Statistické zpracování dat garant: Prof. Ing. Milan Palát, CSc.

Transkript

1 Statistické zpracování dat garant: Prof. Ing. Milan Palát, CSc. OP Vzdělávání pro konkurenceschopnost Aktivita 02 Vícerozměrné statistické metody (podklady pro modul, další aplikace v systému UNISTAT a STATISTICA) Mnohonásobná regresní analýza Kroková regrese Metoda hlavních komponent Faktorová analýza Knické korelace Shluková analýza

2 Kroková regrese ukázka aplikace (autoři Milan PALÁT, Jan PRUDKÝ, Milan PALÁT,jr) VNITŘNÍ DYNAMIKA PROCESU KROKOVÉ LINEÁRNÍ REGRESE UŽITÉ PŘI ANALÝZE PŘIROZENÉ RETENCE VODY V POVODÍ ŘEKY OPAVY ZA POVODNĚ V ČERVENCI 1997 Shrnutye rozšířené poznatky z různých fází krokové regresní analýzy faktorů ovlivňujících přirozenou retenční schopnost povodí u 16ti dílčích povodí řeky Opavy o velikosti od 16,5 km2 do 2039 km2 při povodni v červenci 1997 a navazuje na článek Analýza přirozené retence vody v povodí řeky Opavy při povodni v červenci 1997, publikovaný v rámci konference Hydrológia na prahu 21. storočia v roce 2003 ve Smolenici. K tomu účelu byly statisticky vyhodnoceny veličiny charakterizující transformaci extrémního deště povodím, tj. efektivní dlouhodobá retence povodí Rdef, efektivní krátkodobá retence povodí Rkef, efektivní celková retence povodí Rcef a maximální specifický odtok z povodí qmax. Pro vyhodnocení se použila vícenásobná regresní a korelační analýza, při které se využil statistický program UNISTAT. Cílem zmíněné analýzy bylo především určit statisticky významné faktory ovlivňující přirozenou retenci povodí. Statistickou analýzou se zjistilo, že při červencových povodních 1997 velikost této retence Rdef nejvýznamněji pozitivně ovlivnily celková výška extrémního deště, poměrné plošné zastoupení trvalých travních porostů v povodí, poměrné plošné zastoupení orné půdy v povodí, poměrné plošné zastoupení lesních porostů a negativně průměrná sklonitost terénu povodí. Efektivní krátkodobou retenci povodí Rkef nejvýznamněji ovlivnily průměrná maximální výška extrémního deště v povodí, průměrná sklonitost terénu povodí a poměrné plošné zastoupení trvalých travních porostů, orné půdy a lesních porostů v povodí. Smysl ovlivnění Rkef je v případě u trvalých travních porostů, orné půdy a lesních porostů opačný než tomu bylo v případě Rdef. Efektivní celková přirozená retence povodí je součtem efektivní dlouhodobé a krátkodobé retence povodí (Rcef = Rdef + Rkef). Je však třeba poznamenat, že tento příspěvek oproti minulým publikovaným pracím věnuje pozornost vnitřní dynamice krokové regrese ve smyslu sledování úbytku nezávisle proměnných v závislosti na stvení F hodnoty, charakterizující vstup nebo vyloučení nezávisle proměnné. Jestliže v minulém zpracování bylo krokovou lineární regresí vybráno, jak je výše uvedeno, v konečné fázi 5 nezávisle proměnných nejvíce ovlivňujících velikost přirozené retence vody Rdef, R kef Rcef, a qmax spolu s kvantifikací jejich působení prostřednictvím koeficientů, nedozvěděli jsme se nic o tom, jak při jednotlivých krocích regrese byly ze zpracování vylučovány více či méně významné faktory v určitém mezičase zpracování pro který jsme zvolili počet nezávisle proměnných 7-8 tak, jak zůstu při stvené F hodnotě, reprezentované nezávisle proměnnými. V této souvislosti je třeba se zmínit, že výchozí počet nezávisle proměnných byl 15 (viz tab.1) a konečný počet nezávisle proměnných 5. Zvolený počet 7-8 nezávisle proměnných a hlavně jejich hydrologické charakteristiky nám podává určitou informaci o vnitřním vývoji procesu lineární krokové regrese jak probíhal, než se dospělo ke koncovému stvení pěti nezávisle proměnných.

3 Důležitost jednotlivých charakteristik vyjádřených čtrnácti nezávisle proměnnými lze poměřit na základě dřívějšího či pozdějšího vyloučení při určitém stveném prahu důležitosti F. Složitost celého procesu lze doložit faktem, že na samotném začátku krokové regrese jsme pracovali se 52 nezávisle proměnnými z nichž se na základě neprokázané statistické významnosti, případně kolinearity bylo postupně 37 proměnných vyloučeno. Zachovaných 15 nezávisle proměnných je uvedeno v tabulce 1. Základní pojmy procesu přirozené vodní retence jsou tyto: Celková přirozená vodní retence povodí Rc je voda dočasně zdržená na povrchu terénu, v půdě, v korytě toku aj. přirozeným způsobem, tj. bez retence v umělých vodních nádržích a v inundacích. Lze ji rozdělit do dalších pěti dílčích složek: retence povrchové Rpv, obsahující vodu zdrženou na povrchu terénu a v korytě toku, retence hypodermické Rhp, obsahující vodu podpovrchovou pohybující se v bezprostřední vrstvě pod povrchem aniž by dosáhla hladiny podzemní vody, retence v aeračním pásmu půdy Rap, sestávající z vody zachycené v kapilárách nenasycené zóny půdy a vody infiltrující do podzemní vody, retence podzemní Rpz, zahrnující infiltrovu vodu zvětšující zásobu podzemní vody, územního výparu E, tj. výparu z povrchu půdy území společně s transpirací (výpar vydaný rostlinami) a intercepcí (výpar z části srážky, která ulpí na povrchu rostlin). Tab. 1 Přehled závisle a nezávisle proměnných vstupujících do statistické analýzy Efektivní Efektivní dlouhodobá krátkodobá Závisle retence povodí proměnné retence povodí Rkef Rdef Nezávisle proměnné ne ne Součinitel tvaru povodí ω Maximální specifický odtok z povodí qmax Plocha povodí Délka toku L Objem povodňové srážky Součinitel předchozích srážek API Efektivní dlouhodobá retence povodí ne ne Efektivní krátkodobá retence povodí ne ne Maximální denní srážka Zastoupení orné půdy v povodí Zastoupení trvalých travních porostů v povodí Zastoupení ostatních druhů pozemků v povodí Zastoupení hydrologické skupiny půd B Zastoupení lesů v povodí Průměrná sklonitost terénu v povodí Zastoupení odvodnění v povodí

4 Pro efektivní dlouhodobou retenci povodí Rdef v mm byl odvozen původní vztah: Rdef = - 464,7 + 0,1066ΣH i + 4,79F OP + 7,30 F TTP + 5,54F L 1,117st [mm] (1) kde ΣH i průměrná výška povodňové srážky v povodí [mm], poměrné plošné zastoupení orné půdy v povodí [% plochy povodí], F OP F TTP poměrné plošné zastoupení trvalých travních porostů [% plochy povodí], F L poměrné plošné zastoupení lesních porostů v povodí [% plochy povodí], průměrná sklonitost terénu povodí [úhlové stupně], st Na první pohled jsou v tomto vztahu zastoupeny víceméně očekávané charakteristiky (nezávisle proměnné) jako jsou plošná zastoupení lesních, travních a polních kultur, průměrná sklonitost terénu povodí a samozřejmě průměrná výška povodňové srážky v povodí. Učiníme-li krok zpět v krokové regresi a sice hodnoty F snížíme na 0,25 0,30 dostaneme do vztahu další charakteristiky jako jsou plocha povodí F v km2, délka povodí L v km, součinitel tvaru povodí ω, dále procento ostatních ploch tedy plochy zpevněné z hydrologického hlediska nechvalně známé rychlým odtokem. Vzhledem k ploše, kterou v povodí zaujímají (často 3-5%) však nejsou zanedbatelné. Zajímavou charakteristikou (i když ne neočekávu) je index předchozích srážek API. Pro efektivní krátkodobou retenci povodí R kef v mm byl zjištěn původně vztah: Rkef = 309, ,11H max - 2,36 F OP 4,48 F TTP 2,40 F L 8,33 st [mm] (2) kde H max průměrná maximální výška povodňové denní srážky v povodí [mm den-1], F OP, F TTP, F L a st viz vztah (1) Opět při kroku vzad v krokové lineární regresi a nastavení hodnoty F na 0,9 1,0 získáváme 8 charakteristik, kde se kromě opakujících se H max, F TTP, F L a st můžeme jako další charakteristiku spatřit plochu odvodnění v procentech plochy povodí F O, dále délku toku L v km, index předchozích srážek API a součinitel tvaru povodí ω. Oproti minulému vztahu zůstala nezařazena orná půda vyjádřená procentem plochy povodí F OP. Jelikož velikost efektivní celkové přirozené retence povodí Rcef vyjádřená v mm je součtem efektivní dlouhodobé a krátkodobé retence povodí, lze ji stvit pomocí součtu vztahů (1) a (2) a upravit do výrazu: Rcef = -155, ,1066 ΣH i + 1,11 H max + 2,43 F OP + 2,82 F TTP + 3,14 F L 9,447 st [mm] (3) kde H i, F OP, F TTP, FL, st viz vztah (1), H max, viz vztah (2). Opět je zřejmé, že pro širší vztah dle výše uvedeného by bylo nutné zahrnout do obou vztahů vyšetřené další již zmíněné charakteristiky. Není cílem této práce zacházet až do tvorby nových, rozšířených vztahů i když by to nebylo nic nemožného a všechny potřebné podklady mají autoři tohoto příspěvku k dispozici. Domnívají se však, že uvedení rozšířených vztahů povede k znepřehlednění této práce. Bude tak provedeno pouze v případě maximálního specifického odtoku z povodí qmax jako příklad. Maximální specifický odtok z povodí qmax v l s-1 km-2 se ství podle vztahu:

5 qmax = ,147H max - 30,968 F OP 53,26 F TTP 34,729 F L + 37,746 st [l s-1 km-2] (4) kde H max, viz vztah (2), F TTP, F OP, F L, st viz vztah (1). Maximální specifický odtok z povodí qmax v l s-1 km-2 se v rozšířené podobě se sedmi nezávisle proměnnými ství podle vztahu: I tento vztah si lze představit v poněkud rozšířenější formě při učinění kroku vzad v rámci krokové lineární regresní analýzy. Dalšími členy oproti původní pětici se při stvení hodnoty F 1,8 1,5 se stu plocha povodí F v km2, dále F OSP tedy procento ostatních ploch v povodí, součinitel předchozích srážek API, podíl hydrologické skupiny půd B a procento odvodněné půdy v povodí. Qmax = ,86 FOSP - 47,64 FTTP - 0,331F + 2,35 API + 1,636 ΣH t + 35,44 st - 36,25B Výše uvedené rovnice byly odvozeny pro povodně z letních extrémních dlouhotrvajících regionálních dešťů v povodí Opavy. Rovnice platí pro tato rozmezí hodnot nezávisle proměnných veličin: Průměrné množství povodňové srážky ΣH i od 167,6 mm do 686,0 mm, maximální denní srážka Hmax od 46,7 mm do 198,8 mm, poměrné plošné zastoupení orné půdy v povodí F OP od 0 % do 53,51 %, trvalých trav. porostů F TTP od 0,81 % do 26,55 % a lesních porostů F L od 23,38 % do 98,07 %, průměrná sklonitost terénu st od 4,9 do 11,3. (PRUDKÝ 2003) Závěr Na základě vyhodnocení statistické analýzy pro povodně vzniklé extrémním regionálním deštěm v červenci 1997 v povodí řeky Opavy lze učinit závěry týkající se významnosti jednotlivých faktorů ovlivňujících velikost retenční schopnosti krajiny. Literatura: [6] PALÁT, M.: Model of the organic matter flow in a rpresentative of the foodplain forest. In: Penka, M., Vyskot, M., Klimo, E., Vašíček, F. (Edits.), Floodplain forest Ecosystem. 2. After Water Management Measures, Academia Praha/Elsevir Amsterdam, 1991, pp ISBNO [7] PALÁT M.: Biomass flow in a floodplain forest ecosystem and in man-made Norway spruce forest. Forestry, 43, 1997 (10): ISSN [8] PRUDKÝ, J.: Analýza přirozené retence vody v povodí řeky Opavy při povodni v červenci 1997 In: Acta Hydrologica Slovaca, Ročník 4, č. 2, 2003, s

6

7 Metoda hlavních komponent Je třeba zdůraznit, že kvalita výsledků závisí na oprávněnosti a platnosti vyslovených předpokladů, ať už se týkají typu zvoleného modelu, použitých výpočetních postupů či způsobu pořízení dat. Víme, že je nutně třeba identifikovat odlehlá, resp. příliš vlivná pozorování, protože někdy až dramaticky ovlivňují výsledky nejen regresní analýzy či analýzy rozptylu. Rovněž předpoklad homoskedasticity či vícerozměrného normálního rozdělení není pouhým konstatováním, ale vážně míněným varováním i doporučením pro případné transformace dat nebo modelu. Podobně vzájemná silná lineární závislost (multikolinearita) vysvětlujících proměnných je vážným nebezpečím pro interpretaci regresních charakteristik. Je to přirozený důsledek obecnější situace, ve které rozměr prostoru, v němž se data nacházejí, je ve skutečnosti nižší než je počet sledovaných veličin. Analýza hlavních komponent může být velmi dobře využita nejen k nalezení odpovědí na vyslovené otázky, ale je to obecně vynikající diagnostický nástroj pro identifikaci a hodnocení zvláštností posuzovaných a analyzovaných údajů. D. E. Johnson (1998) dokonce uvádí, že analýza hlavních komponent (Principal Component Analysis) je asi nejužitečnější nástroj po posouzení a prověření kvality vícerozměrných dat. Pro poznání a pochopení dat se doporučuje téměř každou vícerozměrnou úlohu začít výpočtem a zobrazením hlavních komponent. Cíle metody hlavních komponent U mnoha výzkumných úloh se lze setkat se situací, kdy výchozí počet proměnných, sledovaných u zkoumaných jevů a procesů je značný a pro interpretaci nepřehledný. Pro zjednodušení analýzy a snadnější hodnocení výsledků je často vhodné zkoumat, zda by studované vlastnosti pozorovaných objektů nebylo možné nahradit menším počtem jiných (třeba i umělých) proměnných, shrnujících poznatky o výchozích proměnných získaných z dat, aniž by při tom došlo k větší ztrátě informace. K řešení tohoto problému byly už více než před 70 lety vytvořeny dvě příbuzné vícerozměrné metody, a to metoda hlavních komponent a její obsahové, výpočetní a hlavně interpretační rozšíření - faktorová analýza. Pro metodu hlavních komponent je při stejných měřicích jednotkách a relativně podobné variabilitě všech proměnných výhodnější vycházet z analýzy kovarianční matice, zatímco faktorová analýza se téměř výhradně opírá o korelační matici. Obě metody se pokoušejí nalézt v pozadí stojící a tedy skryté (umělé, neměřitelné, latentní) veličiny, označované za hlavní komponenty nebo faktory, vysvětlující variabilitu a závislost uvažovaných proměnných. Tyto nově vytvořené proměnné (říkejme jim variates bez

8 vhodného českého ekvivalentu) nejsou ničím jiným než lineární kombinace původních měřitelných (nebo aspoň kvantifikovaných ordinálních) proměnných. Připomíná to lineární regresní funkci, ale významově jde o zcela něco jiného. Na rozdíl od regresních či podobných úloh se nezkoumají závislosti výhradně pozorovatelných, významově lépe či hůře jednoznačně vymezených, vysvětlovaných proměnných na jedné či více vysvětlujících proměnných. Studují a posuzují se vzájemné lineární vztahy mezi pozorovanými proměnnými, které se ve faktorové analýze vnímají i hodnotí jako důsledek existence přímo neměřitelných známých nebo hypotetických obecnějších vlivů. Často více heuristický přístup, vyžadující nejen hluboké porozumění posuzované problematiky, ale i značné znalosti a zkušenosti se zvolenou metodou analýzy dat, je některými statistiky odmítán jako málo exaktní, nedostatečně průkazný a hlavně příliš subjektivní. Mnozí výzkumníci ve společenských vědách (hlavně sociologové) však faktorové analýze velmi důvěřují. Metoda hlavních komponent i faktorová analýza se tedy snaží nalézt takové přímo neměřitelné a nejlépe vzájemně nezávislé lineární kombinace původních proměnných, kterých je výrazně méně a ve šťastnějších případech mohou mít i určitou věcnou interpretaci. Každopádně je nesporné, že podaří-li se původní proměnné vyjádřit pomocí menšího počtu nových proměnných bez větší ztráty informace, získá se úspornější popis původního systému proměnných, což je užitečné pro interpretaci i pro využití v jiných statistických metodách. Základní rozdíl mezi metodou hlavních komponent či faktorovou analýzou na jedné straně a vícenásobnou regresí či knickou korelací na straně druhé je v postavení studovaných proměnných. Proměnné v komponentní ani faktorové analýze nejsou členěny podle směru závislosti na vysvětlující a vysvětlované a apriorně jsou posuzovány jako rovnocenné, i když třeba jsou svým významem nestejně důležité. Jejich vzájemné vztahy nejsou vysvětlovány příčinnou závislostí na jiných posuzovaných proměnných, ale působením přímo neměřitelných umělých veličin - komponent či faktorů. Od nových proměnných se v obou metodách požaduje, aby co nejlépe reprezentovaly (vysvětlovaly) původní proměnné. Konkretizace tohoto požadavku není však v obou metodách úplně stejná. Požadujeme-li, aby nové proměnné co nejvíce vysvětlovaly variabilitu původních proměnných, docházíme k metodě analýzy hlavních komponent. Požadujeme-li, aby soubor vytvořených proměnných co nejlépe reprodukoval vzájemné lineární vztahy původních proměnných, docházíme k metodě faktorové analýzy. Pracujeme-li s populační nebo s výběrovou kovarianční matici sledovaných proměnných X1, X2,..., Xp, tak v případě metody hlavních komponent se pozornost soustřeďuje především na diagonální prvky, tedy na rozptyly sledovaných proměnných. Jsou-li sledované proměnné v normovaném tvaru anebo jde o proměnné v nestejných měřicích jednotkách, je nutné v komponentní i faktorové analýze vycházet z korelační matice, přestože vysvětlování jednotkových rozptylů na diagonále působí poněkud nepřirozeně. V současné statistické literatuře je analýza hlavních komponent doporučována především jako význačný nástroj průzkumové analýzy dat, dále jako velmi užitečný pomocník některých dalších metod analýzy vícerozměrných pozorování, ale do jisté míry i jako samostatný nástroj rozboru struktury vztahů v množině vzájemně závislých proměnných. Bylo už řečeno, že pro téměř každou vícerozměrnou analýzu dat lze doporučit metodu hlavních komponent jako první krok pro ověření předpokladů a pro odhalení případných odlehlých pozorování či jiných datově podezřelých okolností. Metoda hlavních komponent je i z jiného hlediska užitečným pomocníkem některých statistických metod. Například pomáhá regresní analýze v případě velkého počtu vzájemně závislých vysvětlujících proměnných, diskriminační analýze při malém počtu pozorování a velkém počtu proměnných, shlukové analýze při klasifikaci objektů do homogenních skupin na základě velkého počtu

9 proměnných, ale i faktorové analýze a jiným vícerozměrným metodám jako jedno z možných prvních řešení. Většina učebnic o vícerozměrných metodách uvádí jako hlavní cíle analýzy hlavních komponent redukci rozměru množiny dat a identifikaci nových smysluplných proměnných. První cíl však není úplně pravdivý, protože ve skutečnosti se nesnažíme snížit, ale nalézt správný rozměr souboru dat. Hlavní komponenty mohou tedy usnadnit určení rozměru úlohy, a tím bez výrazné ztráty informace zlepšit kvalitu analýzy. Pokud jde o druhý cíl, metoda hlavních komponent za běžně splněných podmínek vždy vede k novým proměnným, ale nelze nijak slíbit jejich smysluplnost. Avšak i v takovém případě je analýza hlavních komponent velice užitečná jako nepostradatelný průzkumový nástroj analýzy dat pro ověřování předpokladů a jako pomocník při identifikaci přirozených shluků objektů či proměnných, a ovšem z nejrůznějších důvodů i při snaze o snížení počtu uvažovaných proměnných. Je však velice důležité si uvědomit, že metoda hlavních komponent pomáhá výzkumníkům i v případě, že hlavní komponenty nelze přímo rozumné interpretovat. To je podle našeho názoru velký rozdíl proti faktorové analýze,jejíž cíle jsou v tomto smyslu zásadně jiné. Hlavní komponenty v populaci Za jeden z cílů metody hlavních komponent jsme označili nalezení skutečného rozměru prostoru, ve kterém se napozorovaná data nacházejí. Pro splnění tohoto úkoluje výhodné, když: 1. Nové proměnné (komponenty) jsou vytvářeny postupně s klesajícím významem své důležitosti. 2. Nové proměnné (dále už jen komponenty)jsou vzájemně nekorelované. 3. Nejdůležitější první (říkejme hlavní komponenta vysvětlí co nejvíce z celkové variability, čímž se myslí co největší část ze součtu rozptylů všech zkoumaných proměnných. 4. Každá další komponenta vysvětlí co nejvíce ze zbývající celkové variability dat, takže na poslední (z hlediska podílu na vysvětlené variabilitě nejméně důležitou) připadne z celkové variability nevysvětlený malý zbytek. 5. Pro p původních proměnných je R < p správný rozměr úlohy. Cílovým stavem je situace, ve které R (nejlépe výrazně menší než p) hlavních komponent dostatečně vysvětluje variabilitu původních proměnných. 6. Kritérií dostatečnosti vysvětleni je více, ale v zásadě by měla vést ke stejnému R. 7. Pro hodnocení a uspořádání objektů by asi bylo nejvýhodnější mít jen jednu hlavní komponentu, ale to lze jen velmi vzácně očekávat. Z hlediska možností grafického zobrazení by bylo příjemné mít nejvýše tři hlavní komponenty, ale záleží samozřejmě i na počtu studovaných proměnných. Zkušenosti s používáním metody hlavních komponent ukazují, že případ tří až čtyř hlavních komponent je poměrně častý a více než pět až šest hlavních komponent nelze považovat za příliš úspěšné řešení a nebývá ani zapotřebí. Shrnutí metody hlavních komponent Jako vhodnou situaci je možné označit případ, ve kterém máme k dispozici slušně velký náhodný výběr z vícerozměrného normálního rozdělení hodnot příliš velkého počtu vzájemně silně korelovaných veličin. Metoda hlavních komponent se především využívá pro zlepšení úrovně průzkumové analýzy dat, ale je užitečná i v regresní, shlukové i faktorové analýze, ale v některých speciálních postupech jiných metod. Analýza hlavních komponent

10 umožňuje odhalit případná narušení dat, jako jsou odlehlá pozorování, nestejná homogenita přirozených skupin v datech, odchylky od podmínky nezávislosti jednotlivých pozorování anebo narušení předpokladu vícerozměrného normálního rozdělení. Pokud by pomohla odhalit v pozadí stojící pojmenovatelné příčiny korelovsti a variability studovaných veličin, bylo by to asi více než se od metody hlavních komponent očekává. Prvním krokem analýzy po formální inspekci dat je posouzení stupně korelovsti sledovaných proměnných. K tomu je možné využít některou z variant Bartlettova testu diagonální korelační matice. Za uspokojivý strav se pro metodu hlavních komponent považuje silná vzájemná lineární závislost proměnných, kdy na rozdíl od vysokých párových korelačních koeficientů jsou dílčí korelační koeficienty téměř nulové, což ukazuje na nepodstatnost vlivu činitelů, které v dané úloze nejsou uvažovány. Další kroky metody hlavních komponent směřují k nalezení skutečného rozměru R dat a k určení co nejmenšího počtu hlavních komponent takových, aby zbývajících p - R komponent už nepředstavovalo užitečný přínos. Nástrojem pro rozhodnutí může být podíl vysvětleného součtu rozptylu původních proměnných, počet potřebných komponent podle subjektivního dojmu na základě o grafu charakteristických čísel (scree plotu), anebo v případě nutnosti použití korelační matice místo kovarianční matice i počet charakteristických čísel větších než jedna. Dáváme sice přednost analýze hlavních komponent odvozených z kovarianční matice, ale v případě nestejných měřicích jednotek nebo při velkých rozdílech mezi rozptyly nezbývá nic jiného než vyjít z normovaných proměnných a analýzu hlavních komponent založit na charakteristických číslech a vektorech korelační matice. Jsme určitě spokojeni, podaří-li se relativně velký počet proměnných uspokojivě nahradit jednou až dvěma hlavními komponentami, ale ani mírně větší počet hlavních komponent neznamená neúspěšnost metody hlavních komponent. Silná závislost sledovaných proměnných, optimální volba relativně malého počtu hlavních komponent, silné korelace mezi výchozími proměnnými a ortogonálními komponentami, jsou důležité podmínky užitečnosti hodnot hlavních komponent u sledovaných objektů. Kromě posouzení kvality posuzovaných dat nabízejí nové proměnné příležitost využití i k jiným účelům a v optimistických případech dovolují formulovat závěry o interpretaci nově vzniklých proměnných. Pro analýzu dat je výhodnější komponentní skóre vycházející z kovarianční matice v nenormovaném tvaru, zatímco k některým dalším účelům, jako je třeba využití proměnných pro klasifikaci objektů, je lepší vycházet z normovaných komponent a z normovaného komponentního skóre. Příklad Údaje z se týkají n = 48 osob, které se přihlásily do konkursu o místo ve velké firmě. Přihlášení byli hodnoceni na základě zaslaného dopisu, ve kterém žadatelé o místo odpověděli na položené otázky a napsali podrobněji o svém vzdělání a dosavadních zkušenostech. Body od nuly do deseti od posuzovatelů se týkaly následujících p = 15 proměnných, které hodnotily kvalitu dopisu (X1), celkový dojem (X2), akademickou způsobilost (X3), příjemnost (X4), sebedůvěru (X5), srozumitelnost (X6), čestnost (X7), schopnost prodávat (X8), zkušenosti (X9), řídící schopnosti (X10), ambice (X11), pochopení pojmů (X12), potenciál (X13), snahu o získáni místa (X14) a přiměřenost potřebám místa (X15). Výpočty byly provedeny v NCSS, SPSS, STATISTICE i v českém paketu QCExpert. Některé tabulky byly zjednodušeny, upraveny a částečně modifikovány do následující komentované podoby. Ukázalo se, že přístupy různých tvůrců programů v oblasti metody hlavních komponent mají velké průniky, ale rozhodně nejsou stejné. Použitá terminologie, výběr charakteristik a typů koeficientů se dosti liší, což komplikuje i zkušenějšímu uživateli představu o obsahu nabízených výstupů a začínajícím může činit značné potíže.

11

12

13

14 Faktorová analýza

15

16

17 Faktorová analýza je další statistická metoda, která je zaměřená na vytváření nových proměnných a na snížení rozsahu (redukci) dat s co nejmenší ztrátou informace. Zatímco metoda hlavních komponent provádí jen ortogonální transformaci vzájemně lineárně závislých proměnných s cílem usnadnit průzkumovou analýzu dat a umožnit snížení počtu proměnných pro potřeby jiných statistických metod, faktorová analýza vychází ze statistického modelu a rozumně formulovaných předpokladů. Jedním ze základních cílů faktorové analýzy je posoudit strukturu vztahů sledovaných proměnných a zjistit tak, zda dovoluje jejich rozdělení do skupin, ve kterých by studované proměnné ze stejných skupin spolu více korelovaly než proměnné z různých skupin. Jiným hlavním úkolem faktorové analýzy je vytvořit nové nekorelované proměnné - faktory - v naději, že tyto nové proměnné umožní lépe pochopit analyzovaná data, a případně i jiné použití. Myšlenka redukce dat je vnímána podobně jako v metodě hlavních komponent, ale poněkud ustupuje před potřebou vysvětlit napozorované korelace pomocí nepozorovatelných a svou podstatou hypotetických faktorů. Historie a názory na faktorovou analýzu Faktorová analýza (dále též FA) je vícerozměrná statistická metoda, jejíž hlavním úkolem je rozbor struktury vzájemných závislostí posuzovaných proměnných. Tato metoda oblíbená ve společenskovědních výzkumech (především z oblasti psychologie a sociologie) vychází z předpokladu, že závislosti mezi sledovanými proměnnými jsou důsledkem působení určitého menšího počtu v pozadí stojících nezměřitelných veličin, které jsou označovány za společné faktory. Faktorová analýza si proto klade za hlavní cíl poznat a využít (na základě závislostí pozorovaných proměnných) strukturu (přímo nepozorovatelných a nezměřitelných) společných faktorů, které jsou považovány za skryté příčiny vzájemně korelovaných proměnných. Faktorová analýza se snaží odvodit, vytvořit a pochopit společné faktory (definované jako lineární kombinace původních veličin) takové, aby vysvětlovaly a objasňovaly pozorované závislosti co nejlépe a nejjednodušeji. Tím se myslí, že v konečném řešení by každá proměnná měla korelovat s minimálním počtem faktorů a zároveň počet faktorů R by měl být co nejmenší a odpovídat skutečnému rozměru úlohy i dat. Faktorová analýza vznikla v psychologii. Za jejího zakladatele je považován Ch. Spearman, který v roce 1904 v článku o povaze inteligence navrhl hypotézu o existenci společného faktoru obecné intelektové schopnosti, způsobujícího korelace mezi výsledky různých inteligenčních testů. Kromě společného faktoru předpokládal Spearman i existenci specifických faktorů, uplatňujících se jen v rámci daného testu a nekorelujících s ostatními. O další rozvoj FA se zasloužil L. L. Thurstone (práce z období 1944 až 1961 ), který vymezil pojem jednoduché struktury a rozšířil Spearmanův model na model vícefaktorový, a další psychologové jako R. B. Cattell, C. Burt, G. Thomson či jiní. V souvislosti s rozvojem metod vícerozměrné statistické analýzy přispěli k rozvoji faktorové analýzy někteří statistici, např. D. N. Lawley, který převedl původní způsob získávání faktorů na problém maximálně věrohodného odhadu parametrů faktorového modelu, ale i H. Hotelling, M. S. Bartlett, C. R. Rao a další. Faktorová analýza byla po dlouhou dobu používaná téměř výhradně v psychologii. Výrazný růst výpočetních možností a rozšíření metody faktorových řešení, zvýšená snaha o rozpracování původních postupů, jakož i zmírnění některých subjektivních prvků faktorové analýzy a odstranění výhradní psychometrické interpretace, však způsobily, že v posledních asi čtyřiceti letech pronikla faktorová analýza i do některých dalších oborů. Povaha faktorové analýzy je spíše heuristická a průzkumná (explorativni) než ověřovací

18 (konfirmativní), takže její úspěšné použití vyžaduje nejen značné předmětné znalosti zkoumané aplikační oblasti, ale i kvalifikované respektování předpokladů metody a nemalé zkušenosti s jejím uplatněním. Přesto je faktorová analýza statistiky často kritizovaná. Pochybnosti o faktorové analýze se týkají nejednoznačnosti řešení, důsledků subjektivity mnohých kroků i cílů, přibližnosti výsledků, mlhavé interpretace a některých dalších aspektů této metody. Někdy je to tvrdé a možná až nespravedlivé hodnocení faktorové analýzy; ale každopádně její příznivci a uživatelé by měli být připraveni na polemiku. Musí mít takové věcné i statistické znalosti, aby byli schopni obhájit své rozhodnutí používat FA a využívat její výsledky. Dokonce velký znalec a nejspíše i příznivec faktorové analýzy R. P. McDonald vysvětluje své varující hodnocení nekvalitních výzkumných studií o tom, jak lhát pomoci faktorové analýzy. Srozumitelně dokumentuje nebezpečí nepochopení běžně používaných postupů a ukazuje na negativní důsledky nedostatečně zdůvodněných a analýzou nepodložených komentáru k výsledkům některých rutinních výzkumných zpráv. Do určité míry lze FA považovat za rozšíření metody hlavních komponent, ale na rozdíl od komponentní analýzy vychází ze snahy vysvětlit závislosti pro- měnných. Mezi slabiny komponentní analýzy patří, že je závislá na změnách měřítka proměnných (normování dat hraje roli v tom smyslu, že kovarianční matice vede k jinému řešení než korelační matice). Dále nedisponuje jednoznačným kritériem pro rozhodnutí, zda je možné považovat podíl rozptylu vyčerpaný hlavními komponentami za.postačující, a přímo neponechává prostor pro nevysvětlenou variabilitu a chybový rozptyl proměnných. Přístup FA částečně umožňuje odstranit tyto nedostatky, ale má jiné slabiny. Patří mezi ně mnoho subjektivních aspektů a nejednoznačnost odhadu faktorových parametrů. Předností FA je větší úspornost a obecnost, i když pro některé odhady a testy je třeba aspoň přibližné splnění předpokladu vícerozměrného normálního rozdělení. Knické korelace Metoda knické korelace nebo též knická korelačni analýza (Cnical Correlation Analysis) patří do skupiny metod skrytých vztahů. Přesvědčili jsme se, že společným cílem těchto metod je převést a částečně zjednodušit úlohu do formy, která usnadňuje řešení a je pro další analýzu výhodná. Stejně jako komponentní a faktorová analýza má i metoda knických korelací umožnit hlubší poznání vztahů mezi studovanými proměnnými a usnadnit statistické hodnocení jinak obtížně kvantifikovatelných souvislostí. Knickou korelací se rozumí postup, který je zaměřený na vztahy mezi dvěma významově odlišnými a předem danými skupinami veličin. H. Hotelling, autor prvních prací zaměřených na analýzu knických korelací, navrhl před asi sedmdesáti lety postup, který je zobecněním některých technik známých z řešení regresních a korelačních úloh, dotýkajících se analýzy rozptylu, diskriminační analýzy a některých dalších vícerozměrných statistických metod. Výchozí pro analýzu jsou korelace mezi dvěma skupinami knických veličin (cnical variates), což jsou účelově vytvořené lineární kombinace původních proměnných s předem pevně stvenými vlastnostmi. Knické veličiny Volba typu transformace úzce souvisí s obecnými požadavky a předpoklady statistických postupů a se zaměřením na konkrétní statistické metody. Lineární transformace veličin nejsou jedinou, ale nejčastěji a převážně používu možností, která se pravidelně využívá v různých statistických metodách. Každá zjednodušující transformace je však nejen výhodnou

19 možností pro zlepšení srovnatelnosti a případné nalezení jednoduššího a obecnějšího řešení, ale zároveň i hrozbou ztráty určité informace obsažené v datech. Normování proměnných je běžnou a z mnoha hledisek rozumnou možností, a to nejen pro zabezpečení srovnatelnosti hodnot proměnných v různých měřicích jednotek. To však neznamená, že normování dat je nutně pro každou úlohu přínosem. Nulové průměry, jednotkové rozptyly, stejné kovariance (normovaných proměnných) a korelační koeficienty (původních i normovaných proměnných) jsou výhodou, ale mohou být i ztrátou informace ve smyslu původních možností poznání a analýzy dat. Konstatovali jsme to při výkladu metody hlavních komponent, ve které řešení získané na základě korelační matice je neporovnatelné s řešením získaným na základě kovarianční matice, což nemusí vadit, ale určitě snižuje možnosti průzkumové analýzy dat. Podstata knické korelace Knická korelační analýza (metoda knické korelace), která se zaměřuje na korelace mezi lineárními kombinacemi dvou skupin veličina a je zobecněním vícenásobné korelace používané v lineárních regresních úlohách s více než jednou vysvětlující proměnnou. Vícenásobný korelační koeficient je v této souvislosti interpretován jako míra maximální korelace mezi vysvětlovu proměnnou a lineární kombinací (regresní funkcí) vysvětlujících proměnných. Potom jednorovnicová lineární regresní funkce je vnímána jako lineární kombinace vysvětlujících proměnných, která je maximálně (více než jiné lineární kombinace) korelovaná s vysvětlovu proměnnou. Knickou korelaci se pak rozumí korelace lineárních kombinací dvou skupin veličin a nástrojem analýzy jsou knické korelační koeficienty, které měří sílu lineárního vztahu mezi těmito dvěma skupinami náhodných veličin. Pro uživatele bývá většinou zajímavější úloha, ve které (podobně jako v jiných metodách zkoumání jednostranných závislostí) jedna skupina veličin je považována za vysvětlovu a druhá za vysvětlující. Přesto hlavním cílem knické korelační analýzy je poznání vzájemných simultánních vztahů dvou skupin veličin, přesněji jevů či procesů, které se za těmito veličinami mohou skrývat. Interpretace hypotetických proměnných je v metodě knické korelace ještě problematičtější než v metodě hlavních komponent a ve faktorové analýze. Knické veličiny se využívají i při transformaci vysvětlujících proměnných regresního modelu na systém vzájemně nezávislých veličin nebo při rozšíření jednorovnicového regresního modelu na případ většího počtu vysvětlovaných proměnných. Pro potřeby analýzy jsou zajímavé i vztahy mezi původními a nově vytvořenými proměnnými.

20 Shluková analýza Jednou z možností využití informace obsažené ve vstupní datové matici je roztřídění množiny objektů do několika poměrně stejnorodých shluků. Aplikací vhodných algoritmů můžeme odhalit strukturu datového souboru a jednotlivé objekty klasifikovat. Pojem klasifikace se tudíž ve statistické analýze používá ve dvou významech. Bud' klasifikujeme objekty tak, že pro ně odhadujeme hodnotu nominální vysvětlované proměnné (například pomocí diskriminační analýzy), nebo objekty zařazujeme do skupin bez využití vysvětlované proměnné (například pomocí shlukové analýzy). Počet shluků budeme značit písmenem k. Obvykle tento počet není znám a zjišťujeme jeho optimální hodnotu. Písmeno k proto může být též uváděno jako index. Cíle shlukové analýzy Pojem shluková analýza zahrnuje celou řadu metod a přístupů, jejichž cílem je nalézt skupiny podobných objektů (kromě shlukové analýzy lze ke stejnému účelu použít i metody patřící k jiným typům analýz, například k vícerozměrnému škálování. Uplatnění metod shlukové analýzy vede k příznivým výsledkům zejména tam, kde se množina objektů reálně rozpadá do tříd, tj. objekty mají tendenci se seskupovat do přirozených shluků. Zbývá pak již pouze najít vhodnou interpretaci pro popsaný rozklad, tj. charakterizovat vzniklé třídy. Shlukovat můžeme nejen objekty, ale také proměnné. Pokud najdeme skupinu proměnných, jejichž hodnoty jsou si podobné, pak tuto skupinu může zastoupit jediná proměnná, čímž lze snížit rozměr úlohy. Další možností využití shlukové analýzy je zjišťování podobností kategorií nominální proměnné na základě dvourozměrné tabulky četností, tj. sdružených četností pro dva kategoriální znaky. Získaného poznatku můžeme využít pro sloučení kategorií, čímž získáme vyšší sdružené četnosti v kontingenční tabulce. Kromě výše uvedených přístupů existují metody, které umožňují shlukovat současně objekty i proměnné, případně současně kategorie dvou proměnných.