F7 MOMENT SETRVAČNOSTI

Transkript

1 F7 MOMENT ETRVAČNOTI Evropský sociání fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti

2 F7 MOMENT ETRVAČNOTI V této části si spočteme některé jednoduché příkady na rotační pohyby a seznámíme se s někoika užitečnými triky Equation Chapter (Next) ection 1 Kyvado na nehmotném závěsu Příkad 71: Řešte pomocí diferenčního schématu pohyb kyvada s obecnými počátečními podmínkami Zanedbejte hmotnost závěsu, těeso na konci považujeme za maou kuičku Řešení:Vyjděme z pohybové rovnice rotujícího těesa: M F (71) Za moment setrvačnosti dosadíme ze vztahu (69) a za moment síy ze vztahu (61) m mg sin (7) Znaménko minus na pravé straně vyjadřuje, že moment síy je vratnou siou, tedy při vzdaování z rovnovážné poohy působí proti pohybu Rovnici můžeme upravit do standardního tvaru s kesajícím stupněm derivací a s koeficientem 1 u nejvyšší derivace: g sin 0 (73) Povšimněte si, že hmotnost zmizea už dříve jsme se zmínii o tom, že jde o důežitou vastnost gravitačního (tíhového) poe Odvozená rovnice pro kyvado je obyčejná diferenciání rovnice druhého řádu, která je neineární, a proto vemi obtížně řešitená Pro maé rozkmity (přibižně do 5 ) ze funkci sinus nahradit argumentem (sin x x) a rovnice přejde v jednoduchou ineární rovnici g 0, (74) kterou se naučíme řešit později Této aproximaci říkáme matematické kyvado, uvidíme, že vede na harmonické osciace Nyní řešme numericky původní neineární rovnici (73) pro ibovoné rozkmity Nejprve rovnici převedeme na soustavu dvou rovnic prvního řádu: F7-

3 Derivace nahradíme konečnými diferencemi, g n1 n n t n1 n t sin, g sin n (75) (76) a vypočteme nové hodnoty pomocí starých: t, n1 n n g n1 n (sin n) t (77) Z odvozeného diferenčního schématu vypočítáme z hodnoty úhu a úhové rychosti v čase t n nové hodnoty v čase tn1 tn t Trik první ožité neineární výrazy můžeme často nahradit s maou ztrátou přesnosti ineárními výrazy Pro maé argumenty funkcí (x << 1) ze psát sin x x, cos x 1, e x 1+ x, sinh x x, cosh x 1, n(1 + x) x, (1+x) p 1+px, (1+ x) 1+ x, (1+ x) x, (1+ x) 1/ 1+x/, 1/(1 x) 1+ x, 1/(1+ x) 1 x Posedních pět výrazů je jen apikací formuky (1+x) p 1+px Zkuste si nakresit grafy někoika prvních funkcí ejich ineární náhražky jsou rovnice tečen v počátku souřadnic Určeme napříkad sin 3 Argument musíme převést na radiány: sin , Přesná hodnota sin 3 = 0, a iší se od aproximace až ve čtvrté patné čísici F7-3

4 Ždímačka Příkad 7: Ždímačka rotuje s frekvencí f = ot/min Pooměr bubnu je R= 30 cm Při otevření se motor vypne a ždímačka se působením brzdy zastaví za 4 s Po koika otáčkách se zastaví buben? aký je průběh odstředivého zrychení kapesníku na obvodu bubnu? Řešení: Nejprve si zapišme počáteční podmínky úohy, tj počáteční úhovou frekvenci (je dána otáčkami ždímačky) a úhe otočení v čase t = 0: f ; f 5Hz; T 1min 60s 0 0 (78) Nyní sestavíme pohybovou rovnici M F (79) Moment síy na pravé straně bude dán brzdným momentem M, bude působit proti pohybu, proto napíšeme M F = M a provedeme první integraci (rovnice je ineární s konstantní pravou stranou) M M M () t tc1 M () t t c1tc Integrační konstanty určíme z počátečních podmínek ω(0)= ω 0, φ(0) = 0: M () t 0 t; M () t 0t t (710) Zajímá nás situace na konci pohybu, tj v koncovém čase t k = 4 s, kdy bude úhová frekvence již nuová a úhe bude roven koncovému úhu φ k : M 0 0 t k ; 1 M k 0tk tk Z první rovnice můžeme spočítat neznámý podí M / a poté z druhé koncový úhe φ k : (711) M 0 ; t 1 M k 0tk tk 0tk tk 0tk tk Hedaný počet otáček a průběh odstředivého zrychení jsou: k F7-4

5 1 0k t 1 N k/ ftk 50 v ( R) M 0 t n R R tk tk a R R t R t R 1 Buben ždímačky vykoná ještě 50 otáček Odstředivé zrychení bude postupně sábnout z hodnoty Rω 0 na nuu, které dosáhne v koncovém čase t k Moment setrvačnosti obecného těesa Moment setrvačnosti vzhedem k ose jsme zatím zavedi jen pro kuičku na provázku Uvažujme nyní rotaci obecného těesa koem osy Představme si, že toto těeso sožíme z maých eementů o hmotnosti dm (objemu dv) a vzdáenosti od osy otáčení r, které přispějí k cekovému momentu setrvačnosti hodnotou d= r dm Cekový moment setrvačnosti bude součtem (integráem) všech příspěvků: r d m (71) ak zvoíme hmotné eementy v praxi? Nejjednodušší je těeso rozřezat na kousky, jejichž všechny body budou všechny stejně vzdáené od osy otáčení Poté hmotnost těchto eementů vyjádříme jako hustotu násobenou objemem a objem zapíšeme za pomoci vhodného diferenciáu Ukažme si tento postup na jednoduchém příkadu rotující tyče uchycené na konci Příkad 73: Rotující tyč Tyč rozřežeme na svisé řezy (eementy), jak je naznačeno na obrázku eden z řezů jsme vyznačii odišnou barvou, jeho pooha je x Pokud budou tyto svisé řezy infinitezimáně tenké (dx), mají všechny objem dv = dx ( je průřez tyče) Přes tyto řezy budeme integrovat od nuy (evý konec tyče) do (ceková déka tyče): F7-5

6 x dm x dv x dx x dx Nyní vyjádříme hustotu za pomoci cekové hmotnosti tyče m a cekového objemu V 3 3 m m 1 m V Získai jsme známý vztah pro moment setrvačnosti tyče otáčející se koem konce: 3 1 m (713) 3 Poznámky: Pokud by tyč bya kovová a roztavii bychom ji, pak z ní odii koui, a s touto kouí točii na vemi máo hmotném anku, by by moment setrvačnosti roven m, tedy třikrát větší Dobrý setrvačník má hmotnost rozoženou co možná nejdáe od osy otáčení Tím se zvýší jeho moment setrvačnosti (schopnost setrvávat v rotačním stavu pohybu) Moment setrvačnosti má vždy rozměr hmotnost násobené kvadrátem déky e dobré si to u výsedku pokaždé zkontroovat Trik druhý Při výpočtu můžete těeso rozožit na ibovoný počet částí a moment setrvačnosti počítat jako součet momentů jednotivých částí Těeso také můžeme rozděit na infinitezimání eementy, cekový moment setrvačnosti je pak integráem (r je vzdáenost k ose otáčení) k k ; r d m Příkad 74: Naezněte moment setrvačnosti kyvada, jehož závěs ze považovat za tyč se stejnou hmotností m, jako má zavěšené těeso Rozměry těesa zanedbejte Řešení: Výsedný moment setrvačnosti bude součtem momentů závěsu a zavěšeného těesa 1 4 závěs těeso m m m 3 3 Tento moment setrvačnosti bude vystupovat v pohybové rovnici (71) pro kyvado Příkad 75: počtěte moment setrvačnosti rovnostranného pravoúhého trojúheníku, který rotuje koem jedné ze svých odvěsen (mají déku a) Řešení: Trojúheník bude mít pošnou hustotu m m m a / a Rozřežeme ho na eementy rovnoběžné s osou otáčení pode obrázku (hmotný eement vyjádříme pomocí poohy eementu x) dm d yd x( a x)dx F7-6

7 a a a x x x d mx ( ax)dx ax x dx a a a m 4 1 a a a ma a 6 a Moment setrvačnosti zadaného trojúheníku vzhedem k odvěsně je ma /6 Příkad 76: počtěte moment setrvačnosti homogenního váce (koa, kruhu) o pooměru R vzhedem k ose procházející středem Řešení: Kruh rozřežeme na soustředná mezikruží de obrázku F7-7 R R R 4 4 R m R R r dm r d r rdr mr Moment setrvačnosti koue Příkad 77: počtěte moment setrvačnosti homogenní koue hmotnosti m a pooměru R vzhedem k ose procházející středem Řešení: Počítejme napříkad moment setrvačnosti vzhedem k ose z Koui bychom potřebovai rozřezat na soustavu váečků soustředných s osou z (tak, aby body řezů měy stejnou vzdáenost od osy otáčení) Takový postup je sice možný, ae zbytečně sožitý Výpočet provedeme za pomoci jednoduchého triku Vyberme si ibovoný eement uvnitř koue se souřadnicemi (x, y, z) Vzdáenost eementu od osy rotace z bude r, vzdáenost od počátku r:

8 r x y r x y z ; (714) Pro moment setrvačnosti vzhedem k ose z bude patit z d d (715) r m x y m Obdobně můžeme vyjádřit i momenty setrvačnosti vzhedem ke zbývajícím osám: y z d m; x z x d m y (716) Výsedek všech tří integrací musí být stejný (setrvačné vastnosti jsou shodné), tj musí patit x y z (717) Výpočet každého z těchto integráů je sožitý, ae snadno dokážeme spočítat jejich součet Na každý z integráů pak zbude právě jedna třetina výsedku Naezněme tedy součet všech tří momentů setrvačnosti: x y z d d x y z m r m V tomto integráu má r význam kvadrátu vzdáenosti od středu koue Při integraci by tedy byy vhodné množiny, jejichž vzdáenost od středu je konstantní Proto postačí rozřezat ceou koui na mnoho mezikuí o objemech dv = dr = 4πr dr F7-8

9 Násedná integrace je již snadná: R R 4 R r dm r dv r 4r dr 8 r dr 8 5 Za hustotu nyní dosadíme hustotu ceé koue: m R 6 mr R Na moment setrvačnosti vzhedem k jedné jediné (ibovoné) ose zbývá třetina, tj x y z 5 mr (718) Moment setrvačnosti homogenní koue vzhedem k ose procházející středem je 5 mr Trik třetí Při výpočtu momentu setrvačnosti koue vzhedem k ose se vypatí spočíst součet momentů koem všech tří os Vzhedem k tomu, že jsou tyto momenty stejné, připadne na každý z nich třetina výsedku teinerova věta Nejprve si připomeňme definici hmotného středu pro soustavu hmotných bodů a pro spojité těeso: N rkmk dm k1 r r ; r N (719) dm m k1 k de vastně o váhovaný průměr přes hmotnost, ve jmenovatei je ceková hmotnost všech těes nebo těesa Příkad 78: počtěte poohu hmotného středu pro soustavu těes de obrázku (maé kuičky mají hmotnost 1 kg, veké kuičky kg) F7-9

10 Řešení: Počítejme poohu hmotného středu pode vztahu (719): r r m r m r m r m r m m m m m m ; r (0,0); r (1m,m); r (3m,1m); r (4m,1m); r (4m,3m) ouřadnice hmotného středu tedy budou: x y m m, m m Určeme moment setrvačnosti těesa koem obecné osy za pomoci momentu setrvačnosti koem osy vedené hmotným středem, která je s námi zvoenou osou rovnoběžná Hmotný střed bude v počátku souřadnicové soustavy, tj r = (0, 0, 0) ituace je znázorněná na obrázku: Moment setrvačnosti vzhedem k obecné ose můžeme zapsat takto: o ( d r) d m ( dr) dm d dm drdm r dm d dmd rdm r d m První čen je snadno integrovatený, druhý je nuový (integrá v něm vyjadřuje souřadnice hmotného středu, a ty jsou nuové) a třetí čen je momentem setrvačnosti vzhedem k hmotnému středu Máme tedy jednoduchý vztah o md, (70) který se nazývá teinerova věta pode švýcarského matematika akoba teinera ( ) Ze teinerovy věty je patrné, že moment setrvačnosti je nejmenší vzhedem k ose procházející hmotným středem, všechny ostatní momenty jsou větší F7-10

11 Trik čtvrtý Při výpočtu momentu setrvačnosti vzhedem k ose postačí znát moment setrvačnosti vzhedem k ose procházející hmotným středem Všechny ostatní momenty vzhedem k daším rovnoběžným osám získáme přičtením čenu md, kde d je vzdáenost aktuání osy otáčení od osy procházející hmotným středem Příkad 79: počtěte moment setrvačnosti tyče vzhedem k ose procházející hmotným středem a z něho určete moment vzhedem k ose procházející koncem tyče Řešení: Budeme postupovat stejně jako v příkadu 73, jen meze budou jiné: / / / 3 3 m 1 d d /3 / 1 1 / / (71) x m x x x m Nyní za pomoci teinerovy věty určíme moment koem kterékoi rovnoběžné osy, pro konec tyče dostaneme o md m m m m (7) Výsedek je stejný jako při přímém výpočtu v příkadu 73 Příkad 710: počtěte rychost kuičky a poté váce (koa), které se skutáey po nakoněné rovině z výšky H Řešení: Rychost určíme ze zákona zachování energie V bodě A má těeso jen potenciání energii, v bodě B je jeho energie sožena z kinetické energie transačního pohybu hmotného středu a rotačního pohybu vzhedem k hmotnému středu: 1 1 v mgh m 1 1 v ( v/ ) mgh m R F7-11 mgh 1 mv 1 mr