Univerzita Karlova konference 2. dubna 2013 Matematicko fyzikální fakulta Katedra matematiky a didaktiky matematiky.

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Univerzita Karlova konference 2. dubna 2013 Matematicko fyzikální fakulta Katedra matematiky a didaktiky matematiky."

Transkript

1 Univerzita Karlova konference 2. dubna 2013 Matematicko fyzikální fakulta Katedra matematiky a didaktiky matematiky Geometrie & Umění Geometrie očima Záznam přednášky Yvo Jacquier SROVNÁVACÍ GEOMETRIE / Pocta velkému pedagogu Janu Amosu Komenskému (Comenius) 1 on 37

2 Část I - čistá matematika 2 on 37

3 Myšlení očima Zlatý řez, původ Věnujte pozornost přiloženému obrázku. Dva přiléhající (dvojnásobné) čtverce, úhlopříčka, která je protíná a osa většího úhlu. Pokud osu úhlu prodloužíte, protne vodorovnou dělící čáru čtverců. Bod protnutí se označuje jako Zlatý řez (φ). Toto je první a nejstarší definice Zlatého řezu. V jednom okamžiku shrnuje : - konstrukci (nejjednodušší způsob) - definici (nejsrozumitelnější způsob) - vlastnosti za použití úhlů: Větší úhel úhlopříčky dvojnásobného čtverce je dvojnásobek menšího úhlu Zlatého řezu. Uvedený způsob myšlení se nazývá «Geometrie očima». Vznikl dlouhou dobu před výpočty, před písmem a koncepcí plochy. Možná již během pozdního paleolitu, ovšem v tomto případě můžeme přebudovat koncept jako "paleo", protože geometrie pokračuje dále. Použitá metoda má možnost dalších výkladů (následující stránka) a také matematické vyjádření. Nezjevila se z ničeho nic, patří do soudržného celku, kterým Thales a Pythagoras navázali na starověký Egypt. 3 on 37

4 Schémata v dílech Dürera Nejprve uvažujme kružnici se středem v bodu O střed dvojnásobného čtverce. Tato kružnice prochází bodem I, s AI = φ Doplňující částí průměru φ je 1/φ, přičemž φ + 1 / φ = 5 Další objevené vlastnosti zlatého obdélníku : zlatý obdélník : Pokud je jedna úhlopříčka vodorovná, druhá úhlopříčka je úhlopříčkou dvojnásobného čtverce. Albrecht Dürer použil tento princip v jeho famózním díle «Melencolia I». Mřížka Geometrie očima je vybudována na využití mřížky. V tomto rámci je umožněno vytvořit, demonstrovat a přitom mít na paměti všechny elementy. Nejzákladnějším vyjádřením tohoto postupu je jednoduchý trojúhelník Osami úhlu tohoto trojúhelníku jsou přirozené úhlopříčky jednoduchého, dvojnásobného a trojnásobného čtverce. Zlatý řez se nachází na druhé ose úhlu, mezi vrcholem a vepsanou kružnicí. 4 on 37

5 Trojúhelník Dalším vyjádřením vlastností «posvátného trojúhelníku» - je tzv. mapovací trojúhelník, který tyto vlastnosti využívá mnohem více. Součet pořadí (dle počtu čtverců odpovídajících ose úhlu) s hodnotou protilehlé strany je 6. Číslo 6 je základem číselné řady v esoterice. Kostka má šest stran, s šesti celými čísly od 1 do 6. Součet opačných stan je 7. Tento údaj je velmi důležitý, neboť jednoduše ukazuje, že pre-eukleidovská geometrie není nutně axiomatická a empirická. Strana 5 není konvence. Toto tvrzení je možné dokázat i s podobnými trojúhelníky. 5 on 37

6 Čtyři důkazy φ v trojúhelníku důkaz : jak jsme viděli, φ je určeno trojúhelníkem. Zlatý obdélník 2 x 2φ označený jako "klasický", se pohybuje po v pořadí druhé ose úhlu. 2.φ je vzdálenost mezi vrcholem trojúhelníku a jeho vepsanou kružnicí. 2. důkaz : první důkaz se týká rozměrů, druhý se týká úhlů. Osa úhlů 1. a 3. jsou přirozené úhlopříčky zlatého obdélníku. To vede k zobecnění popisu symbolů. 3. důkaz : klasický obdélník se může neomezeně dělit (ve skutečnosti se jedná o skryté zlaté obdélníky). Tímto způsobem lze tvořit zlaté spirály, které se sbíhají k bodu T umístěnému na přeponě jednu jednotku od vrcholu trojúhelníku. 6 on 37

7 4. důkaz : pentagram vychází z konfrontace vepsané kružnice a jejího obrazu. Druhá kružnice je vložena do středu dvou objektů nad základnou trojúhelníku (strana 4), ve vzdálenosti φ od strany 3. Pentagram je nakloněn podle úhlopříčky zlatého obdélníku. Demonstrace V ukázce je pouze několik základních požadavků. Je možné je označit jako Thaletovy věty. Důkazy prostřednictvím podobných trojúhelníků. Další aspekty jsou velmi jednoduché. Proces, kdy se důkaz neprovádí výpočty, ale dokládá se ukázkou, se nazývá «demonstrace». Součet úhlů trojúhelníku Je nezbytné pouze propojit tři různé úhly shodných trojúhelníků v bodě O, součet jejich úhlů v tomto bodě je 180 (také označováno symbolem π, nebo jako přímý úhel, poloměr) Dle Jean-Paul Guicharda lze použít ještě jednodušší způsob: Olivier Keller zmiňuje ve své knize «archeologie geometrie», sbírku kostěných rytin z období paleolitu. Jejich obrazce ukazují stejné struktury. 7 on 37

8 Obrazce sakrální geometrie Hexagram Když kruh umístíme do mřížky 4 x 4, jejich průniky ukazují dva trojúhelníky hexagramu - obrazce zvěrokruhu. Vesica Piscis mandle Vesica piscis je tvořena dvěma spojenými kružnicemi: střed každé z nich leží na druhé kružnici. Pythagorejci ji považovali za sakrální, archaický a původní symbol Venuše - dlouho předtím, než jí byly přisouzeny vlastnosti, které zakryly její skutečný status. 8 on 37

9 Doslovně mandlová pochva se ve francouzštině skromně nazývá "déïque" Představuje posvátný ženský prvek. Symbol je spojován s číslem 3, jeho význam v paleolitu není dosud odhalen Pozn.: Mandorla Krista není nikdy vesica piscis. Další podmínkou definující mandli je opsaný obdélník s poměrem 3. Hexagram a Vesica Piscis Na obrázku je hlavní byzantská mřížka Andreje Rubleva, která byla použita k vytvoření "Svaté Trojice". Tento obrazec sjednocuje celé dílo. Vnitřní šestihran hexagramu určuje vesica piscis, jejíž mandle je 2 čtverce na výšku. Kružnice vesica pisces má poloměr 2/ 3. Ostatní mandle (sklon 45 ) jsou umístěny v hexagramu. Pozn.: byzantská mřížka není triviální, dokonce i při použití φ... Pentagram a Vesica Piscis Deska je 1/2 Φ = (1 + 5) / 2 = 1/2 + 5/2 8 bodů z 10 pentagramu se nachází na Vesica Piscis. To znamená, že hlavní obrazce sakrální geometrie jsou přirozeně propojeny. 9 on 37

10 Od Gízy po Babylon Počty a písmo se objevuje během neolitu, přináší nové možnosti využití geometrie mřížky. Tato změna se týká všech civilizací, ale dá se říct, že Egypťané jsou sentimentálnější a umělecky zdatnější ve srovnání s Mezopotámií, více organizovanou a abstraktní. Je zjevné, že si vyměňovali své znalosti, ale jejich přístupy jsou odlišné. Babyloňané překládali své zkušenosti s geometrií do čísel. Tento nový vývoj se stal základem kabaly. První krok k objasnění je uveden níže. Paragonální obrazec V každém trojúhelníku je součet tří úhlů rovný přímému úhlu, nebo-li 180. Â1 + Â2 = 90 - Â3 je v libovolné posloupnosti Â1, Â2 a Â3. > Jeden z nich může být pravý úhel. Předcházející vlastnosti ukážeme na případu pravoúhlého trojúhelníku. Pokud vycházíme z modré osy pravého úhlu, je vazba mezi ostatními úhly následující Â1 + Â2 = 90 - Â3 s Â3 = 45. Z toho vyplývá Â2 = 45 - Â1. 10 on 37

11 V geometrii to znamená, že můžeme v pravoúhlém trojúhelníku zjistit druhou osu úhlu na základě první. První osu úhlu lze považovat za úhlopříčku obdélníku (DE). Tento obdélník lze otočit o 45 na úhlopříčku (EF) (EF a DE svírají pravý úhel). A nakonec úsečka (DF) odpovídá sklonu druhé osy úhlu. Tuto vlastnost pojmenoval francouzský matematik Raphaël Legoy během studia babylonské desky Plimpton Příklad - od trojitého k párovému Následující obrázek pomůže pochopit pravoúhlý trojúhelník. 11 on 37

12 V současné době jsme zvyklí na Pythagorovy věty, ale "geometrie očima» nevyžaduje teorii ploch čtverců k pochopení pravoúhlého trojúhelníku. Lze si ji představit prostřednictvím úhlů, stejně tak jako o zlatý řez. Jednoduchý příklad trojúhelníku , ukazuje všechny vztahy dvojic (p, q). Vidíme, že osa úhlu z vrcholu B trojúhelníku automaticky protíná osu úhlu z bodu A, (paragonála). V tomto případě jsou body B ' a B symetrické. V souvislosti s touto paragonálou (zelená) je úsečka B'O (červená) v pravém úhlu k červené úsečce BO. Obrázek dokazuje, že úhlopříčky žlutého a zeleného obdélníku v bodě O svírají pravý úhel (a jejich paragonál je ortogonální k OA). Tento obrázek nabízí předpoklady, které je možné potvrdit dalšími trojúhelníky. Poměr p a q zde je 5/2. To je nepřekonatelné. Poznámka: ke zjištění OB jsou nutné tři obdélníky. 3 = q-p Poznámka: OA lze zjistit pomocí dvou obdélníků 2=p Za těchto předpokladů lze rozměry trojúhelníku zjistit jednoduše. BA = B O + O A = (q-p)q + p(q+p) = q² + p² CA = CO + O A = (q-p)p + p(q+p) = 2pq CB = (q-p)p + (q-p)q = q² + p² Což odpovídá : a = q² - p² b = 2pq c = q² + p² Plimpton hypotéza Tajemství slavné desky Plimpton 322 (18th století př. n. l.) bylo prolomeno matematiky, a to včetně chybějících částí. Jednoduché výpočty mezi sloupci ukazují naprosto nečekaně řadu prvočísel. Díky tomuto překvapení si zaslouží nazývat «hypotéza Plimpton». Mějte oči na geometrii. 12 on 37

13 Část II - použití v umění 13 on 37

14 Malíři renesance Zvykli jsme si tvrdit, že použití perspektivy v období renesance je duchem pokroku. Samozřejmě, tento nový způsob ztvárnění reálných linií našel svá matematická pravidla v této době. Ovšem kromě tohoto neutrálního systému umělci renesance i nadále používali v oblasti symbolismu starší způsob vyjádření - sakrální geometrii. I bez znalosti kompozice si ji lze představit za pomoci velmi jednoduché definice: kompozice je soubor vzájemně propojených čar vyjádřitelný matematicky, kterým se řídí konečné výtvarné ztvárnění. Tužka umělce nebo architekta vyhledává tyto geometrické obrazce, a tyto obrazce jsou skrytou podstatou utváření díla, v průběhu jeho realizace se postupně jejich smysl zakrývá, až je zcela nepostřehnutelný. V případě sakrální geometrie umožňuje mřížka převést obrazce do čísel a naopak. Díky tomu lze odhalit skutečný význam vlastního díla. Perspektivní systém přináší realismus, ale neobjasňuje význam symbolů. Pro jejich pochopení je nutná znalost jejich základů. Ve své «Athénské škole» Raphael mísí dva systémy. Sakrální geometrii odpovídají linie perspektivy v jejich úhlech. 14 on 37

15 Např. dvě bílé přímky klesají pod úhlem 36 ke svislici, jako odkaz na pentagram. Pocit harmonie nezávisí na jediné skutečnosti. Tento úhel je součástí dalšího objektu. Měřítko φ je dáno Platónem, a potvrzeno rukou Aristotela. «Svatý Michal a ďábel» Sakrální geometrie v díle Raphaela je jednoduchá a jako vždy u tohoto malíře nebývale efektivní. Geometricky vytvořená šipka je mnohem účinnější než oštěp sám! 15 on 37

16 Dějiny umění «Velká Odaliska» Pozůstatky této kultury nacházíme až do XIX. století. [Geometrie očima je postavena na mřížce, která umožňuje vyjádření formy. Čísla otvírají cestu pro překlad symbolů do lidského jazyka]. V práci J. D. Ingrese, má velká kružnice průměr 3 číslo vyjadřující nebesa. Mřížka jako obvykle ukazuje trojúhelník Strana zeleného čtverce je 2.φ. Chrám Eanna - Uruk IV - IV tisíciletí př.n.l. Díky těmto principům lze objasnit architekturu Mezopotámie na počátku neolitu. 16 on 37

17 Planina Gíza let př. n.l. Stejné znalosti využívali i ve Starověkém Egyptě. Plimptonská deska století př.n.l. Slavná Plimptonská deska 322, z období 1800 př.n. l. je považována za seznam Pythagorejských trojic redukovaných na dvojice. Tyto dvojice tvoří seznam jednotek, přičemž i chybějící řádky desky respektují toto pravidlo! Princip je možné dále rozšiřovat, dvě hodnoty trojice se stávají dvojicí další trojice. Pythagorejci soustředili oba vlivy, mezopotámský a egyptský. V průběhu staletí bylo Řecko křižovatkou znalostí. 17 on 37

18 Sakrální geometrie se snaží proniknout do římského realismu, vyjádřeného v architektonickém díle Vitruvia 1. století př.n.l., a rozšířila se i do keltského světa. Vliv Pythagorejců v keltském světě. dokázali archeolog Jean-Loup Flouest a matematik Marc Bacault. Keltská phalera v Champagne, Francie K nakreslení prvků tohoto objektu je zapotřebí 190 kruhů a oblouků postavených na základě čísel 8 a 27. Tato čísla jsou zafixována v pythagorejské numerologii a také dokazují výměnu informací mezi latinskou vědeckou elitou a keltskými druidy, považovanými ve své době za Pythagorejce. Úroveň znalostí této matematiky vyžaduje čtyři roky vysokoškolského studia. Geometrické klíče Germigny - Francie 9. století V tomto období si mnoho umělců a stavitelů zachránilo život útěkem do západní části Evropy, čímž zároveň zachránili i svou kulturu. Do "oratoria" Germigny vložili v didaktickém měřítku základní informace o tvarech. 18 on 37

19 Kniha z Kellsu - Irsko - pozdní 8. století Ještě více extrémní řešení přijali v keltském svět. Irští mniši přijali tuto kulturu a "přepsali" Bibli. Mimochodem, o slavné «Knize z Kellsu» je známo, že s textem pracuje velmi svobodně, jako by mělo být z textu jasné, že hlavním účelem této práce je geometrie. Odmocnina 3 a Phi ( 3 & φ) 19 on 37

20 Ikona Matky Boží Vladimírské 12. století V raném středověku našla tato kultura přístav v Byzanci. V ikonách a keramice. Uspěla jako dar konstantinopolskému patriarchovi, velkému knížeti Kyjevskému v roce (Pravoslavná církev se oddělila od katolické v roce 1054). Tento tichý pravoslavný svět je otřesen ikonografií: mezi roky 730 a 787, a znovu mezi roky 813 a 843. Katedrála Dol-de-Bretagne - Francie převážně 13. a 14. století Francouzské katedrály jsou možná výsledkem této exploze ikonografie. Nová idea se objevila i v mém výzkumu, byl jsem tak posedlý zahraničními vlivy, že jsem neviděl, že i Francie se byla schopna podílet a zároveň i obohatit toto umění, stejně jako severní Itálie nebo Novgorod. 20 on 37

21 Opatství Conques století - vysoká škola umění římského 21 on 37

22 Heptagram tympanonu předcházející strana Kompozice v Conques je dokonalou ukázkou rozvoje využití mřížky. Různé systémy v jednotlivých vrstvách na stejné téma. Příkladem je heptagram připomínající byzantské znalosti. Neuvěřitelné. Klíč mandorla ztrojené čtverce Unikátní lekce geometrie v písmenu G! H je zde hodnota (1+ 3)/2, základ Zlatého řezu. Obrazec je tvořen kružnicí opsanou horní části rovnostranného trojúhelníku. 22 on 37

23 Trojúhelník je také použit pro vytvoření malého čtyřúhelníku v dolní části obrázku. I když to není na první pohled zřejmé, lze obrazec vyjádřit algebraicky ( 3-1) = 2/(1+ 3), avšak ( 3-1)( 3+1) = 3-1 = 2, což je mnohem srozumitelnější. Antikové vše dokázali demonstrovat pouze očima bez výpočtu. Jinými slovy, 3 čtyřúhelník je součtem čtverce a čtyřúhelníku H [H = (1 + 3) / 2] Pozdní středověk - francouzský vliv Dům u zvonu - Praze - ranné 14. století (úžasné) «Portrét Karla VII» (1450/55) - Jean Fouquet 23 on 37

24 A nyní k období vrcholu sakrální geometrie: období renesance. Tři díla ztělesňují vrchol: «Svatá Trojice» od Andreje Rubleva /28, «Zrození Venuše» od Sandra Botticelliho -1485, a «MELENCOLIA I» Albrechta Dürera Třetí dílo je součástí širšího projektu, který je závěrečným důkazem civilizace obrazu -Didaktický projekt Dürer. Perspektivní systém, který vznikl během renesance se zachoval jako jediný v kompozici, po období, kdy se objevoval společně se sakrální geometrií ve stejných dílech. Později se pokoušeli pro «umění úhlopříček» najít klasičtí malíři jednoduchá pravidla, ale bez ztracených znalostí skutečné geometrie. Alegorie pomalu převzaly místo symbolů... Mohli bychom mluvit o 20. století, ale obávám se, že po velkolepém ohňostroji renesance, budou vaše oči zklamány a vaše mysl matematika bude trochu dotčena. Raději ukáži více důkazů geometrie očima. 24 on 37

25 «Svatá Trojice» Andrej Rublev «Svatá Trojice» o Andreje Rubleva /28 Andreï Rublev použil ve své Svaté Trojici jednoduchý čtyřúhelník, namísto tradičního monogramu Krista, nebo věty z Bible. Tradiční znamení v díle není použito, není použitý ani podpis či ornament. Andrej Rublev vyjádřil spojení jednoduchým čtyřúhelníkem sakrální geometrie. Obdélník Andreje Rubleva Tento obdélník odpovídá zlatému řezu. Historický detail: Na počátku dvacátého století, britský kritik a šermíř Theodore Andrea Cook ( ) souhlasil se záměrem svého přítele - amerického matematika Marka Barra, zavést řecké písmeno φ jako matematický symbol zlatého řezu - jako odkaz na řeckého sochaře Phidiase (5. století před n.l.). 25 on 37

26 Přední část je ukázkou aritmetických hodnot. Začátek vyjádřený rovnicí φ2 = φ + 1, viz. Lekce aritmetiky Andreje Rubleva Toto čistě matematické vyjádření se rozvíjí ve spodní části díla. Potvrzuje, že základním prvkem Rublevova díla je obdélník. Horní část naopak odpovídá vyjádření geometrií očima. Nacházíme dualitu s očima boha Hóra jedno otevřené a zaměřené na cíl, druhé zavřené s vnitřním zrakem. Rublev empaticky definoval velikost využití mřížky dvěmi body, Alfa a Omega. Rozměry této ikony jsou přesně 4 jednotky na výšku, poměr Rublevova obdélníku je 2/7. Logika aritmetická se potkává s logikou geometrickou. 26 on 37

27 Potvrzení bodu Omega Omega je bodem, kde se protínají přímky vedené osvětlenými místy v úhlu odpovídajícímu způsobu jejich osvětlení. Duch svatý dává své požehnání na přímce vedené pod úhlem 45. Tři andělé představují zleva doprava otce, syna a Ducha svatého. Bod Alfa a další důkaz 27 on 37

28 Bod alfa a Omega jsou klíč k mřížce. Poznámka 1 : definice tabulky není nikdy užita jednoduchým způsobem. Jak vidíme na tomto příkladě, k definici potřebujeme úplnou sadu důkazů. Tento příklad je velmi důležitý, protože mřížka byla vždy základem sakrální geometrie. Všechny obrazce a linie jsou vytvářeny na základě mřížky. Poznámka 2 : bez měřítek by bylo nemožné vyjádřit symbolický význam. Z těchto důvodů je mřížka nenahraditelná. Poznámka 3 : Chcete-li porozumět tomuto umění, potřebujete znalost matematiky (část I). Potvrzení použití mřížky 28 on 37

29 Hrany schůdků vytváří dvě linie ve středu pod úhlem 8 a 9. 8 odpovídá π/45 a 9 je typický pro logiku pentagramu. Body protnutí přímky procházející bodem omega s přímkami procházejícími hranami schůdků určují poloměr kružnice, která odpovídá velikosti jednoho pole mřížky - kvadratura kruhu. Na spodní části ikony Rublev využívá aritmetické a v horní části geometrické principy. Duchovní a přitom pevně dané. Nyní je možné skutečně studovat obraz «Svatá Trojice» a další mistrovská díla. Ve svaté trojici se dva andělé klaní tomu, který by měl být zván otcem. Kristus je středem v klasické ikonografické pozici - "na trůnu". 29 on 37

30 Překladem tohoto obrázku by mohlo být : středem vepsané kružnice směřuje osa prvního úhlu na otce, druhá (zlatý řez) ukazuje na syna a třetí na Ducha svatého. Objevuje se zde i další symbolický význam, jednota přinášená z úhlu 1 ke straně 5 vyjadřující člověka, úhel 2 přináší inspiraci/víru na zemi (strana 4) a třetí úhel přináší nebesa (3) na nebe (3) v zrcadlovém efektu. Zlatý řez vepsané kružnice je umístěn na ruce Ducha svatého. Základní čtyřúhelník, který odpovídá velikosti vložené kružnice (2) a zlatý řez (2φ) dotýká horní části rámu. Tato ikona dává příležitost k přesnému vyjádření základních aspektů symbolismu: symboly neexistují nezávisle na geometrických obrazcích komunikujících prostřednictvím "analogických myšlenek". Tyto obrazy jsou skutečným jazykem s reálnými strukturami. Takže, co je struktura? Můžeme použít přirovnání k hudbě. Harmonie skládá jednotlivé akordy, jeden za druhým. Sakrální geometrie na sebe klade vrstvy. Vazby mezi různými hodnotami jsou jako ty mezi různými akordy. "hudba sfér" není fantazie, milý Plató. Mřížka je prvním krokem k vnímání této kultury. Poté můžeme přistoupit ke každému obrazci, každé vnitřní linii s měřítkem této mřížky. 30 on 37

31 Autoportrét A. Dürera Měřítko dokonalosti! Jak si být jistý kompozicí? Jak si být jistý při zkoumání? Věda přináší částečnou odpověď. První z nich je "měřítko dokonalosti". Čím větší přesnost, tím jste blíže k pravdě. Ilustračním příkladem tohoto aspektu je dílo, které zůstalo nepoškozeno a zároveň nebylo nikdy restaurováno. Autoportrét Dürera - datován Vysvětluje kombinaci zlatého řezu a kružnice 1/φ2. Srovnání různých děl Hlavní problém geometrie, zejména u organizovaných systémů, je v tom, co nazýváme v hudebním slovníku harmonií. Komplex geometrických forem přirozeně vytváří množství dalších. Ovšem ne každá další forma je původním záměrem autora. Přicházejí jako závan větru při pohybu. 31 on 37

32 Jen pro oči (v mém případě s brýlemi) Jen pro mozek (se zavřenýma očima) Klíč ke kompozici + 32 on 37

33 Zrození Venuše - S. Botticelli Vytvoření mřížky Syntaxe prvků v trojúhelníku 3-4-5, Zlatý řez v pupku Venuše 33 on 37

34 Úžasná konstrukce v sobě kombinuje dva nádherné vějíře vytvořené přímkami rozbíhajícími se pod úhlem 9. Druhým prvkem je vesica piscis tvořená průmětem dvou kružnic o průměru 5. Třetí prvek tvoří dva obdélníky 3 x 4 nakloněné k sobě v úhlu 27 - fundamentální číslo pythagorejců. Znamená čtyři trojúhelníky Klíčové je, že prodloužením jedné strany obdélníku získáme hrot symetrického trojúhelníku. Jde o velmi zvláštní vlastnost, která určuje vlastnosti pentagramu. Hlava Venuše je mimo střed oválu. Vesica piscis non caput. Piscis primum a capite foetet. Ryba smrdí od hlavy. Původní název vychází ze stejného duchu (Vénus anadyomène) Na další stránce: V díle «Zrození Venuše» od Botticelliho, je jedna z důležitých informací ukryta v druhu zobrazené mušle nazývané ve Francii Cyprée - (// Kypr). Stejně jako Dürer ve svém autoportrétu hovoří i Botticelli hovoří o zlaté logice, ale tentokrát prostřednictvím úhlů. Toto je druhá klíčová informace k pochopení díla. 34 on 37

35 Použití zlatého řezu 35 on 37

36 MELENCOLIA I - A. Dürer Příběh tohoto díla v dějinách umění je vysvětlený na 250 stránkách. Pokusím se je shrnout, ale pouze tím dokončím zmiňovanou knihu, zpřístupněnou na mé webové stránce jacquier.org a melencoliai.org. Bohužel, pouze ve francouzštině... «DÜRER A TAROT» Proslov: Melencolia, slavné dílo Albrechta Dürera, existuje již 500 let! V době svého vzniku slavnější než Mona Lisa, skrývá více tajemství ve svých liniích než v úsměvu. Melencolia je klíčem k jazyku, dědicem egyptských, řeckých a mezopotámských znalostí. Ve středověku můžeme nalézt pokračování této tradice v Byzanci, a to až do pádu Konstantinopole v roce 1453, který znamenal počátek renesance. Italští umělci převzali pochodeň encyklopedie symbolů. Ve svém umění kompozice využívali zlatý poměr trojúhelníku 3-4-5, a obrazce skládali jako puzzle. Stejné principy přenesl do rytecké tvorby Dürer. Čtyři grafická díla a sada karet nazvaných "Tarots de Marseille" přinesla tyto znalosti do praktického života. Melencolia je portálem ke ztracené civilizaci, která si pro vyjádření zvolila obraz. K obnovení znalostí této zapomenuté kultury bylo zapotřebí deset let výzkumu ve spolupráci s vědci a symbolisty. A Dürer poskytl vše! Úvod (základní anglická verze) : 36 on 37

37 Informace Konference na Univerzitě Karlově «Geometrie a Umění» 2. dubna 2013 Sokolovská 49/83, Praha 8 Yvo Jacquier na pozvání: Mgr. Zdeněk Halas, DiS. & Ph.D. et PhDr. Alena Šarounová, CSc. Konference Francouzská verze Anglická verze Česká verze sakralni_geometrie.pdf Rozšířená verze matematického korpusu Francouzská verze Anglická verze Česká verze Egyptske_Geometrie 2014.pdf 37 on 37

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce MATEMATIKA 5. TŘÍDA 1 - Přirozená čísla a číslo nula a číselná osa, porovnávání b zaokrouhlování c zápis čísla v desítkové soustavě d součet, rozdíl e násobek, činitel, součin f dělení, dělení se zbytkem

Více

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna 16. Trojúhelník, Mnohoúhelník, Kružnice (typy trojúhelníků a jejich vlastnosti, Pythagorova věta, Euklidovy věty, čtyřúhelníky druhy a jejich vlastnosti, kružnice obvodový a středový, úsekový úhel, vzájemná

Více

Trojúhelníky. a jejich různé středy. Součet vnitřních úhlů trojúhelníku = 180 neboli π radiánů.

Trojúhelníky. a jejich různé středy. Součet vnitřních úhlů trojúhelníku = 180 neboli π radiánů. Úvod V této knize předkládáme čtenáři základní matematické a fyzikální vzorce v přívětivé a snadno použitelné podobě. Využití čísel a symbolů k modelování, předpovídání a ovládání reality je mocnou zbraní

Více

prostorová definice (viz obrázek vlevo nahoře): elipsa je průsečnou křivkou rovinného

prostorová definice (viz obrázek vlevo nahoře): elipsa je průsečnou křivkou rovinného Elipsa Výklad efinice a ohniskové vlastnosti prostorová definice (viz obrázek vlevo nahoře): elipsa je průsečnou křivkou rovinného řezu na rotační kuželové ploše, jestliže řezná rovina není kolmá k ose

Více

Shodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem

Shodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem Shodná zobrazení Otočení Příklad 1. Jsou dány tři různé soustředné kružnice a, b a c. Sestrojte rovnostranný trojúhelník ABC tak, aby A ležel na a, B ležel na b a C ležel na c. Řešení. Zvolíme vrchol A

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z METOD ŘEŠENÍ 1 PLANIMETRIE 000/001 Cifrik, M-ZT První příklad ze zadávacích listů 1 Zadání: Sestrojte trojúhelník ABC, pokud je dáno: ρ

Více

Matematické důkazy Struktura matematiky a typy důkazů

Matematické důkazy Struktura matematiky a typy důkazů Matematické důkazy Struktura matematiky a typy důkazů Petr Liška Masarykova univerzita 18.9.2014 Motto: Matematika je tvořena z 50 procent formulemi, z 50 procent důkazy a z 50 procent představivostí.

Více

Každá kružnice má střed, označuje se S. Všechny body kružnice mají od středu S stejnou vzdálenost, říká se jí poloměr kružnice a označujeme ho r.

Každá kružnice má střed, označuje se S. Všechny body kružnice mají od středu S stejnou vzdálenost, říká se jí poloměr kružnice a označujeme ho r. Každá kružnice má střed, označuje se S. Všechny body kružnice mají od středu S stejnou vzdálenost, říká se jí poloměr kružnice a označujeme ho r. Kružnice k je množina všech bodů v rovině, které mají od

Více

od zadaného bodu, vzdálenost. Bod je střed, je poloměr kružnice. Délka spojnice dvou bodů kružnice, která prochází středem

od zadaného bodu, vzdálenost. Bod je střed, je poloměr kružnice. Délka spojnice dvou bodů kružnice, která prochází středem Kružnice Kružnice je množina všech bodů roviny, které mají od zadaného bodu, vzdálenost. Bod je střed, je poloměr kružnice. Délka spojnice dvou bodů kružnice, která prochází středem je průměr kružnice.

Více

MATE MATIKA. učebnice pro 2. stupeň ZŠ a víceletá gymnázia

MATE MATIKA. učebnice pro 2. stupeň ZŠ a víceletá gymnázia MATE MATIKA učebnice pro. stupeň ZŠ a víceletá gymnázia OBSAH Zlomky 5 Rovnice Množiny 7 Jazyk písmen II 7 Rodina Mnohoúhelníky 50 Trojúhelník I Prvočísla I 5 Záporná čísla 7 Mocniny 55 Dělitelnost 0

Více

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti

Více

A STEJNOLEHLOST,, EUKLIDOVYE VĚTY 2.

A STEJNOLEHLOST,, EUKLIDOVYE VĚTY 2. PODOBNOST A STEJNOLEHLOST,, EUKLIDOVYE VĚTY 2. ČÁST MAT. OT 2. OT. Č.. 15: SHODNÁS HODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ, PODOBNOST A STEJNOLEHLOST,, EUKLIDOVYE VĚTY PODOBNOST KDE LÁTKU NAJDETE Kapitola Základy planimetrie

Více

Trojúhelník. MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů. Ing. Miroslav Čapek srpen 2011

Trojúhelník. MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů. Ing. Miroslav Čapek srpen 2011 MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů Trojúhelník Ing. Miroslav Čapek srpen 2011 Projekt Využití e-learningu k rozvoji klíčových kompetencí reg. č.: CZ.1.07/1.1.10/03.0021 je spolufinancován

Více

Přijímací zkouška na MFF UK v Praze

Přijímací zkouška na MFF UK v Praze Přijímací zkouška na MFF UK v Praze pro bakalářské studijní programy fyzika, informatika a matematika 2016, varianta A U každé z deseti úloh je nabízeno pět odpovědí: a, b, c, d, e. Vaším úkolem je u každé

Více

ICT podporuje moderní způsoby výuky CZ.1.07/1.5.00/ Matematika planimetrie. Mgr. Tomáš Novotný

ICT podporuje moderní způsoby výuky CZ.1.07/1.5.00/ Matematika planimetrie. Mgr. Tomáš Novotný Název projektu ICT podporuje moderní způsoby výuky Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0717 Název školy Gymnázium, Turnov, Jana Palacha 804, přísp. organizace Číslo a název šablony klíčové aktivity IV/2 Inovace

Více

METODOLOGIE Studium uměleckých děl Geometrie očima Kompozice v umění

METODOLOGIE Studium uměleckých děl Geometrie očima Kompozice v umění Nové chápání historie umění Mathematika Historie umění - Esoterie- Umění a architektura METODOLOGIE Studium uměleckých děl Geometrie očima Kompozice v umění ------------ Yvo Jacquier -------------------------------------------------------------------------------

Více

Pythagorova věta a pythagorejské trojúhelníky-ondřej Zeman Asi 600 př.n.l

Pythagorova věta a pythagorejské trojúhelníky-ondřej Zeman Asi 600 př.n.l Pythagorova věta a pythagorejské trojúhelníky-ondřej Zeman Asi 600 př.n.l Baudhayana (kolem 800 př.n.l) Pythagoras ze Sámu (asi 580 př.n.l asi 500 př.n.l) Motivace: Tato věta mě zaujala, protože se o ní

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 2 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

5. P L A N I M E T R I E

5. P L A N I M E T R I E 5. P L A N I M E T R I E 5.1 Z Á K L A D N Í P L A N I M E T R I C K É P O J M Y Bod (definice, značení, znázornění) Přímka (definice, značení, znázornění) Polopřímka (definice, značení, znázornění, počáteční

Více

z přímek a kružnic 35. Čtverec s danou stranou: 1. Oblouky A-B, B-A (přímka CED); 2. Oblouk E-AB (F); 3. Přímky AF, BF a vzniklé průsečíky

z přímek a kružnic 35. Čtverec s danou stranou: 1. Oblouky A-B, B-A (přímka CED); 2. Oblouk E-AB (F); 3. Přímky AF, BF a vzniklé průsečíky ČTVERCE A KOSOčTVERCE z přímek a kružnic Jednoduché čtyřúhelníkové konstrukce se dají zvládnout snadno. Abyste sestrojili kružnici opsanou čtverci nebo obdélníku, nejprve zakreslete úhlopříčky a pak narýsujte

Více

Deskriptivní geometrie 1

Deskriptivní geometrie 1 S třední škola stavební Jihlava Deskriptivní geometrie 1 01. Úvod do DG 1 Digitální učební materiál projektu: SŠS Jihlava šablony registrační číslo projektu:cz.1.09/1.5.00/34.0284 Šablona: III/2 - inovace

Více

Témata absolventského klání z matematiky :

Témata absolventského klání z matematiky : Témata absolventského klání z matematiky : 1.Dělitelnost přirozených čísel - násobek a dělitel - společný násobek - nejmenší společný násobek (n) - znaky dělitelnosti 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9,10 - společný

Více

PLANIMETRIE úvodní pojmy

PLANIMETRIE úvodní pojmy PLANIMETRIE úvodní pojmy Je část geometrie zabývající se studiem geometrických útvarů v rovině. Základními stavebními kameny v rovině budou bod a přímka. 1) Přímka a její části Dvěma různými body lze vést

Více

Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie

Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie 20. 10. porovnávání úseček grafický součet úseček grafický rozdíl úseček... porovnávání úhlů grafický součet úhlů grafický rozdíl úhlů... osa úhlu úhly vedlejší a vrcholové...

Více

3.2 OBJEMY A POVRCHY TĚLES

3.2 OBJEMY A POVRCHY TĚLES . OBJEMY A POVRCHY TĚLES Krychle, kvádr, hranol Dochované matematické texty ze starého Egypta obsahují několik úloh na výpočet objemu čtverhranných obilnic tvaru krychle; lze předpokládat, že stejným způsobem

Více

(4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74,

(4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74, 1. V oboru celých čísel řešte soustavu rovnic (4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74, kde (n) k značí násobek čísla k nejbližší číslu n. (P. Černek) Řešení. Z první rovnice dané soustavy plyne, že číslo

Více

pro každé i. Proto je takových čísel m právě N ai 1 +. k k p

pro každé i. Proto je takových čísel m právě N ai 1 +. k k p KOMENTÁŘE ÚLOH 43. ROČNÍKU MO, KATEGORIE A 1. Přirozené číslo m > 1 nazveme k násobným dělitelem přirozeného čísla n, pokud platí rovnost n = m k q, kde q je celé číslo, které není násobkem čísla m. Určete,

Více

Téma 5: PLANIMETRIE (úhly, vlastnosti rovinných útvarů, obsahy a obvody rovinných útvarů) Úhly 1) Jaká je velikost úhlu? a) 60 b) 80 c) 40 d) 30

Téma 5: PLANIMETRIE (úhly, vlastnosti rovinných útvarů, obsahy a obvody rovinných útvarů) Úhly 1) Jaká je velikost úhlu? a) 60 b) 80 c) 40 d) 30 Téma 5: PLANIMETRIE (úhly, vlastnosti rovinných útvarů, obsahy a obvody rovinných útvarů) Úhly 1) Jaká je velikost úhlu? a) 60 b) 80 c) 40 d) 30 2) Vypočtěte velikost úhlu : a) 150 10 b) 149 22 c) 151

Více

Syntetická geometrie I

Syntetická geometrie I Shodnost Pedagogická fakulta 2016 www.karlin.mff.cuni.cz/~zamboj/ Vzdálenost dvou bodů Necht A, B, C ρ. Vzdálenost dvou bodů A, B v rovině je číslo AB a platí AB 0 AB = 0 A = B AB = BA pozitivně definitní

Více

9. Je-li cos 2x = 0,5, x 0, π, pak tgx = a) 3. b) 1. c) neexistuje d) a) x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R d) x < 4. e) 3 3 b

9. Je-li cos 2x = 0,5, x 0, π, pak tgx = a) 3. b) 1. c) neexistuje d) a) x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R d) x < 4. e) 3 3 b 008 verze 0A. Řešeními nerovnice x + 4 0 jsou právě všechna x R, pro která je x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R x < 4 e) nerovnice nemá řešení b. Rovnice x + y x = je rovnicí přímky b) dvojice přímek c) paraboly

Více

PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh

PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh Lomená čára A 0 A 1 A 2 A 3..., A n (n 2) se skládá z úseček A 0 A 1, A 1 A 2, A 2 A 3,..., A n 1 A n, z nichž každé dvě sousední mají společný jeden krajní

Více

- shodnost trojúhelníků. Věta SSS: Věta SUS: Věta USU:

- shodnost trojúhelníků. Věta SSS: Věta SUS: Věta USU: 1/12 PLANIMETRIE Základní pojmy: Shodnost, podobnost trojúhelníků Středová souměrnost, osová souměrnost, posunutí, otočení shodná zobrazení Středový a obvodový úhel Obsahy a obvody rovinných obrazců 1.

Více

CVIČNÝ TEST 36. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 36. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 36 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST 1 Určete iracionální číslo, které je vyjádřeno číselným výrazem (6 2 π 4

Více

8 Podobná (ekviformní) zobrazení v rovině

8 Podobná (ekviformní) zobrazení v rovině Typeset by LATEX2ε 1 8 Podobná (ekviformní) zobrazení v rovině 8.1 Stejnolehlost (homotetie) v rovině Definice 8.1.1. Nechť jsou dány 3 různé kolineární body A, B, C. Dělicím poměrem λ = (ABC) rozumíme

Více

CVIČNÝ TEST 43. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15

CVIČNÝ TEST 43. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 CVIČNÝ TEST 43 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 I. CVIČNÝ TEST 1 bod 1 Pro a, b R + určete hodnotu výrazu ( a b) 2 ( a + b) 2, víte-li,

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 Mgr. Tomáš Kotler I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Je dán rovinný obrazec, v obrázku vyznačený barevnou výplní, který představuje

Více

TEMATICKÝ PLÁN. září říjen

TEMATICKÝ PLÁN. září říjen TEMATICKÝ PLÁN Předmět: MATEMATIKA Literatura: Matematika doc. RNDr. Oldřich Odvárko, DrSc., doc. RNDr. Jiří Kadleček, CSc Matematicko fyzikální tabulky pro základní školy UČIVO - ARITMETIKA: 1. Rozšířené

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě.

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě. STANDARDY MATEMATIKA 2. stupeň ČÍSLO A PROMĚNNÁ 1. M-9-1-01 Žák provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel; užívá ve výpočtech druhou mocninu a odmocninu 1. žák provádí základní početní

Více

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy 5 Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy Trojúhelník: Trojúhelník je definován jako průnik tří polorovin. Pojmy: ABC - vrcholy trojúhelníku abc - strany trojúhelníku ( a+b>c,

Více

CVIČNÝ TEST 35. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 35. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 35 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST 1 Vypočtěte [( 3 3 ) ( 1 4 5 3 0,5 ) ] : 1 6 1. 1 bod VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE

Více

DRUHÁ MOCNINA A ODMOCNINA. Irena Sytařová

DRUHÁ MOCNINA A ODMOCNINA. Irena Sytařová DRUHÁ MOCNINA A ODMOCNINA Irena Sytařová Vzdělávací oblast Rámcového vzdělávacího programu Matematika a její aplikace je rozdělena na čtyři tématické okruhy. V tématickém kruhu Číslo a proměnná si ţák

Více

GYMNÁZIUM CHEB SEMINÁRNÍ PRÁCE

GYMNÁZIUM CHEB SEMINÁRNÍ PRÁCE GYMNÁZIUM CHEB SEMINÁRNÍ PRÁCE Pravidelná tělesa Cheb, 2006 Lukáš Louda,7.B 0 Prohlášení Prohlašuji, že jsem seminární práci na téma: Pravidelná tělesa vypracoval zcela sám za použití pramenů uvedených

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

Řešení geometrické úlohy spočívá v nalezení geometrického útvaru (útvarů) daných vlastností.

Řešení geometrické úlohy spočívá v nalezení geometrického útvaru (útvarů) daných vlastností. Řešení geometrické úlohy spočívá v nalezení geometrického útvaru (útvarů) daných vlastností. Metody řešení konstrukčních úloh: množinou bodů zobrazením výpočtem kombinací předchozích způsobů Konstrukční

Více

Necht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme

Necht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme Skalární součin axiomatická definice odvození velikosti vektorů a úhlu mezi vektory geometrická interpretace ortogonalita vlastnosti ortonormálních bázi [1] Definice skalárního součinu Necht L je lineární

Více

Důkazy vybraných geometrických konstrukcí

Důkazy vybraných geometrických konstrukcí Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5 Ročníková práce Důkazy vybraných geometrických konstrukcí Vypracovala: Ester Sgallová Třída: 8.M Školní rok: 015/016 Seminář : Deskriptivní geometrie

Více

Matematický KLOKAN 2005 kategorie Junior

Matematický KLOKAN 2005 kategorie Junior Matematický KLOKAN 2005 kategorie Junior Vážení přátelé, v následujících 75 minutách vás čeká stejný úkol jako mnoho vašich vrstevníků v řadě dalších evropských zemí. V níže uvedeném testu je zadáno čtyřiadvacet

Více

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 00 007 TEST Z MATEMATIKY PRO PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY ČÍSLO FAST-M-00-0. tg x + cot gx a) sinx cos x b) sin x + cos x c) d) sin x e) +. sin x cos

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii

Více

10)(- 5) 2 = 11) 5 12)3,42 2 = 13)380 2 = 14)4, = 15) = 16)0, = 17)48,69 2 = 18) 25, 23 10) 12) ) )

10)(- 5) 2 = 11) 5 12)3,42 2 = 13)380 2 = 14)4, = 15) = 16)0, = 17)48,69 2 = 18) 25, 23 10) 12) ) ) Druhá mocnina z tabulek 1) (- 6) = 10)(- 5) = ) 7 = 4 11) 5 = ) 4,8 = 4) 40 = 5),785 = 6) 65 8 = 7) 0,01485 = 8) 5,7 = 9) = 4 1),4 = 1)80 = 14)4,6787 = 15)467 56 = 16)0,014 = 17)48,69 = 1 18) Druhá odmocnina

Více

ZS1BP_IVU1 Interpretace výtvarného umění 1. Mgr. Alice Stuchlíková katedra výtvarné výchovy, Pedagogická fakulta, Masarykova univerzita, Brno

ZS1BP_IVU1 Interpretace výtvarného umění 1. Mgr. Alice Stuchlíková katedra výtvarné výchovy, Pedagogická fakulta, Masarykova univerzita, Brno ZS1BP_IVU1 Interpretace výtvarného umění 1 Mgr. Alice Stuchlíková katedra výtvarné výchovy, Pedagogická fakulta, Masarykova univerzita, Brno 9. 11. 2011 Slovníček XII. DICKINSOVÁ, Rosie GRIFFITHOVÁ, Mari.

Více

Čtyřúhelník. O b s a h : Čtyřúhelník. 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti. 2. Názvy čtyřúhelníků Deltoid Tětivový čtyřúhelník

Čtyřúhelník. O b s a h : Čtyřúhelník. 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti. 2. Názvy čtyřúhelníků Deltoid Tětivový čtyřúhelník Čtyřúhelník : 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti 2. Názvy čtyřúhelníků 2.1. Deltoid 2.2. Tětivový čtyřúhelník 2.3. Tečnový čtyřúhelník 2.4. Rovnoběžník 2.4.1. Základní vlastnosti 2.4.2. Výšky

Více

Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu

Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Matematika 6. ročník Zpracovala: Mgr. Michaela Krůtová Číslo a početní operace zaokrouhluje, provádí odhady s danou přesností, účelně využívá kalkulátor porovnává

Více

Předpokládané znalosti žáka 1. stupeň:

Předpokládané znalosti žáka 1. stupeň: Předpokládané znalosti žáka 1. stupeň: ČÍSLO A POČETNÍ OPERACE používá přirozená čísla k modelování reálných situací, počítá předměty v daném souboru, vytváří soubory s daným počtem prvků čte, zapisuje

Více

Matematika - Historie - 1

Matematika - Historie - 1 Matematika - Historie - 1 Vybrali jsme zajímavé jevy z historie matematiky a sestavili z nich jeden test. Doufáme, že se podaří splnit hned několik cílů. Test vás potěší, překvapí a poučí. Odpovědi hledejte

Více

MATEMATIKA MAIZD14C0T01 DIDAKTICKÝ TEST. 2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. 1 Základní informace k zadání zkoušky. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám

MATEMATIKA MAIZD14C0T01 DIDAKTICKÝ TEST. 2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. 1 Základní informace k zadání zkoušky. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám MATEMATIKA DIDAKTICKÝ TEST MAIZD14C0T01 Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % 1 Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 26 úloh. Časový limit pro řešení didaktického

Více

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0.

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0. Ukázky typových maturitních příkladů z matematiky..reálná čísla. 3} x R; I. Zobrazte množiny A = {x є 3} < + x R; B = {x є II. Zapište ve tvaru zlomku číslo, 486.Komplexní čísla. I. Určete a + b, a - b,

Více

CVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 15 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Je dána čtvercová mřížka, v níž každý čtverec má délku

Více

ZÁKLADNÍ PLANIMETRICKÉ POJMY

ZÁKLADNÍ PLANIMETRICKÉ POJMY ZÁKLADNÍ PLANIMETRICKÉ POJMY Základní geometrické pojmy jsou bod, přímka a rovina. Geometrie je chápána jako část matematiky, která se zabývá studiem geometrických útvarů v rovině. Body určujeme jako průsečíky

Více

1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem

1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem Analytická geometrie - kružnice Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A = ; 5 [ ] Napište středový i obecný tvar rovnice kružnice, která má střed

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Omezíme se jen na lomené čáry, jejichž nesousední strany nemají společný bod. Jestliže A 0 = A n (pro n 2), nazývá se lomená čára uzavřená.

Omezíme se jen na lomené čáry, jejichž nesousední strany nemají společný bod. Jestliže A 0 = A n (pro n 2), nazývá se lomená čára uzavřená. MNOHOÚHELNÍKY Vlastnosti mnohoúhelníků Lomená čára C 0 C C C 3 C 4 protíná samu sebe. Lomená čára A 0 A A... A n- A n (n ) se skládá z úseček A 0 A, A A,..., A n- A n, z nichž každé dvě sousední mají společný

Více

7.5.3 Hledání kružnic II

7.5.3 Hledání kružnic II 753 Hledání kružnic II Předpoklady: 750 Pedagogická poznámka: Tato hodina patří mezi vůbec nejtěžší Není reálné předpokládat, že by většina studentů dokázala samostatně přijít na řešení, po čase na rozmyšlenou

Více

V Ý V O J H U D E B N Í C H N Á S T R O J Ů

V Ý V O J H U D E B N Í C H N Á S T R O J Ů Přednáška s besedou V Ý V O J H U D E B N Í C H N Á S T R O J Ů od pravěku, přes starověk, středověk a renesanci do současnosti Přednáška seznamuje s historií vývoje hudebních nástrojů, sleduje jejich

Více

CVIČNÝ TEST 49. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15

CVIČNÝ TEST 49. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 CVIČNÝ TEST 49 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 I. CVIČNÝ TEST 1 bod 1 Kolik hodnot proměnné a R existuje takových, že diference aritmetické

Více

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1) .6. Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině. 6.1. V této kapitole budeme studovat geometrické úloh v rovině analtick, tj. lineární a kvadratické geometrické útvar vjádříme pomocí

Více

Základní geometrické tvary

Základní geometrické tvary Základní geometrické tvary č. 37 Matematika 1. Narýsuj bod A. 2. Narýsuj přímku b. 3. Narýsuj přímku, která je dána body AB. AB 4. Narýsuj polopřímku CD. CD 5. Narýsuj úsečku AB. 6. Doplň. Rýsujeme v rovině.

Více

Vyučovací předmět / ročník: Matematika / 4. Učivo

Vyučovací předmět / ročník: Matematika / 4. Učivo Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Výstupy žáka Vyučovací předmět / ročník: Matematika / 4. ČÍSLO A POČETNÍ OPERACE Zpracoval: Mgr. Dana Štěpánová orientuje se v posloupnosti přirozených čísel

Více

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444 ARITMETIKA CELÁ ČÍSLA Celá čísla jsou. -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, Celá čísla rozdělujeme na záporná (-1, -2, -3, ) kladná (1, 2, 3,.) nula 0 (není číslo kladné ani záporné) absolutní

Více

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz 1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině

Více

P L A N I M E T R I E

P L A N I M E T R I E M T E M T I K P L N I M E T R I E rovinná geometrie Základní planimetrické pojmy od - značí se velkými tiskacími písmeny, např.,,. P, Q. Přímka - značí se malými písmeny, např. a, b, p, q nebo pomocí bodů

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuk prostřednictvím ICT Číslo a název šablon klíčové aktivit III/2 Inovace a zkvalitnění výuk prostřednictvím

Více

CVIČNÝ TEST 41. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 41. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 41 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Je dán magický čtverec, pro nějž platí,

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 9-12 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu témat (horní

Více

CVIČNÝ TEST 13. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Zdeňka Strnadová. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 13. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Zdeňka Strnadová. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 13 Mgr. Zdeňka Strnadová OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 V trojúhelníku ABC na obrázku dělí úsečka

Více

CVIČNÝ TEST 53. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 53. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 53 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Je dána funkce f: y = x p, x R {3}, kde p je reálný

Více

Maximální bodové Hranice. bílých polí.. žádné body. hodnocení. bodů. chybné řešení. První. je právě jedna. odpovědí. nesprávnou.

Maximální bodové Hranice. bílých polí.. žádné body. hodnocení. bodů. chybné řešení. První. je právě jedna. odpovědí. nesprávnou. MATEMATIKA DIDAKTICKÝ TEST Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 26 úloh. Časový limit pro řešení didaktického testuu

Více

Konkretizovaný výstup Konkretizované učivo Očekávané výstupy RVP. Zápis čísla v desítkové soustavě - porovnávání čísel - čtení a psaní čísel

Konkretizovaný výstup Konkretizované učivo Očekávané výstupy RVP. Zápis čísla v desítkové soustavě - porovnávání čísel - čtení a psaní čísel Ročník: I. - vytváří si názoru představu o čísle 5, 10, 20 - naučí se vidět počty prvků do 5 bez počítání po jedné - rozpozná a čte čísla 0 5 - pozná a čte čísla 0 10 - určí a čte čísla 0 20 Číselná řada

Více

Trojúhelník - určují tři body které neleţí na jedné přímce. Trojúhelník je rovněţ moţno povaţovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů.

Trojúhelník - určují tři body které neleţí na jedné přímce. Trojúhelník je rovněţ moţno povaţovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů. Trojúhelník Trojúhelník - určují tři body které neleţí na jedné přímce. Trojúhelník je rovněţ moţno povaţovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů. C Body se nazývají vrcholy trojúhelníku Úsečky

Více

- 1 - 1. - osobnostní rozvoj cvičení pozornosti,vnímaní a soustředění při řešení příkladů,, řešení problémů

- 1 - 1. - osobnostní rozvoj cvičení pozornosti,vnímaní a soustředění při řešení příkladů,, řešení problémů - 1 - Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět: Matematika 6.ročník Výstup Učivo Průřezová témata - čte, zapisuje a porovnává přirozená čísla s přirozenými čísly - zpaměti a písemně

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Cvičení z matematiky Náplň: Systematizace a prohloubení učiva matematiky Třída: 4. ročník Počet hodin: 2 Pomůcky: Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné obory

Více

Opakování ZŠ - Matematika - část geometrie - konstrukce

Opakování ZŠ - Matematika - část geometrie - konstrukce Opakování ZŠ - Matematika - část geometrie - konstrukce Základní útvary v rovině Bod je nejzákladnější geometrický pojem. Body zapisujeme písmeny velké abecedy: A, B, N, H, Přímka Přímky zapisujeme písmeny

Více

2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám TESTOVÝ SEŠIT NEOTVÍREJTE, POČKEJTE NA POKYN!

2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám TESTOVÝ SEŠIT NEOTVÍREJTE, POČKEJTE NA POKYN! MATEMATIKA+ DIDAKTICKÝ TEST Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 23 úloh. Časový limit pro řešení didaktického testu

Více

4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil

4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil 4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil Síla je veličina vektorová. Je určena působištěm, směrem, smyslem a velikostí. Působiště síly je bod, ve kterém se přenáší účinek síly na těleso. Směr

Více

Mgr. Blanka Šteindlerová

Mgr. Blanka Šteindlerová Identifikátor materiálu EU: ICT 3 42 Anotace Žák se seznámí s pojmem renesance, získá základní informace. Autor Jazyk Vzdělávací oblast Vzdělávací obor ICT =Předmět /téma Očekávaný výstup Speciální vzdělávací

Více

MATEMATIKA základní úroveň obtížnosti

MATEMATIKA základní úroveň obtížnosti ILUSTRAČNÍ DIDAKTICKÝ TEST MATEMATIKA základní úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST Didaktický test obsahuje 8 úloh. Časový limit pro řešení didaktického testu je uveden na záznamovém archu. Povolené pomůcky:

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

CVIČNÝ TEST 37. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15

CVIČNÝ TEST 37. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 CVIČNÝ TEST 37 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Na staré hliněné desce je namalován čtverec

Více

MĚSÍC MATEMATIKA GEOMETRIE

MĚSÍC MATEMATIKA GEOMETRIE 3. ročník Bod, přímka ZÁŘÍ Násobení a dělení Aplikační úlohy (nakupujeme) Bod, přímka Úsečka Násobení a dělení ŘÍJEN Procvičování Pamětné sčítání a odčítání, aplikační úlohy Polopřímka Modelování polopřímek

Více

Úterý 8. ledna. Cabri program na rýsování. Základní rozmístění sad nástrojů na panelu nástrojů

Úterý 8. ledna. Cabri program na rýsování. Základní rozmístění sad nástrojů na panelu nástrojů Úterý 8. ledna Cabri program na rýsování program umožňuje rýsování základních geometrických útvarů, měření délky úsečky, velikosti úhlu, výpočet obvodů a obsahů. Je vhodný pro rýsování geometrických míst

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy

Více

Návody k domácí části I. kola kategorie C

Návody k domácí části I. kola kategorie C 61. ročník Matematické olympiády Návody k domácí části I. kola kategorie C 1. Najděte všechny trojčleny p(x) = ax 2 + bx + c, které dávají při dělení dvojčlenem x + 1 zbytek 2 a při dělení dvojčlenem x

Více

Analytická geometrie lineárních útvarů

Analytická geometrie lineárních útvarů ) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Analtická geometrie lineárních útvarů Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý bod

Více

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY ZADÁNÍ NEOTVÍREJTE, POČKEJTE NA POKYN!

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY ZADÁNÍ NEOTVÍREJTE, POČKEJTE NA POKYN! NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Matematika 017 ZADÁNÍ NEOTVÍREJTE, POČKEJTE NA POKYN! Zopakujte si základní informace ke zkoušce: n Test obsahuje 0 úloh a na jeho řešení máte 90 minut čistého času. n V průběhu

Více

Pravděpodobnost a statistika

Pravděpodobnost a statistika Pravděpodobnost a statistika 1 Náhodné pokusy a náhodné jevy Činnostem, jejichž výsledek není jednoznačně určen podmínkami, za kterých probíhají, a které jsou (alespoň teoreticky) neomezeně opakovatelné,

Více

Kružnice, úhly příslušné k oblouku kružnice

Kružnice, úhly příslušné k oblouku kružnice KRUŽNICE, KRUH Kružnice, úhly příslušné k oblouku kružnice Je dán bod S a kladné číslo r. Kružnice k(s;r) je množina všech bodů (roviny), které mají od bodu S vzdálenost r. Můžeme také říci. Kružnicí k

Více