M N O Ž I N Y B O D D A N É V L A S T N O S T I V R O V I N 3 HODINY
|
|
- Věra Havlíčková
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 M N O Ž I N Y B O D D A N É V L A S T N O S T I V R O V I N 3 HODINY V této kapitole se budeme zabývat množinami (skupinami) bod, které spojuje njaká spolená vlastnost. Tato vlastnost je pro všechny body této množiny (skupiny) charakteristická a body, které tuto vlastnost nemají, do této množiny (skupiny) nepatí. Pokusme se to nejprve osvtlit na píklad, který s geometrií nesouvisí. Píklad 1: Napiš všechna ísla, pro která platí: jsou menší než deset a jsou to prvoísla Prvoísla jsou taková pirozená ísle, která jsou dlitelná pouze jednikou a sama sebou. Prvoísla menší než deset jsou tedy následující ísla: 1, 2, 3, 5, 7. Mžeme tedy íci, že ísla 1, 2, 3, 5, 7 patí do množiny (skupiny), která má tu vlastnost, že její prvky (ísla) jsou pirozená ísla menší než deset a jsou to prvoísla. Žádný jiný prvek (íslo) již do dané množiny nepatí. Napíklad íslo 8 je sice menší než deset, ale není to prvoíslo (je dlitelné 1, 2, 4, 8). íslo 11 rovnž do dané množiny nepatí je to sice prvoíslo, ale není menší než deset. Stejn budeme chápat s pojem množina bod dané vlastnosti i v geometrii! Poznámka: slovo skupina jsem doposud používal proto, že je pojmu množina velmi blízké a urit jsi ho již nkdy slyšel. Myslím, že už jsi pojem množina dostaten pochopil, a proto již budu hovoit pouze o množinách, nikoliv o skupinách.. ZÁKLADNÍ MNOŽINY BOD Píklad 2: Podívej se na následující obrázek. Je na nm narýsována kružnice k( S; r 4cm). Poté odpovídej na mé otázky
2 ? Co mžeš íci o bodech A, D, E, G, I? Všechny body leží na kružnici k? Jaká je jejich vzdálenost od stedu S? Je pro všechny body stejná je rovna polomru r = 4 cm je to vlastnost všech tchto bod? Má bod F také takovou vlastnost? Nemá, bod F má od stedu S vzdálenost vtší než 4 cm, proto neleží na kružnici? A co bod H? Jeho vzdálenost od S je menší než 4 cm, proto také neleží na kružnici? Které další body nemají od bodu S vzdálenost 4 cm? B, C? Dokážeš íci, co to tedy vlastn kružnice je? Kružnice k(s;r) je množina všech bod X roviny, které mají od bodu S vzdálenost r Píklad 3: Narýsuj si úseku AB, která má délku 8 cm a sestroj její osu. Poté si na této ose zvol libovoln body C, D. mimo osu si zvol body E, F.
3 ? Zm vzdálenost bodu C ležícího na ose od krajních bod úseky AB. Co jsi zjistil? Bod C má od obou bod stejnou vzdálenost, platí tedy CA = CB? Zm vzdálenost bodu D ležícího na ose od krajních bod úseky AB. Co jsi zjistil? Bod D má od obou bod stejnou vzdálenost, platí tedy DA = DB? Zm si vzdálenost bodu E, který na ose neleží, od krajních bod AB. Co jsi zjistil? Bod E má od obou bod rznou vzdálenost, platí tedy EA > EB? Dokážeš tedy pomocí vlastnosti bod íci, co to vlastn osa úseky je? Osa o úseky AB je množina všech bod, které mají od bod A, B stejnou vzdálenost Píklad 4: Narýsuj si pímku p. Poté si zkus vyznait body A, B, C, D, které mají od pímky p stejnou vzdálenost 3 cm. Libovoln si pak vyzna body E, F, G, H, které mají od pímky p vzdálenost menší i vtší než 3 cm Než pistoupíme k ešení, uvdom si, jak míme vzdálenost bodu od pímky. Podívej se na obrázek: je na nm dán bod A a pímka p s body S, T, X, Y.
4 v( A; p) AX - protože AX p Zapamatuj si: Slovem vzdálenost obvykle myslíme nejmenší délku, vzdálenost míme na kolmici A nyní se vrame k naší úloze. Narýsuj si nejprve body A,B,C,D:? Jakou mají body A,B,C,D spolenou vlastnost? Všechny mají od pímky p vzdálenost 3 cm: v( A; p) v( B; p) v( C; p) v( D; p) 3cm? Dokážeš si sám vyznait další body (udlej to), které mají tutéž vlastnost?
5 Urit ano udlej si sám? Kolik takových bod je? Je jich nepoítan (matematik by ekl nekonen mnoho? Když všechny body s touto vlastností spojíš, co dostaneš? Dostanu dv pímky q, q (viz obrázek)? Dokážeš danou množinu bod popsat? Množinou všech bod, které mají od dané pímky p stejnou vzdálenost d cm, jsou dv rovnobžky q, q vzdálené o d cm od dané pímky p. Nyní si náš obrázek doplníme o zbývající body E,F,G,H, jejichž vzdálenost od pímky p je rzná od 3 cm:
6 ? Které body mají tu vlastnost, že jejich vzdálenost od pímky p je vtší než 3cm? F, G každý z tchto bod má tuto vlastnost? Které body mají tu vlastnost, že jejich vzdálenost od p je vtší nebo rovna 3cm? A, B, C, D, F, G každý z tchto bod má tuto vlastnost? Které body mají tu vlastnost, že jejich vzdálenost od pímky p je menší než 3cm? E, H - každý z tchto bod má tuto vlastnost? Které body mají tu vlastnost, že jejich vzdálenost p je menší nebo rovna 3cm? A, B, C, D, E, H každý z tchto bod má tuto vlastnost? Dokážeš vyznait množinu všech takových bod, které mají od pímky p vzdálenost d menší nebo rovnou 3 cm?
7 Množinu bod, kterou si vyznail, nazýváme pás Pás je množina všech bod, které mají od dané pímky p vzdálenost menší nebo rovnou d (v našem píklad d = 3 cm). Píklad 5: Jsou dány rznobžky a, b. Jejich prseík si ozna V. Vyzna si dále úhly vedlejší úhly, u prseíku V. Sestroj si osy úhl,. Na jedné z os si zvol bod X.? Co nám udlá osa úhlu o s úhlem? Rozdlí nám úhel na dva shodné úhly /2? Všimni si trojúhelník VXY a VXY, co o nich mžeš íci? Jsou to shodné pravoúhlé trojúhelníky, krom pravého úhlu mají shodný i úhel u vrcholu V, trojúhelníky se tedy shodují podle vty uuu ve všech vnitních úhlech.? Co tedy platí pro vzdálenost bodu X od rznobžek (ramen úhlu) a, b? Je shodná, protože se jedná o shodné trojúhelníky. Platí tedy: XY XY? Dokážeš tedy pomocí vlastnosti bod íci, co to vlastn osa úhlu je? Osy úhl s rameny na rznobžkách a, b a s vrcholem v jejich prseíku V tvoí množinu všech bod, které mají od rznobžek a, b stejnou vzdálenost.
8 Z Á V R E N É S H R N U T Í Pro Tvj pehled uvádím pehled všech množin bod, které jsme si probrali. Navíc ješt uvedu další jednoduché množiny bod. S tmito základními množinami se budeme velmi asto setkávat v dalších kapitolách pi rzných konstrukcích. 1. Kružnice: Kružnice k(s;r) je množina všech bod X roviny, které mají od bodu S vzdálenost r 2. Kruh
9 Kruh K(S;r) je množina všech bod X roviny, které mají od bodu S vzdálenost menší nebo rovnou r 3. Osa úseky: Osa o úseky je množina všech bod, které mají od krajních bod úseky stejnou vzdálenost
10 4. Pás Pás je množina všech bod, které mají od dané pímky p vzdálenost menší nebo rovnou d cm 5. Osa pásu Osa pásu je množina všech bod, které mají od daných dvou rovnobžek a, b stejnou vzdálenost
11 5. Pímka vzdálená o d cm od pímky p Množinou všech bod, které mají od dané pímky p stejnou vzdálenost d cm, jsou dv rovnobžky q, q vzdálené o d cm od dané pímky p. 6. osa úhlu
12 Osa úhlu je množina všech bod, které mají od obou ramen daného úhlu stejnou vzdálenost 7. Mezikruží Mezikruží je množina všech bod, které mají od stedu S vzdálenost vtší nebo rovnou r 1 a zárove menší nebo rovnou r 2 (r 1 < r 2 ) Píklad 6: Je dán rovnoramenný trojúhelník ABC s hlavním vrcholem C. Co je množinou všech bod tohoto trojúhelníku, které mají stejnou vzdálenost od obou jeho ramen?
13 Hledanou množinou je osa základny AB bez bodu S (prseík osy se základnou). Bod S do dané množiny nepatí, protože by se pak nejednalo o trojúhelník ASB. Píklad 7: Je dán kruh K, jehož hranicí je kružnice k ( S; r) a dva jeho navzájem kolmé prmry AB, CD. Co je množinou všech bod kruhu K, které jsou stejn vzdálené od pímek AB, CD? Rozbor úlohy: Budu Ti pokládat otázky. Zkus si na n nejprve sám odpovdt. Svou odpov si poté zkontroluj s mou odpovdí, které je vždy hned pod otázkou? Co je to kruh? Je to množina všech bod, které mají od bodu S vzdálenost menší nebo rovnou r.? Co je množinou všech bod, které jsou stejn vzdálené od prmr AB, CD? Jsou to osy úhl ASC a ASD? Co musí podle zadání platit pro množinu bod, kterou hledáme? Musí ležet jednak na jedné z os úhl ASC nebo ASD, ale také musí ležet v kruhu. Musí tedy ležet v prniku dvou množin bod kruhu K a jedné z os úhl ASC, ASD. Všimni si, že jsme neznámé body získaly jako prnik dvou množin bod (kruhu a osy úhlu). Pomocí prniku množin bod budeme v následujících kapitolách hledat neznámé vrcholy trojúhelník, tyúhelník, stedy kružnic atd. Na obrázku je výsledná množina bod vyznaena erven.
14 Píklad 8: Je dána pímka p a bod A, který na ni neleží. Po pímce p se pohybuje bod X. Urete množinu všech sted úseek AX Hledanou množinou je pímka q, která je rovnobžná s pímkou p a prochází stedem úseky AX. Pokud by si na to hned nepišel, mžeš si takových bod udlat více stejn jako já. Poté již na výslednou množinu bod snadno pijdeš.
15 Píklad 9: V rovin sou dány dva rzné body A, B. Vyšetete množinu všech bod X, pro které platí AX > BX Rozbor: Urit si vzpomeneš na ešený píklad 6. Výslednou množinou bod zde byla osa úseky. Pro ni platí, že AX = BX. Pokud si tuhle množinu nartneš, nebude pro tebe problém najít práv tu množinu bod, pro kterou platí, že AX > BX. Máš stejný výsledek jako já na následujícím obrázku?? Patí do zmínné množiny bod také body na ose? Nepatí, aby patili, musela by množina bod splovat bu rovnost AX = BX, nebo by nerovnost nesmla být ostrá (>), ale neostrá: AX BX. Píklad 10: Najdte množinu sted S kružnic o polomru 4 cm, které procházejí bodem X. Jedná se o velmi jednoduchou úlohu, jejíž zadání by se dalo pevézt na hledání všech bod, které mají od daného bodu X vzdálenost 4 cm. Urit víš, že takovou základní množinou bod je kružnice se stedem v bod X a polomrem 4 cm. A skuten, každý bod na této kružnici pedstavuje sted S kružnice k, která má polomr 4 cm a prochází bodem X (na obr. jsou takové kružnice zobrazeny tyi.
16 Píklad 11: Najdte množinu sted kružnic, které se dotýkají dané pímky p a mají daný polomr r = 4 cm. Opt velmi jednoduchá úloha, která je velmi podobná úloze o hledání všech bod, které mají od dané pímky p stejnou vzdálenost r. Takovou množinou byly dv rovnobžky a, b ve vzdálenosti r od pímky p. Tyto rovnobžky jsou hledanou množinou sted kružnic.
17 Píklad 12: Najdte množinu sted kružnic, které se dotýkají daných dvou rovnobžek a, b. Opt se jedná o velmi podobnou úlohu k úloze o hledání všech bod,které jsou stejn vzdálené od rovnobžek a, b. Hledanou množinu všech sted kružnic je osa pásu, který rovnobžky a, b vymezují. Píklad 12: Najdte množinu sted S kružnic k o polomru r 1 = 2 cm, které se dotýkají dané kružnice l( O; r 4cm). Ze zadání víme, že sted S musí být od kružnice l( O; r 4cm) vzdálen 2 cm, aby se kružnice o polomru r 1 = 2 cm kružnice l( O; r 4cm) dotýkala. Stedy S tedy musí ležet bu na soustedné kružnici l1 ( O; r 4cm 2cm 6cm) nebo na soustedné kružnici l2 ( O; r 4cm 2cm 2cm).
18 Píklad 13: Jsou dány kružnice m( M ; r 5cm); n( N; r 6cm), piemž pro vzdálenost jejich sted (stednou) platí a) MX 5 cm a zárove NX 6 cm b) MX < 5 cm a zárove NX > 6 cm MN 4cm. Sestrojte množinu všech takových bod X, pro nž platí: Nejprve se podíváme na cviení a). Podívej se na následující obrázek. Co na nm vidíš? MX 5cm NX 6cm Na pedchozím obrázku máš znázornny ob množiny bod. Modrou je znázornna množina všech bod X, pro niž platí MX 5cm. Výslednou množinou je kruh. Žlutou barvou je pak znázornna množina všech bod, jejichž vzdálenost od bodu N je menší nebo rovna 6 cm.
19 Touto množinou je také kruh. Na následujícím obrázku je pak znázornna výsledná množina bod zelenou barvou.získáme ji jako prnik modré ( MX 5cm ) a žluté ( NX 6cm ). množiny. Jedná se o prnik kruh ohraniených kružnicemi m, n. b) Opt pi cviení postupuj tak, že si nejprve znázorníš ob množiny bod a poté vyznaíš jejich prnik. Já ti tentokrát znázorním pouze výslednou množinu bod. Zkus si odpovdt na následující otázky:? Co je množinou všech bod, pro nž platí MX < 5 cm? Je to vnitek kruhu ohranieného kružnicí m kružnice m do nj nepatí? Co je množinou všech bod, pro nž platí NX > 6 cm? Jsou to všechny body ležící mimo kruh ohraniený kružnicí n Výsledná množina bod je na obrázku znázornna zelenou barvou. Získáme ji tedy jako prnik vnitku kruhu ohranieného kružnicí m a vnjšku kruhu ohranieného kružnicí n.
20 Píklad 14: Narýsuj si libovolnou pímku p. Co je množinou sted všech kružnic, které mají polomr r = 5 cm a vytínají na pímce p ttivy dlouhé 8 cm. Nárt a rozbor: v nártu si zkusíme najít aspo jeden takový bod. Opt Ti budu pokládat otázky, které T dovedou k výsledku. Všimni si trojúhelníku XYS.? Co mžeš o trojúhelníku XYS íci?
21 Je to rovnoramenný trojúhelník se základnou (ttiva) dlouhou 8 cm a rameny (polomr) dlouhými 5 cm? Jaká je vzdálenost stedu S od pímky p? Na obrázku je oznaena erveným otazníkem a je rovna výšce na základnu rovnoramenného trojúhelníku.? Jaká je její velikost? Urím ji pomocí Pythagorovy vty hledaná vzdálenost je odvsnou SZ v pravoúhlém trojúhelníku:? Co je tedy hledanou množinou sted všech kružnic? Je to vlastn množina všech bod, které mají od pímky p vzdálenost 3 cm, jsou to tedy dv rovnobžky q, q vzdálené 3 cm od pímky p. Píklad 15: V rovin je dána úseka AB. Vyšetete množinu vrchol C všech trojúhelník, pro nž platí: a) = 45, má velikost nejvýše 45 b) i mají velikost nejvýše 45 Nejprve si je poteba uvdomit, co se skrývá pod slovem nejvýše 45 - znamená to, že úhel mí bu 45 nebo mén (nap. 30 nebo 5 ). Poté si zkus sám ob množiny bod ( = 45 ; 45 ) nakreslit. Poté zkoumej jejich prnik. Teprve poté si svj výsledek zkontroluj s mým. Úlohu budu ešit v polorovin, jejíž hranice je pímka procházející úsekou AB.
22 Na obrázku je modrou barvou znázornna nejvtší možná velikost úhlu (45 ), ržovou si vyznaeny úhly,, jejichž velikost je podle zadání menší než 45. Výsledná množina bod je pak vyznaena erven. Množinou bod je úseka AC 1 bez krajního bodu A (Pro?). Opt si zkus sestrojit pár bod C, které splují zadání: Myslím si, že nyní již pro tebe není problém píslušnou množinu bod zaznait. Jsou to všechny body uvnit trojúhelníku ABC 1 a všechny body úseek AC 1 (bez bodu A) a BC 1 (bez bodu B). Úseka AB do dané množiny nepatí ( Pro?)
23 Píklad 16 (obtížný a zajímavý): Je dán obdélník ABCD mající délky stran AB = 8 cm a BC = 4 cm. Najdte množinu sted všech kružnic, které jsou ástí obdélníku (nepesahují jej) a dotýkají se aspo dvou jeho stran (mohou se dotýkat dvou, tí nebo ty stran). Nejprve si takovou situaci nartneme, posléze se pokusíme na výslednou množinu formou otázek a odpovdí pijít:? Jaký polomr mže mít kružnice, aby splovala zadání? Musí mít polomr nejvýše 2 cm ( 2 cm nebo mén), jinak by její ást pesahovala obdélník? Jaký bude mít kružnice polomr, bude-li dotýkat pouze protjších stran AB, CD? Bude mít polomr 2 cm a její sted bude ležet na úsece XY ( Jaká bude její délka?)
24 ? Co platí pro stedy kružnic, které se dotýkají dvou sousedních stran (nap. AB, DA)? Sted kružnice musí být od tchto stran stejn vzdálen? Na které množin bod budou tyto stedy ležet? Na ose pravého úhlu u vrcholu A? Jaký bude mít kružnice polomr, bude-li dotýkat pouze sousedních stran AB, DA? Bude mít polomr nejvýše 2 cm Na obrázku jsou na ukázku dv takové kružnice. Kružnice se stedem X má polomr 2 cm, kružnice se stedem S má polomr menší než 2 cm. Oba stedy leží na množin bod, kterou je úseka AX bez bodu A. Stejn bychom postupovali pro další sousední strany. Nyní oba výsledky zakreslíme do jednoho obrázku a úloha je hotova. Výsledná množina je opt vyznaena erven:
25
26 C V I E N Í Úloha 1: Je dána kružnice k( S; r 3cm). Vyznate množinu všech bod X, pro které platí: SX < r SX r Úloha 2: Narýsujte množinu všech bod, které mají: stejnou vzdálenost od bod A, B, které jsou od sebe vzdálené 5 cm stejnou vzdálenost od rovnobžek p, q, jejichž vzdálenost je 5 cm stejnou vzdálenost od ramen tupého úhlu AVB o velikosti 140 Úloha 3: Narýsuj si soustedné kružnice se stedem S a polomry 3cm a 5 cm. Sestroj množinu bod, pro které platí: a) mají od bodu S vzdálenost vtší než 3 cm a menší než 5 cm b) mají od bodu S vzdálenost menší než 3 cm a vtší než 5 cm Úloha 4: Jsou dány dva rzné body A, B. Nartnte množinu všech bod X, pro které platí: AX BX AX < BX Úloha 5: Je dána kružnice k( S; r 3cm) a bod X, který se po ní pohybuje. Urete množinu sted všech úseek SX. Úloha 6: Je dána kružnice a bod X, který se po ní pohybuje. Urete množinu všech bod S soumrn sdružených s bodem S podle bodu X. Úloha 7: Je dána kružnice. Urete množinu všech bod S soumrn sdružených s bodem S podle všech teen kružnice k. Úloha 8: Jsou dány ti body A, B, C, které neleží v jedné pímce. Sestrojte množinu všech bod, které mají od všech bod stejnou vzdálenost. Úloha 9: Najdte množinu všech sted kružnice, které procházejí danými dvma rznými body A, B. Sami si ti takové stedy a píslušné kružnice narýsujte. Úloha 10: Najdte množinu sted kružnic, které se dotýkají dané pímky p v daném bod T Úloha 11: Najdte množinu sted kružnic, které se dotýkají dané kružnice l(o;r) v daném bod T. Úloha 12: Naleznte množinu sted všech kružnic, které mají s kružnicí k(s;r) vnitní dotyk v daném bod T, který leží na kružnici k vnjší dotyk v daném bod T, který leží na kružnici k Úloha 13: Najdte množinu sted kružnic, které se dotýkají dvou rznobžek p, q. Úloha 14: Je dána kružnice k(s;r = 5,5 cm). Naleznte množinu sted všech kružnic o polomru 2 cm, které se dotýkají kružnice k.
27 Úloha 15: Urete množinu sted všech kružnic s polomrem 2,5 cm, které na dané pímce p vytínají ttivy délky 3 cm Úloha 16: Jsou dány dv soustedné kružnice k 1, k 2 se stedem S a polomry 4 cm a 6 cm. Najdte množinu všech sted kružnic, které se dotýkají souasn obou soustedných kružnic. Úloha 17: Zvolte si dva rzné body A, B, které jsou od sebe vzdálené 5 cm. Urete množinu všech bod, které mají od obou bod stejnou vzdálenost 3,5 cm Úloha 18: V rovin je dána úseka AB. Vyšetete množinu vrchol C všech trojúhelník, pro nž platí: = 45, má velikost nejmén 30. Úloha 19: Jsou dány rznobžné pímky a, b. Vyšetete množinu všech bod roviny, které mají od pímky a vzdálenost nejvýše 3 cm a zárove od pímky b vzdálenost nejvýše 2 cm. Výsledky úloh: Úloha 1: Úloha 2: množinou bod je vnitek kruhu (bez kružnice) množinou bod je vše krom vnitku kruhu (kružnice a její okolí) množinou bod je osa úseky AB množinou bod je osa pásu, který je rovnobžkami p, q vytvoen (vzdálenost osy od obou rovnobžek je 1,5 cm) množinou bod je osa úhlu AVB Úloha 3: množinou bod je mezikruží se stedem S a polomry 3 cm a 5 cm, piemž body na kružnicích do výsledné množiny nepatí množinou bod je celá oblast bez mezikruží (kružnice s polomry 3cm a 5 cm do dané množiny opt nepatí) Úloha 4: množinou bod je polorovina (je dána bodem B a osou úseky AB, která je její hraniní pímkou), piemž hraniní pímka díky neostré nerovnosti patí do výsledné množiny bod (viz ešený píklad 9) množinou bod je polorovina (dána osou úseky a bodem A), piemž z dvodu ostré nerovnosti osa úseky nepatí do výsledné množiny bod Úloha 5: Množinou všech bod je kružnice o se stedem S a poloviním polomrem 1,5 cm. Úloha 6: Množinou všech bod je kružnice o se stedem S a dvojnásobným polomrem 3 cm.
28 Úloha 7: Množinou všech bod je kružnice o se stedem S a dvojnásobným polomrem 3 cm (namaluj si nkolik takových bod) Úloha 8: ešením je jediný bod sted S kružnice opsané bodm A, B, C Úloha 9: Hledanou množinou sted je osa úseky AB Úloha 10: Hledanou množinou sted je pímka kolmá na pímku p, která prochází bodem T. Polomr každé kružnice je roven ST. Opt si narýsuj ti stedy a píslušné kružnice. Úloha 11: Hledanou množinou bod je pímka p procházející body O, T. Bod T do výsledné množiny bod nepatí (Pro?). Polomr každé kružnice je roven ST. Narýsuj si ti stedy a píslušné kružnice. Úloha 12: množinou bod je polopímka TS bez bodu T množinou bod je polopímka opaná k polopímce TS opt bez bodu T Úloha 13: Hledanou množinou sted jsou osy úhl, které rznobžky svírají. Prseík os do výsledné množiny nepatí. Pokud jsi rýsoval správn, mli by Ti vyjít ob osy navzájem kolmé. Narýsuj si ti stedy a píslušné kružnice. Úloha 14: Hledanou množinou bod jsou soustedné kružnice se stedem S a polomry 7,5 cm a 3,5 cm Úloha 15: Hledanou množinou bod jsou rovnobžky q, q vzdálené od dané pímky p 2cm (viz ešený píklad 14) Úloha 16: Hledanými množinami jsou kružnice 1 1 l1 ( S; r ( r1 r2 ) 5cm a l2 ( S; r ( r2 r1 ) 1cm. Podívej se na obrázek: 2 2
29 Na obrázku jsou zadané kružnice k 1, k 2 znázornné barvou ernou, výsledné množiny sted kružnic l 1, l 2 barvou ervenou a píklady takových kružnic m, n barvou modrou. Polomry modrých kružnic jsou 1 cm a 5 cm (pokus se vysvtlit, pro) Úloha 17: Hledané body leží v prniku kružnic k1( A; r 3,5cm); k 2 ( B; r 3,5cm) Úloha 18: Nejmén 30 znamená, že úhel má bu 30 nebo více. Výsledná množina je znázornna na obrázku ervenou barvou (úhel spluje zadání má více než 30 ) Úloha 19: Výsledná množina je oznaena modrou barvou je to prnik dvou os pás
30
R O V N O B Ž N Í K (2 HODINY)
R O V N O B Ž N Í K (2 HODINY)? Co to vlastn rovnobžník je? Na obrázku je dopravní znaka, která íká, že vzdálenost k železninímu pejezdu je 1 m (dva pruhy, jeden pruh pedstavuje vzdálenost 80 m): Pozorn
VíceL I C H O B Ž N Í K (2 HODINY) ? Co to vlastn lichobžník je? Podívej se napíklad na následující obrázky:
L I C H O B Ž N Í K (2 HODINY)? Co to vlastn lichobžník je? Podívej se napíklad na následující obrázky: Na obrázcích je vyobrazena hospodáská budova a židlika, kterou urit mají tvoji rodie na chodb nebo
VíceDRUHY ROVNOBŽNÍK A JEJICH VLASTNOSTI 1 HODINA
DRUHY ROVNOBŽNÍK A JEJICH VLASTNOSTI HODINA Podívej se na následující obrázek: Na obrázku je rovnobžník s vyznaeným pravým úhlem. Odpovídej na otázky:? Jaká je velikost vnitního úhlu pi vrcholu C? Je rovna
VíceO P A K O V Á N Í A P R O H L O U B E N Í U I V A O J E D N O D U C H Ý C H K O N S T R U K C Í C H 1,5 HODINY
O P A K O V Á N Í A P R O H L O U B E N Í U I V A O J E D N O D U C H Ý C H K O N S T R U K C Í C H 1,5 HODINY Díve, než spolen pikroíme k uivu o množinách bod, pokusíme se zopakovat nkteré jednoduché
VíceDefinice : Jsou li povrchové pímky kolmé k rovin, vzniká kolmá kruhová válcová plocha a pomocí roviny také kolmý kruhový válec.
3. EZY NA VÁLCÍCH 3.1. VÁLCOVÁ PLOCHA, VÁLEC Definice : Je dána kružnice k ležící v rovin a pímka a rznobžná s rovinou. Všechny pímky rovnobžné s pímkou a protínající kružnici k tvoí kruhovou válcovou
Více= = 25
Seznámení s Pythagorovou vtou (1 hodina) Opakování: zopakuj si poítání s druhými moninami ísla Motivae: Jsem leteký modelá. Práv jsem si ve své díln sestrojil model letadla a hybí mi pipevnit poslední
Více4. EZY NA KUŽELÍCH 4.1. KUŽELOVÁ PLOCHA, KUŽEL
4. EZY NA KUŽELÍCH 4.1. KUŽELOVÁ PLOCHA, KUŽEL Definice : Je dána kružnice k ležící v rovin a mimo ni bod V. Všechny pímky jdoucí bodem V a protínající kružnici k tvoí kruhovou kuželovou plochu. Tyto pímky
VíceGYMNÁZIUM CHEB SEMINÁRNÍ PRÁCE
GYMNÁZIUM CHEB SEMINÁRNÍ PRÁCE Relace Cheb, 006 Radek HÁJEK Prohlášení Prohlašuji, že jsem seminární práci na téma: Relace vypracoval zcela sám za použití pramen uvedených v piložené bibliograii na poítai
Více2. EZY NA JEHLANECH. Píklad 47 : Sestrojte ez pravidelného tybokého jehlanu ABCDV rovinou.
2. EZY NA JEHLANECH Píklad 47 : Sestrojte ez pravidelného tybokého jehlanu ABCDV rovinou. Popis konstrukce : Podobn jako u píkladu 41 je výhodné proložit nkterými dvma hranami jehlanu rovinu kolmou k pdorysn.
Více! " # $ % # & ' ( ) * + ), -
! " # $ % # & ' ( ) * + ), - INDIVIDUÁLNÍ VÝUKA MATEMATIKA METODIKA Kuželosek Mgr. Petra Dunovská bezen 9 Obtížnost této kapitol matematik je dána tím, že se pi výkladu i ešení úloh komplexn vužívají vdomosti
Více2 HODINY. - jedná se o další velmi dležitou množinu bod urité vlastnosti. P: Narýsuj si kružnici k se stedem S a polomrem 6 cm.
T H A L E T O V A K R U Ž N I E 2 HODINY - jedná se o další velmi dležitou množinu bod urité vlastnosti P: Narýsuj si ružnici se stedem S a polomrem 6 cm. 1. Sestroj libovolný prmr ružnice Krajní body
Více3.3.5 Množiny bodů dané vlastnosti II (osa úsečky)
3.3.5 Množiny bodů dané vlastnosti II (osa úsečky) Předpoklady: 030304 Př. 1: Je dána úsečka, = 5,5cm. Narýsuj osu úsečky. Jakou vlastnost mají body ležící na této přímce? Pro všechny body na ose úsečky,
VíceKružnice opsaná a kružnice vepsaná
1.7.13 Kružnice opsaná a kružnice vepsaná Předpoklady: 010712 Př. 1: Na obrázcích jsou znázorněny shodné trojúhelníky a různé kružnice k. Dvě z kružnic jsou speciální (jedinečné). Překresli obrázky těchto
VíceJihoeská univerzita v eských Budjovicích Pedagogická fakulta
Jihoeská univerzita v eských Budjovicích Pedagogická fakulta Konstrukní úlohy ešené pomocí Cabri geometrie Miroslava Lutzová Finanní matematika 2001-2004 Vedoucí diplomové práce: Mgr. Pavel Leischner Most,
VíceZákladní geometrické tvary
Základní geometrické tvary č. 37 Matematika 1. Narýsuj bod A. 2. Narýsuj přímku b. 3. Narýsuj přímku, která je dána body AB. AB 4. Narýsuj polopřímku CD. CD 5. Narýsuj úsečku AB. 6. Doplň. Rýsujeme v rovině.
VíceKružnice, úhly příslušné k oblouku kružnice
KRUŽNICE, KRUH Kružnice, úhly příslušné k oblouku kružnice Je dán bod S a kladné číslo r. Kružnice k(s;r) je množina všech bodů (roviny), které mají od bodu S vzdálenost r. Můžeme také říci. Kružnicí k
VíceČtyřúhelník. O b s a h : Čtyřúhelník. 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti. 2. Názvy čtyřúhelníků Deltoid Tětivový čtyřúhelník
Čtyřúhelník : 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti 2. Názvy čtyřúhelníků 2.1. Deltoid 2.2. Tětivový čtyřúhelník 2.3. Tečnový čtyřúhelník 2.4. Rovnoběžník 2.4.1. Základní vlastnosti 2.4.2. Výšky
Více2. Vyšetřete všechny možné případy vzájemné polohy tří různých přímek ležících v jedné rovině.
ZS1BK_PGE1 Geometrie I: Vybrané úlohy z elementární geometrie 1. Které geometrické útvary mohou vzniknout a) jako průnik dvou polopřímek téže přímky, b) jako průnik dvou polorovin téže roviny? V případě
VíceShodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem
Shodná zobrazení Otočení Příklad 1. Jsou dány tři různé soustředné kružnice a, b a c. Sestrojte rovnostranný trojúhelník ABC tak, aby A ležel na a, B ležel na b a C ležel na c. Řešení. Zvolíme vrchol A
Více( ) ( ) 6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou ( ) ( ) ( ) ( 2. e) = ( )
6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou Další dovednosti: -iracionální nerovnice -lineární nerovnice s parametrem -kvadratické nerovnice s parametrem Možné maturitní otázky: Lineární a kvadratické nerovnice
Vícep ACD = 90, AC = 7,5 cm, CD = 12,5 cm
Úloha Je dán pravoúhlý trojúhelník ACD s pravým úhlem při vrcholu C, AC = 7,5 cm, CD =,5 cm. Na přímce CD určete bod B tak, aby AB = BD Řešení: Úlohu vyřešíme nejprve geometrickou konstrukcí. a) Z rozboru
Více2 HODINY. ? Na kolik trojúhelník Ti úhlopíka rozdlí AC lichobžník ABCD? Na dva trojúhelníky ABC, ACD
K O N S T R U K E L I H O B Ž N Í K U 2 HOINY Než istouíš samotným onstrucím, zoauj si nejdíve vše, co víš o lichobžnících co to vlastn lichobžní je, záladní druhy lichobžní a jejich vlastnosti. ále si
VícePr niky ploch a t les
Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5 RONÍKOVÁ PRÁCE Prniky ploch a tles Vypracoval: Tomáš Martínek ída: 4.C Školní rok: 2013/2014 Seminá: Deskriptivní geometrie Prohlašuji, že jsem svou
VíceRozpis výstupů zima 2008 Geometrie
Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie 20. 10. porovnávání úseček grafický součet úseček grafický rozdíl úseček... porovnávání úhlů grafický součet úhlů grafický rozdíl úhlů... osa úhlu úhly vedlejší a vrcholové...
VíceKapitola 5. Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které
Kapitola 5 Kuželosečky Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které společně s kružnicí jsou známy pod společným názvem kuželosečky. Říká se jim tak proto, že každou z nich
VíceRůznostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna
16. Trojúhelník, Mnohoúhelník, Kružnice (typy trojúhelníků a jejich vlastnosti, Pythagorova věta, Euklidovy věty, čtyřúhelníky druhy a jejich vlastnosti, kružnice obvodový a středový, úsekový úhel, vzájemná
VícePřípravný kurz - Matematika
Přípravný kurz - Matematika Téma: Konstrukční úlohy Klíčová slova: rozbor, náčrt, popis, diskuse počtu řešení, kružnice opsaná a vepsaná Autor: trojúhelníku Mlynářová 12 19 9:02 Kontrukční úlohy Výsledkem
Více( ) ( ) 2 2 B A B A ( ) ( ) ( ) B A B A B A
Vzdálenost dvou bod, sted úseky Ž Vzdálenost dvou bod Pi vyšetování vzájemné polohy bod, pímek a rovin lze použít libovolnou vhodn zvolenou soustavu souadnic (afinní). však pi vyšetování metrických vlastností
Více10. Analytická geometrie kuželoseček 1 bod
10. Analytická geometrie kuželoseček 1 bod 10.1. Kružnice opsaná obdélníku ABCD, kde A[2, 3], C[8, 3], má rovnici a) x 2 10x + y 2 + 7 = 0, b) (x 3) 2 + (y 3) 2 = 36, c) x 2 + 10x + y 2 18 = 0, d) (x 10)
VícePLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh
PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh Lomená čára A 0 A 1 A 2 A 3..., A n (n 2) se skládá z úseček A 0 A 1, A 1 A 2, A 2 A 3,..., A n 1 A n, z nichž každé dvě sousední mají společný jeden krajní
VíceUžití stejnolehlosti v konstrukčních úlohách
Užití stejnolehlosti v konstrukčních úlohách Příklad 1: Je dána kružnice k(o,r) a bod M ležící uvnitř kružnice k. Bodem M veďte tětivu AB, jejíž délka je bodem M rozdělena v poměru 2 : 1. Sestrojte obraz
VíceŘešení geometrické úlohy spočívá v nalezení geometrického útvaru (útvarů) daných vlastností.
Řešení geometrické úlohy spočívá v nalezení geometrického útvaru (útvarů) daných vlastností. Metody řešení konstrukčních úloh: množinou bodů zobrazením výpočtem kombinací předchozích způsobů Konstrukční
VíceGEOMETRIE PLANIMETRIE Úlohy k rozvoji geometrické představivosti Úlohy početní. Růžena Blažková
GEOMETRIE PLANIMETRIE Úlohy k rozvoji geometrické představivosti Úlohy početní Růžena Blažková 1. Základní pojmy 1. Zvolte si čtyři různé body v rovině. Kolik různých přímek je těmito body určeno? Jak
VícePLANIMETRIE úvodní pojmy
PLANIMETRIE úvodní pojmy Je část geometrie zabývající se studiem geometrických útvarů v rovině. Základními stavebními kameny v rovině budou bod a přímka. 1) Přímka a její části Dvěma různými body lze vést
Více- shodnost trojúhelníků. Věta SSS: Věta SUS: Věta USU:
1/12 PLANIMETRIE Základní pojmy: Shodnost, podobnost trojúhelníků Středová souměrnost, osová souměrnost, posunutí, otočení shodná zobrazení Středový a obvodový úhel Obsahy a obvody rovinných obrazců 1.
VíceMATEMATIKA. Problémy a úlohy, v nichž podrobujeme geometrický objekt nějaké transformaci
MATEMATIKA Úloha o čtverci a přímkách ŠÁRKA GERGELITSOVÁ TOMÁŠ HOLAN Matematicko-fyzikální fakulta UK, Praha Problémy a úlohy, v nichž podrobujeme geometrický objekt nějaké transformaci (například podobnosti)
VíceP L A N I M E T R I E
M T E M T I K P L N I M E T R I E rovinná geometrie Základní planimetrické pojmy od - značí se velkými tiskacími písmeny, např.,,. P, Q. Přímka - značí se malými písmeny, např. a, b, p, q nebo pomocí bodů
Více5. P L A N I M E T R I E
5. P L A N I M E T R I E 5.1 Z Á K L A D N Í P L A N I M E T R I C K É P O J M Y Bod (definice, značení, znázornění) Přímka (definice, značení, znázornění) Polopřímka (definice, značení, znázornění, počáteční
Více2.1 Pokyny k otev eným úlohám. 2.2 Pokyny k uzav eným úlohám. Testový sešit neotvírejte, po kejte na pokyn!
MATEMATIKA základní úrove obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST Maximální bodové hodnocení: 50 bod Hranice úspšnosti: 33 % Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 26 úloh. asový limit pro ešení
VíceZobrazení v rovině je předpis, který každému bodu X roviny připisuje právě jeden bod X roviny. Bod X se nazývá vzor, bod X se nazývá obraz.
7. Shodná zobrazení 6. ročník 7. Shodná zobrazení 7.1. Shodnost geometrických obrazců Zobrazení v rovině je předpis, který každému bodu X roviny připisuje právě jeden bod X roviny. Bod X se nazývá vzor,
VíceTematický plán uiva z matematiky pro 6. roník na školní rok 2009-2010
Tematický plán uiva z matematiky pro 6. roník na školní rok 2009-2010 Msíc: Záí Uivo: Shrnutí a opakování uiva z 5.roníku Pirozená ísla íselná osa, porovnávání, zaokrouhlování, operace s nimi, pevody,
VíceA STEJNOLEHLOST,, EUKLIDOVYE VĚTY 2.
PODOBNOST A STEJNOLEHLOST,, EUKLIDOVYE VĚTY 2. ČÁST MAT. OT 2. OT. Č.. 15: SHODNÁS HODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ, PODOBNOST A STEJNOLEHLOST,, EUKLIDOVYE VĚTY PODOBNOST KDE LÁTKU NAJDETE Kapitola Základy planimetrie
VíceTrojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy
5 Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy Trojúhelník: Trojúhelník je definován jako průnik tří polorovin. Pojmy: ABC - vrcholy trojúhelníku abc - strany trojúhelníku ( a+b>c,
VícePravoúhlá axonometrie
Pravoúhlá axonometrie bod, přímka, rovina, bod v rovině, trojúhelník v rovině, průsečnice rovin, průsečík přímky s rovinou, čtverec v půdorysně, kružnice v půdorysně V Rhinu vypneme osy mřížky (tj. červenou
VíceEU PENÍZE ŠKOLÁM Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost
ZÁKLADNÍ ŠKOLA OLOMOUC příspěvková organizace MOZARTOVA 48, 779 00 OLOMOUC tel.: 585 427 142, 775 116 442; fax: 585 422 713 e-mail: kundrum@centrum.cz; www.zs-mozartova.cz Projekt: ŠKOLA RADOSTI, ŠKOLA
VíceSOUŘADNICE BODU, VZDÁLENOST BODŮ
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.001 SOUŘADNICE BODU, VZDÁLENOST BODŮ SOUŘADNICE BODU NA PŘÍMCE ČÍSELNÁ OSA na přímce je určena počátkem O a jednotkou měření. Libovolný bod A na číselné ose
VíceKonstrukční úlohy. Růžena Blažková, Irena Budínová. Milé studentky, milí studenti,
Konstrukční úlohy Růžena Blažková, Irena Budínová Milé studentky, milí studenti, zadání konstrukčních úloh si vylosujete v semináři nebo na přednášce, u každé konstrukční úlohy proveďte: - rozbor obsahuje
VíceOpakování ZŠ - Matematika - část geometrie - konstrukce
Opakování ZŠ - Matematika - část geometrie - konstrukce Základní útvary v rovině Bod je nejzákladnější geometrický pojem. Body zapisujeme písmeny velké abecedy: A, B, N, H, Přímka Přímky zapisujeme písmeny
VíceANOTACE VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ IV/ 2 SADA č. 2, PL č. 36
ANOTACE VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ IV/ 2 SADA č. 2, PL č. 36 Název školy Základní škola a Mateřská škola, Dětřichov nad Bystřicí okres Bruntál, příspěvková organizace Číslo projektu: CZ.1.07/1.4.00/21.21110
VíceShodné zobrazení v rovině
Gymnázium Cheb Shodné zobrazení v rovině seminární práce Cheb, 2007 Lojza Tran Prohlášení Prohlašuji, že jsem seminární práci na téma: Shodné zobrazení v rovině vypracoval zcela sám za použití pramenů
Víceprostorová definice (viz obrázek vlevo nahoře): elipsa je průsečnou křivkou rovinného
Elipsa Výklad efinice a ohniskové vlastnosti prostorová definice (viz obrázek vlevo nahoře): elipsa je průsečnou křivkou rovinného řezu na rotační kuželové ploše, jestliže řezná rovina není kolmá k ose
VíceAnalytická geometrie lineárních útvarů
) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Analtická geometrie lineárních útvarů Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý bod
VícePíkazy pro kreslení.
Píkazy pro kreslení. Tento text je psán pro AUTOCAD 2006, eskou modifikaci. V jiných verzích se proto vyskytnou odchylky. Jsou to píkazy, které umožují nakreslit jednotlivé entity v AUTOCADu. Z menu je
VíceTematický plán uiva z matematiky pro 6. roník na školní rok 2011-2012
Tematický plán uiva z matematiky pro 6. roník na školní rok 2011-2012 Msíc: Záí Uivo: Shrnutí a opakování uiva z 5.roníku Pirozená ísla íselná osa, porovnávání, zaokrouhlování, operace s nimi, pevody,
VíceDigitální učební materiál
Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuk prostřednictvím ICT Číslo a název šablon klíčové aktivit III/2 Inovace a zkvalitnění výuk prostřednictvím
VíceMATEMATIKA 6. ročník II. pololetí
Úhel a jeho velikost: MATEMATIKA 6. ročník II. pololetí 26A Převeď na stupně a minuty: 126 = 251 = 87 = 180 = 26B Převeď na stupně a minuty: 92 = 300 = 146 = 248 = 27A Převeď na minuty: 3 0 = 1 0 25 =
VíceDIDAKTIKA MATEMATIKY
DIDAKTIKA MATEMATIKY GEOMETRIE PLANIMETRIE Úlohy k rozvoji geometrické představivosti Úlohy početní a důkazové Růžena Blažková, Irena Budínová Brno 2007 1 1. Základní pojmy 1. Zvolte si čtyři různé body
VíceOblast podpory: 1.4 Zlepšení podmínek pro vzdělávání na základních školách
Prioritní osa: 1 Počáteční vzdělávání Oblast podpory: 1.4 Zlepšení podmínek pro vzdělávání na základních školách Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.4.00/21. 0918 Název projektu:inovace vzdělávání v
VíceSyntetická geometrie I
Shodnost Pedagogická fakulta 2018 www.karlin.mff.cuni.cz/~zamboj/ Vzdálenost dvou bodů Definice (Vzdálenost) Necht A, B, C ρ. Vzdálenost dvou bodů A, B v rovině je číslo AB a platí AB 0 AB = 0 A = B AB
VícePracovní listy MONGEOVO PROMÍTÁNÍ
Technická univerzita v Liberci Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Katedra matematiky a didaktiky matematiky MONGEOVO PROMÍTÁNÍ Petra Pirklová Liberec, únor 07 . Zobrazte tyto body a určete jejich
VíceUniverzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta
Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z METOD ŘEŠENÍ 1 PLANIMETRIE 000/001 Cifrik, M-ZT První příklad ze zadávacích listů 1 Zadání: Sestrojte trojúhelník ABC, pokud je dáno: ρ
VícePředmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA DRUHÝ MGR. JÜTTNEROVÁ Název zpracovaného celku: PODOBNOST A STEJNOLEHLOST PODOBNOST
Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA DRUHÝ MGR. JÜTTNEROVÁ 7. 5. 0 Název zpracovaného celku: PODOBNOST A STEJNOLEHLOST PODOBNOST Je každé zobrazení v rovině takové, že pro libovolné body roviny
Více6 Planimetrie. 6.1 Trojúhelník. body A, B, C vrcholy trojúhelníku. vnitřní úhly BAC = α, ABC = β, BCA = γ. konvexní (menší než 180º)
6 Planimetrie Planimetrie = část matematiky, která se zabývá geometrií (původně věda o měřené země) v rovině (obrazce, jejich vlastnosti, shodnost a podobnost, zobrazení). 6.1 Trojúhelník Každé tři body,
VíceRNDr. Zdeněk Horák IX.
Jméno RNDr. Zdeněk Horák Datum 8. 10. 2014 Ročník IX. Vzdělávací oblast MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE Vzdělávací obor MATEMATIKA Tematický okruh KRUH, KRUŽNICE Téma klíčová slova Opakování učiva z tematického
Více7.5.3 Hledání kružnic II
753 Hledání kružnic II Předpoklady: 750 Pedagogická poznámka: Tato hodina patří mezi vůbec nejtěžší Není reálné předpokládat, že by většina studentů dokázala samostatně přijít na řešení, po čase na rozmyšlenou
VícePatří mezi tzv. homotetie, tj. afinní zobrazení, která mají všechny směry samodružné.
11 Stejnolehlost Patří mezi tzv. homotetie, tj. afinní zobrazení, která mají všechny směry samodružné. Definice 26. Budiž dán bod S a reálné číslo κ (různé od 0 a 1). Stejnolehlost H(S; κ) se středem S
VíceTéma 5: PLANIMETRIE (úhly, vlastnosti rovinných útvarů, obsahy a obvody rovinných útvarů) Úhly 1) Jaká je velikost úhlu? a) 60 b) 80 c) 40 d) 30
Téma 5: PLANIMETRIE (úhly, vlastnosti rovinných útvarů, obsahy a obvody rovinných útvarů) Úhly 1) Jaká je velikost úhlu? a) 60 b) 80 c) 40 d) 30 2) Vypočtěte velikost úhlu : a) 150 10 b) 149 22 c) 151
VíceVýukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205
Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Šablona: III/2 Přírodovědné
VíceMáme tři různé body A, B, C. Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA a CAB.
8. Trojúhelník 6. ročník 8. Trojúhelník 8.1. Základní pojmy 8.1.1. Trojúhelník Máme tři různé body A, B, C. Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA a CAB. Trojúhelník popisujeme proti chodu hodinových
VíceZÁKLADNÍ PLANIMETRICKÉ POJMY
ZÁKLADNÍ PLANIMETRICKÉ POJMY Základní geometrické pojmy jsou bod, přímka a rovina. Geometrie je chápána jako část matematiky, která se zabývá studiem geometrických útvarů v rovině. Body určujeme jako průsečíky
VíceTest Zkušební přijímací zkoušky
Test Zkušební přijímací zkoušky 1. Vypočtěte: ( 10 1.5) ( 4 ).( 15). ( 5 6). Doplňte číslo do rámečku, aby platila rovnost:.1. 4 11 10. 8 16 6.. 49 7 1.. + 1. Proveďte početní operace:.1. 6x 4x ( 4x x)
VícePODOBNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ (včetně stejnolehlosti)
Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol PODOBNÁ
VícePo etní geometrie. Výpo et délky p epony: c 2 = a 2 + b 2 Výpo et délky odv sny: a 2 = c 2 b 2, b 2 = c 2 a 2
Po etní geometrie Pythagorova v ta Obsah tverce nad p eponou je roven sou tu obsah tverc nad ob ma odv snami. Výpo et délky p epony: c = a + b Výpo et délky odv sny: a = c b, b = c a P íklad 1: Vypo t
VíceDIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL
DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL Pořadové číslo DUM 147 Jméno autora Mgr. Romana BLÁHOVÁ Datum, ve kterém byl DUM vytvořen 26.3. 2012 Ročník, pro který je DUM určen 4. Vzdělávací oblast (klíčová slova) MATEMATIKA
VíceSHODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ GEOMETRICKÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ SHODNÁ ZOBRAZENÍ
Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MTEMTIK DRUHÝ Mgr. Tomáš MŇÁK 21. června 2012 Název zpracovaného celku: SHODNÁ ZORZENÍ V ROVINĚ Teoretická část GEOMETRICKÁ ZORZENÍ V ROVINĚ Zobrazení Z v rovině je předpis,
Více1. Přímka a její části
. Přímka a její části přímka v rovině, v prostoru, přímka jako graf funkce, konstrukce přímky nebo úsečky, analytická geometrie přímky, přímka jako tečna grafu, přímka a kuželosečka Přímka v rovině a v
VíceShodná zobrazení v rovině
Shodná zobrazení v rovině Zobrazení Z v rovině je předpis, který každému bodu X roviny přiřazuje právě jeden bod X roviny. Bod X se nazývá vzor, bod X jeho obraz. Zapisujeme Z: X X. Množinu obrazů všech
VícePRACOVNÍ SEŠIT PLANIMETRIE. 6. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.
Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online PRACOVNÍ SEŠIT 6. tematický okruh: PLANIMETRIE vytvořila: RNDr. Věra Effenberger expertka na online přípravu na SMZ
VíceOdvození středové rovnice kružnice se středem S [m; n] a o poloměru r. Bod X ležící na kružnici má souřadnice [x; y].
Konzultace č. 6: Rovnice kružnice, poloha přímky a kružnice Literatura: Matematika pro gymnázia: Analytická geometrie, kap. 5.1 a 5. Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ a studijní obory SOU. část, kap. 6.1
VíceSeznam pomůcek na hodinu technického kreslení
Seznam pomůcek na hodinu technického kreslení Sešit bez linek, formát A4 Psací potřeby propiska nebo pero, mikrotužky 2B, H Pravítko s ryskou Rovné pravítko Úhloměr Kružítko Šablona písma 3,5 mm Šablona
VíceSyntetická geometrie I
Kružnice Pedagogická fakulta 2016 www.karlin.mff.cuni.cz/~zamboj/ & přímka Vzájemná poloha přímky a kružnice p 1 vnější přímka p 2 tečna s bodem dotyku T p 3 sečna X 1 X 2 tětiva Y 1 Y 2 průměr Y 1 S poloměr
Více[obr. 1] Rozbor S 3 S 2 S 1. o 1. o 2 [obr. 2]
Příklad Do dané kruhové výseče s ostrým středovým úhlem vepište kružnici (obr. ). M k l V N [obr. ] Rozbor Oblouk l a hledaná kružnice k se dotýkají v bodě T, mají proto v tomto bodě společnou tečnu t.
VíceSyntetická geometrie I
Kružnice Pedagogická fakulta 2018 www.karlin.mff.cuni.cz/~zamboj/ & přímka Vzájemná poloha přímky a kružnice p 1 vnější přímka p 2 tečna s bodem dotyku T p 3 sečna X 1 X 2 tětiva Y 1 Y 2 průměr Y 1 S poloměr
VíceZákladní úlohy v Mongeově promítání. n 2 A 1 A 1 A 1. p 1 N 2 A 2. x 1,2 N 1 x 1,2. x 1,2 N 1
Základní úlohy v Mongeově promítání Předpokladem ke zvládnutí zobrazení v Mongeově promítání je znalost základních úloh. Ale k porozumění následujícího textu je třeba umět zobrazit bod, přímku a rovinu
VíceTrojúhelník. MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů. Ing. Miroslav Čapek srpen 2011
MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů Trojúhelník Ing. Miroslav Čapek srpen 2011 Projekt Využití e-learningu k rozvoji klíčových kompetencí reg. č.: CZ.1.07/1.1.10/03.0021 je spolufinancován
VícePrbh funkce Jaroslav Reichl, 2006
rbh funkce Jaroslav Reichl, 6 Vyšetování prbhu funkce V tomto tetu je vzorov vyešeno nkolik úloh na vyšetení prbhu funkce. i ešení úlohy jsou využity základní vlastnosti diferenciálního potu.. ešený píklad
VíceSyntetická geometrie I
Shodnost Pedagogická fakulta 2016 www.karlin.mff.cuni.cz/~zamboj/ Vzdálenost dvou bodů Necht A, B, C ρ. Vzdálenost dvou bodů A, B v rovině je číslo AB a platí AB 0 AB = 0 A = B AB = BA pozitivně definitní
VíceOmezíme se jen na lomené čáry, jejichž nesousední strany nemají společný bod. Jestliže A 0 = A n (pro n 2), nazývá se lomená čára uzavřená.
MNOHOÚHELNÍKY Vlastnosti mnohoúhelníků Lomená čára C 0 C C C 3 C 4 protíná samu sebe. Lomená čára A 0 A A... A n- A n (n ) se skládá z úseček A 0 A, A A,..., A n- A n, z nichž každé dvě sousední mají společný
VíceUrci parametricke vyjadreni primky zadane body A[2;1] B[3;3] Urci, zda bod P [-3;5] lezi na primce AB, kde A[1;1] B[5;-3]
1 Parametricke vyjadreni primky Priklad 16 Priklad 17 Priklad 18 jestlize Urci parametricke vyjadreni primky zadane body A[2;1] B[3;3] Urci, zda bod P [-3;5] lezi na primce AB, kde A[1;1] B[5;-3] Urci,
VíceGYMNÁZIUM CHEB. SEMINÁRNÍ PRÁCE Grafy funkcí sbírka ešených úloh. Radek HÁJEK, 8.A Radka JIROUŠKOVÁ, 8.A Cheb, 2006 Petr NEJTEK, 8.
GYMNÁZIUM CHEB SEMINÁRNÍ PRÁCE Grafy funkcí sbírka ešených úloh Radek HÁJEK, 8.A Radka JIROUŠKOVÁ, 8.A Cheb, 006 Petr NEJTEK, 8.A Prohlášení Prohlašujeme, že jsme seminární práci na téma: Grafy funkcí
VíceOblast podpory: 1.4 Zlepšení podmínek pro vzdělávání na základních školách. Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.4.00/21. 0918
Prioritní osa: 1 Počáteční vzdělávání Oblast podpory: 1.4 Zlepšení podmínek pro vzdělávání na základních školách Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.4.00/21. 0918 Název projektu:inovace vzdělávání v
VíceRozvinutelné plochy. tvoří jednoparametrickou soustavu rovin a tedy obaluje rozvinutelnou plochu Φ. Necht jsou
Rozvinutelné plochy Rozvinutelná plocha je každá přímková plocha, pro kterou existuje izometrické zobrazení do rov iny, tj. lze ji rozvinout do roviny. Dá se ukázat, že každá rozvinutelná plocha patří
VíceTROJÚHELNÍK 180. Definice. C neleží v přímce. Potom trojúhelníkem ABC nazveme průnik polorovin ABC, BCA, Nechť body. Viz příloha: obecny_trojuhelnik
TROJÚHELNÍK Definice Nechť body A, B, C neleží v přímce. Potom trojúhelníkem ABC nazveme průnik polorovin ABC, BCA, CAB. Viz příloha: obecny_trojuhelnik Definice trojúhelníku Uzavřená, jednoduchá (neprotínající
VíceA[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz
1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině
Více64. ročník matematické olympiády Řešení úloh krajského kola kategorie A
64. ročník matematické olympiády Řešení úloh krajského kola kategorie A 1. Středy stran AC, BC označme postupně, N. Střed kružnice vepsané trojúhelníku KLC označme I. Úvodem poznamenejme, že body K, L
VíceX = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)
.6. Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině. 6.1. V této kapitole budeme studovat geometrické úloh v rovině analtick, tj. lineární a kvadratické geometrické útvar vjádříme pomocí
VíceSHODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ
Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol SHODNÁ
Více8 Podobná (ekviformní) zobrazení v rovině
Typeset by LATEX2ε 1 8 Podobná (ekviformní) zobrazení v rovině 8.1 Stejnolehlost (homotetie) v rovině Definice 8.1.1. Nechť jsou dány 3 různé kolineární body A, B, C. Dělicím poměrem λ = (ABC) rozumíme
VíceÚhly a jejich vlastnosti
Úhly a jejich vlastnosti Pojem úhlu patří k nejzákladnějším pojmům geometrie. Zajímavé je, že úhel můžeme definovat několika různými způsoby, z nichž má každý své opodstatnění. Definice: Úhel je část roviny
Více