Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika

Transkript

1 Kombiatoria, pravděpodobost, statistia

2 Kombiatoria, pravděpodobost, statistia Obsah 9. Kombiatoria Fatoriály Variace bez opaováí Permutace bez opaováí Kombiace bez opaováí Kombiačí číslo Kombiace s opaováím Variace s opaováím Permutace s opaováím Biomicá věta Pravděpodobost... Stráa 69

3 Kombiatoria, pravděpodobost, statistia 9. Kombiatoria 9.. Fatoriály. Upravte: a) 8!4!!7! b) 9!5! 6! c) 4! 40! 4! d) e)!8!0! 9!5! ( 4)! ( )! a) 8!4! 87! 4!! 7!! 7! b) 9!5! 9! 5! 987! 7! 6! 65! c) 4! 40! 440! 40! 40! (4) 4! ! 4440! 4 d)!8!0!! 8! 0! 987! 7! 9! 5! 98! 54! 954 e) ( 4)! ( 4) ( ) ( ) ( )! ( )! ( )! ( )!! ( )!! f)!! ( ) ( )! ( )! ( ) ( ) ( ) ( ) f) ( )!!!!. Upravte:! a)! b) c) d) e) a) 5!! 6! 4! 8! 6!!!!!! ( ) ( )!! ( )! f) g) h) i)!!!!!!!!!! ( )! ( )!!!!! Stráa 70

4 b) c) d) Kombiatoria, pravděpodobost, statistia ! 5 4!!! 6! 6! 4! 4 5 6! 4 5 8! 8! 6! 6 7 8! 6 7!!!! e) 5 6!!!! f) g) h) i) 8 8!!!!!!!! 6!!! ( )!! ( ) ( )!!!!! ( ) ( )! ( )! ( ) ( ) ( ) ( ) ( )! ( )! ( )! ( )!!! ( )! ( ) ( )! ( ) ( )!!!!!!!!!!. Řešte v N ásledující rovice:! a) 0! b) c) d) e) f) g) h)!! ( )!! 8 0! ( )! 7!! 4! 6 4 6! ( )! ( )! ( 4)!! ( )!! 5!!!!!!!! 8 5!! 8 0 Stráa 7

5 Kombiatoria, pravděpodobost, statistia a)!! b) c) d) !! ( )! ( )! 8 K evyhovuje K ( ) ( )! ( )! evyhovuje ( )!! 0 0 K!!! ( )! evyhovuje K Stráa 7

6 e) 4! 6! f) Kombiatoria, pravděpodobost, statistia evyhovuje K 7... evyhovuje ( )! ( )! ( 4)! 0! ( )!! K 5 g) 5!!! 8!!! 6... evyhovuje h)! 5!!! 6 K evyhovuje... evyhovuje K 7 0 Stráa 7

7 Kombiatoria, pravděpodobost, statistia 4. Řešte v N ásledující erovice:! a) 4! b) c) d) a)! 5 4! 5!!!! 44 7!! !!! 4! b) K! 5 4! ;;;4 K ; c) 5!! !! K d) ; ;; 4;5;6;7;8 7!! !! K ; ;; 4;5;6;7 Stráa 74

8 Kombiatoria, pravděpodobost, statistia 9.. Variace bez opaováí. Koli trojciferých přirozeých čísel můžeme sestavit z cifer,,4,6,8 (cifry se esmí opaovat)? vybíráme uspořádaé trojice z pěti cifer tj. variace bez opaováí! V ( )! 5! V (5) 60!. Koli čtyřciferých přirozeých čísel lze sestavit z cifer 0,,, 5, 7, 9 (cifry se esmí opaovat)? Koli z ich je dělitelých 4? V4(6) V(5) 00, de V (6) počet všech čtyřciferých čísel a 4 V (5) počet čtyřciferých čísel, teré mají a začátu ulu. V (5) V (5) V (4) 6 (čísla dělitelá čtyřmi, mají posledí dvojčíslí dělitelé čtyřmi, tj. 0 a ). Ve třídě se vyučuje růzých předmětů. Kolia způsoby lze vytvořit rozvrh a jede de? Každý předmět se vysytuje jedou. Žáci mají 8 vyučovacích hodi. V 8 () Koli přirozeých čísel meších ež lze sestavit z cifer 0,,,4,5,6? Cifry se mohou vysytout ejvýše jedou. jedociferá 5, dvojciferá V 6 V 5, trojciferá V 6 V5, čtyřciferá V4 6 V5a pěticiferá (a začátu může být pouze cifra ) V V 6 V 5 V 6 V 5 V 6 V 5 V Florbalového turaje se zúčastilo 0 družstev. Koli je možostí zísáí zlaté, stříbré a brozové medaile (aždou medaili může zísat právě jedo družstvo)? V (0) Koli přirozeých čísel větších ež lze sestavit z cifer,,4,5,6, ta aby se cifry eopaovaly? Čísla mohou být čtyřciferá a začátu čísla mohou být cifry 4,5,6 - V (4) ebo pěticiferá P (5). V (4) P(5) 7 5! 9 Stráa 75

9 Kombiatoria, pravděpodobost, statistia 7. Koli je trojciferých čísel sestaveých z cifer 0,,,, 4, 5, 6? Koli z ich je dělitelých 5? Každá cifra se může vysytout ejvýše jedou. V V Trojciferých čísel je 80. Čísla dělitelá pěti očí ulou ebo pětou. Počet čísel očících ulou: V (6) 0 Počet čísel očících pětou: V (6) 5 5 Trojciferých čísel dělitelých pěti je Dostihu se zúčastilo 5 oí. Koli je možostí umístěí a prvích pěti místech? V 5 (5) Koli je možostí sestaveí třídí samosprávy ve třídě. A, terá má žáů? Samospráva se sestává z předsedy, místopředsedy, studijího refereta a ástěáře. V 4 () Z olia prvů lze sestavit 4 variací druhé třídy bez opaováí? V 4! 4! evyhovuje 4 variací lze sestavit z 9 prvů.. Z olia prvů lze sestavit 650 variací druhé třídy bez opaováí? V 650! 650! evyhovuje 650 variací lze sestavit z 6 prvů Stráa 76

10 Kombiatoria, pravděpodobost, statistia. Z olia prvů lze vytvořit 55 variací druhé třídy bez opaováí? V ( ) 55! 55! ( ) ( )! 55 ( )! evyhovuje 55 variací lze vytvořit z 4 prvů.. Z olia prvů lze sestavit 8 variací druhé třídy bez opaováí? V 8! 8! ( ) ( )! 8 ( )! evyhovuje 8 variací lze sestavit ze 4 prvů. 4. Když zvětšíme počet prvů o 5, zvětší se počet variací druhé třídy bez opaováí o 50. Určete původí počet prvů. Původí počet prvů počet variací V Zvětšeý počet prvů 5 V 50 V 5! 5! 50!! Původí počet prvů je. počet variací V 5!! 5!! Stráa 77

11 Kombiatoria, pravděpodobost, statistia 5. Zvětší-li se počet prvů dvarát, zvětší se počet variací druhé třídy bez opaováí o 660. Určete původí počet prvů. Původí počet prvů počet variací V Zvětšeý počet prvů počet variací V 660 V V!! 660!! evyhovuje Původí počet prvů je 5.! ( )!!! 6. Zmeší-li se počet prvů třirát, zmeší se počet variací druhé třídy bez opaováí o 60. Určete původí počet prvů. Původí počet prvů počet variací V Zmešeý počet prvů počet variací V V ( ) 60 V!! 60 ()! ( )! evyhovuje 4 Původí počet prvů je 60.!!!! Stráa 78

12 Kombiatoria, pravděpodobost, statistia 7. Zvětší-li se počet prvů o 4, zvětší se počet variací třetí třídy bez opaováí o 504. Určete původí počet prvů. Původí počet prvů počet variací V Zvětšeý počet prvů 4 počet variací V 4 V ( ) 504 V ( 4)! ( 4)! 504!! ( ) ( ) ( )! ( 4) ( ) ( ) ( )! 504 ( )! ( )! Původí počet prvů je evyhovuje!! 4!! 8. Určete počet prvů, ze terých je počet variací druhé třídy bez opaováí rát meší ež počet variací třetí třídy bez opaováí. V V!!!!!!!! 5 Původí počet prvů je Zmeší-li se počet prvů o, zmeší se počet variací druhé třídy bez opaováí z ich vytvořeých o 58. Určete původí počet prvů. Původí počet prvů počet variací V Zmešeý počet prvů počet variací V!!! 4! Stráa 79

13 Kombiatoria, pravděpodobost, statistia V 58 V!! 58! 4! Původí počet prvů je Řešte v N ásledující rovice a erovice: a) V V 76 b) c) V V d) V 9 e) V V4 V4 f) V 77 7V g) V 6 4 a) V 6 058! 6 058! evyhovuje K b)!! 49 V evyhovuje K 6 4 Stráa 80

14 Kombiatoria, pravděpodobost, statistia c) V V!!!! evyhovuje K 0 d) V 9!! evyhovuje e) 9V V4 V4 9V V4 9! 4!! 4! K 9!! 9 9 K 9 4 Stráa 8

15 Kombiatoria, pravděpodobost, statistia f) Podmía V 77 7V!! 77 7! 5! K,4,5,6,7 g) Podmía V 6 4! 6 6 4! K ; 4;5;6 Stráa 8

16 Kombiatoria, pravděpodobost, statistia 9.. Permutace bez opaováí. Kolia způsoby můžeme postavit dětí do řady. Počet možostí je počet růzých uspořádáí prvové možiy, tj. P! Kolia způsoby můžeme seřadit do řady 0 chlapců a díve, aby: a) stáli ejdříve chlapci a pa dívy, b) stáli libovolě. P 0 P 0!!, 6 0 a) 6 b) P!, Na polici je 5 česých ih, 6 aglicých a ěmecé. Kolia způsoby je můžeme a polici umístit ta, aby: a) byly uložey libovolě b) byly ejdříve česé, potom všechy ostatí c) ejdříve česé, potom, ěmecé a aoec aglicé P 4 4! 8,7 0 a) 0 b) P P c) P P P 5 9 5! 9! ! 6!! V lavici sedí šest žáů (Adam, Bedřich, Cyril, Da, Emil a Fratiše). Kolia způsoby je můžeme přesadit ta, aby: a) Adam seděl a raji lavice b) Fratiše a Adam seděli vedle sebe c) Adam, Da a Emil seděli vedla sebe a) A sedí vpravo ebo A sedí vlevo P P 5 5 5! 40 b) Adam a Fratiše tvoří dvojici (Adam sedí vpravo ebo vlevo = možosti) P 5 P 5 5! 40 c) Adam, Da a Emil tvoří trojici (počet možostí je!) P4! 4!! Zvětší-li se počet prvů o dva, zvětší se počet permutací rát. Původí počet prvů počet permutací P Zvětšeý počet prvů počet permutací P Stráa 8

17 Kombiatoria, pravděpodobost, statistia P P!!!! evyhovuje Původí počet prvů je. 6. Koli čtyřciferých čísel můžeme sestavit z číslic 0,,,? Koli z ich je sudých? Cifry se emohou opaovat. Počet čísel P 4 P 4!! 8 P 4, musíme odečíst možosti, ve terých je a začátu ula P Sudá čísla očí 0 ebo, čísla očící 0 P! 6 čísla očící P P!! 4 Můžeme sestavit 8 čísel, 0 z ich je sudých. 7. Koli šesticiferých čísel můžeme sestavit z cifer,,, 5, 7, 9? Koli z ich je dělitelých čtyřmi? Všechy cifry se mohou vysytovat právě jedou. počet všech čísel P6 6! 70 Čísla dělitelá čtyřmi očí dvojčíslím, teré je dělitelé čtyřmi (,, 5, 7 a 9) 5 P 4 54! 0 Šesticiferých čísel je 70, 0 z ich je sudých. 8. Kolia způsoby můžeme zamíchat balíče 5 aret? P5 5! tj. Stráa 84

18 Kombiatoria, pravděpodobost, statistia 9.4. Kombiace bez opaováí. V olia bodech se prote 8 příme v roviě, jestliže: a) žádé dvě ejsou rovoběžé a žádé tři se eprotíají v jedom bodě b) 5 příme je rovoběžých a žádé tři se eprotíají v jedom bodě a) Průsečí = dvě přímy K 8 8 b) Pět příme je rovoběžých, tj. etvoří průsečíy, musíme je tedy odečíst K 5 K 8 K Koli rovi je určeo 6 body, jestliže: a) žádé 4 eleží v jedé roviě b) 7 bodů leží v jedé roviě a) jeda rovia je určea třemi body, vybíráme trojice, ve terých ezávisí a pořadí K b) 7 bodů leží v jedé roviě 7 bodů tvoří je jedu roviu místo K 7 rovi K 6 K Koli příme určuje 0 bodů v roviě, jestliže žádé tři eleží a jedé přímce? příma je určea dvěma body vybíráme dvojice, ve terých ezávisí a pořadí K Na stužovacím plese třídy 4. A je 5 chlapců a děvčat. Koli růzých taečích párů můžeme vytvořit? Kolia způsoby můžeme vybrat čtyřčleou supiu ve třídě, de je 6 žáů? K Ve supiě dětí je 8 chlapců a 4 děvčata. Kolia způsoby můžeme vybrat trojici ta, aby v í byli chlapci a jedo děvče? do trojice vybereme zároveň dva chlapce z osmi a jedu dívu ze čtyř, využijeme K 0 K ombiatoricé pravidlo součiu 7. Ve třídě je 5 žáů, 4 z ich emají domácí úol. Kolia způsoby můžeme vybrat pětici žáů ta, aby mezi imi byli ejvýše, teří emají domácí úol? ejvýše dva, teří emají = všichi mají úol ebo jede emá ebo dva emají. K. Jede emá Využijeme ombiatoricé pravidlo součtu. Všichi mají a zároveň 4 mají K 4 K 940 K K Dva emají a zároveň mají Stráa 85

19 Kombiatoria, pravděpodobost, statistia K K 4 K K 4 K Test přijímací zoušy je tvoře 5 otázami z biologie, 0 otázami z chemie a 0 otázami z fyziy. V databázi je 50 otáze z biologie, 50 otáze z chemie a tatéž 50 otáze z fyziy. Koli růzých testů může počítač vygeerovat? vybíráme zároveň 5 otáze z biologie, 0 otáze z fyziy a 0 otáze z chemie. K 50 K 50 K 50, Na florbalovém turaji je 7 družstev. Koli bude celem zápasů, jestliže bude hrát aždý s aždým? Zápas hrají dvě družstva, při jejich výběru ezávisí a pořadí, tj. K 7 0. Ve třídě je 0 děvčat a chlapců. Kolia způsoby můžeme vybrat čtveřici ta, aby v í: a) byla děvčata a chlapci b) ebylo žádé děvče c) byla je děvčata d) byli alespoň chlapci a) byla děvčata a chlapci K K b) ebylo žádé děvče K c) byla je děvčata K d) byli alespoň chlapci K K K Četa vojáů má vyslat čtyři muže a stráž. Koli mužů je v četě, jestliže eistuje 0 možostí, jimiž je možo muže vybrat? Variata K4 0! 0 4!4! Stráa 86

20 Variata Kombiatoria, pravděpodobost, statistia 4!4! 4 Substituce : K! evyhovuje D 0... emá řešeí Četa má 0 vojáů.. Poud zmešíme počet prvů o, síží se počet ombiací třetí třídy bez opaováí z ich vytvořeých o 5. Určete původí počet prvů. původí počet prvů počet ombiací K zmešeý počet prvů počet ombiací K K 5 K!! 5!! 6!! evyhovuje Původí počet prvů byl 5. Stráa 87

21 Kombiatoria, pravděpodobost, statistia. Poud zvětšíme počet prvů dvarát, zvětší se počet ombiací třetí třídy bez opaováí z ich vytvořeých desetrát. Určete původí počet prvů. původí počet prvů počet ombiací K zmešeý počet prvů počet ombiací K 0K K 0!!!!!! evyhovuje Původí počet prvů je V bedě je 5 výrobů, z ichž 4 jsou vadé. Kolia způsoby lze vybrat 6 výrobů ta, aby: a) byly všechy bezvadé c) byly ejvýše vadé b) byly právě vadé d) byly právě 4 vadé K 46 a) 6 b) K K c) Nejvýše (0 ebo ebo vadé) K K 4 K K 4 K d) K K Zvětší- li se počet prvů o 5, zvětší se počet ombiací bez opaováí z ich vytvořeých o 90. Určete původí počet prvů. K 90 K 5! 5! !!!! Původí počet prvů byl 0. Stráa 88

22 Kombiatoria, pravděpodobost, statistia 6. Z olia prvů lze vytvořit 64 ombiací třetí třídy bez opaováí? K!!! z : K 4 64 Původí počet prvů je V rabici je 5 součáste. 5 součáste má vadu. Kolia způsoby můžeme vybrat 0 součáste ta, aby: a) byly všechy vybraé součásty bez vady b) byly mezi vybraými ejvýše vadé a) 0 součáste je bez vady, tj. K b) 0 součáste je bez vady, 5 součáste má vadu a ejvýše dvě jsou vadé (0 vadých ebo vadá ebo vadé) K 0 K 5 K 0 K 5 K Učitel má 0 příladů z geometrie a 8 příladů z algebry. Vybírá a zoušeí tři přílady. Koli má možostí výběru, jestliže chce, aby byly dva přílady z algebry a jede z geometrie? K Učitel fyziy připravuje opaovací test. V testu budou otázy z mechaiy, 4 otázy z eletřiy a otázy z optiy. Koli bude mít růzých variat testu, jestliže má dispozici 0 růzých otáze z mechaiy, 0 otáze z eletřiy a 8 z optiy. V jedé variatě testu budou zároveň otázy z 0, 4 otázy z 0 a z 8 otáze, a K 0 K 0 K Učitel může sestavit pořadí otáze ezáleží variat testu 4 0. V osudí jsou čísla od jedé do padesáti. Tahá se pětice čísel. Koli růzých pětic můžeme vytáhout? Vybíráme 5 čísel z 50, ezávisí a pořadí, tj. K Stráa 89

23 9.5. Kombiačí číslo Kombiatoria, pravděpodobost, statistia Vypočtěte ; ; ; ; ;. 4 a) Pomocí defiice b) Na alulačce c) Pomocí Pascalova trojúhelíu 6 6! 6 5!!!!! 5 5! 54 0!! 7 7! !! 6 6! ! 4! 6 6! 654 0!!. Vyjádřete jediým ombiačím číslem: 7 7 a) b) 5 0 c) d) e) f) g) h) i) při řešeí použijeme vztahy a a) b) c) Stráa 90

24 Kombiatoria, pravděpodobost, statistia d) e) f) g) h) i) Které z čísel A a B je větší? 00 a) A 50 a 0 B 5 8 b) A a 80 B 50 pomocí vztahu a) A B 00 0 A B 50 5 b) B A 8 80 A B Řešte rovice s ezámou R: 8 a) 5 6 b) c) Stráa 9

25 Kombiatoria, pravděpodobost, statistia d) e) f) g) a) b) c) d) K K K K Stráa 9

26 e) f) Kombiatoria, pravděpodobost, statistia K g) podmía K 5 0!! 0!!!! K 6 5. Řešte rovice s ezámou N: a) 4 b) c) d) 5 e) 8 5 f) 9 4 g) h) i) j) ) Stráa 9

27 a) podmía Kombiatoria, pravděpodobost, statistia 4!! 4!!!! b) podmía K ! 4! 9!! 4 5! 5! c) podmía K ! 4! 4!! 4 5! 5! K 8 Stráa 94

28 d) podmía Kombiatoria, pravděpodobost, statistia 5!! 5!!!! e) podmía !! 5! 5!!! 4 f) podmía evyhovuje K!!!! 4! 4! 4... evyhovuje evyhovuje K 5 Stráa 95

29 g) podmía 6 Kombiatoria, pravděpodobost, statistia ! 4!!! 4 6! 6! 4 5 h) podmía ! 5! 56!! 5 7! 7! i) podmía K K ! 4 5! 09!! 5! 5! !! K 6... evyhovuje 7 Stráa 96

30 j) podmía Kombiatoria, pravděpodobost, statistia !! 00 4!!!! ) podmía 7 00!! !! 45!!!! 6 K Řešte erovice s ezámou N: a) 5 b) c) 5 4 d) e) K evyhovuje evyhovuje Stráa 97

31 Kombiatoria, pravděpodobost, statistia a) podmía 5!! 5!!!! 5 6 K ; ;; 4;5;6 b) podmía ! 4! 5 7!! 4!! K ;0; c) podmía !!! K 4;5;6;7 Stráa 98

32 Kombiatoria, pravděpodobost, statistia d) podmía ;8 K e) podmía K 7 ;4;5 5;6;7;8 Stráa 99

33 Kombiatoria, pravděpodobost, statistia 9.6. Kombiace s opaováím. Koli prvů dá o 49 více ombiací třetí třídy s opaováím ež bez opaováí?!! 49!!!! 94 K 49 K Kolia způsoby můžeme oupit pět pohledic, jestliže v obchodě mají čtyři druhy pohledic v dostatečém možství? Počet druhů 4 Počet vybraých K Pohledice můžeme oupit 56 růzými způsoby.. Kolia způsoby můžeme vybrat 8 balíčů bobóů, jestliže máme a výběr ze šesti druhů? Každý druh je v dostatečém možství K Bobóy můžeme vybrat 87 růzými způsoby. Stráa 00

34 Kombiatoria, pravděpodobost, statistia 4. V osudí je 0 zeleých, 8 červeých a modré oule. Kolia způsoby můžeme vytáhout 4 oule? počet druhů K Odečítáme, protože situace 4 modré oule emůže astat (modré oule jsou je tři). 5. Kolia způsoby můžeme oupit šest oláčů, jestliže peára abízí 0 druhů oláčů v dostatečém možství? K V curárě prodávají 8 druhů záusů. Kolia způsoby můžeme oupit 7 záusů? Všechy záusy mají po 0 usech K Stráa 0

35 Kombiatoria, pravděpodobost, statistia 9.7. Variace s opaováím. Koli trojciferých čísel můžeme sestavit z cifer,,, 4, 5? Koli z ich je dělitelých pěti? cifry se mohou opaovat 5 V Čísla dělitelá pěti musí očit číslicí 5 5 V Koli pěticiferých čísel je možo sestavit z cifer 0,,,, 4, 5, 6? V V Koli šestimístých telefoích čísel začíajících sedmičou lze sestavit z cifer 0 9? 5 V Pro otevřeí trezoru je třeba určit čtveřici čísel. Koli je možostí pro určeí této čtveřice? 4 V Koli čtyřciferých čísel dělitelých pěti lze vytvořit z cifer,,, 4, 5, 6, 7? 4 V Stráa 0

36 Kombiatoria, pravděpodobost, statistia 9.8. Permutace s opaováím. V pouzdře je 6 červeých pastele, žluté, 4 modré a 5 zeleých. Kolia způsoby můžeme pastely seřadit? 8! P 6,,4, !! 4! 5!. Kolia způsoby je možo přemístit písmea slova VEVERKA? 7! P,,,, 60!!. Určete počet všech šesticiferých přirozeých čísel sestaveých z číslic 6 a 4 ta, aby se číslice 6 vysytovala: a) právě čtyřirát, b) aspoň čtyřirát? Řešeí. 6! a) P4, 5 4!! 6! 6! b) P4, P5, 5 6 4!! 5! 4. Kolia způsoby můžeme přemístit písmea slova matematia? P 0!,,,,, 500!!! Stráa 0

37 9.9. Biomicá věta Kombiatoria, pravděpodobost, statistia. Umocěte pomocí biomicé věty a a a a a a a 8a 4a a Umocěte pomocí biomicé věty a a a a a a a 8a 4a a Umocěte pomocí biomicé věty a b a b a a b a b a b a b b a 0a 40a b 80a b 80ab b Umocěte pomocí biomicé věty a b a b a a b a b a b a b b a b a 6a b 5a 9b 0a 7b 5a 8b 6a4b 79b a 8a b 5a b 540a b 5a b 458ab 79b Umocěte pomocí biomicé a Moivreovy věty ompleí číslo i 5. Biomicá věta i i i i i 0 4 4i 6 4i 4 Moivreova věta z i z cos isi z i i i cos si 4 cos si Stráa 04

38 Kombiatoria, pravděpodobost, statistia 6. Koli čleů obsahuje biomicý rozvoj 5 5? 6 čleů 7. Koli čleů obsahuje biomicý rozvoj y 8? 9 čleů 8. Napište desátý čle biomicého rozvoje 0 a upravte jej Napište třetí čle biomicého rozvoje a b 5 a upravte jej. 5. čle : a b a b a b 0. Napište sedmý čle biomicého rozvoje ompleího čísla 0i 9 a upravte jej čle : i i Napište dvaáctý čle biomicého rozvoje ompleího čísla i a upravte jej.. čle : i 78 i 78i. Napište pátý čle biomicého rozvoje 8 a upravte jej čle : Napište šestý čle biomicého rozvoje ompleího čísla i 9 a upravte jej čle : i 6 i 40i Napište třetí čle biomicého rozvoje 7 a upravte jej. 7. čle : Stráa 05

39 Kombiatoria, pravděpodobost, statistia 5. Který čle biomicého rozvoje 6 je prostý? 6 6 čle : čle 6. Který čle biomicého rozvoje 5 čle : čle obsahuje 5? 7. Který čle biomicého rozvoje 0 a a obsahuje a? čle : 0 0 a a a a a a čle 0 0 Stráa 06

40 Kombiatoria, pravděpodobost, statistia 8. Který čle biomicého rozvoje a) eobsahuje 4 b) obsahuje? a) b) čle : čle eobsahuje 4 čle : čle eobsahuje Určete, terý čle biomicého rozvoje 5 0 eobsahuje čle : čle eobsahuje 0 Stráa 07

41 Kombiatoria, pravděpodobost, statistia 0. Určete, terý čle biomicého rozvoje 8 5 eobsahuje. 8 8 čle : čle eobsahuje. V rozvoji výrazu 4 0 zjistěte eisteci prostého čleu. Předpoládejme, že čle je prostý čle : eí přirozeé číslo Žádý čle eí prostý. 0. V rozvoji výrazu 4 5 zjistěte eisteci prostého čleu. Předpoládejme, že čle je prostý čle : evyhovuje Prostý čle v tomto rozvoji eeistuje. Stráa 08

42 Kombiatoria, pravděpodobost, statistia. Najděte všechy čley biomicého rozvoje, teré jsou racioálími čísly, jestliže: a) 6 b) 7 9 a) b) 6. čle čle čle žádý čle rozvoje eí racioálí 4. Užitím biomicé věty a Moivreovy věty odvoďte vzorce pro si, cos, si 4, cos4. Podle Moivreovy věty: cos i si cos i si Podle biomicé věty: cos isi cos isi cos isi cos isi cos si Porováím obou vět zísáme: cos i si cos i si cos si cos cos si si si cos Podle Moivreovy věty: 4 cos i si cos 4 i si 4 Podle biomicé věty: cos i si cos i si cos cos i si cos ( isi ) 0 4 ( si ) 4 cos 4 4 si cos 6cos si 4 cos si si 4 i i i 4 Porováím obou vět zísáme: cos cos 6cos si si 4 si 4si cos 4cossi Stráa 09

43 Kombiatoria, pravděpodobost, statistia 5. Doažte pomocí biomicé věty, že číslo 0 je dělitelé devíti Doažte pomocí biomicé věty, že číslo 8 je dělitelé sedmi Doažte, že 0 je celé číslo. ; Z Doažte, že 4 je celé číslo. ; Z Stráa 0

44 Kombiatoria, pravděpodobost, statistia 9. Pro jaé je v rozvoji výrazu 7 čtvrtý čle rove 75? čle Pro jaé je v rozvoji výrazu 0 patáctý čle rove? Pro jaé je v rozvoji výrazu , 9 třetí čle rove 576? Stráa

45 Kombiatoria, pravděpodobost, statistia 0. Pravděpodobost. Jaá je pravděpodobost, že při hodu ostou pade sudé číslo? PA ( ) 6. Jaá je pravděpodobost, že při hodu ostou pade číslo meší ež tři? A ; PA ( ) 6. Jaá je pravděpodobost, že při hodu ostou číslo větší ež čtyři? A 5;6 PA ( ) 6 4. Hodíme čtyřirát micí. Vyjmeujte výsledy přízivé ásledujícím jevům: A pade právě jedou líc, B pade čtyřirát stejá straa mice, C pade aspoň třirát rub? A L; R; R; R, R; L; R; R, R; R; L; R, R; R; R; L B R; R; R; R, L; L; L; L C L; R; R; R, R; L; R; R, R; R; L; R, R; R; R; L, R; R; R; R 5. V tombole je 450 losů. 0 losů vyhrává. Jaá je pravděpodobost, že při oupi 5 losů všechy losy vyhrají?... K (450) A... m K (0) PA ( ), Stráa

46 Kombiatoria, pravděpodobost, statistia 6. Ve třídě je 0 žáů, 8 žáů emá domácí úol. Učitel vyvolá tabuli 4 žáy. Jaá je pravděpodobost, že dva žáci u tabule emají domácí úol?... K (0) 4 A... m K (8) K () 8 PA ( ) 0, V dodávce je 50 výrobů, 5 z ich je vadých. Jaá je pravděpodobost, že při výběru 0 součáste bude právě jeda vadá?... K (50) 0 A... m K (45) K (5) PA ( ) 0, V bedě je 5 součáste, z ich je 7 vadých. Jaá je pravděpodobost, že při výběru čtyř součáste bude ejvýše jeda vadá?... K (5) 4 A... m K (7) K 8 K (8) PA ( ) 0, Hodíme dvěma ostami modrou a červeou. Jaá je pravděpodobost, že a modré ostce pade meší číslo ež a červeé? 5 5 P A 6 Stráa

47 Kombiatoria, pravděpodobost, statistia 0. Jaá je pravděpodobost, že libovolé dvojciferé je dělitelé: a) deseti, b) pěti? a) deseti... V(0) 9 A... m PA ( ) b) pěti... V(0) 9 B... m8 8 8 PB ( ) Při výrobě 000 usů radiátorů bylo usů zmetů. Jaá je pravděpodobost, že určitý výrobe je vadý? A... m PA ( ) 0, Jaá je pravděpodobost, že libovolé dvojciferé číslo je: a) dělitelé čtyřmi, b) eí dělitelé čtyřmi? a) dělitelé čtyřmi... V(0) 9 9 B... m PB ( ) 0,4 9 b) eí dělitelé čtyřmi? Opačý jev a) P( A) P( A) 0,76. Střelec zasáhl terč 97 rát ze sta výstřelů. Jaá je pravděpodobost, že cíl ezasáhe? A zásah A ezásah = jev opačý A 97 PA ( ) 0,97 00 P( A ) P( A) 0,97 0, 0 Stráa 4

48 Kombiatoria, pravděpodobost, statistia 4. V tombole je 00 losů. Jaá je pravděpodobost hlaví výhry je při oupi 0 losů?... K (00) 0 A... m K (99) PA ( ) 0, Jaá je pravděpodobost, že při hodu dvěma ostami pade a obou ostách: a) pěta b) sudé číslo? a) pěta... V(6) 6 A... m PA ( ) 0,8 6 b) sudé číslo... V(6) 6 A... m V () 9 PA ( ) 0, Hodíme dvarát ostou. Jaá je pravděpodobost, že: a) pade právě jedou jediča, b) pade alespoň jedou jediča, c) pade ejvýše jedou jediča? a) pade právě jedou jediča A. hod pade jediča,. hod epade, A= 5 B. hod epade jediča,. hod pade, B=5 5 5 P( A B) 0,8 6 6 b) Pade alespoň jedou jediča Jev opačý epade jediča (A ) 55 P( A) P( A) 0, 6 c) Pade ejvýše jedou jediča A epade ai jedou B pade právě jedou Stráa 5

49 Kombiatoria, pravděpodobost, statistia 5 PA ( ) 6 0 PB ( ) P( A B) 0, Jaá je pravděpodobost, že při hodu dvěma ostami pade: a) součet pět, b) součet meší ež pět? a) součet pět A součet 5=+4; 4+; +; +... V(6) 6 4 PA ( ) 0, 6 b) součet meší ež šest Součet je ebo ebo 4 ebo 5 4 P( A ) ; P( A ) ; P( A ) ; P( A4 ) P( A A A A4 ) 0, Hodíme třirát ostou. Jaá je pravděpodobost, že: a) pade třirát jediča b) pade ejvýše jedou jediča c) pade alespoň jedou jediča d) pade třirát liché číslo a) pade třirát jediča... V (6) 6 A... m PA ( ) 6 Druhé řešeí: ezávislé jevy PA ( ) b) pade ejvýše jedou jediča epade ai jedou pade právě jedou PA ( ) Stráa 6

50 Kombiatoria, pravděpodobost, statistia c) pade alespoň jedou jediča jev opačý- apade ai jedou PA ( ) 6 6 d) pade třirát liché číslo PA ( ) Hodíme třirát ostou. Jaá je pravděpodobost, že při prvím hodu pade sudé číslo, při druhém liché číslo a při třetím pade dvoja? 9 P( A B C) Hodíme třirát ostou. Jaá je pravděpodobost, že při prvím hodu pade šesta, při druhém jediča ebo dvoja a při třetím pěta ebo šesta? P( A B C) Hodíme dvarát ostou. Jaá je pravděpodobost, že při prví hodu pade liché číslo a při druhém pade šesta? P( A B) 6 6. V osudí je 00 losů. 0 losů vyhrává. Jaá je pravděpodobost, že zísáte aspoň jedu výhru, poud si oupíte: a) 8 losů b) 5 losů a) Jev opačý ezísáte žádou výhru Á 90 8 P( A) P A 0, b) P( A) P A 0, Stráa 7

51 Kombiatoria, pravděpodobost, statistia. Jaá je pravděpodobost, že při hodu dvěma ostami pade součet jedeáct? PA ( ) 0, Jaá je pravděpodobost, že při tahu sporty uhodete jedo číslo? PA ( ) 0, Z balíču aret vytáheme áhodě arty. Jaá je pravděpodobost, že mezi imi bude alespoň jedo eso? Jev opačý žádé eso 8 PA ( ) 0,4 6. Vsadíme jedu sázeu sporty, jaá je pravděpodobost, uhádeme alespoň jedo z šesti tažeých čísel? Jev opačý euhádeme žádé číslo Á 4 6 PA ( ) 0, Ve třídě je 6 žáů, 4 žáci ejsou připravei e vyučovací hodiu. Učitel vyzouší dva žáy. Jaá je pravděpodobost, že budou: a) oba připravei, b) oba epřipravei? a) PA ( ) 0,7 6 Stráa 8

52 Kombiatoria, pravděpodobost, statistia b) 4 PA ( ) 0, V obchodě mají 0 usů mobilích telefoů, tři usy jsou vadé. Pa Nová si oupí jede mobilí telefo. Jaá je pravděpodobost, že ebude vadý? 7 PA ( ) 0, Z balíču aret vytáheme áhodě dvě arty. Jaá je pravděpodobost, že obě budou esa ebo obě arty budou piové? 4 8 PA ( ) 0,07 0. Ve třídě je 5 studetů. Mezi imi jsou Alea a Běta. Učitel ve třídě vybere áhodě libovolou trojici studetů. Jaá je pravděpodobost, že mezi vybraými studety bude Alea ebo Běta? PA ( ) 0,0 5. Jaá je pravděpodobost, že libovolě vybraé dvojciferé číslo je dělitelé dvěma ebo pěti? PA ( ) 0, Jaá je pravděpodobost, že při tahu sporty bude tažeo číslo meší ež. PA ( ) 0, 49 Stráa 9

53 Kombiatoria, pravděpodobost, statistia. Ve supiě je 8 děvčat a 0 chlapců. Jaá je pravděpodobost, že mezi třemi áhodě vybraými jsou dvě děvčata a jede chlapec? 8 0 PA ( ) 0, Ve třídě je 4 žáů, mezi imi je Adam a David. Vybereme áhodě volejbalové družstvo. Jaá je pravděpodobost, že mezi imi bude: a) Adam b) David c) Adam a David d) Adam ebo David e) Adam ao, David e? a) 5 PA ( ) 0,5 4 6 b) 5 P(B) 0, c) 4 P(C) 0, d) 5 5 P(D) 0,5 4 6 e) 5 PE ( ) 0, 4 6 Stráa 0

54 Kombiatoria, pravděpodobost, statistia 5. V osudí je 5 červeých oulí, 8 modrých a 6 zeleých. Vytáheme áhodě dvě oule. Jaá je pravděpodobost, že a) obě vytažeé oule budou modré, b) je mezi vytažeými oulemi právě jeda zeleá, c) mezi vytažeými oulemi eí žádá červeá? 8 a) PA ( ) 0,6 9 6 b) PA ( ) 0, c) PA ( ) 0, V osudí je oulí, ze terých jsou 4 zeleé. Vytáheme ejedou tři oule. S jaou pravděpodobostí: a) eí mezi vytažeými žádá zeleá, b) je mezi vytažeými oulemi alespoň jeda zeleá, c) jsou mezi vtažeými oulemi alespoň dvě zeleé? 8 a) PA ( ) 0,5 b) Jev opačý žádá zeleá P PB c) PC ( ) 0,4 (B) 0,5 0,75 Stráa

55 Kombiatoria, pravděpodobost, statistia 7. V osudí je 6 modrých, 5 červeých a 7 žlutých oulí. Vytáheme postupě tři oule. Po aždém tahu ouli vracíme ouli. Jaá je pravděpodobost, že: a) Druhá vytažeá oule bude modrá, b) Třetí vytažeá oule bude žlutá ebo modrá? a) 6 PA ( ) 0, 8 b) 6 7 PA ( ) 0, Střelec zasáhe cíl 7 rát z dvaceti ra. a) S jaou pravděpodobostí zasáhe cíl alespoň jederát ze tří ra, b) S jaou pravděpodobostí zasáhe cíl alespoň dvarát ze tří ra. c) S jaou pravděpodobostí ezasáhe cíl ai jedou ze tří ra? 7 a) Jev opačý ezasáhe cíl ai jedou PA ( ) 0,5 0, b) PB ( ) 0,85 0,85 0,5 0,7 c) 7 PB ( ) 0, Dva střelci střílí ezávisle a sobě a cíl. Prví trefí cíl s pravděpodobostí 0,9, druhý trefí cíl s pravděpodobostí 0,75. a) S jaou pravděpodobostí oba trefí cíl, b) s jaou pravděpodobostí právě jede trefí cíl? a) PA ( ) 0,9 0,75 0,675 b) PB ( ) 0,9 0,5 0,0,75 0, 40. Test zoušy obsahuje 0 otáze. Žá vybírá z odpovědí a, b, c, d u aždé otázy. Jaá je pravděpodobost, že žá odpoví 6 otáze správě, volí-li odpovědí zcela áhodě? Správá odpověď.. p 0,5 Špatá odpověď... q 0,75 Počet otáze 0 Počet správých odpovědí PA ( ) 0, 5 0,75 0,06 6 Stráa

56 Kombiatoria, pravděpodobost, statistia 4. Lé úspěšě vyléčí 78 % případů emoci. Jaá je pravděpodobost, že se vyléčí alespoň devateáct pacietů z dvaceti, terým je lé podá? p 0,78 q 0, 0 9; P A 0,78 0, 0,78 0, Klíčivost seme petržele je 9 %. Vypočítejte pravděpodobost, že vylíčí aspoň 7 seme ze třiceti zasetých. p 0,9 q 0,08 0 7;8;9; P A 0,9 0,08 0,9 0,08 0,9 0,08 0, ,08 4. V rodiě je pět dětí. Jaá je pravděpodobost, že rodia má a) pět syů, b) dvě dcery a tři syy, c) jedu dceru a čtyři syy? Pravděpodobost arozeí sya a dcery je stejá. a) p 0,5 q 0, P A 0,5 5 b) p 0,5 q 0, ,5 0,5 P A Stráa

57 c) p 0,5 q 0,5 5 4 Kombiatoria, pravděpodobost, statistia 5 5 0,5 0,5 4 4 P A 44. Při zoušeí pevosti drátu vyrobeého a dvou růzých strojích se uázalo, že drát vyrobeý a prvím stroji vydržel zoušeý tah s pravděpodobostí 0,86, drát z druhého stroje je s pravděpodobostí 0,7. Jaá je pravděpodobost, že oba vzory vydrží současě požadovaé apětí? P A 0,86 0,7 0, Basetbalista střílí tresté hody s úspěšostí 0,85. jaá je pravděpodobost, že z dvaceti vystřeleých hodů bude 8 rát úspěšý? p 0,85 q 0, ,85 0,5 0, 8 8 P A 46. Pravděpodobost, že žárovy vydrží 500 hodi svítit, je 0,. Jaá je pravděpodobost, že právě jeda z pěti žárove vydrží svítit 500 hodi? p 0, q 0, , 0,7 0,6 4 P A Stráa 4

58 Kombiatoria, pravděpodobost, statistia 47. Pravděpodobost vyrobeí zmetu je 0,. Jaá je pravděpodobost, že mezi deseti vybraými výroby budou všechy výroby bez vady? p 0,8 q 0, ,8 0, 0 0 P A 48. Obvod je slože z deseti stejých žárove, teré jsou spojey sériově. Jaá musí být, že aždá žárova vydrží svítit 000 hodi, aby pravděpodobost, že obvodem prochází proud po dobu 000 hodi, byla 0,8? 0 p 0,8 p 0, Tři luostřelci střílejí současě do terče. Pravděpodobost, že prví luostřelec zasáhe cíl je 0,7, pravděpodobost, že druhý zasáhe cíl, je 0,8 a pravděpodobost, že terč zasáhe třetí, je 0,6. Jaá je pravděpodobost, že a) prví dva terč zasáhout a třetí e, b) právě dva zasáhou cíl, c) všichi tři zasáhou cíl, d) aspoň jede se trefí do terče? a) P A 0,7 0,8 0,4 0,4 b) PB 0,7 0,8 0,4 0,7 0, 0,6 0, 0,8 0,6 0,45 c) PC 0,7 0,8 0,6 0,6 d) Jev opačý D ido etrefí terč, PD 0, 0, 0,4 0, Pravděpodobost, že se v eletricém obvodu zvýší apětí pro měřící přístroj je 0,05 Pravděpodobost poruchy měřícího přístroje je 0,. Jaá je pravděpodobost, že se zvýší apětí a přístroj přestae pracovat? P A 0, 0,05 0,0 5. Eletricý obvod se sládá ze dvou žárove zapojeých paralelě, e terým je zapojea sériově třetí žárova. Spolehlivost aždé žárovy je 0,8. jaá je pravděpodobost, že bude svítit aspoň jeda žárova? P A B paralelí zapojeí 0,8 0,8 0,8 0,8 0,96 Pro celý obvod PC 0,96 0,8 0,768 Stráa 5

59 . Statistia Kombiatoria, pravděpodobost, statistia. Následující tabula představuje statisticý soubor, jao výslede statisticého šetřeí. Příjmeí a jméo vě děti povoláí pes počet dí výša cm Bláha Rostislav 9 řidič ao 5 68 Nová Ja 48 OSVČ ao 0 89 Kohe Jiří 5 0 dělí ao 9 Paříze Jiří 9 0 prodavač e 0 79 Kovářová Romaa 5 0 účetí e 7 Bušiová Jarmila 0 studet e 5 65 Hradečý Alois 6 advoát ao 5 5 Kopecý Fratiše léař ao 58 Látal Fratiše studet e 78 Poorá Aa 8 úředice e 4 6 Koutá Božea 49 tisařa e 69 Fialová Vlasta 66 hereča ao 0 95 Božetěchová Jarmila 75 důchodyě e 0 77 Zuzaňáová Moia 4 OSVČ ao 0 6 Martiovsá Iveta 45 bioloža ao 5 65 Poorý Daiel 8 vědyě ao 9 64 Návěle Vojtěch 6 veter. léař e 4 70 Návělová Michaela studeta e 7 6 Kadlecová Julie 9 0 dělice e 80 Adamec Ja 4 zahradí e 8 49 Pavela Matěj 4 uchař e 8 9 Pavelčá Michal učitel ao 5 90 Brouče Libor 5 ICT special. ao 88 Blažeý Pavel 8 0 dělí e 75 Syrový Radoslav 9 0 dělí e 5 89 Buriáe Otmar 68 4 ostrutér ao 4 68 Valetová Lucie 54 maažera ao 85 Zedíče Petr 5 0 poradce e 7 7 Martíe Bejamí 7 důchodce e 78 Fiuráše Bořislav 78 důchodce e 0 65 Šedivý Svatoplu 6 eoom ao 4 89 a) Rozhoděte, zda se jedá o statisticý soubor, určete statisticé jedoty, rozsah statisticého souboru a druhy statisticých zaů b) Roztřiďte jedoty z tabuly podle pohlaví a věu c) Roztřiďte jedoty z tabuly podle výšy d) Určete průměrý vě statisticých jedote e) Určete průměrou výšu respodetů f) Určete průměrý počet dí g) Určete absolutí a relativí četost výsytu jedotlivých hodot statisticého zau pes h) Určete absolutí a relativí četost výsytu jedotlivých hodot zau počet dětí Stráa 6

60 Kombiatoria, pravděpodobost, statistia a) Rozhoděte, zda se jedá o statisticý soubor, určete statisticé jedoty, rozsah statisticého souboru a druhy statisticých zaů - jde o statisticý soubor - statisticé jedoty jsou jedotliví lidé - rozsah statisticého souboru - - druh zau: vě - vatitativí počet dětí vatitativí povoláí valitativí pes valitativí počet dí vatitativí výša vatitativí b) Roztřiďte jedoty z tabuly podle pohlaví a věu vě muži žey celem a více c) Roztřiďte jedoty z tabuly podle výšy výša celem d) Určete průměrý vě statisticých jedote... i i 89 4, ,58 let e) Určete průměrou výšu respodetů... i i ,9 74, cm Stráa 7

61 Kombiatoria, pravděpodobost, statistia f) Určete průměrý počet dí... i i 84 9,69 9,6 dí g) Určete absolutí a relativí četost výsytu jedotlivých hodot statisticého zau pes četost i počet výsytů hodoty u určitého zau i relativí četost i jaá část souboru má daou hodotu zau i pes ao e četost 4 7 relativí četost % 55 % h) Určete absolutí a relativí četost výsytu jedotlivých hodot zau počet dětí děti 0 4 absolutí četost ,6 0,5 0, 0,0 8 0,6 6 % relativí četost 6 % 5 % % %. Supia 0 dětí odpovídala a tři otázy. Počet správých odpovědí jedotlivých dětí zázorňuje ásledující tabula. 0 0 Uspořádejte tyto výsledy podle četostí výsytu. hodota zau 0 absolutí četost 4 0, 0 % relativí četost 0 0,6 60 % 0 4 0, 0 % 0 0, 0 % 0. Při opaovaých hodech ostou jsme zísali ásledující výsledy: Uspořádejte tyto výsledy podle četostí výsytu. hodota zau absolutí četost relativí četost 8 8 % 0, % 0,49 0,5 8 5 % 8 8 % 0, % 0, % 0,49 Stráa 8

62 Kombiatoria, pravděpodobost, statistia 4. Graf zobrazuje histogram četostí výšy respodetů statisticého šetřeí. Výša v cm Sestavte ruhový diagram zastoupeí jedotlivých výše. Ja velý bude středový úhel jedotlivých výsečí? Úhel výseče je možo spočítat pomocí relativí četosti v procetech podle vztahu: 60, ebo pomocí relativí četosti vyjádřeé desetiým číslem podle vztahu: výša absolutí četost 8 6 relativí 8 6 0,0 0,06 0,5 0,6 0,9 četost 0, úhel Výša v cm Stráa 9

63 Kombiatoria, pravděpodobost, statistia 5. U souboru 50 dětí mateřsé šoly byly zazameáy počty jejich sourozeců. Tabula udává četosti počtů sourozeců dětí. Určete průměrý počet sourozeců těchto dětí. počet sourozeců četost výsytu j j,06 50 j 6. Při otrole možství sirupu v litrové láhvi byly zjištěy ásledující hodoty v litrech: 0,97 0,97,0,0 0,98 0,98,0,08 0,98 0,99,0 0,98 0,97,0,0,0,0 0,99,0 0,98 0,95 0,98,0,0 0,99 0,99 0,98,0,05,0,0 0,97,0 0,96 0,96 0,97 0,99 Sestavte tabulu četosti a spočítejte aritmeticý průměr aplěosti láhví. možství 0,95 0,96 0,97 0,98 0,99,0,0,0,04,05,06,07,08 četost j j j 0,95 0,96 50,97 70,98 50,99 9,0 4,0,0,05, ,9975 0, 997 litrů 7. Brigádíci sbírali borůvy. Vedoucí zazameal, jaé možství borůve brigádíci asbírali. Výslede zobrazuje ásledující tabula. počet litrů,5,5 4 4,5 5 5,5 počet brigádíů Určete: a) průměrou hodotu b) modus c) mediá a) průměrou hodotu j j j,58, , , , b) modus Mod( ) 5 c) mediá Med( ) 4 Stráa 0

64 Kombiatoria, pravděpodobost, statistia 8. Při měřeí tělesé výšy žáů. A byly aměřey ásledující hodoty v cm: a) Rozdělte děti podle tělesé výšy do itervalů po 5 cm b) a záladě tohoto rozděleí určete průměrou výšu b) a záladě tohoto určete modus zau c) a záladě tohoto určete mediá zau a) Rozdělte děti podle tělesé výšy do itervalů po 5 cm střed itervalu počet dětí 4 4 b) a záladě tohoto určete průměrou výšu j j j ,4 cm 7 7 c) a záladě tohoto určete modus zau Mod( ) 40 cm d) a záladě tohoto určete mediá zau Med( ) 7,5 cm 9. Tabula uvádí počty bodů zísaé dětmi a letím táboře rozděleé podle četosti Určete: a) průměrý počet bodů b) modus c) mediá a) průměrý počet bodů j j j ,9 cm 7 7 Stráa

65 b) modus Mod( ) 84 cm Kombiatoria, pravděpodobost, statistia Mod( ) 87 cm c) mediá Med( ) 84,5 cm 0. Tabula uvádí rozděleí fiačích odmě v Kč mezi supiu zaměstaců podle četosti Určete: a) průměrou výši odměy b) modus c) mediá a) průměrý počet bodů j j j ,7 Kč 6 b) modus Mod( ) 800 Kč c) mediá Med( ) 900 Kč. Tabula uvádí aměřeé hodoty průměru uličy v mm.,,0,,,09,,,,09,0 Určete: a) odchyly měřeí b) průměrou odchylu c) relativí průměrou odchylu d) variačí rozpětí e) rozptyl f) směrodatou odchylu g) variačí oeficiet a) odchyly měřeí d i,09 hodota,,0,,,09,,,,09,0 odchyla -0,0 0,009-0,00-0,0 0,09-0,00-0,0-0,0 0,09 0,009 Stráa

66 Kombiatoria, pravděpodobost, statistia b) průměrou odchylu i i d 0, d 0, 0 0 c) relativí průměrou odchylu d rd 00% 0,0 rd 00 % 0,60 %,09 d) variačí rozpětí R ma mi R,, 09 0, 04 e) rozptyl i i s 0, 0069 s 0,000 0 f) směrodatou odchylu s i i 0,0069 s 0,0 0 g) variačí oeficiet s v 00% 0,0 v 00% 0,4%,09. Tabula uvádí aměřeé hmotosti stejých ovových hřebíů v g.,,4,,5,,,,5 Určete: a) odchyly měřeí b) průměrou odchylu c) relativí průměrou odchylu d) variačí rozpětí e) rozptyl f) směrodatou odchylu g) variačí oeficiet Stráa

67 Kombiatoria, pravděpodobost, statistia a) odchyly měřeí d i,4 hodota,,4,,5,,,,5 odchyla 0,04-0,6 0,4-0,6 0,04 0,4-0,06 0,04 0,4-0,6 b) průměrou odchylu i i d, 48 d 0,48 0 c) relativí průměrou odchylu d rd 00% 0,48 rd 00 %,7 %,4 d) variačí rozpětí R ma mi R,5 0,5 e) rozptyl i i s 0, 0069 s 0,000 0 f) směrodatou odchylu s i i 0,04 s 0,74 0 g) variačí oeficiet s v 00% 0,74 v 00%,55%,4 Stráa 4

68 Kombiatoria, pravděpodobost, statistia. Tabula uvádí výsledy 0 střelců ve střelbě a terč Určete: a) odchyly měřeí b) průměrou odchylu c) relativí průměrou odchylu d) variačí rozpětí e) rozptyl f) směrodatou odchylu g) variačí oeficiet a) odchyly měřeí d i 97,5 hodota odchyla -0,5 0,5 -,5-0,5 -,5 -,5 -,5 6,5,5-0,5 b) průměrou odchylu i i d d, 0 c) relativí průměrou odchylu d rd 00%, rd 00 %,54 % 97,5 d) variačí rozpětí R ma mi R e) rozptyl s s i i 76,5 7,65 0 Stráa 5

69 Kombiatoria, pravděpodobost, statistia f) směrodatou odchylu s i i 765, s, 77 0 g) variačí oeficiet s v 00%,77 v 00%,84% 97,5 Stráa 6