Úvodem. Vážení čtenáři,

Transkript

1 Úvodem Vážeí čteář, rpta, terá právě otevíráte, jou určea především poluchačům druhého ročíu baalářého tuda všech oborů Vyoé šoly fačí a práví, tj. jao tudjí materál předmětům Pravděpodobot a tatta, Pravděpodobot a tatta, Statta, Statta a Zálady tattcých metod. Podobě jao v matematce, je ve tattce propočítáí začého možtví příladů utým předpoladem e zdárému ložeí zoušy. Předládaý tudjí materál byl ocpová především jao bíra příladů, příladům vša předchází pecálí uceleý výlad ta, aby čteář áze pochopl předášeou a procvčovaou látu. Sbíra obahuje jeda řešeé přílady, teré mají tručý ometář potupu, a jeda cvčeí výledy jedotlvých příladů, a terých má tudet možot ověřt, do jaé míry daou látu zvládl. Jelož vša zouša epočívá pouze ve výpočtu příladů, ale tudet př í muí proázat jtý tupeň teoretcých zalotí, jou zde zařazey přílady po tráce výpočtu trochu áročější. S taovýmto typem příladů e tudet u zoušy přímo eetá, avša pomohou mu lépe pochopt probíraou teor. Srpta jou rozdělea do tří hlavích čátí. Prví čát, terou apal autoř Ig. Daa Bílová, Dr. a RNDr. Václav Vohaa, je zaměřea a popou tattu. Tato čát zahruje uázy otruce tabule a grafů a výpočtu růzých měr z hodot zoumaého zau, teré byly zjštěy pozorováím tattcého ouboru. Druhou čát věovaou počtu pravděpodobot apal RNDr. Petr Budý, CSc. Tato čát má za úol aučt poluchače zacházet pravděpodobotm a ezámt je e záladím typy rozděleí áhodých velč. Poledí třetí čát, terou apal opět autoř Ig. Daa Bílová, Dr. a RNDr. Václav Vohaa, je zaměřea a tattcou duc. Zde jou obažey přílady a zobecňováí výledů, teré byly zíáy pozorováím výběrového tattcého ouboru. Jao aždá bíra příladů mají tato rpta především pomoc poluchačům př amotatém tudu, ale jejch použtí je rověž možé a užtečé a cvčeích a pro domácí úoly. Autoř rpt budou vděč a předem děují za všechy užtečé rady a přpomíy a v případých dalších vydáích této bíry e budou ažt o jejch mamálí repetováí. Poluchačům přejeme, aby jm bíra uadla cetu zíáí zápočtů pozdějšímu úpěšému ložeí zoušy. V Praze de 0. září 00 Za autorý oletv Daa Bílová

2 I. Popá tatta. Statta Termí tatta je odvoze od latého lova tatu, teré v latě zameá tav a v přeeeém lova mylu tát. Z těchto uvedeých termíů vzla v období. až 7. toletí talá lova táttco, což zameá tattcý ebo taé tatt a tátítca, tj. tatta. Teto termí tehdy předtavoval ouhr zalotí o tátích záležtotech a rověž zameal velm ceěé muže tatty, teří byl výborým zalc důležtých tátích záležtotí. V průběhu 7. a 8. toletí dotávala lova tattcý, tatta a tatt potupě mezárodí myl. Od polovy 8. toletí bylo lovo tatta především v Němecu používáo amíto dříve preferovaého termíu tátověda de Staatwechaft. Toto lovo ozačovalo cylu předáše a uverztách, teré e zabývaly obyvateltvem, územím obchodem peěžctvím, armádou apod. jedotlvých tátů. Uvedeá uverztí tatta předtavovala především loví pop, použtí číel bylo zpočátu zcela výjmečé. Vzu lova tatta předcházelo úředí zjšťováí počtu ldí a velot jejch majetu. Taováto úředí zjšťováí e prováděla jž před ěola tíc lety a docházelo m zejméa v těch zemích, teré potřebovaly zát zejméa apř. přeé počty mužů chopých bojovat ebo počty oob chopých a pových platt daě. Taováto zjšťováí e v průběhu let eutále zdooalovala až po oučaou podobu čítáí ldu, terá jou orgazováa a prováděa oučaým tatty ve všech ulturích zemích věta přblžě aždých deet let... Poltcá artmeta V 7. toletí, dy e v Itál a v Němecu začala utvářet uverztí tatta, e v Agl, terá byla hopodářy vypělejší, zabývá Joh Graut ( 0 až 7) a Wllam Petty ( až 87) zoumáím polečeých jevů a podladě objetvích číelých zázamů. Jedalo e o zjšťováí a zoumáí počtu obyvatel, ložeí rod, pravdelotí v rozeí a umíráí. Objevl apř., že e rodí o ěco více chlapců ež díve, že umírá více mužů ež že ebo, že ve mětech umírá více ldí, ež e jch tam arodí apod. Dalším předmětem jejch zájmu bylo zjšťováí a zoumáí pravdelotí ve výš příjmů obyvatel podle jedotlvých povoláí atd. Hlavím átrojem těchto badatelů bylo číelé charaterzováí jevů. Šlo přtom o obyvateltvo jao cele, o pravdelot v arozeích, úmrtích atd. Joh Graut a Wllam Petty zoumal hromadé jevy, zoumal tedy utečot, teré e eutále opaují. Potupy zoumáí hromadých jevů Joha Grauta a Wllama Pettyho byly azváy poltcou artmetou. Důvodem pro teto ázev byla ejeom ta utečot že e jeda z h Wllama Pettyho azývala Poltcá artmeta, ale především to, že jeda zoumal jevy, teré bylo možo po jejch zoumáí ovlvňovat a uměrňovat poltcy tátem, a jeda používal číla měřeí, vážeí, počítáí, ebol zráta artmetu př zoumáí a charaterzováí hromadých jevů. Na záladě zázamů o úmrtích a arozeích v ěterých mětech prováděl podobé výpočty v Němecu v 8. toletí Joha Peter Sőmlch ( 707 až 77) jí. K otrým třetům, ale vzájemému obohacováí zalotí začalo docházet poléze mez poltcým artmety a uverztím tatty. V dalším vývoj e proto používají charaterzováí tátích pozoruhodotí, jao jou území, obchod, peěžctví, obyvateltvo, armáda apod., tále více číla.

3 .. Počet pravděpodobot Zálady počtu pravděpodobot byly položey jž v 7. toletí v Itál, Frac Švýcaru a v Nzozemí. Výpočty pravděpodobotí růzých jevů včetě vět o čítáí a áobeí pravděpodobotí acházíme jž v. toletí u Geroma Cardaa ( 0 až 7). O vývoj počtu pravděpodobot e zaloužl zámý Galleo Galle ( až ). Jedalo e především o prác z rou, ve teré je prezetová rozbor měřeí, terý využívá teor pravděpodobot. Mez polutvůrce počtu pravděpodobot patří fracouzští matematc Blae Pacal ( až ), Perre de Fermat ( 0 až ) a Holaďa Chrta Huyge ( 9 až 9). Prví zámou uceleou prací o počtu pravděpodobot je dílo Ar cojectad, což v čeště zameá uměí předvídat, od švýcarého matemata Jacoba Beroullho ( až 70). O rozmach počtu pravděpodobot e potom zaloužl apř. bratr Jacoba Beroullho Ja Beroull ( 7 až 78) a jeho y Deel Beroull ( 700 až 78), fracouzý matemat Abraham de Movre ( 7 až 7), aglcý duchoví Thoma Baye ( 70 až 7), švýcarý matemat Leohardt Euler ( 707 až 78), fracouzý matemat Perre Smo de Laplace ( 79 až 87), fracouzý matemat Smeo De Poo ( 78 až 80), ěmecý matemat Karl Fredrch Gau ( 777 až 8) a ruští matematové Pafutj Lvovč Čebyšev ( 8 až 89), Adrej Adrejevč Marov ( 8 až 9) a Aleadr Mchajlovč Ljapuov ( 87 až 98)... Vz moderí tatty Na záladě potupé tegrace vývoje úředích zjšťováí, uverztí tatty, poltcé artmety a počtu pravděpodobot e během 9. toletí začala utvářet moderí tatta. Úředí zjšťováí především počtu oob, rozahu jejch majetu, pozděj zapováí arozeí a úmrtí ldí vložlo do tatty záladí áplň po tráce obahu. Uverztí tatta dodala ové dcplíě její ázev, zaloužla e o rozšířeí obahu tattcy zoumaých jevů a vytvořla podmíy pro to, aby e tato dcplía rozvíjela ja pratcy, ta teoretcy, zejméa a uverztách. Záladem moderí tatty je poltcá artmeta, eboť začě rozšířla obahovou áplň tatty o polečeé hromadé jevy růzého druhu, zoumala je objetvě využtím číel, vyhledávala v ch pravdelot a tudovala a alézala jejch příčy. Statta a počet pravděpodobot e zprvu rozvíjely v podtatě zolovaě, přetože vývoj teore pravděpodobot v určtém měru podmňoval vz ových tattcých metod a tatta aopa v určtém měru podmňovala vz ových potupů v oblat počtu pravděpodobot. Brzy došlo vzájemému prolíáí počtu pravděpodobot a tatty. Belgcý matemat, atroom a tatt Lambert Adolphe Jacque Quételet ( 79 až 87) ehrál v 9. toletí výzamou úlohu v proceu vzu moderí tatty. Stattu pojal jao dcplíu, jejíž úolem je ja pozorovat a popovat hromadé ocálí jevy, ta e ažt tyto jevy vyvětlt v tom mylu, že má mez m hledat příčé vztahy. Lambert Adolphe Jacque Quételet a záladě měřtelých vlatotí obyvateltva, jao jou déla žvota, hmotot, těleá výša atd. a záladě bezprotředě eměřtelých morálích ldých vlatotí, teré e ažl epřímo vatfovat apř. počtem vražd, loupeží, ebevražd a 000 oob apod. objevoval ěteré polečeé záotot a uloval o objaěí jejch příč. Lambert Adolphe Jacque Quételet e zaloužl o vývoj teore tatty o obrové obohaceí tattcé prae. V Belg byl od rou 8 přededou tattcého úřadu a pod jeho vedeím e zde provádělo čítáí ldu moha moderím

4 prvy. Dále byl přededou moha větových tattcých ogreů. Mmo Lamberta Adolphe Jacquea Quételeta měl v polově 9. toletí velý vlv a vývoj tatty Němec Karl Ke ( 8 až 898) e pem Statta jao amotatá věda De Statt al elbtädge Wechaft, terý byl vydá v roce 80. Pozděj docházelo popu a rozboru hromadých jevů a záladě číel v oblatech přírodích a techcých, především v bolog, atropolog, meteorolog fyzce atd. Na rozvoj tatty e podílela celá řada velce výzamých badatelů, budeme zde jmeovat dva aglcé vědce, a to Frace Galtoa ( 8 až 9), terý položl zálady zoumáí vztahů mez hromadým jevy, a Karla Pearoa ( 87 až 9), terý zotruoval řadu orgálích tattcých měr a potupů. Ve 0. toletí e pod pojmem tatta chápal ouhr údajů a jejch charatert o hromadých jevech jaéhoolv druhu.. Záladí tattcé pojmy Pojem tatta v oučaé době předtavuje:. Číelé a loví údaje (data) a jejch ouhry o ejrůzějších hromadých jevech. Jedá e o tattcé údaje a jejch charaterty, teré lze alézt v růzých tattcých publacích, především ve tattcých ročeách a v přílohách tattcých čaopů.. Čot, terá počívá v zíáváí tattcých dat, apř. měřeí, vážeí, počítáí a zazameáváí, o hromadých jevech, v jejch tříděí, hrováí, grafcém zázorňováí, v otruc a výpočtu jejch číelých charatert, ve vytvářeí jejch ytémů a v jejch publac a aalýze.. Vědu zoumající tattcé záotot hromadých jevů ebo ouhr vědecých metod běru, zpracováí a aalyzováí dat. Hromadé jevy jou jevy, teré e vyytují mohorát a eutále e mohou opaovat. Hromadým jevy e zabývá tatta. Etují dva typy hromadých jevů. Prví typ počívá ve velém počtu opaovaých pozorováí, apř. měřeí, vážeí apod. určté vlatot jedoho předmětu. Cílem je zde zjštěí utečého tavu, apř. velot, ledovaé vlatot daého předmětu, ale poouzeí přeot pozorovatele, apř. měřícího přítroje ebo váhy. Jao přílad lze uvét řadu měřeí výšy jedé orétí ooby. Druhým typem hromadého jevu je ějaá vlatot možy, terá e ládá z velého počtu prvů, z chž aždý z těchto prvů má v ějaé míře daou vlatot. Na záladě zušeotí lze otatovat, že jamle je uvažová oubor 0 a více prvů, můžeme jž hovořt o hromadých jevech. Studum hromadých jevů předpoládá defováí možy prvů, z chž aždý má řadu vlatotí. Z těchto vlatotí jou ěteré u aždého prvu uvažovaé možy zcela tejé a jé z těchto vlatotí e u jedotlvých prvů daé možy mohou vyytovat v růzé míře. Jou-l detcé vlatot prvů určté možy přeě taovey, azýváme uvažovaou možu, terá je tvořea z prvů těmto přeě taoveým hodým vlatotm, tattcým ouborem. Jao tattcý oubor můžeme předtavt možu oob, zvířat, věcí, podů, prodeje apod. Prvy tattcého ouboru azýváme tattcé jedoty. Počet tattcých jedote e azývá rozah tattcého ouboru. Záladí oubor, ědy říáme populace, je taový oubor, ve terém pozáí ěterých promělvých vlatotí tohoto ouboru je vlatím cílem tattcého zoumáí. Může e jedat apřílad o ěteré vlatot všech tudetů Vyoé šoly fačí a práví ve šolím roce 00/00 apod. Záladí oubor má obvyle velm začý rozah, a proto zjštěí zoumaých vlatotí u všech prvů záladího ouboru ebývá čato pratcy

5 vůbec uutečtelé ebo může být velm pracé a emírě áladé. Proto e většou daé zjšťováí provede je u ěterých tattcých jedote, teré jou vybráy ze záladího ouboru. Stattcé jedoty, teré byly vybráy ze záladího ouboru, tvoří výběrový oubor. Výběrový oubor by měl být co ejlepším reprezetatem záladího ouboru, eboť a záladě pozáí vlatotí výběrového ouboru uuzujeme a vlatot záladího ouboru. Stattcý za je odraz určté vlatot aždé tattcé jedoty uvažovaého tattcého ouboru. Počet hodot daého tattcého zau je rove rozahu tattcého ouboru. Např. v 0 domácotech určté obce můžeme ledovat áledující tattcé zay: počet oob v domácot, počet dětí domácot, čtý měíčí příjem domácot, měíčí výdaje domácot apod. Hodota tattcého zau, terá e čato azývá rověž pozorováí, je ozačeí tupě uvažovaé vlatot, terá je vyjádřeá určtým tattcým zaem, pozorovaého u aždé jedotlvé tattcé jedoty tattcého ouboru Stattcý za může v určtém tattcém ouboru abývat buď pouze jedé obměy, ědy říáme varaty, ebo dvou obmě, ebol varat, ebo více obmě, tj. varat. Stattcý za, terý abývá v daém tattcém ouboru pouze jedé obměy, e azývá hodý, apř. tattcý za ročí tuda abývá v tattcém ouboru tudetů druhého ročíu Vyoé šoly fačí a práví pouze jedé obměy, tj.. Stattcý za abývající pouze jedé obměy e azývá detfačím tattcým zaem, eboť je zpravdla oučátí defce daého tattcého ouboru. Stattcé zay, teré abývají v uvažovaém tattcém ouboru více ež jedé obměy, azýváme proměé. Proměé jou předmětem tattcého zoumáí... Typy proměých Z hleda toho, jou-l obměy určté proměé vyjádřey lově ebo číelě, rozdělujeme proměé a loví proměé, teré e obča rověž azývají alfabetcé, čatěj vša ategorálí, a číelé proměé, teré e mezárodě azývají umercé. Nědy e můžeme etat především ve tarší odboré lteratuře čleěím a valtatví zay, teré odpovídají lovím proměým, a vattatví zay, teré odpovídají číelým proměým. Jao přílad loví proměé lze uvét druh vlatctví bytu 0 áhodě vybraých domácotí obměam: ájemí, vlatí, družteví. Jao přílad číelé proměé můžeme uvét počet čleů domácot ebo třeba měíčí výdaje domácot. Dalším příladem loví proměé může být v ouboru vyoošolých tudetů výlede zoušy ze tatty obměam: výborě, velm dobře, dobře a evyhověl. Sloví proměé e ědy ažíme převét a proměé číelé, ta apř. loví proměou výlede zoušy ze tatty můžeme převét a číelou proměou záma ze tatty obměam:,, a. K převodu ěterých lovích proměých a proměé číelé á vede povaha ěterých tattcých potupů počívajících ve zoumáí záototí hromadých jevů pomocí číel. U ěterých lovích proměých eí možý převod a umercé proměé, apř. druh vlatctví bytu. Z hleda toho, ola obmě proměé v daém tattcém ouboru abývají, čleíme proměé a alteratví proměé, teré abývají pouze dvou obmě, a možé proměé, teré abývají více ež dvou obmě. Jao přílad alteratví proměé ve tattcém ouboru zamětaců určtého podu můžeme uvét pohlaví obměam muž a žea. Sloví alteratví proměá e čato převádí a číelou alteratví proměou tím způobem, že e jeda z obou obmě

6 této proměé ozačí čílem a druhá z obou obmě daé proměé e ozačí čílem 0. Jedčou e obvyle ozačí ta z obou obmě, terá á v daé ouvlot více zajímá. Sloví alteratví proměou, terá je uvedeým způobem převedea a číelou alteratví proměou, azýváme ulajedčovou velčou. Příladem možé proměé ve tattcém ouboru zamětaců určtého podu může být vě zamětace v doočeých letech ebo počet dětí zamětace. Z hleda toho, zda obměy číelé proměé mohou abýt v určtém tervalu, v ěmž e reálě pohybují, všech reálých číel ebo je zolovaých číelých hodot, e číelé proměé dále čleí a epojté proměé, ědy říáme drétí proměé, teré mohou abývat v určtém tervalu pouze zolovaých číelých hodot, ejčatěj jou to přrozeá číla ebo ezáporá celá číla, a pojté proměé, ědy říáme otuálí proměé, teré mohou abývat v daém tervalu jaýcholv reálých číelých hodot. Čleěí proměých a epojté a pojté e týá, ja jž bylo uvedeo, pouze číelých proměých. Příladem epojté proměé ve tattcém ouboru zamětaců určtého podu může být počet dětí zamětace obměam: 0,,,..., příladem pojté proměé ve tattcém ouboru zamětaců určtého podu může být hrubý měíčí příjem zamětace. Čleěí číelých proměých a epojté a pojté je do určté míry relatví a ubjetvě ovlvtelé. Napřílad ve tattcém ouboru zamětaců určtého podu bude číelá proměá vě proměou pojtou (omu eí v daém oamžu přeě 0,, atd. ale třeba,8... let), ale číelá proměá vě v doočeých letech bude proměou epojtou. Z hleda typu vztahů mez obměam čleíme proměé a omálí proměé, ebol jmeé proměé, ázvové proměé, u jejchž obmě elze objetvě jedozačě taovt jedé pořadí ta, aby obměa vyšším pořadím vyjadřovala vyšší tupeň ledovaé vlatot, ež já obměa pořadím žším, tj. o dvou obměách omálí proměé můžeme pouze říc, zda jou tejé ebo růzé, c více, a ordálí proměé, ebol pořadové proměé, o jejchž obměách lze eje otatovat, že jou růzé, ale rověž je lze jedozačě eřadt od ejžší obměy po ejvyšší a rozdíl dvou obmě ordálí proměé začí pouze rozdíl v pořadí těchto obmě, a a metrcé proměé, ebol měřtelé proměé, to jou ty proměé, u terých lze o dvou obměách říc eje, že jou růzé a že jeda z těchto obmě je větší ež druhá, ale změřt, o ol je jeda obměa větší ež druhá, metrcé proměé jou vždy proměé číelé. Pro metrcé proměé e čato používá ouběžě ázev ardálí proměé, ale uvedeé ztotožěí metrcých a ardálích proměých eí přeé, eboť ardálí proměá je taová metrcá proměá, terá abývá v určtém tattcém ouboru pouze ladých číelých obmě. O dvou obměách ardálí metrcé proměé lze říc eje, o ol je jeda obměa větší ež druhá, ale rověž, olrát je jeda obměa větší ež druhá. Jao přílad omálí proměé ve tattcém ouboru zamětaců určtého podu můžeme uvét míto arozeí ebo druh abolvovaé tředí šoly. Příladem ordálí proměé ve tattcém ouboru zamětaců určtého podu může být ejvyšší doažeé vzděláí. Příladem ordálí proměé v ouboru vyoošolých tudetů může být výlede zoušy ze tatty obměam: výborě, velm dobře, dobře a evyhověl ebo záma ze tatty obměam:,, a. Příladem metrcé proměé v ouboru zamětaců určtého podu může být hrubý měíčí příjem. Z hleda oboru obmě, terých může v daém ouboru metrcá proměá abýt, čleíme metrcé proměé a ardálí metrcé proměé a eardálí metrcé proměé, teré abývají v daém tattcém ouboru ladých eladých číelých obmě. U dvou obmě eardálí metrcé proměé lze pouze změřt, o ol je jeda

7 obměa větší ež druhá, ale elze říc, olrát je jeda ladá obměa větší ež já obměa eladá. Příladem eardálí metrcé proměé může být ve tattcém ouboru vyoošolých tudetů měíčí tpedum tudeta, eboť tato proměá může romě ladých hodot abývat hodoty 0... Stattcá šetřeí Předmětem zájmu jou ěteré vlatot určtých tattcých ouborů. Tyto vlatot jou vyjádřey určtým proměým, teré abývají u aždé tattcé jedoty určté hodoty. Ke tattcému zoumáí jou zapotřebí právě tyto hodoty, ebol data č údaje. Tato data lze zíat dvojím způobem. Nejčatěj je oděud převezmeme, apř. z ěteré tattcé ročey. Seudárím daty ozačujeme převzaté hodoty proměých, teré á zajímají. Méě čato zíáváme potřebá data ta, že je am zjšťujeme. Jedá e pa o prmárí data. Zíáváí ezámých tattcých dat o hodotách proměých jedotlvých tattcých jedote azýváme tattcé šetřeí, tj. tattcé zjšťováí. Kromě vlatího zíáváí tattcých dat jou áplí tattcého šetřeí teoretcé a pratcé potupy taovéhoto šetřeí. Účelem tattcého šetřeí je zíáí tattcých dat potřebých prozoumáí ebo ledováí ějaých hromadých jevů č jejch vztahů ebo jejch vývoje. Z orétího účelu tattcého šetřeí plye, teré proměé e mají zjšťovat, co bude tattcým ouborem a co tattcou jedotou. Ke plěí orétího účelu tattcého šetřeí je třeba velm přeé věcé, protorové a čaové vymezeí tattcého ouboru a přílušých proměých. Z hleda čaového vymezeí á zajímá rozhodý oamž, což je čaový momet určující pro zahrutí č ezahrutí tattcých jedote do tattcého ouboru a pro zachyceí hodot oamžových tattcých zaů, a rozhodá doba, což je čaový terval o určté oečé délce, jehož obě hrace jou vymezey dvěma čaovým oamžy ebo počátečím čaovým oamžem a délou tohoto období. Teto čaový terval je potřebý v případě tervalového tattcého zau (apř. měíčí apeé tudeta v Kč). Z hleda toho, zda jou zjšťováy hodoty ledovaých proměých u všech tattcých jedote záladího ouboru ebo pouze u ěterých jedote záladího ouboru rozdělujeme tattcá šetřeí a vyčerpávající a evyčerpávající tattcá šetřeí. Vyčerpávající tattcá šetřeí jou taová tattcá šetřeí, př terých zjšťujeme hodoty přílušých proměých u všech tattcých jedote záladího tattcého ouboru. I př vyčerpávajícím tattcém šetřeí e vša může tát, že e z ějaého důvodu epodaří zjtt hodoty zoumaých proměých u ěterých tattcých jedote, dyž e to zamýšlelo. Jedá e tedy potom o tattcé šetřeí, teré eí zcela úplé, ačolv bylo orgazováo jao vyčerpávající tattcé šetřeí a rověž zůtává tattcým šetřeím vyčerpávajícím. Úplé tattcé šetřeí je taové tattcé šetřeí, př terém byly prošetřey všechy tattcé jedoty, teré být prošetřey měly. Poud ěteré tattcé jedoty, jejchž prošetřeí bylo zamýšleo, prošetřey ebyly, jedá e o eúplé tattcé šetřeí. Neúplot vyčerpávajícího tattcého zjšťováí lze v ěterých případech tolerovat, a ce tehdy, je-l počet tattcých jedote, u terých e epodařlo zjtt hodoty ledovaých proměých, vzhledem rozahu záladího ouboru velm malý. Výhodou úplého vyčerpávajícího tattcého šetřeí je utečot, že poytuje podlady pro zcela přeé charaterzováí záladího ouboru, a utečot, že poytuje hodoty zoumaých proměých jedotlvě o aždé tattcé jedotce zvlášť. Nevýhodou

8 je to, že ědy elze vyčerpávající tattcé šetřeí vůbec uutečt, a to tehdy, je-l šetřeí pojeo lvdací tattcých jedote (zoumáí pevot vyrobeých oučáte, změřeí pevot je pojeo e zčeím oučáty). Nevýhodou vyčerpávajícího tattcého šetřeí je to, že je velce drahé, velm čaově áročé a vede relatvě dlouhé době, terá je potřebá e tattcému zpracováí. Nevyčerpávající tattcá šetřeí jou taová šetřeí, u terých e předem počítá tím, že hodoty zoumaých proměých budou zjšťováy pouze u tattcých jedote výběrového tattcého ouboru. Nevyčerpávající tattcé šetřeí může být opět úplé eúplé. Hlaví výhodou evyčerpávajícího tattcého šetřeí je především to, že bývá jedou alteratvou v případech, dy amoté zjšťováí je pojeo e zčeím tattcých jedote. Další výhodou evyčerpávajících tattcých šetřeí je utečot, že zíáí dat je poměrě úporé a fačí, věcé a pracoví álady a je možé áze a rychlej zotrolovat právot a úplot zíaých výledů. Př evyčerpávajícím tattcém šetřeí lze regtračí chyby, teré vzají př zazameáváí, omezt a zaedbatelé mmum. Další výhodou evyčerpávajícího tattcého šetřeí je, že zpracováí a vyhodocováí tohoto zjšťováí je rychlejší. Hlaví evýhodou evyčerpávajícího tattcého šetřeí je utečot, že odhady zíaé využtím výběru e plě eryjí e utečým vlatotm záladího ouboru, ale jou zatížey výběrovou chybou. Výběrová chyba vzá proto, že hodoty proměých jou zjšťováy pouze u výběrového tattcého ouboru a závěry jou prováděy pro celý záladí tattcý oubor. Z hleda toho, do jaé míry lze výledy evyčerpávajícího tattcého šetřeí zobect, ebol rozšířt pozaty zíaé evyčerpávajícím tattcým šetřeím a záladí oubor, čleíme evyčerpávající tattcá šetřeí a ereprezetatví evyčerpávající tattcá šetřeí a reprezetatví evyčerpávající tattcá šetřeí. V případě ereprezetatvích evyčerpávajících tattcých šetřeí výběrový tattcý oubor ereprezetuje, tj. epředtavuje, dotatečě celý zoumaý záladí tattcý oubor a možot zobecěí pozatů zíaých ereprezetatvím evyčerpávajícím tattcým šetřeím je problematcá. Jao přílad taovýchto tattcých šetřeí lze uvét aetu. V případě reprezetatvích evyčerpávajících tattcých šetřeí je výběrový tattcý oubor vým vlatotm věrou zmešeou vlatotí záladího tattcého ouboru a pozaty pořízeé z prozoumáí vlatotí výběrového tattcého ouboru je možé zobect a vlatot záladího tattcého ouboru. Z hleda způobu zajštěí reprezetatvot e reprezetatví evyčerpávající tattcá šetřeí čleí ještě a dva druhy, a to a záměrý výběr a a áhodý výběr. V případě záměrého výběru, ebol úudového výběru, zušeý odborí a záladě zámých vlatotí záladího tattcého ouboru a vlatího úudu vybírá ze záladího tattcého ouboru určté tattcé jedoty záměrě tím způobem, aby byl výběrový tattcý oubor reprezetatví. V případě áhodého výběru, ebol pravděpodobotího výběru, e reprezetatvot zabezpečuje protředctvím áhody.. Zpracováí dat o loví proměé Obměy loví proměé ozačíme a,,,...,, de je počet obmě uvažovaé loví proměé. Dále ozačíme abolutí četot,,,...,, což zameá, že tattcých jedote tattcého ouboru má obměu a, tattcých jedote tattcého ouboru má obměu a atd. až tattcých jedote tattcého ouboru má obměu a. Rozah výběrového tattcého ouboru ozačíme. Platí

9 + + L +. (.) Stejým způobem ozačíme relatví četot p, de p,,,...,, (.) tedy p předtavuje relatví četot jedote, teré mají obměu a, p předtavuje relatví četot jedote, teré mají obměu a, atd. až p předtavuje relatví četot jedote, teré mají obměu a. Platí p p p p + + L +, (.) oučet relatvích četotí je rove jedé. Jetlže vyáobíme relatví četot tem, zíáváme relatví četot v procetech a jejch oučet je tedy rove 00 %. Zpracováí dat o loví proměé počívá ve vytvořeí tattcé tabuly, tzv. tabuly rozděleí četotí, jejíž obecé chéma uvádí tabula.. Tabula. Obměa Četot proměé abolutí relatví a p a a M a Celem M p p M p p V políčách tabuly jou číelé hodoty ebo mluveé začy, z chž jou ejčatější: 0 pro číelé hodoty meší ež polova použté měré jedoty, pro ezámou hodotu, pro případy, dy by hodota eměla logcy myl. Zpracováí dat o loví proměé do formy grafu počívá ve zázorěí trutury tattcého ouboru podle obmě uvažovaé loví proměé grafem č dagramem. Nejčatěj e v tomto případě používají loupové dagramy, u terých výšy loupů předtavují počet prvů přílušejících daé obměě loví proměé a šířy loupů jou tejé, a plošé grafy, u terých obah určtého geometrcého obrazce v rově odpovídá 00 % a čát tohoto obrazce v rově odpovídají přílušým relatvím četotem v procetech. Z ejčatěj používaých plošých grafů můžeme uvét výečové grafy.

10 Modu loví proměé, ebol modálí obměa, je obměa ejvětší četotí, začíme $. Varablta předtavuje mělvot č epodobot hodot uvažovaé proměé. Varablta loví proměé e azývá mutablta. Varabltu loví proměé měříme mírou mutablty M ( ). (.) Výraz ve vzorc (.) omvar ( ) (.) azýváme omálí varace. Protože platí ( ) ( ), můžeme míru mutablty (.) zapat taé M ( ) (.) a omálí varac omvar p. (.7) Míra mutablty e pohybuje od uly (př ulové mutabltě) do jedé (př mamálí mutabltě). Nomálí varace e pohybuje od uly (př ulové mutabltě) do číla o ěco málo mešího ež jeda (př mamálí mutabltě).

11 Přílad. U 0 áhodě vybraých tudetů druhého ročíu Vyoé šoly fačí a práví byly zjštěy údaje týající e ejčatěj používaého dopravího protředu z míta bydlště do šoly, teré e acházejí v tabulce.. Tabula. Čílo tudeta Dopraví protřede tramvaj autobu vla metro metro vla tramvaj metro autobu autobu autobu vla metro auto vla vla metro metro auto autobu autobu tramvaj autobu vla metro Čílo tudeta Dopraví protřede vla autobu vla autobu vla vla vla auto autobu vla vla vla vla autobu vla auto autobu vla tramvaj tramvaj vla metro tramvaj metro metro Setavte tabulu rozděleí četotí ejčatěj používaého dopravího protředu z míta bydlště do šoly 0 áhodě vybraých tudetů Vyoé šoly fačí a práví. Zíaé četot terpretujte a zázorěte grafcy. Řešeí: Nejčatěj používaý dopraví protřede z míta bydlště do šoly je loví proměá, terá má obmě: auto, autobu, metro, tramvaj a vla. Z tabuly. je zřejmé, že z výběrového tattcého ouboru 0 tudetů používají tudet ejčatěj př cetě do šoly auto, tudetů autobu, 0 tudetů metro, tudetů tramvaj a 8 tudetů vla. Rozah výběrového tattcého ouboru 0 tudetů. Přílušé relatví četot vypočteme využtím vztahu (.):

12 p p p p p 0, 08, 0 0,, 0 0 0, 0, 0 0,, 0 8 0,. 0 Nyí jž etavíme tabulu rozděleí četotí, vz tabula.. Tabula. Dopraví Četot protřede abolutí relatví auto autobu metro tramvaj vla 0 8 0,08 0, 0,0 0, 0, Celem 0,00 Je vdět, že z výběrového tattcého ouboru 0 tudetů jezdí pouze tudet ejčatěj do šoly autem, což předtavuje 8 % tudetů (po vyáobeí relatvích četotí tem), tudetů, teří předtavují % tudetů, jezdí ejčatěj do šoly autobuem, 0 tudetů, což je 0 % tudetů, jezdí ejčatěj do šoly metrem, tudetů, tj. %, jezdí ejčatěj do šoly tramvají a ejvíce tudetů, tj. 8, teří tvoří % tudetů, jezdí ejčatěj do šoly vlaem. Grafcým zobrazeím trutury loví proměé může být výečový graf, vz obráze., ebo loupový graf, vz obráze..

13 Obráze. Nejčatěj používaý dopraví protřede z míta bydlště do šoly auto 8 autobu metro tramvaj vla 0 Obráze. A b o lu t í čet o t Nejčatěj používaý dopraví protřede z míta bydlště do šoly auto autobu metro tramvaj vla vla tramvaj metro autobu auto

14 Přílad. Tabula. obahuje údaje o druhu vlatctví bytu 0 áhodě vybraých domácotí. Tabula. Čílo domácot Druh vlatctví bytu ájemí ájemí vlatí družteví vlatí ájemí družteví družteví vlatí vlatí družteví družteví ájemí ájemí vlatí vlatí ájemí družteví vlatí družteví Čílo domácot Druh vlatctví bytu vlatí družteví družteví družteví ájemí ájemí družteví vlatí vlatí vlatí ájemí družteví ájemí ájemí vlatí družteví vlatí ájemí družteví družteví Vypočtěte míru mutablty a omálí varac. Řešeí: Rozah výběrového tattcého ouboru 0 domácotí. Druh vlatctví bytu je loví proměá, terá má obměy: družteví, ájemí a vlatí, přčemž domácotí bydlí v družtevím bytě, domácotí bydlí v ájemím bytě a domácotí bydlí ve vlatím bytě. K výpočtu použjeme tabulu.. Tabula. Druh vlatctví bytu ( ) družteví ájemí vlatí Celem Z tabuly. zíáváme

15 8 a ( ) 0. S využtím vztahu (.) vypočteme míru mutablty M 0 8 0( 0 ) 0, & 0, 8 a doazeím do vztahu (.) vypočteme omálí varac 0 omvar 0, 7 & 0,. 0 Uazuje e, že druh vlatctví bytu je dot promělvý, 8, % dvojc domácotí mělo růzý druh vlatctví bytu. Cvčeí. U 0 áhodě vybraých tudetů druhého ročíu Vyoé šoly fačí a práví byly zjštěy údaje týající e hlavího tudovaého jazya, teré e acházejí v tabulce.. Tabula. Čílo tudeta Hlaví tudovaý jazy aglčta aglčta aglčta aglčta aglčta aglčta aglčta ěmča aglčta aglčta aglčta fracouzšta aglčta aglčta aglčta aglčta aglčta aglčta ěmča ěmča ěmča aglčta aglčta Čílo tudeta Hlaví tudovaý jazy aglčta aglčta ěmča ěmča rušta aglčta ěmča rušta rušta aglčta ěmča ěmča aglčta rušta aglčta aglčta aglčta fracouzšta fracouzšta aglčta fracouzšta fracouzšta fracouzšta

16 aglčta aglčta 9 0 aglčta ěmča Setavte tabulu rozděleí četotí hlavího tudovaého jazya 0 áhodě vybraých tudetů Vyoé šoly fačí a práví. Určete modu.. Tabula.7 obahuje údaje o rodém tavu áhodě vybraých pedagogů Vyoé šoly fačí a práví. Tabula.7 Čílo pedagoga Rodý tav žeatý vdovec žeatý vdaá vdaá vobodý žeatý žeatý vobodý vdaá vdaá žeatý žeatý vobodý rozvedeý žeatý vobodá Čílo pedagoga Rodý tav rozvedeá žeatý vobodá vdova vdaá vdaá žeatý vdaá vdaá žeatý žeatý žeatý vobodá vobodý rozvedeý žeatý vdaá Vypočtěte míru mutablty a omálí varac.. V uvedeé tabulce je uvedeo hodoceí tudetů prvího ročíu z matematy. Setavte tabulu četotí a vytvořte grafcé vyjádřeí, určete modu, dále vypočtěte míru mutablty a omálí varac. Čílo tudeta Záma Čílo tudeta Záma

17 Výledy. Hlaví tudovaý Četot jazy abolutí relatví aglčta fracouzšta ěmča rušta 0 0 0,0 0, 0,0 0,08 Celem 0,00 $ aglčta Graf abolutích četotí aglčta f racouzšta ěmča rušta. Rodý tav žeatý/vdaá vobodý/vobodá 7 rozvedeý/rozvedeá vdovec/vdova Celem M 0,

18 omvar 0,8. Četot Hodoceí abolutí relatví 9 0,7 0, 0,8 Celem,00 M 0,8 omvar 0, $ Graf relatvích četotí 0,8 0,7 0,7

19 . Elemetárí zpracováí dat o číelé proměé.. Proté rozděleí četotí V případě číelé proměé abývající pouze ěola málo obmě e tabula rozděleí četotí tvoří tejým způobem, jao tabula rozděleí četotí u loví proměé pouze tím rozdílem, že e obměy proměé upořádají podle velot. Proto u číelé proměé mají myl umulatví abolutí četot a umulatví relatví četot, teré vzají potupým přčítáím abolutích četotí (v případě umulatvích abolutích četotí) a potupým přčítáím relatvích četotí (v případě umulatvích relatvích četotí). Výledem zpracováí dat o číelé proměé, terá abývá pouze ěola málo obmě, je tabula rozděleí abolutích a relatvích četotí a umulatvích abolutích a relatvích četotí, jejíž obecé chéma udává tabula.8. Tabula.8 Obměa Četot Kumulatví četot proměé abolutí relatví abolutí relatví p M Celem M p p p M p M p p p + p p + p + p M p V tabulce.8 jou obměy proměé,,,...,, upořádaé vzetupě od ejmeší po ejvětší ta, že < < <... <. Kumulatví abolutí četot formují o tom, ol tattcých jedote ouboru má hodotu ledovaé proměé meší ebo rovou přílušé obměě proměé, a umulatví relatví četot po vyáobeí tem podávají formac o tom, jaé proceto tattcých jedote ouboru má hodotu proměé meší ebo rovou daé obměě proměé. Jedá-l e o elemetárí zpracováí hodot číelé proměé ěola málo obměam, můžeme zázort rozděleí četotí proměé v pravoúhlé outavě ouřadc ta, že obměy proměé,,,..., zázoríme a vodorové oe a jejch abolutí č relatví četot a vlé oe, zíáme ta body (, ), (, ), (, ),..., (, ) v případě abolutích četotí a body (, p ), (, p ), (, p ),..., (, p ) v případě relatvích četotí. Jetlže tyto body pojíme, zíáváme polygo četotí, ebol mohoúhelí četotí. Srováváme-l rozděleí četotí daé proměé v růzých tattcých ouborech růzým rozahy, je vhodější a vlou ou aášet relatví četot. Naášíme-l a vlou ou umulatví abolutí četot ebo lépe umulatví relatví četot, zíáváme eleající lomeou čáru umulatvích četotí, teré říáme (ázev eí zcela přeý) oučtová řva č S řva ebo ogva, což zameá lomeý oblou.

20 Pro grafcé zázorňováí trutury ouboru podle obmě číelé proměé můžeme rověž etavovat loupové grafy růzé plošé grafy, apř. výečové grafy. Obměa ejvětší abolutí relatví četotí vzhledem ejblžšímu oolí e azývá modu č modálí obměa číelé proměé a v této obměě proměé je vrchol rozděleí četotí. Podle počtu vrcholů rozlšujeme jedovrcholová rozděleí četotí, ebol umodálí rozděleí četotí, terá mají jede vrchol a vyytují e ejčatěj, a vícevrcholová rozděleí četotí, terá mají více vrcholů. V případě jedovrcholových rozděleí četotí rozlšujeme dva druhy těchto rozděleí, a ce v prvím případě modu leží mez mmálí a mamálí obměou proměé, vz obráze., a v druhém případě e jedá o J rozděleí, dy modu je buď mmálí ebo mamálí obměa proměé, vz obráze.. Obráze. Obráze.

21 Modu číelé proměé je aždá obměa, jejíž abolutí, a tedy relatví četot je větší ež přílušé četot obou ouedích obmě. Vícevrcholové rozděleí četotí má více ež jede modu. Taováto rozděleí četotí proto azýváme rověž vícemodálí rozděleí četotí ebo multmodálí rozděleí četotí. Jedá e zejméa o rozděleí mající dva vrcholy, a tedy dvě modálí obměy, dy jedá o bmodálí rozděleí četotí, vz obráze. Specálím případem bmodálího rozděleí četotí je U rozděleí, dy modu je mmálí a mamálí obměa proměé, a tedy toto rozděleí má vrcholy a obou rajích, vz obráze.. V případě U rozděleí e obměa ejmeší abolutí relatví četotí azývá atmodu. Obráze. Obráze. Podle ouměrot rozlšujeme ouměrá rozděleí četotí, ebol ymetrcá rozděleí četotí, vz obráze.7, a eouměrá rozděleí četotí, ebol aymetrcá rozděleí četotí. Jou-l četot malých obmě v rozděleí četotí vcelu větší ež

22 četot velých obmě, a tedy vrchol píše alevo, jedá e o eouměré rozděleí ešmeé ladě, ebol o rozděleí četotí ladou šmotí, vz obráze.8. Jou-l četot malých obmě vcelu meší ež četot velých obmě, a tedy vrchol je píše apravo, jedá e o eouměré rozděleí ešmeé záporě, ebol o rozděleí četotí e záporou šmotí, vz obráze.9. Obráze.7 Obráze.8

23 Obráze.9 Rozděleí četotí e taé mohou lšt špčatotí. To rozděleí četotí, teré má výrazější vrchol, je špčatější ež jé rozděleí četotí, teré je plošší, vz obráze.0. Obráze.0

24 Přílad. U 0 domácotí ledujeme počet čleů domácot, vz tabula.9. Tabula.9 Čílo domácot Počet čleů Čílo domácot Počet čleů Čílo domácot Počet čleů Čílo domácot Počet čleů Setavte tabulu rozděleí četotí a umulatvích četotí, v obou případech abolutích relatvích, počtu čleů domácot. Výledy oometujte a zázorěte grafcy. Řešeí: Jedá e o číelou proměou abývající obmě, teré upořádáme vzetupě od ejmeší po ejvětší:,,,, a. Rozah výběrového tattcého ouboru 0. Ze tattcého ouboru čtyřcet domácotí je domácotí čleem domácot, 7 domácotí čley domácot, 7 domácotí čley domácot, domácotí čley, domácotí čley a domácot čley domácot. Přílušé relatví četot vypočteme využtím vztahu (.) p p p p 0, 00, 0 07,, ,, 0 7 0, 00, 0 p 00,, 0

25 p 000,, 0 dále vypočteme umulatví abolutí četot a umulatví relatví četot, + + 7, , , , , p 000,, p + p 000, + 07, 0, 7, p + p + p 000, + 07, + 07, 0, 0, p + p + p + p 000, + 07, + 07, + 0, 00 0, 70, p + p + p + p + p 000, + 07, + 07, + 0, , 0, 900, p + p + p + p + p + p 000, + 07, + 07, + 0, , + 000, 000,, Setavíme tabulu rozděleí četotí, vz tabula.0. Tabula.0 Počet Četot Kumulatví četot čleů abolutí relatví abolutí relatví 7 7 0,00 0,7 0,7 0,00 0,0 0, ,00 0,7 0,0 0,70 0,900,000 Celem 0,000 X X Kometář: abolutí četot

26 Je zřejmé, že ve tattcém ouboru jou čtyř domácot jedočleé, edm dvoučleých a edm tříčleých. Nejvíce domácotí, tj. dvaáct domácotí, je čtyřčleých. Dále máme šet pětčleých domácotí a čtyř šetčleé. Kometář: relatví četot (po vyáobeí relatvích četotí tem) Jedočleé domácot tvoří 0 % domácotí. Dvoučleé domácot tvoří 7, % tejě jao domácot tříčleé. Nejvíce domácotí je čtyřčleých, teré tvoří 0 % celového tattcého ouboru domácotí. Pětčleých domácotí je z celového počtu domácotí % a šetčleých 0 %. Kometář: umulatví četot Ve čtyřech domácotech je jede čle, což je 0 % všech domácotí. Jedeáct domácotí je tvořeo jedím ebo dvěma čley, tj. 7, % všech domácotí. Omáct domácotí je ejvýše tříčleých, což předtavuje % všech domácotí, třcet domácotí e ládá ze čtyř a méě čleů, tj. 7 % domácotí, ve domácotech je ejvýše pět čleů, což je 90 % všech domácotí. A v jedé z uvažovaých domácotí eí více ež šet čleů, ebol ve všech domácotech je ejvýše šet čleů. Nejpoužívaějším grafcým zázorěím rozděleí četotí je polygo četotí, vz obráze.. Obráze Itervalové rozděleí četotí V případě číelé proměé abývající moha obmě eee tabula rozděleí četotí v podtatě žádé požadovaé zpřehleděí tattcých dat. Z tohoto důvodu, jetlže číelá proměá abývá moha obmě, etavujeme tabulu tervalového rozděleí četotí, dy vědomě zaedbáváme drobé odlšot mez obě blízým obměam a rozdělíme varačí rozpětí ouboru, teré předtavuje rozdíl mez mamálí a mmálí zjštěou hodotou proměé a teré ejprve zvětšíme a ějaé hladé čílo (apř. vypočteé varačí rozpětí 8 8 zvětšíme a 8 00), a určtý počet tervalů a poté zjtíme počty hodot

27 patřících do jedotlvých tervalů. Začáte prvího tervalu volíme ta, aby všechy tervaly porývaly všechy hodoty ledovaé proměé. Obměy patřící do jedoho tervalu zatupujeme tředem tohoto tervalu. K určeí počtu tervalů etuje více ávrhů, ejpoužívaější z ch je Sturgeovo pravdlo, podle terého by měl být počet tervalů přblžě +, log, (.8) de log předtavuje deadcý logartmu a je rozah ouboru. Př zařazováí jedotlvých hodot proměé do tervalů e může tát, že máme zařadt hodotu, terá leží a hrac dvou tervalů. Tuto hodotu zařazujeme zpravdla do vyššího tervalu, eboť e tím dopouštíme meší relatví chyby. Kumulatví abolutí četot á potom formují, ol tattcých jedote má hodotu meší ež horí hrace přílušého tervalu a umulatví relatví četot po vyáobeí tem podávají formac o tom, ol procet tattcých jedote má hodotu meší ež horí mez daého tervalu. Vhodým grafcým zázorěím tervalového rozděleí četotí je htogram četotí, což je loupový graf ládající e z obdélíů, jejchž zálady mají délu zvoleých tervalů a jejchž obahy ploch jou úměré četotem jedotlvých tervalů (tervaly obecě emuí být tejě dlouhé). Zpracováváme-l data o číelé proměé abývající velm moha obmě výše uvedeým způobem, ztrácíme tím formac o výš apozorovaých hodot této proměé. Taováto ztráta formace e zmírí, jetlže tattcá data zpracujeme do grafu tem ad leaf (toe a lty), ebol do čílcového dedrogramu. Teto graf vzá ve dvou rocích pro data eupořádaá vzetupě podle velot ebo přímo pro data, terá jou upořádaá vzetupě od ejmeší hodoty po ejvětší. Stoe (vlevo od olmce) je tvoře deítam, tovam č tíc, toe je ejvyšší řád a lty (vpravo od olmce) jou tvořey jedotam, deítam č tovam, tj. lty jou druhý ejvyšší řád (je-l apř. toe tvoře tíc, lty budou tvořey tovam apod.). Čílce a otatích řádech zaedbáváme, ale ezaorouhlujeme. V prvím loupc jou umulace abolutích četotí od ejmeší hodoty medáu (protředí hodota) a od ejvětší hodoty medáu. Čílo v závorce detfuje upu, v íž e achází medá a je to abolutí četot této upy. Přílad. V tabulce. jou dpozc údaje o výš měíčího příjmu domácotí. Tabula. Čílo domácot 7 8 Výše měíčího příjmu Čílo domácot Výše měíčího příjmu Čílo domácot Výše měíčího příjmu

28 Setavte tabulu tervalového rozděleí četotí ze tattcého ouboru domácotí podle výše měíčího příjmu domácot. Výledy terpretujte a zázorěte grafcy. Řešeí: Je zřejmé, že e v tomto případě jedá o číelou proměou abývající moha obmě. S využtím Sturgeova pravdla (.8) určíme počet tervalů, rozah ouboru +, log, 798 &, přčemž ejmeší hodota číelé proměé výše měíčího příjmu domácot je v uvažovaém tattcém ouboru 00 Kč a ejvětší hodota Kč. Vypočteme varačí rozpětí předtavující rozdíl mez ejvětší a ejmeší hodotou ledovaé proměé R 00. ma m Vypočteé varačí rozpětí ejprve zvětšíme a ějaé hladé čílo ta, abychom tato upraveé varačí rozpětí mohl ado rozdělt a tejě dlouhých tervalů, apř. varačí rozpětí zvětšíme tímto způobem z Kč a 000 Kč. Protože 000/ 00 Kč, hodoty číelé proměé výše měíčího příjmu domácot rozdělíme do áledujících tervalů, teré předtavují jedu z moha možotí: , , , , , Jedotlvé tervaly jme vytvořl ta, aby e rají meze ouedích tervalů epřerývaly, odpade ám tím problém týající e toho, do jaého tervalu zařadt hodotu, terá leží právě v bodě rajích mezí dvou ouedích tervalů. Čárovací metodou určíme abolutí četot v jedotlvých tervalech,,,...,, vz tabula.. Tabula. Abolutí četot Iterval V prvím tervalu e achází 7 hodot ledovaé proměé, v druhém tervalu hodot, ve třetím tervalu 8 hodot, ve čtvrtém tervalu hodot, v pátém tervalu hodoty a v šetém tervalu hodota ledovaé proměé a utečě opět platí vztah (.), de,,,...,, předtavují abolutí četot tetorát v jedotlvých tervalech

29 S využtím vztahu (.) vypočteme přílušé relatví četot aalogcy, jao tomu bylo v příladu. p p 09,, 7 0, 0, Je zřejmé, že opět platí vztah (.) p p p p 0,, 8 07,, 0, 08, 0, 08, p + p + p + p + p + p p 0, 9 + 0, 0 + 0, + 0, 7 + 0, , 08. Obdobě, jao v příladu., vypočteme umulatví četot 7, , , , ,

30 , p 09,, p + p 09, + 0, 0 0, 00, p + p + p 09, + 0, 0 + 0, 0, 7, p + p + p + p 09, + 0, 0 + 0, + 07, 0, 889, p + p + p + p + p 09, + 0, 0 + 0, + 07, + 0, 08 0, 97, p + p + p + p + p + p 09, + 0, 0 + 0, + 07, + 0, , ,, Nyí jž můžeme etavt tabulu tervalového rozděleí četotí, vz tabula. Tabula. Čílo Iterval pro výš Četot Kumulatví četot tervalu měíčího příjmu abolutí relatví abolutí relatví ,9 0, ,9 0, , 0, ,7 0, ,08 0, ,08,000 Celem,000 X X Kometář: abolutí a relatví četot (po vyáobeí relatvích četotí tem) Je vdět, že měíčí příjem v tervalu od 00 Kč do 00 Kč má edm domácotí, tj. 9, % ze všech domácotí. V tervalu od 0 Kč do Kč má měíčí příjem jedeáct domácotí, což je 0, % všech domácotí daého tattcého ouboru. Om domácotí, tj., % domácotí, má měíčí příjem v tervalu od 7 00 Kč do 9 00 Kč, šet domácotí, tj.,7 % domácotí, má měíčí příjem v tervalu od 9 0 Kč do 000 Kč, tř domácot, tj. 8, %, mají měíčí příjem v tervalu od 00 Kč do 00 Kč a jeda domácot, terá tvoří pouze,8 % domácotí zoumaého tattcého ouboru, má mají měíčí příjem v tervalu od 0 Kč do Kč. Kometář: umulatví četot Sedm domácotí, teré předtavují 9, % domácotí daého tattcého ouboru, má měíčí příjem v tervalu od 00 Kč do 00 Kč, omáct domácotí, teré předtavují 0,0 % domácotí, má měíčí příjem v tervalu od 00 Kč do Kč, domácotí, tj. 7, %, má měíčí příjem domácot v tervalu od 00 Kč do 9 00 Kč, domácotí, což je 88,9 % všech domácotí, má měíčí příjem v tervalu od 00 Kč do 000 Kč, domácotí, tj. 97, % domácotí daého

31 tattcého ouboru, má měíčí příjem v tervalu od 00 Kč do 00 Kč a všech domácotí zoumaého tattcého ouboru, tj. všech 00 % domácotí daého tattcého ouboru, má měíčí příjem v tervalu od 00 Kč do Kč, ebol žádá z uvažovaých domácotí emá měíčí příjem větší ež Kč. Grafcým zázorěím tervalového rozděleí četotí je htogram četotí, vz obráze.. Obráze Cvčeí. ročíu. Tyto údaje e acházejí v tabulce.. U 0 tudetů druhého ročíu Vyoé šoly fačí a práví byly před zápem do třetího ročíu zjštěy áledující údaje tyající e počtu ztraceých redtů v druhém Tabula. Čílo tudet a Počet ztraceýc h redtů Čílo tudeta Počet ztraceých redtů Čílo tudeta Počet ztraceých redtů 0 0 Čílo tudeta Počet ztraceých redtů

32 Setavte tabulu rozděleí četotí a umulatvích četotí, v obou případech abolutích a relatvích, počtu ztraceých redtů tudeta.. U domácotí jou dpozc údaje týající e průměrého věu vydělávajících čleů domácot (po zaorouhleí a celá číla), vz tabula.. Tabula. Čílo domácot Průměrý vě vydělávajících čleů Čílo domácot Průměrý vě vydělávajících čleů Čílo domácot Průměrý vě vydělávajících čleů Setavte tabulu tervalového rozděleí četotí pro průměrý vě vydělávajících čleů domácot. Výledy. Počet ztraceých Četot Kumulatví četot redtů abolutí relatví abolutí relatví ,00 0,7 0,0 0,08 0,0 0,07 0, 0,07 0, ,00 0,7 0,7 0,0 0,700 0,77 0,900 0,97,000 Celem 0,000 X X

33 . & R děltelé a větší ež R je čílo, varačí rozpětí zvětšíme a, abychom hodoty mohl rozdělt do tejě dlouhých tervalů, apř. zvolíme tervaly Čílo Iterval pro průměrý vě Četot Kumulatví četot tervalu vydělávajících čleů abolutí relatví abolutí Relatví , 0,7 8 0, 0,89 8 0, 7 0,70 0,9 0, ,08 0,97 9 0,08,000 Celem,000 X X. Kvatly Kvatl je hodota, terá je určeá ta, že hodoty meší ež daý vatl ebo tejé jao teto vatl tvoří procetuálě předem taoveou čát rozahu tattcého ouboru (apř. %, 0 %, % apod.) a hodoty, teré jou větší ež přílušý vatl ebo tejé jao teto vatl, tvoří zbývající procetuálí čát rozahu tattcého ouboru (apř. 9 %, 90 %, 7 % apod.). Ozačme p relatví četot malých hodot číelé proměé. 00p% vatl proměé rozděluje tattcý oubor hodot této proměé a dvě čát ta, že odděluje 00p % malých hodot proměé od 00( p) % velých hodot proměé. 00p% vatl proměé ozačujeme ~ 00p. Pro výpočet vatlů je uté ejprve všechy apozorovaé hodoty ledovaé číelé proměé upořádat vzetupě podle velot od ejmeší hodoty po ejvětší. Ozačme m 00p pořadové čílo hodoty ve vzetupě upořádaé poloupot odpovídající hledaému vatlu (tj. m 00p je přrozeé čílo) a je počet tattcých jedote v proměé, tj. rozah tattcého ouboru. Př výpočtu vatlu je třeba určt pořadové čílo prvu m 00p, teré určíme pomocí vztahu p m00 p p +. (.9) Vyjdou-l p a p + jao deetá číla, je hledaým vatlem m 00p -tá hodota v upořádaé poloupot hodot ledovaé proměé. Vyjdou-l p a p + jao celá číla (přrozeá číla), potom přílušý vatl vypočteme jao artmetcý průměr dvou hodot, teré mají pořadí p a p + (určeé erovotí (.9)) ve vzetupě upořádaé poloupot hodot daé proměé. Z tabuly tervalového rozděleí četotí je možé odhadout přblžou hodotu 00p% vatlu leárí terpolací podle vztahu

34 ~ 00 p d 00p h d h d d, (.0) de: h je dolí hrace tervalu, ve terém leží hledaý vatl, d je horí hrace tervalu, ve terém leží hledaý vatl, h je umulatví relatví četot v procetech (po vyáobeí tem) odpovídající h, d je umulatví relatví četot v procetech (po vyáobeí tem) odpovídající d, přčemž využtím loupce umulatvích relatvích četotí ejprve zjtíme, ve terém tervalu e hledaý vatl achází. Nejdůležtější z vatlů je 0% vatl, terý e azývá medá a začíme jej ~ 0 ebo v případě medáu ~. Medá, ebol protředí hodota, rozděluje tattcý oubor a dvě tejě četé polovy. Př lchém rozahu tattcého ouboru je medá vždy hodota protředí tattcé jedoty ouboru (po vzetupém upořádáí hodot proměé), př udém rozahu tattcého ouboru leží medá mez hodotam dvou protředích tattcých jedote (opět po vzetupém upořádáí hodot ledovaé proměé) a vypočte e jao artmetcý průměr těchto dvou hodot. Druhů vatlů je velm moho, vatly meší ež medá azýváme dolí vatly a vatly větší ež medá azýváme horí vatly. Tercly jou dva vatly, teré rozdělují eleající řadu hodot ledovaé proměé a tř tejě četé čát. Dolí tercl ~, je, % vatl a odděluje jedu třetu tattcých jedote meší ebo tejou hodotou ledovaé proměé jao dolí tercl od dvou třet tattcých jedote větší ebo tejou hodotou ledovaé proměé jao dolí tercl. Horí tercl ~, je, % vatl a odděluje dvě třety tattcých jedote, teré mají hodotu ledovaé proměé meší ebo tejou jao horí tercl, od jedé třety tattcých jedote, teré mají hodotu ledovaé proměé větší ebo tejou jao horí tercl. Kvartly jou tř vatly, teré rozdělují eleající řadu hodot ledovaé proměé a čtyř tejě četé čát. Dolí vartl ~ je % vatl a odděluje jedu čtvrtu tattcých jedote meší ebo tejou hodotou ledovaé proměé jao dolí vartl od tří čtvrt tattcých jedote větší ebo tejou hodotou ledovaé proměé jao dolí vartl. Protředí vartl je medá. Horí vartl

35 ~ 7 je 7% vatl a odděluje tř čtvrty tattcých jedote, teré mají hodotu ledovaé proměé meší ebo tejou jao horí vartl, od jedé čtvrty tattcých jedote, teré mají hodotu ledovaé proměé větší ebo tejou jao horí vartl. Kvtly jou čtyř vatly, teré rozdělují eleající řadu hodot ledovaé proměé a pět tejě četých čátí. Jedá ~ e o dolí ~ vtly a a horí vtly 0 0 ~ a ~ Stejým způobem rozdělují eleající řadu hodot ledovaé proměé etly a šet tejě četých čátí, eptly a edm tejě četých čátí, otávly a om tejě četých čátí, oly a devět tejě četých čátí, decly a deet tejě četých čátí atd. až percetly, rověž e používá ázev cetly ebo procetly, a to tejě četých čátí. Podobě apř. půlpercetly rozdělují eleající řadu hodot ledovaé proměé a 00 tejě četých čátí atd. Oblíbeým zázorěím etrémích hodot a vartlů je rabčový graf, vz obráze., de etrémí hodoty: m je mmálí hodota ledovaé proměé a ma je mamálí hodota ledovaé proměé v ouboru. Obráze.

36 Přílad. Tabula. obahuje údaje o věu člea domácot ejvětším příjmem v doočeých letech domácotí. Tabula. Čílo domácot Vě člea ejvyšším příjmem Čílo domácot Vě člea ejvyšším příjmem Určete ejmeší a ejvětší hodotu, varačí rozpětí a vartly věu člea domácot ejvyšším příjmem. Výledy terpretujte a zázorěte grafcy. Řešeí: Všechy výše uvedeé hodoty věu člea domácot ejvyšším příjmem ejprve upořádáme podle velot od ejmeší hodoty po ejvětší, vz tabula.7. Tabula.7 Pořadí Hodota Pořadí Hodota Pořadí Hodota Pořadí Hodota

37 Z tabuly.7 je zřejmé, že ejmeší hodota věu člea domácot ejvyšším příjmem je a ejvětší hodota a tedy varačí rozpětí m let ma 8 let, R ma m 8 let. Počet ledovaých tattcých jedote (rozah výběru) domácotí. Kvartly jou tř, a to dolí vartl, tj. % vatl, medá (protředí vartl), tj. 0% vatl, a horí vartl, tj. 7% vatl. Nejprve vypočteme dolí vartl, v taovém případě je 00 p, a tedy p 0,. Doadíme do vztahu (.9) Odtud zíáváme 0, m 0, +, 8 m 9, z tabuly.7 je vdět, že 8. ejmeší hodota je let a 9. ejmeší hodota je let. Protože p 8 a p + 9 jou celá číla (přrozeá) a olv číla deetá, vypočteme dolí vartl jao artmetcý průměr 8. ejmeší hodoty a 9. ejmeší hodoty, tj. jao artmetcý průměr z hodot a ~ + let. V případě medáu je 00 p 0, a tedy p 0,. Opět doadíme do vztahu (.9) a zíáváme 0, m0 0, + m0 7. Z tabuly.7 vyplývá, že. ejmeší hodota je let a 7. ejmeší hodota je rověž let. Protože opět p a p + 7 jou celá číla (přrozeá) a olv číla deetá, vypočteme medá jao artmetcý průměr. a 7. ejmeší hodoty ~ + 0 let.