 2 hodiny Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné

Více

Témata ke státní závěrečné zkoušce z matematiky ARITMETIKA

Témata ke státní závěrečné zkoušce z matematiky ARITMETIKA Státní zkouška aritmetika Témata ke státní závěrečné zkoušce z matematiky ARITMETIKA Teoretická aritmetika 1. Prvky výrokové logiky - výrok, skládání výroků, abeceda výrokové logiky, výrokové formule,

Více

[obr. 1] Rozbor S 3 S 2 S 1. o 1. o 2 [obr. 2]

[obr. 1] Rozbor S 3 S 2 S 1. o 1. o 2 [obr. 2] Příklad Do dané kruhové výseče s ostrým středovým úhlem vepište kružnici (obr. ). M k l V N [obr. ] Rozbor Oblouk l a hledaná kružnice k se dotýkají v bodě T, mají proto v tomto bodě společnou tečnu t.

Více

Maturitní témata od 2013

Maturitní témata od 2013 1 Maturitní témata od 2013 1. Úvod do matematické logiky 2. Množiny a operace s nimi, číselné obory 3. Algebraické výrazy, výrazy s mocninami a odmocninami 4. Lineární rovnice a nerovnice a jejich soustavy

Více

M - Planimetrie pro studijní obory

M - Planimetrie pro studijní obory M - Planimetrie pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je dovoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento dokument byl

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

6. Čtyřúhelníky, mnohoúhelníky, hranoly

6. Čtyřúhelníky, mnohoúhelníky, hranoly 6. Čtyřúhelníky, mnohoúhelníky, hranoly 7. ročník - 6. Čtyřúhelníky, mnohoúhelníky, hranoly 6.1. Základní pojmy 6.1.1. n úhelník n - úhelník pro n > 2 je geometrický obrazec, který má n vrcholů ( stran,

Více

TROJÚHELNÍK 180. Definice. C neleží v přímce. Potom trojúhelníkem ABC nazveme průnik polorovin ABC, BCA, Nechť body. Viz příloha: obecny_trojuhelnik

TROJÚHELNÍK 180. Definice. C neleží v přímce. Potom trojúhelníkem ABC nazveme průnik polorovin ABC, BCA, Nechť body. Viz příloha: obecny_trojuhelnik TROJÚHELNÍK Definice Nechť body A, B, C neleží v přímce. Potom trojúhelníkem ABC nazveme průnik polorovin ABC, BCA, CAB. Viz příloha: obecny_trojuhelnik Definice trojúhelníku Uzavřená, jednoduchá (neprotínající

Více

Planimetrie úvod, základní pojmy (teorie)

Planimetrie úvod, základní pojmy (teorie) Planimetrie úvod, základní pojmy (teorie) Geometrie (původně zeměměřictví) nyní část matematiky, zabývající se studiem geometrických objektů Planimetrie rovinná geometrie Stereometrie prostorová geometrie

Více

Každá kružnice má střed, označuje se S. Všechny body kružnice mají od středu S stejnou vzdálenost, říká se jí poloměr kružnice a označujeme ho r.

Každá kružnice má střed, označuje se S. Všechny body kružnice mají od středu S stejnou vzdálenost, říká se jí poloměr kružnice a označujeme ho r. Každá kružnice má střed, označuje se S. Všechny body kružnice mají od středu S stejnou vzdálenost, říká se jí poloměr kružnice a označujeme ho r. Kružnice k je množina všech bodů v rovině, které mají od

Více

Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49

Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Šablona: III/2 Přírodovědné

Více

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

Přehled vzdělávacích materiálů

Přehled vzdělávacích materiálů Přehled vzdělávacích materiálů Název školy Název a číslo OP Název šablony klíčové aktivity Název sady vzdělávacích materiálů Jméno tvůrce vzdělávací sady Číslo sady Anotace Základní škola Ţeliv Novými

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Matematika (MAT) Náplň: Racionální čísla a procenta a základy finanční matematiky, Trojúhelníky a čtyřúhelníky, Výrazy I, Hranoly Třída: Sekunda Počet hodin: 4 hodiny týdně Pomůcky: Učebna s PC

Více

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 <

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 < 8.. Otázka číslo Mocniny a odmocniny. b.) Zjednodušte: 6 b. b Opakování k maturitě matematika. roč. TAD : 6.) Zjednodušte: 6 6.) Vypočtěte: a. y : ( a. y ) =.) Usměrněte zlomek =.. Otázka číslo Lineární

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo a

Více

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik R4 1. ČÍSELNÉ VÝRAZY 1.1. Přirozená čísla počítání s přirozenými čísly, rozlišit prvočíslo a číslo složené, rozložit složené

Více

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

Základy geometrie - planimetrie

Základy geometrie - planimetrie Základy geometrie - planimetrie Základní pojmy - bod (A, B, X, Y...), přímka ( p, q, a... ), rovina ( α, β, π... ) - nedefinují se Polopřímka: bod dělí přímku na dvě polopřímky opačně orientované značíme

Více

Předmět: MATEMATIKA Ročník: 6.

Předmět: MATEMATIKA Ročník: 6. Předmět: MATEMATIKA Ročník: 6. Výstupy z RVP Školní výstupy Učivo Mezipředm. vazby, PT Číslo a proměnná - užívá různé způsoby kvantitativního vyjádření vztahu celek - část (přirozeným číslem, poměrem,

Více

- 1 - 1. - osobnostní rozvoj cvičení pozornosti,vnímaní a soustředění při řešení příkladů,, řešení problémů

- 1 - 1. - osobnostní rozvoj cvičení pozornosti,vnímaní a soustředění při řešení příkladů,, řešení problémů - 1 - Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět: Matematika 6.ročník Výstup Učivo Průřezová témata - čte, zapisuje a porovnává přirozená čísla s přirozenými čísly - zpaměti a písemně

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky. Téma Školní výstupy Učivo (pojmy) volné rovnoběžné promítání průmětna

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky. Téma Školní výstupy Učivo (pojmy) volné rovnoběžné promítání průmětna Předmět: Matematika Náplň: Stereometrie, Analytická geometrie Třída: 3. ročník a septima Počet hodin: 4 hodiny týdně Pomůcky: PC a dataprojektor, učebnice Stereometrie Volné rovnoběžné promítání Zobrazí

Více

Základní škola Fr. Kupky, ul. Fr. Kupky 350, Dobruška 5.2 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE Matematika 7.

Základní škola Fr. Kupky, ul. Fr. Kupky 350, Dobruška 5.2 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE Matematika 7. 5.2 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE 5.2.1 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE Matematika 7. ročník RVP ZV Obsah RVP ZV Kód RVP ZV Očekávané výstupy ŠVP Školní očekávané výstupy ŠVP Učivo ČÍSLO A PROMĚNNÁ M9101 provádí

Více

TEMATICKÝ PLÁN. září říjen

TEMATICKÝ PLÁN. září říjen TEMATICKÝ PLÁN Předmět: MATEMATIKA Literatura: Matematika doc. RNDr. Oldřich Odvárko, DrSc., doc. RNDr. Jiří Kadleček, CSc Matematicko fyzikální tabulky pro základní školy UČIVO - ARITMETIKA: 1. Rozšířené

Více

- čte a zapisuje desetinná čísla MDV kritické čtení a - zaokrouhluje, porovnává. - aritmetický průměr

- čte a zapisuje desetinná čísla MDV kritické čtení a - zaokrouhluje, porovnává. - aritmetický průměr Matematika - 6. ročník Provádí početní operace v oboru desetinná čísla racionálních čísel - čtení a zápis v desítkové soustavě F užití desetinných čísel - čte a zapisuje desetinná čísla - zaokrouhlování

Více

1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem

1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem Analytická geometrie - kružnice Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A = ; 5 [ ] Napište středový i obecný tvar rovnice kružnice, která má střed

Více

STŘEDNÍ PRŮMYSLOVÁ ŠKOLA STROJÍRENSKÁ a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky, Kolín IV, Heverova 191. Obor 23-41-M/01 STROJÍRENSTVÍ

STŘEDNÍ PRŮMYSLOVÁ ŠKOLA STROJÍRENSKÁ a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky, Kolín IV, Heverova 191. Obor 23-41-M/01 STROJÍRENSTVÍ STŘEDNÍ PRŮMYSLOVÁ ŠKOLA STROJÍRENSKÁ a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky, Kolín IV, Heverova 191 Obor 23-41-M/01 STROJÍRENSTVÍ 1. ročník TECHNICKÉ KRESLENÍ ÚVOD A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE

Více

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a

Více

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a

Více

Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu

Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Matematika 7. ročník Zpracovala: Mgr. Michaela Krůtová Číslo a početní operace provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel zaokrouhluje, provádí odhady

Více

Doučování sekunda. měsíc Probírané učivo Základní učivo září Opakování učiva z primy

Doučování sekunda. měsíc Probírané učivo Základní učivo září Opakování učiva z primy Doučování sekunda měsíc Probírané učivo Základní učivo září Opakování učiva z primy Desetinná čísla Krychle a kvádr Prvočísla a čísla složená Společný násobek a dělitel Prvočísla a čísla složená Trojúhelník

Více

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti

Více

Konkretizovaný výstup Konkretizované učivo Očekávané výstupy RVP. Zápis čísla v desítkové soustavě - porovnávání čísel - čtení a psaní čísel

Konkretizovaný výstup Konkretizované učivo Očekávané výstupy RVP. Zápis čísla v desítkové soustavě - porovnávání čísel - čtení a psaní čísel Ročník: I. - vytváří si názoru představu o čísle 5, 10, 20 - naučí se vidět počty prvků do 5 bez počítání po jedné - rozpozná a čte čísla 0 5 - pozná a čte čísla 0 10 - určí a čte čísla 0 20 Číselná řada

Více

Matematika - 6. ročník Vzdělávací obsah

Matematika - 6. ročník Vzdělávací obsah Matematika - 6. ročník Září Opakování učiva Obor přirozených čísel do 1000, početní operace v daném oboru Čte, píše, porovnává čísla v oboru do 1000, orientuje se na číselné ose Rozlišuje sudá a lichá

Více

Základní poznatky, Rovnice a nerovnice, Planimetrie 1. část

Základní poznatky, Rovnice a nerovnice, Planimetrie 1. část Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Základní poznatky, Rovnice a nerovnice, Planimetrie 1. část 1. ročník 4 hodiny týdně PC a dataprojektor Číselné obory Přirozená a celá čísla Racionální

Více

Úterý 8. ledna. Cabri program na rýsování. Základní rozmístění sad nástrojů na panelu nástrojů

Úterý 8. ledna. Cabri program na rýsování. Základní rozmístění sad nástrojů na panelu nástrojů Úterý 8. ledna Cabri program na rýsování program umožňuje rýsování základních geometrických útvarů, měření délky úsečky, velikosti úhlu, výpočet obvodů a obsahů. Je vhodný pro rýsování geometrických míst

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 2 (pro 9-12 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu témat (horní

Více

Nezbytnou součástí ústní zkoušky je řešení matematických příkladů, které student obdrží při zadání otázky.

Nezbytnou součástí ústní zkoušky je řešení matematických příkladů, které student obdrží při zadání otázky. Maturitní témata Matematika Školní rok 2016/17 Nezbytnou součástí ústní zkoušky je řešení matematických příkladů, které student obdrží při zadání otázky. Příprava ke zkoušce trvá 15 minut, ústní zkouška

Více

od zadaného bodu, vzdálenost. Bod je střed, je poloměr kružnice. Délka spojnice dvou bodů kružnice, která prochází středem

od zadaného bodu, vzdálenost. Bod je střed, je poloměr kružnice. Délka spojnice dvou bodů kružnice, která prochází středem Kružnice Kružnice je množina všech bodů roviny, které mají od zadaného bodu, vzdálenost. Bod je střed, je poloměr kružnice. Délka spojnice dvou bodů kružnice, která prochází středem je průměr kružnice.

Více

Maturitní okruhy z matematiky ve školním roce 2010/2011

Maturitní okruhy z matematiky ve školním roce 2010/2011 Vyučující: RNDr. Ivanka Dvořáčková Třída: 8.A Maturitní okruhy z matematiky ve školním roce 2010/2011 Otázka Okruh 1 1. Výroky a operace s nimi 2. Množiny a operace s nimi 2 3. Matematické věty a jejich

Více

Základní škola Náchod Plhov: ŠVP Klíče k životu

Základní škola Náchod Plhov: ŠVP Klíče k životu VZDĚLÁVACÍ OBLAST: VZDĚLÁVACÍ OBOR: PŘEDMĚT: MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE MATEMATIKA MATEMATIKA 5. ROČNÍK Téma, učivo Rozvíjené kompetence, očekávané výstupy Mezipředmětové vztahy Opakování a aktivizace

Více

Trojúhelníky. a jejich různé středy. Součet vnitřních úhlů trojúhelníku = 180 neboli π radiánů.

Trojúhelníky. a jejich různé středy. Součet vnitřních úhlů trojúhelníku = 180 neboli π radiánů. Úvod V této knize předkládáme čtenáři základní matematické a fyzikální vzorce v přívětivé a snadno použitelné podobě. Využití čísel a symbolů k modelování, předpovídání a ovládání reality je mocnou zbraní

Více

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0.

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0. Ukázky typových maturitních příkladů z matematiky..reálná čísla. 3} x R; I. Zobrazte množiny A = {x є 3} < + x R; B = {x є II. Zapište ve tvaru zlomku číslo, 486.Komplexní čísla. I. Určete a + b, a - b,

Více

Základní škola Fr. Kupky, ul. Fr. Kupky 350, Dobruška 5.2 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE Matematika 8.

Základní škola Fr. Kupky, ul. Fr. Kupky 350, Dobruška 5.2 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE Matematika 8. 5.2 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE 5.2.1 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE Matematika 8. ročník RVP ZV Obsah RVP ZV Kód RVP ZV Očekávané výstupy ŠVP Školní očekávané výstupy ŠVP Učivo ČÍSLO A PROMĚNNÁ M9101 M9102

Více

Vyučovací předmět / ročník: Matematika / 4. Učivo

Vyučovací předmět / ročník: Matematika / 4. Učivo Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Výstupy žáka Vyučovací předmět / ročník: Matematika / 4. ČÍSLO A POČETNÍ OPERACE Zpracoval: Mgr. Dana Štěpánová orientuje se v posloupnosti přirozených čísel

Více

CHARAKTERISTIKA. VZDĚLÁVACÍ OBLAST VYUČOVACÍ PŘEDMĚT ZODPOVÍDÁ VOLITELNÉ PŘEDMĚTY Seminář z matematiky Mgr. Dana Rauchová

CHARAKTERISTIKA. VZDĚLÁVACÍ OBLAST VYUČOVACÍ PŘEDMĚT ZODPOVÍDÁ VOLITELNÉ PŘEDMĚTY Seminář z matematiky Mgr. Dana Rauchová CHARAKTERISTIKA VZDĚLÁVACÍ OBLAST VYUČOVACÍ PŘEDMĚT ZODPOVÍDÁ VOLITELNÉ PŘEDMĚTY Seminář z matematiky Mgr. Dana Rauchová Vyučovací volitelný předmět Cvičení z matematiky je zařazen samostatně na druhém

Více

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel. 5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených

Více

1. Opakování učiva 6. ročníku

1. Opakování učiva 6. ročníku . Opakování učiva 6. ročníku.. Čísla, zlomek ) Z číslic, 6 a sestavte všechna trojciferná čísla tak, aby v každém z nich byly všechny tři číslice různé. ) Z číslic, 0, 3, sestavte všechna čtyřciferná čísla

Více

Máme tři různé body A, B, C. Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA a CAB.

Máme tři různé body A, B, C. Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA a CAB. 8. Trojúhelník 6. ročník 8. Trojúhelník 8.1. Základní pojmy 8.1.1. Trojúhelník Máme tři různé body A, B, C. Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA a CAB. Trojúhelník popisujeme proti chodu hodinových

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z METOD ŘEŠENÍ 1 PLANIMETRIE 000/001 Cifrik, M-ZT První příklad ze zadávacích listů 1 Zadání: Sestrojte trojúhelník ABC, pokud je dáno: ρ

Více

-Zobrazí čísla a nulu na číselné ose

-Zobrazí čísla a nulu na číselné ose Dodatek k ŠVP č. 38 Výstupy matematika 6. ročník doplnění standardů RVP 6. ročník ŠVP 6.ročník Učivo Matematika Doplnění podle standardů Žák provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Matematika (MAT) Náplň: Rovnice a nerovnice, kruhy a válce, úměrnost, geometrické konstrukce, výrazy 2 Třída: Tercie Počet hodin: 4 hodiny týdně Pomůcky: Učebna s PC a dataprojektorem (interaktivní

Více

4. 2 VZDĚLÁVACÍ OBLAST MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE Nižší stupeň víceletého gymnázia 4.2.1 Matematika

4. 2 VZDĚLÁVACÍ OBLAST MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE Nižší stupeň víceletého gymnázia 4.2.1 Matematika 2 VZDĚLÁVACÍ OBLAST MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE Nižší stupeň víceletého gymnázia 1 Matematika Hodinová dotace Matematika 4 4 4 4 Realizuje obsah vzdělávacího oboru Matematika a její aplikace RVP ZV. Matematika

Více