Univerzita Karlova konference 2. dubna 2013 Matematicko fyzikální fakulta Katedra matematiky a didaktiky matematiky.

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Univerzita Karlova konference 2. dubna 2013 Matematicko fyzikální fakulta Katedra matematiky a didaktiky matematiky."

Transkript

1 Univerzita Karlova konference 2. dubna 2013 Matematicko fyzikální fakulta Katedra matematiky a didaktiky matematiky Geometrie & Umění Geometrie očima Záznam přednášky Yvo Jacquier SROVNÁVACÍ GEOMETRIE / Pocta velkému pedagogu Janu Amosu Komenskému (Comenius) 1 on 37

2 Část I - čistá matematika 2 on 37

3 Myšlení očima Zlatý řez, původ Věnujte pozornost přiloženému obrázku. Dva přiléhající (dvojnásobné) čtverce, úhlopříčka, která je protíná a osa většího úhlu. Pokud osu úhlu prodloužíte, protne vodorovnou dělící čáru čtverců. Bod protnutí se označuje jako Zlatý řez (φ). Toto je první a nejstarší definice Zlatého řezu. V jednom okamžiku shrnuje : - konstrukci (nejjednodušší způsob) - definici (nejsrozumitelnější způsob) - vlastnosti za použití úhlů: Větší úhel úhlopříčky dvojnásobného čtverce je dvojnásobek menšího úhlu Zlatého řezu. Uvedený způsob myšlení se nazývá «Geometrie očima». Vznikl dlouhou dobu před výpočty, před písmem a koncepcí plochy. Možná již během pozdního paleolitu, ovšem v tomto případě můžeme přebudovat koncept jako "paleo", protože geometrie pokračuje dále. Použitá metoda má možnost dalších výkladů (následující stránka) a také matematické vyjádření. Nezjevila se z ničeho nic, patří do soudržného celku, kterým Thales a Pythagoras navázali na starověký Egypt. 3 on 37

4 Schémata v dílech Dürera Nejprve uvažujme kružnici se středem v bodu O střed dvojnásobného čtverce. Tato kružnice prochází bodem I, s AI = φ Doplňující částí průměru φ je 1/φ, přičemž φ + 1 / φ = 5 Další objevené vlastnosti zlatého obdélníku : zlatý obdélník : Pokud je jedna úhlopříčka vodorovná, druhá úhlopříčka je úhlopříčkou dvojnásobného čtverce. Albrecht Dürer použil tento princip v jeho famózním díle «Melencolia I». Mřížka Geometrie očima je vybudována na využití mřížky. V tomto rámci je umožněno vytvořit, demonstrovat a přitom mít na paměti všechny elementy. Nejzákladnějším vyjádřením tohoto postupu je jednoduchý trojúhelník Osami úhlu tohoto trojúhelníku jsou přirozené úhlopříčky jednoduchého, dvojnásobného a trojnásobného čtverce. Zlatý řez se nachází na druhé ose úhlu, mezi vrcholem a vepsanou kružnicí. 4 on 37

5 Trojúhelník Dalším vyjádřením vlastností «posvátného trojúhelníku» - je tzv. mapovací trojúhelník, který tyto vlastnosti využívá mnohem více. Součet pořadí (dle počtu čtverců odpovídajících ose úhlu) s hodnotou protilehlé strany je 6. Číslo 6 je základem číselné řady v esoterice. Kostka má šest stran, s šesti celými čísly od 1 do 6. Součet opačných stan je 7. Tento údaj je velmi důležitý, neboť jednoduše ukazuje, že pre-eukleidovská geometrie není nutně axiomatická a empirická. Strana 5 není konvence. Toto tvrzení je možné dokázat i s podobnými trojúhelníky. 5 on 37

6 Čtyři důkazy φ v trojúhelníku důkaz : jak jsme viděli, φ je určeno trojúhelníkem. Zlatý obdélník 2 x 2φ označený jako "klasický", se pohybuje po v pořadí druhé ose úhlu. 2.φ je vzdálenost mezi vrcholem trojúhelníku a jeho vepsanou kružnicí. 2. důkaz : první důkaz se týká rozměrů, druhý se týká úhlů. Osa úhlů 1. a 3. jsou přirozené úhlopříčky zlatého obdélníku. To vede k zobecnění popisu symbolů. 3. důkaz : klasický obdélník se může neomezeně dělit (ve skutečnosti se jedná o skryté zlaté obdélníky). Tímto způsobem lze tvořit zlaté spirály, které se sbíhají k bodu T umístěnému na přeponě jednu jednotku od vrcholu trojúhelníku. 6 on 37

7 4. důkaz : pentagram vychází z konfrontace vepsané kružnice a jejího obrazu. Druhá kružnice je vložena do středu dvou objektů nad základnou trojúhelníku (strana 4), ve vzdálenosti φ od strany 3. Pentagram je nakloněn podle úhlopříčky zlatého obdélníku. Demonstrace V ukázce je pouze několik základních požadavků. Je možné je označit jako Thaletovy věty. Důkazy prostřednictvím podobných trojúhelníků. Další aspekty jsou velmi jednoduché. Proces, kdy se důkaz neprovádí výpočty, ale dokládá se ukázkou, se nazývá «demonstrace». Součet úhlů trojúhelníku Je nezbytné pouze propojit tři různé úhly shodných trojúhelníků v bodě O, součet jejich úhlů v tomto bodě je 180 (také označováno symbolem π, nebo jako přímý úhel, poloměr) Dle Jean-Paul Guicharda lze použít ještě jednodušší způsob: Olivier Keller zmiňuje ve své knize «archeologie geometrie», sbírku kostěných rytin z období paleolitu. Jejich obrazce ukazují stejné struktury. 7 on 37

8 Obrazce sakrální geometrie Hexagram Když kruh umístíme do mřížky 4 x 4, jejich průniky ukazují dva trojúhelníky hexagramu - obrazce zvěrokruhu. Vesica Piscis mandle Vesica piscis je tvořena dvěma spojenými kružnicemi: střed každé z nich leží na druhé kružnici. Pythagorejci ji považovali za sakrální, archaický a původní symbol Venuše - dlouho předtím, než jí byly přisouzeny vlastnosti, které zakryly její skutečný status. 8 on 37

9 Doslovně mandlová pochva se ve francouzštině skromně nazývá "déïque" Představuje posvátný ženský prvek. Symbol je spojován s číslem 3, jeho význam v paleolitu není dosud odhalen Pozn.: Mandorla Krista není nikdy vesica piscis. Další podmínkou definující mandli je opsaný obdélník s poměrem 3. Hexagram a Vesica Piscis Na obrázku je hlavní byzantská mřížka Andreje Rubleva, která byla použita k vytvoření "Svaté Trojice". Tento obrazec sjednocuje celé dílo. Vnitřní šestihran hexagramu určuje vesica piscis, jejíž mandle je 2 čtverce na výšku. Kružnice vesica pisces má poloměr 2/ 3. Ostatní mandle (sklon 45 ) jsou umístěny v hexagramu. Pozn.: byzantská mřížka není triviální, dokonce i při použití φ... Pentagram a Vesica Piscis Deska je 1/2 Φ = (1 + 5) / 2 = 1/2 + 5/2 8 bodů z 10 pentagramu se nachází na Vesica Piscis. To znamená, že hlavní obrazce sakrální geometrie jsou přirozeně propojeny. 9 on 37

10 Od Gízy po Babylon Počty a písmo se objevuje během neolitu, přináší nové možnosti využití geometrie mřížky. Tato změna se týká všech civilizací, ale dá se říct, že Egypťané jsou sentimentálnější a umělecky zdatnější ve srovnání s Mezopotámií, více organizovanou a abstraktní. Je zjevné, že si vyměňovali své znalosti, ale jejich přístupy jsou odlišné. Babyloňané překládali své zkušenosti s geometrií do čísel. Tento nový vývoj se stal základem kabaly. První krok k objasnění je uveden níže. Paragonální obrazec V každém trojúhelníku je součet tří úhlů rovný přímému úhlu, nebo-li 180. Â1 + Â2 = 90 - Â3 je v libovolné posloupnosti Â1, Â2 a Â3. > Jeden z nich může být pravý úhel. Předcházející vlastnosti ukážeme na případu pravoúhlého trojúhelníku. Pokud vycházíme z modré osy pravého úhlu, je vazba mezi ostatními úhly následující Â1 + Â2 = 90 - Â3 s Â3 = 45. Z toho vyplývá Â2 = 45 - Â1. 10 on 37

11 V geometrii to znamená, že můžeme v pravoúhlém trojúhelníku zjistit druhou osu úhlu na základě první. První osu úhlu lze považovat za úhlopříčku obdélníku (DE). Tento obdélník lze otočit o 45 na úhlopříčku (EF) (EF a DE svírají pravý úhel). A nakonec úsečka (DF) odpovídá sklonu druhé osy úhlu. Tuto vlastnost pojmenoval francouzský matematik Raphaël Legoy během studia babylonské desky Plimpton Příklad - od trojitého k párovému Následující obrázek pomůže pochopit pravoúhlý trojúhelník. 11 on 37

12 V současné době jsme zvyklí na Pythagorovy věty, ale "geometrie očima» nevyžaduje teorii ploch čtverců k pochopení pravoúhlého trojúhelníku. Lze si ji představit prostřednictvím úhlů, stejně tak jako o zlatý řez. Jednoduchý příklad trojúhelníku , ukazuje všechny vztahy dvojic (p, q). Vidíme, že osa úhlu z vrcholu B trojúhelníku automaticky protíná osu úhlu z bodu A, (paragonála). V tomto případě jsou body B ' a B symetrické. V souvislosti s touto paragonálou (zelená) je úsečka B'O (červená) v pravém úhlu k červené úsečce BO. Obrázek dokazuje, že úhlopříčky žlutého a zeleného obdélníku v bodě O svírají pravý úhel (a jejich paragonál je ortogonální k OA). Tento obrázek nabízí předpoklady, které je možné potvrdit dalšími trojúhelníky. Poměr p a q zde je 5/2. To je nepřekonatelné. Poznámka: ke zjištění OB jsou nutné tři obdélníky. 3 = q-p Poznámka: OA lze zjistit pomocí dvou obdélníků 2=p Za těchto předpokladů lze rozměry trojúhelníku zjistit jednoduše. BA = B O + O A = (q-p)q + p(q+p) = q² + p² CA = CO + O A = (q-p)p + p(q+p) = 2pq CB = (q-p)p + (q-p)q = q² + p² Což odpovídá : a = q² - p² b = 2pq c = q² + p² Plimpton hypotéza Tajemství slavné desky Plimpton 322 (18th století př. n. l.) bylo prolomeno matematiky, a to včetně chybějících částí. Jednoduché výpočty mezi sloupci ukazují naprosto nečekaně řadu prvočísel. Díky tomuto překvapení si zaslouží nazývat «hypotéza Plimpton». Mějte oči na geometrii. 12 on 37

13 Část II - použití v umění 13 on 37

14 Malíři renesance Zvykli jsme si tvrdit, že použití perspektivy v období renesance je duchem pokroku. Samozřejmě, tento nový způsob ztvárnění reálných linií našel svá matematická pravidla v této době. Ovšem kromě tohoto neutrálního systému umělci renesance i nadále používali v oblasti symbolismu starší způsob vyjádření - sakrální geometrii. I bez znalosti kompozice si ji lze představit za pomoci velmi jednoduché definice: kompozice je soubor vzájemně propojených čar vyjádřitelný matematicky, kterým se řídí konečné výtvarné ztvárnění. Tužka umělce nebo architekta vyhledává tyto geometrické obrazce, a tyto obrazce jsou skrytou podstatou utváření díla, v průběhu jeho realizace se postupně jejich smysl zakrývá, až je zcela nepostřehnutelný. V případě sakrální geometrie umožňuje mřížka převést obrazce do čísel a naopak. Díky tomu lze odhalit skutečný význam vlastního díla. Perspektivní systém přináší realismus, ale neobjasňuje význam symbolů. Pro jejich pochopení je nutná znalost jejich základů. Ve své «Athénské škole» Raphael mísí dva systémy. Sakrální geometrii odpovídají linie perspektivy v jejich úhlech. 14 on 37

15 Např. dvě bílé přímky klesají pod úhlem 36 ke svislici, jako odkaz na pentagram. Pocit harmonie nezávisí na jediné skutečnosti. Tento úhel je součástí dalšího objektu. Měřítko φ je dáno Platónem, a potvrzeno rukou Aristotela. «Svatý Michal a ďábel» Sakrální geometrie v díle Raphaela je jednoduchá a jako vždy u tohoto malíře nebývale efektivní. Geometricky vytvořená šipka je mnohem účinnější než oštěp sám! 15 on 37

16 Dějiny umění «Velká Odaliska» Pozůstatky této kultury nacházíme až do XIX. století. [Geometrie očima je postavena na mřížce, která umožňuje vyjádření formy. Čísla otvírají cestu pro překlad symbolů do lidského jazyka]. V práci J. D. Ingrese, má velká kružnice průměr 3 číslo vyjadřující nebesa. Mřížka jako obvykle ukazuje trojúhelník Strana zeleného čtverce je 2.φ. Chrám Eanna - Uruk IV - IV tisíciletí př.n.l. Díky těmto principům lze objasnit architekturu Mezopotámie na počátku neolitu. 16 on 37

17 Planina Gíza let př. n.l. Stejné znalosti využívali i ve Starověkém Egyptě. Plimptonská deska století př.n.l. Slavná Plimptonská deska 322, z období 1800 př.n. l. je považována za seznam Pythagorejských trojic redukovaných na dvojice. Tyto dvojice tvoří seznam jednotek, přičemž i chybějící řádky desky respektují toto pravidlo! Princip je možné dále rozšiřovat, dvě hodnoty trojice se stávají dvojicí další trojice. Pythagorejci soustředili oba vlivy, mezopotámský a egyptský. V průběhu staletí bylo Řecko křižovatkou znalostí. 17 on 37

18 Sakrální geometrie se snaží proniknout do římského realismu, vyjádřeného v architektonickém díle Vitruvia 1. století př.n.l., a rozšířila se i do keltského světa. Vliv Pythagorejců v keltském světě. dokázali archeolog Jean-Loup Flouest a matematik Marc Bacault. Keltská phalera v Champagne, Francie K nakreslení prvků tohoto objektu je zapotřebí 190 kruhů a oblouků postavených na základě čísel 8 a 27. Tato čísla jsou zafixována v pythagorejské numerologii a také dokazují výměnu informací mezi latinskou vědeckou elitou a keltskými druidy, považovanými ve své době za Pythagorejce. Úroveň znalostí této matematiky vyžaduje čtyři roky vysokoškolského studia. Geometrické klíče Germigny - Francie 9. století V tomto období si mnoho umělců a stavitelů zachránilo život útěkem do západní části Evropy, čímž zároveň zachránili i svou kulturu. Do "oratoria" Germigny vložili v didaktickém měřítku základní informace o tvarech. 18 on 37

19 Kniha z Kellsu - Irsko - pozdní 8. století Ještě více extrémní řešení přijali v keltském svět. Irští mniši přijali tuto kulturu a "přepsali" Bibli. Mimochodem, o slavné «Knize z Kellsu» je známo, že s textem pracuje velmi svobodně, jako by mělo být z textu jasné, že hlavním účelem této práce je geometrie. Odmocnina 3 a Phi ( 3 & φ) 19 on 37

20 Ikona Matky Boží Vladimírské 12. století V raném středověku našla tato kultura přístav v Byzanci. V ikonách a keramice. Uspěla jako dar konstantinopolskému patriarchovi, velkému knížeti Kyjevskému v roce (Pravoslavná církev se oddělila od katolické v roce 1054). Tento tichý pravoslavný svět je otřesen ikonografií: mezi roky 730 a 787, a znovu mezi roky 813 a 843. Katedrála Dol-de-Bretagne - Francie převážně 13. a 14. století Francouzské katedrály jsou možná výsledkem této exploze ikonografie. Nová idea se objevila i v mém výzkumu, byl jsem tak posedlý zahraničními vlivy, že jsem neviděl, že i Francie se byla schopna podílet a zároveň i obohatit toto umění, stejně jako severní Itálie nebo Novgorod. 20 on 37

21 Opatství Conques století - vysoká škola umění římského 21 on 37

22 Heptagram tympanonu předcházející strana Kompozice v Conques je dokonalou ukázkou rozvoje využití mřížky. Různé systémy v jednotlivých vrstvách na stejné téma. Příkladem je heptagram připomínající byzantské znalosti. Neuvěřitelné. Klíč mandorla ztrojené čtverce Unikátní lekce geometrie v písmenu G! H je zde hodnota (1+ 3)/2, základ Zlatého řezu. Obrazec je tvořen kružnicí opsanou horní části rovnostranného trojúhelníku. 22 on 37

23 Trojúhelník je také použit pro vytvoření malého čtyřúhelníku v dolní části obrázku. I když to není na první pohled zřejmé, lze obrazec vyjádřit algebraicky ( 3-1) = 2/(1+ 3), avšak ( 3-1)( 3+1) = 3-1 = 2, což je mnohem srozumitelnější. Antikové vše dokázali demonstrovat pouze očima bez výpočtu. Jinými slovy, 3 čtyřúhelník je součtem čtverce a čtyřúhelníku H [H = (1 + 3) / 2] Pozdní středověk - francouzský vliv Dům u zvonu - Praze - ranné 14. století (úžasné) «Portrét Karla VII» (1450/55) - Jean Fouquet 23 on 37

24 A nyní k období vrcholu sakrální geometrie: období renesance. Tři díla ztělesňují vrchol: «Svatá Trojice» od Andreje Rubleva /28, «Zrození Venuše» od Sandra Botticelliho -1485, a «MELENCOLIA I» Albrechta Dürera Třetí dílo je součástí širšího projektu, který je závěrečným důkazem civilizace obrazu -Didaktický projekt Dürer. Perspektivní systém, který vznikl během renesance se zachoval jako jediný v kompozici, po období, kdy se objevoval společně se sakrální geometrií ve stejných dílech. Později se pokoušeli pro «umění úhlopříček» najít klasičtí malíři jednoduchá pravidla, ale bez ztracených znalostí skutečné geometrie. Alegorie pomalu převzaly místo symbolů... Mohli bychom mluvit o 20. století, ale obávám se, že po velkolepém ohňostroji renesance, budou vaše oči zklamány a vaše mysl matematika bude trochu dotčena. Raději ukáži více důkazů geometrie očima. 24 on 37

25 «Svatá Trojice» Andrej Rublev «Svatá Trojice» o Andreje Rubleva /28 Andreï Rublev použil ve své Svaté Trojici jednoduchý čtyřúhelník, namísto tradičního monogramu Krista, nebo věty z Bible. Tradiční znamení v díle není použito, není použitý ani podpis či ornament. Andrej Rublev vyjádřil spojení jednoduchým čtyřúhelníkem sakrální geometrie. Obdélník Andreje Rubleva Tento obdélník odpovídá zlatému řezu. Historický detail: Na počátku dvacátého století, britský kritik a šermíř Theodore Andrea Cook ( ) souhlasil se záměrem svého přítele - amerického matematika Marka Barra, zavést řecké písmeno φ jako matematický symbol zlatého řezu - jako odkaz na řeckého sochaře Phidiase (5. století před n.l.). 25 on 37

26 Přední část je ukázkou aritmetických hodnot. Začátek vyjádřený rovnicí φ2 = φ + 1, viz. Lekce aritmetiky Andreje Rubleva Toto čistě matematické vyjádření se rozvíjí ve spodní části díla. Potvrzuje, že základním prvkem Rublevova díla je obdélník. Horní část naopak odpovídá vyjádření geometrií očima. Nacházíme dualitu s očima boha Hóra jedno otevřené a zaměřené na cíl, druhé zavřené s vnitřním zrakem. Rublev empaticky definoval velikost využití mřížky dvěmi body, Alfa a Omega. Rozměry této ikony jsou přesně 4 jednotky na výšku, poměr Rublevova obdélníku je 2/7. Logika aritmetická se potkává s logikou geometrickou. 26 on 37

27 Potvrzení bodu Omega Omega je bodem, kde se protínají přímky vedené osvětlenými místy v úhlu odpovídajícímu způsobu jejich osvětlení. Duch svatý dává své požehnání na přímce vedené pod úhlem 45. Tři andělé představují zleva doprava otce, syna a Ducha svatého. Bod Alfa a další důkaz 27 on 37

28 Bod alfa a Omega jsou klíč k mřížce. Poznámka 1 : definice tabulky není nikdy užita jednoduchým způsobem. Jak vidíme na tomto příkladě, k definici potřebujeme úplnou sadu důkazů. Tento příklad je velmi důležitý, protože mřížka byla vždy základem sakrální geometrie. Všechny obrazce a linie jsou vytvářeny na základě mřížky. Poznámka 2 : bez měřítek by bylo nemožné vyjádřit symbolický význam. Z těchto důvodů je mřížka nenahraditelná. Poznámka 3 : Chcete-li porozumět tomuto umění, potřebujete znalost matematiky (část I). Potvrzení použití mřížky 28 on 37

29 Hrany schůdků vytváří dvě linie ve středu pod úhlem 8 a 9. 8 odpovídá π/45 a 9 je typický pro logiku pentagramu. Body protnutí přímky procházející bodem omega s přímkami procházejícími hranami schůdků určují poloměr kružnice, která odpovídá velikosti jednoho pole mřížky - kvadratura kruhu. Na spodní části ikony Rublev využívá aritmetické a v horní části geometrické principy. Duchovní a přitom pevně dané. Nyní je možné skutečně studovat obraz «Svatá Trojice» a další mistrovská díla. Ve svaté trojici se dva andělé klaní tomu, který by měl být zván otcem. Kristus je středem v klasické ikonografické pozici - "na trůnu". 29 on 37

30 Překladem tohoto obrázku by mohlo být : středem vepsané kružnice směřuje osa prvního úhlu na otce, druhá (zlatý řez) ukazuje na syna a třetí na Ducha svatého. Objevuje se zde i další symbolický význam, jednota přinášená z úhlu 1 ke straně 5 vyjadřující člověka, úhel 2 přináší inspiraci/víru na zemi (strana 4) a třetí úhel přináší nebesa (3) na nebe (3) v zrcadlovém efektu. Zlatý řez vepsané kružnice je umístěn na ruce Ducha svatého. Základní čtyřúhelník, který odpovídá velikosti vložené kružnice (2) a zlatý řez (2φ) dotýká horní části rámu. Tato ikona dává příležitost k přesnému vyjádření základních aspektů symbolismu: symboly neexistují nezávisle na geometrických obrazcích komunikujících prostřednictvím "analogických myšlenek". Tyto obrazy jsou skutečným jazykem s reálnými strukturami. Takže, co je struktura? Můžeme použít přirovnání k hudbě. Harmonie skládá jednotlivé akordy, jeden za druhým. Sakrální geometrie na sebe klade vrstvy. Vazby mezi různými hodnotami jsou jako ty mezi různými akordy. "hudba sfér" není fantazie, milý Plató. Mřížka je prvním krokem k vnímání této kultury. Poté můžeme přistoupit ke každému obrazci, každé vnitřní linii s měřítkem této mřížky. 30 on 37

31 Autoportrét A. Dürera Měřítko dokonalosti! Jak si být jistý kompozicí? Jak si být jistý při zkoumání? Věda přináší částečnou odpověď. První z nich je "měřítko dokonalosti". Čím větší přesnost, tím jste blíže k pravdě. Ilustračním příkladem tohoto aspektu je dílo, které zůstalo nepoškozeno a zároveň nebylo nikdy restaurováno. Autoportrét Dürera - datován Vysvětluje kombinaci zlatého řezu a kružnice 1/φ2. Srovnání různých děl Hlavní problém geometrie, zejména u organizovaných systémů, je v tom, co nazýváme v hudebním slovníku harmonií. Komplex geometrických forem přirozeně vytváří množství dalších. Ovšem ne každá další forma je původním záměrem autora. Přicházejí jako závan větru při pohybu. 31 on 37

32 Jen pro oči (v mém případě s brýlemi) Jen pro mozek (se zavřenýma očima) Klíč ke kompozici + 32 on 37

33 Zrození Venuše - S. Botticelli Vytvoření mřížky Syntaxe prvků v trojúhelníku 3-4-5, Zlatý řez v pupku Venuše 33 on 37

34 Úžasná konstrukce v sobě kombinuje dva nádherné vějíře vytvořené přímkami rozbíhajícími se pod úhlem 9. Druhým prvkem je vesica piscis tvořená průmětem dvou kružnic o průměru 5. Třetí prvek tvoří dva obdélníky 3 x 4 nakloněné k sobě v úhlu 27 - fundamentální číslo pythagorejců. Znamená čtyři trojúhelníky Klíčové je, že prodloužením jedné strany obdélníku získáme hrot symetrického trojúhelníku. Jde o velmi zvláštní vlastnost, která určuje vlastnosti pentagramu. Hlava Venuše je mimo střed oválu. Vesica piscis non caput. Piscis primum a capite foetet. Ryba smrdí od hlavy. Původní název vychází ze stejného duchu (Vénus anadyomène) Na další stránce: V díle «Zrození Venuše» od Botticelliho, je jedna z důležitých informací ukryta v druhu zobrazené mušle nazývané ve Francii Cyprée - (// Kypr). Stejně jako Dürer ve svém autoportrétu hovoří i Botticelli hovoří o zlaté logice, ale tentokrát prostřednictvím úhlů. Toto je druhá klíčová informace k pochopení díla. 34 on 37

35 Použití zlatého řezu 35 on 37

36 MELENCOLIA I - A. Dürer Příběh tohoto díla v dějinách umění je vysvětlený na 250 stránkách. Pokusím se je shrnout, ale pouze tím dokončím zmiňovanou knihu, zpřístupněnou na mé webové stránce jacquier.org a melencoliai.org. Bohužel, pouze ve francouzštině... «DÜRER A TAROT» Proslov: Melencolia, slavné dílo Albrechta Dürera, existuje již 500 let! V době svého vzniku slavnější než Mona Lisa, skrývá více tajemství ve svých liniích než v úsměvu. Melencolia je klíčem k jazyku, dědicem egyptských, řeckých a mezopotámských znalostí. Ve středověku můžeme nalézt pokračování této tradice v Byzanci, a to až do pádu Konstantinopole v roce 1453, který znamenal počátek renesance. Italští umělci převzali pochodeň encyklopedie symbolů. Ve svém umění kompozice využívali zlatý poměr trojúhelníku 3-4-5, a obrazce skládali jako puzzle. Stejné principy přenesl do rytecké tvorby Dürer. Čtyři grafická díla a sada karet nazvaných "Tarots de Marseille" přinesla tyto znalosti do praktického života. Melencolia je portálem ke ztracené civilizaci, která si pro vyjádření zvolila obraz. K obnovení znalostí této zapomenuté kultury bylo zapotřebí deset let výzkumu ve spolupráci s vědci a symbolisty. A Dürer poskytl vše! Úvod (základní anglická verze) : 36 on 37

37 Informace Konference na Univerzitě Karlově «Geometrie a Umění» 2. dubna 2013 Sokolovská 49/83, Praha 8 Yvo Jacquier na pozvání: Mgr. Zdeněk Halas, DiS. & Ph.D. et PhDr. Alena Šarounová, CSc. Konference Francouzská verze Anglická verze Česká verze sakralni_geometrie.pdf Rozšířená verze matematického korpusu Francouzská verze Anglická verze Česká verze Egyptske_Geometrie 2014.pdf 37 on 37

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce MATEMATIKA 5. TŘÍDA 1 - Přirozená čísla a číslo nula a číselná osa, porovnávání b zaokrouhlování c zápis čísla v desítkové soustavě d součet, rozdíl e násobek, činitel, součin f dělení, dělení se zbytkem

Více

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna 16. Trojúhelník, Mnohoúhelník, Kružnice (typy trojúhelníků a jejich vlastnosti, Pythagorova věta, Euklidovy věty, čtyřúhelníky druhy a jejich vlastnosti, kružnice obvodový a středový, úsekový úhel, vzájemná

Více

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti

Více

Trojúhelník. MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů. Ing. Miroslav Čapek srpen 2011

Trojúhelník. MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů. Ing. Miroslav Čapek srpen 2011 MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů Trojúhelník Ing. Miroslav Čapek srpen 2011 Projekt Využití e-learningu k rozvoji klíčových kompetencí reg. č.: CZ.1.07/1.1.10/03.0021 je spolufinancován

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

Témata absolventského klání z matematiky :

Témata absolventského klání z matematiky : Témata absolventského klání z matematiky : 1.Dělitelnost přirozených čísel - násobek a dělitel - společný násobek - nejmenší společný násobek (n) - znaky dělitelnosti 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9,10 - společný

Více

3.2 OBJEMY A POVRCHY TĚLES

3.2 OBJEMY A POVRCHY TĚLES . OBJEMY A POVRCHY TĚLES Krychle, kvádr, hranol Dochované matematické texty ze starého Egypta obsahují několik úloh na výpočet objemu čtverhranných obilnic tvaru krychle; lze předpokládat, že stejným způsobem

Více

Matematický KLOKAN 2005 kategorie Junior

Matematický KLOKAN 2005 kategorie Junior Matematický KLOKAN 2005 kategorie Junior Vážení přátelé, v následujících 75 minutách vás čeká stejný úkol jako mnoho vašich vrstevníků v řadě dalších evropských zemí. V níže uvedeném testu je zadáno čtyřiadvacet

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

Předpokládané znalosti žáka 1. stupeň:

Předpokládané znalosti žáka 1. stupeň: Předpokládané znalosti žáka 1. stupeň: ČÍSLO A POČETNÍ OPERACE používá přirozená čísla k modelování reálných situací, počítá předměty v daném souboru, vytváří soubory s daným počtem prvků čte, zapisuje

Více

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy 5 Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy Trojúhelník: Trojúhelník je definován jako průnik tří polorovin. Pojmy: ABC - vrcholy trojúhelníku abc - strany trojúhelníku ( a+b>c,

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

GYMNÁZIUM CHEB SEMINÁRNÍ PRÁCE

GYMNÁZIUM CHEB SEMINÁRNÍ PRÁCE GYMNÁZIUM CHEB SEMINÁRNÍ PRÁCE Pravidelná tělesa Cheb, 2006 Lukáš Louda,7.B 0 Prohlášení Prohlašuji, že jsem seminární práci na téma: Pravidelná tělesa vypracoval zcela sám za použití pramenů uvedených

Více

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě.

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě. STANDARDY MATEMATIKA 2. stupeň ČÍSLO A PROMĚNNÁ 1. M-9-1-01 Žák provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel; užívá ve výpočtech druhou mocninu a odmocninu 1. žák provádí základní početní

Více

Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu

Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Matematika 6. ročník Zpracovala: Mgr. Michaela Krůtová Číslo a početní operace zaokrouhluje, provádí odhady s danou přesností, účelně využívá kalkulátor porovnává

Více

MATEMATIKA. vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST MAGVD10C0T01. Testový sešit neotvírejte, počkejte na pokyn!

MATEMATIKA. vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST MAGVD10C0T01. Testový sešit neotvírejte, počkejte na pokyn! MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti MAGVD10C0T01 DIDAKTICKÝ TEST Didaktický test obsahuje 21 úloh. Časový limit pro řešení didaktického testu je uveden na záznamovém archu. Povolené pomůcky: psací a rýsovací

Více

MATEMATIKA základní úroveň obtížnosti

MATEMATIKA základní úroveň obtížnosti ILUSTRAČNÍ DIDAKTICKÝ TEST MATEMATIKA základní úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST Didaktický test obsahuje 8 úloh. Časový limit pro řešení didaktického testu je uveden na záznamovém archu. Povolené pomůcky:

Více

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0.

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0. Ukázky typových maturitních příkladů z matematiky..reálná čísla. 3} x R; I. Zobrazte množiny A = {x є 3} < + x R; B = {x є II. Zapište ve tvaru zlomku číslo, 486.Komplexní čísla. I. Určete a + b, a - b,

Více

MATEMATIKA MAIZD14C0T01 DIDAKTICKÝ TEST. 2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. 1 Základní informace k zadání zkoušky. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám

MATEMATIKA MAIZD14C0T01 DIDAKTICKÝ TEST. 2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. 1 Základní informace k zadání zkoušky. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám MATEMATIKA DIDAKTICKÝ TEST MAIZD14C0T01 Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % 1 Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 26 úloh. Časový limit pro řešení didaktického

Více

- 1 - 1. - osobnostní rozvoj cvičení pozornosti,vnímaní a soustředění při řešení příkladů,, řešení problémů

- 1 - 1. - osobnostní rozvoj cvičení pozornosti,vnímaní a soustředění při řešení příkladů,, řešení problémů - 1 - Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět: Matematika 6.ročník Výstup Učivo Průřezová témata - čte, zapisuje a porovnává přirozená čísla s přirozenými čísly - zpaměti a písemně

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

Cykly a pole 103. 104. 105. 106. 107. 108. 109. 110. 111. 112. 113. 114. 115. 116.

Cykly a pole 103. 104. 105. 106. 107. 108. 109. 110. 111. 112. 113. 114. 115. 116. Cykly a pole Tato část sbírky je tvořena dalšími úlohami na práci s cykly. Na rozdíl od předchozího oddílu se zde již v řešeních úloh objevuje více cyklů, ať už prováděných po sobě nebo vnořených do sebe.

Více

Mgr. Blanka Šteindlerová

Mgr. Blanka Šteindlerová Identifikátor materiálu EU: ICT 3 42 Anotace Žák se seznámí s pojmem renesance, získá základní informace. Autor Jazyk Vzdělávací oblast Vzdělávací obor ICT =Předmět /téma Očekávaný výstup Speciální vzdělávací

Více

MATEMATIKA základní úroveň obtížnosti

MATEMATIKA základní úroveň obtížnosti MATEMATIKA základní úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % 1 Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 22 úloh. Časový limit pro

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy

Více

Trojúhelník - určují tři body které neleţí na jedné přímce. Trojúhelník je rovněţ moţno povaţovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů.

Trojúhelník - určují tři body které neleţí na jedné přímce. Trojúhelník je rovněţ moţno povaţovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů. Trojúhelník Trojúhelník - určují tři body které neleţí na jedné přímce. Trojúhelník je rovněţ moţno povaţovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů. C Body se nazývají vrcholy trojúhelníku Úsečky

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Cvičení z matematiky Náplň: Systematizace a prohloubení učiva matematiky Třída: 4. ročník Počet hodin: 2 Pomůcky: Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné obory

Více

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444 ARITMETIKA CELÁ ČÍSLA Celá čísla jsou. -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, Celá čísla rozdělujeme na záporná (-1, -2, -3, ) kladná (1, 2, 3,.) nula 0 (není číslo kladné ani záporné) absolutní

Více

Aplikované úlohy Solid Edge. SPŠSE a VOŠ Liberec. Ing. Jan Boháček [ÚLOHA 27 NÁSTROJE KRESLENÍ]

Aplikované úlohy Solid Edge. SPŠSE a VOŠ Liberec. Ing. Jan Boháček [ÚLOHA 27 NÁSTROJE KRESLENÍ] Aplikované úlohy Solid Edge SPŠSE a VOŠ Liberec Ing. Jan Boháček [ÚLOHA 27 NÁSTROJE KRESLENÍ] 1 CÍL KAPITOLY V této kapitole si představíme Nástroje kreslení pro tvorbu 2D skic v modulu Objemová součást

Více

Vyučovací předmět / ročník: Matematika / 4. Učivo

Vyučovací předmět / ročník: Matematika / 4. Učivo Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Výstupy žáka Vyučovací předmět / ročník: Matematika / 4. ČÍSLO A POČETNÍ OPERACE Zpracoval: Mgr. Dana Štěpánová orientuje se v posloupnosti přirozených čísel

Více

Geometrie a zlatý řez

Geometrie a zlatý řez Geometrie a zlatý řez Pythagorova věta Podívejme se na několik geometrických důkazů Pythagorovy věty využívajících různých druhů myšlení. Úvaha o začátku vyučování, je nutná a prospěšná rytmická část na

Více

Úterý 8. ledna. Cabri program na rýsování. Základní rozmístění sad nástrojů na panelu nástrojů

Úterý 8. ledna. Cabri program na rýsování. Základní rozmístění sad nástrojů na panelu nástrojů Úterý 8. ledna Cabri program na rýsování program umožňuje rýsování základních geometrických útvarů, měření délky úsečky, velikosti úhlu, výpočet obvodů a obsahů. Je vhodný pro rýsování geometrických míst

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

MATEMATIKA ZÁKLADNÍ ÚROVEŇ

MATEMATIKA ZÁKLADNÍ ÚROVEŇ NOVÁ MTURITNÍ ZKOUŠK Ilustrační test 2008 Základní úroveň obtížnosti MVCZMZ08DT MTEMTIK ZÁKLDNÍ ÚROVEŇ DIDKTICKÝ TEST Testový sešit obsahuje 8 úloh. Na řešení úloh máte 90 minut. Úlohy řešte v testovém

Více

MĚSÍC MATEMATIKA GEOMETRIE

MĚSÍC MATEMATIKA GEOMETRIE 3. ročník Bod, přímka ZÁŘÍ Násobení a dělení Aplikační úlohy (nakupujeme) Bod, přímka Úsečka Násobení a dělení ŘÍJEN Procvičování Pamětné sčítání a odčítání, aplikační úlohy Polopřímka Modelování polopřímek

Více

Copyright 2013 Martin Kaňka; http://dalest.kenynet.cz

Copyright 2013 Martin Kaňka; http://dalest.kenynet.cz Copyright 2013 Martin Kaňka; http://dalest.kenynet.cz Popis aplikace Tato aplikace je koncipována jako hra, může být použita k demonstraci důkazu. Může žáky učit, jak manipulovat s dynamickými objekty,

Více

MOCNINY A ODMOCNINY. Standardy: M-9-1-01 M-9-1-02 PYTHAGOROVA VĚTA. Standardy: M-9-3-04 M-9-3-01

MOCNINY A ODMOCNINY. Standardy: M-9-1-01 M-9-1-02 PYTHAGOROVA VĚTA. Standardy: M-9-3-04 M-9-3-01 matematických pojmů a vztahů, k poznávání základě těchto vlastností k určování a zařazování pojmů matematického aparátu Zapisuje a počítá mocniny a odmocniny racionálních čísel Používá pro počítání s mocninami

Více

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy Koza se pase na polovině zahrady, Jaroslav eichl, 011 K OZA E PAE NA POLOVINĚ ZAHADY Zadání úlohy Zahrada kruhového tvaru má poloměr r = 10 m. Do zahrady umístíme kozu, kterou přivážeme provazem ke kolíku

Více

Maximální bodové Hranice. bílých polí.. žádné body. hodnocení. bodů. chybné řešení. První. je právě jedna. odpovědí. nesprávnou.

Maximální bodové Hranice. bílých polí.. žádné body. hodnocení. bodů. chybné řešení. První. je právě jedna. odpovědí. nesprávnou. MATEMATIKA DIDAKTICKÝ TEST Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 26 úloh. Časový limit pro řešení didaktického testuu

Více

Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu

Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Matematika 7. ročník Zpracovala: Mgr. Michaela Krůtová Číslo a početní operace provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel zaokrouhluje, provádí odhady

Více

Učitelství 1. stupně ZŠ tématické plány předmětů matematika

Učitelství 1. stupně ZŠ tématické plány předmětů matematika Učitelství 1. stupně ZŠ tématické plány předmětů matematika Povinné předměty: Matematika I aritmetika (KMD/MATE1) 2 Matematika 3 aritmetika s didaktikou (KMD/MATE3) 3 Matematika 5 geometrie (KMD/MATE5)

Více

MATEMATIKA základní úroveň obtížnosti

MATEMATIKA základní úroveň obtížnosti MATEMATIKA základní úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % 1 Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 26 úloh. Časový limit pro

Více

Maturitní témata profilová část

Maturitní témata profilová část Seznam témat Výroková logika, úsudky a operace s množinami Základní pojmy výrokové logiky, logické spojky a kvantifikátory, složené výroky (konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence), pravdivostní tabulky,

Více

2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám TESTOVÝ SEŠIT NEOTVÍREJTE, POČKEJTE NA POKYN!

2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám TESTOVÝ SEŠIT NEOTVÍREJTE, POČKEJTE NA POKYN! MATEMATIKA DIDAKTICKÝ TEST Maimální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 26 úloh. Časový limit pro řešení didaktického testu je

Více

- čte a zapisuje desetinná čísla MDV kritické čtení a - zaokrouhluje, porovnává. - aritmetický průměr

- čte a zapisuje desetinná čísla MDV kritické čtení a - zaokrouhluje, porovnává. - aritmetický průměr Matematika - 6. ročník Provádí početní operace v oboru desetinná čísla racionálních čísel - čtení a zápis v desítkové soustavě F užití desetinných čísel - čte a zapisuje desetinná čísla - zaokrouhlování

Více

Konkretizovaný výstup Konkretizované učivo Očekávané výstupy RVP. Zápis čísla v desítkové soustavě - porovnávání čísel - čtení a psaní čísel

Konkretizovaný výstup Konkretizované učivo Očekávané výstupy RVP. Zápis čísla v desítkové soustavě - porovnávání čísel - čtení a psaní čísel Ročník: I. - vytváří si názoru představu o čísle 5, 10, 20 - naučí se vidět počty prvků do 5 bez počítání po jedné - rozpozná a čte čísla 0 5 - pozná a čte čísla 0 10 - určí a čte čísla 0 20 Číselná řada

Více

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět Název předmětu: Zařazení v učebním plánu: Cvičení z matematiky O8A, C4A, jednoletý volitelný předmět Cíle předmětu Obsah předmětu je zaměřen na přípravu studentů gymnázia na společnou část maturitní zkoušky

Více

Měřítka. Technická dokumentace Ing. Lukáš Procházka. Téma: Měřítka, čáry a technické písmo 1) Měřítka 2) Technické čáry 3) Technické písmo

Měřítka. Technická dokumentace Ing. Lukáš Procházka. Téma: Měřítka, čáry a technické písmo 1) Měřítka 2) Technické čáry 3) Technické písmo Technická dokumentace Ing. Lukáš Procházka Téma: Měřítka, čáry a technické písmo 1) Měřítka 2) Technické čáry 3) Technické písmo Měřítka Měřítka zmenšení (1 : 10000 až 1 : 2) skutečné (1 : 1) zvětšení

Více

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel. 5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených

Více

Základní škola a Mateřská škola Brno, Bosonožské nám. 44, příspěvková organizace Číslo projektu: VY_42_INOVACE_02_G

Základní škola a Mateřská škola Brno, Bosonožské nám. 44, příspěvková organizace Číslo projektu: VY_42_INOVACE_02_G Záznamový arch Název školy: Základní škola a Mateřská škola Brno, Bosonožské nám. 44, příspěvková organizace Číslo projektu: CZ.1.07/1.4.00/21.2499 Číslo a název šablony klíčové aktivity: IV/2 Inovace

Více

vzdělávací oblast vyučovací předmět ročník zodpovídá MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE MATEMATIKA 4. BÁRTOVÁ, VOJTÍŠKOVÁ

vzdělávací oblast vyučovací předmět ročník zodpovídá MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE MATEMATIKA 4. BÁRTOVÁ, VOJTÍŠKOVÁ Výstupy žáka ZŠ Chrudim, U Stadionu Učivo obsah Mezipředmětové vztahy Metody + formy práce, projekty, pomůcky a učební materiály ad. Poznámky 4. ročník OPAKOVÁNÍ UČIVA 3. ROČNÍKU Rozvíjí dovednosti s danými

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

Matematika Název Ročník Autor

Matematika Název Ročník Autor Desetinná čísla řádu desetin a setin 6. Opakování učiva 6.ročníku 7. Opakování učiva 6.ročníku 7. Opakování učiva 6.ročníku 7. Dělitelnost přirozených čísel 7. Desetinná čísla porovnávání 7. Desetinná

Více

Podpora výuky a vzd lávání na GVN J. Hradec Kružnice

Podpora výuky a vzd lávání na GVN J. Hradec Kružnice Název projektu OPVK: Podpora výuky a vzdělávání na GVN J. Hradec CZ.1.07/1.5.00/34.0766 Klíčová aktivita: IV/2 Číslo dokumentu: VY_42_INOVACE_M.S2.01 Typ výukového materiálu: Pracovní list pro žáka Název

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Matematika (MAT) Náplň: Rovnice a nerovnice, kruhy a válce, úměrnost, geometrické konstrukce, výrazy 2 Třída: Tercie Počet hodin: 4 hodiny týdně Pomůcky: Učebna s PC a dataprojektorem (interaktivní

Více

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Obsah Obsah NIŽŠÍ úroveň obtížnosti 4 MAGZD10C0K01 říjen 2010..........................

Více

M - Planimetrie pro studijní obory

M - Planimetrie pro studijní obory M - Planimetrie pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je dovoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento dokument byl

Více

6. úprava 26.8.2013 ÚPRAVY UČEBNÍHO PLÁNU A VYUČOVACÍHO PŘEDMĚTU MATEMATIKA

6. úprava 26.8.2013 ÚPRAVY UČEBNÍHO PLÁNU A VYUČOVACÍHO PŘEDMĚTU MATEMATIKA 6. úprava 26.8.2013 ÚPRAVY UČEBNÍHO PLÁNU A VYUČOVACÍHO PŘEDMĚTU MATEMATIKA 1 ÚPRAVY UČEBNÍHO PLÁNU A VYUČOVACÍHO PŘEDMĚTU MATEMATIKA Projednáno pedagogickou radou dne: 26. 8. 2013 Schválila ředitelka

Více

PLANIMETRIE. Mgr. Zora Hauptová TROJÚHELNÍK VY_32_INOVACE_MA_1_04

PLANIMETRIE. Mgr. Zora Hauptová TROJÚHELNÍK VY_32_INOVACE_MA_1_04 PLANIMETRIE Mgr. Zora Hauptová TROJÚHELNÍK VY_32_INOVACE_MA_1_04 OPVK 1.5 EU peníze středním školám CZ.1.07/1.500/34.0116 Modernizace výuky na učilišti Název školy Název šablony Předmět Tematický celek

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Magické čtverce. Tomáš Roskovec. Úvod

Magické čtverce. Tomáš Roskovec. Úvod Magické čtverce Tomáš Roskovec Úvod Magické čtverce patří k dávným matematickým hrátkám, které i přes dvoutisíciletou historii dodnes nejsou zcela prozkoumány. Během přednášky se budeme zabývat nejprve

Více

Vzdělávací obor matematika

Vzdělávací obor matematika "Cesta k osobnosti" 6.ročník Hlavní okruhy Očekávané výstupy dle RVP ZV Metody práce (praktická cvičení) obor navázání na již zvládnuté ročník 1. ČÍSLO A Žák používá početní operace v oboru de- Dělitelnost

Více

M - 2. stupeň. Matematika a její aplikace Školní výstupy Žák by měl

M - 2. stupeň. Matematika a její aplikace Školní výstupy Žák by měl 6. ročník číst, zapisovat, porovnávat, zaokrouhlovat, rozkládat přirozená čísla do 10 000 provádět odhady výpočtů celá čísla - obor přirozených čísel do 10 000 numerace do 10 000 čtení, zápis, porovnávání,

Více

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná Racionální čísla Zlomky Rozšiřování a krácení zlomků

Více

České vysoké učení technické v Praze Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská. Matematika ve starověké Babylónii

České vysoké učení technické v Praze Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská. Matematika ve starověké Babylónii České vysoké učení technické v Praze Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská Matematika ve starověké Babylónii Vít Heřman Praha, 22.2.2008 Obsah: 1. Úvod 2. Historický kontext 3. Dostupné historické zdroje

Více

MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti

MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST MAMVDC0T03 Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 23 úloh. Časový limit

Více

MATEMATIKA MAMZD14C0T01 DIDAKTICKÝ TEST. 2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. 1 Základní informace k zadání zkoušky. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám

MATEMATIKA MAMZD14C0T01 DIDAKTICKÝ TEST. 2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. 1 Základní informace k zadání zkoušky. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám MATEMATIKA DIDAKTICKÝ TEST MAMZD14C0T01 Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % 1 Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 26 úloh. Časový limit pro řešení didaktického

Více

Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205

Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Šablona: III/2 Přírodovědné

Více

Pokyny k hodnocení MATEMATIKA

Pokyny k hodnocení MATEMATIKA ILUSTRAČNÍ TEST MAIZD4C0T0 Pokyny k hodnocení MATEMATIKA Pokyny k hodnocení úlohy Vyznačte na číselné ose obraz čísla 0,6. 0,6 3 apod. NEDOSTATEČNÉ ŘEŠENÍ Chybně vyznačený obraz, resp. není zřejmé, kde

Více

Matematika - 4. ročník Vzdělávací obsah

Matematika - 4. ročník Vzdělávací obsah Matematika - 4. ročník Čas.plán Téma Učivo Ročníkové výstupy žák podle svých schopností: Poznámka Září Opakování učiva 3. ročníku Počítaní do 20 Sčítání a odčítání do 20 Násobení a dělení číslem 2 Počítání

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. ONDŘEJ MACHŮ a kol.

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. ONDŘEJ MACHŮ a kol. ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE ONDŘEJ MACHŮ a kol. Předmluva Otevíráte sbírku, která vznikla z příkladů zadaných studentům pátého ročníku PřF UP v Olomouci, učitelů matematiky a deskriptivní

Více

Výukový materiál zpracován v rámci oblasti podpory 1.5 EU peníze středním školám

Výukový materiál zpracován v rámci oblasti podpory 1.5 EU peníze středním školám Výukový materiál zpracován v rámci oblasti podpory 1.5 EU peníze středním školám Název školy Obchodní akademie a Hotelová škola Havlíčkův Brod Název OP OP Vzdělávání pro konkurenceschopnost Registrační

Více

MATEMATIKA MAMZD13C0T04

MATEMATIKA MAMZD13C0T04 MATEMATIKA MAMZD13C0T04 DIDAKTICKÝ TEST Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % 1 Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 26 úloh. Časový limit pro řešení didaktického

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik R4 1. ČÍSELNÉ VÝRAZY 1.1. Přirozená čísla počítání s přirozenými čísly, rozlišit prvočíslo a číslo složené, rozložit složené

Více

Přehled vzdělávacích materiálů

Přehled vzdělávacích materiálů Přehled vzdělávacích materiálů Název školy Název a číslo OP Název šablony klíčové aktivity Název sady vzdělávacích materiálů Jméno tvůrce vzdělávací sady Číslo sady Anotace Základní škola Ţeliv Novými

Více

Jméno autora: Mgr. Zdeněk Chalupský Datum vytvoření: 11. 10. 2012 Číslo DUM: VY_32_INOVACE_01_FY_B

Jméno autora: Mgr. Zdeněk Chalupský Datum vytvoření: 11. 10. 2012 Číslo DUM: VY_32_INOVACE_01_FY_B Jméno autora: Mgr. Zdeněk Chalupský Datum vytvoření: 11. 10. 2012 Číslo DUM: VY_32_INOVACE_01_FY_B Ročník: I. Fyzika Vzdělávací oblast: Přírodovědné vzdělávání Vzdělávací obor: Fyzika Tematický okruh:

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49

Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Šablona: III/2 Přírodovědné

Více

Maturitní témata od 2013

Maturitní témata od 2013 1 Maturitní témata od 2013 1. Úvod do matematické logiky 2. Množiny a operace s nimi, číselné obory 3. Algebraické výrazy, výrazy s mocninami a odmocninami 4. Lineární rovnice a nerovnice a jejich soustavy

Více

Obsah. Úvod 291. Tři čočky 305 Druhé odmocniny a trojúhelníky 3-4-5 306 Leonardovo a CBS oko 307 Vitruviovo 10 ku 12 308 Vyřešení za 10 000 let 309

Obsah. Úvod 291. Tři čočky 305 Druhé odmocniny a trojúhelníky 3-4-5 306 Leonardovo a CBS oko 307 Vitruviovo 10 ku 12 308 Vyřešení za 10 000 let 309 Obsah Úvod 291 DEVĚT Duch a posvátná geometrie 293 Třetí informační systém v Ovoci života 293 Kruhy a čtverce lidského vědomí 293 Hledání téměř dokonalých poměrů fí 295 První a třetí úroveň vědomí 296

Více

v z t sin ψ = Po úpravě dostaneme: sin ψ = v z v p v p v p 0 sin ϕ 1, 0 < v z sin ϕ < 1.

v z t sin ψ = Po úpravě dostaneme: sin ψ = v z v p v p v p 0 sin ϕ 1, 0 < v z sin ϕ < 1. Řešení S-I-4-1 Hledáme vlastně místo, kde se setkají. A to tak, aby nemusel pes na zajíce čekat nebo ho dohánět. X...místo setkání P...místo, kde vybíhá pes Z...místo, kde vybíhá zajíc ZX = v z t P X =

Více

2.1. 50 bodů 2.1 Pokyny otevřeným úlohám. je uveden na záznamovém archu. Je-li požadován celý postup řešení, uveďte. výrazů. mimo vyznačená bílá pole

2.1. 50 bodů 2.1 Pokyny otevřeným úlohám. je uveden na záznamovém archu. Je-li požadován celý postup řešení, uveďte. výrazů. mimo vyznačená bílá pole MATEMATIKA MATEMATIKA DIDAKTICKÝ TEST DIDAKTICKÝ TEST DIDAKTICKÝ TEST MAMZD14C0T01 MAMZD14C0T01 MAMZD14C0T01 Maximální bodové hodnocení: 50 bodů 2.1 Pokyny k otevřeným úlohám Maximální Hranice úspěšnosti:

Více

Měsíc: učivo:. PROSINEC Numerace do 7, rozklad čísla 1 7. Sčítání a odčítání v oboru do 7, slovní úlohy.

Měsíc: učivo:. PROSINEC Numerace do 7, rozklad čísla 1 7. Sčítání a odčítání v oboru do 7, slovní úlohy. Předmět: MATEMATIKA Ročník: PRVNÍ Měsíc: učivo:. ZÁŘÍ Úvod k učivu o přirozeném čísle. Numerace do 5, čtení čísel 0-5. Vytváření souborů o daném počtu předmětů. Znaménka méně, více, rovná se, porovnávání

Více

Oblast podpory: 1.4 Zlepšení podmínek pro vzdělávání na základních školách

Oblast podpory: 1.4 Zlepšení podmínek pro vzdělávání na základních školách Prioritní osa: 1 Počáteční vzdělávání Oblast podpory: 1.4 Zlepšení podmínek pro vzdělávání na základních školách Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.4.00/21. 0918 Název projektu:inovace vzdělávání v

Více

Matematika a její aplikace Matematika

Matematika a její aplikace Matematika Vzdělávací oblast : Vyučovací předmět : Období ročník : Počet hodin : 165 Matematika a její aplikace Matematika 2. období 5. ročník Učební texty : J. Justová: Alter-Matematika, Matematika 5.r.I.díl, 5.r.

Více

Pythagorova věta Pythagorova věta slovní úlohy

Pythagorova věta Pythagorova věta slovní úlohy Vyučovací předmět: Matematika Ročník: 8. Vzdělávací obsah Očekávané výstupy z RVP ZV Školní výstupy Učivo provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel, užívá ve výpočtech druhou mocninu

Více

Zvyšování kvality výuky technických oborů

Zvyšování kvality výuky technických oborů Zvyšování kvality výuky technických oborů Klíčová aktivita IV. Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Téma V..1 Posloupnosti a finanční matematika Kapitola

Více

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a

Více

Popis výukového materiálu

Popis výukového materiálu Popis výukového materiálu Číslo šablony III/2 Číslo materiálu VY_32_INOVACE_TD.21.1 Autor Petr Škapa Datum vytvoření 01.09.2013 Předmět, ročník Tematický celek Téma Druh učebního materiálu Anotace (metodický

Více

MATEMATIKA. základní úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST MAGZD10C0T01. Testový sešit neotvírejte, počkejte na pokyn! Didaktický test obsahuje 20 úloh.

MATEMATIKA. základní úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST MAGZD10C0T01. Testový sešit neotvírejte, počkejte na pokyn! Didaktický test obsahuje 20 úloh. MATEMATIKA základní úroveň obtížnosti MAGZD0C0T0 DIDAKTICKÝ TEST Didaktický test obsahuje 20 úloh. Časový limit pro řešení didaktického testu je uveden na záznamovém archu. Povolené pomůcky: psací a rýsovací

Více

TEMATICKÝ,časový PLÁN vyučovací předmět : matematika ročník: 5. Školní rok_2014/2015 vyučující: Lenka Šťovíčková. Zařazená průřezová témata OSV OSV

TEMATICKÝ,časový PLÁN vyučovací předmět : matematika ročník: 5. Školní rok_2014/2015 vyučující: Lenka Šťovíčková. Zařazená průřezová témata OSV OSV Školní rok_2014/2015 vyučující: Lenka Šťovíčková Září Opakuje početní výkony a uplatňuje komutativní, asociativní a distributivní zákon v praxi. G.:narýsuje přímku, polopřímku, kolmici, rovnoběžky, různoběžky.

Více

Teorie sférické trigonometrie

Teorie sférické trigonometrie Teorie sférické trigonometrie Trigonometrie (z řeckého trigónon = trojúhelník a metrein= měřit) je oblast goniometrie zabývající se praktickým užitím goniometrických funkcí při řešení úloh o trojúhelnících.

Více

MATEMATIKA+ MAIPD14C0T01 DIDAKTICKÝ TEST. 2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. 1 Základní informace k zadání zkoušky. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám

MATEMATIKA+ MAIPD14C0T01 DIDAKTICKÝ TEST. 2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. 1 Základní informace k zadání zkoušky. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám MATEMATIKA+ DIDAKTICKÝ TEST MAIPD14C0T01 Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % 1 Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 23 úloh. Časový limit pro řešení didaktického

Více

Modernizace výuky na Fakultě stavební VUT v Brně v rámci bakalářských a magisterských studijních programů CZ.04.1.03/3.2.15.2/0292

Modernizace výuky na Fakultě stavební VUT v Brně v rámci bakalářských a magisterských studijních programů CZ.04.1.03/3.2.15.2/0292 Modernizace výuky na Fakultě stavební VUT v Brně v rámci bakalářských a magisterských studijních programů CZ.04.1.03/3.2.15.2/0292 Název předmětu: Vyrovnávací kurz z matematiky Zabezpečující ústav: Ústav

Více

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY TU v LIBERCI FAKULTA MECHATRONIKY POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY Tematické okruhy středoškolské látky: Číselné množiny N, Z, Q, R, C Body a intervaly na číselné ose Absolutní hodnota Úpravy

Více