Jednoduchá geometrie koule a singularity. Poloviny radiálně axiální. Poloviny koncentrické a excentrické

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Jednoduchá geometrie koule a singularity. Poloviny radiálně axiální. Poloviny koncentrické a excentrické"

Transkript

1 Jednoduchá geometrie koule a singularity. Když si zvykneme na některé záležitosti, pak je to opravdu jednoduché. Ale musíme si to vysvětlit podrobněji. Poloviny radiálně axiální Poloviny koncentrické a excentrické Kresba 1: Rozložení kulových vrstev singularity do různých polovin Singularita je chápána nejen jako koncentrické ohnisko dostředných Coriolisových sil, ale také jako zdroj bublin také strun. Jako důležité považujeme zjištění, že singularita jako střed 4 vzdálených působišť je utvořena jen dostřednými vektory. Znamená to že Ohnisko je dáno jako součet vektorů částí ploch vln se stejným potenciálem vyslaných ze vzdálených působišť. Střed tedy obsahuje 4 díly ze kterých utvoří kulovou vrstvu. To je plně v souladu s tím co víme například o povrchu koule. 4 π r 2 Znamená to, že z každého směru si nová 5. koule vzala velikost πr 2. To je ale současně také vzorec pro výpočet plochy kruhu. Vzhledem k úbytku na kulové ploše vyslané ze vzdáleného působiště je to hned několikrát relativizovatelný díl (část). Logicky by to měla být ¼. Potom činí každý zbytek plochy ¾ původního celku. Takže celkem zůstane na vnějším plášti 4 x ¾ = 3 celé povrchy. Jenomže si také dovedeme představit, že se jediná polovina ze všech 4 zdrojových kulových ploch roznese na 3 oponující reakce. To znamená fakticky koncentricky sečteno 4/2 = 2 celé. Tedy povrch by měl být shodný pro koncentrickou i excentrickou plochu singularity. Při tom se na každou jednotlivou reakci roznáší 1/3 z poloviny celé kulové plochy. Tento poměr utvoří vlastně ekvipotenciální terč mezi každými 2 působišti. Všechny takové terče se protínají navzájem ve stejném úhlu, a mají 1 bod společný. Stejná úroveň nastává ještě ve středech ekvipotenciálních terčů, které nejsou totožné se středem singularity. Co z toho plyne? Dvě původní stejné plochy s velikostí 2 se rozdělí. Jedna stejná polovina do trajektorie 6 ti parciálních vektorů (ekvipotenciálních terčů), a ta druhá zůstane jako obal.

2 Vnitřek z ekvipotenciálních terčů se ale podobným mechanizmem také rozdělí na vnitřní a vnější tenzorové součty. Dost logicky je to zase polovina z poloviny. Naprostým zhroucením je vystaveno ¼ součtu potenciálů. Zbytek se sečte na vnějším obalu zevnitř. Dostáváme rozložení tenzorových systémů do 4 charakteristik. A. Naprosto zhroucená část plochy s velikostí 1 celá centrický bod. B. Expandující část poloviny ekvipotenciálních ploch kolmo k povrchu (povrch velikosti 2). C. Zhroucená část zbytku všech původních polovin, která tvoří obal zbytku z radiálních složek D. Zhroucená část zbytku všech původních polovin, která tvoří obal zbytků axiálních složek. Kresba číslo 1 vysvětluje pojmy radiální a axiální, což znamená, že rozdělujeme kulovou plochu podle převažujících součtů od úrovně nulového součtu (protilehlé smysly vektorů). Také doufám, že rozdělení na poloviny koncentrické a excentrické je stejně zřejmé jako radiální a axiální. Barevnost není příliš vhodná, ale přibližně by měla asociovat Dopplerův efekt. Ten se vztahuje ke světlu. Červený posuv značí zahuštění a modrý posuv rozprostření vln. Tento efekt je však pro fotony pohybující se mezi 0r až 2r (v jiném rozsahu neexistuje), tedy zobrazení singulární střed nic nevypustí, a to ani své spektrum červené barvy. Vlastností téměř nezávislé vlny lze nazvat jen žluté části schemat, které by měly reprezentovat kvanta bílého světla, je však zřejmé, že každý jednotlivý vektor má složku nejméně v ploše a trošku jinak barevnou. Každé kvantum má nějaké složky axiální a radiální. Typická spektrální analýza hledá černé pruhy ve spektru barev. Tyto pruhy odpovídají jakou část ve smyslu radiálně axiálním pohltil ten který prvek. Jde tedy o vliv na tenzory singularity. Proč se zabýváme takovými triviálnostmi? Každá část interpretované singularity má svůj význam v pochopení částicové fyziky. Singularita dává možnost rozdělit kompaktní vlnu na části kulových ploch. Energie je pak dána poměrem takové plochy z celku. Také součet vektorů nám dá finální vektor šíření a poměrnou velikost náboje. Je to však sekundární vývoj po velkém třesku, na to nezapomínejme. Můžeme nalézat kombinovaná kvanta. Například 4 žlutá lze sjednotit do singuláru, stejně jako 8 modrých do páru. Stejně tak je možné najít bodová zhroucení. Je asi zcela pochopitelné, proč se dají následně ( terciární průchod singularitou ) kombinovat 4 druhy částic. A,B,C,D. A proč je lze kombinovat do dvojic, nebo trojic, a nebo i vyšších uspořádání. Nemohu z této pozice vydedukovat, zda sloučené 4 žluté (původem různé části) vytvoří foton, nebo 2 dvojité částice modrých polovin vytvoří neutrino, nebo neutron. Co však vím jistě, je to, že po sjednocení jde zase o element s velikostí 1 celá. Odlišují se jen absorbovanou energií. Perlička Jak je to s těmi ekvipotenciálními kulovými plochami? Tím mám na mysli singulární kontrakci celých vln kulového povrchu. Ekvipotenciální terče vznikají dotykem stejných potenciálů. Pokud jsou působiště stejně silná produkují jen stejné vlny. Ale vzhledem k možnému vzniku tvarově zborcených ploch musíme předpokládat různě intenzivní zdroje. Ale zdroje stejné existují, a jejich vzájemné terče jsou v polovinách. Mezi každými dvěma a více stejnými zdroji jsou terče na polovině vzdálenosti. 4 stejné terče z 4 stejných zdrojů jsou symetrické, a z toho vyvodíme, že jsou každé 2 zdroje stejně

3 daleko od sebe. Relativně se vynulují vždy na jakékoliv vzdálenosti ideálně plochým terčem. Potom nutně stejně silné zdroje nemají potřebu dorovnávat pravidelnou prostorovou strukturu. To však platí jen do okamžiku, nežli se někde uvnitř takové struktury objeví jinak silné působiště. To znamená, že v homogenním prostorovém uspořádání můžeme předpokládat zejména také nepravidelné rozložení stejných působišť. Zde bychom asociovali vlastnosti tekutin a kovů. Takže může existovat několik kategorií stejných působišť, a každé součtové singulární působiště má typický rozestup svých stejných vzdálených zdrojových působišť. Součet podílů ploch na singulární střed je konstantní, přestože jsou jednotlivé vzdáleností různých zdrojových singularit různé. Vzdálenost ztrácí určitou část významu. Hustota, nebo jakýkoliv určující výpočet vystačí jen se statistickým údajem počtu prvků jednotkových údajů v množině. V takovém prostoru mohou být působiště libovolně daleko od sebe různě pro každé dva body. Kategorie objektů A rozdělí prostor na nepravidelný n- stěn s jediným rozměrem Σp1, kategorie objektů B rozdělí prostor na pravidelný n- stěn s jediným rozměrem Σp2 a tak dál. Jenomže pravidelně bez omezení znamená jinak, nežli v krystalické mřížce čistého čtyřstěnu. Musí to být pro hektický prostor šestistěny a jiné n stěny. Možná bychom takový prostor měli označit jako isotropní, nebo isomorfní. V žádném případě uvnitř takto daného statického modelu nevzniká potřeba něco měnit. To je určitý paradox teorie SUSY a GUT. Je to ale současně paradox každé úrovně ekvipotenciální kulové plochy (nikoliv ekvipotenciálního terče). Vznikají symetrie singulárního typu, které nelze navázat na plynulý (strukturálně homogenní) prostor. To je určitá záruka vzniku nezávislých singulárních podmínek. Výsledkem je součet nikoliv součin, ale přes to, nebo právě proto jde o singularity. Singularity proto nutně sousedí s jiným druhem singulárního působiště. Tohle všechno je jen důsledek původní Eukleidovské podstaty rozvržení prostoru. Výjimky při tom existují a potvrzují pravidlo. (Například stejné 4 stěny utvoří 6 -ti boký jehlan se stranami trojúhelníka sloučené základnou aj.) Je to velice relativní věc. Teprve součet singularit různého typu (počet stěn jako náhradní schema mnohostěnů), tedy průsečík nejméně 6 ekvipotenciálních terčů vytvoří druhový sortiment. Při tom stále ještě platí pravidlo o relativitě vzdálenosti. Jediným geometrickým specifikem je to, že singularity jako průsečík je obklopena působišti. To znamená, že prostor kolem singularity je relativně konvexní, ačkoliv tato podmínka nemusí být důsledně splněna, protože už singularita utvořená z 5-ti působišť se vyznačuje nepravidelností povrchové geometrie, a vlastně mimo čtyřstěnu a krychle mají tento předpoklad i všechny ostatní útvary (nikoliv například čtyřboký hranol). Záměrně neuvádím kouli. Takto popsaný prostor zřejmě má ekvivalenty v našem časoprostoru, ale to podstatné musíme ještě dodat. Takový prostor musí být naprosto nezávislý na vnějších vlivech. Jakmile cokoliv způsobí změnu, začne se prostor vyrovnávat geometrickou vzdáleností. To znamená, doslova, že se každé 2 působiště nachází stejně daleko od jiných stejně silných působišť. Prostor se pod vlivem zvenčí rozdělí na sortiment singularit podle počtu. Určitý druh takového prostoru nazýváme krystalickou, nebo strukturální mřížkou, tedy opak struktury tekutin a kovů. Důkaz o relativitě najdeme velice snadno. Znáte paradox vnitřních a vnějších úhlů? To je také projev z oblasti singularity, kterou můžeme na tomto základě prezentovat jako problém 2D. Vnitřní úhly trojúhelníka dávají součet 180, čtyřúhelníka 360. Pětiúhelník dejme tomu pravidelný obsahuje 5 trojúhelníků s jedním společným bodem vrcholem. Tyto úhly jsou dány jako 1/5 celku 360 = 72. Zbytek do 180 je 5. část vnitřního úhlu pětiúhelníku. Tedy 4x 180 = vnitřních úhlů, a je to 2x tolik, nežli má čtyřúhelníku. Co když ale pětiúhelník rozdělíme na 3 trojúhelníky? Všechny úhly těchto trojúhelníků jsou vnitřními pětiúhelníku, a je to 3x180. Když rozdělíme pětiúhelník na plochu čtyřúhelníka a trojúhelníka, dostaneme zase 3x 180. Takže by to mělo být správně. Oba různé případy dají 3x180. Jenomže to nejsou stejné prvky. Ještě větší paradox nám ukáží vnější úhly. Trojúhelník má venku 2x360, čtyřstěn 3x 360.

4 Počítáme samozřejmě jednoduchým způsobem, co vrchol to 360. Tato nepravdivost se v celku dá aplikovat také jinak. Pravdivá geometrie nemůže pracovat s velikostí úhlů, ale s jednotkovou velikostí plochy. Představme si že máme popsat pomocí obrazců povrch koule. Kolik jakých obrazců použijeme? Lze to udělat mnoha způsoby. Jak ale zjistíme vnitřní prostorový úhel. Můžeme například použít poměr dílek kruhu (jedno v jaké rozdělení), spočítat poměr z kružnice na plochu kruhu, fragmentovat na stejné díly kulovou plochu a určit průměrný prostorový úhel, nebo i jinak. Prostorový úhel lze ale jednoduše zadat jako poměr z kulové plochy. Tedy spíš nás to bude vést na celočíselný poměr bez průměru tedy na kužel ( s vrchlíkem poznámka ). Objem koule je dán jako vzorec takto: 4/3π r 3 Objem kuželu je dán jako vzorec takto: 1/3π r 2 v, při v (výška) = r je to 1/3π r 3 Je to kužel podivný. Jeho poloměr základny je roven poloměru koule stejně jako výška. Dá se umístit do koule tak, že se dotýká povrchu koule na největším průměru obvodem své základny a vrcholem. Jaký že to má význam? odečteme prostor obou těles a dostaneme 3/3π r 3, tedy krychli se stranou dlouhou πr a plochou 6πr 2. Kresba 2: Jehlan jako 1/4 koule Když kužel vložíme do středu koule vrcholem na střed, Bude jeho základna tečná s povrchem koule v jediném bodě. Povrch koule a povrch základny kuželu mají vztah 4x. Objem je dán jako 4/3, tedy také 4x v poměru objemů celých těles. zapomeneme na povrchy, které jsou si rovny a zjišťujeme, že uvnitř koule je uzavřen úhel 4 kuželů s průmětem rovnoramenného trojúhelníka (základna mimo vnitřek koule deformace z rovnoramenného trojúhelníka na rovnostranný složený ze dvou pravoúhlých. Dostáváme počet pro celočíselnou dělitelnost tedy výchozí počet 4 a 3 dává tušit, že rozdělení na systém stupňů by mohl být správný. Kresba 3: Kužely a vztah k objemu koule se shodným poloměrem My už víme že ta 1/3 je podíl každého jednotlivého zdroje singularity, ale jen z přilehlé polokoule působiště. Takže vzhledem k výpočtům velikostí jde o součet 4x 1/6 povrchu 4 působišť. To nám dává velikost povrchu singulárního středu jako 2/3 plochy jediného působiště. Ve skutečnosti se prostorově akumulovaly 4 stejně velké plošné kruhy, a to je ten deformační rozdíl. Celkem tedy 2/3, nebo 4/4? Pochopení je také snadné. Zatímco ¼ reprezentuje rovnostranný trojúhelník, který po složení 4 stejných do sebe s jedním společným bodem vrcholem se musí překrývat. Tyto vrcholové 4 úhly dávají dohromady 4 x 60 = 240 a to je méně nežli je součet 360. Když spojíme vrcholy musí se plochy překřížit přes střed. To je faktické zakřivení prostoru. 4 pravoúhlé trojúhelníky lze složit pravými úhly spojením 8 stran na sebe tak, aby byla utvořena Euklidova plocha.

5 Podobně spojením 4 rovnoramenných trojúhelníků tedy v 1 bodě a na 8 stranách 4 trojúhelníků dochází k vytvoření základního prostorového zakřivení v bodě. Podobně bychom postupovali pro případ zakřivení v singularitě dané 5 -ti rovnoramennými trojúhelníky. Nejméně je pak možné vyjádřit zakřivení jako rozdíl mezi 3 mi trojúhelníky. V podstatě je jedno zda se trojúhelníky překládají, nebo stahují. Prostorová křivost je dána kulovými výsečemi (kužely s vrchlíkem ). Takže vlastně řešíme osový kříž uvnitř průřezu kruhové výseče, která rotací podle poloměru vytvoří kulovou výseč. Ke každé výšce vrchlíku přináleží jediný střed kruhové úseče. Reálný kužel s vrchlíkem bude mít jen výjimečně výšky (bez vrchlíku + výška vrchlíku) rovnou poloměru. Takže tato geometrie může vyjádřit na poměru objemu kužele a koule prostorové zakřivení složené variantně z několika rovin. Zejména jde o poloměr základen kužele a vrchlíku k poloměru koule, poměr výšek k poloměru a poměr kružnice (kulové) plochy doplněné do zbytku vrchlíkové křivosti. Snadno si tak představíme například negativní kužel s vrchlíkem (rozdíl těles) jako jejich součet. Vždy při tom můžeme použít poměr jednotkového průvodiče. Jen bychom neměli zapomínat, že se vnitřní křivost odehrává na 3 kolmých rovinách, a podobně vnější plocha. Při tom stejná křivost uvnitř neznamená stejnou změnu velikosti plochy povrchu. Tyto dvě věci jsou zásadně nezávislé. Takže stejně velké plochy dvou koulí mohou mít různou vnitřní křivost, což lze vyjádřit jako soustřednou kuličku. Základní křivost koule je dána bodem, křivost menší prázdnou kuličkou, a křivost větší plnou kuličkou. Poměr vnitřního povrchu kuličky k povrchu vnější koule je vnitřní zakřivení. Takže vlastně vnitřní zakřivení chápeme jako odchylku +/- od pravého úhlu v rotaci trojúhelníka. Vyhodnocujeme potom poměr velikosti kulových ploch. Stejné koule mohou být tedy jen průměrné, nebo stejně vnitřně zakřivené a podobně. To nám pomůže určit praktické parametry například pro hustotu, nebo různé poloměry pro ekvipotenciální kulové plochy. Jako zobrazovací prostředek vyjádřím, že jde o různou bodovou křivost (tangenciální, tedy v součtu axiální a radiální)bodů se stejnou hustotou (intenzitou) pole. Takový bod si vlastně můžeme představit jako vzdálenost od středu, ale jako délku spirálového ramene, nikoliv jako průvodič na konstantním poloměru. Řekněme, že jednotlivé body poloměru jako průvodiče tvoří spojitou křivku, a každý bod této křivky má schopnost pohybovat se jinou úhlovou rychlostí. My samozřejmě víme, že bod jedné roviny tečné k povrchu koule a všechny body jeho průvodiče se ještě pohybují na dvou vnitřních plochách Takže otázka zní, jak se dají prostorově skládat kuželové části. Zřetelně z obrázku 3 kuželů pochopíme, že prostorově lze složit vrcholem k sobě 6 kuželů, nebo jen 4 (dokonce v různém náklonu, a každá trojice fakticky reprezentuje krychli se stranou πr. Každé 4 kužely reprezentují kouli. Takže 6 kuželů představuje 2 krychle, nebo 1,5 koule. Jenže věc se má jinak. Naše kužely jsou do času rozevřené ekvipotenciální terče. Jde tedy o kužel s počtem vln bezprostředně po sobě následujících. Potom 6 kuželů reprezentuje čtyřstěn. Takový čtyřstěn je dán stejným počtem podílů vln. Také jsme si naznačili, že tyto kužely vůbec nemusí být rovné, ale mohou být zakřivené. Například spirála svinutá z několika extrémně tenkých kuželů, jejímž průřezem bude například plošná spirála. Příkladem prostorové spirály tohoto typu je tromba tornád, jejíž negativní střed doslova vysává předměty z povrchu země. Efektivním projevem negativního zakřivení je tah (samozřejmě si uděláme představu prázdné kulové singularity jako asociaci), a pozitivním zakřivením je tlak větru na plochu, což nám bude prezentovat plná kulička v singularitě. Přestože je jejich absolutní vliv, tedy sekundární jako aplikovaný absolutní, mají aktuálně relativní projevy. Ty jsou dány vnějším prostředím. Z pohledu geometrické představy si můžeme tornádo představit jako prostorově uspořádané křivé kužílky, nebo šroubovité hroty jehliček. Tyto jehličky lze vyjádřit popisem a počtem.

6 Další postřehy o geometrii koule. Výpočty na kouli mohou mít také následující asociace k výpočtům, které uvádím pro orientaci při procházení kapitol. Povrch vnitřního jehlanu mezi 4 mi působišti je dán povrchem koulí obklopujících toto těleso. Takže délka každé hrany je 1/6 obvodu kružnice s poloměrem r, což je poloměr koule. Těchto hran je 6 (je to dáno dvojicemi vrcholů), což znamená, že těleso je ohraničeno kružnicí v podobě hran. Plocha 1 stěny je 1/8 povrchu koule o poloměru r. Stěny jsou pouze 4, to znamená, že povrch je vytvořen jako 1/2 povrchu koule, což zase znamená 1/2 z celku 4πr 2, nebo πd 2. Obsah je dán jako rozdíl pravidelného čtyřstěnu o straně 2r (d), proti součtu 4x (1/8) koule s poloměrem r. Tedy rozdíl tělesa jehlanu Kresba 4: Prostor mezi 4-mi stejným koulemi se základnou rovnostranného trojúhelníka a 1/2 objemu koule (r). Při délce strany 2r, a výšce r, platí vzorec základního tělesa V = 1/3 S p v. Plocha rovnostranného trojúhelníka je dána například (½ strany = r) x (výška = sqrt(d 2 - r 2 )). Tedy obsah rovnostranného trojúhelníka je dán například jako sqrt(3r 2 ) = 1,73r. Z toho plyne zpětně, že výška rovnoramenného trojúhelníka při r = 1 je 1,73, tedy odmocnina ze tří. Totéž v plošných jednotkách pro obsah. Při tělesové hraně (přímková spojnice středů vnějších koulí) pravidelného trojbokého jehlanu (pravidelný čtyřstěn) je tělesová výška jehlanu dána jako dopočítaná odvěsna pravoúhlého trojúhelníka při zadání přepona = 2, odvěsna = r = 1, tedy zase odmocnina celku 3: v t = 1,73r délkových jednotek, obsah základny 1,73r 2 plošných jednotek, a objem je dán 1/3 součinu výšky a plochy základny. Tedy 1/3 * 3r 3. My už víme, že je to objem 1 celá r 3. Takže můžeme směle vyjádřit objem základního tělesa 1 celá objemových jednic. Od základního tělesa odečteme 1/2 objemu koule s poloměrem r. Ten je dán 2/3πr 3, pro r=1 to znamená 4, , které ještě zmenšíme na 1/2, tedy 2/3π,

Tělesa Geometrické těleso je prostorový omezený geometrický útvar. Jeho hranicí neboli povrchem je uzavřená plocha. Geometrická tělesa dělíme na

Tělesa Geometrické těleso je prostorový omezený geometrický útvar. Jeho hranicí neboli povrchem je uzavřená plocha. Geometrická tělesa dělíme na Tělesa Geometrické těleso je prostorový omezený geometrický útvar. Jeho hranicí neboli povrchem je uzavřená plocha. Geometrická tělesa dělíme na mnohostěny a rotační tělesa. - Mnohostěny mají stěny, hrany

Více

Pojmy: stěny, podstavy, vrcholy, podstavné hrany, boční hrany (celkem hran ),

Pojmy: stěny, podstavy, vrcholy, podstavné hrany, boční hrany (celkem hran ), Tělesa 1/6 Tělesa 1.Mnohostěny n-boký hranol Pojmy: stěny, podstavy, vrcholy, podstavné hrany, boční hrany (celkem hran ), hranol kosý hranol kolmý (boční stěny jsou kolmé k rovině podstavy) pravidelný

Více

+ S pl. S = S p. 1. Jehlan ( síť, objem, povrch ) 9. ročník Tělesa

+ S pl. S = S p. 1. Jehlan ( síť, objem, povrch ) 9. ročník Tělesa 1. Jehlan ( síť, objem, povrch ) Jehlan je těleso, které má jednu podstavu tvaru n-úhelníku. Podle počtu vrcholů n-úhelníku má jehlan název. Stěny tvoří n rovnoramenných trojúhelníků se společným vrcholem

Více

matematika 5 stavební fakulta ČVUT 1. Poměr objemů pravidelného čtyřbokého hranolu a jemu vepsaného rotačního válce je

matematika 5 stavební fakulta ČVUT 1. Poměr objemů pravidelného čtyřbokého hranolu a jemu vepsaného rotačního válce je 1. Poměr objemů pravidelného čtyřbokého hranolu a jemu vepsaného rotačního válce je a) 4:π, b) :π, c) :4π, d) :4π, e) π :,. Zmenšíme-li poloměr podstavy kužele o polovinu a jeho výšku zvětšíme o 0 %, zmenší

Více

5. P L A N I M E T R I E

5. P L A N I M E T R I E 5. P L A N I M E T R I E 5.1 Z Á K L A D N Í P L A N I M E T R I C K É P O J M Y Bod (definice, značení, znázornění) Přímka (definice, značení, znázornění) Polopřímka (definice, značení, znázornění, počáteční

Více

CVIČNÝ TEST 13. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Zdeňka Strnadová. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 13. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Zdeňka Strnadová. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 13 Mgr. Zdeňka Strnadová OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 V trojúhelníku ABC na obrázku dělí úsečka

Více

PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh

PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh Lomená čára A 0 A 1 A 2 A 3..., A n (n 2) se skládá z úseček A 0 A 1, A 1 A 2, A 2 A 3,..., A n 1 A n, z nichž každé dvě sousední mají společný jeden krajní

Více

Povrch a objem těles

Povrch a objem těles Povrch a objem těles ) Kvádr: a.b.c S =.(ab+bc+ac) ) Krychle: a S = 6.a ) Válec: π r.v S = π r.(r+v) Obecně: S podstavy. výška S =. S podstavy + S pláště Vypočtěte objem a povrch kvádru, jehož tělesová

Více

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0.

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0. Ukázky typových maturitních příkladů z matematiky..reálná čísla. 3} x R; I. Zobrazte množiny A = {x є 3} < + x R; B = {x є II. Zapište ve tvaru zlomku číslo, 486.Komplexní čísla. I. Určete a + b, a - b,

Více

3.2 OBJEMY A POVRCHY TĚLES

3.2 OBJEMY A POVRCHY TĚLES . OBJEMY A POVRCHY TĚLES Krychle, kvádr, hranol Dochované matematické texty ze starého Egypta obsahují několik úloh na výpočet objemu čtverhranných obilnic tvaru krychle; lze předpokládat, že stejným způsobem

Více

Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie

Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie 20. 10. porovnávání úseček grafický součet úseček grafický rozdíl úseček... porovnávání úhlů grafický součet úhlů grafický rozdíl úhlů... osa úhlu úhly vedlejší a vrcholové...

Více

Základní pojmy: Objemy a povrchy těles Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin Opakování: Obsahy a obvody rovinných útvarů

Základní pojmy: Objemy a povrchy těles Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin Opakování: Obsahy a obvody rovinných útvarů 1/13 Základní pojmy: Objemy a povrchy těles Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin Opakování: Obsahy a obvody rovinných útvarů STEREOMETRIE Stereometrie - geometrie v prostoru - zabývá se vzájemnou polohou

Více

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy 5 Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy Trojúhelník: Trojúhelník je definován jako průnik tří polorovin. Pojmy: ABC - vrcholy trojúhelníku abc - strany trojúhelníku ( a+b>c,

Více

Geometrické těleso je prostorově omezený geometrický útvar. Jeho hranicí, povrchem, je uzavřená plocha.

Geometrické těleso je prostorově omezený geometrický útvar. Jeho hranicí, povrchem, je uzavřená plocha. 18. Tělesa řezy, objemy a povrchy, (řez krychle, kvádru, jehlanu, objemy a povrchy mnohostěnů, rotačních těles a jejich částí včetně komolých těles, obvody a obsahy mnohoúhelníků, kruhu a jeho částí) Tělesa

Více

CVIČNÝ TEST 37. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15

CVIČNÝ TEST 37. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 CVIČNÝ TEST 37 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Na staré hliněné desce je namalován čtverec

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky. Téma Školní výstupy Učivo (pojmy) volné rovnoběžné promítání průmětna

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky. Téma Školní výstupy Učivo (pojmy) volné rovnoběžné promítání průmětna Předmět: Matematika Náplň: Stereometrie, Analytická geometrie Třída: 3. ročník a septima Počet hodin: 4 hodiny týdně Pomůcky: PC a dataprojektor, učebnice Stereometrie Volné rovnoběžné promítání Zobrazí

Více

Několik úloh z geometrie jednoduchých těles

Několik úloh z geometrie jednoduchých těles Několik úloh z geometrie jednoduchých těles Úlohy ke cvičení In: F. Hradecký (author); Milan Koman (author); Jan Vyšín (author): Několik úloh z geometrie jednoduchých těles. (Czech). Praha: Mladá fronta,

Více

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna 16. Trojúhelník, Mnohoúhelník, Kružnice (typy trojúhelníků a jejich vlastnosti, Pythagorova věta, Euklidovy věty, čtyřúhelníky druhy a jejich vlastnosti, kružnice obvodový a středový, úsekový úhel, vzájemná

Více

Maturitní témata profilová část

Maturitní témata profilová část Seznam témat Výroková logika, úsudky a operace s množinami Základní pojmy výrokové logiky, logické spojky a kvantifikátory, složené výroky (konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence), pravdivostní tabulky,

Více

od zadaného bodu, vzdálenost. Bod je střed, je poloměr kružnice. Délka spojnice dvou bodů kružnice, která prochází středem

od zadaného bodu, vzdálenost. Bod je střed, je poloměr kružnice. Délka spojnice dvou bodů kružnice, která prochází středem Kružnice Kružnice je množina všech bodů roviny, které mají od zadaného bodu, vzdálenost. Bod je střed, je poloměr kružnice. Délka spojnice dvou bodů kružnice, která prochází středem je průměr kružnice.

Více

CVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

CVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 CVIČNÝ TEST 5 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Zjednodušte výraz (2x 5) 2 (2x 5) (2x + 5) + 20x. 2 Určete nejmenší trojciferné

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Cvičení z matematiky Náplň: Systematizace a prohloubení učiva matematiky Třída: 4. ročník Počet hodin: 2 Pomůcky: Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné obory

Více

Systematizace a prohloubení učiva matematiky. Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Systematizace a prohloubení učiva matematiky. Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Cvičení z matematiky Systematizace a prohloubení učiva matematiky 4. ročník 2 hodiny Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné

Více

Povrchy, objemy. Krychle = = = + =2 = 2 = 2 = 2 = 2 =( 2) + = ( 2) + = 2+ =3 = 3 = 3 = 3 = 3

Povrchy, objemy. Krychle = = = + =2 = 2 = 2 = 2 = 2 =( 2) + = ( 2) + = 2+ =3 = 3 = 3 = 3 = 3 y, objemy nám vlastně říká, kolik tapety potřebujeme k polepení daného tělesa. Základní jednotkou jsou metry čtverečné (m 2 ). nám pak říká, kolik vody se do daného tělesa vejde. Základní jednotkou jsou

Více

8. Stereometrie 1 bod

8. Stereometrie 1 bod 8. Stereometrie 1 bod 8.1. Poměr objemů pravidelného čtyřbokého hranolu a jemu vepsaného válce je 4 : π b) : π c) : π d) : π e) 4 : π. 8.. Zmenšíme-li poloměr podstavy kužele o polovinu a jeho výšku zvětšíme

Více

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná Racionální čísla Zlomky Rozšiřování a krácení zlomků

Více

4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil

4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil 4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil Síla je veličina vektorová. Je určena působištěm, směrem, smyslem a velikostí. Působiště síly je bod, ve kterém se přenáší účinek síly na těleso. Směr

Více

Singularita není jen hmota.

Singularita není jen hmota. Gravitace : Singularity Petr Neudek 1 Singularita není jen hmota. Zatímco se první důkaz zabýval podobností mezi teorií velkého třesku a rozvojem přirozené množiny, bude se další důkaz týkat jednoduché

Více

CVIČNÝ TEST 53. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 53. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 53 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Je dána funkce f: y = x p, x R {3}, kde p je reálný

Více

Základní geometrické tvary

Základní geometrické tvary Základní geometrické tvary č. 37 Matematika 1. Narýsuj bod A. 2. Narýsuj přímku b. 3. Narýsuj přímku, která je dána body AB. AB 4. Narýsuj polopřímku CD. CD 5. Narýsuj úsečku AB. 6. Doplň. Rýsujeme v rovině.

Více

[obr. 1] Rozbor S 3 S 2 S 1. o 1. o 2 [obr. 2]

[obr. 1] Rozbor S 3 S 2 S 1. o 1. o 2 [obr. 2] Příklad Do dané kruhové výseče s ostrým středovým úhlem vepište kružnici (obr. ). M k l V N [obr. ] Rozbor Oblouk l a hledaná kružnice k se dotýkají v bodě T, mají proto v tomto bodě společnou tečnu t.

Více

GEOMETRIE. Projekt byl podpořen z Evropského sociálního fondu. Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti

GEOMETRIE. Projekt byl podpořen z Evropského sociálního fondu. Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti GEOMETRIE pracovní sešit pro 6. ročník Projekt byl podpořen z Evropského sociálního fondu. Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Tato publikace byla vytvořena v souladu s RVP ZV v rámci projektu

Více

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 Mgr. Tomáš Kotler I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Na bájný zikkurat tvaru komolého kolmého jehlanu s větší podstavou u země vede

Více

CVIČNÝ TEST 36. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 36. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 36 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST 1 Určete iracionální číslo, které je vyjádřeno číselným výrazem (6 2 π 4

Více

6 Planimetrie. 6.1 Trojúhelník. body A, B, C vrcholy trojúhelníku. vnitřní úhly BAC = α, ABC = β, BCA = γ. konvexní (menší než 180º)

6 Planimetrie. 6.1 Trojúhelník. body A, B, C vrcholy trojúhelníku. vnitřní úhly BAC = α, ABC = β, BCA = γ. konvexní (menší než 180º) 6 Planimetrie Planimetrie = část matematiky, která se zabývá geometrií (původně věda o měřené země) v rovině (obrazce, jejich vlastnosti, shodnost a podobnost, zobrazení). 6.1 Trojúhelník Každé tři body,

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Shodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem

Shodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem Shodná zobrazení Otočení Příklad 1. Jsou dány tři různé soustředné kružnice a, b a c. Sestrojte rovnostranný trojúhelník ABC tak, aby A ležel na a, B ležel na b a C ležel na c. Řešení. Zvolíme vrchol A

Více

P L A N I M E T R I E

P L A N I M E T R I E M T E M T I K P L N I M E T R I E rovinná geometrie Základní planimetrické pojmy od - značí se velkými tiskacími písmeny, např.,,. P, Q. Přímka - značí se malými písmeny, např. a, b, p, q nebo pomocí bodů

Více

10)(- 5) 2 = 11) 5 12)3,42 2 = 13)380 2 = 14)4, = 15) = 16)0, = 17)48,69 2 = 18) 25, 23 10) 12) ) )

10)(- 5) 2 = 11) 5 12)3,42 2 = 13)380 2 = 14)4, = 15) = 16)0, = 17)48,69 2 = 18) 25, 23 10) 12) ) ) Druhá mocnina z tabulek 1) (- 6) = 10)(- 5) = ) 7 = 4 11) 5 = ) 4,8 = 4) 40 = 5),785 = 6) 65 8 = 7) 0,01485 = 8) 5,7 = 9) = 4 1),4 = 1)80 = 14)4,6787 = 15)467 56 = 16)0,014 = 17)48,69 = 1 18) Druhá odmocnina

Více

1 Tuhé těleso a jeho pohyb

1 Tuhé těleso a jeho pohyb 1 Tuhé těleso a jeho pohyb Tuhé těleso (TT) působením vnějších sil se nemění jeho tvar ani objem nedochází k jeho deformaci neuvažuje se jeho částicová struktura, těleso považujeme za tzv. kontinuum spojité

Více

1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem

1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem Analytická geometrie - kružnice Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A = ; 5 [ ] Napište středový i obecný tvar rovnice kružnice, která má střed

Více

ROČNÍKOVÁ PRÁCE PRAVIDELNÝ DVACETISTĚN

ROČNÍKOVÁ PRÁCE PRAVIDELNÝ DVACETISTĚN Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5 ROČNÍKOVÁ PRÁCE PRAVIDELNÝ DVACETISTĚN Vypracovala: Zuzana Dykastová Třída: 4. C Školní rok: 2013/2014 Seminář: Deskriptivní geometrie Prohlašuji, že

Více

9. Je-li cos 2x = 0,5, x 0, π, pak tgx = a) 3. b) 1. c) neexistuje d) a) x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R d) x < 4. e) 3 3 b

9. Je-li cos 2x = 0,5, x 0, π, pak tgx = a) 3. b) 1. c) neexistuje d) a) x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R d) x < 4. e) 3 3 b 008 verze 0A. Řešeními nerovnice x + 4 0 jsou právě všechna x R, pro která je x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R x < 4 e) nerovnice nemá řešení b. Rovnice x + y x = je rovnicí přímky b) dvojice přímek c) paraboly

Více

Kružnice, úhly příslušné k oblouku kružnice

Kružnice, úhly příslušné k oblouku kružnice KRUŽNICE, KRUH Kružnice, úhly příslušné k oblouku kružnice Je dán bod S a kladné číslo r. Kružnice k(s;r) je množina všech bodů (roviny), které mají od bodu S vzdálenost r. Můžeme také říci. Kružnicí k

Více

Kombinatorický předpis

Kombinatorický předpis Gravitace : Kombinatorický předpis Petr Neudek 1 Kombinatorický předpis Kombinatorický předpis je rozšířením Teorie pravděpodobnosti kapitola Kombinatorický strom. Její praktický význam je zřejmý právě

Více

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 Mgr. Tomáš Kotler I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Je dán rovinný obrazec, v obrázku vyznačený barevnou výplní, který představuje

Více

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy Koza se pase na polovině zahrady, Jaroslav eichl, 011 K OZA E PAE NA POLOVINĚ ZAHADY Zadání úlohy Zahrada kruhového tvaru má poloměr r = 10 m. Do zahrady umístíme kozu, kterou přivážeme provazem ke kolíku

Více

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Geometrie Různé metody řešení Téma: Analytická geometrie v prostoru, vektory, přímky Autor:

Více

Předmět: MATEMATIKA Ročník: 6.

Předmět: MATEMATIKA Ročník: 6. Předmět: MATEMATIKA Ročník: 6. Výstupy z RVP Školní výstupy Učivo Mezipředm. vazby, PT Číslo a proměnná - užívá různé způsoby kvantitativního vyjádření vztahu celek - část (přirozeným číslem, poměrem,

Více

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 2 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky 1. Lineární rovnice a nerovnice a) Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou absolutní hodnota reálného čísla definice, geometrický význam, srovnání řešení rovnic s abs. hodnotou

Více

Stereometrie pro studijní obory

Stereometrie pro studijní obory Variace 1 Stereometrie pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Vzájemné polohy prostorových

Více

Téma 5: PLANIMETRIE (úhly, vlastnosti rovinných útvarů, obsahy a obvody rovinných útvarů) Úhly 1) Jaká je velikost úhlu? a) 60 b) 80 c) 40 d) 30

Téma 5: PLANIMETRIE (úhly, vlastnosti rovinných útvarů, obsahy a obvody rovinných útvarů) Úhly 1) Jaká je velikost úhlu? a) 60 b) 80 c) 40 d) 30 Téma 5: PLANIMETRIE (úhly, vlastnosti rovinných útvarů, obsahy a obvody rovinných útvarů) Úhly 1) Jaká je velikost úhlu? a) 60 b) 80 c) 40 d) 30 2) Vypočtěte velikost úhlu : a) 150 10 b) 149 22 c) 151

Více

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce MATEMATIKA 5. TŘÍDA 1 - Přirozená čísla a číslo nula a číselná osa, porovnávání b zaokrouhlování c zápis čísla v desítkové soustavě d součet, rozdíl e násobek, činitel, součin f dělení, dělení se zbytkem

Více

Trojúhelník - určují tři body které neleţí na jedné přímce. Trojúhelník je rovněţ moţno povaţovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů.

Trojúhelník - určují tři body které neleţí na jedné přímce. Trojúhelník je rovněţ moţno povaţovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů. Trojúhelník Trojúhelník - určují tři body které neleţí na jedné přímce. Trojúhelník je rovněţ moţno povaţovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů. C Body se nazývají vrcholy trojúhelníku Úsečky

Více

Úlohy domácího kola kategorie B

Úlohy domácího kola kategorie B 47. ročník Matematické olympiády Úlohy domácího kola kategorie B 1. Magický čtverec je čtvercová tabulka přirozených čísel, v níž je součet všech čísel v každém řádku, v každém sloupci i na obou úhlopříčkách

Více

(4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74,

(4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74, 1. V oboru celých čísel řešte soustavu rovnic (4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74, kde (n) k značí násobek čísla k nejbližší číslu n. (P. Černek) Řešení. Z první rovnice dané soustavy plyne, že číslo

Více

Šroubovice... 5 Šroubové plochy Stanovte paprsek tak, aby procházel bodem A a po odrazu na rovině ρ procházel bodem

Šroubovice... 5 Šroubové plochy Stanovte paprsek tak, aby procházel bodem A a po odrazu na rovině ρ procházel bodem Geometrie Mongeovo promítání................................ 1 Řezy těles a jejich průniky s přímkou v pravoúhlé axonometrii......... 3 Kuželosečky..................................... 4 Šroubovice......................................

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

Pythagorova věta a pythagorejské trojúhelníky-ondřej Zeman Asi 600 př.n.l

Pythagorova věta a pythagorejské trojúhelníky-ondřej Zeman Asi 600 př.n.l Pythagorova věta a pythagorejské trojúhelníky-ondřej Zeman Asi 600 př.n.l Baudhayana (kolem 800 př.n.l) Pythagoras ze Sámu (asi 580 př.n.l asi 500 př.n.l) Motivace: Tato věta mě zaujala, protože se o ní

Více

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 Mgr. Tomáš Kotler I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 1 bod 1 Určete průsečík P[x, y] grafů funkcí f: y = x + 2 a g: y = x 1 2, které jsou definovány na množině reálných

Více

Trojúhelník. MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů. Ing. Miroslav Čapek srpen 2011

Trojúhelník. MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů. Ing. Miroslav Čapek srpen 2011 MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů Trojúhelník Ing. Miroslav Čapek srpen 2011 Projekt Využití e-learningu k rozvoji klíčových kompetencí reg. č.: CZ.1.07/1.1.10/03.0021 je spolufinancován

Více

Trojúhelníky. a jejich různé středy. Součet vnitřních úhlů trojúhelníku = 180 neboli π radiánů.

Trojúhelníky. a jejich různé středy. Součet vnitřních úhlů trojúhelníku = 180 neboli π radiánů. Úvod V této knize předkládáme čtenáři základní matematické a fyzikální vzorce v přívětivé a snadno použitelné podobě. Využití čísel a symbolů k modelování, předpovídání a ovládání reality je mocnou zbraní

Více

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. volné rovnoběžné promítání průmětna

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. volné rovnoběžné promítání průmětna Předmět: Matematika Náplň: Stereometrie, Analytická geometrie, Komplexní čísla Třída: 3. ročník Počet hodin: 4 hodiny týdně Pomůcky: PC a dataprojektor Volné rovnoběžné promítání Zobrazí ve volném rovnoběžném

Více

F n = F 1 n 1 + F 2 n 2 + F 3 n 3.

F n = F 1 n 1 + F 2 n 2 + F 3 n 3. Plošný integrál Několik pojmů Při našich úvahách budeme často vužívat skalární součin dvou vektorů. Platí F n F n cos α, kde α je úhel, který svírají vektor F a n. Vidíme, že pokud je tento úhel ostrý,

Více

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a

Více

MECHANIKA TUHÉHO TĚLESA

MECHANIKA TUHÉHO TĚLESA MECHANIKA TUHÉHO TĚLESA. Základní teze tuhé těleso ideální těleso, které nemůže být deformováno působením žádné (libovolně velké) vnější síly druhy pohybu tuhého tělesa a) translace (posuvný pohyb) všechny

Více

INFINITESIMÁLNÍHO POČTU

INFINITESIMÁLNÍHO POČTU POČÁTKY INFINITESIMÁLNÍHO POČTU společný název pro diferenciální a integrální počet pracuje s nekonečně malými veličinami OBSAHY ROVINNÝCH ÚTVARŮ Egypt, 2. pol. 2. tisíciletí př. Kr. Obdélník základní

Více

prostorová definice (viz obrázek vlevo nahoře): elipsa je průsečnou křivkou rovinného

prostorová definice (viz obrázek vlevo nahoře): elipsa je průsečnou křivkou rovinného Elipsa Výklad efinice a ohniskové vlastnosti prostorová definice (viz obrázek vlevo nahoře): elipsa je průsečnou křivkou rovinného řezu na rotační kuželové ploše, jestliže řezná rovina není kolmá k ose

Více

CVIČNÝ TEST 43. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15

CVIČNÝ TEST 43. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 CVIČNÝ TEST 43 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 I. CVIČNÝ TEST 1 bod 1 Pro a, b R + určete hodnotu výrazu ( a b) 2 ( a + b) 2, víte-li,

Více

Témata ke státní závěrečné zkoušce z matematiky ARITMETIKA

Témata ke státní závěrečné zkoušce z matematiky ARITMETIKA Státní zkouška aritmetika Témata ke státní závěrečné zkoušce z matematiky ARITMETIKA Teoretická aritmetika 1. Prvky výrokové logiky - výrok, skládání výroků, abeceda výrokové logiky, výrokové formule,

Více

GYMNÁZIUM CHEB SEMINÁRNÍ PRÁCE

GYMNÁZIUM CHEB SEMINÁRNÍ PRÁCE GYMNÁZIUM CHEB SEMINÁRNÍ PRÁCE Pravidelná tělesa Cheb, 2006 Lukáš Louda,7.B 0 Prohlášení Prohlašuji, že jsem seminární práci na téma: Pravidelná tělesa vypracoval zcela sám za použití pramenů uvedených

Více

F - Mechanika tuhého tělesa

F - Mechanika tuhého tělesa F - Mechanika tuhého tělesa Učební text pro studenty dálkového studia a shrnující text pro studenty denního studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem

Více

CVIČNÝ TEST 35. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 35. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 35 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST 1 Vypočtěte [( 3 3 ) ( 1 4 5 3 0,5 ) ] : 1 6 1. 1 bod VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE

Více

STEREOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

STEREOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky STEREOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia utoři projektu Student na prahu 21. století - využití IT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTIE

Více

je-li dáno: a) a = 4,6 cm; α = 28 ; b) b = 8,4 cm; β = 64. Při výpočtu nepoužívejte Pythagorovu větu!

je-li dáno: a) a = 4,6 cm; α = 28 ; b) b = 8,4 cm; β = 64. Při výpočtu nepoužívejte Pythagorovu větu! -----Pravoúhlý trojúhelník----- 156 V pravoúhlém trojúhelníku ABC má pravý úhel vrchol C. Vypočítejte velikost jeho ostrých úhlů, je-li dáno: a) a = 62 mm, b = 37 mm, b) a = 36 mm, c = 58 mm, c) b = 8,4

Více

Omezíme se jen na lomené čáry, jejichž nesousední strany nemají společný bod. Jestliže A 0 = A n (pro n 2), nazývá se lomená čára uzavřená.

Omezíme se jen na lomené čáry, jejichž nesousední strany nemají společný bod. Jestliže A 0 = A n (pro n 2), nazývá se lomená čára uzavřená. MNOHOÚHELNÍKY Vlastnosti mnohoúhelníků Lomená čára C 0 C C C 3 C 4 protíná samu sebe. Lomená čára A 0 A A... A n- A n (n ) se skládá z úseček A 0 A, A A,..., A n- A n, z nichž každé dvě sousední mají společný

Více

Je-li dána hranolová nebo jehlanová plocha s podstavou v rovině σ a rovina řezu ρ:

Je-li dána hranolová nebo jehlanová plocha s podstavou v rovině σ a rovina řezu ρ: Kapitola 1 Elementární plochy 1.1 Základní pojmy Elementární plochou budeme rozumět hranolovou, jehlanovou, válcovou, kuželovou a kulovou plochu. Pokud tyto plochy omezíme, popř. přidáme podstavy, můžeme

Více

CVIČNÝ TEST 48. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 48. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 48 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Je dán konvexní čtyřúhelník, jehož vnitřní

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy

Více

PLANIMETRIE úvodní pojmy

PLANIMETRIE úvodní pojmy PLANIMETRIE úvodní pojmy Je část geometrie zabývající se studiem geometrických útvarů v rovině. Základními stavebními kameny v rovině budou bod a přímka. 1) Přímka a její části Dvěma různými body lze vést

Více

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 00 007 TEST Z MATEMATIKY PRO PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY ČÍSLO FAST-M-00-0. tg x + cot gx a) sinx cos x b) sin x + cos x c) d) sin x e) +. sin x cos

Více

Elementární křivky a plochy

Elementární křivky a plochy Příloha A Elementární křivky a plochy A.1 Analytický popis geometrických objektů Geometrické vlastnosti, které jsme dosud studovali, se týkaly především základních geometrických objektů bodů, přímek, rovin

Více

7/ Podstavou kolmého trojbokého hranolu ABCA BĆ je rovnoramenný trojúhelník ABC. Určete odchylku přímek: a) BA ; BC b) A B ; BC c) AB ; BC

7/ Podstavou kolmého trojbokého hranolu ABCA BĆ je rovnoramenný trojúhelník ABC. Určete odchylku přímek: a) BA ; BC b) A B ; BC c) AB ; BC Stereometrie 1/ Je dána krychle ABCDEFGH. Uveďte všechny přímky, které procházejí bodem E a dalším vrcholem krychle a jsou s přímkou BC a) rovnoběžné b) různoběžné c) mimoběžné / Je dána krychle ABCDEFGH.

Více

Dynamika. Dynamis = řecké slovo síla

Dynamika. Dynamis = řecké slovo síla Dynamika Dynamis = řecké slovo síla Dynamika Dynamika zkoumá příčiny pohybu těles Nejdůležitější pojmem dynamiky je síla Základem dynamiky jsou tři Newtonovy pohybové zákony Síla se projevuje vždy při

Více

CVIČNÝ TEST 41. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 41. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 41 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Je dán magický čtverec, pro nějž platí,

Více

CVIČNÝ TEST 2. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 2. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 2 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST 1 Od součtu libovolného čísla x a čísla 256 odečtěte číslo x zmenšené o 256.

Více

ELEKTROSTATIKA. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Elektřina a magnetismus - 2. ročník

ELEKTROSTATIKA. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Elektřina a magnetismus - 2. ročník ELEKTROSTATIKA Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Elektřina a magnetismus - 2. ročník Elektrický náboj Dva druhy: kladný a záporný. Elektricky nabitá tělesa. Elektroskop a elektrometr. Vodiče a nevodiče

Více

ICT podporuje moderní způsoby výuky CZ.1.07/1.5.00/ Matematika planimetrie. Mgr. Tomáš Novotný

ICT podporuje moderní způsoby výuky CZ.1.07/1.5.00/ Matematika planimetrie. Mgr. Tomáš Novotný Název projektu ICT podporuje moderní způsoby výuky Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0717 Název školy Gymnázium, Turnov, Jana Palacha 804, přísp. organizace Číslo a název šablony klíčové aktivity IV/2 Inovace

Více

Sada 7 odchylky přímek a rovin I

Sada 7 odchylky přímek a rovin I Sada 7 odchylky přímek a rovin I Odchylky přímek 1) Je dána krychle ABCDEFGH. Určete odchylku daných přímek a) AB, AE b) AB, AD c) AE, AF d) AB, BD e) CD, GH f) AD, FG g) AB, SAEF h) ED, FC 2) Je dána

Více

Geometrické vidění světa KMA/GVS ak. rok 2013/2014 letní semestr

Geometrické vidění světa KMA/GVS ak. rok 2013/2014 letní semestr Polyedry, polyedrické (diskrétní) plochy Geometrické vidění světa KMA/GVS ak. rok 2013/2014 letní semestr Základní tělesa 1 Co jsou základní tělesa? Základní tělesa pro tvorbu modelů standardní výbava

Více

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ - 2. část

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ - 2. část MONGEOVO PROMÍTÁNÍ - 2. část ZOBRAZENÍ KRUŽNICE Příklad: V rovině ρ zobrazte kružnici o středu S a poloměru r. kružnice ležící v obecné rovině se v obou průmětech zobrazuje jako elipsa poloměr kružnice

Více

SMART Notebook verze Aug

SMART Notebook verze Aug SMART Notebook verze 10.6.219.2 Aug 5 2010 Pořadové číslo projektu CZ.1.07/1.4.00/21.3007 Šablona č.: III/2 Datum vytvoření: 3.9.2012 Pro ročník: 6. až 9. Vzdělávací obor předmět: Matematika Klíčová slova:

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444 ARITMETIKA CELÁ ČÍSLA Celá čísla jsou. -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, Celá čísla rozdělujeme na záporná (-1, -2, -3, ) kladná (1, 2, 3,.) nula 0 (není číslo kladné ani záporné) absolutní

Více