Komentáře Schema 2 Vlastní provedení. Příklad 2.
|
|
- Patrik Konečný
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Příklad 2. Popíšeme předpoklady výpočtu pravděpodobnost výsledků hodu několika kostkami. Příklad prvého schematu ukázal, že rostoucím počtem mincí se mění relativní četnosti jednotlivých tvarů. Nyní tuto skutečnost ukážeme na podmnožinách se šesti možnostmi, které budou nejprve stejné, a následně dostanou ve 3. schematu jednotlivé možnosti různé velikosti. Nebinární šestková soustava s náhradním binárním schematem (36 binárních prvků). Herní pole 6 hracích kostek 6^6 možností (46656) variant uspořádání. hrací kostka 1 hrací kostka 2 hrací kostka 3 hrací kostka 4 hrací kostka 5 hrací kostka E E E E E E Poř. čís. Tato soustava šestic už má 6 extrémních uspořádání. Vymyká se tedy Pascalovu trojúhelníku, který zobrazuje binární systematiku. Ale jak nadpis tabulky napovídá, každý jednotlivý případ má binární charakter. Je to dáno tak zvaným n zobrazením. Řekneme si tedy, že celý systém jsou kombinace 6. třídy z celku 36, které jsou nějak vyloučeny v předpokladu. Podobné téma numerický příklad 2. tabulka 2., kde je v předpokladu vyloučena modifikace například velikostí k-tice, nebo počtem k-tic. V tomto případě můžeme podstatu vyloučení nazvat například jako poziční, ale obecně je to vyloučení z určitého nějakého důvodu, a může být i neznámý tedy kauzální (na rozdíl od předpokladu). Původní teorie hovoří o navzájem se vylučujících případech. Vzorec pro řízení kombinacemi je dán součinem všech šesti podmnožin jako prvních tříd z celku 6. Tedy (kombinace 1. třídy celku 6)^6. Všech kombinací 6. třídy celku 36 je Existujících šestic z vyloučení je 46656, což je asi 41,75 krát méně. Každá jednotlivá jednice celku 36 různých se opakuje 7776 krát. Takže každý jednotlivý prvek na výpisu všech podob má 7776 jednic ve sloupci a nul. Je to poměr zase jen 1:6. Absolutnímu poměru jednic a nul ve sloupci každého prvku 7776 : říkáme Referenční systém prvku (RS), zatímco poměru 6 ze 36 říkáme řídící systém (DS) D=direct, S = systém. DS se vztahuje ke všem prvkům množiny. RS se vztahuje ke všem různým stavům jediného prvku, a je to binární soustava. Poznámka RS a jeho konkrétní podoba je pro jeden prvek jako pro první prvek dán kombinacemi. V tomto vzorci kombinací jsou jednice jako výběr ( k ) a nuly jako množina (n k), tedy třída celku Jednotlivé referenční soustavy jsou navzájem omezeny. To je snadno pochopitelné u jedné kostky. Tam kde má RS jednoho čísla jednici, musí mít jiné číslo nulu. Ale také navzájem nezávislé prvky různých kostek jsou omezeny. Na etalonu všech možných (46656) má například 35. prvek 2 varianty a poslední prvek (samozřejmě jeho RS) už nemá variantu žádnou, protože každý jeden z jeho stavů je dán dopočítáním na každém jednotlivém řádku (sigmaaditivní princip). Jinak bychom totiž nedostali etalon všech možných. Systém všech RS má také konečný počet uspořádání dán jako 46656! (tedy faktoriál čísla 46656). Proto například nemůže mít dvě stejné RS. Počet jednic je dán jinak, nežli počet dvojic. Teoreticky zcela nezávislé prvky by mohly krát opakovat jedinou stejnou RS, tedy jediný tvar. Potom by ale vzniklo 7776 krát kombinace 36. třídy celku 36, a krát nultá třída celku 36. Z toho plyne poučení. Charakter klasického vzájemného vyloučení je stejný jako vyloučení principem kombinací. Omezuje se kombinace jednotlivých referenčních systémů prvků množiny. Aby toho nebylo moc, ukážeme si na příkladu dvou kostek násobení pravděpodobnosti.
2 Pravidlo o násobení pravděpodobností Herní pole 2 kostky 36 variant Pravděpodobnost Pravděpodobnost hrací kostka 1 hrací kostka 2 hrací kostka 1 hrací kostka řádku / / (1/6)^2=1/ / / (1/6)^2=1/ / / (1/6)^2=1/ / /6 0 0 (1/6)^2=1/ / /6 0 (1/6)^2=1/ / /6 (1/6)^2=1/ / / (1/6)^2=1/ / / (1/6)^2=1/ / / (1/6)^2=1/ / /6 0 0 (1/6)^2=1/ / /6 0 (1/6)^2=1/ / /6 (1/6)^2=1/ / / (1/6)^2=1/ / / (1/6)^2=1/ / / (1/6)^2=1/ / /6 0 0 (1/6)^2=1/ / /6 0 (1/6)^2=1/ / /6 (1/6)^2=1/ / / (1/6)^2=1/ / / (1/6)^2=1/ / / (1/6)^2=1/ / /6 0 0 (1/6)^2=1/ / /6 0 (1/6)^2=1/ / /6 (1/6)^2=1/ /6 0 1/ (1/6)^2=1/ / / (1/6)^2=1/ / / (1/6)^2=1/ / /6 0 0 (1/6)^2=1/ / /6 0 (1/6)^2=1/ / /6 (1/6)^2=1/ /6 1/ (1/6)^2=1/ /6 0 1/ (1/6)^2=1/ / / (1/6)^2=1/ / /6 0 0 (1/6)^2=1/ / /6 0 (1/6)^2=1/ / /6 (1/6)^2=1/36 Součin pravděpodobností jako pravidlo platí pouze pro jevy řízené variacemi. Celkem 1 Už při dotazu na to kdy padne jiný tvar, nežli stejná čísla, je pravděpodobnost 2/36 = 1/18 Poř. čís. Tato tabulka ukazuje, že součet součinů všech řádků dává dohromady 1 celá = 100%. Dost logicky 36 krát 1/36 = 1 celá. Je li tedy jev řízen variacemi s opakováním, platí pravidlo o násobení pravděpodobnosti. Je-li však řízen jinak, například kombinacemi, pravidlo o násobení pravděpodobností neplatí. Přes to je nutno pozorně určit kombinatorický model. (Variace s opakováním neexistují, jde o určitý výběr dvojic celku 12p) Například uvedeme numerické příklady, kde jsou výpočtem kombinatorické matice, a taktéž rozdělená množina všech možných simuluje navzájem vyloučené případy. V tomto příkladu ale pravidlo o násobení pravděpodobnosti platí, a je to v celku výhoda, protože pokud jsou stejné součiny, lze počet stavů dovodit ze vztahu 1/pravděpodobnost. Horší to je v případě, že součiny na řádku nejsou stejné. Pokud máme však dostatek jednotlivých údajů (řádků), poslouží nám dobře průměrná pravděpodobnost. Takže budeme li šetřit opakování (může být nekonečné) relativních hodnot jako výsledků, uděláme jednoduše aritmetický průměr a z něho zjistíme kolik řádků má RS každého prvku. Následně můžeme dovodit i DS celého systému (bývá často málo zjevný). Obecný DS je dán průměrným
3 RS jako x*y*z..., takže vlastně odhadujeme součin kombinací určitých tříd, kde DS celkem je součet x+y+z... Právě z počtu variací x y, nebo podobného vztahu zjistíme nejbližší třídy kombinací (Pascalovo schema). Podobných hodnot bývá sice více zejména když máme jen přibližné hodnoty z průměru, ale zase jich není tolik, aby se nedaly jednotlivé modely DS napasovat blíž ke skutečnosti a diskrétnímu modelu. Pak právě doceníme teorii vyloučení stavů. Prakticky může být interaktivně aktivní složkou určitá dvojice, nebo i trojice (teplota, tlak, množství a další). Šetřené jevy (žádoucí nežádoucí) soustředíme do množiny a nalezneme (žádoucí, nebo nežádoucí) DS, tedy potenciální souhrn jevů šetřených. Můžeme určit, že regulačním prostředkem je volba pomocí k, které se může opakovat, měnit co do počtu prvků a další záležitosti. Jak si připodobnit diskrétní množinu kontinuálním jevům? Jednoduše známe například rozsah teplot. Z výpočtu zjistíme, že parametru teploty náleží x dílů z celku y. Odstupňujeme jednotlivé díly teplotní stupnice na rozdílu (t 1...t s ) a dostaneme množinu příbuzných a navzájem se vylučujících jevů. Jsou to prvky našeho DS. Totéž uděláme například s tlakem, nebo koncentrací plynu a tak dál. Dostaneme určitou digitalizaci spojitých hodnot. Zajímavé je to, že můžeme takto zacházet i s časem včetně reálného. To je problematika D/K převodu v praktickém vyjádření. To však není hlavním námětem tohoto příkladu, takže se vrátíme k původnímu tématu. Na prvním schematu jsme si ukázali, jak se rozpadají tvary podle četnosti svých kombinací. Totéž, jen trošku jinak platí i o množinách řízených jinak, nežli binárně. Už jsme si ukázali, že zatímco binární množina má 2 extrémy, má jiná množina tolik extrémů, kolik srovnatelně stejných prvků má. Extrém vznikne, když se stejné prvky různých podmnožin vyskytnou současně ve výběru (k). To ovšem platí pro stejné nebo stejně početné podmnožiny navzájem se vylučujících jevů. Pro obecné množiny platí náhrada pořadí krajními a středními hodnotami v rámci navzájem vyloučených podmnožin systému. Takže extrémem je kombinace všech infim, nebo suprem, nebo také středních hodnot, pokud existují takto definovatelné prvky u všech různých podmnožin a tak dál. Náš systém 6 kostek má 6 extrémů, tedy stavů, kdy jsou vybrány stejná čísla u všech kostek. Extrémy mají tu vlastnost, že se vyskytují v jediné podobě. Nemají variaci (s výhradou extrém je uspořádání s nejmenší variací mezi existujícími). Každé jiné uspořádání, například 5 krát jednice + něco, už má 5 variant na každé kostce, a existuje 6 pětic z celku 6 kostek. Takže například 5 jednic plus jedna dvojka má 6 variant, ale obecně 5 krát jednice plus něco už má 30 variant. Podobné je to se všemi ostatními rozklady. Například počet třikrát jednice plus třikrát dvojka už existuje v počtu 20 variant. Jde zase jen o stejný princip kombinatorického rozkladu. Když ale vezmeme v úvahu, že jde o variace n tice stejných, pak v rámci variací stojí ve vzorci proti kombinaci (váha) variace (vzorec vlastního výpočtu). Projev binární soustavy v soustavě vyšší (šestkové) Pole variací 6. třídy celku 6 z pohledu jednoho prvku Výpočet (váha x vzorec) Kostka 1 Kostka 2 Kostka 3 Kostka 4 Kostka 5 Kostka 6 Váha Vzorec Celkem 1 číslo 5 možností 5 možností 5 možností 5 možností 5 možností 6 5^ číslo 1 číslo 5 možností 5 možností 5 možností 5 možností 15 5^ číslo 1 číslo 1 číslo 5 možností 5 možností 5 možností 20 5^ číslo 1 číslo 1 číslo 1 číslo 5 možností 5 možností 15 5^ číslo 1 číslo 1 číslo 1 číslo 1 číslo 5 možností 6 5^ číslo 1 číslo 1 číslo 1 číslo 1 číslo 1 číslo 1 5^0 1 k tice bez sledovaného čísla 1 5^ Celkem součet sloupce = variace 6. třídy celku Systém variací se podřizuje podobným zásadám, které panují mezi kombinacemi. Jednoduše to lze vyjádřit jako vliv Pascalova trojúhelníku na uspořádání variací. Je to stejný vliv jako u kombinací, nebo také obecných permutací. Proto je nadřazeným schematem kombinatoriky schema kombinací.
4 Představa variací rozložených na kombinace není zcela jednoduchou záležitostí. U našich kostek existuje vždy 6 stejných popisů, což zavádí k interpretaci prvku s opakováním. Ale není to pravda. Musíme si unikátnost vysvětlit jako příslušnost prvku a podmnožiny. Například jednotka prvé kostky není totožná s jednotkou kostky jiné. Je jen stejně velká, což je také zavádějící. Takže správné znační by bylo : Kostka 1, číslo 1 = (například 1K1), nebo 2K1 pro jednici druhé kostky. Takže můžeme rozlišovat parametrem třídění buď příslušnost k podmnožinám kostek, tedy podle prefixu 1..6(K), nebo podle podmnožin velikostí, tedy podle sufixu (K) Obecně ale můžeme přiřadit každému prvku jiné unikátní označení, například pořadí. To už musí respektovat jak pořadí velikosti čísel, tak pořadí kostek. Zásadně tedy nahradíme značení kostek pořadím od 1 do 6, a za toto pořadí přiřadíme pořadí prvku. Dostaneme identifikaci dvojicí čísel od 11 do 66. Ale i toto můžeme nahradit pořadím od jedné do 36. Dopracováváme se ke kombinacím z původních variací. Náhradní schema pro variace šesté třídy celku 6 je určitý výběr z celku kombinací 6. třídy celku 36. Podstata úprav při práci s kombinatorickými schematy 1K1 1K2 1K3 1K4 1K5 1K6 Třídění podle příslušností ke kostce 1 2K1 2K2 2K3 2K4 2K5 2K6 Třídění podle příslušností ke kostce 2 3K1 3K2 3K3 3K4 3K5 3K6 Třídění podle příslušností ke kostce 3 4K1 4K2 4K3 4K4 4K5 4K6 Třídění podle příslušností ke kostce 4 5K1 5K2 5K3 5K4 5K5 5K6 Třídění podle příslušností ke kostce 5 6K1 6K2 6K3 6K4 6K5 6K6 Třídění podle příslušností ke kostce 6 Třídění podle příslušnosti k číslu 1 Třídění podle příslušnosti k číslu 2 Třídění podle příslušnosti k číslu 3 Třídění podle příslušnosti k číslu 4 Třídění podle příslušnosti k číslu 5 Třídění podle příslušnosti k číslu 6 Zelená matice ukazuje dva možné druhy uspořádání. Konkrétně buď podle příslušnosti ke kostce, nebo podle příslušnosti k množině stejných velikostí. Obě třídění můžeme navzájem zamě - ňovat v n zobrazení. Budeme hovořit o transformaci souřadnice. Je to sice jednoduchá záležitost, ale z hlediska definice vzájemného vyloučení to už jedno není. Snadno lze při tom udělat chybu výpočtu. Výraz určitý výběr je na místě. Jak ukazuje tabulka, je výběr možno provést z několika hledisek. Základní úpravy naznačuje matice údajů se zeleným podkladem. Ovšem není to jediná možnost. Můžeme například zvolit takové uspořádání, které má v každém řádku i sloupci příslušnost k oběma původním, nebo také výhradním příslušnostem. Jde o základ random třídění. Oba základní druhy si ukážeme jako uspořádanou souřadnici systému kombinací. Charakteristické postupy pro manipulace se souřadnicí kombinatorických schemat Třídění do podmnožin kostek v souřadnici Podmnožina kostky 1 Podmnožina kostky 2 Podmnožina kostky 3 Podmnožina kostky 4 Podmnožina kostky 5 Podmnožina kostky 6 1K1 1K2 1K3 1K4 1K5 1K6 2K1 2K2 2K3 2K4 2K5 2K6 3K1 3K2 3K3 3K4 3K5 3K6 4K1 4K2 4K3 4K4 4K5 4K6 5K1 5K2 5K3 5K4 5K5 5K6 6K1 6K2 6K3 6K4 6K5 6K Vyloučena kombinace uvnitř Vyloučena kombinace uvnitř Vyloučena kombinace uvnitř Vyloučena kombinace uvnitř Vyloučena kombinace uvnitř Vyloučena kombinace uvnitř Připuštěna kombinace mezi podmnožinami Třídění do podmnožin jednotlivých čísel v souřadnici Podmnožina čísla 1 Podmnožina čísla 2 Podmnožina čísla 3 Podmnožina čísla 4 Podmnožina čísla 5 Podmnožina čísla 6 1K1 2K1 3K1 4K1 5K1 6K1 1K2 2K2 3K2 4K2 5K2 6K2 1K3 2K3 3K3 4K3 5K3 6K3 1K4 2K4 3K4 4K4 5K4 6K4 1K5 2K5 3K5 4K5 5K5 6K5 1K6 2K6 3K6 4K6 5K6 6K Přípustná kombinace uvnitř Přípustná kombinace uvnitř Přípustná kombinace uvnitř Přípustná kombinace uvnitř Přípustná kombinace uvnitř Přípustná kombinace uvnitř Vyloučena kombinace mezi podmnožinami Tabulka nám ukazuje například také to, jak pomocí variace znaků (v podstatě pozic jako pořadí) dosáhneme strukturu příslušnosti. Označení variací 2. třídy celku 6 popíšeme variaci 6. třídy celku 6. To co jsme vlastně udělali se souřadnicí můžeme nazvat určením kombinačních vlastností. Jedná se vlastně také o určení mechanizmu vyloučení z předpokladu. Když variace 2. třídy celku 6 (čísla 11 až 66) seřadíme podle velikosti dostaneme spojité
5 očíslování pořadí 1. až 36. prvek. Ukážeme si úpravu takové souřadnice. Charakteristické postupy pro manipulace se souřadnicí kombinatorických schemat Třídění do podmnožin kostek v souřadnici Podmnožina kostky 1 Podmnožina kostky 2 Podmnožina kostky 3 Podmnožina kostky 4 Podmnožina kostky 5 Podmnožina kostky 6 1K1 1K2 1K3 1K4 1K5 1K6 2K1 2K2 2K3 2K4 2K5 2K6 3K1 3K2 3K3 3K4 3K5 3K6 4K1 4K2 4K3 4K4 4K5 4K6 5K1 5K2 5K3 5K4 5K5 5K6 6K1 6K2 6K3 6K4 6K5 6K Vyloučena kombinace uvnitř Vyloučena kombinace uvnitř Vyloučena kombinace uvnitř Vyloučena kombinace uvnitř Vyloučena kombinace uvnitř Vyloučena kombinace uvnitř Připuštěna kombinace mezi podmnožinami Třídění do podmnožin jednotlivých čísel v souřadnici Podmnožina čísla 1 Podmnožina čísla 2 Podmnožina čísla 3 Podmnožina čísla 4 Podmnožina čísla 5 Podmnožina čísla 6 1K1 2K1 3K1 4K1 5K1 6K1 1K2 2K2 3K2 4K2 5K2 6K2 1K3 2K3 3K3 4K3 5K3 6K3 1K4 2K4 3K4 4K4 5K4 6K4 1K5 2K5 3K5 4K5 5K5 6K5 1K6 2K6 3K6 4K6 5K6 6K Přípustná kombinace uvnitř Přípustná kombinace uvnitř Přípustná kombinace uvnitř Přípustná kombinace uvnitř Přípustná kombinace uvnitř Přípustná kombinace uvnitř Vyloučena kombinace mezi podmnožinami Tabulka nám popisuje typické operace pořadím. Nejprve jsme kauzální (poziční) značení kostek 1K1 až například 6K6 nahradili jen číslem pozice v matici (v tomto případě čtvercové, což není podmínkou). Dostali jsme náhradní schema, které je vlastně autonomním kódem pozice. Tvarem je variace čísel 2. třídy celku 6. Takto dané velikosti čísel setřídíme podle velikosti vzestupně a místo kódu pozice dáme velikost z pořadí. Dostáváme klasickou substituční metodu kódování, ale tím, že známe důvod, jde o kód, nikoliv o šifru. Typické variace se nám proměnily na určitý výběr kombinací. Nahradili jsme variační strukturu strukturou kombinační, což ještě neznamená, že například vlastní losování je podle kombinačního principu. Ten by byl splněn, když by všech 6 kostek bylo vylosováno naráz. Pokud jsou kostky vhazovány postupně, jde o variační princip. V tom je ten problém. Kauzálně můžeme chtít losovat kombinace, ale každá kostka se ustálí v jiném čase. Reálný svět se řídí variačním principem. Toto je samozřejmě popis kombinatorických pojmů. Kombinační, nebo variační struktura (modelu) na rozdíl od principu děje, který je nazýván stejně, tedy kombinační princip děje (není kombinačním schematem děje, ale může jím být), stejně tak jako variační princip děje (není, ale může být variačním schematem děje). Nyní již budeme pracovat s kombinačním schematem variací. Ukážeme si, že jde vlastně o typ výběru, který nazývám modifikací. Za tím účelem si rozložíme kombinace 6. třídy celku 36 do matice modifikací tak jak ukazují numerické příklady. Pravidelné rozložení 36p za pomoci Bernoulliho schematu Pč. 36p rozdělených do 6n Výpočet (váha x základ) M 6p 6p 6p 6p 6p 6p Váha Základ Celkem Poznámka M11 = variace 6^6 Součet řádků (modifikací) = C(6 z 36) Schema nám ukazuje, že zdánlivé variace 6^6 jsou při důsledném popisu jen modifikací, tedy podmnožinou z kombinací 6. třídy celku 36. Vodítkem k tomu je dotaz: Je jednotka prvé kostky totožným prvkem s jednotkou druhé, či jiné kostky? Samozřejmě že není. Ačkoliv by se nám mohlo zdát, že variace znamenají také například poziční princip v uspořádání čísel, tak to také není pravda. Takto interpretované variace jsou dány jako 6! (6 faktoriál) = 6*5*4*3*2*1 = 720. Takové vyjádření je skutečně variačním principem postupu (děje). Popravdě řečeno 6^6 jsou variace s opakováním.
6 Příklad nám však ukazuje, že to je nesmysl. Stejné jednice různých kostek nejsou totožnými prvky (stejný prvek nemůže být ve stejném čase sám vedle sebe). Nebude asi překvapením, že zavrhovaný pojem variací (nebo i kombinací) s opakováním odsouvám z kombinatoriky. Užití je však v teorii uspořádaných množin. Pokud se tedy vyskytne výraz x y, jde buď o obecné vyjádření množství za pomoci nějakého modulu x, nebo se jedná o strukturu uspořádání množin. Tato struktura však má kombinační základ spolu s variantou vyjádření množství pomocí kombinací. Přestože variace a kombinace s opakováním nemají logicky místo v kombinatorické logice jako systematický pojem, je jejich věcný význam zejména pro aplikace nepostradatelný. Například postup konstrukcí (rozpisů) by byl velice omezený. Plyne ale také zpětně určitý poznatek. Je-li například 6^6 variací s opakováním modifikací číslo 11, je také každá jiná modifikace nahraditelná nějakou podobou variace s opakováním. To právě umožňuje generovat přímo jen žádanou modifikaci. Potom také celý systém kombinací lze popsat příslušnými variacemi s opakováním. To znamená možnost (znalost) převodu reálných opakování (jevů) na kombinace, tedy RS a DS systému. Na tyto záležitosti potom navazují další vztahy jako je poměr mezi kombinacemi a variacemi daný jako k!. Mezi variacemi a variacemi s opakováním stejné třídy panuje vztah: Variace bez opakování celku X = X!, tedy X *(X-1)*(X-2)...(X=1). Variace s opakováním jsou dány jako X x, tedy X*X*X... Podstata existenční logiky v kombinatorice Variace bez opakování X * (X-1) * (X-2) * (X-3) * (X-4) * Podle třídy až k (X=1) Variace s opakováním X * X * X * X * X * Podle třídy až k (X=X) Rozdíl mezi variací s opakováním a bez opakování Rozdíl jednotlivých členů 0 * 1 * 2 * 3 * 4 * Podle třídy až k (X-1) Z toho plyne poučení o exist enční formulaci tříd Úprava variace bez opakování (X-0) * (X-1) * (X-2) * (X-3) * (X-4) * Podle třídy až k (X=0) Vriace bez opakování X * X * X * X * X * Podle třídy až k (X=X) Komentáře úprav budeme zdůvodňovat samozřejmě i jinak a jinde. Uvedeme si jen, že nově zavedené členy jsou nesoučasně existující. Neexistují li prvky, nemohou se uspořádat do kombinací a tak dál. Takže existuje li reálné uspořádání členy 0/X, nebo X/0 neexistují. Ale důvod vyjádření existuje. Hledá ho fyzika jako doplněk při hledání nulových potenciálů. Tohle je podstata. Aby existenční vyjádření bylo logické musí být vybaveno výrazem exist. Pak dostává smysl také člen součinu (X-X) 1 = 1 V numerických příkladech jsme zavedli podobně existenční logiku, ale na jiném principu. Zde vycházíme ze sigmaaditivní zkušenosti, která říká, že existuje li třída X/1 až X/X, existuje také třída X/0, nebo 0/X. Počet členů součinu je dán totiž rozdílem. (X-0)=X až k (X-X) = 0. Členy X/0 a 0/X odpovídají množině bez podmnožin, nebo bez prvků. Určité pravidlo tady ale je. Zatímco indexy kauzálních velikostí jsou dány jako jednice v exponentu, jsou členy (X) 0 /(0) 1, a podobně obrácený poměr. Naopak na rozdíl od stávající teorie neexistuje třída > nežli základ x Takže na závěr si uvedeme, že pravděpodobnost jednotlivého případu množiny 6^6 je dána opravdu vynásobením pravděpodobností, ale jen pro vlastní vnitřní systém. 6^6 = Potom jeden případ 1/46656 = 0, Což je dáno také jako (1/6) 6. V systému kombinací je to však jen cca 2,4%. Takže pokud hovoříme o relativní četnosti jako o pravděpodobnosti, musíme vycházet jen a jen z počtu existujících možností šetřeného systému. To si vysvětlíme jako pravděpodobnost v rámci Pascalova trojúhelníku. Libovolné vyjádření 2 x obsahuje součet všech k tříd kombinace od 0 z x, až po x z celku X. Takže pro třídu n je dáno že celek 2 x = 100%. Pak samozřejmě také každá jednotlivá třída k má součet pravděpodobností menší nežli 1 celá. Vzhledem k definici vyloučené existence (obecně nějak v předpokladu, nebo empiricky) je celkem součet všech existujících stavů etalonu šetřené množiny počtem všech možných = 100%. Zde už vůbec nehraje úlohu jak se projevují podobností, nebo příznaky jednotlivé stavy. Součin pravděpodobností jako rozměr už není pravděpodobností, ale velikostí které budeme říkat absolutní, ale může to být také správně definováno jako poměrná velikost z nějakého systému včetně vlastního. Mimo toho bychom měli vždy uvádět, že relativní četnost z etalonu, je pouze a vždy jen pravděpodobností prvého výskytu. Nikoliv druhého a dalšího následného.
Základy teorie pravděpodobnosti Kapitola: Numerické výpočty příklad 2. Stránka v kapitole 1. Příklad 2. Modifikace M systému k=6p.
Základy teorie pravděpodobnosti Kapitola: Numerické výpočty příklad 2. Stránka v kapitole 1 Příklad 2. Výpočet pomocí rozšířeného Bernoulliho schematu. Příklad řeší výpočtem rozložení prvků losovaných
VíceZáklady teorie pravděpodobnosti Kapitola: Numerické výpočty příklad 1. Stránka v kapitole 1
Základy teorie pravděpodobnosti Kapitola: Numerické výpočty příklad 1. Stránka v kapitole 1 Příklad 1. Výpočet pomocí rozšířeného Bernoulliho schematu. Příklad řeší výpočtem rozložení prvků losovaných
VíceKombinatorický předpis
Gravitace : Kombinatorický předpis Petr Neudek 1 Kombinatorický předpis Kombinatorický předpis je rozšířením Teorie pravděpodobnosti kapitola Kombinatorický strom. Její praktický význam je zřejmý právě
VíceKombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady
Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady 4. ročník 3 hodiny týdně PC a dataprojektor Kombinatorika Řeší jednoduché úlohy
VíceKomplexní čísla, Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady
Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Komplexní čísla, Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady 4. ročník a oktáva 3 hodiny týdně PC a dataprojektor, učebnice
VíceMATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY
MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické
VíceMatematika PRŮŘEZOVÁ TÉMATA
Matematika ročník TÉMA 1-4 Operace s čísly a - provádí aritmetické operace v množině reálných čísel - používá různé zápisy reálného čísla - používá absolutní hodnotu, zapíše a znázorní interval, provádí
VíceZáklady teorie pravděpodobnosti Kapitola: Numerické výpočty příklad 5. Stránka v kapitole 1
Základy teorie pravděpodobnosti Kapitola: Numerické výpočty příklad 5. Stránka v kapitole 1 Příklad 5. Výpočet pomocí Bernoulliho schematu demonstrující existenci systémové výhody určitého druhu. Obsažným
VíceKOMBINATORIKA (4.ročník I.pololetí DE, 2.ročník I.pololetí NS)
KOMBINATORIKA (4.ročník I.pololetí DE,.ročník I.pololetí NS) Kombinatorika je část matematiky, zabývající se uspořádáváním daných prvků podle jistých pravidel do určitých skupin a výpočtem množství těchto
Více(Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice)
KMA/MAT1 Přednáška a cvičení, Lineární algebra 2 Řešení soustav lineárních rovnic se čtvercovou maticí soustavy (Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice) 16 a 21 října 2014 V dnešní přednášce
VíceKomentáře Schema 3 Vlastní provedení. Příklad 3.
Příklad 3. Určování řídících systémů úvod do kombinatorických problematik. V předcházejícím příkladu jsme popisovali mimo jiné také problematiku kombinatorických pojmů výrokem, že kombinatorické pojmy
VíceIB112 Základy matematiky
IB112 Základy matematiky Základy kombinatoriky a kombinatorická pravděpodobnost Jan Strejček Obsah IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravděpodobnost 2/57 Výběry prvků bez
VíceMaturitní témata profilová část
Seznam témat Výroková logika, úsudky a operace s množinami Základní pojmy výrokové logiky, logické spojky a kvantifikátory, složené výroky (konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence), pravdivostní tabulky,
Více5. Náhodná veličina. 2. Házíme hrací kostkou dokud nepadne šestka. Náhodná veličina nabývá hodnot z posloupnosti {1, 2, 3,...}.
5. Náhodná veličina Poznámka: Pro popis náhodného pokusu jsme zavedli pojem jevového pole S jako množiny všech možných výsledků a pravděpodobnost náhodných jevů P jako míru výskytů jednotlivých výsledků.
VíceVektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace
Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi
VíceVyšetřování pravděpodobnosti na systémech
Základy teorie pravděpodobnosti. Kapitola: Pravděpodobnost systémů Strana v kapitole 1 Vyšetřování pravděpodobnosti na systémech Hovoříme li o Teorii pravděpodobnosti, měli bychom se pravděpodobnosti jako
VíceMatematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde
VíceDigitální učební materiál
Digitální učební materiál Číslo projektu Označení materiálu Název školy Autor Tematická oblast Ročník Anotace Metodický pokyn Zhotoveno CZ.1.07/1.5.00/34.0061 VY_42_INOVACE_M.2.01 Integrovaná střední škola
Více2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC
.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC V této kapitole se dozvíte: jak jsou definována vlastní (charakteristická) čísla a vektory čtvercové matice; co je to charakteristická matice a charakteristický polynom
Více1 Mnohočleny a algebraické rovnice
1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem
VíceMATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]
MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě
Více1 Vektorové prostory.
1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které
Více5. Lokální, vázané a globální extrémy
5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,
Více7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice
7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice Statistika nuda je, má však cenné údaje, neklesejte na mysli, ona nám to vyčíslí Jednou z úloh statistiky je odhad (výpočet) hodnot statistického znaku x i,
VíceUčební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky
Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky Ročník I II III IV Dotace 3 3+1 2+1 2+2 Povinnost povinný povinný povinný povinný Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Ročník 1 2 3 4 5 6 Dotace
Více1 Linearní prostory nad komplexními čísly
1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)
VíceCykly a pole 103. 104. 105. 106. 107. 108. 109. 110. 111. 112. 113. 114. 115. 116.
Cykly a pole Tato část sbírky je tvořena dalšími úlohami na práci s cykly. Na rozdíl od předchozího oddílu se zde již v řešeních úloh objevuje více cyklů, ať už prováděných po sobě nebo vnořených do sebe.
VíceMaturitní otázky z předmětu MATEMATIKA
Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání
Více10. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo
0. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo (PEF PaA) Petr Gurka aktualizováno 9. prosince 202 Obsah Základní pojmy. Motivace.................................2 Aritmetický vektorový
VíceKombinatorický strom
Základy teorie pravděpodobnosti. Kapitola: Kombinatorický strom Strana v kapitole 1 Kombinatorický strom Kombinatorickým stromem rozumíme uspořádání kombinatorických pojmů. Účelem je vytvořit jednoznačnou
VíceZákladní pojmy teorie množin Vektorové prostory
Základní pojmy teorie množin Přednáška MATEMATIKA č. 1 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 7. 10. 2010 Základní pojmy teorie množin Základní pojmy
VíceIII/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT
Název školy Gymnázium, Šternberk, Horní nám. 5 Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0218 Šablona III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Označení materiálu VY_32_INOVACE_Hor004 Vypracoval(a),
Vícekombinatorika září, 2015 Kombinatorika Opakovací kurz 2015 Radka Hájková
Kombinatorika Opakovací kurz 2015 Radka Hájková 1) Děti z hudební školy Písnička, mezi nimiž byla i dvojčata Dita a Zita, psaly v rámci hudební nauky písemnou práci z not. Kolik možností oznámkování mohla
Více12 DYNAMIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ
56 12 DYNAMIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ Těžiště I. impulsová věta - věta o pohybu těžiště II. impulsová věta Zákony zachování v izolované soustavě hmotných bodů Náhrada pohybu skutečných objektů pohybem
VíceTeorie. Kombinatorika
Teorie Kombinatorika Kombinatorika Jak obecně vybrat k prvkové množiny z n prvkové množiny? Dvě možnosti: prvky se v množině neopakují bez opakování. prvky se v množině opakují s opakováním. prvky jsou
VíceOperace s maticemi
Operace s maticemi Seminář druhý 17.10. 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice 3 Regulární matice 4 Inverzní matice Matice Definice (Matice). Reálná matice typu m n je obdélníkové schema A =
VíceVektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,
Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),
VíceMgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel
Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -
VícePožadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015
Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,
VíceOperace s maticemi. 19. února 2018
Operace s maticemi Přednáška druhá 19. února 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice (opakování) 3 Regulární matice 4 Inverzní matice 5 Determinant matice Matice Definice (Matice). Reálná matice
VíceDiskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2016/2017
Diskrétní matematika Petr Kovář petr.kovar@vsb.cz Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava DiM 470-2301/01, zimní semestr 2016/2017 O tomto souboru Tento soubor je zamýšlen především jako pomůcka
VíceZáklady teorie pravděpodobnosti Kapitola: Pascalův trojúhelník. Stránka v kapitole 1
Základy teorie pravděpodobnosti Kapitola: Pascalův trojúhelník. Stránka v kapitole 1 Upravený Pascalův trojúhelník. Pascalův trojúhelník zná snad každý. Přes to si ho opíšeme kvůli rozpomenutí se. Je to
VícePravděpodobnost a její vlastnosti
Pravděpodobnost a její vlastnosti 1 Pravděpodobnost a její vlastnosti Náhodné jevy Náhodný jev je výsledek pokusu (tj. realizace určitého systému podmínek) a jeho charakteristickým rysem je, že může, ale
VíceIB112 Základy matematiky
IB112 Základy matematiky Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory Jan Strejček IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 2/53 Obsah Soustava lineárních rovnic
VíceTematický plán Obor: Informační technologie. Vyučující: Ing. Joanna Paździorová
Tematický plán Vyučující: Ing. Joanna Paździorová 1. r o č n í k 5 h o d i n t ý d n ě, c e l k e m 1 7 0 h o d i n Téma- Tematický celek Z á ř í 1. Opakování a prohloubení učiva základní školy 18 1.1.
Vícematiceteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést
Úlohy k zamyšlení 1. Zdůvodněte, proč třetí řádek Hornerova schématu pro vyhodnocení polynomu p v bodě c obsahuje koeficienty polynomu r, pro který platí p(x) = (x c) r(x) + p(c). 2. Dokažte, že pokud
VíceGymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora
Předmět: Cvičení z matematiky Náplň: Systematizace a prohloubení učiva matematiky Třída: 4. ročník Počet hodin: 2 Pomůcky: Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné obory
VíceMatematika B101MA1, B101MA2
Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet
VíceSystematizace a prohloubení učiva matematiky. Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora
Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Cvičení z matematiky Systematizace a prohloubení učiva matematiky 4. ročník 2 hodiny Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné
VíceÚlohy nejmenších čtverců
Úlohy nejmenších čtverců Petr Tichý 7. listopadu 2012 1 Problémy nejmenších čtverců Ax b Řešení Ax = b nemusí existovat, a pokud existuje, nemusí být jednoznačné. Často má smysl hledat x tak, že Ax b.
Více3. Reálná čísla. většinou racionálních čísel. V analytických úvahách, které praktickým výpočtům
RACIONÁLNÍ A IRACIONÁLNÍ ČÍSLA Význačnými množinami jsou číselné množiny K nejvýznamnějším patří množina reálných čísel, obsahující jako podmnožiny množiny přirozených, celých, racionálních a iracionálních
VíceII. Úlohy na vložené cykly a podprogramy
II. Úlohy na vložené cykly a podprogramy Společné zadání pro příklady 1. - 10. začíná jednou ze dvou možností popisu vstupních dat. Je dána posloupnost (neboli řada) N reálných (resp. celočíselných) hodnot.
VíceDeterminanty. Obsah. Aplikovaná matematika I. Pierre Simon de Laplace. Definice determinantu. Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu.
Determinanty Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Determinanty Definice determinantu Sarrusovo a křížové pravidlo Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu Výpočet determinantů 2 Inverzní
VíceINVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.0141 Báze vektorových prostorů, transformace souřadnic Michal Botur Přednáška
VíceJevy A a B jsou nezávislé, jestliže uskutečnění jednoho jevu nemá vliv na uskutečnění nebo neuskutečnění jevu druhého
8. Základy teorie pravděpodobnosti 8. ročník 8. Základy teorie pravděpodobnosti Pravděpodobnost se zabývá matematickými zákonitostmi, které se projevují v náhodných pokusech. Tyto zákonitosti mají opodstatnění
VícePravděpodobnost a statistika
Pravděpodobnost a statistika 1 Náhodné pokusy a náhodné jevy Činnostem, jejichž výsledek není jednoznačně určen podmínkami, za kterých probíhají, a které jsou (alespoň teoreticky) neomezeně opakovatelné,
VíceDůkaz, který si vyžádaly teorie SUSY a GUT.
Gravitace: SUSY a GUT Petr Neudek 1 Důkaz, který si vyžádaly teorie SUSY a GUT. V souvislosti s rozvojem kosmologie došli vědci k poznání, že vesmír se pravděpodobně zrodil tak jak popisuje teorie velkého
VíceTeorie informace a kódování (KMI/TIK) Reed-Mullerovy kódy
Teorie informace a kódování (KMI/TIK) Reed-Mullerovy kódy Lukáš Havrlant Univerzita Palackého 10. ledna 2014 Primární zdroj Jiří Adámek: Foundations of Coding. Strany 137 160. Na webu ke stažení, heslo:
VíceVYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY
VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Jan Krejčí 31. srpna 2006 jkrejci@physics.ujep.cz http://physics.ujep.cz/~jkrejci Obsah 1 Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic 3 1.1 Gaussova eliminace...............................
VíceKombinatorika. Irina Perfilieva. 19. února logo
Kombinatorika Irina Perfilieva Irina.Perfilieva@osu.cz 19. února 2008 Outline 1 Předmět kombinatoriky Základní kombinatorické konfigurace 2 Dvě základní pravidla kombinatoriky 3 Počet základních kombinatorických
VíceAfinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe.
4 Afinita Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe. Poznámka. Vzájemně jednoznačným zobrazením rozumíme zobrazení,
VíceSEZNAM VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ - ANOTACE
SEZNAM VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ - ANOTACE Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast Autor CZ.1.07/1.5.00/34.0797 III/2 INOVACE A ZKVALITNĚNÍ VÝUKY PROSTŘEDNICTVÍM ICT 2M3 Slovní
VíceDefinice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují
Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),
Vícepříkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u.
Několik řešených příkladů do Matematiky Vektory V tomto textu je spočteno několik ukázkových příkladů které vám snad pomohou při řešení příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů které jsem nestihl
VíceGravitace : Komentáře Petr Neudek 1. Cesta k průměru.
Gravitace : Komentáře Petr Neudek 1 Cesta k průměru. Jedná se o určité zamyšlení nad tím, co je to průměr, nebo střední hodnota. Obecně je problematika brána z mnoha pohledů, a lze narazit v každé kapitole
VíceAlgebraické struktury s jednou binární operací
16 Kapitola 1 Algebraické struktury s jednou binární operací 1.1 1. Grupoid, pologrupa, monoid a grupa Chtěli by jste vědět, co jsou to algebraické struktury s jednou binární operací? No tak to si musíte
VíceGymnázium Česká a Olympijských nadějí, České Budějovice, Česká 64, 37021
Maturitní témata MATEMATIKA 1. Funkce a jejich základní vlastnosti. Definice funkce, def. obor a obor hodnot funkce, funkce sudá, lichá, monotónnost funkce, funkce omezená, lokální a globální extrémy funkce,
VíceGymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora
Předmět: Náplň: Cvičení z matematiky geometrie (CZMg) Systematizace a prohloubení učiva matematiky Planimetrie, Stereometrie, Analytická geometrie, Kombinatorika, Pravděpodobnost a statistika Třída: 4.
VíceSoustavy lineárních rovnic
Soustavy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních diferenciálních rovnic y = a (x)y + a (x)y + + a n (x)y n + f (x) y = a (x)y + a (x)y + + a n (x)y n + f (x). y n = a
VíceMatematika. ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání:
Studijní obor: Aplikovaná chemie Učební osnova předmětu Matematika Zaměření: ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání: denní Celkový počet vyučovacích hodin za
VíceMaturitní okruhy z matematiky - školní rok 2007/2008
Maturitní okruhy z matematiky - školní rok 2007/2008 1. Některé základní poznatky z elementární matematiky: Číselné obory, dělitelnost přirozených čísel, prvočísla a čísla složená, největší společný dělitel,
VíceV předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti
Kapitola 5 Vektorové prostory V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti operací sčítání a násobení
Vícea) 7! 5! b) 12! b) 6! 2! d) 3! Kombinatorika
Kombinatorika Kombinatorika se zabývá vytvářením navzájem různých skupin z daných prvků a určováním počtu takových skupin. Kombinatorika se zabývá pouze konečnými množinami. Při určování počtu výběrů skupin
VíceMatematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29
Matematika 1 11. přednáška MA1 1 Opakování 2 Determinant 3 Adjungovaná matice 4 Cramerovo pravidlo 5 Vlastní čísla a vlastní vektory matic 6 Zkouška; konzultace; výběrová matematika;... 11. přednáška (15.12.2010
VíceALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole
SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 4: Grupy, okruhy a pole Základní pojmy unární operace, binární operace, asociativita,
Více6. Vektorový počet Studijní text. 6. Vektorový počet
6. Vektorový počet Budeme se pohybovat v prostoru R n, což je kartézská mocnina množiny reálných čísel R; R n = R R. Obvykle nám bude stačit omezení na případy n = 1, 2, 3; nicméně teorie je platná obecně.
VíceLineární algebra Operace s vektory a maticemi
Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................
Více11. Soustava lineárních rovnic - adiční metoda
@127 11. Soustava lineárních rovnic - adiční metoda Adiční neboli sčítací metoda spočívá ve dvou vlastnostech řešení soustavy rovnic: vynásobením libovolné rovnice nenulovým číslem se řešení nezmění, součtem
Více3. Matice a determinanty
. Matice a determinanty Teorie matic a determinantů představuje úvod do lineární algebry. Nejrozsáhlejší aplikace mají matice a determinanty při řešení systémů lineárních rovnic. Pojem determinantu zavedl
VíceMnožiny, relace, zobrazení
Množiny, relace, zobrazení Množiny Množinou rozumíme každý soubor určitých objektů shrnutých v jeden celek. Zmíněné objekty pak nazýváme prvky dané množiny. Pojem množina je tedy synonymem pojmů typu soubor,
VíceÚvod do lineární algebry
Úvod do lineární algebry 1 Aritmetické vektory Definice 11 Mějme n N a utvořme kartézský součin R n R R R Každou uspořádanou n tici x 1 x 2 x, x n budeme nazývat n rozměrným aritmetickým vektorem Prvky
VíceCVIČNÝ TEST 41. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17
CVIČNÝ TEST 41 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Je dán magický čtverec, pro nějž platí,
VíceDiskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2018/2019
Diskrétní matematika Petr Kovář petr.kovar@vsb.cz Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava DiM 470-2301/01, zimní semestr 2018/2019 O tomto souboru Tento soubor je zamýšlen především jako pomůcka
VíceRELACE, OPERACE. Relace
RELACE, OPERACE Relace Užití: 1. K popisu (evidenci) nějaké množiny objektů či jevů, které lze charakterizovat pomocí jejich vlastnostmi. Entita je popsána pomocí atributů. Ty se vybírají z domén. Různé
VíceCvičení z Numerických metod I - 12.týden
Máme systém lineárních rovnic Cvičení z Numerických metod I - týden Přímé metody řešení systému lineárních rovnic Ax = b, A = a a n a n a nn Budeme hledat přesné řešení soustavy x = x x n, b = b b n, x
VíceProjekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Práce s daty, kombinatorika a pravděpodobnost Gradovaný řetězec úloh Téma: Pravděpodobnost
VíceMaticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:
3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...
VíceMatematika B101MA1, B101MA2
Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet
VíceFunkce a lineární funkce pro studijní obory
Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii
VíceZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332
Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu
VíceMatice. a m1 a m2... a mn
Matice Nechť (R, +, ) je okruh a nechť m, n jsou přirozená čísla Matice typu m/n nad okruhem (R, +, ) vznikne, když libovolných m n prvků z R naskládáme do obdélníkového schematu o m řádcích a n sloupcích
VíceChyby měření 210DPSM
Chyby měření 210DPSM Jan Zatloukal Stručný přehled Zdroje a druhy chyb Systematické chyby měření Náhodné chyby měření Spojité a diskrétní náhodné veličiny Normální rozdělení a jeho vlastnosti Odhad parametrů
Více[1] samoopravné kódy: terminologie, princip
[1] Úvod do kódování samoopravné kódy: terminologie, princip blokové lineární kódy Hammingův kód Samoopravné kódy, k čemu to je [2] Data jsou uložena (nebo posílána do linky) kodérem podle určitého pravidla
Více1 Mnohočleny a algebraické rovnice
1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem
Více1 Řešení soustav lineárních rovnic
1 Řešení soustav lineárních rovnic 1.1 Lineární rovnice Lineární rovnicí o n neznámých x 1,x 2,..., x n s reálnými koeficienty rozumíme rovnici ve tvaru a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b, (1) kde koeficienty
Více5 Pravděpodobnost. Sestavíme pravděpodobnostní prostor, který modeluje vytažení dvou ponožek ze šuplíku. Elementární jevy
Typické příklady pro zápočtové písemky DiM 70-30 (Kovář, Kovářová, Kubesa) (verze: November 5, 08) 5 Pravděpodobnost 5.. Jiří má v šuplíku rozházených osm párů ponožek, dva páry jsou černé, dva páry modré,
Více10. cvičení z PST. 5. prosince T = (n 1) S2 X. (n 1) s2 x σ 2 q χ 2 (n 1) (1 α 2 ). q χ 2 (n 1) 2. 2 x. (n 1) s. x = 1 6. x i = 457.
0 cvičení z PST 5 prosince 208 0 (intervalový odhad pro rozptyl) Soubor (70, 84, 89, 70, 74, 70) je náhodným výběrem z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) Určete oboustranný symetrický 95% interval spolehlivosti
Více