Cílem kapitoly je zvládnutí řešení determinantů čtvercových matic.

Transkript

1 temtk I část I Determty mtc řádu Determty mtc řádu Cíle Cílem ktoly je zvládutí řešeí ermtů čtvercových mtc Defce Determtem (řádu ) čtvercové mtce řádu jejímž rvky j jsou reálá (oř komlexí) čísl zýváme číslo které zčíme ; defujeme tkto: Je-l k Pro je j : ( ) j j j : : ( ) : kde mtce j vzke z mtce vyecháím rvího řádku j-tého slouce Výkld Pro mtc řádu ltí tj od souču rvků hlví dgoále odečteme souč rvků vedlejší dgoále - 5

2 temtk I část I Determty mtc řádu - Řešeé úlohy Příkld Vyočtěte ermt mtce Řešeí: - Výkld Pro mtc řádu ltí ( ) ( ) ( ( ) ) Teto výočet s sdo zmtujeme odle tzv Srrusov rvdl: -

3 temtk I část I Determty mtc řádu Nejrve zíšeme výrzy utvořeé rovoběžě s hlví dgoálou k odečteme výrzy utvořeé rovoběžě s vedlejší dgoálou (vz schém) Řešeé úlohy Příkld Vyočtěte ermt mtce Řešeí: [(-) (-)] - [ (-) (-)] (- - 4) 4 Výkld Pro výočet ermtů mtc řádu 4 všk eexstuje žádé obdobé rvdlo jko je Srrusovo které ltí ouze ro ermty mtc řádu třetího bychom emusel tyto ermty očítt je zákldě defce sezámíme se s ěkterým důležtým vlstostm ermtů s jejchž omocí se výočet zjedoduší Vlstost ermtů Vět (lceův rozvoj) Pro čtvercovou mtc řádu ltí: j ( ) j j - rozvoj ermtu odle -tého řádku j j ( ) j j - rozvoj ermtu odle j-tého slouce kde mtce j vzke z mtce vyecháím -tého řádku j-tého slouce -

4 temtk I část I Determty mtc řádu D ů k z se rovádí dukcí vzhledem k Pozámky Determt mtce j zýváme subermtem vzhledem k rvku j Souč (-) j j zýváme lgebrckým dolňkem rvku j zčíme Řešeé úlohy Příkld Vyočtěte ermt mtce Řešeí: Teto ermt můžeme vyočítt rozvojem odle slouce (-) 4 ( ) ( )( ) ( 4) Vět Jestlže mtce B vzke tk že ěkterý řádek (slouec) čtvercové mtce vyásobíme číslem k R k ltí B k D ů k z: Číslem k R vyásobíme říkld r-tý slouec k B r k r r : : k r Rozvojem odle r-tého slouce dosteme: B ( ) r ( ) r k r B r k r r k - 8

5 temtk I část I Determty mtc řádu Důkz ro řádky je obdobý Řešeé úlohy Příkld Vyočtěte ermt mtce 8 užtím věty 9 Řešeí: Pozámk Z této věty vylývá že ermt jehož jstý řádek (slouec) tvoří smé uly se rová ule Vět Vyměíme-l ve čtvercové mtc vzájem dv řádky (slouce) k ro tkto vzklou mtc B ltí: B - D ů k z rovedeme mtemtckou dukcí ro řádky ro slouce je obdobý Vět ltí ro mtc řádu druhého eboť ( ) Nechť yí ředokládejme že tvrzeí ltí ro mtce řádu ( - ) Dokážeme že k ltí tké ro mtce řádu Nechť B je mtce řádu která vzke z mtce tk že vyměíme její -tý řádek k-tý řádek ( k) Zvolme j j k ( j ) roveďme rozvoj ermtu mtce B odle rvků j-tého řádku Dosteme j j j j j j B ( ) B ( ) - 9

6 temtk I část I Determty mtc řádu odle dukčího ředokldu je B j - j Vět 4 á-l mtce dv řádky (slouce) stejé k D ů k z lye z ředcházející věty když ob stejé řádky mez sebou vyměíme Dosteme - Vět 5 Nechť mtce B vzke tk že k -tému řádku (slouc) čtvercové mtce řádu řčteme k ásobek k R q-tého řádku (slouce) q Pk ltí B D ů k z rovedeme ro slouce ějme mtc K -tému slouc řčteme k-ásobek slouce q-tého q získáme mtc k B q q q k k Rozvojem ermtu mtce B odle -tého slouce dosteme - 8

7 temtk I část I Determty mtc řádu B ( ) ( k q ) B ( ) k ( ) q rotože druhý součet ásobeý číslem k je vlstě ermt v ěmž místě -tého slouce je q-tý slouec Teto ermt má tedy dv stejé (q-té) slouce odle věty 4 je rove ule Důkz ro řádky lze vést obdobě Pozámk Větu 5 můžeme rozšířt: Determt mtce se ezměí řčteme-l k -tému řádku (slouc) mtce lbovolou leárí kombc zbývjících řádků (slouců) Větu 5 oužíváme ř výočtu ermtů vyšších řádů tk bychom řčteím vhodé leárí kombce získl v ěkterém řádku (slouc) co ejvíce ul Pk rovedeme rozvoj odle tohoto řádku (slouce) Užtím věty 5 můžeme mtc řevést mtc trojúhelíkovou Pk ltí K O K K tj ermt se rová souču rvků hlví dgoále což vylývá římo z věty - 8

8 temtk I část I Determty mtc řádu Řešeé úlohy Příkld Vyočtěme ermt mtce Řešeí: Výhodé bude využít rozvoj odle 4 slouce Nejdříve řádek ásobeý číslem (-) řčteme k řádku třetímu řádek řčteme k řádku čtvrtému Prví druhý řádek oíšeme: ) ( slouce : odle rozvoj rovedeme Nyí ) ( Teto ermt můžeme vyočíst římo Srrusovým rvdlem ebo oět rozvojem odle slouce o úrvách ) ( ) ( ) ( ) ( Příkld Úrvou trojúhelíkový tvr vyočtěme ermt mtce - 8

9 temtk I část I Determty mtc řádu Řešeí: ( ) 5 8 Kotrolí otázky Jk se zývá ermt který vzke z ermtu ůvodí mtce kde jsme vyechl -tý řádek j-tý slouec ) lgebrcký dolěk rvku j b) subermt vzhledem k rvku j c) geometrcký dolěk rvku j Př ásobeí ermtu číslem k R musíme vyásobt ) všechy řádky ermtu b) lbovolý řádek (ebo slouec) ermtu c) všechy slouce ermtu Vyměíme-l v ermtu vzájem dv řádky (slouce) k ový ermt má ) stejou hodotu jko ůvodí b) dvkrát větší hodotu ež ůvodí c) očé zméko ež ůvodí 4 Kdy se ermt rová? ) Když všechy rvky hlví úhloříčky jsou rovy jedé b) když se dv řádky (slouce) rovjí c) když je očet řádků meší ež očet slouců - 8

10 temtk I část I 5 Srrusovým rvdlem s rovádí výočet ermtů: ) jkéhokolv řádu b) řádu 4 Determty mtc řádu c) třetího řádu Když k určtému řádku (slouc) ermtu řčteme k-ásobek (k ) jého řádku (slouce) téhož ermtu hodot ermtu se ) ezměí b) k krát se zvětší c) k krát se zmeší Hodot ermtu který je urve trojúhelíkový tvr se rová ) souču rvků vedlejší dgoále b) souču rvků v slouc c) souču rvků hlví dgoále Odověd kotrolí otázky b); b); c); 4 b); 5 c); ); c) Úlohy k smosttému řešeí Vyočtěte ermty: 4 5 ) b) c) d) e) tgx f ) g) tgx 9 Vyočtěte ermty omocí Srrusov rvdl: ) b) c) d) 8 5 x x e) 4 f) 5 x 5-84

11 temtk I část I Determty mtc řádu Řešte rovce: x x x ) x b) x x x 4 Vyočtěte ermty úrvou trojúhelíkový tvr: 8 8 ) b) c) 4 5 Vyočtěte ermty: 4 4 ) b) c) d) e) f) Ukžte že ltí: x x x x ) x y z ( x y)( y z)( z x) b) x x y y x y z y y Výsledky úloh k smosttému řešeí ) - b) c) d) e) 9 f) ( - ) g) cos x ) -8 b) 5 c) -8 d) -4 e) -5 f) (- x x) - 85

12 temtk I část I ) x x x - b) x - x 4 ) b) c) - 5 ) b) c) d) e) -4 f) 4 Determty mtc řádu Kotrolí test Vyočtěte ermt cos x s x s x cos x ) cos x b) c) Vyočtěte ermt omocí Srrusov rvdl ) 9 b) 8 c) Vyočtěte ermt omocí Srrusov rvdl ) b) c) 4 Vyočtěte ermt x x x x x x x x x ) 4x b) x c) 4x 5 Vyočtěte ermt úrvou trojúhelíkový tvr ) b) 4 c) - 8

13 temtk I část I Vyočtěte ermt úrvou trojúhelíkový tvr Determty mtc řádu ) 48 b) 58 c) Vyočtěte ermt ) 5 b) c) 5 8 Řešte rovc x 4 9 x ) x x b) x x c) x x Výsledky testu b); ); b); 4 c); 5 c); ); ); 8 b) Průvodce studem Pokud jste srávě odověděl ejméě v řídech okrčujte dlší ktolou V očém řídě je třeb rostudovt ktolu zovu - 8