Pravděpodobnost a statistika
|
|
- Květa Vacková
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Pravděpodobnost a statistika Bodové odhady a intervaly spolehlivosti Vilém Vychodil KMI/PRAS, Přednáška 10 Vytvořeno v rámci projektu 963/011 FRVŠ V. Vychodil (KMI/PRAS, Přednáška 10) Bodové odhady a intervaly spolehlivosti Pravděpodobnost a statistika 1 / 50
2 Přednáška 10: Přehled 1 Úvod do teorie odhadu: statistická inference, populace, parametr, výběr, odhad parametru, bodové odhady, intervalové odhady, náhodné výběry, statistiky, výběrová rozdělení. Bodové odhady: bodové odhady parametrických funkcí, nestranné bodové odhady, zkreslení, nestranné odhady pro střední hodnoty a rozptyl, metoda momentů, metoda maximálně věrohodného odhadu, Weibullovo rozdělení. 3 Intervaly spolehlivosti: interval spolehlivosti, hladina spolehlivosti (konfidence), kritické hodnoty standardního normálního rozdělení, intervalu spolehlivosti pro střední hodnoty a rozptyly, Studentovo t-rozdělení, velikost intervalů spolehlivosti, délka náhodného výběru. V. Vychodil (KMI/PRAS, Přednáška 10) Bodové odhady a intervaly spolehlivosti Pravděpodobnost a statistika / 50
3 Statistická inference Populace: naivní pojem základní populace (Přednáška 1); při statistickém usuzování: populace = náhodná veličina s jejím rozložením. Základní úkol statistické inference: zajímáme se o parametr = číselnou hodnotu, jež platí pro celou populaci (například: střední hodnota µ X, rozptyl σx, hodnota p pro b(n, p),... ); používáme výběr (z populace) pro odhad µ X, σx, p,...; odhad parametru = získání číselné hodnoty nebo intervalu hodnot z výběru cíl: odhad by měl být dost blízko skutečné hodnotě parametru. Obvykle rozlišujeme dva druhy odhadů: bodové odhady (angl.: point estimates) = odhadem je jedna hodnota, intervalové odhady (angl.: interval estimates) = odhadem je interval hodnot. V. Vychodil (KMI/PRAS, Přednáška 10) Bodové odhady a intervaly spolehlivosti Pravděpodobnost a statistika 3 / 50
4 Náhodný výběr Definice (Náhodný výběr, angl.: random sample) Mějme pravděpodobnostní prostor Ω, F, P a n nezávislých náhodných veličin X 1, X,..., X n v prostoru Ω, F, P, které mají stejné rozdělení pravděpodobnosti, to jest P ({X i A}) = P ({X j A}) pro každé i, j a A B. Označme toto rozdělení P X. Pak náhodný vektor X : Ω R n definovaný ( X(ω) ) (i) = X i (ω) se nazývá náhodný výběr z rozdělení P X. Poznámky: Náhodný výběr X : Ω R n značíme X = X 1,..., X n, nebo jen X 1,..., X n ; posloupnost nezávislých náhodných veličin se stejným rozdělením; abstrakce pojmu výběr (Přednáška 1): místo konkrétních hodnot ve výběru máme náhodné veličiny; má smysl uvažovat rozdělení P X (A) = P ({X A}). dále se budeme zabývat statistikami: funkcemi náhodných výběrů. V. Vychodil (KMI/PRAS, Přednáška 10) Bodové odhady a intervaly spolehlivosti Pravděpodobnost a statistika 4 / 50
5 Statistiky a výběrová rozdělení Definice (Statistika a výběrové rozdělení) Mějme pravděpodobnostní prostor Ω, F, P, náhodný výběr X : Ω R n a Borelovskou funkci g : R n R. Pak náhodnou veličinu ϑ: Ω R definovanou ϑ = g(x) nazveme (výběrová) statistika nebo výběrová charakteristika (angl.: sample statistics) náhodného výběru X. Rozdělení pravděpodobnosti P ϑ : B [0, 1] veličiny ϑ nazýváme výběrové rozdělení, angl.: sampling distribution. Poznámky: Z definice složené funkce pro statistiku ϑ máme ϑ(ω) = g(x(ω)) R; z definice rozdělení pravděpodobnosti: P ϑ (A) = P ({g(x) A}); Pro konkrétní výběr x 1,..., x n je g(x 1,..., x n ) konkrétní hodnota; Například: X = 1 n n X i ; S = 1 n n 1 (X i X). i=1 i=1 V. Vychodil (KMI/PRAS, Přednáška 10) Bodové odhady a intervaly spolehlivosti Pravděpodobnost a statistika 5 / 50
6 Bodové odhady parametrických funkcí Definice (Bodový odhad) Mějme pravděpodobnostní prostor Ω, F, P a náhodný výběr X = X 1,..., X n z rozdělení, které závisí na neznámých parametrech Θ 1,..., Θ k. Pak bodový odhad (angl.: point estimate) parametrické funkce τ(θ 1,..., Θ k ) na základě X je libovolná statistika ϑ = g(x), kde g nezávisí na Θ 1,..., Θ k. Poznámky: výše definovaný pojem sám o sobě nic neříká o kvalitě odhadu, to jest o tom, jak jsou hodnoty dané odhadem blízko τ(θ 1,..., Θ k ); nejčastěji se zajímáme o jediný parametr Θ a parametrická funkce τ je identita: to jest pokud τ(θ) = Θ, potom bodový odhad značíme Θ, například: pro parametry µ a σ jsou jejich bodové odhady značeny µ a σ. V. Vychodil (KMI/PRAS, Přednáška 10) Bodové odhady a intervaly spolehlivosti Pravděpodobnost a statistika 6 / 50
7 Nestranné bodové odhady Bodové odhady, jejichž střední hodnoty jsou rovny hodnotám parametrických funkcí: Definice (Nestranný / nezkreslený / nevychýlený bodový odhad) Mějme pravděpodobnostní prostor Ω, F, P a náhodný výběr X = X 1,..., X n z rozdělení, které závisí na neznámých parametrech Θ 1,..., Θ k. Bodový odhad ϑ = g(x) parametrické funkce τ(θ 1,..., Θ k ) se nazývá nestranný bodový odhad (angl.: unbiased estimate), pokud platí E(ϑ) = τ(θ 1,..., Θ k ). Rozdíl hodnot E(ϑ) τ(θ 1,..., Θ k ) se nazývá zkreslení nebo vychýlení (angl.: bias). Poznámky: Parametrická funkce τ(θ 1,..., Θ k ) má obecně nekonečně mnoho odhadů; nestranný odhad = odhad, pro který klademe omezení na střední hodnotu; V. Vychodil (KMI/PRAS, Přednáška 10) Bodové odhady a intervaly spolehlivosti Pravděpodobnost a statistika 7 / 50
8 Příklad (Nestranný odhad parametru p pro binomické rozdělení) Problém: Výrobce automobilů testuje odolnost nárazníků vyhodnocením výsledků série n kontrolovaných srážek nárazníku s umělou překážkou. Výsledkem každého pokusu je úspěch (nárazník odolal) nebo neúspěch (neodolal). Úkol: Uvažujme náhodnou veličinu X označující počet jednotlivých pokusů končících úspěchem. Stanovte nestranný bodový odhad pravděpodobnosti úspěchu jednotlivého testu. Řešení: Každý jednotlivý pokus X i má alternativní rozdělení s parametrem p. Počet (nezávislých) pokusů končících úspěchem je potom X = n i=1 X i, přitom X má binomické rozdělení b(n, p). Dále platí: ( ) X E = 1 n n E(X) = 1 n n p = p. Závěr: Pokud má X rozdělení b(n, p), potom je p = X n nestranný odhad p. V. Vychodil (KMI/PRAS, Přednáška 10) Bodové odhady a intervaly spolehlivosti Pravděpodobnost a statistika 8 / 50
9 Nestranné bodové odhady pro střední hodnotu a rozptyl Plyne z toho, co víme o střední hodnotě X: Věta (Nestranný bodový odhad pro střední hodnotu) Mějme náhodný výběr X 1,..., X n, kde všechny X i jsou náhodné veličiny se střední hodnotou µ. Potom je X nestranný bodový odhad pro µ. Dále máme: Věta (Nestranný bodový odhad pro rozptyl) Mějme náhodný výběr X 1,..., X n, kde všechny X i jsou náhodné veličiny se střední hodnotou µ a rozptylem σ. Potom je σ = S = 1 n n 1 ( Xi X ) nestranný bodový odhad pro σ. i=1 V. Vychodil (KMI/PRAS, Přednáška 10) Bodové odhady a intervaly spolehlivosti Pravděpodobnost a statistika 9 / 50
10 Důkaz (začátek). Nejprve prokážeme: n ( Xi X ) n = i=1 i=1 ( X i X i X + X ) = n i=1 X i X n X i + n i=1 i=1 X = ( n i=1 X i X n 1 ) n n X i + n i=1 = n i=1 X i X(nX) + nx = n i=1 X i nx + nx = n i=1 X i=1 X i nx. V. Vychodil (KMI/PRAS, Přednáška 10) Bodové odhady a intervaly spolehlivosti Pravděpodobnost a statistika 10 / 50
11 Důkaz (pokračování). S využitím předchozího a faktu, že σy E(Y ) = E(Y ), máme: ( 1 n E(S ) = E n 1 ( Xi X ) ) ( ( 1 n )) = E n 1 Xi n X i=1 i=1 = 1 ( n ) n 1 E(Xi ) n E(X ) = 1 ( ) n 1 n E(X1) n E(X ) = n n 1 i=1 ( E(X 1) E(X ) ) = n n 1 (σ E(X 1 ) ( X σ E(X))) V. Vychodil (KMI/PRAS, Přednáška 10) Bodové odhady a intervaly spolehlivosti Pravděpodobnost a statistika 11 / 50
12 Důkaz (dokončení). = n n 1 = n n 1 = n n 1 = n n 1 = n n 1 = n n 1 ( σ E(X 1 ) ( σ X E(X))) = ( σ µ ( σ X µ X) ) = ( σ µ ( σ µ)) = X ( ) σ σ = n ) (σ X n 1 σ = n ( n σ ) n σ = n ( n σ n n 1 σ ) = n ( ) n 1 n σ = σ. V. Vychodil (KMI/PRAS, Přednáška 10) Bodové odhady a intervaly spolehlivosti Pravděpodobnost a statistika 1 / 50
13 Momenty náhodných výběrů Budeme se zabývat tím, jak stanovit (nestranné) bodové odhady. Potřebujeme nový pojem výběrový moment. Připomeňme: r-tý moment X je očekávaná hodnota E(X r ). Definice (r-tý moment náhodného výběru) Mějme náhodný výběr X 1,..., X n, pak r-tý moment náhodného výběru, angl.: rth sample moment je náhodná veličina 1 n n Xi r. i=1 Poznámka: pokud rozdělení závisí na parametrech Θ 1,..., Θ k, pak momenty E(X r ) rovněž závisí na těchto parametrech; momenty náhodných výběrů však nikoliv. V. Vychodil (KMI/PRAS, Přednáška 10) Bodové odhady a intervaly spolehlivosti Pravděpodobnost a statistika 13 / 50
14 Získání bodových odhadů: metoda momentů Princip metody momentů Mějme náhodný výběr X 1,..., X n z rozdělení, které závisí na neznámých parametrech Θ 1,..., Θ k. Potom momentové odhady Θ 1,..., Θ k pro parametry Θ 1,..., Θ k získáme jako řešení soustavy k rovnic, ve kterých klademe do rovnosti i-té momenty X a i-té moment náhodného výběru. Vede na soustavy rovnic ve tvaru: 1 n 1 n n Xi 1 = E ( X 1), i=1.. n Xi k = E ( X k). i=1 V. Vychodil (KMI/PRAS, Přednáška 10) Bodové odhady a intervaly spolehlivosti Pravděpodobnost a statistika 14 / 50
15 Příklad (Stanovení bodových odhadů pro parametry rozdělení Γ) Funkce hustoty rozdělení Γ: f X (x) = Úkol: Stanovte bodové odhady pro parametry α (počet změn), θ (střední doba čekání na jednu změnu). 1 Γ(α) θ α xα 1 e x θ (Přednáška 7). Řešení: První a druhý moment veličiny X mají následující tvary. E(X 1 ) = α θ, E(X ) = θ (α + 1) α. Použitím metody momentů tedy stačí stanovit α a θ z rovnic 1 n n i=1 X1 i = E(X 1 ) = α θ, 1 n n i=1 X i = E(X ) = θ (α + 1) α. V. Vychodil (KMI/PRAS, Přednáška 10) Bodové odhady a intervaly spolehlivosti Pravděpodobnost a statistika 15 / 50
16 Příklad (Stanovení bodových odhadů pro parametry rozdělení Γ) Použitím metody momentů stanovíme odhady pro parametry α a θ z rovnic 1 n n Xi 1 = α θ, 1 n i=1 n Xi = θ (α + 1) α. i=1 Vyjádřením bodových odhadů α a θ dostáváme: α = 1 n X, θ = n Xi X i=1 1 n n Xi X i=1 X. V. Vychodil (KMI/PRAS, Přednáška 10) Bodové odhady a intervaly spolehlivosti Pravděpodobnost a statistika 16 / 50
17 Získání BO: princip maximálně věrohodného odhadu Mějme náhodný výběr X = X 1,..., X n z rozdělení, které závisí na neznámých parametrech Θ 1,..., Θ k. Potom: sdružená pravděp. funkce (nebo funkce hustoty) f X závisí na Θ 1,..., Θ k ; pro libovolný výběr y 1,..., y n lze uvažovat funkci L x1,...,x n v proměnných Θ 1,..., Θ k definovanou L x1,...,x n (Θ 1,..., Θ k ) = f X (x 1,..., x n ; Θ 1,..., Θ k ). Definice (Maximálně věrohodný odhad) Pokud existují funkce g i : R n R takové, že pro libovolný výběr x 1,..., x n je g 1 (x 1,..., x n ),..., g k (x 1,..., x n ) bodem maxima funkce L x1,...,x n, pak se statistiky Θ 1 = g 1 (X),..., Θ k = g k (X) nazývají maximálně věrohodné odhady (angl.: maximum likelihood estimators) pro parametry Θ 1,..., Θ k. V. Vychodil (KMI/PRAS, Přednáška 10) Bodové odhady a intervaly spolehlivosti Pravděpodobnost a statistika 17 / 50
18 Příklad (Maximálně věrohodný odhad parametru θ) Uvažujme náhodný výběr X = X 1,..., X n z exponenciálního rozdělení s parametrem θ = λ 1. Z nezávislosti X 1,..., X n dostáváme, že L x1,...,x n (λ) = f X (x 1,..., x n ; λ) = ( n i=1 λe λx i = λ n exp λ n i=1 x i Zlogaritmováním f X dostáváme ln ( f X (x 1,..., x n ; λ) ) = n ln λ λ n i=1 x i. Využitím faktu, že f X (x 1,..., x n ; λ) má stejné extrémy jako ln ( f X (x 1,..., x n ; λ) ) vyjádříme bod maxima n λ = n i=1 x = 1 i x, to jest λ = 1 X. ). Poznámka (Interpretace hodnot L x1,...,x n (Θ 1,..., Θ k )) Pokud je X 1,..., X n náhodný výběr z diskrétního rozdělení, pak je L x1,...,x n (Θ 1,..., Θ k ) je pravděpodobnost, že x 1,..., x n vzniklo výběrem při použití parametrů Θ 1,..., Θ k (chceme maximalizovat). V. Vychodil (KMI/PRAS, Přednáška 10) Bodové odhady a intervaly spolehlivosti Pravděpodobnost a statistika 18 / 50
19 Příklad (Maximálně věrohodné odhad parametrů N(µ, σ )) Pokud je X 1,..., X n náhodný výběr z normálního rozdělení N(µ, σ ), pak maximálně věrohodné odhady parametrů µ a σ jsou µ = X, σ = 1 n n (X i X). Poznámka (Maximálně verohodný odhad není obecně nestranný) V předchozím případě platí i=1 maximálně věrohodný odhad nestranný odhad, protože nestranný odhad parametru σ je σ = S = 1 n 1 n ( Xi X ). i=1 V. Vychodil (KMI/PRAS, Přednáška 10) Bodové odhady a intervaly spolehlivosti Pravděpodobnost a statistika 19 / 50
20 Weibullovo rozdělení Definice (Náhodná veličina s Weibullovým rozdělením) Spojitá náhodná veličina X s hustotou f X má Weibullovo rozdělení pokud existují reálná čísla λ > 0 a k > 0 tak, že f X je ve tvaru ( ( ) x k f X (x) = exp λ) k ( ) x k 1 λ pokud x 0, λ a f X (x) = 0 jinak. Poznámky: Parametry λ a k určují škálu a tvar (+ někdy se zavádí posunutí θ); pro k = 1 přejde Weibullovo rozdělení v exponenciální rozdělení; pro k = 3.4 je Weibullovo rozdělení zhruba podobné normálnímu rozdělení; využívá se v aplikacích pro analýzu životnosti komponent. V. Vychodil (KMI/PRAS, Přednáška 10) Bodové odhady a intervaly spolehlivosti Pravděpodobnost a statistika 0 / 50
21 Příklad (Příklady f X pro Weibullovo rozdělení) Weibullovo rozdělení lze použít pro modelování poměru selhání, které 1 se v čase snižuje (pro k < 1); nebo je neměnné v čase (pro k = 1); nebo 3 se v čase zvyšuje (pro k > 1). Příklady funkcí hustoty Weibullova rozdělení: λ = 0.5 λ = 1.0 λ = 1.5 λ = 3.0 k = k = 3 λ = 1 k = k = 1 k = V. Vychodil (KMI/PRAS, Přednáška 10) Bodové odhady a intervaly spolehlivosti Pravděpodobnost a statistika 1 / 50
22 Příklad (Maximálně věrohodný odhad parametrů Weibullova rozdělení) Problém: Máme výběr x 1,..., x n zaznamenávající n časů životnosti, po kterých selhala každá z n nezávislých součástek stejného typu. Úkol: Předpokládejte, že výběr x 1,..., x n pochází z Weibullova rozdělení a metodou maximálně věrohodných odhadů stanovte jeho parametry. Řešení: Sdružená funkce hustoty f vecx je ve tvaru: f X (x 1,..., x n ; λ, k) = ( ( n ( xi ) ) k exp i=1 λ k λ ( xi λ ) k 1 ) Hledáme proto řešení λ a k následujících rovnic: ( ) ( ) fx (x 1,..., x n ; λ, k) fx (x 1,..., x n ; λ, k) ln = 0, ln = 0. λ k Analytické řešení je komplikované (používají se numerické metody).. V. Vychodil (KMI/PRAS, Přednáška 10) Bodové odhady a intervaly spolehlivosti Pravděpodobnost a statistika / 50
23 Příklad (Stanovení parametrů Weibullova rozdělení na základě výběru) Problém: Uvažujme následující výběr (životnost komponenty v hodinách): x 1 = 9, x = 35, x 3 = 14, x 4 = 13, x 5 = 5, x 6 = 77. Úkol: Metodou maximálně věrohodného odhadu stanovte parametry Weibullova rozdělení, ze kterého výběr pochází. Poté stanovte pravděpodobnost, že náhodně zvolená komponenta vydrží běžet alespoň 15 hodin. Numerickým řešením soustavy dvou nelineárních rovnic pro x 1,..., x 6 dostáváme: To znamená, že λ , k P ({X 15}) = 1 P ({X < 15}) = e ( 15 λ )k = e ( ) Pravděpodobnost, že součástka vydrží alespoň 15 hodin je V. Vychodil (KMI/PRAS, Přednáška 10) Bodové odhady a intervaly spolehlivosti Pravděpodobnost a statistika 3 / 50
24 Intervaly spolehlivosti: Motivace Problémy s bodovými odhady: bodový odhad je (jediné) číslo neposkytuje informaci o spolehlivosti odhadu (to jest o pravděpodobnosti, že odhad je blízko skutečné hodnotě parametru) typická otázka: Jak blízko je X (nestranný odhad) hodnotě µ? Řešení: uvažujeme interval pravděpodobných hodnot místo jediné hodnoty, bodové odhady = intervalové odhady. Hlavní myšlenka: 1 zvolíme hladinu spolehlivosti (danou v procentech); na základě znalosti rozdělení výběrové statistiky stanovíme interval [a, b] obsahující skutečnou hodnotu parametru (například µ X ) s danou spolehlivostí. V. Vychodil (KMI/PRAS, Přednáška 10) Bodové odhady a intervaly spolehlivosti Pravděpodobnost a statistika 4 / 50
25 Intervaly spolehlivosti Definice (Interval spolehlivosti / konfidenční interval) Mějme náhodný výběr X = X 1,..., X n z rozdělení, které závisí na neznámém parametru Θ R a uvažujme číslo α [0, 1]. Pokud jsou g(x) a h(x) statistiky, pro které platí P ( {g(x) Θ h(x)} ) = 1 α, potom se ( g(x), h(x) ) nazývá 100(1 α)% interval spolehlivosti nebo též konfidenční interval (angl.: confidence interval). Číslo 1 α (případně 100(1 α)%) se nazývá hladina spolehlivosti nebo též konfidence, angl.: confidence coefficient. Poznámka: P ( {g(x) Θ h(x)} ) = P ({g(x) Θ} {Θ h(x)}), to jest {g(x) Θ h(x)} je dobře definovaný jev; Intervaly spolehlivosti nejsou dány jednoznačně (snaha najít nejkratší). V. Vychodil (KMI/PRAS, Přednáška 10) Bodové odhady a intervaly spolehlivosti Pravděpodobnost a statistika 5 / 50
26 Vlastnosti intervalů spolehlivosti Typické hodnoty hladiny spolehlivosti (konfidence): 95%, 98%,... α = 0 a α = 1 nemají valný smysl (odpovídající intervaly jsou triviální). Intervaly spolehlivosti = náhodné intervaly nejedná se o intervaly v klasickém slova smyslu, hranice intervalů jsou dány náhodnými veličinami, přejdou v klasické intervaly dosazením hodnot konkrétního výběru, pro různě dlouhé výběry dostaneme obecně různě dlouhé intervaly. Poznámka (Monotonie: vyšší konfidence = delší intervaly) Pro α β platí, že 100(1 α)% konfidenční interval je podinterval 100(1 β)% konfidenčního intervalu. V. Vychodil (KMI/PRAS, Přednáška 10) Bodové odhady a intervaly spolehlivosti Pravděpodobnost a statistika 6 / 50
27 Základní metody stanovení intervalů spolehlivosti Přesné přibližné stanovení intervalu: přesné stanovení intervalu je možné při znalosti rozdělení, není obvykle možné, rozdělení závisí na odhadovaných parametrech. Aproximace pomocí normálních rozdělení: využívá centrální limitní větu, využívá vlastnosti (percentilů) standardního normálního rozdělení. Typické problémy: velké výběry malé výběry (obvykle jiné techniky), odhadování µ závisí na rozptylu σ (může být znám nemusí být znám), otázky týkající se (dostačující) velikosti výběru. V. Vychodil (KMI/PRAS, Přednáška 10) Bodové odhady a intervaly spolehlivosti Pravděpodobnost a statistika 7 / 50
28 Horní percentily standardního normálního rozdělení Definice (Horní percentil, angl.: upper percentile) Hodnotu z p R takovou, že Φ(z p ) = 1 p nazveme horní (100p)% percentil. Z vlastností distribuční funkce Φ a kvantilové funkce Φ 1 : 1 Φ(z p ) = P ({Z z p }) = p, kde Z je veličina s rozdělením N(0, 1); z p = Φ (1 p): z p je 100(1 p)% percentil. 0.3 f Z z p 3 V. Vychodil (KMI/PRAS, Přednáška 10) Bodové odhady a intervaly spolehlivosti Pravděpodobnost a statistika 8 / 50 p
29 Příklad (Motivace pro intervaly spolehlivosti pro střední hodnoty) Pokud má Z rozdělení N(0, 1), pak ({ }) P z α Z z α = 1 α. 0.3 f Z zα 0 1 zα 3 V. Vychodil (KMI/PRAS, Přednáška 10) Bodové odhady a intervaly spolehlivosti Pravděpodobnost a statistika 9 / 50
30 Věta (Int. spolehlivosti pro µ z normálního rozdělení pro dané σ ) Mějme náhodný výběr z normálního rozdělení s rozptylem σ > 0 a jeho průměr X. Pak 100(1 α)% interval spolehlivosti pro µ je ( X z α σ, X + z α σ ). n n Důkaz (začátek). Nechť X má rozdělení N(µ, σ ). Z předchozích pozorování o vlastnostech normálních veličin víme, že X má normální rozdělení se střední hodnotou µ a rozptylem σ /n. Odtud plyne, že náhodná veličina W = (X µ)/(σ/ n) má standardní normální rozdělení N(0, 1). Pomocí horních percentilů vyjádříme P ({ z α X µ σ/ n z α }) = P ({ z α W z α }) = 1 α. V. Vychodil (KMI/PRAS, Přednáška 10) Bodové odhady a intervaly spolehlivosti Pravděpodobnost a statistika 30 / 50
31 Důkaz (dokončení). Vynásobením obou stran nerovností ze ({ P z α X µ }) σ/ n z α = 1 α zápornou nenulovou hodnotou σ/ n dostáváme ({ }) P z α σ µ X z α σ = 1 α. n n Přičtením X ke všem stranám v předchozí nerovnosti dostáváme ({ }) P X z α σ µ X + z α σ = 1 α, n n což jsme měli dokázat. V. Vychodil (KMI/PRAS, Přednáška 10) Bodové odhady a intervaly spolehlivosti Pravděpodobnost a statistika 31 / 50
32 Příklad (Int. spolehlivosti pro µ z normálního rozdělení pro dané σ ) Problém: Předpokládejme, že máme čtyřprvkový náhodný výběr z normálního rozdělení s rozptylem σ = 9. Úkol: Stanovte 95% interval spolehlivosti pro µ. Řešení: ( X z , X + z ) = ( X.940, X ). Pro konkrétní čtyřprvkový výběr získáme konkrétní interval hodnot. Například pro x 1 = 0.667, x = 4.69, x 3 = 3.338, x 4 = dostáváme x = 4.47, to jest ( 1.53, 7.41 ). V. Vychodil (KMI/PRAS, Přednáška 10) Bodové odhady a intervaly spolehlivosti Pravděpodobnost a statistika 3 / 50
33 Zkrácení délky intervalů spolehlivosti Obecný požadavek Je žádoucí stanovovat co možná nejkratší intervaly spolehlivosti. Intervaly spolehlivosti mohou být zúženy ( zkráceny ) pomocí: 1 snížením hladiny spolehlivosti (to jest, zvětšením hodnoty α), použitím větších (delších) výběrů. Příklad (Zmenšení intervalů spolehlivosti použitím větších výběrů) Mějme náhodnou veličinu X s rozdělením N(5, 9) a náhodný výběr X 1,..., X n. Pokud n = 4, pak 95% interval spolehlivosti pro µ je ( X.940, X ). Pokud n = 5, pak 95% interval spolehlivosti pro µ je ( X 1.176, X ). Pokud n = 400, pak 95% interval spolehlivosti pro µ je ( X 0.94, X ). V. Vychodil (KMI/PRAS, Přednáška 10) Bodové odhady a intervaly spolehlivosti Pravděpodobnost a statistika 33 / 50
34 Intervaly spolehlivosti pro µ: velké n, známé σ > 0 Zobecnění předchozího postupu X 1,..., X n je náhodný výběr z libovolného rozdělení s rozptylem σ > 0; pokud je n dostatečně velké (typicky, n 30 a větší), pak ({ P z α < X µ }) σ/ n < z α 1 α, protože dle centrální limitní věty má W = X µ σ/ n přibližně rozdělení N(0, 1). Důsledek (Int. spolehlivosti pro µ při velkém n a pro dané σ ). 100(1 α)% interval spolehlivosti pro µ je přibližně ( X z α σ, X + z α σ ). n n V. Vychodil (KMI/PRAS, Přednáška 10) Bodové odhady a intervaly spolehlivosti Pravděpodobnost a statistika 34 / 50
35 Intervaly spolehlivosti pro µ: velké n, neznámé σ > 0 Postup při neznámé hodnotě rozptylu σ : Pokud je n dostatečně velké, lze použít S (rozptyl náhodného výběru) místo σ (neznámý rozptyl populace); pro W = X µ S/ n, kde S = 1 n n 1 (X i X) má W přibližně rozdělení N(0, 1). Důsledek (Int. spolehlivosti pro µ při velkém n a pro neznámé σ ). 100(1 α)% interval spolehlivosti pro µ je přibližně ( X z α S, X + z α S ). n n funguje dobře pro výběry, kde n 30 (nebo n 50 při vyšší šikmosti rozdělení). i=1 V. Vychodil (KMI/PRAS, Přednáška 10) Bodové odhady a intervaly spolehlivosti Pravděpodobnost a statistika 35 / 50
36 Stanovení intervalů spolehlivosti z malých výběrů Častá situace: rozptyl není znám, výběr, který je k dispozici je malý (jednotky pozorování), výběr není možné zvětšit (těžká opakovatelnost experimentu, náklady,... ). Postup: Vyjádříme výběrové rozdělení (n 1) S σ, kde 1 n 1 n i=1 (X i X). Pomocí výběrového rozdělení stanovíme rozdělení veličiny X µ S/ n. Musíme prozkoumat vztah X a S (a souvisejících rozdělení); významnou roli zde hraje nové rozdělení odvozené z N(0, 1) a χ (r). V. Vychodil (KMI/PRAS, Přednáška 10) Bodové odhady a intervaly spolehlivosti Pravděpodobnost a statistika 36 / 50
37 Nezávislost výběrových charakteristik X a S Věta Mějme n-prvkový náhodný výběr X 1,..., X n z rozdělení N(µ, σ ). Pak pro platí 1 X a S jsou nezávislé, X = 1 n n X i a S = 1 i=1 n 1 n i=1 (X i X), (n 1) S σ má rozdělení χ (n 1). Důkaz (nebude vyžadován). Netriviální (zejména část o nezávislosti X a S ). V. Vychodil (KMI/PRAS, Přednáška 10) Bodové odhady a intervaly spolehlivosti Pravděpodobnost a statistika 37 / 50
38 Studentovo t-rozdělení Definice (Studentovo t-rozdělení) Mějme náhodnou veličinu T danou zlomkem, T = Z, U/r kde Z má rozdělení N(0, 1), U má rozdělení χ (r) a Z a U jsou nezávislé. Pak řekneme, že T má t-rozdělení s r stupni volnosti (angl.: t-distribution). Lze ukázat, že funkce hustoty a distribuční funkce jsou v následujících tvarech: Γ ( ) r+1 f T (t) = ( π r Γ r ) ( ) 1 + t (r+1)/, r [ t u/r ] F T (t) = u r 1 e u du. 1 π Γ( r ) 0 e z / dz (r+1)/ V. Vychodil (KMI/PRAS, Přednáška 10) Bodové odhady a intervaly spolehlivosti Pravděpodobnost a statistika 38 / 50
39 Příklad (Studentovo t-rozdělení) N(0, 1) r = 1 r = r = r = V. Vychodil (KMI/PRAS, Přednáška 10) Bodové odhady a intervaly spolehlivosti Pravděpodobnost a statistika 39 / 50
40 Intervaly spolehlivosti založené na t-rozdělení Uvažujme n-prvkový náhodný výběr X 1,..., X n z normálního rozdělení. Použitím předchozí věty a tvaru veličiny mající t-rozdělení dostáváme, že T = X µ σ/ n (n 1) S σ n 1 T má t-rozdělení s r = n 1 stupni volnosti. To jest: = X µ S/ n. Důsledek (Int. spolehlivosti pro µ při malém n a pro neznámé σ ). Pokud je X 1,..., X n z normálního rozdělení, pak 100(1 α)% int. spolehl. pro µ je ( ) X t α (n 1) S n, X + t α (n 1) S n, kde t p (k) označuje horní (100p)% percentil t-rozdělení s k stupni volnosti. V. Vychodil (KMI/PRAS, Přednáška 10) Bodové odhady a intervaly spolehlivosti Pravděpodobnost a statistika 40 / 50
41 Jednostranné intervaly spolehlivosti Možný tvar intervalů spolehlivosti: doposud ve tvaru (a, b), kde a, b R; další možnost: (, b) nebo (a, ) (jednostranné intervaly). Příklad (Určení jednostranného intervalu spolehlivosti) Pokud je X 1,..., X n náhodný výběr z normálního rozdělení s rozptylem σ > 0, pak ({ }) ({ }) X µ 1 α = P σ/ n z σ α = P X z α µ. n To jest, 100(1 α)% jednostranné intervaly spolehlivosti pro µ (levý a pravý) jsou ( ) ( ) σ σ, X + z α, X z α,. n n Analogicky se postupuje v ostatních případech (σ neznámé,... ) V. Vychodil (KMI/PRAS, Přednáška 10) Bodové odhady a intervaly spolehlivosti Pravděpodobnost a statistika 41 / 50
42 Příklad (Int. spolehlivosti pro µ z normálního rozdělení pro dané σ ) Problém: Předpokládejme, že máme čtyřprvkový náhodný výběr z normálního rozdělení s rozptylem σ = 9. Úkol: Stanovte 95% oboustranný a jednostranné intervaly spolehlivosti pro µ. Řešení: ( X z , X + z ) = ( X.940, X ), ( ) 3, X + z 0.05 = (, X ), 4 ( ) 3 X z 0.05, = ( X.467, ), 4 Pro konkrétní výběr x 1 = 0.667, x = 4.69, x 3 = 3.338, x 4 = získáváme intervaly ( 1.53, 7.41 ) ( ) ( ),, a.005,. V. Vychodil (KMI/PRAS, Přednáška 10) Bodové odhady a intervaly spolehlivosti Pravděpodobnost a statistika 4 / 50
43 Intervaly spolehlivosti pro rozdíly středních hodnot Problém porovnání středních hodnot µ X a µ Y dvou výběrů: náhodný výběr X 1,..., X n z normálního rozdělení N(µ X, σx ); náhodný výběr Y 1,..., Y m z normálního rozdělení N(µ Y, σ Y ); (neznámé) střední hodnoty µ X a µ Y jsou dost blízko, pokud je interval spolehlivosti pro µ X µ Y dost malý (a obsahuje 0). Rozbor: Průměry X a Y mají rozdělení N(µ X, σx /n) a N(µ Y, σy /m); to jest lineární kombinace W = X Y má rozdělení N(µ X µ Y, σx /n + σ Y /m). Odtud dostáváme: ({ P z α (X Y ) (µ }) X µ Y ) σ X /n + σy /m z α = 1 α, z toho můžeme ekvivalentně vyjádřit P ({ (X Y ) z α σ W µ X µ Y (X Y ) + z α σ }) W = 1 α. V. Vychodil (KMI/PRAS, Přednáška 10) Bodové odhady a intervaly spolehlivosti Pravděpodobnost a statistika 43 / 50
44 Horní percentily rozdělení χ Podobně jako u standardního normálního a t-rozdělení uvažujeme horní percentily rozdělení χ s r stupni volnosti: Definice (Horní percentily rozdělení χ ) Nechť X je náhodná veličina z rozdělením χ (r) a p (0, 1). Pak hodnotu χ p(r) R takovou, že F X ( χ p (r) ) = 1 p nazveme horní (100p)% percentil rozdělení χ s r stupni volnosti. Z vlastností distribuční funkce F X a kvantilové funkce F 1 X : 1 F X ( χ p (r) ) = P ( {X χ p(r)} ) = p, kde X je veličina s rozdělením χ (r); χ p(r) = F X (1 p), to jest χ p(r) je 100(1 p)% percentil. Hodnoty χ p(r) jsou v tabulkách (numerické aproximace). Poznámka: Hodnoty m X χ p(r) a χ 1 p(r) jsou obecně různé. (!!) V. Vychodil (KMI/PRAS, Přednáška 10) Bodové odhady a intervaly spolehlivosti Pravděpodobnost a statistika 44 / 50
45 Příklad (Horní percentily rozdělení χ ) Uvažujme náhodnou veličinu X, která má rozdělení χ s r = 5 stupni volnosti. Pak máme χ 0.1(5) = 9.36 = F X (0.9), χ 0.9(5) = = F X (0.1) χ (5) χ (5) V. Vychodil (KMI/PRAS, Přednáška 10) Bodové odhady a intervaly spolehlivosti Pravděpodobnost a statistika 45 / 50
46 Věta (Interval spolehlivosti pro σ z normálního rozdělení) Mějme n-prvkový náhodný výběr z normálního rozdělení. Pak 100(1 α)% interval spolehlivosti pro σ je ( ) (n 1) S χ α (n 1), (n 1) S. χ 1 (n 1) α Důkaz. Mějme X 1,..., X n z rozdělení N(µ, σ ). Dle předchozí věty, ((n 1) S )/σ má rozdělení χ (n 1), přitom S je rozptyl náhodného výběru X 1,..., X n. S využitím horních percentilů můžeme psát: P ({ χ 1 α (n 1) Ekvivalentním vyjádřením: ({ (n 1) S P (n 1) S σ χ α (n 1) σ }) χ α (n 1) = 1 α. }) (n 1) S = 1 α. χ 1 (n 1) α V. Vychodil (KMI/PRAS, Přednáška 10) Bodové odhady a intervaly spolehlivosti Pravděpodobnost a statistika 46 / 50
47 Příklad (Stanovení intervalů spolehlivosti pro rozptyl) Problém: Předpokládejme, že náhodná veličina X má normální rozdělení. Úkol: Najděte 90% interval spolehlivosti pro rozptyl σx za předpokladu, že máme k dispozici následující třináctiprvkový výběr: 3.15, 15.16,.53, 0.83, 19.13, 11.05, 5.9, 18.16, 1.05, 17.19, 6.87, 11.06, Řešení: Nejprve spočteme výběrový průměr x = Dále máme (n 1) s = 1 s = 13 i=1 (x i x) = = To jest, 90% interval spolehlivosti pro rozptyl σx je ( 1 s χ 0.05(1), 1 s ) ( 98.3 = χ 0.95(1) 1.03, 98.3 ) 5.6 = ( 14.18, ). V. Vychodil (KMI/PRAS, Přednáška 10) Bodové odhady a intervaly spolehlivosti Pravděpodobnost a statistika 47 / 50
48 Příklad (Stanovení potřebné velikosti výběru) Problém: Uvažujme n-prvkový náhodný výběr z rozdělení se střední hodnotou µ a rozptylem σ. Úkol: Jsou dány hodnoty α (0, 1) a ε > 0. Stanovte velikost n náhodného výběru tak, aby 100(1 α)% interval spolehlivosti pro µ byl (X ε, X + ε). Řešení: Z předpokladu, že W = X µ σ/ má přibližně standardní normální rozdělení n dostáváme, že ({ }) P X z α σ µ X + z α σ 1 α. n n Odtud přímo dostáváme ( ε = z α σ, i.e. n = z α σ ). n ε V. Vychodil (KMI/PRAS, Přednáška 10) Bodové odhady a intervaly spolehlivosti Pravděpodobnost a statistika 48 / 50
49 Příklady (Potřebné počty pozorování) Velikosti výběrů při 1 α = 0.95 (řádky = σ ; sloupce = ω) Velikosti výběrů při 1 α = 0.99 (řádky = σ ; sloupce = ω) V. Vychodil (KMI/PRAS, Přednáška 10) Bodové odhady a intervaly spolehlivosti Pravděpodobnost a statistika 49 / 50
50 Přednáška 10: Závěr Pojmy: populace, parametr, parametrická funkce, výběrová statistika bodový odhad, nestranný odhad, zkreslení, maximálně věrohodný odhad intervaly spolehlivosti, práh spolehlivosti, konfidence, náhodný interval Weibullovo rozdělení, Studentovo t-rozdělení Použité zdroje: Billingsley, P.: Probability and Measure John Wiley & Sons; 3. vydání, ISBN Gentle J. E.: Random Number Generation and Monte Carlo Methods Springer 004, ISBN Hogg R. V., Tanis E. A.: Probability and Statistical Inference Prentice Hall; 7. vydání 005, ISBN V. Vychodil (KMI/PRAS, Přednáška 10) Bodové odhady a intervaly spolehlivosti Pravděpodobnost a statistika 50 / 50
Pravděpodobnost a statistika
Pravděpodobnost a statistika Normální rozdělení a centrální limitní věta Vilém Vychodil KMI/PRAS, Přednáška 9 Vytvořeno v rámci projektu 2963/2011 FRVŠ V. Vychodil (KMI/PRAS, Přednáška 9) Normální rozdělení
VícePravděpodobnost a statistika
Pravděpodobnost a statistika Náhodné vektory Vilém Vychodil KMI/PRAS, Přednáška 8 Vytvořeno v rámci projektu 2963/2011 FRVŠ V. Vychodil (KMI/PRAS, Přednáška 8) Náhodné vektory Pravděpodobnost a statistika
VíceÚvod do teorie odhadu. Ing. Michael Rost, Ph.D.
Úvod do teorie odhadu Ing. Michael Rost, Ph.D. Náhodný výběr Náhodným výběrem ze základního souboru populace, která je popsána prostřednictvím hustoty pravděpodobnosti f(x, θ), budeme nazývat posloupnost
VíceVýběrové charakteristiky a jejich rozdělení
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Statistické šetření úplné (vyčerpávající) neúplné (výběrové) U výběrového šetření se snažíme o to, aby výběrový
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Náhodný výběr Nechť X je náhodná proměnná, která má distribuční funkci F(x, ϑ). Předpokládejme, že známe tvar distribuční funkce (víme jaké má rozdělení) a neznáme parametr
Více6. ZÁKLADY STATIST. ODHADOVÁNÍ. Θ parametrický prostor. Dva základní způsoby odhadu neznámého vektoru parametrů bodový a intervalový.
6. ZÁKLADY STATIST. ODHADOVÁNÍ X={X 1, X 2,..., X n } výběr z rozdělení s F (x, θ), θ={θ 1,..., θ r } - vektor reálných neznámých param. θ Θ R k. Θ parametrický prostor. Dva základní způsoby odhadu neznámého
VíceCharakterizace rozdělení
Charakterizace rozdělení Momenty f(x) f(x) f(x) μ >μ 1 σ 1 σ >σ 1 g 1 g σ μ 1 μ x μ x x N K MK = x f( x) dx 1 M K = x N CK = ( x M ) f( x) dx ( xi M 1 C = 1 K 1) N i= 1 K i K N i= 1 K μ = E ( X ) = xf
VíceZáklady teorie odhadu parametrů bodový odhad
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Odhady parametrů Úkolem výběrového šetření je podat informaci o neznámé hodnotě charakteristiky základního souboru
VícePravděpodobnost a statistika
Pravděpodobnost a statistika Diskrétní rozdělení Vilém Vychodil KMI/PRAS, Přednáška 6 Vytvořeno v rámci projektu 2963/2011 FRVŠ V. Vychodil (KMI/PRAS, Přednáška 6) Diskrétní rozdělení Pravděpodobnost a
Více10. cvičení z PST. 5. prosince T = (n 1) S2 X. (n 1) s2 x σ 2 q χ 2 (n 1) (1 α 2 ). q χ 2 (n 1) 2. 2 x. (n 1) s. x = 1 6. x i = 457.
0 cvičení z PST 5 prosince 208 0 (intervalový odhad pro rozptyl) Soubor (70, 84, 89, 70, 74, 70) je náhodným výběrem z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) Určete oboustranný symetrický 95% interval spolehlivosti
VíceMgr. Rudolf Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký Dr.Sc.
Náhodné veličiny III Mgr. Rudolf Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký Dr.Sc. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze c Rudolf Blažek, Roman
VíceDefinice spojité náhodné veličiny zjednodušená verze
Definice spojité náhodné veličiny zjednodušená verze Náhodná veličina X se nazývá spojitá, jestliže existuje nezáporná funkce f : R R taková, že pro každé a, b R { }, a < b, platí P(a < X < b) = b a f
VíceOdhad parametrů N(µ, σ 2 )
Odhad parametrů N(µ, σ 2 ) Mějme statistický soubor x 1, x 2,, x n modelovaný jako realizaci náhodného výběru z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) s neznámými parametry µ a σ. Jaký je maximální věrohodný
VíceÚVOD DO TEORIE ODHADU. Martina Litschmannová
ÚVOD DO TEORIE ODHADU Martina Litschmannová Obsah lekce Výběrové charakteristiky parametry populace vs. výběrové charakteristiky limitní věty další rozdělení pravděpodobnosti (Chí-kvadrát (Pearsonovo),
VíceOdhady Parametrů Lineární Regrese
Odhady Parametrů Lineární Regrese Mgr. Rudolf B. Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký, DrSc. Katedra počítačových systémů Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Testování hypotéz Nechť X je náhodná proměnná, která má distribuční funkci F(x, ϑ). Předpokládejme, že známe tvar distribuční funkce (víme jaké má rozdělení) a neznáme parametr
VícePravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Tutoriál č. 5: Bodové a intervalové odhady, testování hypotéz.
Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium Letní semestr 2015/2016 Tutoriál č. 5: Bodové a intervalové odhady, testování hypotéz Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz Obsah: Výběrová rozdělení
Vícez Matematické statistiky 1 1 Konvergence posloupnosti náhodných veličin
Příklady k procvičení z Matematické statistiky Poslední úprava. listopadu 207. Konvergence posloupnosti náhodných veličin. Necht X, X 2... jsou nezávislé veličiny s rovnoměrným rozdělením na [0, ]. Definujme
VíceDefinice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně
7 Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin Definice 7 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P) Zobrazení X : Ω R n, které je A-měřitelné, se nazývá (n-rozměrný) náhodný vektor Měřitelností
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Odhady parametrů Postačující statistiky
PRAVDĚPODOBNOS A SAISIKA Odhady parametrů SP3 Připomenutí pojmů Připomenutí pojmů z S1P a SP2 odhady Nechť X,, je náhodný výběr z rozdělení s distribuční funkcí. 1 X,, X ) ( 1 n Statistika se nazývá bodovým
VíceX = x, y = h(x) Y = y. hodnotám x a jedné hodnotě y. Dostaneme tabulku hodnot pravděpodobnostní
..08 8cv7.tex 7. cvičení - transformace náhodné veličiny Definice pojmů a základní vzorce Je-li X náhodná veličina a h : R R je měřitelná funkce, pak náhodnou veličinu Y, která je definovaná vztahem X
VíceOdhad parametrů N(µ, σ 2 )
Odhad parametrů N(µ, σ 2 ) Mějme statistický soubor x 1, x 2,, x n modelovaný jako realizaci náhodného výběru z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) s neznámými parametry µ a σ. Jaký je maximální věrohodný
VíceMinikurz aplikované statistiky. Minikurz aplikované statistiky p.1
Minikurz aplikované statistiky Marie Šimečková, Petr Šimeček Minikurz aplikované statistiky p.1 Program kurzu základy statistiky a pravděpodobnosti regrese (klasická, robustní, s náhodnými efekty, ev.
Více3 Bodové odhady a jejich vlastnosti
3 Bodové odhady a jejich vlastnosti 3.1 Statistika (Skripta str. 77) Výběr pořizujeme proto, abychom se (více) dověděli o souboru, ze kterého jsme výběr pořídili. Zde se soustředíme na situaci, kdy známe
VíceTéma 22. Ondřej Nývlt
Téma 22 Ondřej Nývlt nyvlto1@fel.cvut.cz Náhodná veličina a náhodný vektor. Distribuční funkce, hustota a pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny. Sdružené
VíceVšechno, co jste chtěli vědět z teorie pravděpodobnosti, z teorie informace a
Všechno, co jste chtěli vědět z teorie pravděpodobnosti, z teorie informace a báli jste se zeptat Jedinečnou funkcí statistiky je, že umožňuje vědci číselně vyjádřit nejistotu v jeho závěrech. (G. W. Snedecor)
VíceKGG/STG Statistika pro geografy
KGG/STG Statistika pro geografy 4. Teoretická rozdělení Mgr. David Fiedor 9. března 2015 Osnova Úvod 1 Úvod 2 3 4 5 Vybraná rozdělení náhodných proměnných normální rozdělení normované normální rozdělení
VíceIntervalové Odhady Parametrů
Parametrů Mgr. Rudolf B. Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký, DrSc. Katedra počítačových systémů Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze
VíceStatistika. Teorie odhadu statistická indukce. Roman Biskup. (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at) .
Statistika Teorie odhadu statistická indukce Intervalový odhad µ, σ 2 a π Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 21. února 2012 Statistika
Více8.1. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, σ 2 ) s parametry µ a. ( ) ϕ(x) = 1. označovat písmenem U. Její hustota je pak.
8. Normální rozdělení 8.. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, ) s parametry µ a > 0 je rozdělení určené hustotou ( ) f(x) = (x µ) e, x (, ). Rozdělení N(0; ) s parametry µ = 0 a = se nazývá normované
Více15. T e s t o v á n í h y p o t é z
15. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Rozeznáváme dva základní typy testů:
VíceStřední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.
Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která
Vícejevu, čas vyjmutí ze sledování byl T j, T j < X j a T j je náhodná veličina.
Parametrické metody odhadů z neúplných výběrů 2 1 Metoda maximální věrohodnosti pro cenzorované výběry 11 Náhodné cenzorování Při sledování složitých reálných systémů často nemáme možnost uspořádat experiment
Více1 Linearní prostory nad komplexními čísly
1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)
VícePSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii přednáška 8. Statistické usuzování, odhady
PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii přednáška 8 Statistické usuzování, odhady Výběr od deskripce k indukci Deskripce dat, odhad parametrů Usuzování = inference = indukce Počítá se s náhodným
Vícepopulace soubor jednotek, o jejichž vlastnostech bychom chtěli vypovídat letní semestr Definice subjektech.
Populace a Šárka Hudecová Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy letní semestr 2012 1 populace soubor jednotek, o jejichž vlastnostech bychom
VíceI. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í
6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme
VíceJiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Výsledky některých náhodných pokusů jsou přímo vyjádřeny číselně (např. při hodu kostkou padne 6). Náhodnou veličinou
Vícep(x) = P (X = x), x R,
6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme
VíceStatistická analýza dat v psychologii. Věci, které můžeme přímo pozorovat, jsou téměř vždy pouze vzorky. Alfred North Whitehead
PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Přednáška 8 Statistické usuzování, odhady Věci, které můžeme přímo pozorovat, jsou téměř vždy pouze vzorky. Alfred North Whitehead Barevná srdíčka kolegyně
VíceApriorní rozdělení. Jan Kracík.
Apriorní rozdělení Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz Apriorní rozdělení Apriorní rozdělení (spolu s modelem) reprezentuje informaci o neznámém parametru θ, která je dostupná předem, tj. bez informace z dat.
Více1 Klasická pravděpodobnost. Bayesův vzorec. Poslední změna (oprava): 11. května 2018 ( 6 4)( 43 2 ) ( 49 6 ) 3. = (a) 1 1 2! + 1 3!
Výsledky příkladů na procvičení z NMSA0 Klasická pravděpodobnost. 5. ( 4( 43 ( 49 3. 8! 3! 0! = 5 Poslední změna (oprava:. května 08 4. (a! + 3! + ( n+ n! = n k= ( k+ /k! = n k=0 ( k /k!; (b n k=0 ( k
VíceNáhodná veličina a její charakteristiky. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáte. Proto je proměnná, která
Náhodná veličina a její charakteristiky Náhodná veličina a její charakteristiky Představte si, že provádíte náhodný pokus, jehož výsledek jste schopni ohodnotit nějakým číslem. Před provedením pokusu jeho
VíceDeskriptivní statistické metody II. Míry polohy Míry variability
Deskriptivní statistické metody II. Míry polohy Míry variability Jana Vránová, 3.lékařská fakulta UK, Praha Náhodný výběr všechny prvky výběru {x i }, i = 1, 2,, n, se chápou jako náhodné veličiny, které
VíceNáhodná veličina Číselné charakteristiky diskrétních náhodných veličin Spojitá náhodná veličina. Pravděpodobnost
Pravděpodobnost Náhodné veličiny a jejich číselné charakteristiky Petr Liška Masarykova univerzita 19.9.2014 Představme si, že provádíme pokus, jehož výsledek dokážeme ohodnotit číslem. Před provedením
VíceMATEMATICKÁ STATISTIKA - XP01MST
MATEMATICKÁ STATISTIKA - XP01MST 1. Úvod. Matematická statistika (statistics) se zabývá vyšetřováním zákonitostí, které v sobě obsahují prvek náhody. Zpracováním hodnot, které jsou výstupem sledovaného
VíceMATEMATICKÁ STATISTIKA. Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci
MATEMATICKÁ STATISTIKA Dana Černá http://www.fp.tul.cz/kmd/ Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci Matematická statistika Matematická statistika se zabývá matematickým
VíceZákladní statistické modely Statistické vyhodnocování exp. dat M. Čada ~ cada
Základní statistické modely 1 Statistika Matematická statistika se zabývá interpretací získaných náhodných dat. Snažíme se přiřadit statistickému souboru vhodnou distribuční funkci a najít základní číselné
Vícey = 0, ,19716x.
Grafické ověřování a testování vybraných modelů 1 Grafické ověřování empirického rozdělení Při grafické analýze empirického rozdělení vycházíme z empirické distribuční funkce F n (x) příslušné k náhodnému
VíceNáhodná veličina. Michal Fusek. 10. přednáška z ESMAT. Ústav matematiky FEKT VUT, Michal Fusek
Náhodná veličina Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 10. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 71 Obsah 1 Náhodná veličina 2 Diskrétní náhodná veličina 3
VíceP13: Statistické postupy vyhodnocování únavových zkoušek, aplikace normálního, Weibullova rozdělení, apod.
P13: Statistické postupy vyhodnocování únavových zkoušek, aplikace normálního, Weibullova rozdělení, apod. Matematický přístup k výsledkům únavových zkoušek Náhodnost výsledků únavových zkoušek. Únavové
VíceNÁHODNÉ VELIČINY JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN?
NÁHODNÉ VELIČINY GENEROVÁNÍ SPOJITÝCH A DISKRÉTNÍCH NÁHODNÝCH VELIČIN, VYUŽITÍ NÁHODNÝCH VELIČIN V SIMULACI, METODY TRANSFORMACE NÁHODNÝCH ČÍSEL NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN. JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU
VíceTestování statistických hypotéz
Testování statistických hypotéz 1 Testování statistických hypotéz 1 Statistická hypotéza a její test V praxi jsme nuceni rozhodnout, zda nějaké tvrzeni o parametrech náhodných veličin nebo o veličině samotné
VícePravděpodobnost a matematická statistika
Pravděpodobnost a matematická statistika Příklady k přijímacím zkouškám na doktorské studium 1 Popisná statistika Určete aritmetický průměr dat, zadaných tabulkou hodnot x i a četností n i x i 1 2 3 n
Více5. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů
5. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů Na základě hodnot náhodného výběru z rozdělení určitého typu odhadujeme parametry tohoto rozdělení, tak aby co nejlépe odpovídaly hodnotám výběru. Formulujme
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Bayesovské odhady
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Bayesovské odhady Bayesovské odhady - úvod Klasický bayesovský přístup: Klasický přístup je založen na opakování pokusech sledujeme rekvenci nastoupení zvolených jevů Bayesovský
VíceSPOJITÉ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI. 7. cvičení
SPOJITÉ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI 7. cvičení Intenzita poruch Funkce modelující dobu do výskytu události životnost, dobu do poruchy, dobu do relapsu (návratu onemocnění), apod. používáme spolu s distribuční
VícePŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU
PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU 6.1 Křivkový integrál 1. druhu Definice 1. Množina R n se nazývá prostá regulární křivka v R n právě tehdy, když existuje vzájemně jednoznačné zobrazení
Více5. T e s t o v á n í h y p o t é z
5. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Rozeznáváme dva základní typy testů:
Více15. T e s t o v á n í h y p o t é z
15. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Rozeznáváme dva základní typy testů:
VíceMATEMATICKÁ STATISTIKA
MATEMATICKÁ STATISTIKA 1. Úvod. Matematická statistika se zabývá vyšetřováním zákonitostí, které v sobě obsahují prvek náhody. Zpracováním hodnot, které jsou výstupem sledovaného procesu, se snažíme popsat
Více9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y
9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota y závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí y = f(x).
VíceNestranný odhad Statistické vyhodnocování exp. dat M. Čada
Nestranný odhad 1 Parametr θ Máme statistický (výběrový) soubor, který je realizací náhodného výběru 1, 2, 3,, n z pravděpodobnostní distribuce, která je kompletně stanovena jedním nebo více parametry
VíceLineární algebra : Metrická geometrie
Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních
VíceRegresní analýza 1. Regresní analýza
Regresní analýza 1 1 Regresní funkce Regresní analýza Důležitou statistickou úlohou je hledání a zkoumání závislostí proměnných, jejichž hodnoty získáme při realizaci experimentů Vzhledem k jejich náhodnému
VícePřijímací zkouška na navazující magisterské studium 2014
Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 24 Příklad (25 bodů) Spočtěte Studijní program: Studijní obor: Matematika Finanční a pojistná matematika Varianta A M x 2 dxdy, kde M = {(x, y) R 2 ;
VíceLimitní věty teorie pravděpodobnosti. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Jestliže opakujeme nezávisle nějaký pokus, můžeme z pozorovaných hodnot sestavit rozdělení relativních četností
VíceKGG/STG Statistika pro geografy
KGG/STG Statistika pro geografy 5. Odhady parametrů základního souboru Mgr. David Fiedor 16. března 2015 Vztahy mezi výběrovým a základním souborem Osnova 1 Úvod, pojmy Vztahy mezi výběrovým a základním
VíceZáklady teorie pravděpodobnosti
Základy teorie pravděpodobnosti Náhodná veličina Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 12. února 2012 Statistika by Birom Základy teorie
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Náhodná proměnná Náhodná veličina slouží k popisu výsledku pokusu. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáme. Přesto bychom chtěli tento pokus
VíceStatistika a spolehlivost v lékařství Charakteristiky spolehlivosti prvků I
Statistika a spolehlivost v lékařství Charakteristiky spolehlivosti prvků I Příklad Tahová síla papíru používaného pro výrobu potravinových sáčků je důležitá charakteristika kvality. Je známo, že síla
Více6 Lineární geometrie. 6.1 Lineární variety
6 Lineární geometrie Motivace. Pojem lineární varieta, který budeme v této kapitole studovat z nejrůznějších úhlů pohledu, není žádnou umělou konstrukcí. Příkladem lineární variety je totiž množina řešení
VícePravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz
Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická
Vícesprávně - A, jeden celý příklad správně - B, jinak - C. Pro postup k ústní části zkoušky je potřeba dosáhnout stupně A nebo B.
Zkouška z předmětu KMA/PST. Anotace předmětu Náhodné jevy, pravděpodobnost, podmíněná pravděpodobnost. Nezávislé náhodné jevy. Náhodná veličina, distribuční funkce. Diskrétní a absolutně spojitá náhodná
VíceLIMITNÍ VĚTY DALŠÍ SPOJITÁ ROZDĚLENÍ PR. 8. cvičení
LIMITNÍ VĚTY DALŠÍ SPOJITÁ ROZDĚLENÍ PR. 8. cvičení Způsoby statistického šetření Vyčerpávající šetření prošetření všech jednotek statistického souboru (populace) Výběrové šetření ze základního souboru
VícePravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Jan Kracík
Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium Letní semestr 2017/2018 Tutoriál č. 2:, náhodný vektor Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz náhodná veličina rozdělení pravděpodobnosti náhodné
Vícea způsoby jejího popisu Ing. Michael Rost, Ph.D.
Podmíněná pravděpodobnost, náhodná veličina a způsoby jejího popisu Ing. Michael Rost, Ph.D. Podmíněná pravděpodobnost Pokud je jev A vázán na uskutečnění jevu B, pak tento jev nazýváme jevem podmíněným
VíceVlastnosti odhadů ukazatelů způsobilosti
Vlastnosti odhadů ukazatelů způsobilosti Jiří Michálek CQR při Ústavu teorie informace a automatizace AV ČR v Praze Úvod Ve výzkumné zprávě č 06 Odhady koeficientů způsobilosti a jejich vlastnosti viz
Více3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost
3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Obrázek 5: Vektor w je lineární kombinací vektorů u a v. Vektory u, v a w jsou lineárně závislé. Obrázek 6: Vektor q je lineární
VíceNormální (Gaussovo) rozdělení
Normální (Gaussovo) rozdělení Normální (Gaussovo) rozdělení popisuje vlastnosti náhodné spojité veličiny, která vzniká složením různých náhodných vlivů, které jsou navzájem nezávislé, kterých je velký
VíceMatematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace
Matematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 28. 11 2. 12. 2016 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Střední
VíceTestování statistických hypotéz
Testování statistických hypotéz Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 11. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 27 Obsah 1 Testování statistických hypotéz 2
VíceNMAI059 Pravděpodobnost a statistika
NMAI059 Pravděpodobnost a statistika podle přednášky Daniela Hlubinky (hlubinka@karlin.mff.cuni.cz) zapsal Pavel Obdržálek (pobdr@matfyz.cz) 205/20 poslední změna: 4. prosince 205 . přednáška. 0. 205 )
VíceE(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) =
Základní rozdělení pravděpodobnosti Diskrétní rozdělení pravděpodobnosti. Pojem Náhodná veličina s Binomickým rozdělením Bi(n, p), kde n je přirozené číslo, p je reálné číslo, < p < má pravděpodobnostní
Více5. Lokální, vázané a globální extrémy
5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,
VíceSTATISTICKÉ ODHADY Odhady populačních charakteristik
STATISTICKÉ ODHADY Odhady populačních charakteristik Jak stanovit charakteristiky rozložení sledované veličiny v základní populaci? Populaci většinou nemáme celou k dispozici, musíme se spokojit jen s
VíceBootstrap - konfidenční intervaly a testy
9. prosince 2008 Konfidenční intervaly obecně Máme data X 1...X n F,(iid), kde F neznáme. Konfidenční intervaly obecně Máme data X 1...X n F,(iid), kde F neznáme. Chceme odhadnout θ = t(f), např. t(f)
VíceZáklady biostatistiky II. Veřejné zdravotnictví 3.LF UK - II
Základy biostatistiky II Veřejné zdravotnictví 3.LF UK - II Teoretické rozložení-matematické modely rozložení Naměřená data Výběrové rozložení Teoretické rozložení 1 e 2 x 2 Teoretické rozložení-matematické
VíceVybraná rozdělení náhodné veličiny
3.3 Vybraná rozdělení náhodné veličiny 0,16 0,14 0,12 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02 0 Rozdělení Z 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Život je umění vytvářet uspokojivé závěry na základě nedostatečných předpokladů.
VíceZáklady počtu pravděpodobnosti a metod matematické statistiky
Errata ke skriptu Základy počtu pravděpodobnosti a metod matematické statistiky K. Hron a P. Kunderová Autoři prosí čtenáře uvedeného studijního textu, aby případné další odhalené chyby nad rámec tohoto
VíceAproximace binomického rozdělení normálním
Aproximace binomického rozdělení normálním Aproximace binomického rozdělení normálním Příklad Sybilla a Kassandra tvrdí, že mají telepatické schopnosti, a chtějí to dokázat následujícím pokusem: V jedné
Více9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y
9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí = f(x). Pokud
VícePravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobnost a aplikovaná statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 2. KAPITOLA PODMÍNĚNÁ PRAVDĚPODOBNOST 3. KAPITOLA NÁHODNÁ VELIČINA 9.11.2017 Opakování Uveďte příklad aplikace geometrické definice pravděpodobnosti
VíceMatematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
VíceBayesovské metody. Mnohorozměrná analýza dat
Mnohorozměrná analýza dat Podmíněná pravděpodobnost Definice: Uvažujme náhodné jevy A a B takové, že P(B) > 0. Podmíněnou pravěpodobností jevu A za podmínky, že nastal jev B, nazýváme podíl P(A B) P(A
Více8. Normální rozdělení
8. Normální rozdělení 8.. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, 2 ) s parametry µ a > 0 je rozdělení určené hustotou ( ) f(x) = (x µ) 2 e 2 2, x (, ). Rozdělení N(0; ) s parametry µ = 0 a = se nazývá
VíceSTANOVENÍ SPOLEHLIVOSTI GEOTECHNICKÝCH KONSTRUKCÍ. J. Pruška, T. Parák
STANOVENÍ SPOLEHLIVOSTI GEOTECHNICKÝCH KONSTRUKCÍ J. Pruška, T. Parák OBSAH: 1. Co je to spolehlivost, pravděpodobnost poruchy, riziko. 2. Deterministický a pravděpodobnostní přístup k řešení problémů.
Více6 Skalární součin. u v = (u 1 v 1 ) 2 +(u 2 v 2 ) 2 +(u 3 v 3 ) 2
6 Skalární součin Skalární součin 1 je operace, která dvěma vektorům (je to tedy binární operace) přiřazuje skalár (v našem případě jde o reálné číslo, obecně se jedná o prvek nějakého tělesa T ). Dovoluje
VícePravděpodobnost a statistika I KMA/K413
Pravděpodobnost a statistika I KMA/K413 Konzultace 3 Přírodovědecká fakulta Katedra matematiky jiri.cihlar@ujep.cz Kovariance, momenty Definice kovariance: Kovariance náhodných veličin Dále můžeme dokázat:,
VíceLineární algebra : Lineární prostor
Lineární algebra : Lineární prostor (3. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 17. dubna 2014, 14:43 1 2 3.1 Aximotické zavedení lineárního prostoru Číselné těleso Celou lineární
Více