Úvod do logiky (PL): negace a ekvivalence vět mimo logický

Transkript

1 Logika: systémový rámec rozvoje oboru v ČR a koncepce logických propedeutik pro mezioborová studia (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/ , OPVK) Úvod do logiky (PL): negace a ekvivalence vět mimo logický čtverec (cvičení) doc. PhDr. Jiří Raclavský, Ph.D. (raclavsky@phil.muni.cz) 1

2 8. Negace a ekvivalence formulí, které nespadají pod logický čtverec cvičení 8.1 Příklady negace vět, které nespadají pod logický čtverec Následující věty převeďte do predikátové logiky a sestavte její negaci, tu převeďte na ekvivalentní formuli a slovně vyjádřete: 1) Všichni bohatí lidé jsou šťastní. x ( (B(x) L(x)) Š(x)) ) x ( (B(x) L(x)) Š(x)) ) x ( (B(x) L(x)) Š(x)) ) x ( (B(x) L(x)) Š(x)) ) taut. VL (negovaná je negace) Tedy: Někteří bohatí lidé nejsou šťastní. 2) Někteří šťastní lidé nejsou bohatí. (=Existují šťastní lidé, kteří nejsou bohatí.) x ( (Š(x) L(x)) B(x)) ) x ( (Š(x) L(x)) B(x)) ) x ( (Š(x) L(x)) B(x)) ) x ( (Š(x) L(x)) B(x)) ) x ( (Š(x) L(x)) B(x)) ) taut. VL (negovaná je negací) taut. VL (zákon dvojí negace) x ( (Š(x) L(x)) B(x)) ) taut. VL (převod na ) 2

3 Tedy: Všichni šťastní lidé jsou bohatí. 3) Žádné sudé číslo není dělitelné třemi a pěti. x ( (Č(x) S(x)) ((Děl(x,3) Děl(x,5)) ) x ( (Č(x) S(x)) ((Děl(x,3) Děl(x,5)) ) x ( (Č(x) S(x)) ((Děl(x,3) Děl(x,5)) ) x ( (Č(x) S(x)) ((Děl(x,3) Děl(x,5)) ) taut. VL (převod na ) x ( (Č(x) S(x)) ((Děl(x,3) Děl(x,5)) ) taut. VL (zákon dvojí negace) Tedy: Některá sudá čísla jsou dělitelná třemi a pěti. 4) Některá lichá čísla jsou dělitelná dvěma. x ( (Č(x) L(x)) Děl(x,2) ) x ( ((Č(x) L(x)) Děl(x,2) ) x ( ((Č(x) L(x)) Děl(x,2) ) x ( ((Č(x) L(x)) Děl(x,2) ) DM z VL x ( ((Č(x) L(x)) Děl(x,2) ) taut. VL (převod na ) Tedy: Všechna lichá čísla jsou dělitelná 2. 5) Vyjádřete v symbolismu predikátové logiky negaci věty: Všechny ženy jsou krásné právě tehdy, když některé děti zlobí. Níže uvedené odsazené formule v bodech a)-g) jsou navzájem ekvivalentní, přičemž: A = x(ž(x) K(x)) (= Všechny ženy jsou krásné ) 3

4 B = x(d(x) (Z(x)) (= Některé děti zlobí ) a) Daná věta je tvaru ekvivalence a tu převedeme např. na: ((A B) (B A)) b) Pokud z toho vyjdeme, negujeme celou tuto formuli: ( (A B) (B A) ) c) Užijeme tautologii výrokové logiky negovaná konjunkce je disjunkce negací (De Morganův zákon), načež: (A B) (B A) d) Dále užijeme na každé straně disjunkce zákon negovaná implikace je konjunkce negace (( ( (A B) (A B) ) získáme: ( (A B) (B A) ) e) Teď už si dosadíme za A a B: ( ( x(ž(x) K(x)) x(d(x) (Z(x)) ) ( x(d(x) (Z(x)) x(z(x) K(x)) ) ) f) Stranou uděláme ekvivalentní vyjádření negovaných podformulí s kvantifikátorem: x(d(x) (Z(x)) x(d(x) Z(x)) (DeMorganův zákon pro převod kvantifikátorů a tautologie výrokové logiky negovaná konjunkce je implikace negace ) x(ž(x) K(x)) x (Ž(x) K(x)) x(ž(x) K(x)) (DeMorganův zákon pro převod kvantifikátorů a tautologie výrokové logiky negovaná implikace je konjunkce negace ) g) Dosadíme ony negace z bodu f): ( ( x(ž(x) K(x)) x(d(x) Z(x)) ) ( x(d(x) (Z(x)) x(ž(x) K(x)) ) ) Hlouběji už negace nezanoříme máme je teď jen před atomickými formulemi (tj. formulemi tvaru P(x)). 8.2 Cvičení negace vět, které nespadají pod logický čtverec 4

5 Následující věty převeďte do predikátové logiky a sestavte její negaci, tu převeďte na ekvivalentní formuli a slovně vyjádřete: 1) Některá přirozená čísla jsou sudá. x ((P(x) Č(x)) S(x)) x ((P(x) Č(x)) S(x)) x ((P(x) Č(x)) S(x)) x ( (P(x) Č(x)) S(x)) x (( P(x) Č(x)) S(x)) DM z PL DM z VL DM z VL Slovně: Pro všechna x platí, že není přirozené nebo není číslo nebo není sudé. 2) Někteří lidé jsou moudří, ale ne vychytralí. x ( (L(x) M(x)) V(x) ) x ( (L(x) M(x)) V(x) ) x ( (L(x) M(x)) V(x) ) x ( (L(x) M(x)) V(x) ) taut. VL (převod na ) x ( (L(x) M(x)) V(x) ) taut. VL (zákon dvojí negace) Tedy: Všichni moudří lidé jsou vychytralí. 3) Některá prvočísla jsou dělitelná dvěma a pěti. x ( P(x) ((Děl(x,2) Děl(x,5)) ) 5

6 x ( P(x) ((Děl(x,2) Děl(x,5)) ) x ( P(x) ((Děl(x,2) Děl(x,5)) ) x ( P(x) ((Děl(x,2) Děl(x,5)) ) taut. VL (převod na ) Tedy: Žádné prvočíslo není dělitelné dvěma a pěti. (Kvůli přirozenosti jazykového vyjádření nepostupujeme až k formuli x ( P(x) ((Děl(x,2) Děl(x,5)) ).) Jiná varianta: x ( P(x) ((Děl(x,2) Děl(x,5)) ) x ( P(x) ((Děl(x,2) Děl(x,5)) ) x ( P(x) ((Děl(x,2) Děl(x,5)) ) taut. VL (negovaná je negací) x ( P(x) (Děl(x,2) Děl(x,5)) ) taut. VL (převod na ) 4) Všichni přítomní jsou starší než někteří členové klubu x(p(x) y (K(y) S(x,y))) x(p(x) y (K(y) S(x,y))) x (P(x) y (K(y) S(x,y))) DM x (P(x) y (K(y) S(x,y))) tautologie VL (převod na ) x (P(x) y (K(y) S(x,y))) x(p(x) y (K(y) S(x,y))) DM tautologie VL Slovně: Existují přítomní takoví, že nejsou starší než jacíkoli členové klubu. 5) Jaroslav Hašek napsal v novinách větu: Někteří národně-socialističtí poslanci jsou lumpové. 6

7 Byl žalován a odsouzen k omluvě. Napsal tedy do novin: Někteří národně-socialističtí poslanci nejsou lumpové. Uveďte, jaký výrok měl správně užít k vyvrácení původního výroku: a) Omlouvám se národně socialistickým poslancům za větu, kterou jsem uveřejnil v novinách. b) Část, menší část národně socialistických poslanců jsou lumpové. c) Všichni národně socialističtí poslanci jsou řádní a poctiví lidé. d) Žádní národně-socialističtí poslanci nejsou lumpové. e) Mnozí národně socialističtí poslanci nejsou lumpové. 8.3 Příklady negace a ekvivalence formulí Následující formule nejprve negujte a poté proveďte ekvivalentní transformace tak, se negátory vyskytovaly jen před predikátovými symboly. (Opakovaně uplatňujte zejména De Morganovy zákony (jak z PL, tak z VL). 1) x y (P(x) Q(x,y)) x y (P(x) Q(x,y)) x y (P(x) Q(x,y)) x y (P(x) Q(x,y)) x y (P(x) Q(x,y)) DM na první kvantifikátor DM na druhý kvantifikátor taut. VL (negovaná je negace) 2) x ((P)x) Q(x)) R(x)) x ((P)x) Q(x)) R(x)) x ((P(x) Q(x)) R(x)) 7

8 x ( (P(x) Q(x)) R(x)) x (( P(x) Q(x)) R(x)) tautologie VL (negovaná je negací) tautologie VL (negovaná je negací) Jiná varianta: x ((P)x) Q(x)) R(x)) x ((P(x) Q(x)) R(x)) x ((P(x) Q(x)) R(x)) tautologie VL (převod na ) 3) x (P(x) y (Q(x,y) z(q(y,z)) ) x (P(x) y (Q(x,y) z(q(y,z)) ) x (P(x) y (Q(x,y) z(q(y,z)) ) x (P(x) y (Q(x,y) z(q(y,z)) ) x (P(x) y (Q(x,y) z(q(y,z)) ) x (P(x) y ( Q(x,y) z(q(y,z)) ) x (P(x) y ( Q(x,y) z (Q(y,z)) ) DM z PL na celou formuli taut. VL (negovaná je negace) DM z PL DM z VL DM z PL 8.4 Cvičení ekvivalence vět s jedním binárním predikátem Nechť binární predikátový symbol R znamená binární predikát x rozumí y. Větu danou nyní zapište symbolismem predikátové logiky a poté tuto formuli transformujte pomocí De Morganových zákonů a slovně ji vyjádřete: 1) Každý něčemu rozumí. 2) Všemu někdo nerozumí. 3) Každý něčemu nerozumí. 4) Všemu někdo rozumí. 5) Každý rozumí všemu. 6) Něčemu někdo nerozumí. 8

9 7) Každý nerozumí všemu. 8) Něčemu někdo rozumí. 8.4 Řešení ekvivalence vět s jedním binárním predikátem 1) x y R(x,y) x y R(x,y) x y R(x,y); Není pravda, že někdo všemu nerozumí. 2) y x R(x,y) y x R(x,y) y x R(x,y) y x R(x,y); Není pravda, že něčemu každý rozumí. 3) x y R(x,y) x y R(x,y) x y R(x,y); Není pravda, že někdo všemu rozumí. 4) y x R(x,y) y x R(x,y) y x R(x,y). Není pravda, že něčemu všichni nerozumí. 5) x y R(x,y) x y R(x,y) x y R(x,y). Není pravda, že někdo něčemu nerozumí. 6) y x R(x,y) y x R(x,y) y x R(x,y) y x R(x,y). Není pravda, že všemu každý rozumí. 7) x y R(x,y) x y R(x,y) x y R(x,y) x y R(x,y). Není pravda, že někdo něčemu rozumí. 8) y x R(x,y) y x R(x,y) y x R(x,y). Není pravda, že všemu každý nerozumí. 9