Střední průmyslová škola zeměměřická GEODETICKÉ VÝPOČTY. 1. část. Ing. Jana Mansfeldová

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Střední průmyslová škola zeměměřická GEODETICKÉ VÝPOČTY. 1. část. Ing. Jana Mansfeldová"

Transkript

1 Střední průmyslová škola zeměměřická GEODETICKÉ VÝPOČTY 1. část Ing. Jana Mansfeldová

2 Úvod Tento text je určen pro studenty. až 4. ročníku středních průmyslových škol se zaměřením na geodézii. Jedná se o přepracovanou učebnici Geodetické počtářství do elektronické podoby s ohledem na dnešní technické vybavení a platné předpisy. Nejdůležitější změnou je označení souřadnicových rozdílů a s tím související úprava používaných výpočetních zápisníků. Místo dříve používaných souřadnicových rozdílů y BA = y B y A, x BA = x B x A je nyní používáno y AB = y B y A, x AB = x B x A. Stejné označení je používáno i ve skriptech, které studenti často využívají. Veškeré upravené zápisníky jsou v tomto textu zařazeny jako přílohy. Souhrnný seznam souřadnic daných bodů pro cvičení označená * je uveden v příloze 1. Pro jednodušší zpracování cvičení na PC je vhodné si tyto souřadnice nejprve uložit a pak je využívat v průběhu výpočtů. Tento text bude dle potřeby průběžně aktualizován.

3 Obsah: 1. Základní souřadnicové výpočty Výpočet směrníku a délky Výpočet rajónu Výpočet souřadnic bodů polární metodou Výpočet souřadnic bodů ortogonální metodou Výpočet souřadnic bodů na měřické přímce Výpočet souřadnic bodů na kolmici Polygonové pořady Volný polygonový pořad Připojený a orientovaný Ve vlastní soustavě Vetknutý, oboustranně orientovaný polygonový pořad Vetknutý, jednostranně orientovaný polygonový pořad Nepřímé připojení polygonového pořadu Vetknutý polygonový pořad Uzavřený polygonový pořad Připojený, orientovaný Ve vlastní soustavě Souřadnicové řešení vytyčovacích úloh Vytyčení spojnice AB Prodloužení směru za překážku Transformace souřadnic Polární a pravoúhlé souřadnice Transformace pravoúhlých souřadnic posunutím a pootočením Transformace podobnostní Obecný případ podobnostní transformace Protínání vpřed Protínání vpřed z úhlů Protínání vpřed z orientovaných směrů Protínání z délek Speciální souřadnicové výpočty Hansenova úloha Určení nepřístupné vzdálenosti Krasovského řešení Protínání zpět Výpočet pomocným bodem (Collinsův způsob) Cassiniho řešení Centrační změny Výpočet centračních změn δα na excentrickém stanovisku Výpočet centračních změn δα při excentrickém cíli

4 Přílohy upravené zápisníky 1. Seznam souřadnic. Výpočet směrníků, stran a směrových činitelů 3. Výpočet souřadnic bodů měřických přímek 4. Výpočet souřadnic bodů polygonových pořadů 5. Transformace 6. Protínání vpřed z úhlů 7. Výpočet orientovaných směrů 8. Protínání vpřed z orientovaných směrů 9. Protínání vpřed z délek 10. Protínání zpět 11. Výpočet centračních změn směrů 4

5 1. Základní souřadnicové výpočty 1.1. Výpočet směrníku a délky Známe-li souřadnice dvou bodů (y,x), pak z těchto souřadnic můžeme vypočítat směrník a délku mezi těmito body. Dáno: A,B [y,x] Úkol: σ AB, s AB Obr Směrník je orientovaný úhel, který udává směr spojnice dvou bodů vzhledem k osám souřadnicové soustavy. Směrník v souřadnicové soustavě, jejíž osa +X směřuje k jihu, nazýváme jižník. Směrník označujeme řeckým písmenem σ doplněným indexy čísel bodů. Směrník σ AB strany AB je úhel naměřený na bodě A od rovnoběžky s osou +X ve směru hodinových ručiček až ke straně AB. Směrník σ BA je úhel na bodě B. Mezi oběma směrníky téže strany platí vztah: σ AB = σ BA ± R. Použijeme takové znaménko, aby platilo 0 σ 4R. Postup výpočtu: Velikost směrníku záleží na vzájemné poloze bodů A a B. Nabývá hodnot od 0 do 4R, může tedy ležet v prvním až čtvrtém kvadrantu.pro výpočet směrníku musíme vypočítat tzv. souřadnicové rozdíly. Souřadnicový rozdíl je rozdíl souřadnic dvou bodů a označujeme ho řecký písmenem doplněným indexy čísel bodů: y AB = y B - y A x AB = x B - x A. Souřadnicové rozdíly nabývají různých znamének. Směrník vypočteme pomocí úhlu φ, což je ostrý úhel při vrcholu A (obr.1.1.1). Pro všechny kvadranty platí: tgφ = y x AB AB 5

6 Výpočet směrníku v jednotlivých kvadrantech (obr.1.1.): 1. směrník leží v prvním kvadrantu, tj. y AB > 0 a x AB > 0 potom: σ AB = φ.. směrník leží ve druhém kvadrantu, tj. y AB > 0 a x AB < 0 potom: σ AB = R - φ. 3. směrník leží ve třetím kvadrantu, tj. y AB < 0 a x AB < 0 potom: σ AB = R + φ. 4. směrník leží ve čtvrtém kvadrantu, tj. y AB < 0 a x AB > 0 potom: σ AB = 4R - φ. Obr

7 Kvadrant y x σ I + + σ = φ II + - σ = R - φ III - - σ = R + φ IV - + σ = 4R φ Celý výpočet můžeme provést ve výpočetním formuláři (ve starším typu i s tzv. směrníkovou zkouškou). Délka strany AB se vypočte jako přepona v pravoúhlém trojúhelníku. Vypočtená délka je vodorovná a budeme ji označovat písmenem s doplněným indexy čísel tj s AB. s AB = y + AB x AB V dnešní době používáme kapesní kalkulátory, které jsou vybaveny převodem pravoúhlých souřadnic (souřadnicových rozdílů) na polární souřadnice (směrník a délku). Převody jsou označeny na různých kalkulátorech různými tlačítky, proto si musíme pozorně přečíst návod pro daný kalkulátor. Před výpočtem směrníku nesmíme zapomenout nastavit požadovanou úhlovou míru. Příklad Vypočtěte jižník σ 4-73 a délku strany s, jsou-li dány souřadnice koncových bodů: 73 (y = ,47, x = ,95), 4 (y = ,81, x = ,84). Nejprve vypočteme souřadnicové rozdíly: y 4-73 = +55,66 m x 4-73 = -367,89 m Potom vypočteme pomocný úhel: y4 73 tgφ = x 4 73 φ = 38,6631 g. Podle tabulky (viz. výše) se hledaný jižník bude nacházet ve druhém kvadrantu, tedy: σ 4-73 = R φ = 161,3369 g. Délku vypočteme podle Pythagorovy věty: s = y + x = 448,00 m. 7

8 Příklad 1.1. Vypočtěte směrníky σ , σ , délky stran s , s a úhel ω (obr.1.1.3). Jsou dány souřadnice bodů: ČB Y X , , , , , ,6 Postup výpočtu: Vypočteme oba směrníky na bodě 103. Nejprve vypočteme souřadnicové rozdíly. y = - 740,18 m x = ,6 m Směrník σ tedy leží ve třetím kvadrantu. σ = R + 31,7377 g = 31,7377 g, s = 1548,04m. y = +1866,51 m x = - 53,56 m Směrník σ tedy leží ve druhém kvadrantu. σ = R 98,1737 g = 101,863 g, s = 1867,8m. Obr Vrcholový úhel vypočteme jako rozdíl dvou směrů (pravé rameno úhlu mínus levé rameno úhlu): ω = σ σ =101,863 g 31,7377 g + 4R = 70,0886 g. Výpočet směrníků a délek můžeme provést ve výpočetním formuláři i se směrníkou zkouškou. Při výpočtu s je větší nesouhlas ve vypočtené straně. Délku strany vypočteme Pythagorovou větou. Správná délka je 1 867,8 m vypočtená z většího souřadnicového rozdílu. Délku 1 867,18 m považujeme za kontrolní. 8

9 VÝPOČET SMĚRNÍKŮ, STRAN A SMĚROVÝCH SOUČINITELŮ Př.1.1. B YB XB XB + YB XB - YB tg ϕ = Y X AB AB tg ψ = p q A YA XA XA + YA XA - YA cotg ϕ = X Y AB AB cotg ψ = q p YAB XAB σab = YAB = YB - YA XAB = XB - XA p = XAB + YAB q = XAB - YAB ϕ ψ ρsin ϕ ρcosϕ + + = ϕ sin ϕ cos ϕ a = b = g c cc g c cc s s - - = R + ϕ YAB XAB s = s = = sin ϕ cos ϕ Y + X AB (1) () (3) (4) (5) (6) (7) , , , ,60 0, , , , ,04 0,95000 Předepsal: -740, ,6-099,80-619,44 Vypočetl: 0, , AB a = b tgϕ kontr. b = a cotgϕ σab kontrola: 103 Předepsal: , , , , , ,97 0, , , , ,04 0, ,51-53, , ,07 Vypočetl: 0, , , , , Cvičení: * Vypočtěte všechny možné kombinace směrníků a délky stran mezi body: ČB Y X , , , , , , , , , , , , , ,48 9

10 1.1.. Jsou dány souřadnice trigonometrických bodů, vypočtěte úhly ω (obr.1.1.4). ČB Y X , , , , , , , ,95 Obr

11 1.. Výpočet rajónu Výpočtem rajónu rozumíme úlohu, ve které určujeme souřadnice koncového bodu úsečky dané souřadnicemi počátečního bodu, směrníkem a délkou. Dáno: P [y,x], σ PK, s PK Úkol: K [y,x] Obr.1..1 Postup výpočtu: Souřadnice bodu K vypočteme součtem zadané souřadnice a příslušného souřadnicového rozdílu, který vypočteme z pravoúhlého trojúhelníka: y K = y P + y PK = y P + s PK.sin σ PK, x K = x P + x PK = x P + s PK.cos σ PK. Souřadnicové rozdíly mají znaménko + nebo -, záleží na velikosti směrníku. Směrník sin cos y x v kvadrantu σ σ I II III IV V dnešní době používáme kapesní kalkulátory, které jsou vybaveny převodem polárních souřadnic (směrník a délka) na pravoúhlé souřadnice (souřadnicové rozdíly). Převody jsou označeny na různých kalkulátorech různými tlačítky, proto si musíme pozorně přečíst návod pro daný kalkulátor. Před výpočtem nesmíme zapomenout nastavit požadovanou úhlovou míru. Příklad 1..1 Vypočtěte souřadnice bodu 534, je-li dáno: 33 (y = ,74, x = ,63), σ = 373,5036 g, s = 115,65m. 11

12 Nejprve vypočteme souřadnicové rozdíly: y = s sin σ = -46,76 m, x = s cos σ = +105,78 m. Potom: y 534 = y 33 + y = ,98 m x 534 = x 33 + x = ,41 m. V praxi většinou neznáme přímo potřebný směrník, ale známe další bod v souřadnicích, jehož směrník můžeme vypočítat. Změříme úhel mezi daným bodem a bodem určovaným. Z toho pak vypočteme hledaný směrník. V případě určování bodů PBPP pomocí rajónu, by měla být orientace provedena na dva body ZBPP nebo PBPP a hledaný směrník se vypočítá tzv. orientací osnovy (viz.kap.6.). Příklad 1.. Vypočtěte souřadnice bodu 401, který je zaměřen z bodu 343 s orientací na bod 181. Byl naměřen úhel ω a vzdálenost s (obr.1..). ČB Y X , , , ,90 ω = 1,1570 g s = 113,78 m. Nejprve vypočteme σ = 387,7091 g, potom vypočteme σ = σ ω (-4R), σ = 199,8661 g. Nyní vypočteme souřadnice: y 401 = y s sin σ = ,10 m x 401 = x s cos σ = ,1 m. Obr.1.. Cvičení: Vypočtěte souřadnice bodu 4101 pokud znáte: 13 (y = ,45, x = ,45) a) σ = 55,3475 g, s = 145,78 m, b) σ = 155,3475 g, s = 145,78 m, c) σ = 55,3475 g, s = 145,78 m, d) σ = 355,3475 g, s = 145,78 m. Proveďte náčrt bodů. 1

13 1..* Vypočtěte souřadnice bodu 4001, který je zaměřen z bodu 181 s orientací na bod 343. Byl naměřen úhel ω a vzdálenost s (obr.1..3). ČB Y X , , , ,90 ω = 31,1570 g s = 13,78m. Obr

14 . Výpočet souřadnic bodů polární metodou Polární metoda je nejčastější způsob určování souřadnic podrobných bodů. Každý bod je určen polárními souřadnicemi, tj. úhlem a délkou. Úhel je měřen na stanovisku od orientačního směru po určovaný bod. Jedná se tedy o výpočet rajónu, který jsme si vysvětlili v předchozí kapitole. Měřené hodnoty se zapisují do zápisníku podrobného měření. V této kapitole budeme počítat pouze body měřené na pevném stanovisku (známe jeho souřadnice). Volné stanovisko viz. kap. 5. Příklad.1 Vypočtěte souřadnice podrobných bodů 1,,3 zaměřených na stanovisku 4001 (obr..1). ČB Y X , , , ,3 Obr..1 Výpis ze zápisníku měřených hodnot: Typ úlohy Číslo bodu Vzdálenost Úhel [m] [g] ,46 0, ,67 46,78 45,08 78, ,1 156,1 Nejprve vypočteme směrník σ a zkontrolujeme délku: σ = 104,8875 g s-vypočtená = 156,46 m (rozdíl je v přípustných mezích). Souřadnice podrobných bodů vypočteme podle předchozí kapitoly nebo využijeme zápisník pro polygonové pořady. (Př..1) VÝPOČET SOUŘADNIC BODŮ POLYGONOVÝCH POŘADŮ Str.: Př..1 Číslo pořadu Číslo bodu Úhly a úhlové vyrovnání Směrníky σ Strany s Souřadnice a souřadnicové vyrovnání g c cc g c cc m Y X (1) () (3) (4) (5) (6) (7) (8) , , ,67 10,79-11, , , ,08 11,34-43, , , ,1-31,19-1, , ,40 14

15 Příklad. Vypočtěte souřadnice podrobných bodů 1,,3,4 zaměřených ze stanoviska 103 (obr..). ČB Y X , , , ,79 Výpis ze zápisníku měřených hodnot: Typ úlohy Číslo bodu Vzdálenost Úhel [m] [g] , ,53 18,88 44,6 18, ,18 37, ,85 5,77 Při výpočtu musíme vzít v úvahu, že na orientaci nebyla nastavena přesná nula, proto musíme od všech úhlů odečíst čtení na bod 51. Výpočet můžeme opět provést v zápisníku pro výpočet polygonového pořadu (Př..). Obr.. VÝPOČET SOUŘADNIC BODŮ POLYGONOVÝCH POŘADŮ Str.: Př.. Číslo pořadu Číslo bodu Úhly a úhlové Směrníky Strany Souřadnice a souřadnicové vyrovnání σ s vyrovnání g c cc g c cc m Y X (1) () (3) (4) (5) (6) (7) (8) , , ,53 33,46 7, , , ,6 33,46-8, , , ,18 18,13-8, , , ,85 18,13-54, , ,88 15

16 Cvičení:.1.* Vypočtěte souřadnice bodů 1,,3,4,5 zaměřených polární metodou. Veškeré údaje jsou ve výpisu ze zápisníku. Výpis ze zápisníku měřených hodnot: Typ úlohy Číslo bodu Vzdálenost [m] Úhel [g] ,80 1,50 1 5,17 3,08 34,77 55, ,18 80, ,1 91, ,08 317,49 ČB Y X , , , ,7..* Vypočtěte souřadnice bodů 1,,3,4,5 zaměřených polární metodou. Nakreslete náčrt bodů, zkontrolujte oměrné a vypočtěte výměru vzniklého obrazce. Je dán výpis ze zápisníku podrobného měření: Typ úlohy Číslo bodu Vzdálenost [m] Úhel [g] , ,6 4,63 58,9 94, ,5 17,74 4 7,04 09, ,1 84,67 ČB Y X , , , , , , ,0 5 73, ,10 16

17 3. Výpočet souřadnic bodů ortogonální metodou Díky rychlému technickému rozvoji měřických přístrojů (totální stanice) je ortogonální metoda dnes již méně využívána. Tuto úlohu můžeme rozdělit do dvou částí. Nejprve na výpočet bodů na měřické přímce a poté na body na kolmici. (V této části se nebudeme zabývat volnou měřickou přímkou viz. kap.5.) 3.1. Výpočet souřadnic bodů na měřické přímce Poloha bodů 1,,3 na měřické přímce je určena staničením, tj. vzdáleností od počátku P. Dáno: P,K [y,x] Měřeno: s Úkol: 1,,3 [y,x] Obr. 3.1 Postup výpočtu: a) Změřenou délku s m PK porovnáme s délkou vypočtenou ze souřadnic, musí platit: O s s, kde O s = s PK - s m PK, s budeme používat mezní odchylku pro dvojí měření pásmem tj. s = 0,01 s + 0,0. b) Nyní budeme předpokládat, že všechny délky jsou měřeny se stejnou přesností jako délka konečná, proto je třeba pro další výpočty měřené délky přepočítat ve stejném poměru tj. v si spk =, pro jednotlivé výpočty budeme používat konkrétní s v m m i. si spk c) Souřadnice bodu 1 vypočteme pomocí rajónu: y 1 = y P + x 1 = x P + s sinσ y sin σ =, v, PK 1 PK PK spk v s 1 cosσ, xpk PK cos σ PK =. spk 17

18 Po dosazení: m spk ypk y 1 = y P + s1, m spk spk m spk xpk x 1 = x P + s1, m spk spk tj. m ypk y 1 = y P + s1, m spk m xpk x 1 = x P + s1. spk Označíme-li: y PK xpk = k m y a = k m x, spk spk kde k y i k x jsou pro jednu měřickou přímku konstantní, můžeme potom psát: y i = y P + x i = x P + s k, m i m i y s k. x Celý výpočet můžeme provést ve formuláři. Body Vzdálenosti dané určované náčrt. č. Výpočet souřadnic bodů měřických přímek Souřadnice dané Body Vzdálenosti Souřadnice s y x s y x (1) () (3) (4) (5) (6) (1) () (3) (4) (5) (6) určované náčrt. č. P y P x P s 1 m s 1 m.k y s 1 m.k x 1 y 1 x 1 s m s m.k y s m.k x y x K s PK m y K x K s PK y PK x PK o s s k y k x 18

19 Příklad 3.1 Vypočtěte souřadnice bodů 4331,433,4333 na měřické přímce (obr.3.). CB Y X , , , ,50 Obr.3. Výpočet provedeme ve formuláři: Výpočet souřadnic bodů měřických přímek Př.3.1 Body Vzdálenosti dané určované náčrt. č. Souřadnice dané Body Vzdálenosti určované náčrt. č. Souřadnice s y x s y x (1) () (3) (4) (5) (6) (1) () (3) (4) (5) (6) , ,15 19,07 7,64 17, , ,61 9,58 11,85 7, , , 66,68 6,71 61, , , , , ,50 s PK =115,00 y PK =+46,11 x PK =+105,35 o s = -0,10 s =±0,13 k y =+0, k x =+0,

20 3.. Výpočet souřadnic bodů na kolmici Poloha bodů 1, je určena ortogonálními souřadnicemi, tj. staničením a kolmicemi. Dáno: P,K [y,x] Měřeno: s, k Úkol: 1, [y,x] Obr.3.4 Bod 1 leží vpravo od měřické přímky a bod leží vlevo. Paty kolmic jsou označeny 1 a. Postup výpočtu: a) Souřadnice bodů 1 a vypočteme jako body na měřické přímce (odst. 3.1). b) Souřadnice bodu 1 vypočteme z rovnic pro rajón s počátkem v 1 (obr.3.4), stejně jako u bodu na měřické přímce dosadíme do rovnice k v 1 (opravené v příslušném poměru). v ki spk =, m m ki spk y 1 = y 1 + k v 1.sin(σ PK +R), x 1 = x 1 + k v 1.cos(σ PK +R), tj. y 1 = y 1 + k v 1.cosσ PK = y P + m m spk xpk s1 k y + k1 = y m P + s m 1 k y + k m 1 k x, s s x 1 = x 1 - k v 1.sinσ PK = x P + m m spk ypk s1 k x - k1 = x m P + s m k x k spk spk c) Souřadnice bodu vypočteme z rovnic pro rajón s počátkem v (obr.3.4). PK PK k 1 - m 1 y. tj. y = y + k v.sin(σ PK +3R), x = x + k v.cos(σ PK +3R), y = y - k v.cosσ PK = y P + s k m y - m s xpk k = y P + s m k y s s PK m PK PK - k m k x, 0

21 x = x + k v.sinσ PK = x P + m m spk ypk s k x + k = x m P + s m k x + k m k y. spk spk Pokud dodržíme pravidlo, že kolmice vlevo je záporná, pak můžeme napsat obecnou rovnici pro všechny body: y i = y P + x i = x P + m m si k y + i k x k, k k. m m si k x - i y Výpočet můžeme provést ve formuláři. Výpočet souřadnic bodů měřických přímek dané Body určované Vzdálenosti náčrt. č. Souřadnice dané Body určované Vzdálenosti náčrt. č. Souřadnice s y x s y x (1) () (3) (4) (5) (6) (1) () (3) (4) (5) (6) P y P x P m s 1 s m 1.k y s m 1.k x m k 1 k m 1.k x -k m 1.k y 1 y 1 x 1 m s m k s m.k y s m.k x k m.k x -k m.k y y x K s PK m y K x K s PK y PK x PK o s s k y k x Příklad 3. Vypočtěte souřadnice bodů 1,,3 zaměřených ortogonální metodou (obr.3.5). ČB Y X , , , ,10 Obr.3.5 1

22 Celý výpočet je ve formuláři. Výpočet souřadnic bodů měřických přímek Př.3. Body Vzdálenosti dané určované náčrt. č. Souřadnice dané Body Vzdálenosti určované náčrt. č. Souřadnice s y x s y x (1) () (3) (4) (5) (6) (1) () (3) (4) (5) (6) , ,4 5,1 30,31-4,35-3,10 6,08 18, , ,74 73,8 4,61-59,55 3,03-6,03-18, , ,4 98,87 57,50-80,34-39,1 31,79, , , , , ,10 s PK =141,81 y PK =+8,53 x PK =-115,3 o s = -0,11 s =±0,14 k y =+0,58155 k x =-0,81570 Cvičení: 3.1. Je dán náčrt měřické sítě (obr.3.6) a souřadnice polygonových bodů: ČB Y X , , , , , , , ,50 Vypočtěte souřadnice měřických bodů: a) 1,, b) 3, c) 4,5,6, d) 7, e) 8,9,10, f) 11, g) 1,13, h) průsečíky se sekčními čarami p1, p, p3, p Podrobný bod 43 byl zaměřen ze dvou měřických přímek (obr.3.7). Zjistěte, zda výsledky obojího zaměření souhlasí. CB Y X , , , , , , , ,93

23 Obr.3.6 Obr.3.7 3

24 3.3.* Vypočtěte souřadnice bodů 11,1,13,14,15 zaměřených ortogonální metodou. Nakreslete náčrt bodů, porovnejte oměrné a vypočtěte výměru vzniklého uzavřeného obrazce. Je dán výpis ze zápisníku podrobného měření: Typ úlohy Číslo bodu Staničení Kolmice ,00 0,00 16,0 0, ,05-10, ,84 1, ,93-15, ,06 18, ,73-5,0 ČB Y X , , , , , , ,45 1 9, ,5 4

25 4. Polygonové pořady Polygonový pořad je lomená čára spojující dva měřické body. Vrcholy lomené čáry nazýváme polygonové body, spojnice polygonových bodů tvoří polygonové strany. V polygonovém pořadu se měří levostranné úhly a délky polygonových stran. Levá strana se posuzuje podle směru výpočtu. Polygonové pořady jsou jednou z metod určujících souřadnice bodů podrobného bodového pole. Požadavky na měření, geometrické parametry a kritéria přesnosti polygonových pořadů jsou náplní předmětu Geodézie. Rozdělení polygonových pořadů: - volný polygonový pořad - vetknutý a oboustranně orientovaný polygonový pořad, - vetknutý a jednostranně orientovaný polygonový pořad, - vetknutý polygonový pořad, - uzavřený polygonový pořad Volný polygonový pořad Připojený a orientovaný Z bodu P o známých souřadnicích můžeme určit souřadnice dalších bodů tak, že zacílíme na bod Q, kde známe σ PQ nebo jej můžeme vypočítat. Na bodě P změříme úhel ω P a stranu s P1. Souřadnice bodu 1 vypočteme pomocí rajónu (viz.kap. 1). Obdobně můžeme pokračovat dál, na bodě 1 změříme úhel ω 1 a stranu s 1 a vypočteme souřadnice bodu. Následně vypočteme souřadnice bodu K. Koncový bod K není vázán žádnými podmínkami, proto mluvíme o volném polygonovém pořadu. Polohové připojení znamená,že známe souřadnice počátečního bodu, orientace pořadu je dána známým směrníkem σ PQ a úhelem ω P. Budeme-li určovat levostranné úhly ze zápisníku, vypočteme je jako rozdíl směrů, kdy od směru na bod vpřed odečtu směr na bod vzad. Celý výpočet se tedy bude skládat z výpočtu několika na sebe navazujících rajónů. Podle platných norem by volný polygonový pořad neměl mít více než tři nové vrcholy a neměl by být delší než 50 m. Abychom lépe látku procvičili, nejsou v tomto učebním textu vždy tyto podmínky dodrženy. 5

26 Dáno: P,Q [y,x] Měřeno: s, ω Úkol: 1,,K [y,x] Obr Postup výpočtu: U všech rajónů vypočteme nejdříve směrníky σ, potom všechny souřadnicové rozdíly y a x a nakonec souřadnice všech polygonových bodů. 1. Výpočet směrníků: σ P1 = σ PQ + ω P σ 1 = σ P1 + ω 1 R σ K = σ 1 + ω R Směrník první polygonové strany σ P1 se rovná připojovacímu směrníku σ PQ zvětšenému o orientační úhel ω P (pokud je σ P1 >4R, odečteme 4R). Směrník každé další polygonové strany se rovná směrníku strany předcházející zvětšenému o levostranný vrcholový úhel a zmenšenému o R (pokud je σ<0, přičteme 4R). Kontrola výpočtu směrníků: σ P1 = σ PQ + ω P σ 1 = σ P1 + ω 1 R σ K = σ 1 + ω R tj. σ K = σ PQ + [ω].r. Obecně platí, že směrník poslední polygonové strany se rovná připojovacímu směrníku zvětšenému o součet levostranných vrcholových úhlů a zmenšenému o příslušný počet R. σ nk = σ PQ + [ω] i.r. Číslo i je rovno počtu vrcholových úhlů mimo ω P.. Výpočet souřadnicových rozdílů: y P1 = s P1.sinσ P1 x P1 = s P1.cosσ P1 y 1 = s 1.sinσ 1 x 1 = s 1.cosσ 1 y K = s K.sinσ K x K = s K.cosσ K. 6

27 3. Výpočet souřadnic polygonových bodů: y 1 = y P + y P1 x 1 = x P + x P1 y = y 1 + y 1 x = x 1 + x 1 y K = y 1 + y K x K = x + x K. Kontrola výpočtu souřadnic: y K = y P + [ y] x K = x P + [ x]. Příklad Vypočtěte souřadnice polygonových bodů 1,,K, jsou-li dány souřadnice bodu P (y = ,56 m, x = ,1 m), měřené délky a úhly a připojovací směrník σ PQ (obr.4.1.). ω P = 77,7560 g ω 1 = 194,5080 g ω = 187,4550 g s P1 = 78,43 m s 1 = 85,54 m s K = 67,39 m σ PQ = 50,5753 g Obr.4.1. Celý výpočet provedeme v tiskopisu (Př.4.1.1).Nejprve vyplníme sloupce,3 a 5 a ve sloupcích 7,8 zapíšeme souřadnice bodu P. Potom vypočteme jednotlivé směrníky ve sloupci 4 a poslední směrník překontrolujeme. Následně vypočteme souřadnicové rozdíly ve sloupcích 7,8 (píšeme doprostřed), nakonec vypočteme výsledné souřadnice v sl. 7,8 (silně orámovaná spodní část řádku pro bod) a zkontrolujeme souhlas souřadnicových rozdílů. 7

28 Str.: Př VÝPOČET SOUŘADNIC BODŮ POLYGONOVÝCH POŘADŮ Číslo pořadu Číslo bodu Úhly a úhlové Směrníky Strany Souřadnice a souřadnicové vyrovnání vyrovnání σ s g c cc g c cc Y X (1) () (3) (4) (5) (6) (7) (8) P , ,1 1 K ,43 70,79-33, , , ,54 80,09-30, , , ,39 66,51-10, , ,48 Má být y = 17,39 x = -74,64 [ y ]= 17,39 [ x ]= -74,64 Jest Příklad 4.1. Vypočtěte souřadnice polygonových bodů 158, 159, 160. Pořad vychází z bodu 19 s orientací na bod 18 (obr.4.1.3). Bod 19 (y = ,76 x = ,94). ω 19 = 110,530 g ω 158 = 15,3450 g ω 159 = 171,350 g s = 138,11 m s = 14,74 m s = 114,95 m σ = 88,1518 g Výpočet je proveden ve formuláři (Př.4.1.). Obr

29 VÝPOČET SOUŘADNIC BODŮ POLYGONOVÝCH POŘADŮ Str.: Př.4.1. Číslo pořadu Číslo bodu Úhly a úhlové vyrovnání Směrníky σ Strany s Souřadnice a souřadnicové vyrovnání g c cc g c cc Y X (1) () (3) (4) (5) (6) (7) (8) , , ,11 -,86 138, , , ,74 31,0 139, , , ,95-6,37 111, , ,19 Má být y = 1,97 x = 389,5 [ y ]= 1,97 [ x ]= 389,5 Jest Ve vlastní soustavě V praxi se někdy vyskytuje volný polygonový pořad, který není ani na počátečním, ani na koncovém bodě polohově připojen a ani orientován. Známe pouze délky stran a levostranné vrcholové úhly. Úlohu proto počítáme ve vlastní soustavě, kde zpravidla za počátek soustavy volíme první polygonový bod a osu +X vkládáme do první polygonové strany. Obr

30 Příklad Vypočtěte souřadnice polygonových bodů P,1,,3,4,K ve vlastní souřadnicové soustavě podle obr ω 1 = 3,337 g ω = 64,7306 g ω 3 = 164,796 g ω 4 = 7,7113 g Obr s P1 = 100,93 m s 1 = 11,31 m s 3 = 88,70 m s 34 = 18,05 m s 4K = 116,3 m Výpočet je proveden ve formuláři (Př.4.1.3). Str.: Př VÝPOČET SOUŘADNIC BODŮ POLYGONOVÝCH POŘADŮ Číslo Úhly a úhlové Směrníky Strany Souřadnice a souřadnicové Číslo vyrovnání σ s vyrovnání bodu g c cc g c cc Y X (1) () (3) (4) (5) (6) (7) (8) pořadu P K 0,00 0, ,93 0,00 100, ,00 100, ,31 54,47 98, ,47 199, ,70 88,60 4, ,07 03, ,05 105,05 73, ,1 76, ,3 114,57 0,08 36,69 96,69 Má být y = 36,6 x = 96,69 [ y ]= 36,69 [ x ]= 96,69 Jest

31 Cvičení: * Vypočtěte souřadnice polygonových bodů 4101, 410, 4103, je-li počátečním bodem pořadu bod 111. Pořad je orientován na bod 7 (obr.4.1.6). Obr ČB Y X , , , ,1 ω 111 = 166,5383 g ω 4101 = 194,506 g ω 410 = 08,0463 g s = 98,43 m s = 75,54 m s = 68,65 m * Vypočtěte souřadnice polygonových bodů 4104, 4105, Pořad začíná na bodě 30, orientace je na bod 185 (obr.4.1.7). CB Y X , , , ,70 ω 30 = 110,530 g ω 4104 = 15,3450 g ω 4105 = 171,350 g s = 88,11 m s = 7,74 m s = 84,95 m Obr * Vypočtěte souřadnice polygonových bodů 4107, 4108, 4109, 4110, 4111, 411. Pořad je připojen na bod 8 a orientován na bod 111 (obr.4.1.8). 31

32 Zápisník měřených úhlů a vzdáleností Číslo Výsledná Vodorovné úhly vzdálenost průměr redukovaný s průměr g c cc m cm (1) () (3) (4) (5) (6) I II stanoviska cílového bodu Řada I 4107 II I 8 II I 4108 II I 4107 II I 4109 II I 4108 II I 4110 II I 4109 II I 4111 II I 4110 II I 411 II ČB Y X , , , ,69 Obr Při zaměření sklepních prostorů byl zvolen polygonový pořad připojený na povrchu na polygonovou stranu (obr.4.1.9). ČB Y X , , , ,96 Obr ω 86 = 84,984 g ω 1011 = 95,049 g ω 101 = 76,654 g ω 1013 = 118,351 g ω 1014 = 111,38 g s = 14,585 m s = 13,906 m s = 8,973 m s = 15,065 m s = 16,987 m 3

33 V polygonovém pořadu jsou dány levostranné úhly a délky polygonových stran. Vypočtěte polygonový pořad ve vlastní soustavě (obr ). ω 1 = 161,301 g ω = 10,653 g ω 3 = 170,981 g ω 4 = 153,086 g ω 5 = 08,379 g s P1 = 10,04 m s 1 = 119,38 m s 3 = 109,76 m s 34 = 15,39 m s 45 = 84,06 m s 5K = 86,97 m Obr

34 4.. Vetknutý, oboustranně orientovaný polygonový pořad Nejčastěji se vyskytuje takový polygonový pořad, u kterého známe souřadnice počátečního i koncového bodu a známe orientaci na počátečním i koncovém bodě pořadu. Měříme délky polygonových stran a levostranné úhly. Podle dřívějšího označení se tento polygonový pořad nazýval oboustranně připojený, oboustranně orientovaný. Dáno: P,K,Q,M [y,x] Měřeno: s, ω Úkol: 1,,3 [y,x] Obr.4..1 Vypočteme-li u tohoto pořadu souřadnice bodu K, měly by souhlasit se souřadnicemi danými. Protože měřené délky a úhly jsou zatíženy nevyhnutelnými chybami, liší se vypočtené souřadnice koncového bodu od souřadnic daných, tj. při výpočtu se dostaneme do bodu K místo do daného bodu K. Abychom tento nesouhlas odstranili, musíme provést úhlové a souřadnicové vyrovnání. Postup výpočtu: 1. Úhlové vyrovnání: σ P1 = σ PQ + ω P σ 1 = σ P1 + ω 1 R σ 3 = σ 1 + ω R σ 3K = σ 3 + ω 3 R σ KM = σ KM + ω K R σ KM = σ PQ + [ω] 4.R. σ KM porovnáme s daným směrníkem σ KM, O ω = σ KM - σ KM. Rozdíl O ω se nazývá úhlová odchylka. Tato odchylka nesmí překročit tzv. mezní úhlovou odchylku ω. Velikost této odchylky je dána přesností počítaných bodů. V našich případech budeme používat 34

100 1500 1200 1000 875 750 675 600 550 500 - - 775 650 550 500 450 400 350 325 - -

100 1500 1200 1000 875 750 675 600 550 500 - - 775 650 550 500 450 400 350 325 - - Prostý kružnicový oblouk Prostý kružnicový oblouk se používá buď jako samostatné řešení změny směru osy nebo nám slouží jako součást směrové změny v kombinaci s přechodnicemi nebo složenými oblouky. Nejmenší

Více

Ukázka hustoty bodového pole

Ukázka hustoty bodového pole Ing. Pavel Hánek, Ph.D. hanek00@zf.jcu.cz síť bodů pokrývající území ČR u bodů jsou známé souřadnice Y, X v S-JTSK, případně souřadnice B, L v ERTS pro každý bod jsou vyhotoveny geodetické údaje (GÚ) ukázka

Více

Podrobné polohové bodové pole (1)

Podrobné polohové bodové pole (1) Podrobné polohové bodové pole (1) BUDOVÁNÍ NEBO REVIZE A DOPLNĚNÍ PODROBNÉHO POLOHOVÉHO BODOVÉHO POLE Prohloubení nabídky dalšího vzdělávání v oblasti Prohloubení nabídky zeměměřictví dalšího vzdělávání

Více

β 180 α úhel ve stupních β úhel v radiánech β = GONIOMETRIE = = 7π 6 5π 6 3 3π 2 π 11π 6 Velikost úhlu v obloukové a stupňové míře: Stupňová míra:

β 180 α úhel ve stupních β úhel v radiánech β = GONIOMETRIE = = 7π 6 5π 6 3 3π 2 π 11π 6 Velikost úhlu v obloukové a stupňové míře: Stupňová míra: GONIOMETRIE Veliost úhlu v oblouové a stupňové míře: Stupňová míra: Jednota (stupeň) 60 600 jeden stupeň 60 minut 600 vteřin Př. 5,4 5 4 0,4 0,4 60 4 Oblouová míra: Jednota radián radián je veliost taového

Více

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy 5 Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy Trojúhelník: Trojúhelník je definován jako průnik tří polorovin. Pojmy: ABC - vrcholy trojúhelníku abc - strany trojúhelníku ( a+b>c,

Více

Základním úkolem při souřadnicovém určování polohy bodů je výpočet směrníků a délky strany mezi dvěma body, jejichž pravoúhlé souřadnice jsou známé.

Základním úkolem při souřadnicovém určování polohy bodů je výpočet směrníků a délky strany mezi dvěma body, jejichž pravoúhlé souřadnice jsou známé. 1 Určování poloh bodů pomocí souřadnic Souřadnicové výpočt eodetických úloh řešíme v pravoúhlém souřadnicovém sstému S-JTSK, ve kterém osa +X je orientována od severu na jih a osa +Y od východu na západ.

Více

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel. 5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených

Více

Geodézie a pozemková evidence

Geodézie a pozemková evidence 2012, Brno Ing.Tomáš Mikita, Ph.D. Geodézie a pozemková evidence Přednáška č.5 Metody výškového měření, měření vzdáleností, měřické přístroje Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické

Více

Teorie sférické trigonometrie

Teorie sférické trigonometrie Teorie sférické trigonometrie Trigonometrie (z řeckého trigónon = trojúhelník a metrein= měřit) je oblast goniometrie zabývající se praktickým užitím goniometrických funkcí při řešení úloh o trojúhelnících.

Více

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2.

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2. Kapitola 2 Přímková a rovinná soustava sil 2.1 Přímková soustava sil Soustava sil ležící ve společném paprsku se nazývá přímková soustava sil [2]. Působiště všech sil m i lze posunout do společného bodu

Více

Přípravný kurz k vykonání maturitní zkoušky v oboru Dopravní stavitelství. Ing. Pavel Voříšek MĚŘENÍ VZDÁLENOSTÍ. VOŠ a SŠS Vysoké Mýto leden 2008

Přípravný kurz k vykonání maturitní zkoušky v oboru Dopravní stavitelství. Ing. Pavel Voříšek MĚŘENÍ VZDÁLENOSTÍ. VOŠ a SŠS Vysoké Mýto leden 2008 Přípravný kurz k vykonání maturitní zkoušky v oboru Dopravní stavitelství Ing. Pavel Voříšek MĚŘENÍ VZDÁLENOSTÍ VOŠ a SŠS Vysoké Mýto leden 2008 METODY MĚŘENÍ DÉLEK PŘÍMÉ (měřidlo klademe přímo do měřené

Více

VÝPOČET VÝMĚR. Zpracováno v rámci projektu CTU 0513011 (2005)

VÝPOČET VÝMĚR. Zpracováno v rámci projektu CTU 0513011 (2005) VÝPOČET VÝMĚR Zpracováno v rámci projektu CTU 0513011 (2005) Výměry se určují: Početně: - z měr odsunutých z mapy (plánu), - z měr, přímo měřených v terénu, - z pravoúhlých souřadnic, - z polárních souřadnic.

Více

7.2.12 Vektorový součin I

7.2.12 Vektorový součin I 7 Vektorový součin I Předpoklad: 708, 7 Při násobení dvou čísel získáváme opět číslo Skalární násobení vektorů je zcela odlišné, protože vnásobením dvou vektorů dostaneme číslo, ted něco jiného Je možné

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

= cos sin = sin + cos = 1, = 6 = 9. 6 sin 9. = 1 cos 9. = 1 sin 9. + 6 cos 9 = 1 0,939692621 6 ( 0,342020143) = 1 ( 0,342020143) + 6 0,939692621

= cos sin = sin + cos = 1, = 6 = 9. 6 sin 9. = 1 cos 9. = 1 sin 9. + 6 cos 9 = 1 0,939692621 6 ( 0,342020143) = 1 ( 0,342020143) + 6 0,939692621 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MA+ULA ČÁST Příklad Bod má vůči souřadné soustavě souřadnice uvedené níže. Vypočtěte jeho souřadnice vzhledem k soustavě, která je vůči otočená dle zadání uvedeného níže. Výsledky zaokrouhlete

Více

h n i s k o v v z d á l e n o s t s p o j n ý c h č o č e k

h n i s k o v v z d á l e n o s t s p o j n ý c h č o č e k h n i s k o v v z d á l e n o s t s p o j n ý c h č o č e k Ú k o l : P o t ř e b : Změřit ohniskové vzdálenosti spojných čoček různými metodami. Viz seznam v deskách u úloh na pracovním stole. Obecná

Více

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy Koza se pase na polovině zahrady, Jaroslav eichl, 011 K OZA E PAE NA POLOVINĚ ZAHADY Zadání úlohy Zahrada kruhového tvaru má poloměr r = 10 m. Do zahrady umístíme kozu, kterou přivážeme provazem ke kolíku

Více

Určování výměr Srážka mapového listu Výpočet objemů Dělení pozemků

Určování výměr Srážka mapového listu Výpočet objemů Dělení pozemků Geodézie přednáška 9 Určování výměr Srážka mapového listu Výpočet objemů Dělení pozemků Ústav geoinformačních technologií Lesnická a dřevařská fakulta ugt.mendelu.cz tel.: 545134015 Určování výměr určování

Více

Průmyslová střední škola Letohrad

Průmyslová střední škola Letohrad Průmyslová střední škola Letohrad Cvičení z geodézie 2014 Zpracoval: ng. Jiří Štěpánek Tento projekt je realizovaný v rámci OP VK a je financovaný ze Strukturálních fondů EU (ESF) a ze státního rozpočtu

Více

4. URČOVÁNÍ VÝŠEK BODŮ TECHNICKOU NIVELACÍ 4. 1. PRINCIP GEOMETRICKÉ NIVELACE ZE STŘEDU. Vysvětlení symbolů a jejich významu:

4. URČOVÁNÍ VÝŠEK BODŮ TECHNICKOU NIVELACÍ 4. 1. PRINCIP GEOMETRICKÉ NIVELACE ZE STŘEDU. Vysvětlení symbolů a jejich významu: 4. URČOVÁNÍ VÝŠEK BODŮ TECHNICKOU NIVELACÍ 4. 1. PRINCIP GEOMETRICKÉ NIVELACE ZE STŘEDU SMĚR MĚŘENÍ Vysvětlení symbolů a jejich významu: A daný bod výškového bodového pole, H A výška bodu A v systému Bpv,

Více

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................

Více

GONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE

GONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE GONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Návod na import měřených dat ("zápisníku") GROMA

Návod na import měřených dat (zápisníku) GROMA Návod na import měřených dat ("zápisníku") GROMA Před výpočtem je nutné založit soubor se seznamem souřadnic. Postup výpočtu a import měřených dat se musí zapisovat do souboru (protokol o výpočtech). Před

Více

Úterý 8. ledna. Cabri program na rýsování. Základní rozmístění sad nástrojů na panelu nástrojů

Úterý 8. ledna. Cabri program na rýsování. Základní rozmístění sad nástrojů na panelu nástrojů Úterý 8. ledna Cabri program na rýsování program umožňuje rýsování základních geometrických útvarů, měření délky úsečky, velikosti úhlu, výpočet obvodů a obsahů. Je vhodný pro rýsování geometrických míst

Více

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Obsah Obsah NIŽŠÍ úroveň obtížnosti 4 MAGZD10C0K01 říjen 2010..........................

Více

6. Úhel a jeho vlastnosti

6. Úhel a jeho vlastnosti 6. Úhel a jeho vlastnosti 6.1 Úhel, osa úhlu 6.1.1 Úhel Úhel je část roviny ohraničená dvěma polopřímkami se společným počátkem. Polopřímkám říkáme ramena úhlu. Jejich společný počátek nazýváme vrchol

Více

Trojúhelník. MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů. Ing. Miroslav Čapek srpen 2011

Trojúhelník. MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů. Ing. Miroslav Čapek srpen 2011 MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů Trojúhelník Ing. Miroslav Čapek srpen 2011 Projekt Využití e-learningu k rozvoji klíčových kompetencí reg. č.: CZ.1.07/1.1.10/03.0021 je spolufinancován

Více

Geometrické vyhledávání

Geometrické vyhledávání mnohoúhelníky a jejich vlastnosti lokalizace bodu vůči konvexnímu mnohoúhelníku rozhodnutí, zda je bod vnitřní či vnější lokalizace bodu vůči nekonvexnímu mnohoúhelníku rozhodnutí, zda je bod vnitřní či

Více

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna 16. Trojúhelník, Mnohoúhelník, Kružnice (typy trojúhelníků a jejich vlastnosti, Pythagorova věta, Euklidovy věty, čtyřúhelníky druhy a jejich vlastnosti, kružnice obvodový a středový, úsekový úhel, vzájemná

Více

Geodézie. Pozemní stavitelství. denní. Celkový počet vyučovacích hodin za studium: 96 3. ročník: 32 týdnů po 3 hodinách (z toho 1 hodina cvičení),

Geodézie. Pozemní stavitelství. denní. Celkový počet vyučovacích hodin za studium: 96 3. ročník: 32 týdnů po 3 hodinách (z toho 1 hodina cvičení), Učební osnova předmětu Geodézie Studijní obor: Stavebnictví Zaměření: Forma vzdělávání: Pozemní stavitelství denní Celkový počet vyučovacích hodin za studium: 96 3. ročník: 32 týdnů po 3 hodinách (z toho

Více

Trojúhelník - určují tři body které neleţí na jedné přímce. Trojúhelník je rovněţ moţno povaţovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů.

Trojúhelník - určují tři body které neleţí na jedné přímce. Trojúhelník je rovněţ moţno povaţovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů. Trojúhelník Trojúhelník - určují tři body které neleţí na jedné přímce. Trojúhelník je rovněţ moţno povaţovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů. C Body se nazývají vrcholy trojúhelníku Úsečky

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Polohopisná měření Metody měření Jednoduché pomůcky pro měření

Polohopisná měření Metody měření Jednoduché pomůcky pro měření Geodézie přednáška 1 Polohopisná měření Metody měření Jednoduché pomůcky pro měření Ústav geoinformačních technologií Lesnická a dřevařská fakulta ugt.mendelu.cz tel.: 545134015 Polohopisné měření úkolem

Více

Stanovení měrného tepla pevných látek

Stanovení měrného tepla pevných látek 61 Kapitola 10 Stanovení měrného tepla pevných látek 10.1 Úvod O teple se dá říci, že souvisí s energií neuspořádaného pohybu molekul. Úhrnná pohybová energie neuspořádaného pohybu molekul, pohybu postupného,

Více

TECHNICKÁ ZPRÁVA GEODETICKÉHO ZAMĚŘENÍ

TECHNICKÁ ZPRÁVA GEODETICKÉHO ZAMĚŘENÍ TECHNICKÁ ZPRÁVA GEODETICKÉHO ZAMĚŘENÍ Název akce : Stanovení záplavového území řeky Kamenice Lokalita : Srbská Kamenice - Dolní Falknov Investor : Povodí Ohře s.p. Zadavatel : Hydrosoft Veleslavín s.r.o.,

Více

Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205

Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Šablona: III/2 Přírodovědné

Více

Popis teodolitu Podmínky správnosti teodolitu Metody měření úhlů

Popis teodolitu Podmínky správnosti teodolitu Metody měření úhlů 5. PŘEDNÁŠKA LETNÍ 00 Ing. Hana Staňková, Ph.D. Měření úhlů Popis teodolitu Podmínky správnosti teodolitu Metody měření úhlů GEODÉZIE 5. PŘEDNÁŠKA LETNÍ 00 POPIS TEODOLITU THEO 00 THEO 00 kolimátor dalekohled

Více

( ) 7.3.16 Další metrické úlohy II. Předpoklady: 7315. Př. 1: Najdi přímku rovnoběžnou s osou I a III kvadrantu vzdálenou od bodu A[ 1;2 ] 2 2.

( ) 7.3.16 Další metrické úlohy II. Předpoklady: 7315. Př. 1: Najdi přímku rovnoběžnou s osou I a III kvadrantu vzdálenou od bodu A[ 1;2 ] 2 2. 76 Další metriké úlohy II Předpoklady: 7 Př : Najdi přímku rovnoěžnou s osou I a III kvadrantu vzdálenou od odu A[ ; ] Osou I a III kvadrantu je přímka y = x přímky s ní rovnoěžné mají rovnii x y + = 0

Více

6.16. Geodetické výpočty - GEV

6.16. Geodetické výpočty - GEV 6.16. Geodetické výpočty - GEV Obor: 36-46-M/01 Geodézie a katastr nemovitostí Forma vzdělávání: denní Počet hodin týdně za dobu vzdělávání: 8 Platnost učební osnovy: od 1.9.2010 1) Pojetí vyučovacího

Více

CZ.1.07/2.2.00/28.0021)

CZ.1.07/2.2.00/28.0021) Metody geoinženýrstv enýrství Ing. Miloš Cibulka, Ph.D. Brno, 2015 Cvičen ení č.. 1 Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Funkce - pro třídu 1EB

Funkce - pro třídu 1EB Variace 1 Funkce - pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv využití výukového materiálu je povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému

Více

GEOMETRICKÁ OPTIKA. Znáš pojmy A. 1. Znázorni chod význačných paprsků pro spojku. Čočku popiš a uveď pro ni znaménkovou konvenci.

GEOMETRICKÁ OPTIKA. Znáš pojmy A. 1. Znázorni chod význačných paprsků pro spojku. Čočku popiš a uveď pro ni znaménkovou konvenci. Znáš pojmy A. Znázorni chod význačných paprsků pro spojku. Čočku popiš a uveď pro ni znaménkovou konvenci. Tenká spojka při zobrazování stačí k popisu zavést pouze ohniskovou vzdálenost a její střed. Znaménková

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0 Příklad Určete obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: a) =0,=,= b) =4,=0 c) =,=,=3,=0 d) =+, =0 e) + )=,= f) = +4,+= g) =arcsin,=0,= h) =sin,=0, 0; i) =,=,=4,=0 j) =,= k) = 6,= +5 4 l) =4,+=5 m) = +

Více

4.2.15 Funkce kotangens

4.2.15 Funkce kotangens 4..5 Funkce kotangens Předpoklady: 44 Pedagogická poznámka: Pokud nemáte čas, doporučuji nechat tuto hodinu studentům na domácí práci. Nedá se na tom nic zkazit a v budoucnu to není nikde příliš potřeba.

Více

Země a mapa. CZ.1.07/1.5.00/34.0015 III/2 - Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT. Geodézie ve stavebnictví.

Země a mapa. CZ.1.07/1.5.00/34.0015 III/2 - Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT. Geodézie ve stavebnictví. Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.0015 III/2 - Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Geodézie ve stavebnictví Pořadov é číslo 1 Téma Označení

Více

PRACOVNÍ SEŠIT PLANIMETRIE. 6. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT PLANIMETRIE. 6. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online PRACOVNÍ SEŠIT 6. tematický okruh: PLANIMETRIE vytvořila: RNDr. Věra Effenberger expertka na online přípravu na SMZ

Více

Laboratorní práce č. 1: Měření délky

Laboratorní práce č. 1: Měření délky Přírodní vědy moderně a interaktivně FYZIKA 3. ročník šestiletého a 1. ročník čtyřletého studia Laboratorní práce č. 1: Měření délky G Gymnázium Hranice Přírodní vědy moderně a interaktivně FYZIKA 3.

Více

Návod pro obnovu katastrálního operátu a převod

Návod pro obnovu katastrálního operátu a převod Český úřad zeměměřický a katastrální Návod pro obnovu katastrálního operátu a převod Dodatek č. 3 Praha 2013 Zpracoval: Český úřad zeměměřický a katastrální Schválil: Ing. Karel Štencel, místopředseda

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Využití programu MS Excel při výuce vlastností kvadratické funkce

Využití programu MS Excel při výuce vlastností kvadratické funkce Využití programu MS Excel při výuce vlastností kvadratické funkce Martin Mikuláš Tabulkové kalkulátory lze ve škole velmi dobře využít při výuce matematiky. Lze v nich totiž snadno naprogramovat aplikace,

Více

7.3.9 Směrnicový tvar rovnice přímky

7.3.9 Směrnicový tvar rovnice přímky 739 Směrnicový tvar rovnice přímy Předpolady: 7306 Pedagogicá poznáma: Stává se, že v hodině nestihneme poslední část s určováním vztahu mezi směrnicemi olmých příme Vrátíme se obecné rovnici přímy: Obecná

Více

Vliv realizace, vliv přesnosti centrace a určení výšky přístroje a cíle na přesnost určovaných veličin

Vliv realizace, vliv přesnosti centrace a určení výšky přístroje a cíle na přesnost určovaných veličin Vliv realizace, vliv přesnosti centrace a určení výšky přístroje a cíle na přesnost určovaných veličin doc. Ing. Martin Štroner, Ph.D. Fakulta stavební ČVUT v Praze 1 Úvod Při přesných inženýrsko geodetických

Více

5.1 Definice, zákonné měřící jednotky.

5.1 Definice, zákonné měřící jednotky. 5. Měření délek. 5.1 Definice, zákonné měřící jednotky. 5.2 Měření délek pásmem. 5.3 Optické měření délek. 5.3.1 Paralaktické měření délek. 5.3.2 Ryskový dálkoměr. 5.4 Elektrooptické měření délek. 5.4.1

Více

Úlohy na měřicím přístroji TESA 3D MICRO HITE

Úlohy na měřicím přístroji TESA 3D MICRO HITE Úlohy na měřicím přístroji TESA 3D MICRO HITE Ing. Zdeněk Ondříšek 1 Obsah: 1. 0. 0 Cíle... 3 1. 1. 0 Než začneme... 3 1. 2. 0 Příprava součásti pro měření... 8 2. 0. 0 Úloha č. 1 Měření délky... 14 2.

Více

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce MATEMATIKA 5. TŘÍDA 1 - Přirozená čísla a číslo nula a číselná osa, porovnávání b zaokrouhlování c zápis čísla v desítkové soustavě d součet, rozdíl e násobek, činitel, součin f dělení, dělení se zbytkem

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

1. ZÁKLADNÍ POJMY, ZÁSADY PRÁCE V GEODÉZII

1. ZÁKLADNÍ POJMY, ZÁSADY PRÁCE V GEODÉZII 1. ZÁKLADNÍ POJMY, ZÁSADY PRÁCE V GEODÉZII BOD 1.1. ZÁKLADNÍ GEOMETRICKÉ POJMY základní geometrický prvek, je bezrozměrný, např.: průsečík dvou přímek. Stabilizační značky geodetických bodů však bezrozměrné

Více

SYLABUS PŘEDNÁŠKY 6a Z INŽENÝRSKÉ GEODÉZIE (Polohové vytyčovací sítě) 4. ročník bakalářského studia studijní program G studijní obor G

SYLABUS PŘEDNÁŠKY 6a Z INŽENÝRSKÉ GEODÉZIE (Polohové vytyčovací sítě) 4. ročník bakalářského studia studijní program G studijní obor G SYLABUS PŘEDNÁŠKY 6a Z INŽENÝRSKÉ GEODÉZIE (Polohové vytyčovací sítě) 4. ročník bakalářského studia studijní program G studijní obor G říjen 2014 1 7. POLOHOVÉ VYTYČOVACÍ SÍTĚ Vytyčení je součástí realizace

Více

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová Vzdálenosti Copyright c 2006 Helena Říhová Obsah 1 Vzdálenosti 3 1.1 Vzdálenostivrovině... 3 1.1.1 Vzdálenostdvoubodů..... 3 1.1.2 Vzdálenostboduodpřímky..... 4 1.1.3 Vzdálenostdvourovnoběžek.... 5 1.2

Více

Opravná zkouška 2SD 2012-2013 (celý rok)

Opravná zkouška 2SD 2012-2013 (celý rok) Opravná zkouška SD 01-01 (celý rok) 1) Přímá železniční trať má stoupání 5 a délku,5 km. Vypočítej její celkové převýšení. b) ) Na množině celých čísel řeš rovnici: 6 8. ma. b) ) Vypočítej obsah vybarveného

Více

FOTOGRAMMETRIE. Rekonstrukce svislého nezáměrně pořízeného snímku, známe-li obraz čtverce ve vodorovné rovině

FOTOGRAMMETRIE. Rekonstrukce svislého nezáměrně pořízeného snímku, známe-li obraz čtverce ve vodorovné rovině FOTOGRAMMETRIE Máme-li k dispozici jednu nebo několik fotografií daného objektu (objekt zobrazený v lineární perspektivě), pomocí fotogrammetrie můžeme zjistit jeho tvar, rozměr či polohu v prostoru. Známe-li

Více

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 <

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 < 8.. Otázka číslo Mocniny a odmocniny. b.) Zjednodušte: 6 b. b Opakování k maturitě matematika. roč. TAD : 6.) Zjednodušte: 6 6.) Vypočtěte: a. y : ( a. y ) =.) Usměrněte zlomek =.. Otázka číslo Lineární

Více

Sférická trigonometrie v matematické geografii a astronomii

Sférická trigonometrie v matematické geografii a astronomii Sférická trigonometrie v matematické geografii a astronomii Mgr. Hana Lakomá, Ph.D., Mgr. Veronika Douchová 00 Tento učební materiál vznikl v rámci grantu FRVŠ F1 066. 1 Základní pojmy sférické trigonometrie

Více

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444 ARITMETIKA CELÁ ČÍSLA Celá čísla jsou. -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, Celá čísla rozdělujeme na záporná (-1, -2, -3, ) kladná (1, 2, 3,.) nula 0 (není číslo kladné ani záporné) absolutní

Více

Matematické modelování dopravního proudu

Matematické modelování dopravního proudu Matematické modelování dopravního proudu Ondřej Lanč, Alena Girglová, Kateřina Papežová, Lucie Obšilová Gymnázium Otokara Březiny a SOŠ Telč lancondrej@centrum.cz Abstrakt: Cílem projektu bylo seznámení

Více

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ OBOR GEODÉZIE A KARTOGRAFIE KATEDRA SPECIÁLNÍ GEODÉZIE název předmětu úloha/zadání název úlohy Inženýrská geodézie II 1/5 Určení nepřístupné vzdálenosti

Více

Matematika - 6. ročník Vzdělávací obsah

Matematika - 6. ročník Vzdělávací obsah Matematika - 6. ročník Září Opakování učiva Obor přirozených čísel do 1000, početní operace v daném oboru Čte, píše, porovnává čísla v oboru do 1000, orientuje se na číselné ose Rozlišuje sudá a lichá

Více

16. Trojúhelník vlastnosti, prvky, konstrukční úlohy Vypracovala: Ing. Ludmila Všetulová, prosinec 2013

16. Trojúhelník vlastnosti, prvky, konstrukční úlohy Vypracovala: Ing. Ludmila Všetulová, prosinec 2013 16. Trojúhelník vlastnosti, prvky, konstrukční úlohy Vypracovala: Ing. Ludmila Všetulová, prosinec 2013 Název školy Obchodní akademie a Střední odborné učiliště Veselí nad Moravou Název a číslo OP OP Vzdělávání

Více

Výpočet vzdálenosti Země Slunce pozorováním přechodu Venuše před Sluncem

Výpočet vzdálenosti Země Slunce pozorováním přechodu Venuše před Sluncem Výpočet vzdálenosti Země Slunce pozorováním přechodu Venuše před Sluncem Podle mateiálu ESO přeložil Rostislav Halaš Úkol: Změřit vzdálenost Země Slunce (tzv. astronomickou jednotku AU) pozorováním přechodu

Více

Návod na zpracování vzorové úlohy

Návod na zpracování vzorové úlohy Přenos dat s využitím moderních registračních zařízení včetně zpracování naměřených dat a následné propojení s grafickým programem Návod na zpracování vzorové úlohy Ukázka zpracování měřených dat GNSS

Více

Oblast podpory: 1.4 Zlepšení podmínek pro vzdělávání na základních školách

Oblast podpory: 1.4 Zlepšení podmínek pro vzdělávání na základních školách Prioritní osa: 1 Počáteční vzdělávání Oblast podpory: 1.4 Zlepšení podmínek pro vzdělávání na základních školách Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.4.00/21. 0918 Název projektu:inovace vzdělávání v

Více

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. bylo objeveno a rozvinuto francouzem Gaspardem Mongem (1746 1818) po dlouhou dobu bylo vojenským tajemstvím

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. bylo objeveno a rozvinuto francouzem Gaspardem Mongem (1746 1818) po dlouhou dobu bylo vojenským tajemstvím část 1. MONGEOVO PROMÍTÁNÍ kolmé promítání na dvě průmětny (půdorysna, nárysna), někdy se používá i třetí pomocná průmětna bokorysna bylo objeveno a rozvinuto francouzem Gaspardem Mongem (1746 1818) po

Více

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ OBOR GEODÉZIE A KARTOGRAFIE KATEDRA VYŠŠÍ GEODÉZIE název předmětu úloha/zadání název úlohy Vyšší geodézie 1 2/3 GPS - Výpočet drah družic školní rok

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Matematika (MAT) Náplň: Rovnice a nerovnice, kruhy a válce, úměrnost, geometrické konstrukce, výrazy 2 Třída: Tercie Počet hodin: 4 hodiny týdně Pomůcky: Učebna s PC a dataprojektorem (interaktivní

Více

Základní pojmy: Objemy a povrchy těles Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin Opakování: Obsahy a obvody rovinných útvarů

Základní pojmy: Objemy a povrchy těles Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin Opakování: Obsahy a obvody rovinných útvarů 1/13 Základní pojmy: Objemy a povrchy těles Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin Opakování: Obsahy a obvody rovinných útvarů STEREOMETRIE Stereometrie - geometrie v prostoru - zabývá se vzájemnou polohou

Více

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0743 Název škol Moravské gmnázium Brno s.r.o. Autor Tematická oblast Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková Matematika. Funkce. Definice funkce, graf funkce. Tet a příklad.

Více

16.2.2015. Ing. Pavel Hánek, Ph.D. hanek00@zf.jcu.cz

16.2.2015. Ing. Pavel Hánek, Ph.D. hanek00@zf.jcu.cz Ing. Pavel Hánek, Ph.D. hanek00@zf.jcu.cz Výškový referenční systém je definován v nařízení vlády 430/2006 Sb. Výškový systém baltský - po vyrovnání je určen a) výchozím výškovým bodem, kterým je nula

Více

Časové řady - Cvičení

Časové řady - Cvičení Časové řady - Cvičení Příklad 2: Zobrazte měsíční časovou řadu míry nezaměstnanosti v obci Rybitví za roky 2005-2010. Příslušná data naleznete v souboru cas_rada.xlsx. Řešení: 1. Pro transformaci dat do

Více

Měřicí přístroje a měřicí metody

Měřicí přístroje a měřicí metody Měřicí přístroje a měřicí metody Základní elektrické veličiny určují kvalitativně i kvantitativně stav elektrických obvodů a objektů. Neelektrické fyzikální veličiny lze převést na elektrické veličiny

Více

Vytyčování staveb a hranic pozemků (1)

Vytyčování staveb a hranic pozemků (1) Vytyčování staveb a hranic pozemků (1) Vytyčování staveb a hranic pozemků Prohloubení nabídky dalšího vzdělávání v oblasti zeměměřictví a katastru nemovitostí ve Středočeském kraji CZ.1.07/3.2.11/03.0115

Více

Máme tři různé body A, B, C. Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA a CAB.

Máme tři různé body A, B, C. Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA a CAB. 8. Trojúhelník 6. ročník 8. Trojúhelník 8.1. Základní pojmy 8.1.1. Trojúhelník Máme tři různé body A, B, C. Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA a CAB. Trojúhelník popisujeme proti chodu hodinových

Více

Vyhodnocení 2D rychlostního pole metodou PIV programem Matlab (zpracoval Jan Kolínský, dle programu ing. Jana Novotného)

Vyhodnocení 2D rychlostního pole metodou PIV programem Matlab (zpracoval Jan Kolínský, dle programu ing. Jana Novotného) Vyhodnocení 2D rychlostního pole metodou PIV programem Matlab (zpracoval Jan Kolínský, dle programu ing. Jana Novotného) 1 Obecný popis metody Particle Image Velocimetry, nebo-li zkráceně PIV, je měřící

Více

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.

Více

15. Goniometrické funkce

15. Goniometrické funkce @157 15. Goniometrické funkce Pravoúhlý trojúhelník Ze základní školy znáte funkce sin a cos jako poměr odvěsen pravoúhlého trojúhelníka ku přeponě. @160 Měření úhlů Velikost úhlů se měří buď mírou stupňovou

Více

Úlohy domácí části I. kola kategorie C

Úlohy domácí části I. kola kategorie C 62. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie C 1. Čtvercová tabulka je rozdělena na 16 16 políček. Kobylka se po ní pohybuje dvěma směry: vpravo nebo dolů, přičemž střídá skoky

Více

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY TU v LIBERCI FAKULTA MECHATRONIKY POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY Tematické okruhy středoškolské látky: Číselné množiny N, Z, Q, R, C Body a intervaly na číselné ose Absolutní hodnota Úpravy

Více

M - 2. stupeň. Matematika a její aplikace Školní výstupy Žák by měl

M - 2. stupeň. Matematika a její aplikace Školní výstupy Žák by měl 6. ročník číst, zapisovat, porovnávat, zaokrouhlovat, rozkládat přirozená čísla do 10 000 provádět odhady výpočtů celá čísla - obor přirozených čísel do 10 000 numerace do 10 000 čtení, zápis, porovnávání,

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

a vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0.

a vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0. Výpočet vlastních čísel a vlastních vektorů S pojmem vlastního čísla jsme se již setkali například u iteračních metod pro řešení soustavy lineárních algebraických rovnic. Velikosti vlastních čísel iterační

Více

MATEMATIKA ZÁKLADNÍ ÚROVEŇ

MATEMATIKA ZÁKLADNÍ ÚROVEŇ NOVÁ MTURITNÍ ZKOUŠK Ilustrační test 2008 Základní úroveň obtížnosti MVCZMZ08DT MTEMTIK ZÁKLDNÍ ÚROVEŇ DIDKTICKÝ TEST Testový sešit obsahuje 8 úloh. Na řešení úloh máte 90 minut. Úlohy řešte v testovém

Více

Nejprve si uděláme malé opakování z kurzu Množiny obecně.

Nejprve si uděláme malé opakování z kurzu Množiny obecně. @021 3. Řešení grafické přímka v kartézské soustavě souřadnic Nejprve si uděláme malé opakování z kurzu Množiny obecně. Rovnice ax + by + c = 0, kde aspoň jedno z čísel a,b je různé od nuly je v kartézské

Více

TROJÚHELNÍK 180. Definice. C neleží v přímce. Potom trojúhelníkem ABC nazveme průnik polorovin ABC, BCA, Nechť body. Viz příloha: obecny_trojuhelnik

TROJÚHELNÍK 180. Definice. C neleží v přímce. Potom trojúhelníkem ABC nazveme průnik polorovin ABC, BCA, Nechť body. Viz příloha: obecny_trojuhelnik TROJÚHELNÍK Definice Nechť body A, B, C neleží v přímce. Potom trojúhelníkem ABC nazveme průnik polorovin ABC, BCA, CAB. Viz příloha: obecny_trojuhelnik Definice trojúhelníku Uzavřená, jednoduchá (neprotínající

Více

Vytyčování staveb a hranic pozemků

Vytyčování staveb a hranic pozemků Vytyčování staveb a hranic pozemků Prohloubení nabídky dalšího vzdělávání v oblasti zeměměřictví a katastru nemovitostí ve Středočeském kraji CZ.1.07/3.2.11/03.0115 Projekt je finančně podpořen Evropským

Více

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.0963 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti

Více

Předpokládané znalosti žáka 1. stupeň:

Předpokládané znalosti žáka 1. stupeň: Předpokládané znalosti žáka 1. stupeň: ČÍSLO A POČETNÍ OPERACE používá přirozená čísla k modelování reálných situací, počítá předměty v daném souboru, vytváří soubory s daným počtem prvků čte, zapisuje

Více