1. Základní poznatky z matematiky

Transkript

1 . Základní poznatky z matematiky. Určete opačné číslo k číslu (3 5). a) 8 b) 8 c) 8 d) 8. Čísla,, 0, 3,, 8 9, seřaďte od největšího k nejmenšímu. a), 3,, 8 9,, 0, b), 3,, 8 9,, 0, c) 3,,, 8 9,, 0, d),, 3, 8 9,, 0, 3. Racionální číslo,75 vyjádřete ve tvaru zlomku v základním tvaru. a) 75 0 b) 7 4 c) 7 5 d) Vyjádřete smíšené číslo jako zlomek. a) 3 8 b) 0 8 c) 9 8 d)

2 5. Usměrněte zlomek a) 3 3 b) c) 3 3 d) Určete absolutní hodnotu a) 3 b) c) d) 3 7. Určete sjednocení intervalů I= <-, 3>, J= (, 5). a) <, 5> b) <, 5) c) (, 5) d) (, 3> 8. Najděte největšího společného dělitele čísel, 6, 0. a) 44 b) 60 c) d) 4 9. Podlaha jídelny o rozměrech 90 cm a 330 cm má být pokryta co nejmenším počtem shodných dlaždic tvaru čtverce. Jaký je nejmenší počet dlaždic použitých na pokrytí podlahy a jaké jsou jejich rozměry? a) 47 dlaždic o rozměrech 0 0 cm b) 490 dlaždic o rozměrech cm c) 47 dlaždic o rozměrech cm d) 00 dlaždic o rozměrech 0 0 cm 0. Kterou číslici musíte z čísla škrtnout, aby nové číslo bylo dělitelné 4? a) 3 b) 4 c) 5 d) 7 - -

3 . Určete podíl (6a 5 b + 6a b + 6ab 4 6a 3 b) : ab. a) 8a 4 + 3a + 3b 8a b) 8a 4 b + 3a + 3b 3 8a c) 8a 4 b + 3a + 3b 3 + 8a d) 8a 5 b + 6a + 3b 3 8a. Rozložte kvadratický výraz x 6x + 8 na součin. a) (x + 4) (x + ) b) (x + 4) (x ) c) (x 4) (x + ) d) (x 4) (x ) - 3 -

4 . Výrazy, rovnice, nerovnice a jejich soustavy. Vynásobte a sečtěte výraz a(3+a) 4(a + ) + 3a(a ). a) a 3a 8 b) a + 3a + c) a 3a + 8 d) a 3a 8. Dělte mnohočlen dvojčlenem (xy + 3x y 6) : (x ). a) y + 3 b) y 3 c) y d) y + 3. Vypočtěte 4( a b 3 c 4 ) a) 6 a 4 b 5 c 6 b) ( 4 a 4 b 5 c 6 ) c) 4 a 4 b 6 c 8 d) 6 a 4 b 6 c 8 4. Vypočtěte ( + a ) 3. a) + a + a b) + 3a + a 3 c) + 3a + a 3 d) + 3a + 3a + a 3 5. Sečtěte zlomky 3 3 a a a. 9 a) 3 a 9 b) 5 a 9 c) 5 a d) 9a - 4 -

5 6. Vypočtěte ( 6) ( ) 3 7( 5). a) 0,595 b),595 c) 0,845 d), Řešte v R rovnici 3x [x 3(x ) + ] = 6x. a) 0 b) 8 c) 0 d) 8 8. Řešte v R rovnici (x ) 3 (x + ) + 3(x + ) = (x + ) 3 x. a) 0 b) c) 0, d) 0, 9. Určete pro která x R má výraz a) (, > <, ) b) (, ) <, ) c) (, > d) (, > x x + smysl. 0. Řešte v R rovnici x + x + = x +. a) b), c), d),,. Řešte v R nerovnici x + 3 x x x. a) b), c) <, > d) R - 5 -

6 . Řešte v R rovnici 5 x + x = 6 x. a) 3 b) 3, 3 c) 3, 0 d) 3, 0 3. Řešte v R soustavu rovnic a) [, ], [, ] b) [, ], [, ] c) [, ], [, ] d) [, ], [, ] x(x + 4y) + y(x + 6y) = 0 y(x + 3y) = Určete pro které hodnoty parametru m má rovnice x 5x + mx 3m + = 0 jeden dvojnásobný kořen. a) 7, 9 b) 9, 7 c), 7 d) 7, 5. Řešte v R rovnici x 7 log x = 0. a) 3, 4 b) 3, 4 c), 0 d) 000, Řešte v R rovnici x log x + 0x log x =. a),, 0 b), 0 c),, 0 0 d) 0, 0-6 -

7 3. Planimetrie. Tětiva kružnice má od středu kružnice vzdálenost 8 cm a je o cm větší než je poloměr kružnice. Určete poloměr kružnice. a) 8,7 cm b) 0 cm c) cm d) 8,7 cm, 0 cm. V rovnoramenném trojúhelníku ABC je AC = BC = 3 cm, AB = 0 cm. Vypočtěte poloměr kružnice opsané trojúhelníku ABC. a) 0 3 cm b) 6 cm 69 c) 4 cm d) 8 cm 3. Vypočítejte délku nejkratší strany pravoúhlého trojúhelníka ABC s přeponou c, jestliže t a =0, t b =4 0. a) b) 8 c) 4 3 d) 5 4. Který n-úhelník má třicetkrát více úhlopříček než stran? a) 60-úhelník b) 6-úhelník c) 63-úhelník d) takový n-úhelník neexistuje 5. Je dána kružnice k se středem v bodě S a poloměrem 9cm a bod A tak, že vzdálenost bodu A od středu S je 5 cm. Bodem A jsou vedeny tečny ke kružnici k. Vypočítejte vzdálenost bodu A od bodů dotyku. a) 6 cm b) 8 cm c) 9 cm d) cm - 7 -

8 6. Z rozhledny vysoké 0 m, vzdálené 0 m od řeky se jeví šířka řeky v zorném úhlu 5. Jaká je šířka řeky? a) 0( 3 ) m b) 0 m c) 0 3 m d) 30 m 7. Kolik řešení může mít následující úloha: Jsou dány rovnoběžné přímky a, b a přímka c, která rovnoběžky protíná. Sestrojte kružnici, která se dotýká všech daných přímek. a) žádné b) žádné nebo řešení c) řešení d) řešení 8. Kolik řešení může mít následující úloha: Je dána kružnice k a bod A vně kružnice. Sestrojte kružnici shodnou s kružnicí k, která prochází bodem A a dotýká se kružnice k. a) řešení b) žádné, nebo řešení c) řešení nebo řešení d) řešení 9. Obrazem čtyřúhelníku ABCD v osové souměrnosti, jejíž osou je přímka BC je čtyřúhelník A'B'C'D'. Obrazem čtyřúhelníku A'B'C'D' ve středové souměrnosti, jejímž středem je střed úsečky BC, je čtyřúhelník A''B''C''D''. Čtyřúhelník A''B''C''D'' je obrazem čtyřúhelníku ABCD: a) ve středové souměrnosti se středem C b) v osové souměrnosti, jejíž osou je přímka DD' c) v osové souměrnosti, jejíž osou je osa úsečky BC d) v otočení se středem B a úhlem otočení

9 0. Vyberte, která z následujících tvrzení jsou pravdivá: ) Existuje trojúhelník, jehož průsečík výšek leží na některé z jeho stran. ) Existuje trojúhelník, jehož střed kružnice opsané a průsečík výšek leží vně tohoto trojúhelníku. 3) Existuje trojúhelník, jehož střed kružnice opsané leží na některé z jeho stran. 4) Existuje trojúhelník, jehož střed kružnice vepsané leží na některé z jeho stran. a), 3 b),, 3 c), 3, 4 d) všechna tvrzení jsou pravdivá - 9 -

10 4. Funkce. Určete definiční obor funkce f : y = a) < 7, 7) b) (7, ) c) < 7, ) d) <7, ) x + 7 x 7.. Rozhodněte, zda je funkce f : y = x + x a) sudá b) lichá c) není ani sudá ani lichá d) je sudá i lichá 3. Určete definiční obor funkce f : y = a) (, ) <3, ) b) (, 3) (, ) c) ( 3, ) d) (, 3) 4. Určete definiční obor funkce f : y = log( x). a) R b) (, 0) c) (0, ) d) <0, ) sudá nebo lichá. 3 x 5x Je dána funkce f : y = x +. Rozhodněte, která z následujících čísel,,, 5 nepatří x do oboru hodnot funkce f. a) b) c) d) 5-0 -

11 6. Najděte kvadratickou funkci, jejíž graf prochází body [; 0], [; 3], [3; 0]. a) f : y = x 3x + b) f : y = x + 9x 7 c) f : y = x 3x + d) f : y = x 7. Rozhodněte, kdy je funkce f : y = x x 6 kladná. a) (, 3) (, ) b) (, ) (3, ) c) ( 3, ) d) (, 3) 8. Najděte kvadratickou funkci, aby platilo: f () = 0, f (0) =, f ( ) = 0. a) f : y = 3x 5x + b) f : y = 5x + 3x + c) f : y = 5x + 3x + d) f : y = 3x 5x + 9. Určete průsečíky grafů funkcí f a g f : y = 5 x x + g : y = 3 x x + a) [ 3; ] b) [ ; 4] c) [; 4] d) [3; ] 0. Určete a, b tak, aby graf funkce f : y = a x + b procházel body [0; 3] a [; 0]. a) a =, b = 4 b) a =, b = 3 c) a = 0, b = 3 d) a = 0, b = 4. Rozhodněte, pro která x jsou hodnoty funkce f : y = x x x nezáporné. a) (, ) b) (, > c) (, > d) <0, ) - -

12 . Rozhodněte, která z funkcí f : y = sin x, f : y = cos x, f 3 : y = sin x, f 4 : y = cos x není periodická. a) f : y = sin x b) f : y = cos x c) f 3 : y = sin x d) f 4 : y = cos x 3. Jsou dány funkce f : y = 3x + a g: y = x 3x +. Vypočtěte g( f() ). a) 0 b) c) 4 d) 6 4. Je dána funkce f : y =. Určete složenou funkci f (f f). x a) b) x c) x d) x - -

13 5. Goniometrie a trigonometrie. Velikost úhlu α = 00 v míře stupňové vyjádřete v míře obloukové. 5 a) 8 π 5 b) 9 π c) π d) π. Pro které z následujících hodnot platí sin x = cos x? a) x = 30 b) x = 90 c) x = 35 d) x = 5 3. Vypočítejte cos( 80 ). a) b) 0,5 c) 0,5 d) 4. Určete všechny velikosti úhlů α <0; 360 >, pro které platí sinα = sin 57. a) α = 57 b) α = 37 c) α = 57, α = 3 d) α = 57, α = Čísla sin 30, cos 30, tg 30, cotg 30 uspořádejte podle velikosti. a) sin 30 < cotg 30 < tg 30 < cos 30 b) cotg 30 < sin 30 < tg 30 < cos 30 c) sin 30 < cos 30 < tg 30 < cotg 30 d) sin 30 < tg 30 < cos 30 < cotg Určete velikost úhlu, víte-li, že platí cotg x = a cos x < 0. a) 45 b) 90 c) 35 d) 5-3 -

14 7. Vypočítejte arccos. a) π b) 0 c) π π d) 8. Zjednodušte výraz sin 4 x cos 4 x + cos x. a) sin x b) cos x c) 0 d) 9. Je dán trojúhelník ABC, kde c = 3 cm, β = 30, γ = 60. Určete délky všech zbývajících stran a úhlů. a) a = cm, b = 3cm, α = 90 b) a = 3cm, b = 4cm, α = 30 c) a = 4cm, b = cm, α = 90 d) a = 4cm, b = 3cm, α = Zjednodušte výraz cos3 x sin 3 x + sin x cos x. a) cos x b) sin x c) sin x + cos x d) cos x sin x - 4 -

15 6. Stereometrie. Nádrž tvaru krychle má objem 640 hl. Vypočítejte délku hrany nádrže. a) 40 m b) 80 m c) 40 dm (správně) d) 80 dm. Jaký je vzorec pro výpočet obsahu rovnostranného kužele(jeho řezem je rovnostranný trojúhelník)? a) S = π r b) S = 3π r c) S = π r + π r v d) S = π r + π r v a) nevím 3. Určete poměr objemů rotačního válce a rotačního kužele se stejnými poloměry podstav a stejnými výškami. a) 3 : b) : c) : d) : 3 4. Prodlouží-li se hrana krychle o 4 cm, zvětší se její objem o 604 cm 3. Určete povrch původní krychle. a) 5 cm b) 50 cm c) 300 cm d) 486 cm 5. Povrch kvádru je 34 m. Jeho rozměry jsou v poměru : 3 : 4. Vypočtěte objem kvádru. a) 7 m 3 b) 34 m 3 c) 34 m 3 d) 907 m 3-5 -

16 6. Objem pravidelného čtyřbokého hranolu je 500 cm 3. Velikost jeho podstavné hrany a výšky jsou v poměru : 4. Určete velikost jeho výšky. a) 5 cm b) 0 cm c) 0 cm d) 40 cm 7. Komolý trojboký hranol, jehož podstavou je pravoúhlý trojúhelník, má objem 864 cm 3. Obsah největší stěny je 40 cm a výška 6 cm. Vypočítejte délky jeho podstavných hran. a) 4 cm, 3 cm a 6 cm b) 6 cm, 9 cm a 6 cm c) 8 cm, 9 cm a cm d) 9 cm, cm a 5 cm 8. Určete povrch kulové úseče, je-li poloměr koule 5 cm a poloměr řezu 3 cm (nápověda: S = π r v + π ρ ). a) 0π b) 8π c) 9π d) 50π 9. Jaký úhel svírá strana rotačního kužele s rovinnou podstavy, jestliže obsah pláště se rovná dvojnásobku obsahu podstavy. a) 90 b) 60 c) 50 d) Délky hran kvádru jsou v poměru : 4 : 5 a jeho objem je 30 cm 3. Určete rozměry tohoto kvádru. a) cm, 4 cm, 5 cm b) cm, 8 cm, 0 cm c) 4 cm, 8 cm, 0 cm d) 4 cm, 5 cm, 6 cm - 6 -

17 . Vyberte, která z následujících tvrzení o krychlích nejsou pravdivá: ) Krychle má stěnových úhlopříček. ) Tělesové úhlopříčky se půlí. 3) Existují 3 stěny, které se protínají v jednom bodě. 4) Krychle má 6 tělesových úhlopříček. a) 4 b), 4 c) všechna tvrzení jsou nepravdivá d) všechna tvrzení jsou pravdivá - 7 -

18 7. Kombinatorika a pravděpodobnost. Kolika možnými způsoby mohou být mezi 8 finalistů olympijského sportu rozděleny medaile (zlatá, stříbrná a bronzová)? a) 5 b) 4 c) 336 d) 448. K sestavení vlajky, která má být složena ze 3 různobarevných vodorovných pruhů, jsou k dispozici látky barvy bílé, modré, červené, žluté a zelené. Určete počet vlajek, které lze z látek ušít a mají uprostřed žlutý pruh. a) 6 b) 0 c) 5 d) 3. Ve třídě.a se vyučuje různých předmětů. Kolika způsoby lze sestavit rozvrh na jeden den, vyučuje-li se tento den 6 různých předmětů? a) b) c) 46 d) Tomáš si o telefonním čísle svého kamaráda zapamatoval, že je 6-ti místné, dělitelné 5, začíná 7 a žádná cifra se neopakuje. Kolik je možností, jak toto číslo může vypadat? a) 0 b) 680 c) 336 d) V lavici může sedět 5 žáků (A, B, C, D, E). Kolika způsoby si mohou sednout, jestliže žáci A, C mají sedět vedle sebe. a) 0 b) 60 c) 48 d) 4-8 -

19 6. Určete počet všech trojciferných přirozených čísel vytvořených z číslic,,..., 5 tak, že se v jejich dekadickém zápisu každá číslice vyskytuje pouze jednou. a) 5 b) 60 c) 5 d) 0 7. V prodejně si můžete vybrat ze sedmi druhů pohlednic. Kolika způsoby lze koupit 5 různých pohlednic? a) b) 4 c) 7 3 d) Kolikrát více je variací k-té třídy z n prvků než kombinací k-té třídy z těchto prvků? a) k b) n c) k! d) n! 9. Na hokejovém turnaji, kterého se účastní 8 družstev, sehraje každý tým s ostatními právě utkání. Kolik zápasů bude celkem sehráno? a) 56 b) 8 c) d) Deset přátel si vzájemně poslalo pohlednice z prázdnin. Kolik pohlednic celkem rozeslali? a) 00 b) 50 c) 90 d) 45. Ve vlaku jedou 3 cestující. Kolika způsoby mohou vystoupit, jestliže vlak staví na 5 zastávkách? a) 5 b) 60 c) 43 d) 5-9 -

20 . V košíku s ovocem je 8 jablek. Kolika způsoby lze jablka rozdělit mezi 3 děti? Přičemž jablka nerozlišujeme a děti rozlišujeme. a) 4 b) 45 c) 0 d) 0 3. Jaká je pravděpodobnost, že při hodu kostkami padne součet 8? a) : 6 b) 5 : 6 c) 4 : 36 d) 5 : Na skladě je 0 výrobků, z toho 4 jsou vadné. Ze skladu byly náhodně odebrány 3 výrobky. Jaká je pravděpodobnost, že mezi odebranými výrobky bude právě jeden vadný? a) : b) : 4 c) : 30 d) 3 : 4 5. Student si při zkoušce losuje dvě z deseti otázek. Připraven je pouze na šest z nich. Jaká je pravděpodobnost, že nebude umět žádnou otázku, kterou si vylosuje? a) : 3 b) : 5 c) : 5 d) 8 : 5-0 -

21 8. Posloupnosti a řady. Najděte první čtyři členy posloupnosti dané vzorcem pro n-tý člen a) 0,, 0, b) 0,, 0, c), 0,, 0 d), 0,, 0 cos nπ. n=. Které z čísel 4,, 3, 8 není členem posloupnosti ( ) n n= a) 4 b) c) 3 d) 8 a, a n = 5 n Konečnou posloupnost 5, 5, 5, 5 vyjádřete vzorcem pro n-tý člen. n+ a) ( 5 ( ) ) 4 n= 0 n+ b) ( 5 ( ) ) 4 ń= n c) ( 5 ( ) ) 5 ń= 0 n d) ( 5 ( ) ) 4 ń= 4. Vyjádřete vzorcem pro n-tý člen posloupnost všech lichých přirozených čísel. a) ( k ) k = + 0 b) ( k ) k = + c) ( k ) k= d) ( k ) k = 0 5. Najděte prvních pět členů posloupnosti ( ) n n= a = a + n+ n a), 3, 5, 7, 9 b), 3, 5,, c), 3, 5, 9, 9 d),, 3, 5, 7 a, která je dána rekurentně takto: a =, - -

22 6. Posloupnost ( 4n ) n = vyjádřenou vzorcem pro n-tý člen vyjádřete rekurentně. a) a =, a 4 n+ = an + b) a =, a = n+ 4an c) a = 4, a = n+ 4an d) a = 4, a 4 n+ = an + 7. V posloupnosti, která je dána rekurentně takto: a n + = an + an je a, a = 3. Určete 5 a 8. a) 7 b) 4 c) 7 d) 3 8. Je dána posloupnost k ( ) k ( + k ) k k= a) je omezená shora b) je omezená zdola c) je omezená shora i zdola d) není omezená 4 =. Rozhodněte o její omezenosti. 9. Mezi čísla 4 a vložte dvě čísla tak, aby s těmito dvěma čísly tvořila po sobě jdoucí členy aritmetické posloupnosti. a) 8, 6 b) 9, 5 c) 0, 6 d) 0, 5 0. V geometrické posloupnosti s kvocientem posloupnosti. a) b) 9 c) 7 d) 8 q = je a =. Určete první člen této - -

23 . V aritmetické posloupnosti platí: a a + a = a + a5 = Určete první člen této posloupnosti. a) b) c) 5 d) 0. Určete součet řady = 4 n n. a) řada není konvergentní b) c) 3 d) 4 3. Do rovnostranného trojúhelníku o straně délky a je vepsán trojúhelník tak, že jeho vrcholy jsou ve středech stran tohoto trojúhelníka. Do takto vzniklého trojúhelníku je opět vepsán trojúhelník s vrcholy ve středech jeho stran atd. Postup se stále opakuje až do nekonečna. Vypočítejte součet obvodů všech takto vzniklých trojúhelníků. a) a b) 6a c) a d) 6a x x x x 4. Řešte rovnici = a) b) 0 c) d) 5. Adam, Tomáš a Martin jsou bratři. Martin je nejmladší a Adam nejstarší. Dohromady mají 4 let. Kolik let je nejstaršímu z bratrů, jestliže věkový rozdíl mezi Martinem a Tomášem, stejně jako mezi Adamem a Tomášem činí 3 roky? a) b) 6 c) 7 d) 8-3 -

24 9. Analytická geometrie v rovině a prostoru. Rozhodněte, který z bodů A[, 0, 3], B[3,, 0], C[, 6, 4], D[0, 0, 0] má největší vzdálenost od bodu K[,, 0]. a) A b) B c) C d) D. Je dán trojúhelník ABC, jehož vrcholy mají souřadnice A[, ], B[, 3], C[4, ]. Rozhodněte, která z následujících tvrzení o tomto trojúhelníku jsou pravdivá. ) Trojúhelník je pravoúhlý, pravý úhel je u vrcholu C. ) Všechny strany trojúhelníka jsou stejně dlouhé. 3) Nejkratší strana je strana BC. 4) Strany AB a AC nejsou stejně dlouhé. a), 4 b) c), 3 d) žádné tvrzení není pravdivé 3. Bod A[ 5, 7, ] se ve středové souměrnosti zobrazí na bod B[ 3, 5, ]. Najděte souřadnice středu souměrnosti. a) [ 4, 6, 5] b) [,, 4] c) [,, 7] d) [ 8,, 0] 4. Vyberte, které dva vektory jsou kolmé. a) (, 3), ( 3, ) b) (6, 3), (4, 8) c) (, 7, ), (6, 0, ) d) (3, 4, ), (4, 3, ) 5. Jsou dány body A[,, ], B[4, 3, ]. Vypočítejte odchylku přímky AB od osy y. a) 30 b) 45 c) 60 d)

25 6. Vyberte souřadnice vektoru, který je kolmý k dvěma vektorům u = (,, 3), v = (, 0, 5). a) ( 5,, ) b) (, 0, 5) c) (5,, ) d) (,, ) 7. Jsou dány body A[,, ], B[,, ], C[3,, ]. Vypočítejte délku těžnice t b. a) b) c),5 d) 5 8. Zjistěte odchylku přímky p od roviny ρ: a) 30 b) 60 c) 90 d) 00 p : x = + t, y = + t, z = t, t є R ρ : x + y + z = Najděte obecnou rovnici přímky, která prochází bodem A[, 3] kolmo na přímku CD, jestliže C[4, 7], D[ 4, 5]. a) 8x + y + 5 = 0 b) x + 3y 3 = 0 c) 3x y = 0 d) x 8y = 0 0. Určete, pro která a je přímka p : x = 7 + 4t, y = 4 + 3t, z = 3 + t, t є R rovnoběžná s rovinou ρ : ax + 3y 5z + 9 = 0 a) a = b) a = 0 c) a = d) a = 3. Určete vzdálenost přímek p a q, jestliže p : 3x 4y + 5 = 0, q : 6x 8y = 0. a) b) 3 c) 5 d) 5-5 -

26 . Najděte směrnicový tvar rovnice přímky, která prochází body A[ 4, 5] a B[, ]. a) y = x 9 b) y = x + c) y = x 9 d) y = x 3. Určete obecnou rovnici roviny, která prochází body A[4,, ] a B[, 0, ] a je rovnoběžná s přímkou CD, kde C[3,, 4], D[,, 3]. a) x + y + z 3 = 0 b) x + y + z + 3 = 0 c) x + y + z 3 = 0 d) x + y + z + 3 = 0 4. Určete vzájemnou polohu dvou přímek p, q, jestliže přímka p je dána body A[3,, 0] a B[, 4, ], přímka q body C[3,, 6] a D[0, 5, 3]. a) totožné rovnoběžky b) různé rovnoběžky c) mimoběžky d) různoběžky 5. Zjistěte odchylku roviny α : 3x + 5 = 0 od roviny β : x = 3 + s t, y = s + t, z = 4s ; s, t є R a) 30 b) 45 c) 60 d) Vypočítejte vzdálenost bodu A[3, 5, 6] od roviny α: x y + z 8 = 0. a) b) 5 c) 6 d) 0 7. Je dána rovnice 4x + 9y 8x 3 = 0. Rozhodněte které kuželosečce tato rovnice patří. a) elipsa b) kružnice c) hyperbola d) parabola - 6 -

27 8. Najděte ohnisko paraboly, která má rovnici x + 4y 6x + 3 = 0. a) [3; 0,5] b) [3; ] c) [3;,5] d) [3;,5] 9. Určete rovnici hyperboly, jejíž vrcholy jsou současně ohnisky elipsy dané rovnicí 6x + 5y = 400 a jejíž ohniska jsou hlavními vrcholy elipsy. a) x y = 5 6 b) x y = 9 6 c) x + y = d) x y = Najděte průsečíky kulové plochy dané rovnicí (x 3) + (y + ) + z = 38 a přímky, která prochází bodem A[0, 3, ] a je rovnoběžná se souřadnicovou osou z. a) [0, 3, ] b) [0, 3, ], [0, 3, ] c) [0, 3, ], [0, 3, ] d) [0, 3, ], [0, 3, ] - 7 -

28 0. Komplexní čísla. Určete i 89. a) b) c) i d) i. Vypočtěte 3( + i) ( + i). a) 3 + i b) 5 + i c) 5i + 3 d) 5i Najděte reálná čísla x, y, která jsou řešením rovnice ( + i)x + ( i)y = 3 i. a) x =, y = b) x =, y = c) x =, y = d) x =, y = 4. Určete absolutní hodnotu + 5i. a) 7 b) c) 3 d) 7 5. Vypočtěte + i + i i i a) 4 b) 3 c) d) Komplexní číslo z = 7(cos 80 + i sin 80 ) vyjádřete v algebraickém tvaru. a) 7 b) 0 c) 7 + i d) 7-8 -

29 7. Užitím Moivreovy věty vypočtěte komplexní mocninu ( + i) 0 a výsledek vyjádřete v algebraickém tvaru. a) 3 b) 3 c) 3i d) 3 + i 8. Řešte v C rovnici x + 8ix + 9 = x + i. a) i b) 0 c) d) i 9. Vypočítejte i + i + i i 50. a) i b) i c) i + d) i + 0. Je dána rovnice 5x 3 x + x 5 = 0. Vyberte, které z následujících komplexních čísel nepatří mezi řešení této rovnice. a) b) i 3 + 4i c) 5 3 4i d) 5-9 -

30 . Základy diferenciálního a integrálního počtu x e. Určete limitu lim x 0 x x e e a) 0 b) c) 0,5 d).. Určete limitu a) 0 b) 0,5 c) d) x 5x + 6 lim 4. x x 6x Určete limitu lim x x 0 cot g. x a) b) 0 c) d) 4. Určete limitu a) 0 b) 0,5 c) d) 5. Určete limitu a) 0 b) 5 c) 4 d) 5 lnx lim. x x 5n + 3n + lim. n 3 4n 8n

31 6. Určete limitu a) 0 b) c) 6 d) 3n + 3n + lim +. n n n + 7. Určete limitu a) b) c) 3 d) 4 lim x x x x. 8. Určete derivaci funkce dané předpisem y = x sin x + cos x. a) sin x b) sin x c) cos x d) x cos x 9. Určete derivaci funkce dané předpisem y = sin 3x. a) 6 cos x b) 3 cos 3x c) 6x cos 3x d) 3 cos 3x + 6x 0. Určete, v kterém bodě grafu funkce y = x 5x +7 má tečna směrnici rovnou. a) [3, 0] b) [3, ] c) [3, ] d) [5, ] x. Najděte rovnici asymptoty grafu funkce y =. + x a) y = 0 b) y = c) y = x d) y = x

32 . Bazén má mít čtvercové dno a objem 08 m 3. Vypočítejte rozměr dna bazénu, má-li se na jeho vyzdění spotřebovat co nejméně materiálu. a) 3 m b) 4 m c) 6 m d) 0 m 3. Najděte takové kladné přirozené číslo, aby součet tohoto čísla a jeho převrácené hodnoty byl minimální. a) b) c) 3 d) 4 sin x 4. Vypočítejte dx. sin x a) cos x + C b) sin x + C c) cos x + C d) sin x + C x 5. Vypočítejte x e dx. a) e x + C b) x e x + C c) x e x e x + C d) x e x + e x + C 6. Vypočítejte cot g x dx. a) cos x + C b) cos x + x + C c) sin x x + C d) cotg x x + C π 7. Vypočítejte x sin x dx. 0 a) b) π c) π + d) π - 3 -

33 8. K funkci f : y = x + cos x najděte primitivní funkci F tak, aby graf funkce F procházel bodem A[π,]. a) F : y = x + sin x b) F : y = x + sin x+ c) F : y = x + sin x + d) F : y = x + sin x + π 9. Určete obsah obrazce omezeného křivkami x f : y = a g : y = x + 4. a) 0 b) 6 c) 4 d) 8 0. Vypočtěte objem tělesa, které vznikne rotací množiny ohraničené křivkou x + y = 9 a přímkou p: x + y = 3. a) 9 b) 8 c) 9π d) 8π