Statistika Statistická jednotka, statistický soubor a statistické znaky Poznámka. (Rozd lení etností jednoho kvantitativního statistického znaku)

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Statistika Statistická jednotka, statistický soubor a statistické znaky Poznámka. (Rozd lení etností jednoho kvantitativního statistického znaku)"

Transkript

1 Statistia Tímto pomem většiou ozačueme: a) statisticé údae a eich ěteré fuce, b) statisticou čiost a istituce, teré tuto čiost provozuí, c) statisticou teorii. Statisticé údae eboli statisticá data sou číselé údae o hromadých evech, t. čísla o růzých sutečostech vysytuících se hromadě. Statistia ve smyslu statisticé čiosti zameá zísáváí statisticých údaů (pozorováím, měřeím, vážeím apod.), eich zpracováí (tříděí, výpočet charateristi, předládáí výsledů) a hodoceí. Statisticá edota, statisticý soubor a statisticé zay Statisticou edotou se rozumí aždý prve souboru, ehož ěteré vlastosti sou předmětem statisticého zišťováí (sou vzhledem ostatím prvům promělivé), zatímco ěteré přesě vymezeé vlastosti sou shodé s ostatími prvy souboru. Statisticou edotou může být člově, zvíře, věc, rostlia, území, událost, období, istituce apod. Právě shodé vlastosti statisticých edote dovoluí vytvářet statisticé soubory. Vlastosti statisticých edote určitého statisticého souboru se sažíme postihout (charaterizovat) statisticými zay. Jsou-li variaty statisticého zau vyádřey čísly, hovoříme o vatitativím statisticém zau, zatímco sou-li vyádřey slovy, mluvíme o valitativím statisticém zau. Pozáma. (Rozděleí četostí edoho vatitativího statisticého zau) Statisticé zay se obvyle ozačuí velými písmey z oce abecedy. Ozačme určitý vatitativí statisticý za X a číselé hodoty statisticých edote statisticého souboru i, de i e pomocý symbol, za terý můžeme dosadit aéoli celé číslo od do. Zameá to, že e číselá hodota X u prví statisticé edoty, číselá hodota X u druhé statisticé edoty,..., e číselá hodota X u -té statisticé edoty. Cvičeí. Statisticým zaem X e počet operací, terými výrobe musí proít. Ve sledovaém podiu se v daém období vyrábí celem = 0 podobých výrobů. U aždého z ich sme zistili počet výrobích operací (číselou hodotu zau X). Dostali sme řadu čísel i :, 3, 3,,, 4, 5, 4, 3, 3 Dosadíme-li za i apř. 5, de o hodotu X u páté statisticé edoty; v příladu 5 =. Ozačme růzé hodoty statisticého zau X, de e pomocý symbol, za terý dosadíme pořadové číslo hodoty zau uspořádaého podle veliosti hodot. Zameá to, že představue eižší hodotu zau X, druhou eižší hodotu zau X,..., představue evyšší hodotu zau X. Celový počet růzých hodot zau X e. Rovost platí e v případě, že počet růzých hodot e steý ao počet statisticých edote, tedy v případě, že aždá edota souboru abývá ié hodoty sledovaého zau. Počet statisticých edote se steou hodotou pro =,,..., azýváme (absolutí) četost hodoty.

2 Cvičeí. Údae z předcházeícího cvičeí uspořádáme do tabuly rozděleí četostí. Počet výrobích operací Počet výrobů V souboru e celem = 0 statisticých edote, a tedy i hodot statisticého zau X, z toho e = 5 růzých hodot zau X. Pro ozačeí součtu se používá velé řecé písmeo sigma Σ, teré čteme ao suma (sumace). Napřílad zápis čteme ao suma, pro od edé do. = Pro operace se sumacemi se často využívaí vztahy: a) Pro zay X a Y platí: b) Pro za X a ostatu c platí: ( ) i i i i i= i= i= ± y = ± y ( i ) i= i= ± c = ± c c = c i i= i= c) Pro za X, terý abývá ladých hodot, platí: i > i= i= i d) Pro zay X a Y, teré abývaí ladých hodot, platí: y > y i i i i i= i= i= Přílad. Hodoty statisticých zaů X a Y sou uspořádáy do tabuly. Na těchto údaích ověřte uvedeé vztahy mezi sumacemi, estliže ostata c = 3. i i y i i i

3 Itervalové rozděleí četostí V ěterých případech, dy e rozsah souboru a počet variat vatitativího statisticého zau velý, můžeme zedodušit rozděleí četostí záměrým zaedbáím malých rozdílů mezi hodotami zau. Při tomto uspořádáí údaů rozdělíme obor hodot statisticého zau a itervaly (supiy, třídy). Hodoty, teré patří do steého itervalu, považueme za rovoceé a ahrazue e střed itervalu. Počet itervalů by měl odpovídat rozsahu souboru. Např. Sturgesovo pravidlo, podle terého má být počet itervalů přibližě + 3,3log. Cvičeí 3. V podiu e 000 pracovíů, eichž měsíčí příem se pohybue od 50 do Kč. Navrhěte podle Sturgesova pravidla vhodý počet itervalů a formu itervalového rozděleí četostí Podle Sturgesova pravidla by přibližý počet itervalů měl být + 3,3log000 = 0,9. Pro dodržeí požadavu steě velých přímových itervalů bude vhodé uvažovat itervaly po ( ) : = 300 Kč. Taže zísáváme itervalové rozděleí četostí 3

4 Pořadové číslo itervalu Iterval přímu v Kč Střed itervalu ( ) Rozděleí relativích četostí Relativí četost vyadřue podíl četosti určité hodoty (variaty) statisticého zau ebo supiy (itervalu) hodot a součtu četostí všech hodot. Jde tedy o podíl absolutí četostí a rozsahu souboru. Ozačíme-li relativí četost p pro všecha od do, můžeme zapsat p = pro =,,,. Je zřemé, že součet všech relativích četostí p = p + p p = = ( ) =, = protože součet všech absolutích četostí se rová. Pozáma. V prai bývá zvyem ásobit relativí četosti 00, čímž e vyádříme v procetech. Cvičeí 4. Doplňte tabulu z cvičeí o sloupec relativích četostí a o sloupec četostí vyádřeých v procetech. Relativí četosti Absolutí četosti p = 0, 0 0, , , 0 5 0, 0 Součet 0,0 00 Hodoty zau Četosti v procetech 00p Přílad. Při zišťováí počtu ezletilých dětí ve dvaceti domácostech sme dostali výsledy 0, 0,,,,,,,, 0, 0, 0, 3,,,,, 3,,. Uspořádete údae do tabuly rozděleí četostí, vypočítete relativí četosti a vyádřete zastoupeí edotlivých variat statisticého zau v procetech. 4

5 Přílad 3. Navrhěte podle Sturgesova pravidla formu itervalového rozděleí četostí věů u 000 pracovíů. Požadueme, aby edotlivé, itervaly byly steě velé, a víme, že vě pracovíů e v itervalu od 8 do 66 let. Podle Sturgesova pravidla e = + 3,3log 000, taže e třeba věový iterval od 8 do 66 let rozdělit a steě velých itervalů. Jeliož (66 8) : = 4, e vhodé při sestavováí itervalů tvořit věové supiy po čtyřech letech. Přílad 4. Ve třídě e 0 žáů s prospěchem od do,5, 5 žáů s prospěchem od,5 do, žáů s prospěchem od do,5 a 5 žáů s prospěchem od,5 do 3. Sestavte tabulu itervalového rozděleí četostí prospěchu žáů; četosti itervalů prospěchu vyádřete absolutě, relativě a v procetech. Přílad 5. Doplňte itervalové rozděleí četostí z tabuly o relativí četosti itervalů a eich vyádřeí v procetech. Pořadové číslo itervalu Iterval přímu v Kč Počet pracovíů ( ) 5

6 Statisticé charateristiy Statisticý popis rozděleí četostí se soustřeďue především a dvě hlaví vlastosti aždého rozděleí, t. a veliost (polohu) hodot a mělivost (variabilitu) hodot sledovaého statisticého zau. Smyslem statisticých charateristi e umožit srováí dvou ebo více rozděleí četostí. Charateristiy polohy Charateristiy polohy eboli středí hodoty sou čísla, terá umožňuí srovávat úroveň zoumaého evu u dvou ebo více souborů. Pro srováí polohy hodot zau v růzých souborech se ečastěi používaí průměry, eichž výše přímo závisí a veliosti všech hodot. Aritmeticý průměr Aritmeticý průměr zau X e defiová ao podíl součtu hodot (úhru) m a počtu hodot (rozsahu). Aritmeticý průměr se začí ; můžeme zapsat m = = i =. i= Tato vyádřeý aritmeticý průměr se azývá prostý aritmeticý průměr. Vycházíme-li z rozděleí četostí, pa součet edotlivých hodot (úhr) můžeme zapsat Vážeý aritmeticý průměr m... = =. = Dosazeím do vzorce m průměru dostáváme aritmeticý průměr ve formě vážeého aritmeticého = = =. 6

7 Pozáma. Pro využití relativích četostí výpočtu aritmeticého průměru můžeme předchozí vzorec přepsat do tvaru = = p = = de p = sou relativí četosti hodot. Vidíme, že aritmeticý průměr (defiovaý ao podíl úhru m a rozsahu ) můžeme v závislosti a způsobu uspořádáí údaů vypočíst pomocí edoho z ásleduících vzorců: m = = = = p = = = = Cvičeí 5. Máme údae o počtu dětí ve dvaceti domácostech: 0,,,,,,,,, 0, 0, 0, 3, 4,, 0, 0,,,. Vypočítete prostý aritmeticý průměr a po uspořádáí údaů do tabuly rozděleí četostí uažte, že e steému výsledu dodeme i použitím vzorce pro vážeý aritmeticý průměr. Výslede e stále steý, ať vycházíme z absolutích, či relativích četostí. Sečteím všech 0 hodot dostáváme úhr m = 4. Teto součet vyadřue, že ve sledovaých 0 domácostech e celem 4 dětí. Na edu domácost tedy průměrě připadá = 4 =, dětí. 0 Uspořádáím údaů do tabuly rozděleí četostí a doplěím o součiy a p dostáváme tabulu Počet dětí Počet domácostí Počet domácostí relativě p 0 6 0,30 0 0,00 7 0,35 7 0,35 5 0,5 0 0,50 3 0,05 3 0,5 4 0,05 4 0,0 Součet 0,00 4,0 Z tabuly e vidět, že hodota úhru m, vypočítaá ao e což e i součet součiů p z tabuly. 4 = =,, 0, e sutečě 4, taže i yí = p 7

8 Vlastosti aritmeticého průměru. Z defiice aritmeticého průměru vyplývá, že aritmeticý průměr ahrazue hodoty všech prvů ta, že se ezměí celový úhr hodot zau = Násobíme-li všechy četosti eulovou ostatou, aritmeticý průměr se ezměí. 3. Připočteme-li e všem hodotám statisticého zau ezáporou ostatu, průměr se o tuto ostatu zvětší. Podobě e možé rozšířit tuto vlastost a odečteí ostaty od všech hodot a a vyásobeí či vyděleí všech hodot eulovou ostatou. Steým způsobem se změí i aritmeticý průměr. 4. Rozdělíme-li soubor hodot i pro i = l,..., do supi, pa průměr celého souboru e vážeým aritmeticým průměrem supiových průměrů, přičemž ao četosti vystupuí počty hodot v edotlivých supiách. Tuto vlastost lze symbolicy zapsat = L = L = de L e počet supi, pořadové číslo supiy, supiy., průměr -té supiy, četost -té Přílad 6. Podle tetu cvičeí 5 ověřte, že přičteme-li e všem hodotám i pro i =,,..., 0 ostatu c =, zvětší se i aritmeticý průměr o. Přílad 7. Z rozděleí četostí v ásleduící tabulce vypočítete edříve aritmeticý průměr a potom 3000 aritmeticý průměr ové proměé y = ; porovete průměry a y Součet 000 8

9 Přílad 8. V prví supiě sou hodoty statisticého zau,, 3, ve druhé supiě, 3, 5, 6 a ve třetí supiě 4, 5, 6. Vypočítete průměry v edotlivých supiách a uažte, že průměr všech tří supi dohromady e vážeý aritmeticý průměr supiových průměrů. 9

10 Pozáma. Přes velmi časté použití aritmeticého průměru emusí vždy vhodě zastupovat úroveň statisticého zau. Méě vhodý e především v situacích, dy hodoty zau esou rovoměrě rozložeé olem aritmeticého průměru, a v případech, dy v souboru sou etrémě ízé ebo vysoé hodoty. Použití aritmeticého průměru e zcela evhodé, estliže součet hodot sledovaého zau emá věcý smysl. Harmoicý průměr Používá se při výpočtu průměru z poměrých čísel. Harmoicý průměr z eulových hodot statisticého zau e defiová ao podíl rozsahu souboru a součtu převráceých hodot zau: h = = i= i Zápis harmoicého průměru má formu prostého harmoicého průměru. Při uspořádáí údaů do tabuly rozděleí četostí použieme při výpočtu formu vážeého harmoicého průměru. Při zachováí symboliy použieme vzorec = i Harmoicý průměr má ěteré podobé vlastosti ao aritmeticý průměr. h = Cvičeí 6. Dva pracovíci opaovaě prováděí steou výrobí operaci. Prvímu pracovíovi trvá operace miuty, zatímco druhému pracovíovi 6 miut. Ja dlouho trvá průměrě operace? V daém případě součet čísel a 6 postrádá věcý smysl. Je zřemé, že apř. za hodiu provede příslušou operaci prví pracoví 30 rát a druhý pracoví 0 rát. Na aždého z ich průměrě připadá 0 operací za hodiu, což zameá průměrě 3 miuty a provedeí operace. Ke steému výsledu dodeme použitím harmoicého průměru = h = = Cvičeí 7. Údae o výrobě určitého výrobu sou uspořádáy do tabuly. Vypočítete průměré proceto splěí pláu za všechy tři závody dohromady. Závod Splěí pláu (%) Sutečá výroba (usy) Sledovaým statisticým zaem e poměré číslo azvaé proceto splěí pláu. Toto poměré číslo lze symbolicy vyádřit. 0

11 sutečá výroba v usech proceto splěí pláu = 00. Zameá to, že průměré pláovaá výroba v usech proceto splěí pláu e 00ásobe podílu součtu sutečé a pláovaé výroby. Doplímeli tabulu vypočítáím pláovaé výroby sutečá výroba pláovaá výroba = 00, splěí pláu pláovaá výroba v usech můžeme vypočítat průměré proceto splěí pláu ,5 000 =. Ke steému výsledu dodeme použitím vážeého harmoicého průměru, de ao četosti vystupuí sutečé obemy výroby edotlivých závodů. Geometricý průměr Geometricý průměr z ladých hodot zau e defiová tato: =... g Cvičeí 8. V roce 980 byla spotřeba určitého druhu zboží dvarát vyšší ež spotřeba v roce 979. V roce 98 byla spotřeba steého druhu zboží šestrát vyšší ež v roce 980. Kolirát průměrě ročě stoupla spotřeba tohoto druhu zboží? V daém případě má smysl pouze souči čísel a 6. Vyadřue, olirát vzrostla spotřeba celem, t. v roce 98 proti rou 979. Průměrý růst spotřeby charaterizue geometricý průměr = 6 3, 464. g Modus Modus e ečetěší hodota statisticého souboru; e to hodota (variata) zau, terá se v souboru ečastěi vysytue. Pozáma. Nědy říáme, že aritmeticý průměr e dobrým představitelem polohy statisticého zau, estliže se příliš eliší od ečetěší hodoty (modu). Mediá Mediá e prostředí hodota statisticého souboru, terý e uspořádá podle veliosti hodot statisticého zau. Při lichém počtu hodot e mediá edozačě urče, zatímco při sudém de o prostý aritmeticý průměr ze dvou prostředích hodot.

12 Cvičeí 9. Údae o počtu zamešaých hodi v ursu agličtiy sou uspořádáy do tabuly. Počet zmešaých hodi Počet žáů Aritmeticý průměr zamešaých hodi e: = =,4 5 Uvědomíme-li si,že dvaáct žáů z patácti má méě ež zamešaé hodiy, potom průměr,4 elze považovat za vhodou charateristiu úrově. Výsyt etrémí hodoty v souboru (9 zamešaých hodi u žáa) zreslue hodotu aritmeticého průměru. V daé situaci e vhoděší charateristiou modus ebo mediá. Nečastěší e zamešaá hodia ( žáů) a rověž prostředí hodota e, a e lépe vidět z rozepsaé řady edotlivých hodot 0,,,,,,,,,,,, 3, 3, 9. Prostředí e osmá hodota, což e eda zamešaá hodia. Jeda zamešaá hodia lépe charaterizue úroveň souboru ež aritmeticý průměr,4 hodiy. Přílad 9. Ze 44 žáů e ve věu 7 let, 30 ve věu 8 let a ve věu 9 let. Jaý e průměrý vě žáů? Přílad 0. V prví třídě asbíral ede žá průměrě 0 g papíru, ve druhé třídě 30 g a ve třetí 40 g. Koli ilogramů papíru sebral průměrě ede žá za všechy tři třídy dohromady, estliže ve druhé třídě byl steý počet žáů ao v prví třídě, ale ve třetí třídě byla polovia žáů ve srováí s prví i druhou třídou?

13 Přílad. Ja se změí průměr, zvýšíme-li hodotu aždého prvu souboru o 0 %? Přílad. Z 0 dělíů ich 0 provádí určitou práci za miuty, 5 za 5 miut a 5 za 0 miut. Koli miut připadá průměrě a dělía? Přílad 3. Za 5 let má vzrůst obem výroby o 50 %. O oli procet musí průměrě ročě růst? Přílad 4. Pro rozděleí četostí v tabulce určete modus a mediá Součet 0 3

14 Charateristiy variability Kromě polohy sledovaých zaů e třeba zoumat i to, a se edotlivé hodoty liší od míry polohy i a se liší vzáemě. Odlišost hodot příslušého zau azýváme mělivost ebo též variabilita. Zcela růzé řady hodot či zcela růzá rozděleí četostí mohou mít steé míry polohy. Napřílad řada 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9 má zcela steý průměr, mediá i modus ao řada,,, 8, 8, 8, 8, 5, 5, 5, i dyž se tyto dvě řady od sebe výrazě liší právě variabilitou. Lze říci, že čím větší e variabilita sledovaého zau, tím méě reprezetativí e charateristia polohy. Charateristiy se používaí především při srováváí variability dvou ebo více zaů růzé polohy ebo v růzých měřicích edotách. Nepoužívaěší charateristiou variability e průměrá čtvercová odchyla od aritmeticého průměru azývaá rozptyl. Rozptyl Rozptyl statisticého zau X e v prosté formě defiová: ( ) i= s = Při uspořádáí údaů do tabuly rozděleí četostí používáme pro výpočet vážeou formu rozptylu s = ( ) = i Pozáma. V ěterých případech e při výpočtu výhoděší použít výpočetí tvar rozptylu v prosté formě ebo ve vážeé formě s s = i i= = = = Pozáma. Nědy se rátce říá, že rozptyl e průměr čtverců míus čtverec průměru = s =. Něoho může apadout, proč ao míru variability doporučueme průměr druhých moci odchyle od aritmeticého průměru. Je vša třeba mít a mysli, že průměrá odchyla od průměru e vždy ulová, protože součet odchyle od aritmeticého průměru ( i ) = 0. i= Určitou možostí e erozlišovat záporé a ladé odchyly od průměru a defiovat.. 4

15 průměrou absolutí odchylu: d i i= = = = Zušeosti s používáím charateristi variability, aož i matematicé vlastosti těchto charateristi uazuí, že průměrá čtvercová odchyla (rozptyl) e užitečěší charateristiou ež průměrá absolutí odchyla. Směrodatá odchyla Kromě průměré čtvercové odchyly se často používá i tzv. směrodatá odchyla s, terá e druhou odmociou z rozptylu. Iterpretace směrodaté odchyly e velmi blízá iterpretaci průměré odchyly. Variačí oeficiet Jao relativí míra variability se ečastěi používá variačí oeficiet, terý e podílem směrodaté odchyly a aritmeticého průměru: s v = Variačí oeficiet se používá především pro srováí variability dvou ebo více souborů v růzých měřicích edotách ebo růzé úrově. Variačí rozpětí Doplňuícími charateristiami variability sou variačí rozpětí R = ma mi Cvičeí 0. Pro řadu čísel,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0 vypočítete variačí rozpětí, průměrou absolutí odchylu, rozptyl a směrodatou odchylu, variačí oeficiet. Doažte, že součet odchyle edotlivých hodot od aritmeticého průměru e ula. Úhr e m = l = 55, taže aritmeticý průměr e 55 = = 5,5. Odchyly od aritmeticého průměru sou: 0 i : 4,5 3,5,5,5 0,5 0,5,5,5 3,5 4,5 Je vidět, že součet těchto odchyle e ula a že součet absolutích odchyle od aritmeticého průměru e 5, taže průměrá absolutí odchyla e 5 d = =,5. 0 Variačí rozpětí 0 = 9. Rozptyl můžeme vypočítat ao součet čtvercových odchyle od průměru děleý eich počtem : 0,5 +, 5 + 6,5 +, 5 + 0, 5 + 0, 5 +,5 + 6, 5 +,5 + 0, 5 s = = 8, 5 0 Jiou možostí výpočtu e výpočetí tvar, podle terého e : ,5 s = = 38,5 30,5 = 8, 5 0 = 5

16 Směrodatá odchyla e s = 8, 5,87. Variačí oeficiet e 8, 5 v 0,5. 5,5 Cvičeí. Na záladě údaů tabuly vypočítete směrodatou odchylu počtu zmetů. Počet zmetů Počet případů Celem 00 Nedříve vypočítáme rozptyl podle výpočetího tvaru = = s. Potřebé výpočty sou uspořádáy do tabuly Potom taže směrodatá odchyla e =, , s s =,554,598. Cvičeí. Porovete difereciaci mezd dvou podiů a záladě údaů v tabulce. Podi A Podi B hodiová mzda v Kč počet pracovíů měsíčí mzda v Kč počet pracovíů Celem 00 Celem 30 6

17 K porováí difereciace (variability) mezd vyádřeých v růzých edotách (hodiové a měsíčí mzdy) se elépe hodí variačí oeficiet. Vypočítáme edříve průměry a rozptyly. Výpočty a mezivýsledy sou uspořádáy do tabuly Podi A Podi B Pro podi A e rozptyl z čehož variačí oeficiet e Pro podi B e rozptyl = = 3,75, s 3,75 v = 0,39., s = , z čehož variačí oeficiet e v = 0,8. 78, 6 Variabilita mezd v podiu B e ižší ež v podiu A. Cvičeí 3. Měřicí přístro se při 0 měřeích dopustil ásleduících odchyle od sutečé hodoty parametru pozorovaé součásty. 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,00 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,00 0,03 0,0 0,03 0,0 0,0 0,0 0,00 0,0 Na záladě hodoty aritmeticého průměru chyby měřeí zhodoťme, zda chyby přístroe maí áhodý charater, ebo e můžeme považovat spíše za systematicé. Podle veliosti směrodaté odchyly chyb měřeí posuďme přesost měřícího přístroe. Odchyly aměřeých hodot od sutečé hodoty parametru součásty považueme za statisticý za X. Napozorovaé hodoty uspořádáme do tabuly rozděleí četostí. 7

18 Chyby měřeí Počet případů i i 0,03 0,0 3 0,0 3 0,00 3 0,0 7 0,0 0,03 Celem 0 Aritmeticý průměr se vypočítá ao podíl součtu edotlivých hodot a eich počtu, tedy ao 0,0 = = 0,00. 0 Ke steému výsledu bychom dospěli výpočtem podílu součtu součiů i i a počtu pozorováí. Přesvědčte se o tom. Tabula rozděleí četostí i hodota aritmeticého průměru azačue tedeci elimiaci ladých a záporých chyb měřeí. Počet měřeí eí příliš velý, ale i ta výsledy maí spíše charater áhodých chyb ež systematicých. Směrodatá odchyla hodot e odmociou z rozptylu těchto hodot. Rozptyl se vypočítá podle vzorce ve vážeém tvaru 7 ( ) = = 7 = 0, = = 0, ebo podle téhož vzorce upraveého do výpočetího tvaru 7 = 0,0048 = 7 0,00 = 0, Hledaá směrodatá odchyla tedy e 0, , Iterpretueme-li výslede ao průměrou vzdáleost pozorovaých hodot od sutečé hodoty parametru, ta zároveň hodotíme i přesost měřícího přístroe. Přílad 5. Pro řadu čísel, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 7, 8 vypočítete variačí rozpětí, rozptyl, směrodatou a průměrou absolutí odchylu. 8

19 Přílad 6. Podle údaů v tabulce vypočítete rozptyl. Hodoty zau Četosti Přílad 7. Ve třídě e 30 % žáů bez sourozece, 60 % žáů s edím sourozecem a 0 % žáů se dvěma sourozeci. Vypočítete směrodatou odchylu počtu sourozeců ve třídě. 9

20 Přílad 8. Ja se změí rozptyl, dyž aždou hodotu statisticého zau zvětšíme o ladou ostatu c? Přílad 9. Ja se změí rozptyl, dyž aždou hodotu statisticého zau zvětšíme o 0 %? Přílad 0. Porovete variabilitu řady hodot,, 3, 4, 5 s variabilitou řady hodot 00, 00, 300, 400,

ZÁKLADY POPISNÉ STATISTIKY

ZÁKLADY POPISNÉ STATISTIKY ZÁKLADY POPISNÉ STATISTIKY Statitia věda o metodách běru, zpracováí a vyhodocováí tatiticých údaů. Statiticé údae ou apř. údae o přirozeém přírůtu či migraci obyvateltva, obemu výroby průmylových podiů,

Více

Statistika je vědní obor zabývající se zkoumáním jevů, které mají hromadný charakter.

Statistika je vědní obor zabývající se zkoumáním jevů, které mají hromadný charakter. Statistika Cíle: Chápat pomy statistický soubor, rozsah souboru, statistická edotka, statistický zak, umět sestavit tabulku rozděleí četostí, umět zázorit spoicový diagram a sloupcový diagram / kruhový

Více

STATISTIKA. Základní pojmy

STATISTIKA. Základní pojmy Statistia /7 STATISTIKA Záladí pojmy Statisticý soubor oečá eprázdá možia M zoumaých objetů schromážděých a záladě toho, že mají jisté společé vlastosti záladí statisticý soubor soubor všech v daé situaci

Více

P2: Statistické zpracování dat

P2: Statistické zpracování dat P: Statistické zpracováí dat Úvodem - Statistika: věda, zabývající se shromažďováím, tříděím a ásledým popisem velkých datových souborů. - Základem statistiky je teorie pravděpodobosti, založeá a popisu

Více

Doc. Ing. Dagmar Blatná, CSc.

Doc. Ing. Dagmar Blatná, CSc. PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Doc. Ig. Dagmar Blatá, CSc. Statsta statstcé údaje o hromadých jevech čost, terá vede zísáí statstcých údajů a jejch zpracováí teore statsty - věda o stavu, vztazích a vývoj

Více

NEPARAMETRICKÉ METODY

NEPARAMETRICKÉ METODY NEPARAMETRICKÉ METODY Jsou to metody, dy předmětem testu hypotézy eí tvrzeí o hodotě parametru ějaého orétího rozděleí, ale ulová hypotéza je formulováa obecěji, apř. jao shoda rozděleí ebo ezávislost

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

Elementární zpracování statistického souboru

Elementární zpracování statistického souboru Elemetárí zpracováí statistického souboru Obsah kapitoly 4. Elemetárí statistické zpracováí - parametrizace vhodými empirickými parametry Studijí cíle Naučit se výsledky měřeí parametrizovat vhodými empirickými

Více

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin 3. Charateristiy a parametry áhodých veliči Úolem této apitoly je zavést pomocý aparát, terým budeme dále popisovat pomocí jedoduchých prostředů áhodé veličiy. Taovýmto aparátem jsou tzv. parametry ebo

Více

8. cvičení 4ST201. Obsah: Neparametrické testy. Chí-kvadrát test dobréshody Kontingenční tabulky Analýza rozptylu (ANOVA) Neparametrické testy

8. cvičení 4ST201. Obsah: Neparametrické testy. Chí-kvadrát test dobréshody Kontingenční tabulky Analýza rozptylu (ANOVA) Neparametrické testy cvičící 8. cvičeí 4ST1 Obsah: Neparametricé testy Chí-vadrát test dobréshody Kotigečí tabuly Aalýza rozptylu (ANOVA) Vysoá šola eoomicá 1 VŠE urz 4ST1 Neparametricé testy Neparametricétesty využíváme,

Více

k(k + 1) = A k + B. s n = n 1 n + 1 = = 3. = ln 2 + ln. 2 + ln

k(k + 1) = A k + B. s n = n 1 n + 1 = = 3. = ln 2 + ln. 2 + ln Číselé řady - řešeé přílady ČÍSELNÉ ŘADY - řešeé přílady A. Součty řad Vzorové přílady:.. Přílad. Určete součet řady + = + 6 + +.... Řešeí: Rozladem -tého čleu řady a parciálí zlomy dostáváme + = + ) =

Více

8. cvičení 4ST201-řešení

8. cvičení 4ST201-řešení cvičící 8. cvičeí 4ST01-řešeí Obsah: Neparametricé testy Chí-vadrát test dobréshody Kotigečí tabuly Aalýza rozptylu (ANOVA) Vysoá šola eoomicá 1 VŠE urz 4ST01 Neparametricé testy Neparametricétesty využíváme,

Více

8.1.2 Vzorec pro n-tý člen

8.1.2 Vzorec pro n-tý člen 8.. Vzorec pro -tý čle Předpolady: 80 Pedagogicá pozáma: Myslím, že jde o jedu z velmi pěých hodi. Přílady a hledáí dalších čleů posloupostí a a objevováí vzorců pro -tý čle do začé míry odpovídají typicým

Více

Budeme pokračovat v nahrazování funkce f(x) v okolí bodu a polynomy, tj. hledat vhodné konstanty c n tak, aby bylo pro malá x a. = f (a), f(x) f(a)

Budeme pokračovat v nahrazování funkce f(x) v okolí bodu a polynomy, tj. hledat vhodné konstanty c n tak, aby bylo pro malá x a. = f (a), f(x) f(a) Předáša 7 Derivace a difereciály vyšších řádů Budeme poračovat v ahrazováí fuce f(x v oolí bodu a polyomy, tj hledat vhodé ostaty c ta, aby bylo pro malá x a f(x c 0 + c 1 (x a + c 2 (x a 2 + c 3 (x a

Více

STATISTIKA. Statistika se těší pochybnému vyznamenání tím, že je nejvíce nepochopeným vědním oborem. H. Levinson

STATISTIKA. Statistika se těší pochybnému vyznamenání tím, že je nejvíce nepochopeným vědním oborem. H. Levinson STATISTIKA Statistika se těší pochybému vyzameáí tím, že je ejvíce epochopeým vědím oborem. H. Leviso Charakterizace statistického souboru Statistický soubor Prvek souboru Zak prvku kvatitativí teplota,

Více

PE 301 Podniková ekonomika 2. Garant: Eva KISLINGEROVÁ. Téma Metody mezipodnikového srovnávání. Téma 12. Eva Kislingerová

PE 301 Podniková ekonomika 2. Garant: Eva KISLINGEROVÁ. Téma Metody mezipodnikového srovnávání. Téma 12. Eva Kislingerová PE 30 Podiková ekoomika Garat: Eva KISLINGEROVÁ Téma Metody mezipodikového srováváí Eva Kisligerová Téma Eva Kisligerová Vysoká škola ekoomická v Praze 003 - Mezipodikové srováváí Poprvé 956- koferece

Více

Národní informační středisko pro podporu kvality

Národní informační středisko pro podporu kvality Národí iformačí střediso pro podporu vality Problémy s uazateli způsobilosti a výoosti v praxi Dr.Jiří Michále, CSc. Ústav teorie iformace a automatizace AVČR Uazatel způsobilosti C p Předpolady: ormálí

Více

Pro statistické šetření si zvolte si statistický soubor např. všichni žáci třídy (několika tříd, školy apod.).

Pro statistické šetření si zvolte si statistický soubor např. všichni žáci třídy (několika tříd, školy apod.). STATISTIKA Statistické šetřeí Proveďte a vyhodoťte statistické šetřeí:. Zvolte si statistický soubor. 2. Zvolte si určitý zak (zaky), které budete vyhodocovat. 3. Určete absolutí a relativí četosti zaků,

Více

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor 8. Základy statistiky 7. ročík - 8. Základy statistiky Statistika je vědí obor, který se zabývá zpracováím hromadých jevů. Tvoří základ pro řadu procesů řízeí, rozhodováí a orgaizováí, protoţe a základě

Více

8.1.2 Vzorec pro n-tý člen

8.1.2 Vzorec pro n-tý člen 8 Vzorec pro -tý čle Předpolady: 80 Pedagogicá pozáma: Přílady a hledáí dalších čleů posloupostí a a objevováí vzorců pro -tý čle do začé míry odpovídají typicým příladům z IQ testů, teré studeti zají

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA SP esty dobré shody PRAVDĚPODOBNOS A SAISIKA Lbor Žá SP esty dobré shody Lbor Žá Přpomeutí - estováí hypotéz o rozděleí Ch-vadrát test Chí-vadrát testem terý e založe a tříděém statstcém souboru. SP esty

Více

0. 4b) 4) Je dán úhel 3450. Urči jeho základní velikost a převeď ji na radiány. 2b) Jasný Q Q ZK T D ZNÁMKA. 1. pololetí 2 3 1 2 2 3 5 2 3 1 1

0. 4b) 4) Je dán úhel 3450. Urči jeho základní velikost a převeď ji na radiány. 2b) Jasný Q Q ZK T D ZNÁMKA. 1. pololetí 2 3 1 2 2 3 5 2 3 1 1 ) Urči záladí veliost úhlu v radiáech, víš-li, že platí: a) si cos 0. b) cos, Opravá zouša z matematiy 3SD (druhé pololetí) c) cotg 3 5b) ) Na možiě R řeš rovici cos cos 0. 4b) 3) Vzdáleost bodů AB elze

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT 2 IDENIFIKACE H-MAICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNO omáš Novotý ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ ECHNICKÉ V PRAZE Faulta eletrotechicá Katedra eletroeergetiy. Úvod Metody založeé a loalizaci poruch pomocí H-matic

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

Závislost slovních znaků

Závislost slovních znaků Závislost slovích zaků Závislost slovích (kvalitativích) zaků Obměy slovího zaku Alterativí zaky Možé zaky Tříděí věcé sloví řady: seřazeí obmě je subjektiví záležitostí (podle abecedy), možé i objektiví

Více

STATISTIKA. pracujeme pouze s r hodnotami x. má svou absolutní četnost. n ) udává, jaká část souboru má hodnotu znaku

STATISTIKA. pracujeme pouze s r hodnotami x. má svou absolutní četnost. n ) udává, jaká část souboru má hodnotu znaku STATISTIKA. Základí pomy věda o metodách sběru, zpracováí a vyhodocováí statistických údaů. Zkoumá společeské, přírodí, techické a ié evy vždy a dostatečě rozsáhlém souboru údaů. Matematická statistika

Více

1. Rozdělení četností a grafické znázornění Předpokládejme, že při statistickém šetření nás zajímá jediný statistický znak x, který nabývá

1. Rozdělení četností a grafické znázornění Předpokládejme, že při statistickém šetření nás zajímá jediný statistický znak x, který nabývá Statitická šetřeí a zpracováí dat Statitika e věda o metodách běru, zpracováí a vyhodocováí tatitických údaů. Statitika zkoumá polečeké, přírodí, techické a. evy vždy a dotatečě rozáhlém ouboru údaů. Matematická

Více

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Statistika Statistické fukce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Základí pojmy tabulkových kalkulátorů Cílem eí vyložit pojmy tabulkových kalkulátorů, ale je defiovat pojmy vyskytující se

Více

10.2 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR

10.2 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty Artmetcý průměr vážeý ze tříděí Aleš Drobí straa 0 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR Výzam a užtí vážeého artmetcého průměru uážeme a ásledujících příladech Přílad 0 Ve frmě Gama Blatá máme soubor

Více

EKONOMETRIE 9. přednáška Zobecněný lineární regresní model

EKONOMETRIE 9. přednáška Zobecněný lineární regresní model EKONOMETRIE 9. předáška Zobecěý lieárí regresí model Porušeí základích podmíek klasického modelu Metoda zobecěých emeších čtverců Jestliže sou porušey ěkteré podmíky klasického modelu. E(u),. E (uu`) σ

Více

Přednáška č. 2 náhodné veličiny

Přednáška č. 2 náhodné veličiny Předáša č. áhodé velčy Pozámy záladím pojmům z počtu pravděpodobost Pozáma 1: Př výpočtu pravděpodobost áhodého jevu dle lascé defce je uté věovat pozorost způsobu formulace vybraého jevu. V ásledující

Více

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů Odhady parametrů 1 Odhady parametrů Na statistický soubor (x 1,..., x, který dostaeme statistickým šetřeím, se můžeme dívat jako a výběrový soubor získaý realizací áhodého výběru z áhodé veličiy X. Obdobě:

Více

2 Diferenciální počet funkcí více reálných proměnných

2 Diferenciální počet funkcí více reálných proměnných - 6 - Difereciálí počet fucí více proměých Difereciálí počet fucí více reálých proměých 1 Spoitost, limity a parciálí derivace Fuce více reálých proměých Defiice Pod reálou fucí reálých proměých rozumíme

Více

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností 4.2 Elemetárí statstcké zpracováí Výsledkem statstckého zjšťováí (. etapa statstcké čost) jsou euspořádaá, epřehledá data. Proto 2. etapa statstcké čost zpracováí, začíá většou jejch utříděím, zpřehleděím.

Více

Mod(x) = 2, Med(x) = = 2

Mod(x) = 2, Med(x) = = 2 Pracoví list č.. Při zjišťováí počtu ezletilých dětí ve třiceti vybraých rodiách byly získáy tyto výsledky:,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,. Uspořádejte získaé údaje do tabulky rozděleí četostí a vyjádřete

Více

Soustava momentů. k s. Je-li tedy ve vzorci obecného momentu s = 1, získáme vzorec aritmetického průměru.

Soustava momentů. k s. Je-li tedy ve vzorci obecného momentu s = 1, získáme vzorec aritmetického průměru. Soutava mometů Momety (Obecé, cetrálí a ormovaé) Do ytému mometových charatert patří ty ejdůležtější artmetcý průměr (mometová míra úrově) a rozptyl (mometová úroveň varablty). Obecý momet -tého tupě:

Více

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte: 1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí

Více

1 Popis statistických dat. 1.1 Popis nominálních a ordinálních znaků

1 Popis statistických dat. 1.1 Popis nominálních a ordinálních znaků 1 Pops statstcých dat 1.1 Pops omálích a ordálích zaů K zobrazeí rozděleí hodot omálích ebo ordálích zaů lze použít tabulu ebo graf rozděleí četostí. Tuto formu zobrazeí lze dooce použít pro číselé zay,

Více

České vysoké učení technické v Praze. Fakulta dopravní. Semestrální práce. Statistika

České vysoké učení technické v Praze. Fakulta dopravní. Semestrální práce. Statistika České vysoké učeí techické v Praze Fakulta dopraví Semestrálí práce Statistika Čekáí vlaku ve staicích a trase Klado Ostrovec Praha Masarykovo ádraží Zouzalová Barbora 2 35 Michálek Tomáš 2 35 sk. 2 35

Více

PRACOVNÍ SEŠIT KOMBINATORIKA, PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. 9. tematický okruh:

PRACOVNÍ SEŠIT KOMBINATORIKA, PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. 9. tematický okruh: Připrav se a státí maturití zoušu z MATEMATIKY důladě, z pohodlí domova a olie PRACOVNÍ SEŠIT 9. tematicý oruh: KOMBINATORIKA, PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA vytvořila: RNDr. Věra Effeberger eperta a olie

Více

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly.

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly. 0. KOMBINATORIKA, PRAVDĚPODOBNOST, STATISTIKA Dovedosti :. Chápat pojem faktoriál a ovládat operace s faktoriály.. Zát defiici kombiačího čísla a základí vlastosti kombiačích čísel. Ovládat jedoduché operace

Více

Statistické charakteristiky (míry)

Statistické charakteristiky (míry) Stattcé charaterty (míry) - hrují formac, obažeou v datech (vyjadřují j v ocetrovaé formě); - charaterzují záladí ryy zoumaého ouboru dat; - umožňují porováváí více ouborů. upy tattcých charatert :. charaterty

Více

n 3 lim 3 1 = lim Je vidět, že posloupnost je neklesající, tedy z Leibnize řada konverguje, ( 1) k 1 k=1

n 3 lim 3 1 = lim Je vidět, že posloupnost je neklesající, tedy z Leibnize řada konverguje, ( 1) k 1 k=1 3. cvičeí Přílady. (a) (b) (c) ( ) ( 3 ) = Otestujeme itu 3 = 3 = = 0. Je vidět, že posloupost je elesající, tedy z Leibize řada overguje, ( ) Řada overguje podle Leibizova ritéria, ebot je zjevě erostoucí.

Více

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti.

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti. 10 Cvičeí 10 Statistický soubor. Náhodý výběr a výběrové statistiky aritmetický průměr, geometrický průměr, výběrový rozptyl,...). Bodové odhady parametrů. Itervalové odhady parametrů. Jedostraé a oboustraé

Více

Pravděpodobnostní model doby setrvání ministra školství ve funkci

Pravděpodobnostní model doby setrvání ministra školství ve funkci Pravděpodobostí model doby setrváí miistra školství ve fukci Základí statistická iferece Data Zdro: http://www.msmt.cz/miisterstvo/miistri-skolstvi-od-roku-848. Ke statistickému zpracováí byla vzata pozorováí

Více

13 Popisná statistika

13 Popisná statistika 13 Popisá statistika 13.1 Jedorozměrý statistický soubor Statistický soubor je možia všech prvků, které jsou předmětem statistického zkoumáí. Každý z prvků je statistickou jedotkou. Prvky tvořící statistický

Více

2.4. INVERZNÍ MATICE

2.4. INVERZNÍ MATICE 24 INVERZNÍ MICE V této kapitole se dozvíte: defiici iverzí matice; základí vlastosti iverzí matice; dvě základí metody výpočtu iverzí matice; defiici celočíselé mociy matice Klíčová slova této kapitoly:

Více

Popisná statistika - zavedení pojmů. 1 Jednorozměrný statistický soubor s kvantitativním znakem

Popisná statistika - zavedení pojmů. 1 Jednorozměrný statistický soubor s kvantitativním znakem Popisá statistika - zavedeí pojmů Popisá statistika - zavedeí pojmů Soubor idividuálích údajů o objektech azýváme základí soubor ebo také populace. Zkoumaé objekty jsou tzv. statistické jedotky a sledujeme

Více

!!! V uvedených vzorcích se vyskytují čísla n a k tato čísla musí být z oboru čísel přirozených.

!!! V uvedených vzorcích se vyskytují čísla n a k tato čísla musí být z oboru čísel přirozených. Kombiatoria Kombiatoria část matematiy, terá se zabývá růzými číselými "ombiacemi". Využití - apř při hledáí počtu možých tipů ve sportce ebo jiých soutěžích hrách, v chemii při spojováí moleul... Záladím

Více

Matematika I, část II

Matematika I, část II 1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího

Více

Lineární regrese ( ) 2

Lineární regrese ( ) 2 Leárí regrese Častým úolem je staoveí vzájemé závslost dvou (č více) fzálích velč a její matematcé vjádřeí. K tomuto účelu se používají růzé regresí metod, pomocí chž hledáme vhodou fuc f (), apromující

Více

7. Odhady populačních průměrů a ostatních parametrů populace

7. Odhady populačních průměrů a ostatních parametrů populace 7. Odhady populačích průměrů a ostatích parametrů populace Jak sme zišťovali v kapitole. e možé pro každou populaci sestroit možství parametrů, které i charakterizue. Pro účely základího pozáí e evýzaměší

Více

6. P o p i s n á s t a t i s t i k a

6. P o p i s n á s t a t i s t i k a 6. P o p i s á s t a t i s t i k a 6.. Pozámka: Při statistickém zkoumáí ás zajímají hromadé jevy a procesy, u kterých zkoumáme zákoitosti, které se projevují u velkého počtu prvků. Prvky zkoumáí azýváme

Více

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů.

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů. Náhodu bychom mohli defiovat jako součet velkého počtu drobých epozaých vlivů. V rámci přírodích věd se setkáváme s pokusy typu za určitých podmíek vždy astae určitý důsledek. Např. jestliže za ormálího

Více

6. KOMBINATORIKA 181. 6.1. Základní pojmy 181 6.1.1. Počítání s faktoriály a kombinačními čísly 182. 6.2. Variace 184. 6.3.

6. KOMBINATORIKA 181. 6.1. Základní pojmy 181 6.1.1. Počítání s faktoriály a kombinačními čísly 182. 6.2. Variace 184. 6.3. Zálady matematiy Kombiatoria. KOMBINATORIKA 8.. Záladí pojmy 8... Počítáí s fatoriály a ombiačími čísly 8.. Variace 8.. Permutace 85.. Kombiace 87.5. Biomicá věta 89 Úlohy samostatému řešeí 9 Výsledy úloh

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 4. KAPITOLA STATISTICKÉ CHARAKTERISTIKY 16.10.2017 23.10.2017 Přehled témat 1. Pravděpodobost (defiice, využití, výpočet pravděpodobostí

Více

Téma 1: Pravděpodobnost

Téma 1: Pravděpodobnost ravděpodobot Téma : ravděpodobot ředáša - ravděpodobot áhodého evu Náhodý pou a áhodý ev Náhodý pou - aždá čot, eíž výlede eí edozačě urče podmíam, za terých probíhá apř hod otou, měřeí dély, běh a 00

Více

FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL

FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - 6. - PRVNÍ DIFERENCIÁL TAYLORŮV ROZVOJ FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL PŘÍKLAD Pomocí věty o prvím difereciálu ukažte že platí přibližá rovost

Více

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují

Více

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE Cíl kapitoly a časová áročost studia V této kapitole se sezámíte s možostmi hodoceí stejorodosti betou železobetoové kostrukce a prakticky provedete jede z možých způsobů

Více

Základní požadavky a pravidla měření

Základní požadavky a pravidla měření Základí požadavky a pravidla měřeí Základí požadavky pro správé měřeí jsou: bezpečost práce teoretické a praktické zalosti získaé přípravou a měřeí přesost a spolehlivost měřeí optimálí orgaizace průběhu

Více

ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU)

ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU) ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU) Základy teorie pravděpodobosti měřeí chyba měřeí Provádíme kvalifikovaý odhad áhodá systematická výsledek ejistota výsledku Základy teorie pravděpodobosti

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor SP Náhodý vektor PRAVDĚPODOBNOS A SAISIKA Náhodý vektor Lbor Žák SP Náhodý vektor Lbor Žák Náhodý vektor Náhodý vektor slouží k popsu výsledku pokusu kdy měříme více údaů o procesu. Před provedeím pokusu

Více

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojního inženýrství. Matematika IV. Semestrální práce

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojního inženýrství. Matematika IV. Semestrální práce VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta troího ižeýrtví Matematika IV Semetrálí práce Zpracoval: Čílo zadáí: 7 Studií kupia: Datum: 8.4. 0 . Při kotrole akoti výrobků byla ledováa odchylka X [mm] eich rozměru

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor SP Náhodý vektor PRAVDĚPODOBNOS A SAISIKA Náhodý vektor SP Náhodý vektor Náhodý vektor Náhodý vektor slouží k popsu výsledku pokusu kdy měříme více údaů o procesu. Před provedeím pokusu eho výsledek a

Více

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2014.

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2014. Ilustratví příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 0. Jsou dáa data výběrového souboru výšky že vz IS/ Učebí materály/ Témata 8, M. Kvaszová. č. výška č. výška 89 5 90 7 57 8 5 58 5 8 9 58 0 8 0 8 8 9 8 8 95

Více

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti 1 Základí statistické zpracováí dat 1.1 Základí pojmy Populace (základí soubor) je soubor objektů (statistických jedotek), který je vymeze jejich výčtem ebo charakterizací jejich vlastostí, může být proto

Více

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor nezávislost, funkce náhodného vektoru

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor nezávislost, funkce náhodného vektoru SP Náhodý vetor ezávislost fuce NV PRAVDĚPODONOST A STATISTIKA Náhodý vetor ezávislost fuce áhodého vetoru Libor Žá Náhodý vetor stochasticá ezávislost Náhodé veličiy... defiovaé a ravděodobostím rostoru

Více

S k l á d á n í s i l

S k l á d á n í s i l S l á d á í s i l Ú o l : Všetřovat rovováhu tří sil, působících a tuhé těleso v jedom bodě. P o t ř e b : Viz sezam v desách u úloh a pracovím stole. Obecá část: Při sládáí soustav ěolia sil působících

Více

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů:

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů: Odhady parametrů polohy a rozptýleí pro často se vyskytující rozděleí dat v laboratoři se vyčíslují podle ásledujících vztahů: a : Laplaceovo (oboustraé expoeciálí rozděleí se vyskytuje v případech, kdy

Více

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo

Více

SPOTŘEBITELSKÝ ÚVĚR. Na začátku provedeme inicializaci proměnných jejich vynulováním příkazem "restart". To oceníme při opakovaném použití dokumentu.

SPOTŘEBITELSKÝ ÚVĚR. Na začátku provedeme inicializaci proměnných jejich vynulováním příkazem restart. To oceníme při opakovaném použití dokumentu. SPOTŘEBITELSKÝ ÚVĚR Úloha 3 - Fiacováí stavebích úprav Rozhodli jsme se pro stavebí úpravy v bytě. Po zhotoveí rozpočt a tyto úpravy jsme zjistili, že ám chybí ještě 30 000,-Kč. Máme možost si tto část

Více

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková Základy statistiky Zpracováí pokusých dat Praktické příklady Kristia Somerlíková Data v biologii Zak ebo skupia zaků popisuje přírodí jevy, úlohou výzkumíka je vybrat takovou skupiu zaků, které charakterizují

Více

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2013.

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2013. Ilustratví příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 0. Jsou dáa data výběrového souboru výšky že vz IS/ Učebí materály/ Témata 8, M. Kvaszová. č. výška č. výška 89 5 90 7 57 8 5 58 5 8 9 58 0 8 0 8 8 9 8 8 95

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Dgtálí učebí materál Číslo projetu CZ..07/.5.00/34.080 Název projetu Zvaltěí výuy prostředctvím ICT Číslo a ázev šabloy líčové atvty III/ Iovace a zvaltěí výuy prostředctvím ICT Příjemce podpory Gymázum,

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor nezávislost, funkce náhodného vektoru

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor nezávislost, funkce náhodného vektoru SP Náhodý vetor ezávislost fuce NV PRAVDĚPODONOST A STATISTIKA Náhodý vetor ezávislost fuce áhodého vetoru Libor Žá Náhodý vetor stochasticá ezávislost Náhodé veličiy... defiovaé a ravděodobostím rostoru

Více

Iterační výpočty projekt č. 2

Iterační výpočty projekt č. 2 Dokumetace k projektu pro předměty IZP a IUS Iteračí výpočty projekt č. 5..007 Autor: Václav Uhlíř, xuhlir04@stud.fit.vutbr.cz Fakulta Iformačích Techologii Vysoké Učeí Techické v Brě Obsah. Úvodí defiice.....

Více

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde POLYNOM Zákldí pojmy Polyomem stupě zveme fukci tvru y ( L +, P + + + + kde,,, R,, N Čísl,,, se zývjí koeficiety polyomu Číslo c zveme kořeem polyomu P(, je-li P(c výrz (-c pk zýváme kořeový čiitel Vlstosti

Více

1. Přirozená topologie v R n

1. Přirozená topologie v R n MATEMATICKÁ ANALÝZA III předášy M Krupy Zií seestr 999/ Přirozeá topologie v R V prví části tohoto tetu zavádíe přirozeou topologii a ožiě R ejprve jao topologii orovaého prostoru a pa jao topologii součiu

Více

8. Zákony velkých čísel

8. Zákony velkých čísel 8 Zákoy velkých čísel V této část budeme studovat velm často užívaá tvrzeí o součtech posloupost áhodých velč Nedříve budeme vyšetřovat tvrzeí azývaá souhrě ako slabé zákoy velkých čísel Veškeré úvahy

Více

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - - DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ ÚVODNÍ POZNÁMKY I derivace podobě jako limity můžeme počítat ěkolikerým způsobem a to kokrétě pomocí: defiice vět o algebře

Více

1 ROVNOMĚRNOST BETONU KONSTRUKCE

1 ROVNOMĚRNOST BETONU KONSTRUKCE ROVNOMĚRNOST BETONU KONSTRUKCE Cíl kapitoly a časová áročost studia V této kapitole se sezámíte s možostmi hodoceí rovoměrosti betou železobetoové kostrukce a prakticky provedete jede z možých způsobů

Více

STATISTIKA PRO EKONOMY

STATISTIKA PRO EKONOMY EDICE UČEBNÍCH TEXTŮ STATISTIKA PRO EKONOMY EDUARD SOUČEK V Y S O K Á Š K O L A E K O N O M I E A M A N A G E M E N T U Eduard Souček Statistika pro ekoomy UČEBNÍ TEXT VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMIE A MANAGEMENTU

Více

1 PSE Definice základních pojmů. (ω je elementární jev: A ω (A ω) nebo (A );

1 PSE Definice základních pojmů. (ω je elementární jev: A ω (A ω) nebo (A ); 1 PSE 1 Náhodý pokus, áhodý jev. Operace s jevy. Defiice pravděpodobosti jevu, vlastosti ppsti. Klasická defiice pravděpodobosti a její použití, základí kombiatorické vzorce. 1.1 Teoretická část 1.1.1

Více

Odhady parametrů základního souboru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Odhady parametrů základního souboru. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Odhady parametrů základího souboru Ig. Mchal Dorda, Ph.D. Úvodí pozámky Základí soubor můžeme popsat jeho parametry, apř. středí hodota μ, rozptyl σ atd. Př praktckých úlohách ovšem zpravdla elze vyšetřt

Více

7 VYUŽITÍ METOD OPERAČNÍ ANALÝZY V TECHNOLOGII DOPRAVY

7 VYUŽITÍ METOD OPERAČNÍ ANALÝZY V TECHNOLOGII DOPRAVY 7 VYUŽITÍ METOD OERAČNÍ ANALÝZY V TECHNOLOGII DORAVY Operačí aalýza jao jeda z oblatí apliovaé matematiy achází vé široé uplatěí v průmylových a eoomicých apliacích. Jedím z oborů, ve teré hraje ezatupitelou

Více

vají statistické metody v biomedicíně

vají statistické metody v biomedicíně Statistika v biomedicísk ském m výzkumu a ve zdravotictví Prof. RNDr. Jaa Zvárov rová,, DrSc. EuroMISE Cetrum Ústav iformatiky AV ČR R v.v.i. Proč se používaj vají statistické metody v biomedicíě Biomedicísk

Více

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt Medelova uverzta v Brě Statstka projekt Vypracoval: Marek Hučík Obsah 1. Úvod... 3. Skupové tříděí... 3 o Data:... 3 o Počet hodot:... 3 o Varačí rozpětí:... 3 o Počet tříd:... 4 o Šířka tervalu:... 4

Více

vají statistické metody v biomedicíně Literatura Statistika v biomedicínsk nském výzkumu a ve zdravotnictví

vají statistické metody v biomedicíně Literatura Statistika v biomedicínsk nském výzkumu a ve zdravotnictví Statistika v biomedicísk ském výzkumu a ve zdravotictví Prof. RNDr. Jaa Zvárov rová,, DrSc. EuroMISE Cetrum Ústav iformatiky AV ČR R v.v.i. Literatura Edice Biomedicísk ská statistika vydáva vaá a Uiverzitě

Více

Diskrétní Fourierova transformace

Diskrétní Fourierova transformace Disrétí Fourierova trasformace Záladí idea trasformace x Trasformace Zpracováí v časové oblasti Zpracováí v trasform. oblasti x Iverzí Trasformace Spojitá Fourierova trasformace f j πft x t e dt Disrétí

Více

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina;

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina; . Náhodá veličia Většia áhodých pokusů koaých v přírodích ebo společeských vědách má iterpretaci pomocí reálé hodoty. Při takovýchto dějích přiřazujeme tedy reálá čísla áhodým jevům. Proto je důležité

Více

Sekvenční logické obvody(lso)

Sekvenční logické obvody(lso) Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách

Více

Regrese. Aproximace metodou nejmenších čtverců ( ) 1 ( ) v n. v i. v 1. v 2. y i. y n. y 1 y 2. x 1 x 2 x i. x n

Regrese. Aproximace metodou nejmenších čtverců ( ) 1 ( ) v n. v i. v 1. v 2. y i. y n. y 1 y 2. x 1 x 2 x i. x n Regrese Aproxmace metodou ejmeších čtverců v v ( ) = f x v v x x x x Je dáo bodů [x, ], =,,, předpoládáme závslost a x a chceme ajít fuc, terá vsthuje teto tred - Sažíme se proložt fuc = f x ta, ab v =

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Bodové a itervalové odhady Nechť X je áhodá proměá, která má distribučí fukci F(x, ϑ). Předpokládejme, že záme tvar distribučí fukce (víme jaké má rozděleí) a ezáme parametr

Více

3. cvičení 4ST201 - řešení

3. cvičení 4ST201 - řešení cvčící Ig. Jaa Feclová 3. cvčeí 4ST0 - řešeí Obah: Míry varablty Rozptyl Směrodatá odchyla Varačí oefcet Rozlad rozptylu a mezupovou a vtroupovou varabltu Změa rozptylu Vyoá šola eoomcá VŠE urz 4ST0 Míry

Více

6. Posloupnosti a jejich limity, řady

6. Posloupnosti a jejich limity, řady Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme

Více

Znegujte následující výroky a rozhodněte, jestli platí výrok, nebo jeho negace:

Znegujte následující výroky a rozhodněte, jestli platí výrok, nebo jeho negace: . cvičeí Příklady a matematickou idukci Dokažte:.! . Návody:. + +. + i i i i + + 4. + + + + + + + + Operace s možiami.

Více