Kapitola 1. Formální jazyky. 1.1 Formální abeceda a jazyk. Cíle kapitoly: Cíle této části: Klíčová slova: abeceda, slovo, jazyk, operace na jazycích

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Kapitola 1. Formální jazyky. 1.1 Formální abeceda a jazyk. Cíle kapitoly: Cíle této části: Klíčová slova: abeceda, slovo, jazyk, operace na jazycích"

Transkript

1 Kpitol 1 Formální jzyky Cíle kpitoly: Po prostudování kpitoly máte plně rozumět pojmům jko(formální) beced, slovo, jzyk, operce n slovech jzycích; máte zvládt práci s těmito pojmy n prktických příkldech. Klíčová slov: beced, slovo, jzyk, operce n jzycích Komentář: Kpitol má dvě výukové části jednu procvičovcí. U kždé výukové části jsou uvedeny podrobnější cíle, klíčová slov, orientční čs ke studiu n závěr shrnutí. 1.1 Formální beced jzyk Orientční čs ke studiu této části: 1 hod. Cíle této části: Po prostudování této části máte rozumět pojmům jko je formální slovo, beced, jzyk. Máte je být schopni vysvětlit, uvádět příkldy, rozumět popisům jzyků jko množin slov chrkterizovných nějkou podmínkou. Tké máte zvládnout elementární pojmy operce jko je délk slov, prefix, sufix, podslovo, zřetězení slov td. 1

2 2 Kpitol 1. Formální jzyky Klíčová slov: beced, slovo, znk, jzyk, zřetězení, prefix, sufix, podslovo Teoretická informtik poskytuje formální zákldy nástroje pro prktické informtické plikce(jko progrmování či softwrové inženýrství). Jedním z jejích důležitých úkolů je mtemticky popst různé typy lgoritmických problémů výpočtů. Pro mtemtický popis vstupů výstupů problémů (výpočtů) je užitečné nejprve zvést pojmy jko jsou(formální) beced, slovo, jzyk. Použitá symbolická beced pro vstupy výstupy výpočtů závisí n dohodnuté formě zápisu. V počítčové prxi využíváme npř. binární becedu {0,1},hexdecimálníbecedu {0,1,...,9, A,..., F }nebo textovou becedu, npř. v kódování ASCII či nověji UTF-8. Mtemticky můžeme z becedu povžovt libovolnou(dohodnutou) konečnou množinu symbolů; převody zápisů mezi různými becedmi jsou přímočré.(v konkrétním přípdě obvykle volíme becedu, která se přirozeně hodí k dnému problému.) Důležitýmpojmemje(formální) slovo,cožznmenálibovolnýkonečnýřetězec symbolů nd dnou becedou; pokud je v becedě mezer, nemá žádný zvláštní význm.(jkkoli vymezená) množin slov se nzývá(formálním) jzykem.jkopříkldyslovvbecedě {0,1}můžemeuvésttřebslovo slovo Příkldem jzyk s becedou {0, 1} je třeb množinvšechslov(vbecedě {0,1}),kteréobshujísudýpočetznků0 (správněji řečeno: sudý počet výskytů znku 0); první výše uvedené slovo do tohoto jzyk ptří, druhé nikoliv. Všimněme si tké, že tento jzyk je nekonečný nemohli bychom ho tedy zdt výčtem jeho prvků. Uvedené pojmy nyní přesně ndefinujeme zároveň zvedeme důležité operceseslovyjzyky. Definice 1.1 Abecedou myslíme libovolnou konečnou množinu; čsto ji oznčujeme Σ. Prvky becedy nzýváme symboly(či písmen, znky pod.). (Npř.becedΣ={,b}obshujedvěpísmen.) Slovem, neboli řetězcem, nd becedou Σ(též říkáme: v becedě Σ) rozumímelibovolnoukonečnouposloupnostprvkůmnožinyσ.proσ={,b}je to npříkld,b,b,,b; pokud nemůže dojít k nedorozumění, píšeme tkovou posloupnost obvykle bez čárek, jko bbb. Prázdnéslovo jetkéslovemznčíse ε.

3 1.1 Formální beced jzyk 3 Důležitá poznámk k znčení. V konkrétních příkldech budeme typicky používt becedy jko {, b}, {,b,c}, {0,1}pod.ČstoovšembudemehovořitoobecnébeceděΣ budeme třeb popisovt nějkou konstrukci, která se má provést pro kždé písmeno ze Σ. Řekneme tedy npř.: prokždé Σprovedemenásledující... To neznmená, že fyzický symbol je prvkem Σ. V této souvislosti prostě předstvuje proměnnou, kterou používáme při nšem popisu situce. Když tedy npř. příkz postupněprokždé Σvypiš plikujemenbeceduσ={0,1},jepříslušnýmvýpisem0011.ideálníby bylo, kdybychom typogrficky odlišovli používli npř. jen jko prvek konkrétní becedy jen jko onu proměnnou. Upozorňujeme n to, že náš text to nedodržuje(čsto používáme becedu Σ = {, b}, čili používáme iproprvekkonkrétní becedy); ndruhéstrněbymělbýt význm konkrétního použití symbolu vždy jsný z kontextu). Ve smyslu proměnných budou mlá písmen ze zčátku nglické becedy(, b, c,...)spřípdnými indexypředstvovt znkyzkoumnébecedy (která bude v kontextu zřejmá či tiše předpokládná). Jko proměnné pro slov budeme obvykle používt mlá písmen z konce becedy (u, v, w, x, y, z). Ilustrujme si toto použití proměnných npř. u zvedení následujícího znčení. Znčení: Délkuslov w,tj.početpísmenve w,znčíme w ;slovo εmá pochopitelnědélku0,tedy ε =0. Výrzem w oznčujemepočetvýskytůsymbolu veslově w. Symbol w v předchozí úmluvě je tedy proměnná, z niž můžeme dosdit libovolné slovo(v jkékoli zvolené becedě). Všichni jsme tk jistě pochopili, ženpř =5.Vevýrzu w sevyskytujídvěproměnné;z wtk můžeme dosdit libovolné slovo ve zvolené becedě z libovolný prvek tétobecedy.ztohotoobecnéhopopisujenámtkjsné,ževkonkrétním přípdějenpř =2.

4 4 Kpitol 1. Formální jzyky Znčení: VýrzemΣ znčímemnožinuvšechslovndbecedouσ;někdy použijemeσ + promnožinuvšechneprázdnýchslov vbeceděσ.(jetedy Σ =Σ + {ε}.)? Množin všech slov nd konečnou becedou je spočetná; slov v dné becedě můžeme totiž přirozeně seřdit(uspořádt): nejprve podle délky v rámci stejné délky podle becedy, tj. podle zvoleného uspořádání n prvcích becedy. Tk jsou slov seřzen do jedné posloupnosti, ve které je lze po řdě očíslovt přirozenými čísly. Kontrolníotázk: Jkbystevtomtopořdívypisovli(generovli)slovz becedyσ={0,1}sbecednímuspořádáním0 <1? Jistě jste nezpomněli n prázdné slovo, zčli jste tedy posloupnost ε,0,1,00,01,10,11,000,001,.... Znčení: Příslušnéuspořádáníslovbudemeoznčovt < L (npř.11 < L 001). Přirozenou opercí se slovy je jejich zřetězení, tj. jejich spojení z sebou do jednoho výsledného slov: Definice 1.2 Zřetězeníslov u= n, v= b 1 b 2...b m oznčujeme u v,stručněji uv, definujeme uv= n b 1 b 2...b m.výrzem u n oznčujeme n-násobné zřetězeníslov u;tedy u 0 = ε, u 1 = u, u 2 = uu, u 3 = uuutd. Poznámk: Uvědomme si, že operce zřetězení slov je socitivní(tzn.(u v) w= u (v w));protojenpř.zápis u v w(či uvw)jednoznčnýibez uvedení závorek. Je tké přirozené se dohodnout, že exponent váže silněji(má větší prioritu) než zřetězení. Pkjejsné,ženpř.zápisem 3 bc 4 myslímeslovo bcccc.chceme-li, by se zde npř. exponent 4 vzthovl ke slovu bc, musíme použít závorky: 3 (bc) 4 znmenáslovo bcbcbcbc. Někdy potřebujeme mluvit jen o určitých částech slov. Úsek znků, kterým nějké slovo zčíná, budeme nzývt předponou, neboli odborně prefixem.

5 1.1 Formální beced jzyk 5 Obdobně se úsek znků, kterým slovo končí, budeme nzývt příponou, odborně sufixem. Jkoukoliv část slov budeme nzývt podslovem(nebo podřetězcem). Definice 1.3 Slovo ujeprefixemslov w,pokudlzepsát w= uvpronějkéslovo v. Slovo ujesufixemslov w,pokudlzepsát w= vupronějkéslovo v. Slovo ujepodslovemslov w,pokudlzepsát w=v 1 uv 2 pronějká slov v 1 v 2. Všimněmesi,žepodslovo umůžemítve wněkolikvýskytů;kždývýskyt jeurčensvoupozicí,tj.délkoupříslušného v 1 zvětšenouo1.dávátosmysl ipropodslovo u=ε,byťvtomtopřípděsijednotlivé výskyty nikdy nebudeme uvžovt.(poznmenejme ještě, že konkrétní prefix či sufix u má smozřejmě jen jeden výskyt ve w.) Příkld: Vezměmesinpříkldslovo bcdbcdc.pkslovo bc jejedním zjehoprefixů,kdežto bc prefixemnení.dále bcdc jejednímzjehosufixů. Slovo bc jepodslovemuvedenéhoslov,sdvěmvýskyty npozicích2 6;neníleprefixemnisufixem.? Prefixůslov wjeočividně w +1;stejnějetospočtemsufixů.Kždýprefixi kždý sufix dného slov je i jeho podslovem. Prázdné slovo ε je pochopitelně prefixem, sufixem i podslovem kždého slov. Kontrolníotázk: Kolikjepodslovslov w? To je komplikovnější otázk; počet nezávisí jen n délce slov w, npř. slovo májenjednopodslovodélky1,kdežto bmádvě.podslovslov wje určitělespoň w +1jistěnevícenež w 2 +1;horníhrniciovšemjistě můžete snížit. Jiná věc je počet výskytů dného podslov ve slově; npř. slovo má tři výskyty podslov dv výskyty podslov. Cvičení 1.1: )Vypištevšechnslovvbecedě {, b},kterámjídélku3. b) Npište explicitně slovo u(posloupnost písmen), které je určeno výrzem v 3 b (bb) 2,kde v=b(slovo ujetedyvýsledkemprovedeníopercí uvedených ve výrzu).

6 6 Kpitol 1. Formální jzyky c) Vypište všechn slov délky 2, které jsou podslovy slov 00010(v becedě {0,1}). d) Vypište všech pět prefixů slov e) Vypište všech pět sufixů slov Definice 1.4 Formální jzyk, stručně jzyk nd becedou Σ je libovolná množin slov vbeceděσ,tedylibovolnápodmnožinσ. Znčení: Jzyky obvykle oznčujeme L(s indexy). Říkáme-li pouze jzyk,rozumímetím,žepříslušnábecedjebuďzřejmázkontextunebo může být libovolná. Poznámk: U přirozeného jzyk(jko je češtin) mluvíme o slovech, z nichž se skládjí věty. U formálních jzyků ze slov žádné věty netvoříme, nopk smotná slov(řetězce ptřící do jzyk) je možné chápt jko věty ( někdysetkinzývjí).pokudsenpř.njzyk češtin dívámejkon množinu všech českých grmticky správných vět, je kždá tto vět slovem tkto chápného formálního jzyk češtin.? Poznámk: Byť v prktických přípdech jzyků má jejich beced npř. desítky prvků, v nšich příkldech bude beced čsto(jen) dvouprvková(většinou {, b}či {0,1}).Uvědomme si,žetonenízásdníomezení, jelikož písmen víceprvkové becedy lze přirozeně zkódovt řetězci dvouprvkové becedy. Kontrolníotázk: Jkdlouhéřetězcezbecedy {0,1}bystepoužilipřikódování becedy, která má 256 prvků? (Pochopitelně stčí osm bitů, tedy jeden symbol 256-ti prvkové becedy reprezentujeme řetězcem délky 8 v dvouprvkové becedě.) Příkld: Příkldy formálních jzyků nd becedou {0, 1} jsou: L 1 = {ε,01,0011,1111,000111} L 2 jemnožinvšech(konečných)posloupnostívbecedě {0,1}obshujícíchstejnýpočetsymbolů0jko1,tedy L 2 = {w {0,1} w 0 = w 1 }

7 1.2 Některé operce s jzyky 7 L 3 = {w {0,1} číslosbinárnímzápisem wjedělitelné3} Jzyk L 1 jezdekonečný,kdežtozbylédvjsounekonečné.slovo101100ptří dojzyk L 2,le10100do L 2 neptří,neboťobshujevícenulnežjedniček. Slovo110binárněvyjdřuječíslo6,protoptřídojzyk L 3,kdežto1000 vyjdřující8do L 3 neptří. Cvičení1.2:Vypišteprvníchdesetslovzjzyk L={w {, b} kždý výskytpodslov jeve wihnednásledovánznkem b }.(Pochopitelněse odkzujemekuspořádání < L,kdepředpokládámebecedníuspořádání < b.) Shrnutí: Tkže už chápeme, že formální jzyk je něco jiného než přirozený. Je to prostě množin slov neboli konečných řetězců písmen z nějké konečné becedy. Mlé konečné jzyky lze zdávt výčtem, nekonečné jen vhodnou chrkterizcí slov jzyk podmínkou, kterou splňují. Prefixy, sufixy, podslov,zřetězení,znčenídélky,počtuvýskytůsymboluveslovětd...to vše není pro nás žádný problém. 1.2 Některé operce s jzyky Orientční čs ke studiu této části: 1 hod. Cíle této části: Po prostudování této části máte rozumět běžným opercím s jzyky, nejen klsickým množinovým, le i zřetězení, iterci, zrcdlovému obrzu (levému) kvocientu jzyk podle slov( obecně podle jzyk). Máte je být schopni definovt, vysvětlit, uvádět řešit příkldy. Klíčová slov: operce s jzyky, sjednocení, průnik, doplněk, rozdíl, zřetězení, iterce, zrcdlový obrz, kvocient Někdy je výhodné definovt složitější jzyk prostřednictvím dvou jednodušších nějké operce, která je spojí. Protože jsou jzyky definovány jko

8 8 Kpitol 1. Formální jzyky množiny, můžeme používt běžné množinové operce(definovné v Sekci??). Máme tedy: Zjzyků L 1, L 2 lzetvořitjzyky L 1 L 2 (sjednocení), L 1 L 2 (průnik), L 1 L 2 (rozdíl). NezmiňovlijsmebecedyΣ 1,Σ 2 jzyků L 1, L 2 ;pokudnejsoustejné,můžeme výslednýjzykcháptjkojzyksbecedouσ 1 Σ 2.Dálemáme Projzyky Ljejzykemijehodoplněk L;rozumísepropříslušnou beceduσ,tj. L=Σ L. Dále můžeme definovt nové operce speciálně pro práci s jzyky. Npř. je to zřetězení jzyků(odvozené od zřetězení slov) či iterce(tedy opkovné řetězení): Zřetězeníjzyků L 1, L 2 jejzyk L 1 L 2 = {uv u L 1, v L 2 }, tj.jzykvšechslov,kterélzerozdělitndvěčásti,znichžprvníjez jzyk L 1 druházjzyk L 2. Itercejzyk L,znčená L,jejzykvšechslov,kterálzerozdělit nněkolikčástí,znichžkždáptřídojzyk L;do L ovšemvždy zřzujeme ε(chápné jko zřetězení 0 slov). Induktivně můžeme tké definovt L 0 = {ε}, L 1 = L, L 2 = L L,..., L n+1 = L n L,... Iterce L je pk rovn L = L 0 L 1 L 2 L 3... Příkld: Uveďme si následující ukázky opercí s jzyky nd becedou {0, 1}; zkuste vždy uvedenou otázku nejdříve smi zodpovědět. )Cojesjednocenímjzyk L 0 všechslovobshujícíchvíce0než1(tedy L 0 = { w {0,1} w 0 > w 1 })jzyk L 1 všechslovobshujících více1než0(tedy L 1 = { w {0,1} w 0 < w 1 })? Jetojzykvšechslovmjícíchpočet1různýodpočtu0.(Tedy L 0 L 1 = { w {0,1} w 0 w 1 }.)

9 1.2 Některé operce s jzyky 9 b)jkýjzyk L 0 L 1 vzniklýzřetězenímjzykůzpředchozíukázky()? Ptří sem všechn možná slov? Všechn slov do tohoto jzyk neptří, npříkld sndno zjistíme, že npř.10 L 0 L 1.Neptřítmtkénpř obecnětmjistě neptříkždéslovo,kterénemáprefix,vněmžjevíce0než1.přesné vystižení celého zřetězení není úplně jednoduché. Podle definice tm leprostěptřívšechntslov,vnichžexistujeprefixmjícívíce0 než1,přičemžzbytekslovmánopkvíce1než0. c)jeprvd,že L 0 L 1 = L 1 L 0 vpředchozíukázce? Není,npříkld,jkužbylouvedeno,10 L 0 L 1,lesndnovidíme, že10 L 1 L 0. d)covznikneitercíjzyk L 2 = {00,01,10,11}? Tktovzniknejzyk L 2všechslovsudédélky,včetněprázdnéhoslov. Zdůvodněníjesndné,slovvL 2 musímítsudoudélku,protoževznikjí postupným zřetězením úseků délky 2. Nopk kždé slovo sudé délkyrozdělímenúsekydélky2kždýúsekbudemítzřejmějeden ztvrůvl 2. Poznámk: Všimněme si, že jsme npř. n výše uvedených jzycích ukázli, žeopercezřetězeníjzykůneníkomuttivní,tj.obecněnepltí L 1 L 2 L 2 L 1.(Použilijsmesiceprooznčeníopercezřetězenístejnýznkjko užíváme pro násobení(tedy ), to le pochopitelně neznmená, že operce zřetězení má stejné vlstnosti jko násobení.) Poznámk: Všimněme si tké, že znčení pro iterci odpovídá nšemu znčenímnožinyvšechslovσ ndbecedouσ nbecedujemožnésedívt jko n množinu všech jednopísmenných slov; kždé(neprázdné) konečné slovondbecedouσlzerozdělitnčástidélky1,znichžkždápochopitelně ptřídoσ. Definiceiterce L námtkéříká,žeprázdnéslovodoníptřívždy(vznikne zřetězenímnulslovzl ). Tedymj.pltí = {ε}. Dlší zjímvou opercí definovnou pro jzyky je zrcdlový obrz.

10 10 Kpitol 1. Formální jzyky Definice 1.5 Zrcdlovýobrzslov u= n je u R = n n ,zrcdlovýobrz jzyk Lje L R = {u v L:u=v R },stručnějipsáno L R = {u R u L}. Příkld: Zrcdlovýmobrzemjzyk L 1 = {ε,, bb, bb}jejzyk L R 1 = {ε,, bb, bb}. Zrcdlovýmobrzemjzyk L 2 = {w w mod2=0}jejzyk L 2,neboli L R 2 = L 2.? Kontrolníotázk: Pltíobecně(uv)R = u R v R? Smozřejmě,žene(dosďtenpř. u=, v=b).jistěsndnonhlédnete,že obecněpltí(uv) R = v R u R ;podobnětké(l 1 L 2 ) R =(L 2 ) R (L 1 ) R. Poslední operce, kterou si uvedeme, může n první pohled působit komplikovně, le pro výkld v dlších kpitolách je velmi užitečné jí důkldně porozumět(přinejmenším tedy její jednoduché formě). Záměrně zčněme obecnou definicí: Definice 1.6 (Levý)kvocientjzyk L 1 podle L 2 jedefinovántkto: L 2 \L 1 = { v u L 2 : uv L 1 }. Když se setkáme s definicí, které ihned neporozumíme, vždy je užitečné si definici nejdříve osht n konkrétních jednodušších příkldech. Uvžme třebpřípd,kdyobjzykyobshujíjedinéslovo,tedy L 1 = {v 1 }, L 2 = {v 2 }.Podledefinice {v 2 }\{v 1 }={ v u {v 2 }:uv {v 1 } }.Tedylibovolné slovo vptřído {v 2 }\{v 1 }právětehdy,kdyžexistuje u {v 2 },tedynutně u=v 2,tkové,že uv=v 2 vjeprvkem {v 1 },tedynutně v 2 v=v 1.Dojzyk {v 2 }\{v 1 }tedyptřívůbecnějkéslovojentehdy,když v 2 jeprefixem v 1 ;v tompřípděptřído {v 2 }\{v 1 }právěto(jediné)slovo,kterévzniknezv 1 odtržením(umzáním)prefixu v 2. Npř. {b}\{bbb}={bb},kdežto {b}\{bbb}=. Teď už si sndno odvodíme onu vizovnou jednoduchou formu, kterou je velmi záhodno důkldně pochopit: (levý) kvocient jzyk podle slov {w}\l, psný tké zkráceně w\l,

11 1.2 Některé operce s jzyky 11 jeprostěsjednoceníjzyků w\{v}provšechnslov v L.Jinýmislovy: jzyk w\l dostneme tk, že vezmeme všechn slov z L mjící prefix w pkjimtenprefix wumžeme.ještějinkřečeno:slovo vptřídojzyk w\lprávětehdy,kdyžpopřidání wnzčátekptřívýslednéslovo wvdo L. Zvlášť důležitý bude pro nás zákldní přípd, kdy w je rovno jedinému písmenu. Příkld: Pohrjme si trochu s kvocienty; jko vždy, zkuste smozřejmě uvedené otázky nejdříve smi zodpovědět. )Jká slov ptří do jzyk w\l, kde w = L = {bb, b,, bbb}? Jsoutoslov b,. b)jkjetovpředchozímpříkldu,je-li w= ε? Jistějstesiuvědomili,že ε\l=lprokždýjzyk L,tkžesprávná odpověď v nšem konkrétním přípdě je bb, b,, bbb. c)jkjetovpřípdě w=b?acovpřípdě w= bb? V prvním přípdě se w\l rovná {ε}, v druhém přípdě se w\l rovná (žádnéslovozltotižnemáprefix bb). d) Chci-li zjistit b\l, mohu s výhodou využít již zjištěný \L? Určitě no, jelikož b\l je vlstně b\(\l); obecně pltí uv\l = v\(u\l).(promyslete si důkldně, proč je pořdí u, v prohozeno.) VnšemkonkrétnímpřípděsezjímámeoslovzL,kterámjíprefix b(kterýpkhodlámeumzt).kdyžužlevíme,jkvypdjíslovz Lzčínjící poté,cojimonenprefix umžeme,tedy \L={b, }, stčísezdepodívtnslovzčínjící btenprefix bjimumzt: Mámetedy b\{bb, b,, bbb}=b\(\l)=b\{b, }={}. e) Smozřejmě se není třeb omezovt n konečné jzyky. Jk byste chrkterizovlinpř.slovzjzyků0\l1\l,kde L={w {0,1} w 1 jeliché }? Jesndnénhlédnout,že0\L=L1\L={w {0,1} w 1 jesudé }.

12 12 Kpitol 1. Formální jzyky f)jkbystechrkterizovlislovzjzyků \L, b\lkde L = {w {, b} kždývýskytpodslov jeve wihnednásledovánznkem b }? Určitěrychlevidíme,že b\l=l:kždéslovozb\lzjistémusísplňovt, že kždý výskyt podslov je v něm ihned následován znkem b(tedy b\l L);ovšemkdyžklibovolnémuslovu u Lpřidámen zčátek b,tkvýsledné bujistěptřído L tedy L b\l. Pro jetojink:siceizdepltí \L L,lemámenpř. L (\L).(Proč?) Jzyk \L můžeme chrkterizovt jko {w {, b} kždývýskytpodslov jeve wihnednásledovánznkem b(nvíc)pokud wzčínáznkem,pkponěmhnednásleduje b }. Po pochopení jednoduché vrinty w\l není smozřejmě problémem ni obecná definice kvocientu, když si uvědomíme, že L 2 \L 1 = w L 2 w\l 1. Ale pro tuto chvíli postčí, že plně rozumíme kvocientu podle slov(či dokonce jen podle písmene). Shrnutí: Operce s jzyky už pro nás nejsou problémem. Plně rozumíme definicím umíme je plikovt. Speciálně jsme si dobře promysleli trochu zpeklitou operci kvocientu. 1.3 Cvičení Orientční čs ke studiu této části: 1 hod. Cíle této části: Ttočástobshujepouzeotázkypříkldy.Tymjípřispětkprohloubení všeho porozumění látce celé této kpitoly.

13 1.3 Cvičení 13? Otázky: Otázk 1.3: Můžeme množinu všech přirozených čísel povžovt z becedu v nšem smyslu? Otázk 1.4: Můžeme množinu všech přirozených čísel(lespoň v nějké reprezentci) povžovt z formální jzyk v nšem smyslu? Otázk 1.5: Lze konečným počtem opercí sjednocení /nebo zřetězení z konečných jzyků vytvořit nekonečný jzyk? Otázk1.6:Jkýjerozdílmeziprázdnýmjzykem prázdnýmslovem ε? Otázk1.7:Kdyjeiterce L jzyk Lkonečnýmjzykem? Otázk1.8 :Můžemedvojíitercíjzykdosttvíceslovnežjednouitercí,tj.existujejzyk,pronějž L (L )? Cvičení 1.9: Která slov jsou zároveň prefixem i sufixem slov ? (Njdete všechn tři tková?) Cvičení 1.10: Vypište slov ve zřetězení jzyků {110, 0111} {01, 000}. Cvičení 1.11: Uvžujme jzyky L 1 = {w {, b} wobshujesudýpočetvýskytůsymbolu }, L 2 = {w {, b} wzčínákončístejnýmsymbolem }. Vypišteprvníchšestslov(rozumísevuspořádání < L )postupněprojzyky L 1 L 2, L 1 L 2, L 1 L 2, L 1. Cvičení 1.12: Njděte dv různé jzyky, které komutují v operci zřetězení, tj. L 1 L 2 = L 2 L 1. Cvičení1.13 :Covznikáitercíjzyk {00,01,1}?Ptřítmvšechnslov nd {0,1}? Cvičení1.14:Uvžujmejzykyndbecedou {0,1}.Nechť L 1 jejzykem všechtěchslovobshujícíchnejvýšepět(výskytůznku)1l 2 jejzykem

14 14 Kpitol 1. Formální jzyky všechtěchslov,kteráobshujístejně0jko1.kolikjeslovvprůniku L 1 L 2? Cvičení 1.15: Uvžujme jzyky nd becedou {, b}. Vypište všechn slov vezřetězeníjzyků L 1 = {ε, bb, bb}l 2 = {, b, bb}. Cvičení1.16 :Uvžujmejzykyndbecedou {c, d}.nechť L 0 jejzyk všech těch slov, která obshují různé počty výskytů symbolu c výskytů symbolu d. Snžte se co nejjednodušeji popst, která slov ptří do zřetězení L 0 L 0. Cvičení 1.17: Předstvme si následující elektrický obvod s dvěm přepínči A B.(Přepínče jsou provedeny jko retční tlčítk, tkže jejich polohu zvnějšku nevidíme, le kždý stisk je přehodí do druhé polohy.) N počátku žárovk svítí. Pokusme se schemticky popst, jké posloupnosti stisků A, B vedou k opětovnému rozsvícení žárovky. + A B Cvičení 1.18: Obdobně jko v předchozím příkldě si vezměme následující obvodspřepínči A, B, Cjednoužárovkou.(Přepínč Cmádvspolečně ovládné kontkty, z nichž je spojený vždy právě jeden.) N počátku žárovk nesvítí. Jké posloupnosti stisků A, B, C vedou k rozsvícení žárovky? + A C B

15 1.3 Cvičení 15 Cvičení 1.19: Uvžujme jzyky nd becedou {0, 1}. Popište(slovně) jzyk vzniklýitercí {00,111}. Cvičení1.20:Uvžujmejzykyndbecedou {0,1}.Nechť L 1 jejzykem všechtěchslovobshujícíchnejvýšejedenznk1l 2 jejzykemvšechtěch slov, která se čtou stejně zepředu jko zezdu(tzv. plindromů) tedy všech slov u,proněžpltí u=u R.Kterávšechnslovjsouvprůniku L 1 L 2? Poznámk: Pozor, průnik obou jzyků je nekonečný. Cvičení1.21:Pročobecněnepltí(L 1 L 2 ) L 3 =(L 1 L 3 ) (L 2 L 3 )?

16 16 Kpitol 1. Formální jzyky

17 Kpitol 2 Konečné utomty regulární jzyky Cíle kpitoly: Po prostudování této kpitoly budete znát pojmy konečný utomt regulární výrz. Budete umět nvrhnout konečný utomt rozpoznávjící dný jzyk rovněž budete umět tento jzyk popst regulárním výrzem. Budete umět provádět určité operce s konečnými utomty. Budete tké rozumět pojmu nedeterminismus budete ho umět vyžít při návrhu utomtů. Rovněž pochopíte, proč některé jzyky nemohou být rozpoznávány konečným utomtem. Klíčová slov: konečné utomty, regulární výrzy 2.1 Motivční příkld Orientční čs ke studiu této části: 2 hod. Cíle této části: Nkonkrétnímjednoduchém progrmátorském příkldubysteměli nejdříve intuitivně pochopit jeden z motivčních zdrojů, který vcelku 17

18 18 Kpitol 2. Konečné utomty regulární jzyky přirozeně vede k pojmu návrhu konečného utomtu jko rozpoznávče jzyk. Teprve potom(v dlších sekcích) přistoupíme k precizci tkto získné intuice. Snžíme se tím přispět k demonstrci obecného fktu,žeteoreticképojmy(vinformticejinde) nepdjíznebe, le snží se co nejprecizněji nejužitečněji zchytit objsnit podsttu skutečných prktických problémů přispět k jejich řešení. Klíčová slov: vyhledávání vzorku v textu Podívejmesennásledujícílgoritmus,zpsnýjko psclský progrm. procedure SEARCH (vr F: file) const length = 6 (* delk hledneho retezce *) const P = [,b,,,b, ] (* hledny retezec *) vr A: rry [ 1..length ] of chr begin for i:=1 to length do red( A[i], F ); if EOF (* end of file *) then return endfor while true do if EQUAL(P,A) then vypis misto vyskytu for i:=1 to length-1 do A[i]:=A[i+1] endfor red( A[length], F ); if EOF then return endwhile end Procedur EQUAL je nprogrmován následovně. function procedure EQUAL (vr S1,S2: rry [ 1..length ] of chr): boolen begin for i:=1 to length do if not( S1[i] = S2[i] ) then return FALSE endfor return TRUE end

19 2.1 Motivčnípříkld 19? Progrmátorsky zběhlý čtenář jistě nemá problémy s pochopením uvedeného (pseudo)kódu, byť sám třeb progrmuje v jzycích jiného typu. Kontrolníotázk: JkbystechrkterizovličinnostprocedurySEARCH,je-li spuštěn n soubor obshující(dlouhou) sekvenci znků z množiny {, b}? (Sekvence je zkončen speciálním znkem, npř. < EOF >.) Ano, jistě jste pochopili, že procedur vypíše všechny výskyty řetězce(tedy slov) bb ve vstupním souboru. Pod výpisem si npř. předstvme výpis pozice konce nlezeného řetězce; tto technická otázk teď pro nás není podsttná, i když u kompletního počítčového progrmu by se smozřejmě musel tké dotáhnout. Z progrmátorskéhohledisk sijistěhnedvšimnememožnostízmenšení čsové náročnosti uvedeného progrmu. Npř. prováděný posun obshu pole A před přečtením dlšího znku není jistě nejlepší řešení.(npdá vás něco elegntnějšího?) Dále si všimneme, že čtení z vnějšího souboru znk po znku bymohlobýtzdrojemvelkéztrátyčsu.(proč?)mělibychomsibýtjisti,že tento problém ve skutečnosti tiše řeší knihovní procedury pro čtení pod.; pk se nemusíme tímto problémem dále zbývt. Vžijmeseteďdosituce,kdymámezesebevydtmximumnpstprogrm, který je z hledisk čsové náročnosti podsttně lepší než t uvedená procedur SEARCH, byť vylepšená o přímočré progrmátorské nápdy. To je možné jen tehdy, jde-li úkol relizovt principiálně lepším lgoritmem. Existuje tkový lgoritmus? Poznámk: Nejde nám pochopitelně prvořdě o hledání speciálního řetězce bb, le obecněji o hledání výskytů vzorku v souboru(npř. textu). Vzorek bb nám teď slouží jen jko mlý konkrétní příkld. Podívejme se n jiné řešení procedury SEARCH. procedure SEARCH1 (vr F: file) const length = 6 type stte = 0.. length type lphbet = (,b) const A: rry [ stte, lphbet ] of stte = [ [1,0], [1,2], [3,0], [4,2], [1,5], [6,0], [4,2] ] vr q: stte begin

20 20 Kpitol 2. Konečné utomty regulární jzyky q:=0 while true do if q=6 then vypis misto vyskytu red( ch, F ); if EOF then return q := A[ q, ch ] endwhile end Bez dlšího komentáře, tj. bez pochopení, jk tento progrm vznikl, není smozřejmě vůbec jsné, že SEARCH1 relizuje tentýž úkol jko SEARCH(tj., že pro stejnou vstupní sekvenci symbolů,b vydá stejný výstup). Ihned le můžeme ověřit, že procedur SEARCH1 poběží jistě rychleji než SEARCH.(Proč?) Jkmůžemedojítkoné zázrčnétbulce (tj.dvourozměrnémupoli)a zpsnévsearch1zároveňkpřesvědčení,žejetosprávně,tedyžesearch1 děláto,coodníočekáváme?nejednásesmozřejměozázrk,leopoužití obecně pltného postupu, který můžeme nznčit npř. tkto: prvořdé je důkldné porozumění zdání úkolu, jeho přesná specifikce (n správné úrovni bstrkce), promyšlení z různých úhlů, nejprve n jednoduchých přípdech pod., řešení pk(jkoby smo) vychází z(důkldně promyšlené) podstty úkolu, stejně jko důkz jeho správnosti. Tento ideál se v nšem konkrétním příkldu můžeme pokusit relizovt následovně.specifikujmesinášúkol,oznčený U 0,npř.tkto: U 0 (specifikce):vdnéposloupnostiznků,b(zkončenéspeciálnímznkem),připrvenéksekvenčnímučtení, ohlš kždý výskyt bb. Je zřejmé, že budeme muset přečíst první znk posloupnosti. Přečtení speciálního koncového znku bude v nšem přípdě vždy znment ukončení práce, tkže tuto možnost nebudeme dále explicitně zmiňovt. Když je přečteným znkem, je očividně nším zbývjícím úkolem U 1 ( zbytek úkolu U 0 popřečtení;specifikce):vdnéposloupnosti(což je nepřečtený zbytek původní posloupnosti) ohlš

21 2.1 Motivčnípříkld 21 kždý výskyt bb, le n zčátku tké přípdný výskyt prefixu bb(proč?). Úkol U 1 jeočividnějinýnež U 0,protojsmejejoznčilijink(vnšempřípdě dlším dosud nepoužitým indexem). Promyslíme-lisi zbytek úkolu U 0,kterýmámevykontvpřípdě,žeprvním znkem je b, zjistíme, že se zbytkem posloupnosti máme vlstně udělt zseúkol U 0 ;nenítedyteďtřebzvádětnovýúkol(u 2 ),protožejejvyřešíme (rekurzivním)voláním U 0. Máme tedy: U 0 (relizce):přečtidlšíznk; kdyžjeto,tk(proveď) U 1,kdyžjetob,tk(proveď) U 0. Jkrelizujemevýšespecifikovnýúkol U 1? Přečtemepochopitelnědlšíznk.Kdyžjeto,tkprvníčástspecifikce U 1 (ohlš kždý výskyt bb) nám ukládá, že ve zbytku máme ohlásit kždý výskytbbtképřípdnýprefixbb,druháčástspecifikce U 1 (přípdný výskyt prefixu bb) nám už neukládá nic, protože přečtené pohřbilo nděje n prefix bb. Kdyžjetob,tkprvníčástspecifikce U 1 (ohlškždývýskytbb) námukládá,ževezbytkumámeohlásitkždývýskytbbjinknic, druháčástspecifikce U 1 (přípdnývýskytprefixubb)námukládáohlásit přípdný prefix b. Tkže máme U 1 (relizce):přečtidlšíznk; kdyžjeto,tk(proveď) U 1,kdyžjetob,tk(proveď) U 2 U 2 (specifikce):vdné( zbývjící )posloupnostiohlškždý výskyt bb, le n zčátku tké přípdný výskyt prefixu b. Všimněmesi,ženšerelizce U 0, U 1 korespondujesprvnímidvěmřádky tbulky v SEARCH1. Cvičení2.1:Pečlivědokončetekonstrukcivznikjícího progrmu (svzá-

22 22 Kpitol 2. Konečné utomty regulární jzyky jemněserekurzivněvoljícímiprocedurmi U 0, U 1, U 2,...).Asivásnpdne, že zchycovt vznikjící strukturu můžete zároveň tbulkou i určitým grfem, kterývásjistěpřirozeněnpdne.(uzlygrfujsouoznčeny U 0, U 1, U 2,..., korientovnýmhrnám(tedy šipkám )jsoupřipsányznky,b.(udělejte to!) Doufejme,žejstevystčilis procedurmi U 0, U 1, U 2,...,U 6 žestruktur nvržené relizce přesně koresponduje s tbulkou v SEARCH1. Speciálně by vám mělo vyjít U 6 (specifikce): v dné (zbývjící) posloupnosti ohlš kždý výskyt bb, le n zčátku tké přípdné prefixy ε, b, bb. V relizci U 6 dáme pochopitelně před přečtením dlšího znku povel OHLAŠ, neboť kždá posloupnost má prefix ε. TkževzniktbulkyvSEARCH1užjenámjsný!Nvícbychomjistěbyli schopni tkovou tbulku sestrojit pro kždý zdný vzorek(řetězec), byť by to u delších řetězců mohl být docel fušk. Poznámk: Později se k problému vrátíme uvidíme, že tvorb tkových tbulek k zdným vzorkům se dá zlgoritmizovt( tedy nprogrmovt). Všimněmesi,ženrelizcinšehoúkolu U 0 sedáhledětjkončtenízdné posloupnosti znků(tedy zdného slov) zlev doprv, přičemž před přečtenímdlšíhosymboluvždyblikne zelenésvětlo,jestližedosudpřečtené slovo(tedy dosud přečtený prefix zdné posloupnosti) splňuje podmínku mámsufixbb, blikne červenésvětlo,jestližedosudpřečtenýprefixtutopodmínkunesplňuje. Zkusme teď ještě nvrhnout podobnou tbulku pro přípd, kdy čteme soubor (tedy slovo) obshující znky 0,1 máme tentokrát(zeleným světlem) ohlásit všechny prefixy, které splňují podmínku obshujipodslovo010nebo#1vemnějesudý.

23 2.1 Motivčnípříkld 23 Zdevýrzem#1oznčujemepočetvýskytůznku1; nebo myslímepochopitelně v nevylučovcím smyslu(tedy obě podmínky mohou pltit součsně). Specifikovnýúkolsitentokrátoznčme q 0 všimněmesi,žerelizce q 0 bude zčínt povelem OHLAŠ(proč?). Jistě nás již npdlo, že komplikovné vyjdřování úkol, který máme vykontvezbytku,kdyžpřiplněníúkolu qpřečteme jevhodnénhrdit dohodnutou stručnou notcí, npř. δ(q, ). Cojetedyvnšemkonkrétnímpřípdě δ(q 0,0)?Jistěsndnopřijdemen to,že δ(q 0,0)(specifikce):ohlš(vezbytkukpřečtení)všechnyprefixy, kteréobshují010nebozčínjí10nebo#1jevnichsudý. Tentoúkoljeočividnějinýnež q 0,oznčímejejproto q 1 ;mámetedy δ(q 0,0)= q 1. Všimněme si, že kždý úkol(který vzniká při nšich nynějších úvhách) je typu ohlš(ve zbylé posloupnosti) všechny prefixy, které splňují jistou podmínku Proto se nbízí zjednodušení znčení i při specifikci jednotlivých úkolů. Úkol q zdáme prostě vhodným popisem množiny těch slov(potenciálních prefixů posloupnosti zbývjící k přečtení), které splňují onu podmínku. Oznčme tkovou množinu L toacc q. Je to tedy jzyk(tj. množin) obshující právě t slov, po jejichž přečtení máme zsvítit zeleně, plníme-li úkol q. Přečtení tkového slov má vést k ohlášení ;říkámetké,žeslovoje přijto, vedekpřijetí (nglicky to Acceptnce ) odtudjepoužitázkrtk. V nšem příkldu tedy máme L toacc q 0 = { w {0,1} wobshujepodslovo010nebo w 1 je sudé } L toacc q 1 = { w {0,1} wobshujepodslovo010nebomáprefix 10nebo w 1 jesudé }

24 24 Kpitol 2. Konečné utomty regulární jzyky (Připomínáme,že w 1 oznčujepočetvýskytůznku1ve w.) Podívejmeseteďnúkol δ(q 0,1);specifikceúkoluvlstněznmenávhodnou chrkterizcijzyk L toacc δ(q 0,1).Jistěrychlezjistíme,že L toacc δ(q 0,1) = { w {0,1} wobshujepodslovo010nebo w 1 je liché } cožjejistějinýjzyk(úkol)než L toacc q 0, L toacc q 1 (proč?).tkžezvedemenový úkol q 2 definujeme δ(q 0,1)=q 2 L toacc q 2 = { w {0,1} wobshujepodslovo010nebo w 1 je liché } Poznámk: Je užitečné si všimnout, že nše činnost se dá chrkterizovt jko určitá konstrukce jednoduchých kvocientů jzyků.(kvocient je t složitá jzykováopercezmíněnádříve.)npř.popst L toacc δ(q 0,1) vlstněznmená popst1\l toacc q 0.Pozdějisektomuještěvrátíme. Celkové vytvářené schém(funkci δ) pochopitelně můžeme zse zdt tbulkou grfem. Ztím jsme vytvořili následující frgment tbulky: 0 1 q 0 q 1 q 2 q 1 q 2 Vstupní šipkou jsme oznčili onen výchozí(počáteční) úkol(říkejme tké stv ),výstupnímišipkmi oznčujemestvy,kterézčínjí ohlášením (zelenýmsvětlem) říkámejimtké přijímjícístvy.jkvidíme,ipočáteční stv může být přijímcí přijímjících stvů může být více než jeden.? Kontrolníotázk: Pročje q 1přijímjícíq 2 ne? Ano, máte prvdu, jistě jste si uvědomili, že q je přijímjící právě tehdy, když ε L toacc q (tedy když prázdné slovo splňuje příslušnou podmínku). Cvičení 2.2: Dokončete výše zpočtou tbulku. Popište přitom pečlivě

Teorie jazyků a automatů

Teorie jazyků a automatů Slezská univerzit v Opvě Filozoficko-přírodovědecká fkult v Opvě Šárk Vvrečková Teorie jzyků utomtů Skript do předmětů II Zákldy teoretické informtiky Ústv informtiky Filozoficko-přírodovědecká fkult v

Více

2.9.11 Logaritmus. Předpoklady: 2909

2.9.11 Logaritmus. Předpoklady: 2909 .9. Logritmus Předpokld: 909 Pedgogická poznámk: Následující příkld vždují tk jeden půl vučovcí hodin. V přípdě potřeb všk stčí dojít k příkldu 6 zbtek jen ukázt, což se dá z jednu hodinu stihnout (nedoporučuji).

Více

P2 Číselné soustavy, jejich převody a operace v čís. soustavách

P2 Číselné soustavy, jejich převody a operace v čís. soustavách P Číselné soustvy, jejich převody operce v čís. soustvách. Zobrzení čísl v libovolné číselné soustvě Lidé využívjí ve svém životě pro zápis čísel desítkovou soustvu. V této soustvě máme pro zápis čísel

Více

2. Funkční řady Studijní text. V předcházející kapitole jsme uvažovali řady, jejichž členy byla reálná čísla. Nyní se budeme zabývat studiem

2. Funkční řady Studijní text. V předcházející kapitole jsme uvažovali řady, jejichž členy byla reálná čísla. Nyní se budeme zabývat studiem 2. Funkční řd Studijní text 2. Funkční řd V předcházející kpitole jsme uvžovli řd, jejichž člen bl reálná čísl. Nní se budeme zbývt studiem obecnějšího přípdu, kd člen řd tvoří reálné funkce. Definice

Více

Automaty a gramatiky. Organizační záležitosti. Přednáška: na webu (http://ktiml.mff.cuni.cz/~bartak/automaty) Proč chodit na přednášku?

Automaty a gramatiky. Organizační záležitosti. Přednáška: na webu (http://ktiml.mff.cuni.cz/~bartak/automaty) Proč chodit na přednášku? Orgnizční záležitosti Atomty grmtiky Romn Brták, KTIML rtk@ktiml.mff.cni.cz http://ktiml.mff.cni.cz/~rtk Přednášk: n we (http://ktiml.mff.cni.cz/~rtk/tomty) Proč chodit n přednášk? dozvíte se více než

Více

Úvod do Teoretické Informatiky (456-511 UTI)

Úvod do Teoretické Informatiky (456-511 UTI) Úvod do Teoretické Informtiky (456-511 UTI) Doc. RNDr. Petr Hliněný, Ph.D. petr.hlineny@vs.cz 25. ledn 2006 Verze 1.02. Copyright c 2004 2006 Petr Hliněný. (S využitím části mteriálů c Petr Jnčr.) Osh

Více

Automaty a gramatiky. Roman Barták, KTIML. Důkaz věty o isomorfismu reduktů. Věta o isomorfismu reduktů. Pro připomenutí

Automaty a gramatiky. Roman Barták, KTIML. Důkaz věty o isomorfismu reduktů. Věta o isomorfismu reduktů. Pro připomenutí 3 Automty grmtiky Romn Brták, KTIML rtk@ktimlmffcunicz http://ktimlmffcunicz/~rtk Pro připomenutí 2 Njít ekvivlentní stvy w X* δ*(p,w) F δ*(q,w) F Vyřdit nedosžitelné stvy 3 Sestrojit podílový utomt Automty

Více

2.2.9 Grafické řešení rovnic a nerovnic

2.2.9 Grafické řešení rovnic a nerovnic ..9 Grfické řešení rovnic nerovnic Předpokldy: 0, 06 Př. : Řeš početně i grficky rovnici x + = x. Početně: Už umíme. x + = x x = x = K = { } Grficky: Kždá ze strn rovnice je výrzem pro lineární funkci

Více

x + F F x F (x, f(x)).

x + F F x F (x, f(x)). I. Funkce dvou více reálných proměnných 8. Implicitně dné funkce. Budeme se zbývt úlohou, kdy funkce není zdná přímo předpisem, který vyjdřuje závislost její hodnoty n hodnotách proměnných. Jeden z možných

Více

Základy teorie matic

Základy teorie matic Zákldy teorie mtic 1. Pojem mtice nd číselným tělesem In: Otkr Borůvk (uthor): Zákldy teorie mtic. (Czech). Prh: Acdemi, 1971. pp. 9--12. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/401328 Terms of use: Akdemie

Více

Úlohy školní klauzurní části I. kola kategorie C

Úlohy školní klauzurní části I. kola kategorie C 52. ročník mtemtické olympiády Úlohy školní kluzurní části I. kol ktegorie 1. Odtrhneme-li od libovolného lespoň dvojmístného přirozeného čísl číslici n místě jednotek, dostneme číslo o jednu číslici krtší.

Více

( a, { } Intervaly. Předpoklady: , , , Problém zapíšeme snadno i výčtem: { 2;3; 4;5}?

( a, { } Intervaly. Předpoklady: , , , Problém zapíšeme snadno i výčtem: { 2;3; 4;5}? 1.3.8 Intervly Předpokldy: 010210, 010301, 010302, 010303 Problém Množinu A = { x Z;2 x 5} zpíšeme sndno i výčtem: { 2;3; 4;5} Jk zpst množinu B = { x R;2 x 5}? A =. Jde o nekonečně mnoho čísel (2, 5 všechno

Více

Naproti tomu gramatika je vlastně soupis pravidel, jak

Naproti tomu gramatika je vlastně soupis pravidel, jak 1 Kapitola 1 Úvod V přednášce se zaměříme hlavně na konečný popis obecně nekonečných množin řetězců symbolů dané množiny A. Prvkům množiny A budeme říkat písmena, řetězcům (konečným posloupnostem) písmen

Více

2.3. DETERMINANTY MATIC

2.3. DETERMINANTY MATIC 2.3. DETERMINANTY MATIC V této kpitole se dozvíte: definici determinntu čtvercové mtice; co je to subdeterminnt nebo-li minor; zákldní vlstnosti determinntů, používné v mnoh prktických úlohách; výpočetní

Více

13. Exponenciální a logaritmická funkce

13. Exponenciální a logaritmická funkce @11 1. Eponenciální logritmická funkce Mocninná funkce je pro r libovolné nenulové reálné číslo dán předpisem f: y = r, r R, >0 Eponent r je konstnt je nezávisle proměnná. Definičním oborem jsou pouze

Více

Svazy. Def Svaz je algebra S ( M ;, ) = se dvěma binárními operacemi taková, že pro libovolné prvky c M platí následující podmínky axiomy svazu:

Svazy. Def Svaz je algebra S ( M ;, ) = se dvěma binárními operacemi taková, že pro libovolné prvky c M platí následující podmínky axiomy svazu: vz je lgebr ( M ; ) vzy = se dvěm binárními opercemi tková že pro libovolné prvky b c M pltí následující podmínky xiomy svzu: ( b) c = ( b c) ( b) c = ( b c) b = b b = b ( ) ( ) b = b =. Operce se nzývá

Více

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru Algerické výrz V knize přírod může číst jen ten, kdo zná jzk, ve kterém je npsán. Jejím jzkem je mtemtik jejím písmem jsou mtemtické vzorce. (Glileo Glilei) Algerickým výrzem rozumíme zápis, ve kterém

Více

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázi zákldní vzdělávání Jroslv Švrček kolektiv Rámcový vzdělávcí progrm pro zákldní vzdělávání Vzdělávcí oblst: Mtemtik její plikce Temtický okruh: Nestndrdní plikční

Více

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y

Více

3.2. LOGARITMICKÁ FUNKCE

3.2. LOGARITMICKÁ FUNKCE .. LOGARITMICKÁ FUNKCE V této kpitole se dovíte: jk je definován ritmická funkce (ritmus) jké má ákldní vlstnosti; důležité vorce pro práci s ritmickou funkcí; co nmená ritmovt odritmovt výr. Klíčová slov

Více

Petriho sítě PES 2007/2008. ceska@fit.vutbr.cz. Doc. Ing. Tomáš Vojnar, Ph.D. vojnar@fit.vutbr.cz

Petriho sítě PES 2007/2008. ceska@fit.vutbr.cz. Doc. Ing. Tomáš Vojnar, Ph.D. vojnar@fit.vutbr.cz PES Petriho sítě p. 1/34 Petriho sítě PES 2007/2008 Prof. RNDr. Miln Češk, CS. esk@fit.vutr.z Do. Ing. Tomáš Vojnr, Ph.D. vojnr@fit.vutr.z Sz: Ing. Petr Novosd, Do. Ing. Tomáš Vojnr, Ph.D. (verze 06.04.2010)

Více

1.3.8 Množiny - shrnutí

1.3.8 Množiny - shrnutí 1.3.8 Množiny - shrnutí Předpokldy: 010307 Pedgogická poznámk: Kpitol o množinách spolu s následujícími dvěm kpitolmi (výroky dělitelnost) slouží k nácviku učení. Součástí učení je tké příprv n písemky

Více

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2.

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2. 7 Komplexní čísl 71 Komplexní číslo je uspořádná dvojice reálných čísel Komplexní číslo = 1, ) zprvidl zpisujeme v tzv lgebrickém tvru = 1 + i, kde i je imginární jednotk, pro kterou pltí i = 1 Číslo 1

Více

5.1.5 Základní vztahy mezi body, přímkami a rovinami

5.1.5 Základní vztahy mezi body, přímkami a rovinami 5.1.5 Zákldní vzthy mezi body, přímkmi rovinmi Předpokldy: 510 Prostor má tři rozměry, skládá se z bodů přímk - jednorozměrná podmnožin prostoru (množin bodů), rovin - dvojrozměrná podmnožin prostoru (množin

Více

m n. Matice typu m n má

m n. Matice typu m n má MATE ZS KONZ B Mtice, hodnost mtice, Gussův tvr Mtice uspořádné schém reálných čísel: m m n n mn Toto schém se nzývá mtice typu m řádků n sloupců. m n. Mtice typu m n má Oznčujeme ji A, B,někdy používáme

Více

3. ROVNICE A NEROVNICE 85. 3.1. Lineární rovnice 85. 3.2. Kvadratické rovnice 86. 3.3. Rovnice s absolutní hodnotou 88. 3.4. Iracionální rovnice 90

3. ROVNICE A NEROVNICE 85. 3.1. Lineární rovnice 85. 3.2. Kvadratické rovnice 86. 3.3. Rovnice s absolutní hodnotou 88. 3.4. Iracionální rovnice 90 ROVNICE A NEROVNICE 8 Lineární rovnice 8 Kvdrtické rovnice 8 Rovnice s bsolutní hodnotou 88 Ircionální rovnice 90 Eponenciální rovnice 9 Logritmické rovnice 9 7 Goniometrické rovnice 98 8 Nerovnice 0 Úlohy

Více

Neurčité výrazy

Neurčité výrazy .. Neurčité výrzy Předpokldy: Př. : Vypočti ity: ) d) ) d) neeistuje,, Zjímvé. Získli jsme čtyři nprosto rozdílné výsledky, přestože přímým doszením do všech výrzů získáme to smé: výrz může při výpočtu

Více

10. Suffixové stromy 1 2014-01-23

10. Suffixové stromy 1 2014-01-23 10. Suffixové stromy V této kpitole popíšeme jednu pozoruhodnou dtovou strukturu, pomocí níž dokážeme prolémy týkjící se řetězců převádět n grfové prolémy řešit je tk v lineárním čse. Řetězce, trie suffixové

Více

Teorie jazyků a automatů I

Teorie jazyků a automatů I Šárk Vvrečková Teorie jzyků utomtů I Sírk úloh pro cvičení Ústv informtiky Filozoficko-přírodovědecká fkult v Opvě Slezská univerzit v Opvě Opv, poslední ktulizce 5. květn 205 Anotce: Tto skript jsou určen

Více

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem obsahu pláště rotačního tělesa.

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem obsahu pláště rotačního tělesa. .4. Obsh pláště otčního těles.4. Obsh pláště otčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí učitého integálu výpočtem obshu pláště otčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si postudovli

Více

M - Příprava na 3. zápočtový test pro třídu 2D

M - Příprava na 3. zápočtový test pro třídu 2D M - Příprv n. ápočtový test pro třídu D Autor: Mgr. Jromír JUŘEK Kopírování jkékoliv dlší využití výukového mteriálu je povoleno poue s uvedením odku n www.jrjurek.c. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU 3. přednášk Vektorová lger Prvoúhlé souřdnice odu v prostoru Poloh odu v prostoru je vzhledem ke třem osám k soě kolmým určen třemi souřdnicemi, které tvoří uspořádnou trojici

Více

Jsou to rovnice, které obsahují neznámou nebo výraz s neznámou jako argument logaritmické funkce.

Jsou to rovnice, které obsahují neznámou nebo výraz s neznámou jako argument logaritmické funkce. Logritmické rovnice Jsou to rovnice, které oshují neznámou neo výrz s neznámou jko rgument ritmické funkce. Zákldní rovnice, 0 řešíme pomocí vzthu. Složitější uprvit n f g potom f g (protože ritmická funkce

Více

Příručka k portálu. Katalog sociálních služeb v Ústeckém kraji. socialnisluzby.kr-ustecky.cz

Příručka k portálu. Katalog sociálních služeb v Ústeckém kraji. socialnisluzby.kr-ustecky.cz Příručk k portálu Ktlog sociálních služeb v Ústeckém krji socilnisluzby.kr-ustecky.cz Uživtelská příručk k portálu socilnisluzby.kr-ustecky.cz 0 BrusTech s.r.o. Všechn práv vyhrzen. Žádná část této publikce

Více

APLIKACE METODY RIPRAN V SOFTWAROVÉM INŽENÝRSTVÍ

APLIKACE METODY RIPRAN V SOFTWAROVÉM INŽENÝRSTVÍ APLIKACE METODY RIPRAN V SOFTWAROVÉM INŽENÝRSTVÍ Brnislv Lcko VUT v Brně, Fkult strojního inženýrství, Ústv utomtizce informtiky, Technická 2, 616 69 Brno, lcko@ui.fme.vutbr.cz Abstrkt Příspěvek podává

Více

{ } ( ) ( ) 2.5.8 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice. Předpoklady: 2301, 2508, 2507

{ } ( ) ( ) 2.5.8 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice. Předpoklady: 2301, 2508, 2507 58 Vzth mezi kořen koefiient kvdrtiké rovnie Předpokld:, 58, 57 Pedgogiká poznámk: Náplň zřejmě přeshuje možnost jedné vučoví hodin, příkld 8 9 zůstvjí n vičení neo polovinu hodin při píseme + + - zákldní

Více

Logaritmické rovnice I

Logaritmické rovnice I .9.9 Logritmické rovnice I Předpokldy: 95 Pedgogická poznámk: Stejně jko u eponenciálních rovnic rozkldů n součin bereme ritmické rovnice jko nácvik výběru metody. Sestvujeme si rzenál metod n konci máme

Více

Datamining a AA (Above Average) kvantifikátor

Datamining a AA (Above Average) kvantifikátor Dtmining AA (Above Averge) kvntifikátor Jn Burin Lbortory of Intelligent Systems, Fculty of Informtics nd Sttistics, University of Economics, W. Churchill Sq. 4, 13067 Prgue, Czech Republic, burinj@vse.cz

Více

URČITÝ INTEGRÁL FUNKCE

URČITÝ INTEGRÁL FUNKCE URČITÝ INTEGRÁL FUNKCE Formulce: Nším cílem je určit přibližnou hodnotu určitého integrálu I() = () d, kde předpokládáme, že unkce je n intervlu, b integrovtelná. Poznámk: Geometrický význm integrálu I()

Více

Logické obvody. Logický obvod. Rozdělení logických obvodů - Kombinační logické obvody. - Sekvenční logické obvody

Logické obvody. Logický obvod. Rozdělení logických obvodů - Kombinační logické obvody. - Sekvenční logické obvody Logické ovody Cílem této kpitoly je sezn{mit se s logickými ovody, se z{kldním rozdělením logických ovodů, s jejich některými typy. Tké se nučíme nvrhovt logické ovody. Klíčové pojmy: Logický ovod,kominční

Více

5.1.5 Základní vztahy mezi body přímkami a rovinami

5.1.5 Základní vztahy mezi body přímkami a rovinami 5.1.5 Zákldní vzthy mezi body přímkmi rovinmi Předpokldy: 510 Prostor má tři rozměry, skládá se z bodů. Přímk - jednorozměrná podmnožin prostoru (množin bodů) Rovin - dvojrozměrná podmnožin prostoru (množin

Více

8 Mongeovo promítání

8 Mongeovo promítání 8 Mongeovo promítání Pomocí metod uvedených v kpitolách 3. 4., 3. 6. bychom mohli promítnout do roviny 3 libovolný útvr U E. V prxi všk většinou nestčí sestrojit jeden průmět. Z průmětu útvru U je většinou

Více

4.4.3 Kosinová věta. Předpoklady:

4.4.3 Kosinová věta. Předpoklady: 443 Kosinová vět Předpokldy 44 Př Rozhodni zd dokážeme spočítt zývjíí strny úhly u všeh trojúhelníků zdnýh pomoí trojie prvků (délek strn velikostí úhlů) V sinové větě vystupují dvě dvojie strn-protější

Více

ŘEŠENÍ JEDNODUCHÝCH LOGARITMICKÝCH ROVNIC. Řešme na množině reálných čísel rovnice: log 5. 3 log x. log

ŘEŠENÍ JEDNODUCHÝCH LOGARITMICKÝCH ROVNIC. Řešme na množině reálných čísel rovnice: log 5. 3 log x. log Řešme n množině reálných čísel rovnice: ) 6 b) 8 d) e) c) f) ŘEŠENÍ JEDNODUCHÝCH LOGARITMICKÝCH ROVNIC Co budeme potřebovt? Chápt definici ritmu. Znát průběh ritmické funkce. Znát jednoduché vět o počítání

Více

Základní pojmy: Číselné obory a vztahy mezi nimi Zákony pro počítání s číselnými množinami

Základní pojmy: Číselné obory a vztahy mezi nimi Zákony pro počítání s číselnými množinami / Zákldní pojmy: Číselné obory vzthy mezi nimi ČÍSELNÉ MNOŽINY Zákony pro počítání s číselnými množinmi. Přirozená čísl vyjdřují počet prvků množiny N. Celá čísl změn počtu prvků dné množiny, přírůstky

Více

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A Souhrn zákldních výpočetních postupů v Ecelu probírných v AVT 04-05 listopd 2004. Řešení soustv lineárních rovnic Soustv lineárních rovnic ve tvru r r A. = b tj. npř. pro 3 rovnice o 3 neznámých 2 3 Hodnoty

Více

ZÁKLADNÍ POZNATKY. p, kde ČÍSELNÉ MNOŽINY (OBORY) N... množina všech přirozených čísel: 1, 2, 3,, n,

ZÁKLADNÍ POZNATKY. p, kde ČÍSELNÉ MNOŽINY (OBORY) N... množina všech přirozených čísel: 1, 2, 3,, n, ZÁKLADNÍ POZNATKY ČÍSELNÉ MNOŽINY (OBORY) N... množin všech přirozených čísel: 1, 2, 3,, n, N0... množin všech celých nezáporných čísel (přirozených čísel s nulou: 0,1, 2, 3,, n, Z... množin všech celých

Více

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA 1.1. Matice

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA 1.1. Matice Lineární lgebr LINEÁRNÍ LGEBR Mtice Zákldní pojmy Mticí typu m/n nzýváme schém mn prvků, které jsou uspořádány do m řádků n sloupců: n n m/n = = = ( ij ) m m mn V tomto schémtu pro řádky sloupce užíváme

Více

( ) ( ) ( ) Exponenciální rovnice. 17.3. Řeš v R rovnici: 3 + 9 + 27 = ŘEŠENÍ: Postup z předešlého výpočtu doplníme využitím dalšího vztahu: ( ) t s t

( ) ( ) ( ) Exponenciální rovnice. 17.3. Řeš v R rovnici: 3 + 9 + 27 = ŘEŠENÍ: Postup z předešlého výpočtu doplníme využitím dalšího vztahu: ( ) t s t 7. EXPONENCIÁLNÍ ROVNICE 7.. Řeš v R rovnice: ) 5 b) + c) 7 0 d) ( ) 0,5 ) 5 7 5 7 K { } c) 7 0 K d) ( ) b) + 0 + 0 K ( ) 5 0 5, 7 K { 5;7} Strtegie: potřebujeme zíkt tkový tvr rovnice, kd je n obou trnách

Více

Posluchači provedou odpovídající selekci a syntézu informací a uceleně je uvedou do teoretického základu vlastního měření.

Posluchači provedou odpovídající selekci a syntézu informací a uceleně je uvedou do teoretického základu vlastního měření. Úloh č. 9 je sestven n zákldě odkzu n dv prmeny. Kždý z nich přistupuje k stejnému úkolu částečně odlišnými způsoby. Níže jsou uvedeny ob zdroje v plném znění. V kždém z nich jsou pro posluchče cenné inormce

Více

Odraz na kulové ploše Duté zrcadlo

Odraz na kulové ploše Duté zrcadlo Odz n kulové ploše Duté zcdlo o.. os zcdl V.. vchol zcdl S.. střed zcdl (kul. ploch).. polomě zcdl (kul. ploch) Ppsek vchází z odu A n ose zcdl po odzu n zcdle dopdá do nějkého odu B n ose. Podle oázku

Více

Obr. 1: Optická lavice s příslušenstvím při měření přímou metodou. 2. Určení ohniskové vzdálenosti spojky Besselovou metodou

Obr. 1: Optická lavice s příslušenstvím při měření přímou metodou. 2. Určení ohniskové vzdálenosti spojky Besselovou metodou MĚŘENÍ PARAMETRŮ OPTICKÝCH SOUSTAV Zákldním prmetrem kždé zobrzovcí soustvy je především její ohnisková vzdálenost. Existuje několik metod k jejímu určení le téměř všechny jsou ztíženy určitou nepřesností

Více

Vztah jazyků Chomskeho hierarchie a jazyků TS

Vztah jazyků Chomskeho hierarchie a jazyků TS Vztah jazyků Chomskeho hierarchie a jazyků TS Jan Konečný; (přednáší Lukáš Havrlant) 15. října 2013 Jan Konečný; (přednáší Lukáš Havrlant) Chomskeho hierarchie a jazyky TS 15. října 2013 1 / 23 Rychlé

Více

Opakovací test. Klíčová slova: výraz, interval, množina, kvadratický trojčlen, mocnina, exponent, výrok, negace

Opakovací test. Klíčová slova: výraz, interval, množina, kvadratický trojčlen, mocnina, exponent, výrok, negace VY_32_INOVACE_MAT_190 Opkovcí test lgebrické výrzy, logik, množiny A, B Mgr. Rdk Mlázovská Období vytvoření: září 2012 Ročník: čtvrtý Temtická oblst: mtemtické vzdělávání Klíčová slov: výrz, intervl, množin,

Více

Podobnosti trojúhelníků, goniometrické funkce

Podobnosti trojúhelníků, goniometrické funkce 1116 Podonosti trojúhelníků, goniometriké funke Předpokldy: 010104, úhel Pedgogiká poznámk: Zčátek zryhlit α γ β K α' l M γ' m k β' L Trojúhelníky KLM n nšem orázku mjí stejný tvr (vypdjí stejně), le liší

Více

MINISTERSTVO PRO MÍSTNÍ ROZVOJ Národní orgán pro koordinaci POKYN PRO TVORBU A OBSAH ZPRÁVY O REALIZACI OPERAČNÍHO PROGRAMU PRO MONITOROVACÍ VÝBOR

MINISTERSTVO PRO MÍSTNÍ ROZVOJ Národní orgán pro koordinaci POKYN PRO TVORBU A OBSAH ZPRÁVY O REALIZACI OPERAČNÍHO PROGRAMU PRO MONITOROVACÍ VÝBOR MINISTERSTVO PRO MÍSTNÍ ROZVOJ Národní orgán pro koordinci POKYN PRO TVORBU A OBSAH ZPRÁVY O REALIZACI OPERAČNÍHO PROGRAMU PRO MONITOROVACÍ VÝBOR ŘÍJEN 2014 MINISTERSTVO PRO MÍSTNÍ ROZVOJ Odbor řízení

Více

Logaritmická funkce teorie

Logaritmická funkce teorie Výukový mteriál pro předmět: MATEMATIKA reg. č. projektu CZ..07/..0/0.0007 Logritmická funkce teorie Eponenciální funkce je funkce prostá, proto k ní eistuje inverzní funkce. Tto inverzní funkce se nzývá

Více

NAŘÍZENÍ KOMISE V PŘENESENÉ PRAVOMOCI (EU) č. /.. ze dne 30.4.2013,

NAŘÍZENÍ KOMISE V PŘENESENÉ PRAVOMOCI (EU) č. /.. ze dne 30.4.2013, EVROPSKÁ KOMISE V Bruselu dne 30.4.2013 C(2013) 2420 finl NAŘÍZENÍ KOMISE V PŘENESENÉ PRAVOMOCI (EU) č. /.. ze dne 30.4.2013, kterým se mění nřízení (ES) č. 809/2004, pokud jde o poždvky n zveřejňování

Více

Příklad 22 : Kapacita a rozložení intenzity elektrického pole v deskovém kondenzátoru s jednoduchým dielektrikem

Příklad 22 : Kapacita a rozložení intenzity elektrického pole v deskovém kondenzátoru s jednoduchým dielektrikem Příkld 22 : Kpcit rozložení intenzity elektrického pole v deskovém kondenzátoru s jednoduchým dielektrikem Předpokládné znlosti: Elektrické pole mezi dvěm nbitými rovinmi Příkld 2 Kpcit kondenzátoru je

Více

NP-úplnost problému SAT

NP-úplnost problému SAT Problém SAT je definován následovně: SAT(splnitelnost booleovských formulí) Vstup: Booleovská formule ϕ. Otázka: Je ϕ splnitelná? Příklad: Formule ϕ 1 =x 1 ( x 2 x 3 )jesplnitelná: např.přiohodnocení ν,kde[x

Více

(1) přičemž všechny veličiny uvažujeme absolutně. Její úpravou získáme vztah + =, (2) Přímé zvětšení Z je dáno vztahem Z = =, a a

(1) přičemž všechny veličiny uvažujeme absolutně. Její úpravou získáme vztah + =, (2) Přímé zvětšení Z je dáno vztahem Z = =, a a Úloh č. 3 Měření ohniskové vzdálenosti tenkých čoček 1) Pomůcky: optická lvice, předmět s průhledným milimetrovým měřítkem, milimetrové měřítko, stínítko, tenká spojk, tenká rozptylk, zdroj světl. ) Teorie:

Více

SYLABUS MODULU UPLATNĚNÍ NA TRHU PRÁCE DÍLČÍ ČÁST II BAKALÁŘSKÝ SEMINÁŘ + PŘÍPRAVA NA PRAXI. František Prášek

SYLABUS MODULU UPLATNĚNÍ NA TRHU PRÁCE DÍLČÍ ČÁST II BAKALÁŘSKÝ SEMINÁŘ + PŘÍPRAVA NA PRAXI. František Prášek SYLABUS MODULU UPLATNĚNÍ NA TRHU PRÁCE DÍLČÍ ČÁST II BAKALÁŘSKÝ SEMINÁŘ + PŘÍPRAVA NA PRAXI Frntišek Prášek Ostrv 011 1 : Sylbus modulu Upltnění n trhu práce, dílčí část II Bklářská práce + příprv n prxi

Více

( ) 2 2 2 ( ) 3 3 2 2 3. Výrazy Výraz je druh matematického zápisu, který obsahuje konstanty, proměnné, symboly matematických operací, závorky.

( ) 2 2 2 ( ) 3 3 2 2 3. Výrazy Výraz je druh matematického zápisu, který obsahuje konstanty, proměnné, symboly matematických operací, závorky. Výrzy Výrz je druh mtemtického zápisu, který obshuje konstnty, proměnné, symboly mtemtických opercí, závorky. Příkldy výrzů: + výrz obshuje pouze konstnty číselný výrz x výrz obshuje konstntu ( proměnnou

Více

Gaussovská prvočísla

Gaussovská prvočísla Středoškolská odborná činnost 2005/2006 Obor 01 mtemtik mtemtická informtik Gussovská rvočísl Autor: Jkub Oršl Gymnázium Brno, tř. Kt. Jroše 14, 658 70 Brno, 4.A Konzultnt ráce: Mgr. Viktor Ježek (Gymnázium

Více

1.1 Numerické integrování

1.1 Numerické integrování 1.1 Numerické integrování 1.1.1 Úvodní úvhy Nším cílem bude přibližný numerický výpočet určitého integrálu I = f(x)dx. (1.1) Je-li znám k integrovné funkci f primitivní funkce F (F (x) = f(x)), můžeme

Více

Výhody a nevýhody jednotlivých reprezentací jsou shrnuty na konci kapitoly.

Výhody a nevýhody jednotlivých reprezentací jsou shrnuty na konci kapitoly. Kapitola Reprezentace grafu V kapitole?? jsme se dozvěděli, co to jsou grafy a k čemu jsou dobré. rzo budeme chtít napsat nějaký program, který s grafy pracuje. le jak si takový graf uložit do počítače?

Více

c 2 b 2 a 2 2.8.20 Důkazy Pythagorovy věty Předpoklady: 020819

c 2 b 2 a 2 2.8.20 Důkazy Pythagorovy věty Předpoklady: 020819 .8.0 Důkzy Pythgorovy věty Předpokldy: 00819 Pedgogická poznámk: V řešení kždého příkldu jsou uvedeny rdy, které dávám postupně žákům, bych jim pomohl. Pedgogická poznámk: Diskuse o následujícím příkldu

Více

2.9.14 Věty o logaritmech I

2.9.14 Věty o logaritmech I .9.1 Věty o itmech I Předpokldy: 910 Pedgogická poznámk: Tto náledující hodin e djí tihnout njednou, pokud oželíte počítání v tbulce někteé příkldy n konci příští hodiny. Přijde mi to tochu škod, nžím

Více

Studijní materiál PASCAL

Studijní materiál PASCAL Obsh Studijní mteriál PASCAL /76 Obsh Obsh Algoritmus 5 Vlstnosti lgoritmu 5 Metod návrhu lgoritmu 5 3 Rekurzivní lgoritmy 5 4 Překldč jeho struktur 6 4 Druhy překldčů 6 4 Hlvní části překldče 6 Jzyk Pscl

Více

Vlastnosti regulárních jazyků

Vlastnosti regulárních jazyků Vlastnosti regulárních jazyků Podobně jako u dalších tříd jazyků budeme nyní zkoumat následující vlastnosti regulárních jazyků: vlastnosti strukturální, vlastnosti uzávěrové a rozhodnutelné problémy pro

Více

4.2.1 Goniometrické funkce ostrého úhlu

4.2.1 Goniometrické funkce ostrého úhlu .. Goniometriké funke ostrého úhlu Předpokldy: 7 Dnešní látku opkujeme už potřetí (poprvé n zčátku mtemtiky, podruhé ve fyzie) je to oprvdu důležité. C C C C C C Všehny prvoúhlé trojúhelníky s úhlem α

Více

SEMINÁŘ I Teorie absolutních a komparativních výhod

SEMINÁŘ I Teorie absolutních a komparativních výhod PODKLDY K SEMINÁŘŮM ŘEŠENÉ PŘÍKLDY SEMINÁŘ I eorie bsolutních komprtivních výhod Zákldní principy teorie komprtivních výhod eorie komprtivních výhod ve své klsické podobě odvozuje motivci k obchodu z rozdílných

Více

KVADRATICKÁ FUNKCE (vlastnosti, grafy)

KVADRATICKÁ FUNKCE (vlastnosti, grafy) KVADRATICKÁ FUNKCE (vlstnosti, gr) Teorie Kvdrtikou unkí se nzývá kždá unke dná předpisem ; R,, R; D( ) je proměnná z příslušného deiničního ooru unke (nejčstěji množin R),, jsou koeiient kvdrtiké unke,

Více

13. Soustava lineárních rovnic a matice

13. Soustava lineárních rovnic a matice @9. Soustv lineárních rovnic mtice Definice: Mtice je tbulk reálných čísel. U mtice rozlišujeme řádky (i=,..n), sloupce (j=,..m) říkáme, že mtice je typu (n x m). Oznčíme-li mtici písmenem A, její prvky

Více

Studijní informační systém. Elektronický zápis předmětů a rozvrhu. I. Postup zápisu předmětů a rozvrhu

Studijní informační systém. Elektronický zápis předmětů a rozvrhu. I. Postup zápisu předmětů a rozvrhu Studijní informční systém Elektronický zápis předmětů rozvrhu V odoí elektronického zápisu předmětů proíhá tzv. předěžný zápis. Student má předměty zpsné ztím pouze předěžně může je po celé odoí elektronického

Více

Konzultace z předmětu MATEMATIKA pro první ročník dálkového studia

Konzultace z předmětu MATEMATIKA pro první ročník dálkového studia - - Konzultce z předmětu MATEMATIKA pro první ročník dálkového studi ) Číselné obor ) Zákldní početní operce procentový počet ) Absolutní hodnot reálného čísl ) Intervl množinové operce ) Mocnin ) Odmocnin

Více

II. 5. Aplikace integrálního počtu

II. 5. Aplikace integrálního počtu 494 II Integrální počet funkcí jedné proměnné II 5 Aplikce integrálního počtu Geometrické plikce Určitý integrál S b fx) dx lze geometricky interpretovt jko obsh plochy vymezené grfem funkce f v intervlu

Více

visual identity guidelines Česká verze

visual identity guidelines Česká verze visul identity guidelines Česká verze Osh 01 Filosofie stylu 02 Logo 03 Firemní rvy 04 Firemní písmo 05 Vrice log 06 Komince rev Filosofie stylu Filozofie společnosti Sun Mrketing vychází ze síly Slunce,

Více

Hlavní body - magnetismus

Hlavní body - magnetismus Mgnetismus Hlvní body - mgnetismus Projevy mgt. pole Zdroje mgnetického pole Zákldní veličiny popisující mgt. pole Mgnetické pole proudovodiče - Biotův Svrtův zákon Mgnetické vlstnosti látek Projevy mgnetického

Více

FYZIKÁLNÍ VELIČINY A JEDNOTKY

FYZIKÁLNÍ VELIČINY A JEDNOTKY I N V E S T I C E D O R O Z V O J E V Z D Ě L Á V Á N Í FYZIKÁLNÍ VELIČINY A JEDNOTKY 1. Mezinárodní soustv jednotek SI Slovo fyzik je odvozeno z řeckého slov fysis, které znmená přírod. Abychom správně

Více

Pokroky matematiky, fyziky a astronomie

Pokroky matematiky, fyziky a astronomie Pokroky mtemtiky, fyziky stronomie Kliment Šoler Progrmovná učebnice mtemtiky pro vysoké školy technické Pokroky mtemtiky, fyziky stronomie, Vol. 14 (1969), No. 4, 182--193 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/139283

Více

DIPLOMOVÁ PRÁCE. Teorie nekonečných her

DIPLOMOVÁ PRÁCE. Teorie nekonečných her UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY DIPLOMOVÁ PRÁCE Teorie nekonečných her Vedoucí diplomové práce: doc. Mgr. Krel Pstor, Ph.D Rok odevzdání:

Více

2.cvičení. 1. Polopřímka: bod O dělí přímku na dvě navzájem opačné polopřímky.

2.cvičení. 1. Polopřímka: bod O dělí přímku na dvě navzájem opačné polopřímky. 2.cvičení 1. Polopřímk: od O dělí přímku n dvě nvzájem opčné polopřímky. Úsečk: průnik dvou polopřímek,. Polorovin: přímk dělí rovinu n dvě nvzájem opčné poloroviny. Úhel: průnik polorovin (pozor n speciální

Více

ZOBRAZOVACÍ ROVNICE OKY A KULOVÉHO ZRCADLA

ZOBRAZOVACÍ ROVNICE OKY A KULOVÉHO ZRCADLA OBRAOVACÍ ROVNICE OKY A KULOVÉHO RCADLA vtšení optického zobrzení pedešlých kpitol již víme, že pi zobrzení okmi nebo kulovými zrcdly mohou vznikt zvtšené nebo zmenšené obrzy pedmt. Pro jejich mtemtický

Více

( ) 1.5.2 Mechanická práce II. Předpoklady: 1501

( ) 1.5.2 Mechanická práce II. Předpoklady: 1501 1.5. Mechnická práce II Předpokldy: 1501 Př. 1: Těleso o hmotnosti 10 kg bylo vytženo pomocí provzu do výšky m ; poprvé rovnoměrným přímočrým pohybem, podruhé pohybem rovnoměrně zrychleným se zrychlením

Více

Opakování ke státní maturitě didaktické testy

Opakování ke státní maturitě didaktické testy Číslo projektu CZ..7/../.9 Škol Autor Číslo mteriálu Název Tém hodiny Předmět Ročník/y/ Anotce Střední odborná škol Střední odborné učiliště, Hustopeče, Msrykovo nám. Mgr. Rent Kučerová VY INOVACE_MA..

Více

4.2 Syntaxe predikátové logiky

4.2 Syntaxe predikátové logiky 36 [070507-1501 ] 4.2 Syntaxe predikátové logiky V tomto oddíle zavedeme syntaxi predikátové logiky, tj. uvedeme pravidla, podle nichž se tvoří syntakticky správné formule predikátové logiky. Význam a

Více

Cílem tohoto textu je shrnout teorii do jediného celku. Text také nabízí oporu v oblastech, které jsou

Cílem tohoto textu je shrnout teorii do jediného celku. Text také nabízí oporu v oblastech, které jsou MATMATIKA (NJN) PRO KRAJINÁŘ A NÁBYTKÁŘ Robert Mřík 26. říjn 2012 KAT. MATMATIKY FAKULTA LSNICKÁ A DŘVAŘSKÁ MNDLOVA UNIVRZITA V BRNĚ -mil ddress: mrik@mendelu.cz URL: user.mendelu.cz/mrik ABSTRAKT. Předkládný

Více

PLANETOVÉ PŘEVODY. Pomůcka do cvičení z předmětu Mobilní energetické prostředky Doc.Ing. Pavel Sedlák, CSc.

PLANETOVÉ PŘEVODY. Pomůcka do cvičení z předmětu Mobilní energetické prostředky Doc.Ing. Pavel Sedlák, CSc. PLANETOVÉ PŘEVODY Pomůck do cvičení předmětu Mobilní energetické prostředky Doc.Ing. Pvel Sedlák, CSc. Pro pochopení funkce plnetových převodů jejich kinemtiky je nutné se senámit se ákldy především kinemtikou

Více

Programovací jazyk Pascal

Programovací jazyk Pascal Programovací jazyk Pascal Syntaktická pravidla (syntaxe jazyka) přesná pravidla pro zápis příkazů Sémantická pravidla (sémantika jazyka) pravidla, která každému příkazu přiřadí přesný význam Všechny konstrukce

Více

APLIKACE DLOUHODOBÉHO SLEDOVÁNÍ STAVEB PŘI OCEŇOVÁNÍ NEMOVITOSTÍ

APLIKACE DLOUHODOBÉHO SLEDOVÁNÍ STAVEB PŘI OCEŇOVÁNÍ NEMOVITOSTÍ Ing. Igor Neckř APLIKACE DLOUHODOBÉHO SLEDOVÁNÍ STAVEB PŘI OCEŇOVÁNÍ NEMOVITOSTÍ posluchč doktorského studi oboru Soudní inženýrství FAST VUT v Brně E-mil: inec@volny.cz Přednášk n konferenci znlců ÚSI

Více

Základní pojmy matematické logiky

Základní pojmy matematické logiky KAPITOLA 1 Základní pojmy matematické logiky Matematická logika se zabývá studiem výroků, jejich vytváření a jejich pravdivostí. Základním kamenem výrokové logiky jsou výroky. 1. Výroková logika Co je

Více

3.2.11 Obvody a obsahy obrazců I

3.2.11 Obvody a obsahy obrazců I ..11 Obvody obshy obrzců I Předpokldy: S pomocí vzorců v uvedených v tbulkách řeš následující příkldy Př. 1: Urči výšku lichoběžníku o obshu 54cm zákldnách 7cm 5cm. + c Obsh lichoběžníku: S v Výšk lichoběžníku

Více

Výpočet obsahu rovinného obrazce

Výpočet obsahu rovinného obrazce Výpočet oshu rovinného orzce Pro výpočet oshu čtverce, odélník, trojúhelník, kružnice, dlších útvrů, se kterými se můžeme setkt v elementární geometrii, máme k dispozici vzorce Kdchom chtěli vpočítt osh

Více

Matematický KLOKAN 2005 kategorie Kadet

Matematický KLOKAN 2005 kategorie Kadet Mtemtický KLOKN 2005 ktegorie Kdet Úlohy z 3 body 1. N obrázku vidíš osm kloknů. Kždý klokn může přeskočit n libovolné prázdné pole. Určete nejmenší počet kloknů, kteří musí změnit místo, by v kždém řádku

Více

II. termodynamický zákon a entropie

II. termodynamický zákon a entropie Přednášk 5 II. termodynmický zákon entropie he lw tht entropy lwys increses holds, I think, the supreme position mong the lws of Nture. If someone points out to you tht your pet theory of the universe

Více

Z anglického slova market neboli trh a koncovky -ing, která v angličtině vyjadřuje děj, pohyb, akci.

Z anglického slova market neboli trh a koncovky -ing, která v angličtině vyjadřuje děj, pohyb, akci. Otázk: Mrketingový informční systém Předmět: Ekonomie Přidl(): Jeniicek Z nglického slov mrket neboli trh koncovky -ing, která v ngličtině vyjdřuje děj, pohyb, kci. Je to systém vytvořený z účelem shromžďování,

Více

Algoritmizace a programování

Algoritmizace a programování Algoritmizace a programování Výrazy Operátory Výrazy Verze pro akademický rok 2012/2013 1 Operace, operátory Unární jeden operand, operátor se zapisuje ve většině případů před operand, v některých případech

Více

íslicová technika Radek Maík Maík Radek 1

íslicová technika Radek Maík Maík Radek 1 íslicová technik Rdek Mík Mík Rdek 1 íselné soustvy ritmetické operce Mík Rdek 2 Pevody mezi soustvmi (z10) Výsledek dostneme vyíslením z-dickéhoz dickéhoísl ve tvru dy. (101,11) 2 = 1.2 2 + 0.2 1 + 1.2

Více

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde POLYNOM Zákldí pojmy Polyomem stupě zveme fukci tvru y ( L +, P + + + + kde,,, R,, N Čísl,,, se zývjí koeficiety polyomu Číslo c zveme kořeem polyomu P(, je-li P(c výrz (-c pk zýváme kořeový čiitel Vlstosti

Více