Gravitace. Kapitola Gravitační zákon Isaac Newton a objev gravitačního zákona

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Gravitace. Kapitola 8. 8.1 Gravitační zákon. 8.1.1 Isaac Newton a objev gravitačního zákona"

Transkript

1 Kapitola 8 Gavitace 8.1 Gavitační zákon Isaac Newton a objev gavitačního zákona Keple objevil své evoluční zákony o pohybu planet v oce 1609 a Dlouho však byly jeho výsledky přijímány s nedůvěou. Například samotný Galileo nikdy nepřijal představu eliptických dah planet za svou a tval na kuhových pohybech. Zákon o plošných ychlostech byl ignoován zhuba 80 let, pouze třetí Kepleův zákon byl přijat ostatními astonomy záhy po svém objevu. V oce 1679 napsal Robet Hooke dopis Isaacu Newtonovi, v němž vysvětloval, že pohyb planet může souviset s přitažlivou silou, kteá planety tvale odchyluje od jejich pohybu po přímce. Newton se tehdy ještě domníval, že dáhou částice vžené z vysoké věže bude spiála, Hooke naopak spávně tvdil, že dáhou bude elipsa, stejně jako u planet. Newton uznal, že jeho vlastní představa není spávná, ale tvdil, že Hookovo řešení předpokládá, aby gavitace byla konstantní. Hooke odpověděl, že jeho teoie vychází ze zákona, podle něhož gavitace klesá se čtvecem vzdálenosti od zdoje. Později Hooke tvdil, že gavitační zákon objevil jako pvní on sám a nikoliv Newton. Že přitažlivá síla Slunce klesá se čtvecem vzdálenosti planety od Slunce, dokázal také oku 1683 Edmond Halley. Dokázal to s použitím třetího Kepleova zákona, ovšem jen po kuhové dáhy. Od spávně tušeného zákona až k jeho objevu bylo v tuto chvíli ještě daleko. Především bylo třeba dokázat, že přitažlivá síla klesá podle stejného zákona i po eliptické dáhy planet. V oce 1684 Chistophe Wen, Hooke a Halley diskutovali v Kálovské společnosti, zda eliptický tva dah planet je důsledkem zákona poklesu intenzity gavitace s duhou mocninou vzdálenosti od Slunce. V spnu 1684 Halley navštívil Newtona v Cambidge, aby se ho dotázal na jeho názo. Newton potvdil, že dáha bude eliptická, příslušné výpočty, kteé to dokazují, sice už někam založil, ale pokud si Halley přeje, dokáže to znova. Newton na základě své koespondence s Hookem z oku 1680 své důkazy přepacoval a Halleymu poslal devítistánkový 393

2 394 KAPITOLA 8. GRAVITACE článek De motu copoum in gyum (O pohybu těles na dáze). Tento spisek se později ozostl v Newtonovo stěžejní dílo Philosophiae Natualis Pincipia Mathematica (Matematické pincipy filozofie příody), kteé vyšlo oku 1687 nemalou zásluhou Halleyho. Položil v něm základy mechaniky se svými třemi slavnými pohybovými zákony, dále předložil univezální gavitační zákon a dokázal, že tento zákon vede k pohybu těles po elipse, paabole nebo hypebole. Newton zavedl také pojem gavitas (latinsky váha, tíha) po univezální přitažlivost těles. 14. listopadu 1680 byla objevena jasná kometa, kteá byla viditelná až do 5. posince, kdy se přiblížila ke Slunci. Pak se znovu objevila za dva týdny, kdy se od Slunce vzdalovala. Newton ukázal, že její dáhou je paabola. Newton v Pincipiích odvodil také třetí Kepleův zákon a pokoušel se řešit poblém tří těles. Později toho však nechal s poznámkou, že tento poblém překačuje možnosti lidského myšlení. Halley použil Newtonovu metodu a zjistil u většiny komet paabolické dáhy. Když oku 1705 počítal dáhy tříkomet,kteéseobjevilypostupně v letech 1531, 1607 a v oce 168, kdy pozoování povedl sám, zjistil, že jejich dáhy jsou téměř identické. Halley odtud spávně usoudil, že jde o jedinou kometu a učil, že kometa musela být viditelná také v letech 1456 a Vypočetl eliptickou dáhu této komety a uvedl, že planety Jupite a Satun ideální dáhu komety slabě naušují. Halley započetl petubace těchto planet a předpověděl, že kometa bude opět v peihéliu 13. dubna Halleyova kometa byla znovu pozoována v posinci 1758 a peihéliem pošla 1. března Šlo tak o pvní matematicky předpovězenou kometu Gavitace Vše na Zemi podléhá působení tíže, potýkáme se s ní tak často, že si ji ani patřičně neuvědomujeme. Zemská tíže nás dží na povchu Země, stejně jako vodu a atmosféu. Nakonec i Zemi samotnou utváří gavitace, a poto má Země sféický tva. Totéž platí i o jiných planetách a hvězdách. Gavitace je zodpovědná za vesmíný řád, udžuje planety na jejich dáhách a také Zemi udžuje v optimální vzdálenosti od životadáného Slunce. Gavitace fomuje hvězdy, galaxie a celý vesmí. Bez zemské tíže by život nemohl vzniknout. Jak ale dosvědčuje zkušenost kosmonautů, člověk může bez zemské tíže žít. Co je příčinou zemské tíže, dlouho nebylo známo. Podle antického učence Aistotela byla příčinou zemské tíže přiozenost věcí dostat se do středu světa. Nešlo tedy podle něj o žádné vzájemné působení těles. Pohyby planet kolem Slunce byly popsány Kepleovými zákony, ty se však zdály být naposto odlišnými od pozemských zákonů mechaniky. Připomeňme si, že v té době stále ještě nebyla definitivně překonána aistotelovská představa o tom,že zákony pohybu na zemi jsou zcela jiné, než zákony pohybu na nebesích. A ti, kdož hlásali opak, jako například Galileo Galilei, byli ponásledováni. V 17. století nebylo známo dokonce ani to, že stejná síla, kteá nutí všechny předměty padat na zem, nutí také obíhat Měsíc kolem Země. Gavitační zákon byl nejpve objeven v kosmu a až pak na Zemi.Největší zásluhu na jeho objevu má geniální zakladatel modení mechaniky Isaac Newton.

3 8.1. GRAVITAČNÍ ZÁKON 395 Někteří fyzikové, především Huygens a Hooke, už dříve tušili, že gavitace ubývá se čtvecem vzdálenosti, ale nemohli to dokázat, potože neznali difeenciální a integální počet. Ten objevil až Newton někdy v letech 1665 až Bez znalosti matematické analýzy není možné spojit Kepleovy zákony se zákonem gavitačním Silové působení Slunce na planety Ukažme si nyní, jak Newtonovi současníci dospěli k přesvědčení, že sluneční přitažlivost ubývá se čtvecem vzdálenosti. Předpokládejme planetu, kteá obíhá ovnoměně pokuhovédázeopoloměu kolem Slunce ychlostí v. Je-li T oběžná doba planety, pak platí v = π T. Planetu přidžuje na kuhové dáze přitažlivá síla Slunce F, kteá je ovna dostředivé síle, poto platí F = mv =4π m T m T. Podle třetího Kepleova zákona však platí T 3, takže po dosazení za T odtud dostaneme po přitažlivou sílu závislost F m. Přitažlivá síla Slunce je tedy nepřímo úměná čtveci vzdálenosti planety od Slunce a je také úměná hmotnosti planety. v m F Ilustace k odvození gavitačního zákona po planetu obíhající po kuhové dáze kolem Slunce. Tento výsledek po kuhové dáhy odvodil Edmond Halley oku Dokázat jej po obecnou eliptickou dáhu je ovšem mnohem složitější a na tom všichni ztoskotali. Tepve až Newtonovi se podařilo matematicky dokázat, že i po eliptické oběžné dáhy vyjde stejný gavitační zákon. Příklad 8.1 Dokažte, že síla působící na planetu v peihéliu a aféliu je nepřímo úměná čtveci její vzdálenosti od Slunce. Řešení: Elementáně se to dá dokázat pomocí duhého Kepleova zákona v A A = v P P =w. Dostředivá síla působící na planetu v peihéliu a aféliu je F P = ma P = m v P R = 4mw R 1 P a F A = ma A = m v A R = 4mw R 1, A

4 396 KAPITOLA 8. GRAVITACE kde R je polomě křivosti elipsy v peihéliu a aféliu. Jak je tedy vidět, přitažlivá síla klesá skutečně sečtvecem vzdálenosti planety od Slunce i v případě vcholů eliptické dáhy Měsíc a zemská tíže Komě toho, že Newton objevil matematickou podstatu sil, kteé řídí pohyby nebeských těles, dokázal také, že tato síla je stejného duhu, jako běžná přitažlivost zemská. Rozhodující nápad dostal údajně v okamžiku, kdy mu na hlavu spadlo jablko ze stomu, pod nímž ve své zahadě seděl. Přemýšlel pávě o tom, jaká síla nutí Měsíc, aby obíhal kolem Země. Newton dostal nápad, že by to mohla být síla stejného duhu jako síla, kteá nutí padat na zem jablko, tedy síla zemské tíže. Měsíc však, na ozdíl od jablka, nespadne na zem, potože má dostatečně velkou obvodovou ychlost v =π/t 1.06 km / s, kde km značí půměnou vzdálenost Měsíce od středu Země a T 7.3 dne oběžnou dobu Měsíce vzhledem ke hvězdám. Aby Měsíc obíhal kolem Země po kuhové dáze, musí na něj Země působit přitažlivým zychlením g M, kteéjepávěovnodostředivému zychlení g M = a M = v m / s. Newton již takévěděl, že gavitace ubývá se čtvecem vzdálenosti a potože Měsíc obíhá ve vzdálenosti asi 60 zemských poloměů, je zřejmé, že při povchu Země by toto přitažlivé zychlení mělo být asi 60 kát větší. Tak dospěl Newton k numeickému výsledku g 60 g M 9. 8 m / s. No a potože mu touto úvahou vyšlo obyčejné tíhové zychlení popisující i pád výše zmíněného jablka, dospěl Newton k nezvatnému přesvědčení, že zemská tíže je stejného původu jako síla, kteá dží Měsíc na jeho oběžné dáze kolem Země a že se obě síly dají popsat jediným univezálním gavitačním zákonem, kteý platí po pohyby těles na zemi stejně jakonanebi. Síla,kteánutíjablkoiMěsíc padat k Zemi, je tatáž sílagavitační Gavitační zákon z Kepleových zákonů Dokažme nyní, že z Kepleových zákonů skutečně plyne, že na planety obíhající po eliptických dáhách působí centální síla F 1/. To byl záoveňtennejdůležitější

5 8.1. GRAVITAČNÍ ZÁKON 397 matematický kok, kteý musel Newton udělat, aby oku 1684 konečně dospěl k objevu gavitačního zákona. Hledáme zychlení planety ze známé kinematiky planet učené Kepleovými zákony. Jako nejvhodnější se ukazuje popis pohybu v poláních souřadnicích, tam totiž nejlépe využijeme faktu, že Slunce leží v ohnisku elipsy. Připomeňme, že zychlení má v poláních souřadnicích dvě složky, adiální a azimutální, po kteé platí a = φ a a φ =ṙ φ + φ. Podle duhého Kepleova zákona platí φ =w, (8.1) kde plošná ychlost w je konstantou po danou planetu. Potože za peiodu T musí být původičem opsána celá elipsa o ploše πab, platí také w = πab/t. Vzhledem ke duhému Kepleovu zákonu (8.1) je azimutální složka zychlení ovna nule a φ =ṙ φ + φ = 1 ³ 1 φ = ẇ =0. To však znamená, že na planetu působí síla směřující vždy do Slunce. Nyní spočteme adiální složku zychlení planety a = φ. Chceme ji vyjádřit jako funkci polohy, musíme poto odstanit všechny výazy obsahující časové deivace souřadnic a φ. Nejpve nahadíme φ výazem w/ podle (8.1), dostaneme a = 4w 3. Ještě musíme upavit. Podle pvního Kepleova zákona platí 1 = 1 (1 + e cos φ), (8.) p cožjeovniceelipsyvpoláníchsouřadnicích. Odtud deivací podle času dostaneme 1 ṙ = 1 p e φ sin φ neboli ṙ = 1 ew sin φ, p kde jsme k vyloučení φ opět využili (8.1). Další deivací podle času pak dostaneme = 1 p ew φ cos φ. Výaz e cos φ odstaníme pomocí definice elipsy (8.) a φ pomocí (8.1), tak dostaneme µ = 4w 1 1. p

6 398 KAPITOLA 8. GRAVITACE Radiální složka zychlení planety je tedy ovna a = 4w µ 1 1 4w p 3 = 4w p 1. Takže nám vyšlo, že zychlení planety má jen adiální složku a = a = k, kteá závisí jen na vzdálenosti planety od Slunce a že planeta je přitahována ke Slunci silou, kteá klesá se čtvecem vzdálenosti. Navíc, konstanta úměnosti k = 4w p = 4π a 3 T =konst (8.3) je vzhledem ke třetímu Kepleovu zákonu po všechny planety obíhající kolem Slunce stejná a nezávisí ani na velikosti planety, ani na její vzdálenosti od Slunce. Při poslední úpavě konstanty k jsme dosadili za plošnou ychlost w = πab/t aza paamet p = b /a. Planeta je tedy ke Slunci přitahována silou F = ma = k m. Ze symetie silového působení obou těles, tj. planety o hmotnosti m a Slunce o hmotnosti M S, se dá očekávat, že výsledná síla bude mít tva symetický vzhledem k oběma tělesům. To splňuje jen gavitační zákon ve tvau F = κ mm S. Po konstantu k tedy máme vyjádření k = κm S, kde κ je univezální konstanta. Stučnější odvození přitažlivésílysedostanetakézbinetova vzoce u 00 + u = m F L u, (8.4) kteý platí po centální silová působení. Pokud se planeta pohybuje po eliptické dáze, platí u = 1 = 1 (1 + e cos φ), p po dosazení do Binetova vzoce (8.4) dostaneme po gavitační sílu výaz F = L u mp = L mp. Potože L =mw, dostaneme odtud opět výsledek F = km/, kde k je dáno vzocem (8.3).

7 8.1. GRAVITAČNÍ ZÁKON Univezální gavitační zákon Jakmile se Newton ujistil, že silové působení Slunce na planety, silové působení Země na Měsíc a zemská tíže jsou všechny popsány stejným zákonem, fomuloval oku 1684 univezální gavitační zákon: Libovolná dvě tělesa se přitahují silou, kteá je přímo úměná součinu jejich hmotností a nepřímo úměná čtveci jejich vzdálenosti. Newtonův gavitační zákon platí v celém vesmíu a učuje pohyby planet, komet, umělých satelitů, stejně jako hvězd a galaxií. Gavitace způsobuje sféický tva velkých nebeských těles. Gavitace umožňuje hvězdám dosáhnout dostatečného tlaku a teploty k zapálení temojadené eakce. Gavitace přidžuje vodu a vzduch k povchu Země. Poměnná gavitace způsobená pohybem Měsíce a Slunce způsobuje pavidelná dmutí hladiny všech moří, tzv. přílivy a odlivy. m 1 -FG F G m Univezální gavitační zákon vyjádřen vzocem zní Ilustacekegavitačnímu zákonu F G = κ m 1m, kde konstanta úměnosti κ se nazývá gavitační konstanta amáhodnotu κ N m / kg. Velikost gavitační konstanty Newton neznal, popvé ji naměřil až Heny Cavendish oku 1798 pomocí přesných tozních vah.podařilo se mu popvé změřit malé přitažlivé síly, kteými na sebe působí dvě velké a dvě malé olověné koule. Konstanta κ je dodnes jednou z nejméně přesných fyzikálních konstant. F G M F G Schéma uspořádání Cavendishova expeimentu. Z eakce tozního vlákna na silový moment M je možno učit gavitačnísíluaodtudgavitační konstantu. O nepatné velikosti gavitačních sil svědčí například tato skutečnost. Kdybychom měli ve volném postou dvě stejné olověné koule, každou o půměu jeden met, ve vzdálenosti jeden kilomet od sebe a na počátkuvklidu,pakbyseobě koule vzájemným gavitačním přitahováním uvedly do pohybu a sazily by se až za 460 dní! Smě přitažlivé síly je učen spojnicí obou těles, jak to vyžaduje zákon akce a eakce. Poto je možno zapsat gavitační zákon také v obecném vektoovém tvau F G = κ m 1m 3, (8.5)

8 400 KAPITOLA 8. GRAVITACE kde je polohový vekto tělesa m vzhledem k m 1 a F G je síla, jakou je hmotný bod m přitahován k m 1. Až do objevu gavitačního zákona působily všechny známé síly kontaktem těles, tedy na blízko. Gavitace byla pvní silou, kteá působí na dálku, ad distantio, a to podle Newtona okamžitě. Všechna astonomická pozoování to skutečně potvzují. Nicméně ani sám Newton silovému působení na dálku neozuměl a pokud byl dotázán na podstatu své gavitační síly, odpovídal výokem: Hypotheses non fingo (Hypotézy nevymýšlím). Modení výklad silového působení na dálku spočívá v zavedení hmotného silového pole v postou, kde se tělesa nacházejí. Ukazuje se také, že silové působení není okamžité, ale má konečnou ychlost, kteou je ychlost světla. Tato většinou malá zpřesněnípopisujeteoiegavitacealbeta Einsteina z oku 1916, kteá je známá spíše pod názvem obecná teoie elativity. Jeden kásný, ale nespávný model gavitace Jak jsme již uvedli, Newton nepodal ke svému gavitačnímu zákonu žádné vysvětlení původu gavitace. Poto se objevilo mnoho pokusů o mechanické vysvětlení toho, odkud se gavitace bee. Jedna z populáních teoií je založena na představě, že celý vesmí je naplněn mořem velmi ychlých a dobných částic, kteé se pohybují náhodně všemi směy a občas naážejí do kosmických těles. Tím jim udělují silový impulz, kteý působí podobně jako tlak v plynu ze všech stan stejně, a nemá poto žádného mechanického účinku. Pokud však přiblížíme k sobě dvě tělesa, budou se před tímto poudem částic navzájem stínit, čímž dojde k naušení izotopnosti tlaku částic a ve výsledku se budou obě tělesa k sobě přitahovat. Silový efekt stínění bude pochopitelně tím větší, čím budou obě tělesa větší a čím budou k sobě blíže. Snadno se ukáže, že výsledná přitažlivá síla bude klesat se čtvecem vzdálenosti obou těles. p R 1 F 1 R Podlemodelujepřitažlivost těles způsobena vzájemným odstíněním obou těles před náazy dobných a ychlých částeček přicházejících ovnoměně zevšechmožných stan kosmu. Skutečně, mějme dvě koule o velikostech R 1 a R ve vzdálenosti od sebe. Koule napavo odstíní částice, kteé by jinak dopadly na levou kouli, a to z postoového úhlu o velikosti Ω πr. Odstíněná (bílá) plocha na levé kouli bude mít velikost S 1 Ω R 1 πr 1 R.

9 8.1. GRAVITAČNÍ ZÁKON 401 Pokud písmenem p označíme velikost izotopního tlaku částic, kteé bombadují obě naše tělesa, pak výsledná síla působící na levou kouli bude ovna F 1 ps 1 p πr 1R. Výsledná síla tedy bude silou přitažlivou a bude mít smě spojnice obou těles. Snadno se ukáže, že stejně veliká síla působí i na duhé těleso a je tedy splněn zákon akce a eakce. Pokles přitažlivé síly se čtvecem vzdálenosti plyne naposto přiozeně z uvedeného modelu. Model by fungoval i případě víceneždvoutěles. Tento model mechanismu gavitace poslavil pod názvem kinetická teoie gavitace oku 178 Geoge-Luis Le Sage. Myšlenkajevšakještěstašíapochází od Nicolas Fatio de Duilliea, kteý s ní oku 1690 seznámil Chistiaana Huygense. Bohužel, popsanýmodelnenískutečným mechanismem gavitace. Nespávně totižpředpokládá, že gavitační síla nezávisí na hmotnostech, ale jen na geometických ozměech těles. Z modelu dále plyne nespávný závě, že při pohybu tělesa v moři částic vzniká odpoová síla úměná absolutní ychlosti tělesa. Potože však planety obíhají kolem Slunce po miliady let, aniž bysejejichpohyb nějak zpomalil, je zřejmé, že žádná odpoová síla neexistuje Hmotnost Země a Slunce Velikost gavitační konstanty Newton neznal, popvé ji naměřil až Heny Cavendish oku Do té doby byl znám z pohybu Měsíceazměření tíhového zychlení jen součin gavitační konstanty a hmotnosti Země κm Z, případně zpohybůplanet součin gavitační konstanty a hmotnosti Slunce κm S. Zjednodušeně, ale vcelku spávně, se poto říká, že Cavendish ve své laboatoři zvážil Zemi a Slunce. Hmotnost Země můžeme učit například pomocí tíhového zychlení na povchu Země. Z gavitačního zákona plyne vzoec g = F G m = κ M Z. Velikost Země R Z známe, stejně taktíhovézychleníg, apotonajdeme M Z = gr Z κ kg. Newton sám odhadl hmotnost Země z velikosti a hustoty Země. Poovnáním hustoty běžných mineálů odhadlhustotuzemějakoρ Z kg / m 3, atak dostal po hmotnost Země odhad R Z M Z ρ Z V Z 4 3 πρ ZR 3 Z kg. Po hmotnost Slunce dostaneme z ovnosti odstředivého a přitažlivého zychlení v = κ M S

10 40 KAPITOLA 8. GRAVITACE vzoec M S = 4π 3 κt kg, kde m je střední vzdálenost Země odslunceat 365 dní s je oběžná doba Zákon zachování enegie a potenciální enegie Dva hmotné body m 1 a m se vzájemně přitahují podle Newtona gavitační silou G 1 = κ m 1m a G = κ m 1m Pokud chceme tělesa od sebe oddálit, musíme vykonat páci. Vykonaná páce zvyšuje enegii soustavy A = E = T + U. Spočteme nyní potřebnou páci. Pohybové ovnice obou těles jsou Příůstek páce obou sil je tedy m 1 a 1 = F 1 + G 1 a m a = F + G. da = F 1 d 1 + F d =(m 1 a 1 G 1 ) d 1 +(m a G ) d =dt +du, kde příůstek kinetické enegie je dt = m 1 a 1 d 1 + m a d =d µ 1 m 1v1 + 1 m v apříůstek potenciální enegie je du = G 1 d 1 G d = κ m µ 1m d 1 =d κ m 1m, 1 kde 1 = 1 je elativní vzdálenost obou těles. Potenciální gavitační enegie U = κ m 1m 1 obou těles je tedy závislá jen na elativní vzdálenosti a hmotnostech obou těles. F F 1 G1 1 G Ilustace k odvození potenciální enegie gavitačních sil. Potenciální gavitačníenegievycházívždy záponě, největší potenciální enegii mají od sebe nekonečně vzdálená tělesa, jejich potenciální enegie je ovna nule

11 8.. KEPLEROVA ÚLOHA 403 U =0. Pokudnasoustavutěles nepůsobí vnější síly, je vložená páce ovna nule A =0a musí platit zákon zachování enegie soustavy dvou hmotných bodů E = 1 m 1v m v κ m 1m 1 =konst. Často je jedno z těles mnohem hmotnější než duhé a téměř se nepohybuje, například Slunce je třistatisíckát hmotnější než Země nebo Země je o dvacet řádů těžší než satelit.v tom případě bude mít zákon zachování enegie jednodušší tva E = 1 mv κ mm =konst, kde m je hmotnost malého a M hmotnost velkého tělesa. Pokud se vzdálenost obou těles příliš nemění, tak jako například při šikmém vhu kamene, můžeme psát = R Z + h, kde R Z je polomě Země ah výška tělesa nad povchem Země. Podle předpokladu platí h R Z, takže vzoec po potenciální enegii můžeme ozvinout do Tayloovy řady. Pokud se omezíme na pvní dva členy, dostaneme U = κ mm Z R Z + h κ mm Z R Z + κ mm Z RZ h = U R + mgh, kde g = κm Z /RZ. Potenciální enegie oste přibližně lineáněsvýškouodzemského povchu, stejně jako tomu bylo v homogenním tíhovém poli, veličinu g poto můžeme intepetovat jako tíhové zychlení Země. Zákon zachování enegie pak má známý tva 8. Kepleova úloha E 1 mv + mgh =konst Fomulace Kepleovy úlohy Poté, co Newton postuloval gavitační zákon, obátil úlohu a začal zkoumat pohyb tělesa, na kteé působí Slunce podle gavitačního zákona (8.5). Potože podle zákona akce a eakce působí také planeta na Slunce stejně velikou silou jako Slunce na planetu, musí se i Slunce pohybovat. I po tu největší planetu sluneční soustavy však platí, že její hmotnost je ve sovnání s hmotností Slunce téměř zanedbatelná. Například Jupite je tisíckát a Země dokonce třistatisíckát lehčí než Slunce. Poto lze v pvním přiblížení předpokládat, že Slunce se vůbec nepohybuje. Pohyb planety v gavitačním poli nehybného centálního tělesa řeší tzv. Kepleova úloha. Řešením Kepleovy úlohy Newton zjistil, že těleso se v gavitačním poli Slunce nemusí pohybovat vždy po elipse, ale může se pohybovat obecně po jakékoliv kuželosečce. Kuželosečky jsou všechny křivky, kteé dostaneme při ovinném řezu kuželové plochy. Podle sklonu řezu dostaneme kužnici, elipsu, paabolu nebo hypebolu. Konkétní typ kuželosečky dáhy je učen mechanickou enegií planety. Je-li enegie planety záponá, tajektoií je elipsa nebo kužnice a těleso obíhá

12 404 KAPITOLA 8. GRAVITACE peiodicky kolem Slunce. Je-li enegie ovna nule, tajektoií je paabola. Konečně, je-li enegie tělesa kladná, tajektoií je hypebola a těleso poletí kolem Slunce jen jedinkát a zase se vzdálí do nekonečného kosmu. Takto se chovají například někteé komety. V každém případě je však společným ohniskem všech těchto kuželoseček Slunce. 8.. Řešení Kepleovy úlohy Budeme tedy zkoumat, podobně jako Newton, pohyb planety nebo komety o hmotnosti m vgavitačním poli nehybného Slunce o hmotnosti M S. Pohyb planety je popsán pohybovou ovnicí = κ M S 3. Tajektoii planety můžeme pohodlně najítnapříklad pomocí Binetova vzoce, jako jsme to dělali již dříve v dynamice. Nás však zajímá i časový půběh pohybu. Ukážeme si poto jiné řešení, kteé využívá integálůpohybu,tj.zákona zachování enegie E = 1 mv κ mm S a zákona zachování momentu hybnosti planety kteý je jen jiným vyjádřením duhého Kepleova zákona. L = m φ, (8.6) U ef E>0 0 1 E<0 pohyb po hypebole pohyb po elipse Půběh efektivního potenciálu U ef () a celková enegie E učují, zda bude pohyb planety omezen na inteval 1 (pohyb po elipse) nebo omezen jen zdola 0 (pohyb po hypebole). V poláních souřadnicích je možno psát mechanickou enegii planety ve tvau E = 1 ³ m ṙ + φ κ mm S. Vyloučením φ pomocí (8.6) dostaneme L E = 1 mṙ + 1 m κ mm S = 1 mṙ + U ef (), kde U ef () představuje efektivní potenciální enegii. Tatoovnicepředstavuje difeenciální ovnici po funkci (t), kteou můžeme upavit do tvau ṙ = E m + κm S L m

13 8.. KEPLEROVA ÚLOHA 405 a vyřešit. Hledejme ale nejpve ovnici tajektoie (φ). Čas z ovnice vyloučíme opět pomocí duhého Kepleova zákona (8.6). Platí ṙ = d dt = d dφ dφ dt = 0 φ = 0 L m, kde čákou označujeme deivace podle azimutu φ. Substituce u = 1 dává ṙ = u 0 L m, aodtud u 0 = du me dφ = ± L + κm Sm L u u. Tuto difeenciální ovnici umíme vyřešit například sepaací poměnných. Označímeli kořeny kvadatické funkce pod odmocninou jako u 1 a u, pak bude řešení u (φ) eálné, jen pokud platí u 1 u u. Pomocí kořenů u 1 a u lze difeenciální ovnici zapsat ve tvau u 0 = ± p (u 1 u)(u u ). Kteé znaménko u odmocniny skutečně platí, to ozhodnou počáteční podmínky. Po kořeny u 1 a u platí známé Viètovy věty u 1 + u = κm Sm L a u 1 u = me L. Oba kořeny jsou tudíž kladné, jen když jee 0. Planeta je pak vázána v gavitačním poli Slunce 1 anemůže jej opustit. V případě E =0vychází u =0, takže planeta se může vzdálit až donekonečna. Konečně vpřípadě, že E>0, bude u i záponé a pohyb planety je ovněž omezen jedinou podmínkou 1. 1 Kepleova úloha. Planeta obíhá po elipse v pstenci vymezeném dvěma extémními hodnotami vzdálenosti 1 a od Slunce. Sepaací poměnných dostaneme nejpve ovnici ±dφ = a odtud její integací dostaneme du p (u1 u)(u u ), (φ φ 0 ) = accos u u 1+u u 1 u.

14 406 KAPITOLA 8. GRAVITACE Obvykle volíme počátek měření azimutu φ v peihéliu, tj. tam, kde je u = u 1 = u max, esp. = 1 = min, poto je φ 0 =0. Záoveň azimutměříme obvykle na tu stanu, na kteou azimut přiozeným pohybem planety skutečně oste. Poto platí jen znaménko plus. Řešení ovnice má tedy tva u = u 1 + u což jeobecnáovnice kuželosečky + u 1 u cos φ, (8.7) 1 = 1 (1 + e cos φ). (8.8) p Zgeometiekuželoseček je známo, že po e =0dostaneme = p = a, tj. kužnici, po e < 1 dostaneme elipsu, poe = 1dostaneme paabolu akonečně poe > 1 dostaneme jednu větev hypeboly. Poovnánímřešení (8.7) s ovnicí elipsy (8.8) dostaneme po paamet p ovnici 1 p = u 1 + u = κm Sm L (8.9) a po excenticitu e ovnici s s e = u 1 u = 1 4u 1u u 1 + u (u 1 + u ) = Tím jsme dokázali pvní Kepleův zákon po pohyb planet. Záoveňjsmejejozšířili o poznatek, že dáha tělesa nemusí být eliptická, pokud má těleso dostatečnou enegii. V případě, že je celková enegie E tělesa kladná, je jeho dáha hypebolická, 1+ EL κ MS. (8.10) m3 potože pak je e>1. Vpřípadě, že enegie tělesa je přesně ovnanule,pohybuje se těleso po paabole, nebo tjee, =1. Speciálně po elipsu je velká poloosa ovna Obáceně platí také a = 1 + = u 1 + u u 1 u = κmm S E 0. E = κmm S, (8.11) a takže celková enegie planety závisí jen na velké poloose její oběžné dáhy. Podobně z ovnice (8.9) vyjádříme obitální moment L pomocí dáhových elementů L = κm S m p. (8.1) Obitální moment můžeme vyjádřit také přes plošnou ychlost w = πab/t vztahem L =mw =πmab/t. Dosazením do (8.1) odtud dostaneme po malé úpavě třetí Kepleův zákon ve tvau a 3 T = κm S 4π. Pomocí univezálního gavitačního zákona jsme tak pohodlně dokázali všechny tři Kepleovy zákony.

15 8.. KEPLEROVA ÚLOHA Rychlost planety Celková enegie planety je podle (8.11) ovna E = 1 mv κ mm S odtud se spočte okamžitá ychlost planety jako s v = κm S µ 1 a = κ mm S a,. (8.13) Například po peihélium P = a (1 e) a afélium A = a (1 + e) vycházejí ychlosti κms 1+e κms 1 e v P = a v A = a 1 e a 1+e. Vpřípadě kuhové dáhy = a je zřejmě κms v = a Kepleova ovnice Tajektoii planety (φ) už známe, musíme ještě najít závislost polohy planety na čase, hledáme tedy dále funkce φ (t) a (t). Z (8.6) a (8.1) máme φ = L m = κms p κms p = p (1 + e cos φ), takže sepaací poměnných a integací odtud dostaneme Z φ 0 dφ (1 + e cos φ) = Z t 0 s κm S p 3 dt = Integál vlevo upavíme pomocí vhodné substituce 1 e y = 1+e tg φ aspočteme. Tak dostaneme µ y M = actg y e 1+y, kde výaz na levé staně ovnice M = s κm S p 3 t. κms a 3 t = nt (8.14)

16 408 KAPITOLA 8. GRAVITACE se nazývá střední anomálie a n = p κm S /a 3 střední pohyb planety. Po paktické výpočty v astonomii je tento vzoec nevhodný, potože se jedná o elativně složitou tanscendentní ovnici vzhledem k y. Poto se zavádí dále excentická anomálie E vztahem y =tg E, pak je y 1+y = 1 sin E. Tak dostaneme mnohem vhodnější vzoec k výpočtu excentické anomálie známý jako Kepleova ovnice M = E e sin E. (8.15) Při výpočtu polohy planety se tedy v paxi postupuje takto: Po dané paamety elipsy a, e spočteme v daný okamžik t nejpve střední anomálii M planety podle (8.14). Odtud pak pomocí Kepleovy ovnice (8.15) najdeme excentickou anomálii E a z ní pak spočteme pavou anomálii (azimut) φ pomocí vzoce tg φ 1+e = 1 e tg E. Vzdálenost planety pak spočteme bu djiž, ze známé pavé anomálie φ azovnice elipsy (8.8) anebo s pomocí excentické anomálie E ze vztahu = a (1 e cos E), kteý dostaneme úpavou vzoce (8.8), kam dosadíme za výaz cos φ = 1 tg φ 1+tg φ 8..5 Hypebolická dáha = cos E e 1 e cos E. Je-li celková enegie tělesa, například komety, kladná, vychází excenticita větší než jednae>1 avelkápoloosadáhyzáponě a < 0. Dáhou tělesa je tudíž hypebola. Ze stejného důvodu vycházejí také střední anomálie M a excentická anomálie E jako yze imaginání veličiny. Fomálně však zůstávají všechny výše odvozené vzoce nadále v platnosti. Pokud definujeme nové eálné veličiny M a E vztahy M =im a E =ie a využijeme známých komplexních identit sin (ix) = i sinh x, cos (ix) = coshx a tg (ix) = i tgh x, dostaneme po výpočet polohy tělesa na hypebolické dáze následující míně upavené vztahy. Po střední anomálii s M κm S = a 3 t,

17 8.. KEPLEROVA ÚLOHA 409 po excentickou anomálii upavenou Kepleovu ovnici po pavou anomálii ovnici a po výpočet vzdálenosti máme M = e sinh E E, tg φ e +1 = E tgh e 1 = a (e cosh E 1) nebo stále platící (8.). Geometický význam paametu p = a 1 e > 0 se nemění a nadále platí, že paamet p učuje vzdálenost tělesa od Slunce v kvadatuře p = (π/) nebo polomě křivosti dáhy ve vcholu hypeboly p = R (0). φ asymptota a φ A hypebola e a Asymptoty hypebolické dáhy svíají navzájem úhel φ A. Pohyb po hypebole už není peiodický, potože hamonické funkce nahadily funkce hypebolické. Polohu asymptot, to jest přímek, k nimž se dáha tělesa v nekonečnu přimyká, najdeme snadno z ovnice hypeboly. Asymptoty odpovídají takovým směům φ = ±φ A, kdy vzdálenost jde do nekonečna a tedy, kdy jmenovatel 1+e cos φ jde k nule. Odtud máme cos φ A = 1 e. Po e 1 máme paabolu a asymptoty jsou maximálně ozevřené, nebo, tpakje φ A π Paabolická dáha Paabolický pohyb odpovídá limitnímu případu, kdy celková enegie tělesa je ovna nule. Příslušné ovnice popisující pohyb dostaneme třeba limitním přechodem z eliptické dáhy. Místo paametu a, kteý oste do nekonečna, je v tomto případě vhodnější užívat konečného paametu p. Po e 1 dostaneme místo Kepleovy ovnice přímo ovnici po pavou anomálii M =tg φ tg3 φ, (8.16)

18 410 KAPITOLA 8. GRAVITACE kde střední anomálii definujeme vztahem M = s 4κM S p 3 t. V dobách, kdy ještě nebyly počítače, nebylo snadné numeicky vyřešit kubickou ovnici (8.16), poto se hledaly způsoby, jak numeické řešení kubické ovnice obejít. Vnašempřípadě takovýzpůsob existuje a my si jej nyní ukážeme. Metoda je založena na goniometické identitě cotg x = 1 (cotg x tg x). Zave dme, tedy pomocný agument γ vztahem tg φ =cotgγ =cotgγ tg γ adosa d, me do pavé stany ovnice (8.16). Po jednoduché úpavě dostaneme tg φ tg3 φ = 1 3 cotg3 γ 1 3 tg3 γ. Pokud dále zavedeme ještě agument β vztahem tg γ =tg3 β, můžemepavoustanudáleupavit 1 γ 3 cotg3 1 γ 3 tg3 = 1 3 cotg β 1 3 tg β = cotg β, 3 takže máme nakonec výsledek M = cotg β. 3 Dostali jsme tak přímou souvislost mezi střední anomálií M aagumentemβ, z něhož pohodlněnajdemeγ azněho pak pavou anomálii φ. Vzdálenost tělesa od Slunce pak už snadno spočteme třeba podle vzoce = 8..7 Lambet-Euleův vzoec p 1+cosφ = p sec φ. Známe-li paamety dáhy, můžeme spočíst vzdálenost a polohu planety v libovolném čase. Obácenou úlohou je poblém řešený popvé Johann Heinich Lambetem 1 oku Z astonomických pozoování jsou známy vzdálenosti 1 a 1 Johann Heinich Lambet se zabýval vedle mechaniky také optikou a temodynamikou. V matematice dokázal oku 1768 iacionálnost čísla π, jako pvní se systematicky zabýval studiem hypebolických funkcí.

19 8.. KEPLEROVA ÚLOHA 411 stejné planety ve dvou ůzných místech P 1 a P odpovídající časovým okamžikům t 1 a t a dále je známa úhlová vzdálenost planety φ = φ φ 1. Pomocí kosínové větytedydokážeme učit také vzdálenost q s = cos φ mezi oběma polohami P 1 a P. Předpokládejme tedy, že známe 1, a s adále, že známe poloosu a dáhy planety a hmotnost centálního tělesa M S nebo střední denní pohyb planety κms n = a 3. Máme učit, jaký časový inteval t = t t 1 mezi oběma pozoováními P 1 a P uběhl. Vzhledem k tanscendentnosti Kepleovy ovnice je poblém netiviální. P s S 1 P 1 Ilustace k Lambetově větě. Máme učit dobu, za kteou se planeta přemístí z P 1 do P. Z řešení Kepleovy úlohy víme, že platí nt 1 = E 1 e sin E 1, nt = E e sin E, kde E 1 a E jsou excentické anomálie. Odtud n t = E E 1 e sin E E 1 Pomocí substituce cos E + E 1. g = E E 1 to lze upavit do tvau a cos h = e cos E + E 1 Po vzdálenosti planety platí odtud je n t =g sing cos h. (8.17) 1 = a (1 e cos E 1 ) a = a (1 e cos E ), 1 + =a ea cos E E 1 cos E + E 1,

20 41 KAPITOLA 8. GRAVITACE takže platí 1 + =a (1 cos g cos h). (8.18) Konečně po vzdálenost s z geometického významu excentické anomálie platí Tuto ovnici upavíme do tvau s =4a sin E E 1 anebo do tvau s = a (cos E cos E 1 ) + b (sin E sin E 1 ). sin E + E 1 s =4a sin E E 1 + b sin E E 1 µ 1 e cos E + E 1, cos E + E 1 což můžeme přepsat pomocí výše definovaných paametů g a h jako s =a sin g sin h. (8.19) Sečtením a odečtením ovnic (8.18), (8.19) a známých tigonometických vzoců dostaneme cos (h ± g) =cosg cos h sin g sin h =1 1 + a Odtud veličiny λ 1 = h + g a λ = h g splňují ovnice cos λ 1 = s a a s a. cos λ =1 1 + s, a takže podle (8.17) spočteme hledaný časový inteval t z ovnice n t = λ 1 λ sin λ 1 λ cos λ 1 + λ =(λ 1 sin λ 1 ) (λ sin λ ). Těmito vztahy je poblém vyřešen, poslední ovnice přitom představuje hledaný Lambetův vzoec. Po hypebolickou dáhu bychom dostali podobný vzoec kde n t =(sinhλ 1 λ 1 ) (sinh λ λ ), cosh λ 1 = s a a cosh λ = s. a

Newtonův gravitační zákon Gravitační a tíhové zrychlení při povrchu Země Pohyby těles Gravitační pole Slunce

Newtonův gravitační zákon Gravitační a tíhové zrychlení při povrchu Země Pohyby těles Gravitační pole Slunce Gavitační pole Newtonův gavitační zákon Gavitační a tíhové zychlení při povchu Země Pohyby těles Gavitační pole Slunce Úvod V okolí Země existuje gavitační pole. Země působí na každé těleso ve svém okolí

Více

Hlavní body. Keplerovy zákony Newtonův gravitační zákon. Konzervativní pole. Gravitační pole v blízkosti Země Planetární pohyby

Hlavní body. Keplerovy zákony Newtonův gravitační zákon. Konzervativní pole. Gravitační pole v blízkosti Země Planetární pohyby Úvod do gavitace Hlavní body Kepleovy zákony Newtonův gavitační zákon Gavitační pole v blízkosti Země Planetání pohyby Konzevativní pole Potenciál a potenciální enegie Vztah intenzity a potenciálu Úvod

Více

Newtonův gravitační zákon

Newtonův gravitační zákon Gavitační pole FyzikaII základní definice Gavitační pole je posto, ve kteém působí gavitační síly. Zdojem gavitačního pole jsou všechny hmotné objekty. Každá dvě tělesa jsou k sobě přitahována gavitační

Více

F5 JEDNODUCHÁ KONZERVATIVNÍ POLE

F5 JEDNODUCHÁ KONZERVATIVNÍ POLE F5 JEDNODUCHÁ KONZERVATIVNÍ POLE Evopský sociální fond Paha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti F5 JEDNODUCHÁ KONZERVATIVNÍ POLE Asi nejznámějším konzevativním polem je gavitační silové pole Ke gavitační

Více

Gravitační pole. a nepřímo úměrná čtverci vzdáleností r. r r

Gravitační pole. a nepřímo úměrná čtverci vzdáleností r. r r Newtonův avitační zákon: Gavitační pole ezi dvěa tělesy o hotnostech 1 a, kteé jsou od sebe vzdáleny o, působí stejně velké síly vzájené přitažlivosti, jejichž velikost je přío úěná součinu hotností 1

Více

Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti

Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti F8 KEPLEOVY ZÁKONY Evopský sociální fond Paha & EU: Investujeme do vaší udoucnosti F8 KEPLEOVY ZÁKONY Kepleovy zákony po planetání pohy zfomuloval Johannes Keple (1571 1630) na základě měření Tychona Baheho

Více

Kinematika. Hmotný bod. Poloha bodu

Kinematika. Hmotný bod. Poloha bodu Kinematika Pohyb objektů (kámen, automobil, střela) je samozřejmou součástí každodenního života. Pojem pohybu byl poto známý už ve staověku. Modení studium pohybu začalo v 16. století a je spojeno se jmény

Více

ELEKTRICKÝ NÁBOJ COULOMBŮV ZÁKON INTENZITA ELEKTRICKÉHO POLE

ELEKTRICKÝ NÁBOJ COULOMBŮV ZÁKON INTENZITA ELEKTRICKÉHO POLE ELEKTRICKÝ NÁBOJ COULOMBŮV ZÁKON INTENZITA ELEKTRICKÉHO POLE 1 ELEKTRICKÝ NÁBOJ Elektický náboj základní vlastnost někteých elementáních částic (pvní elektické jevy pozoovány již ve staověku janta (řecky

Více

DYNAMIKA HMOTNÉHO BODU

DYNAMIKA HMOTNÉHO BODU DYNAMIKA HMOTNÉHO BODU Součást Newtonovské klasická mechanika (v

Více

Příklady elektrostatických jevů - náboj

Příklady elektrostatických jevů - náboj lektostatika Hlavní body Příklady elektostatických jevů. lektický náboj, elementání a jednotkový náboj Silové působení náboje - Coulombův zákon lektické pole a elektická intenzita, Páce v elektostatickém

Více

[GRAVITAČNÍ POLE] Gravitace Gravitace je všeobecná vlastnost těles.

[GRAVITAČNÍ POLE] Gravitace Gravitace je všeobecná vlastnost těles. 5. GRAVITAČNÍ POLE 5.1. NEWTONŮV GRAVITAČNÍ ZÁKON Gravitace Gravitace je všeobecná vlastnost těles. Newtonův gravitační zákon Znění: Dva hmotné body se navzájem přitahují stejně velkými gravitačními silami

Více

Digitální učební materiál. III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Příjemce podpory Gymnázium, Jevíčko, A. K.

Digitální učební materiál. III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Příjemce podpory Gymnázium, Jevíčko, A. K. Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím

Více

Gravitační a elektrické pole

Gravitační a elektrické pole Gavitační a elektické pole Newtonův gavitační zákon Aistotelés (384-3 př. n. l.) předpokládal, že na tělesa působí síla směřující svisle dolů. Poto jsou těžké předměty (skály tvořící placatou Zemi) dole

Více

R2.213 Tíhová síla působící na tělesa je mnohem větší než gravitační síla vzájemného přitahování těles.

R2.213 Tíhová síla působící na tělesa je mnohem větší než gravitační síla vzájemného přitahování těles. 2.4 Gravitační pole R2.211 m 1 = m 2 = 10 g = 0,01 kg, r = 10 cm = 0,1 m, = 6,67 10 11 N m 2 kg 2 ; F g =? R2.212 F g = 4 mn = 0,004 N, a) r 1 = 2r; F g1 =?, b) r 2 = r/2; F g2 =?, c) r 3 = r/3; F g3 =?

Více

Pohyby HB v některých význačných silových polích

Pohyby HB v některých význačných silových polích Pohyby HB v některých význačných silových polích Pohyby HB Gravitační pole Gravitační pole v blízkém okolí Země tíhové pole Pohyb v gravitačním silovém poli Keplerova úloha (podrobné řešení na semináři)

Více

Diferenciální operátory vektorové analýzy verze 1.1

Diferenciální operátory vektorové analýzy verze 1.1 Úvod Difeenciální opeátoy vektoové analýzy veze. Následující text popisuje difeenciální opeátoy vektoové analýzy. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT na Univezitě Hadec Kálové k přípavě

Více

BIOMECHANIKA DYNAMIKA NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY, VNITŘNÍ A VNĚJŠÍ SÍLY ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY

BIOMECHANIKA DYNAMIKA NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY, VNITŘNÍ A VNĚJŠÍ SÍLY ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY BIOMECHANIKA DYNAMIKA NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY, VNITŘNÍ A VNĚJŠÍ SÍLY ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY ROTAČNÍ POHYB TĚLESA, MOMENT SÍLY, MOMENT SETRVAČNOSTI DYNAMIKA Na rozdíl od kinematiky, která se zabývala

Více

VÝUKOVÝ MATERIÁL VÝUKOVÝ MATERIÁL VÝUKOVÝ MATERIÁL

VÝUKOVÝ MATERIÁL VÝUKOVÝ MATERIÁL VÝUKOVÝ MATERIÁL VÝUKOVÝ MATERIÁL VÝUKOVÝ MATERIÁL VÝUKOVÝ MATERIÁL Identifikační údaje školy Číslo projektu Název projektu Číslo a název šablony Vyšší odborná škola a Střední škola, Varnsdorf, příspěvková organizace Bratislavská

Více

1.7.2 Moment síly vzhledem k ose otáčení

1.7.2 Moment síly vzhledem k ose otáčení .7. oment síly vzhledem k ose otáčení Předpoklady 70 Pedagogická poznámka Situaci tochu komplikuje skutečnost, že žáci si ze základní školy pamatují součin a mají pocit, že se pouze opakuje notoicky známá

Více

GRAVITAČNÍ POLE. Všechna tělesa jsou přitahována k Zemi, příčinou tohoto je jevu je mezi tělesem a Zemí

GRAVITAČNÍ POLE. Všechna tělesa jsou přitahována k Zemi, příčinou tohoto je jevu je mezi tělesem a Zemí GRAVITAČNÍ POLE Všechna tělesa jsou přitahována k Zemi, příčinou tohoto je jevu je mezi tělesem a Zemí Přitahují se i vzdálená tělesa, například, z čehož vyplývá, že kolem Země se nachází gravitační pole

Více

1.3.8 Rovnoměrně zrychlený pohyb po kružnici I

1.3.8 Rovnoměrně zrychlený pohyb po kružnici I 1.3.8 Rovnoměně zychlený pohyb po kužnici I Předpoklady: 137 Opakování: K veličinám popisujícím posuvný pohyb existují analogické veličiny popisující pohyb po kužnici: ovnoměný pohyb pojítko ovnoměný pohyb

Více

Dynamika. Dynamis = řecké slovo síla

Dynamika. Dynamis = řecké slovo síla Dynamika Dynamis = řecké slovo síla Dynamika Dynamika zkoumá příčiny pohybu těles Nejdůležitější pojmem dynamiky je síla Základem dynamiky jsou tři Newtonovy pohybové zákony Síla se projevuje vždy při

Více

Klíčové pojmy Vypište hlavní pojmy: b) Tíhová síla. c) Tíha. d) Gravitační zrychlení. e) Intenzita gravitačního pole

Klíčové pojmy Vypište hlavní pojmy: b) Tíhová síla. c) Tíha. d) Gravitační zrychlení. e) Intenzita gravitačního pole Pojekt Efektivní Učení Refomou oblastí gymnaziálního vzdělávání je spolufinancován Evopským sociálním fondem a státním ozpočtem České epubliky. GRAVITAČNÍ POLE Teoie Slovně i matematicky chaakteizujte

Více

Elektrické a magnetické pole zdroje polí

Elektrické a magnetické pole zdroje polí Elektické a magnetické pole zdoje polí Co je podstatou elektomagnetických jevů Co jsou elektické náboje a jaké mají vlastnosti Co je elementání náboj a bodový elektický náboj Jak veliká je elektická síla

Více

Úlohy krajského kola kategorie B

Úlohy krajského kola kategorie B 61. očník matematické olmpiád Úloh kajského kola kategoie B 1. Je dáno 01 kladných čísel menších než 1, jejichž součet je 7. Dokažte, že lze tato čísla ozdělit do čtř skupin tak, ab součet čísel v každé

Více

12 DYNAMIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ

12 DYNAMIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ 56 12 DYNAMIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ Těžiště I. impulsová věta - věta o pohybu těžiště II. impulsová věta Zákony zachování v izolované soustavě hmotných bodů Náhrada pohybu skutečných objektů pohybem

Více

3.7. Magnetické pole elektrického proudu

3.7. Magnetické pole elektrického proudu 3.7. Magnetické pole elektického poudu 1. Znát Biotův-Savatův zákon a umět jej použít k výpočtu magnetické indukce v jednoduchých případech (okolí přímého vodiče, ve středu oblouku apod.).. Pochopit význam

Více

Úvod do nebeské mechaniky

Úvod do nebeské mechaniky OPT/AST L09 Úvod do nebeské mechaniky pohyby astronomických těles ve společném gravitačním poli obecně: chaotický systém nestabilní numerické řešení speciální případ: problém dvou těles analytické řešení

Více

BIOMECHANIKA KINEMATIKA

BIOMECHANIKA KINEMATIKA BIOMECHANIKA KINEMATIKA MECHANIKA Mechanika je nejstarším oborem fyziky (z řeckého méchané stroj). Byla původně vědou, která se zabývala konstrukcí strojů a jejich činností. Mechanika studuje zákonitosti

Více

Sluneční plachetnice. 1. Trocha historieequation Chapter 1 Section 1. 2. Pohyb v gravitačním poli

Sluneční plachetnice. 1. Trocha historieequation Chapter 1 Section 1. 2. Pohyb v gravitačním poli Sluneční plachetnice 1. Tocha histoieequation Chapte 1 Section 1 O plachetnici poháněné tlakem slunečního záření, kteá letí napříč sluneční soustavou, snily desítky spisovatelů a fyziků. Mezi nejznámějšími

Více

Trivium z optiky Vlnění

Trivium z optiky Vlnění Tivium z optiky 7 1 Vlnění V této kapitole shnujeme základní pojmy a poznatky o vlnění na přímce a v postou Odvolávat se na ně budeme často v kapitolách následujících věnujte poto vyložené látce náležitou

Více

5. Světlo jako elektromagnetické vlnění

5. Světlo jako elektromagnetické vlnění Tivium z optiky 9 5 Světlo jako elektomagnetické vlnění Ve třetí kapitole jsme se dozvěděli že na světlo můžeme nahlížet jako na elektomagnetické vlnění Dříve než tak učiníme si ale musíme alespoň v základech

Více

Základní vlastnosti elektrostatického pole, probrané v minulých hodinách, popisují dvě diferenciální rovnice : konzervativnost el.

Základní vlastnosti elektrostatického pole, probrané v minulých hodinách, popisují dvě diferenciální rovnice : konzervativnost el. Aplikace Gaussova zákona ) Po sestavení základní ovnice elektostatiky Základní vlastnosti elektostatického pole, pobané v minulých hodinách, popisují dvě difeenciální ovnice : () ot E konzevativnost el.

Více

ELEKTŘINA A MAGNETIZMUS

ELEKTŘINA A MAGNETIZMUS ELEKTŘIN MGNETIZMUS III Elektický potenciál Obsah 3 ELEKTRICKÝ POTENCIÁL 31 POTENCIÁL POTENCIÁLNÍ ENERGIE 3 ELEKTRICKÝ POTENCIÁL V HOMOGENNÍM POLI 4 33 ELEKTRICKÝ POTENCIÁL ZPŮSOENÝ ODOVÝMI NÁOJI 5 331

Více

Dráhy planet. 28. července 2015

Dráhy planet. 28. července 2015 Dáhy plnet Pet Šlecht 28. čevence 205 Výpočet N střední škole se zpvidl učí, že dáhy plnet jsou elipsy se Sluncem v ohnisku. Tké se učí, že tento fkt je možné dokázt z Newtonov gvitčního zákon. Příslušný

Více

Cvičení z termomechaniky Cvičení 6.

Cvičení z termomechaniky Cvičení 6. Příklad 1: Pacovní látkou v poovnávacím smíšeném oběhu spalovacího motou je vzduch o hmotnosti 1 [kg]. Počáteční tlak je 0,981.10 5 [Pa] při teplotě 30 [ C]. Kompesní pomě je 7, stupeň zvýšení tlaku 2

Více

4. konference o matematice a fyzice na VŠT Brno, Fraktály ve fyzice. Oldřich Zmeškal

4. konference o matematice a fyzice na VŠT Brno, Fraktály ve fyzice. Oldřich Zmeškal 4. konfeence o matematice a fyzice na VŠT Bno, 15. 9. 25 Faktály ve fyzice Oldřich Zmeškal Ústav fyzikální a spotřební chemie, Fakulta chemická, Vysoké učení technické, Pukyňova 118, 612 Bno, Česká epublika

Více

L2 Dynamika atmosféry I. Oddělení numerické předpovědi počasí ČHMÚ 2007

L2 Dynamika atmosféry I. Oddělení numerické předpovědi počasí ČHMÚ 2007 L2 Dynamika atmosféy I Oddělení nmeické předpovědi počasí ČHMÚ 2007 Plán přednášky Dynamika atmosféy Sostava ovnic Zákony zachování Vlny v atmosféře, příklady oscilací Příklady instabilit Rotjící sořadný

Více

3 Mechanická energie 5 3.1 Kinetická energie... 6 3.3 Potenciální energie... 6. 3.4 Zákon zachování mechanické energie... 9

3 Mechanická energie 5 3.1 Kinetická energie... 6 3.3 Potenciální energie... 6. 3.4 Zákon zachování mechanické energie... 9 Obsah 1 Mechanická práce 1 2 Výkon, příkon, účinnost 2 3 Mechanická energie 5 3.1 Kinetická energie......................... 6 3.2 Potenciální energie........................ 6 3.3 Potenciální energie........................

Více

I N V E S T I C E D O R O Z V O J E V Z D Ě L Á V Á N Í

I N V E S T I C E D O R O Z V O J E V Z D Ě L Á V Á N Í DYNAMIKA SÍLA 1. Úvod dynamos (dynamis) = síla; dynamika vysvětluje, proč se objekty pohybují, vysvětluje změny pohybu. Nepopisuje pohyb, jak to dělá... síly mohou měnit pohybový stav těles nebo mohou

Více

a polohovými vektory r k

a polohovými vektory r k Mechania hmotných soustav Hmotná soustava (HS) je supina objetů, o teých je vhodné uvažovat jao o celu Pvy HS se pohybují účinem sil N a) vnitřních: Σ ( F + F + L+ F ) 0 i 1 i1 b) vnějších: síly od objetů,

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Fyzikální vzdělávání. 1. ročník. Učební obor: Kuchař číšník Kadeřník. Implementace ICT do výuky č. CZ.1.07/1.1.02/ GG OP VK

Fyzikální vzdělávání. 1. ročník. Učební obor: Kuchař číšník Kadeřník. Implementace ICT do výuky č. CZ.1.07/1.1.02/ GG OP VK Fyzikální vzdělávání 1. ročník Učební obor: Kuchař číšník Kadeřník 1 1 Mechanika 1.1 Pohyby přímočaré, pohyb rovnoměrný po kružnici 1.2 Newtonovy pohybové zákony, síly v přírodě, gravitace 1.3 Mechanická

Více

do strukturní rentgenografie e I

do strukturní rentgenografie e I Úvod do stuktuní entgenogafie e I Difakce tg záření na kystalu Metody chaakteizace nanomateiálů I RND. Věa Vodičková, PhD. Studium kystalové stavby Difakce elektonů, neutonů, tg fotonů Kystal ideální mřížka

Více

2.1.2 Jaký náboj projde proudovodičem, klesá-li v něm proud z 18 A na nulu tak, že za každou sekundu klesne hodnota proudu na polovinu?

2.1.2 Jaký náboj projde proudovodičem, klesá-li v něm proud z 18 A na nulu tak, že za každou sekundu klesne hodnota proudu na polovinu? . LKTCKÝ POD.. lektický odpo, páce a výkon el. poudu.. Jaké množství el. náboje Q pojde vodičem za t = 0 s, jestliže a) poud = 5 A je stálý, b) poud ovnoměně oste od nuly do A?.. Jaký náboj pojde poudovodičem,

Více

Test jednotky, veličiny, práce, energie, tuhé těleso

Test jednotky, veličiny, práce, energie, tuhé těleso DUM Základy přírodních věd DUM III/2-T3-16 Téma: Práce a energie Střední škola Rok: 2012 2013 Varianta: A Zpracoval: Mgr. Pavel Hrubý TEST Test jednotky, veličiny, práce, energie, tuhé těleso 1 Účinnost

Více

1 Tuhé těleso a jeho pohyb

1 Tuhé těleso a jeho pohyb 1 Tuhé těleso a jeho pohyb Tuhé těleso (TT) působením vnějších sil se nemění jeho tvar ani objem nedochází k jeho deformaci neuvažuje se jeho částicová struktura, těleso považujeme za tzv. kontinuum spojité

Více

B1. Výpočetní geometrie a počítačová grafika 9. Promítání., světlo.

B1. Výpočetní geometrie a počítačová grafika 9. Promítání., světlo. B. Výpočetní geometie a počítačová gafika 9. Pomítání., světlo. Pomítání Převedení 3D objektu do 2D podoby je ealizováno pomítáním, při kteém dochází ke ztátě infomace. Pomítání (nebo též pojekce) je tedy

Více

Kategorie mladší. Řešení 3. kola VI. ročník. Úloha 3A

Kategorie mladší. Řešení 3. kola VI. ročník. Úloha 3A Kategoie mladší Úloha A Sůví table Když Anička přeloží papí na polovinu, jeho tloušťku t tím zdvojnásobí. Nová tloušťka t je pak ovna t. Po duhém přeložení bude nová tloušťka t ovna t = t, po třetím přeložení

Více

vzhledem k ose kolmé na osu geometrickou a procházející hmotným středem válce. c) kužel o poloměru R, výšce h, hmotnosti m

vzhledem k ose kolmé na osu geometrickou a procházející hmotným středem válce. c) kužel o poloměru R, výšce h, hmotnosti m 8. Mechanika tuhého tělesa 8.. Základní poznatky Souřadnice x 0, y 0, z 0 hmotného středu tuhého tělesa x = x dm m ( m) 0, y = y dm m ( m) 0, z = z dm m ( m) 0. Poznámka těžiště tuhého tělesa má v homogenním

Více

1 Rozdělení mechaniky a její náplň

1 Rozdělení mechaniky a její náplň 1 Rozdělení mechaniky a její náplň Mechanika je nauka o rovnováze a pohybu hmotných útvarů pohybujících se rychlostí podstatně menší, než je rychlost světla (v c). Vlastnosti skutečných hmotných útvarů

Více

Práce, výkon, energie

Práce, výkon, energie Práce, výkon, energie (test version, not revised) Petr Pošta pposta@karlin.mff.cuni.cz 23. října 2009 Obsah Mechanická práce Výkon, příkon, účinnost Mechanická energie Kinetická energie Potenciální energie

Více

5. Elektromagnetické kmitání a vlnění

5. Elektromagnetické kmitání a vlnění 5. Elektomagnetické kmitání a vlnění 5.1 Oscilační obvod Altenáto vyábí střídavý poud o fekvenci 50 Hz. V paxi potřebujeme napětí ůzných fekvencí. Místo fekvence používáme pojem kmitočet. Různé fekvence

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Projekt ŠABLONY NA GVM registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/ III-2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

Projekt ŠABLONY NA GVM registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/ III-2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Projekt ŠABLONY NA GVM registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 III-2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT 1. Mechanika 1. 6. Energie 1 Autor: Jazyk: Aleš Trojánek čeština Datum vyhotovení:

Více

Práce, energie a další mechanické veličiny

Práce, energie a další mechanické veličiny Práce, energie a další mechanické veličiny Úvod V předchozích přednáškách jsme zavedli základní mechanické veličiny (rychlost, zrychlení, síla, ) Popis fyzikálních dějů usnadňuje zavedení dalších fyzikálních

Více

I. Statické elektrické pole ve vakuu

I. Statické elektrické pole ve vakuu I. Statické elektické pole ve vakuu Osnova:. Náboj a jeho vlastnosti 2. Coulombův zákon 3. Intenzita elektostatického pole 4. Gaussova věta elektostatiky 5. Potenciál elektického pole 6. Pole vodiče ve

Více

Kinetická teorie ideálního plynu

Kinetická teorie ideálního plynu Přednáška 10 Kinetická teorie ideálního plynu 10.1 Postuláty kinetické teorie Narozdíl od termodynamiky kinetická teorie odvozuje makroskopické vlastnosti látek (např. tlak, teplotu, vnitřní energii) na

Více

Rychlost, zrychlení, tíhové zrychlení

Rychlost, zrychlení, tíhové zrychlení Úloha č. 3 Rychlost, zrychlení, tíhové zrychlení Úkoly měření: 1. Sestavte nakloněnou rovinu a změřte její sklon.. Změřte závislost polohy tělesa na čase a stanovte jeho rychlost a zrychlení. 3. Určete

Více

Management rekreace a sportu. 10. Derivace

Management rekreace a sportu. 10. Derivace Derivace Derivace Před mnoha lety se matematici snažily o obecné vyřešení úlohy, jak sestrojit tečnu k dané křivce a také yzici zápolili s problémem určení rychlosti nerovnoměrného pohybu K zásadnímu obratu

Více

Projekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/ TĚŽIŠTĚ

Projekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/ TĚŽIŠTĚ Projekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/03.0009 2.10 TĚŽIŠTĚ Těžiště (hmotný střed) je působiště tíhové síly působící na těleso. Těžiště zavádíme jako působiště

Více

21. ročník, úloha II. 3... víno teče proudem (4 body; průměr 2,08; řešilo 38 studentů)

21. ročník, úloha II. 3... víno teče proudem (4 body; průměr 2,08; řešilo 38 studentů) 1 očník, úloha II 3 víno teče poudem (4 body; půmě,8; řešilo 38 studentů) Vinaři a řidiči kamionu dobře znají šikovné přelévání kapalin z těžkých nádob Vinař Ignác chce stočit víno z jednoho demižonu do

Více

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ PRŮVODCE GB01-P02 DYNAMIKA HMOTNÉHO BODU

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ PRŮVODCE GB01-P02 DYNAMIKA HMOTNÉHO BODU VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ Prof. Ing. Bohumil Koktavý,CSc. FYZIKA PRŮVODCE GB01-P02 DYNAMIKA HMOTNÉHO BODU STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA 2 OBSAH

Více

4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil

4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil 4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil Síla je veličina vektorová. Je určena působištěm, směrem, smyslem a velikostí. Působiště síly je bod, ve kterém se přenáší účinek síly na těleso. Směr

Více

Vzdálenosti ve sluneční soustavě: paralaxy a Keplerovy zákony

Vzdálenosti ve sluneční soustavě: paralaxy a Keplerovy zákony Vzdálenosti ve sluneční soustavě: paralaxy a Keplerovy zákony Astronomové při sledování oblohy zaznamenávají především úhly a pozorují něco, co se nazývá nebeská sféra. Nicméně, hvězdy nejsou od Země vždy

Více

Odhad změny rotace Země při změně poloměru

Odhad změny rotace Země při změně poloměru Odhad změny rotace Země při změně poloměru NDr. Pavel Samohýl. Seznam symbolů A, A, A součinitel vztahu pro závislost hustoty Země na vzdálenosti od středu, totéž v minulosti a současnosti B, B, B součinitel

Více

Dynamika soustav hmotných bodů

Dynamika soustav hmotných bodů Dynamika soustav hmotných bodů Mechanický model, jehož pohyb je charakterizován pohybem dvou nebo více bodů, nazýváme soustavu hmotných bodů. Pro každý hmotný bod můžeme napsat pohybovou rovnici. Tedy

Více

Seminární práce z fyziky

Seminární práce z fyziky Seminání páce z fyziky školní ok 005/006 Jakub Dundálek 3.A Jiáskovo gymnázium v Náchodě Přeměny mechanické enegie Přeměna mechanické enegie na ovnoamenné houpačce Název: Přeměna mechanické enegie na ovnoamenné

Více

Řešení úloh 1. kola 52. ročníku fyzikální olympiády. Kategorie B Autořiúloh:M.Jarešová(5),P.Šedivý(1,4),J.Thomas(2,3,7), K.RauneraP.Šedivý(6).

Řešení úloh 1. kola 52. ročníku fyzikální olympiády. Kategorie B Autořiúloh:M.Jarešová(5),P.Šedivý(1,4),J.Thomas(2,3,7), K.RauneraP.Šedivý(6). Řešení úloh 1. kola 52. očníku fyzikální olympiády. Kategoie B Autořiúloh:M.Jaešová(5),P.Šedivý(1,4),J.Thomas(2,3,7), K.auneaP.Šedivý(6). 1.a) Potože se tyč otáčí velmi pomalu, můžeme každou její polohu

Více

11. přednáška 10. prosince Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah

11. přednáška 10. prosince Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah 11. přednáška 10. prosince 2007 Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 mezi argumentem x funkce jedné

Více

1.6.9 Keplerovy zákony

1.6.9 Keplerovy zákony 1.6.9 Keplerovy zákony Předpoklady: 1608 Pedagogická poznámka: K výkladu této hodiny používám freewareový program Celestia (3D simulátor vesmíru), který umožňuje putovat vesmírem a sledovat ho z různých

Více

Elektromagnetické jevy, elektrické jevy 4. Elektrický náboj, elektrické pole

Elektromagnetické jevy, elektrické jevy 4. Elektrický náboj, elektrické pole Elektomagnetické jevy, elektické jevy 4. Elektický náboj, elektické pole 4. Základní poznatky (duhy el. náboje, vodiče, izolanty) Někteé látky se třením dostávají do zvláštního stavu přitahují lehká tělíska.

Více

PRÁCE, VÝKON, ENERGIE. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - 1. ročník - Mechanika

PRÁCE, VÝKON, ENERGIE. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - 1. ročník - Mechanika PRÁCE, VÝKON, ENERGIE Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - 1. ročník - Mechanika Mechanická práce Závisí na velikosti síly, kterou působíme na těleso, a na dráze, po které těleso posuneme Pokud má síla stejný

Více

ČLOVĚK A ROZMANITOST PŘÍRODY VESMÍR A ZEMĚ. GRAVITACE

ČLOVĚK A ROZMANITOST PŘÍRODY VESMÍR A ZEMĚ. GRAVITACE ČLOVĚK A ROZMANITOST PŘÍRODY VESMÍR A ZEMĚ. GRAVITACE Sluneční soustava Vzdálenosti ve vesmíru Imaginární let fotonovou raketou Planety, planetky Planeta (oběžnice) ve sluneční soustavě je takové těleso,

Více

Filip Hroch. Astronomické pozorování. Filip Hroch. Výpočet polohy planety. Drahové elementy. Soustava souřadnic. Pohyb po elipse

Filip Hroch. Astronomické pozorování. Filip Hroch. Výpočet polohy planety. Drahové elementy. Soustava souřadnic. Pohyb po elipse ÚTFA,Přírodovědecká fakulta MU, Brno, CZ březen 2005 březnového tématu Březnové téma je věnováno klasické sférické astronomii. Úkol se skládá z měření, výpočtu a porovnání výsledků získaných v obou částech.

Více

3.1. Magnetické pole ve vakuu a v látkovém prostředí Elektromagnetická indukce Energie a silové účinky magnetického pole...

3.1. Magnetické pole ve vakuu a v látkovém prostředí Elektromagnetická indukce Energie a silové účinky magnetického pole... Obsah Předmluva... 4. Elektostatika.. Elektostatické pole ve vakuu... 5.. Elektostatické pole v dielektiku... 9.3. Kapacita. Kondenzáto....4. Enegie elektostatického pole... 6. Elektický poud.. Elektický

Více

Vybrané kapitoly z fyziky. Zdeněk Chval

Vybrané kapitoly z fyziky. Zdeněk Chval Vybané kapitoly z fyziky Zdeněk Chval Kateda zdavotnické fyziky a biofyziky (KBF) Boeckého 7, č.dv. 49 tel. 389 037 6 e-mail: chval@jcu.cz Konzultační hodiny: čtvtek 5:00-6:30, příp. po dohodě Obsahové

Více

Pohyby tuhého tělesa Moment síly vzhledem k ose otáčení Skládání a rozkládání sil Dvojice sil, Těžiště, Rovnovážné polohy tělesa

Pohyby tuhého tělesa Moment síly vzhledem k ose otáčení Skládání a rozkládání sil Dvojice sil, Těžiště, Rovnovážné polohy tělesa Mechanika tuhého tělesa Pohyby tuhého tělesa Moment síly vzhledem k ose otáčení Skládání a rozkládání sil Dvojice sil, Těžiště, Rovnovážné polohy tělesa Mechanika tuhého tělesa těleso nebudeme nahrazovat

Více

37. PARABOLA V ANALYTICKÉ GEOMETRII

37. PARABOLA V ANALYTICKÉ GEOMETRII 37.. Napiš rovnici paraboly, která má osu rovnoběžnou s osou y a prochází body A 0; 60, B 4; 8, C 8;36. 0m p60n 4m p8n 8m p36n m p pn 0 6 8 6 mm p pn 64 6 7 3 mm p pn 6 8m64 p 3 64 6m9 p Je-li osa rovnoběžná

Více

Repetitorium středoškolské fyziky. Renata Holubová, Pavlína Keprtová

Repetitorium středoškolské fyziky. Renata Holubová, Pavlína Keprtová Repetitoium středoškolské fyziky Renata Holubová, Pavlína Keptová Olomouc 0 Publikace je učena zejména studentům učitelství fyziky k základnímu opakování středoškolské fyziky. Součástí textu jsou pojmové

Více

Dvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy,

Dvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy, Spočtěte = { x, y) ; 4x + y 4 }. Dvojné a trojné integrály příklad 3 x y dx dy, Řešení: Protože obor integrace je symetrický vzhledem k ose x, tj. vzhledem k substituci [x; y] [x; y], a funkce fx, y) je

Více

Přijímací zkouška pro nav. magister. studium, obor učitelství F-M, 2012, varianta A

Přijímací zkouška pro nav. magister. studium, obor učitelství F-M, 2012, varianta A Přijímací zkouška pro nav. magister. studium, obor učitelství F-M, 1, varianta A Příklad 1 (5 bodů) Koule o poloměru R1 cm leží na vodorovné rovině. Z jejího nejvyššího bodu vypustíme s nulovou počáteční

Více

2. Kinematika bodu a tělesa

2. Kinematika bodu a tělesa 2. Kinematika bodu a tělesa Kinematika bodu popisuje těleso nebo také bod, který se pohybuje po nějaké trajektorii, křivce nebo jinak definované dráze v závislosti na poloze bodu na dráze, rychlosti a

Více

KLASICKÁ MECHANIKA. Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny.

KLASICKÁ MECHANIKA. Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny. MECHANIKA 1 KLASICKÁ MECHANIKA Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny. Klasická mechanika rychlosti těles jsou mnohem menší než rychlost světla ve

Více

Projekty - Vybrané kapitoly z matematické fyziky

Projekty - Vybrané kapitoly z matematické fyziky Projekty - Vybrané kapitoly z matematické fyziky Klára Švarcová klara.svarcova@tiscali.cz 1 Obsah 1 Průlet tělesa skrz Zemi 3 1.1 Zadání................................. 3 1. Řešení.................................

Více

Určení hmotnosti zeměkoule vychází ze základního Newtonova vztahu (1) mezi gravitačním zrychlením a g a hmotností M Z gravitačního centra (Země).

Určení hmotnosti zeměkoule vychází ze základního Newtonova vztahu (1) mezi gravitačním zrychlením a g a hmotností M Z gravitačního centra (Země). Projekt: Cíl projektu: Určení hmotnosti Země Místo konání: Černá věž - Klatovy, Datum: 28.10.2008, 12.15-13.00 hod. Motto: Krása středoškolské fyziky je především v její hravosti, stejně tak jako je krása

Více

Kinematika tuhého tělesa

Kinematika tuhého tělesa Kinematika tuhého tělesa Pet Šidlof TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIERCI Fakulta mechatoniky, infomatiky a mezioboových studií Tento mateiál vznikl v ámci pojektu ESF CZ.1.07/2.2.00/07.0247 Reflexe požadavků

Více

Fyzikální vzdělávání. 1. ročník. Učební obor: Kuchař číšník Kadeřník. Implementace ICT do výuky č. CZ.1.07/1.1.02/ GG OP VK

Fyzikální vzdělávání. 1. ročník. Učební obor: Kuchař číšník Kadeřník. Implementace ICT do výuky č. CZ.1.07/1.1.02/ GG OP VK Fyzikální vzdělávání 1. ročník Učební obor: Kuchař číšník Kadeřník 1 6.1Slunce, planety a jejich pohyb, komety Vesmír - Slunce - planety a jejich pohyb, - komety, hvězdy a galaxie 2 Vesmír či kosmos (z

Více

Petr Kulhánek, Milan Červenka

Petr Kulhánek, Milan Červenka A S T R O F Y Z I K A V P Ř Í K L A D E C H Pet Kulhánek, Milan Čevenka Paha 01 FEL ČVUT OBSAH I. ZÁKLADNÍ VZTAHY 3 1. Pasek 3. Poxima Centaui 4 3. Magnituda 4 4. Pogsonova ovnice 5 5. Absolutní magnituda

Více

MAGNETICKÉ POLE CÍVEK V HELMHOLTZOVĚ USPOŘÁDÁNÍ

MAGNETICKÉ POLE CÍVEK V HELMHOLTZOVĚ USPOŘÁDÁNÍ Úloha č. 6 a MAGNETICKÉ POLE CÍVEK V HELMHOLTZOVĚ USPOŘÁDÁNÍ ÚKOL MĚŘENÍ:. Změřte magnetickou indukci podél osy ovinných cívek po případy, kdy vdálenost mei nimi je ovna poloměu cívky R a dále R a R/..

Více

Po stopách Isaaca Newtona

Po stopách Isaaca Newtona Po stopách Isaaca Newtona Lukáš Vejmelka, GOB a SOŠ Telč, lukasv@somt.cz Jakub Šindelář, Gymnázium Třebíč, sindelar.jakub@gmail.com Zuzana Černáková, Gymnázium Česká Lípa, cernakova.zuzka@gmail.com Hana

Více

Hmotnost (násobky M Z ) Poloměr planety (km)

Hmotnost (násobky M Z ) Poloměr planety (km) ) áklady astofyziky Sluneční soustava Slunce ozměy, teplota, složení, eakce, hustota, eupce, sluneční skvny, potubeance, sluneční vít; vnitřní a vnější planety; komety; měsíce; hvězdy světelný ok, spektální

Více

KEPLEROVY ZÁKONY. RNDr. Vladimír Vaščák. Metodický list

KEPLEROVY ZÁKONY. RNDr. Vladimír Vaščák. Metodický list KEPLEROVY ZÁKONY RNDr. Vladimír Vaščák Metodický list RNDr. V L A D I M Í R V A Š Č Á K Metodický list RNDr. Vladimír Vaščák www.vascak.cz Obsah O aplikaci... 1 Verze pro PC, ipad a Android... 2 1. Keplerův

Více

5. Stanovení tíhového zrychlení reverzním kyvadlem a studium gravitačního pole

5. Stanovení tíhového zrychlení reverzním kyvadlem a studium gravitačního pole 5. Stanovení tíhového zrychlení reverzním kyvadlem a studium gravitačního pole 5.1. Zadání úlohy 1. Určete velikost tíhového zrychlení pro Prahu reverzním kyvadlem.. Stanovte chybu měření tíhového zrychlení.

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii

Více

Mechanika kontinua. Mechanika elastických těles Mechanika kapalin

Mechanika kontinua. Mechanika elastických těles Mechanika kapalin Mechanika kontinua Mechanika elastických těles Mechanika kapalin Mechanika kontinua Mechanika elastických těles Mechanika kapalin a plynů Kinematika tekutin Hydrostatika Hydrodynamika Kontinuum Pro vyšetřování

Více

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ GB02 FYZIKA II MODUL M01 ELEKTŘINA A MAGNETISMUS

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ GB02 FYZIKA II MODUL M01 ELEKTŘINA A MAGNETISMUS VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ PROF. ING. BOHUMIL KOKTAVÝ, CSC., DOC. ING. PAVEL KOKTAVÝ, CSC., PH.D. GB FYZIKA II MODUL M1 ELEKTŘINA A MAGNETISMUS STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY

Více

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ PRŮVODCE GB01-P03 MECHANIKA TUHÝCH TĚLES

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ PRŮVODCE GB01-P03 MECHANIKA TUHÝCH TĚLES VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ Prof. RNDr. Zdeněk Chobola,CSc., Vlasta Juránková,CSc. FYZIKA PRŮVODCE GB01-P03 MECHANIKA TUHÝCH TĚLES STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU

Více

4. Práce, výkon, energie a vrhy

4. Práce, výkon, energie a vrhy 4. Práce, výkon, energie a vrhy 4. Práce Těleso koná práci, jestliže působí silou na jiné těleso a posune jej po určité dráze ve směru síly. Příklad: traktor táhne přívěs, jeřáb zvedá panel Kdy se práce

Více

MECHANIKA TUHÉHO TĚLESA

MECHANIKA TUHÉHO TĚLESA MECHANIKA TUHÉHO TĚLESA. Základní teze tuhé těleso ideální těleso, které nemůže být deformováno působením žádné (libovolně velké) vnější síly druhy pohybu tuhého tělesa a) translace (posuvný pohyb) všechny

Více