KOMBINATORIKA KOMBINATORICKÉ PRAVIDLO SOUČINU A SOUČTU, VARIACE, PERMUTACE, FAKTORIÁLY KOMBINATORICKÉ PRAVIDLO SOUČINU A SOUČTU

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "KOMBINATORIKA KOMBINATORICKÉ PRAVIDLO SOUČINU A SOUČTU, VARIACE, PERMUTACE, FAKTORIÁLY KOMBINATORICKÉ PRAVIDLO SOUČINU A SOUČTU"

Transkript

1 Předmět: Ročík: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA TŘETÍ Mgr. Tomáš MAŇÁK 7. červa 03 Název zpracovaého celku: KOMBINATORIKA KOMBINATORICKÉ PRAVIDLO SOUČINU A SOUČTU, VARIACE, PERMUTACE, FAKTORIÁLY Motivačí příklad : KOMBINATORICKÉ PRAVIDLO SOUČINU A SOUČTU Určete, kolik dvojjazyčých slovíků je třeba vydat, aby byla zajištěa možost přímého překladu z ruského, aglického, ěmeckého a fracouzského jazyka do každého z ich. Řešeí: Každý slovík zapíšeme jako uspořádaou dvojici. Je třeba vydat tyto slovíky: [R;A], [R;N], [R;F], [A;R], [A;N], [A;F], [N;R], [N;A], [N;F], [F;R], [F;A], [F;N]. Pro výběr prvího čleu uspořádaé dvojice máme čtyři možosti výběru a po provedeém výběru jsou pro výběr druhého čleu už je tři možosti výběru. Hledaý počet všech uspořádaých dvojic je rove součiu 4. 3 =. Je uté vydat dvojjazyčých slovíků. Motivačí příklad : Z města A do města B vede pět cest, z města B do města C vedou tři cesty a z města C do města D čtyři cesty. Určete počet cest, které vedou z města A do města D přes města B a C. Řešeí: α a β A 3 b B C D 4 γ c 5 δ Každou cestu z A do D přes B a C lze apsat jako uspořádaou trojici.

2 Pro výběr prvího čleu uspořádaé trojice máme pět možostí výběru,, 3, 4, 5), po provedeém prvím výběru jsou pro výběr druhého čleu trojice tři možosti a, b, c) a po provedeém druhém výběru jsou pro výběr třetího čleu uspořádaé trojice čtyři možosti výběru α, β, γ, δ). Celkový počet cest je rove součiu = 60. Počet cest, které vedou z města A do města D přes B a C, je 60 cest. Motivačí příklad 3: Určete počet všech trojciferých přirozeých čísel, v jejichž dekadickém zápisu se každá číslice vyskytuje ejvýše jedou. Řešeí: Trojciferá čísla lze považovat za uspořádaé trojice. Prví čle této trojice lze vybrat právě devíti způsoby a prvím místě může být jakákoliv cifra kromě 0). Druhý čle této trojice lze vybrat právě devíti způsoby a druhém místě esmí být stejá cifra jako a prvím místě, ale přibyla cifra 0, kterou již můžeme použít). Třetí čle této trojice lze vybrat osmi způsoby zbývá už je osm cifer k použití). Celkem existuje = 648 trojciferých přirozeých čísel požadovaých vlastostí. Motivačí příklad 4: Je dá kovexí čtyřúhelík. Kolik přímek je určeo vrcholy tohoto čtyřúhelíku? Řešeí: D C A Každou přímku můžeme chápat jako uspořádaou dvojici. Prví čle této dvojice můžeme vybrat právě čtyřmi způsoby a prvím místě může být bod A, B, C ebo D). Druhý čle dvojice, po vybráí prvího čleu, můžeme vybrat už je třemi způsoby. Existuje tak 4. 3 = uspořádaých dvojic [X;Y], určujících přímku. Uvědomme si, že přímka AB je ta samá přímka, jako přímka BA atd. Tedy dvě uspořádaé dvojice [A;B] a [B;A] vyjadřují tutéž přímku. Abychom získali počet všech požadovaých přímek, musíme získaý počet uspořádaých dvojic dělit dvěma. 43 Přímek je tedy celkem 6. Vrcholy kovexího čtyřúhelíku je určeo 6 přímek. B Motivačí příklad 5: Je dá čtverec ABCD a a každé jeho straě je zvoleo jejich vitřích bodů. Určete počet všech trojúhelíků, jejichž vrcholy X, Y, Z leží v daých bodech a a růzých straách čtverce ABCD.

3 Řešeí: Trojúhelík můžeme chápat jako uspořádaou trojici [X;Y;Z]. Vrchol X je možé zvolit 4 způsoby. Po výběru bodu X lze vrchol Y volit 3 způsoby, eboť esmí ležet a téže straě čtverce ABCD jako bod X. Po výběru bodu Y je možo vrchol Z vybrat způsoby, eboť esmí ležet a těch straách čtverce ABCD, a ichž leží body X, Y. Existuje tedy = 4 3 uspořádaých trojic [X;Y;Z]. Uvědomme si, že 6 uspořádaých trojic určuje stejý trojúhelík XYZ. [X;Y;Z] = [X;Z;Y] = [Z;X;Y] = [Z;Y;X] = [Y;X;Z] = [Y;Z;X] = jede trojúhelík XYZ Počet všech trojúhelíků požadovaé vlastosti získáme tak, že počet všech uspořádaých trojic dělíme šesti. Trojúhelíků daé vlastosti je celkem Na základě předchozích řešeých motivačích příkladů můžeme vyslovit závěr: KOMBINATORICKÉ PRAVIDLO SOUČINU: Počet všech uspořádaých k-tic, jejichž prví čle lze vybrat právě -způsoby; druhý čle, po výběru prvího čleu, právě -způsoby atd.; až k-tý čle, po výběru k-)-ho čleu, právě - způsoby, je rove součiu... k. kromě kombiatorického pravidla součiu často v kombiatorice používáme pravidlo součtu: PRAVIDLO SOUČTU: Jestliže lze v prvím případě zvolit m růzých způsobů a ve druhém případě ezávisle a prvím) lze volit růzých způsobů, pak počet všech způsobů, kterými lze provést volbu je m +. SHRNUTO: Kombiatorika se zabývá vytvářeím k-čleých skupi z daé -prvkové možiy. 3

4 Pracoví list A ) Z města A do města B vedou 4 cesty, z města B do města C cesty. Určete počet cest, které vedou z A do C a prochází přitom městem B. ) V botíku je po jedom páru kozaček, sadálů, teisek a hědých a čerých polobotek. Kolika způsoby lze z ich vybrat jedu pravou a jedu levou botu, které epatří k sobě. 3) Určete počet všech čtyřciferých přirozeých čísel, v jejichž dekadickém zápisu eí cifra ula a ze zbývajících devíti číslic se v ěm každá vyskytuje ejvýše jedou. Kolik z těchto čísel je větších ež 9 000? Kolik je meších ež 3 000? 4) Je dá rovostraý trojúhelík ABC a a každé jeho straě je zvoleo jejich vitřích bodů. Určete počet všech trojúhelíků, jejichž vrcholy X, Y, Z leží v daých bodech a a růzých straách trojúhelíku ABC. 4

5 5) V košíku je jablek a 0 hrušek. Petr si má z ich vybrat buď jablko ebo hrušku tak, aby Věra, která si po ěm vybere jedo jablko a jedu hrušku, měla co ejvětší možost výběru. Určete, co Petr vybere. 6) Kolik přímek je určeo vrcholy kovexího dvacetičtyřúhelíku? 7) Kolika způsoby lze a šachovici 8 x 8 vybrat dvě růzobarevá pole tak, aby obě eležela v téže řadě ai v témže sloupci. 8) Určete počet všech čtyřciferých přirozeých čísel, jejichž dekadický zápis je slože z číslic,, 3, 4, 5 každá z ich se může opakovat), která jsou dělitelá: a) pěti, b) dvěma, c) čtyřmi. 9) Z města A do města B vedou 4 cesty, z města B do města C 3 cesty. Určete počet způsobů, kterými lze vybrat trasu: a) z města A do města C a zpět, b) z města A do města C a zpět tak, že z těchto sedmi cest eí žádá použita dvakrát, c) z města A do města C a zpět tak, že těchto sedmi cest jsou právě dvě použity dvakrát. 5

6 VARIACE BEZ OPAKOVÁNÍ Teorie: Variace k-té třídy z -prvků bez opakováí, daé základí -prvkové možiy 0 k ), je každá uspořádaá k-tice sestaveá pouze z těchto -prvků tak, že každý je v í obsaže ejvýše jedou. záleží a pořadí prvků a daé prvky se eopakují) Symbolický zápis: Vk;) ebo V k ) Pro počet všech variací k-té třídy z -prvků bez opakováí platí vzorec: V k; ) ) )... k ) variace k-té třídy z -prvků bez opakováí v součiu je právě k-čiitelů V k; ) ) )... k ) k)... 3 k)... 3 V k; ) k) Důležitá iformace -faktoriál zapisujeme ) pro apř.: N defiujeme ) )... 3 defiujeme 0 pro 0 6

7 Řešeý příklad : Ze čtyř chlapců, kteří se jmeují Adam, Michal, Radek a Pavel je třeba vybrat a braé cvičeí tříčleou hlídku, v íž bude urče velitel, chemik a zdravotík. Kolika způsoby lze hlídku vytvořit? Řešeí: V tříčleé hlídce záleží a uspořádáí prvků a jedotlivé prvky emůžeme opakovat Pavel emůže být chemik a zdravotík současě; stejá trojice chlapců se může ve svých fukcích prohodit proto záleží a pořadí prvků v trojici jedá se o variace bez opakováí) Vytváříme tříčleé variace ze čtyř prvků bez opakováí. V 3;4) 43 4 Hlídku lze vytvořit 4 růzými způsoby. Řešeý příklad : Kolik růzých umístěí může být a prvích třech místech při hokejovém mistrovství světa, jestliže se ho zúčastilo osm družstev? Řešeí: Vytváříme uspořádaé trojice z osmi prvků. V trojici se prvky emohou opakovat ČR emůže být současě a prvím a třetím místě; stejá trojice zemí se a prvích třech místech může vzájemě prohodit a vytvářet tak jié umístěí záleží a pořadí prvků v trojici jedá se o variace bez opakováí). Vytváříme variace 3. třídy z 8 prvků bez opakováí. V 3;8) Na hokejovém mistrovství světa může a prvích třech místech astat 336 růzých umístěí. Řešeý příklad 3: Určete počet všech šesticiferých přirozeých čísel, v jejichž dekadickém zápisu jsou každé dvě cifry růzé. Řešeí: počet cifer = 0 0,,,3,4,5,6,7,8,9) 0 prvků = vytváříme uspořádaou šestici záleží a pořadí cifer v šestici) k = 6 variace; cifry se v zápisu čísla esmí opakovat variace 6. třídy z 0 prvků bez opakováí V 6;0) Pozor Ze všech takto vytvořeých uspořádaých šestic musíme odečíst ty uspořádaé šestice, které začíají cifrou ula 0 a další cifry již jsou růzé ejedalo by se tak o šesticiferé přirozeé číslo). uto odečíst tvary: V 5;9)

8 Shruto celkem: V 6;0) V5; Celkem lze vytvořit přirozeých čísel požadovaých vlastostí. Řešeý příklad 4: Určete počet všech přirozeých čísel meších ež 500, v jejichž dekadickém zápisu jsou pouze cifry 4,5,6,7 a to každá ejvýše jedou. Řešeí: Musíme si uvědomit, že z požadovaých cifer můžeme sestavit trojciferá, dvojciferá ebo jedociferá přirozeá čísla: ) Trojciferá čísla požadovaé vlastosti musí začíat cifrou 4, protože jejich hodota musí být meší ež vytváříme už je uspořádaou dvojici tvořeou zbývajícími možými prvky tj. 5 ebo 6 ebo 7 vytváříme uspořádaou dvojici ze tří prvků jejich počet vypočteme jako variace. třídy z 3 prvků bez opakováí V ;3) 3 6 Z daých cifer lze vytvořit 6 trojciferých přirozeých čísel. ) Dále můžeme vytvářet čísla dvojciferá, požadovaých vlastostí.. tvoříme uspořádaou dvojici dvojciferé číslo) ze čtyř prvků 4,5,6,7) bez opakováí jejich počet vypočteme jako variace. třídy ze 4 prvků bez opakováí: V ;4) 43 Z daých cifer lze vytvořit dvojciferých přirozeých čísel. 3) Jedociferá čísla jsou pak čísla 4,5,6,7 celkem 4 přirozeá čísla. Shruto celkem: V ;3) V; Z daých cifer lze celkem vytvořit přirozeých čísel požadovaých vlastostí. Řešeý příklad 5: Řešte rovice pro přípustá : a) V ; ) 0 V ; ) V; ) Řešeí: b) a) V ; ) 0 N ) ) b 4ac ) 4 0) symbolický zápis převedeme a matematický tvar výraz a levé straě rozásobíme získáme kvadratickou rovici D vypočteme diskrimiat 8

9 , b D 9 a 30 5 N 8 4 N Řešeím rovice je číslo 5 5 Provedeí zkoušky poecháváme a čteáři. vypočteme kořey kvadratické rovice a určíme správé řešeí K zapíšeme možiu kořeů rovice b) V ; ) V; ) N 4) symbolický zápis převedeme a matematický tvar; ) 3) ) výraz a levé straě rozásobíme 5 6 a upravíme; získáme kvadratickou rovici; 8 0 kvadratickou rovici upravíme; 4) ) 0 rovici řešíme rozkladem a souči kořeových čiitelů 4 N vyhovuje N Řešeím rovice je číslo 4 podm. 4 Provedeí zkoušky poecháváme a čteáři. určíme kořey a správé řešeí kvadratické rovice. K zapíšeme možiu kořeů rovice Řešeý příklad 6: Zvětší-li se počet prvků o, zvětší se počet variací 3. třídy bez opakováí o 384. Určete, kolik je prvků. Řešeí: Na základě zadáí sestavíme symbolickou rovici: V 3; ) V3; ) 384 N 3) ) ) ) ) symbolický zápis převedeme a matematický tvar výraz a levé straě rozásobíme rovici upravíme a získáme eúplou kvadratickou rovici rovici vyřešíme zámými postupy řešeí

10 určíme správé řešeí rovice koře: -8), 8 Řešeím rovice je číslo 8 8 Provedeí zkoušky poecháváme a čteáři. evyhovuje podmíce řešitelosti rovice) K zapíšeme možiu kořeů rovice 0

11 Pracoví list B ) Výbor TJ tvoří 0 lidí. Z ich je třeba vybrat předsedu, místopředsedu, jedatele a hospodáře. Kolik způsoby to lze provést? ) K sestaveí vlajky, skládající se ze tří růzobarevých vodorových pruhů, jsou k dispozici látky těchto barev: červeá, žlutá, modrá, bílá a zeleá. Kolik uvedeých vlajek lze z těchto látek sestavit? 3) Ve fiále olympijského spritu a 00 m startuje 8 závodíků. Určete počet způsobů, jimž se mohou rozdělit o zlatou, stříbrou a brozovou medaili. 4) Určete počet všech pěticiferých přirozeých čísel, v jejichž dekadickém zápisu jsou každé dvě cifry růzé 5) Určete počet všech šestimístých telefoích čísel, v ichž se každá cifra vyskytuje ejvýše jedou.

12 6) Kolik trojciferých přirozeých čísel dělitelých pěti lze sestavit z číslic: a),,3,4,5, b) 0,,,3,4,5, jestliže je možo každou číslici v každém zápisu čísla použít ejvýše jedou. 7) K sestaveí vlajky, která má být složea ze tří růzobarevých vodorových pruhů, jsou k dispozici látky barvy bílé, červeé, modré, zeleé a žluté. a) Určete počet vlajek, které lze z látek těchto barev sestavit. b) Kolik z ich má modrý pruh? c) Kolik jich má modrý pruh uprostřed? d) Kolik jich emá uprostřed červeý pruh? 8) Řešte rovici: V ; ) 56 9) Určete počet prvků, z ichž lze vytvořit: a) 40 dvoučleých variací, b) dvakrát více čtyřčleých variací ež tříčleých variací.

13 0) O telefoím čísle svého spolužáka si Vašek zapamatoval je to, že je devítimísté, začíá dvojčíslím 3, eobsahuje žádé dvě stejé číslice a je dělitelé 5. Kolik telefoích čísel přichází v úvahu? ) Zvětší-li se počet prvků o dva, zvětší se počet tříčleých variací bez opakováí a) desetkrát, b) o 50. Určete původí počet prvků. ) Určete počet všech ejvýše čtyřciferých přirozeých čísel s růzými číslicemi, která jsou sestavea z číslic 0,, 4, 6, 8. 3) Zmeší-li se počet prvků o 5, zmeší se počet variací druhé třídy z těchto prvků vytvořeých 4,5krát. Kolik je prvků? 3

14 4 POČÍTÁNÍ S FAKTORIÁLY Řešeý příklad : Vypočtěte: a) 4 3 b) c) 53 8 d) Řešeí: a) b) ) ) c) d) ) 78 ) Řešeý příklad : Vypočtěte pro příslušá ): a) b) c) )

15 5 d) ) e) ) 3) Řešeí: a) ) b) c) ) ) ) d) ) ) ) ) ) e) 3) ) ) ) ) 3) ) 3) Řešeý příklad 3: Zjedodušte výrazy: a) b) ) 6 3) 9 c) ) ) Řešeí: a) ) ) b) ) 6 ) 3 ) 6 ) 3) 3) 3) ) 6 3) 9

16 ) 3 6 ) ) ) ) ) c) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) 3 ) Řešeý příklad 4: Řešte rovice: a) 30x x ) b) x 4) x ) 3 x 3) c) x x 4 x ) x 3) d) log x 6) log x 5) log x Řešeí: a) 30x x ) určíme podmíku pro x x N 30x x ) x ) x / rovici vydělíme x tj vyásobíme výrazem x x a odstraíme tak z rovice výrazy s faktoriály výrazem x můžeme dělit, protože výraz eí ikdy rove ule) 30 x ) x ) pravou strau rovice rozásobíme 30 x x x 30 x 3x x 3x 8 0 získáme kvadratickou rovici, kterou vyřešíme apříklad rozkladem a souči kořeových čiitelů x 7) x 4) 0 určíme kořey kvadratické rovice x 7 x 4 kořey kvadratické rovice x 4 určíme správé řešeí zadaé rovice koře x evyhovuje podmíce řešitelosti rovice) Řešeím rovice je číslo 4 x 4 Provedeí zkoušky poecháváme a čteáři. K zapíšeme možiu kořeů rovice 6

17 b) x 4) x ) 3 x 3) určíme podmíku pro x x N x 4 x 4) x ) x 3) x 4) 3 x 3) x 4) levou strau rovice upravíme vhodým rozkladem výrazů s faktoriály x 4) x ) x 3) x 3) x 4) 3 v čitateli vytkeme výraz s faktoriálem a vykrátíme s výrazem ve jmeovateli; odstraíme tím faktoriály z rovice x ) x 3) 3 x 3) rovici vyřešíme zámými metodami řešeí rovic s ezámou ve jmeovateli x ) x 3) 3 x 3) x 3x x 6 3x 9 x 8x 6 0 získáme kvadratickou rovici x 4) 0 levou strau rovice upravíme a vzorec a + b) x 4 rovice má jede dvojásobý reálý koře, který, Řešeím rovice je číslo 4 x 4 Provedeí zkoušky poecháváme a čteáři. vyhovuje podmíce řešitelosti rovice K zapíšeme možiu kořeů rovice c) x x 4 x ) x 3) x x ) x ) x ) x ) x 3) 4 x ) x 3) určíme podmíku pro x x N x 3 levou strau rovice upravíme vhodým rozkladem výrazů s faktoriály x x ) x ) x ) 4 výrazy s faktoriály v jedotlivých zlomcích vykrátíme a tím je z rovice odstraíme x x x x x 4 rovici vyřešíme zámými metodami řešeí x x x x x 8 x 4x 6 0 x x 3 0 získáme kvadratickou rovici, kterou řešíme rozkladem a souči kořeových čiitelů x 3) x ) 0 určíme kořey kvadratické rovice x 3 x kořey kvadratické rovice x 3 určíme správé řešeí zadaé rovice koře x evyhovuje podmíce řešitelosti rovice) 7

18 Řešeím rovice je číslo 3 x 3 Provedeí zkoušky poecháváme a čteáři. K zapíšeme možiu kořeů rovice d) log x 6) log x 5) log x určíme podmíku pro x x N x 6) log log x x 5) levou strau rovice upravíme užitím vět o logaritmech logaritmus podílu a logaritmus mociy) x 6) x x 5) odstraíme logaritmy užitím věty o logaritmech o stejých základech x 6) x 5) x x 5) levou strau rovice upravíme rozkladem výrazu s faktoriály a ásledým vykráceím stejých výrazů x 6 x x x 6 0 získáme kvadratickou rovici, kterou řešíme rozkladem a souči kořeových čiitelů x 3) x ) 0 určíme kořey kvadratické rovice x 3 x kořey kvadratické rovice x 3 určíme správé řešeí zadaé rovice koře x evyhovuje podmíce řešitelosti rovice) Řešeím rovice je číslo 3 x 3 Provedeí zkoušky poecháváme a čteáři. K zapíšeme možiu kořeů rovice 8

19 Pracoví list C ) Vypočtěte: 7 a) 5 b) 3456 c) d) ) Vypočtěte pro příslušá ): a) b) ) c) d) ) 9

20 0 e) ) f) 4) 3) 3) Zjedodušte výrazy: a) ) 4 3 b) ) 4 c) d) ) 4) Řešte rovice: a) 3 ) 3) x x

21 b) x 6) x 6x 8 x 4) c) log x log x d) x ) 7x 6 0 5) Určete počet všech pěticiferých přirozeých čísel, v jejichž dekadickém zápisu je každá z cifer,, 3, 4, 5 a které jsou větší ež

22 PERMUTACE BEZ OPAKOVÁNÍ Motivačí příklad : V lavici má sedět 5 žáků ozačeých písmey A, B, C, D, E. Kolika způsoby si mohou sedout, jestliže: a) žák A má sedět a určeém koci lavice, b) žák A má sedět a jedom ebo druhém koci lavice, c) žáci A, C mají sedět vedle sebe, d) žák A má sedět a určeém koci lavice a žáci B, C mají sedět vedle sebe. Řešeí: a) žák A má sedět a určeém koci situaci symbolicky vyzačíme takto: A.... vytváříme uspořádaou čtveřici záleží a tom, jak se zbývající žáci vedle sebe posadí) tvoříme variace 4. třídy ze 4 prvků bez opakováí je-li = k, prvky se esmí opakovat a záleží a jejich pořadí v -tici vytváříme permutace z 4 prvků bez opakováí V 4;4) 43 P4) Žáci se mohou posadit do pětimísté lavice, dle požadovaých podmíek, celkem 4 růzými způsoby. b) žák A má sedět a jedom ebo druhém koci lavice situaci symbolicky vyzačíme takto: A.... ebo.... A vytváříme uspořádaou čtveřici záleží a tom, jak se ostatí žáci vedle sebe posadí) tvoříme variace 4. třídy ze 4 prvků bez opakováí, které ásledě započteme dvakrát je-li = k, prvky v -tici se esmí opakovat a záleží a jejich pořadí vytváříme tak permutace z 4 prvků bez opakováí V 4;4) 43 P4) Žáci se mohou posadit do pětimísté lavice, dle požadovaých podmíek, celkem 48 růzými způsoby. c) žáci A, C mají sedět vedle sebe oba žáky A a C považujeme za ový prvek, který ozačíme Q k dispozici yí máme prvky B, D, E a ový prvek Q vytváříme uspořádaou čtveřici z těchto 4 prvků B, D, E, Q) vytváříme variace 4. třídy ze 4 prvků bez opakováí žáci prvky se esmí ve vzikající čtveřici opakovat) = k tvoříme opět permutace z 4 prvků bez opakováí situace vypadá takto:.... V 4;4) 43 P4) Protože si však mohou žáci A, C, tvořící prvek Q, mezi sebou přesedout tj. sedout si ve všech možých případech v pořadí A, C aebo ve všech možých případech v pořadí C, A mohou

23 si tedy sedout dvěma růzými způsoby musíme získaý počet uspořádaých čtveřic vyásobit dvěma: Celkem: V 4;4) 43 P4) Žáci se mohou posadit do pětimísté lavice, dle požadovaých podmíek, celkem 48 růzými způsoby. d) žák A má sedět a určeém kraji lavice a žáci B, C mají sedět vedle sebe žáky B, C považujme za ový prvek, který ozačme Q k dispozici yí máme prvky A, D, E a Q žák A má sedět a určeém kraji situaci graficky vyzačíme takto: A... a prázdá místa máme možost posadit prvky D, E, Q) vytváříme již uspořádaou trojici z prvků D, E, Q v trojici záleží a pořadí prvků a prvky se emohou opakovat vytváříme uspořádaou trojici ze tří prvků bez opakováí variace 3. třídy ze 3 prvků bez opakováí = k permutace ze 3 prvků bez opakováí) V 3;3) 3 P3) V takto vziklých trojicích se však ve všech možých případech mohou žáci B, C, tvořící prvek Q, posadit v opačém pořadí tj. C, B žáci B, C si tedy ve všech možých případech mohou sedout dvěma růzými způsoby získaý počet uspořádaých trojic musíme vyásobit dvěma: Celkem: V 3;3) 3 P3) 3 3 Žáci se mohou posadit do pětimísté lavice, dle požadovaých podmíek, celkem růzými způsoby. Teorie Permutace z -prvků bez opakováí je každá variace -té třídy z těchto -prvků bez opakováí. uspořádaé -tice, které vytváříme, se liší pouze pořadím prvků v -tici tj. k = ) Symbolický zápis: P) Pro počet všech permutací z -prvků bez opakováí platí vzorec: P ) ) )... 3 permutace z -prvků bez opakováí 3

24 ) )... 3 P ) V ; ) ) 0 ) )... 3 ) )... 3 Řešeý příklad : Kolika způsoby lze vedle sebe uložit šest růzých kih? Řešeí: Ze zadáí úlohy plye, že šest růzých kih = 6) potřebujeme uložit vedle sebe a šest růzých míst k = 6) vytváříme uspořádaou šestici ze šesti prvků kihy jsou růzé, tj. záleží a jejich umístěí a emohou se opakovat) = 6 = k, vytváříme permutace z 6 prvků bez opakováí. P 6) Kihy lze vedle sebe uložit 70 růzými způsoby. Řešeý příklad : Kolika způsoby lze posadit čtyři hosty a čtyři křesla? Řešeí: = 4 počet hostů) a k = 4 počet křesel) vytváříme uspořádaou čtveřici ze čtyř prvků bez opakováí hosté se emohou v jedé čtveřici opakovat a záleží, kdo si a jaké křeslo sede) vytváříme permutace ze 4 prvků bez opakováí. P 4) Čtyři hosté si a čtyři růzá křesla mohou sedout 4 růzými způsoby. Řešeý příklad 3: Určete počet pěticiferých přirozeých čísel, v jejichž dekadickém zápisu je každá z číslic 0,, 3, 4, 7. Řešeí: počet prvků: = 5 0,, 3, 4, 7); vytváříme uspořádaou pětici k = 5 pětimísté přirozeé číslo) vytváříme uspořádaou pětici z pěti prvků bez opakováí číslice se v zápisu čísla emohou opakovat, protože v zápisu čísla musí být použita každá z uvedeých číslic) vytváříme permutace z 5 prvků bez opakováí. P 5) Pozor Mezi vziklými přirozeými čísly jsou však i takové čísla, která začíají cifrou 0, tj čísla takováto čísla však ejsou pěticiferá, ale čtyřciferá proto musíme od uvedeého počtu odečíst 4

25 všecha takto vziklá čísla musíme odečíst uspořádaé čtveřice vytvořeé ze čtyř prvků, 3, 4, 7), kterých je P 4) Celkem: P 5) P4) Z daých číslic lze vytvořit 96 pěticiferých přirozeých požadovaých tvarů. Řešeý příklad 4: Kolika způsoby může stát v zástupu za sebou pět vojáků A, B, C, D, E tak, aby: a) voják A byl prví a voják E posledí, b) vojáci C, D, E stáli za sebou v libovolém pořadí. Řešeí: a) voják A byl prví a voják E posledí situace: A... E vytváříme uspořádaou trojici ze tří prvků B, C, D),; prvky se emohou opakovat vytváříme permutace ze 3 prvků bez opakováí P 3) Za daých podmíek mohou vojáci stát za sebou 6 růzými způsoby. b) vojáci C, D, E za sebou v libovolém pořadí vojáci C, D, E musí stát při sobě a proto je budeme považovat za ový prvek Q vytváříme uspořádaou trojici ze tří prvků A, B, Q situace:... vytváříme permutace ze 3 prvků bez opakováí P 3) Jestliže však vojáci C, D, E mají stát za sebou v libovolém pořadí, vypočteme, kolikrát se mohou tito vojáci mezi sebou zaměit vytváříme další permutace ze 3 prvků C, D, E) bez opakováí P 3) vojáci C, D, E se mezi sebou mohou šestkrát zaměit v každé vziklé uspořádaé trojici A, B, Q, můžeme ještě šestkrát zaměit pořadí prvků tvořících prvek Q tj. prvků C, D, E) Celkový počet možostí seřazeí vojáků dle zadaých podmíek je pak rove součiu: P 3) P3) Vojáci se do zástupu mohou postavit celkem 36 růzými způsoby. 5

26 Řešeý příklad 5: Zvětší-li se počet prvků o, zvětší se počet permutací krát. Kolik je prvků? Řešeí: Na základě zadáí sestavíme symbolickou rovici: P ) P ) N) ) symbolický zápis převedeme a matematický tvar výrazy s faktoriály upravíme rozložíme větší číslo pomocí čísla mešího) ) ) rovici vydělíme výrazem ) ) rovici dále upravíme a zjedodušíme získaou kvadratickou rovici řešíme rozkladem a souči kořeových čiitelů 5) ) 0 vypočteme kořey kvadratické rovice 5 určíme správé řešeí rovice koře: -5) evyhovuje podmíce rovice) Řešeím rovice je číslo Provedeí zkoušky poecháváme a čteáři. K zapíšeme možiu kořeů rovice 6

27 Pracoví list C ) Určete počet všech šesticiferých přirozeých čísel, v jejichž dekadickém zápisu je každá z číslic 0,, 4, 6, 8, 9. ) Určete počet všech pěticiferých přirozeých čísel, v jejichž dekadickém zápisu je každá z cifer,, 3, 4, 5 a které jsou větší ež ) Kolika způsoby se a pětimísté lavici může posadit pět chlapců, z ichž dva chtějí sedět vedle sebe. 4) V možiě N řešte rovici: x 0 x 7

28 5) Určete počet všech devítimístých: a) telefoích, b) přirozeých, čísel, v jejichž zápisu je každá z deseti číslic kromě devítky. 6) Kolika způsoby může m chlapců a dívek astoupit do zástupu tak, aby: a) ejdříve stály všechy dívky a pak všichi chlapci, b) mezi žádými dvěma chlapci ebyla žádá dívka ai mezi žádými dvěma dívkami ebyl žádý chlapec. 7) Určete počet prvků tak, aby: a) při zvětšeí jejich počtu o dva se počet permutací zvětšil 56krát, b) při zmešeí jejich počtu o dva se počet permutací zmešil 0krát. 8

29 VARIACE S OPAKOVÁNÍM Teorie: Variace k-té třídy z -prvků s opakováím, daé základí -prvkové možiy uspořádaá k-tice sestaveá pouze z těchto -prvků. záleží a pořadí prvků a daé prvky se mohou opakovat) k, N ), je každá Symbolický zápis: V k;) ebo V k) Pro počet všech variací k-té třídy z -prvků s opakováím platí vzorec: V k; ) k variace k-té třídy z -prvků s opakováím Např.: Je dáa možia M a; b; c uspořádaé dvojice) jsou: [a;a], [b;a], [c;a], [a;b], [b;b], [b;c], [a;c], [b;c], [c;c].. Všechy variace. třídy z těchto 3 prvků s opakováím tj. všechy Daé prvky se mohou opakovat a záleží a jejich uspořádáí pořadí). Celkem lze tedy vytvořit V ;3) = 3 = 9 uspořádaých dvojic. Důkaz vzorce: Vzorec pro výpočet V k;) lze získat užitím kombiatorického pravidla součiu. Pro výběr každého čleu uspořádaé k-tice sestaveé pouze z daých -prvků máme právě -možostí, a to ezávisle a tom, které prvky byly vybráy pro čley předcházející. Existuje tedy právě k... uspořádaých k-tic sestaveých z daých -prvků tj. V k;) = k. k-krát Řešeý příklad : Kolik růzých telefoích staic lze zapojit a telefoí cetrálu, jestliže jsou všecha čísla staic pěticiferá? Kolik může být těchto staic, předpokládáme-li, že číslo emůže začíat číslicí 0? 9

30 Řešeí: Čísla telefoích staic chápeme jako uspořádaé pětice tvořeé deseti číslicemi 0, ;, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), v ichž se mohou číslice opakovat vytváříme variace 5. třídy z 0 prvků s opakováím V 5;0) = 0 5 = Na cetrálu lze zapojit telefoích staic. Pokud telefoí číslo esmí začíat číslicí 0. Pak počet těchto staic, vypočteme ze vztahu: V 5;0) V 4;0) = = počet pětimístých telefoích čísel, začíajících číslicí 0 tj. situace: Na cetrálu lze zapojit telefoích staic. Řešeý příklad : V jistém státě je státí pozávací začka osobího automobilu tvořea uspořádaou sedmicí, jejíž prví tři čley jsou písmea a další čtyři čley jsou číslice. Určete, kolik těchto pozávacích začek lze vytvořit, máme-li k dispozici 6 písme. Řešeí: Prví část SPZ je tvořea uspořádaou trojicí sestaveou z 6 písme, které se mohou v zápisu opakovat apř.: AAB, ACA, AAA, apod.). Počet všech takovýchto trojic vypočteme podle vztahu V 3, 6) = 6 3 = uspořádaých trojic. Druhá část SPZ je tvořea uspořádaou čtveřicí sestaveou z 0 cifer 0,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), které se také mohou opakovat. Tj. V 4;0) = 0 4 = Podle kombiatorického pravidla součiu existuje celkem V 3;6) V 4;0) Podle uvedeých pravidel lze sestavit celkem SPZ. státích pozávacích začek. Řešeý příklad 3: Určete počet všech čtyřciferých přirozeých čísel sestaveých pouze z cifer,, 3, 4, 5, 6. Řešeí: k = 4 vytváříme uspořádaou čtveřici) = 6 k dispozici máme šest číslic,, 3, 4, 5, 6) Ve vytvářeé čtveřici se číslice mohou opakovat a záleží a jejich pořadí. K výpočtu použijeme vztah: V 4;6) Celkem lze takto vytvořit 96 přirozeých čísel. 30

31 Řešeý příklad 4: Jsou dáy cifry,, 3. Kolik růzých: a) dvojciferých b) pěticiferých c) k-ciferých přirozeých čísel lze pomocí těchto cifer zapsat? Řešeí: Jakékoliv přirozeé číslo můžeme považovat za uspořádaou k-tici, protože v í záleží a pořadí a jedotlivé cifry se v dekadickém zápisu čísla mohou opakovat. a) Vytváříme-li z uvedeých cifer dvojciferé přirozeé číslo, pak vytváříme uspořádaou dvojici, v íž se jedotlivé cifry mohou opakovat a záleží a jejich pořadí variace. třídy z 3 prvků s opakováím V ;3) 3 9 Z uvedeých cifer lze vytvořit 9 přirozeých čísel. b) Vytváříme-li z uvedeých cifer pěticiferé přirozeé číslo, pak vytváříme uspořádaou pětici, v íž se jedotlivé cifry mohou opakovat a záleží a jejich pořadí variace 5. třídy z 3 prvků s opakováím V 5;3) Z uvedeých cifer lze vytvořit 43 přirozeých čísel. c) Vytváříme-li z uvedeých cifer k-ciferé přirozeé číslo, pak vytváříme uspořádaou k-tici, v íž se jedotlivé cifry mohou opakovat a záleží a jejich pořadí variace k-té třídy z 3 prvků k s opakováím V k;3) 3 Z uvedeých cifer lze vytvořit 3 k přirozeých čísel. Řešeý příklad 5: Pro kolik prvků je počet variací 3. třídy bez opakováí k počtu variací téže třídy s opakováím v poměru : 3? Řešeí: Na základě zadáí sestavíme symbolickou rovici: V 3; ) N 3) V 3; ) 3 ) ) 3 3 ) ) 3 3 ) ) 3 3 ) symbolický zápis převedeme a matematický tvar 3 výraz a levé straě rovice upravíme odstraíme zlomky rovici vyřešíme

32 kvadratická rovice; vypočteme diskrimiat a kořey kvadratické rovice D Řešeím rovice je číslo 8 Počet prvků je 8. 8 Provedeí zkoušky poecháváme a čteáři. koře emá smysl K zapíšeme možiu kořeů rovice 3

33 Pracoví list D ) Kolik začek Morseovy abecedy lze vytvořit pomocí ejvýše čtyřprvkových skupi složeých z teček a čárek. ) Trezor se otevírá při vytočeí jedié uspořádaé pětice utvořeé z dvaácti písme apsaých v otvorech kotouče. Jaký ejvyšší počet pokusů při vytáčeí pětic písme je třeba provést, aby byl trezor otevře? 3) Z kolika prvků je možo vytvořit právě 04 variací páté třídy s opakováím? 4) Určete počet všech čtyřciferých přirozeých čísel dělitelých čtyřmi, v ichž se vyskytují pouze cifry,, 3, 4, 5. 5) Určete počet všech přirozeých čísel meších ež milió, která lze zapsat dekadicky) pouze použitím číslic 5 a 8. 33

34 PERMUTACE S OPAKOVÁNÍM Permutace z -prvků s opakováím je každá uspořádaá -tice sestaveá pouze z těchto prvků tak, že prvek a se opakuje právě p -krát, prvek a se opakuje právě p -krát atd., až prvek a k se opakuje právě p k -krát, přičemž p + p + + p k =. Symbolický zápis: P p,p,,p k ) Pro počet všech permutací z -prvků s opakováím platí vzorec: P p, p,..., p k ) p p p p... p... p k k ) p p... p k Řešeý příklad : Kolika způsoby je možo rozdělit 9 brigádíků a 3 pracoviště, jestliže a prvím pracovišti mají být čtyři brigádíci, a druhém pracovišti dva brigádíci a zbytek jich a třetím pracovišti. Řešeí: 9 brigádíků můžeme umístit a 9 míst celkem 9 růzými způsoby. Jestliže prví čtyři pracovíky umístíme a prví pracoviště a vzájemě je budeme mezi sebou prohazovat, ale stále tutéž čtveřici pracovíků poecháme a prvím pracovišti, musíme celkový počet rozmístěí pracovíků dělit 4. Protože však totéž můžeme provést s další dvojicí a trojicí pracovíků, musíme celkový počet permutací dělit součiem permutace s opakováím z 9 prvků P 4,,3) Devět pracovíků lze rozdělit do tří pracovišť celkem 60 růzými způsoby. Řešeý příklad : Šesticiferé heslo uzávěru trezoru je vytvořeo z týchž cifer, jako je číslo Kolik existuje možostí alezeí správého hesla? Řešeí: V hesle trezoru se vyskytují dvě dvojky, dvě uly, jeda devítka a jeda šestka. Vytváříme uspořádaou šestici ze šesti čísel, v ichž záleží a pořadí. Daé prvky se mohou opakovat permutace s opakováím z 6 prvků Protože se však dvojky mohou a stejých pozicích vzájemě prohodit a stejě tak uly, dělíme 6 výrazem. a přitom se bude jedat o tutéž uspořádaou šestici.) P,,,) 80 Celkem existuje 80 možostí alezeí hesla. 34

35 Pracoví list E ) Určete počet všech uspořádaých šestic sestaveých ze čtyř ul a dvou jediček. ) Kolika způsoby lze ubytovat 0 hostů: a) do jedoho čtyřlůžkového pokoje a dvou třílůžkových pokojů, b) do dvou třílůžkových pokojů a dvou dvoulůžkových pokojů. 3) Určete počet způsobů, jimž lze přemístit písmea slova ABRAKADABRA. 4) V aagramech AABIIKKMNOORT resp. MINIKABAROTOK je zašifrováo slovo KOMBINATORIKA. Určete počet všech aagramů, jež lze ze slova KOMBINATORIKA utvořit. 35

36 Použitá literatura: Výukové materiály a úlohy a cvičeí jsou autorsky vytvořey pro učebí materiál. O. Petráek, E. Calda, P. Hebák: Matematika pro středí odboré školy a studijí obory středích odborých učilišť 4. část, Prometheus 008 M. Hudcová, L. Kubičíková: Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ, SOU a ástavbové studium, Prometheus 004 E. Calda, V. Dupač: Matematika pro gymázia Kombiatorika, pravděpodobost, statistika, Prometheus 006 I. Dušek: Řešeé maturití úlohy z matematiky, SPN 988 F. Jaeček: Výrazy, rovice, erovice a jejich soustavy, Prometheus 995 P. Čermák, P. Červiková: Odmaturuj z matematiky, Didaktis 00 36

7. KOMBINATORIKA, BINOMICKÁ VĚTA. Čas ke studiu: 2 hodiny. Cíl

7. KOMBINATORIKA, BINOMICKÁ VĚTA. Čas ke studiu: 2 hodiny. Cíl 7. KOMBINATORIKA, BINOMICKÁ VĚTA Čas ke studiu: hodiy Cíl Po prostudováí této kapitoly budete schopi řešit řadu zajímavých úloh z praxe, týkajících se počtu skupi, které lze sestavit ( vybrat ) z daé možiy

Více

Rovnice. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

Rovnice. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Rovice RNDr. Yvetta Bartáková Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou Rovice kombiatorické VY INOVACE_5 9_M Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou Skupiy prvků, kde záleží a pořadí Bez opakováí Počet Vk( )

Více

9.1.12 Permutace s opakováním

9.1.12 Permutace s opakováním 9.. Permutace s opakováím Předpoklady: 905, 9 Pedagogická pozámka: Pokud echáte studety počítat samostatě příklad 9 vyjde tato hodia a skoro 80 miut. Uvažuji o tom, že hodiu doplím a rozdělím a dvě. Př.

Více

!!! V uvedených vzorcích se vyskytují čísla n a k tato čísla musí být z oboru čísel přirozených.

!!! V uvedených vzorcích se vyskytují čísla n a k tato čísla musí být z oboru čísel přirozených. Kombiatoria Kombiatoria část matematiy, terá se zabývá růzými číselými "ombiacemi". Využití - apř při hledáí počtu možých tipů ve sportce ebo jiých soutěžích hrách, v chemii při spojováí moleul... Záladím

Více

9.1.13 Permutace s opakováním

9.1.13 Permutace s opakováním 93 Permutace s opakováím Předpoklady: 906, 9 Pedagogická pozámka: Obsah hodiy přesahuje 45 miut, pokud emáte k dispozici další půlhodiu, musíte žáky echat projít posledí dva příklady doma Př : Urči kolik

Více

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly.

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly. 0. KOMBINATORIKA, PRAVDĚPODOBNOST, STATISTIKA Dovedosti :. Chápat pojem faktoriál a ovládat operace s faktoriály.. Zát defiici kombiačího čísla a základí vlastosti kombiačích čísel. Ovládat jedoduché operace

Více

( )! ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )! ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Variace, permutace, kombiace, kombiačí čísla, vlastosti, užití faktoriál, počítáí s faktoriály, variace s opakováím.. Upravte a urči podmíky: a)!! 6! b)!! 6! 9! c)!!!!. Řešte rovici: a) 4 b) 0 c) emá řešeí

Více

1. K o m b i n a t o r i k a

1. K o m b i n a t o r i k a . K o m b i a t o r i k a V teorii pravděpodobosti a statistice budeme studovat míru výskytu -pravděpodobostvýsledků procesů, které mají áhodý charakter, t.j. při opakováí za stejých podmíek se objevují

Více

6. KOMBINATORIKA 181. 6.1. Základní pojmy 181 6.1.1. Počítání s faktoriály a kombinačními čísly 182. 6.2. Variace 184. 6.3.

6. KOMBINATORIKA 181. 6.1. Základní pojmy 181 6.1.1. Počítání s faktoriály a kombinačními čísly 182. 6.2. Variace 184. 6.3. Zálady matematiy Kombiatoria. KOMBINATORIKA 8.. Záladí pojmy 8... Počítáí s fatoriály a ombiačími čísly 8.. Variace 8.. Permutace 85.. Kombiace 87.5. Biomicá věta 89 Úlohy samostatému řešeí 9 Výsledy úloh

Více

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte: 1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí

Více

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D.

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D. MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ PH.D. Obsah MNOŽINY.... ČÍSELNÉ MNOŽINY.... OPERACE S MNOŽINAMI... ALGEBRAICKÉ VÝRAZY... 6. OPERACE S JEDNOČLENY A MNOHOČLENY...

Více

Název školy: Gymnázium Jana Nerudy, škola hl. města Prahy. Předmět, mezipředmětové vztahy: matematika a její aplikace

Název školy: Gymnázium Jana Nerudy, škola hl. města Prahy. Předmět, mezipředmětové vztahy: matematika a její aplikace Název: Kombiatoria Autor: Mgr. Haa Čerá Název šoly: Gymázium Jaa Nerudy, šola hl. města Prahy Předmět, mezipředmětové vztahy: matematia a její apliace Ročí: 5. ročí Tématicý cele: Kombiatoria a pravděpodobost

Více

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika Přijímací řízeí akademický rok 0/0 c. studium Kompletí zěí testových otázek matematika Koš Zěí otázky Odpověď a) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá. Které číslo doplíte místo 8? 6 6 8 C. Které číslo

Více

f x a x DSM2 Cv 9 Vytvořující funkce Vytvořující funkcí nekonečné posloupnosti a0, a1,, a n , reálných čísel míníme formální nekonečnou řadu ( )

f x a x DSM2 Cv 9 Vytvořující funkce Vytvořující funkcí nekonečné posloupnosti a0, a1,, a n , reálných čísel míníme formální nekonečnou řadu ( ) DSM Cv 9 Vytvořující fukce Vytvořující fukcí ekoečé poslouposti a0, a,, a, reálých čísel mííme formálí ekoečou řadu =. f a i= 0 i i Příklady: f = + = + + + + + ) Platí: (biomická věta). To zameá, že fukce

Více

1 Trochu o kritériích dělitelnosti

1 Trochu o kritériích dělitelnosti Meu: Úloha č.1 Dělitelost a prvočísla Mirko Rokyta, KMA MFF UK Praha Jaov, 12.10.2013 Růzé dělitelosti, třeba 11 a 7 (aeb Jak zfalšovat rodé číslo). Prvočísla: které je ejlepší, které je ejvětší a jak

Více

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - - DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ ÚVODNÍ POZNÁMKY I derivace podobě jako limity můžeme počítat ěkolikerým způsobem a to kokrétě pomocí: defiice vět o algebře

Více

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde POLYNOM Zákldí pojmy Polyomem stupě zveme fukci tvru y ( L +, P + + + + kde,,, R,, N Čísl,,, se zývjí koeficiety polyomu Číslo c zveme kořeem polyomu P(, je-li P(c výrz (-c pk zýváme kořeový čiitel Vlstosti

Více

Jestliže nějaký objekt A můžeme vybrat m způsoby a jiný objekt B lze vybrat n způsoby, potom výběr buď A nebo B je možné provést m+n způsoby.

Jestliže nějaký objekt A můžeme vybrat m způsoby a jiný objekt B lze vybrat n způsoby, potom výběr buď A nebo B je možné provést m+n způsoby. V kapitole Ituitiví kobiatorika jse řešili příklady více éě stejý způsobe a stejých pricipech. Nyí si je zobecíe a adefiujee obvyklou teriologii. pravidlo součtu: Jestliže ějaký objekt A ůžee vybrat způsoby

Více

Při určování počtu výběrů skupin daných vlastností velmi často používáme vztahy, ve kterých figuruje číslo zvané faktoriál.

Při určování počtu výběrů skupin daných vlastností velmi často používáme vztahy, ve kterých figuruje číslo zvané faktoriál. Kombinatorika Kombinatorika se zabývá vytvářením navzájem různých skupin z daných prvků a určováním počtu takových skupin. Kombinatorika se zabývá pouze konečnými množinami. Při určování počtu výběrů skupin

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost

8.2.1 Aritmetická posloupnost 8.. Aritmetická posloupost Předpoklady: 80, 80, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Př. : V továrě dokočí každou hodiu motáž

Více

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI 6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI Fukce Dovedosti:. Základí pozatky o fukcích -Chápat defiici fukce,obvyklý způsob jejího zadáváí a pojmy defiičí obor hodot fukce. U fukcí zadaých předpisem umět správě operovat

Více

DIM PaS Připomenutí poznatků ze střední školy. Faktoriály a kombinační čísla základní vzorce: n = k. (binomická věta) Příklady: 1.

DIM PaS Připomenutí poznatků ze střední školy. Faktoriály a kombinační čísla základní vzorce: n = k. (binomická věta) Příklady: 1. DIM PaS. Připomeutí pozatků ze středí školy Faktoriály a kombiačí čísla základí vzorce: ( )( 2 )...2.! =. 0! = =! ( k)! k! ( )...( k ). + = k! = k + + = k + k + 2 2 ( a + b) = a + a b+ a b +... + a b +...

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

Aritmetická posloupnost, posloupnost rostoucí a klesající Posloupnosti

Aritmetická posloupnost, posloupnost rostoucí a klesající Posloupnosti 8 Aritmetická posloupost, posloupost rostoucí a klesající Poslouposti Posloupost je fukci s defiičím oborem celých kladých čísel - apř.,,,,,... 3 4 5 Jako fukci můžeme také posloupost zobrazit do grafu:

Více

2.4. INVERZNÍ MATICE

2.4. INVERZNÍ MATICE 24 INVERZNÍ MICE V této kapitole se dozvíte: defiici iverzí matice; základí vlastosti iverzí matice; dvě základí metody výpočtu iverzí matice; defiici celočíselé mociy matice Klíčová slova této kapitoly:

Více

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů.

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů. Náhodu bychom mohli defiovat jako součet velkého počtu drobých epozaých vlivů. V rámci přírodích věd se setkáváme s pokusy typu za určitých podmíek vždy astae určitý důsledek. Např. jestliže za ormálího

Více

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie 3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost I

8.2.1 Aritmetická posloupnost I 8.2. Aritmetická posloupost I Předpoklady: 80, 802, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Čley posloupostí pak při kotrole vypíšu

Více

Kombinatorika. Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz.

Kombinatorika. Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. Variace 1 Kombinatorika Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Kombinatorika, faktoriály, kombinační

Více

Sekvenční logické obvody(lso)

Sekvenční logické obvody(lso) Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

KOMBINATORIKA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMBINATORIKA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMBINATORIKA Gymázium Jiřího Wolera v Prostějově Výuové materiály z matematiy pro vyšší gymázia Autoři projetu Studet a prahu. století - využití ICT ve vyučováí matematiy a gymáziu INVESTICE DO ROZVOJE

Více

KOMBINATORIKA. 1. cvičení

KOMBINATORIKA. 1. cvičení KOMBINATORIKA 1. cvičení TYPY VÝBĚRŮ Uspořádanost výběru uspořádaný výběr = VARIACE, záleží na pořadí vybraných prvků neuspořádaný výběr = KOMBINACE, nezáleží na pořadí vybraných prvků Opakované zařazení

Více

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují

Více

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE 1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE V této kapitole se dozvíte: jak je axiomaticky defiová vektor a vektorový prostor včetě defiice sčítáí vektorů a ásobeí vektorů skalárem;

Více

Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948

Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol VARIACE

Více

2 Písemná práce - základní kombinatorická pravidla Stručné řešení, výsledky... 31

2 Písemná práce - základní kombinatorická pravidla Stručné řešení, výsledky... 31 Obsah 1 Kombiatorika - sbírka vybraých úloh 2 1.1 Základí kombiatorická pravidla....................... 2 1.2 Faktoriály, kombiačí čísla, biomická věta................. 13 1.3 Úlohy s omezujícími podmíkami.......................

Více

5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC

5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC 5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC V této kaptole se dozvíte: jak je defováa fukce přrozeá odmoca v kompleím oboru a jaké má vlastost včetě odlšostí od odmocy v reálém

Více

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy 1. Číselé obory, dělitelost, výrazy 1. obor přirozeých čísel - vyjadřující počet prvků možiy - začíme (jsou to kladá edesetiá čísla) 2. obor celých čísel - možia celých čísel = edesetiá, ale kladá i záporá

Více

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo

Více

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost

Více

DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY

DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY URČENO PRO VZDĚLÁVÁNÍ V AKREDITOVANÝCH STUDIJNÍCH PROGRAMECH IVAN KŘIVÝ ČÍSLO OPERAČNÍHO PROGRAMU: CZ..07 NÁZEV OPERAČNÍHO PROGRAMU: VZDĚLÁVÁNÍ PRO KONKURENCESCHOPNOST

Více

Nové symboly pro čísla

Nové symboly pro čísla Nové symboly pro čísl V pitole Ituitiví ombitori jsme řešili tyto dv typy příldů. Stále se v ich opují součiy přirozeých čísel, t j jdou z sebou, ědy ž do, ědy sočí dříve. Proto si zvedeme dv ové symboly

Více

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých 9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie

Více

množina všech reálných čísel

množina všech reálných čísel /6 FUNKCE Základí pojmy: Fukce sudá a lichá, Iverzí fukce Nepřímá úměrost, Mociá fukce, Epoeciálí fukce a rovice Logaritmus, logaritmická fukce a rovice Opakováí: Defiice fukce, graf fukce Defiičí obor,

Více

Matematika I, část II

Matematika I, část II 1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího

Více

P(n) = n * (n - 1) * (n - 2) *... 2 * 1 To odpovídá zápisu, ve kterém využíváme faktoriál:

P(n) = n * (n - 1) * (n - 2) *... 2 * 1 To odpovídá zápisu, ve kterém využíváme faktoriál: PERMUTACE a VARIACE 2.1 Permutace P() = * ( - 1) * ( - 2) *... 2 * 1 To odpovídá zápisu, ve kterém využíváme faktoriál: ( )! P = Jedá se o vzorec pro počet permutací z prvků bez opakováí. 2.2 Variace bez

Více

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Úloha obchodího cestujícího OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Nejprve k pojmům používaým v okružích a rozvozích úlohách: HAMILTONŮV CYKLUS je typ cesty,

Více

KOMBINATORIKA. 1. cvičení

KOMBINATORIKA. 1. cvičení KOMBINATORIKA 1. cvičení Co to je kombinatorika Kombinatorika je vstupní branou do teorie pravděpodobnosti. Zabývá se různými způsoby výběru prvků z daného souboru. 2011 Ing. Janurová Kateřina, FEI VŠB-TU

Více

Iterační výpočty projekt č. 2

Iterační výpočty projekt č. 2 Dokumetace k projektu pro předměty IZP a IUS Iteračí výpočty projekt č. 5..007 Autor: Václav Uhlíř, xuhlir04@stud.fit.vutbr.cz Fakulta Iformačích Techologii Vysoké Učeí Techické v Brě Obsah. Úvodí defiice.....

Více

Vyšší mocniny. Předpoklady: Doplň místo obdélníčků správné číslo. a) ( 2) 3. = c) ( ) = 1600 = e) ( 25) 2 0,8 0, 64.

Vyšší mocniny. Předpoklady: Doplň místo obdélníčků správné číslo. a) ( 2) 3. = c) ( ) = 1600 = e) ( 25) 2 0,8 0, 64. 81 Vyšší mociy Předpoklady: 0081 Př 1: Doplň místo obdélíčků správé číslo a) ( ) = b) = 0, 0000 e) ( ) = 0, ( 0) = 100 = f) ( ) = 8 a) ( ) = 8 b) 0, 0 0, 0000 = ( ) 0,8 0, 0 = 100 = e) ( ) = f) ( ) = 8

Více

5. Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu

5. Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu 5 3.3.8 8:44 Josef Herdla lieárí difereciálí rovice -tého řádu 5. Lieárí difereciálí rovice -tého řádu (rovice s ostatími oeficiety) ( ), a,, a (5.) ( ) ( ) y a y a y ay q L[ y] y a y a y a y, q je spojitá

Více

Škola: Střední škola obchodní, České Budějovice, Husova 9 Projekt MŠMT ČR: EU PENÍZE ŠKOLÁM

Škola: Střední škola obchodní, České Budějovice, Husova 9 Projekt MŠMT ČR: EU PENÍZE ŠKOLÁM Škola: Střední škola obchodní, České Budějovice, Husova 9 Projekt MŠMT ČR: EU PENÍZE ŠKOLÁM Číslo projektu: Název projektu školy: Šablona III/2: CZ.1.07/1.5.00/34.0536 Výuka s ICT na SŠ obchodní České

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Uverzta Karlova v Praze Pedagogcká fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z OBECNÉ ALGEBRY DĚLITELNOST CELÝCH ČÍSEL V SOUSTAVÁCH O RŮZNÝCH ZÁKLADECH / Cfrk C. Zadáí: Najděte pět krtérí pro děltelost v jých soustavách

Více

kombinatorika září, 2015 Kombinatorika Opakovací kurz 2015 Radka Hájková

kombinatorika září, 2015 Kombinatorika Opakovací kurz 2015 Radka Hájková Kombinatorika Opakovací kurz 2015 Radka Hájková 1) Děti z hudební školy Písnička, mezi nimiž byla i dvojčata Dita a Zita, psaly v rámci hudební nauky písemnou práci z not. Kolik možností oznámkování mohla

Více

8.1.3 Rekurentní zadání posloupnosti I

8.1.3 Rekurentní zadání posloupnosti I 8.. Rekuretí zadáí poslouposti I Předpoklady: 80, 80 Pedagogická pozámka: Podle mých zkušeostí je pro studety pochopitelější zavádět rekuretí posloupost takto (sado kotrolovatelou ukázkou), ež dosazováím

Více

Úlohy domácího kola kategorie C

Úlohy domácího kola kategorie C 47. ročík Matematické olympiády Úlohy domácího kola kategorie C 1. Pro libovolé trojciferé číslo určíme jeho bytky při děleí čísly 2, 3, 4,..., 10 a ískaých devět čísel pak sečteme. Zjistěte ejmeší možou

Více

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení.,

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení., Def: Vetorovým součiem vetorů u =(u, u, u 3 ) v = (v, v, v 3 ) zýváme vetor u v = (u v 3 u 3 v, u 3 v u v 3, u v u v ) Vět: Pro vetory i, j, ortoormálí báze pltí i i = j = i, i = j Vět: Nechť u v, w, jsou

Více

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr Náhodý výběr 1 Náhodý výběr Matematická statistika poskytuje metody pro popis veliči áhodého charakteru pomocí jejich pozorovaých hodot, přesěji řečeo jde o určeí důležitých vlastostí rozděleí pravděpodobosti

Více

Aplikovaná informatika. Podklady předmětu Aplikovaná informatika pro akademický rok 2006/2007 Radim Farana. Obsah. Algoritmus

Aplikovaná informatika. Podklady předmětu Aplikovaná informatika pro akademický rok 2006/2007 Radim Farana. Obsah. Algoritmus Podklady předmětu pro akademický rok 006007 Radim Faraa Obsah Tvorba algoritmů, vlastosti algoritmu. Popis algoritmů, vývojové diagramy, strukturogramy. Hodoceí složitosti algoritmů, vypočitatelost, časová

Více

ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY

ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY Michael Kubesa Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská

Více

Konec srandy!!! Mocniny s přirozeným mocnitelem I. Předpoklady: základní početní operace

Konec srandy!!! Mocniny s přirozeným mocnitelem I. Předpoklady: základní početní operace Koec srady!!!.6. Mociy s přirozeým mocitelem I Předpoklady: základí početí operace Pedagogická pozámka: Zápis a začátku kapitoly je víc ež je srada. Tato hodia je prví v druhé části studia. Až dosud ehrálo

Více

Algebraický výraz je číselný výraz s proměnou. V těchto výrazech se vyskytují vedle reálných čísel také proměnné. Například. 4a 4,5x + 6,78 7t.

Algebraický výraz je číselný výraz s proměnou. V těchto výrazech se vyskytují vedle reálných čísel také proměnné. Například. 4a 4,5x + 6,78 7t. ročík - loeý lgebrický výrz, lieárí rovice s ezáou ve jeovteli Loeý lgebrický výrz Lieárí rovice s ezáou ve jeovteli Doporučujee žáků zopkovt vzorce tpu ( + pod úprvu výrzu souči Loeý výrz Číselé výrz

Více

Matice. nazýváme m.n reálných čísel a. , sestavených do m řádků a n sloupců ve tvaru... a1

Matice. nazýváme m.n reálných čísel a. , sestavených do m řádků a n sloupců ve tvaru... a1 Matice Matice Maticí typu m/ kde m N azýváme m reálých čísel a sestaveých do m řádků a sloupců ve tvaru a a a a a a M M am am am Prví idex i začí řádek a druhý idex j sloupec ve kterém prvek a leží Prvky

Více

1.2. NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN

1.2. NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN 2 NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN V této kapitole se dozvíte: axiomatickou defiici ormy vektoru; co je to ormováí vektoru a jak vypadá Euklidovská orma; axiomatickou defiici skalárího (také vitřího) součiu vektorů;

Více

Zformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu):

Zformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu): Pricip matematické idukce PMI) se systematicky probírá v jié části středoškolské matematiky. a tomto místě je zařaze z důvodu opakováí matka moudrosti) a proto, abychom ji mohli bez uzarděí použít při

Více

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem

Více

Základní požadavky a pravidla měření

Základní požadavky a pravidla měření Základí požadavky a pravidla měřeí Základí požadavky pro správé měřeí jsou: bezpečost práce teoretické a praktické zalosti získaé přípravou a měřeí přesost a spolehlivost měřeí optimálí orgaizace průběhu

Více

Matematika přehled vzorců pro maturanty (zpracoval T. Jánský) Úpravy výrazů. Binomická věta

Matematika přehled vzorců pro maturanty (zpracoval T. Jánský) Úpravy výrazů. Binomická věta Matematika přehled vzorců pro maturaty (zpracoval T. Jáský) Úpravy výrazů a r. a s = a r+s a r = ar s as a r s = a r.s a. b r = a r b r a b r = ar b r a. b a b = a b = a. b ( a) m = a m m a m. = a a k.

Více

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA TŘETÍ MGR. JÜTTNEROVÁ 15. 9. 2012 Název zpracovaného celku: KOMBINACE, POČÍTÁNÍ S KOMBINAČNÍM ČÍSLY

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA TŘETÍ MGR. JÜTTNEROVÁ 15. 9. 2012 Název zpracovaného celku: KOMBINACE, POČÍTÁNÍ S KOMBINAČNÍM ČÍSLY Předmět: Ročík: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA TŘETÍ MGR. JÜTTNEROVÁ. 9. 0 Název zpracovaého celku: KOMBINACE, POČÍTÁNÍ S KOMBINAČNÍM ČÍSLY DEFINICE FAKTORIÁLU Při výpočtech úloh z kombiatoriky se používá!

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

f B 6. Funkce a posloupnosti 3 patří funkci dané předpisem y = 2 x + 3. [všechny] 1) Rozhodněte, která z dvojic [ ;9][, 0;3 ][, 2;7]

f B 6. Funkce a posloupnosti 3 patří funkci dané předpisem y = 2 x + 3. [všechny] 1) Rozhodněte, která z dvojic [ ;9][, 0;3 ][, 2;7] 6. Fukce a poslouposti ) Rozoděte, která z dvojic [ ;9[, 0; [, ; patří fukci daé předpisem y +. [všecy ) Auto má spotřebu 6 l beziu a 00 km. Na začátku jízdy mělo v plé ádrži 6 l beziu. a) Vyjádřete závislost

Více

pravděpodobnostn podobnostní jazykový model

pravděpodobnostn podobnostní jazykový model Pokročilé metody rozpozáváířeči Předáška 8 Rozpozáváí s velkými slovíky, pravděpodobost podobostí jazykový model Rozpozáváí s velkým slovíkem Úlohy zaměřeé a diktováíči přepis řeči vyžadují velké slovíky

Více

Škola: Střední škola obchodní, České Budějovice, Husova 9 Projekt MŠMT ČR: EU PENÍZE ŠKOLÁM

Škola: Střední škola obchodní, České Budějovice, Husova 9 Projekt MŠMT ČR: EU PENÍZE ŠKOLÁM Škola: Střední škola obchodní, České Budějovice, Husova 9 Projekt MŠMT ČR: EU PENÍZE ŠKOLÁM Číslo projektu: Název projektu školy: Šablona III/2: CZ.1.07/1.5.00/34.0536 Výuka s ICT na SŠ obchodní České

Více

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností 4.2 Elemetárí statstcké zpracováí Výsledkem statstckého zjšťováí (. etapa statstcké čost) jsou euspořádaá, epřehledá data. Proto 2. etapa statstcké čost zpracováí, začíá většou jejch utříděím, zpřehleděím.

Více

9) Určete počet všech čtyřciferných přirozených čísel,

9) Určete počet všech čtyřciferných přirozených čísel, Kombinatorika konzultační příklady 1) Z města A do města B vedou 2 cesty. Z města B do města C vedou 3 cesty. Kolika způsoby lze dojít z města A do města C? 2) Určete počet všech přirozených trojciferných

Více

8.1.2 Vzorec pro n-tý člen

8.1.2 Vzorec pro n-tý člen 8 Vzorec pro -tý čle Předpolady: 80 Pedagogicá pozáma: Přílady a hledáí dalších čleů posloupostí a a objevováí vzorců pro -tý čle do začé míry odpovídají typicým příladům z IQ testů, teré studeti zají

Více

Petr Šedivý Šedivá matematika

Petr Šedivý  Šedivá matematika LIMITA POSLOUPNOSTI Úvod: Kapitola, kde poprvé arazíme a ekoečo. Argumety posloupostí rostou ade všechy meze a zkoumáme, jak vypadají hodoty poslouposti. V kapitole se sezámíte se základími typy it a početími

Více

6. Posloupnosti a jejich limity, řady

6. Posloupnosti a jejich limity, řady Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme

Více

Internetová matematická olympiáda listopadu ročník -autorská řešení

Internetová matematická olympiáda listopadu ročník -autorská řešení Iteretová matematická olympiáda - 24. listopadu 2009 2. ročík -autorská řešeí. Na ekoečě velkém čtverečkovaém papíře si zvolte mřížový bod A, který bude počátkem. Nadále se od bodu A můžete pohybovat pouze

Více

( n) ( ) ( ) 9.1.11 Kombinatorické úlohy bez opakování. Předpoklady: 9109

( n) ( ) ( ) 9.1.11 Kombinatorické úlohy bez opakování. Předpoklady: 9109 9.1.11 Kombinatorické úlohy bez opakování Předpoklady: 9109 Pedagogická poznámka: Tato hodina slouží jednak ke zopakování probraného, ale zejména k praktickému nácviku kombinatoriky v situaci, ve které

Více

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti.

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti. 10 Cvičeí 10 Statistický soubor. Náhodý výběr a výběrové statistiky aritmetický průměr, geometrický průměr, výběrový rozptyl,...). Bodové odhady parametrů. Itervalové odhady parametrů. Jedostraé a oboustraé

Více

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení.

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení. 4. Itervalové odhady parametrů rozděleí. Jedou ze základích úloh mtematické statistiky je staoveí hodot parametrů rozděleí, ze kterého máme k dispozici áhodý výběr. Nejčastěji hledáme odhady dvou druhů:

Více

ZÁKLADNÍ TYPY DŮKAZŮ, MATEMATICKÁ INDUKCE

ZÁKLADNÍ TYPY DŮKAZŮ, MATEMATICKÁ INDUKCE Projekt ŠABLONY NA GVM Gymázium Velké Meziříčí registračí číslo projektu: CZ07/500/098 IV- Iovace a zkvalitěí výuky směřující k rozvoji matematické gramotosti žáků středích škol ZÁKLADNÍ TYPY DŮKAZŮ, MATEMATICKÁ

Více

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů Odhady parametrů 1 Odhady parametrů Na statistický soubor (x 1,..., x, který dostaeme statistickým šetřeím, se můžeme dívat jako a výběrový soubor získaý realizací áhodého výběru z áhodé veličiy X. Obdobě:

Více

Přednáška 7, 14. listopadu 2014

Přednáška 7, 14. listopadu 2014 Předáška 7, 4. listopadu 204 Uvedeme bez důkazu klasické zobecěí Leibizova kritéria (v ěmž b = ( ) + ). Tvrzeí (Dirichletovo a Abelovo kritérium). Nechť (a ), (b ) R, přičemž a a 2 a 3 0. Pak platí, že.

Více

Aritmetická posloupnost

Aritmetická posloupnost /65 /65 Obsh Obsh... Aritmetická posloupost.... Soustv rovic, součet.... AP - předpis... 5. AP - součet... 6. AP - prvoúhlý trojúhelík... 7. Součet čísel v itervlu... 8 Geometrická posloupost... 0. Soustv

Více

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT 2 IDENIFIKACE H-MAICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNO omáš Novotý ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ ECHNICKÉ V PRAZE Faulta eletrotechicá Katedra eletroeergetiy. Úvod Metody založeé a loalizaci poruch pomocí H-matic

Více

ARITMETICKÉ POSLOUPNOSTI VYŠŠÍCH ŘÁDŮ

ARITMETICKÉ POSLOUPNOSTI VYŠŠÍCH ŘÁDŮ ARITMETICKÉ POSLOUPNOSTI VYŠŠÍCH ŘÁDŮ JAROSLAV ZHOUF Pedagogická fakulta UK Praha Osova předášky 1. Vysvětleí pojmu Aritmetické poslouposti vyšších řádů (APVŘ). APVŘ a ižším gymáziu 3. APVŘ a vyšším gymáziu

Více

M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA

M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento

Více

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n Petra Suryková Modelováí křivek základím prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polyomiálí Q( t) a a t... a t polyomiálí křivky můžeme sado vyčíslit sado diferecovatelé lze z ich skládat křivky

Více

Teorie. Kombinatorika

Teorie. Kombinatorika Teorie Kombinatorika Kombinatorika Jak obecně vybrat k prvkové množiny z n prvkové množiny? Dvě možnosti: prvky se v množině neopakují bez opakování. prvky se v množině opakují s opakováním. prvky jsou

Více

8.1.2 Vzorec pro n-tý člen

8.1.2 Vzorec pro n-tý člen 8.. Vzorec pro -tý čle Předpolady: 80 Pedagogicá pozáma: Myslím, že jde o jedu z velmi pěých hodi. Přílady a hledáí dalších čleů posloupostí a a objevováí vzorců pro -tý čle do začé míry odpovídají typicým

Více

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V Předáška 1: Vektorové prostory Vektorový prostor Pro abstraktí defiici vektorového prostoru jsou podstaté vlastosti dvou operací, sčítáí vektorů a ásobeí vektoru (reálým číslem) Tyto dvě operace musí být

Více

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad...

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad... Obsah 1 Mocié řady 1 1.1 Defiice a vlastosti mociých řad.................... 1 1. Rozvoj fukce do mocié řady...................... 5 1.3 Aplikace mociých řad........................... 10 1 Kapitola 1

Více

1.7.4 Těžiště, rovnovážná poloha

1.7.4 Těžiště, rovnovážná poloha 74 ěžiště, rovovážá poloha Předpoklady: 00703 Př : Polož si sešit a jede prst tak, aby espadl Záleží a místě, pod kterým sešit podložíš? Proč? Musíme sešit podložit prstem přesě uprostřed, jiak spade Sešit

Více

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor 8. Základy statistiky 7. ročík - 8. Základy statistiky Statistika je vědí obor, který se zabývá zpracováím hromadých jevů. Tvoří základ pro řadu procesů řízeí, rozhodováí a orgaizováí, protoţe a základě

Více

KOMBINATORIKA (4.ročník I.pololetí DE, 2.ročník I.pololetí NS)

KOMBINATORIKA (4.ročník I.pololetí DE, 2.ročník I.pololetí NS) KOMBINATORIKA (4.ročník I.pololetí DE,.ročník I.pololetí NS) Kombinatorika je část matematiky, zabývající se uspořádáváním daných prvků podle jistých pravidel do určitých skupin a výpočtem množství těchto

Více