Příklady k přednášce 25 Dopravní zpoždění

Transkript

1 Příklady k přednášce 25 Dopravní zpoždění Michael Šebek Automatické řízení

2 L { } Dopravní zpoždění v Laplaceově tranformaci v ( + τ ) { f t } { } t f(): t f() t = t <, L f() t = e f() t dt = f( ) f( t τ): τ >, L ( τ) =? t f( t τ) = e f( t τ) dt t τ = v = e τ τ e τ f() f () v dv τ v = e e f () v dt τ v = e e f() v dt = τ τ e L { δ( t τ) } = e,l { ( t τ) } =, Michael Šebek ARI

3 Příklad: Válcovací tolice dopravní zpoždění na výtupu přeno τ H(, e ) = G() e τ tedy obahuje dynamiku bez zpoždění + zpoždění 3

4 Příklad: Páový dopravník Těžba fofátu v Bou Craa, Západní Sahara: km ytém dopravníků Bangladéš: pá 7 km 4

5 Příklad: Regulace v buňce x () t = λ x () t + c x ( t τ ) 2 ( τ ) x () t = λ x () t + g x ( t )

6 Příklad: Hematologie 6

7 Příklad: Mechanimu aktivace enzymu 7

8 Příklady: Operační výzkum 8

9 Příklad: Tepelný ytém 9

10 Příklad: Síťové řídicí ytémy

11 Příklad: Router

12 Příklad: 2

13 Čité zpoždění v Matlabu >> D = tf(,,'inputdelay',) Tranfer function: exp(-*) * () >> = tf(''); D = exp(-) Tranfer function: exp(-) * () D () = e >> tep(tf(),d) >> bode(d) >> nyquit(d) Amplitude.5.5 Step Repone Time (econd) Nyquit Diagram Magnitude (db) Bode Diagram Imaginary Axi Phae (deg) Frequency (rad/) Real Axi

14 Sytém e zpožděním na vtupu/výtupu v Matlabu >> G = tf(,[ ],'InputDelay',2.) Tranfer function: exp(-2.*) * >> G = tf(,[ ],'OutputDelay',2.); >> = tf('');gg= /(+); G = exp(-2.*)*gg; G () Amplitude = + e 2..2 Magnitude (db) Bode Diagram Imaginary Axi Time (econd) Nyquit Diagram Phae (deg) Frequency (rad/) Real Axi

15 Sytém vnitřním zpožděním v Matlabu >> = tf('');gg= /(+); >> G = exp(-2.*)*gg; >> T=G/(+G)... Output delay (econd): 2. Internal delay(econd):2. Continuou-time model. >> tep(t) T() e = + + e + 2. e = + + e p tude Step Repone Time (econd) Nyquit Diagram Bode Diagram.5 Magnitude (db) Imaginary Axi..5 Phae (deg) Real Axi Frequency (rad/) 5

16 Příklad: Složitější ytémy.4 H(, e ) e = + + Step Repone e >> delay=tf();et(delay,'iodelay',) >> E=tf(delay),S=tf(); Tranfer function: exp(-*) * () >> H=E/(S+a+S*b*E),tep(H,2) Amplitude Time (econd) Imaginary Axi Nyquit Diagram db 2 db-2 db Phae (deg) Magnitude (db) Bode Diagram Real Axi 6

17 Příklad: Složitější ytémy H.2. 3 (, e, e ).2 e = + e + 2e.3. 2 Nyquit Diagram 2 >> delay2=tf();et(delay2,'iodelay',.2) >> delay3=tf();et(delay3,'iodelay',.3) >> H=E2/(S+E3+2*E2);tep(H,2) >> E2=tf(delay2),E3=delay3,S=tf(); Tranfer function: exp(-.2*) * () Tranfer function: exp(-.3*) * () >> H=E2*S/(S+E3+2*E2);tep(H,2) Step Repone.5 Imaginary Axi Magnitude (db) - -2 Bode Diagram Amplitude Real Axi x Time (econd) Frequency (rad/) 7

18 Pro zajímavot: Lambertova funkce Lambertova W-funkce (také omega funkce) je inverzní funkce k f ( W ) = We v reálném oboru rozumná, ale v komplexním divoká (nekonečně mnoho větví) W reálná a imaginární čát Lambertovy funkce (analytického prodloužení) 8

19 Příklad: Retardovaný a neutrální ytém Retardovaný ytém c () = + e CL 8 >> olve('exp(-tau*x)+x=') an = lambertw(, -tau)/tau >> tau=, r=lambertw(-:,-tau)./tau; >> plot(real(r),imag(r),'+r') Neutrální ytém c () = e + CL >> olve('+exp(-tau*x)*x=') an = -lambertw(, tau)/tau >> tau=, r=-lambertw(-:,tau)./tau; >> plot(real(r),imag(r),'+b') 9

20 Podmínky tability jednoduchého kvazipolynomu (Kharitonov et al., 24, p. 4) Sytém charakteritickým kvazipolynomem a (, e τ ) = + a + be τ kde a + b > (pokud ne, pak není tabilní ano bez zpoždění) je Stabilní nezávile na velikoti zpoždění ( iod ) právě když a b. Jinak b Pokud je a >, b >, je tabilní π arcco ( a b ) τ < b a Pokud je a <, b >, je tabilní τ < Michael Šebek arcco ( a b ) b a ARI-Pr a 2 3 2

21 Příklad: Detabilizující efekt zpoždění G() =, C() = Ke τ c () = + Ke CL τ τ = : = K { i} { } + τ = : max Re <<< τ = : max Re i 8 x τ =, τ =, τ = >> olve('x+k*exp(-tau*x)=') an = lambertw(, -k*tau)/tau >> k=,tau=.5 >> r=lambertw(-:,-k*tau)/tau; >> plot(real(r),imag(r),'+r') max Re { } i τ c τ τ =.5 τ c =.578 τ =

22 Příklad: Stabilizující efekt zpoždění 2 CL( ) = c e τ je netabilní pro τ =, ale tabilní pro malá nenulová zpoždění Srovnej jeho odezvu použitím PD regulátoru 22

23 Soutava rovnicí yt (). yt () + yt () = ut () je netabilní. Můžeme ji tabilizovat derivační ZV zeílením u() t = ky () t Alternativně ji můžeme tabilizovat zpožděnou ZV ut () = yt ( τ ) yt () Což můžeme interpretovat jako ZV konečnou diferencí yt () yt ( τ ) ut () = τ τ Aproximujícím derivaci Příklad: Zpoždění jako derivační ZV k τ k = τ =.2 τ =.5 k >. Step Repone =

24 Padého Aproximace Henri Eugene Padé - francouzký matematik ( ) dne znám hlavně jako autor aproximace obecné funkce pomocí racionální funkce, která je čato lepší než Taylorova Padého aproximace pro danou funkci f a přirozená číla m,n je Padého aproximant řádu (m,n) Rx ( ) = 2 m p + px + px pmx 2 n + qx + qx qx n kde f f() = R() f () = R () f () = R () () = R () ( m + n) ( m + n) oučet prvních m+n+ členů Taylorových řad f a R je tejný 24

25 Příklad: Padého aproximace >> del=tf(); >> et(del,'iodelay',5); del Tranfer function: exp(-5*) * >> pade=pade(del,) Tranfer function: >> pade2=pade(del,2) Tranfer function: ^ ^ >> pade3=pade(del,3) Tranfer function: -^ ^ ^ ^ >> tep(del,pade,pade2,pade3) >> bode(del,pade,pade2,pade3) exp(t) (,) (2,2) (3,3) 25

26 Příklad na přený návrh: P regulátor pro K τ G () = e, C () = K je p T + T() = KK e τ ( T + ) + KK e p p τ a pro hodnoty K = T = τ =, K P = 2 je 2e T() = CL charakteritický kvazipolynom je + + 2e c () = + + 2e CL Pro K = 5 je c () = + + 5e P CL >> olve('x++5*exp(-x)=') an = -+lambertw(-5*exp()) >> r=-+lambertw(-:,-5*exp()); >> plot(real(r),imag(r),'*') >> olve('x++2*exp(-x)=') an = -+lambertw(-2*exp()) >> r=-+lambertw(-:,-2*exp()); >> plot(real(r),imag(r),'*') 26

27 Příklad: CL tabilita G () C () T() b = e + a = k τ GC () () = + GC () () kb e τ = + a kb e + + a τ kbe = + a + kbe τ τ Michael Šebek ARI

28 Příklad na přený návrh I regulátorem Pro je a pro hodnoty K G () =, C () = T + T() T() = I T I τ Ke = T ( T + ) + Ke τ K = TI = T = τ = e ( + ) + e.e+2 * i i i i i i i i i i i i i i i i i CL charakteritický kvazipolynom 2 ccl() = + + e má nekonečně mnoho kořenů čát kořenů nad reálnou oou 28

29 Příklad: Smithův prediktor P regulátor e zeílením 2 T() 2 = + + 2e e T() 2 = e

30 Příklad: Smithův prediktor P regulátor e zeílením 5 T() 5 = + + 5e e 5 5 T() 5 = + 6 e po odpojení větve bez prediktoru 3

31 Příklad: Smithův prediktor I regulátor a Smithův prediktor 3

32 Příklad: Netabilní outava Smithův prediktor nefunguje pro netabilní outavu! Proč?.5 Ale např. b () e přeto můžeme tabilizovat Pro toto konkrétní zpoždění, iod to nejde P-regulátor e zeílením k =.5 dává tabilní c ( ) = +.5e CL T() = G ().5e +.5e = = a () >> G=(/(-)); >> et(g,'iodelay',.5) >> T=feedback(.5*G,) >> tep(g,t,9) >> olve('x + 3/(2*exp(x/2)) - = ') an = 2*lambertw(, -3/(4*exp(/2))) + >> pol=2*lambertw(-:,-3/(4*exp(/2)))+; >> plot(real(pol),imag(pol),'+r'),grid 32

33 Netabilní outava b () + e G () = = a () e Char. kvazipolynom ( ) ( ) Regulátor a CL Příklad: Přiřazení konečného počtu pólů e p () + + e q () = + >> olve('+exp(-x)=') an = pi*i >> zer=(pi.*(-:)); >> olve('x-exp(-x)=') an = lambertw(, ) >> pol=lambertw(-:,); >> plot(real(zer),imag(zer), 'ob',real(pol),imag(pol),'+r') q () = p ( ) T () = + e + Pro imulace pade(3,3) e = >> del=tf();et(del,'iodelay',); >> pade3=df(pade(del,3)); >> G=(+pade3)./(-pade3); >> T=(+pade3)./(+); >> tep(tf(g),tf(l),:.:8) Michael Šebek ARI-Pr

34 Příklady k přednášce 25 Sytémy proměnné v čae Michael Šebek Automatické řízení

35 Příklad: Houpačka dětká houpačka je kyvadlo rovnicí (tandardní předpoklady): d 2 ( ϕ) + mgl inϕ = dt ale délka je zde proměnná + + l= lt ( ) [ l, l ], L= ½( l + l ) tedy celkem (pozor při derivaci!) d 2 wing.mdl (() lt ϕ) + glt ()inϕ = dt 2l ϕ ginϕ ϕ + + = l l 35

36 Pro teoretické zkoumání označ. ν= lϕν, = l ϕ+ l ϕν, = lϕ+ 2l ϕ+ l ϕ a zjednodušíme rovnici inϕ ϕ 2l ϕ ginϕ ϕ + + = ν + ( g l) ν = l l l Doadíme lt ( ) L(+εco ωt), označíme ω ω 2 2 a dotaneme δ + εco t x = ω x, δ g ( Lω ) ν + ν = ε co t Použijeme aproximaci. řádu δ+ ε t δε = δ+ ( δε ) co t + v ε a dotaneme tzv. + εco t + εco Mathieuovu rovnici wingmat.mdl Ta má neomezené řešení pokud ε = δ = ¼ ω = Pokračování: Parametrická rezonance ( t ) ν + δ + ε( δ) co ν =., 2 g L t t x = dx dt = x co ( ) co t = 2x přirozená frekvence kyvadla 36 t

37 Stabilita LTV Pro lineární ytém proměnný v čae x = A() tx+ B() tu, x( t) y= C() tx+ Dtu () Je řešení je dáno tavovou maticí přechodu x() t = Φ(, tt) x( t) počáteční hodnotou t t Φ( t, t ) = I Definice tability je podobná jako u LTI, přeněji ekvilibrium v počátku je globálně tejnoměrně aymptoticky tabilní právě když Φ ( t t (, t t ) ke γ ), t t Stabilitu ale nelze charakterizovat vlatními číly matice A ani v případě, že jou tato číla kontantní! 37

38 Příklad: Stabilita LTV ytému LTV ytém 2. řádu A (otatní matice jou nulové) A() t 2 +.5co t.5in tcot = 2.5in tcot +.5in t má vlatní číla nezávilá na t a ležící v levé polorovině» ym t» A=[-+.5*co(t)^2,-.5*in(t)*co(t);--.5*in(t)*co(t),-+.5*in(t)^2] A = [ -+3/2*co(t)^2, -3/2*in(t)*co(t)] [ --3/2*in(t)*co(t), -+3/2*in(t)^2]» eig(a) an = [ -/4+/4*i*7^(/2)] [ -/4-/4*i*7^(/2)] Tedy by e zdálo, že je ytém tabilní? 38

39 Přitom ale je neboť Φ( t,) Příklad: Stabilita LTV ytému.5t t e cot e in t =.5t t e in t e cot» PHI=[exp(t/2)*co(t),exp(-t)*in(t);-exp(t/2)*in(t),exp(-t)*co(t)] PHI =[ exp(/2*t)*co(t), exp(-t)*in(t)] [ -exp(/2*t)*in(t), exp(-t)*co(t)]» [implify(a*phi(:,)-diff(phi(:,),t)), implify(a*phi(:,2)-diff(phi(:,2),t))] an = [, ] [, ] Jelikož x( t) = Φ( t,) x() Tak zřejmě pp. libovolně blízko počátku, pro které řešení uteče do nekonečna - ytém je tedy netabilní Pro čaově proměnné ytémy vlatní číla nefungují! 39