Jednoduchá geometrie koule a singularity. Poloviny radiálně axiální. Poloviny koncentrické a excentrické

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Jednoduchá geometrie koule a singularity. Poloviny radiálně axiální. Poloviny koncentrické a excentrické"

Transkript

1 Jednoduchá geometrie koule a singularity. Když si zvykneme na některé záležitosti, pak je to opravdu jednoduché. Ale musíme si to vysvětlit podrobněji. Poloviny radiálně axiální Poloviny koncentrické a excentrické Kresba 1: Rozložení kulových vrstev singularity do různých polovin Singularita je chápána nejen jako koncentrické ohnisko dostředných Coriolisových sil, ale také jako zdroj bublin také strun. Jako důležité považujeme zjištění, že singularita jako střed 4 vzdálených působišť je utvořena jen dostřednými vektory. Znamená to že Ohnisko je dáno jako součet vektorů částí ploch vln se stejným potenciálem vyslaných ze vzdálených působišť. Střed tedy obsahuje 4 díly ze kterých utvoří kulovou vrstvu. To je plně v souladu s tím co víme například o povrchu koule. 4 π r 2 Znamená to, že z každého směru si nová 5. koule vzala velikost πr 2. To je ale současně také vzorec pro výpočet plochy kruhu. Vzhledem k úbytku na kulové ploše vyslané ze vzdáleného působiště je to hned několikrát relativizovatelný díl (část). Logicky by to měla být ¼. Potom činí každý zbytek plochy ¾ původního celku. Takže celkem zůstane na vnějším plášti 4 x ¾ = 3 celé povrchy. Jenomže si také dovedeme představit, že se jediná polovina ze všech 4 zdrojových kulových ploch roznese na 3 oponující reakce. To znamená fakticky koncentricky sečteno 4/2 = 2 celé. Tedy povrch by měl být shodný pro koncentrickou i excentrickou plochu singularity. Při tom se na každou jednotlivou reakci roznáší 1/3 z poloviny celé kulové plochy. Tento poměr utvoří vlastně ekvipotenciální terč mezi každými 2 působišti. Všechny takové terče se protínají navzájem ve stejném úhlu, a mají 1 bod společný. Stejná úroveň nastává ještě ve středech ekvipotenciálních terčů, které nejsou totožné se středem singularity. Co z toho plyne? Dvě původní stejné plochy s velikostí 2 se rozdělí. Jedna stejná polovina do trajektorie 6 ti parciálních vektorů (ekvipotenciálních terčů), a ta druhá zůstane jako obal.

2 Vnitřek z ekvipotenciálních terčů se ale podobným mechanizmem také rozdělí na vnitřní a vnější tenzorové součty. Dost logicky je to zase polovina z poloviny. Naprostým zhroucením je vystaveno ¼ součtu potenciálů. Zbytek se sečte na vnějším obalu zevnitř. Dostáváme rozložení tenzorových systémů do 4 charakteristik. A. Naprosto zhroucená část plochy s velikostí 1 celá centrický bod. B. Expandující část poloviny ekvipotenciálních ploch kolmo k povrchu (povrch velikosti 2). C. Zhroucená část zbytku všech původních polovin, která tvoří obal zbytku z radiálních složek D. Zhroucená část zbytku všech původních polovin, která tvoří obal zbytků axiálních složek. Kresba číslo 1 vysvětluje pojmy radiální a axiální, což znamená, že rozdělujeme kulovou plochu podle převažujících součtů od úrovně nulového součtu (protilehlé smysly vektorů). Také doufám, že rozdělení na poloviny koncentrické a excentrické je stejně zřejmé jako radiální a axiální. Barevnost není příliš vhodná, ale přibližně by měla asociovat Dopplerův efekt. Ten se vztahuje ke světlu. Červený posuv značí zahuštění a modrý posuv rozprostření vln. Tento efekt je však pro fotony pohybující se mezi 0r až 2r (v jiném rozsahu neexistuje), tedy zobrazení singulární střed nic nevypustí, a to ani své spektrum červené barvy. Vlastností téměř nezávislé vlny lze nazvat jen žluté části schemat, které by měly reprezentovat kvanta bílého světla, je však zřejmé, že každý jednotlivý vektor má složku nejméně v ploše a trošku jinak barevnou. Každé kvantum má nějaké složky axiální a radiální. Typická spektrální analýza hledá černé pruhy ve spektru barev. Tyto pruhy odpovídají jakou část ve smyslu radiálně axiálním pohltil ten který prvek. Jde tedy o vliv na tenzory singularity. Proč se zabýváme takovými triviálnostmi? Každá část interpretované singularity má svůj význam v pochopení částicové fyziky. Singularita dává možnost rozdělit kompaktní vlnu na části kulových ploch. Energie je pak dána poměrem takové plochy z celku. Také součet vektorů nám dá finální vektor šíření a poměrnou velikost náboje. Je to však sekundární vývoj po velkém třesku, na to nezapomínejme. Můžeme nalézat kombinovaná kvanta. Například 4 žlutá lze sjednotit do singuláru, stejně jako 8 modrých do páru. Stejně tak je možné najít bodová zhroucení. Je asi zcela pochopitelné, proč se dají následně ( terciární průchod singularitou ) kombinovat 4 druhy částic. A,B,C,D. A proč je lze kombinovat do dvojic, nebo trojic, a nebo i vyšších uspořádání. Nemohu z této pozice vydedukovat, zda sloučené 4 žluté (původem různé části) vytvoří foton, nebo 2 dvojité částice modrých polovin vytvoří neutrino, nebo neutron. Co však vím jistě, je to, že po sjednocení jde zase o element s velikostí 1 celá. Odlišují se jen absorbovanou energií. Perlička Jak je to s těmi ekvipotenciálními kulovými plochami? Tím mám na mysli singulární kontrakci celých vln kulového povrchu. Ekvipotenciální terče vznikají dotykem stejných potenciálů. Pokud jsou působiště stejně silná produkují jen stejné vlny. Ale vzhledem k možnému vzniku tvarově zborcených ploch musíme předpokládat různě intenzivní zdroje. Ale zdroje stejné existují, a jejich vzájemné terče jsou v polovinách. Mezi každými dvěma a více stejnými zdroji jsou terče na polovině vzdálenosti. 4 stejné terče z 4 stejných zdrojů jsou symetrické, a z toho vyvodíme, že jsou každé 2 zdroje stejně

3 daleko od sebe. Relativně se vynulují vždy na jakékoliv vzdálenosti ideálně plochým terčem. Potom nutně stejně silné zdroje nemají potřebu dorovnávat pravidelnou prostorovou strukturu. To však platí jen do okamžiku, nežli se někde uvnitř takové struktury objeví jinak silné působiště. To znamená, že v homogenním prostorovém uspořádání můžeme předpokládat zejména také nepravidelné rozložení stejných působišť. Zde bychom asociovali vlastnosti tekutin a kovů. Takže může existovat několik kategorií stejných působišť, a každé součtové singulární působiště má typický rozestup svých stejných vzdálených zdrojových působišť. Součet podílů ploch na singulární střed je konstantní, přestože jsou jednotlivé vzdáleností různých zdrojových singularit různé. Vzdálenost ztrácí určitou část významu. Hustota, nebo jakýkoliv určující výpočet vystačí jen se statistickým údajem počtu prvků jednotkových údajů v množině. V takovém prostoru mohou být působiště libovolně daleko od sebe různě pro každé dva body. Kategorie objektů A rozdělí prostor na nepravidelný n- stěn s jediným rozměrem Σp1, kategorie objektů B rozdělí prostor na pravidelný n- stěn s jediným rozměrem Σp2 a tak dál. Jenomže pravidelně bez omezení znamená jinak, nežli v krystalické mřížce čistého čtyřstěnu. Musí to být pro hektický prostor šestistěny a jiné n stěny. Možná bychom takový prostor měli označit jako isotropní, nebo isomorfní. V žádném případě uvnitř takto daného statického modelu nevzniká potřeba něco měnit. To je určitý paradox teorie SUSY a GUT. Je to ale současně paradox každé úrovně ekvipotenciální kulové plochy (nikoliv ekvipotenciálního terče). Vznikají symetrie singulárního typu, které nelze navázat na plynulý (strukturálně homogenní) prostor. To je určitá záruka vzniku nezávislých singulárních podmínek. Výsledkem je součet nikoliv součin, ale přes to, nebo právě proto jde o singularity. Singularity proto nutně sousedí s jiným druhem singulárního působiště. Tohle všechno je jen důsledek původní Eukleidovské podstaty rozvržení prostoru. Výjimky při tom existují a potvrzují pravidlo. (Například stejné 4 stěny utvoří 6 -ti boký jehlan se stranami trojúhelníka sloučené základnou aj.) Je to velice relativní věc. Teprve součet singularit různého typu (počet stěn jako náhradní schema mnohostěnů), tedy průsečík nejméně 6 ekvipotenciálních terčů vytvoří druhový sortiment. Při tom stále ještě platí pravidlo o relativitě vzdálenosti. Jediným geometrickým specifikem je to, že singularity jako průsečík je obklopena působišti. To znamená, že prostor kolem singularity je relativně konvexní, ačkoliv tato podmínka nemusí být důsledně splněna, protože už singularita utvořená z 5-ti působišť se vyznačuje nepravidelností povrchové geometrie, a vlastně mimo čtyřstěnu a krychle mají tento předpoklad i všechny ostatní útvary (nikoliv například čtyřboký hranol). Záměrně neuvádím kouli. Takto popsaný prostor zřejmě má ekvivalenty v našem časoprostoru, ale to podstatné musíme ještě dodat. Takový prostor musí být naprosto nezávislý na vnějších vlivech. Jakmile cokoliv způsobí změnu, začne se prostor vyrovnávat geometrickou vzdáleností. To znamená, doslova, že se každé 2 působiště nachází stejně daleko od jiných stejně silných působišť. Prostor se pod vlivem zvenčí rozdělí na sortiment singularit podle počtu. Určitý druh takového prostoru nazýváme krystalickou, nebo strukturální mřížkou, tedy opak struktury tekutin a kovů. Důkaz o relativitě najdeme velice snadno. Znáte paradox vnitřních a vnějších úhlů? To je také projev z oblasti singularity, kterou můžeme na tomto základě prezentovat jako problém 2D. Vnitřní úhly trojúhelníka dávají součet 180, čtyřúhelníka 360. Pětiúhelník dejme tomu pravidelný obsahuje 5 trojúhelníků s jedním společným bodem vrcholem. Tyto úhly jsou dány jako 1/5 celku 360 = 72. Zbytek do 180 je 5. část vnitřního úhlu pětiúhelníku. Tedy 4x 180 = vnitřních úhlů, a je to 2x tolik, nežli má čtyřúhelníku. Co když ale pětiúhelník rozdělíme na 3 trojúhelníky? Všechny úhly těchto trojúhelníků jsou vnitřními pětiúhelníku, a je to 3x180. Když rozdělíme pětiúhelník na plochu čtyřúhelníka a trojúhelníka, dostaneme zase 3x 180. Takže by to mělo být správně. Oba různé případy dají 3x180. Jenomže to nejsou stejné prvky. Ještě větší paradox nám ukáží vnější úhly. Trojúhelník má venku 2x360, čtyřstěn 3x 360.

4 Počítáme samozřejmě jednoduchým způsobem, co vrchol to 360. Tato nepravdivost se v celku dá aplikovat také jinak. Pravdivá geometrie nemůže pracovat s velikostí úhlů, ale s jednotkovou velikostí plochy. Představme si že máme popsat pomocí obrazců povrch koule. Kolik jakých obrazců použijeme? Lze to udělat mnoha způsoby. Jak ale zjistíme vnitřní prostorový úhel. Můžeme například použít poměr dílek kruhu (jedno v jaké rozdělení), spočítat poměr z kružnice na plochu kruhu, fragmentovat na stejné díly kulovou plochu a určit průměrný prostorový úhel, nebo i jinak. Prostorový úhel lze ale jednoduše zadat jako poměr z kulové plochy. Tedy spíš nás to bude vést na celočíselný poměr bez průměru tedy na kužel ( s vrchlíkem poznámka ). Objem koule je dán jako vzorec takto: 4/3π r 3 Objem kuželu je dán jako vzorec takto: 1/3π r 2 v, při v (výška) = r je to 1/3π r 3 Je to kužel podivný. Jeho poloměr základny je roven poloměru koule stejně jako výška. Dá se umístit do koule tak, že se dotýká povrchu koule na největším průměru obvodem své základny a vrcholem. Jaký že to má význam? odečteme prostor obou těles a dostaneme 3/3π r 3, tedy krychli se stranou dlouhou πr a plochou 6πr 2. Kresba 2: Jehlan jako 1/4 koule Když kužel vložíme do středu koule vrcholem na střed, Bude jeho základna tečná s povrchem koule v jediném bodě. Povrch koule a povrch základny kuželu mají vztah 4x. Objem je dán jako 4/3, tedy také 4x v poměru objemů celých těles. zapomeneme na povrchy, které jsou si rovny a zjišťujeme, že uvnitř koule je uzavřen úhel 4 kuželů s průmětem rovnoramenného trojúhelníka (základna mimo vnitřek koule deformace z rovnoramenného trojúhelníka na rovnostranný složený ze dvou pravoúhlých. Dostáváme počet pro celočíselnou dělitelnost tedy výchozí počet 4 a 3 dává tušit, že rozdělení na systém stupňů by mohl být správný. Kresba 3: Kužely a vztah k objemu koule se shodným poloměrem My už víme že ta 1/3 je podíl každého jednotlivého zdroje singularity, ale jen z přilehlé polokoule působiště. Takže vzhledem k výpočtům velikostí jde o součet 4x 1/6 povrchu 4 působišť. To nám dává velikost povrchu singulárního středu jako 2/3 plochy jediného působiště. Ve skutečnosti se prostorově akumulovaly 4 stejně velké plošné kruhy, a to je ten deformační rozdíl. Celkem tedy 2/3, nebo 4/4? Pochopení je také snadné. Zatímco ¼ reprezentuje rovnostranný trojúhelník, který po složení 4 stejných do sebe s jedním společným bodem vrcholem se musí překrývat. Tyto vrcholové 4 úhly dávají dohromady 4 x 60 = 240 a to je méně nežli je součet 360. Když spojíme vrcholy musí se plochy překřížit přes střed. To je faktické zakřivení prostoru. 4 pravoúhlé trojúhelníky lze složit pravými úhly spojením 8 stran na sebe tak, aby byla utvořena Euklidova plocha.

5 Podobně spojením 4 rovnoramenných trojúhelníků tedy v 1 bodě a na 8 stranách 4 trojúhelníků dochází k vytvoření základního prostorového zakřivení v bodě. Podobně bychom postupovali pro případ zakřivení v singularitě dané 5 -ti rovnoramennými trojúhelníky. Nejméně je pak možné vyjádřit zakřivení jako rozdíl mezi 3 mi trojúhelníky. V podstatě je jedno zda se trojúhelníky překládají, nebo stahují. Prostorová křivost je dána kulovými výsečemi (kužely s vrchlíkem ). Takže vlastně řešíme osový kříž uvnitř průřezu kruhové výseče, která rotací podle poloměru vytvoří kulovou výseč. Ke každé výšce vrchlíku přináleží jediný střed kruhové úseče. Reálný kužel s vrchlíkem bude mít jen výjimečně výšky (bez vrchlíku + výška vrchlíku) rovnou poloměru. Takže tato geometrie může vyjádřit na poměru objemu kužele a koule prostorové zakřivení složené variantně z několika rovin. Zejména jde o poloměr základen kužele a vrchlíku k poloměru koule, poměr výšek k poloměru a poměr kružnice (kulové) plochy doplněné do zbytku vrchlíkové křivosti. Snadno si tak představíme například negativní kužel s vrchlíkem (rozdíl těles) jako jejich součet. Vždy při tom můžeme použít poměr jednotkového průvodiče. Jen bychom neměli zapomínat, že se vnitřní křivost odehrává na 3 kolmých rovinách, a podobně vnější plocha. Při tom stejná křivost uvnitř neznamená stejnou změnu velikosti plochy povrchu. Tyto dvě věci jsou zásadně nezávislé. Takže stejně velké plochy dvou koulí mohou mít různou vnitřní křivost, což lze vyjádřit jako soustřednou kuličku. Základní křivost koule je dána bodem, křivost menší prázdnou kuličkou, a křivost větší plnou kuličkou. Poměr vnitřního povrchu kuličky k povrchu vnější koule je vnitřní zakřivení. Takže vlastně vnitřní zakřivení chápeme jako odchylku +/- od pravého úhlu v rotaci trojúhelníka. Vyhodnocujeme potom poměr velikosti kulových ploch. Stejné koule mohou být tedy jen průměrné, nebo stejně vnitřně zakřivené a podobně. To nám pomůže určit praktické parametry například pro hustotu, nebo různé poloměry pro ekvipotenciální kulové plochy. Jako zobrazovací prostředek vyjádřím, že jde o různou bodovou křivost (tangenciální, tedy v součtu axiální a radiální)bodů se stejnou hustotou (intenzitou) pole. Takový bod si vlastně můžeme představit jako vzdálenost od středu, ale jako délku spirálového ramene, nikoliv jako průvodič na konstantním poloměru. Řekněme, že jednotlivé body poloměru jako průvodiče tvoří spojitou křivku, a každý bod této křivky má schopnost pohybovat se jinou úhlovou rychlostí. My samozřejmě víme, že bod jedné roviny tečné k povrchu koule a všechny body jeho průvodiče se ještě pohybují na dvou vnitřních plochách Takže otázka zní, jak se dají prostorově skládat kuželové části. Zřetelně z obrázku 3 kuželů pochopíme, že prostorově lze složit vrcholem k sobě 6 kuželů, nebo jen 4 (dokonce v různém náklonu, a každá trojice fakticky reprezentuje krychli se stranou πr. Každé 4 kužely reprezentují kouli. Takže 6 kuželů představuje 2 krychle, nebo 1,5 koule. Jenže věc se má jinak. Naše kužely jsou do času rozevřené ekvipotenciální terče. Jde tedy o kužel s počtem vln bezprostředně po sobě následujících. Potom 6 kuželů reprezentuje čtyřstěn. Takový čtyřstěn je dán stejným počtem podílů vln. Také jsme si naznačili, že tyto kužely vůbec nemusí být rovné, ale mohou být zakřivené. Například spirála svinutá z několika extrémně tenkých kuželů, jejímž průřezem bude například plošná spirála. Příkladem prostorové spirály tohoto typu je tromba tornád, jejíž negativní střed doslova vysává předměty z povrchu země. Efektivním projevem negativního zakřivení je tah (samozřejmě si uděláme představu prázdné kulové singularity jako asociaci), a pozitivním zakřivením je tlak větru na plochu, což nám bude prezentovat plná kulička v singularitě. Přestože je jejich absolutní vliv, tedy sekundární jako aplikovaný absolutní, mají aktuálně relativní projevy. Ty jsou dány vnějším prostředím. Z pohledu geometrické představy si můžeme tornádo představit jako prostorově uspořádané křivé kužílky, nebo šroubovité hroty jehliček. Tyto jehličky lze vyjádřit popisem a počtem.

6 Další postřehy o geometrii koule. Výpočty na kouli mohou mít také následující asociace k výpočtům, které uvádím pro orientaci při procházení kapitol. Povrch vnitřního jehlanu mezi 4 mi působišti je dán povrchem koulí obklopujících toto těleso. Takže délka každé hrany je 1/6 obvodu kružnice s poloměrem r, což je poloměr koule. Těchto hran je 6 (je to dáno dvojicemi vrcholů), což znamená, že těleso je ohraničeno kružnicí v podobě hran. Plocha 1 stěny je 1/8 povrchu koule o poloměru r. Stěny jsou pouze 4, to znamená, že povrch je vytvořen jako 1/2 povrchu koule, což zase znamená 1/2 z celku 4πr 2, nebo πd 2. Obsah je dán jako rozdíl pravidelného čtyřstěnu o straně 2r (d), proti součtu 4x (1/8) koule s poloměrem r. Tedy rozdíl tělesa jehlanu Kresba 4: Prostor mezi 4-mi stejným koulemi se základnou rovnostranného trojúhelníka a 1/2 objemu koule (r). Při délce strany 2r, a výšce r, platí vzorec základního tělesa V = 1/3 S p v. Plocha rovnostranného trojúhelníka je dána například (½ strany = r) x (výška = sqrt(d 2 - r 2 )). Tedy obsah rovnostranného trojúhelníka je dán například jako sqrt(3r 2 ) = 1,73r. Z toho plyne zpětně, že výška rovnoramenného trojúhelníka při r = 1 je 1,73, tedy odmocnina ze tří. Totéž v plošných jednotkách pro obsah. Při tělesové hraně (přímková spojnice středů vnějších koulí) pravidelného trojbokého jehlanu (pravidelný čtyřstěn) je tělesová výška jehlanu dána jako dopočítaná odvěsna pravoúhlého trojúhelníka při zadání přepona = 2, odvěsna = r = 1, tedy zase odmocnina celku 3: v t = 1,73r délkových jednotek, obsah základny 1,73r 2 plošných jednotek, a objem je dán 1/3 součinu výšky a plochy základny. Tedy 1/3 * 3r 3. My už víme, že je to objem 1 celá r 3. Takže můžeme směle vyjádřit objem základního tělesa 1 celá objemových jednic. Od základního tělesa odečteme 1/2 objemu koule s poloměrem r. Ten je dán 2/3πr 3, pro r=1 to znamená 4, , které ještě zmenšíme na 1/2, tedy 2/3π,

Pojmy: stěny, podstavy, vrcholy, podstavné hrany, boční hrany (celkem hran ),

Pojmy: stěny, podstavy, vrcholy, podstavné hrany, boční hrany (celkem hran ), Tělesa 1/6 Tělesa 1.Mnohostěny n-boký hranol Pojmy: stěny, podstavy, vrcholy, podstavné hrany, boční hrany (celkem hran ), hranol kosý hranol kolmý (boční stěny jsou kolmé k rovině podstavy) pravidelný

Více

Povrch a objem těles

Povrch a objem těles Povrch a objem těles ) Kvádr: a.b.c S =.(ab+bc+ac) ) Krychle: a S = 6.a ) Válec: π r.v S = π r.(r+v) Obecně: S podstavy. výška S =. S podstavy + S pláště Vypočtěte objem a povrch kvádru, jehož tělesová

Více

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy 5 Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy Trojúhelník: Trojúhelník je definován jako průnik tří polorovin. Pojmy: ABC - vrcholy trojúhelníku abc - strany trojúhelníku ( a+b>c,

Více

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0.

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0. Ukázky typových maturitních příkladů z matematiky..reálná čísla. 3} x R; I. Zobrazte množiny A = {x є 3} < + x R; B = {x є II. Zapište ve tvaru zlomku číslo, 486.Komplexní čísla. I. Určete a + b, a - b,

Více

Základní pojmy: Objemy a povrchy těles Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin Opakování: Obsahy a obvody rovinných útvarů

Základní pojmy: Objemy a povrchy těles Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin Opakování: Obsahy a obvody rovinných útvarů 1/13 Základní pojmy: Objemy a povrchy těles Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin Opakování: Obsahy a obvody rovinných útvarů STEREOMETRIE Stereometrie - geometrie v prostoru - zabývá se vzájemnou polohou

Více

3.2 OBJEMY A POVRCHY TĚLES

3.2 OBJEMY A POVRCHY TĚLES . OBJEMY A POVRCHY TĚLES Krychle, kvádr, hranol Dochované matematické texty ze starého Egypta obsahují několik úloh na výpočet objemu čtverhranných obilnic tvaru krychle; lze předpokládat, že stejným způsobem

Více

Geometrické těleso je prostorově omezený geometrický útvar. Jeho hranicí, povrchem, je uzavřená plocha.

Geometrické těleso je prostorově omezený geometrický útvar. Jeho hranicí, povrchem, je uzavřená plocha. 18. Tělesa řezy, objemy a povrchy, (řez krychle, kvádru, jehlanu, objemy a povrchy mnohostěnů, rotačních těles a jejich částí včetně komolých těles, obvody a obsahy mnohoúhelníků, kruhu a jeho částí) Tělesa

Více

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna 16. Trojúhelník, Mnohoúhelník, Kružnice (typy trojúhelníků a jejich vlastnosti, Pythagorova věta, Euklidovy věty, čtyřúhelníky druhy a jejich vlastnosti, kružnice obvodový a středový, úsekový úhel, vzájemná

Více

Maturitní témata profilová část

Maturitní témata profilová část Seznam témat Výroková logika, úsudky a operace s množinami Základní pojmy výrokové logiky, logické spojky a kvantifikátory, složené výroky (konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence), pravdivostní tabulky,

Více

Povrchy, objemy. Krychle = = = + =2 = 2 = 2 = 2 = 2 =( 2) + = ( 2) + = 2+ =3 = 3 = 3 = 3 = 3

Povrchy, objemy. Krychle = = = + =2 = 2 = 2 = 2 = 2 =( 2) + = ( 2) + = 2+ =3 = 3 = 3 = 3 = 3 y, objemy nám vlastně říká, kolik tapety potřebujeme k polepení daného tělesa. Základní jednotkou jsou metry čtverečné (m 2 ). nám pak říká, kolik vody se do daného tělesa vejde. Základní jednotkou jsou

Více

8. Stereometrie 1 bod

8. Stereometrie 1 bod 8. Stereometrie 1 bod 8.1. Poměr objemů pravidelného čtyřbokého hranolu a jemu vepsaného válce je 4 : π b) : π c) : π d) : π e) 4 : π. 8.. Zmenšíme-li poloměr podstavy kužele o polovinu a jeho výšku zvětšíme

Více

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná Racionální čísla Zlomky Rozšiřování a krácení zlomků

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Cvičení z matematiky Náplň: Systematizace a prohloubení učiva matematiky Třída: 4. ročník Počet hodin: 2 Pomůcky: Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné obory

Více

Trojúhelník - určují tři body které neleţí na jedné přímce. Trojúhelník je rovněţ moţno povaţovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů.

Trojúhelník - určují tři body které neleţí na jedné přímce. Trojúhelník je rovněţ moţno povaţovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů. Trojúhelník Trojúhelník - určují tři body které neleţí na jedné přímce. Trojúhelník je rovněţ moţno povaţovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů. C Body se nazývají vrcholy trojúhelníku Úsečky

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy Koza se pase na polovině zahrady, Jaroslav eichl, 011 K OZA E PAE NA POLOVINĚ ZAHADY Zadání úlohy Zahrada kruhového tvaru má poloměr r = 10 m. Do zahrady umístíme kozu, kterou přivážeme provazem ke kolíku

Více

1 Tuhé těleso a jeho pohyb

1 Tuhé těleso a jeho pohyb 1 Tuhé těleso a jeho pohyb Tuhé těleso (TT) působením vnějších sil se nemění jeho tvar ani objem nedochází k jeho deformaci neuvažuje se jeho částicová struktura, těleso považujeme za tzv. kontinuum spojité

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Trojúhelník. MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů. Ing. Miroslav Čapek srpen 2011

Trojúhelník. MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů. Ing. Miroslav Čapek srpen 2011 MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů Trojúhelník Ing. Miroslav Čapek srpen 2011 Projekt Využití e-learningu k rozvoji klíčových kompetencí reg. č.: CZ.1.07/1.1.10/03.0021 je spolufinancován

Více

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce MATEMATIKA 5. TŘÍDA 1 - Přirozená čísla a číslo nula a číselná osa, porovnávání b zaokrouhlování c zápis čísla v desítkové soustavě d součet, rozdíl e násobek, činitel, součin f dělení, dělení se zbytkem

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky 1. Lineární rovnice a nerovnice a) Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou absolutní hodnota reálného čísla definice, geometrický význam, srovnání řešení rovnic s abs. hodnotou

Více

GYMNÁZIUM CHEB SEMINÁRNÍ PRÁCE

GYMNÁZIUM CHEB SEMINÁRNÍ PRÁCE GYMNÁZIUM CHEB SEMINÁRNÍ PRÁCE Pravidelná tělesa Cheb, 2006 Lukáš Louda,7.B 0 Prohlášení Prohlašuji, že jsem seminární práci na téma: Pravidelná tělesa vypracoval zcela sám za použití pramenů uvedených

Více

Kombinatorický předpis

Kombinatorický předpis Gravitace : Kombinatorický předpis Petr Neudek 1 Kombinatorický předpis Kombinatorický předpis je rozšířením Teorie pravděpodobnosti kapitola Kombinatorický strom. Její praktický význam je zřejmý právě

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. volné rovnoběžné promítání průmětna

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. volné rovnoběžné promítání průmětna Předmět: Matematika Náplň: Stereometrie, Analytická geometrie, Komplexní čísla Třída: 3. ročník Počet hodin: 4 hodiny týdně Pomůcky: PC a dataprojektor Volné rovnoběžné promítání Zobrazí ve volném rovnoběžném

Více

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti

Více

Témata ke státní závěrečné zkoušce z matematiky ARITMETIKA

Témata ke státní závěrečné zkoušce z matematiky ARITMETIKA Státní zkouška aritmetika Témata ke státní závěrečné zkoušce z matematiky ARITMETIKA Teoretická aritmetika 1. Prvky výrokové logiky - výrok, skládání výroků, abeceda výrokové logiky, výrokové formule,

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy

Více

ELEKTROSTATIKA. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Elektřina a magnetismus - 2. ročník

ELEKTROSTATIKA. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Elektřina a magnetismus - 2. ročník ELEKTROSTATIKA Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Elektřina a magnetismus - 2. ročník Elektrický náboj Dva druhy: kladný a záporný. Elektricky nabitá tělesa. Elektroskop a elektrometr. Vodiče a nevodiče

Více

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel. 5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených

Více

5.2.8 Zobrazení spojkou II

5.2.8 Zobrazení spojkou II 5.2.8 Zobrazení spojkou II Předpoklady: 5207 Př. 1: Najdi pomocí význačných paprsků obraz svíčky, jejíž vzdálenost od spojky je menší než její ohnisková vzdálenost. Postupujeme stejně jako v předchozích

Více

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444 ARITMETIKA CELÁ ČÍSLA Celá čísla jsou. -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, Celá čísla rozdělujeme na záporná (-1, -2, -3, ) kladná (1, 2, 3,.) nula 0 (není číslo kladné ani záporné) absolutní

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

Dynamika. Dynamis = řecké slovo síla

Dynamika. Dynamis = řecké slovo síla Dynamika Dynamis = řecké slovo síla Dynamika Dynamika zkoumá příčiny pohybu těles Nejdůležitější pojmem dynamiky je síla Základem dynamiky jsou tři Newtonovy pohybové zákony Síla se projevuje vždy při

Více

7/ Podstavou kolmého trojbokého hranolu ABCA BĆ je rovnoramenný trojúhelník ABC. Určete odchylku přímek: a) BA ; BC b) A B ; BC c) AB ; BC

7/ Podstavou kolmého trojbokého hranolu ABCA BĆ je rovnoramenný trojúhelník ABC. Určete odchylku přímek: a) BA ; BC b) A B ; BC c) AB ; BC Stereometrie 1/ Je dána krychle ABCDEFGH. Uveďte všechny přímky, které procházejí bodem E a dalším vrcholem krychle a jsou s přímkou BC a) rovnoběžné b) různoběžné c) mimoběžné / Je dána krychle ABCDEFGH.

Více

Práce, energie a další mechanické veličiny

Práce, energie a další mechanické veličiny Práce, energie a další mechanické veličiny Úvod V předchozích přednáškách jsme zavedli základní mechanické veličiny (rychlost, zrychlení, síla, ) Popis fyzikálních dějů usnadňuje zavedení dalších fyzikálních

Více

TROJÚHELNÍK 180. Definice. C neleží v přímce. Potom trojúhelníkem ABC nazveme průnik polorovin ABC, BCA, Nechť body. Viz příloha: obecny_trojuhelnik

TROJÚHELNÍK 180. Definice. C neleží v přímce. Potom trojúhelníkem ABC nazveme průnik polorovin ABC, BCA, Nechť body. Viz příloha: obecny_trojuhelnik TROJÚHELNÍK Definice Nechť body A, B, C neleží v přímce. Potom trojúhelníkem ABC nazveme průnik polorovin ABC, BCA, CAB. Viz příloha: obecny_trojuhelnik Definice trojúhelníku Uzavřená, jednoduchá (neprotínající

Více

Pohyby tuhého tělesa Moment síly vzhledem k ose otáčení Skládání a rozkládání sil Dvojice sil, Těžiště, Rovnovážné polohy tělesa

Pohyby tuhého tělesa Moment síly vzhledem k ose otáčení Skládání a rozkládání sil Dvojice sil, Těžiště, Rovnovážné polohy tělesa Mechanika tuhého tělesa Pohyby tuhého tělesa Moment síly vzhledem k ose otáčení Skládání a rozkládání sil Dvojice sil, Těžiště, Rovnovážné polohy tělesa Mechanika tuhého tělesa těleso nebudeme nahrazovat

Více

9 Prostorová grafika a modelování těles

9 Prostorová grafika a modelování těles 9 Prostorová grafika a modelování těles Studijní cíl Tento blok je věnován základům 3D grafiky. Jedná se především o vysvětlení principů vytváření modelů 3D objektů, jejich reprezentace v paměti počítače.

Více

Stereometrie pro učební obory

Stereometrie pro učební obory Variace 1 Stereometrie pro učební obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz 1. Vzájemná poloha prostorových

Více

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 <

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 < 8.. Otázka číslo Mocniny a odmocniny. b.) Zjednodušte: 6 b. b Opakování k maturitě matematika. roč. TAD : 6.) Zjednodušte: 6 6.) Vypočtěte: a. y : ( a. y ) =.) Usměrněte zlomek =.. Otázka číslo Lineární

Více

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a

Více

Příklady k opakování učiva ZŠ

Příklady k opakování učiva ZŠ Příklady k opakování učiva ZŠ 1. Číslo 78 je dělitelné: 8 7 3. Rozhodněte, které z následujících čísel je dělitelem čísla 94: 4 14 15 3. Určete všechny dělitele čísla 36:, 18, 4, 9, 6, 3, 1, 3, 6, 1 3,

Více

Vzorce počítačové grafiky

Vzorce počítačové grafiky Vektorové operace součet vektorů rozdíl vektorů opačný vektor násobení vektoru skalárem úhel dvou vektorů velikost vektoru a vzdálenost dvojice bodů v rovině (v prostoru analogicky) u = B A= b a b a u

Více

Témata absolventského klání z matematiky :

Témata absolventského klání z matematiky : Témata absolventského klání z matematiky : 1.Dělitelnost přirozených čísel - násobek a dělitel - společný násobek - nejmenší společný násobek (n) - znaky dělitelnosti 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9,10 - společný

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Obsahy. Trojúhelník = + + 2

Obsahy. Trojúhelník = + + 2 Obsahy Obsah nám říká, jak velkou plochu daný útvar zaujímá. Třeba jak velký máme byt nebo pozemek kolik metrů čtverečných (m 2 ), hektarů (ha), centimetrů čtverečných (cm 2 ), Základní jednotkou obsahu

Více

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky Ročník I II III IV Dotace 3 3+1 2+1 2+2 Povinnost povinný povinný povinný povinný Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Ročník 1 2 3 4 5 6 Dotace

Více

Přípravný kurz. k přijímacím zkouškám z matematiky pro uchazeče o studium na gymnáziu (čtyřletý obor) pro

Přípravný kurz. k přijímacím zkouškám z matematiky pro uchazeče o studium na gymnáziu (čtyřletý obor) pro Příjímací zkoušky 01 Přípravný kurz k přijímacím zkouškám z matematiky pro uchazeče o studium na gymnáziu (čtyřletý obor) 1. Číselné obory 1.1. Doplňte číslo do rámečku tak, aby platila rovnost: 1.1.1.

Více

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. ONDŘEJ MACHŮ a kol.

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. ONDŘEJ MACHŮ a kol. ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE ONDŘEJ MACHŮ a kol. Předmluva Otevíráte sbírku, která vznikla z příkladů zadaných studentům pátého ročníku PřF UP v Olomouci, učitelů matematiky a deskriptivní

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Úterý 8. ledna. Cabri program na rýsování. Základní rozmístění sad nástrojů na panelu nástrojů

Úterý 8. ledna. Cabri program na rýsování. Základní rozmístění sad nástrojů na panelu nástrojů Úterý 8. ledna Cabri program na rýsování program umožňuje rýsování základních geometrických útvarů, měření délky úsečky, velikosti úhlu, výpočet obvodů a obsahů. Je vhodný pro rýsování geometrických míst

Více

HVrchlík DVrchlík. Anuloid Hrana 3D síť

HVrchlík DVrchlík. Anuloid Hrana 3D síť TVORBA PLOCH Plochy mají oproti 3D drátovým modelům velkou výhodu, pro snadnější vizualizaci modelů můžeme skrýt zadní plochy a vytvořit stínované obrázky. Plochy dále umožňují vytvoření neobvyklých tvarů.

Více

Základní pojmy Zobrazení zrcadlem, Zobrazení čočkou Lidské oko, Optické přístroje

Základní pojmy Zobrazení zrcadlem, Zobrazení čočkou Lidské oko, Optické přístroje Optické zobrazování Základní pojmy Zobrazení zrcadlem, Zobrazení čočkou Lidské oko, Optické přístroje Základní pojmy Optické zobrazování - pomocí paprskové (geometrické) optiky - využívá model světelného

Více

STEREOMETRIE, TĚLESA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

STEREOMETRIE, TĚLESA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky STEREOMETRIE, TĚLESA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro nižší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Základní škola Ruda nad Moravou. Označení šablony (bez čísla materiálu): EU-OPVK-MAT-8+9- Slovní úlohy

Základní škola Ruda nad Moravou. Označení šablony (bez čísla materiálu): EU-OPVK-MAT-8+9- Slovní úlohy Označení šablony (bez čísla materiálu): EU-OPVK-MAT-8+9- Slovní úlohy Číslo mate riálu Datum Třída Téma hodiny Ověřený materiál - název Téma, charakteristika Autor Ověřil 1. 2.5. 2012 VI.B I. Sestavení

Více

Test žáka. Zdroj testu: Celoplošná zkouška 2. Školní rok 2012/2013 MATEMATIKA. Jméno: Třída: Škola: Termín provedení testu:

Test žáka. Zdroj testu: Celoplošná zkouška 2. Školní rok 2012/2013 MATEMATIKA. Jméno: Třída: Škola: Termín provedení testu: Test žáka Zdroj testu: Celoplošná zkouška 2 Školní rok 2012/2013 MATEMATIKA Jméno: Třída: Škola: Termín provedení testu: Datum vytvoření: 15. 10. 2013 Obtížnost 1 Úloha 1 Přednáška trvala 80 minut a skončila

Více

Geometrická optika. předmětu. Obrazový prostor prostor za optickou soustavou (většinou vpravo), v němž může ležet obraz - - - 1 -

Geometrická optika. předmětu. Obrazový prostor prostor za optickou soustavou (většinou vpravo), v němž může ležet obraz - - - 1 - Geometrická optika Optika je část fyziky, která zkoumá podstatu světla a zákonitosti světelných jevů, které vznikají při šíření světla a při vzájemném působení světla a látky. Světlo je elektromagnetické

Více

Test žáka. Zdroj testu: Celoplošná zkouška 2. Školní rok 2012/2013 MATEMATIKA. Jméno: Třída: Škola: Termín provedení testu:

Test žáka. Zdroj testu: Celoplošná zkouška 2. Školní rok 2012/2013 MATEMATIKA. Jméno: Třída: Škola: Termín provedení testu: Test žáka Zdroj testu: Celoplošná zkouška 2 Školní rok 2012/2013 MATEMATIKA Jméno: Třída: Škola: Termín provedení testu: Datum vytvoření: 14. 10. 2013 Obtížnost 1 Úloha 1 Na obrázku jsou zakresleny dva

Více

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik R4 1. ČÍSELNÉ VÝRAZY 1.1. Přirozená čísla počítání s přirozenými čísly, rozlišit prvočíslo a číslo složené, rozložit složené

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

TUHÉ TĚLESO. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Mechanika - 1. ročník

TUHÉ TĚLESO. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Mechanika - 1. ročník TUHÉ TĚLESO Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Mechanika - 1. ročník Tuhé těleso Tuhé těleso je ideální těleso, jehož objem ani tvar se účinkem libovolně velkých sil nemění. Pohyb tuhého tělesa: posuvný

Více

6. Čtyřúhelníky, mnohoúhelníky, hranoly

6. Čtyřúhelníky, mnohoúhelníky, hranoly 6. Čtyřúhelníky, mnohoúhelníky, hranoly 7. ročník - 6. Čtyřúhelníky, mnohoúhelníky, hranoly 6.1. Základní pojmy 6.1.1. n úhelník n - úhelník pro n > 2 je geometrický obrazec, který má n vrcholů ( stran,

Více

M - Planimetrie pro studijní obory

M - Planimetrie pro studijní obory M - Planimetrie pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je dovoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento dokument byl

Více

Úloha 1: Vypočtěte hustotu uhlíku (diamant), křemíku, germania a α-sn (šedý cín) z mřížkové konstanty a hmotnosti jednoho atomu.

Úloha 1: Vypočtěte hustotu uhlíku (diamant), křemíku, germania a α-sn (šedý cín) z mřížkové konstanty a hmotnosti jednoho atomu. Úloha : Vypočtěte hustotu uhlíku (diamant), křemíku, germania a α-sn (šedý cín) z mřížkové konstanty a hmotnosti jednoho atomu. Všechny zadané prvky mají krystalovou strukturu kub. diamantu. (http://en.wikipedia.org/wiki/diamond_cubic),

Více

ANOTACE vytvořených/inovovaných materiálů. 01: Stažení, instalace, nastavení programu, tvorba základních entit (IV/2_M1_01)

ANOTACE vytvořených/inovovaných materiálů. 01: Stažení, instalace, nastavení programu, tvorba základních entit (IV/2_M1_01) ANOTACE vytvořených/inovovaných materiálů Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast Formát Druh učebního materiálu Druh interaktivity CZ.1.07/1.5.00/34.0722 IV/2 Inovace a

Více

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

Předpokládané znalosti žáka 1. stupeň:

Předpokládané znalosti žáka 1. stupeň: Předpokládané znalosti žáka 1. stupeň: ČÍSLO A POČETNÍ OPERACE používá přirozená čísla k modelování reálných situací, počítá předměty v daném souboru, vytváří soubory s daným počtem prvků čte, zapisuje

Více

Matematika 9. ročník

Matematika 9. ročník Matematika 9. ročník Náhradník NáhradníkJ evátá třída (Testovací klíč: SVFMFRIH) Počet správně zodpovězených otázek Počet nesprávně zodpovězených otázek 0 26 Počítání s čísly / Geometrie / Slovní úlohy

Více

PŘEVODY S OZUBENÝMI KOLY

PŘEVODY S OZUBENÝMI KOLY PŘEVODY S OZUBENÝMI KOLY Vysoká škola technická a ekonomická v Českých Budějovicích Institute of Technology And Business In České Budějovice Tento učební materiál vznikl v rámci projektu "Integrace a podpora

Více

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy)

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy) Euklidovský prostor Euklidovy Základy (pohled do historie) dnešní definice kartézský souřadnicový systém vlastnosti rovin v E n speciální vlastnosti v E 3 (vektorový součin) a) eprostor, 16, b) P. Olšák,

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo a

Více

MATEMATIKA MAIZD14C0T01 DIDAKTICKÝ TEST. 2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. 1 Základní informace k zadání zkoušky. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám

MATEMATIKA MAIZD14C0T01 DIDAKTICKÝ TEST. 2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. 1 Základní informace k zadání zkoušky. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám MATEMATIKA DIDAKTICKÝ TEST MAIZD14C0T01 Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % 1 Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 26 úloh. Časový limit pro řešení didaktického

Více

1. Opakování učiva 6. ročníku

1. Opakování učiva 6. ročníku . Opakování učiva 6. ročníku.. Čísla, zlomek ) Z číslic, 6 a sestavte všechna trojciferná čísla tak, aby v každém z nich byly všechny tři číslice různé. ) Z číslic, 0, 3, sestavte všechna čtyřciferná čísla

Více

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě.

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě. STANDARDY MATEMATIKA 2. stupeň ČÍSLO A PROMĚNNÁ 1. M-9-1-01 Žák provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel; užívá ve výpočtech druhou mocninu a odmocninu 1. žák provádí základní početní

Více

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Obsah Obsah NIŽŠÍ úroveň obtížnosti 4 MAGZD10C0K01 říjen 2010..........................

Více

- čte a zapisuje desetinná čísla MDV kritické čtení a - zaokrouhluje, porovnává. - aritmetický průměr

- čte a zapisuje desetinná čísla MDV kritické čtení a - zaokrouhluje, porovnává. - aritmetický průměr Matematika - 6. ročník Provádí početní operace v oboru desetinná čísla racionálních čísel - čtení a zápis v desítkové soustavě F užití desetinných čísel - čte a zapisuje desetinná čísla - zaokrouhlování

Více

Otázky z kapitoly Stereometrie

Otázky z kapitoly Stereometrie Otázky z kapitoly Stereometrie 10. února 015 Obsah 1 Krokované příklady (0 otázek) 1 Metrické vlastnosti (30 otázek) 1.1 Obtížnost 1 (16 otázek)....................................... 1. Obtížnost (14

Více

BIOMECHANIKA DYNAMIKA NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY, VNITŘNÍ A VNĚJŠÍ SÍLY ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY

BIOMECHANIKA DYNAMIKA NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY, VNITŘNÍ A VNĚJŠÍ SÍLY ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY BIOMECHANIKA DYNAMIKA NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY, VNITŘNÍ A VNĚJŠÍ SÍLY ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY ROTAČNÍ POHYB TĚLESA, MOMENT SÍLY, MOMENT SETRVAČNOSTI DYNAMIKA Na rozdíl od kinematiky, která se zabývala

Více

Základní škola Moravský Beroun, okres Olomouc

Základní škola Moravský Beroun, okres Olomouc Charakteristika vyučovacího předmětu matematika Vyučovací předmět má časovou dotaci čtyři hodiny týdně v prvním ročníku, pět hodin týdně ve druhém až pátém ročníku, pět hodin týdně v šestém ročníku a čtyři

Více

Školní kolo soutěže Mladý programátor 2013, kategorie C, D

Školní kolo soutěže Mladý programátor 2013, kategorie C, D Doporučené hodnocení školního kola: Hodnotit mohou buď učitelé školy, tým rodičů nebo si žáci, kteří se zúčastní soutěže, mohou ohodnotit úlohy navzájem sami (v tomto případě doporučujeme, aby si žáci

Více

Kreslení obrazů součástí Zobrazování geometrických těles. Zobrazení kvádru

Kreslení obrazů součástí Zobrazování geometrických těles. Zobrazení kvádru Kreslení obrazů součástí Zobrazování geometrických těles Zobrazení kvádru Kreslení obrazů součástí Zobrazování geometrických těles Zobrazení jehlanu s čtvercovou podstavou Kreslení obrazů součástí Zobrazování

Více

Matematický KLOKAN 2005 kategorie Junior

Matematický KLOKAN 2005 kategorie Junior Matematický KLOKAN 2005 kategorie Junior Vážení přátelé, v následujících 75 minutách vás čeká stejný úkol jako mnoho vašich vrstevníků v řadě dalších evropských zemí. V níže uvedeném testu je zadáno čtyřiadvacet

Více

Maturitní témata od 2013

Maturitní témata od 2013 1 Maturitní témata od 2013 1. Úvod do matematické logiky 2. Množiny a operace s nimi, číselné obory 3. Algebraické výrazy, výrazy s mocninami a odmocninami 4. Lineární rovnice a nerovnice a jejich soustavy

Více

Po etní geometrie. Výpo et délky p epony: c 2 = a 2 + b 2 Výpo et délky odv sny: a 2 = c 2 b 2, b 2 = c 2 a 2

Po etní geometrie. Výpo et délky p epony: c 2 = a 2 + b 2 Výpo et délky odv sny: a 2 = c 2 b 2, b 2 = c 2 a 2 Po etní geometrie Pythagorova v ta Obsah tverce nad p eponou je roven sou tu obsah tverc nad ob ma odv snami. Výpo et délky p epony: c = a + b Výpo et délky odv sny: a = c b, b = c a P íklad 1: Vypo t

Více

Aplikované úlohy Solid Edge. SPŠSE a VOŠ Liberec. Ing. Jan Boháček [ÚLOHA 27 NÁSTROJE KRESLENÍ]

Aplikované úlohy Solid Edge. SPŠSE a VOŠ Liberec. Ing. Jan Boháček [ÚLOHA 27 NÁSTROJE KRESLENÍ] Aplikované úlohy Solid Edge SPŠSE a VOŠ Liberec Ing. Jan Boháček [ÚLOHA 27 NÁSTROJE KRESLENÍ] 1 CÍL KAPITOLY V této kapitole si představíme Nástroje kreslení pro tvorbu 2D skic v modulu Objemová součást

Více

Centrovaná optická soustava

Centrovaná optická soustava Centrovaná optická soustava Dvě lámavé kulové ploch: Pojem centrovaná optická soustava znamená, že splývají optické os dvou či více optických prvků. Základním příkladem takové optické soustav jsou dvě

Více

VLNOVÁ OPTIKA. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Optika - 3. ročník

VLNOVÁ OPTIKA. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Optika - 3. ročník VLNOVÁ OPTIKA Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Optika - 3. ročník Vlnová optika Světlo lze chápat také jako elektromagnetické vlnění. Průkopníkem této teorie byl Christian Huyghens. Některé jevy se dají

Více

Vyučovací předmět: CVIČENÍ Z MATEMATIKY. A. Charakteristika vyučovacího předmětu.

Vyučovací předmět: CVIČENÍ Z MATEMATIKY. A. Charakteristika vyučovacího předmětu. Vyučovací předmět: CVIČENÍ Z MATEMATIKY A. Charakteristika vyučovacího předmětu. a) Obsahové, časové a organizační vymezení předmětu Základem vzdělávacího obsahu předmětu Cvičení z matematiky je vzdělávací

Více

ELEKTRICKÝ NÁBOJ A ELEKTRICKÉ POLE

ELEKTRICKÝ NÁBOJ A ELEKTRICKÉ POLE ELEKTRICKÝ NÁBOJ ELEKTRICKÉ POLE 1. Elektrický náboj, elektrická síla Elektrické pole je prostor v okolí nabitých těles nebo částic. Jako jiné druhy polí je to způsob existence hmoty. Elektrický náboj

Více

3.1 Magnetické pole ve vakuu a v látkovén prostředí

3.1 Magnetické pole ve vakuu a v látkovén prostředí 3. MAGNETSMUS 3.1 Magnetické pole ve vakuu a v látkovén prostředí 3.1.1 Určete magnetickou indukci a intenzitu magnetického pole ve vzdálenosti a = 5 cm od velmi dlouhého přímého vodiče, jestliže jím protéká

Více

PRACOVNÍ SEŠIT PLANIMETRIE. 6. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT PLANIMETRIE. 6. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online PRACOVNÍ SEŠIT 6. tematický okruh: PLANIMETRIE vytvořila: RNDr. Věra Effenberger expertka na online přípravu na SMZ

Více

Přehled vzdělávacích materiálů

Přehled vzdělávacích materiálů Přehled vzdělávacích materiálů Název školy Název a číslo OP Název šablony klíčové aktivity Název sady vzdělávacích materiálů Jméno tvůrce vzdělávací sady Číslo sady Anotace Základní škola Ţeliv Novými

Více

Základní provize v systému MLM ZetClub

Základní provize v systému MLM ZetClub Základní provize v systému MLM ZetClub Každý prodejce může pod sebou zaregistrovat dalšího prodejce, ten zas dalšího atd. Každý prodejce, tedy může být buď zaregistrován přímo pod firmou, nebo má nad sebou

Více

Očekávaný výstup Žák zvládne náčrtek a rys jednoduchých hranolů, dosadí do vzorce, účelně použije kalkulátor Speciální vzdělávací žádné

Očekávaný výstup Žák zvládne náčrtek a rys jednoduchých hranolů, dosadí do vzorce, účelně použije kalkulátor Speciální vzdělávací žádné Název projektu Život jako leporelo Registrační číslo CZ.1.07/1.4.00/1.3763 utor Mgr. Martina Smolinková Datum 11. 1. 014 Ročník 9. Vzdělávací oblast Matematika a její aplikace Vzdělávací obor Matematika

Více

MATEMATIKA / 1. ROČNÍK. Strategie (metody a formy práce)

MATEMATIKA / 1. ROČNÍK. Strategie (metody a formy práce) MATEMATIKA / 1. ROČNÍK Učivo Čas Strategie (metody a formy práce) Pomůcky Numerace v oboru do 7 30 pokládání koleček rozlišování čísel znázorňování kreslení a představivost třídění - číselné obrázky -

Více

POČÍTAČOVÁ GRAFIKA VEKTOROVÁ GRAFIKA VÍCENÁSOBNÉ KOPÍROVÁNÍ

POČÍTAČOVÁ GRAFIKA VEKTOROVÁ GRAFIKA VÍCENÁSOBNÉ KOPÍROVÁNÍ POČÍTAČOVÁ GRAFIKA VEKTOROVÁ GRAFIKA VÍCENÁSOBNÉ KOPÍROVÁNÍ VÍCENÁSOBNÉ KOPÍROVÁNÍ Kopírování jednoho prvku je častá činnost v mnoha editorech. Vícenásobné kopírování znamená opakování jednoho prvku v

Více

Hydromechanické procesy Hydrostatika

Hydromechanické procesy Hydrostatika Hydromechanické procesy Hydrostatika M. Jahoda Hydrostatika 2 Hydrostatika se zabývá chováním tekutin, které se vzhledem k ohraničujícímu prostoru nepohybují - objem tekutiny bude v klidu, pokud výslednice

Více