Univerzita Karlova konference 2. dubna 2013 Matematicko fyzikální fakulta Katedra matematiky a didaktiky matematiky.
|
|
- Radomír Vratislav Bednář
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Univerzita Karlova konference 2. dubna 2013 Matematicko fyzikální fakulta Katedra matematiky a didaktiky matematiky Geometrie & Umění Geometrie očima Záznam přednášky Yvo Jacquier SROVNÁVACÍ GEOMETRIE / Pocta velkému pedagogu Janu Amosu Komenskému (Comenius) 1 on 37
2 Část I - čistá matematika 2 on 37
3 Myšlení očima Zlatý řez, původ Věnujte pozornost přiloženému obrázku. Dva přiléhající (dvojnásobné) čtverce, úhlopříčka, která je protíná a osa většího úhlu. Pokud osu úhlu prodloužíte, protne vodorovnou dělící čáru čtverců. Bod protnutí se označuje jako Zlatý řez (φ). Toto je první a nejstarší definice Zlatého řezu. V jednom okamžiku shrnuje : - konstrukci (nejjednodušší způsob) - definici (nejsrozumitelnější způsob) - vlastnosti za použití úhlů: Větší úhel úhlopříčky dvojnásobného čtverce je dvojnásobek menšího úhlu Zlatého řezu. Uvedený způsob myšlení se nazývá «Geometrie očima». Vznikl dlouhou dobu před výpočty, před písmem a koncepcí plochy. Možná již během pozdního paleolitu, ovšem v tomto případě můžeme přebudovat koncept jako "paleo", protože geometrie pokračuje dále. Použitá metoda má možnost dalších výkladů (následující stránka) a také matematické vyjádření. Nezjevila se z ničeho nic, patří do soudržného celku, kterým Thales a Pythagoras navázali na starověký Egypt. 3 on 37
4 Schémata v dílech Dürera Nejprve uvažujme kružnici se středem v bodu O střed dvojnásobného čtverce. Tato kružnice prochází bodem I, s AI = φ Doplňující částí průměru φ je 1/φ, přičemž φ + 1 / φ = 5 Další objevené vlastnosti zlatého obdélníku : zlatý obdélník : Pokud je jedna úhlopříčka vodorovná, druhá úhlopříčka je úhlopříčkou dvojnásobného čtverce. Albrecht Dürer použil tento princip v jeho famózním díle «Melencolia I». Mřížka Geometrie očima je vybudována na využití mřížky. V tomto rámci je umožněno vytvořit, demonstrovat a přitom mít na paměti všechny elementy. Nejzákladnějším vyjádřením tohoto postupu je jednoduchý trojúhelník Osami úhlu tohoto trojúhelníku jsou přirozené úhlopříčky jednoduchého, dvojnásobného a trojnásobného čtverce. Zlatý řez se nachází na druhé ose úhlu, mezi vrcholem a vepsanou kružnicí. 4 on 37
5 Trojúhelník Dalším vyjádřením vlastností «posvátného trojúhelníku» - je tzv. mapovací trojúhelník, který tyto vlastnosti využívá mnohem více. Součet pořadí (dle počtu čtverců odpovídajících ose úhlu) s hodnotou protilehlé strany je 6. Číslo 6 je základem číselné řady v esoterice. Kostka má šest stran, s šesti celými čísly od 1 do 6. Součet opačných stan je 7. Tento údaj je velmi důležitý, neboť jednoduše ukazuje, že pre-eukleidovská geometrie není nutně axiomatická a empirická. Strana 5 není konvence. Toto tvrzení je možné dokázat i s podobnými trojúhelníky. 5 on 37
6 Čtyři důkazy φ v trojúhelníku důkaz : jak jsme viděli, φ je určeno trojúhelníkem. Zlatý obdélník 2 x 2φ označený jako "klasický", se pohybuje po v pořadí druhé ose úhlu. 2.φ je vzdálenost mezi vrcholem trojúhelníku a jeho vepsanou kružnicí. 2. důkaz : první důkaz se týká rozměrů, druhý se týká úhlů. Osa úhlů 1. a 3. jsou přirozené úhlopříčky zlatého obdélníku. To vede k zobecnění popisu symbolů. 3. důkaz : klasický obdélník se může neomezeně dělit (ve skutečnosti se jedná o skryté zlaté obdélníky). Tímto způsobem lze tvořit zlaté spirály, které se sbíhají k bodu T umístěnému na přeponě jednu jednotku od vrcholu trojúhelníku. 6 on 37
7 4. důkaz : pentagram vychází z konfrontace vepsané kružnice a jejího obrazu. Druhá kružnice je vložena do středu dvou objektů nad základnou trojúhelníku (strana 4), ve vzdálenosti φ od strany 3. Pentagram je nakloněn podle úhlopříčky zlatého obdélníku. Demonstrace V ukázce je pouze několik základních požadavků. Je možné je označit jako Thaletovy věty. Důkazy prostřednictvím podobných trojúhelníků. Další aspekty jsou velmi jednoduché. Proces, kdy se důkaz neprovádí výpočty, ale dokládá se ukázkou, se nazývá «demonstrace». Součet úhlů trojúhelníku Je nezbytné pouze propojit tři různé úhly shodných trojúhelníků v bodě O, součet jejich úhlů v tomto bodě je 180 (také označováno symbolem π, nebo jako přímý úhel, poloměr) Dle Jean-Paul Guicharda lze použít ještě jednodušší způsob: Olivier Keller zmiňuje ve své knize «archeologie geometrie», sbírku kostěných rytin z období paleolitu. Jejich obrazce ukazují stejné struktury. 7 on 37
8 Obrazce sakrální geometrie Hexagram Když kruh umístíme do mřížky 4 x 4, jejich průniky ukazují dva trojúhelníky hexagramu - obrazce zvěrokruhu. Vesica Piscis mandle Vesica piscis je tvořena dvěma spojenými kružnicemi: střed každé z nich leží na druhé kružnici. Pythagorejci ji považovali za sakrální, archaický a původní symbol Venuše - dlouho předtím, než jí byly přisouzeny vlastnosti, které zakryly její skutečný status. 8 on 37
9 Doslovně mandlová pochva se ve francouzštině skromně nazývá "déïque" Představuje posvátný ženský prvek. Symbol je spojován s číslem 3, jeho význam v paleolitu není dosud odhalen Pozn.: Mandorla Krista není nikdy vesica piscis. Další podmínkou definující mandli je opsaný obdélník s poměrem 3. Hexagram a Vesica Piscis Na obrázku je hlavní byzantská mřížka Andreje Rubleva, která byla použita k vytvoření "Svaté Trojice". Tento obrazec sjednocuje celé dílo. Vnitřní šestihran hexagramu určuje vesica piscis, jejíž mandle je 2 čtverce na výšku. Kružnice vesica pisces má poloměr 2/ 3. Ostatní mandle (sklon 45 ) jsou umístěny v hexagramu. Pozn.: byzantská mřížka není triviální, dokonce i při použití φ... Pentagram a Vesica Piscis Deska je 1/2 Φ = (1 + 5) / 2 = 1/2 + 5/2 8 bodů z 10 pentagramu se nachází na Vesica Piscis. To znamená, že hlavní obrazce sakrální geometrie jsou přirozeně propojeny. 9 on 37
10 Od Gízy po Babylon Počty a písmo se objevuje během neolitu, přináší nové možnosti využití geometrie mřížky. Tato změna se týká všech civilizací, ale dá se říct, že Egypťané jsou sentimentálnější a umělecky zdatnější ve srovnání s Mezopotámií, více organizovanou a abstraktní. Je zjevné, že si vyměňovali své znalosti, ale jejich přístupy jsou odlišné. Babyloňané překládali své zkušenosti s geometrií do čísel. Tento nový vývoj se stal základem kabaly. První krok k objasnění je uveden níže. Paragonální obrazec V každém trojúhelníku je součet tří úhlů rovný přímému úhlu, nebo-li 180. Â1 + Â2 = 90 - Â3 je v libovolné posloupnosti Â1, Â2 a Â3. > Jeden z nich může být pravý úhel. Předcházející vlastnosti ukážeme na případu pravoúhlého trojúhelníku. Pokud vycházíme z modré osy pravého úhlu, je vazba mezi ostatními úhly následující Â1 + Â2 = 90 - Â3 s Â3 = 45. Z toho vyplývá Â2 = 45 - Â1. 10 on 37
11 V geometrii to znamená, že můžeme v pravoúhlém trojúhelníku zjistit druhou osu úhlu na základě první. První osu úhlu lze považovat za úhlopříčku obdélníku (DE). Tento obdélník lze otočit o 45 na úhlopříčku (EF) (EF a DE svírají pravý úhel). A nakonec úsečka (DF) odpovídá sklonu druhé osy úhlu. Tuto vlastnost pojmenoval francouzský matematik Raphaël Legoy během studia babylonské desky Plimpton Příklad - od trojitého k párovému Následující obrázek pomůže pochopit pravoúhlý trojúhelník. 11 on 37
12 V současné době jsme zvyklí na Pythagorovy věty, ale "geometrie očima» nevyžaduje teorii ploch čtverců k pochopení pravoúhlého trojúhelníku. Lze si ji představit prostřednictvím úhlů, stejně tak jako o zlatý řez. Jednoduchý příklad trojúhelníku , ukazuje všechny vztahy dvojic (p, q). Vidíme, že osa úhlu z vrcholu B trojúhelníku automaticky protíná osu úhlu z bodu A, (paragonála). V tomto případě jsou body B ' a B symetrické. V souvislosti s touto paragonálou (zelená) je úsečka B'O (červená) v pravém úhlu k červené úsečce BO. Obrázek dokazuje, že úhlopříčky žlutého a zeleného obdélníku v bodě O svírají pravý úhel (a jejich paragonál je ortogonální k OA). Tento obrázek nabízí předpoklady, které je možné potvrdit dalšími trojúhelníky. Poměr p a q zde je 5/2. To je nepřekonatelné. Poznámka: ke zjištění OB jsou nutné tři obdélníky. 3 = q-p Poznámka: OA lze zjistit pomocí dvou obdélníků 2=p Za těchto předpokladů lze rozměry trojúhelníku zjistit jednoduše. BA = B O + O A = (q-p)q + p(q+p) = q² + p² CA = CO + O A = (q-p)p + p(q+p) = 2pq CB = (q-p)p + (q-p)q = q² + p² Což odpovídá : a = q² - p² b = 2pq c = q² + p² Plimpton hypotéza Tajemství slavné desky Plimpton 322 (18th století př. n. l.) bylo prolomeno matematiky, a to včetně chybějících částí. Jednoduché výpočty mezi sloupci ukazují naprosto nečekaně řadu prvočísel. Díky tomuto překvapení si zaslouží nazývat «hypotéza Plimpton». Mějte oči na geometrii. 12 on 37
13 Část II - použití v umění 13 on 37
14 Malíři renesance Zvykli jsme si tvrdit, že použití perspektivy v období renesance je duchem pokroku. Samozřejmě, tento nový způsob ztvárnění reálných linií našel svá matematická pravidla v této době. Ovšem kromě tohoto neutrálního systému umělci renesance i nadále používali v oblasti symbolismu starší způsob vyjádření - sakrální geometrii. I bez znalosti kompozice si ji lze představit za pomoci velmi jednoduché definice: kompozice je soubor vzájemně propojených čar vyjádřitelný matematicky, kterým se řídí konečné výtvarné ztvárnění. Tužka umělce nebo architekta vyhledává tyto geometrické obrazce, a tyto obrazce jsou skrytou podstatou utváření díla, v průběhu jeho realizace se postupně jejich smysl zakrývá, až je zcela nepostřehnutelný. V případě sakrální geometrie umožňuje mřížka převést obrazce do čísel a naopak. Díky tomu lze odhalit skutečný význam vlastního díla. Perspektivní systém přináší realismus, ale neobjasňuje význam symbolů. Pro jejich pochopení je nutná znalost jejich základů. Ve své «Athénské škole» Raphael mísí dva systémy. Sakrální geometrii odpovídají linie perspektivy v jejich úhlech. 14 on 37
15 Např. dvě bílé přímky klesají pod úhlem 36 ke svislici, jako odkaz na pentagram. Pocit harmonie nezávisí na jediné skutečnosti. Tento úhel je součástí dalšího objektu. Měřítko φ je dáno Platónem, a potvrzeno rukou Aristotela. «Svatý Michal a ďábel» Sakrální geometrie v díle Raphaela je jednoduchá a jako vždy u tohoto malíře nebývale efektivní. Geometricky vytvořená šipka je mnohem účinnější než oštěp sám! 15 on 37
16 Dějiny umění «Velká Odaliska» Pozůstatky této kultury nacházíme až do XIX. století. [Geometrie očima je postavena na mřížce, která umožňuje vyjádření formy. Čísla otvírají cestu pro překlad symbolů do lidského jazyka]. V práci J. D. Ingrese, má velká kružnice průměr 3 číslo vyjadřující nebesa. Mřížka jako obvykle ukazuje trojúhelník Strana zeleného čtverce je 2.φ. Chrám Eanna - Uruk IV - IV tisíciletí př.n.l. Díky těmto principům lze objasnit architekturu Mezopotámie na počátku neolitu. 16 on 37
17 Planina Gíza let př. n.l. Stejné znalosti využívali i ve Starověkém Egyptě. Plimptonská deska století př.n.l. Slavná Plimptonská deska 322, z období 1800 př.n. l. je považována za seznam Pythagorejských trojic redukovaných na dvojice. Tyto dvojice tvoří seznam jednotek, přičemž i chybějící řádky desky respektují toto pravidlo! Princip je možné dále rozšiřovat, dvě hodnoty trojice se stávají dvojicí další trojice. Pythagorejci soustředili oba vlivy, mezopotámský a egyptský. V průběhu staletí bylo Řecko křižovatkou znalostí. 17 on 37
18 Sakrální geometrie se snaží proniknout do římského realismu, vyjádřeného v architektonickém díle Vitruvia 1. století př.n.l., a rozšířila se i do keltského světa. Vliv Pythagorejců v keltském světě. dokázali archeolog Jean-Loup Flouest a matematik Marc Bacault. Keltská phalera v Champagne, Francie K nakreslení prvků tohoto objektu je zapotřebí 190 kruhů a oblouků postavených na základě čísel 8 a 27. Tato čísla jsou zafixována v pythagorejské numerologii a také dokazují výměnu informací mezi latinskou vědeckou elitou a keltskými druidy, považovanými ve své době za Pythagorejce. Úroveň znalostí této matematiky vyžaduje čtyři roky vysokoškolského studia. Geometrické klíče Germigny - Francie 9. století V tomto období si mnoho umělců a stavitelů zachránilo život útěkem do západní části Evropy, čímž zároveň zachránili i svou kulturu. Do "oratoria" Germigny vložili v didaktickém měřítku základní informace o tvarech. 18 on 37
19 Kniha z Kellsu - Irsko - pozdní 8. století Ještě více extrémní řešení přijali v keltském svět. Irští mniši přijali tuto kulturu a "přepsali" Bibli. Mimochodem, o slavné «Knize z Kellsu» je známo, že s textem pracuje velmi svobodně, jako by mělo být z textu jasné, že hlavním účelem této práce je geometrie. Odmocnina 3 a Phi ( 3 & φ) 19 on 37
20 Ikona Matky Boží Vladimírské 12. století V raném středověku našla tato kultura přístav v Byzanci. V ikonách a keramice. Uspěla jako dar konstantinopolskému patriarchovi, velkému knížeti Kyjevskému v roce (Pravoslavná církev se oddělila od katolické v roce 1054). Tento tichý pravoslavný svět je otřesen ikonografií: mezi roky 730 a 787, a znovu mezi roky 813 a 843. Katedrála Dol-de-Bretagne - Francie převážně 13. a 14. století Francouzské katedrály jsou možná výsledkem této exploze ikonografie. Nová idea se objevila i v mém výzkumu, byl jsem tak posedlý zahraničními vlivy, že jsem neviděl, že i Francie se byla schopna podílet a zároveň i obohatit toto umění, stejně jako severní Itálie nebo Novgorod. 20 on 37
21 Opatství Conques století - vysoká škola umění římského 21 on 37
22 Heptagram tympanonu předcházející strana Kompozice v Conques je dokonalou ukázkou rozvoje využití mřížky. Různé systémy v jednotlivých vrstvách na stejné téma. Příkladem je heptagram připomínající byzantské znalosti. Neuvěřitelné. Klíč mandorla ztrojené čtverce Unikátní lekce geometrie v písmenu G! H je zde hodnota (1+ 3)/2, základ Zlatého řezu. Obrazec je tvořen kružnicí opsanou horní části rovnostranného trojúhelníku. 22 on 37
23 Trojúhelník je také použit pro vytvoření malého čtyřúhelníku v dolní části obrázku. I když to není na první pohled zřejmé, lze obrazec vyjádřit algebraicky ( 3-1) = 2/(1+ 3), avšak ( 3-1)( 3+1) = 3-1 = 2, což je mnohem srozumitelnější. Antikové vše dokázali demonstrovat pouze očima bez výpočtu. Jinými slovy, 3 čtyřúhelník je součtem čtverce a čtyřúhelníku H [H = (1 + 3) / 2] Pozdní středověk - francouzský vliv Dům u zvonu - Praze - ranné 14. století (úžasné) «Portrét Karla VII» (1450/55) - Jean Fouquet 23 on 37
24 A nyní k období vrcholu sakrální geometrie: období renesance. Tři díla ztělesňují vrchol: «Svatá Trojice» od Andreje Rubleva /28, «Zrození Venuše» od Sandra Botticelliho -1485, a «MELENCOLIA I» Albrechta Dürera Třetí dílo je součástí širšího projektu, který je závěrečným důkazem civilizace obrazu -Didaktický projekt Dürer. Perspektivní systém, který vznikl během renesance se zachoval jako jediný v kompozici, po období, kdy se objevoval společně se sakrální geometrií ve stejných dílech. Později se pokoušeli pro «umění úhlopříček» najít klasičtí malíři jednoduchá pravidla, ale bez ztracených znalostí skutečné geometrie. Alegorie pomalu převzaly místo symbolů... Mohli bychom mluvit o 20. století, ale obávám se, že po velkolepém ohňostroji renesance, budou vaše oči zklamány a vaše mysl matematika bude trochu dotčena. Raději ukáži více důkazů geometrie očima. 24 on 37
25 «Svatá Trojice» Andrej Rublev «Svatá Trojice» o Andreje Rubleva /28 Andreï Rublev použil ve své Svaté Trojici jednoduchý čtyřúhelník, namísto tradičního monogramu Krista, nebo věty z Bible. Tradiční znamení v díle není použito, není použitý ani podpis či ornament. Andrej Rublev vyjádřil spojení jednoduchým čtyřúhelníkem sakrální geometrie. Obdélník Andreje Rubleva Tento obdélník odpovídá zlatému řezu. Historický detail: Na počátku dvacátého století, britský kritik a šermíř Theodore Andrea Cook ( ) souhlasil se záměrem svého přítele - amerického matematika Marka Barra, zavést řecké písmeno φ jako matematický symbol zlatého řezu - jako odkaz na řeckého sochaře Phidiase (5. století před n.l.). 25 on 37
26 Přední část je ukázkou aritmetických hodnot. Začátek vyjádřený rovnicí φ2 = φ + 1, viz. Lekce aritmetiky Andreje Rubleva Toto čistě matematické vyjádření se rozvíjí ve spodní části díla. Potvrzuje, že základním prvkem Rublevova díla je obdélník. Horní část naopak odpovídá vyjádření geometrií očima. Nacházíme dualitu s očima boha Hóra jedno otevřené a zaměřené na cíl, druhé zavřené s vnitřním zrakem. Rublev empaticky definoval velikost využití mřížky dvěmi body, Alfa a Omega. Rozměry této ikony jsou přesně 4 jednotky na výšku, poměr Rublevova obdélníku je 2/7. Logika aritmetická se potkává s logikou geometrickou. 26 on 37
27 Potvrzení bodu Omega Omega je bodem, kde se protínají přímky vedené osvětlenými místy v úhlu odpovídajícímu způsobu jejich osvětlení. Duch svatý dává své požehnání na přímce vedené pod úhlem 45. Tři andělé představují zleva doprava otce, syna a Ducha svatého. Bod Alfa a další důkaz 27 on 37
28 Bod alfa a Omega jsou klíč k mřížce. Poznámka 1 : definice tabulky není nikdy užita jednoduchým způsobem. Jak vidíme na tomto příkladě, k definici potřebujeme úplnou sadu důkazů. Tento příklad je velmi důležitý, protože mřížka byla vždy základem sakrální geometrie. Všechny obrazce a linie jsou vytvářeny na základě mřížky. Poznámka 2 : bez měřítek by bylo nemožné vyjádřit symbolický význam. Z těchto důvodů je mřížka nenahraditelná. Poznámka 3 : Chcete-li porozumět tomuto umění, potřebujete znalost matematiky (část I). Potvrzení použití mřížky 28 on 37
29 Hrany schůdků vytváří dvě linie ve středu pod úhlem 8 a 9. 8 odpovídá π/45 a 9 je typický pro logiku pentagramu. Body protnutí přímky procházející bodem omega s přímkami procházejícími hranami schůdků určují poloměr kružnice, která odpovídá velikosti jednoho pole mřížky - kvadratura kruhu. Na spodní části ikony Rublev využívá aritmetické a v horní části geometrické principy. Duchovní a přitom pevně dané. Nyní je možné skutečně studovat obraz «Svatá Trojice» a další mistrovská díla. Ve svaté trojici se dva andělé klaní tomu, který by měl být zván otcem. Kristus je středem v klasické ikonografické pozici - "na trůnu". 29 on 37
30 Překladem tohoto obrázku by mohlo být : středem vepsané kružnice směřuje osa prvního úhlu na otce, druhá (zlatý řez) ukazuje na syna a třetí na Ducha svatého. Objevuje se zde i další symbolický význam, jednota přinášená z úhlu 1 ke straně 5 vyjadřující člověka, úhel 2 přináší inspiraci/víru na zemi (strana 4) a třetí úhel přináší nebesa (3) na nebe (3) v zrcadlovém efektu. Zlatý řez vepsané kružnice je umístěn na ruce Ducha svatého. Základní čtyřúhelník, který odpovídá velikosti vložené kružnice (2) a zlatý řez (2φ) dotýká horní části rámu. Tato ikona dává příležitost k přesnému vyjádření základních aspektů symbolismu: symboly neexistují nezávisle na geometrických obrazcích komunikujících prostřednictvím "analogických myšlenek". Tyto obrazy jsou skutečným jazykem s reálnými strukturami. Takže, co je struktura? Můžeme použít přirovnání k hudbě. Harmonie skládá jednotlivé akordy, jeden za druhým. Sakrální geometrie na sebe klade vrstvy. Vazby mezi různými hodnotami jsou jako ty mezi různými akordy. "hudba sfér" není fantazie, milý Plató. Mřížka je prvním krokem k vnímání této kultury. Poté můžeme přistoupit ke každému obrazci, každé vnitřní linii s měřítkem této mřížky. 30 on 37
31 Autoportrét A. Dürera Měřítko dokonalosti! Jak si být jistý kompozicí? Jak si být jistý při zkoumání? Věda přináší částečnou odpověď. První z nich je "měřítko dokonalosti". Čím větší přesnost, tím jste blíže k pravdě. Ilustračním příkladem tohoto aspektu je dílo, které zůstalo nepoškozeno a zároveň nebylo nikdy restaurováno. Autoportrét Dürera - datován Vysvětluje kombinaci zlatého řezu a kružnice 1/φ2. Srovnání různých děl Hlavní problém geometrie, zejména u organizovaných systémů, je v tom, co nazýváme v hudebním slovníku harmonií. Komplex geometrických forem přirozeně vytváří množství dalších. Ovšem ne každá další forma je původním záměrem autora. Přicházejí jako závan větru při pohybu. 31 on 37
32 Jen pro oči (v mém případě s brýlemi) Jen pro mozek (se zavřenýma očima) Klíč ke kompozici + 32 on 37
33 Zrození Venuše - S. Botticelli Vytvoření mřížky Syntaxe prvků v trojúhelníku 3-4-5, Zlatý řez v pupku Venuše 33 on 37
34 Úžasná konstrukce v sobě kombinuje dva nádherné vějíře vytvořené přímkami rozbíhajícími se pod úhlem 9. Druhým prvkem je vesica piscis tvořená průmětem dvou kružnic o průměru 5. Třetí prvek tvoří dva obdélníky 3 x 4 nakloněné k sobě v úhlu 27 - fundamentální číslo pythagorejců. Znamená čtyři trojúhelníky Klíčové je, že prodloužením jedné strany obdélníku získáme hrot symetrického trojúhelníku. Jde o velmi zvláštní vlastnost, která určuje vlastnosti pentagramu. Hlava Venuše je mimo střed oválu. Vesica piscis non caput. Piscis primum a capite foetet. Ryba smrdí od hlavy. Původní název vychází ze stejného duchu (Vénus anadyomène) Na další stránce: V díle «Zrození Venuše» od Botticelliho, je jedna z důležitých informací ukryta v druhu zobrazené mušle nazývané ve Francii Cyprée - (// Kypr). Stejně jako Dürer ve svém autoportrétu hovoří i Botticelli hovoří o zlaté logice, ale tentokrát prostřednictvím úhlů. Toto je druhá klíčová informace k pochopení díla. 34 on 37
35 Použití zlatého řezu 35 on 37
36 MELENCOLIA I - A. Dürer Příběh tohoto díla v dějinách umění je vysvětlený na 250 stránkách. Pokusím se je shrnout, ale pouze tím dokončím zmiňovanou knihu, zpřístupněnou na mé webové stránce jacquier.org a melencoliai.org. Bohužel, pouze ve francouzštině... «DÜRER A TAROT» Proslov: Melencolia, slavné dílo Albrechta Dürera, existuje již 500 let! V době svého vzniku slavnější než Mona Lisa, skrývá více tajemství ve svých liniích než v úsměvu. Melencolia je klíčem k jazyku, dědicem egyptských, řeckých a mezopotámských znalostí. Ve středověku můžeme nalézt pokračování této tradice v Byzanci, a to až do pádu Konstantinopole v roce 1453, který znamenal počátek renesance. Italští umělci převzali pochodeň encyklopedie symbolů. Ve svém umění kompozice využívali zlatý poměr trojúhelníku 3-4-5, a obrazce skládali jako puzzle. Stejné principy přenesl do rytecké tvorby Dürer. Čtyři grafická díla a sada karet nazvaných "Tarots de Marseille" přinesla tyto znalosti do praktického života. Melencolia je portálem ke ztracené civilizaci, která si pro vyjádření zvolila obraz. K obnovení znalostí této zapomenuté kultury bylo zapotřebí deset let výzkumu ve spolupráci s vědci a symbolisty. A Dürer poskytl vše! Úvod (základní anglická verze) : 36 on 37
37 Informace Konference na Univerzitě Karlově «Geometrie a Umění» 2. dubna 2013 Sokolovská 49/83, Praha 8 Yvo Jacquier na pozvání: Mgr. Zdeněk Halas, DiS. & Ph.D. et PhDr. Alena Šarounová, CSc. Konference Francouzská verze Anglická verze Česká verze sakralni_geometrie.pdf Rozšířená verze matematického korpusu Francouzská verze Anglická verze Česká verze Egyptske_Geometrie 2014.pdf 37 on 37
MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce
MATEMATIKA 5. TŘÍDA 1 - Přirozená čísla a číslo nula a číselná osa, porovnávání b zaokrouhlování c zápis čísla v desítkové soustavě d součet, rozdíl e násobek, činitel, součin f dělení, dělení se zbytkem
Víceprostorová definice (viz obrázek vlevo nahoře): elipsa je průsečnou křivkou rovinného
Elipsa Výklad efinice a ohniskové vlastnosti prostorová definice (viz obrázek vlevo nahoře): elipsa je průsečnou křivkou rovinného řezu na rotační kuželové ploše, jestliže řezná rovina není kolmá k ose
VíceRůznostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna
16. Trojúhelník, Mnohoúhelník, Kružnice (typy trojúhelníků a jejich vlastnosti, Pythagorova věta, Euklidovy věty, čtyřúhelníky druhy a jejich vlastnosti, kružnice obvodový a středový, úsekový úhel, vzájemná
VíceTrojúhelníky. a jejich různé středy. Součet vnitřních úhlů trojúhelníku = 180 neboli π radiánů.
Úvod V této knize předkládáme čtenáři základní matematické a fyzikální vzorce v přívětivé a snadno použitelné podobě. Využití čísel a symbolů k modelování, předpovídání a ovládání reality je mocnou zbraní
VíceShodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem
Shodná zobrazení Otočení Příklad 1. Jsou dány tři různé soustředné kružnice a, b a c. Sestrojte rovnostranný trojúhelník ABC tak, aby A ležel na a, B ležel na b a C ležel na c. Řešení. Zvolíme vrchol A
VíceUniverzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta
Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z METOD ŘEŠENÍ 1 PLANIMETRIE 000/001 Cifrik, M-ZT První příklad ze zadávacích listů 1 Zadání: Sestrojte trojúhelník ABC, pokud je dáno: ρ
VíceKaždá kružnice má střed, označuje se S. Všechny body kružnice mají od středu S stejnou vzdálenost, říká se jí poloměr kružnice a označujeme ho r.
Každá kružnice má střed, označuje se S. Všechny body kružnice mají od středu S stejnou vzdálenost, říká se jí poloměr kružnice a označujeme ho r. Kružnice k je množina všech bodů v rovině, které mají od
VíceM - Pythagorova věta, Eukleidovy věty
M - Pythagorova věta, Eukleidovy věty Určeno jako učební text pro studenty dálkového studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací
Víceod zadaného bodu, vzdálenost. Bod je střed, je poloměr kružnice. Délka spojnice dvou bodů kružnice, která prochází středem
Kružnice Kružnice je množina všech bodů roviny, které mají od zadaného bodu, vzdálenost. Bod je střed, je poloměr kružnice. Délka spojnice dvou bodů kružnice, která prochází středem je průměr kružnice.
Více1.1 Základní pojmy prostorové geometrie. Předmětem studia prostorové geometrie je prostor, jehož prvky jsou body. Další
Kapitola 1 Planimetrie a stereometrie Doplňky ke středoškolské látce 1.1 Základní pojmy prostorové geometrie 1.1.1 Axiomy Předmětem studia prostorové geometrie je prostor, jehož prvky jsou body. Další
VíceMATE MATIKA. učebnice pro 2. stupeň ZŠ a víceletá gymnázia
MATE MATIKA učebnice pro. stupeň ZŠ a víceletá gymnázia OBSAH Zlomky 5 Rovnice Množiny 7 Jazyk písmen II 7 Rodina Mnohoúhelníky 50 Trojúhelník I Prvočísla I 5 Záporná čísla 7 Mocniny 55 Dělitelnost 0
VíceMatematické důkazy Struktura matematiky a typy důkazů
Matematické důkazy Struktura matematiky a typy důkazů Petr Liška Masarykova univerzita 18.9.2014 Motto: Matematika je tvořena z 50 procent formulemi, z 50 procent důkazy a z 50 procent představivostí.
Vícep ACD = 90, AC = 7,5 cm, CD = 12,5 cm
Úloha Je dán pravoúhlý trojúhelník ACD s pravým úhlem při vrcholu C, AC = 7,5 cm, CD =,5 cm. Na přímce CD určete bod B tak, aby AB = BD Řešení: Úlohu vyřešíme nejprve geometrickou konstrukcí. a) Z rozboru
VíceA STEJNOLEHLOST,, EUKLIDOVYE VĚTY 2.
PODOBNOST A STEJNOLEHLOST,, EUKLIDOVYE VĚTY 2. ČÁST MAT. OT 2. OT. Č.. 15: SHODNÁS HODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ, PODOBNOST A STEJNOLEHLOST,, EUKLIDOVYE VĚTY PODOBNOST KDE LÁTKU NAJDETE Kapitola Základy planimetrie
VíceMaturitní otázky z předmětu MATEMATIKA
Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti
VíceTrojúhelník. MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů. Ing. Miroslav Čapek srpen 2011
MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů Trojúhelník Ing. Miroslav Čapek srpen 2011 Projekt Využití e-learningu k rozvoji klíčových kompetencí reg. č.: CZ.1.07/1.1.10/03.0021 je spolufinancován
VícePřijímací zkouška na MFF UK v Praze
Přijímací zkouška na MFF UK v Praze pro bakalářské studijní programy fyzika, informatika a matematika 2016, varianta A U každé z deseti úloh je nabízeno pět odpovědí: a, b, c, d, e. Vaším úkolem je u každé
VíceICT podporuje moderní způsoby výuky CZ.1.07/1.5.00/ Matematika planimetrie. Mgr. Tomáš Novotný
Název projektu ICT podporuje moderní způsoby výuky Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0717 Název školy Gymnázium, Turnov, Jana Palacha 804, přísp. organizace Číslo a název šablony klíčové aktivity IV/2 Inovace
Více64. ročník matematické olympiády Řešení úloh krajského kola kategorie A
64. ročník matematické olympiády Řešení úloh krajského kola kategorie A 1. Středy stran AC, BC označme postupně, N. Střed kružnice vepsané trojúhelníku KLC označme I. Úvodem poznamenejme, že body K, L
VíceÚlohy krajského kola kategorie A
64. ročník matematické olympiády Úlohy krajského kola kategorie A 1. Je dán trojúhelník ABC s tupým úhlem při vrcholu C. Osa o 1 úsečky AC protíná stranu AB v bodě K, osa o 2 úsečky BC protíná stranu AB
VíceGEODETICKÉ VÝPOČTY I.
SPŠS Č.Budějovice Obor Geodézie a Katastr nemovitostí 2.ročník GEODETICKÉ VÝPOČTY I. TROJÚHELNÍK PYTHAGOROVA VĚTA TROJÚHELNÍK Geodetické výpočty I. trojúhelník je geometrický rovinný útvar určený třemi
VíceMETODOLOGIE Studium uměleckých děl Geometrie očima Kompozice v umění
Nové chápání historie umění Mathematika Historie umění - Esoterie- Umění a architektura METODOLOGIE Studium uměleckých děl Geometrie očima Kompozice v umění ------------ Yvo Jacquier -------------------------------------------------------------------------------
VíceDeskriptivní geometrie 1
S třední škola stavební Jihlava Deskriptivní geometrie 1 01. Úvod do DG 1 Digitální učební materiál projektu: SŠS Jihlava šablony registrační číslo projektu:cz.1.09/1.5.00/34.0284 Šablona: III/2 - inovace
Více5. P L A N I M E T R I E
5. P L A N I M E T R I E 5.1 Z Á K L A D N Í P L A N I M E T R I C K É P O J M Y Bod (definice, značení, znázornění) Přímka (definice, značení, znázornění) Polopřímka (definice, značení, znázornění, počáteční
VícePythagorova věta a pythagorejské trojúhelníky-ondřej Zeman Asi 600 př.n.l
Pythagorova věta a pythagorejské trojúhelníky-ondřej Zeman Asi 600 př.n.l Baudhayana (kolem 800 př.n.l) Pythagoras ze Sámu (asi 580 př.n.l asi 500 př.n.l) Motivace: Tato věta mě zaujala, protože se o ní
VíceSyntetická geometrie I
Shodnost Pedagogická fakulta 2018 www.karlin.mff.cuni.cz/~zamboj/ Vzdálenost dvou bodů Definice (Vzdálenost) Necht A, B, C ρ. Vzdálenost dvou bodů A, B v rovině je číslo AB a platí AB 0 AB = 0 A = B AB
Vícez přímek a kružnic 35. Čtverec s danou stranou: 1. Oblouky A-B, B-A (přímka CED); 2. Oblouk E-AB (F); 3. Přímky AF, BF a vzniklé průsečíky
ČTVERCE A KOSOčTVERCE z přímek a kružnic Jednoduché čtyřúhelníkové konstrukce se dají zvládnout snadno. Abyste sestrojili kružnici opsanou čtverci nebo obdélníku, nejprve zakreslete úhlopříčky a pak narýsujte
VíceMATEMATIKA. Problémy a úlohy, v nichž podrobujeme geometrický objekt nějaké transformaci
MATEMATIKA Úloha o čtverci a přímkách ŠÁRKA GERGELITSOVÁ TOMÁŠ HOLAN Matematicko-fyzikální fakulta UK, Praha Problémy a úlohy, v nichž podrobujeme geometrický objekt nějaké transformaci (například podobnosti)
VícePLANIMETRIE úvodní pojmy
PLANIMETRIE úvodní pojmy Je část geometrie zabývající se studiem geometrických útvarů v rovině. Základními stavebními kameny v rovině budou bod a přímka. 1) Přímka a její části Dvěma různými body lze vést
VíceRozpis výstupů zima 2008 Geometrie
Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie 20. 10. porovnávání úseček grafický součet úseček grafický rozdíl úseček... porovnávání úhlů grafický součet úhlů grafický rozdíl úhlů... osa úhlu úhly vedlejší a vrcholové...
VíceZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332
Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 2 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu
Vícepro každé i. Proto je takových čísel m právě N ai 1 +. k k p
KOMENTÁŘE ÚLOH 43. ROČNÍKU MO, KATEGORIE A 1. Přirozené číslo m > 1 nazveme k násobným dělitelem přirozeného čísla n, pokud platí rovnost n = m k q, kde q je celé číslo, které není násobkem čísla m. Určete,
VíceSyntetická geometrie I
Shodnost Pedagogická fakulta 2016 www.karlin.mff.cuni.cz/~zamboj/ Vzdálenost dvou bodů Necht A, B, C ρ. Vzdálenost dvou bodů A, B v rovině je číslo AB a platí AB 0 AB = 0 A = B AB = BA pozitivně definitní
Více9. Je-li cos 2x = 0,5, x 0, π, pak tgx = a) 3. b) 1. c) neexistuje d) a) x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R d) x < 4. e) 3 3 b
008 verze 0A. Řešeními nerovnice x + 4 0 jsou právě všechna x R, pro která je x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R x < 4 e) nerovnice nemá řešení b. Rovnice x + y x = je rovnicí přímky b) dvojice přímek c) paraboly
VíceTéma 5: PLANIMETRIE (úhly, vlastnosti rovinných útvarů, obsahy a obvody rovinných útvarů) Úhly 1) Jaká je velikost úhlu? a) 60 b) 80 c) 40 d) 30
Téma 5: PLANIMETRIE (úhly, vlastnosti rovinných útvarů, obsahy a obvody rovinných útvarů) Úhly 1) Jaká je velikost úhlu? a) 60 b) 80 c) 40 d) 30 2) Vypočtěte velikost úhlu : a) 150 10 b) 149 22 c) 151
Více8 Podobná (ekviformní) zobrazení v rovině
Typeset by LATEX2ε 1 8 Podobná (ekviformní) zobrazení v rovině 8.1 Stejnolehlost (homotetie) v rovině Definice 8.1.1. Nechť jsou dány 3 různé kolineární body A, B, C. Dělicím poměrem λ = (ABC) rozumíme
Více3.3.5 Množiny bodů dané vlastnosti II (osa úsečky)
3.3.5 Množiny bodů dané vlastnosti II (osa úsečky) Předpoklady: 030304 Př. 1: Je dána úsečka, = 5,5cm. Narýsuj osu úsečky. Jakou vlastnost mají body ležící na této přímce? Pro všechny body na ose úsečky,
VíceTémata absolventského klání z matematiky :
Témata absolventského klání z matematiky : 1.Dělitelnost přirozených čísel - násobek a dělitel - společný násobek - nejmenší společný násobek (n) - znaky dělitelnosti 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9,10 - společný
Více2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. Výsledky pište čitelně do vyznačených bílých polí. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám
MATEMATIKA+ DIDAKTICKÝ TEST Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % 1 Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 23 úloh. Časový limit pro řešení didaktického testu
VícePLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh
PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh Lomená čára A 0 A 1 A 2 A 3..., A n (n 2) se skládá z úseček A 0 A 1, A 1 A 2, A 2 A 3,..., A n 1 A n, z nichž každé dvě sousední mají společný jeden krajní
VíceRozvinutelné plochy. tvoří jednoparametrickou soustavu rovin a tedy obaluje rozvinutelnou plochu Φ. Necht jsou
Rozvinutelné plochy Rozvinutelná plocha je každá přímková plocha, pro kterou existuje izometrické zobrazení do rov iny, tj. lze ji rozvinout do roviny. Dá se ukázat, že každá rozvinutelná plocha patří
VíceMgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17
Mgr. Tomáš Kotler I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Je dán rovinný obrazec, v obrázku vyznačený barevnou výplní, který představuje
Více- shodnost trojúhelníků. Věta SSS: Věta SUS: Věta USU:
1/12 PLANIMETRIE Základní pojmy: Shodnost, podobnost trojúhelníků Středová souměrnost, osová souměrnost, posunutí, otočení shodná zobrazení Středový a obvodový úhel Obsahy a obvody rovinných obrazců 1.
Více(4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74,
1. V oboru celých čísel řešte soustavu rovnic (4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74, kde (n) k značí násobek čísla k nejbližší číslu n. (P. Černek) Řešení. Z první rovnice dané soustavy plyne, že číslo
VíceMATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)
MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo
VíceDalší plochy technické praxe
Další plochy technické praxe Dosud studované plochy mají široké využití jak ve stavební tak ve strojnické praxi. Studovali jsme možnosti jejich konstrukcí, vlastností i využití v praxi. Kromě těchto ploch
Více3.2 OBJEMY A POVRCHY TĚLES
. OBJEMY A POVRCHY TĚLES Krychle, kvádr, hranol Dochované matematické texty ze starého Egypta obsahují několik úloh na výpočet objemu čtverhranných obilnic tvaru krychle; lze předpokládat, že stejným způsobem
VíceŽák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě.
STANDARDY MATEMATIKA 2. stupeň ČÍSLO A PROMĚNNÁ 1. M-9-1-01 Žák provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel; užívá ve výpočtech druhou mocninu a odmocninu 1. žák provádí základní početní
VíceCVIČNÝ TEST 36. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17
CVIČNÝ TEST 36 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST 1 Určete iracionální číslo, které je vyjádřeno číselným výrazem (6 2 π 4
VíceTrojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy
5 Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy Trojúhelník: Trojúhelník je definován jako průnik tří polorovin. Pojmy: ABC - vrcholy trojúhelníku abc - strany trojúhelníku ( a+b>c,
VíceCVIČNÝ TEST 43. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15
CVIČNÝ TEST 43 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 I. CVIČNÝ TEST 1 bod 1 Pro a, b R + určete hodnotu výrazu ( a b) 2 ( a + b) 2, víte-li,
VícePožadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků
Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy
VíceVEKTORY. Obrázek 1: Jediný vektor. Souřadnice vektoru jsou jeho průměty do souřadných os x a y u dvojrozměrného vektoru, AB = B A
VEKTORY Vektorem se rozumí množina všech orientovaných úseček, které mají stejnou velikost, směr a orientaci, což vidíme na obr. 1. Jedna konkrétní orientovaná úsečka se nazývá umístění vektoru na obr.
Vícei=1 Přímka a úsečka. Body, které leží na přímce procházející body a a b můžeme zapsat pomocí parametrické rovnice
I. Funkce dvou a více reálných proměnných 1. Úvod Značení: V textu budeme používat označení: N pro množinu všech přirozených čísel; R pro množinu všech reálných čísel; R n pro množinu všech uspořádaných
VíceÚlohy klauzurní části školního kola kategorie B
65. ročník matematické olympiády Úlohy klauzurní části školního kola kategorie B 1. Kolika způsoby je možno vyplnit čtvercovou tabulku 3 3 čísly,, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4 tak, aby součet čísel v každém čtverci
Více2. Vyšetřete všechny možné případy vzájemné polohy tří různých přímek ležících v jedné rovině.
ZS1BK_PGE1 Geometrie I: Vybrané úlohy z elementární geometrie 1. Které geometrické útvary mohou vzniknout a) jako průnik dvou polopřímek téže přímky, b) jako průnik dvou polorovin téže roviny? V případě
VíceGYMNÁZIUM CHEB SEMINÁRNÍ PRÁCE
GYMNÁZIUM CHEB SEMINÁRNÍ PRÁCE Pravidelná tělesa Cheb, 2006 Lukáš Louda,7.B 0 Prohlášení Prohlašuji, že jsem seminární práci na téma: Pravidelná tělesa vypracoval zcela sám za použití pramenů uvedených
VíceNecht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme
Skalární součin axiomatická definice odvození velikosti vektorů a úhlu mezi vektory geometrická interpretace ortogonalita vlastnosti ortonormálních bázi [1] Definice skalárního součinu Necht L je lineární
Vícen =5, potom hledejte obecný vztah. 4.5 Mnohoúhelníky PŘÍKLAD 4.2. Kolik úhlopříček má n úhelník? Vyřešte nejprve pro Obrázek 28: Tangram
4.5 Mnohoúhelníky Obrázek 28: Tangram Mnohoúhelník můžeme charakterizovat jako část roviny ohraničenou uzavřenou lomenou čarou (tj. čarou, která se skládá z na sebe navazujících úseček). Již víme, že rozlišujeme
VíceŘešení geometrické úlohy spočívá v nalezení geometrického útvaru (útvarů) daných vlastností.
Řešení geometrické úlohy spočívá v nalezení geometrického útvaru (útvarů) daných vlastností. Metody řešení konstrukčních úloh: množinou bodů zobrazením výpočtem kombinací předchozích způsobů Konstrukční
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii
VíceFAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK
FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 00 007 TEST Z MATEMATIKY PRO PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY ČÍSLO FAST-M-00-0. tg x + cot gx a) sinx cos x b) sin x + cos x c) d) sin x e) +. sin x cos
Více67. ročník matematické olympiády III. kolo kategorie A. Přerov, března 2018
67. ročník matematické olympiády III. kolo kategorie Přerov, 8.. března 08 MO . Ve společnosti lidí jsou některé dvojice spřátelené. Pro kladné celé číslo k 3 řekneme, že společnost je k-dobrá, pokud
VíceTEMATICKÝ PLÁN. září říjen
TEMATICKÝ PLÁN Předmět: MATEMATIKA Literatura: Matematika doc. RNDr. Oldřich Odvárko, DrSc., doc. RNDr. Jiří Kadleček, CSc Matematicko fyzikální tabulky pro základní školy UČIVO - ARITMETIKA: 1. Rozšířené
VíceMatematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2017
NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Matematika T BŘEZNA 07 D : 4 BŘEZNA 07 P P P : 964 : 0 M M : 0 : 8,8 M : 8,8 % S : -7,5 M P : -,5 :,8 Zopakujte si základní informace ke zkoušce: n Test obsahuje 0 úloh a na
VíceDůkazy vybraných geometrických konstrukcí
Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5 Ročníková práce Důkazy vybraných geometrických konstrukcí Vypracovala: Ester Sgallová Třída: 8.M Školní rok: 015/016 Seminář : Deskriptivní geometrie
VíceDRUHÁ MOCNINA A ODMOCNINA. Irena Sytařová
DRUHÁ MOCNINA A ODMOCNINA Irena Sytařová Vzdělávací oblast Rámcového vzdělávacího programu Matematika a její aplikace je rozdělena na čtyři tématické okruhy. V tématickém kruhu Číslo a proměnná si ţák
VíceZS1BP_IVU1 Interpretace výtvarného umění 1. Mgr. Alice Stuchlíková katedra výtvarné výchovy, Pedagogická fakulta, Masarykova univerzita, Brno
ZS1BP_IVU1 Interpretace výtvarného umění 1 Mgr. Alice Stuchlíková katedra výtvarné výchovy, Pedagogická fakulta, Masarykova univerzita, Brno 9. 11. 2011 Slovníček XII. DICKINSOVÁ, Rosie GRIFFITHOVÁ, Mari.
VíceKapitola 5. Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které
Kapitola 5 Kuželosečky Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které společně s kružnicí jsou známy pod společným názvem kuželosečky. Říká se jim tak proto, že každou z nich
VíceCVIČNÝ TEST 35. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17
CVIČNÝ TEST 35 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST 1 Vypočtěte [( 3 3 ) ( 1 4 5 3 0,5 ) ] : 1 6 1. 1 bod VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE
Více2.8.6 Čísla iracionální, čísla reálná
.8.6 Čísla iracionální, čísla reálná Předpoklady: 0080 Př. : Doplň tabulku (všechny sloupce je možné vypočítat bez kalkulačky). 00 x 0 0,0004 00 900,69 6 8 x 0,09 0, x 0 0,0004 00 x 0 0,0 0 6 6 900 0 00
Více10)(- 5) 2 = 11) 5 12)3,42 2 = 13)380 2 = 14)4, = 15) = 16)0, = 17)48,69 2 = 18) 25, 23 10) 12) ) )
Druhá mocnina z tabulek 1) (- 6) = 10)(- 5) = ) 7 = 4 11) 5 = ) 4,8 = 4) 40 = 5),785 = 6) 65 8 = 7) 0,01485 = 8) 5,7 = 9) = 4 1),4 = 1)80 = 14)4,6787 = 15)467 56 = 16)0,014 = 17)48,69 = 1 18) Druhá odmocnina
Více10. Analytická geometrie kuželoseček 1 bod
10. Analytická geometrie kuželoseček 1 bod 10.1. Kružnice opsaná obdélníku ABCD, kde A[2, 3], C[8, 3], má rovnici a) x 2 10x + y 2 + 7 = 0, b) (x 3) 2 + (y 3) 2 = 36, c) x 2 + 10x + y 2 18 = 0, d) (x 10)
VíceMatematický KLOKAN kategorie Junior
Matematický KLOKN 2008 kategorie Junior Úlohy za 3 body 1. Vkrabicích byly uloženy některé z karet označených,, I, O, U, jak ukazuje obrázek. Petr odebíral z každé krabice karty tak, aby na konci zbyla
VíceOdpřednesenou látku naleznete v kapitolách skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra.
nad obecným tělesem a lineární kombinace Odpřednesenou látku naleznete v kapitolách 1.1 1.4 skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra. Jiří Velebil: A7B01LAG 1.10.2015: 1/20 nad obecným tělesem Co
VíceČtyřúhelník. O b s a h : Čtyřúhelník. 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti. 2. Názvy čtyřúhelníků Deltoid Tětivový čtyřúhelník
Čtyřúhelník : 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti 2. Názvy čtyřúhelníků 2.1. Deltoid 2.2. Tětivový čtyřúhelník 2.3. Tečnový čtyřúhelník 2.4. Rovnoběžník 2.4.1. Základní vlastnosti 2.4.2. Výšky
VíceVEKTOR. Vymyslete alespoň tři příklady vektorových a skalárních fyzikálních veličin. vektorové: 1. skalární
VEKTOR Úvod Vektor je abstraktní pojem sloužící k vyjádření jistého směru a velikosti. S vektorovými veličinami se setkáváme například ve fyzice. Jde o veličiny, u nichž je rozhodující nejen velikost,
VíceII. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0.
Ukázky typových maturitních příkladů z matematiky..reálná čísla. 3} x R; I. Zobrazte množiny A = {x є 3} < + x R; B = {x є II. Zapište ve tvaru zlomku číslo, 486.Komplexní čísla. I. Určete a + b, a - b,
VíceZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332
Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu
VíceMaximální bodové Hranice. bílých polí.. žádné body. hodnocení. bodů. chybné řešení. První. je právě jedna. odpovědí. nesprávnou.
MATEMATIKA DIDAKTICKÝ TEST Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 26 úloh. Časový limit pro řešení didaktického testuu
Více1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem
Analytická geometrie - kružnice Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A = ; 5 [ ] Napište středový i obecný tvar rovnice kružnice, která má střed
VíceMATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY
MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické
VíceMatematický KLOKAN 2005 kategorie Junior
Matematický KLOKAN 2005 kategorie Junior Vážení přátelé, v následujících 75 minutách vás čeká stejný úkol jako mnoho vašich vrstevníků v řadě dalších evropských zemí. V níže uvedeném testu je zadáno čtyřiadvacet
VíceOmezíme se jen na lomené čáry, jejichž nesousední strany nemají společný bod. Jestliže A 0 = A n (pro n 2), nazývá se lomená čára uzavřená.
MNOHOÚHELNÍKY Vlastnosti mnohoúhelníků Lomená čára C 0 C C C 3 C 4 protíná samu sebe. Lomená čára A 0 A A... A n- A n (n ) se skládá z úseček A 0 A, A A,..., A n- A n, z nichž každé dvě sousední mají společný
VíceVzdělávací obsah vyučovacího předmětu
Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Matematika 6. ročník Zpracovala: Mgr. Michaela Krůtová Číslo a početní operace zaokrouhluje, provádí odhady s danou přesností, účelně využívá kalkulátor porovnává
VíceMatematika - Historie - 1
Matematika - Historie - 1 Vybrali jsme zajímavé jevy z historie matematiky a sestavili z nich jeden test. Doufáme, že se podaří splnit hned několik cílů. Test vás potěší, překvapí a poučí. Odpovědi hledejte
VíceZákladní geometrické tvary
Základní geometrické tvary č. 37 Matematika 1. Narýsuj bod A. 2. Narýsuj přímku b. 3. Narýsuj přímku, která je dána body AB. AB 4. Narýsuj polopřímku CD. CD 5. Narýsuj úsečku AB. 6. Doplň. Rýsujeme v rovině.
VíceVyučovací předmět / ročník: Matematika / 4. Učivo
Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Výstupy žáka Vyučovací předmět / ročník: Matematika / 4. ČÍSLO A POČETNÍ OPERACE Zpracoval: Mgr. Dana Štěpánová orientuje se v posloupnosti přirozených čísel
Více7.5.3 Hledání kružnic II
753 Hledání kružnic II Předpoklady: 750 Pedagogická poznámka: Tato hodina patří mezi vůbec nejtěžší Není reálné předpokládat, že by většina studentů dokázala samostatně přijít na řešení, po čase na rozmyšlenou
VícePředpokládané znalosti žáka 1. stupeň:
Předpokládané znalosti žáka 1. stupeň: ČÍSLO A POČETNÍ OPERACE používá přirozená čísla k modelování reálných situací, počítá předměty v daném souboru, vytváří soubory s daným počtem prvků čte, zapisuje
VíceX = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)
.6. Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině. 6.1. V této kapitole budeme studovat geometrické úloh v rovině analtick, tj. lineární a kvadratické geometrické útvar vjádříme pomocí
VíceP L A N I M E T R I E
M T E M T I K P L N I M E T R I E rovinná geometrie Základní planimetrické pojmy od - značí se velkými tiskacími písmeny, např.,,. P, Q. Přímka - značí se malými písmeny, např. a, b, p, q nebo pomocí bodů
VíceCVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17
CVIČNÝ TEST 15 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Je dána čtvercová mřížka, v níž každý čtverec má délku
VíceCVIČNÝ TEST 13. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Zdeňka Strnadová. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17
CVIČNÝ TEST 13 Mgr. Zdeňka Strnadová OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 V trojúhelníku ABC na obrázku dělí úsečka
VíceZÁKLADNÍ PLANIMETRICKÉ POJMY
ZÁKLADNÍ PLANIMETRICKÉ POJMY Základní geometrické pojmy jsou bod, přímka a rovina. Geometrie je chápána jako část matematiky, která se zabývá studiem geometrických útvarů v rovině. Body určujeme jako průsečíky
VíceMATEMATIKA MAIZD14C0T01 DIDAKTICKÝ TEST. 2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. 1 Základní informace k zadání zkoušky. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám
MATEMATIKA DIDAKTICKÝ TEST MAIZD14C0T01 Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % 1 Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 26 úloh. Časový limit pro řešení didaktického
VíceA[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz
1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině
VíceCVIČNÝ TEST 53. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17
CVIČNÝ TEST 53 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Je dána funkce f: y = x p, x R {3}, kde p je reálný
VíceMatematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY DUBNA 2017
NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Matematika T DUBNA 07 : 9. dubna 07 D : 830 P P P : 30 M. M. : 30 : 8,8 M. :, % S : -7,5 M. P : -,5 :,4 Zopakujte si základní informace ke zkoušce: n Test obsahuje 30 úloh a
Více