Sada 1 Matematika. 01. Množiny - úvod

Transkript

1 S třední škola stavební Jihlava Sada 1 Matematika 01. Množiny - úvod Digitální učební materiál projektu: SŠS Jihlava šablony registrační číslo projektu:cz.1.09/1.5.00/ Šablona: III/2 - inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Mgr. Ondřej Bachr 2012 Projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

2 Množiny definice, základní pojmy, využití v matematice Definovat samotnou podstatu množiny (jakékoliv) je velmi obtížné, jednotná definice prakticky neexistuje! Dá se proto říci, že množina je: Soubor objektů, prvků, které jsou brány jako celek. Těmito prvky je jednoznačně určena.

3 Podstatu množiny jako celku shrnul nejlépe zakladatel Teorie množin Georg Cantor: Množina je souhrn objektů, které jsou přesně určené a rozlišitelné a tvoří součást světa našich představ a myšlenek; tyto objekty nazýváme prvky množiny.

4 Jmenujte libovolné množiny, s kterými se můžete setkat v praktickém životě? -Množina žáků ve třídě (Petr, Jan, Olga ) - Množina typů domů (rodinný dům, panelák, bungalov ) - Množina druhů ovoce (jablko, hruška, švestka, banán V matematice se ovšem budeme zabývat množinami, číselných oborů.

5 Množinu značíme velkými písmeny A,B,C,,Y Prvky množiny zapisujeme do složených závorek {} Př: A = {k, l, m, n} Písmena (nebo jakékoliv hodnoty) ve složených závorkách se nazývají PRVKY MNOŽINY. k A : čteme, že prvek knáleží do množiny A s A (nebo také je jejím prvkem) : čteme, že prvek snenáleží do množiny A (nebo také není jejím prvkem)

6 Př: B = Ø??? B = prázdná množina!!! Nejsou v ní žádné prvky - Prázdná množina nemá žádný prvek! -Prázdnou množinu můžeme rovněž psát rovněž P = {}. -Avšak pozor P = {Ø} není podle definice množin prázdná množina ( dozvíme se později)!

7 Pravidla neuspořádanosti a duplicity Každá množina má nějak uspořádané prvky Na uspořádání prvků v množině celku nezáleží viz. příklad: C= {1,2,3} D= {3,1,2} Zde vidíme, že každá množina je jinak uspořádána, ale C = D, množiny jsou stejné! Pokud se v množinách vyskytuje více stejných prvků např. P= {1,2,1,3,3,2,2,2}, píšeme jej pouze JEDNOU! Počet stejných prvků NEROZHODUJE, proto P = {1,2,3,}.

8 Velikost a rovnost množin Velikost množiny je určena počtem jejich prvků Dvě množiny se rovnají, pokud mají stejný počet totožných prvků Př: = a) A= {a,b,c} B= {b,c,a} b) C = {1,2,3,1} = D= {1,2,3,2} c) E= {a,h,o,j} F= {a,h,h,o,o,j,c} d) X= {&,&,@,ρ,β,α} Y= {&,&,@,ρ}

9 Podmnožiny Mějme dvě množiny: X= {a,b} a Y= {a,b,c} množina Y je větší než množina X má o jeden prvek více. Množina X má totožné prvky jako Y. - Proto množinu X nazveme podmnožinou množiny Y - Zapisujeme X Y x X x Y - Znaménko -ostrá inkluze - Pokud se budou obě množiny rovnat budeme můžeme toto znaménko také použít

10 Můžeme rovněž použít znaménko inkluze Stejné využití jako u ostré inkluze, ovšem definuje pouze danou podmnožinu, množiny se NEMOHOU ROVNAT! X Y ( X Y, X Y Př. a) A= {a,b,c} B= {b,c,a} A= {a,b,c} B= {b,c,a} b) C = {1,2,3,1} D= {1,2,3,2} C = {1,2,3,1} D= {1,2,3,2} c) E= {a,h,o,j} F= {a,h,h,o,o,j,c} E= {a,h,o,j} F= {a,h,h,o,o,j,c} d) X= {&,&,@,ρ,β,α} Y= {&,&,@,ρ} X= {&,&,@,ρ,β,α} Y= {&,&,@,ρ} e) H= Ø K= {β} H= Ø K={β} )

11 Z toho všeho nám vyplývá: množina je vždy svou podmnožinou A A množina není nikdy svou podmnožinou A A Ø A prázdná množina je vždy podmnožinou jakékoliv množiny A Øprázdná množina nemá žádnou podmnožinu

12 Př: P= {a,b,c}, kolik podmnožin z této množiny může získat??? {b}, {c}, {a,b}, {b,c}, {c,a}, {a,b,c} - množina je svou vlastní podmnožinou a Ø P(M) = {P, Ø, {b}, {c}, {a,b}, {b,c}, {c,a}} P(M) potenční množina = množina všech podmnožin 2 m vzorec pro výpočet všech podmnožin

13 Př: Množina M= {,,$, } ; určete počet podmnožin, které můžete z těchto prvků vytvořit. P(M)= {{Ø},{ },{ },{$},{ },{ $},{ },{ }, { $},{ },{$ },{ $},{ },{ $ }, {$ },{ $ }} Nebo také: 2 4 =16 (množina má 4 prvky)

14 Seznam použité literatury WEB: Literatura: PhDr. Ivan BUŠEK, doc. RNDr. Emil CALDA, Matematika pro gymnázia, základní poznatky z matematiky, Prometheus, 1992 Materiál je určen k bezplatnému používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je : Mgr. Ondřej Bachr. Pokud není uvedeno jinak, byly při tvorbě použity volně přístupné internetové zdroje. Autor souhlasí se sdílením vytvořených materiálů a jejich umístěním na