III. kolo kategorie Z9

Transkript

1 62. ročník Matematické olympiády III. kolo kategorie Z9 Z9 III 1 V malém království přišli poddaní pozdravit nového krále a jeho ministra. Každý přinesl nějaký dárek: 60 nejchudších přineslo jen vlastnoručně vyrobenou dřevěnou sošku, ti bohatší buď 2 zlaťáky, nebo 3 stříbrňáky. Přitom stříbrňáků bylo darováno více než 40, aleméněnež100.všechnysoškydostalministraktomuještěsedminuvšechzlaťáků a třetinu všech stříbrňáků. Král i jeho ministr dostali stejný počet předmětů. Zjistěte, kolik mohlo být poddaných, kolik mohlo být darováno zlaťáků a kolik stříbrňáků. (M. Volfová) Možné řešení. Označíme počet zlaťáků z a počet stříbrňáků s. Zlaťáky byly darovány po dvou,tedy zjesudéčíslo,stříbrňákypotřech,tedy sjedělitelnétřemi.přitom sjemezi 40a100.Ministrdostal60sošeka 1 7 z+1 3 smincí,králdostal 6 7 z+2 3 smincí.odtudplyne, že zmusíbýtdělitelné7,cožspředchozípodmínkouznamená,že zmusíbýtdělitelné14. Král i jeho ministr dostali stejný počet předmětů, což při našem značení dává rovnici po úpravě 60+ z 7 + s 3 =6z 7 +2s 3, (1) 5z 7 + s 3 =60, 15z+7s= (2) Hledáme všechna celočíselná řešení rovnice(2), která vyhovují výše uvedeným podmínkám. Vyjádříme-li neznámou z, z=84 7s 15, (3) vidíme,že smusíbýtdělitelné15.vúvodujsmesivšimli,že zmábýtsudé,tudížihodnota výrazu 7 15smusíbýtsudá,cožznamená,žetaké smusíbýtsudéčíslo.proto smusíbýt dělitelné30,cožspřihlédnutímkpodmínce40 < s <100znamená,že smůžebýtjedině 60 a 90. Pro obě tyto možnosti dopočítáme z podle(3), počet poddaných pak určíme jako s+ 1 2 z.úlohamánásledujícídvěřešení(uvědomtesi,ževšechnyvýšezmiňované podmínky jsou splněny): stříbrňáků zlaťáků poddaných

2 Jiné řešení. Rovnici(2) lze řešit také tak, že vyjádříme neznámou s: s=180 15z 7. Zúvoduvíme,že zmusíbýtdělitelné14,protoza zpostupnědosazujemenásobky14 asledujeme,zdaplatí40 < s <100.Pokudano,vypočtemepočetpoddanýchjako s+1 2 z(uvědomtesi,žeostatnívýšezmiňovanépodmínkyjsousplněny): zlaťáků stříbrňáků poddaných Dále nepokračujeme, protože s vychází menší než 40; úloha má dvě řešení. Hodnocení. 2 body za sestavení rovnice(1) a její následnou úpravu; 2 body za nalezení jedné možnosti; 1 bod za nalezení druhé možnosti; 1 bod za zdůvodnění, že řešení není více. Z9 III 2 Matěj měl na řádku v sešitě napsáno šest různých přirozených čísel. Druhé z nich bylo dvojnásobkem prvního, třetí bylo dvojnásobkem druhého a podobně každé další číslo bylo dvojnásobkem předchozího. Matěj všechna tato čísla opsal do následující tabulky, a to v náhodném pořadí, do každého pole jedno. Součetoboučíselvprvnímsloupcitabulkybyl136asoučetčíselvedruhémsloupcibyl dvojnásobný, tedy 272. Určete součet čísel ve třetím sloupci tabulky. (L. Šimůnek) Možné řešení. Nejmenší doplňované číslo označíme neznámou a a pomocí ní vyjádříme všechna doplňovaná čísla: a,2a,4a,8a,16a,32a. V prvním sloupci nemůže být číslo 32a, neboť součet jakýchkoli jiných dvou doplňovaných číseljemenšínež32a,atudížbysoučetčíselvdruhémsloupcinemohlbýtvětšínež 2

3 v prvním. Možné součty čísel prvního sloupce jsou: a+2a=3a 2a+4a=6a 4a+8a=12a 8a+16a=24a a+4a=5a 2a+8a=10a 4a+16a=20a a+8a=9a 2a+16a=18a a+16a=17a Přirozené číslo, které v těchto součtech násobí neznámou a, musí být dělitelem čísla 136 = = Tomuvyhovujejediněsoučet 17a=a+16a. Součet čísel druhého sloupce je pak 34a a tento lze získat jedině jako 34a=2a+32a. Kdoplněnídotřetíhosloupcetedyzbývajíčísla4aa8a.Zrovnice17a=136dostaneme a=8;součetčíselvetřetímsloupcijetedy 4a+8a=12a=12 8=96. Hodnocení.3bodyzapoznatek,ževprvnímsloupcije aa16a,včetnězdůvodnění,že jdeojedinoumožnost;1bodzapoznatek,ževetřetímsloupcije4aa8a;2bodyza výsledek 96. Z9 III 3 Jedánpravidelnýosmiúhelník ABCDEFGHabod Xtak,žebod Ajeortocentrem (průsečíkem výšek) trojúhelníku BDX. Vypočtěte velikosti vnitřních úhlů tohoto trojúhelníku. (V. Žádník) Možné řešení. Bod A má být průsečíkem výšek v trojúhelníku BDX. To znamená, ženaspojnicibodu Asvrcholem Bležívýškanastranu DX,podobněnaspojnici A svrcholem Dležívýškanastranu BX.Strana DXjetedykolmánapřímku AB,podobně strana BXjekolmánapřímku AD.Vzhledemktomu,žebody A, Ba Djsouvrcholy pravidelného osmiúhelníku, platí: 1. Kolmice k AB procházející bodem D je přímka CD.(Vnější úhel pravidelného osmiúhelníkumávelikost45.úhelmezi ABa CDjeúhlemuvrcholu P vtrojúhelníku BPC,aprotojepravý.) 2. KolmicekAD procházející bodem B je přímka BG.(AD a BGjsouúhlopříčky rovnoběžnésestranami BCa AH.Tytojsoustejnějakostrany ABaCDkolmé, a proto jsou zmíněné úhlopříčky kolmé.) 3. Bod Xjeprůsečíkempřímek CDaBG. 3

4 F E G D S H C A B P X Nyní snadno určíme všechny úhly v trojúhelníku BDX. Trojúhelník BCD je rovnoramenný s rameny BC a CD, přičemž úhel BCD je vnitřním úhlem pravidelného osmiúhelníku. Odtud dopočítáme CDB = CBD = 1 2 ( )=22,5. Přímky ADaBCjsourovnoběžné,úhelmezi ADaBGjepravý,prototakéúhel CBX je pravý. Odtud vyjádříme DBX =22,5 +90 =112,5. Poslední neznámý vnitřní úhel v trojúhelníku BDX má velikost DXB =180 22,5 112,5 =45. Hodnocení.3bodyzanalezeníboduX;po1boduzahledanéúhlyvčetnězdůvodnění. Poznámka. Podobnou úlohu známe z domácího kola(z9 I 4), takže úvodní rozbor je možné zestručnit: X je průsečíkem výšek v trojúhelníku ABD. V předchozím několikrát používáme zásadní poznatek, že součet velikostí vnitřních úhlůvlibovolnémtrojúhelníkuje180.odtudzejménavyplývá,ževelikostvnitřníhoúhlu vpravidelnémosmiúhelníkuje135. 4

5 Z9 III 4 Ve slově PAMPELIŠKA mají být nahrazena stejná písmena stejnými nenulovými číslicemi a různá písmena různými nenulovými číslicemi. Přitom má platit, že součin číslic výsledného čísla je druhou mocninou nějakého přirozeného čísla. Najděte největší číslo, které lze nahrazením písmen při splnění uvedených podmínek získat. (E. Patáková) Možné řešení. Ve slově PAMPELIŠKA je 8 různých písmen. Smíme používat pouze nenulové číslice, vybíráme tedy osm číslic z devíti možných. Součin P 2 A 2 M E L I Š K mábýtdruhoumocninoupřirozenéhočísla.číslice Pa Ajsouvsoučinuvedruhémocnině, stačí proto zajistit, aby součin M E L I Š K (1) byl druhou mocninou přirozeného čísla, tzn. aby v jeho prvočíselném rozkladu byla všechna prvočísla v sudé mocnině. Uvažme, které činitele můžeme dosazovat: Číslice5a7nemůžemevsoučinu(1)použít,protožejenemámečímdoplnitdodruhé mocniny. Číslo, které vznikne nahrazením písmen ve slově PAMPELIŠKA, má být co největší,protosesnažímepostupnědoplňovatconejvětšíhodnotyza P, A, Matd. Pokudjako Pzvolíme9,zbudeprosoučin(1)šesticečíslic8,6,4,3,2,1.Podosazení tentosoučinvychází ,cožnevyhovujevýšeuvedenémupožadavku. Pokudjako Pzvolíme8,zbudeprosoučin(1)šestice9,6,4,3,2,1,kterápodosazení dává ,cožuvedenémupožadavkuvyhovuje.Těmitočísliceminahradíme M, E, L, I, Š, Kprávěvtomtosestupnémpořadí.Pro Apakzbývajíčíslice5nebo7 vybíráme většíznich.hledanéčísloje Hodnocení.2bodyzapoznatek,žečísla5a7nemohoubýtvsoučinu(1);2bodyza zdůvodnění,žejetřebavolit P=8;2bodyzavýslednéčíslo. 5