2 Operace s vektory a maticemi Násobení vektoru skalárem Vektorový součin vektorů Dvojitý vektorový součin...

Transkript

1 Setrvačník Petr Šlechta 9. února 2011

2 2

3 Obsah 1 Úvod Značení Operace s vektory a aticei Násobení vektoru skaláre Skalární součin vektorů Vektorový součin vektorů Síšený součin Dvojitý vektorový součin Součin atic Součin atice a vektoru Součin tří atic Veličiny pro popis otáčivého pohybu Úhel otočení Úhlová rychlost Úhlové zrychlení Moent síly Moent hybnosti Otáčivý pohyb Těžiště Otáčení vektoru Otáčení tenzoru Skládání úhlových rychlostí Skládání úhlových zrychlení Tenzor setrvačnosti Steinerova věta Energie otáčivého pohybu Výkon dodávaný při otáčení Pohybové rovnice Příklady Válec Tyč Kruhová deska Elipsoid Koule Rotační elipsoid Stabilizace Gyroskopický oent Regulární precese Volný setrvačník

4 5.11 Regulární precese Zeě Rotující talíř Těžký setrvačník Káča Obecná precese Powerball Nuerické řešení

5 Kapitola 1 Úvod Tento text si klade za cíl přiblížit chování setrvačníku. Budee popisovat otáčivý pohyb tuhého tělesa ve třírozěrné prostoru kole počátku souřadnic. Předpoklade je, že posuvný pohyb je jasný. Je snaha vystačit zde s co nejjednodušší ateatický aparáte (ten složitý totiž nezná), přesto je někde třeba znát i Taylorovy řady ve více rozěrech, vícerozěrné integrály, práci s vektory a aticei apod., protože jse jednodušší cestu nenašel (což saozřejě neusí znaenat, že neexistuje). Poěrně velký důraz byl kladen na to, aby každé tvrzení bylo co nejlépe zdůvodněné ísto jednoduchého odkazu na literaturu a tvrzení, že to tak prostě je. První důvode k touto postupu je, že si yslí, že dobrá učebnice by takto ěla vypadat (pokud by snad někdo chtěl tento ateriál použít jako učebnici). Druhý důvod je ten, že odkazy na literaturu ani nejse schopen podat - prakticky žádnou totiž neá a nezná. Jse v toto oboru laik a ví jen to, co jse náhodou našel na internetu. Toho by si ěl být případný čtenář vědo a ěl by vše posuzovat kriticky (to platí ostatně v životě obecně). Klidně se totiž ůže nakonec ukázat, že celý tento text je jeden veliký oyl. Saozřejě by ě to rzelo, protože i sepsání dalo docela dost práce, ale život je někdy i zloyslný. 1.1 Značení V textu bude použito následující značení: a Skalár. a = (a 1,a 2,a 3 ) = (a x,a y,a z ) Vektor. r = (x, y, z) Polohový vektor. Určuje polohu bodu v prostoru. A 11 A 12 A 13  = A 21 A 22 A 23 Matice. A 31 A 32 A 33 Ê = Jednotková atice. a = a Velikost vektoru a budee značit zkráceně odebrání šipky. a i i-tá složka vektoru a. Proěnná i ůže nabývat hodnot 1 (pro souřadnici x), 2 (pro y) nebo 3 (pro z). A ij Prvek atice  na i-té řádce a v j-té sloupci. Proěnné i a j ohou nabývat hodnot 1 (pro x), 2 (pro y) nebo 3 (pro z). 5

6 δ ij Kroneckerovo delta. Platí δ ii = 1, δ ij = 0 jinak. ε ijk Levi Civitův sybol. Platí ε 123 = ε 231 = ε 312 = 1, ε 321 = ε 213 = ε 132 = 1, ε ijk = 0 jinak. Â T Transponovaná atice. Matice se překlopí podle hlavní úhlopříčky, takže A T ij = A ji. c = Â b Součin atice a vektoru. Vektor budee chápat jako sloupcovou atici, aby šlo přehledně zapisovat součin atice a vektoru. c i = A ij b j Tentýž součin atice a vektoru zapsaný tenzorově, po složkách. Rovnice vyjadřuje hodnotu i-té složky vektoru c. Součin na pravé straně je potřeba spočítat pro všechny ožné hodnoty (1, 2 a 3) proěnné j a výsledky sečíst. Toto sčítání se provádí vždy pro všechny proěnné, které se v součinu vyskytují dvakrát. Znak 3 j=1 pro součet se však nepíše. Touto postupu se říká Einsteinovo suační pravidlo. {a i } n i=1 Posloupnost a 1, a 2,..., a n. 6

7 Kapitola 2 Operace s vektory a aticei V textu bude použito převážně složkového zápisu. Neškodí tedy enší ukázka, jak v toto zápisu vypadají operace s vektory a aticei. 2.1 Násobení vektoru skaláre Pokud se vektor b násobí skaláre a, výsledke je opět vektor. Označe jej c. Složky vektoru c dostanee tak, že násobíe příslušné složky vektoru b skaláre a. Vektorový zápis vypadá takto: c = a b Složkový zápis vypadá takto: c i = ab i 2.2 Skalární součin vektorů Dva vektory a a b lze spolu skalárně vynásobit. Výsledke je skalár (jak už napovídá název skalární součin ) c. Vektorový zápis vypadá takto: c = a b Hodnota se počítá takto: 3 c = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 = a i b i i=1 Vynecháe-li znak součtu přes všechna i (viz kapitolu 1.1), vypadá složkový zápis takto: c = a i b i 2.3 Vektorový součin vektorů Dva vektory a a b lze spolu vektorově vynásobit. Výsledke je vektor c. Vektorový zápis vypadá takto: c = a b Vektorový součin se počítá takto: c 1 = a 2 b 3 a 3 b 2 c 2 = a 3 b 1 a 1 b 3 (2.1) (2.2) 7

8 c 3 = a 1 b 2 a 2 b 1 (2.3) Je vidět, že pro výpočet vektorového součinu potřebujee znát různé součiny složek obou vektorů. Např. pro výpočet c 1 jsou třeba součiny a 2 b 3 a a 3 b 2. Přito jedna násobená složka je vždy z vektoru a a druhá je vždy z vektoru b. Zápis lze zjednodušit tak, že budee uvažovat součet všech takových kobinací, každou však vynásobíe určitou konstantou. Kobinace, které při výpočtu nepotřebujee, budee násobit nulou, takže se v součtu vůbec neprojeví. Kobinace, které áe započítat s kladný znaénke, budee násobit jedničkou. Kobinace, které áe započítat se záporný znaénke, budee násobit ínus jedničkou. Znak součtu přes všechna j a k opět vynecháe (viz kapitolu 1.1). Složkový zápis pak vypadá takto: c i = ε ijk a j b k Aby vyšla správně rovnice (2.1), usí platit: ε 123 = 1 ε 132 = 1 ε 1jk = 0 jinak Z rovnic (2.2) a (2.3) odvodíe zbytek hodnot a dostanee: ε 123 = ε 231 = ε 312 = 1 ε 321 = ε 213 = ε 132 = 1 ε ijk = 0 jinak Sybol ε ijk se nazývá Levi Civitův sybol. Dosazení pro všechna j, k, l a lze ověřit, že platí rovnost: ε ijk ε il = δ jl δ k δ j δ kl (2.4) Sybol δ ij je takzvané Kroneckerovo delta, viz kapitolu 1.1. Někdy se lze setkat s výraze, který je trošku podobný vektorovéu součinu: A ij = a i b j b i a j Chcee-li tyto dva členy spojit do jednoho, lze využít (2.4) a postupovat následovně: A ij = δ il δ j a l b δ i δ jl a l b A ij = (δ il δ j δ i δ jl )a l b A ij = ε kij ε kl a l b A ij = ε ijk ε kl a l b Nacházíe tedy zajíavou identitu: a i b j b i a j = ε ijk ε kl a l b (2.5) 8

9 2.4 Síšený součin Síšený součine se rozuí výraz: d = a ( b c) Hodnota tohoto výrazu představuje obje rovnoběžnostěnu určeného vektory a, b a c. Složkový zápis vypadá takto: d = a i (ε ijk b j c k ) d = ε ijk a i b j c k Z tohoto zápisu je ihned vidět, že platí: a ( b c) = c ( a b) = b ( c a) (2.6) 2.5 Dvojitý vektorový součin Dvojitý vektorový součine se rozuí tento výraz: d = a ( b c) Ve složkové zápisu: d i = ε ijk a j (ε kl b l c ) d i = ε kij ε kl a j b l c To lze poocí (2.4) upravit: d i = (δ il δ j δ i δ jl )a j b l c d i = δ il δ j a j b l c δ i δ jl a j b l c d i = a j c j b i a j b j c i To lze zapsat vektorově poocí skalárního součinu: d = ( a c) b ( a b) c Platí tedy identita: a ( b c) = ( a c) b ( a b) c (2.7) Poocí této identity lze například najít jinou identitu, která se občas vyskytne. a [ b ( a b)] = [ a ( a b)] b ( a b)( a b) Použijee (2.6) a pokračujee: a [ b ( a b)] = [ b ( a a)] b ( a b)( a b) = ( a b)( a b) Platí tedy identita: a [ b ( a b)] = ( a b)( a b) (2.8) 9

10 2.6 Součin atic Dvě atice  a ˆB lze spolu vynásobit. Výsledke je atice Ĉ. Maticový zápis vypadá takto: Ĉ =  ˆB Hodnota prvku atice Ĉ na i-té řádku a v k-té sloupci je rovna skalárníu součinu (viz kapitolu 2.2) i-té řádky atice  a k-tého sloupce atice ˆB. Složkový zápis vypadá takto: C ik = A ij B jk 2.7 Součin atice a vektoru Součin atice  a vektoru b je speciální případ součinu atic (kapitola 2.6), kde druhý operand á pouze jeden sloupec. Vektor budee chápat jako sloupcovou atici s jední sloupce, aby se ná zjednodušil zápis. 1 Maticový zápis vypadá takto: c =  b Složkový zápis vypadá takto: c i = A ij b j 2.8 Součin tří atic Součin tří atic vypadá v aticové zápisu takto: ˆD =  ˆBĈ Jedná se vlastně o dva součiny dvou atic: Ê =  ˆB ˆD = ÊĈ Složkový zápis vypadá takto (viz kapitolu 2.6): E ik = A ij B jk D il = E ik C kl To lze opět spojit do jedné rovnice: D il = A ij B jk C kl 1 Pokud bycho vektor chápali jako řádkovou atici, useli bycho jej před a po násobení aticí transponovat a vzniklý zápis by byl éně přehledný. 10

11 Kapitola 3 Veličiny pro popis otáčivého pohybu Pro popis otáčivého pohybu používáe podobnou sadu veličin jako pro popis pohybu posuvného. Místo dráhy s používáe úhel ϕ, ísto rychlosti v používáe úhlovou rychlost ω atd. Jelikož je třeba určit i sěr pohybu v prostoru, stávají se tyto veličiny vektory ϕ, ω atd. Přestože znalost těchto veličin předpokládáe, neškodí alé opakování. 3.1 Úhel otočení Úhel otočení je otáčivá obdoba dráhy. Zavedee jej jako vektor ϕ. Velikost ϕ určuje, o kolik radiánů se něco (např. těleso) otočilo. Sěr vektoru určuje orientaci osy otáčení a stranu, na kterou se těleso točí. Osa otáčení je rovnoběžná s vektore ϕ. Pro sěr otáčení platí takzvané pravidlo pravé ruky pokud palec pravé ruky naíříe ve sěru vektoru ϕ, pak ostatní prsty ukazují sěr otáčení. Na obrázku 3.1 se vektor u otočení zěnil na u. Rozdíl obou vektorů je u = u u. Koncový bod vektoru u opsal oblouk délky l. Velikost úhlu v radiánech je definována jako podíl délky opsaného oblouku a poloěru otáčení, tedy platí: ϕ = l usin α l = ϕusin α Pokud je úhel otočení velice alý (blíží se nule), označujee jej d ϕ. Rozdíl u u je poto také velice alý a značí se d u. Zakřivení opsaného oblouku se stane zanedbatelný, takže velikost d u se bude blížit k délce oblouku l. Pak lze psát: d u = d ϕ usin α Vektor d u je přito kolý na vektory d ϕ a u, proto lze použít vektorový součin a s ohlede na orientaci vektorů psát: d u = d ϕ u (3.1) 3.2 Úhlová rychlost Pokud se těleso otáčí tak, že se běhe veli krátkého času pootočí o veli alý úhel d ϕ, lze definovat veličinu ω takto: ω = d ϕ Tato veličina se nazývá úhlová rychlost a je otáčivou obdobou rychlosti v. Pokud se touto rychlostí otáčí nějaký vektor u, je časová zěna tohoto vektoru (viz (3.1)): d u = d ϕ u = d ϕ u 11 (3.2)

12 ϕ ϕ u l α u u S uvážení (3.2) tedy lze psát: d u = ω u Obrázek 3.1: Úhel otočení. Pokud jako vektor u použijee polohový vektor r, jehož časová derivace je rychlost v, dostanee: (3.3) v = ω r (3.4) Složkový zápis vypadá takto: v i = ε ijk ω j r k (3.5) 3.3 Úhlové zrychlení V posuvné pohybu se časová zěna rychlosti nazývá zrychlení. Časová zěna úhlové rychlosti se nazývá úhlové zrychlení a značí se ε. Platí: ε = d ω 3.4 Moent síly Je epiricky zjištěno (a vzhlede k syetrii to snad jinak ani nelze očekávat), že pokud síla íří přío sěre k ose otáčení nebo od této osy, neá otáčivý účinek. Na obrázku 3.2 jsou znázorněny dvě síly F 1 a F 2, jejichž součet F íří přío k ose otáčení o. Výsledná síla F tedy nezpůsobuje otáčení. Je vidět, že platí tyto vztahy: F 1 sinα 1 = F 2 sin α 2 l 1 sinα 1 = l 2 sin α 2 Vynásobení obou rovnic dostanee: F 1 l 1 = F 2 l 2 To znaená, že abycho vyrovnali otáčivý účinek nějak pevně dané síly F 1, usíe sílu F 2 zvolit tak, aby součin F 2 l 2 ěl určitou danou hodnotu. Tento součin tedy vyjadřuje íru otáčivého účinku (3.6) 12

13 o l 2 l 1 F α 1 α 2 F 2 F 1 Obrázek 3.2: Síly, které nepůsobí otáčení. síly a říká se u oent síly. Zavádí se jako vektorová veličina M kolá na rovinu otáčení. Sěr je určen pravidle pravé ruky palec íří ve sěru oentu síly a ostatní prsty ukazují sěr síly. To vše lze shrnout do jedné rovnice: M = r F (3.7) Přito F je síla a r je polohový vektor jejího působiště. Lze ukázat, že oenty se sčítají pokud dvě síly působí ve stejné bodě, pak oent výsledné síly je roven součtu oentů jednotlivých sil: M = r F = r ( F 1 + F 2 ) = r F 1 + r F 2 = M 1 + M 2 To platí i tehdy, ají-li síly různá působiště. Pak se lze totiž síly F 1 a F 2 přesunout z jejich působišt r 1 a r 2 do společného působiště r. (Platí pro různoběžné síly. Pro ioběžné síly by byl postup ještě složitější a nebudu ho uvádět.) Sílu lze přesouvat pouze ve sěru síly, pro r tedy usí platit: r r 1 F 1 r r 2 F 2 (3.8) (3.9) Poto je výsledný oent: M = r F = r ( F 1 + F 2 ) = r F 1 + r F 2 M = ( r r 1 + r 1 ) F 1 + ( r r 2 + r 2 ) F 2 M = ( r r 1 ) F 1 + r 1 F 1 + ( r r 2 ) F 2 + r 2 F 2 Při uvážení (3.8) a (3.9) dostanee: M = r 1 F 1 + r 2 F 2 = M 1 + M 2 Moenty se tedy opět sečetly. To je velice důležitá vlastnost, která ná ušetří hodně práce. Díky touto faktu neusíe skládat všechny síly působící na těleso a pak počítat oent výsledné síly, ale spočítáe oent každé z působících sil a sečtee tyto oenty. To je nohe jednodušší. Tuhé těleso se skládá z různých pevně spojených částí. Na tyto části ohou působit různé vnější síly, jednotlivé části však působí silai i jedna na druhou. Těto silá se říká vnitřní síly. Je 13

14 epiricky ověřeno, že tyto vnitřní síly nezpůsobují žádný pohyb tělesa (ani posuvný ani otáčivý), což znaená, že součet oentů všech vnitřních sil je roven nule. Toto je poěrně jasné pro síly působící ve sěru spojnice ezi působícíi body (jako jsou např. elektrostatická síla, gravitační síla, natažený provázek apod.), protože obě síly ají stejné raeno. Pravda je ale taková, že neznáe ani žádnou jinou sílu, která by dokázala roztočit izolované těleso. 3.5 Moent hybnosti Otáčivou obdobou hybnosti p je tzv. oent hybnosti b. Pro hotný bod se definuje takto: b = r p (3.10) Přito r je polohový vektor hotného bodu a p je jeho hybnost. Pokud se těleso skládá z n takovýchto hotných bodů s polohai { r i } n i=1 a hybnosti { p i} n i=1, je celkový oent hybnosti: n b = bi = i=1 n r i p i i=1 V případě spojitého rozložení hoty se použije integrál: b = r v dv V Spočíteje časovou zěnu oentu hybnosti hotného bodu daného vztahe (3.10): d b = d d r d p ( r p) = p + r = v p + r F První člen je nula a vypadne, protože vektory v a p jsou rovnoběžné, a druhý člen je podle (3.7) oent síly. Pokud tento výpočet provedee pro všechny body tělesa a uděláe součet (resp. integrál), dostanee na levé straně oent hybnosti tělesa a na pravé straně součet oentů všech sil. Z těchto sil je dále ožné uvažovat pouze vnější síly, protože součet oentů vnitřních sil je nulový (viz kapitolu 3.4). Lze tedy tvrdit: M = d b (3.11) Přito M je oent vnějších sil a b je oent hybnosti tělesa. Tento vztah se nazývá 2. ipulsová věta. 14

15 Kapitola 4 Otáčivý pohyb Nadefinovali jse si základní veličiny pro popis otáčivého pohybu. Nyní si všinee některých zajíavých vlastností tohoto pohybu. 4.1 Těžiště Měje těleso o hotnosti uchycené tak, že se ůže otáčet kole bodu v počátku soustavy souřadnic. Necht na každý bod tělesa o hotnosti d působí síla d F: d F = ad (4.1) Přito a je nějaký vektor stejný pro všechny body. Může to být třeba intenzita hoogenního gravitačního pole. Také lze stejného efektu dosáhnout např. tí, že celá soustava není inerciální, ale rovnoěrně zrychluje. Zkusíe zjistit, zda á těleso tendenci se otáčet. Spočítáe si tedy výsledný oent síly M podle vztahu (3.7) a (4.1): M = r df = r ad Za předpokladu, že vektor a á pouze složku z, tedy a = (0, 0, a), vychází: M = (ay, ax,0)d = (a y d, a xd,0) Těleso se tedy nebude otáčet, pokud platí: xd = 0 y d = 0 Budee-li předpokládat, že sěr vektoru a je ve sěru osy x (případně y), tedy že platí a = (a,0,0) (případně a = (0, a, 0)), dostáváe navíc podínku: z d = 0 Splnění těchto tří podínek je navíc postačující pro jakýkoliv vektor a, nebot jej vždy lze složit ze tří vektorů takto: a = (a x,a y,a z ) = (a x,0,0) + (0,a y,0) + (0,0,a z ) Pro každý z nich vyjde oent síly nulový a výsledný oent síly je jejich součet, tedy rovněž nula. Chcee-li tedy, aby se těleso netočilo v žádné hoogenní poli, usí platit: r d = 0 (4.2) 15

16 Zapsáno složkově: r i d = 0 (4.3) Každé těleso á jeden bod, ve které když se uchytí, nebude se v hoogenní gravitační poli otáčet. Touto bodu se říká těžiště. Zkusíe najít jeho polohu a označe ji s. Pro hledání využijee fakt, že posunee-li těleso tak, že těžiště bude v počátku, usí platit rovnice (4.2), tedy: ( r s)d = 0 r d s d = 0 r d s = 0 Pro polohu těžiště tedy platí: s = 1 r d 4.2 Otáčení vektoru Měje vektor u, popisující nějakou vlastnost tělesa. Zajíá nás, jak se bude tento vektor ěnit, bude-li se těleso otáčet. Nejprve zjistíe, jak se vektor u zění, pootočí-li se těleso o alý úhel d ϕ. Tento pootočený vektor označíe u. S využití (3.1) lze psát: u = u + d u = u + d ϕ u Zapíšee tento vztah po složkách a trochu upravíe: u i = u i + ε ikj dϕ k u j u i = δ iju j + ε ikj dϕ k u j u i = (δ ij + ε ikj dϕ k )u j u i = (δ ij ε ijk dϕ k )u j Je vidět, že se jedná o násobení atice a vektoru: (4.4) u i = R(d ϕ) iju j (4.5) Složky atice jsou: R(d ϕ) ij = δ ij ε ijk dϕ k (4.6) V aticové zápisu vypadá vztah (4.5) takto: u = ˆR(d ϕ) u (4.7) Složení dvou pootočení o dva alé úhly lze popsat takovouto aticí: Ŝ = ˆR(d ϕ) ˆR(d ψ) Složkově: S ik = R(d ϕ) ij R(dψ) jk S ik = (δ ij ε ijl dϕ l )(δ jk ε jk dψ ) 16

17 S ik = δ ij δ jk δ ij ε jk dψ δ jk ε ijl dϕ l + ε ijl dϕ l ε jk dψ Zanedbáe diferenciály druhého řádu dϕ l dψ : S ik = δ ij δ jk δ ij ε jk dψ δ jk ε ijl dϕ l S ik = δ ik ε ik dψ ε ikl dϕ l S ik = δ ik ε ikl dψ l ε ikl dϕ l S ik = δ ik ε ikl (dψ l + dϕ l ) S ik = R(d ϕ + dψ) ik Zapsáno aticově: Ŝ = ˆR(d ϕ + dψ) Tedy platí: ˆR(d ϕ) ˆR(d ψ) = ˆR(d ϕ + dψ) (4.8) Pro dva opačné úhly lze psát: ˆR(d ϕ) ˆR( d ϕ) = ˆR(d ϕ d ϕ) = ˆR( 0) ˆR(d ϕ) ˆR( d ϕ) = Ê (4.9) Toto přiblížení prvního řádu ve většině případů dostačuje, někdy však ůže být potřeba použít rozvoj druhého řádu. Zkusíe ho nyní nalézt. Úhel otočení budee značit pouze ϕ (ísto d ϕ), přestože ho předpokládáe velice alý, abycho při zápisu jeho vyšších ocnin neuseli stále psát závorky. Nejprve zkusíe problé popsat ve speciální souřadné soustavě a poto se od této soustavy odpoutáe a najdee obecný zápis. Zvolíe si takovou soustavu souřadnic, ve které vektor ϕ íří ve sěru osy z a vektor u je v rovině xz. Pak lze psát: ϕ = (0,0,ϕ z ) u = (u x,0,u z ) Vektor u dostanee pootočení: u = (u x cos ϕ z,u x sin ϕ z,u z ) Gonioetrické funkce nahradíe Taylorový rozvoje druhého řádu: u = (u x 1 2 u xϕ 2 z,u xϕ z,u z ) Nyní se zkusíe oprostit od zvolené souřadné soustavy a zapíšee tento vztah poocí vektorových operací, které jsou na zvolené soustavě nezávislé. Když uvážíe sěry jednotlivých derivací, vidíe, že se ná budou hodit tyto výrazy: ϕ u = (0,u x ϕ z,0) ϕ ( ϕ u) = ( u x ϕ 2 z,0,0) Otočený vektor lze tedy zapsat jako: u = u + ϕ u + 1 ϕ ( ϕ u) 2 17

18 První dva členy jsou jen zopakování lineárního přiblížení výše, třetí člen je nový. Poocí (2.7) lze ze třetího členu odstranit nepříjený vektorový součin: u = u + ϕ u ϕ( ϕ u) 1 2 ϕ2 u (4.10) Složkový zápis vypadá takto: u i = u i + ε ijk ϕ j u k ϕ iϕ j u j 1 2 u iϕ j ϕ j u i = δ ij u j ε ijk ϕ k u j ϕ iϕ j u j 1 2 δ iju j ϕ k ϕ k u i = (δ ij ε ijk ϕ k ϕ iϕ j 1 2 δ ijϕ k ϕ k )u j Otočení opět popíšee jako násobení aticí ˆR( ϕ). u i = R( ϕ) iju j Přito prvky atice ˆR( ϕ) jsou: (4.11) R( ϕ) ij = δ ij ε ijk ϕ k ϕ iϕ j 1 2 δ ijϕ k ϕ k (4.12) Zkusíe nyní prověřit, jak je to se skládání otočení v přiblížení druhého řádu. Uvažuje otočení o alý úhel ψ následované otočení o alý úhel ϕ. Výsledné otočení bude opět dáno aticí Ŝ: Ŝ = ˆR( ϕ) ˆR( ψ) S ij = R( ϕ) ik R( ψ) kj S ij = (δ ik ε ikl ϕ l ϕ iϕ k 1 2 δ ikϕ l ϕ l )(δ kj ε kj ψ ψ kψ j 1 2 δ kjψ ψ ) Roznásobíe a ponecháe pouze členy do druhého řádu: S ij = δ ik δ kj δ kj ε ikl ϕ l δ ik ε kj ψ + ε ikl ε kj ϕ l ψ δ kjϕ i ϕ k 1 2 δ kjδ ik ϕ l ϕ l δ ikψ k ψ j 1 2 δ ikδ kj ψ ψ S ij = δ ij ε ijk ϕ k ε ijk ψ k + (δ lj δ i δ l δ ij )ϕ l ψ ϕ iϕ j 1 2 δ ijϕ k ϕ k ψ iψ j 1 2 δ ijψ k ψ k S ij = δ ij ε ijk (ϕ k + ψ k ) + ψ i ϕ j δ ij ϕ k ψ k ϕ iϕ j ψ iψ j 1 2 δ ijϕ k ϕ k 1 2 δ ijψ k ψ k Využijee vztahů: 1 2 (ϕ i + ψ i )(ϕ j + ψ j ) = 1 2 ϕ iϕ j ψ iψ j ϕ iψ j ψ iϕ j 1 2 δ ij(ϕ k + ψ k )(ϕ k + ψ k ) = 1 2 δ ijϕ k ϕ k δ ijψ k ψ k + δ ij ϕ k ψ k a upravíe: S ij = δ ij ε ijk (ϕ k + ψ k ) (ϕ i + ψ i )(ϕ j + ψ j ) 1 2 δ ij(ϕ k + ψ k )(ϕ k + ψ k ) 1 2 ϕ iψ j ψ iϕ j První čtyři členy přito odpovídají vztahu (4.12), lze tedy psát: S ij = R( ϕ + ψ) ij 1 2 (ϕ iψ j ψ i ϕ j ) S využití (2.5) lze dojít ke vztahu: R( ϕ) ik R( ψ) kj = R( ϕ + ψ) ij 1 2 ε ijkε kl ϕ l ψ (4.13) Je tedy vidět, že skládání otáčení podle (4.8) platí pouze při lineární přiblížení. Při přiblížení druhého řádu tento vztah již použít nelze. 18

19 4.3 Otáčení tenzoru Řekněe, že v nějaké tělese platí pro nějaké vektory a a b vztah: b =  a Složkový zápis téhož je: b i = A ij a j Matice  představuje tzv. tenzor druhého řádu a popisuje nějakou vlastnost tělesa. Nás nyní zajíá, jak se bude ěnit tento tenzor, bude-li se těleso otáčet. Pro začátek zjistíe, jak se tenzor  zění, když se těleso pootočí o velice alý úhel d ϕ. Pootočený tenzor označíe Â. Pro nějaké vektory u a v bude platit: Složkově: v =  u v i = A ij u j (4.14) Využijee toho, že pokud se pootočíe spolu s tělese, uvidíe těleso s původní tenzore Â, zatíco vektory u a v uvidíe pootočené o úhel d ϕ, tedy platí: ˆR( d ϕ) v =  ˆR( d ϕ) u Využijee (4.9) a výraz upravíe: v = ˆR(d ϕ)â ˆR( d ϕ) u Srovnání s (4.14) dostanee:  = Složkový zápis je: ˆR(d ϕ)â ˆR( d ϕ) A il = R(d ϕ) ij A jk R( d ϕ) kl S využití (4.6) dostanee: A il = (δ ij ε ij dϕ )A jk (δ kl + ε kln dϕ n ) Roznásobíe a zanedbáe diferenciály vyšších řádů: A il = (δ ij δ kl + δ ij ε kln dϕ n δ kl ε ij dϕ )A jk A il = δ ijδ kl A jk + (δ ij ε kl dϕ δ kl ε ij dϕ )A jk A il = A il + (δ ij ε kl δ kl ε ij )A jk dϕ Zěna tenzoru je: da il = A il A il = (δ ij ε kl δ kl ε ij )A jk dϕ Přejenujee indexy pro lepší čitelnost: da ij = (δ il ε kj δ kj ε il )A lk dϕ da ij = (δ ik ε lj δ lj ε ik )A kl dϕ da ij = (δ ik ε jl δ jl ε ik )A kl dϕ (4.15) Bude-li se tenzor otáčet úhlovou rychlostí ω, bude rychlost zěny tenzoru: da ij dϕ = (δ ik ε jl δ jl ε ik )A kl S využití (3.2) lze psát: da ij = (δ ik ε jl δ jl ε ik )A kl ω (4.16) 19

20 4.4 Skládání úhlových rychlostí V posuvné pohybu je skládání rychlostí jednoduché a znáé rychlosti se sečtou. Uvedu příklad. Procházíe uličkou ve vagónu rychlostí v 1 (ěřeno vzhlede k vagónu) a vagón jede po kolejích rychlostí v 2. Naše rychlost vzhlede ke kolejí je poto v, přičež platí: v = v 1 + v 2 (4.17) Nás však zajíá otáčení, proto si příklad trochu upravíe. Sedíe ve vagónu a otáčíe se úhlovou rychlostí ω 1 (opět ěřeno vzhlede k vagónu). Vagón se přito vzhlede ke kolejí otáčí úhlovou rychlostí ω 2. Chcee popsat náš pohyb vzhlede ke kolejí. Uvažuje libovolný bod našeho těla jeho polohu označíe r. Rychlost pohybu tohoto bodu vzhlede k vagónu označíe v 1 a spočítáe podle (3.4) takto: v 1 = ω 1 r (4.18) Celý vagón se však otáčí také, což v toto ístě znaená posuvný pohyb vagónu vzhlede ke kolejí rychlostí v 2. Opět využijee (3.4) a vidíe, že platí: v 2 = ω 2 r (4.19) Rychlost pohybu vybraného bodu vzhlede ke kolejí označíe opět v a spočítáe podle (4.17). S využití (4.18) a (4.19) vidíe: v = v 1 + v 2 = ω 1 r + ω 2 r = ( ω 1 + ω 2 ) r Je tedy vidět, že naše tělo koná vzhlede ke kolejí otáčivý pohyb úhlovou rychlostí: ω = ω 1 + ω 2 (4.20) To znaená, že úhlové rychlosti lze skládat stejně jako posuvné prostě se sečtou. Jiný způsob důkazu tohoto tvrzení lze provést s využití vztahu (4.8), jde však vlastně pouze o jiný zápis téže yšlenky. 4.5 Skládání úhlových zrychlení Měje podobnou situaci jako v kapitole 4.4, budee se však zajíat nejen o úhlovou rychlost složeného pohybu, ale také o úhlové zrychlení. To ůže být potřeba při popisu nějakého složitějšího pohybu. Situace je tedy následující: Vykonáváe vzhlede k vagónu otáčivý pohyb popsaný úhlovou rychlostí ω a úhlový zrychlení ε, zatíco celý vagón vykonává otáčivý pohyb vzhlede ke kolejí popsaný úhlovou rychlostí ω a úhlový zrychlení ε (pro označení zde použijee čárky ísto spodních indexů, protože budee používat složkový zápis a indexy by se ná pletly dohroady). Zajíá nás úhlová rychlost ω a úhlové zrychlení ε pohybu, který vykonáváe vzhlede ke kolejí. Popíšee pohyb v blízkosti času t = 0. Čas budee uvažovat velice alý, takže pro popis otočení si vystačíe pouze s několika prvníi členy Taylorova rozvoje. Toto řešení je zvoleno proto, že přesný popis by byl velice obtížný. Aby bylo ožné popsat i zrychlení pohybu, budee pro přibližný popis využívat rozvoj druhého řádu. První věc, kterou je třeba nějak vyřešit, je najít nějaký popis pohybu, znáe-li ω a ε v čase t = 0. Nabízí se použít nějaký takovýto vztah: ϕ(t) = ωt εt2 (4.21) Je však otázka, zda by to bylo korektní v případě, kdy jsou vektory ω a ε různoběžné. Úhlové zrychlení ε(t) je totiž definováno jako časová derivace úhlové rychlosti ω(t), tedy popisuje, jaký 20

21 A B C O Obrázek 4.1: Pohyb bodu při otočení. způsobe se ění vektor ω(t) v čase t > 0. Musíe být tedy schopni vyjádřit úhlovou rychlost sice blízko, ale přesto io čas t = 0. A to je právě problé. Správně by se to ělo udělat nějak takto: ϕ(t + t) ϕ(t) ω(t) = li t 0 t Přito výraz ϕ(t + t) ϕ(t) by ěl vyjadřovat, o jaký úhel se těleso otočilo ezi časy t a t + t, jenže takto jednoduše různoběžné úhly sčítat a odečítat nelze. Když se nad tí zayslíe hlouběji, zjistíe, že chybu jse udělali už dříve totiž když jse zavedli ϕ(t) jako popis orientace tělesa v čase t. U takto obecného pohybu totiž tuto orientaci ani není ožné popsat jední vektore, nebot pro dosažení obecné orientace vůbec neusí stačit jedno pootočení. Tí se saozřejě celá věc koplikuje. Jednoduchého popisu poocí jednoho úhlu se tedy zatí usíe vzdát a zkusíe se na věc podívat trochu jinak. Trochu si zjednodušíe situaci tí, že budee uvažovat pouze tak alý čas t, že 1 2 εt2 ωt. Nyní budee zkouat pohyb libovolně zvoleného bodu. Na obrázku 4.1 je zobrazena situace pro nejhorší případ, kdy je ω ε. Pokud provedee nejprve pootočení o 1 2 εt2 a teprve pak o ωt, dostanee se do bodu A. Pokud naopak provedee nejprve pootočení o ωt a poto o 1 2 εt2, dostanee se do bodu C. Budee-li pohyby průběžně prokládat, dostanee správné řešení, tedy bod B. Je vidět, že bod B se od obou bodů A a C liší éně, než body A a C od sebe navzáje. Vzdálenost bodů A a C ná tedy určuje jakýsi horní odhad chyby, které se dopustíe, uvažujee-li ísto jednoho pohybu s ω a ε pohyb složený ze dvou pohybů nejprve otáčení o 1 2 εt2, pak o ωt. Jelikož vše řešíe v přiblížení druhého řádu, použijee pro popis otáčení vztahy (4.11) a (4.12). Podle vztahu (4.13) pak složíe jednotlivé pohyby v obou ožných pořadích. Rozdíl ezi oběa výsledky ná pak určí ziňovanou velikost chyby. [ ˆR( ωt) ˆR( 1 2 εt2 )] ij = R( ωt εt2 ) ij 1 4 ε ijkε kl ω l ε t 3 [ ˆR( 1 2 εt2 ) ˆR( ωt)] ij = R( ωt εt2 ) ij ε ijkε kl ω l ε t 3 Rozdíl ezi oběa výrazy je: 1 2 ε ijkε kl ω l ε t 3 To je chyba, které jse se dopustili. Je vidět, že tato chyba je již třetího řádu. V nái uvažované přiblížení druhého řádu tedy ůžee klidně používat původní intuitivní popis poocí rovnice (4.21). Nyní se již ůžee vrátit k původníu probléu, tj. k popisu pohybu složeného ze dvou pohybů s úhlovýi rychlosti ω a ω a s úhlovýi zrychleníi ε a ε. S poocí (4.12) vyjádříe atici Ŝ popisující výsledný otáčivý pohyb: S ij = R( ωt εt2 ) ij (4.22) S ij = δ ij ε ijk (ω k t ε kt 2 ) (ω it ε it 2 )(ω j t ε jt 2 ) 1 2 δ ij(ω k t ε kt 2 )(ω k t ε kt 2 ) Roznásobíe a zanedbáe členy třetího a vyšších řádů: S ij = δ ij ε ijk ω k t 1 2 ε ijkε k t ω iω j t δ ijω k ω k t 2 21

22 Toto lze provést pro libovolné ω a ε, ůžee tedy i obecně psát: R( ω t ε t 2 ) ij = δ ij ε ijk ωkt 1 2 ε ijkε kt ω i ωjt δ ijωkω kt 2 (4.23) Nyní atici Ŝ vyjádříe jako složený pohyb: S ij = R( ω t ε t 2 ) ik R( ω t ε t 2 ) kj Použijee (4.13): S ij = R( ω t ε t 2 + ω t ε t 2 ) ij 1 2 ε ijkε kl (ω l t ε l t 2 )(ω t ε t 2 ) Upravíe, roznásobíe poslední člen a zanedbáe vyšší řády: S ij = R (( ω + ω )t + 1 ) 2 ( ε + ε )t ε ijkε kl ω l ω t 2 Využijee-li (4.23), dostanee: S ij = δ ij ε ijk (ω k + ω k)t 1 2 ε ijk(ε k + ε k + ε kl ω l ω )t (ω i + ω i )(ω j + ω j )t2 1 2 δ ij(ω k + ω k )(ω k + ω k )t2 Vidíe, že nyní lze (4.23) použít na celý výraz, a opět jej zjednodušíe: S ij = R (( ω + ω )t + 1 ) 2 ( ε + ε + ω ω )t 2 Srovnání s (4.22) dostáváe: ij ij ω = ω + ω ε = ε + ε + ω ω (4.24) (4.25) Vidíe tedy, že při skládání otáčivého pohybu se úhlové rychlosti sčítají. To je však pouze opakování kapitoly 4.4. Nově se ale dozvídáe, že úhlová zrychlení se sčítají též, je však nutné k ni ještě přičíst člen ω ω, kteréu se říká Résalovo úhlové zrychlení. 4.6 Tenzor setrvačnosti Uvažuje jeden bod tělesa na ístě r s hotností. Těleso se otáčí úhlovou rychlostí ω. Spočítáe oent hybnosti tohoto bodu. Podle (3.10) lze psát: b = r p = r ( v) = r v Ve složkové tvaru vypadá zápis takto: b i = ε ijk r j v k Rychlost v je přito dána vztahe (3.5). Dosadíe a dostanee: b i = ε ijk r j ε kl ω l r b i = ε kij ε kl r j r ω l Použijee (2.4): b i = (δ il δ j δ i δ jl )r j r ω l 22

23 Přejenujee pro přehlednost indexy: b i = (δ ij δ kl δ ik δ jl )r k r l ω j To lze psát jako: b i = J ij ω j b = Ĵ ω (4.26) (4.27) Matice Ĵ se nazývá tenzor setrvačnosti a její prvky jsou: J ij = (δ ij δ kl δ ik δ jl )r k r l J ij = (δ ij δ kl r k r l δ ik δ jl r k r l ) J ij = (δ ij r k r k r i r j ) (4.28) V aticové zápisu: Ĵ = Ĵ = y 2 + z 2 xy xz xy x 2 + z 2 yz xz yz x 2 + y 2 J x D xy D xz D xy J y D yz D xz D yz J z (4.29) Přito veličiny J x, J y a J z se nazývají oent setrvačnosti k ose x, y a z: J x = (y 2 + z 2 ) (4.30) J y = (x 2 + z 2 ) (4.31) J z = (x 2 + y 2 ) (4.32) Veličiny D xy, D xy a D x z se nazývají deviační oenty: D xy = xy D yz = yz D xz = xz (4.33) (4.34) (4.35) Chcee-li spočítat tenzor setrvačnosti celého tělesa, stačí spočítat tenzor setrvačnosti všech jeho bodů a výsledky sečíst, popřípadě zintegrovat: Ĵ = y 2 + z 2 xy xz xy x 2 + z 2 yz xz yz x 2 + y 2 d (4.36) Lze ukázat, že pro každé těleso existuje soustava souřadnic, ve které jsou deviační oenty nulové. Tenzor setrvačnosti á tedy nenulové pouze prvky na hlavní diagonále. Souřadné osy takové soustavy souřadnic se poto nazývají hlavní osy tělesa. 23

24 4.7 Steinerova věta Měje těleso o hotnosti. Poloha jeho těžiště je určena vektore s. Chcee určit tenzor setrvačnosti Ĵ, pokud znáe tenzor setrvačnosti Ĵ v posunuté čárkované soustavě, jejíž počátek je v těžišti tělesa. Transforace souřadnic ezi soustavai se děje podle tohoto vztahu: r = r + s r i = r i + s i (4.37) (4.38) Jelikož je v čárkované soustavě těžiště v počátku, lze podle (4.3) psát: r i d = 0 (4.39) Tenzor setrvačnosti je podle vztahu (4.28) definován takto: J ij = (δ ij r k r k r i r j )d (4.40) J ij = (δ ij r kr k r ir j)d (4.41) Ve vztahu (4.40) dosadíe za polohový vektor r ze vztahu (4.38): J ij = [δ ij (r k + s k )(r k + s k ) (r i + s i )(r j + s j )]d J ij = J ij = J ij = [δ ij (r kr k + s k s k + 2r ks k ) (r ir j + r is j + s i r j + s i s j )]d (δ ij r kr k r ir j + δ ij s k s k s i s j + 2δ ij r ks k r is j s i r j)d (δ ij r k r k r i r j )d + (δ ijs k s k s i s j ) + 2δ ij s k r k d s j r i d s i r j d Využijee vztahu (4.41) a (4.39) a dostanee: J ij = J ij + (δ ijs k s k s i s j ) (4.42) Ĵ = Ĵ + s 2 y + s2 z s x s y s x s z s x s y s 2 x + s 2 z s y s z s x s z s y s z s 2 x + s2 y (4.43) Tento vztah se nazývá Steinerova věta. Jinýi slovy říká, že pokud znáe tenzor setrvačnosti tělesa v soustavě s těžiště v počátku, lze z něho spočítat tenzor setrvačnosti posunutého tělesa přičtení tenzoru setrvačnosti hotného bodu o hotnosti tělesa uístěného v těžišti tělesa. Jednodušší forulace této věty říká, že oent setrvačnosti tělesa J se spočítá jako: J = J T + r 2 T (4.44) Přito J T je oent setrvačnosti podle rovnoběžné osy procházející těžiště a r T je vzdálenost těžiště od osy rotace. 24

25 4.8 Energie otáčivého pohybu Kinetická energie obsažená v otáčivé pohybu tělesa je pro každý bod tělesa o hotnosti a poloze r dána vztahe: E = 1 2 v2 Přito rychlost v je dána vztahe (3.4). Ve složkové zápisu bycho použili vztah (3.5) a energii vyjádřili takto: E = 1 2 v iv i E = 1 2 ε ijkω j r k ε il ω l r To lze s využití (2.4) upravit na: E = 1 2 (δ jlδ k δ j δ kl )ω j ω l r k r E = 1 2 (ω jω j r k r k ω j ω k r j r k ) E = 1 2 (δ ijω i ω j r k r k ω i ω j r i r j ) E = 1 2 (δ ijr k r k r i r j )ω i ω j Uvážíe-li (4.28), lze psát: E = 1 2 J ijω i ω j (4.45) Tento vztah zároveň platí i pro celé těleso, protože součet energií E všech bodů dá celkovou energii tělesa, součet tenzorů setrvačnosti J ij všech bodů dá celkový tenzor setrvačnosti tělesa a úhlové rychlosti ω i ω j lze vytknout, protože jsou stejné pro všechny body. Vztah lze s poocí (4.26) zapsat také takto: E = 1 2 b iω i E = 1 2 b ω (4.46) (4.47) 4.9 Výkon dodávaný při otáčení Při posuvné pohybu koná působící síla práci, kterou lze charaterizovat výkone: P = F v (4.48) Chcee najít otáčivou obdobu tohoto vztahu. Budee uvažovat jeden bod tělesa otáčejícího se úhlovou rychlostí ω. Podle (3.4) je rychlost pohybu tohoto bodu: v = ω r Dosadíe do (4.48). P = F ( ω r) Využijee (2.6) a dostanee: P = ω ( r F) To upravíe s poocí (3.7) na: P = M ω (4.49) 25

26 4.10 Pohybové rovnice Měje těleso s tenzore setrvačnosti Ĵ otáčející se úhlovou rychlostí ω. Vyjádříe oent síly působící na těleso. Vyjdee přito ze vztahu (3.11). Ten vypadá ve složkové tvaru takto: M i = db i Moent hybnosti b je přito dán vztahe (4.26), takže platí: M i = d (J ijω j ) M i = dj ij ω dω j j + J ij Časová zěna tenzoru setrvačnosti je přito dána vztahe (4.16), tedy: M i = (δ ik ε jl δ jl ε ik )J kl ω j ω + J ij ε j M i = δ ik ε jl J kl ω j ω δ jl ε ik J kl ω j ω + J ij ε j Všinee si prvního členu. Vyskytují se v ně indexy j a. Tyto indexy se v toto členu vyskytují jen u sybolu ε jl a u úhlové rychlosti ω j a ω. Je vidět, že pokud spolu zaěníe hodnoty indexů j a v první členu, hodnota členu zůstane stejná, ale zění se znaénko. To znaená, že ve výsledné součtu (přes indexy j a se sčítá) je ke každéu členu přítoen jiný s hodnotou právě opačnou. Součet tedy bude vždy nulový a první člen výrazu lze vypustit. M i = J ij ε j δ jl ε ik J kl ω j ω Zbavíe se δ jl a přejenujee indexy, abycho nepřeskakovali písenka. M i = J ij ε j ε ik J kj ω j ω M i = J ij ε j ε ijl J jk ω k ω l (4.50) Tento vztah je trochu problé zapsat vektorově. Lze si ale pooci vztahe (4.26). Pak píšee: M i = J ij ε j ε ijl b j ω l M i = J ij ε j ε ijk b j ω k M i = J ij ε j + ε ijk ω j b k (4.51) To lze již snadno zapsat vektorově: M = Ĵ ε + ω b (4.52) Pokud například chcee odelovat pohyb tělesa, lze to udělat takto. Polohu a orientaci tělesa v prostoru znáe. Rovněž znáe jeho úhlovou rychlost ω. Z toho jse většinou schopni určit, jaké na těleso působí síly, tj. v naše případě M. Nyní chcee zjistit, jak se bude stav vyvíjet dále. Nejprve vyjádříe z rovnice (4.52) veličinu ε: ε = Ĵ 1 ( M + b ω) (4.53) Dosadíe (pro výpočet b využijee vztahu (4.27)) a áe hotovo, protože z hodnoty úhlového zrychlení ε lze určit vývoj úhlové rychlosti ω (viz (3.6)) a z úhlové rychlosti ω lze zase určit vývoj orientace tělesa v prostoru. Často volíe pro popis tělesa takovou souřadnou soustavu, ve které jsou deviační oenty nulové (viz kapitolu 4.6). V této soustavě se uplatní pouze oenty setrvačnosti J x, J y a J z, tedy 26

27 prvky na hlavní úhlopříčce tenzoru setrvačnosti. To jsou ty, které ají oba indexy stejné. Na chvíli opustíe Einsteinovo suační pravidlo a zjednodušíe za této podínky vztah (4.50): 3 3 M i = J i ε i ε ijk J j ω j ω k j=1 k=1 Přítonost sybolu ε ijk ve druhé členu způsobí, že při sčítání stačí dosazovat pouze j a k různé od i a přito ještě různé od sebe navzáje. Ostatní členy budou nulové. Tedy pro i = 1 sečtee pouze dva členy jeden pro j = 2 a k = 3, druhý pro j = 3 a k = 2. Pro ostatní složky to bude obdobné. Dostanee: M x = J x ε x + (J z J y )ω y ω z (4.54) M y = J y ε y + (J x J z )ω x ω z (4.55) M z = J z ε z + (J y J x )ω x ω y (4.56) Tyto vztahy se nazývají Eulerovy dynaické rovnice. Vyjádření úhlového zrychlení ε je v toto speciální případě obzvláště jednoduché: ε x = M x + J y J z ω y ω z J x J x ε y = M y + J z J x ω x ω z J y J y ε z = M z + J x J y ω x ω y J z J z (4.57) (4.58) (4.59) 27

28 28

29 Kapitola 5 Příklady Pro ilustraci je vždy dobré uvést příklad. Zkusíe si tedy spočítat některé jednoduché (a některé složitější) úlohy. 5.1 Válec Spočítáe oenty setrvačnosti hoogenního válce. Budee uvažovat válec zobrazený na obrázku 5.1. Osa válce je orientována ve sěru osy z. Hotnost válce je. Hustota válce poto je: = V = πr 2 h Pro snazší popis použijee válcové souřadnice: x = r cos ϕ y = r sinϕ z = z Body uvnitř válce jsou dány následujícíi intervaly hodnot: r 0,R ϕ π,π z h 2, h 2 Jacobiho deterinant je: x x x r ϕ z y y y D = r ϕ z = z r z ϕ z z cos ϕ r sin ϕ 0 sin ϕ r cos ϕ = r cos 2 ϕ + r sin 2 ϕ = r Podle (4.30) a (4.36) spočítáe oent setrvačnosti podle osy x takto: J x = V (y 2 + z 2 )dv = h 2 π R h π 0 2 (r 2 sin 2 ϕ + z 2 )r dr dϕdz J x = h 2 π R h π 0 2 (r 3 sin 2 ϕ + rz 2 )dr dϕdz = h 2 h π 2 29 π ( R 4 4 sin2 ϕ + R2 2 z2 ) dϕdz

30 z R h x J x = h 2 h 2 ( πr πr2 z 2 J x = 1 12 (3R2 + h 2 ) ) dz = Obrázek 5.1: Válec. ( πr 4 h 4 + πr2 h 3 ) = πr2 h(3r 2 + h 2 ) Moent setrvačnosti podle osy y vyjde z důvodu syetrie stejně. Oba tyto oenty označíe J, protože osa rotace je kolá na osu válce. J x = J y = J = 1 12 (3R2 + h 2 ) (5.1) Obdobně spočítáe oent setrvačnosti podle osy z, tedy podle osy válce: J z = V (x 2 + y 2 )dv = h 2 π R h π 0 2 (r 2 cos 2 ϕ + r 2 sin 2 ϕ)r dr dϕdz J z = h 2 π R h π 0 2 r 3 dr dϕdz = h 2 π h π R4 dϕdz = h 2 h πr4 dz = 1 2 π R4 h J z = J = 1 2 R2 (5.2) Ověříe, že deviační oenty jsou nulové. Spočítáe pouze D xy a D xz, nebot D yz vyjde z důvodu syetrie stejně jako D xz. D xy = D xz = V V xy dv = xz dv = h 2 π R h π 0 2 h 2 π R h π 0 2 r 3 cos ϕsin ϕdr dϕdz = h r 2 z cos ϕdr dϕdz = h 2 h 2 π π z dz R cos ϕsin ϕdϕ r 3 dr = 0 π π R cos ϕdϕ r 2 dr =

31 z l x Obrázek 5.2: Tyč. z R x Obrázek 5.3: Kruhová deska. 5.2 Tyč Spočítáe oenty setrvačnosti nekonečně tenké hoogenní tyče. Tyč je zobrazena na obrázku 5.2 a á hotnost. Jde o liitní případ válce, kdy R 0 a h = l. Lze tedy využít vzorce (5.1) a (5.2) a psát: J = 1 12 l2 (5.3) J = 0 (5.4) 5.3 Kruhová deska Spočítáe oenty setrvačnosti nekonečně tenké hoogenní kruhové desky. Situace je zobrazena na obrázku 5.3. Hotnost desky je. Jde opět o liitní případ válce, tentokrát pro h 0. Opět tedy využijee vzorce (5.1) a (5.2) a píšee: J = 1 4 R2 (5.5) J = 1 2 R2 (5.6) 31

32 z c 0 a x Obrázek 5.4: Elipsoid. 5.4 Elipsoid Spočítáe oenty setrvačnosti hoogenního elipsoidu. Situace je zobrazena na obrázku 5.4. Elipsoid á hotnost a délky poloos a, b a c. Obje elipsoidu je: V = 4 3 πabc Hustota elipsoidu je: = V = 3 4πabc Použijee následující soustavu souřadnic: x = ar cos ϕcos ϑ y = br sin ϕcos ϑ z = cr sin ϑ Body uvnitř elipsoidu jsou dány následujícíi intervaly hodnot: r 0,1 ϕ π,π ϑ π 2, π 2 Jacobiho deterinant je: x x x r ϕ ϑ y y y D = r ϕ ϑ = z r D = abcr 2 z ϕ z ϑ acos ϕcos ϑ ar sin ϕcos ϑ ar cos ϕsin ϑ bsin ϕcos ϑ br cos ϕcos ϑ br sin ϕsin ϑ csin ϑ 0 cr cos ϑ cos ϕcos ϑ sinϕcos ϑ cos ϕsin ϑ sin ϕcos ϑ cos ϕcos ϑ sin ϕsin ϑ sin ϑ 0 cos ϑ D = abcr 2 (cos 2 ϕcos 3 ϑ + sin 2 ϕcos 3 ϑ + sin 2 ϕsin 2 ϑ cos ϑ + cos 2 ϕsin 2 ϑ cos ϑ) 32

33 D = abcr 2 (cos 3 ϑ + sin 2 ϑ cos ϑ) = abcr 2 cos ϑ Podle (4.32) a (4.36) spočítáe oent setrvačnosti podle osy z takto: J z = (x 2 + y 2 )dv J z = π 2 V J z = abc π 1 π π 0 2 π 2 (a 2 r 2 cos 2 ϕcos 2 ϑ + b 2 r 2 sin 2 ϕcos 2 ϑ)abcr 2 cos ϑ dr dϕdϑ π 1 π π 0 2 J z = 1 5 abc π 2 π π π 2 J z = 1 5 abc π 2 (a 2 cos 2 ϕ + b 2 sin 2 ϕ)r 4 cos 3 ϑ dr dϕdϑ (a 2 cos 2 ϕ + b 2 sin 2 ϕ)cos 3 ϑ dϕdϑ (a 2 π + b 2 π)cos 3 ϑ dϑ = 1 5 π(a2 + b 2 )abc π 2 cos 3 ϑ dϑ π 2 π 2 J z = 4 15 π(a2 + b 2 )abc = 4 15 π(a2 + b 2 3 )abc 4πabc = 1 5 (a2 + b 2 ) Jelikož orientaci elipsoidu si ůžee zvolit jakkoliv, áe vlastně spočítané všechny tři oenty: J x = 1 5 (b2 + c 2 ) (5.7) J y = 1 5 (a2 + c 2 ) (5.8) J z = 1 5 (a2 + b 2 ) (5.9) Ověříe, že deviační oenty jsou nulové. Opět stačí spočítat pouze jeden, protože ostatní lze získat záěnou os. D xy = V D xy = a 2 b 2 c D xy = 1 5 a2 b 2 c 5.5 Koule xy dv = π 2 π 1 π π 0 2 π 2 π π π 2 π 2 π 1 π π 0 2 ar cos ϕcos ϑ br sin ϕcos ϑ abcr 2 cos ϑ dr dϕdϑ r 4 sin ϕcos ϕcos 3 ϑ dr dϕdϑ sin ϕcos ϕcos 3 ϑ dϕdϑ = 0 Spočítáe oent setrvačnosti koule o poloěru R. Koule je speciální případ elipsoidu, kdy platí a = b = c = R. Moent setrvačnosti podle jakékoliv osy poto je: J = 2 5 R2 (5.10) 33

34 5.6 Rotační elipsoid Spočítáe oenty setrvačnosti rotačního elipsoidu. Rovníkový poloěr elipsoidu označíe R. Polární poloěr označíe r. Zploštění elipsoidu označíe i a definujee jako: i = R r R Polární poloěr lze pak vypočítat z rovníkového poloěru a zploštění takto: r = R(1 i) S využití (5.7), (5.8) a (5.9) lze rovnou psát: J = 2 5 R2 (5.11) J = 1 5 [R2 + R 2 (1 i) 2 ] = 1 5 R2 [1 + (1 i) 2 ] = 1 5 R2 (2 2i + i 2 ) J = 2 5 R2 ( 1 i + i2 2 ) (5.12) Pro alá zploštění lze člen s i 2 zanedbat a psát: J = 2 5 R2 (1 i) (5.13) 5.7 Stabilizace Setrvačník lze použít ke stabilizaci orientace lodí, družic apod. Takovéu setrvačníku se říká gyrostat. Stačí k lodi pevně přichytit velký setrvačník a pořádně ho roztočit. Celý systé (lod i se setrvačníke) pak bude ít veliký oent hybnosti b. Abycho systé pootočili o alý úhel ϕ, je třeba zěnit oent hybnosti soustavy o b. Přito podle (3.1) platí: b ϕ b Pokud á toto pootočení proběhnout běhe doby t, bude podle (3.11) střední hodnota oentu síly (tzv. gyroskopického oentu): M b t ϕ t b (5.14) Pokud je ϕ b, vyjde M = 0 a stabilizační efekt se nedostaví. Pokud však je ϕ b, je oent síly přío úěrný oentu hybnosti soustavy: M ϕ t b Je vidět, že zvyšování oentu hybnosti soustavy b ůžee libovolně zvyšovat oent síly M potřebný k pootočení systéu. Pokud áe naopak určen oent síly a dobu jeho působení (např. u lodi toto vyplývá z tvaru a délky vln), ůžee zvyšování oentu hybnosti b libovolně snižovat výchylku ϕ (tedy např. kyácení lodi). Stabilizace setrvačníke však funguje pouze ve sěrech kolých na oent hybnosti. To nejde nijak obejít, např. přidávání dalších setrvačníků. 1 Vždy jde totiž o celkový oent hybnosti soustavy a je zcela vedlejší, jak byl vytvořen. Pokud na lod uístíe více setrvačníků, jejich oenty hybnosti se vektorově sečtou a pouze tento výsledný oent hybnosti určí, v jakých sěrech a jak silně bude lod stabilizována. 1 Autoři [3] (konec kapitoly 4) ají na toto jiný názor. Podle nich lze poocí tří setrvačníků docílit stabilizace lodi ve všech sěrech. Podrobnosti bohužel neuvádějí. Já si yslí, že jde o poěrně rozšířený oyl, a proto na něj výslovně upozorňuji. 34

35 z 1 3 x 2 Obrázek 5.5: Gyroskopický oent. 5.8 Gyroskopický oent V kapitole 5.7 jse rozebírali, jaký oent síly M usí působit na setrvačník, aby se jeho osa stočila o úhel ϕ. Ohledně stabilizace nás zajíala hlavně velikost tohoto gyroskopického oentu, nyní si povšinee spíše jeho sěru. Ze vzorce (5.14) je vidět, že oent síly M je kolý na sěr pootočení osy ϕ. To si ostatně ůžee snadno ověřit poocí kola z bicyklu. Tato vlastnost působí na první pohled poněkud záhadně. Pokuse se nyní tuto záhadu rozkrýt. Rovnice jsou pria věc, intuitivníu pochopení však někdy úplně nepřejí (ale dojdee k ni v kapitole 5.9). Proto se pokusíe původ gyroskopického oentu ilustrovat obrázke. Na obrázku 5.5 je zobrazen otáčející se setrvačník. Osa setrvačníku se stáčí ve sěru šipky 1. Podíváe se na to, jakou trajektorii opisují body na obvodu setrvačníku. Nejprve si všinee bodu vpravo jeho trajektorie je popsána šipkou 3. Jak se setrvačník otáčí kole své osy, bod opisuje oblouk. Stáčení osy navíc způsobí, že pravá část setrvačníku klesá, a oblouk tedy nevede vodorovně, ale íří írně dolů. Nicéně střed otáčení zůstává stále uprostřed setrvačníku, proto je výsledná síla dostředivá a vně setrvačníku se neprojeví (poradí si s ní tuhost tělesa setrvačníku). Zajíavější situace nastane v přední části setrvačníku trajektorie bodu je popsána šipkou 2. Otáčení setrvačníku opět způsobí, že bod se pohybuje sěre doprava po oblouku se střede uprostřed setrvačníku. Přidáe-li však k touto ještě stáčení osy setrvačníku, trajektorie bodu se prohne, jak je zobrazeno na obrázku. To je proto, že jak se čase osa setrvačníku skloní, rychlost bodu nebude ířit přío doprava, ale pootočí se írně dolů. Zrychlení bodu á tedy určitou složku ve sěru dolů a na přední bod setrvačníku usí působit vnější síla sěre dolů. Na zadní straně setrvačníku je situace obdobná a síla zde usí působit sěre nahoru. Tyto dvě síly spolu vytváří dvojici sil. Výsledke je, že na setrvačník usí působit vnější gyroskopický oent síly ve sěru osy x, tedy kolé na sěr stáčení osy. 5.9 Regulární precese Zajíavý druhe pohybu setrvačníku je tzv. regulární precese. Situace je zobrazena na obrázku 5.6. Rotačně syetrický setrvačník se otáčí podle své osy úhlovou rychlostí ω. Velikost této rychlosti ω je konstantní, ění se však její sěr. Osa setrvačníku i vektor ω se totiž navíc otáčí konstantní úhlovou rychlostí ω p. Vektory ω a ω p spolu svírají úhel α. Zkusíe si tento druh pohybu trochu přiblížit. Zavedee si souřadnou soustavu. Aby byl popis co nejjednodušší, zvolíe soustavu tak, že v čase t = 0 budou souřadné osy zároveň hlavníi osai setrvačníku. Popis systéu budee provádět právě pro čas t = 0. Pak ůžee využít toho, že deviační oenty jsou nulové a stačí počítat pouze s oenty setrvačnosti. Shodnosti souřadných os s hlavníi osai setrvačníku bohužel nelze docílit trvale, protože osa setrvačníku se stáčí, zatíco souřadná soustava usí být inerciální a stáčet se 35

36 ω p α ω Obrázek 5.6: Regulární precese. nesí. 2 Naštěstí se ná některé vztahy podaří forulovat pouze poocí vektorových operací (např. skalární a vektorový součin), takže budou na souřadné soustavě nezávislé a budou platit obecně (tedy i v libovolné čase). Volba souřadných os je zobrazena na obrázku 5.7. Osa z je totožná s osou setrvačníku. Osa x je vybrána tak, aby vektor ω p ležel v rovině xz. Osa y je pak jednoznačně určena, aby byly osy na sebe kolé a tvořily pravotočivý systé. Vektory ω a ω p pak ají tyto složky: ω = (0,0,ω) ω p = (ω p sin α,0,ω p cos α) Tenzor setrvačnosti á složky: J 0 0 Ĵ = 0 J J Celková úhlová rychlost otáčení setrvačníku Ω se spočítá podle vzorce (4.20), tedy platí: Ω = ω + ω p (5.15) Ω = (ω p sin α,0,ω + ω p cos α) (5.16) Vektor Ω se stejně jako ω otáčí úhlovou rychlostí ω p. Poocí (3.3) vyjádříe jeho časovou zěnu: ε = d Ω = ω p Ω = ω p ( ω + ω p ) = ω p ω + ω p ω p = ω p ω + 0 ε = ω p ω (5.17) ε = (0, ωω p sin α,0) (5.18) Moent hybnosti spočítáe podle (4.26) a (5.16) takto: b i = J ij Ω j 2 Neinerciální soustavá se pokud ožno vyhnee, abycho zaezili zatení. Např. v [2] je někdy obtížné sledovat, kdy jde o derivaci vzhlede k tělesu a kdy vzhlede k prostoru. Při odvození Eulerových dynaických rovnic (16) se toto třeba vůbec nerozlišuje u derivace vektoru Ω. Ono to nakonec nevadí, protože obě derivace se liší o Ω Ω, což je nula, ale ělo by se na to alespoň upozornit. 36

37 z b Ω ω α ω p x Obrázek 5.7: Soustava souřadnic pro popis regulární precese. b = (J ω p sin α,0,j (ω + ω p cos α)) (5.19) Pokud si s títo vztahe budee chvilku hrát, podaří se ná ho přepsat do tvaru nezávislého na volbě soustavy souřadnic. Jeden způsob ůže vypadat třeba takto: b = (J ω p sinα + (J J )ω p sinα,0,j ω + J ω p cos α) b = J ω p + J ω + (J J )(ω p sin α,0,0) b = J ( ω p + ω) + J J ω 2 ω ( ω p ω) (5.20) Energii otáčivého pohybu spočítáe podle (4.47) a (5.16) takto: E = 1 2 b Ω E = 1 2 [J ω 2 p sin2 α + J (ω + ω p cos α) 2 ] (5.21) Moent síly spočítáe poocí rovnic (4.54), (4.55) a (4.56): M x = J ε x + (J J )Ω y Ω z M y = J ε y + (J J )Ω x Ω z M z = J ε z + (J J )Ω x Ω y Za složky vektorů ε a Ω dosadíe z (5.18) a (5.16) a vyjde: M x = M z = 0 (5.22) M y = J ωω p sin α (J J )ωp 2 sin α cos α (5.23) 37

38 Moent síly bycho ohli spočítat ještě jiný způsobe. Stačí si uvědoit, že i vektor oentu hybnosti b se otáčí rychlostí ω p. Pak podle (3.11) a (3.3) usí platit: M = d b = ω p b Po dosazení za ω p a b vyjde oent síly stejně jako v (5.22) a (5.23). Nedostali jse tedy nic nového. Toto vyjádření oentu síly se ná však hodí k něčeu jinéu. Uožní ná vyjádřit oent síly nezávisle na volbě soustavy souřadnic. Stačí jen za oent hybnosti b dosadit ze vztahu (5.20). M = J ω p ( ω p + ω) + J J ω 2 ω p ( ω ( ω p ω)) Poocí (2.8) lze toto poněkud zjednodušit: ( M = J + J ) J ω 2 ω p ω ω p ω (5.24) Touto oentu síly se říká gyroskopický oent. Stojí za to upozornit, že ačkoliv vektor ω se v čase ění, hodnota výrazu ω p ω (a tedy i celé závorky) je konstantní. Místo členu v závorce se za určitých okolností dá uvažovat pouze J. To je ožné, pokud J = J nebo ω p ω a nebo ω p ω. Jinak je třeba tento člen uvažovat celý Volný setrvačník Měje rotačně syetrický setrvačník. Zajíá nás, jaký pohyb ůže setrvačník vykonávat, nepůsobíli na něj žádný vnější oent síly. Setrvačník se otáčí. Jeho celkovou okažitou úhlovou rychlost označíe Ω. Tato rychlost ůže být libovolná. Soustavu souřadnic zavedee tak, že osa z je ve sěru osy setrvačníku a vektor Ω je v rovině xz. Tento způsob jse použili již v kapitole 5.9 a je zobrazen na obrázku 5.7. Na toto obrázku jsou zobrazeny také vektory ω a ω p, které nyní budee ignorovat. Výhodou této volby je, že deviační oenty jsou nulové, a tenzor setrvačnosti á tedy jednoduchý tvar: Ĵ = J J J Dosadíe-li do (4.26), zjistíe, že vektor oentu hybnosti b také leží v rovině xz. Úhlové zrychlení lze podle (4.53) spočítat takto (pro volný setrvačník je M = 0): ε = Ĵ 1 ( b Ω) Jelikož vektory b a Ω jsou v rovině xz, je jejich vektorový součin b Ω rovnoběžný s osou y. To se násobení diagonální aticí Ĵ 1 nezění, proto i úhlové zrychlení ε je rovnoběžné s osou y. Jelikož oent síly je nulový, lze podle (3.11) psát: d b = 0 Víe tedy, že vektor oentu hybnosti b se v čase neění. Dále víe, že vektor úhlového zrychlení ε je kolý na b i na Ω. A nakonec víe, že toto platí v každé časové okažiku (odvození jse sice dělali v čase t = 0, tento čas ale není ničí vyjíečný). Je vidět, že jediný pohyb, který splňuje výše uvedené, je takový, že vektor Ω se rovnoěrně otáčí kole vektoru b ve sěru vektoru ε. Jedná se tedy o regulární precesi, popsanou v kapitole V [3] se sice tvrdí, že na toto ístě vystupuje hodnota I 0, což je oent setrvačnosti k okažité ose otáčení, to však bohužel není pravda. Stačí na ístě setrvačníku uvažovat dvě různá tělesa se stejný I 0 kouli a kruhovou desku. Průět b do sěru Ω vyjde v obou případech stejný (I 0Ω), avšak u koule je b Ω, zatíco u desky toto neplatí. Proto vyjde u obou těles ω p b (gyroskopický oent) obecně jinak, ač ají I 0 shodné. 38