Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6"

Transkript

1 Příklad 1 Vyšetřete průběh funkce: a) = b) = c) = d) =ln1+ e) =ln f) = Poznámka K vyšetřování průběhu funkce použijeme postup uvedený v zadání. Některé kroky nejsou již tak detailní, všechny by ale měly být dostatečně jasné. Řešení 1a Budeme vyšetřovat průběh funkce: = a) Určíme definiční obor funkce. Oba činitelé v zápisu funkce jsou definovány v celém oboru reálných čísel. Jejich součin je tedy v tomto oboru definován rovněž. Odtud = b) Rozhodneme o spojitosti funkce, případně stanovíme body nespojitosti. Oba činitelé v zápisu funkce jsou spojité v celém oboru reálných čísel. Jejich součin je tedy v tomto oboru spojitý rovněž. c) Určíme ity v krajních bodech.(ve druhém případě s využitím l Hospitalova pravidla) =+ 1 = = = 1 =0 d) Rozhodneme, zda je funkce sudá nebo lichá, příp. periodická = Tento výraz se nerovná ani, ani. Naše funkce tedy není ani sudá, ani lichá. e) Nalezneme průsečíky se souřadnicovými osami Budeme řešit rovnici = =0. Ta má jediné řešení =0. Graf funkce protíná osu v bodu =0. Současně 0=0. Graf funkce protíná osu rovněž v bodu =0. Graf funkce má tedy jediný průsečík s osami a tím je bod 0,0. f) Určíme maximální intervaly, na nichž je funkce kladná, respektive záporná Nejprve si uvědomíme, že funkce je vždy kladná. Řešíme nerovnici = >0. Ta má řešení 0,. Pro kladné argumenty je tedy naše funkce kladná. Řešíme nerovnici = <0. Ta má řešení,0. Pro záporné argumenty je tedy naše funkce záporná. g) Vypočítáme první derivaci funkce a určíme 1

2 = = + = + =1+ = h) Určíme maximální intervaly monotonie a stanovíme lokální extrémy funkce Lokální extrémy nalezneme řešením rovnice =1+ =0. Ta má jediné řešení = 1. Hodnota funkce v tomto bodu je 1= 1 =. Souřadnice bodu s tímto extrémem tedy jsou 1,. Funkce je rostoucí pro všechna, pro která platí =1+ >0. Tato nerovnice má řešení 1,+. Funkce je klesající pro všechna, pro která platí =1+ <0. Tato nerovnice má řešení, 1. i) Vypočítáme druhou derivaci funkce a určíme = =1+ = = + + =2+ = j) Určíme maximální intervaly, kde je funkce konvexní, resp. konkávní, a stanovíme inflexní body funkce Inflexní body nalezneme řešením rovnice =2+ =0. Ta má jediné řešení = 2. Hodnota funkce v tomto bodu je 2= 2 = 2. Souřadnice bodu s tímto extrémem tedy jsou 2, 2. Směrnice inflexní tečny =+ v tomto bodě má hodnotu = 2=1+ 2 = Posunutí se počítá z hodnoty funkce, která je v tomto bodě stejná, jako hodnota tečny, neboli =+. Odtud = 2 2= 4 Inflexní tečna tedy má rovnici = 4 Funkce je konvexní pro všechna, pro která platí =2+ >0. Tato nerovnice má řešení 2,+. Funkce je konkávní pro všechna, pro která platí =2+ <0. Tato nerovnice má řešení, 2. k) Nalezneme globální extrémy funkce na celém jejím definičním oboru (pokud existují) Funkce má jediný lokální extrém. K tomuto extrému funkce klesá, od něj stoupá. Tento lokální extrém je tedy i extrémem globálním. Globálním extrémem funkce tedy je bod 1, l) Najdeme předpis pro svislé, případně šikmé asymptoty (pokud existují) Pro všechny krajní body definičního oboru budeme hledat dvojice it. Nejprve pro = = 1+ =0 = = 0= =0 Asymptota v tedy má rovnici =0+0=0. Asymptotou tedy je osa. Nyní pro + = = 1+ =+ Limita v nekonečnu je nekonečná, asymptota tam tedy nemůže existovat. 2

3 m) Dle potřeby určete další vlastnosti funkce, například funkční hodnoty v dalších významných bodech Funkce nemá žádné další zajímavé body. n) Načrtneme graf funkce : 3

4 Řešení 1b Budeme vyšetřovat průběh funkce: = a) Určíme definiční obor funkce. Čitatel i jmenovatel v zápisu funkce jsou definovány v celém oboru reálných čísel. Jejich podíl je tedy v tomto oboru definován rovněž s výjimkou bodů, kde je jmenovatel nulový. Jmenovatel je nulový v bodech =± 3. Odtud = 3; 3. b) Rozhodneme o spojitosti funkce, případně stanovíme body nespojitosti. Čitatel i jmenovatel v zápisu funkce jsou spojité v celém definičním oboru funkce. Protože v definičním oboru již nejsou body, ve kterých je jmenovatel nulový, je jejich podíl je tedy v definičním oboru spojitý rovněž. Body nespojitosti (mimo definiční obor) jsou body =± 3. c) Určíme ity v krajních bodech. 3 = = 3 3 = 3 =+ 0 3 = 3 = =0 3 =+ 3 =+ 0 3 =+ 3 = 0 3 = 0 = =0 d) Rozhodneme, zda je funkce sudá nebo lichá, příp. periodická = 3 = 3 = Z toho je jasně patrné, že funkce je lichá a její graf je tudíž symetrický podle počátku systému souřadnic. e) Nalezneme průsečíky se souřadnicovými osami Budeme řešit rovnici fx= =0. Ta má jediné řešení x=0. Graf funkce protíná osu x v bodu x=0. Současně f0=0. Graf funkce protíná osu y rovněž v bodu x=0. Graf funkce má tedy jediný průsečík s osami a tím je bod 0,0. f) Určíme maximální intervaly, na nichž je funkce kladná, respektive záporná Budeme vycházet z toho, že podíl je kladný, jsou-li čitatel i jmenovatel současně kladné či současně záporné. V opačném případě je podíl záporný. Protože víme, že funkce je lichá, budeme ji dále vyšetřovat jen pro kladná x. Jmenovatel je kladný pro 0; 3, v tomto intervalu je i funkce kladná. V intervalu 3; + je jmenovatel záporný a tedy i funkce 4

5 je zde záporná. Symetricky dle počátku je v intervalu 3;0 funkce záporná a v intervalu ; 3 je funkce kladná. g) Vypočítáme první derivaci funkce a určíme = 3 = = 3; 3 = = 3+ 3 h) Určíme maximální intervaly monotonie a stanovíme lokální extrémy funkce První derivace funkce má vždy kladného čitatele i jmenovatele. Proto je první derivace také vždy kladná. Z toho vyplývá, že funkce je v celém definičním oboru rostoucí a nemá žádný lokální extrém. i) Vypočítáme druhou derivaci funkce a určíme = 3+ 3 = = = =29+ 3 = 3; 3 = j) Určíme maximální intervaly, kde je funkce konvexní respektive konkávní a stanovíme inflexní body funkce Druhá derivace je nulová v bodě =0. V tomto bodu je tedy inflexní bod funkce. Hodnota funkce v tomto bodu je 0=0. Směrnice inflexní tečny v tomto bodu je = 0= = 3 3 =1 3 Posunutí se počítá z hodnoty funkce, která je v tomto bodě stejná, jako hodnota tečny, neboli =+. Odtud = =0 Inflexní tečna tedy má rovnici = = 3 Funkce je konvexní pro všechna, pro která platí = >0. Tato nerovnice má řešení, 3 0, 3. K tomu si stačí jen uvědomit, kdy může být uvedený zlomek kladný. Funkce je konkávní pro všechna, pro která platí = <0. Tato nerovnice má řešení 3,0 3,+. k) Nalezneme globální extrémy funkce na celém jejím definičním oboru (pokud existují) Funkce nemá žádné lokální extrémy, nemá tedy ani žádné globální extrémy. l) Najdeme předpis pro svislé, případně šikmé asymptoty (pokud existují) Funkce má asymptoty v bodech nespojitosti. Asymptotami tedy jsou =± 3 5

6 m) Dle potřeby určete další vlastnosti funkce, například funkční hodnoty v dalších významných bodech Funkce nemá žádné další významné body. n) Načrtneme graf funkce : 6

7 Řešení 1c Budeme vyšetřovat průběh funkce:= a) Určíme definiční obor funkce. Vnější funkce ( ) je definována v celém oboru reálných čísel. Vnitřní funkce ( ) rovněž. Jejich složení je tedy v tomto oboru definován rovněž. Odtud = b) Rozhodneme o spojitosti funkce, případně stanovíme body nespojitosti. Vnější i vnitřní funkce jsou spojité v celém oboru reálných čísel. Jejich složení je tedy v tomto oboru spojité rovněž. c) Určíme ity v krajních bodech. =0 =0 d) Rozhodneme, zda je funkce sudá nebo lichá, příp. periodická = = = Funkce je sudá. e) Nalezneme průsečíky se souřadnicovými osami Nejprve budeme hledat průsečík s osou. Budeme tedy řešit rovnici = =0 Tato rovnice ale nemá řešení, protože exponenciální funkce se pro žádný svůj argument nerovná nule. Proto nemá graf funkce žádný průsečík s osou. Průsečík s osou se hledá výpočtem hodnoty 0= = =1. Průsečík s osou tedy má souřadnice (0; 1). f) Určíme maximální intervaly, na nichž je funkce kladná, respektive záporná Exponenciální funkce je kladná v celém svém definičním oboru. Proto je v celém definičním oboru kladná i funkce. g) Vypočítáme první derivaci funkce a určíme = = 2= 2 = h) Určíme maximální intervaly monotonie a stanovíme lokální extrémy funkce Pro určení lokálního extrému budeme řešit rovnici = 2 =0. Tato rovnice má jediné řešení =0. Vypočteme 0= = =1. Lokální extrém tedy má souřadnice (0;1). Funkce je rostoucí pokud = 2 >0. Tato situace nastává pro všechna záporná. Tedy funkce je rostoucí na intervalu ;0. Funkce je klesající na intervalu 0; +. i) Vypočítáme druhou derivaci funkce a určíme = 2 = =4 2 =4 2 = j) Určíme maximální intervaly, kde je funkce konvexní, resp. konkávní, a stanovíme inflexní body funkce 7

8 Inflexní body funkce jsou řešením rovnice =4 2 =0. Tato rovnice má dvě řešení =± =±. Vypočteme =± =. Souřadnice inflexních bodů tedy jsou =+ ; a = ;. Směrnice inflexních tečen v těchto bodech jsou = = 2+ 2 = 2 2 = = 2 =+ 2 Posunutí se počítá z hodnoty funkce, která je v tomto bodě stejná, jako hodnota tečny, neboli =+. Odtud = = =2 = = =2 Inflexní tečny tedy mají rovnice = 2 +2 = Funkce je konvexní pro všechna, pro která platí =4 2 >0. Tato nerovnice má řešení, +,+. K tomu si stačí jen uvědomit, kdy může být uvedený zlomek kladný. Funkce je konkávní pro všechna, pro která platí =4 2 <0. Tato nerovnice má řešení,+. k) Nalezneme globální extrémy funkce na celém jejím definičním oboru (pokud existují) Funkce má jediný lokální extrém. K němu funkce stoupá, za ním klesá. Neexistuje žádná vyšší hodnota, než tento lokální extrém. Proto je bod (0;1) i extrémem globálním. l) Najdeme předpis pro svislé, případně šikmé asymptoty (pokud existují) Prozkoumáme ity derivace v krajních bodech definičního oboru. Dostáváme (nejsnáze s využitím l Hospitalova pravidla) Nyní vypočteme posunutí = = 2 =0 = = 2 =0 = = 0= =0 = = 0= =0 Asymptotou pro tedy je přímka =0+0=0. Stejná přímka je asymptotou i pro +. m) Dle potřeby určete další vlastnosti funkce, například funkční hodnoty v dalších významných bodech 8

9 Funkce nemá žádné další významné body. n) Načrtneme graf funkce : 9

10 Řešení 1d Budeme vyšetřovat průběh funkce: =ln1+ a) Určíme definiční obor funkce. Vnější funkce logaritmus je definovaná jen pro kladné argumenty. Vnitřní funkce je 1+, je tedy vždy kladná. Proto je složená funkce definována v celém oboru reálných čísel. Tedy = b) Rozhodneme o spojitosti funkce, případně stanovíme body nespojitosti. Vnější i vnitřní funkce jsou spojité v celém oboru reálných čísel. Jejich složení je tedy také spojité v tomto oboru. c) Určíme ity v krajních bodech. ln1+ =+ ln1+ =+ d) Rozhodneme, zda je funkce sudá nebo lichá, příp. periodická =ln1+ =ln1+ = Proto je funkce sudá. e) Nalezneme průsečíky se souřadnicovými osami Nejprve budeme hledat průsečík s osou. Budeme tedy řešit rovnici =ln1+ =0 Logaritmus dosahuje hodnoty 0 pouze pro argument 1. Proto musí být =0. Průsečík s osou má souřadnice (0; 0). Průsečík s osou se hledá výpočtem hodnoty 0=ln1+0 =ln1=0. Průsečík s osou tedy má souřadnice (0; 0). Jedná se o stejný bod. f) Určíme maximální intervaly, na nichž je funkce kladná, respektive záporná Logaritmus nabývá záporných hodnot jen pro argumenty z intervalu (0; 1). Ale vnitřní funkce nabývá hodnot 1 a více. Funkce je tedy nezáporná v celém definičním oboru. g) Vypočítáme první derivaci funkce a určíme =ln1+ = 2 1+ = h) Určíme maximální intervaly monotonie a stanovíme lokální extrémy funkce Pro určení lokálního extrému budeme řešit rovnici = =0. Tato rovnice má jediné řešení =0. Vypočteme 0= =0. Lokální extrém tedy má souřadnice (0; 0). Funkce je rostoucí pokud = >0. Tato situace nastává pro všechna kladná. Tedy funkce je rostoucí na intervalu 0; +. ;0. Funkce je klesající na intervalu ;0 i) Vypočítáme druhou derivaci funkce a určíme = 2 1+ = = = = j) Určíme maximální intervaly, kde je funkce konvexní, resp. konkávní, a stanovíme inflexní body funkce 10

11 Inflexní body funkce jsou řešením rovnice = =0. Tato rovnice má dvě řešení =±1. Vypočteme =ln1+±1 =ln2. Souřadnice inflexních bodů tedy jsou = 1; ln2 a =+1; ln2. Směrnice inflexních tečen v těchto bodech jsou = 1= = 2 2 = 1 = +1= =+2 2 =+1 Posunutí se počítá z hodnoty funkce, která je v tomto bodě stejná, jako hodnota tečny, neboli =+. Odtud =ln2 1 1=ln2 1 =ln2 +1+1=ln2 1 Inflexní tečny tedy mají rovnice = +ln2 1 =++ln2 1 Funkce je konvexní pro všechna, pro která platí = >0. Tato nerovnice má řešení 1,+1. K tomu si stačí jen uvědomit, kdy může být uvedený zlomek kladný. Funkce je konkávní pro všechna, pro která platí = <0. Tato nerovnice má řešení, 1 +1,+. k) Nalezneme globální extrémy funkce na celém jejím definičním oboru (pokud existují) Funkce má jediný lokální extrém (0; 0). K němu funkce klesá, od něj stoupá. Bod (0; 0) je tedy i globálním minimem funkce. l) Najdeme předpis pro svislé, případně šikmé asymptoty (pokud existují) Prozkoumáme ity derivace v krajních bodech definičního oboru. Dostáváme (nejsnáze s využitím l Hospitalova pravidla) 2 = = 1+ =0 2 = = 1+ =0 Nyní vypočteme posunutí = = ln1+ 0= ln1+ =+ = = ln1+ 0= ln1+ =+ Hodnoty posunutí jsou nekonečné, asymptota tedy neexistuje. m) Dle potřeby určete další vlastnosti funkce, například funkční hodnoty v dalších významných bodech Funkce nemá žádné další významné body. n) Načrtneme graf funkce : 11

12 12

13 Řešení 1e Budeme vyšetřovat průběh funkce: =ln a) Určíme definiční obor funkce. První činitel v zápisu funkce je definován v celém oboru reálných čísel. Druhý (logaritmus) je definován pouze pro kladná reálná čísla. Jejich součin je tedy definován rovněž pro kladná reálná čísla. Odtud =0,+ b) Rozhodneme o spojitosti funkce, případně stanovíme body nespojitosti. Oba činitelé v zápisu funkce jsou spojité v celém definičním oboru. Jejich součin je tedy v tomto oboru spojitý rovněž. c) Určíme ity v krajních bodech (v prvním případu lze s výhodou užít l Hospitalova pravidla). ln=0 ln=+ d) Rozhodneme, zda je funkce sudá nebo lichá, příp. periodická Funkce nemůže být ani sudá ani lichá. Není totiž definována na symetrickém definičním oboru. e) Nalezneme průsečíky se souřadnicovými osami Nejprve budeme hledat průsečík s osou. Budeme tedy řešit rovnici =ln=0 Logaritmus dosahuje hodnoty 0 pouze pro argument 1. Proto musí být =1. Průsečík s osou má souřadnice (1; 0). Druhá možnost (=0) nepřipadá v úvahu, protože je mimo definiční obor funkce. Průsečík s osou se hledá výpočtem hodnoty 0. To ale není v tomto případě možné, protože bod 0 je mimo definiční obor funkce. Průsečík s osou tedy neexistuje. f) Určíme maximální intervaly, na nichž je funkce kladná, respektive záporná Hodnota proměnné x je kladná v celém definičním oboru. Logaritmus je záporný pouze pro argumenty z intervalu (0; 1). Proto je funkce f záporná na intervalu (0; 1) a kladná na intervalu 1;. g) Vypočítáme první derivaci funkce a určíme =ln =1 ln+ 1 =1+ln =0,+ h) Určíme maximální intervaly monotonie a stanovíme lokální extrémy funkce Pro určení lokálního extrému budeme řešit rovnici =1+ln=0. Tato rovnice má jediné řešení =. Vypočteme = ln =. Lokální extrém tedy má souřadnice ( ;. Funkce je rostoucí pokud =1+ln>0. Tedy funkce je rostoucí na intervalu ; +. Funkce je klesající na intervalu 0; i) Vypočítáme druhou derivaci funkce a určíme =1+ln = 1 =0,+ 13

14 j) Určíme maximální intervaly, kde je funkce konvexní, resp. konkávní, a stanovíme inflexní body funkce Inflexní body funkce jsou řešením rovnice = =0. Tato rovnice nemá řešení. Funkce tedy nemá žádný inflexní bod. Funkce je konvexní pro všechna, pro která platí = >0. To je splněno pro všechny body definičního oboru. Funkce je tedy konvexní v celém definičním oboru. Funkce není konkávní v žádném bodu definičního oboru. k) Nalezneme globální extrémy funkce na celém jejím definičním oboru (pokud existují) Funkce má jediný lokální extrém ( ;. K němu funkce klesá, od něj stoupá. Bod ( ; je tedy i globálním minimem funkce. l) Najdeme předpis pro svislé, případně šikmé asymptoty (pokud existují) Prozkoumáme ity derivace v krajních bodech definičního oboru. Dostáváme (nejsnáze s využitím l Hospitalova pravidla) = = 1+ln= = = 1+ln=+ Nyní vypočteme posunutí. Ale to v prvním případě není nutné, protože se jedná o svislou poloasymptotu =0. Ve druhém případě je zřejmé, že asymptota nemůže existovat. m) Dle potřeby určete další vlastnosti funkce, například funkční hodnoty v dalších významných bodech Funkce nemá žádné další významné body. n) Načrtneme graf funkce : 14

15 15

16 Řešení 1f Budeme vyšetřovat průběh funkce: = a) Určíme definiční obor funkce. Čitatel i jmenovatel zlomku jsou definovány v celém oboru reálných čísel. Jmenovatel je vždy kladný. Jejich podíl je tedy v tomto oboru definován rovněž. Odtud = b) Rozhodneme o spojitosti funkce, případně stanovíme body nespojitosti. Čitatel i jmenovatel zlomku jsou spojité v celém oboru reálných čísel. Jmenovatel je kladný v celém definičním oboru. Jejich podíl je tedy v tomto oboru spojitý rovněž. c) Určíme ity v krajních bodech. +1 =0 +1 =0 d) Rozhodneme, zda je funkce sudá nebo lichá, příp. periodická = = = Funkce je tedy lichá. e) Nalezneme průsečíky se souřadnicovými osami Nejprve budeme hledat průsečík s osou. Budeme tedy řešit rovnici = +1 =0 Ta má zjevně jediné řešení =0. Průsečík s osou má souřadnice (0; 0). Průsečík s osou se hledá výpočtem hodnoty 0= = =0. Průsečík s osou tedy má souřadnice (0; 0). Jedná se o stejný bod. f) Určíme maximální intervaly, na nichž je funkce kladná, respektive záporná Jmenovatel je vždy kladný. Proto se znaménko funkce řídí čitatelem. Proto je funkce záporná na intervalu ;0 a kladná na intervalu 0;. g) Vypočítáme první derivaci funkce a určíme +1 2 = +1 =1 +1 = = 1 +1 = h) Určíme maximální intervaly monotonie a stanovíme lokální extrémy funkce Pro určení lokálního extrému budeme řešit rovnici = =0. Tato rovnice má dvě řešení =±1. Vypočteme 1= = ; +1= =+ Lokální extrémy tedy mají souřadnice ( 1; a +1; +. Funkce je rostoucí pokud = >0. Tedy funkce je rostoucí na intervalu 1; +1. Funkce je klesající na intervalu ; 1 1;+ i) Vypočítáme druhou derivaci funkce a určíme 16

17 = 1 +1 = = = = = = j) Určíme maximální intervaly, kde je funkce konvexní, resp. konkávní, a stanovíme inflexní body funkce Inflexní body funkce jsou řešením rovnice = řešení Vypočteme Souřadnice inflexních bodů tedy jsou = 3 =0 =+ 3 3= = =0 + 3= = 3; 3 4 =0;0 =+ 3; Směrnice inflexních tečen v těchto bodech jsou = 3 4 =+ 3 4 = 3= = 16 = 1 8 = 0= =+1 1 =1 = + 3= = 16 = 1 8 =0. Tato rovnice má tři Posunutí se počítá z hodnoty funkce, která je v tomto bodě stejná, jako hodnota tečny, neboli =+. Odtud = = =

18 =0 +10=0 = = = Inflexní tečny tedy mají rovnice = =++0= = Funkce je konvexní pro všechna, pro která platí = >0. Tato nerovnice má řešení 3,0 3;. K tomu si stačí jen uvědomit, kdy může být uvedený zlomek kladný. Funkce je konkávní pro všechna, pro která platí = má řešení, 3 0, 3. <0. Tato nerovnice k) Nalezneme globální extrémy funkce na celém jejím definičním oboru (pokud existují) Lokální extrémy funkce jsou zároveň i extrémy globálními. Globální extrémy tedy mají souřadnice ( 1; a +1; + l) Najdeme předpis pro svislé, případně šikmé asymptoty (pokud existují) Prozkoumáme ity derivace v krajních bodech definičního oboru. Dostáváme 1 = = +1 =0 Nyní vypočteme posunutí = = 1 +1 =0 = = +1 0=0 = = +1 0=0 Pro oba konce definičního oboru existuje společná asymptota =0 m) Dle potřeby určete další vlastnosti funkce, například funkční hodnoty v dalších významných bodech Funkce nemá žádné další významné body. n) Načrtneme graf funkce : 18

19 19

20 Příklad 2 Určete rovnici tečny a normály v dotykovém bodě ke grafu funkcí uvedených v Příkladě 1. Bod stanovte jako význačný bod grafu funkce, například průsečík s osami či, nebo inflexní bod, popřípadě lokální extrém. Poznámka Rovnici tečny budeme zjišťovat pro tvar =+ze vztahů = a =, protože dotykový bod musí mít stejnou hodnotovou souřadnici na grafu funkce i tečně. Normála je kolmice na tečnu vedená dotykovým bodem. Bude tedy mít směrnici. Normála tedy bude mít obecnou rovnici = +. Hodnotu vypočítáme dosazením souřadnic dotykového bodu. Všechna řešení doplníme obrázkem. Na něm bude vždy část grafu funkce v modré barvě, tečna bude zelená a normála červená. 20

21 Řešení 2a Budeme zjišťovat rovnici tečny a normály v dotykovém bodě =0,0 ke grafu funkce Nejprve budeme hledat rovnici tečny ve tvaru. Vypočteme si první derivaci funkce 1 Vypočteme směrnici tečny v bodě (do první derivace dosadíme hodnotu x-ové souřadnice) Nyní budeme počítat posunutí. Přitom vycházíme z toho, že dotykový bod leží současně na grafu funkce i na jeho tečně. Platí tedy. Dosadíme a dostáváme Teď již můžeme psát rovnici tečny ke grafu funkce vedenou bodem ve tvaru, po dosazení 10 Pro zjištění rovnice normály (kolmice k tečně) ve tvaru již stačí vypočítat posunutí Dosadíme Nyní můžeme psát rovnici normály Výsledek našich výpočtů znázorňuje obrázek

22 Řešení 2b Budeme zjišťovat rovnici tečny a normály v dotykovém bodě =0,0 ke grafu funkce Nejprve budeme hledat rovnici tečny ve tvaru. Vypočteme si první derivaci funkce Vypočteme směrnici tečny v bodě (do první derivace dosadíme hodnotu x-ové souřadnice) Nyní budeme počítat posunutí. Přitom vycházíme z toho, že dotykový bod leží současně na grafu funkce i na jeho tečně. Platí tedy. Dosadíme a dostáváme Teď již můžeme psát rovnici tečny ke grafu funkce vedenou bodem ve tvaru, po dosazení Pro zjištění rovnice normály (kolmice k tečně) ve tvaru již stačí vypočítat posunutí Dosadíme Nyní můžeme psát rovnici normály Výsledek našich výpočtů znázorňuje obrázek 22

23 Řešení 2c Budeme zjišťovat rovnici tečny a normály v dotykovém bodě =+ ; ke grafu funkce Nejprve budeme hledat rovnici tečny ve tvaru. Vypočteme si první derivaci funkce 22 Vypočteme směrnici tečny v bodě (do první derivace dosadíme hodnotu x-ové souřadnice) Nyní budeme počítat posunutí. Přitom vycházíme z toho, že dotykový bod leží současně na grafu funkce i na jeho tečně. Platí tedy. Dosadíme a dostáváme Teď již můžeme psát rovnici tečny ke grafu funkce vedenou bodem ve tvaru, po dosazení Pro zjištění rovnice normály (kolmice k tečně) ve tvaru již stačí vypočítat posunutí Dosadíme Nyní můžeme psát rovnici normály Výsledek našich výpočtů znázorňuje obrázek

24 Řešení 2d Budeme zjišťovat rovnici tečny a normály v dotykovém bodě =+1; ln2 ke grafu funkce ln1 Nejprve budeme hledat rovnici tečny ve tvaru. Vypočteme si první derivaci funkce ln1 2 1 Vypočteme směrnici tečny v bodě (do první derivace dosadíme hodnotu x-ové souřadnice) Nyní budeme počítat posunutí. Přitom vycházíme z toho, že dotykový bod leží současně na grafu funkce i na jeho tečně. Platí tedy. Dosadíme a dostáváme 11 1ln11 1ln21 Teď již můžeme psát rovnici tečny ke grafu funkce vedenou bodem ve tvaru, po dosazení 1ln21ln21 Pro zjištění rovnice normály (kolmice k tečně) ve tvaru již stačí vypočítat posunutí Dosadíme Nyní můžeme psát rovnici normály Výsledek našich výpočtů znázorňuje obrázek ln ln ln21ln21 24

25 Řešení 2e Budeme zjišťovat rovnici tečny a normály v dotykovém bodě =1,0 ke grafu funkce ln Nejprve budeme hledat rovnici tečny ve tvaru. Vypočteme si první derivaci funkce ln 1 ln 1 1ln Vypočteme směrnici tečny v bodě (do první derivace dosadíme hodnotu x-ové souřadnice) 11ln1101 Nyní budeme počítat posunutí. Přitom vycházíme z toho, že dotykový bod leží současně na grafu funkce i na jeho tečně. Platí tedy. Dosadíme a dostáváme ln Teď již můžeme psát rovnici tečny ke grafu funkce vedenou bodem ve tvaru, po dosazení 111 Pro zjištění rovnice normály (kolmice k tečně) ve tvaru již stačí vypočítat posunutí Dosadíme ln Nyní můžeme psát rovnici normály Výsledek našich výpočtů znázorňuje obrázek 25

26 Řešení 2f Budeme zjišťovat rovnici tečny a normály v dotykovém bodě =+ 3; ke grafu funkce Nejprve budeme hledat rovnici tečny ve tvaru. Vypočteme si první derivaci funkce Vypočteme směrnici tečny v bodě (do první derivace dosadíme hodnotu x-ové souřadnice) Nyní budeme počítat posunutí. Přitom vycházíme z toho, že dotykový bod leží současně na grafu funkce i na jeho tečně. Platí tedy. Dosadíme a dostáváme Teď již můžeme psát rovnici tečny ke grafu funkce vedenou bodem ve tvaru, po dosazení Pro zjištění rovnice normály (kolmice k tečně) ve tvaru již stačí vypočítat posunutí Dosadíme Nyní můžeme psát rovnici normály Výsledek našich výpočtů znázorňuje obrázek

Zlín, 23. října 2011

Zlín, 23. října 2011 (. -. lekce) Sylva Potůčková, Dana Stesková, Lubomír Sedláček Gymnázium a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Zlín Zlín, 3. října 0 Postup při vyšetřování průběhu funkce. Definiční obor funkce,

Více

7.1 Extrémy a monotonie

7.1 Extrémy a monotonie KAPITOLA 7: Průběh funkce [ZMA13-P38] 7.1 Extrémy a monotonie Řekneme, že funkce f nabývá na množině M Df svého globálního maxima globálního minima A v bodě x 0, jestliže x 0 M, fx 0 = A a pro každé x

Více

Aplikace derivace a průběh funkce

Aplikace derivace a průběh funkce Aplikace derivace a průběh funkce Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného

Více

Mocninná funkce: Příklad 1

Mocninná funkce: Příklad 1 Mocninná funkce: Příklad 1 Zadání: Vyšetřete průběh mocninné funkce. Řešení: 1. Jako první si určíme definiční obor: D(f)=R. 2. Nyní si spočítáme zda je daná funkce sudá nebo lichá: Daná funkce je lichá.

Více

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015 Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární

Více

Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 1 4. Derivace funkce 4.3. Průběh funkce 2 Pro přesné určení průběhu grafu funkce je třeba určit bližší vlastnosti funkce. Monotónnost funkce Funkce monotónní =

Více

MATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel

MATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel MATEMATIKA Příklady pro 1. ročník bakalářského studia II. část II.1. Posloupnosti reálných čísel Rozhodněte, zda posloupnost a n (n = 1, 2, 3,...) je omezená (omezená shora, omezená zdola) resp. monotónní

Více

Výsledky Př.1. Určete intervaly monotónnosti a lokální extrémy funkce a) ( ) ( ) ( ) Stacionární body:

Výsledky Př.1. Určete intervaly monotónnosti a lokální extrémy funkce a) ( ) ( ) ( ) Stacionární body: Výsledky Př.. Určete intervaly monotónnosti a lokální extrémy funkce a) y < y > y < y > -2 0 3 Funkce je rostoucí v intervalech. Funkce je klesající v intervalech b) y < y > y < - Funkce je rostoucí v

Více

Monotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

Monotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 66 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné I. 5. Vyšetřování průběhu funkce Monotonie a lokální etrémy Důsledek. Nechť má funkce f) konečnou derivaci na intervalu I. Je-li f ) > 0 pro každé I, pak

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Příklady na konvexnost a inflexní body. Funkce f (x) = x 3 9x. Derivace jsou f (x) = 3x 2 9 a f (x) = 6x. Funkce f je konvexní na intervalu (0, )

Příklady na konvexnost a inflexní body. Funkce f (x) = x 3 9x. Derivace jsou f (x) = 3x 2 9 a f (x) = 6x. Funkce f je konvexní na intervalu (0, ) Příklady na konvexnost a inflexní body. Funkce = x 3 9x. Derivace jsou f (x) = 3x 9 a f (x) = 6x. Funkce f je konvexní na intervalu (, ) a konkávní na intervalu (, ). Inflexní bod c =. 3 1 1 y = x 3 9x

Více

2. spojitost (7. cvičení) 3. sudost/lichost, periodicita (3. cvičení) 4. první derivace, stacionární body, intervaly monotonie (10.

2. spojitost (7. cvičení) 3. sudost/lichost, periodicita (3. cvičení) 4. první derivace, stacionární body, intervaly monotonie (10. MA. cvičení průběh funkce Lukáš Pospíšil,202 Průběh funkce Pod úkolem vyšetřete průběh funkce budeme rozumět nalezení všech kvalitativních vlastností zadané funkce - tedy bude potřeba zjistit o funkci

Více

c ÚM FSI VUT v Brně 20. srpna 2007

c ÚM FSI VUT v Brně 20. srpna 2007 20. srpna 2007 1. f = 3 12 2. f = 2 e 3. f = ln Příklad 1. Nakreslete graf funkce f() = 3 12 Příklad 1. f = 3 12 Nejprve je třeba určit definiční obor. Výraz je vždy definován. Příklad 1. f = 3 12 f =

Více

IX. Vyšetřování průběhu funkce

IX. Vyšetřování průběhu funkce IX. Vyšetřování průběhu funkce Úvodní poznámky: Cíl: vyšetřit průběh dané funkce f. Zahrnuje: základní vlastnosti: D(f), spojitost, limity v krajních bodech, průsečíky s osami souřadnic, intervaly, kde

Více

PRŮBĚH FUNKCE JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ

PRŮBĚH FUNKCE JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ Dierenciální počet unkcí jedné reálné proměnné - 5 - PRŮBĚH FUNKCE JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ Cílem vyšetřování průběhu unkce je umět nakreslit její gra Obvykle postupujeme tak že nalezneme její maimální deiniční

Více

Funkce a lineární funkce pro studijní obory

Funkce a lineární funkce pro studijní obory Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce

Více

Lineární funkce, rovnice a nerovnice

Lineární funkce, rovnice a nerovnice Lineární funkce, rovnice a nerovnice 1. Lineární funkce 1.1 Základní pojmy Pojem lineární funkce Funkce je předpis, který každému číslu x z definičního oboru funkce přiřadí právě jedno číslo y Obecně je

Více

Význam a výpočet derivace funkce a její užití

Význam a výpočet derivace funkce a její užití OPAKOVÁNÍ ZÁKLADŮ MATEMATIKY Metodický list č. 1 Význam a výpočet derivace funkce a její užití 1. dílčí téma: Výpočet derivace přímo z definice a pomocí základních vzorců. K tomuto tématu je třeba zopakovat

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z ÚVODU DO MATEMATICKÉ ANLÝZY FUNKCE 999/000 CIFRIK Funkce F a) Zadání: Vyšetřete bez užití limit a derivací funkci : y = { x } f Definice:

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Univerzita Karlova v Praze Pedagogická akulta DRUHÁ SEMINÁRNÍ PRÁCE Z DIFERENCIÁLNÍHO POČTU PRŮBĚH FUNKCE 000/001 Cirik, M-ZT Zadání: Vyšetřete průběh unkce ( ) : y Vypracování: ( ) : y Předně určíme deiniční

Více

. je zlomkem. Ten je smysluplný pro jakýkoli jmenovatel různý od nuly. Musí tedy platit = 0

. je zlomkem. Ten je smysluplný pro jakýkoli jmenovatel různý od nuly. Musí tedy platit = 0 Příklad 1 Určete definiční obor funkce: a) = b) = c) = d) = e) = 9 f) = Řešení 1a Máme určit definiční obor funkce =. Výraz je zlomkem. Ten je smysluplný pro jakýkoli jmenovatel různý od nuly. Musí tedy

Více

Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Průběh funkce Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Průběh funkce Průběhem funkce rozumíme určení vlastností funkce

Více

Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Vlastnosti funkcí Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Definiční obor Definiční obor funkce je množina všech čísel,

Více

Řešení 1b Máme najít body, v nichž má funkce (, ) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (, )=0, je-li: (, )= +,

Řešení 1b Máme najít body, v nichž má funkce (, ) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (, )=0, je-li: (, )= +, Příklad 1 Najděte body, v nichž má funkce (,) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (,)=0, je-li: a) (,)= + 1, (,)=+ 1 lok.max.v 1 2,3 2 b) (,)=+, (,)= 1 +1 1 c) (,)=, (,)=+ 1 lok.max.v

Více

Stručný přehled učiva

Stručný přehled učiva Stručný přehled učiva TU1M2 Matematika 2 pro LP17, LP18 4. Aplikace diferenciálního počtu 4.1 Rovnice tečny a normály Má-li funkce v bodě vlastní derivaci, pak je to směrnice tečny grafu funkce v tečném

Více

soubor FUNKCÍ příručka pro studenty

soubor FUNKCÍ příručka pro studenty soubor FUNKCÍ příručka pro studenty 1 Obsah Poznámky 6 lineární funkce mocninné funkce s přirozeným exponentem o sudým o lichým s celým záporným exponentem o sudým o lichým s racionálním exponentem o druhá

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme vyšetřit lichost či sudost funkce ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 3

Příklad 1. Řešení 1a Máme vyšetřit lichost či sudost funkce ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 3 Příklad 1 Zjistěte, zda jsou dané funkce sudé nebo liché, případně ani sudé ani liché: a) =ln b) = c) = d) =4 +1 e) =sin cos f) =sin3+ cos+ Poznámka Všechny tyto úlohy řešíme tak, že argument funkce nahradíme

Více

Aplikace derivace ( )

Aplikace derivace ( ) Aplikace derivace Mezi aplikace počítáme:. LHospitalovo pravidlo. Etrémy funkce (růst a pokles funkce) 3. Inflee (konávnost a konvenost). Asymptoty funkce (se i bez směrnice) 5. Průběh funkce 6. Ekonomické

Více

Funkce - pro třídu 1EB

Funkce - pro třídu 1EB Variace 1 Funkce - pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv využití výukového materiálu je povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému

Více

2.7. Průběh funkce. Vyšetřit průběh funkce znamená určit (ne nutně v tomto pořadí): 1) Definiční obor; sudost, lichost; periodičnost

2.7. Průběh funkce. Vyšetřit průběh funkce znamená určit (ne nutně v tomto pořadí): 1) Definiční obor; sudost, lichost; periodičnost .7. Průběh unkce Všetřit průběh unkce znamená určit ne nutně v tomto pořadí: deiniční obor; sudost, lichost; periodičnost, interval spojitosti a bod nespojitosti, průsečík grau unkce s osami, interval,

Více

Kapitola 4: Průběh funkce 1/11

Kapitola 4: Průběh funkce 1/11 Kapitola 4: Průběh funkce 1/11 Funkce monotonní 2/11 Věta: Necht je f spojitá a má derivaci na intervalu I. Potom platí (i) Je-li f (x) > 0 na I, je f rostoucí na I. (ii) Je-li f (x) 0 na I, je f neklesající

Více

1.1 Příklad z ekonomického prostředí 1

1.1 Příklad z ekonomického prostředí 1 1.1 Příklad z ekonomického prostředí 1 Smysl solidního zvládnutí matematiky v bakalářských oborech na Fakultě podnikatelské VUT v Brně je především v aplikační síle matematiky v odborných předmětech a

Více

Seminární práce z matematiky

Seminární práce z matematiky Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Seminární práce z matematiky Vyšetřování průběhu funkcí Autor: Vyučující: Ondřej Vejpustek RNDr Eva Davidová Ostrava, 0 Taylorův polynom pro

Více

Matematika B 2. Úvodní informace

Matematika B 2. Úvodní informace Matematika B 2 MIROSLAV KUČERA Úvodní informace Kontakt miroslav.kucera@vsfs.czvsfs.cz Studijní středisko Kladno IT oddělení 306B (kanceláře studijního oddělení) Konzultační hodiny Po Pá 8:30 15:00 možno

Více

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)

Více

Matematika I pracovní listy

Matematika I pracovní listy Matematika I pracovní listy Dagmar Dlouhá, Radka Hamříková, Zuzana Morávková, Michaela Tužilová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Úvod Pracovní listy jsou určeny

Více

Funkce dvou a více proměnných

Funkce dvou a více proměnných Funkce dvou a více proměnných. Motivace V praxi nevstačíme s funkcemi jedné proměnné, většina veličin závisí více než na jedné okolnosti, např.: obsah obdélníka: S( ) kinetická energie: Ek = = x mv ekonomika:

Více

Nerovnice v součinovém tvaru, kvadratické nerovnice

Nerovnice v součinovém tvaru, kvadratické nerovnice Nerovnice v součinovém tvaru, kvadratické nerovnice Příklad: Pro která x R je součin x x 5 kladný? Řešení: Víme, že součin je kladný, mají-li oba činitelé stejné znaménko. Tedy aby platilo x x 5 0, musí

Více

a r Co je to r-tá mocnina čísla a, za jakých podmínek má smysl, jsme důkladně probrali v kurzu ČÍSELNÉ MNOŽINY. Tam jsme si mj.

a r Co je to r-tá mocnina čísla a, za jakých podmínek má smysl, jsme důkladně probrali v kurzu ČÍSELNÉ MNOŽINY. Tam jsme si mj. @121 12. Mocninné funkce a r Co je to r-tá mocnina čísla a, za jakých podmínek má smysl, jsme důkladně probrali v kurzu ČÍSELNÉ MNOŽINY. Tam jsme si mj. řekli: 1. Je-li exponent r přirozené číslo, může

Více

Derivace funkce. existuje limita lim 0 ) xx xx0. Jestliže tato limita neexistuje nebo pokud funkce ff

Derivace funkce. existuje limita lim 0 ) xx xx0. Jestliže tato limita neexistuje nebo pokud funkce ff Derivace funkce Derivace je základním pojmem v diferenciálním počtu. Má uplatnění tam, kde se zkoumá povaha funkčních závislostí určitých proměnných (veličin). V matematice, ekonomii, fyzice ale i v jiných

Více

22. & 23. & 24. Vlastnosti funkcí a jejich limita a derivace

22. & 23. & 24. Vlastnosti funkcí a jejich limita a derivace 22. & 23. & 24. Vlastnosti funkcí a jejich ita a derivace Základní vlastnosti Definiční obor Definiční obor je množina neznámých, pro něž je funkce definována. Obor hodnot Obor hodnot je množina všech

Více

Asymptoty funkce. 5,8 5,98 5,998 5,9998 nelze 6,0002 6,002 6,02 6, nelze

Asymptoty funkce. 5,8 5,98 5,998 5,9998 nelze 6,0002 6,002 6,02 6, nelze Asymptoty funkce 1 Asymptota bez směrnice 6 Máme dvě funkce f 1 : y a 3 f : y 3 Člověk nemusí být matematický génius, aby pochopil, že do předpisu obou funkcí lze dosadit za libovolné reálné číslo kromě

Více

Přednáška z MA. Michal Tuláček 16. prosince 2004. 1 IV.7 Průběhy funkce 3. 2 Vyšetřování průběhu funkce- KUCHAŘKA 4

Přednáška z MA. Michal Tuláček 16. prosince 2004. 1 IV.7 Průběhy funkce 3. 2 Vyšetřování průběhu funkce- KUCHAŘKA 4 Přednáška z MA Michal Tuláček 6. prosince 004 Obsah IV.7 Průběhy funkce 3 Vyšetřování průběhu funkce- KUCHAŘKA 4 3 Vzorový příklad na průběh funkce ze cvičení 4 4 Příkladynadobumezikapremahusou 7 Definice:

Více

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/ Anotace. Diferenciální počet VY_32_INOVACE_M0217.

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/ Anotace. Diferenciální počet VY_32_INOVACE_M0217. Vzdělávací materiál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 20 Číslo projektu: Název projektu: Číslo a název klíčové aktivity: CZ.1.07/1.5.00/34.0211 Zlepšení podmínek

Více

PRŮBĚH FUNKCE - CVIČENÍ

PRŮBĚH FUNKCE - CVIČENÍ MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA PRŮBĚH FUNKCE - CVIČENÍ Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny

Více

Funkce. RNDR. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

Funkce. RNDR. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Funkce RNDR. Yvetta Bartáková Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Derivace funkce VY INOVACE_05 0_M Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Definice Mějme funkci f definovanou v okolí bodu 0. Eistuje-li

Více

Aplikační úlohy z diferenciálního počtu jedné proměnné

Aplikační úlohy z diferenciálního počtu jedné proměnné Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Fakulta Katedra Bakalářská práce Aplikační úlohy z diferenciálního počtu jedné proměnné Vypracoval: Michaela Jelínková Vedoucí práce: RNDr. Vladimíra Petrášková,

Více

DIFERENCIÁLNÍ POČET SPOJITOST FUNKCE,

DIFERENCIÁLNÍ POČET SPOJITOST FUNKCE, DIFERENCIÁLNÍ POČET SPOJITOST FUNKCE, LIMITA FUNKCE, DERIVACE FUNKCE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století

Více

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení.

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. @083 6 Polynomické funkce Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. Definice: Polynomická funkce n-tého stupně (n N) je dána předpisem n n 1 2 f : y a x

Více

Obsah. Metodický list Metodický list Metodický list Metodický list

Obsah. Metodický list Metodický list Metodický list Metodický list METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání Jaroslav Švrček a kolektiv Rámcový vzdělávací program pro gymnázia Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický okruh: Závislosti

Více

Sbírka úloh z matematiky

Sbírka úloh z matematiky Střední průmyslová škola a Střední odborné učiliště, Trutnov, Školní 101 Sbírka úloh z matematiky v rámci projektu královéhradeckého kraje zavádění inovativních metod výuky pomocí ICT v předmětu matematika

Více

Úloha určit průběh funkce znamená nakreslit graf funkce na zadaném intervalu, nejčastěji na celé množině reálných čísel R.

Úloha určit průběh funkce znamená nakreslit graf funkce na zadaném intervalu, nejčastěji na celé množině reálných čísel R. @034 3. Průběhy funkcí Úloha určit průběh funkce znamená nakreslit graf funkce na zadaném intervalu, nejčastěji na celé množině reálných čísel R. Abychom nakreslili dobře průběh funkce (její graf) musíme

Více

LOKÁLNÍ EXTRÉMY. LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maximum a minimum funkce)

LOKÁLNÍ EXTRÉMY. LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maximum a minimum funkce) Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA ČTVRTÝ Mgr. Tomáš MAŇÁK 5. srpna Název zpracovaného celku: LOKÁLNÍ EXTRÉMY LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maimum a minimum funkce) Lokální etrémy jsou body, v nichž funkce

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme řešit rovnici ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 1. Řešte v R rovnice: 8 3 5 5 2 8 =20+4 1 = + c) = f) +6 +8=4 g) h)

Příklad 1. Řešení 1a Máme řešit rovnici ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 1. Řešte v R rovnice: 8 3 5 5 2 8 =20+4 1 = + c) = f) +6 +8=4 g) h) Příklad Řešte v R rovnice: a) 8 3 5 5 2 8 =20+4 b) = + c) = d) = e) + =2 f) +6 +8=4 g) + =0 h) = Řešení a Máme řešit rovnici 8 3 5 5 2 8 =20+4 Zjevně jde o lineární rovnici o jedné neznámé. Nejprve roznásobíme

Více

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Závislosti a funkční vztahy Gradovaný řetězec úloh Téma: graf funkce, derivace funkce a její

Více

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B ČÁST 2. Určete a načrtněte definiční obory funkcí více proměnných: a) (, ) = b) (, ) = 3. c) (, ) = d) (, ) =

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B ČÁST 2. Určete a načrtněte definiční obory funkcí více proměnných: a) (, ) = b) (, ) = 3. c) (, ) = d) (, ) = Příklad 1 Určete a načrtněte definiční obory funkcí více proměnných: a) (, ) = b) (, ) = 3 c) (, ) = d) (, ) = e) (, ) = ln f) (, ) = 1 +1 g) (, ) = arcsin( + ) Poznámka V těchto úlohách máme nalézt největší

Více

Definice derivace v bodě

Definice derivace v bodě Definice derivace v bodě tgϕ = f ( ) f () f () : = tgϕ = lim f f () tgϕ = f f () Obecně: f f f ( ) ( ) : = lim f ( + h) f f : = lim h h Derivace zleva (zprava): f ( ) : = lim f f ( ) f ( ) : = lim + +

Více

Derivace a průběh funkce příklady z písemných prací

Derivace a průběh funkce příklady z písemných prací Derivace a průběh funkce příklady z písemných prací Vyšetřete průběh následuících funkcí. Příklad. = x +arctg( x ). D(f) =R.. Funkce e spoitá na R. 3. Funkce není lichá, sudá, ani periodická.. lim x ±

Více

Matematika I: Pracovní listy do cvičení

Matematika I: Pracovní listy do cvičení Matematika I: Pracovní listy do cvičení Dagmar Dlouhá, Radka Hamříková, Zuzana Morávková, Michaela Tužilová Pro FAST upravil Petr Volný Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita

Více

1 Množiny, výroky a číselné obory

1 Množiny, výroky a číselné obory 1 Množiny, výroky a číselné obory 1.1 Množiny a množinové operace Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Definice. Dvě množiny jsou

Více

CVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 15 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Je dána čtvercová mřížka, v níž každý čtverec má délku

Více

M - Kvadratická funkce

M - Kvadratická funkce M - Kvadratická funkce Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně

Více

Určete a graficky znázorněte definiční obor funkce

Určete a graficky znázorněte definiční obor funkce Určete a grafick znázorněte definiční obor funkce Příklad. z = ln( + ) Řešení: Vpíšeme omezující podmínk pro jednotlivé části funkce. Jmenovatel zlomku musí být 0, logaritmická funkce je definovaná pro

Více

KVADRATICKÁ FUNKCE URČENÍ KVADRATICKÉ FUNKCE Z PŘEDPISU FUNKCE

KVADRATICKÁ FUNKCE URČENÍ KVADRATICKÉ FUNKCE Z PŘEDPISU FUNKCE KVADRATICKÁ FUNKCE URČENÍ KVADRATICKÉ FUNKCE Z PŘEDPISU FUNKCE Slovo kvadrát vzniklo z latinského slova quadratus které znamená: čtyřhranný, čtvercový. Obsah čtverce se vypočítá, jako druhá mocnina délky

Více

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Užití derivací. x, x a, b : x x f x f x MATA P12. Funkce rostoucí a klesající: Definice rostoucí a klesající funkce

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Užití derivací. x, x a, b : x x f x f x MATA P12. Funkce rostoucí a klesající: Definice rostoucí a klesající funkce MATA P1 Užití derivací Funkce rostoucí a klesající: Deinice rostoucí a klesající unkce Funkce je rostoucí v intervalu (a,b), právě když platí: ( ) ( ) ( ), a, b : 1 1 1 Funkce je klesající v intervalu

Více

, f g jsou elementární funkce.

, f g jsou elementární funkce. Průběh funkce použité definice a věty Definice. Řekneme, že funkce je spojitá na otevřeném intervalu (a, b), jestliže je spojitá v každém vnitřním bodě tohoto intervalu. Řekneme, že funkce je spojitá na

Více

1. Definiční obor funkce dvou proměnných

1. Definiční obor funkce dvou proměnných Definiční obor funkce dvou proměnných Řešené příklady 1. Definiční obor funkce dvou proměnných Vyšetřete a v kartézském souřadném systému (O, x, y) zakreslete definiční obory následujících funkcí dvou

Více

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015)

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) doplněné o další úlohy 24. 2. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi (e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz

Více

Test M1-ZS12-2 M1-ZS12-2/1. Příklad 1 Najděte tečnu grafu funkce f x 2 x 6 3 x 2, která je kolmá na přímku p :2x y 3 0.

Test M1-ZS12-2 M1-ZS12-2/1. Příklad 1 Najděte tečnu grafu funkce f x 2 x 6 3 x 2, která je kolmá na přímku p :2x y 3 0. Test M-ZS- M-ZS-/ Příklad Najděte tečnu grafu funkce f x x 6 3 x, která je kolmá na přímku p :x y 3 0. Zřejmě D f R. Přímka p má směrnici, tečna na ní kolmá má proto směrnici. Protože směrnice tečny ke

Více

MATEMATIKA 1 pro obory Finance a řízení a Cestovní ruch

MATEMATIKA 1 pro obory Finance a řízení a Cestovní ruch MATEMATIKA 1 pro obory Finance a řízení a Cestovní ruch Marie Hojdarová Jana Krejčová Martina Zámková RNDr. Marie Hojdarová, CSc., RNDr. Jana Krejčová, Ph.D., RNDr. Ing. Martina Zámková, Ph.D. ISBN: 978-80-87035-94-8

Více

Použití derivací. V této části budou uvedena některá použití derivací. LEKCE08-PRU. Použití derivací. l Hospital

Použití derivací. V této části budou uvedena některá použití derivací. LEKCE08-PRU. Použití derivací. l Hospital V této části budou uvedena některá použití derivací. a derivace a derivace -zbytek L HOSPITALOVO PRAVIDLO POČÍTÁNÍ LIMIT Tvrzení je uvedeno pro jednostrannou limitu zprava. Samozřejmě obdobné tvrzení platí

Více

Algebraické výrazy - řešené úlohy

Algebraické výrazy - řešené úlohy Algebraické výrazy - řešené úlohy Úloha č. 1 Určete jeho hodnotu pro =. Určete, pro kterou hodnotu proměnné je výraz roven nule. Za proměnnou dosadíme: = a vypočteme hodnotu výrazu. Nejprve zapíšeme rovnost,

Více

Vyšetřování průběhu funkcí v programu GeoGebra

Vyšetřování průběhu funkcí v programu GeoGebra Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Pedagogická fakulta Katedra matematiky Bakalářská práce Vyšetřování průběhu funkcí v programu GeoGebra Autor práce: Markéta Medviďová Vedoucí práce: RNDr. Vladimíra

Více

Bakalářská matematika I

Bakalářská matematika I 1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,

Více

Funkce pro učební obory

Funkce pro učební obory Variace 1 Funkce pro učební obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení,

Více

Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y =

Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y = 0.1 Diferenciální počet Je částí infinitezimálního počtu, což je souhrnný název pro diferenciální a integrální počet. Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si

Více

10. Derivace, průběh funkce

10. Derivace, průběh funkce Moderní technologie ve studiu aplikované yziky CZ..07/..00/07.008 0. Derivace, průběh unkce Před mnoha lety se matematici snažili o obecné vyřešení úlohy, jak sestrojit tečnu k dané křivce a také yzici

Více

Otázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta.

Otázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta. 1 Implicitní funkce Implicitní funkce nejsou funkce ve smyslu definice, že funkce bodu z definičního oboru D přiřadí právě jednu hodnotu z oboru hodnot H. Přesnější termín je funkce zadaná implicitně.

Více

Řešení 1a Budeme provádět úpravu rozšířením směřující k odstranění odmocniny v čitateli. =lim = 0

Řešení 1a Budeme provádět úpravu rozšířením směřující k odstranění odmocniny v čitateli. =lim = 0 Příklad Vypočítejte ity funkcí: a) b) c) d) Poznámka Po dosazení do všech těchto úloh dostaneme nedefinovaný výraz. Proto je třeba provést úpravy vedoucí k vykrácení a následně k výsledku. Řešení a Budeme

Více

Průběh funkce pomocí systému MAPLE.

Průběh funkce pomocí systému MAPLE. Průběh funkce pomocí systému MAPLE. Vyšetřování průběhu funkce je komplení a někdy velmi obtížná úloha. V konkrétních aplikacích nás většinou zajímají jen některé otázky týkající se průběhu dané funkce.

Více

Matematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0

Matematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0 Rovnice tečny a normály Geometrický význam derivace funkce f(x) v bodě x 0 : f (x 0 ) = k t k t je směrnice tečny v bodě [x 0, y 0 = f(x 0 )] Tečna je přímka t : y = k t x + q, tj y = f (x 0 ) x + q; pokud

Více

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel. 5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených

Více

Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: =, 0 = 1 = 1. ln = +,

Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: =, 0 = 1 = 1. ln = +, Příklad Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: a) =, 0= b) =, = c) =2, = d) =2, 0= e) =, 0= f) 2 =0, = g) + =0, h) =, = 2 = i) =, 0= j) sin+cos=0,

Více

Průběh funkce pomocí systému MAPLE.

Průběh funkce pomocí systému MAPLE. Průběh funkce pomocí systému MAPLE. Vyšetřování průběhu funkce je komplení a někdy velmi obtížná úloha. V konkrétních aplikacích nás většinou zajímají jen některé otázky týkající se průběhu dané funkce.

Více

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................

Více

Příklady k analytické geometrii kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky

Příklady k analytické geometrii kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky Příklady k analytické geometrii kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky Př. 1: Určete rovnice všech kružnic, které procházejí bodem A = * 6; 9+, mají střed na přímce p: x + 3y 18 = 0 a jejich poloměr

Více

Diferenciální rovnice 1

Diferenciální rovnice 1 Diferenciální rovnice 1 Základní pojmy Diferenciální rovnice n-tého řádu v implicitním tvaru je obecně rovnice ve tvaru,,,, = Řád diferenciální rovnice odpovídá nejvyššímu stupni derivace v rovnici použitému.

Více

Funkce jedné proměnné

Funkce jedné proměnné Funkce jedné proměnné Příklad - V následujících příkladech v případě a) pro funkce dané rovnicí zjistěte zda jsou rostoucí klesající nebo konstantní vypočítejte průsečíky grafu s osami souřadnic a graf

Více

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Závislosti a funkční vztahy Gradovaný řetězec úloh Téma: Kvadratická funkce Autor: Kubešová

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Vyšetřování průběhu funkce pomocí programu MatLab. 1. Co budeme potřebovat?

Vyšetřování průběhu funkce pomocí programu MatLab. 1. Co budeme potřebovat? Vyšetřování průběhu funkce pomocí programu MatLab K práci budeme potřebovat následující příkazy pro 1. Co budeme potřebovat? (a) zadání jednotlivých výrazů symbolicky (obecně) (b) řešení rovnice f()=0,

Více

Lineární funkcí se nazývá každá funkce, která je daná rovnicí y = ax + b, kde a, b jsou reálná čísla.

Lineární funkcí se nazývá každá funkce, která je daná rovnicí y = ax + b, kde a, b jsou reálná čísla. Lineární funkce Lineární funkcí se nazývá každá funkce, která je daná rovnicí y = ax + b, kde a, b jsou reálná čísla. Číslo b je hodnota funkce f v bodě 0. Definičním oborem lineární funkce je množina

Více

8.1. Určete všechny lokální extrémy funkce f(x, y) = x 2 + arctg 2 x + y 3 + y, x, y R.

8.1. Určete všechny lokální extrémy funkce f(x, y) = x 2 + arctg 2 x + y 3 + y, x, y R. Řešené příklady k extrémům funkcí více proměnných 8 Určete všechny lokální extrémy funkce fx y x + arctg x + y + y x y R Řešení Funkci f si vyjádříme jako součet f + f kde f x x + arctg x x R f y y + y

Více

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce 5. Funkce 8. ročník 5. Funkce 5.. Opakování - Zobrazení a zápis intervalů a) uzavřený interval d) otevřený interval čísla a,b krajní body intervalu číslo a patří do intervalu (plné kolečko) číslo b patří

Více

5. Lokální, vázané a globální extrémy

5. Lokální, vázané a globální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

Definice globální minimum (absolutní minimum) v bodě A D f, jestliže X D f

Definice globální minimum (absolutní minimum) v bodě A D f, jestliže X D f Výklad Globální extrémy mají stejný význam jako u funkcí jedné proměnné. Hledáme je bud na celém definičním oboru dané funkce, nebo na předem zadané podmnožině definičního oboru. Definice 6..1. Řekneme,

Více

Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická

Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická Variace 1 Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více