Výfučtení: Goniometrické a cyklometrické funkce

Transkript

1 Troh historie Výfučtení: Goniometriké yklometriké funke Bvíme-li se o goniometrikýh funkíh ( v souvislosti s nimi i o funkíh yklometrikýh) musíme si uvědomit, že v průěhu čsu yly vnímány velmi odlišně. Věnujme tedy n zčátku tohoto povídání pár řádků historii jejih vzniku jk se postupně vyvíjely nše pozntky o nih. V dnešní doě definujeme rovinný úhel jko část roviny omezenou dvěm polopřímkmi se společným počátkem. Ovšem zrod tohoto pojmu je spojen s dělením kruhu. Stří Byloňné dělili kruh n 60 shodnýh částí (výsečí), které nzývli stupně, dále pk kždý stupeň dělili n dlšíh 60 částí nzývnýh minuty. Toto dělení od nih převzli Řekové, čkoliv je šedesátková soustv zstrlá, přetrvl dodnes. Do této doy yl vrholem práe s nimi pozntek o podonosti trojúhelníků. Dlší vývoj n poli trigonometrie yl podníen stronomií. Strořeký stronom Hipprhos z Nikie ( př. n. l.) potřeovl pro své výpočty tulky trigonometrikýh poměrů, které všk do jeho doy neexistovly. Vzl tedy v úvhu liovolný trojúhelník, jemuž opsl kružnii, čímž se kždá strn stl tětivou této kružnie jko tkové jí příslušel středový úhel. K výpočtu velikostí různýh prvků v trojúhelníku ylo tedy tře stnovit délku tětivy příslušné dnému středovému úhlu. Tento úkon (rozvinutý Kludiem Ptolemiem) yl hlvním ojektem zájmu strověkýh učenů. Po rozpdu řeké společnosti se vývoj přesunul do Indie, kde yly zvedeny mnohem přesnější definie rozšířeny znlosti o goniometrikýh funkíh. Indiké vědomosti yly následně přeloženy zdokonleny v Aráii, kde už používli všeh 6 goniometrikýh funkí spolu s jejih velie přesnými podronými tulkmi. Z této doy existuje oznčení sinu ltinsky záliv, záhy. Oznčení vzniklo nesprávným překldem právě z děl rskýh mtemtiků. Teprve ž v 15. stol. se vývoj přesunul do Evropy. Až v této doě se zčlo měnit dosvdní pohlížení n goniometrii jkožto doplněk stronomie dokone ž n koni 16. stol. yly tyto funke poprvé definovány přes prvoúhlé trojúhelníky. Poslední hluokou změnu v hápání goniometrikýh funkí umožnilo ž dílo jednoho z nejslvnějšíh mtemtiků všeh do Leonrd Euler v roe Teprve on přetvořil do té doy pouze numeriky vyčíslovné tulizovné trigonometriké hodnoty ve funke, které dokázl vyjádřit ve formě nekonečného součtu (hápejte tk, že čím víe členů sečteme, tím přesnější dostneme výsledek) tk, y se dl hodnot funke v odě jednoduše vyčíslit. Díky tomuto zvedení už Euler neomezovl nutnost spojovt hodnoty sinu, osinu td. s prvoúhlým trojúhelníkem oprostil se tk od tisíiletého pohledu n tyto funke jkožto n úsečky o určité déle. Od do Euler n ně pohlížíme jko n čísl. S touto hluokou změnou vnímání yhom měli n hvíli odočit k dnešní terminologii. Česká mtemtiká terminologie je totiž jedn z těh, ve kterýh se ujl návrh význmného mtemtik, fyzik didktik Felixe Klein ( ), který n počátku 0. století proszovl její změnu. Ve většině osttníh jzyků nrzíte pouze n termín trigonometriké funke, či trigonometrie. Toto oznčení všk poukzuje pouze n strší hápání význmu těhto funkí o němž je psáno výše goniometrie pohází z řečtiny znmená měření úhlů, trigon se pk překládá jko trojúhelník (dnes už nejsou goniometriké funke omezovány pouze n trojúhelníky, přípdně úsečky). Proto v češtině nrážíme hlvně n goniometriké funke odlišujeme trigonometrii jko podoor goniometrie zývjíí se původní plikí goniometrikýh funkí n geometrii trojúhelníků, ztímo v jinýh jzyíh přetrvlo jen jedno zvádějíí oznčení... 1

2 Úhel Definie úhlu popsán výše nám říká, že úhel je vlstně částí roviny. Musíme tedy rozlišovt mezi termíny úhel velikost úhlu, s níž prují goniometriké funke. Proto se udeme vit o tom, jk zpst velikost úhlu. Dnes se můžete setkt se dvěm různými jednotkmi. Díky novověkému pohledu n goniometriké funke jejih užití ve vyšší mtemtie ve fyzie je přirozenější úhly vyjdřovt v oloukové míře s jednotkou rdián nmísto stupňové. Jeden rdián je středový úhel, který přísluší olouku o stejné déle, jko je poloměr kružnie. Z této definie vyplývá, že plný úhel má π rdiánů (1 rd. = 57,. = ). Převody mezi stupni rdiány hledejte v tule níže. Smotné slovo rdián nvrhl v roe 1871 Jmeson Thomson. Zprvidl se všk z dorýh důvodů oznčení rdián neuvádí ztotožňuje se s jedničkou, tkže npříkld π rd = π = 60. Zvedení trigonometrikýh funkí Definovt goniometriké funke můžeme hned několik způsoy, my si všk ztím ukážeme ten nejjednodušší v prvoúhlém trojúhelníku. C γ C γ A β B β A B Or. 1: Podoné trojúhelníky N orázku vidíme dv prvoúhlé trojúhelníky ABC A B C se shodným úhlem. Jsou tedy podoné podle věty uu, z čehož plynou rovnosti následujííh poměrů =, =, =, =, =, =. Vidíme, že tyto poměry jsou vždy kldné u všeh podonýh prvoúhlýh trojúhelníků shodné, resp. nezávisí n délkáh jejih strn, le jen pouze n velikosti vnitřního úhlu k němuž tyto poměry vzthujeme. Těmto poměrům říkáme sinus, kosinus, tngens, kotngens, sekns kosekns 1 úhlu sin =, os =, tg =, otg =, se =, ose =. 1 V dnešní doě se sekns kosekns mimo nglosský svět příliš nepoužívjí, proto se těmito funkemi neudeme v nšem textu dále zývt.

3 Musíme si vždy uvědomit, ke kterému úhlu dné funke vzthujeme. Npříkld sinus úhlu β ude poměr strn, ne jko pro úhel! Vzhledem k tomu, že jsme zvedli pouze trigonomotriké funke, v trojúhelníku, můžeme doszovt úhly v rozmezí (0 ; 90 ) (0; π/). Tulk zákldníh úhlů Tulk 1: Důležité hodnoty goniometrikýh funkí sin os tg π π π 90 π neexistuje K čemu je to vlstně doré? Ukážeme si nejjednodušší použití n následujíím příkldu: Určete délky všeh strn prvoúhlého trojúhelníku ABC s prvým úhlem při vrholu C, víte-li, že při ěžném znčení (proti vrholu A je strn úhel při něm je, stejným způsoem i pro osttní vrholy, strny úhly) β = 60 AB = 6. Z definie sinu pltí sin β = AC AB, AC = AB sin β, AC = 6 sin 60 = 6 =. Zývjíí strnu můžeme dopočítt pomoí Pythgorovy věty, my všk použijeme opět trigonometrii. Protože + β + γ = 180, tk = 180 γ β = = 0,

4 Pro sinus úhlu pltí sin = BC AB, BC = AB sin, BC = 6 sin 0 = 6 1 =. Trojúhelník ABC má tedy strny délky 6;. Rozšíření n oený trojúhelník Trigonometriké funke se djí používt kromě prvoúhlého i v oeném trojúhelníku. Toto zoenění s seou přináší nutnost rozšíření definičního ooru i n tupé úhly (tedy n intervl [0; π]). Ayhom mohli dopočítávt délky strn v liovolném trojúhelníku, udeme potřeovt znát nové trigonometriké identity, jimiž jsou sinová kosinová vět. Při ěžném znčení pltí sinová vět kosinová vět = sin sin β, = sin β sin γ, = + os, = + os β, = + os γ. = sin γ sin, Všimněme si, že jestliže ude trojúhleník ABC prvoúhlý s prvým úhlem při vrholu C, přehází třetí rovnie do tvru Pythgorovy věty = + (protože os(π/) = 0). Zvedení goniometrikýh funkí Jestliže definujeme goniometriké funke pomoí tzv. jednotkové kružnie, můžeme dále rozšířit definiční oor těhto funkí. Tkto definovné funke jedné proměnné nházejí široké upltnění npříč mtemtikou, fyzikou jinými oory. N dlšíh řádíh popíšeme některé vlstnosti jednotlivýh funkí n rozšířeném definičním ooru: Sinus kosinus tyto dvě funke mjí velmi podoné vlstnosti, do oou můžeme dosdit jkékoli číslo, oě vám n výstupu djí číslo od 1 do 1. Oě jsou to periodiké funke s periodou π. Pokud tedy do funkí dosdíme úhel o liolný násoek π větší, dostneme to smé číslo. Pltí tedy pro ně vzthy sin (x + kπ) = sin(x) os (x + kπ) = os(x), k je liovolné elé číslo. Sinus je lihá funke, symoliky tedy sin( x) = sin(x), ztímo kosinus je funke sudá, tedy os( x) = os(x). Tngens je definovný jko podíl sinu kosinu. V mtemtie nemůžeme dělit nulou, proto tngens existuje jenom v odeh x, pro které os(x) 0. Nemůžeme tedy doszovt úhly π/, π/, 5π/ td. Funke n výstupu dává všehn reálná čísl, tedy i větší jko 1 neo menší 4

5 sin Or. : Sinusoid os Or. : Kosinusoid jko 1. Jedná se o lihou periodikou funki (period je π): tg( x) = tg(x), tg (x + kπ) = = tg(x). Kotngens je definovný jko podíl kosinu sinu, proto musí pltit sin(x) 0. Můžeme doszovt tedy okoliv s výjimmkou všeh násoků úhlu π. Stejně jko tngens nám dá jkékoliv číslo je to tké lihá periodiká funke: otg( x) = otg(x) otg (x + kπ) = otg(x). Cyklometriké funke Dosud jsme řešili pouze prolém hledání funkční hodnoty pro dný úhel, npříkld sin(0 ) =?. Co když le máme dnou pouze onu funkční hodnotu máme zjistit, kterému úhlu náleží kupříkldu sin(x) = 0,5; x =?. K tomuto účelu sloužejí právě yklometriké funke, které jsou jen jiným oznčením pro inverzní funke ke goniometrikým funkím (tzn., že do nih hodíme jink funkční hodnotu vypdne z ní hodnot úhlu). Slovní oznčení jsou rkussinus (rsin), rkuskosinus (ros), rkustngens (rtg) rkuskotngens (rotg). N klkulčkáh se z důvodu úspory míst setkáme spíše s oznčením sin 1, os 1 pod., nepleťte si toto oznčení s moninmi, nejedná se o převráené hodnoty goniometrikýh funkí. Jedné hodnotě sinu kosinu připdá nekonečně mnoho úhlů, přičemž úhel, který ptří do intervlu [0 ; 60 ] = [0; π] nzýváme úhlem zákldním. Pro zájeme Definiční oor je množin všeh čísel, které můžeme do funke dosdit. 5

6 tg Or. 4: Tngent Zákldní goniometriké vzore Při různýh výpočteh se jistě setkáte s nutností zjednodušit nějký hrůzostršně vypdjíí výrz. K tomu vám jistě přijdou vhod následujíí identity. sin + os = 1, sin( ± β) = sin os β ± os sin β, os( ± β) = os os β sin sin β. Pokud vás udou zjímt dlší vzthy, tře pro tngens, neváhejte njděte si je. Fyzikální plike Goniometriké vzore nhází upltnění, jk již ylo řečeno, npříč elou mtemtikou, fyzikou tehnikými oory. Při řešení tohoto semináře se jistě setkáte s těmito funkemi při skládání sil (oeně při prái s vektory), zmiňme kupříkldu rozkld sil n nkloněné rovině td. Goniometriké funke se používjí při popisu kmitvého pohyu, elektromegnetikého vlnění... Jejih použití je nesmírně široké. Fyzikální korespondenční seminář je orgnizován studenty MFF UK. Je zstřešen Oddělením pro vnější vzthy propgi MFF UK podporován Ústvem teoretiké fyziky MFF UK, jeho změstnni Jednotou českýh mtemtiků fyziků. Toto dílo je šířeno pod liení Cretive Commons Attriution-Shre Alike.0 Unported. Pro zorzení kopie této liene, nvštivte 6