Střední průmyslová škola zeměměřická GEODETICKÉ VÝPOČTY. 1. část. Ing. Jana Mansfeldová

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Střední průmyslová škola zeměměřická GEODETICKÉ VÝPOČTY. 1. část. Ing. Jana Mansfeldová"

Transkript

1 Střední průmyslová škola zeměměřická GEODETICKÉ VÝPOČTY 1. část Ing. Jana Mansfeldová

2 Úvod Tento text je určen pro studenty. až 4. ročníku středních průmyslových škol se zaměřením na geodézii. Jedná se o přepracovanou učebnici Geodetické počtářství do elektronické podoby s ohledem na dnešní technické vybavení a platné předpisy. Nejdůležitější změnou je označení souřadnicových rozdílů a s tím související úprava používaných výpočetních zápisníků. Místo dříve používaných souřadnicových rozdílů y BA = y B y A, x BA = x B x A je nyní používáno y AB = y B y A, x AB = x B x A. Stejné označení je používáno i ve skriptech, které studenti často využívají. Veškeré upravené zápisníky jsou v tomto textu zařazeny jako přílohy. Souhrnný seznam souřadnic daných bodů pro cvičení označená * je uveden v příloze 1. Pro jednodušší zpracování cvičení na PC je vhodné si tyto souřadnice nejprve uložit a pak je využívat v průběhu výpočtů. Tento text bude dle potřeby průběžně aktualizován.

3 Obsah: 1. Základní souřadnicové výpočty Výpočet směrníku a délky Výpočet rajónu Výpočet souřadnic bodů polární metodou Výpočet souřadnic bodů ortogonální metodou Výpočet souřadnic bodů na měřické přímce Výpočet souřadnic bodů na kolmici Polygonové pořady Volný polygonový pořad Připojený a orientovaný Ve vlastní soustavě Vetknutý, oboustranně orientovaný polygonový pořad Vetknutý, jednostranně orientovaný polygonový pořad Nepřímé připojení polygonového pořadu Vetknutý polygonový pořad Uzavřený polygonový pořad Připojený, orientovaný Ve vlastní soustavě Souřadnicové řešení vytyčovacích úloh Vytyčení spojnice AB Prodloužení směru za překážku Transformace souřadnic Polární a pravoúhlé souřadnice Transformace pravoúhlých souřadnic posunutím a pootočením Transformace podobnostní Obecný případ podobnostní transformace Protínání vpřed Protínání vpřed z úhlů Protínání vpřed z orientovaných směrů Protínání z délek Speciální souřadnicové výpočty Hansenova úloha Určení nepřístupné vzdálenosti Krasovského řešení Protínání zpět Výpočet pomocným bodem (Collinsův způsob) Cassiniho řešení Centrační změny Výpočet centračních změn δα na excentrickém stanovisku Výpočet centračních změn δα při excentrickém cíli

4 Přílohy upravené zápisníky 1. Seznam souřadnic. Výpočet směrníků, stran a směrových činitelů 3. Výpočet souřadnic bodů měřických přímek 4. Výpočet souřadnic bodů polygonových pořadů 5. Transformace 6. Protínání vpřed z úhlů 7. Výpočet orientovaných směrů 8. Protínání vpřed z orientovaných směrů 9. Protínání vpřed z délek 10. Protínání zpět 11. Výpočet centračních změn směrů 4

5 1. Základní souřadnicové výpočty 1.1. Výpočet směrníku a délky Známe-li souřadnice dvou bodů (y,x), pak z těchto souřadnic můžeme vypočítat směrník a délku mezi těmito body. Dáno: A,B [y,x] Úkol: σ AB, s AB Obr Směrník je orientovaný úhel, který udává směr spojnice dvou bodů vzhledem k osám souřadnicové soustavy. Směrník v souřadnicové soustavě, jejíž osa +X směřuje k jihu, nazýváme jižník. Směrník označujeme řeckým písmenem σ doplněným indexy čísel bodů. Směrník σ AB strany AB je úhel naměřený na bodě A od rovnoběžky s osou +X ve směru hodinových ručiček až ke straně AB. Směrník σ BA je úhel na bodě B. Mezi oběma směrníky téže strany platí vztah: σ AB = σ BA ± R. Použijeme takové znaménko, aby platilo 0 σ 4R. Postup výpočtu: Velikost směrníku záleží na vzájemné poloze bodů A a B. Nabývá hodnot od 0 do 4R, může tedy ležet v prvním až čtvrtém kvadrantu.pro výpočet směrníku musíme vypočítat tzv. souřadnicové rozdíly. Souřadnicový rozdíl je rozdíl souřadnic dvou bodů a označujeme ho řecký písmenem doplněným indexy čísel bodů: y AB = y B - y A x AB = x B - x A. Souřadnicové rozdíly nabývají různých znamének. Směrník vypočteme pomocí úhlu φ, což je ostrý úhel při vrcholu A (obr.1.1.1). Pro všechny kvadranty platí: tgφ = y x AB AB 5

6 Výpočet směrníku v jednotlivých kvadrantech (obr.1.1.): 1. směrník leží v prvním kvadrantu, tj. y AB > 0 a x AB > 0 potom: σ AB = φ.. směrník leží ve druhém kvadrantu, tj. y AB > 0 a x AB < 0 potom: σ AB = R - φ. 3. směrník leží ve třetím kvadrantu, tj. y AB < 0 a x AB < 0 potom: σ AB = R + φ. 4. směrník leží ve čtvrtém kvadrantu, tj. y AB < 0 a x AB > 0 potom: σ AB = 4R - φ. Obr

7 Kvadrant y x σ I + + σ = φ II + - σ = R - φ III - - σ = R + φ IV - + σ = 4R φ Celý výpočet můžeme provést ve výpočetním formuláři (ve starším typu i s tzv. směrníkovou zkouškou). Délka strany AB se vypočte jako přepona v pravoúhlém trojúhelníku. Vypočtená délka je vodorovná a budeme ji označovat písmenem s doplněným indexy čísel tj s AB. s AB = y + AB x AB V dnešní době používáme kapesní kalkulátory, které jsou vybaveny převodem pravoúhlých souřadnic (souřadnicových rozdílů) na polární souřadnice (směrník a délku). Převody jsou označeny na různých kalkulátorech různými tlačítky, proto si musíme pozorně přečíst návod pro daný kalkulátor. Před výpočtem směrníku nesmíme zapomenout nastavit požadovanou úhlovou míru. Příklad Vypočtěte jižník σ 4-73 a délku strany s, jsou-li dány souřadnice koncových bodů: 73 (y = ,47, x = ,95), 4 (y = ,81, x = ,84). Nejprve vypočteme souřadnicové rozdíly: y 4-73 = +55,66 m x 4-73 = -367,89 m Potom vypočteme pomocný úhel: y4 73 tgφ = x 4 73 φ = 38,6631 g. Podle tabulky (viz. výše) se hledaný jižník bude nacházet ve druhém kvadrantu, tedy: σ 4-73 = R φ = 161,3369 g. Délku vypočteme podle Pythagorovy věty: s = y + x = 448,00 m. 7

8 Příklad 1.1. Vypočtěte směrníky σ , σ , délky stran s , s a úhel ω (obr.1.1.3). Jsou dány souřadnice bodů: ČB Y X , , , , , ,6 Postup výpočtu: Vypočteme oba směrníky na bodě 103. Nejprve vypočteme souřadnicové rozdíly. y = - 740,18 m x = ,6 m Směrník σ tedy leží ve třetím kvadrantu. σ = R + 31,7377 g = 31,7377 g, s = 1548,04m. y = +1866,51 m x = - 53,56 m Směrník σ tedy leží ve druhém kvadrantu. σ = R 98,1737 g = 101,863 g, s = 1867,8m. Obr Vrcholový úhel vypočteme jako rozdíl dvou směrů (pravé rameno úhlu mínus levé rameno úhlu): ω = σ σ =101,863 g 31,7377 g + 4R = 70,0886 g. Výpočet směrníků a délek můžeme provést ve výpočetním formuláři i se směrníkou zkouškou. Při výpočtu s je větší nesouhlas ve vypočtené straně. Délku strany vypočteme Pythagorovou větou. Správná délka je 1 867,8 m vypočtená z většího souřadnicového rozdílu. Délku 1 867,18 m považujeme za kontrolní. 8

9 VÝPOČET SMĚRNÍKŮ, STRAN A SMĚROVÝCH SOUČINITELŮ Př.1.1. B YB XB XB + YB XB - YB tg ϕ = Y X AB AB tg ψ = p q A YA XA XA + YA XA - YA cotg ϕ = X Y AB AB cotg ψ = q p YAB XAB σab = YAB = YB - YA XAB = XB - XA p = XAB + YAB q = XAB - YAB ϕ ψ ρsin ϕ ρcosϕ + + = ϕ sin ϕ cos ϕ a = b = g c cc g c cc s s - - = R + ϕ YAB XAB s = s = = sin ϕ cos ϕ Y + X AB (1) () (3) (4) (5) (6) (7) , , , ,60 0, , , , ,04 0,95000 Předepsal: -740, ,6-099,80-619,44 Vypočetl: 0, , AB a = b tgϕ kontr. b = a cotgϕ σab kontrola: 103 Předepsal: , , , , , ,97 0, , , , ,04 0, ,51-53, , ,07 Vypočetl: 0, , , , , Cvičení: * Vypočtěte všechny možné kombinace směrníků a délky stran mezi body: ČB Y X , , , , , , , , , , , , , ,48 9

10 1.1.. Jsou dány souřadnice trigonometrických bodů, vypočtěte úhly ω (obr.1.1.4). ČB Y X , , , , , , , ,95 Obr

11 1.. Výpočet rajónu Výpočtem rajónu rozumíme úlohu, ve které určujeme souřadnice koncového bodu úsečky dané souřadnicemi počátečního bodu, směrníkem a délkou. Dáno: P [y,x], σ PK, s PK Úkol: K [y,x] Obr.1..1 Postup výpočtu: Souřadnice bodu K vypočteme součtem zadané souřadnice a příslušného souřadnicového rozdílu, který vypočteme z pravoúhlého trojúhelníka: y K = y P + y PK = y P + s PK.sin σ PK, x K = x P + x PK = x P + s PK.cos σ PK. Souřadnicové rozdíly mají znaménko + nebo -, záleží na velikosti směrníku. Směrník sin cos y x v kvadrantu σ σ I II III IV V dnešní době používáme kapesní kalkulátory, které jsou vybaveny převodem polárních souřadnic (směrník a délka) na pravoúhlé souřadnice (souřadnicové rozdíly). Převody jsou označeny na různých kalkulátorech různými tlačítky, proto si musíme pozorně přečíst návod pro daný kalkulátor. Před výpočtem nesmíme zapomenout nastavit požadovanou úhlovou míru. Příklad 1..1 Vypočtěte souřadnice bodu 534, je-li dáno: 33 (y = ,74, x = ,63), σ = 373,5036 g, s = 115,65m. 11

12 Nejprve vypočteme souřadnicové rozdíly: y = s sin σ = -46,76 m, x = s cos σ = +105,78 m. Potom: y 534 = y 33 + y = ,98 m x 534 = x 33 + x = ,41 m. V praxi většinou neznáme přímo potřebný směrník, ale známe další bod v souřadnicích, jehož směrník můžeme vypočítat. Změříme úhel mezi daným bodem a bodem určovaným. Z toho pak vypočteme hledaný směrník. V případě určování bodů PBPP pomocí rajónu, by měla být orientace provedena na dva body ZBPP nebo PBPP a hledaný směrník se vypočítá tzv. orientací osnovy (viz.kap.6.). Příklad 1.. Vypočtěte souřadnice bodu 401, který je zaměřen z bodu 343 s orientací na bod 181. Byl naměřen úhel ω a vzdálenost s (obr.1..). ČB Y X , , , ,90 ω = 1,1570 g s = 113,78 m. Nejprve vypočteme σ = 387,7091 g, potom vypočteme σ = σ ω (-4R), σ = 199,8661 g. Nyní vypočteme souřadnice: y 401 = y s sin σ = ,10 m x 401 = x s cos σ = ,1 m. Obr.1.. Cvičení: Vypočtěte souřadnice bodu 4101 pokud znáte: 13 (y = ,45, x = ,45) a) σ = 55,3475 g, s = 145,78 m, b) σ = 155,3475 g, s = 145,78 m, c) σ = 55,3475 g, s = 145,78 m, d) σ = 355,3475 g, s = 145,78 m. Proveďte náčrt bodů. 1

13 1..* Vypočtěte souřadnice bodu 4001, který je zaměřen z bodu 181 s orientací na bod 343. Byl naměřen úhel ω a vzdálenost s (obr.1..3). ČB Y X , , , ,90 ω = 31,1570 g s = 13,78m. Obr

14 . Výpočet souřadnic bodů polární metodou Polární metoda je nejčastější způsob určování souřadnic podrobných bodů. Každý bod je určen polárními souřadnicemi, tj. úhlem a délkou. Úhel je měřen na stanovisku od orientačního směru po určovaný bod. Jedná se tedy o výpočet rajónu, který jsme si vysvětlili v předchozí kapitole. Měřené hodnoty se zapisují do zápisníku podrobného měření. V této kapitole budeme počítat pouze body měřené na pevném stanovisku (známe jeho souřadnice). Volné stanovisko viz. kap. 5. Příklad.1 Vypočtěte souřadnice podrobných bodů 1,,3 zaměřených na stanovisku 4001 (obr..1). ČB Y X , , , ,3 Obr..1 Výpis ze zápisníku měřených hodnot: Typ úlohy Číslo bodu Vzdálenost Úhel [m] [g] ,46 0, ,67 46,78 45,08 78, ,1 156,1 Nejprve vypočteme směrník σ a zkontrolujeme délku: σ = 104,8875 g s-vypočtená = 156,46 m (rozdíl je v přípustných mezích). Souřadnice podrobných bodů vypočteme podle předchozí kapitoly nebo využijeme zápisník pro polygonové pořady. (Př..1) VÝPOČET SOUŘADNIC BODŮ POLYGONOVÝCH POŘADŮ Str.: Př..1 Číslo pořadu Číslo bodu Úhly a úhlové vyrovnání Směrníky σ Strany s Souřadnice a souřadnicové vyrovnání g c cc g c cc m Y X (1) () (3) (4) (5) (6) (7) (8) , , ,67 10,79-11, , , ,08 11,34-43, , , ,1-31,19-1, , ,40 14

15 Příklad. Vypočtěte souřadnice podrobných bodů 1,,3,4 zaměřených ze stanoviska 103 (obr..). ČB Y X , , , ,79 Výpis ze zápisníku měřených hodnot: Typ úlohy Číslo bodu Vzdálenost Úhel [m] [g] , ,53 18,88 44,6 18, ,18 37, ,85 5,77 Při výpočtu musíme vzít v úvahu, že na orientaci nebyla nastavena přesná nula, proto musíme od všech úhlů odečíst čtení na bod 51. Výpočet můžeme opět provést v zápisníku pro výpočet polygonového pořadu (Př..). Obr.. VÝPOČET SOUŘADNIC BODŮ POLYGONOVÝCH POŘADŮ Str.: Př.. Číslo pořadu Číslo bodu Úhly a úhlové Směrníky Strany Souřadnice a souřadnicové vyrovnání σ s vyrovnání g c cc g c cc m Y X (1) () (3) (4) (5) (6) (7) (8) , , ,53 33,46 7, , , ,6 33,46-8, , , ,18 18,13-8, , , ,85 18,13-54, , ,88 15

16 Cvičení:.1.* Vypočtěte souřadnice bodů 1,,3,4,5 zaměřených polární metodou. Veškeré údaje jsou ve výpisu ze zápisníku. Výpis ze zápisníku měřených hodnot: Typ úlohy Číslo bodu Vzdálenost [m] Úhel [g] ,80 1,50 1 5,17 3,08 34,77 55, ,18 80, ,1 91, ,08 317,49 ČB Y X , , , ,7..* Vypočtěte souřadnice bodů 1,,3,4,5 zaměřených polární metodou. Nakreslete náčrt bodů, zkontrolujte oměrné a vypočtěte výměru vzniklého obrazce. Je dán výpis ze zápisníku podrobného měření: Typ úlohy Číslo bodu Vzdálenost [m] Úhel [g] , ,6 4,63 58,9 94, ,5 17,74 4 7,04 09, ,1 84,67 ČB Y X , , , , , , ,0 5 73, ,10 16

17 3. Výpočet souřadnic bodů ortogonální metodou Díky rychlému technickému rozvoji měřických přístrojů (totální stanice) je ortogonální metoda dnes již méně využívána. Tuto úlohu můžeme rozdělit do dvou částí. Nejprve na výpočet bodů na měřické přímce a poté na body na kolmici. (V této části se nebudeme zabývat volnou měřickou přímkou viz. kap.5.) 3.1. Výpočet souřadnic bodů na měřické přímce Poloha bodů 1,,3 na měřické přímce je určena staničením, tj. vzdáleností od počátku P. Dáno: P,K [y,x] Měřeno: s Úkol: 1,,3 [y,x] Obr. 3.1 Postup výpočtu: a) Změřenou délku s m PK porovnáme s délkou vypočtenou ze souřadnic, musí platit: O s s, kde O s = s PK - s m PK, s budeme používat mezní odchylku pro dvojí měření pásmem tj. s = 0,01 s + 0,0. b) Nyní budeme předpokládat, že všechny délky jsou měřeny se stejnou přesností jako délka konečná, proto je třeba pro další výpočty měřené délky přepočítat ve stejném poměru tj. v si spk =, pro jednotlivé výpočty budeme používat konkrétní s v m m i. si spk c) Souřadnice bodu 1 vypočteme pomocí rajónu: y 1 = y P + x 1 = x P + s sinσ y sin σ =, v, PK 1 PK PK spk v s 1 cosσ, xpk PK cos σ PK =. spk 17

18 Po dosazení: m spk ypk y 1 = y P + s1, m spk spk m spk xpk x 1 = x P + s1, m spk spk tj. m ypk y 1 = y P + s1, m spk m xpk x 1 = x P + s1. spk Označíme-li: y PK xpk = k m y a = k m x, spk spk kde k y i k x jsou pro jednu měřickou přímku konstantní, můžeme potom psát: y i = y P + x i = x P + s k, m i m i y s k. x Celý výpočet můžeme provést ve formuláři. Body Vzdálenosti dané určované náčrt. č. Výpočet souřadnic bodů měřických přímek Souřadnice dané Body Vzdálenosti Souřadnice s y x s y x (1) () (3) (4) (5) (6) (1) () (3) (4) (5) (6) určované náčrt. č. P y P x P s 1 m s 1 m.k y s 1 m.k x 1 y 1 x 1 s m s m.k y s m.k x y x K s PK m y K x K s PK y PK x PK o s s k y k x 18

19 Příklad 3.1 Vypočtěte souřadnice bodů 4331,433,4333 na měřické přímce (obr.3.). CB Y X , , , ,50 Obr.3. Výpočet provedeme ve formuláři: Výpočet souřadnic bodů měřických přímek Př.3.1 Body Vzdálenosti dané určované náčrt. č. Souřadnice dané Body Vzdálenosti určované náčrt. č. Souřadnice s y x s y x (1) () (3) (4) (5) (6) (1) () (3) (4) (5) (6) , ,15 19,07 7,64 17, , ,61 9,58 11,85 7, , , 66,68 6,71 61, , , , , ,50 s PK =115,00 y PK =+46,11 x PK =+105,35 o s = -0,10 s =±0,13 k y =+0, k x =+0,

20 3.. Výpočet souřadnic bodů na kolmici Poloha bodů 1, je určena ortogonálními souřadnicemi, tj. staničením a kolmicemi. Dáno: P,K [y,x] Měřeno: s, k Úkol: 1, [y,x] Obr.3.4 Bod 1 leží vpravo od měřické přímky a bod leží vlevo. Paty kolmic jsou označeny 1 a. Postup výpočtu: a) Souřadnice bodů 1 a vypočteme jako body na měřické přímce (odst. 3.1). b) Souřadnice bodu 1 vypočteme z rovnic pro rajón s počátkem v 1 (obr.3.4), stejně jako u bodu na měřické přímce dosadíme do rovnice k v 1 (opravené v příslušném poměru). v ki spk =, m m ki spk y 1 = y 1 + k v 1.sin(σ PK +R), x 1 = x 1 + k v 1.cos(σ PK +R), tj. y 1 = y 1 + k v 1.cosσ PK = y P + m m spk xpk s1 k y + k1 = y m P + s m 1 k y + k m 1 k x, s s x 1 = x 1 - k v 1.sinσ PK = x P + m m spk ypk s1 k x - k1 = x m P + s m k x k spk spk c) Souřadnice bodu vypočteme z rovnic pro rajón s počátkem v (obr.3.4). PK PK k 1 - m 1 y. tj. y = y + k v.sin(σ PK +3R), x = x + k v.cos(σ PK +3R), y = y - k v.cosσ PK = y P + s k m y - m s xpk k = y P + s m k y s s PK m PK PK - k m k x, 0

21 x = x + k v.sinσ PK = x P + m m spk ypk s k x + k = x m P + s m k x + k m k y. spk spk Pokud dodržíme pravidlo, že kolmice vlevo je záporná, pak můžeme napsat obecnou rovnici pro všechny body: y i = y P + x i = x P + m m si k y + i k x k, k k. m m si k x - i y Výpočet můžeme provést ve formuláři. Výpočet souřadnic bodů měřických přímek dané Body určované Vzdálenosti náčrt. č. Souřadnice dané Body určované Vzdálenosti náčrt. č. Souřadnice s y x s y x (1) () (3) (4) (5) (6) (1) () (3) (4) (5) (6) P y P x P m s 1 s m 1.k y s m 1.k x m k 1 k m 1.k x -k m 1.k y 1 y 1 x 1 m s m k s m.k y s m.k x k m.k x -k m.k y y x K s PK m y K x K s PK y PK x PK o s s k y k x Příklad 3. Vypočtěte souřadnice bodů 1,,3 zaměřených ortogonální metodou (obr.3.5). ČB Y X , , , ,10 Obr.3.5 1

22 Celý výpočet je ve formuláři. Výpočet souřadnic bodů měřických přímek Př.3. Body Vzdálenosti dané určované náčrt. č. Souřadnice dané Body Vzdálenosti určované náčrt. č. Souřadnice s y x s y x (1) () (3) (4) (5) (6) (1) () (3) (4) (5) (6) , ,4 5,1 30,31-4,35-3,10 6,08 18, , ,74 73,8 4,61-59,55 3,03-6,03-18, , ,4 98,87 57,50-80,34-39,1 31,79, , , , , ,10 s PK =141,81 y PK =+8,53 x PK =-115,3 o s = -0,11 s =±0,14 k y =+0,58155 k x =-0,81570 Cvičení: 3.1. Je dán náčrt měřické sítě (obr.3.6) a souřadnice polygonových bodů: ČB Y X , , , , , , , ,50 Vypočtěte souřadnice měřických bodů: a) 1,, b) 3, c) 4,5,6, d) 7, e) 8,9,10, f) 11, g) 1,13, h) průsečíky se sekčními čarami p1, p, p3, p Podrobný bod 43 byl zaměřen ze dvou měřických přímek (obr.3.7). Zjistěte, zda výsledky obojího zaměření souhlasí. CB Y X , , , , , , , ,93

23 Obr.3.6 Obr.3.7 3

24 3.3.* Vypočtěte souřadnice bodů 11,1,13,14,15 zaměřených ortogonální metodou. Nakreslete náčrt bodů, porovnejte oměrné a vypočtěte výměru vzniklého uzavřeného obrazce. Je dán výpis ze zápisníku podrobného měření: Typ úlohy Číslo bodu Staničení Kolmice ,00 0,00 16,0 0, ,05-10, ,84 1, ,93-15, ,06 18, ,73-5,0 ČB Y X , , , , , , ,45 1 9, ,5 4

25 4. Polygonové pořady Polygonový pořad je lomená čára spojující dva měřické body. Vrcholy lomené čáry nazýváme polygonové body, spojnice polygonových bodů tvoří polygonové strany. V polygonovém pořadu se měří levostranné úhly a délky polygonových stran. Levá strana se posuzuje podle směru výpočtu. Polygonové pořady jsou jednou z metod určujících souřadnice bodů podrobného bodového pole. Požadavky na měření, geometrické parametry a kritéria přesnosti polygonových pořadů jsou náplní předmětu Geodézie. Rozdělení polygonových pořadů: - volný polygonový pořad - vetknutý a oboustranně orientovaný polygonový pořad, - vetknutý a jednostranně orientovaný polygonový pořad, - vetknutý polygonový pořad, - uzavřený polygonový pořad Volný polygonový pořad Připojený a orientovaný Z bodu P o známých souřadnicích můžeme určit souřadnice dalších bodů tak, že zacílíme na bod Q, kde známe σ PQ nebo jej můžeme vypočítat. Na bodě P změříme úhel ω P a stranu s P1. Souřadnice bodu 1 vypočteme pomocí rajónu (viz.kap. 1). Obdobně můžeme pokračovat dál, na bodě 1 změříme úhel ω 1 a stranu s 1 a vypočteme souřadnice bodu. Následně vypočteme souřadnice bodu K. Koncový bod K není vázán žádnými podmínkami, proto mluvíme o volném polygonovém pořadu. Polohové připojení znamená,že známe souřadnice počátečního bodu, orientace pořadu je dána známým směrníkem σ PQ a úhelem ω P. Budeme-li určovat levostranné úhly ze zápisníku, vypočteme je jako rozdíl směrů, kdy od směru na bod vpřed odečtu směr na bod vzad. Celý výpočet se tedy bude skládat z výpočtu několika na sebe navazujících rajónů. Podle platných norem by volný polygonový pořad neměl mít více než tři nové vrcholy a neměl by být delší než 50 m. Abychom lépe látku procvičili, nejsou v tomto učebním textu vždy tyto podmínky dodrženy. 5

26 Dáno: P,Q [y,x] Měřeno: s, ω Úkol: 1,,K [y,x] Obr Postup výpočtu: U všech rajónů vypočteme nejdříve směrníky σ, potom všechny souřadnicové rozdíly y a x a nakonec souřadnice všech polygonových bodů. 1. Výpočet směrníků: σ P1 = σ PQ + ω P σ 1 = σ P1 + ω 1 R σ K = σ 1 + ω R Směrník první polygonové strany σ P1 se rovná připojovacímu směrníku σ PQ zvětšenému o orientační úhel ω P (pokud je σ P1 >4R, odečteme 4R). Směrník každé další polygonové strany se rovná směrníku strany předcházející zvětšenému o levostranný vrcholový úhel a zmenšenému o R (pokud je σ<0, přičteme 4R). Kontrola výpočtu směrníků: σ P1 = σ PQ + ω P σ 1 = σ P1 + ω 1 R σ K = σ 1 + ω R tj. σ K = σ PQ + [ω].r. Obecně platí, že směrník poslední polygonové strany se rovná připojovacímu směrníku zvětšenému o součet levostranných vrcholových úhlů a zmenšenému o příslušný počet R. σ nk = σ PQ + [ω] i.r. Číslo i je rovno počtu vrcholových úhlů mimo ω P.. Výpočet souřadnicových rozdílů: y P1 = s P1.sinσ P1 x P1 = s P1.cosσ P1 y 1 = s 1.sinσ 1 x 1 = s 1.cosσ 1 y K = s K.sinσ K x K = s K.cosσ K. 6

27 3. Výpočet souřadnic polygonových bodů: y 1 = y P + y P1 x 1 = x P + x P1 y = y 1 + y 1 x = x 1 + x 1 y K = y 1 + y K x K = x + x K. Kontrola výpočtu souřadnic: y K = y P + [ y] x K = x P + [ x]. Příklad Vypočtěte souřadnice polygonových bodů 1,,K, jsou-li dány souřadnice bodu P (y = ,56 m, x = ,1 m), měřené délky a úhly a připojovací směrník σ PQ (obr.4.1.). ω P = 77,7560 g ω 1 = 194,5080 g ω = 187,4550 g s P1 = 78,43 m s 1 = 85,54 m s K = 67,39 m σ PQ = 50,5753 g Obr.4.1. Celý výpočet provedeme v tiskopisu (Př.4.1.1).Nejprve vyplníme sloupce,3 a 5 a ve sloupcích 7,8 zapíšeme souřadnice bodu P. Potom vypočteme jednotlivé směrníky ve sloupci 4 a poslední směrník překontrolujeme. Následně vypočteme souřadnicové rozdíly ve sloupcích 7,8 (píšeme doprostřed), nakonec vypočteme výsledné souřadnice v sl. 7,8 (silně orámovaná spodní část řádku pro bod) a zkontrolujeme souhlas souřadnicových rozdílů. 7

28 Str.: Př VÝPOČET SOUŘADNIC BODŮ POLYGONOVÝCH POŘADŮ Číslo pořadu Číslo bodu Úhly a úhlové Směrníky Strany Souřadnice a souřadnicové vyrovnání vyrovnání σ s g c cc g c cc Y X (1) () (3) (4) (5) (6) (7) (8) P , ,1 1 K ,43 70,79-33, , , ,54 80,09-30, , , ,39 66,51-10, , ,48 Má být y = 17,39 x = -74,64 [ y ]= 17,39 [ x ]= -74,64 Jest Příklad 4.1. Vypočtěte souřadnice polygonových bodů 158, 159, 160. Pořad vychází z bodu 19 s orientací na bod 18 (obr.4.1.3). Bod 19 (y = ,76 x = ,94). ω 19 = 110,530 g ω 158 = 15,3450 g ω 159 = 171,350 g s = 138,11 m s = 14,74 m s = 114,95 m σ = 88,1518 g Výpočet je proveden ve formuláři (Př.4.1.). Obr

29 VÝPOČET SOUŘADNIC BODŮ POLYGONOVÝCH POŘADŮ Str.: Př.4.1. Číslo pořadu Číslo bodu Úhly a úhlové vyrovnání Směrníky σ Strany s Souřadnice a souřadnicové vyrovnání g c cc g c cc Y X (1) () (3) (4) (5) (6) (7) (8) , , ,11 -,86 138, , , ,74 31,0 139, , , ,95-6,37 111, , ,19 Má být y = 1,97 x = 389,5 [ y ]= 1,97 [ x ]= 389,5 Jest Ve vlastní soustavě V praxi se někdy vyskytuje volný polygonový pořad, který není ani na počátečním, ani na koncovém bodě polohově připojen a ani orientován. Známe pouze délky stran a levostranné vrcholové úhly. Úlohu proto počítáme ve vlastní soustavě, kde zpravidla za počátek soustavy volíme první polygonový bod a osu +X vkládáme do první polygonové strany. Obr

30 Příklad Vypočtěte souřadnice polygonových bodů P,1,,3,4,K ve vlastní souřadnicové soustavě podle obr ω 1 = 3,337 g ω = 64,7306 g ω 3 = 164,796 g ω 4 = 7,7113 g Obr s P1 = 100,93 m s 1 = 11,31 m s 3 = 88,70 m s 34 = 18,05 m s 4K = 116,3 m Výpočet je proveden ve formuláři (Př.4.1.3). Str.: Př VÝPOČET SOUŘADNIC BODŮ POLYGONOVÝCH POŘADŮ Číslo Úhly a úhlové Směrníky Strany Souřadnice a souřadnicové Číslo vyrovnání σ s vyrovnání bodu g c cc g c cc Y X (1) () (3) (4) (5) (6) (7) (8) pořadu P K 0,00 0, ,93 0,00 100, ,00 100, ,31 54,47 98, ,47 199, ,70 88,60 4, ,07 03, ,05 105,05 73, ,1 76, ,3 114,57 0,08 36,69 96,69 Má být y = 36,6 x = 96,69 [ y ]= 36,69 [ x ]= 96,69 Jest

31 Cvičení: * Vypočtěte souřadnice polygonových bodů 4101, 410, 4103, je-li počátečním bodem pořadu bod 111. Pořad je orientován na bod 7 (obr.4.1.6). Obr ČB Y X , , , ,1 ω 111 = 166,5383 g ω 4101 = 194,506 g ω 410 = 08,0463 g s = 98,43 m s = 75,54 m s = 68,65 m * Vypočtěte souřadnice polygonových bodů 4104, 4105, Pořad začíná na bodě 30, orientace je na bod 185 (obr.4.1.7). CB Y X , , , ,70 ω 30 = 110,530 g ω 4104 = 15,3450 g ω 4105 = 171,350 g s = 88,11 m s = 7,74 m s = 84,95 m Obr * Vypočtěte souřadnice polygonových bodů 4107, 4108, 4109, 4110, 4111, 411. Pořad je připojen na bod 8 a orientován na bod 111 (obr.4.1.8). 31

32 Zápisník měřených úhlů a vzdáleností Číslo Výsledná Vodorovné úhly vzdálenost průměr redukovaný s průměr g c cc m cm (1) () (3) (4) (5) (6) I II stanoviska cílového bodu Řada I 4107 II I 8 II I 4108 II I 4107 II I 4109 II I 4108 II I 4110 II I 4109 II I 4111 II I 4110 II I 411 II ČB Y X , , , ,69 Obr Při zaměření sklepních prostorů byl zvolen polygonový pořad připojený na povrchu na polygonovou stranu (obr.4.1.9). ČB Y X , , , ,96 Obr ω 86 = 84,984 g ω 1011 = 95,049 g ω 101 = 76,654 g ω 1013 = 118,351 g ω 1014 = 111,38 g s = 14,585 m s = 13,906 m s = 8,973 m s = 15,065 m s = 16,987 m 3

33 V polygonovém pořadu jsou dány levostranné úhly a délky polygonových stran. Vypočtěte polygonový pořad ve vlastní soustavě (obr ). ω 1 = 161,301 g ω = 10,653 g ω 3 = 170,981 g ω 4 = 153,086 g ω 5 = 08,379 g s P1 = 10,04 m s 1 = 119,38 m s 3 = 109,76 m s 34 = 15,39 m s 45 = 84,06 m s 5K = 86,97 m Obr

34 4.. Vetknutý, oboustranně orientovaný polygonový pořad Nejčastěji se vyskytuje takový polygonový pořad, u kterého známe souřadnice počátečního i koncového bodu a známe orientaci na počátečním i koncovém bodě pořadu. Měříme délky polygonových stran a levostranné úhly. Podle dřívějšího označení se tento polygonový pořad nazýval oboustranně připojený, oboustranně orientovaný. Dáno: P,K,Q,M [y,x] Měřeno: s, ω Úkol: 1,,3 [y,x] Obr.4..1 Vypočteme-li u tohoto pořadu souřadnice bodu K, měly by souhlasit se souřadnicemi danými. Protože měřené délky a úhly jsou zatíženy nevyhnutelnými chybami, liší se vypočtené souřadnice koncového bodu od souřadnic daných, tj. při výpočtu se dostaneme do bodu K místo do daného bodu K. Abychom tento nesouhlas odstranili, musíme provést úhlové a souřadnicové vyrovnání. Postup výpočtu: 1. Úhlové vyrovnání: σ P1 = σ PQ + ω P σ 1 = σ P1 + ω 1 R σ 3 = σ 1 + ω R σ 3K = σ 3 + ω 3 R σ KM = σ KM + ω K R σ KM = σ PQ + [ω] 4.R. σ KM porovnáme s daným směrníkem σ KM, O ω = σ KM - σ KM. Rozdíl O ω se nazývá úhlová odchylka. Tato odchylka nesmí překročit tzv. mezní úhlovou odchylku ω. Velikost této odchylky je dána přesností počítaných bodů. V našich případech budeme používat 34

SYLABUS PŘEDNÁŠKY 8 Z GEODÉZIE 1

SYLABUS PŘEDNÁŠKY 8 Z GEODÉZIE 1 SYLABUS PŘEDNÁŠKY 8 Z GEODÉZIE 1 Souřadnicové výpočty 2 1 ročník bakalářského studia studijní program G studijní obor G doc Ing Jaromír Procházka CSc listopad 2015 1 Geodézie 1 přednáška č8 VÝPOČET SOUŘADNIC

Více

Souřadnicové výpočty I.

Souřadnicové výpočty I. Geodézie přednáška 7 Souřadnicové výpočt I. Ústav geoinformačních technologií Lesnická a dřevařská fakulta ugt.mendelu.cz tel.: 545134015 Výpočet směrníku a délk stran v základním i podrobném bodovém poli

Více

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz 1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině

Více

Předloha č. 2 podrobné měření

Předloha č. 2 podrobné měření Předloha č. 2 podrobné měření 1. Zadání 2. Zápisník 3. Stručný návod Groma 4. Protokol Groma 5. Stručný návod Geus 6. Protokol Geus 7. Stručný návod Kokeš 8. Protokol Kokeš 1 Zadání 1) Vložte dané body

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,

Více

Vytyčovací sítě. Výhody: Přizpůsobení terénu

Vytyčovací sítě. Výhody: Přizpůsobení terénu Typ liniové sítě záleží na požadavcích na přesnost. Mezi tyto sítě patří: polygonové sítě -> polygonový pořad vedený souběžně s liniovou stavbou troj a čtyřúhelníkové řetězce -> zdvojený polygonový pořad

Více

100 1500 1200 1000 875 750 675 600 550 500 - - 775 650 550 500 450 400 350 325 - -

100 1500 1200 1000 875 750 675 600 550 500 - - 775 650 550 500 450 400 350 325 - - Prostý kružnicový oblouk Prostý kružnicový oblouk se používá buď jako samostatné řešení změny směru osy nebo nám slouží jako součást směrové změny v kombinaci s přechodnicemi nebo složenými oblouky. Nejmenší

Více

GEODÉZIE II. daný bod. S i.. měřené délky Ψ i.. měřené směry. orientace. Měřická přímka PRINCIP POLÁRNÍ METODY

GEODÉZIE II. daný bod. S i.. měřené délky Ψ i.. měřené směry. orientace. Měřická přímka PRINCIP POLÁRNÍ METODY Vysoká škola báňská technická univerzita Ostrava Hornicko-geologická fakulta Institut geodézie a důlního měřictví GEODÉZIE II Ing. Hana Staňková, Ph.D. kontrolní oměrná míra PRINCIP POLÁRNÍ METODY 4. Podrobné

Více

4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil

4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil 4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil Síla je veličina vektorová. Je určena působištěm, směrem, smyslem a velikostí. Působiště síly je bod, ve kterém se přenáší účinek síly na těleso. Směr

Více

Podrobné polohové bodové pole (1)

Podrobné polohové bodové pole (1) Podrobné polohové bodové pole (1) BUDOVÁNÍ NEBO REVIZE A DOPLNĚNÍ PODROBNÉHO POLOHOVÉHO BODOVÉHO POLE Prohloubení nabídky dalšího vzdělávání v oblasti Prohloubení nabídky zeměměřictví dalšího vzdělávání

Více

Shodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem

Shodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem Shodná zobrazení Otočení Příklad 1. Jsou dány tři různé soustředné kružnice a, b a c. Sestrojte rovnostranný trojúhelník ABC tak, aby A ležel na a, B ležel na b a C ležel na c. Řešení. Zvolíme vrchol A

Více

Analytická geometrie lineárních útvarů

Analytická geometrie lineárních útvarů ) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Analtická geometrie lineárních útvarů Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý bod

Více

Základním úkolem při souřadnicovém určování polohy bodů je výpočet směrníků a délky strany mezi dvěma body, jejichž pravoúhlé souřadnice jsou známé.

Základním úkolem při souřadnicovém určování polohy bodů je výpočet směrníků a délky strany mezi dvěma body, jejichž pravoúhlé souřadnice jsou známé. 1 Určování poloh bodů pomocí souřadnic Souřadnicové výpočt eodetických úloh řešíme v pravoúhlém souřadnicovém sstému S-JTSK, ve kterém osa +X je orientována od severu na jih a osa +Y od východu na západ.

Více

Výuka v terénu I. Obory: Inženýrská geodézie a Důlní měřictví. Skupiny: GB1IGE01, GB1IGE02, GB1DME

Výuka v terénu I. Obory: Inženýrská geodézie a Důlní měřictví. Skupiny: GB1IGE01, GB1IGE02, GB1DME Výuka v terénu I Obory: Inženýrská geodézie a Důlní měřictví Skupiny: GB1IGE01, GB1IGE02, GB1DME01 27. 4-30. 4. 2015 1. Trojúhelníkový řetězec Zásady pro zpracování úlohy: Zaměřte ve skupinách úhly potřebné

Více

SOUŘADNICE BODU, VZDÁLENOST BODŮ

SOUŘADNICE BODU, VZDÁLENOST BODŮ Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.001 SOUŘADNICE BODU, VZDÁLENOST BODŮ SOUŘADNICE BODU NA PŘÍMCE ČÍSELNÁ OSA na přímce je určena počátkem O a jednotkou měření. Libovolný bod A na číselné ose

Více

Ukázka hustoty bodového pole

Ukázka hustoty bodového pole Ing. Pavel Hánek, Ph.D. hanek00@zf.jcu.cz síť bodů pokrývající území ČR u bodů jsou známé souřadnice Y, X v S-JTSK, případně souřadnice B, L v ERTS pro každý bod jsou vyhotoveny geodetické údaje (GÚ) ukázka

Více

β 180 α úhel ve stupních β úhel v radiánech β = GONIOMETRIE = = 7π 6 5π 6 3 3π 2 π 11π 6 Velikost úhlu v obloukové a stupňové míře: Stupňová míra:

β 180 α úhel ve stupních β úhel v radiánech β = GONIOMETRIE = = 7π 6 5π 6 3 3π 2 π 11π 6 Velikost úhlu v obloukové a stupňové míře: Stupňová míra: GONIOMETRIE Veliost úhlu v oblouové a stupňové míře: Stupňová míra: Jednota (stupeň) 60 600 jeden stupeň 60 minut 600 vteřin Př. 5,4 5 4 0,4 0,4 60 4 Oblouová míra: Jednota radián radián je veliost taového

Více

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy 5 Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy Trojúhelník: Trojúhelník je definován jako průnik tří polorovin. Pojmy: ABC - vrcholy trojúhelníku abc - strany trojúhelníku ( a+b>c,

Více

Základní úlohy v Mongeově promítání. n 2 A 1 A 1 A 1. p 1 N 2 A 2. x 1,2 N 1 x 1,2. x 1,2 N 1

Základní úlohy v Mongeově promítání. n 2 A 1 A 1 A 1. p 1 N 2 A 2. x 1,2 N 1 x 1,2. x 1,2 N 1 Základní úlohy v Mongeově promítání Předpokladem ke zvládnutí zobrazení v Mongeově promítání je znalost základních úloh. Ale k porozumění následujícího textu je třeba umět zobrazit bod, přímku a rovinu

Více

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C)

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) max. 3 body 1 Zjistěte, zda vektor u je lineární kombinací vektorů a, b, je-li u = ( 8; 4; 3), a = ( 1; 2; 3), b = (2; 0; 1). Pokud ano, zapište tuto lineární kombinaci.

Více

Teorie sférické trigonometrie

Teorie sférické trigonometrie Teorie sférické trigonometrie Trigonometrie (z řeckého trigónon = trojúhelník a metrein= měřit) je oblast goniometrie zabývající se praktickým užitím goniometrických funkcí při řešení úloh o trojúhelnících.

Více

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1) .6. Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině. 6.1. V této kapitole budeme studovat geometrické úloh v rovině analtick, tj. lineární a kvadratické geometrické útvar vjádříme pomocí

Více

ZÁKLADNÍ PLANIMETRICKÉ POJMY

ZÁKLADNÍ PLANIMETRICKÉ POJMY ZÁKLADNÍ PLANIMETRICKÉ POJMY Základní geometrické pojmy jsou bod, přímka a rovina. Geometrie je chápána jako část matematiky, která se zabývá studiem geometrických útvarů v rovině. Body určujeme jako průsečíky

Více

Geodézie a pozemková evidence

Geodézie a pozemková evidence 2012, Brno Ing.Tomáš Mikita, Ph.D. Geodézie a pozemková evidence Přednáška č.5 Metody výškového měření, měření vzdáleností, měřické přístroje Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické

Více

M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK

M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento dokument byl

Více

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel. 5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených

Více

Trigonometrické určení výšek nepřístupných bodů na stavebním objektu

Trigonometrické určení výšek nepřístupných bodů na stavebním objektu Trigonometrické určení výšek nepřístupných bodů na stavebním objektu Prof. Ing. Jiří Pospíšil, CSc., 2010 V urbanismu a pozemním stavitelství lze trigonometrického určování výšek užít při zjišťování relativních

Více

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Geometrie Různé metody řešení Téma: Analytická geometrie v prostoru, vektory, přímky Autor:

Více

PLANIMETRIE úvodní pojmy

PLANIMETRIE úvodní pojmy PLANIMETRIE úvodní pojmy Je část geometrie zabývající se studiem geometrických útvarů v rovině. Základními stavebními kameny v rovině budou bod a přímka. 1) Přímka a její části Dvěma různými body lze vést

Více

Úlohy krajského kola kategorie A

Úlohy krajského kola kategorie A 62. ročník matematické olympiády Úlohy krajského kola kategorie A 1. Je dáno 21 různých celých čísel takových, že součet libovolných jedenácti z nich je větší než součet deseti ostatních čísel. a) Dokažte,

Více

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 Mgr. Tomáš Kotler I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Je dán rovinný obrazec, v obrázku vyznačený barevnou výplní, který představuje

Více

7.5.3 Hledání kružnic II

7.5.3 Hledání kružnic II 753 Hledání kružnic II Předpoklady: 750 Pedagogická poznámka: Tato hodina patří mezi vůbec nejtěžší Není reálné předpokládat, že by většina studentů dokázala samostatně přijít na řešení, po čase na rozmyšlenou

Více

obecná rovnice kružnice a x 2 b y 2 c x d y e=0 1. Napište rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A[-3;2].

obecná rovnice kružnice a x 2 b y 2 c x d y e=0 1. Napište rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A[-3;2]. Kružnice množina bodů, které mají od středu stejnou vzdálenost pojmy: bod na kružnici X [x, y]; poloměr kružnice r pro střed S[0; 0]: SX =r x 0 2 y 0 2 =r x 2 y 2 =r 2 pro střed S[m; n]: SX =r x m 2 y

Více

Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti.

Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti. U. 4. Goniometrie Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti. 4.. Orientovaný úhel a jeho velikost. Orientovaným úhlem v rovině rozumíme uspořádanou dvojici polopřímek

Více

CVIČNÝ TEST 14. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 19 IV. Záznamový list 21

CVIČNÝ TEST 14. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 19 IV. Záznamový list 21 CVIČNÝ TEST 14 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 19 IV. Záznamový list 21 I. CVIČNÝ TEST 1 bod 7x 11 1 Určete hodnotu výrazu pro x = 27. 11 7x 32 2 Aritmetický průměr

Více

P L A N I M E T R I E

P L A N I M E T R I E M T E M T I K P L N I M E T R I E rovinná geometrie Základní planimetrické pojmy od - značí se velkými tiskacími písmeny, např.,,. P, Q. Přímka - značí se malými písmeny, např. a, b, p, q nebo pomocí bodů

Více

CVIČNÝ TEST 51. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 51. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 51 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 V obchodě s kouzelnickými potřebami v Kocourkově

Více

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2.

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2. Kapitola 2 Přímková a rovinná soustava sil 2.1 Přímková soustava sil Soustava sil ležící ve společném paprsku se nazývá přímková soustava sil [2]. Působiště všech sil m i lze posunout do společného bodu

Více

Přípravný kurz k vykonání maturitní zkoušky v oboru Dopravní stavitelství. Ing. Pavel Voříšek MĚŘENÍ VZDÁLENOSTÍ. VOŠ a SŠS Vysoké Mýto leden 2008

Přípravný kurz k vykonání maturitní zkoušky v oboru Dopravní stavitelství. Ing. Pavel Voříšek MĚŘENÍ VZDÁLENOSTÍ. VOŠ a SŠS Vysoké Mýto leden 2008 Přípravný kurz k vykonání maturitní zkoušky v oboru Dopravní stavitelství Ing. Pavel Voříšek MĚŘENÍ VZDÁLENOSTÍ VOŠ a SŠS Vysoké Mýto leden 2008 METODY MĚŘENÍ DÉLEK PŘÍMÉ (měřidlo klademe přímo do měřené

Více

4.3.3 Základní goniometrické vzorce I

4.3.3 Základní goniometrické vzorce I 4.. Základní goniometrické vzorce I Předpoklady: 40 Dva vzorce, oba známe už z prváku. Pro každé R platí: + =. Důkaz: Použijeme definici obou funkcí v jednotkové kružnici: T sin() T 0 - cos() S 0 R - Obě

Více

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Závislosti a funkční vztahy Gradovaný řetězec úloh Téma: graf funkce, derivace funkce a její

Více

4.3.4 Základní goniometrické vzorce I

4.3.4 Základní goniometrické vzorce I .. Základní goniometrické vzorce I Předpoklady: 0 Dva vzorce, oba známe už z prváku. Pro každé R platí: + =. Důkaz: Použijeme definici obou funkcí v jednotkové kružnici: T sin() T 0 - cos() S 0 R - Obě

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

M - Příprava na 12. zápočtový test

M - Příprava na 12. zápočtový test M - Příprava na 1. zápočtový test Určeno pro studenty dálkového studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete

Více

VÝPOČET VÝMĚR. Zpracováno v rámci projektu CTU 0513011 (2005)

VÝPOČET VÝMĚR. Zpracováno v rámci projektu CTU 0513011 (2005) VÝPOČET VÝMĚR Zpracováno v rámci projektu CTU 0513011 (2005) Výměry se určují: Početně: - z měr odsunutých z mapy (plánu), - z měr, přímo měřených v terénu, - z pravoúhlých souřadnic, - z polárních souřadnic.

Více

h n i s k o v v z d á l e n o s t s p o j n ý c h č o č e k

h n i s k o v v z d á l e n o s t s p o j n ý c h č o č e k h n i s k o v v z d á l e n o s t s p o j n ý c h č o č e k Ú k o l : P o t ř e b : Změřit ohniskové vzdálenosti spojných čoček různými metodami. Viz seznam v deskách u úloh na pracovním stole. Obecná

Více

2D transformací. červen Odvození transformačního klíče vybraných 2D transformací Metody vyrovnání... 2

2D transformací. červen Odvození transformačního klíče vybraných 2D transformací Metody vyrovnání... 2 Výpočet transformačních koeficinetů vybraných 2D transformací Jan Ježek červen 2008 Obsah Odvození transformačního klíče vybraných 2D transformací 2 Meto vyrovnání 2 2 Obecné vyjádření lineárních 2D transformací

Více

CVIČNÝ TEST 10. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Renáta Koubková. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

CVIČNÝ TEST 10. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Renáta Koubková. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 CVIČNÝ TEST 10 Mgr. Renáta Koubková OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Pro x R řešte rovnici: 5 x 1 + 5 x + 5 x + 3 = 3 155. 2 Za předpokladu

Více

9. Je-li cos 2x = 0,5, x 0, π, pak tgx = a) 3. b) 1. c) neexistuje d) a) x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R d) x < 4. e) 3 3 b

9. Je-li cos 2x = 0,5, x 0, π, pak tgx = a) 3. b) 1. c) neexistuje d) a) x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R d) x < 4. e) 3 3 b 008 verze 0A. Řešeními nerovnice x + 4 0 jsou právě všechna x R, pro která je x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R x < 4 e) nerovnice nemá řešení b. Rovnice x + y x = je rovnicí přímky b) dvojice přímek c) paraboly

Více

pro každé i. Proto je takových čísel m právě N ai 1 +. k k p

pro každé i. Proto je takových čísel m právě N ai 1 +. k k p KOMENTÁŘE ÚLOH 43. ROČNÍKU MO, KATEGORIE A 1. Přirozené číslo m > 1 nazveme k násobným dělitelem přirozeného čísla n, pokud platí rovnost n = m k q, kde q je celé číslo, které není násobkem čísla m. Určete,

Více

Cyklografie. Cyklický průmět bodu

Cyklografie. Cyklický průmět bodu Cyklografie Cyklografie je nelineární zobrazovací metoda - bodům v prostoru odpovídají kružnice v rovině a naopak. Úlohy v rovině pak převádíme na řešení prostorových úloh, např. pomocí cyklografie řešíme

Více

Planimetrie Metody a pomůcky k měření ploch Srážka mapového listu Výpočet plochy ze souřadnic Dělení pozemků (plochy) Kartografie.

Planimetrie Metody a pomůcky k měření ploch Srážka mapového listu Výpočet plochy ze souřadnic Dělení pozemků (plochy) Kartografie. Planimetrie Metody a pomůcky k měření ploch Srážka mapového listu Výpočet plochy ze souřadnic Dělení pozemků (plochy) Kartografie přednáška 9 Měření ploch při určování plochy na plánu nebo mapě se vždy

Více

7.2.12 Vektorový součin I

7.2.12 Vektorový součin I 7 Vektorový součin I Předpoklad: 708, 7 Při násobení dvou čísel získáváme opět číslo Skalární násobení vektorů je zcela odlišné, protože vnásobením dvou vektorů dostaneme číslo, ted něco jiného Je možné

Více

1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem

1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem Analytická geometrie - kružnice Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A = ; 5 [ ] Napište středový i obecný tvar rovnice kružnice, která má střed

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii

Více

9 Kolmost vektorových podprostorů

9 Kolmost vektorových podprostorů 9 Kolmost vektorových podprostorů Od kolmosti dvou vektorů nyní přejdeme ke kolmosti dvou vektorových podprostorů. Budeme se zabývat otázkou, kdy jsou dva vektorové podprostory na sebe kolmé a jak to poznáme.

Více

Sada 2 Geodezie II. 20. Geodetická cvičení

Sada 2 Geodezie II. 20. Geodetická cvičení S třední škola stavební Jihlava Sada 2 Geodezie II 20. Geodetická cvičení Digitální učební materiál projektu: SŠS Jihlava šablony registrační číslo projektu:cz.1.09/1.5.00/34.0284 Šablona: III/2 - inovace

Více

prostorová definice (viz obrázek vlevo nahoře): elipsa je průsečnou křivkou rovinného

prostorová definice (viz obrázek vlevo nahoře): elipsa je průsečnou křivkou rovinného Elipsa Výklad efinice a ohniskové vlastnosti prostorová definice (viz obrázek vlevo nahoře): elipsa je průsečnou křivkou rovinného řezu na rotační kuželové ploše, jestliže řezná rovina není kolmá k ose

Více

a se nazývá aritmetická právě tehdy, když existuje takové číslo d R

a se nazývá aritmetická právě tehdy, když existuje takové číslo d R Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA TŘETÍ Mgr. Tomáš MAŇÁK. březen 014 Název zpracovaného celku: ARITMETICKÁ POSLOUPNOST A JEJÍ UŽITÍ ARITMETICKÁ POSLOUPNOST Teorie: Posloupnost každé ( ) n n1

Více

CVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 15 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Je dána čtvercová mřížka, v níž každý čtverec má délku

Více

CVIČNÝ TEST 35. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 35. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 35 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST 1 Vypočtěte [( 3 3 ) ( 1 4 5 3 0,5 ) ] : 1 6 1. 1 bod VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE

Více

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy Koza se pase na polovině zahrady, Jaroslav eichl, 011 K OZA E PAE NA POLOVINĚ ZAHADY Zadání úlohy Zahrada kruhového tvaru má poloměr r = 10 m. Do zahrady umístíme kozu, kterou přivážeme provazem ke kolíku

Více

2012, Brno Ing.Tomáš Mikita, Ph.D. Geodézie a pozemková evidence

2012, Brno Ing.Tomáš Mikita, Ph.D. Geodézie a pozemková evidence 2012, Brno Ing.Tomáš Mikita, Ph.D. Geodézie a pozemková evidence Přednáška č.7 Vytyčování, souřadnicové výpočty, podélné a příčné profily Vytyčování Geodetická činnost uskutečněná odborně a nestranně na

Více

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................

Více

CVIČNÝ TEST 1. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23

CVIČNÝ TEST 1. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23 CVIČNÝ TEST 1 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23 I. CVIČNÝ TEST 1 Určete výraz V, který je největším společným dělitelem výrazů V 1 V 3 :

Více

Úloha č. 1 : TROJÚHELNÍK. Určení prostorových posunů stavebního objektu

Úloha č. 1 : TROJÚHELNÍK. Určení prostorových posunů stavebního objektu Václav Čech, ČVUT v Praze, Fakulta stavební, 008 Úloha č. 1 : TROJÚHELNÍK Určení prostorových posunů stavebního objektu Zadání : Zjistěte posun bodu P do P, umístěného na horní terase Stavební fakulty.

Více

= cos sin = sin + cos = 1, = 6 = 9. 6 sin 9. = 1 cos 9. = 1 sin 9. + 6 cos 9 = 1 0,939692621 6 ( 0,342020143) = 1 ( 0,342020143) + 6 0,939692621

= cos sin = sin + cos = 1, = 6 = 9. 6 sin 9. = 1 cos 9. = 1 sin 9. + 6 cos 9 = 1 0,939692621 6 ( 0,342020143) = 1 ( 0,342020143) + 6 0,939692621 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MA+ULA ČÁST Příklad Bod má vůči souřadné soustavě souřadnice uvedené níže. Vypočtěte jeho souřadnice vzhledem k soustavě, která je vůči otočená dle zadání uvedeného níže. Výsledky zaokrouhlete

Více

- shodnost trojúhelníků. Věta SSS: Věta SUS: Věta USU:

- shodnost trojúhelníků. Věta SSS: Věta SUS: Věta USU: 1/12 PLANIMETRIE Základní pojmy: Shodnost, podobnost trojúhelníků Středová souměrnost, osová souměrnost, posunutí, otočení shodná zobrazení Středový a obvodový úhel Obsahy a obvody rovinných obrazců 1.

Více

Určování výměr Srážka mapového listu Výpočet objemů Dělení pozemků

Určování výměr Srážka mapového listu Výpočet objemů Dělení pozemků Geodézie přednáška 9 Určování výměr Srážka mapového listu Výpočet objemů Dělení pozemků Ústav geoinformačních technologií Lesnická a dřevařská fakulta ugt.mendelu.cz tel.: 545134015 Určování výměr určování

Více

[obr. 1] Rozbor S 3 S 2 S 1. o 1. o 2 [obr. 2]

[obr. 1] Rozbor S 3 S 2 S 1. o 1. o 2 [obr. 2] Příklad Do dané kruhové výseče s ostrým středovým úhlem vepište kružnici (obr. ). M k l V N [obr. ] Rozbor Oblouk l a hledaná kružnice k se dotýkají v bodě T, mají proto v tomto bodě společnou tečnu t.

Více

37. PARABOLA V ANALYTICKÉ GEOMETRII

37. PARABOLA V ANALYTICKÉ GEOMETRII 37.. Napiš rovnici paraboly, která má osu rovnoběžnou s osou y a prochází body A 0; 60, B 4; 8, C 8;36. 0m p60n 4m p8n 8m p36n m p pn 0 6 8 6 mm p pn 64 6 7 3 mm p pn 6 8m64 p 3 64 6m9 p Je-li osa rovnoběžná

Více

Vytyčení polohy bodu polární metodou

Vytyčení polohy bodu polární metodou Obsah Vytyčení polohy bodu polární metodou... 2 1 Vliv měření na přesnost souřadnic... 3 2 Vliv měření na polohovou a souřadnicovou směrodatnou odchylku... 4 3 Vliv podkladu na přesnost souřadnic... 5

Více

4. URČOVÁNÍ VÝŠEK BODŮ TECHNICKOU NIVELACÍ 4. 1. PRINCIP GEOMETRICKÉ NIVELACE ZE STŘEDU. Vysvětlení symbolů a jejich významu:

4. URČOVÁNÍ VÝŠEK BODŮ TECHNICKOU NIVELACÍ 4. 1. PRINCIP GEOMETRICKÉ NIVELACE ZE STŘEDU. Vysvětlení symbolů a jejich významu: 4. URČOVÁNÍ VÝŠEK BODŮ TECHNICKOU NIVELACÍ 4. 1. PRINCIP GEOMETRICKÉ NIVELACE ZE STŘEDU SMĚR MĚŘENÍ Vysvětlení symbolů a jejich významu: A daný bod výškového bodového pole, H A výška bodu A v systému Bpv,

Více

Trojúhelníky. a jejich různé středy. Součet vnitřních úhlů trojúhelníku = 180 neboli π radiánů.

Trojúhelníky. a jejich různé středy. Součet vnitřních úhlů trojúhelníku = 180 neboli π radiánů. Úvod V této knize předkládáme čtenáři základní matematické a fyzikální vzorce v přívětivé a snadno použitelné podobě. Využití čísel a symbolů k modelování, předpovídání a ovládání reality je mocnou zbraní

Více

KRUHOVÁ ŠROUBOVICE A JEJÍ VLASTNOSTI

KRUHOVÁ ŠROUBOVICE A JEJÍ VLASTNOSTI KRUHOVÁ ŠROUBOVICE A JEJÍ VLASTNOSTI Šroubový pohyb vzniká složením otáčení kolem osy o a posunutí ve směru osy o, přičemž oba pohyby jsou spojité a rovnoměrné. Jestliže při pohybu po ose "dolů" je otáčení

Více

CVIČNÝ TEST 12. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 19 IV. Záznamový list 21

CVIČNÝ TEST 12. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 19 IV. Záznamový list 21 CVIČNÝ TEST 12 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 19 IV. Záznamový list 21 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Písmena A, B, C a D vyjadřují každé jednu z číslic

Více

7.1.3 Vzdálenost bodů

7.1.3 Vzdálenost bodů 7.. Vzdálenost bodů Předpoklady: 70 Př. : Urči vzdálenost bodů A [ ;] a B [ 5;] obecný vzorec pro vzdálenost bodů A[ a ; a ] a [ ; ]. Na základě řešení příkladu se pokus sestavit B b b. y A[;] B[5;] Z

Více

SYLABUS PŘEDNÁŠKY 7 Z GEODÉZIE 1

SYLABUS PŘEDNÁŠKY 7 Z GEODÉZIE 1 SYLABUS PŘEDNÁŠKY 7 Z GEODÉZIE 1 (Souřdnicové výpočty) 1 ročník bklářského studi studijní progrm G studijní obor G doc Ing Jromír Procházk CSc listopd 2015 1 Geodézie 1 přednášk č7 VÝPOČET SOUŘADNIC JEDNOHO

Více

b) Po etní ešení Všechny síly soustavy tedy p eložíme do po átku a p ipojíme p íslušné dvojice sil Všechny síly soustavy nahradíme složkami ve sm

b) Po etní ešení Všechny síly soustavy tedy p eložíme do po átku a p ipojíme p íslušné dvojice sil Všechny síly soustavy nahradíme složkami ve sm b) Početní řešení Na rozdíl od grafického řešení určíme při početním řešení bod, kterým nositelka výslednice bude procházet. Mějme soustavu sil, která obsahuje n - sil a i - silových dvojic obr.36. Obr.36.

Více

Omezíme se jen na lomené čáry, jejichž nesousední strany nemají společný bod. Jestliže A 0 = A n (pro n 2), nazývá se lomená čára uzavřená.

Omezíme se jen na lomené čáry, jejichž nesousední strany nemají společný bod. Jestliže A 0 = A n (pro n 2), nazývá se lomená čára uzavřená. MNOHOÚHELNÍKY Vlastnosti mnohoúhelníků Lomená čára C 0 C C C 3 C 4 protíná samu sebe. Lomená čára A 0 A A... A n- A n (n ) se skládá z úseček A 0 A, A A,..., A n- A n, z nichž každé dvě sousední mají společný

Více

CVIČNÝ TEST 11. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 19 IV. Záznamový list 21

CVIČNÝ TEST 11. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 19 IV. Záznamový list 21 CVIČNÝ TEST 11 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 19 IV. Záznamový list 21 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Je k dispozici m přepravek na ovoce. Prázdná přepravka

Více

Průmyslová střední škola Letohrad

Průmyslová střední škola Letohrad Průmyslová střední škola Letohrad Cvičení z geodézie 2014 Zpracoval: ng. Jiří Štěpánek Tento projekt je realizovaný v rámci OP VK a je financovaný ze Strukturálních fondů EU (ESF) a ze státního rozpočtu

Více

Definice Tečna paraboly je přímka, která má s parabolou jediný společný bod,

Definice Tečna paraboly je přímka, která má s parabolou jediný společný bod, 5.4 Parabola Parabola je křivka, která vznikne řezem rotační kuželové plochy rovinou, jestliže odchylka roviny řezu od osy kuželové plochy je stejná jako odchylka povrchových přímek plochy a rovina řezu

Více

5. Statika poloha střediska sil

5. Statika poloha střediska sil 5. Statika poloha střediska sil 5.1 Rovnoběžné sily a jejich střed Uvažujeme soustavu vzájemně rovnoběžných sil v prostoru s pevnými působišti. Každá síla má působiště dané polohovým vektorem. Všechny

Více

CVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

CVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 CVIČNÝ TEST 5 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Zjednodušte výraz (2x 5) 2 (2x 5) (2x + 5) + 20x. 2 Určete nejmenší trojciferné

Více

Příklady k analytické geometrii kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky

Příklady k analytické geometrii kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky Příklady k analytické geometrii kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky Př. 1: Určete rovnice všech kružnic, které procházejí bodem A = * 6; 9+, mají střed na přímce p: x + 3y 18 = 0 a jejich poloměr

Více

Sada 2 Geodezie II. 12. Výpočet kubatur

Sada 2 Geodezie II. 12. Výpočet kubatur S třední škola stavební Jihlava Sada 2 Geodezie II 12. Výpočet kubatur Digitální učební materiál projektu: SŠS Jihlava šablony registrační číslo projektu:cz.1.09/1.5.00/34.0284 Šablona: III/2 - inovace

Více

GONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE

GONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE GONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Přednášející: Ing. M. Čábelka Katedra aplikované geoinformatiky a kartografie PřF UK v Praze

Přednášející: Ing. M. Čábelka Katedra aplikované geoinformatiky a kartografie PřF UK v Praze Seminář z geoinformatiky Metody měření výškopisu, Tachymetrie Seminář z geo oinform matiky Přednášející: Ing. M. Čábelka cabelka@natur.cuni.cz Katedra aplikované geoinformatiky a kartografie PřF UK v Praze

Více

Momenty setrvačnosti a deviační momenty

Momenty setrvačnosti a deviační momenty Momenty setrvačnosti a deviační momenty Momenty setrvačnosti a deviační momenty charakterizují spolu shmotností a statickými momenty hmoty rozložení hmotnosti tělesa vprostoru. Jako takové se proto vyskytují

Více

Poznámka. V některých literaturách se pro označení vektoru také používá symbolu u.

Poznámka. V některých literaturách se pro označení vektoru také používá symbolu u. Vektory, operace s vektory Ž3 Orientovaná úsečka Mějme dvojici bodů, (na přímce, v rovině nebo prostoru), které spojíme a vznikne tak úsečka. Pokud budeme rozlišovat, zda je spojíme od k nebo od k, říkáme,

Více

CVIČNÝ TEST 9 OBSAH. Mgr. Václav Zemek. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

CVIČNÝ TEST 9 OBSAH. Mgr. Václav Zemek. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 CVIČNÝ TEST 9 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Vypočítejte (7,5 10 3 2 10 2 ) 2. Výsledek zapište ve tvaru a 10 n, kde

Více

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: 3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...

Více

CVIČNÝ TEST 41. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 41. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 41 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Je dán magický čtverec, pro nějž platí,

Více

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ 11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Dovednosti: 1. Chápat pojmy orientovaná úsečka a vektor a geometrický význam součtu, rozdílu a reálného násobku orientovaných úseček a vektorů..

Více

Sada 2 Geodezie II. 13. Základní vytyčovací prvky

Sada 2 Geodezie II. 13. Základní vytyčovací prvky S třední škola stavební Jihlava Sada 2 Geodezie II 13. Základní vytyčovací prvky Digitální učební materiál projektu: SŠS Jihlava šablony registrační číslo projektu:cz.1.09/1.5.00/34.0284 Šablona: III/2

Více

5. P L A N I M E T R I E

5. P L A N I M E T R I E 5. P L A N I M E T R I E 5.1 Z Á K L A D N Í P L A N I M E T R I C K É P O J M Y Bod (definice, značení, znázornění) Přímka (definice, značení, znázornění) Polopřímka (definice, značení, znázornění, počáteční

Více

Pravoúhlá axonometrie

Pravoúhlá axonometrie Pravoúhlá axonometrie bod, přímka, rovina, bod v rovině, trojúhelník v rovině, průsečnice rovin, průsečík přímky s rovinou, čtverec v půdorysně, kružnice v půdorysně V Rhinu vypneme osy mřížky (tj. červenou

Více

Parametrická rovnice přímky v rovině

Parametrická rovnice přímky v rovině Parametrická rovnice přímky v rovině Nechť je v kartézské soustavě souřadnic dána přímka AB. Nechť vektor u = B - A. Pak libovolný bod X[x; y] leží na přímce AB právě tehdy, když vektory u a X - A jsou

Více