Maturitní nácvik 2008/09

Transkript

1 Maturitní nácvik 008/09 1. Parabola a) Načrtněte graf funkce y ² a z grafu vypište všechny její vlastnosti. b) Určete čísla a,b,c tak, aby parabola s rovnicí y a + b + c procházela body K[1,-], L[0,-1], M[,-1]. Dále určete souřadnice vrcholu, ohniska a rovnici řídící přímky.. Kružnice a) Je dána kružnice l(o,r), přímka p, která ji protíná ve dvou bodech, a bod B, který leží na přímce p vně kružnice. Sestrojte všechny kružnice, které se dotýkají kružnice l a přímky p v bodě B. b) Napište rovnici kružnice, která prochází body A[; -1] a B[1; 1] a její střed leží na ose y. c) Jsou dány dvě nesoustředné kružnice s různými poloměry protínající se ve dvou bodech. Sestrojte jejich společné tečny.. Hyperbola + a) Je dána funkce y. Načrtněte její graf a z grafu vypište všechny její vlastnosti. 1 b) Bodem K[0;-] veďte všechny přímky, které mají s hyperbolou ² 4y² 0 16y 16 0 společný právě jeden bod. 4. Elipsa a) K elipse E: 9 + 4y 6 napište rovnice tečen, které jsou kolmé na přímku p: + y Dále určete body dotyku. b) Je dána kuželosečka o rovnici ² + y² + 4-1y Rovnici upravte a rozhodněte, o jakou kuželosečku se jedná. Určete její charakteristické prvky. + 16y 16 c) Řešte graficky: 9 + y + y 9 > 1. Přímka a) Načrtněte graf funkce y a z grafu vypište všechny její vlastnosti. b) Jsou dány body A[1,-4], B[,-1], C[1,], které určují vrcholy trojúhelníku ABC. Určete střed kružnice opsané a parametrické rovnice přímek, které procházejí jeho stranami. c) Bodem P[,] veďte přímku p a bodem Q[-6,4] přímku q. Přímky p a q jsou na sebe kolmé a jejich průsečík leží na ose. Napište rovnice přímek p, q. 6. Metrické vlastnosti v prostoru řešené analyticky a) Určete vzdálenost d bodu P[7; -; ] od přímky AB, kde A[1; -; -] a B[4; ; ]. b) Jsou dány body A[; 0; ], B[; -1; ], C[4; -; 0], D[; ; -1], E[0; 0; 8], F[6; ; -1]. Vypočítejte odchylku rovin BCD a AEF. 7. Goniometrické funkce π π a) Načrtněte grafy funkcí y sin + 1 a 1 6 y tg +. b) Na kopci stojí rozhledna, jejíž výška v m. Její patu a vrchol vidíme z místa v údolí ve výškových úhlech α 9 ' a β 1 47'. Jak vysoko je vrchol kopce nad pozorovacím místem?

2 8. Polohové vlastnosti v prostoru řešené analyticky a) Napište obecnou rovnici roviny ρ, která je rovnoběžná s rovinou δ a prochází společným bodem rovin α,β,γ. α: - + y - z - 0 β: - y - z + 0 γ: 1 + r δ: 6 - t + u y 1 + r + s y + 4t - u z - + s, r,s є R z 1 - t, t,u є R b) Rozhodněte, jakou vzájemnou polohu mají roviny ρ: - y + z a σ: 4 + y - z + 0. Jsou -li různoběžné, určete jejich průsečnici: 9. Integrální počet a) Určete primitivní funkce: 1) d ) 1+ ln d ) cos d 1+ sin b) Načrtněte rovinný obrazec ohraničený křivkami y 4, y a vypočítejte jeho obsah. 10. Průběh funkce 4 1 a) Určete intervaly monotónnosti funkce y. b) Určete etrémy funkce y ln. c) Určete intervaly konvenosti a konkávnosti funkce y. ( 1) 11. Logaritmické funkce a) Definujte logaritmickou funkci, načrtněte graf a určete její vlastnosti. b) Načrtněte graf funkce y log (² 4 ) 1. c) Řešte v R: log4 ( + ) log4 ( 1) log48 log 0, ( + 4) 1. Mocnina, mocninné funkce a) Načrtněte grafy mocninných funkcí pro celočíselné eponenty. Určete definiční obor, obor hodnot, průsečíky grafu s osami a vlastnosti funkce y b) Řešte v R: + 0 a b c) Daný výraz upravte a určete podmínky, za kterých má smysl:. b a 1. Absolutní hodnota a) Řešte v R: 4 +1 < b) Načrtněte graf funkce y 1. c) Řešte graficky: z 4 i z + i

3 14. Stereometrie a) Je dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV. Sestrojte řez jehlanu rovinou BKL, jestliže K CV a přitom VK : VC : 4, L AV a přitom AL : LV : 1. b) Je dána krychle ABCDEFGH, bod M je střed hrany CD, bod N je střed hrany AD. Určete odchylku roviny ABC a roviny MNH. 1. Kombinatorika a pravděpodobnost a) Jestliže se počet prvků zmenší o dva, potom se počet tříčlenných variací bez opakování zmenší desetkrát. Kolik je dáno prvků? b) Určete, kolika způsoby se v pětimístné lavici může posadit pět hochů, jestliže dva chtějí sedět vedle sebe. c) Ze všech černých šachových figurek bez krále a dámy (tj. věže, jezdci, střelci, 8 pěšáků) vybereme a) trojici, b) dvojici. Jaký je počet možností pro jejich složení? d) Z úplné hry karet vytáhneme karty. Jaká je pravděpodobnost, že budou obě křížové nebo obě sedmičky? 16. Obvody, obsahy, objemy, povrchy a) Do kružnice o poloměru 4 cm je vepsán pravidelný pětiúhelník. Vypočítejte obsah jedné kruhové úseče ohraničené stranou pětiúhelníku a kružnicí. b) Vypočtěte objem a povrch kulové výseče, má-li kulová úseč, která je částí výseče, poloměr podstavy r1 6 cm a výšku v cm. 17. Komplení čísla a) Vyjádřete v algebraickém tvaru: [ 4( cos 0 + i sin 0 )] [ 8( cos 40 + i sin 40 )] π π cos + i sin b) Vyjádřete v goniometrickém tvaru: 4 4 cos π i sin π 6 6 i 1 4i + 1 c) Upravte daný výraz: + + i i Trojúhelníky a mnohoúhelníky a) Je dána úsečka AA 0, AA 0,8 cm. Sestrojte všechny trojúhelníky ABC, ve kterých je AA 0 výškou v a a dále je dáno v c 4, cm, γ 0. b) Je dán trojúhelník ABC, kde A[-4,-], B[4,-], C[-,1]. Napište obecnou rovnici těžnice tc. c) Nad stranami AC a BC ostroúhlého trojúhelníku ABC sestrojte čtverce ACRS a BPQC, které leží vně trojúhelníku ABC. Dokažte, že AQ BR. 19. Shodnost útvarů v rovině a) Jsou dány dvě kružnice k1 a k, které mají dva různé společné body C a Q. Sestrojte trojúhelník ABC tak, aby vrchol A ležel na kružnici k1 a vrchol B na kružnici k a strana AB byla bodem Q půlena. b) Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: c 6 cm, va, cm, a + b 9 cm.

4 0. Podobnost útvarů v rovině a) Jsou dány dvě kružnice k1(o1,4 cm), k(o, cm), které se protínají v bodech R, Q. Bodem Q veďte přímku AB tak, aby bod A ležel na kružnici k1, bod B na kružnici k a aby platilo QB AQ. b) V lichoběžníku ABCD označte S průsečík úhlopříček. Dokažte, že platí: trojúhelník SAB je podobný trojúhelníku SCD. 1. Derivace funkce 1 a) Je dána funkce y. Určete tečnu jejího grafu rovnoběžnou s osou prvního a třetího kvadrantu. b) Do půlkružnice o poloměru r vepište pravoúhelník maimálního obsahu.. Racionální čísla a) Daný výraz upravte a určete podmínky, za kterých má smysl: b) Řešte v R: ( 1) c) Řešte v Z: Matematický aparát kombinatoriky 1 a) Který člen binomického rozvoje výrazu b) Řešte v N0: 1) ( n + )! ( n + )! + > n +! n + 1! ( ) ( ) 10 obsahuje 6? 1 ) Algebraické rovnice a nerovnice a) Aniž rovnici řešíte, sestavte všechny kvadratické rovnice, jejichž kořeny jsou čísla třikrát větší než kořeny původní rovnice. b) Řešte v N: < 1 c) Řešte v R rovnici s reálným parametrem a: a 1. Soustavy rovnic a nerovnic + y 1 a) Řešte v C soustavu: + y i b) Řešte v R soustavu nerovnic:

5 6. Goniometrické výrazy, goniometrické rovnice a) Dokažte danou rovnost a určete podmínky, za kterých platí sin cos + 1 sin + sin sin + cos cos + cos b) Řešte rovnici s neznámou R: 1sin 4 + sin Iracionální čísla a) Řešte v R: 8 + > 6 b) Jsou dány úsečky délek a, b, c. Sestrojte úsečku délky : a c a b + b 8. Posloupnosti a řady a) Určete R tak, aby čísla: a1 + ; a ; a 16, tvořila následující členy AP. 4 b) Řešte v R rovnici: c) Dokažte matematickou indukcí: Pro každé přirozené číslo n platí: 1.1! +.! +.! +. + n.n! (n + 1)! Metoda souřadnic v matematice a) Jsou dány body A[; -1; ], B[1; ; ], C[; 1; ]. V trojúhelníku ABC vypočítejte - velikosti vnitřního úhlu při vrcholu A - obsah trojúhelníka - délku těžnice tc. b) V trojúhelníku ABC jsou dány vrcholy A[-,1], B[,1] a průsečík výšek V[,-]. Určete souřadnice vrcholu C. 0. Eponenciální funkce a) Definujte eponenciální funkci, načrtněte graf a určete její vlastnosti b) Načrtněte graf funkce y 1. c) Řešte v R: 1) )